2019版《创新设计》一轮图书 第一章 第1节

第1节集合最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .[常用结论与微点提醒]1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个.2.子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .3.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .4.∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B ).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.( )(2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( )(3)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立.( )(4)含有n 个元素的集合有2n 个真子集.( )解析 (1)错误.{x |y ＝x 2＋1}＝R ，{y |y ＝x 2＋1}＝[1，＋∞)，{(x ，y )|y ＝x 2＋1}是抛物线y ＝x 2＋1上的点集.(2)错误.当x ＝1时，不满足互异性.(3)正确.(A ∩B )⊆A ⊆(A ∪B ).(4)错误.含有n 个元素的集合有2n －1个真子集.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修1P7练习2改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 018}，a ＝22，则下列结论正确的是( )A.{a }⊆AB.a ⊆AC.{a }∈AD.a ∉A解析 因为a ＝22不是自然数，而集合A 是不大于 2 018的自然数构成的集合，所以a ∉A .答案 D3.(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A.A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32B.A ∩B ＝∅C.A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32D.A ∪B ＝R解析 因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}.答案 A 4.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，7}，B ＝{x |x ＝log 2(a ＋1)，a ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A.{1，3}B.{5，6}C.{4，5，6}D.{4，5，6，7}解析 A ＝{1，3，7}，B ＝{x |x ＝log 2(a ＋1)，a ∈A }＝{1，2，3}，又U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，∴∁U A ＝{2，4，5，6}，∁U B ＝{4，5，6，7}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{4，5，6}.答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________.解析 集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素.答案 2考点一 集合的基本概念【例1】 (1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98C.0D.0或98解析 (1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1；当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.答案 (1)C (2)D规律方法 1.第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形.2.用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 (1)若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.1 B.3 C.7 D.31(2)设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A ，3∉A, 则实数a 的取值范围为________.解析 (1)具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. (2)由题意得⎩⎨⎧（2－a ）2<1，（3－a ）2≥1，解得⎩⎨⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4. 所以1<a ≤2.答案 (1)B (2)(1，2]考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A.A BB.B AC.A ⊆BD.B ＝A(2)(2018·郑州调研)已知集合A ＝{x |x 2－5x －14≤0}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________.解析 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}.因此B A .(2)A ＝{x |x 2－5x －14≤0}＝[－2，7].当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4].答案 (1)B (2)(－∞，4]规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2018·西安一模改编)已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( )A.M ＝NB.N MC.M ⊆ND.M ∩N ＝∅(2)若将本例(2)的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >7}，其它条件不变，则m 的取值范围是________.解析 (1)因为M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝ {－1，0}，于是N M .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1<2m －1，m ＋1≥7或⎩⎨⎧m ＋1<2m －1，2m －1≤－2.解之得m ≥6.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞).答案 (1)B (2)(－∞，2]∪[6，＋∞)考点三 集合的基本运算【例3】 (1)(2018·安徽江南十校联考)设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32x ≤1，则A ∩B ＝( )A.{1，2}B.{－1，2}C.{－2，－1，2}D.{－2，－1，0，2} (2)(2018·河南百校联盟联考)若集合A ＝{x |y ＝lg(3x －x 2)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1＋4x ＋1，x ∈A ，则A ∩(∁R B )等于( )A.(0，2]B.(2，3)C.(3，5)D.(－2，－1)解析 (1)易知A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <0或x ≥32，所以A ∩B ＝{－2，－1，2}. (2)由3x －x 2>0，得0<x <3，则A ＝(0，3)，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1＋4x ＋1，x ∈A ＝(2，5)， 则∁R B ＝(－∞，2]∪[5，＋∞)，故A ∩(∁R B )＝(0，2].答案 (1)C (2)A规律方法 1.看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；(2)集合中元素具有连续性时，常借助数轴的直观性进行集合运算，运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.【训练3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}.若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A.{1，－3}B.{1，0}C.{1，3}D.{1，5}(2)设集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A.[2，3]B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析(1)1是方程x2－4x＋m＝0的解，x＝1代入方程得m＝3，∴x2－4x＋3＝0的解为x＝1或x＝3，∴B＝{1，3}.(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁R Q＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}.答案(1)C(2)B基础巩固题组(建议用时：20分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝()A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}解析由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3<x<3}，又A＝{1，2，3}，因此A∩B＝{1，2}.答案 D2.(2017·天津卷)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{x∈R|－1≤x≤5}解析(A∪B)∩C＝{1，2，4，6}∩[－1，5]＝{1，2，4}，选B.答案 B3.(2018·广东省际名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝e x，x<ln 3}，则A∪B＝()A.(－1，3)B.(－1，0)C.(0，2)D.(2，3)解析因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{y|0<y<3}，所以A∪B＝(－1，3).答案 A4.(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A.A∩B＝{x|x<0}B.A∪B＝RC.A ∪B ＝{x |x >1}D.A ∩B ＝∅解析 A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}＝{x |x <0}，∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}. 答案 A5.(2018·广州质检)已知集合A ＝{x |2x 2－7x ＋3<0}，B ＝{x ∈Z |lg x <1}，则阴影部分所表示的集合的元素个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵A ＝{x |2x 2－7x ＋3<0}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，B ＝{x ∈Z |lg x <1}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴阴影部分表示的集合是A ∩B ＝{1，2}，有2个元素.答案 B6.(2018·江西百校联盟联考)已知集合A ＝{x |－5＋21x －4x 2<0}，B ＝{x ∈Z | －3<x <6}，则(∁R A )∩B 的元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6 解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >5或x <14，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪14≤x ≤5， ∵(∁R A )∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪14≤x ≤5，x ∈Z ＝{1，2，3，4，5}. 答案 C7.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则(∁R S )∩T ＝( )A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3)D.(0，＋∞)解析 易知S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S ＝(2，3)，因此(∁R S )∩T ＝(2，3).答案 C8.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析 由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴A ∩B ＝{(2，－1)}.由M ⊆(A ∩B )，知M ＝∅或M ＝{(2，－1)}.答案 C二、填空题9.(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________.解析 由A ∩B ＝{1}知，1∈B ，又a 2＋3≥3，则a ＝1.答案 110.集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.解析 由x (x ＋1)>0，得x <－1或x >0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1，0).答案 [－1，0)11.(2018·成都检测)已知集合A ＝{x |x 2－2 018x －2 019≤0}，B ＝{x |x <m ＋1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________.解析 由x 2－2 018x －2 019≤0，得A ＝[－1，2 019]，又B ＝{x |x <m ＋1}，且A ⊆B ，所以m ＋1>2 019，则m >2 018.答案 (2 018，＋∞)12.(2017·山东卷改编)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，全集U ＝R ，则∁U (A ∩B )＝________.解析 ∵4－x 2≥0，∴－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2].∵1－x ＞0，∴x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，因此A ∩B ＝[－2，1)，于是∁U (A ∩B )＝(－∞，－2)∪[1，＋∞).答案 (－∞，－2)∪[1，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2018·日照调研)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁U B＝[1，＋∞)，A∩(∁U B)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}.答案 B14.(2018·长沙模拟)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为()A.1B.2C.3D.1或2解析当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅.当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅.当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.答案 B15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种；(2)这三天售出的商品最少有________种.解析(1)如图1所示，第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16(种)；(2)如图2所示，这三天售出的商品最少有19＋13－3＝29(种).《创新设计》图书答案(1)16(2)2916.(2018·淮北模拟改编)已知集合U＝R，集合M＝{x|x＋2a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，若集合M∩(∁U N)＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为________.解析由log2(x－1)<1，得1<x<3，则N＝(1，3)，∴∁U N＝{x|x≤1或x≥3}.又M＝{x|x＋2a≥0}＝[－2a，＋∞)，M∩(∁U N)＝{x|x＝1或x≥3}，∴－2a＝1，解得a＝－1 2.答案－1 2。