北师大版八年级数学下第一章学案
(完整版)八年级数学下册第一章三角形证明复习导学案1(新版)北师大版
学习目标 第一章 三角形的证明 1、掌握等腰三角形、直角三角形的性质及其应用；2、进一步理解互逆命题之间的关系。
知识点一：等腰三角形的性质：等边对等角1、如图1所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，那么∠A等于()A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°知识点二：等腰三角形“三线合一〞2、在等腰△ABC 中，AB=AC,AD 是BC 边上的高，那么 BD=_________.3、如图2,在△ABC 中,∠BAC=108°，AB=AC,AD⊥B C,垂足为D,∠BAD=_________.知识点三：等腰三角形的判定：等角对等边4、如图3，在等腰梯形 ABCD 中，∠ABC＝2∠ACB，BD 平分∠ABC，AD∥图 12BC ，如下图，那么图中的等腰三角形有()A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5、一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为45°，顶角的度数自图3为________________.知识点四：直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半6、在Rt △ABC 中，∠A=30°，AB=6，BC=_____________.导7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm ，那么AB=_______________.学 知识点五：互逆命题8、全等三角形的面积相等,那么其逆命题是()A ．不全等三角形的面积不相等B ．面积不相等的两个三角形不全等C ．面积相等的两个三角形全等D ．全等三角形的面积相等 知识点六：直角三角形全等的判定定理：HL 9、如图,四边形ABCD 中,CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，AB=AD,求证:CD=CB.1.以下命题的逆命题不正确的选项是( )A.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方B.两直线平行，内错角相等C.等腰三角形的两个底角相等D. 对顶角相等2.如图，等腰三角形ABC，AB＝AC，假设以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，那么以下结论一定正确的选项是( )A．AE＝ECB．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE巩 3.某城市几条道路的位置关系如右以下图所示，AB∥CD，AE与AB固的夹角为48°，假设CF与EF的长度相等，那么∠C的度数为()A．48°B．40°C．30°D．24°作4.如图，0是∠BAC内一点，且点0到AB，AC的距离OE＝0F，那么业AE0≌△AF0的依据是5.在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长.6.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；假设B、C在DE的同侧〔如下图〕且AD=CE．求证：AB⊥AC.如图，M为△ABC边BC的中点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F．①当AB=AC时，求证：ME=MF②假设ME=MF，试判断AB与AC的大小关系，并证明你的结论．。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明全章教案
- AAS（角-角-边）全等定理
3.节：三角形的角平分线、中线、高线
-三角形角平分线的性质与判定
-三角形中线的性质与判定
-三角形高线的性质与判定
4.节：等腰三角形的性质与判定
-等腰三角形的底角相等
-等腰三角形的底边中线等于底边
-等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的SSS、SAS、ASA、AAS判定定理和等腰三角形的性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示全等三角形判定定理的基本原理。
北师大版八年级数学下容
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明全章教案：
1.节：三角形的性质与判定
-三角形的内角和定理
-三角形的两边之和大于第三边
-三角形的两边之差小于第三边
2.节：全等三角形的判定
- SSS（边-边-边）全等定理
- SAS（边-角-边）全等定理
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程较为顺利。但在成果展示环节，我发现部分学生表达不够清晰，逻辑推理能力有待提高。因此，在接下来的教学过程中，我将注重培养学生的表达能力和逻辑推理能力。
学生小组讨论环节，大家积极参与，气氛活跃。但在讨论过程中，我也发现了一些问题。例如，有些学生在讨论时容易偏离主题，讨论内容与三角形证明的实际应用关联性不强。针对这个问题，我将在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论内容紧扣主题。
(完整)新北师大版数学八年级下第一章三角形的证明导学案
第一章三角形的证明第一节等腰三角形〔一〕模块一预习反应〔 P2— P6〕一．知识点1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等〔AAS〕。
〔论证〕2、全等三角形的对应边相等, 对应角相等。
3、等腰三角形性质定理：〔等边对等角〕。
〔论证〕4、推论〔三线合一〕：。
〔论证〕5、等边三角形性质定理：。
〔论证〕论证要求〔画图、写出、求证、证明过程〕模块二根底训练1.如图，∠ D =∠C，∠ A =∠B，且 AE = BF。
求证： AD = BC。
DCAE F B2．如图，在△ ABC中， AB = AC，AD⊥AC∠ BAC = 100°。
A12求∠ 1、∠ 3、∠ B 的度数。
B 3C D3．如图，在△ ABC中， D为 AC上一点，并且 AB = AD，DB = DC，假设∠ C = 29 °，求∠ A。
ADB C模块三能力提升1．填空：〔1〕如图，在△ ABC中， AB = AC，点 D 在 AC上，且 BD = BC =AD。
请找出所有的等腰三角形。
A〔2〕等腰三角形的顶角为 50°，那么它的底角为。
〔3〕等腰三角形的一个角为 40°，那么另两个角为。
〔4〕等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
DB C2．如图，在△ ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB， DF⊥AC。
求证：∠ 1 = ∠2。
A1E F12BD C模块四：课下练习☆能力提升1.△ ABC中， AB＝ AC，∠ A＝ 50°， P 是△ ABC 内一点，且∠ PBC＝∠ ACP，求∠ BPC的度数_________ ．2．：如图，在△ ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ ABC的角平分线.求证：BD＝CE.AE D12B C3．如图， A、B、F、D 在同一直线上， AB=DF， AE=BC，且 AE∥ BC.求证：⑴△ AEF≌△ BCD，⑵ EF∥CD.E CA B F D第一节等腰三角形〔二〕模块一预习反应〔 P5 例 1—P9〕一．知识点1、等腰三角形两个底角的平分线相等；2、等腰三角形腰上的高相等；3、等腰三角形腰上的中线相等；24、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等；〔以上定理画图、写出、求证、证明过程〕5．等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60 。
新北师大版八年级下第一章三角形的证明全章学案
新北师大版八年级下第一章三角形的证明全章学案work Information Technology Company.2020YEAR新北师大版八年级下第一章三角形的证明学案 §1.1 等腰三角形（1） 1．列举我们已知道的公理：（1）公理：同位角 ，两直线平行。
（2）公理：两直线 ，同位角 。
（3）公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ） （4） 公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ） （5）公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ） （6）公理：全等三角形的对应边 ，对应角 。
2．什么叫做等腰三角形？ 三角形全等的判定判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？推论: （简写为 AAS ） 等腰三角形的性质定理等腰三角形性质：等腰三角形的两个 相等（简称：等 对等 ） 探索一：已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，AC=DF 求证: △ABC ≌△DEF 证明:探索二：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B ＝∠C探索三：在上图中，若取BC 的中点D ，并连接AD ，那么线段AD 是BC 边上的中线外还具有怎样的性质为什么由此你能得到什么结论推论: 简述为 三线合一FCC归纳：1、在等腰△ABC 中，若AD 是∠A 的平分线，则2、在等腰△ABC 中，若AD 是BC 边上的高，则3、在等腰△ABC 中，若AD 是BC 边上的中线，则知识反馈：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC 和∠ACB 的角平分线BD 、CE 相交于点O ，求证：∠OBC ＝∠OCB§1.1等腰三角形（2）等腰三角形两底角的平分线 ②等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是 三角形 探索一：等腰三角形两底角的平分线相等吗？1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线求证：BD ＝CE 。
2、求证：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？探索二：我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗由此得到什么结论A BC EDO证明：等腰三角形判定定理:有两个 相等的三角形是等腰三角形（简称：等 对等 ）已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C ，证明:AB ＝AC ，四、知识反馈1、已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD//BC,且∠1=∠2 求证：AB=AC2、如图，DE ∥BC ，CG =GB ，∠1=∠2，求证：△DGE 是等腰三角形.§1.1 等腰三角形（3） 等边三角形的判定定理有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形 ② 300角所对的直角边与斜边关系定理在直角三角形中，如果一个锐角是300，那么它所对的直角边等于ABC探索一：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形探索二：含300角的直角三角形的性质 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，求证：BC=1/2AB定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30o , 那么 知识反馈1、 证明:三个角都相等的三角形是等边三角形2、直角三角形的一个角等于30o , 斜边长为4, 用四个这样的直角三角形拼成如图所示,求正方形EFGH 的边长.3．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A=60°.求证：BD=3AD （1）（2）B C ABCAD图 1-7C§1.2 直角三角形（1）1、勾股定理的内容是：_______________ ___它的条件是：______________________________ 结论是：__________________________________2、每个命题都是由 ， 两部分组成。
新北师大版八年级下第一章三角形的证明全章学案
新北师大版八年级下第一章三角形的证明学案 § 等腰三角形（1） 1．列举我们已知道的公理：（1）公理：同位角 ，两直线平行。
（2）公理：两直线 ，同位角 。
（3）公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ） （4） 公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ） （5）公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ） （6）公理：全等三角形的对应边 ，对应角 。
2．什么叫做等腰三角形 三角形全等的判定判定一般的三角形全等还有一种方法是什么推论: （简写为 AAS ） 等腰三角形的性质定理等腰三角形性质：等腰三角形的两个 相等（简称：等 对等 ） 探索一：已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，AC=DF 求证: △ABC ≌△DEF证明:探索二：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B ＝∠C探索三：在上图中，若取BC 的中点D ，并连接AD ，那么线段AD 是BC 边上的中线外还具有怎样的性质为什么由此你能得到什么结论推论:简述为 三线合一归纳：1、在等腰△ABC 中，若AD 是∠A 的平分线，则2、在等腰△ABC 中，若AD 是BC 边上的高，则3、在等腰△ABC 中，若AD 是BC 边上的中线，则知识反馈：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC 和∠ACB 的角平分线BD 、CE 相交于点O ，求证：∠OBC ＝∠OCBFCC DA§等腰三角形（2）等腰三角形两底角的平分线②等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是 三角形 探索一：等腰三角形两底角的平分线相等吗1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线 求证：BD ＝CE 。
2、求证：等腰三角形两条腰上的中线相等吗探索二：我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗由此得到什么结论 证明：等腰三角形判定定理: 有两个 相等的三角形是等腰三角形（简称：等 对等 ）已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C ，证明:AB ＝AC ，四、知识反馈1、已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD§ 等腰三角形（3） 等边三角形的判定定理有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形 ② 300角所对的直角边与斜边关系定理在直角三角形中，如果一个锐角是300，那么它所对的直角边等于 探索一：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 A E D B C1 2A B C探索二：含300角的直角三角形的性质如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°， 求证：BC=1/2AB定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30o , 那么 知识反馈1、 证明:三个角都相等的三角形是等边三角形2、直角三角形的一个角等于30o , 斜边长为4, 用四个这样的直角三角形拼成如图所示,求正方形EFGH 的边长.3．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A=60°.求证：BD=3AD§ 直角三角形（1）1、勾股定理的内容是：_______________ ___它的条件是：______________________________ 结论是：__________________________________2、每个命题都是由 ， 两部分组成。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明(教案)
(3)在讲解三角形面积计算方法时，教师要引导学生掌握面积公式，并通过实际例题让学生学会应用。
2.教学难点
-理解和运用全等三角形的判定方法，特别是AAS和HL的判定方法，学生容易混淆。
-灵活运用勾股定理解决实际问题，尤其是非直角三角形的斜边长度计算。
1.教学重点
-全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。这是本节课的核心内容，要求学生熟练掌握并能灵活运用。
-勾股定理及其逆定理的应用：解决实际问题，如计算三角形边长、判断三角形类型等。
-三角形面积的计算方法：掌握面积公式，并能应用于解决实际问题。
举例解释：
(1)在讲解全等三角形的判定方法时，教师要通过生动的例子和图形展示，使学生理解各个判定方法的应用场景，如SSS判定法适用于已知三边相等的情况，SAS判定法适用于两边和夹角相等的情况。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定方法和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等三角形证明的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂教学过程中，我发现学生们对全等三角形的判定方法和勾股定理的应用掌握程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量用生动的语言和形象的例子来解释这些概念，但显然，对于一些学生来说，这些知识点仍然具有一定的难度。
在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们参与度很高，积极发表自己的观点，这让我很欣慰。但同时，我也注意到有些学生在讨论过程中容易偏离主题，这需要我在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论的有效性。
北师大版初中数学八年级下册全册教案-第一章
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。
能够根据具体的事例列出不等关系式。
二、教学过程：如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？（4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。
在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）²。
（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是（L/4）²≤25，即L²/16≤25。
（2）要使原的面积大于100㎝²，就是π（L/2π）²＞100即L²/4π＞100。
（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为8²/4π≈5.1，4＜5.1此时圆的面积大。
当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为12²/4π≈11.5，9＜11.5，此时还是圆的面积大。
教师得出结论（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即L²/4π＞L²/16。
三、随堂练习1、试举几个用不等式表示的例子。
2、用适当的符号表示下列关系 （1）a 是非负数；（2）直角三角形斜边c 比她的两直角边a ，b 都长； （3）x 于17的和比它的5倍小。
1.2 不等式的基本性质一、教学目标（1）探索并掌握不等式的基本性质； （2）理解不等式与等式性质的联系与区别. 二、教学内容我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 1.不等式基本性质的推导例∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 例：3＜4 3×3＜4×3 3×31＜4×313×（－3）＞4×（－3） 3×（－31）＞4×（－31） 3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. 三、课堂练习1.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式. （1）x －1＞2 （2）－x ＜65 解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x ＞3 （2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x ＞－652.已知x ＞y ,下列不等式一定成立吗？ （1）x －6＜y －6; （2）3x ＜3y ; （3）－2x ＜－2y .解：（1）∵x ＞y ,∴x －6＞y －6. ∴不等式不成立； （2）∵x ＞y ,∴3x ＞3y ∴不等式不成立； （3）∵x ＞y ,∴－2x ＜－2y ∴不等式一定成立.4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －2＜3;（2）6x ＜5x －1; （3）21x ＞5;（4）－4x ＞3. 5.设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空. （1）a －3 b －3;（2）2a 2b ; （3）－4a －4b ;（4）5a 5b ; （5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0; （7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0. 参考答案：4.（1）x ＜5;（2）x ＜－1;（3）x ＞10;（4）x ＜－43. 5（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.1.3 不等式的解集一、教学目标1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.3.会在数轴上表示不等式的解集. 二、教学过程1.现实生活中的不等式.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s ，人离开的速度为4 m/s ，那么导火线的长度应为多少厘米？分析：人转移到安全区域需要的时间最少为410秒，导火线燃烧的时间为10002.0⨯x 秒，要使人转移到安全地带，必须有：10002.0⨯x ＞410.解：设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得10002.0⨯x ＞410∴x ＞5. 2.想一想（1）x =5,6,8能使不等式x ＞5成立吗？（2）你还能找出一些使不等式x ＞5成立的x 的值吗？ 答：（1）x =5不能使x ＞5成立，x =6,8能使不等式x ＞5成立. （2）x =9,10,11…等比5大的数都能使不等式x ＞5成立. 3.例题讲解根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来. （1）x －2≥－4;（2）2x ≤8 （3）－2x －2＞－10解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x ≥－2 在数轴上表示为：（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x ≤4 在数轴上表示为：（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x ＞－8 根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x ＜4 在数轴上表示为：三、课堂练习1.判断正误：（1）不等式x －1＞0有无数个解； （2）不等式2x －3≤0的解集为x ≥32. 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x ＞4;（2）x ≤－1; （3）x ≥－2;（4）x ≤6. 1.解：（1）∵x －1＞0,∴x ＞1 ∴x －1＞0有无数个解.∴正确. （2）∵2x －3≤0,∴2x ≤3, ∴x ≤23,∴结论错误. 2.解：1.4 一元一次不等式一、教学目标1.知道什么是一元一次不等式？2.会解一元一次不等式. 二、一元一次不等式的定义.下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）2x －2.5≥15;（2）5+3x ＞240;（3）x ＜－4;（4）x1＞1. 答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是. （4）为什么不是呢？ 因为x 在分母中，x1不是整式. 不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown ）.2.一元一次不等式的解法.例1 解不等式3－x ＜2x +6，并把它的解集表示在数轴上.［分析］要化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，首先要把不等式两边的x 或常数项转移到同一侧，变成“ax ＞b ”或“ax ＜b ”的形式，再根据不等式的基本性质求得.解：两边都加上x ，得 3－x +x ＜2x +6+x 合并同类项，得 3＜3x +6两边都加上－6,得 3－6＜3x +6－6 合并同类项，得 －3＜3x两边都除以3，得－1＜x 即x ＞－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式. ［例2］解不等式22-x ≥37x-，并把它的解集在数轴上表示出来. ［生］解：去分母，得3（x －2）≥2（7－x ） 去括号，得3x －6≥14－2x 移项，合并同类项，得5x ≥20 两边都除以5，得x ≥4.这个不等式的解集在数轴上表示如下：三、课堂练习解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）5x ＞－10;（2）－3x +12≤0;（3）21-x ＜354-x ; （4）27+x －1＜223+x .解：（1）两边同时除以5，得x ＞－2. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：（2）移项，得－3x ≤－12, 两边都除以－3，得x ≥4,这个不等式的解集在数轴上表示为：（3）去分母，得3（x －1）＜2（4x －5）, 去括号，得3x －3＜8x －10, 移项、合并同类项，得5x ＞7, 两边都除以5，得x ＞57, 不等式的解集在数轴上表示为：（4）去分母，得x +7－2＜3x +2, 移项、合并同类项，得2x ＞3, 两边都除以2，得x ＞23, 不等式的解集在数轴上表示如下：1.5 一元一次不等式与一次函数一、教学目标1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较. 二、教学过程1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.作出函数y =2x －5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x 取哪些值时，2x －5=0? （2）x 取哪些值时，2x －5＞0? （3）x 取哪些值时，2x －5＜0? （4）x 取哪些值时，2x －5＞3?（1）当y =0时，2x －5=0,∴x =25, ∴当x =25时，2x －5=0.（2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件，当y =0时，则有2x －5=0,解得x =25.当x ＞25时，由y =2x －5可知 y ＞0.因此当x ＞25时，2x －5＞0; （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0;（4）要使2x －5＞3,也就是y =2x －5中的y 大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （4，3），则当x ＞4时，有2x －5＞3.3.试一试如果y =－2x －5,那么当x 取何值时，y ＞0? 首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0,得x =－2.5,所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0. 三、课堂练习1.已知y 1=－x +3,y 2=3x －4,当x 取何值时，y 1＞y 2？你是怎样做的？与同伴交流. 解：如图1－24所示：当x 取小于47的值时，有y 1＞y 2. 2.作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题： （1）x 取何值时，2x －4＞0？ （2）x 取何值时，－2x +8＞0?（3）x 取何值时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立？（4）你能求出函数y 1=2x －4，y 2=－2x +8的图象与x 轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.解：图象如下：分析：要使2x －4＞0成立，就是y 1=2x －4的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x +8＞0成立的x ，即为函数y 2=－2x +8的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x ，根据函数图象与x 轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.［解］（1）当x ＞2时，2x －4＞0; （2）当x ＜4时，－2x +8＞0;（3）当2＜x ＜4时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立. （4）由2x －4=0,得x =2; 由－2x +8=0,得x =4 所以AB =4－2=2由⎩⎨⎧+-=-=8242x y x y得交点C （3，2）所以三角形ABC 中AB 边上的高为2. 所以S =21×2×2=2. 3.分别解不等式 5x －1＞3（x +1）,21x －1＜7－23x 所得的两个解集的公共部分是什么？ 解：解不等式5x －1＞3（x +1）,得x ＞2 解不等式21x －1＜7－23x ，得x ＜4, 所以两个解集的公共部分是2＜x ＜4.4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？解：设商场计划投入资金为x 元，在月初出售，到月末共获利y 1元；在月末一次性出售获利y 2元，根据题意，得y 1=15%x +（x +15%x ）·10%=0.265x , y 2=30%x －700=0.3x －700.（1）当y 1＞y 2,即0.265x ＞0.3x －700时，x ＜20000; （2）当y 1=y 2,即0.265x =0.3x －700时，x =20000; （3）当y 1＜y 2，即0.265x ＜0.3x －700时，x ＞20000.所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y （微克），随着时间x （小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.（1）分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？解：（1）当x ≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y 1=k 1x ,把（2，6）代入得，k 1=3∴y 1=3x .当x ≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.设y 2=k 2x +b ,则有⎩⎨⎧=+=+3106222b k b k 得k 2=－83,b =427 ∴y 2=－83x +427 （2）过y 轴上的4点作平行于x 轴的一条直线，于y 1,y 2的图象交于两点，过这两点向x 轴作垂线,对应x 轴上的34和322，即在322－34=6小时间是有效的.1.6 一元一次不等式组一、教学目标总结解一元一次不等式组的步骤及情形.二、教学过程某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。
北师大版数学八年级下册第1章第1节等腰三角形(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解等腰三角形的基本概念。等腰三角形是指两边长度相等的三角形。它是几何图形中非常重要的一种，具有独特的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了等腰三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等腰三角形的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如等腰三角形的判定和应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形的基本概念、重要性质和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对等腰三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完等腰三角形这节课后，我对整个教学过程进行了反思。首先，我发现同学们在理解等腰三角形的定义和性质方面普遍掌握得不错，他们能够通过具体的例子来理解等腰三角形的特性。然而，我也注意到在应用等腰三角形的性质解决实际问题时，部分同学还显得有些吃力。
3.提高学生的口头表达和逻辑思维能力，使他们能够更好地分享自己的观点和成果。
4.课后布置有针对性的作业，巩固所学知识。
2.教学难点
-理解等腰三角形的性质与证明：学生需要通过逻辑推理和几何证明来理解等腰三角形性质的本质，这对部分学情境下，灵活运用判定方法识别等腰三角形。
-等腰三角形特殊线段的性质应用：如何将高、中线、角平分线的性质应用于解题，是学生需要突破的难点。
-解决实际问题时等腰三角形的运用：将等腰三角形的性质和计算方法应用于解决复杂的实际问题，是学生学习的难点。
举例解释：
-在讲解性质证明时，教师需要引导学生通过画图和逻辑推理来完成，如使用SSS全等定理证明等腰三角形的底角相等。
八年级数学下册第一章三角形的证明111等腰三角形学案北师大版
AB D E C1.1 等腰三角形第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质学习 目标 1.通过证明“AAS ”掌握证明定理的基本步骤；2.证明等腰三角形的性质定理并会定理解简单的图形问题。
3.培养发展推理能力重点难点 等腰三角形性质定理的推理，及定理的灵活运用学 习 过 程交 流 预 习 1、 请你用自己的语言说一说证明的基本步骤。
2、 列举我们已知道的公理①公理：同位角，两直线平行。
②公理：两直线，同位角。
③公理：的两个三角形全等。
（简称，字母表示）④公理：的两个三角形全等。
（简称，字母表示）⑤公理：的两个三角形全等。
（简称，字母表示）⑥公理：全等三角形的对应边，对应角。
注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。
3、预习检测：已知如图，△ABC 中AB ＝AC ，点D 、E 在BC 上且AD=AE ，求证：BD=CE合作探究 探究展示1：三角形全等的判定1、 判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？推论:（简写为）你能证明吗？已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF ，求证：△ABC ≌△DEF探究展示2：等腰三角形的性质定理1、等腰三角形性质：等腰三角形的两个相等（简称：等对等）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B ＝∠C证明一：取BC 的中点D ，连接AD想一想：线段AD 还具有怎样的性质？为什么？A B F DE C 图3任务清单 1、在△ABC 和△DEF 中，以下四个命题中假命题是（ ）A 、由AB=DE ，BC=EF ，∠B=∠E ，可判断△ABC ≌△DEF ；B 、由∠A=∠D ，∠C=∠F ，AC=DF ，可判断△ABC ≌△DEF ；C 、由AB=DE ，AC=DF ，BC=EF ，可判断△ABC ≌△DEF ；D 、由∠A=∠D ，∠B=∠E ，AC=EF ，可判断△ABC ≌△DEF 。
2、下列各组几何图形中，一定全等的是（）A 、各有一个角是550的两个等腰三角形；B 、两个等边三角形；C 、腰长相等的两个等腰直角三角形；D 、各有一个角是500，腰长都为6cm 的两个等腰三角形.3、如图，已知：AB ∥CD ，AB=CD ，若要使△ABE ≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE ≌△CDF 的是（ ）A 、∠A=∠B ; B 、BF=CE;C 、AE ∥DF;D 、AE=DF.4、若等腰三角形中有一个角等于50°，则等腰三角形的顶角度数为。
最新北师大版八年级数学下册第一章《不等式及不等式组》学案
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6. 已知 a＜ b, 用“＜”或“＞”号填空：
①a-3 b-3
② 6a 6b
③-a -b
④a-b 0
7. 下列说法正确的是（ ）
（A）不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；
（B）不等式两边都乘以同一个不为零的数，不等号的方向不变；
（C）不等式两边都乘以同一个非负数，不等号的方向不变；
②一共 25 道题 , 答对 x 道题，答错和不答 ______道题 , 要扣 _____分;
③这道题的不等关系是 : 小明的总得分 ____85 分 . 解：设小明答对了 x 道题 , 则他答错和不答的共有 _______道题 . 根据题意 , 得:
___________________________ 解这个不等式得 :______________ 所以小明至少答对了 _______道题 . 由于共有 _______道竞赛题 , 因而他可能答 对了 __________________________道题 .
及购买这两种原料的价格如下表：
C 含量
维生素 C 含量（单位 / 千克）
甲种原料 600
乙种原料 100
原料价格（元 / 千克）
8
4
现配制这种饮料 10kg，要求至少含有 4200 单位的维生素 C，若所需甲种原料
的质量为 xkg，则 x 应满足的不等式为（ ）
A、 600x 100(10 x) 4200 B、 8x 4(100 x) 4200
2. 什么是解不等式？解不等式就是把不等式化为什么样的形式？依据是什 么？
3. 完成 P12随堂练习 1 和习题 1.3 的第 1 题 交流评价： 把自己完成的内容和想法与同学相互交流、讨论。 自主探究 2：阅读教材 P11，独立完成下列问题，若有疑问，在交流评价时解 决。 1. 如何在数轴上表示不等式的解集？
北师版八年级数学下册学案-第一章复习
1第一章 三角形的证明【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：本章知识的综合性应用。
【学习过程】1、等腰三角形的性质：（边） ；（角） ；“三线合一”的内容 。
2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 。
3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。
4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。
5、线段垂直平分线的性质定理： 。
逆定理： 。
三角形的垂直平分线性质： 。
6、角的性质定理： 。
逆定理： 。
三角形的角平分线性质： 。
7、三角形全等的判定方法有： 。
8、30°锐角的直角三角形的性质： 。
9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。
（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。
1、填空：（1）△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB= 。
（2）直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是 。
（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形。
北师大版八年级数学下册第一章回顾与思考导学案1
学习流程：
专题一
1.小组独学15分钟
2.对学5分钟
3.展示
20分钟
专题二
1.,独学15分钟
2.对学5分钟
3.展示
20分钟
学习反思:
课题:第一章回顾与思考(一)
学习目标掌握不等式的基本性质，Байду номын сангаас解一元一次不等式（组）
专题一不等式的基本性质解不等式（组）
一、练习、
1、已知a＜b，用“＜”或“＞”填空
二、解不等式（组）
（1） （2）
3、解下列不等式组
（1） （2）
（3） （4）
2、求不等式 的非负整数解
（3） （4）
(1) a－3b－3；(2)6a6b；
(3) －a－b；(4) a－b0；2aa+b
2.不等式7+5x〈24 的正整数解的个数是（ ）A.1个 B.3个 C.无数个 D.4个
3、已知 ，如果 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、当x时，能使x+4＞0和2x+1>0同时成立
5、关于x的方程 的解是正数，那么 的取值范围：__________
北师大版(新课标)八年级数学下册教案(第一章)
第一章三角形的证明1.等腰三角形（一）一、学生知识状况分析在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。
二、教学任务分析本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；3．情感与价值目标启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．教学重、难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
三、教学过程分析学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；教师课前准备：制作好的几何画板课件.本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾旧知导出公理；第二环节：折纸活动探索新知；第三环节：明晰结论和证明过程；第四环节：随堂练习巩固新知；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节：回顾旧知导出公理活动内容：提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。
北师大版初中数学八年级下册全册教案-第一章
北师大版初中数学八年级下册全册教案-第一章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。
能够根据具体的事例列出不等关系式。
二、教学过程：如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？（4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。
在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）²。
（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是（L/4）²≤25，即L²/16≤25。
（2）要使原的面积大于100㎝²，就是π（L/2π）²＞100即 L²/4π＞100。
（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为8²/4π≈5.1，4＜5.1此时圆的面积大。
当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为12²/4π≈11.5，9＜11.5，此时还是圆的面积大。
教师得出结论（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即L²/4π＞L²/16。
三、随堂练习1、试举几个用不等式表示的例子。
2、用适当的符号表示下列关系（1）a是非负数；（2）直角三角形斜边c比她的两直角边a，b都长；（3）x于17的和比它的5倍小。
1.2 不等式的基本性质一、教学目标（1）探索并掌握不等式的基本性质；（2）理解不等式与等式性质的联系与区别. 二、教学内容我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 1.不等式基本性质的推导例∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 例：3＜4 3×3＜4×3 3×31＜4×31 3×（－3）＞4×（－3） 3×（－31）＞4×（－31） 3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. 三、课堂练习1.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式. （1）x －1＞2 （2）－x ＜65解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x ＞3 （2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x ＞－65 2.已知x ＞y ,下列不等式一定成立吗？（1）x －6＜y －6; （2）3x ＜3y ; （3）－2x ＜－2y .解：（1）∵x ＞y ,∴x －6＞y －6. ∴不等式不成立；（2）∵x ＞y ,∴3x ＞3y ∴不等式不成立； （3）∵x ＞y ,∴－2x ＜－2y ∴不等式一定成立.4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －2＜3;（2）6x ＜5x －1; （3）21x ＞5;（4）－4x ＞3. 5.设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空. （1）a －3 b －3;（2）2a 2b ; （3）－4a －4b ;（4）5a 5b ; （5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0; （7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0. 参考答案：4.（1）x ＜5;（2）x ＜－1;（3）x ＞10;（4）x ＜－43. 5（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.1.3 不等式的解集一、教学目标1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.3.会在数轴上表示不等式的解集. 二、教学过程1.现实生活中的不等式.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s ，人离开的速度为4 m/s ，那么导火线的长度应为多少厘米？分析：人转移到安全区域需要的时间最少为410秒，导火线燃烧的时间为10002.0⨯x 秒，要使人转移到安全地带，必须有：10002.0⨯x ＞410.解：设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得10002.0 x ＞410∴x ＞5. 2.想一想（1）x =5,6,8能使不等式x ＞5成立吗？（2）你还能找出一些使不等式x ＞5成立的x 的值吗？答：（1）x =5不能使x ＞5成立，x =6,8能使不等式x ＞5成立. （2）x =9,10,11…等比5大的数都能使不等式x ＞5成立. 3.例题讲解根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来. （1）x －2≥－4;（2）2x ≤8 （3）－2x －2＞－10解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x ≥－2 在数轴上表示为：（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x ≤4 在数轴上表示为：（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x ＞－8 根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x ＜4 在数轴上表示为：三、课堂练习1.判断正误：（1）不等式x －1＞0有无数个解； （2）不等式2x －3≤0的解集为x ≥32. 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x ＞4;（2）x ≤－1; （3）x ≥－2;（4）x ≤6. 1.解：（1）∵x －1＞0,∴x ＞1∴x －1＞0有无数个解.∴正确. （2）∵2x －3≤0,∴2x ≤3, ∴x ≤23,∴结论错误. 2.解：1.4 一元一次不等式一、教学目标1.知道什么是一元一次不等式？2.会解一元一次不等式. 二、一元一次不等式的定义.下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）2x －2.5≥15;（2）5+3x ＞240; （3）x ＜－4;（4）x1＞1. 答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是. （4）为什么不是呢？ 因为x 在分母中，x1不是整式. 不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown ）.2.一元一次不等式的解法.例1 解不等式3－x ＜2x +6，并把它的解集表示在数轴上.［分析］要化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式，首先要把不等式两边的x 或常数项转移到同一侧，变成“ax ＞b ”或“ax ＜b ”的形式，再根据不等式的基本性质求得.解：两边都加上x ，得 3－x +x ＜2x +6+x 合并同类项，得 3＜3x +6两边都加上－6,得 3－6＜3x +6－6 合并同类项，得 －3＜3x两边都除以3，得－1＜x 即x ＞－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式. ［例2］解不等式22-x ≥37x-，并把它的解集在数轴上表示出来. ［生］解：去分母，得3（x －2）≥2（7－x ） 去括号，得3x －6≥14－2x 移项，合并同类项，得5x ≥20 两边都除以5，得x ≥4.这个不等式的解集在数轴上表示如下：三、课堂练习解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）5x ＞－10;（2）－3x +12≤0;（3）21-x ＜354-x ; （4）27+x －1＜223+x .解：（1）两边同时除以5，得x ＞－2. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：（2）移项，得－3x ≤－12,两边都除以－3，得x ≥4,这个不等式的解集在数轴上表示为：（3）去分母，得3（x －1）＜2（4x －5）, 去括号，得3x －3＜8x －10, 移项、合并同类项，得5x ＞7, 两边都除以5，得x ＞57, 不等式的解集在数轴上表示为：（4）去分母，得x +7－2＜3x +2, 移项、合并同类项，得2x ＞3, 两边都除以2，得x ＞23, 不等式的解集在数轴上表示如下：1.5 一元一次不等式与一次函数一、教学目标1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较. 二、教学过程1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.作出函数y =2x －5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x 取哪些值时，2x －5=0?（2）x 取哪些值时，2x －5＞0?（3）x 取哪些值时，2x －5＜0?（4）x 取哪些值时，2x －5＞3?（1）当y =0时，2x －5=0,∴x =25, ∴当x =25时，2x －5=0.（2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件，当y =0时，则有2x －5=0,解得x =25.当x ＞25时，由y =2x －5可知 y ＞0.因此当x ＞25时，2x －5＞0; （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0;（4）要使2x －5＞3,也就是y =2x －5中的y 大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （4，3），则当x ＞4时，有2x －5＞3.3.试一试如果y =－2x －5,那么当x 取何值时，y ＞0?首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0,得x =－2.5,所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0.三、课堂练习1.已知y 1=－x +3,y 2=3x －4,当x 取何值时，y 1＞y 2你是怎样做的与同伴交流.解：如图1－24所示：当x 取小于47的值时，有y 1＞y 2. 2.作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x 取何值时，2x －4＞0？（2）x 取何值时，－2x +8＞0?（3）x 取何值时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立？（4）你能求出函数y 1=2x －4，y 2=－2x +8的图象与x 轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.解：图象如下：分析：要使2x －4＞0成立，就是y 1=2x －4的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x +8＞0成立的x ，即为函数y 2=－2x +8的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x ，根据函数图象与x 轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.［解］（1）当x ＞2时，2x －4＞0;（2）当x ＜4时，－2x +8＞0;（3）当2＜x ＜4时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立.（4）由2x －4=0,得x =2;由－2x +8=0,得x =4所以AB =4－2=2由⎩⎨⎧+-=-=8242x y x y 得交点C （3，2）所以三角形ABC 中AB 边上的高为2.所以S =21×2×2=2. 3.分别解不等式5x －1＞3（x +1）,21x －1＜7－23x 所得的两个解集的公共部分是什么？解：解不等式5x －1＞3（x +1）,得x ＞2 解不等式21x －1＜7－23 x ，得x ＜4, 所以两个解集的公共部分是2＜x ＜4.4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？解：设商场计划投入资金为x 元，在月初出售，到月末共获利y 1元；在月末一次性出售获利y 2元，根据题意，得y 1=15%x +（x +15%x ）·10%=0.265x ,y 2=30%x －700=0.3x －700.（1）当y 1＞y 2,即0.265x ＞0.3x －700时，x ＜20000;（2）当y 1=y 2,即0.265x =0.3x －700时，x =20000;（3）当y 1＜y 2，即0.265x ＜0.3x －700时，x ＞20000.所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y （微克），随着时间x （小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.（1）分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？解：（1）当x ≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y 1=k 1x ,把（2，6）代入得，k 1=3∴y 1=3x .当x ≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.设y 2=k 2x +b ,则有⎩⎨⎧=+=+3106222b k b k 得k 2=－83,b =427 ∴y 2=－83x +427 （2）过y 轴上的4点作平行于x 轴的一条直线，于y 1,y 2的图象交于两点，过这两点向x 轴作垂线,对应x 轴上的34和322，即在322－34=6小时间是有效的.1.6 一元一次不等式组一、教学目标总结解一元一次不等式组的步骤及情形.二、教学过程某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。
八年级数学下册第一章三角形的证明 全章学案 新版北师大版
等边三角形的判定学习目标：1．掌握等边三角形的定义2．理解等边三角形的性质与判定定理3．通过对等边三角形的判定定理的探索让学生体会探究学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的应用，加深对定理的理解.学习重点：等边三角形的性质与判定定理.学习难点：等边三角形的性质的应用.学法建议：要用类比的方法学习等边三角形的性质和判定（类比等腰三角形的学习方法，从边、角、对称性研究）.学习过程：经过应用等边三角形的性质与判定的过程培养学生分析问题、解决问题的能力.通过学习了解等边三角形的对称美，增强对学生数学的热爱.【活动一】自主学习:1．在等腰三角形中，如果底边等于腰长，这个三角形是个什么三角形？你能给这种三角形下一个定义吗？等边三角形的定义：2．等边三角形有哪些性质？边的关系角的关系对称性其对称轴是，有条3.等边三角形一定是等腰三角形吗？答：反之等腰三角形一定等边三角形吗？答：有一个角是60°的等腰三角形是是等边三角形吗？答：归纳总结：等边三角形的判定方法有：（1）（2）(3)【活动二】考考你：在△ABC中，若∠A=∠B=∠C,你能得到AB=BC=AC吗？写出证明过程AB C2.如图，△ABC中是等边三角形，DE∥BC,交AB,AC于D,E.求证：△ADE是等边三角形.AD EB【活动三】巩固检测1.等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC等于（）A.60°B. 90°C. 120°D. 150°2.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形. 其中是等边三角形的是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④【活动四】变式训练：1..如图原来是一个等腰三角形△ABC ，其中AB=AC ，现在破损只剩下一条完整的边BC 和一个∠B ，你能帮助回复原样吗？2.如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°,图中有那些线段与BD 相等的?【活动五】小结反思本节所学知识：等边三角形的性质和判定方法. 判定一个三角形是等边三角形的方法： 用等边三角形的定义去判定 用等边三角形的判定定理去判定方法归纳：判定一个三角形是等边三角形，首先要判定它是一个等腰三角形，再判定它有一个角是.60°或另一边也等于腰.作业布置：ACFED等边三角形的性质等边三角形导学案五、课堂小测（约5分钟）1.等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？解：（1）（2）（3）2.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD相等的线段？答：等腰三角形的性质学习目标：1. 知道等腰三角形的有关概念，会画等腰三角形，能利用等腰三角形的性质进行有关的计算和证明.2 . 经历等腰三角形学习过程，积累数学活动经验，体会数学的基本思想.3．学会从数学角度发现问题和提出问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体会解决问题的多样性. 学习过程 一 .学习准备1.已知等腰三角形的一边等于6cm ，另一边等于8cm ，则此三角形的周长为 .2．等腰三角形中，一个角是40°，那么它的顶角度数为 . 3．等腰三角形腰为5cm ，底边为6 cm ，面积是 . 4．证明:等腰三角形两底角相等.（用规范的格式证明）（通过上面的练习，说一说等腰三角形有那些性质） 二．学习探究 活动一（1）如图1在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 点为底边的中点，PD+PE= .E CA BF（2）如图2在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，你认为PD+PE是定值吗？说明理由.（3）如图3在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，过C点做腰AB 上的高CF，你能发现PD，PE和CF存在什么数量关系，提出你的猜想并证明.（4）如图4，若P点在BC的延长线上，那么PD，PE和CF的数量关系又有何变化？写出你的猜想并证明.活动二如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB= 110°,∠BOC=α，将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD探究：当α为多少度时，△AOD△是等腰三角形？活动三在边长为3.4.5的直角三角形周围拼接一个直角三角形,使它们拼成一个等腰三角形,请画出图形并写出你拼成的等腰三角形的周长.3备用图AB CDO110三．学习反思通过今天的学习，你认为等腰三角形中常用的辅助线是什么？常用的数学方法是什么？四．学习评价1．已知等腰三角形的一边等于6cm，另一边等于8cm，则此等腰三角形底角的余弦值为 .2已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A.C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（思考：若去掉腰长为5的条件情况又如何）3．已知等腰三角形一边长为20 , 且面积为120,求等腰三角形的周长.直角三角形的性质和判定教学目标1.进一步掌握直角三角形的性质定理：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；2.探讨上述定理的逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°；3.能利用直角三角形的性质解决一些实际问题.教学重点与难点重点：直角三角形的性质。
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第一节不等关系本节知识点：1.理解不等式的意义.2.能根据条件列出不等式.知识点1通过实例体会生活中存在的大量的不等关系[例题1]如图1－1，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.图1－1（1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？（4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试.分析:一个是正方形和圆的面积计算公式_______________另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意_____________（1）因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为______，得面积为__________，要使正方形的面积不大于25 cm2，就是___________________（2）因为圆的周长为l，所以圆的半径为_________________要使圆的面积不小于100 cm2，就是_______________________（3）当l=8时，正方形的面积为_________________圆的面积为_____________________∴______的面积大当l=12时，正方形的面积为_________圆的面积为__________≈______（cm2）此时_____的面积大.(4) （4）我们可以猜想，用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即________________因为分子都是____相等、分母_____＜______，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有______＞_______..一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式..[针对性训练1]通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约为3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m？（只列关系式）.知识点2常见的不等式的基本语言(1)若a＞0,则a是正数.若a＜0,则a是负数(2)若a≥0,则a是非负数，若a≤0,则a是非正数(3)若a-b＞0,则a大于b，若a-b＜0,则a小于b(4)若a≥b,则a不小于b，若a≤b,则a不大于b[例题2]用不等式表示（1）a是正数；_____________ （2）a是负数；_____________（3）a与6的和小于5；___________（4）x与2的差小于－1；__________（5）x的4倍大于7；_____________（6）y的一半小于3._____________[针对性训练2][活动与探究]1、a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：图1－2用“＜”或“＞”号填空：（1）a__________b; （2）|a|__________|b|;（3）a+b__________0; （4）a－b__________0;（5）a+b__________a－b; （6）ab__________a.2、［例1］判断下列各式哪些是等式、哪些是不等式、哪些既不是等式也不是不等式.①x+y ②3x＞7 ③5=2x+3 ④x2≥0 ⑤2x－3y=1 ⑥52［例2］用适当符号表示下列关系.(1)a的7倍与15的和比b的3倍大；(2)a是非正数；(3)篮球的体积比排球大.［例3］通过测量一棵树的树围，(树干的周长)可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m？请你列出关系式.［例4］燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.02 m/s ，人离开的速度为4 m/s ，导火线的长x (m)应满足怎样的关系式？请你列出.●迁移发散1.在下列各题中的空格处，填上适当的不等号.(1)－2__________1 (2)(－1)2__________(－2)2 (3)－34_________－43 (4)－0.31_________31(5)4x 2+1__________0 (6)－x 2__________0(7)2x 2+2y +1__________x 2+2y (8)a 2__________0 2.在－1，－21，－31，0，21，1，3，7，100中哪些能使不等式x +1＜2成立？ 练习：一、用适当的符号表示下列关系：1.x 与－3的和是负数.2.x 与5的和的28%不大于－6.3.m 除以4的商加上3至多为5.4.a 与b 两数和的平方不小于3.5.三角形的两边a 、b 的和大于第三边c .二、填空题(用不等号填空)6.x 为任意有理数，x －3________x －4.7.若a ＜0，b ＜0，则a ·b ________ab 2.8.若a ＜b ，则a +5________b +5.9.若a ＞b ，c ＜0，则a +c ________b +c . 10.若a ＞b ，则ac 2________bc 2. 三、解答题11.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)第二节 不等式的基本性质本节知识点：不等式的基本性质知识回顾：1、等式的基本性质：基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.2、解方程：-732=+x做一做： 2＜32×5_______3×5 2×21_______3×212×（－1）_______3×（－1）2×（－5）_______3×（－5） 2×（－21）_______3×（－21）知识点1不等式的基本性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.即：如果b a>，那么c b c a c b c a ->-+>+,；如果b a <，那么c b c a c b c a -<-+<+,。
笔记：关键词“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有其他相同的单项式或多项式。
[例题1] 将下列不等式化为“a x >”或“a x <”的形式：（1）74>-x ； （2）x x 435+<解：两边都加上4，得 解：两边都减去x 4，得知识点2不等式的基本性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.笔记：两“同”要求：（1）同时乘（或除以）；（2）同一个正数。
[例题2] 将下列不等式化为“a x >”或“a x <”的形式：（1）62>x ； （2）1415<-x解：两边都除以2，得 解： 两边都加上1，得 两边都除以5，得知识点3不等式的基本性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.笔记：①同乘（或除以）同一个负数时，改变不等号的方向；②对不等式基本性质2、3可总结为“负变正不变”。
[例题3] 将下列不等式化为“a x >”或“a x <”的形式：（1）32-<-x； （2）93>-x 解：两边都乘以2-，得 解：两边都除以3-，得[针对性训练1]已知b a >，用“>”或“<”填空：.2_______2)6(;4_______4)5(;0_______)4(;2_______2)3(;3_______3)2(;2_______2)1(---------++b a b a b a b a b a b a [针对性训练2] 将下列不等式化为“a x >”或“a x <”的形式：645)6(53)5(13)4(321)3(65)2(21)1(-<>--<+≤<->-x x x x x x x[针对性训练3] 实数a 在数轴上对应点如图所示，则1,,a a -的大小关系正确的是（ ）aa D a a C a a B a a A -<<<-<<-<<<-1.1.1.1.[针对性训练4]已知23<<-y ，试用不等式的性质化简：429332--+-++-y y y y课前检测 例题一、用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由：(1)∵a >b ∴a －m ________b －m ( ) (2)∵a >2b ∴2a________b ( )(3)∵3m >5n ∴－m ________－35n( ) (4)∵4a >5a ∴a ________0( )(5)∵－24nm -< ∴m ________2n ( )(6)∵2x －1<9 ∴x ________5( )例题二、下列说法正确吗？(1)若a <b ，则ac 2<bc 2.（ ）(2)若b <0，则a －b >a .（ ）(3)若x >y ,则x 2>y 2.（ ）(4)若x 2>y 2,则x －2>y －2.（ ）0 1(5)3a 一定比2a 大.（ ） 例题三、认真选一选(1)若m +p <p ,m －p >m ,则m 、p 满足的不等式是（ ） A.m <p <0 B.m <p C.m <0,p <0 D.p <m(2)已知x >y 且xy <0,a 为任意实数，下列式子正确的是（ ） A.－x >y B.a 2x >a 2y C.a －x <a －y D.x >－y(3)实数a 、b 满足a +b >0,ab <0,则下列不等式正确的是（ ） A.|a |>|b | B.|a |<|b | C.当a <0,b >0时，|a |>|b | D.当a >0,b <0时，|a |>|b |例四 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质． (1)若a-3＜9，则 a ______12； (2)若-a ＜10，则a______ -10； (3)若a/4>-1,则a ______-4 ；(4)若-2a/3>0，则a ________ 0例题五、根据不等式的性质，把下列不等式化为x >a 或x <a 的形式 (1)3432-<x (2)－0.3x >0.9 (3)x +2≤－3 (4)4x ≥3x +5 练习一、选择题1.若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( ) A.－55b a -< B.－2a ＞－2b C.a －2＜b －2 D.－(－a )＞－(－b )2.若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( ) A.ac ＞bc B.cbc a < C.a －c ＜b －c D.a +c ＜b +c3.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )图1A.b －a ＞0B.ab ＞0C.c －b ＜c －aD.ab 11> 4.已知4＞3，则下列结论正确的是( ) ①4a ＞3a ②4+a ＞3+a ③4－a ＞3－a A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 5.下列判断中，正确的个数为( )①若－a ＞b ＞0，则ab ＜0 ②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0 ③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc ④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2 ⑤若a ＞b ，c ≠0，则－a －c ＜－b －c A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题(用不等号填空)6.若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.7.若－35x ＞5，则x ________－3. 8.若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc . 9.若ax ＞b ，ac 2＜0，则x ________ab . 三、解答题11.指出下列各题中不等式变形的依据. (1)由21a ＞3，得a ＞6. (2)由a －5＞0，得a ＞5.(3)由－3a ＜2，得a ＞－32.12.根据不等式性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式. (1)x +7＞9 (2)6x ＜5x －3 (3)51x ＜52 (4)－32x ＞－1§1.3 不等式的解集本节知识点：1.理解不等式的解与解集的意义. 2了解不等式解集的数轴表示.回顾：1、不等式的基本性质？答：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个_________，不等号的方向________. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个__________，不等号的方向_________. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个__________，不等号的方向_________.2、方程的解与解方程概念？答：能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解. 求方程的解的过程，叫做解方程.知识点1不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。