大学物理第二版 许瑞珍 贾谊明 编著 课后答案 1-3章

第一章 质点的运动

1-1 已知质点的运动方程为：，。式中x 、y 的单位为m ，t 的单位为ｓ。试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。

2

3010t t x +-=2

2015t t y -=分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．

解 (1) 速度的分量式为

t t x

x 6010d d +-==

v t t

y y 4015d d -==v

当t ＝0 时, v o x ＝-10 m·ｓ-1 , v o y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为

12

02

00s m 0.18-⋅=+=y x v v v

设v o 与x 轴的夹角为α,则

2

3tan 00-==

x

y αv v

α＝123°41′

(2) 加速度的分量式为

2s m 60d d -⋅==

t

a x

x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v

则加速度的大小为

22

2s m 1.72-⋅=+=y x a a a

设a 与x 轴的夹角为β,则

3

2tan -==

x y

a a β β＝-33°41′(或326°19′)

1-2 一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。现测得其加速度a ＝A-B v ，式中A 、B 为正恒量，求石子下落的速度和运动方程。

分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式d v ＝a (v )d t 分离变量为

t a d )

(d =v v

后再两边积分． 解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．

(1) 由题意知 v v

B A t

a -==

d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为

t B A d d =-v

v

(2)

将式(2)两边积分并考虑初始条件,有

⎰⎰

=-t t B A 0d d d 0

v v

v

v

v

得石子速度 )1(Bt e B

A

--=v 由此可知当,t →∞时,B

A

→v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． (2) 再由)1(d d Bt e B

A

t y --==

v 并考虑初始条件有 t e B

A y t Bt y d )1(d 00⎰⎰--= 得石子运动方程

)1(2-+=

-Bt e B

A

t B A y

1-3 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即a = - k v 2，k 为常数。在关闭发动机后，试证：

（1）船在t 时刻的速度大小为 1

00

+=t kv v v ；

（2）在时间t 内，船行驶的距离为 01

ln(1)x v kt k

=+；

（3）船在行驶距离x 时的速率为v =v 0e -kx 。

[证明]（1）分离变数得2d d v

k t v

=-， 故

20d d v t

v v

k t v =-⎰⎰， 可得：

011

kt v v =+． （2）公式可化为0

01v v v kt

=+，

由于v = d x/d t ，所以：00001

d d d(11(1)

v )x t v v kt k v kt ==+++kt

积分

000

1

d d(1(1)

x

t

)x v kt k v kt =++⎰⎰

．

因此 01

ln(1)x v kt k

=+． (3 ) 要求 v ( x )，可由 dx

dv v dt dx dx dv dt dv a ===

，有 kdx v

dv

dx dv v kv -=⇒=-2

积分得

kx x v

v e v v kx v v

dx k v dv -=-=⇒-=⎰⎰000

,ln 0 证毕．

1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。

解：人前进的速度v 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，

222

202

22203/2

22220()()()l v t H h dl

dt H h v d l dt H h v t =+-∴=

-=

⎡⎤-+⎣⎦

h

所以小车移动的速度2

2022

0)(t v h H t

v v --=

图1-18 习题1-4图

小车移动的加速度[]

2/3220

2

20

2)

()(t

v h H v h H a +--=

1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 ，a 的单位为 m/s 2

62x a +=2，x 的单位为 m 。质点在x =0处，速度为10m/s ，试求质点在任何坐标处的速度值。解：

解： ∵

x v v t x x v t v a d d d d d d d d ===

分离变量： x x adx d )62(d 2

+==υυ

两边积分得 c

x x v ++=32

222

1 由题知，时，,∴0=x 100

=v 50=c

∴ 1

3s m 252-⋅++=x x v

1-6 如图所示，一弹性球由静止开始自由下落高度 h 后落在一倾角的斜面上，与斜面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，

问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远。

30

=θ解：小球落地时速度为gh v 20=

建立直角坐标系，以小

球第一次落地点为坐标原点如图

0060cos v v x =200060cos 2

1

60cos t g t v x +

= （1） 0

0060sin v v y =200

060sin 2

1

60sin t g t v y -= （2） 第二次落地时 0=y g

v t 0

2=