2011年湖南省娄底市中考数学试题及答案

娄底市2011年初中毕业学业考试试题卷数学温馨提示：1．亲爱的同学，祝贺你完成了初中阶段数学课程的学习任务，现在是展示你的学习成果之时，希望你充满自信，尽情发挥，仔细，仔细，再仔细！祝你成功！2．本学科为闭卷考试，试卷分为试题卷和答题卡两部分.3．本学科试卷共六道大题，满分120分，考试时量120分钟.4．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上.5．请安答题卡上的注意事项在答题卡上作答，书写在试题卷上无效.6．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回.一、精心选一选，旗开得胜(本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)1．-2011的相反数是A.2011B.-2011C.12011D. -12011【答案】A2．2011年4月28日，国家统计局发布2010年第六次全国人口普查主要数据公报，数据显示，大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1339724852人，大陆总人口这个数据用科学记数法表示(保留3个有效数字)为A. 1.33⨯109人B. 1.34⨯109人C. 13.4⨯108人D. 1.34⨯1010人【答案】B3．若|x-3|=x-3，则下列不等式成立的是A. x-3>0B.x-3<0C.x-3≥0D.x-3≤0【答案】C4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=5x的图象上的两点，若x1<0<x2，则有A. y1<0<y2B. y2<0<y1C. y1<y2<0D. y2<y1<0【答案】A5．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30︒，∠2=50︒，则∠3的度数为A. 80︒B. 50︒C. 30︒D. 20︒【答案】D6．下列命题中，是真命题的是A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】A7．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是A. 点A在圆外B. 点A在圆上C. 点A在圆内D. 不能确定【答案】C8．如图2所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是【答案】D9．因干旱影响，市政府号召全市居民节约用水.为了了解居民节约用水的情况，小张在某小区随机调查了五户居民家庭2011年5月份的用水量：6吨，7吨，9吨，8吨，10吨.则关于这五户居民家庭月用水量的下列说法中，错误的是A. 平均数是8吨B. 中位数是9吨C. 极差是4吨D. 方差是2【答案】B10．如图3，自行车的链条每节长为2.5cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm ，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为A. 150cmB. 104.5cmC. 102.8cmD. 102cm【答案】C二、细心填一填，一锤定音(本大题共8道小题，每小题4分，满分32分)11．计算：-2＝ ．【答案】-612．不等式组24348x x +>⎧⎨-≤⎩，的解集是 . 【答案】2<x ≤413．如果方程x 2+2x + a =0有两个相等的实数根，则实数a 的值为 .【答案】114．一次函数y = -3 x + 2的图象不经过第 象限.【答案】三15．如图4，点C 是线段AB 上的点，点D 是线段BC 的中点，若AB =12，AC =8，则CD = .【答案】216．如图5，△ABC 内接于⊙O ，已知∠A =55︒，则∠BOC = .【答案】110︒17．如图6，△ABC 中：∠C =90︒，BC =4cm ，tan B =32，则△ABC 的面积是 cm 2. 【答案】1218．如图7所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是 .【答案】13三、用心做一做，慧眼识金(本大题共3道小题，每小题7分，满分21分)19．（本小题7分）先化简：(1111a a ++-)÷2221a a a -+.再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a 的值代入求值.【答案】解：原式=(1)(1)(1)(1)a a a a -+++-·2212a a a -+ =2(1)(1)a a a +-·2(1)2a a -=11a a -+. ∵a ≠1，a ≠-1，，a ≠0.∴在1，2，3中，a 只能取2或3.当a =2时，原式=13.当a =3时，原式=12.注：在a =2，a =3中任选一个算对即可.20．（本小题7分）喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC 进行数学实践活动，如图8，河对岸有一水文站A ，小伟在河岸B 处测得∠ABD =45︒，沿河岸行走300米后到达C 处，在C 处测得∠ACD =30︒，求河宽AD .（最后结果精确到1米. 1.414 1.732 2.449，供选用）【答案】解：如图8，由图可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45︒，∠ACD=30︒.在Rt△ABD中，BD=AD.AD.在Rt△ACD中，CD设AD=x，则有BD=x，CD x.依题意，得BD+CD=300，即x=300，∴（）x=300，≈110(米).∴x21．（本小题7分）2011年5月31日是第24 个世界无烟日，也是我国从5月1日开始在公共场所禁止吸烟满一个月的日子.为创建国家级卫生城市，搞好公共场所卫生管理，市育才实验学校九年级(1)班社会实践小组对某社区居民开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，图9是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.请根据以上条形统计图和扇形统计图提供的信息，解答下列问题：（1）九年级(1)班社会实践小组一共调查了名社区居民.（2）扇形统计图中，表示支持“替代品戒烟”的扇形的圆心角的度数为. （3）请将条形统计图补充完整.【答案】解：（1）200 （2）108︒（3）如下图四、综合用一用，马到成功(本大题共1道小题，满分8分)22．（本小题8分）为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作.某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”.（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元.求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费.【答案】解：（1）设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y 元/千瓦时，根据题意，得80(10080)6880(12080)88.x y x y +-=⎧⎨+-=⎩， 解之，得0.61.x y =⎧⎨=⎩， 答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时.（2）80⨯0.6+(130-80) ⨯1=98（元）.答：预计小张家6月份上缴的电费为98元.五、耐心解一解，再接再厉(本大题共1道小题，满分9分)23．（本小题9分）如图10，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90︒，AC =BC =10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90︒得到△A 1BC 1.（1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 .（2）连结CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形.【答案】（1）解：A 1C 1=10，∠ CBA 1=135︒（2）证明：∵∠A 1C 1B =∠C 1BC =90︒，∴A 1C 1∥BC .又∵A 1C 1=AC =BC ，∴四边形CBA 1C 1是平行四边形.六、探究试一试，超越自我(本大题共2道小题，每小题10分，满分20分)24．（本小题10分）如图11，已知二次函数y = -x 2 +mx +4m 的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点(B 点在A 点的右边)，与y 轴的正半轴交于点C ，且(x 1+x 2) - x 1x 2=10.（1）求此二次函数的解析式.（2）写出B ，C 两点的坐标及抛物线顶点M 的坐标；（3）连结BM ，动点P 在线段BM 上运动（不含端点B ，M ），过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，设OH 的长度为t ，四边形PCOH 的面积为S .请探究：四边形PCOH 的面积S 有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由.【答案】解：（1）由根与系数的关系，得12124.x x m x x m +=⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∵(x 1+x 2) -x 1x 2=10，∴ m + 4m =10， m =2.∴二次函数的解析式为y = -x 2 +2x +8.（2）由-x 2 +2x +8=0，解得x 1= -2，x 2=4.y = -x 2 +2x +8= -(x -1)2+9.∴B ，C ，M 的坐标分别为B (4，0)，C (0，8)，M (1，9).（3）如图，过M 作MN ⊥x 轴于N ，则ON =1，MN =9，OB =4，BN =3.∵OH =t (1<t <4)，∴BH =4-t .由PH ∥MN ，可求得PH =3BH =3(4-t )，∴S =12(PH +CO )·OH =12(12-3t +8)t= -32t 2+10t (1<t <4).S = -32t 2+10t = -32(t -103)2+503. ∵1<103<4. ∴当t =103时，S 有最大值，其最大值为503.25．（本小题10分）在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD =2，以CD 为直径作⊙O 1，交BC 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 于F ，建立如图12所示的平面直角坐标系，已知A ，B 两点的坐标分别为A (0，，B (-2，0).（1）求C ，D 两点的坐标.（2）求证：EF 为⊙O 1的切线.（3）探究：如图13，线段CD 上是否存在点P ，使得线段PC 的长度与P 点到y 轴的距离相等？如果存在，请找出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）连结DE ，∵CD 是⊙O 1的直径，∴DE ⊥BC ，∴四边形ADEO 为矩形.∴OE =AD =2，DE =AO.在等腰梯形ABCD 中，DC =AB .∴CE =BO =2，CO =4.∴C (4，0)，D (2，).（2）连结O 1E ，在⊙O 1中，O 1E =O 1C ，∠O 1EC =∠O 1C E ，在等腰梯形ABCD 中，∠ABC =∠DCB .∴O 1E ∥AB ,又∵EF ⊥AB ，∴O 1E ⊥EF .∵E 在AB 上，∴EF 为⊙O 1的切线（3）解法一：存在满足条件的点P .如右图，过P 作PM ⊥y 轴于M ，作PN ⊥x 轴于N ，依题意得PC =PM ,在矩形OMPN 中，ON =PM ，设ON =x ，则PM =PC =x ，CN =4-x ，tan ∠ABO=AO BO ∴∠ABO =60︒，∴∠PCN =∠ABO =60︒.在Rt △PCN 中，cos ∠PCN =12CN PC =，M P即412x x -=, ∴x =83.∴PN =CN ·tan ∠PCN =(4-83)∴满足条件的P 点的坐标为(83解法二：存在满足条件的点P ，如右图，在Rt △AOB 中，AB 4. 过P 作PM ⊥y 轴于M ，作PN ⊥x 轴于N ，依题意得PC =PM , 在矩形OMPN 中，ON =PM ，设ON =x ，则PM =PC =x ，CN =4-x ，∵∠PCN =∠ABO ，∠PCN =∠AOB =90︒.∴△PNC ∽△AOB ， ∴PC CN AB BO =，即442x x -=. 解得x =83.又由△PNC ∽△AOB ，得834PN PC AO AB =，∴PN =∴满足条件的P 点的坐标为(83。