第五节第2课时直线与椭圆的综合问题(提升课)
第五节椭圆第二课时直线与椭圆的位置关系讲
第二课时直线与椭圆的位置关系一.课标要求，准确定位1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.会解简单的直线与椭圆相关的综合问题.二．考情汇总，名师解读1.会判断直线与圆锥曲线的位置关系，解决弦长、中点弦的计算问题；2.会从不同角度体现判别式、根与系数的关系、点差法、圆锥曲线的性质、线段垂直平分线的性质等知识在直线与圆锥曲线的位置关系中的作用．1．点与椭圆的位置关系，椭圆＋＝）在椭圆内⇔＋<1⇔＋＝⇔＋>1.，椭圆＋＝，联立得（|x或＝·|＝，＝＝·|＝·|＝·（程有解的情况下进行的，不要忽略判别式>0这一前提方法二：几何法对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．()1求椭圆的方程；()2若48.7AB CD+=求直线考向二 求面积或已知面积求参数17．已知椭圆C ：22221x y a b +=223过椭圆上一点只能作一条切线．若椭圆的方程为＋＝）处的切线方程为＋＝=，过点1参考答案：【点睛】本题考查椭圆方程的求解4．A【分析】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式设1122(,),(,)M x y N x y ，由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得因为直线l 与椭圆相交，所以0∆>，即22483(k m -）由题意得解得．所以椭圆的方程为．）由得．的坐标分别为，，则，，，．|MN|===．）到直线的距离的面积为．由，解得，经检验，所以．26．8140-+=x y 或2x =【分析】首先判断点P 与椭圆1C 的位置关系，分类讨论切线的斜率是否存在，设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程Δ0=【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，答案第21页，共21页所以CA CB ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，恒等关系的处理，考查转化思想以及计算能力．。
直线与椭圆问题复习公开课课件
课前自助餐
1．椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程为__yx_＝＝__ba_sc_ion_sθ_θ (_θ_是__参__数__)__．
2．点 P(x0，y0)和椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的关系． (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔__ax_202＋__by_022_<_1__. (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔__ax_202＋__by_022_＝__1_.
如本例中的方法二则更为简捷，根据直线系方程抓住直 线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，这 也是解决该题的难点所在，破解此类问题的关键是熟练掌握 直线系方程，另外抓住题中“k∈R”这个条件结合图形，也是 很容易想到直线必过定点．
思考题1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1，试问：当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C， (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？
方法二：直线 l 的方程可化为 m(x－1)＋(1－y)＝0， 故直线 l 恒过 x－1＝0 和－y＋1＝0 的交点 A(1,1)． 又点 A 在椭圆1x62 ＋y92＝1 内部，∴直线 l 与椭圆总有交点． 【答案】 略
探究1 直线与椭圆位置关系的判断有两种方法，一是联 立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；二是借助几何 性质来判断．
()
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
答案 A 解析 ∵直线方程可化为 y－1＝k(x－1)，恒过(1,1)定
点，而(1,1)在椭圆内部，故选 A.
2．已知以 F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3 y＋4＝0 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
高考数学一轮复习---直线与椭圆的综合问题
直线与椭圆的综合问题考点一 弦中点问题例、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55[解题技法]1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．跟踪训练1．已知椭圆：x 29＋y 2＝1，过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝02．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为___________． 考点二 弦长问题例、已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值．弦长的求解方法：(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1 B ．±12C. 2 D ．±2 2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．考点三 椭圆与向量的综合问题例、已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛233，. (1)求椭圆C 的方程； (2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．跟踪训练1．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛210， B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220， C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛330， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛121， 2．已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝a 交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，求OM ―→·OP ―→的值．课后作业1．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－942．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B.423C. 2 D ．2 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.81054．倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→，则该椭圆的离心率为( )A.32B.23C.22D.335．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．7．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．8．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．9．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R )上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△F AB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．提高练习1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛810，，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程．2．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l的方程．。
直线与椭圆PPT课件
（1）当m为何值时，直线
与椭圆相交、相切、相离？
小结：研究直线与椭圆的位置关系，一般通过联立直
线与椭圆方程
，消去
得
的
一元二次方程ห้องสมุดไป่ตู้
，
（1）当 （2）当 （3）当
时， 时， 时，
直线与椭圆相交； 直线与椭圆相切； 直线与椭圆相离。
（二）弦长问题 例题：已知椭圆
（2）直线 长。 小结：
过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的
（三）弦所在直线方程
例题：已知椭圆
（3）过点 中点恰好是
能否作直线
，使
与椭圆 相交所成弦的
，若有，求出此直线方程。
小结：凡涉及弦的中点问题，都可采用点差法来解决问题。
作业：已知椭圆 （1）求直线y=x-1截椭圆所得的弦|AB|的长； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
弦长为直线与椭圆相交所得的设直线方程为??abmkxy二弦长问题则弦长公式为0方程的一元二次得去如果直线与椭圆联立消022211?x???acbxaxxyyxbyxa1212xkab???11212yykab???或3过点能否作直线使与椭圆相交所成弦的中点恰好是恰若有求出此直线方程
回顾：前面学习了直线与圆的哪些问题？ （一）直线与椭圆的位置关系 例题：已知椭圆
直线与椭圆的综合运用 教案
直线和椭圆的位置关系（综合应用）教学目标:（1）理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；（2）掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；（3）初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学重点：利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系教学难点：利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系弦长、最值等综合问题. 教学过程 一、知识讲解提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，引出点与椭圆的位置关系1、点与椭圆的位置关系：设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x若点),(00y x P 椭圆上，则122220=+b y a x ；若点),(00y x P 在椭圆内，则1220220<+b y a x ；若点),(00y x P 在椭圆外，则1220220>+by a x ；2、直线与椭圆的位置关系（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系：相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点； 相交：直线与椭圆两个交点；（2）判断直线与椭圆的位置关系：设直线:,l y kx m =+椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=，记该一元二次方程的判别式为∆，则 ①当0∆>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0∆=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0∆<时，直线与椭圆相离，没有交点.（3）弦长公式的推导设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长.回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式11AB x x y y =-=-（其中k 为直线AB 的斜率）.二、例题精析例1、已知直线1l 过椭圆14:22=+y x C 的左焦点1F 且与椭圆相交于B A ,两点，椭圆C 的右焦点为2F ，则2ABF ∆的周长为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、9解:如图,因为B A ,在椭圆上，由椭圆的定义，则a AF AF a BF BF 2,22121=+=+ 所以2ABF ∆的周长842222==+=++=a a a AF BF AB C ，所以选.C例2、若直线2y mx =+与椭圆22142x y +=有且只有一个交点，求实数m 的值. 解:联立22224y mx x y =+⎧⎨+=⎩消y 得22(21)840m x mx +++=因为直线与椭圆只有一个交点，则22644(21)40m m ∆=-⨯+⨯=，解得2m =±.例3、直线y x a =+与椭圆2212x y +=相交于,A B 两点，若3AB =，求a 的值. 解:联立2222y x a x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得2234220x ax a ++-=，21643(22)0a a ∆=-⨯->恒成立，则a R ∈ 设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1243ax x +=-，212223a x x -=由弦长公式AB =3=,解得1a =. 例4、过原点的直线l 与曲线C:1322=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ).A 656παπ≤≤ .B 326παπ<< .C 323παπ≤≤ .D 434παπ≤≤ 解：因为截得的线段长不大于6，故直线不可能与x 轴重合，可设直线方程为x my = 联立⎩⎨⎧=+=3322y x myx 消去x 得，03)3(22=-+y m ，设直线与椭圆相交于B A ,两点，则63)3(121222≤+++=m m mAB ，整理得63)1(1222≤++m m ，解得11≤≤-m所以]1,1[1tan -∈==m k α，又),0[πα∈，解得434παπ≤≤.选.D 例5、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M中2c a =，右顶点到左焦点的距离为32+（1）求椭圆M 的方程.（2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围； （3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .解：（1）依据题意，则22c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解方程组得2,a c ==2214x y += （2）联立222014x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得225161640x mx m -+-=，222(16)45(164)16(54)m m m ∆=-⨯-=- ①若直线与椭圆相交，则216(54)0m ∆=->，解得m <<②若直线与椭圆相切，则216(54)0m ∆=-=，解得m =③若直线与椭圆相离，则216(54)0m ∆=-<，解得22m m <<-或（3）联立2214y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得2258440x tx m ++-= 因为直线与椭圆有两个交点，则226420(44)0t t ∆=-->，解得t <<设1122(,)(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1285tx x +=-，2124(1)5t x x -=由弦长公式，则AB ===所以()(f t t =∈ 例6、已知椭圆22:12x M y +=， （1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程； （2）过1()22Q 的直线与椭圆M 相交于,A B 两点，且,A B 关于点Q 对称，求直线AB 的方程； （3）过点(2,1)的直线l 与椭圆M 相交，求直线l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.解：(1) 设平行弦中点坐标为00(,)x y ，弦与椭圆对应的两个交点为11(,)x y ，22(,)x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得12121212()()()()02x x x x y y y y +-++-=化简整理得1212121222()y y x xx x y y -+=-=-+，又因为1201202,2x x x y y y +=+=，代入上式，得0040x y +=.所以平行弦中点的轨迹方程为40x y +=(在椭圆22:12x M y +=内的部分). （2）设33(,)A x y ，44(,)B x y ，则223322441212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得34343434()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得121212122()y y x x x x y y -+=--+，又因为,A B关于点1)2Q对称，则34121x x y y ++=所以121212122()2AB y y x x k x x y y -+==-=--+ 故直线AB220y +-= （3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l 的斜率必然存在，设弦中点坐标为(,)x y ''，则12l y k x '-='-………………………()i 设直线与椭圆的两交点分别为5566(,),(,)x y x y ，则56562,2x x x y y y ''+=+=又225522661212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得56565656()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得565656562()2l y y x x x k x x y y y '-+==-=-'-+……………()ii 由()i ()ii 联立化简得， 222220x y x y ''''+--=. 所以弦中点的轨迹为：222220x y x y +--=.三、课程小结本讲主要学习了下面的内容： 直线与椭圆的位置关系四、课后作业1、直线12+=x y 与椭圆15922=+y x 相交于MN 两点，则弦=MN （ ）.A 411060 .B 41106 .C 361041 .D 41102【答案】Ａ．【解析】：联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=1591222y x x y 消去y 得03636412=-+x x ，设),(),,(2211y x N y x M 则a acb ky y x x MN 41)()(22221221-+=-+-=41106041364143652=⨯⨯+⋅=.选.A 2、直线l 方程)1(-=x m y ，椭圆134:22=+y x M ，则直线l 与椭圆M 的位置关系为（ ）.A 相交 .B 相离 .C 相切 .D 无法判断 【答案】.A【解析】已知直线)1(-=x m y 过定点)0,1(，定点代入椭圆则1304122<+，过直线过椭圆内部的点，所以直线l 与椭圆M 相交，选.A【巩固】3、B A ,是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的短轴端点，点M 是椭圆上异于B A ,的任意一点，直线MA ，MB与x 轴交点的横坐标分别为21,x x ，求证：21x x ⋅是定值. 解：证明：如图)5(C ，),0(),,0(b B b A -，设),(00y x M ，则 直线MA 的方程为：00y by b x x --=……………① 直线MB 的方程为：00y by b x x ++=……………② 由①解得,001b y bx x --=由②解得by bx x +=002，则 2222001222000()()b x b x x x y b y b b y -⋅==-+-……………③ 又因为),(00y x M 在椭圆上，则2200221x y a b+=……………④由④解得)(202222y b a x b -=代入③式，得2222022********)(a y b y b a y b x b x x =--=-=⋅. 所以21x x ⋅是定值.4、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程. 【解析】法一：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ）,则2,42121=+=+y y x x14162121=+y x ① 14162222=+y x ② ①-②得04))((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ，整理得21421212121-=++⋅-=--y y x x x x y y所以21-=AB k ，故直线方程为042=-+y x . 法二：设所求直线方程为)2(1-=-x k y ，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x .2.已知直线3:=+y x l ，点P 为椭圆12:22=+y x M 上的一动点，则P 到直线l 的距离的最大值和最小值分别为（ ） .A 0,233+ .B 233,233-+ .C 13,13-+ .D 0,13+ 【答案】Ｂ．【解析】设点)sin ,cos 2(θθP ，则23)sin(323sin cos 2-+=-+=ϕθθθd当1)sin(-=+ϕθ时，233max +=d ；当1)sin(=+ϕθ时，233min -=d ，选.B。
解析几何专题05直线与椭圆综合问题(学案)范文
解析几何专题05直线与椭圆综合问题学习目标（1）能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系；（2）能够利用弦长公式准确求解直线被椭圆截得的弦长，并在此基础上解决相关三角形的面积问题；（3）能够利用“点差法”以及“韦达定理”正确求解椭圆的弦中点问题；（4）初步熟悉直线与椭圆综合问题的解题程序。
知识回顾及应用1．椭圆中的定值或定点问题此类问题的一般解题思路2．椭圆中的最值或范围问题此类问题的一般解题思路3．椭圆中的其它综合问题4．应用所学知识解决问题：【题目】已知椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e =过点(1,0)C -的直线l 交椭圆于,A B 两点，且满足2CA BC =.试用直线l 的斜率k 表示OAB ∆的面积。
【变式1】已知椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e =过点(1,0)C -的直线l 交椭圆于,A B 两点，且满足2CA BC =.当OAB ∆的面积最大时，求椭圆E 的方程。
【变式2】*已知椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e =，过点(1,0)C -斜率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点。
若(2)CA BC λλ=≥，且21k λ=+。
试问：实数,k λ分别为何值时，椭圆E 的短轴长最大？求此时椭圆E 的方程。
问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】椭圆中的定值或定点问题例1．已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB→为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习：椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．此类问题常常可以先由特殊情况得到定值或定点，再从一般情况加以证明；也可以分别从条件和结论两个方向探索，最后在中间某处实现统一；有时还可能会用到“多项【类型二】2．椭圆中的最值或范围问题例2已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．练习：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点．(1)当椭圆的半焦距c ＝1，且a 2，b 2，c 2成等差数列时，求椭圆的方程；(2)在(1)的条件下，求弦AB 的长度；(3)当椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求椭圆长轴长的取值范围．此类问题往往与函数、不等式有关系：有时可以通过建立函数关系求函数的最值；有时可以通过判别式定理得到一个不等式再求解；有时还可以通过三角代换转化为三角【类型三】 椭圆中的其它综合问题例3．已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R)（1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线。
直线与椭圆的位置关系教案
2.2.2直线与椭圆的位置关系教案教学目标知识与技能目标: 1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；过程与方法目标进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想情感态度价值观 通过椭圆的学习，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．教学重点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系 教学难点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系 教学方法：学导式例1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例2、已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求|AB|解: ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB 例3、已知椭圆195222=+y x , 直线:45400l x y -+=,椭圆上是否存在一点,它到直线的距离最小?最小距离是多少?解: 22450{1259x y k x y -+=+= 消y 得 222582250x kx k ++-= 当0∆=时,得:2264100(225)0k k --= 得: 125k =225k =-当25k =时,直线与椭圆的交点到直线L 的距离最近,此时直线m 的方程为45250x y -+=d = 例4、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆,c a 32=，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程 解法一：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 可得012)(2=-+++n nx x n m ，m n n m n x x 234221=-=+-=+即 又c a 32=即2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：（点差法）令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+=+1122222121ny m x ny m x 作差得)()(21212121y y x x y y x x n m +--=+- m n 2=∴ 又c a 32=即2221131nm m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 小结：理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；作业：板书设计：教学反思。
2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第2课时直线与椭圆高效演练分层突破文新人教A版
第2课时 直线与椭圆[基础题组练]1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0，3)∪(3，＋∞)解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3.2．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A ．±32B ．±23C ．±12D ．±2解析：选A.由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k >0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k <0时k ＝－32.3．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D ．103解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53，故选B.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( ) A.4x 225＋y25＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D ．x 225＋y 220＝1 解析：选B.将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a 2)2－4(a 2＋b 2)(9a 2－a 2b 2)＝0，化简得a 2＋b 2＝9.又由椭圆的离心率为55，所以c a ＝a 2－b 2a ＝55，则b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.5．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O为原点，若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为( )A.22 B ．±22C ．±32D ．32解析：选B.由x 22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝2－1＝1，则c ＝1，则左焦点F (－1，0)．由题意可知，直线l 的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋k .设l 与椭圆交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋k得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.则PQ 的中点M 的横坐标为x 1＋x 22＝－2k22k 2＋1.因为△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，所以－2k 22k 2＋1＝－12，解得k ＝±22.6．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为 ．解析：因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.答案：y 24＋x 2＝17．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为 ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得2（x 1＋x 2）2－8x 1x 2＝423，解得m ＝±1. 答案：±18．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在的直线方程是 ．解析：由题意知，以M (1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ， 则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0，所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k1＋2k2＝1，解得k ＝－12(满足Δ>0)，故b ＝32，所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝09．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为22，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线MB 的斜率． 解：(1)由题意可得2c ＝22，即c ＝2，又e ＝ca ＝63，解得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由直线l 过点D (1，0)且垂直于x 轴，设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，则AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)．令x ＝3，可得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1－（－y 1）3－1＝1.10．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b 的值．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点．故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝27.[综合题组练]1．(2020·广东深圳红岭中学四模)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1，1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D.易知B 为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B ′，则B ′(0，1)，如图，连接PB ′，AB ′，根据椭圆的定义得|PB |＋|PB ′|＝2a ＝4，所以|PB |＝4－|PB ′|，因此，|PA |＋|PB |＝|PA |＋(4－|PB ′|)＝4＋|PA |－|PB ′|≤4＋|AB ′|＝4＋1＝5，当且仅当点P 在AB ′的延长线上时，等号成立，所以|PA |＋|PB |的最大值为5，故选D.2．已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是 ．解析：设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c2， 又x 2∈[0，a 2]，所以2c 2≤a 2≤3c 2， 所以e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 3．(2019·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k2－10k ，在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k .由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305. 所以直线PB 的斜率为2305或－2305.4．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右两个焦点，|F 1F 2|＝4，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足AF 1→＝2BF 2→.(1)求椭圆C 的方程； (2)求四边形ABF 2F 1的面积．解：(1)由题意知2a ＝6，2c ＝4，所以a ＝3，c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 所以AF 1→＝(－2－x 1，－y 1)，BF 2→＝(2－x 2，－y 2)， 由AF 1→＝2BF 2→，得x 1＋2＝2(x 2－2)，y 1＝2y 2. 延长AB 交x 轴于H ，因为AF 1→＝2BF 2→，所以AF 1∥BF 2，且|AF 1|＝2|BF 2|.所以线段BF 2为△AF 1H 的中位线，即F 2为线段F 1H 的中点， 所以H (6，0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋6，代入椭圆方程，得5(my ＋6)2＋9y 2＝45，即(5m 2＋9)y 2＋60my ＋135＝0. 所以y 1＋y 2＝－60m 5m 2＋9＝3y 2，y 1·y 2＝1355m 2＋9＝2y 22，消去y 2，得m 2＝92×325，结合题意知m ＝－935.S 四边形ABF 2F 1＝S △AF 1H －S △BF 2H ＝12|F 1H |y 1－12|F 2H |y 2＝4y 1－2y 2＝8y 2－2y 2＝6y 2＝－120m 5m 2＋9＝1534.。
2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第九章平面解析几何第五节 第2课时椭圆的几何性质
)
A．m>1
B．m>0
C．0<m<5 且 m≠1 D．m≥1 且 m≠5
【解析】选
D.方法一：由于直线
y＝kx＋1
恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则
1 0<m
≤1 且
m≠5，故 m≥1 且 m≠5.
y＝kx＋1， 方法二：由
消去 y 整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
【解析】(1)由题意知 e＝ac ＝21 ，2a＝4.又 a2＝b2＋c2，解得 a＝2，b＝ 3 ，所以椭圆方程为x42 ＋y32 ＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y＝
第2课时 椭圆的几何性质
第九章 平面解析几何
考点探究·悟法培优
考点探究·悟法培优
考点一 椭圆的几何性质 多维探究
高考考情：椭圆的几何性质是历年高考的重点，其中离心率的求解常出现在小题中，直线与椭圆的交点问题
几乎每年必考，难度较大．
·角度 1 求椭圆的离心率的值(范围) [典例 1](1)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22 ＋by22 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜
·角度 2 与椭圆有关的范围(最值)问题 [典例 2]已知椭圆ax22 ＋by22 ＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F2(3，0)，离心率为 e.
(1)若 e＝
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，求椭圆的方程；
22版：第2课时 直线与椭圆（步步高）
第2课时 直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0， 消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴5k 2＋m －1≥0，∴m ≥1且m ≠5.2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，② 将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二 弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1 (1)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F ，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．答案 553解析 方法一 由题意知，椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1， 消去y ，得3x 2－5x ＝0，解得x ＝0或53， 设A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫0－532＋⎝⎛⎭⎫－2－432＝553. 方法二 由题意知，椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. (2)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 又Δ＝(8t )2－16(t 2－1)×5>0，得t 2<5，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 命题点2 中点弦问题例2 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1， 又∵x 1＋x 2＝2，∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意． 故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0， ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0， 又x 2－x 1≠0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意． ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．记住必须检验．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 跟踪训练1 (1)已知椭圆两顶点A (－1,0)，B (1,0)，过焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________________． 答案 2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0解析 由题意得b ＝1，c ＝1.∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋1＝2.∴椭圆方程为y 22＋x 2＝1. 当直线l 的斜率不存在时，|CD |＝22，不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋2x 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. Δ＝8(k 2＋1)>0恒成立．设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. ∴|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.即22(k 2＋1)k 2＋2＝322， 解得k 2＝2，∴k ＝±2.∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．答案 32解析 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4，1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝32.题型三 直线与椭圆的综合问题例3 (2020·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．解 (1)由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18，所以椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. (2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 218＋y 29＝1， 消去y 可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝12k 2k 2＋1.依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2k 2＋1，－32k 2＋1. 由3OC →＝OF →，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为－32k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝32k 2－6k ＋1. 又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k 2－6k ＋1＝－1， 整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12或k ＝1. 所以直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3， 即x －2y －6＝0或x －y －3＝0.思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 跟踪训练2 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2.(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程．解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧ c ＝3b ，c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1. (2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1， 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， Δ＝8(k 2＋1)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1， F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0， 解得k 2＝17，即k ＝±77， 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.。
第五节 第二课时 直线与椭圆
第二课时 直线与椭圆一、基础探究点——直线与椭圆的位置关系(题组练透)1．(2021·山东潍坊模拟)若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5解析：选D 解法一：由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.求当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不等的实数根，可知原方程组有两组不等的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．（1）研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.（2）对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部 或椭圆上判定直线和椭圆有交点.二、应用探究点——弦长与中点弦问题(多向思维)[典例剖析]思维点1 弦长问题[例1] 已知椭圆C 的焦点为F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长为6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点．求：(1)椭圆C 的标准方程； (2)弦AB 的中点坐标及弦长．解：(1)∵椭圆C 的焦点为F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长为6， ∴椭圆的焦点在x 轴上，∵c ＝22，a ＝3，∴b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋9y 2＝9y ＝x ＋2，消去y ，得10x 2＋36x ＋27＝0， ∴x 1＋x 2＝－185，x 1x 2＝2710，∴x 0＝－95，y 0＝x 0＋2＝2－95＝15，∴弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－95，15， |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－1852－4×2710＝635.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|；②|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)； ③|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]；④|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]. 思维点2 中点弦问题[例2] [一题多解]已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为 ．解析：解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1） ，x 24＋y 22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为x ＋2y －3＝0.解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1， ①x 224＋y 222＝1， ② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝01．用“点差法”求解中点弦问题的步骤 (1)设点—设出弦的两端点坐标； (2)代入—代入圆锥曲线方程；(3)作差—两式相减，再用平方差公式展开；(4)整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 2．解有关中点弦问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．[学会用活]1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝2（x 2－x 1）2＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝12－3m 22.当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫1，12，则椭圆的离心率为( ) A ．22B ．12C ．14D ．32解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1.∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， ∴（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，∴2a 2＋－b c b 2＝0，可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0，解得e 2＝12，又∵0<e <1，∴e ＝22. 三、综合探究点——直线与椭圆的综合问题(思维拓展)[典例剖析][例3] 已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝a 交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，求OM →·OP →的值．解：(1)因为|OA |＝|OF |，所以b ＝c ，又△AOF 的面积为1，所以12bc ＝1，解得b ＝c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆D 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1.又M (2，4k )，所以OM →·OP →＝(2，4k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1＝4. [拓展变式]若将本例的条件改为“椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2.若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，”求直线l 的方程．解：由题易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，由已知得Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2（k 2－1）2k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．[学会用活]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．解：(1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1，又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意；当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. ①方程的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)， FB →＝(x 2－1，y 2)， AF →＝λFB →，即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1，又λ>1，∴λ＝3＋52.限时规范训练 基础夯实练1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 解析：选B 由题意知，4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.3．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A ．2B ．433C ．4D ．不能确定解析：选B 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )，则弦长为x 2＋（y －1）2＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5，当y ＝－13时，弦长最大为433.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1解析：选D k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.5．(2021·江西南昌模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0，且a ≠b )与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A ．32B ．233C ．932D ．2327解析：选B 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，则by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b （y 1－y 2）（y 1＋y 2）a （x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝－1，由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1，过点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22与原点的直线的斜率为32，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝32，∴b a ×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝1消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，∴k OP ＝a b ＝32，∴b a ＝233. 6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，经过点F 的直线l 的倾斜角为45°，且直线l 交该椭圆于A ，B 两点，若AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A ．33B ．22C ．23D ．32解析：选C 由题知，直线l 的方程为y ＝x －c ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －cx 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0，则x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，则(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，则x 1＋2x 2＝3c ，结合韦达定理知，x 1＝a 2c －3b 2ca 2＋b2， x 2＝a 2c ＋3b 2c a 2＋b 2，则x 1x 2＝a 2c －3b 2c a 2＋b 2×a 2c ＋3b 2c a 2＋b 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2，整理得2a 2＝9c 2，则离心率e ＝c a ＝23，故选C ．7．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →＝ ．解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.答案：－138．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为 ．解析：∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a .又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c . ①又S △F 2AB ＝12×2c ×2b 2a ＝43， ②a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.答案：x 29＋y 26＝19．(2021·黑龙江大庆模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 为椭圆右顶点，过点C ⎝⎛⎭⎫23，0作斜率不为0的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求证：P A ⊥PB .解：(1)因为椭圆E 的长轴长为4，所以2a ＝4，即a ＝2. 又因为椭圆E 的离心率为22， ∴c a ＝22，即c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝22－（2）2＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：由(1)得P (2，0)，因为C ⎝⎛⎭⎫23，0，设直线AB 的方程为x ＝my ＋23，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎨⎧x ＝my ＋23x 24＋y 22＝1，化简得(9m 2＋18)y 2＋12my －32＝0，Δ＝144(9m 2＋16)>0，且⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－12m9m 2＋18，y 1y 2＝－329m 2＋18， 因为P A →＝(x 1－2，y 1)，PB →＝(x 2－2，y 2)，所以P A →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－43m (y 1＋y 2)＋169＝(m 2＋1)－329m 2＋18＋43m 12m 9m 2＋18＋169＝－32（m 2＋1）＋16m 2＋16（m 2＋2）9m 2＋18＝－32m 2－32＋16m 2＋16m 2＋329m 2＋18＝0，所以P A ⊥PB .10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝4x 有公共的焦点F ，A 1，A 2分别为椭圆C 长轴的左、右端点，P 为C 上一动点，且△P A 1A 2的最大面积为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 经过点F ，且与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝103，求直线l 的方程．解：(1)∵抛物线y 2＝4x 的焦点F 坐标为(1，0), ∴椭圆C 的半焦距为1.由椭圆的几何性质可知，当△P A 1A 2面积最大时，P 为椭圆短轴端点，不妨令P (0，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，ab ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线l 经过椭圆C 的右焦点，且|AB |＝103，∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 与椭圆C 的方程联立可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）3＋4k 2＝103，解得k ＝±62， ∴直线l 的方程为3x －2y －3＝0或3x ＋2y －3＝0.综合提升练11．(2021·河南濮阳月考) F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的动直线l 与椭圆C 交于A 、B ，当B 与上顶点(0，b )重合时，l 的倾斜角为60°，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ′是A 关于x 轴的对称点，且F 2A ′⊥F 2B ，求直线l 的方程．解：(1)由直线l 的斜率＝b －00－（－c ）＝tan 60°＝3，∴b ＝3c ()c ＝a 2－b 2，又△ABF 2的周长＝AF 1＋BF 1＋BF 2＋AF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ＝8， 得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的斜率为k ， 则A ′(x 1，－y 1)，而F 2(1，0)，l ：y ＝k (x ＋1)，由F 2A ′⊥F 2B ⇒F 2A ′→·F 2B →＝0⇒(x 1－1)(x 2－1)－y 1y 2＝0，得(x 1－1)(x 2－1)－k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，整理得(1－k 2)x 1x 2－(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋1－k 2＝0，(*) 将y ＝k (x ＋1)代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 可得x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，代入(*)式，(1－k 2)·4k 2－124k 2＋3＋(1＋k 2)·8k 24k 2＋3＋1－k2＝0，化简得25k 2－9＝0⇒k ＝±35， 则直线l 的方程为y ＝±35(x ＋1)．12．(2021·甘肃张掖模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |.(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22， 即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，∴AF 1→·AF 2→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0，1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1.解得⎩⎨⎧x 2＝－43，y 2＝－13.即B ⎝⎛⎭⎫－43，－13，所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43， 若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43.13．(2021·吉林高三月考)已知直线x －3y ＋3＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左顶点和上顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，B 为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线y ＝3－x 上存在一点P ，使得三角形P AB 为正三角形，求AB 所在直线的方程．解：(1)因为直线x －3y ＋3＝0与x 轴交于点(－3，0)，与y 轴交于点(0，1)， 又直线x －3y ＋3＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左顶点和上顶点，可得a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0，3)，∵|AB |＝23，|PO |＝3，∴∠P AO ＝60°， 即△P AB 是等边三角形， ∴直线AB 的方程为y ＝0；当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y ＝kx ，代入椭圆方程消去y ，得(3k 2＋1)x 2＝3，∴|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k 2·33k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1，设AB 的垂直平分线为y ＝－1k x ，设它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (x 0，y 0)，则x 0＝3k k －1，y 0＝－3k －1，所以|PO |＝9k 2＋9（k －1）2，∵△P AB 为等边三角形， ∴应有|PO |＝3|AO |， 代入得 9k 2＋9（k －1）2＝3·3k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0 (舍)或k ＝－1，此时直线AB 的方程为y ＝－x ，综上，直线AB 的方程为y ＝0或x ＋y ＝0. 14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63.(1)证明：a ＝3b ；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫910，－310在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ .①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程． 解：(1)证明：∵e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝63，∴b a ＝33，因此，a ＝3b ；(2)①由(1)知，椭圆C 的方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，当⎝⎛⎭⎫910，－310在椭圆C 的内部时，⎝⎛⎭⎫9102＋3·⎝⎛⎭⎫－3102<3b 2，可得b >3010. 设点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝910，y 1＋y 22＝－310，所以，y 1＋y 2x 1＋x 2＝－39，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，两式作差得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 23（y 1＋y 2）＝－13×⎝⎛⎭⎫－93＝3，所以，直线l 方程为y －⎝⎛⎭⎫－310＝3⎝⎛⎭⎫x －910， 即y ＝3x － 3.所以，直线l 的方程为3x －y －3＝0.②联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3b 2，y ＝3（x －1），消去y 可得10x 2－18x ＋9－3b 2＝0，Δ＝182－40(9－3b 2)＝120b 2－36>0，由韦达定理可得x 1＋x 2＝95，x 1x 2＝9－3b 210，又∵OP ⊥OQ ，而OP →＝(x 1，y 1)，OQ →＝(x 2，y 2)，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－1)·3(x 2－1)＝4x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3＝2（9－3b 2）－27＋155＝6－6b 25＝0，解得b 2＝1符合题意，故a 2＝3b 2＝3， 因此，椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.。
第五节第2课时 直线与椭圆的综合问题(提升课)
若直线l斜率存在时，设l方程为y＝kx＋1， 联立yy＝ 2＋k2xx＋2＝1，2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. Δ＝8(k2＋1)>0恒成立． 设C(x1，y1)，D(x2，y2)． 所以x1＋x2＝－k22＋k 2，x1x2＝－k2＋1 2. 所以|CD|＝ 1＋k2|x1－x2|＝
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝
1＋k12[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率) 易错警示：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是 在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
[变式训练]
解：(1)直线AB的方程为xa＋－yb＝1， 即bx－ay－ab＝0. 原点到直线AB的距离为 （－|－aa）b|2＋b2＝ 23， 即3a2＋3b2＝4a2b2，①
由e＝ac＝ 36，得c2＝23a2，② 又a2＝b2＋c2，③ 所以联立①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2. 故椭圆的方程为x32＋y2＝1.
2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a，
l的方程为y＝x＋c，其中c＝ a2－b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方 y＝x＋c， 程组 xa22＋by22＝1， 消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2 －b2)＝0，则x1＋x2＝－a2＋2ab2c2，x1x2＝a2（ac2＋2－bb22）. 因为直线AB的斜率为1， 所以|AB|＝ 2|x2－x1|＝ 2[（x1＋x2）2－4x1x2]，
得方程组x42＋y22＝1， ② 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－ 8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同 的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直 线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
优品课件之高二数学直线与椭圆的有关综合问题教案19
优品课件高二数学直线与椭圆的有关综合问题教案19直线与椭圆、双曲线的有关综合问题教学要求：熟练解答关于直线与椭圆、双曲线的相交弦问题，能运用方程的思想，以及关于直线的有关知识。
教学重点：熟练分析思路。
教学过程：一、复习准备： 1.提问：直线上两点间的距离公式？点线距离公式？2.知识回顾：直线与二次曲线的相交问题解法（联立方程组）二、讲授新课： 1.教学典型例题：①出示例：设AB是过椭圆＋＝1的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长。
②先由学生分析解答思路，教师适当引导。
③学生试练→订正→小结：相交问题解答为联立方程组，并用直线上两点距离公式及韦达定理解决。
④出示例：过点P(2,-2)的直线被双曲线－＝1截得的弦MN的中点恰好为点P，求：直线MN的方程；弦MN的长。
⑤先由学生分析解答思路，教师适当引导。
⑥师生共同解答，主要步骤提问学生。
解法：设直线的点斜式→联立方程组→消y得到x的一元二次方程→利用中点坐标公式求k→再用直线上两点间的距离公式求MN长。
2.练习：①已知双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，截直线y＝x所得的弦长为，求此双曲线的标准方程。
② AB是椭圆＋＝1 (a>b>0)中不平行于对称轴且不过原点O的一条弦，M是AB的中点，求证：k k 是定值。
三、巩固练习： 1.设直线y＝kx＋m与双曲线－＝1的两支分别交于点P和点Q，同时与它的两条渐近线分别交于点R和点S，求证：|PR|＝|SQ|。
解法：分别联立方程组，证明两组交点的中点坐标相同。
2.课堂作业：书P132 11、12、14题。
优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。
第8章 第5节 第2课时 直线与椭圆
42
第五节 椭圆
1
2
细研考点·突破题型 课后限时集训
变式：已知椭圆
C：
x2 3
y2 2
1 .直线
l
的倾斜角为
600 且经过椭圆的右
焦点，求直线 l 与椭圆 C 相交的弦长。
第五节 椭圆
1
2
细研考点·突破题型 课后限时集训
例 2 中点弦问题（P161 左下方）过椭圆 x2 ＋y2＝1 内一点 P(3,1)，且 16 4
被点 P 平分的弦所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
通性通法 中点弦问题:常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆
锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，x1－x2(y1－y2)三个未知量，这样
2.弦长问题:常用“根与系数的关系”设而不求，
利用弦长公式|AB|＝ 1 k 2 x1 x2 1＋k2· x1＋x2 2－4x1x2＝
1＋k12 [
弦长．
y1＋y2
2－4y1y2]，(A(x1，y1)，B(x2，y2)，k 为直线的斜率)计
第五节 椭圆
1
2
细研考点·突破题型 课后限时集训
例题：求弦长
就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
第五节 椭圆
变式：
1
2
细研考点·突破题型 课后限时集训
2
焦点坐标为 F (0,5 2) ，并截直线 y 2x 1所得弦的中点的横坐标是 7 ，
〖2021年整理〗《椭圆的综合问题及应用》完整版教学课件PPT
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课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟处理椭圆的中点弦问题的三种途径
1.根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其
中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与
系数的关系结合中点坐标公式求解.
2.点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦
的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的
方法.
3.中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的
另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.
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-16
2
,x1x2=
4 +1
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,
4 +1
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探究二
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由题意可知 ⊥ , ·=0 即
x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
2
12(1+ )
∴
2
4 +1
解得
−
2
32
2
+4=0,
4 +1
3
k2=4>4,
∴|AB|= 1 + 2 |x1-x2|
直线与椭圆的综合问题共33页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
直线与椭圆的综合问题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
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又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a，
l的方程为y＝x＋c，其中c＝ a2－b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方 y＝x＋c， 程组 xa22＋by22＝1， 消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2 －b2)＝0，则x1＋x2＝－a2＋2ab2c2，x1x2＝a2（ac2＋2－bb22）. 因为直线AB的斜率为1， 所以|AB|＝ 2|x2－x1|＝ 2[（x1＋x2）2－4x1x2]， 即43a＝a42＋abb2 2，故a2＝2b2，
(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0， 所以x1＋x2＝a26＋b2b2＝2， 又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18. 所以E的方程为1x82 ＋y92＝1. 答案：D
1．解决弦及弦中点问题，其常规思路是先把直线方程与 椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦 中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
[变式训练] (2019·云南统测)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是
原点O，离心率等于
3 2
，以椭圆E的长轴和短轴为对角
线的四边形的周长为4 5 .直线l：y＝kx＋m与y轴交于点
P，与椭圆E相交于A，B两个点． (1)求椭圆E的方程；
(2)若A→P＝3P→B，求m2的取值范围．
解：(1)根据已知设椭圆E的方程为
＝2
2（k2＋1） k2＋2 .
即2 2（k2＋k2＋2 1）＝322，
解得k2＝2.所以k＝± 2.
所以直线l方程为 2x－y＋1＝0或 2x＋y－1＝0.
角度 弦中点问题
【例2】
已知椭圆E：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的右焦点
为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的
解：(1)直线AB的方程为xa＋－yb＝1， 即bx－ay－ab＝0. 原点到直线AB的距离为 （－|－aa）b|2＋b2＝ 23， 即3a2＋3b2＝4a2b2，①
由e＝ac＝ 36，得c2＝23a2，② 又a2＝b2＋c2，③ 所以联立①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2. 故椭圆的方程为x32＋y2＝1.
研究直线与椭圆位置关系的方法 1．研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究 其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． 2．对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内 部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
[变式训练]
[一题多解]若直线y＝kx＋1与椭圆
x2 5
＋
y2 m
＝1总有公
共点，则m的取值范围是( )
得方程组x42＋y22＝1， ② 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－ 8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3 2 <m<3 2 时，方程③有两个不同 的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直 线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)由(1)得F1(－ 2，0)，F2( 2，0)， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 易知直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x＝ky＋ 2，
x＝ky＋ 2， 联立x32＋y2＝1， 消去x得(k2＋3)y2＋2 2ky－1＝0. 故y1＋y2＝－k22＋2k3，④
y1y2＝－k2＋1 3.
考点3 最值与范围问题(讲练互动)
[典例体验]
(2019·河南六市模考)已知椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的离心率e＝
6 3
，原点到过点
A(0，－b)和B(a，0)的直线的距离为 23. (1)求椭圆的方程；
(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭 圆于P，Q两点，求△PQF1内切圆半径r的最大值．
若直线l斜率存在时，设l方程为y＝kx＋1， 联立yy＝ 2＋k2xx＋2＝1，2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. Δ＝8(k2＋1)>0恒成立． 设C(x1，y1)，D(x2，y2)． 所以x1＋x2＝－k22＋k 2，x1x2＝－k2＋1 2. 所以|CD|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1x2
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)，焦距为2c，由已知得ac＝ 23，所以c＝ 23a，b2 ＝a2－c2＝a42.
因为以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周
长为4 5，
所以4 a2＋b2＝2 5a＝4 5，所以a＝2，b＝1. 所以椭圆E的方程为x2＋y42＝1.
(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2， kx2＋m)，联立y4＝x2＋kxy＋2－m4，＝0
设F1，F2分别是椭圆E：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左、右
焦点，过点F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，
且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率．
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
考点2 弦长及弦中点问题(多维探究) 角度 弦长问题 【例1】 椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点
F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点．当|CD|＝3 2 2时， 求l的方程．
解：由题意b＝1，c＝1. 所以a2＝b2＋c2＝1＋1＝2. 所以椭圆方程为y22＋x2＝1. 若直线l斜率不存在时，|CD|＝2 2，不合题意．
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝
1＋k12[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)． 易错警示：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是 在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
[变式训练]
第八章 平面解析几何
第2课时 直线与椭圆的综合问题(提升课)
考点1 直线与椭圆的位置关系(讲练互动)
[典例体验]
已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：
x2 4
＋
y2 2
＝1.试问当m
取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立， y＝2x＋m， ①
3 r，所
以2 6k·2＋k32＋1＝2 3r，
故r＝
2k·2＋k23＋1＝
2 k2＋1＋
2 ≤2， k2＋1
当且仅当 k2＋1＝ k22＋1，即k＝±1时取等号．
故△PQF1内切圆半径r的最大值为12.
最值与范围问题的解题思路 1．构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来 获得问题的解． 2．构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获 得问题的解．在解决过程中，一定要深刻挖掘题目中的 隐含条件，如判别式大于零等．
(2)当Δ＝0，即m＝±3 2 时，方程③有两个相同的实 数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与 椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且 只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3 2 或m>3 2 时，方程③没有实 数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没 有公共点．
中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.4x52＋3y62 ＝1
B.3x62＋2y72 ＝1
C.2x72＋1y82 ＝1
D.1x82 ＋y92＝1
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以aaxx222221＋＋bbyy222122＝＝11，，运用点差法， 所以直线AB的斜率为k＝ba22. 设直线方程为y＝ba22(x－3)， 联立直线与椭圆的方程得
A．m>1
B．m>0
C．0<m<5且m≠1
D．m≥1且m≠5
解析：法一 由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<m1 ≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.
法二 由ym＝x2k＋x＋5y12－，5m＝0， 消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0. 由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k ∈R恒成立， 即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立， 由于m>0且m≠5，所以m≥1且m≠5. 答案：D
消去y得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，
即k2－m2＋4>0， 且x1＋x2＝－k22＋km4 ，x1x2＝mk22＋－44. 由A→P＝3P→B得x1＝－3x2. 所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x22－12x22＝0.
即（1k22＋k2m4）2 2＋4（km2＋2－44）＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0. 当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立， 所以k2＝4m－2－m12. 因为k2－m2＋4>0，所以4m－2－m12－m2＋4>0， 即（4－m2m－2）1 m2>0.所以1<m2<4. 所以m2的取值范围是(1，4)．
所以E的离心率e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba2＝ 22.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
x0＝x1＋2 x2＝a－2＋a2bc2＝－23c，y0＝x0＋c＝3c.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即y0x＋0 1＝－1， 得c＝3，从而a＝3 2，b＝3. 故椭圆E的方程为1x82 ＋y92＝1.
而S△PQF1＝S△F1F2P＋S△F1F2Q＝12|F1F2||y1－y2|＝