数项级数及其收敛性

数项级数及其收敛性

无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零）的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数231

111

41 (44443)

n 的和；关于无穷级数，数学史上有个著名的芝诺悖论。"两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可

穷尽的过程，运动永远不可能开始的。'庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭。''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。'要解决这个悖论，需要引进极限方法。研究无穷级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用.

一、级数基本概念

定义1设给定一个数列，，，，，n u u u u 321，则表达式

n

u u u 21称为无穷级数，简称级数，记作

1n n

u ，即n n n u u u u 2

11，

其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数，则级数1n n

u 称为常数项级数，如果是函数，则级数1n n u 称为函数项级数．

其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等

比数列:2,,............(1)n a aq aq aq q ,各项的和

2............1n a a aq aq aq q ；另外，无限循环小数也是无穷级数，比如：1

0.33

1033.0，2103

03.0，n 103

030.0，所以有