(已经编辑)3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则2
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
表 示 成 x 的 函 数 , 那 么 称 这 个 函 数 为 函 数 y ＝ f(u) 和 u ＝ g(x) 的 __复__合__函__数___,记作y＝f(g(x)).
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u), u＝g(x)的导数间的
关 系 为 yx′ ＝ yu′·ux′, 即 y 对 x 的 导 数 等 于 __y_对__u_的__导__数__ 与 _u_对__x_的__导__数__的乘积.
(2)y′＝sin2x＋π3 ′＝cos2x＋π3 ·2x＋π3 ′
＝2cos2x＋π3 .
栏目
导引
第一章 导数及其应用
【点评】利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤: (1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量; (2)求每一层基本初等函数的导数; (3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【名师点评】 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤:
(2)求曲线的切线方程时,一定要注意已知点是否为切点.若切点
没有给出,一般是先把切点设出来,然后根据其他条件列方程,求
出切点,再求切线方程.
(2)y′＝(cosx·lnx)′
＝ex·sinxsi－n2exx·cosx
＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′ ＝－sinx·lnx＋coxsx.
＝ex（sinБайду номын сангаасxin－2xcosx）.
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第一章 导数及其应用
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数:
(1)y＝ln(3x＋1);
∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6), 即 y＝13x－32.
(2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1, ∴直线 l 的方程为 y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16,
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．问题导航(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？ 2．例题导读通过P 15例2学会利用导数的运算法则及导数公式求函数的导数，P 15例3为导数的实际应用问题，P 17例4为复合函数的求导问题，注意复合函数的求导法则．1．导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的． (2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 2．复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))．②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y ′x＝y ′u ·u ′x ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)√ (2)×2．函数y ＝x ln x 的导数为( ) A ．y ′＝ln x ＋1 B ．y ′＝ln x －1 C ．y ′＝ln x D ．y ′＝1 解析：选A.y ′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. 3．y ＝sin 2x 的导数是( ) A ．y ′＝2sin x B ．y ′＝2cos x C ．y ′＝sin 2x D ．y ′＝cos 2x解析：选C.y ′＝(sin 2x )′ ＝2sin x cos x ＝sin 2x . 4．求下列函数的导数：(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________；(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________；(3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________．答案：(1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2（x ＋1）21．应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数求导的一般方法(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量． (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．应用导数的运算法则求导求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.[解] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5(x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝（x sin x ）′cos x －x sin x （cos x ）′cos 2x＝（sin x ＋x cos x ）cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x.(3)法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)·(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11；法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(4)法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝（x －1）′（x ＋1）－（x －1）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x ＋1－（x －1）（x ＋1）2＝2（x ＋1）2. 法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′（x ＋1）－2（x ＋1）′（x ＋1）2＝2（x ＋1）2.求函数的导数的策略：(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D.∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[2，2]，故选D.(2)已知f (x )＝e xx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：∵f ′(x )＝（e x ）′x －e x ·x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)．∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0（x 0－1）x 20＋e x 0x 0＝0.解得x 0＝12.答案：12复合函数的导数运算(1)若函数f (x )＝1（1－3x ）4的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝________．[解析] 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∴f ′(x )＝y ′u ·u ′x ＝(－4)(1－3x )－5(1－3x )′＝12（1－3x ）5， ∴f ′(1)＝－38.[答案] －38(2)求下列函数的导数：①y ＝1－2x cos x ；②y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)．[解] ①由于y ＝1－2x cos x 是两个函数y ＝1－2x 与y ＝cos x 的乘积， y ′＝(1－2x )′cos x －1－2x sin x ＝（－2）21－2x cos x －1－2x sin x ＝－cos x 1－2x－1－2x sin x .②令y ＝3u ，u ＝log 2v ，v ＝x 2－2x ＋3，则y ′u ＝3u ln 3，u ′v ＝1v ln 2，v ′x ＝2x －2，所以y ′x ＝（2x －2）·3log 2（x 2－2x ＋3）·ln 3（x 2－2x ＋3）ln 2＝2log 23·（x －1）3log 2（x 2－2x ＋3）x 2－2x ＋3.(1)求复合函数的导数的步骤：分层—选择中间变量，写出构成它的内、外层函数 ↓分别求导—分别求各层函数对相应变量的导数 ↓相乘—把上述求导的结果相乘 ↓变量回代—把中间变量回代(2)求复合函数的导数的注意点：①内、外层函数通常为基本初等函数．②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．2．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x解析：选A.y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .导数运算的综合应用求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [解] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0， 由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 把f (x )、f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1. 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.利用导数的运算法则及复合函数的求导法则求得函数的导数，再结合导数的几何意义、三角函数、不等式等知识点综合考查求函数的解析式，参数的取值范围，不等式的求解与证明等是考查导数运算应用的常规考法，同时也体现了导数的优越性．3．已知两边取对数可以使“积”的形式化为“和”的形式，函数f (x )＝ln y 就变成了复合函数，它是由f ＝ln u 和u ＝y 复合而成的．根据上面的信息，求y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －10)(x >10)的导数．解：两边同时取自然对数，得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －10)． 两边对x 求导，得 1y ·y ′＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －10. ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －10·(x －1)·(x －2)·…·(x －10)．已知抛物线y ＝ax ＋bx －5在点(2，1)处的切线为y ＝－3x ＋7，求b 的值． [解] ∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝－3. 又点(2，1)在曲线上，∴4a ＋2b －5＝1，联立组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b －5＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9. [错因与防范](1)在求解切线问题时，注意切点既在曲线上，又在切线上，因容易找不全条件导致求解困难．(2)已知曲线上某点的切线，有两层意思：一是在该点的导数值等于切线的斜率；二是该点的坐标满足已知曲线的方程．4．若f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．解：f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1.由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1，即（x －3）2（x －5）（x －1）>0， ∴x >5或x <1.又两函数定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0，x －1>0，∴x >5.∴不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．1．f (x )＝ln xx的导数是( )A ．f ′(x )＝1＋ln x x 2B ．f ′(x )＝1＋ln xx C ．f ′(x )＝1－ln x x 2D ．f ′(x )＝1＋ln xx 2解析：选C.f ′(x )＝（ln x ）′x －（ln x ）x ′x 2＝1－ln xx 2.2．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：33．函数y ＝sin n x cos nx 的导数为________． 解析：y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x (sin x )′cos nx ＋sin n x (－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x cos x ·cos nx －sin nx sin nx ·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1x cos[(n ＋1)x ]．答案：n sin n －1x cos[(n ＋1)x ][A.基础达标]1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x解析：选C.利用求导公式和求导法则求解．f ′(x )＝－5x －6＋3cos x ．故选C. 2．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x .3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋x B ．－11＋xC.1（1＋x ）2 D ．－1（1＋x ）2解析：选D.令1x ＝t ，则f (t )＝1t1＋1t＝11＋t，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫11＋x ′＝－1（1＋x ）2.4．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x－e －x D ．e x ＋e －x解析：选A.y ′＝⎣⎡⎦⎤12（e x ＋e －x ）′＝12(e x －e －x )． 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：选B.设切点为P (x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，又∵切线的斜率为1，∴1x 0＋a＝1，∴x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2，故选B. 6．f (x )＝ln(x 2＋1)的导数是________．解析：f ′(x )＝1x 2＋1·2x 2x 2＋1＝xx 2＋1. 答案：xx 2＋17．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________． 解析：∵f ′(x )＝8x ＋4a ， f ′(2)＝20，即16＋4a ＝20. ∴a ＝1. 答案：18．函数y ＝x －cos xx ＋sin x在x ＝2处的导数是________．解析：∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －cos x x ＋sin x ′＝（1＋sin x ）（x ＋sin x ）－（1＋cos x ）（x －cos x ）（x ＋sin x ）2＝（x ＋1）sin x ＋（1－x ）cos x ＋1（x ＋sin x ）2，∴y ′|x ＝2＝3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）2.答案：3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）29．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，∴4a ＋b ＝1.②又∵曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9. 10．求下列函数的导数．(1)y ＝a ax cos(ax )＋b bx sin(bx )； (2)y ＝log a (log a x )．解：(1)y ′＝(a ax )′cos(ax )＋a ax [cos(ax )]′＋(b bx )′·sin(bx )＋b bx [sin(bx )]′＝a ax ln a ·(ax )′cos(ax )＋a ax [－sin(ax )](ax )′＋b bx ln b ·(bx )′·sin(bx )＋b bx cos(bx )(bx )′＝a ax ＋1[cos(ax )ln a －sin(ax )]＋b bx ＋1[sin(bx )ln b ＋cos(bx )]．(2)y ′＝1log a x log a e ·(log a x )′＝log a e log a x ·1x ·log a e ＝log 2a e x log a x. [B.能力提升]1．已知A ，B ，C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝[f (x )＋2f ′(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．ln 2 C.12D ．2 解析：选C.由于A ，B ，C 三点共线，于是有f (x )＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即f (x )＝ln(x ＋1)－2f ′(1)＋1，则f ′(x )＝1x ＋1，于是f ′(1)＝12.2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，它的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．－b2a >0，4ac －b 24a>0B ．－b2a <0，4ac －b 24a>0C ．－b2a >0，4ac －b 24a<0D ．－b2a <0，4ac －b 24a<0解析：选A.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，则c ＝0，于是f (x )＝ax 2＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0.所以－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a>0，故选A.3．(2015·高考陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)4．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋1x，∵存在垂直于y 轴的切线，∴此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点．法一：(图象法)再将之转化为g (x )＝－2ax 与h (x )＝1x存在交点．当a ＝0时不符合题意；当a >0时，如图①所示，数形结合可得显然没有交点；当a <0时，如图②所示，此时正好有一个交点，故有a <0，应填(－∞，0)．图① 图②法二：(分离变量法)上述也可等价于方程2ax ＋1x ＝0在(0，＋∞)内有解，显然可得a ＝－12x 2∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)5．(2015·郑州高二检测)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax 2（x 2＋b ）2.因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b ≠0，a1＋b＝2，所以a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4xx 2＋1.(2)因为f ′(x )＝4－4x 2（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20（x 20＋1）2＝4⎣⎡⎦⎤2（x 20＋1）2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0，1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝⎛⎭⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－12，4. 6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，若函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a n )．求f ′(0)． 解：f ′(x )＝x ′[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′ ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′∴f ′(0)＝(－a 1)(－a 2)·…·(－a n )＝(－1)na 1a 2·…·a n 由题意知a 1＝2，a 2＝4，∴a n ＝2n .∴f ′(0)＝(－1)n ·21＋2＋3＋…＋n＝(－1)n·2n （1＋n ）2.。
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则292542共23页文档
从而切线 y1方 3(程 x1)为 即 , 3xy40.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
|b ( 4 )|1 0 |b 4 | 1, 0 b 6 或 b 1;4 3 2 1
解：f(x)(x2sinx) (x2)(sinx)2xcosx
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
解：g(x)(x3 3x2 6x) 2
(x3)(3x2)(6x) 3x2 3x6 2
例 2： (1)求 函 数 h(x)xsinx的 导 数 . (2)求 函 数 f(x)2xlnx的 导 数 .
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
例5:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 在直点线Pm(1的,1方)处程的. 切线与直线m平
解 ： yx 13,y(x 13)(x3)3x4;
解 :(1)h(x)(xsinx) xsinxx(sinx)sinxxcosx
(2)f (x) (2xlnx) (2x)lnx(2x)(lnx) 2lnx2
3.用 两 种 y方 ( 22 法 x3 )求 (23)x
的导数
解：法一：y ( 2 x 2 3 ) ( 3 x 2 ) ( 2 x 2 3 )3 x ( 2 )
公 式 7 .若 f
(x)
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)
§3.2.2根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么课前预习学案一． 预习目标1．熟练掌握根本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二． 预习内容1．根本初等函数的导数公式表 2.(2 )推论：[]'()cf x =(常数与函数的积的导数 ,等于： )三． 提出疑惑同学们 ,通过你的自主学习 ,你还有哪些疑惑 ,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一． 学习目标1．熟练掌握根本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二． 学习过程(一 ) .【复习回忆】复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y x = (二 ) .【提出问题 ,展示目标】我们知道,函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx-= ,以后看见这种函数就可以直接按公式去做 ,而不必用导数的定义了 .那么其它根本初等函数的导数怎么呢 ?又如何解决两个函数加 .减 .乘 .除的导数呢 ?这一节我们就来解决这个问题 . (三 )、【合作探究】 1． (1 )分四组比照记忆根本初等函数的导数公式表函数导数 y c = y x =2y x =1y x=y x =*()()n y f x x n Q ==∈函数导数y c ='0y = *()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -=sin y x = 'cos y x = cos y x ='sin y x =-()x y f x a =='ln (0)x y a a a =⋅>(2 )根 据根本初等函数的导数公式 ,求以下函数的导数．(1 )2y x =与2xy =(2 )3xy =与3log y x =2. (1 )记忆导数的运算法那么 ,比拟积法那么与商法那么的相同点与不同点导数运算法那么1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =(常数与函数的积的导数 ,等于： )提示：积法那么,商法那么, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法那么中间是加号, 商法那么中间是减号.(2 )根据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么 ,求以下函数的导数． (1 )323y x x =-+ (2 )sin y x x =⋅；(3 )2(251)xy x x e =-+⋅； (4 )4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数 ,必须细心、耐心． (四 )．典例精讲例1：假设某国|家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元 )与时间t(单位：年 )有如下函数关系0()(15%)tp t p =+ ,其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品()xy f x e == 'xy e =()log a f x x ='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x ='1()f x x=的01p = ,那么在第10个年头 ,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01 ) ?分析：商品的价格上涨的速度就是： 解：变式训练1：如果上式中某种商品的05p = ,那么在第10个年头 ,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01 ) ?例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯洁度的提高 ,所需净化费用不断增加．将1吨水净化到纯洁度为%x 时所需费用 (单位：元 )为求净化到以下纯洁度时 ,所需净化费用的瞬时变化率： (1 )90% (2 )98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比拟上述运算结果 ,你有什么发现 ? 三．反思总结：(1 )分四组写出根本初等函数的导数公式表： (2 )导数的运算法那么：四．当堂检测1求以下函数的导数(1 )2log y x = (2 )2xy e =(3 )32234y x x =-- (4 )3cos 4sin y x x =- 2.求以下函数的导数(1 )ln y x x = (2 )ln xy x=课后练习与提高1．函数()f x 在1x =处的导数为3 ,那么()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切 ,那么a =A18 B 14 C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点 (1,1 )处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ,那么12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 14.曲线21xy xe x =++在点 (0,1 )处的切线方程为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5.在平面直角坐标系中 ,点P 在曲线3103y x x =-+上 ,且在第二象限内 ,曲线在点P 处的切线的斜率为2 ,那么P 点的坐标为 - - - - - - - - - - - -6.函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P (0,2 ) ,且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+= ,求函数的解析式 .课后练习与提高答案：1.C 2.B 3.B 4.310x y -+= 5. ( -2,15 )6.由函数32()f x x bx cx d =+++的图像过点P (0,2 ) ,知2d = ,所以32()2f x x bx cx =+++ ,由在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=知：/(1)1(1)6f f -=⎧⎨-=⎩所以321126b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：3b c ==- 故所求函数的解析式是32()332f x x x x =--+3.2.2根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么 (教案 )教学目标：1．熟练掌握根本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数 . 教学重难点： ：根本初等函数的导数公式、导数的四那么运算法那么 教学过程：检查预习情况：见学案 目标展示： 见学案 合作探究：(1 )根本初等函数的导数公式表(2 )根据根本初等函数的导数公式 ,求以下函数的导数．(1 )2y x =与2xy = (2 )3x y =与3log y x = 2. (1 )导数的运算法那么导数运算法那么函数 导数y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -=sin y x = 'cos y x = cos y x ='sin y x =-()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅>()x y f x e == 'x y e =()log a f x x ='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x ='1()f x x=1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =(常数与函数的积的导数 ,等于常数乘函数的导数 )提示：积法那么,商法那么, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法那么中间是加号, 商法那么中间是减号.(2 )根据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么 ,求以下函数的导数． (1 )323y x x =-+ (2 )sin y x x =⋅；(3 )2(251)xy x x e =-+⋅； (4 )4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数 ,必须细心、耐心．典型例题例1 假设某国|家在20年期间的年均通贷膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+ ,其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p = ,那么在第10个年头 ,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据根本初等函数导数公式表 ,有'() 1.05ln1.05tp t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈ (元/年 )因此 ,在第10个年头 ,这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯洁度的提高 ,所需净化费用不断增加. 将1吨水净化到纯洁度为%x 时所需费用 (单位：元 )为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到以下纯洁度时 ,所需净化费用的瞬时变化率：(1 )90%； (2 )98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==- ,所以 ,纯洁度为90%时 ,费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==- ,所以 ,纯洁度为98%时 ,费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知 ,''(98)25(90)c c =．它表示纯洁度为98%左右时净化费用的瞬时变化率 ,大约是纯洁度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明 ,水的纯洁度越高 ,需要的净化费用就越多 ,而且净化费用增加的速度也越快． 反思总结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法那么与导数公式求导 ,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2．对于函数求导 ,一般要遵循先化简 ,再求导的根本原那么.求导时 ,不但要重视求导法那么的应用 ,而且要特别注意求导法那么对求导的制约作用.在实施化简时 ,首|先要注意化简的等价性 ,防止不必要的运算失误.当堂检测1. 函数1y x x=+的导数是 ( ) A ．211x - B ．11x - C ．211x+ D ．11x +2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是 ( ) A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2cos cos x x +3. cos xy x =的导数是 ( )A ．2sin xx- B ．sin x -4. 函数2()1382f x x x =-+ ,且0()4f x '= , 那么0x =5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为 板书设计 略。
122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in
(完整版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。
在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。
六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。
4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。
2、再观察有哪些运算法则。
3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
题型一： 题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y = x − 2 x + 3 1 2 (2) y = − 2 ; x x x (3) y = ; 2 1− x (4) y = tan x;
3 2
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
答案: 答案 (1) y′ = 3x2 − 2;
1 4 + 3; 2 x x 1 + x2 (3) y′ = ; 2 2 (1 − x ) (2) y′ = −
1 (4) y ′ = ; 2 cos x
2
(5) y = (2 x − 3) 1 + x ; 1 (6) y = 4 ; x (7) y = x x ;
(5) y′ =
6 x3 + x 1+ x
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ′ ′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ′ ′ ′ ′ 4 2 ＝5x －9x －10x. 2 2 法一： 解：(2)法一：y′＝(2x ＋3)′(3x－2)＋(2x ＋3)(3x－2)′ 法一 ′ ′ － ＋ － ′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 － ＋ ＝18x2－8x＋9. ＋ (2)法二 ∵ ＝ 法二： 解： 法二： y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， － ＝ － ，
( Cu )′ = C u ′.
u u′v − uv′ 法则3 )′ = ( (v ≠ 0) 2 v v
u(x + ∆x) u(x) − ∆y v(x + ∆x) v(x) = ∆x ∆x u ( x + ∆ x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆ x ) = v ( x + ∆ x )v ( x )∆ x u(x + ∆x) − u(x) v(x + ∆x) − v(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = v ( x + ∆ x )v ( x )
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则对于数学学习至关重要。本 节将深入讨论各种导数公式和运算法则，以及它们在不同领域中的应用。
常数函数的导数公式
1 公式：
常数函数的导数始终为零。
2 应用：
常数函数的导数公式可以用于求解速度恒定、变化缓慢的物理问题。
幂函数的导数公式
对数函数的导数公式
1
公式：
对数函数的导数公式是指数函数求导法则的逆运算。
2
应用：
对数函数的导数公式可以应用于解决指数增长和衰减的问题。
3
注意：
对数函数的导数公式只适用于正实数。
三角函数的导数公式
1
公式：
三角函数的导数公式是基于单位圆上的点的导数性质计算得出的。
2
应用：
三角函数的导数公式在物理学、工程学和波动学中有广泛的应用。
2 意义：
导数可以表示函数的变化率和速率。
导数与函数的单调性和凹凸性
1 单调性：
函数的导数可以判断函数 的单调性。
2 凹凸性：
函数的导数和二阶导数可 以判断函数的凹凸性。
3 应用：
导数与函数的单调性和凹 凸性在优化问题和最值问 题中具有重要作用。
1 公式：
幂函数的导数公式是基于指数函数求导法则推导而来。
2 应用：
幂函数的导数公式可以应用于描述变化速率不同的物理量之间的关系。
指数函数的导数公式
1
公式：
指数函数的导数公式与函数的底数和指数有关。
2
特殊情况：
当底数为常数<em>e</em>时，导数是函数自身。
3
应用：
指数函数的导数公式在经济学和生物学中具有广泛的应用。
高中数学人教A版选修1-1课件：3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》
1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.
（一）书面作业 必做题 P18 习题1.2
A组 5,6,7题
B组 2题
选做题 1.y cos x 的导数是 _________;
x 2.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a= ______; 3.已知函数y x ln x. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点x 1处得切线方程.
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite functio#39; x
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (2)
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
和(差),即: f (x) g (x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g (x) f (x)g (x) f (x)g (x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
二、新知讲解
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即:
f (x) g(x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
三、例题讲解
三、例题讲解
三、例题讲解
四、习题巩固
求下列函数的导数:
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)导学案
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）【学习目标】1．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；2. 会求曲线的切线.【学习探究+课堂例题】探究1 已知切点，求曲线的切线方程例1 求曲线314y x =在点(2,2)A 的切线方程.探究2 已知过曲线上一点，求曲线的切线方程 例2 求曲线314y x =过点(2,2)A 的切线方程.探究3 已知过曲线外一点，求曲线的切线方程例3 求曲线314+33y x =过点4(2)3A ，的切线方程.【课堂练习】1. 下列求导数运算正确的是（ ）A 211()1x x x '+=+B 21(log )ln 2x x '=C 3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-2. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为（ ）A 3B -3C 5D -5 3. 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为（ ） A 6π B 34π C 4π D 3π 4.已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________.5.（选做题）已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为_______________.6.求过曲线3()2f x x x =-+上一点(1,1)A --的切线方程.7. 求曲线()2ln f x x =上的点到直线230x y -+=的最短距离.【课后作业】1. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =-D ()1f x x =- 2. 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于（ ）A 193B 103C 163D 1333. 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A 19B 29C 13D 234. 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围 是（ ）A [0,]2πB 3[0,)[,)24πππC 3[,)4ππD 3(,]24ππ 5. 设函数sin cos y x x x =+的图象上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为（ ）6.（选做题）设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ⋅⋅⋅=___________________.7. 求下列函数的导数（1）1sin 1cos x y x -=+ (2) 1111x x y x x +-=+-+ (3) tan y x x =⋅8. 求曲线sin x y x =在点(,0)M π处的切线方程.9. 已知曲线3()3f x x x =-，过点(0,16)A 作曲线的切线，求切线方程.10.（选做题）设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为C A B D74120x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.。
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练习：求下列函数的导数 3 2 (1) y 3x 2 x 5
1 3 1 2 x (2) y x x 5 x sin x log 3 4 3
(3) y x ( x 4) 2 x (4) y (2x 1) (3 x 2 e ) 2
3 2
x x (5) y (7) y 2 ln x 2x 1
f ( x) g ( x)
2、积的导数： f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
推论：c f ( x) c f ( x) （C为常数）
3、商的 f ( x ) 导数： g ( x)
基本初等函数的导数公式:
1、若f ( x) c , 则 f ( x) 0 n 1 n 2、若f ( x) x , 则 f ( x) n x 3、若f ( x) sin x , 则 f ( x) cos x 4、若f ( x) cos x , 则 f ( x) sin x
1 (8) f ( x) x 2 (10) f ( x) lg x
练习:求下列函数的导数. (1) f ( x) x
3 2
(5) f ( x) 9
x
(2) f ( x) x
1 (6) f ( x) x 9 (7) f ( x) log 1 x
2 2
1 (3) f ( x) 4 x (4) f ( x) x
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g ( x)
2
( g ( x) 0)
例题讲解: 例题1：求下列函数的导数
(1) y 2 x 3x 8
5 2
(2) y ( x 2x)( x 2)
4 3
(3) y sin x cos x
sin x (4) y x 2e 1
常函数 幂函数 三角函数
5、若f ( x) a , 则 f ( x) a ln a
x
x
6、若f ( x) e , 则 f ( x) e 1 x 7、若f ( x) loga , 则 f ( x) x ln a 1 对数函数 8、若f ( x) ln x , 则 f ( x) x
3
(8) f ( x) lg x
1 1 2.求函数y 的图象上点(2, )处的切线方程. x 2
3.曲线y x 的一条切线方程为6 x y 9 0, Nhomakorabea2
求切点的坐标.
4.求曲线y 3上过点(1,3)的切线方程.
导数的运算法则
1、和(差)的导数： f ( x) g ( x)
x
x
指数函数
例用导数公式求下列函数的导数 . . (1) f ( x) x
5
1 (2) f ( x) x (4) f ( x) x
5 3
(3) f ( x) x (5) f ( x) 1 x
2
x
(6) f ( x) 3
x
(7) f ( x) 3
x
(9) f ( x) log 3 x
(6) y 5 cos x
x
(8) y tan x
作业：求下列函数的导数
(1) y (2x 1) (3ln x 2)
2
(2) y e s inx
x
x 2 log 5 x (3) y 3 x 2 x x 3 (4) y cos x
2