山东省青岛市2016届高三自主练习数学(文)模拟试题
山东省青岛市高三数学3月自主练习(一模)试题(B卷)文
山东省青岛市2016届高三数学3月自主练习（一模）试题（B 卷）文 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知R 是实数集，{21,M xN y y x ⎧⎫=<==⎨⎬⎩⎭，则R N C M ⋂= A. ()1,2 B. []0,2 C. ∅ D. []1,22.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，112z i =+，i 为虚数单位.则12z z =A.3B. 5-C. 5i -D. 14i --3.等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为A.1B. 12-C. 112-或D. 112-或 4.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知圆C 的圆心与双曲线224413x y -=的左焦点重合，又直线4360x y --=与圆C 相切，则圆C 的标准方程为A. ()2214x y -+=B. ()2212x y ++=C. ()2211x y ++=D. ()2214x y ++= 6.函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为A. 1,6πB. 2,4πC. 2,3πD. 2,6π 7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为A. 320cm πB. 316cm πC. 312cm πD. 3203cm π 8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为4，10，则输出的a 为A.0B.2C.4D.69.当102x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围是A. ⎛ ⎝⎭B. ⎫⎪⎪⎝⎭C. (D. )10.设S 是实数集R 的非空子集，如果,,,a b a b a b S ∀∈+∈-∈有，a b S -∈，则称S 是一个“和谐集”.下面命题中假命题是A.存在有限集{}{}00，是一个“和谐集”B.对任意无理数a ，集合{},x x ka k z =∈都是“和谐集”C.若12S S ≠，且12S S ，均是“和谐集”，则12S S ⋂≠∅D.对任意两个“和谐集” 12,S S ，若12,S R S R ≠≠，则12S S R ⋃=第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()1,2，则该双曲线的离心率为__________. 12.在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则()A B A C A D +⋅uu u r uuu r uuu r 的值为__________. 13.设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则23z x y =-的最小值是________.14.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是_________.15.定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x kx b =+（,k b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.现有如下函数：①()3f x x =；②()2xf x -=；③()1,00,0gx x f x x >⎧=⎨≤⎩；④()sin f x x x =+. 则存在承托函数的()f x 的序号为________.（填入满足题意的所有序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况，该题满分为12分.已知甲、乙两组的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数模糊，记为x .（I ）求x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定；（II ）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率.17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对边分别为,,a b c ，已知sin 1sin sin A a b B C a c-=-+-. （I）若b =ABC ∆周长取最大值时，求ABC ∆的面积；（II ）设()()sin ,1,6cos ,cos 2m A n B A m n ==⋅u r r u r r ，求的取值范围.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD=3AB ，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM=AB ，,DM DC SM AD =⊥.（I ）证明：BM ⊥平面SMC ；（II ）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V V 与，求1V V .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1112n na a +-=，且11,2a n N +=∈. （I ）设数列{}nb 的前n 项和为n S ，若数列{}n b满足)()()122212n n n n k b k N a a n k ++=-=∈=⎪⎪⎩，求64S ；（II ）设1231111n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+，是否存在常数c ，使n T n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，请说明理由.20. （本小题满分13分）已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:125N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.（I ）求曲线C 的方程；（II ）过曲线C 上的一点81,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条直线分别交曲线于A,B 两点，已知OA,OB 的斜率互为相反数，求直线AB 的斜率.21. （本小题满分14分）已知函数()ln x f x x e ax =-+，其中a R ∈，令函数()()1x g x f x e =++. （I ）当1a =时，求函数()1f x x =在处的切线方程；（II ）当a e =-时，证明：()1g x ≤-；（III ）试判断方程()ln 12x g x x =+是否有实数解，并说明理由.。
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。
山东省2016届高三下学期综合测试(1)数学(文)Word版含答案
数学文一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,3,2,3,4U A B ===，那么()A B =ðU(A) {}0,1(B) {}2,3 (C) {}0,1,4 (D) {}0,1,2,3,4（2）i 是虚数单位，若11z i =-，则z = (A)12(B) 2(C)(D) 2（3）某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为(A) 5?k ≤ (B) 4?k > (C) 3?k > (D) 4?k ≤ （4）若“﹁p ∨q ”是假命题，则 (A) p 是假命题 (B) ﹁q 是假命题 (C) p ∨q 是假命题 (D) p ∧q 是假命题 （5）已知向量2(2,1),(1,1)a a b k =+=-，则“2k =”是“a b ⊥”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （6）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(A)(B)(C)(D)（7）过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若10AB =，则AB 的中点到y 轴的距离等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（8）函数()sin x xy e e x -=-的图象（部分）大致是(A)(B)(C)(D)（9）过双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过,A O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C的方（第3题图）（第6题图）程为8(A) 112422=-y x (B) 19722=-y x(C) 18822=-y x (D) 141222=-y x（10）己知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，()()22f x f x +=-，()41f =，则不等式()x f x e <的解集为(A) ()2,-+∞(B) ()0,+∞(C) ()1,+∞(D) ()4,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）在等差数列{}n a 中，1533a =，2566a =，则35a = ________.（12）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若222s i n s i n s i n s i n A C B A C +-=，则角B 等于 .（13）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________. （14）设,x y 满足约束条件210,0,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________. （15）给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.对于三次函数()()320=+++≠f x ax bx cx d a ，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是()f x 的对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面结论，计算12201420152016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）某网站针对“2015年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A ，B 两种放假方案，调查结果（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B 方案”的概率.（17）（本小题满分12分）已知函数()f x =22sin cos x x x ωωω+-0ω>）的最小正周期是π.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x = 的图象，求()y g x =的解+析+式及其在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域.（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是 梯形，AD ⊥平面,DEFG EF //DG ，120EDG ︒∠=， 1AB AC EF ===，2DG =. （Ⅰ）求证：AE //平面BFGC ； （Ⅱ）求证：FG ⊥平面ADF .（19）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,()3nn n a a a n a *+==∈+N . （Ⅰ）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设(31)2n n n n nb a =-⋅⋅，记其前n 项和为n T ，若不等式1122n n n T n λ--<+ 对一切n *∈N恒成立，求λ的取值范围.（20）（本小题满分14分）已知函数()ln ,()xf x xg x e ==. （Ⅰ）求函数()y fx x =-的单调区间； （Ⅱ）若不等式()g x <在()0,+∞ 上有解，求实数m 的取值菹围； （Ⅲ）证明：函数()y f x =和()y g x =在公共定义域内， .（21）（本小题满分13分）设12,F F 是椭圆C ：2222+1x y a b =（0a b >>）的左右焦点,过2F 作倾斜角为π3的直线与椭圆交于,A B 两点,1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆的四个顶点得到菱形面积为4 . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点P 作直线1l 交椭圆C 于另一点Q .(1) 若点(0,t)N 是线段PQ 的垂直平分线上的一点，且满足4NP NQ ⋅= ，求实数t 的值.（第18题图） ()()2g x f x ->(2) 过P 作垂直于1l 的直线2l 交椭圆于另一点G ，当直线1l 的斜率变化时，直线GQ 是否过x轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.（Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，再向上平移1个单位，得到 2sin(2)13y x π=++的图象，所以2sin(2)13y x π=++………………………8分因为02x π≤≤，所以42333x πππ≤+≤ ………………………10分所以当232x ππ+=即12x π=时()y g x =上有最大值3 所以当4233x ππ+=即2x π=时()y g x =上有最小值1所以()02y g x π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在，上的值域为ABC DE GFM]1⎡-⎣…………………………………12分18证明：（Ⅰ）连接CF.因为AC//DG,EF//DG所以AC//EF……………………………2分又=AC EF所以四边形AEFC是平行四边形所以AE//FC………………… 4分又AE⊄平面BFGC，FC⊂平面BFGC所以AE//平面BFGC．………… 6分（Ⅱ）取DG的中点M,连接FM,则EF DM=.又EF//DG，故四边形DEFM是平行四边形.所以112MF DE DG===所以DFG∆是直角三角形，所以FG⊥DF…………8分又,AD DEFG⊥面所以FG⊥AD………………………11分又AD ADF⊂面,DF ADF⊂面,AD DF D=所以FG ADF⊥面………12分19.解：（Ⅰ）由111,()3nnnaa a n Na*+==∈+知，11111322n na a+⎛⎫+=+⎪⎝⎭…………… 3分又111322a+=，所以112na⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列…… 4分所以111333222nnna-+=⨯=故231n na=-…… 6分（Ⅱ）1(31)22nn nn nn nb a-=-⋅⋅=……………………………… 7分所以0122111111123(1)22222n n nT n n--=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯1231111111123(1)222222n n nT n n-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯……………… 8分两式相减得0121111111222222222n n n nnT n-+=++++-⨯=-所以1242n nnT-+=-…………………………………………………… 9分由1122n nnT nλ--<+对一切n N*∈恒成立，即12n nnTλ-<+对一切n N*∈恒成立，所以2142nλ-<-对一切n N*∈恒成立……………………………… 10分设21()42ng n-=-，易知()g n是递增函数………………………………11分所以(1)2gλ<=，即2λ<. ………………………………12 分设()h x x e -=，()11x x h x ee '=-=-………………6分1≥=>，且(0,)x ∈+∞时，1x e >，所以10xe -<，即()0h x '<，故()h x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以()(0)0h x h <=， …………………………………………8分 因此0m <﹒ …………………………………………9分 （Ⅲ）方法一：()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞，()()ln (ln )x x g x f x e x e x x x -=-=---，……………………………………10分设()x m x e x =-，(0,)x ∈+∞，因为()10xm x e '=->，()m x 在区间(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=， ………………………12分又设()ln n x x x =-，(0,)x ∈+∞，由（Ⅰ）知1x =是()n x 的极大值点， 即()(1)1n x n <=-，所以()()m()()1(1)2g x f x x n x -=->--=，在函数()y f x =和()y g x =公共定义域内， ()()2g x f x ->﹒ …………………13分方法二：()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞，令()()()ln xG x g x f x e x =-=-，则1()x G x e x'=- ……………………10分 设1()0x G x e x'=-=的解为00(0)x x >，则当0(0,)x x ∈时，()0G x '<， ()G x 单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0G x '>， ()G x 单调递增； 所以()G x 在0x 处取得最小值000001()ln x G x e x x x =-=+，………………12分 显然00x >且01x ≠，所以0012x x +>，所以0()()2G x G x ≥>， 故在函数()y f x =和()y g x =公共定义域内，()()2g x f x ->﹒…………………13分21.解: （Ⅰ）设焦距为2c ,过右焦点倾斜角为π30y --= ,由题意得222324ab a b c ⎧==⎨⎪=+⎪⎪⎩……….1分解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ …………2分 椭圆的方程为2214x y += …………………………….3分 （Ⅱ）(1)设11(,)Q x y (i)当1l 斜率不存在时，(2,0),(2,0),(2,t),(2,t)P Q NP NQ -=--=- 244NP NQ t ⋅=-=，t =±……………………………4分 （ii ）当1l 斜率存在时,设1l 的方程为(2)y k x =+ ，则22(2) 440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩消去 y 得2222(14)161640k x k x k +++-= ,则212212016214164214k x k k x k ⎧⎪∆>⎪⎪-+=-⎨+⎪⎪--=⎪+⎩,……5分 所以2128214k x k -+=+,1124(2)14ky k x k=+=+ 故222824(,)1414k k Q k k -+++ ………6分. PQ 的中点22282(,)1414k kM k k -++ ……………7分 令0x = ,得2614k t k -=+ , 所以26(0,)14kN k -+………………8分 222268210(2,),(,)141414k k k NP NQ k k k -+=-=+++ 22224166041414k k NP NQ k k-+⋅=+=++ ,解得7k =± ,符合0∆>故5t =±…………………………………9分综上所述t =±5t =±………………………10分(2)设GQ 的方程为y kx m =+ ,设2233(,),(,)G x y Q x y22440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩ 消去x 得222(14)8440k x kmx m +++-= 则23222328144414km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2223232322222222222222()4484414141414y y k x x kb x x b k b k k b k b b b k k k k k =+++-+-=-+=++++ ……12分 因为12l l ⊥ ,所以0PG PQ ⋅=22332323232222222222(2,)(2,)2()44416412165(2)(65)401414141414PG PQ x y x y x x x x y y m km m k k km m k m k m k k k k k⋅=+⋅+=++++----+--=+++===+++++ 解得2m k =(舍) 或65km =所以GQ 的方程为65k y kx =+ ,即6()5y k x =+ ,过定点6(,0)5- ……13分当GQ 的斜率不存在时,经计算知也过6(,0)5-,故过定点6(,0)5-.……14分。
青岛市数学2015-2016学年第二学期高三期末模拟试题(文科)
2015-2016学年第二学期期末模拟试题高三数学（文科） 第Ｉ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
） 1、已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=（）A 、34i -B 、34i +C 、43i -D 、43i +2、已知集合2{|430}M x x x =-+<，集合{|lg(3)0}N x x =->，则M N ⋂=（） A 、{|23}x x << B 、{|13}x x << C 、{|12}x x << D 、∅3、函数2()(sin cos )f x x x =+的一条对称轴的方程是（） A 、4x π=B 、3x π=C 、2x π=D 、x π=4、下列命题中，正确的是（）A 、命题“0,2≤-∈∀x x R x ”的否定是“0,2≥-∈∀x x R x ”B 、命题“q p ∧为真”是命题“q p ∨为真”的必要不充分条件C 、“若22bm am ≤，则b a ≤”的否命题为真D 、若实数]1,1[,-∈y x ，则满足122≥+y x 的概率为4π5、等比数列{}n a 中，39a =前三项和为327S =，则公比q 的值是（） A 、1 B 、12-C 、1或12-D 、—1或12- 6、若函数()212x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为（）A 、(),1-∞-B 、()1,0-C 、()0,1D 、()1,+∞7、一个几何体的三视图如图，则该几何体的全面积为（）A 、48+122B 、48+242C 、36+122D 、36+2428、若等边△ABC 的边长为23平面内一点M 满足11,33CM CB AC MA =+ 则·MB等于（）A 、23B 、－23C 、2D 、-29、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，—b ），若||||BA BF BA BF +=-，则双曲线的离心率值为（）A 、312 B 、512 C 、512D 210、定义在R 上的奇函数()f x 满足：①对任意x 都有(3)()f x f x +=成立；②当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，33()222f x x =--，则方程1()f x x =在区间[]4,4-上根的个数是（）A 、4B 、5C 、6D 、7第II 卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年山东省青岛市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2016年山东省青岛市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：1．（5分）设全集为R，函数f（x）＝的定义域为M，则∁R M＝（）A．（﹣∞，1）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（0，2）2．（5分）若复数z＝（a∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则z的模等于（）A．B．C．1D．3．（5分）“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设a＝3，b＝，c＝，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．（5分）直线l：x﹣y+2＝0和圆C：x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交过圆心D．相交不过圆心6．（5分）如图，把侧棱与底面垂直，且底面边长和侧棱长都等于的三棱柱截去三个角（如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图（侧视图）为（）A．B．C．D．7．（5分）在区间上随机取一个数x，则事件“tan x•cos x＞”发生的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的m，n分别为385，105，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数，例：11MOD7＝4），则输出的m等于（）A．0B．15C．35D．709．（5分）在直角坐标系xOy中，点P的坐标（x，y）满足，向量＝（1，﹣1），则•的最大值是（）A．﹣1B．0C．1D．210．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f （x）＝﹣1，若在区间（﹣2，6）内，函数y＝f（x）﹣log a（x+2）（a＞1）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，4]B．（1，2）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（1，4）二、填空题：11．（5分）某农业生态园有果树60000棵，其中樱桃树有4000棵．为调查果树的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为300的样本，则样本中樱桃树的数量为棵．12．（5分）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝．13．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）焦距长为4，焦点到渐近线的距离等于，则双曲线离心率为．14．（5分）已知x、y取值如表：从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x+1.45，则实数m＝．15．（5分）函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定K（A，B）＝（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“近似曲率”．设曲线y＝上两点A（a，），B（，a）（a＞0且a≠1），若m•K（A，B）＞1恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：16．（12分）为调查某乡镇中心小学的学生每周平均体育运动时间的情况，收集了20位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．这20位学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．（Ⅰ）求这些学生每周平均体育运动时间不超过6个小时的概率；（Ⅱ）从这些学生每周平均体育运动时间超过6个小时的学生中任选2人，求这两名同学不在同一个分组区间的概率．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B+a cos B＝c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）函数f（x）＝5cos2（ωx+）﹣3（ω＞0），将y＝f（x）图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍后便得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）的最小正周期为π．当x∈[0，]时，求函数f（x）值域．18．（12分）四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且平面ACFE⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点，AB＝BD＝2，AE＝，CH＝．（Ⅰ）求证：CH⊥平面BDF（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．19．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a22﹣3a7＝2，且，，S3成等比数列，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，若对于任意的n∈N*，都有8T n＜2λ2+5λ成立，求实数λ的取值范围．20．（13分）已知点F1、F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点F2也为抛物线C2：y2＝8x的焦点，P为椭圆C1上的一动点，且△PF1F2的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）T为直线x＝﹣3上任意一点，过点F1作TF1的垂线交椭圆C1于M，N两点，求的最小值．21．（14分）已知函数f（x）＝e x（x2﹣ax+a），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上存在单调增区间，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数p（x）＝f（x）﹣x2在x＝0处取得极小值，求a的取值范围．2016年山东省青岛市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）设全集为R，函数f（x）＝的定义域为M，则∁R M＝（）A．（﹣∞，1）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（0，2）【解答】解：要使函数有意义，则log2x﹣1≥0，即log2x≥1，则x≥2，即M＝[2，+∞），则∁R M＝（﹣∞，2），故选：C．2．（5分）若复数z＝（a∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则z的模等于（）A．B．C．1D．【解答】解：复数z＝＝＝的实部与虚部相等，∴，解得a＝﹣1．∴z＝i，则|z|＝＝．故选：B．3．（5分）“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若￢p为假命题，则p为真命题．若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，故“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）设a＝3，b＝，c＝，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：∵a＝3＜0，b＝＜，c＝＝，∴a＜b＜c．故选：A．5．（5分）直线l：x﹣y+2＝0和圆C：x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交过圆心D．相交不过圆心【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0化为标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（﹣1，2），半径为2．∴圆心到直线的距离为＝＜2，∴直线与圆相交，圆的圆心不满足直线方程．故选：D．6．（5分）如图，把侧棱与底面垂直，且底面边长和侧棱长都等于的三棱柱截去三个角（如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图（侧视图）为（）A．B．C．D．【解答】解：∵平面DEHG⊥平面DEF，∴几何体的左视图为直角梯形，且直腰在左视图的左侧．故选：A．7．（5分）在区间上随机取一个数x，则事件“tan x•cos x＞”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵tan x•cos x＞，即sin x＞且cos x≠0，∵x∈，∴x∈（，）∴在区间上，满足tan x•cos x＞发生的概率为P＝．故选：C．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的m，n分别为385，105，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数，例：11MOD7＝4），则输出的m等于（）A．0B．15C．35D．70【解答】解：模拟执行程序，可得m＝385，n＝105执行循环体，r＝70，m＝105，n＝70不满足条件r＝0，执行循环体，r＝35，m＝70，n＝35不满足条件r＝0，执行循环体，r＝0，m＝35，n＝0满足条件r＝0，退出循环，输出的m值为35，故选：C．9．（5分）在直角坐标系xOy中，点P的坐标（x，y）满足，向量＝（1，﹣1），则•的最大值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：•＝x﹣y，设z＝x﹣y，不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x﹣y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由平移可知当直线y＝x﹣z，经过点C时，直线y＝x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（3，2）代入z＝x﹣y得z＝3﹣2＝1，即z＝x﹣y的最大值是1，故选：C．10．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f （x）＝﹣1，若在区间（﹣2，6）内，函数y＝f（x）﹣log a（x+2）（a＞1）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，4]B．（1，2）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（1，4）【解答】解：∵f（2+x）＝f（2﹣x），∴x＝2是f（x）的对称轴，又函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，∴x＝0是函数f（x）的对称轴，∴函数y＝f（x）的周期为4；又当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣1，∴0≤f（x）≤1；又在区间（﹣2，6）内，函数y＝f（x）﹣log a（x+2）（a＞1）恰有1个零点，作出函数y＝f（x）和y＝log a（x+2）在x∈[﹣2，6]内的图象，如图所示；由log a（2+2）＝1，解得a＝4，故实数a的取值范围是1＜a＜4．故选：D．二、填空题：11．（5分）某农业生态园有果树60000棵，其中樱桃树有4000棵．为调查果树的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为300的样本，则样本中樱桃树的数量为20棵．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于＝，设样本中抽取樱桃树的数量为x，则＝解得x＝20．故答案为：20．12．（5分）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝﹣．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（π﹣2α）＝﹣cos2α＝﹣（1﹣2sin2α）＝﹣．故答案为：﹣13．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）焦距长为4，焦点到渐近线的距离等于，则双曲线离心率为2．【解答】解：∵双曲线的焦距长为4，∴2c＝4，c＝2，设双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y＝，即bx﹣ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝＝，则a＝＝，则离心率e＝，故答案为：2．14．（5分）已知x、y取值如表：从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x+1.45，则实数m＝ 1.8．【解答】解：∵＝（0+1+4+5+6+8）＝4，∴＝0.95×4+1.45＝（1.3+m+5.6+6.1+7.4+9.3），解得：m＝1.8，故答案为：1.8．15．（5分）函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定K（A，B）＝（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“近似曲率”．设曲线y＝上两点A（a，），B（，a）（a＞0且a≠1），若m•K（A，B）＞1恒成立，则实数m的取值范围是[，+∞）．【解答】解：由y＝得y′＝﹣，可得k A＝﹣，k B＝﹣a2，|AB|＝＝|a﹣|，可得K（A，B）＝＝＝＝，由m•K（A，B）＞1恒成立，可得m＞，由a+≥2＝2，又a＞0且a≠1，则等号不成立，即有＜，故m≥．则实数m的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题：16．（12分）为调查某乡镇中心小学的学生每周平均体育运动时间的情况，收集了20位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．这20位学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．（Ⅰ）求这些学生每周平均体育运动时间不超过6个小时的概率；（Ⅱ）从这些学生每周平均体育运动时间超过6个小时的学生中任选2人，求这两名同学不在同一个分组区间的概率．【解答】解：（Ⅰ）运动时间不超过6个小时的概率为P1＝2×（0.025+0.1+0.15）＝0.55；（Ⅱ）运动时间超过6个小时的学生分别在（6，8]，（8，10]，（10，12]组中，其中在（6，8]组的人数为2×0.125×20＝5人，在（8，10]组的人数为2×0.075×20＝3人，在（10，12]组的人数为2×0.025×20＝1人．…（7分）记（6，8]组的5人分别为A1，A2，A3，A4，A5，（8，10]组的3人分别为B1，B2，B3，（10，12]组的人为C1．则任选2人的事件分别有A1A2，A1A3…A4A5共10种，B1B2，B1B3，B2B3共3种，A1B1，A1B2，A1B3…A5B1，A5B2，A5B3共15种，A1C1，A2C1…A5C1共5种，B1C1，B2C1，B3C1共3种．…（10分）所以不在同一个分组区间的概率．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B+a cos B＝c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）函数f（x）＝5cos2（ωx+）﹣3（ω＞0），将y＝f（x）图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍后便得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）的最小正周期为π．当x∈[0，]时，求函数f（x）值域．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴…（2分）∵C＝π﹣（A+B），∴＝，则，∵sin B≠0，∴，由0＜A＜π得，．…（6分）（Ⅱ）＝＝，∴，∴，解得，即，…（9分）由得，，∴，即，∴f（x）的值域为．…（12分）18．（12分）四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且平面ACFE⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点，AB＝BD＝2，AE＝，CH＝．（Ⅰ）求证：CH⊥平面BDF（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵ACFE为平行四边形，，∴，∵四边形ABCD为菱形，∴AG＝CG，BG＝DG，AD＝AB，∵AB＝BD＝2，∴△ABD是以2为边长的等边三角形，则，从而CG＝CF，∵H为FG的中点，∴CH⊥FG，∵四边形ABCD为菱形∴BD⊥AC，∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACFE，∵CH⊂平面ACFE，∴BD⊥CH．∵BD∩FG＝G，BD⊂平面BDF，FG⊂平面BDF，∴CH⊥平面BDF；（Ⅱ）解：连结EG，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACFE，∵FG⊂平面ACFE，EG⊂平面ACFE，∴BD⊥EG，BD⊥FG．由（Ⅰ）可知CH⊥FG，，∵，∴∠FGC＝30°，由（Ⅰ）可知CG＝CF，∴∠GFC＝30°，从而∠FCG＝120°，∵ACFE为平行四边形，∴∠EAG＝60°，由（Ⅰ）可知AE＝AG，∴△AEG为正三角形，从而，∠AGE＝60°，∴∠EGF＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即FG⊥EG，∵BD∩EG＝G，∴FG⊥平面BDE，在△CFG中，，在△BDE中，，∴．19．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a22﹣3a7＝2，且，，S3成等比数列，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，若对于任意的n∈N*，都有8T n＜2λ2+5λ成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d由，即，解得：，或，当，时，没有意义，∴a1＝2，d＝2，此时a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（Ⅱ），T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝，∴，为满足题意，必须2λ2+5λ≥3，∴或λ≤﹣3．20．（13分）已知点F1、F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点F2也为抛物线C2：y2＝8x的焦点，P为椭圆C1上的一动点，且△PF1F2的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）T为直线x＝﹣3上任意一点，过点F1作TF1的垂线交椭圆C1于M，N两点，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴F2（2，0），F1（﹣2，0），∴c＝2…（2分）△PF1F2的面积最大值为：，…（4分）∴，∴a2＝b2+c2＝6∴椭圆C1的方程为．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（﹣2，0），设T点的坐标为（﹣3，m），则直线TF1的斜率当m≠0时，直线MN的斜率．直线MN的方程是x＝my﹣2当m＝0时，直线MN的方程是x＝﹣2，也符合x＝my﹣2的形式．所以直线MN的方程是x＝my﹣2设M（x1，y1），N（x2，y2），则得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，所以…（8分），|＝…（11分）所以当且仅当，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值（0，+∞）．（13分）21．（14分）已知函数f（x）＝e x（x2﹣ax+a），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上存在单调增区间，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数p（x）＝f（x）﹣x2在x＝0处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝e x（x2﹣ax+a），a∈R，∴f'（x）＝e x[x2﹣（a﹣2）x]＝xe x[x﹣（a﹣2）]（2分）当a＝2时，f′（x）＝x2e x≥0恒成立，f（x）在[1，2]为增函数，符合题意；当a＞2时，f′（x）＝xe x[x﹣（a﹣2）]＞0，得x＞a﹣2或x＜0，若f（x）在[1，2]上存在单调增区间，则满足a﹣2＜2，即2＜a＜4，当a＜2时，f′（x）＝xe x[x﹣（a﹣2）]＞0得x＞0或x＜a﹣2，∴f（x）在[1，2]为增函数，符合题意综上可得：a＜4．…（6分）（Ⅱ）p（x）＝f（x）﹣x2＝（x2﹣ax+a）e x﹣x2，∴p′（x）＝x[（x+2﹣a）e x﹣2]由p′（x）＝0得x＝0或（x+2﹣a）e x﹣2＝0，由（x+2﹣a）e x﹣2＝0得令恒成立，∴u（x）在（﹣∞，+∞）为单调增函数，方程的根唯一，记为x0．…（8分）（1）当x0＞0时，x∈（x0，+∞）时，，即（x+2﹣a）e x﹣2＞0，p'（x）＞0，p（x）为增函数；x∈（0，x0）时，，即（x+2﹣a）e x﹣2＜0，p'（x）＜0，p（x）为减函数；x∈（﹣∞，0）时，，即（x+2﹣a）e x﹣2＜0，p'（x）＞0，p（x）为增函数；此时p（x）在x＝0处取得极大值，此种情况不符合题意．…（10分）（2）当x0＝0时，由u（x0）＝0得a＝0，p′（x）＝x[（x+2）e x﹣2]x∈（﹣∞，0）时，，即（x+2）e x﹣2＜0，p′（x）＞0，p（x）为增函数；x∈（0，+∞）时，，即（x+2）e x﹣2＞0，p′（x）＞0，p（x）为增函数；又p′（0）＝0，∴p′（x）≥0恒成立，∴p（x）在（﹣∞，+∞）为增函数，没有极值不合题意（12分）（3）当x0＜0时x∈（﹣∞，x0）时，，即（x+2﹣a）e x﹣2＜0，p'（x）＞0，p（x）为增函数；x∈（x0，0）时，，即（x+2﹣a）e x﹣2＞0，p'（x）＜0，p（x）为减函数；x∈（0，+∞）时，，即（x+2﹣a）e x﹣2＞0，p'（x）＞0，p（x）为增函数；此时p（x）在x＝0处取得极小值，符合题意．∵u（x）在（﹣∞，+∞）为单调增函数，x0＜0，∴u（x0）＜u（0），∴由u（x0）＝0，得，∴综上可得：a＜0．（14分）。
山东省青岛市2016届高三上学期期末考试数学(文)试卷
山东省青岛市2016届高三上学期期末考试数学（文）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将有关信息填在答题卡规定的位置上，按要求贴好条形码。
2．第I 卷答案请用2B 铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本题共10个小题。
每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合(){}{ln 3,A x y x B x y ==-==，则()R C A B ⋂等于A. ()2,3B. ()3,+∞C. []2,3D. (]0,32.设复数1212,1z i z i =-=+，则复数12z z z =在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.平面向量a b 与r r 的夹角为()2,0,123a b a b π==-=，，则rr r rA.B.0C.D.24.已知圆()22114O x y +-=：，圆222:2440O x y x y +-+-=，则圆1O 和圆2O 的位置关系是A.相交B.相离C.外切D.内含5.阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为A.B.0C.D. 6.设0,0a b >>，若2是22ab与的等比中项，则11a b+的最小值为 A.8B.4C.2D.17.已知双曲线22221x y a b-=的一个实轴端点与恰与抛物线24y x =-的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为A. 221412x y -=B. 221124x y -=C. 22131x y -=D. 2213y x -=8.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=+，且4AC AB =uuu r uu u rg 则ABC ∆的面积等于A.B.C.D. 9.已知命题22:,11;:,10P x R mx q x R x mx ∃∈+<∀∈++≥，若()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是 A. ()(),02,-∞⋃+∞ B. []0,2C. [)2,+∞D. []2,0-10.已知函数()2,01,0x x f x gx x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()1y f x =-的零点个数是A.1B.4C.3D.2第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.某班有男同学27人，女同学18人，若用分层抽样的方法从该班全体同学中抽取一个容量为20的样本，则抽取女同学的人数为__________.12.若433333,,log ,,,555a b c a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则三者的大小关系为___________.（用＜表示）；13.已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位cm ），可得这个几何体的体积是__________cm 3.14.已知圆22430x y y +++=与抛物线()220x py p =>的准线相切，则p=_________.15.已知O 是坐标原点，点A 的坐标为()2,1，若点(),B x y 为平面区域41x y x y x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩上的一个动点，则z OA OB =的最大值是____________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分） 已知函数())1cos .cos 2f x x x x ωωω=-+（其中0ω>），若()f x 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为4π（I ）求()y f x =的单调递增区间；（II ）在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、满足()()2cos cos b a C c A f B -=⋅，且恰是()f x 的最大值，试判断ABC ∆的形状.17.已知()()1,0,0,2A B -，动点(),,PAB P x y S S ∆= （I ）若{}{}1,0,1,2,1,0,11x y S ∈-∈-≤，求的概率； （II ）若[][]0,2,0,21x y S ∈∈≤，求的概率.18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为()()1,1,31,n n n S a S na n n n N *==--∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）是否存在正整数n ，使得()23123120161232n S S S S n n +++⋅⋅⋅+--=？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由.19. （本小题满分12分）四棱锥P ABCD PD -⊥中，平面ABCD ，2AD=BC=2a ()0a >，//,,AD BC PD =DAB θ∠=（I ）若60,2,AB a θ==Q 为PB 的中点，求证：DQ PC ⊥；（II ）若90,AB θ== ，M 为BC 中点，试在PC 上找一点N ，使PA//平面DMN ；20. （本小题满分12分）椭圆C 的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，离心率与双曲线2213y x -=离心率互为倒数，且过点，设E 、F 分别为椭圆的左右焦点. (I)求出椭圆方程；(II)一条纵截距为2的直线l 1与椭圆C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程；(III)直线l 2:1x ty =+与曲线C 交与A 、B 两点，试问：当t 变化时，是否存在一条直线l 2，使△ABE 的面积为?若存在，求出直线l 2的方程；若不存在，说明理由21. （本小题满分14分）已知函数()2ln f x a x x bx =++（a 为实常数）.（I ）若()()2,3,a b f x e =-=-+∞，求证：在上为单调增函数；（II ）若202b a e =>-，且，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值； （III ）设b =0，若存在[]1,x e ∈，使得()()2f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围.参考答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1-5 CCDAB 6-10 CDDBB.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 8 12． c a b << 13．8314． 2或6; 15． 6 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)因为2211()cos cos 2(2cos 1)22f x x x x x x ωωωωω=⋅-+=--12cos 2sin(2)26x x x πωωω=-=-………………………3分 ()f x 的对称轴离最近的对称中心的距离为4π所以T π=，所以22ππω=，所以1ω= ()sin(2)6f x x π=-………………………………5分解 222262k x k πππππ-+≤-≤+得：63k x k ππππ-+≤≤+所以函数()f x 单调增区间为[,]()63k k k Z ππππ-++∈……………………6分(Ⅱ) 因为(2)cos cos b a C c A -=⋅，由正弦定理， 得(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅2sin cos sin cos sin cos sin()B C A C C A A C =+=+因为sin()sin()sin 0A C B B π+=-=>2sin cos sin B C B =，所以sin (2cos 1)0B C -=所以1cos 2C =0C π<<，所以3C π=……………………9分 所以203B π<< 4023B π<<72666B πππ-<-<根据正弦函数的图象可以看出，()f B 无最小值,有最大值max 1y =， 此时262B ππ-=，即3B π=,所以3A π=所以ABC ∆为等边三角形…………………………12分17．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 设1S ≤为事件A ,{1,0,1,2},{1,0,1}x y ∈-∈- 所以所有(,)P x y 的所有可能点的集合列表表示为为12个基本事件………………………………2分,A B 所在直线的方程为112x y+=-,即220x y -+= 设(,)P x y 到AB 的距离为d ,1||12PAB S S AB d ∆==≤||AB =,所以d ≤分 (,)P x y 到AB的距离为d =所以|22|2x y -+≤即可即2222x y -≤-+≤,也即420x y -≤-≤即可 上面基本事件中,符合420x y -≤-≤的所有点的集合为{(1,1),(1,0),(1,1),(0,0),(0,1)}----共5个基本事件,所以5()12P A =……………………………6分 (Ⅱ) [0,2],[0,2]x y ∈∈可作出所有(,)P x y 表示的线形区域C 如右图1||12PAB S S AB d ∆==≤||AB =,所以d ≤,A B 所在直线的方程220x y -+=到直线220x y -+=的距离恰等于的所有点在与,A B 平行的直线上,设为20x y m -+=,根据两平行线的距离公式d ==解得0m =或4(舍去)所以符合要求的点的区域为20x y -=和0x ≥及2y ≤的公共区域 可解得20x y -=与2y =的交点为(1,2) 其面积为'12112S =⨯⨯= 所以,由几何概型可知:1()4P A =……………………………12分 18．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 3(1)n n S na n n =-- *(N )n ∈ 所以2n ≥时, 11(1)3(1)(2)n n S n a n n --=----两式相减得:11(1)3(1)[(2)]n n n n n a S S na n a n n n --=-=------ 即1(1)(1)6(1)n n n a n a n --=-+-也即16n n a a --=,所以{}n a 为公差为6的等差数列11a = 所以65n a n =-…………………………………6分 (Ⅱ)23(1)=(65)3(1)32n n S na n n n n n n n n =-----=-所以32nS n n=- 23123(1)31...3(123...)22123222n S S S S n n n n n n n n +++++=++++-=-=- 所以222312331353...(1)(1)2016123222222n S S S S n n n n n n ++++--=---=-=所以54035n = 所以807n =即当807n =时, 23123...(1)20161232n S S S Sn n ++++--=………………………12分19．（本小题满分证明 (Ⅰ) 连结BD ,ABD ∆中,,2,60AD a AB a DAB ==∠=由余弦定理:2222cos 60BD DA AB DA AB =+-⋅ ,解得BD =所以ABD ∆为直角三角形，BD AD ⊥ 因为//AD BC ，所以BC BD ⊥ 又因为PD ⊥平面ABCD所以BC PD ⊥，因为PD BD D = 所以BC ⊥平面PBD BC ⊂平面PBC所以，平面PBD ⊥平面PBC又因为PD BD ==，Q 为PB 中点 所以DQ PB ⊥因为平面PBD 平面PBC PB = 所以DQ ⊥平面PBCPC ⊂平面PBC所以DQ PC ⊥…………………………………6分(Ⅱ) 当N 为PC 中点时，//PA 平面DMN ; 证明：连结,AM AC ，设AC DM O =先证明DAMC 为平行四边形，由中点得//ON PA可证明//PA 平面DMN …………………………………12分 20．（本小题满分13分）解: (Ⅰ) 双曲线2213y x -=的离心率为2所以椭圆的离心率为12设椭圆的长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,222b a c =-所以12c a =所以b =,设椭圆的方程为2222413x y a a +=椭圆过点,所以22343413a a ⨯+=,解得24a = 所以椭圆的标准方程为22143x y +=…………………………4分(Ⅱ) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: 22(34)1640k x kx +++=由0∆>,得214k >()*设112,2(,),()P x y Q x y则121222164,3434k x x x x k k +=-=++ (1) 以PQ 直径的圆恰过原点所以OP OQ ⊥,0OP OQ ∙=即12120x x y y +=也即1212(2)(2)0x x kx kx +++= 即21212(1)2()40k x x k x x ++++=将(1)式代入,得2224(1)32403434k kk k +-+=++ 即2224(1)324(34)0k k k +-++=解得243k =,满足(*)式,所以k =…………………………………………8分(Ⅲ)由方程组221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22(34)690t y ty ++-=*设112,2(,),()A x y B x y ,则12122269,03434t y y y y t t +=-⋅=-<++所以1y -==因为直线:1l x ty =+过点(1,0)F所以ABE ∆的面积1211222ABES EF y y ∆=-=⨯==则223t =-不成立不存在直线l 满足题意……………………………………13分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 2,3a b =-=-时，2()2ln 3f x x x x =-+-，定义域为(0,)+∞，22232(2)(21)()23x x x x f x x x x x---+'=-+-==(,)x e ∈+∞时，(2)(21)()0x x f x x-+'=>恒成立所以()f x 在(,)e +∞上为单调增函数……………………4分 (Ⅱ)因为0b =，所以2()ln f x a x x =+22()(0)x af x x x+'=>，[1,]x e ∈，222[2,2]x a a a e +∈++(i) 若2a ≥-，)(x f '在[1,]e 上非负（仅当2,1a x =-=时，()0f x '=）， 故函数)(x f 在[1,]e 上是增函数，此时min [()](1)1f x f ==………………………6分 (ii)若222 2 , 20, 20e a a a e -<<-+<+>，22[()]2()ax f x x --'==,[1,]x e ∈11当x =()0f x '=,22 2 ,1e a e -<<-<<当1x ≤<时，()0f x '<，此时()f x 是减函数；x e <≤时，()0f x '>，此时()f x 是增函数．故min [()]ln()222a a a f x f ==--…………………………9分 (Ⅲ) 0b =，2()ln f x a x x =+不等式()(2)f x a x ≤+，即2ln (2)a x x a x +≤+ 可化为2(ln )2a x x x x -≥-．因为[1,]x e ∈, 所以ln 1x x ≤≤且等号不能同时取，所以ln x x <，即ln 0x x ->， 因而22ln x x a x x-≥-（[1,]x e ∈）……………………………11分 令22()ln x x g x x x-=-（[1,]x e ∈）， 又2(1)(22ln )()(ln )x x x g x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10,ln 1x x -≥≤，22ln 0x x +->，从而()0g x '≥（仅当1x =时取等号），所以)(x g 在[1,]e 上为增函数，故()g x 的最小值为(1)1g =-，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞……………………14分。
山东省青岛市2016届高三自主练习(二模)文科数学试题及答案
青岛2016高考文科数学二模试题 2016.05 一、选择题：1．设全集为R ，函数()f x =的定义域为M ，则=M C RA ．(,1)-∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(0,2)2．若复数2a i z i+=（R a ∈，为虚数单位）的实部与虚部相等，则z 的模等于A ．12B ．2C ． D3．“p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设12log 3a =，0.21()3b =，121()2c -=，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 5．直线:20l x y -+=和圆22: 2410C x y x y ++-+= 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交过圆心D ．相交不过圆心6．如图，把侧棱与底面垂直，且底面边长和侧棱长都等于的三棱柱截去三个角（如图1所示，,,A B C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图（侧视图）为A ．B ．C ．D ．7．在区间)2,0(π上随机取一个数x ，则事件“22cos tan >⋅x x ”发生的概率为A ．43 B ．21 C ．31 D ．148.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”. 若输入的,m n 分别为385,105，执行该程序框图（图中“ MOD m n ”表示m 除以n 的余数，EBE BBB左视图1BCA DE FADBC IHGE F图2例：11 MOD 74=），则输出的m 等于 A ．0 B ．15 C ．359．在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标(,)x y 满足21050210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，向量()1,1-=，则⋅的最大值是A ．1-B ．0C ．D ．2 10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，()(12xf x =-，若在 区间(2,6)-内，函数()log (2) (1)a y f x x a =-+>恰有个零点，则实数a 的取值范围是A ．(1,4]B ．(1,2)(4,)+∞UC ．(4,)+∞D ．(1,4)二、填空题：11.某农业生态园有果树60000棵，其中樱桃树有4000棵．为调查果树的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为300的样本，则样本中樱桃树的数量为 棵.12.已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= .13.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为4，焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的离心率为14.已知x 、y 取值如下表：y x 0.95 1.45y x =+，则实数m = . 15．函数()y f x =图象上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ,，规定||(,)||A B k k K A B AB -=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“近似曲率”.设曲线1y x=上两点11(,),(,)A a B a aa(01)a a >≠且，若(,)1m K A B ⋅>恒成立，则m 取值范围是三、解答题：16.为调查某乡镇中心小学的学生每周平均体育运动时间的情况，收集了20位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时). 这20位学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]. （Ⅰ）求这些学生每周平均体育运动时间不超过6个小时的概率；（Ⅱ）从这些学生每周平均体育运动时间超过6个小时的学生中任选2人，求这两名同学不在同一个分组区间的概率.17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos a B a B c =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）函数2()5cos ()32A f x x ω=+-(0)ω>，将()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =的最小正周期为π. 当[0,]3x π∈时，求函数()f x 值域.18．四边形ABCD 为菱形，ACFE 为平行四边形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，设BD 与AC 相交于点G ，H 为FG 的中点，2AB BD ==，AE =CH =. （Ⅰ）求证：CH ⊥平面BDF ； （Ⅱ）求三棱锥B DEF -的体积.HEFA BCD G19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22732a a -=，且321S a 成等比数列，*N n ∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令22n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈，都有2825n T λλ<+成立，求实 数λ的取值范围.20．已知点1F 、2F 分别为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 也为抛物线22:8C y x =的焦点，P 为椭圆1C 上的一动点，且12PF F ∆的面积最大值为（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）T 为直线3x =-上任意一点，过点1F 作1TF 的垂线交椭圆1C 于M N ,两点，求1||||TF MN 的最小值.21．已知函数2()(),R x f x e x ax a a =-+∈.（Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上存在单调增区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数2()()p x f x x =-在0x =处取得极小值，求a 的取值范围．一、选择题：C B B AD A B C C D 二、填空题：11.2012.19-13.2 14．1.8 15．[)2+∞ 16. 解：（Ⅰ）运动时间不超过6个小时的概率为12(0.0250.10.15)0.55P =⨯++=;………………………………………………4分（Ⅱ）运动时间超过6个小时的学生分别在(6,8]，(8,10]，(10,12]组中，其中在(6,8]组的人数为20.125205⨯⨯=人，在(8,10]组的人数为20.075203⨯⨯=人，在(10,12]组的人数为20.025201⨯⨯=人. ………………………………………………7分记(6,8]组的5人分别为12345,,,,A A A A A ，(8,10]组的3人分别为123,,B B B ，(10,12]组的人为1C .则任选2人的事件分别有121345,A A A A A A 共10种，121323,,B B B B B B共3种，111213515253,,,,A B A B A B A B A B A B 共15种，112151,AC A C A C 共5种，112131,,B C B C B C共3种. …………………………………………………………………………………………………………………10分 所以不在同一个分组区间的概率351523103351536P ++==++++ . (12)分17．解：（Ⅰ）sin cos a B a B c =∴sin sin cos A B A B C = ………………………………………2分()C A B π=-+ ，∴sin sin cos )A B A B A B =+cos cos sin )A B A B =+tan A ∴0A π<< ，3A π∴=.…………………………………………………6分(Ⅱ)251()5cos ()3cos(2)6232f x x x ππωω=+-=+-，从而541()cos()2332g x x πω=+-，23423ππωω∴=⇒=∴51()cos(3)232f x x π=+-，………………………………………………………………9分当[0,]3x π∈时，43333x πππ≤+≤，11cos(3)32x π∴-≤+≤，从而33()4f x -≤≤，所以()f x 的值域为3[3,]4-. (2)18．（Ⅰ）证明： ACFE为平行四边形，AE =CF ∴= 四边形ABCD 为菱形，AG CG ∴=，BG DG =，AD AB =2AB BD == ，ABD ∴∆是以2为边长的等边三角形AG CG ∴==CG CF =H为FG 的中点，CH FG ∴⊥……………………2分四边形ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCDAC =， BD ∴⊥平面ACFECH ⊂ 平面ACFE ，BD CH ∴⊥ …………………4分BD FG G = ，BD ⊂平面BDF ，FG ⊂平面BDF ，∴CH ⊥平面BDF ……………………………6分（Ⅱ） 解：连结EG ， 由（Ⅰ）可知BD ⊥平面ACFEFG ⊂平面ACFE ，EG ⊂平面ACFE ， BD EG ∴⊥，BD FG ⊥由（Ⅰ）可知CH FG ⊥，CG =，CH = ，30FGC ∴∠=…………………………………………………8分由（Ⅰ）可知CG CF =，30GFC ∴∠= ，从而120FCG ∠=HEFA BCDGACFE 为平行四边形，60EAG ∴∠=由（Ⅰ）可知AE AG =，AEG ∴∆为正三角形，从而EG =，60AGE ∠= 180306090EGF ∴∠=--= ，即FG EG ⊥ BD EG G = ，FG ∴⊥平面BDE在CFG ∆中，23FG HG === …………………………………………………10分在BDE ∆中，12BDE S BD EG ∆=⋅=∴11333B DEF F BDE BDE V V S FG --∆==⋅==.…………………………12分19．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d由227232321a a S a -=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩11111(21)3(6)2(23)()33a d a d a d a d a d +-+=⎧⇒⎨+-⋅+=+⎩ (2)分 即111232()(26)0a d a d a d -+=⎧⎨++-=⎩，解得：122a d =⎧⎨=⎩ 或12525a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………4分当125a =-，25d ==12, 2a d ∴==，此时22(1)2n a n n =+-=…………………………………………6分（Ⅱ）221111()2(2)42n n n b a a n n n n +===-++ ……………………………8分123n n T b b b b =++++111111111111111111()()()()()()413424435446457468=-+-+-+-+-+- 111111()()41142n n n n ++-+--++11113111(1)()42128412n n n n =+--=-+++++ ……………………………10分11832()312n T n n ∴=-+<++ 为满足题意，必须2253λλ+≥12λ∴≥或3λ≤-. ………………………………12分20．解:（Ⅰ）22:8C y x= ，2(2,0)F ∴，1(2,0)F -，2c ∴=……………………………2分12PF F ∆的面积最大值为1211||422F F b b ==⨯=， …………………………………4分b ∴2226a bc ∴=+=∴椭圆1C 的方程为22162x y +=. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(2,0)F -，设T 点的坐标为(3,)m -，则直线1TF 的斜率132TFm k m -==--+当0m ≠时，直线MN 的斜率1MN k m =. 直线MN 的方程是2x my =- 当0m =时，直线MN 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式． 所以直线MN 的方程是2x my =-设1122(,),(,)M x y N x y ，则221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(3)420m y my +--=， 所以12122242,33m y y y y m m +==-++ (8)分1TF =MN =＝……………………………………11分所以1TF MN =当且仅当22411m m +=+，即1m =±时，等号成立，此时1TF MN取得最小值13分21．解：（Ⅰ）2()(),R x f x e x ax a a =-+∈2()[(2)][(2)]x x f x e x a x xe x a '∴=--=-- 2分当2a =时，2()0x f x x e '=≥恒成立，()f x 在[1,2]为增函数，符合题意； 当2a >时，()[(2)]0x f x xe x a '=-->得20x a x >-<或若()f x 在[1,2]上存在单调增区间，则满足22a -<，即24a << 当2a <时，()[(2)]0xf x xe x a '=-->得02x x a ><-或()f x ∴在[1,2]为增函数，符合题意 综上可得：4a < .…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）222()()()x p x f x xx ax a e x =-=-+-，()[(2)2]x p x x x a e '∴=+--由()0p x '=得0x =或(2)20x x a e +--=，由(2)20x x a e +--=得220xx a e +--= 令22()2, ()10x xu x x a u x ee'=+--=+>恒成立，()u x ∴在(,)-∞+∞为单调增函数 方程2()20x u x x a e=+--=的根唯一，记为0x .……………………………………8分（1）当00x>时，0(,)x x ∈+∞时，2()20xu x x a e=+-->，即(2)20x x a e +-->，()0p x '>，()p x 为增函数； 0(0,)x x ∈时，2()20x u x x a e=+--<，即(2)20xx a e +--<，()0p x '<，()p x 为减函数；(,0)x ∈-∞时，2()20xu x x a e=+--<，即(2)20xx a e +--<，()0p x '>，()p x 为增函数； 此时()p x 在x =处取得极大值，此种情况不符合题意. ……………………………10分 （2）当00x=时，由0()0u x =得0a =，()[(2)2]x p x x x e '=+-(,0)x ∈-∞时，2()20xu x x e =+-<，即(2)20xx e +-<，()0p x '>，()p x 为增函数； (0,)x ∈+∞时，2()20x u x x e =+->，即(2)20x x e +->，()0p x '>，()p x 为增函数；又(0)0p '=，()0p x '∴≥恒成立，()p x ∴在(,)-∞+∞为增函数，没有极值不合题意12分 （3）当00x<时0(,)x x ∈-∞时，2()20x u x x a e=+--<，即(2)20x x a e +--<，()0p x '>，()p x 为增函数；0(,0)x x ∈时，2()20xu x x a e =+-->，即(2)20xx a e +-->，()0p x '<，()p x 为减函数； (0,)x ∈+∞时，2()20xu x x a e=+-->，即(2)20xx a e +-->，()0p x '>，()p x 为增函数；此时()p x 在0x =处取得极小值，符合题意.()u x 在(,)-∞+∞为单调增函数，00x <，0()(0)u x u ∴<，00220x x e ∴+-< 由0()0u x =，得00220x x a e +--=，00220x a x e∴=+-<综上可得：0a <．14分。
2016届山东省青岛市平度市高三(上)12月月考数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年山东省青岛市平度市高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|x2≤1}，则M∩N=（）A．（0，1） B．[0，1）C．[﹣1，1]D．[﹣1，0）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：lg（1﹣x）＜0=lg1，且1﹣x＞0，解得：0＜x＜1，即M=（0，1），由N中不等式解得：﹣1≤x≤1，即N=[﹣1，1]，则M∩N=（0，1），故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知命题p、q，则“p且q为假”是“p或q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系，得出判断．【解答】解：“p且q为假”，p、q都可为假，故充分性不成立；“p或q为真”，p、q都可为真，故必要性不成立；故选D．【点评】本题考查充分、必要与充要条件的判断，属于基础题，要掌握判断充要条件的方法．3．向量，，且∥，则cos2α=（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系算出sinα=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2α的值．【解答】解：∵，，且∥，∴，即，化简得sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=故选：D【点评】本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2α的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确；若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】常规题型；函数的性质及应用．【分析】函数图象题一般用排除法．【解答】解：由函数f（x）=可知，函数值都不小于0，故排除A、C、D，故选B．【点评】本题考查了函数图象的性质，利用排除法解答，属于中档题．6．设实数数列{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）A．a1＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b6【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a1=b1=4，a4=b4=1，∴4+3d=4q3=1，解得d=﹣1，q3=．∴a n=4﹣（n﹣1）=5﹣n，b n=4×q n﹣1=．由于b2==＜=4=a1，∴A正确，故选：A．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】由于==2+≥4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，可得ab≤，故B不正确．由于=1+2≤2，故≤，故C 正确．由a2+b2 =（a+b）2﹣2ab≥1﹣=，故D不正确．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=1，∴==2+≥2+2=4，故有最小值4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，∴ab≤，故ab有最大值，故B不正确．由于=a+b+2=1+2≤2，∴≤，故有最大值为，故C正确．∵a2+b2 =（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故a2+b2有最小值，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．8．已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（2，+∞）【考点】特称命题；命题的否定．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据“命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真”，不等式对应的是二次函数，利用二次的图象与性质加以解决即可．【解答】解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），若命题“∃x0＞0，f（x0）＜0”为真，则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，∴△=m2﹣4＞0，且﹣＞0，即m＜﹣2，则m的取值范围是：（﹣∞，﹣2）．故选C．【点评】本题考查特称命题、二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理．9．设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且时，f（x）=﹣x2，则f（2015）的值等于（）A． B． C．0 D．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据已知可得函数y=f（x）是周期为2的周期函数，结合时，f（x）=﹣x2，可得答案．【解答】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（t）=f（1﹣t），∴f（x+2）=f[1﹣（x+2）]=f（﹣x﹣1）=﹣f（x+1）=﹣f[1﹣（x+1）]=﹣f（﹣x）=f（x），即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，故f（2015）=f（1）=﹣f（0），又∵时，f（x）=﹣x2，∴f（2015）=f（1）=﹣f（0）=0，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性，函数的周期性，函数求值，根据已知分析出函数y=f（x）是周期为2的周期函数，是解答的关键．10．设，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…，S50中，正数的个数是（）A．25 B．30 C．40 D．50【考点】数列的求和．【专题】计算题；点列、递归数列与数学归纳法；三角函数的求值．【分析】由可知当0＜n≤25时，a n≥0，当25＜n≤50时，a n＜0；再结合S1=sin＞0，S50＞0，从而判断即可．【解答】解：∵，∴当0＜n≤25时，a n≥0，当25＜n≤50时，a n＜0；∴S n在[1，25]上单调递增，在（25，50]上单调递减；∵S1=sin＞0，S50=sin+sin+…+0+sin+sin+…+0=（1﹣）sin+（﹣）sin+…+（﹣）sin+0＞0，∴S1，S2，…，S50都是正数，故选D．【点评】本题考查了数列的递减性的判断与数列前n和的求法，同时考查了三角函数诱导公式的应用．二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=﹣2．【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力．12．在△ABC中，若=3，b2﹣a2=ac，则cosB的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】方程思想；转化思想；解三角形．【分析】由=3，利用正弦定理可得，代入b2﹣a2=ac，可得b2=．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵=3，∴，∴c=3a，代入b2﹣a2=ac，解得b2=．则cosB===．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【考点】归纳推理．【专题】压轴题；规律型．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．14．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为11．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】该几何体为长方体切去一个棱锥得到的，作出直观图，使用作差法求体积．【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体切去一个棱锥A′﹣AMD′得到的，直观图如图所示，∴V=2×2×3﹣××1×2×3=11．故答案为11．【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，对于不规则几何体常采用作差法，分解法等求体积．15．若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”，给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=（x﹣1）3；③f（x）=e x﹣1；④f（x）=cosx．则以上函数中是“准奇函数”的序号是②④．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；新定义；数形结合；函数的性质及应用．【分析】根据准奇函数的定义，先求﹣f（2a﹣x），并判断它能否等于f（x），并根据﹣f （2a﹣x）=f（x）求出a，若a≠0便得到该函数是准奇函数，若a=0便不是．按照这个方法即可判断每个选项的函数是否为准奇函数．【解答】解：A．﹣f（2a﹣x）=﹣（2a﹣x）2≤0，f（x）=x2≥0，∴f（x）=x2不是准奇函数；B．由﹣f（2a﹣x）=﹣（2a﹣x﹣1）3=（x﹣2a+1）3=（x﹣1）3得，﹣2a+1=﹣1，∴a=1，即存在a=1，使f（x）=﹣f（2a﹣x）；∴该函数为准奇函数；C．﹣f（2a﹣x）=﹣e2a﹣x﹣1＜0，而f（x）=e x﹣1＞0，∴该函数不是准奇函数；D．存在非零常数，使﹣f（2×﹣x）=﹣cos（2×﹣x）=cosx=f（x），∴该函数是准奇函数．故答案为：②④．【点评】考查对新概念﹣准奇函数的理解程度，以及根据准奇函数的定义判断一个函数是否为准奇函数的过程．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．求y=g（x）在区间[0，10π]上零点的个数．【考点】两角和与差的正弦函数；函数的零点；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；（II ）根据函数图象平移的公式，得出函数g （x ）的解析式为g （x ）=2sin2x+1．由此解g（x ）=0得sin2x=﹣，利用正弦函数的图象解出或，可见g （x ）在每个周期上恰有两个零点，即可算出 g （x ）在区间[0，10π]上零点的个数． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得f （x ）==．∵函数的最小正周期为π，∴ =π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得∴函数f （x ）的单调增区间是．（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f （x+）+1的图象，∵∴g （x ）=+1=2sin2x+1，可得y=g （x ）的解析式为g （x ）=2sin2x+1．令g （x ）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=解之得或∴函数g （x ）在每个周期上恰有两个零点， ∵函数y=g （x ）在[0，10π]恰好有10个周期， ∴g （x ）在[0，10π]上有20个零点．【点评】本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求函数g （x ）在[0，10π]上零点的个数．着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．17．把边长为a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x ，容积为V （x ）．（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据容器的高为x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V （x）的解析式，函数的定义域；（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点，先求V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为﹣﹣﹣﹣．则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣函数的定义域为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．先求V（x）的极值点．在开区间内，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令V'（x）=0，即令，解得（舍去）．因为在区间内，x1可能是极值点．当0＜x＜x1时，V'（x）＞0；当时，V'（x）＜0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以是V（x）的最大值点，并且最大值即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是求出体积，利用导数知识求解．单峰函数，极值就是最值．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C 中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点 ∴BD ⊥AC∵AA 1∩AC=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∵BD ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ；（3）解：由（2）知，△ABC 中，BD ⊥AC ，BD=BCsin60°=3，∴S △BCD ==，∴V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD =••6=9．【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．19．设函数的图象在点（x ，f （x ））处的切线的斜率为k （x ），且函数为偶函数．若函数k （x ）满足下列条件：①k （﹣1）=0；②对一切实数x ，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k （x ）的表达式；（Ⅱ）求证：（n ∈N *）．【考点】综合法与分析法(选修）；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】证明题．【分析】（Ⅰ）由已知得：k （x ）=f'（x ），根据g （x ）的奇偶性求出b ，根据k （﹣1）=0，求出，再由对一切实数x 恒成立，解得a 、c 的值，即得函数k （x ）的表达式．（Ⅱ）根据，即证，把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…由为偶函数，得为偶函数，显然有．…又k（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即．…又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立．…显然，当时，不符合题意．…当时，应满足，注意到，解得．…所以．…（Ⅱ）证明：因为，所以．…要证不等式成立，即证．…因为，…所以=．所以成立．…【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的恒成立问题，利用导数研究曲线在某点的切线斜率，以及用裂项法对数列进行求和，属于难题．20．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且（Ⅰ）求k的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列的前n项和T n，并求使成立的正整数n的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；分类法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得T n，再利用不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，当n≥2时，，两式相减得：，当n=1时，即S1=3+k，∵数列{a n}为等比数列，∴，解得：k=﹣1∴通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵a n+1=a n+（n+1）d n，∴，∴．令…，则…①…②①…②得…=，∴．∴，即，3n≤81，得n≤4，∴使成立的正整数n的最大值为4．【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2≥．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先求出a的值，然后求原函数的极值即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）=，所以a=2．此时f（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，，由f'（x）=0，得x=1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0．（Ⅱ），所以．当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，，令g′（x）=0，得．所以当时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在是增函数，在是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是，递减区间是．（Ⅲ）由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，．t＞0可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以，解得或．又因为x1＞0，x2＞0，因此成立．【点评】本题难度较大，属于利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明单调性进一步研究不等式问题的题型．。
2016青岛市高三二模文科数学试题
青岛市高三自主练习数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，函数()f x =M ，则R M =ð A ．(,1)-∞ B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(0,2)2．若复数2a iz i+=（R a ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则z 的模等于A ．12 B ．2C ．1D 3．“p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设12log 3a =，0.21()3b =，121()2c -=，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．直线:20l x y -+=和圆22: 2410C x y x y ++-+= 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交过圆心D ．相交不过圆心 6．如图，把侧棱与底面垂直，且底面边长和侧棱长都等于1的三棱柱截去三个角（如图1所示，,,A B C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图（侧视图）为A ．B ．C ．D ．7．在区间)2,0(π上随机取一个数x ，则事件“22cos tan >⋅x x ”发生的概率为 A ．43 B ．21C ．31D ．148．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》 中的“辗转相除法”. 若输入的,m n 分别为385,105，执行 该程序框图（图中“ MOD m n ”表示m 除以n 的余数， 例：11 MOD 74=），则输出的m 等于 A ．0B ．15C ．35D ．70EBE BE B E B图1BCA DE FADBCI HGE F图29．在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标(,)x y 满足21050210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，向量(1,1)a =-r ，则a OP ⋅r uu u r的最大值是A ．1-B ．0C ．1D ．210．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，()()12xf x =-，若在区间(2,6)-内，函数()log (2) (1)a y f x x a =-+>恰有1个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(1,4] B ．(1,2)(4,)+∞UC ．(4,)+∞D ．(1,4)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某农业生态园有果树60000棵，其中樱桃树有4000棵．为调查果树的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为300的样本，则样本中樱桃树的数量为 棵. 12．已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= . 13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为4则双曲线的离心率为 . 14．已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且0.95 1.45y x =+，则实数m = .15．函数()y f x =图象上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ,，规定||(,)||A B k k K A B AB -=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“近似曲率”. 设曲线1y x =上两点11(,),(,)A a B a a a(01)a a >≠且，若(,)1m K A B ⋅>恒成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）为调查某乡镇中心小学的学生每周平均体育运动时间的情况，收集了20位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时). 这20位学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12].（Ⅰ）求这些学生每周平均体育运动时间不超过6个小时的概率；（Ⅱ）从这些学生每周平均体育运动时间超过6个小时的学生中任选2人，求这两名同学不在同一个分组区间的概率.17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos a B a B c =. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）已知函数2()5cos ()32Af x x ω=+-(0)ω>，将()y f x =的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =的最小正周期为π. 当[0,]3x π∈时，求函数()f x 的值域.18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，ACFE 为平行四边形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，设BD 与AC 相交于点G ，H 为FG 的中点，2AB BD ==，AE =CH =. （Ⅰ）求证：CH ⊥平面BDF ； （Ⅱ）求三棱锥B DEF -的体积.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22732a a -=，且321S a 成等比数列，*N n ∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令22n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈，都有2825n T λλ<+成立，求实数λ的取值范围.HEABCDG20．（本小题满分13分）已知点1F 、2F 分别为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 也为抛物线22:8C y x =的焦点，P 为椭圆1C 上的一动点，且12PF F ∆的面积最大值为（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）T 为直线3x =-上任意一点，过点1F 作1TF的垂线交椭圆1C 于M N ,两点，求1||||TF MN 的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(),R x f x e x ax a a =-+∈. （Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上存在单调增区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数2()()p x f x x =-在0x =处取得极小值，求a 的取值范围．。
山东省青岛市2016届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(含答案)
青岛市高三统一质量检测数学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}3,1,0,1,2U y y x x ===-，集合{}{}1,1,1,8A B =-=，则()U A C B ⋂= A. {}1,1- B. {}1- C. {}1 D. ∅2.函数2232y x x =--的定义域为 A. (],1-∞ B. []1,1- C. [)()1,22,⋃+∞ D. 111,,122⎡⎫⎛⎤--⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦3.已知数据12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅（单位：公斤），其中12350,,,,,x x x x ⋅⋅⋅是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅这51个数据的平均数、中位数分别与x y 、比较，下列说法正确的是A.平均数增大，中位数一定变大B.平均数增大，中位数可能不变C.平均数可能不变，中位数可能不变D.平均数可能不变，中位数可能变小4.下列函数为偶函数的是A. ()2f x x x =-B. ()cos f x x x =C. ()sin f x x x =D. ()(1f x g x =5.已知a R ∈，“关于x 的不等式220x ax a -+≥的解集为R ”是“01a ≤≤”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()123,0,0x x f x xx --<⎧⎪=⎨⎪≥⎩的图象与函数()()12log 1g x x =+的图象的交点个数是A.1B.2C.3D.47.如图，非零向量,OM a ON b ==u u u r r u u u r r ，且NP OM ⊥，P 为垂足，若向量OP a λ=uu u r r ，则实数λ的值为 A. a b a b⋅⋅r r u r u r B. a b a b⋅-⋅r r u r u r C. 2a b a⋅r r u r D. 2a b b⋅r r u r8.已知,x y R ∈，且满足1,230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩则1y t x +=的最大值为 A.3 B.2 C.1 D. 129.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与四棱锥P A -的体积比为A.1：2B.1：3C.1：6D.1：810.如图所示的程序框图，输出S 的值为 A. 99223-B. 100223- C. 101223- D. 102223-第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知i 是虚数单位，,m n R ∈，且22m i ni +=-，则m ni m ni+-的共轭复数为_______； 12.已知圆C 的圆心坐标为()3,2，抛物线24x y =-的准线被圆C 截得的弦长为2，则圆C 的方程为_________；13.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<是偶函数，它的部分图象如图所示.M 是函数()f x 图象上的点，K ，L 是函数()f x 的图象与x 轴的交点，且KLM ∆为等腰直角三角形，则()f x =___________；14.若0,0a b >>，则()21a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值是___________； 15.已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=o，则双曲线的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）2016年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价.分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户.已知这10名用户的评分分别为：7.6，8.3，8.7，8.9，9.1，9.2，9.3，9.4，9.9，10.（I ）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于18的（II ）从这10名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率.17. （本小题满分12分） 在锐角ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，向量()(=2s i n 3m A C +u r ，向量2c o s 2,12c o s 2B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且//m n u r r . （I ）求角B 的大小；（II ）若2sin sin sin A C B =，求a c -的值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD AB BC ⊥⊥，，45,2BCA AP AD AC ∠====o ，E 、F 、H 分别为PA 、CD 、PF 的中点.（I ）设面PAB ⋂面PCD l =，求证：//CD l ；求证CD ∥l（II ）求证：AH ⊥面EDC.19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差d=2，其前n 项和为n S ，数列{}n a 的首项12b =，其前n 项和为n T ，满足)122,n T n N *=+∈.（I ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}14n n a b -的前n 项和n W .20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的长轴长为点A ，B ，C 在椭圆E 上，其中点A 是椭圆E 的右顶点，直线BC 过原点O ，点B 在第一象限，且2BC AB =，1cos 5ABC ∠=. （I ）求椭圆E 的方程；（II ）与x 轴不垂直的直线l 与圆221x y +=相切，且与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，求M O N ∆的面积的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数()sin f x x ax =-，14ln 2sin ,ln 22π><. （I ）对于()()0,1,0x f x ∈>恒成立，求实数a 的取值范围；（II ）当0a =时，()()()ln 1h x x x f x '=--，证明()h x 存在唯一极值点.。
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半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且
已知椭圆D： 的焦距等于 ，且过点
( I )求圆C和椭圆D的方程；
(Ⅱ)若过点M斜率不为零的直线与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．
15、已知椭圆 : 的焦距为 ,离心率为 ,其右焦点为 ,过点 作直线交椭圆于另一点 .
山东省2016届高三数学文优题精练
圆锥曲线
一、选择、填空题
1、（2015年高考）过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 于点 .若点 的横坐标为 ,则 的离心率为.
2、（2014年高考）已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为 ，抛物线 的焦点为 ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为 。
(1)求椭圆C的方程；
(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为 的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设 ＝t ，求实数t的值．
4、（滨州市2015届高三一模）已知椭圆 的左右焦点分别是 ，且 的坐标为 ，离心率为 。
直线 与椭圆 交于 两点，当 时，M是椭圆C的上顶点，且 的周长为6.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）点P（2， ），Q（2，－ ）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点。当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
6、（菏泽市2015届高三一模）椭圆 过点 ，离心率为 ，左右焦点分别为 ，过点 的直线交椭圆于 两点。
（1）求椭圆 的方程；
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆 交于 两点（ 不是椭圆 的顶点），点 在椭圆 上，且 ，直线 与 轴、 轴分别交于 两点.
山东省青岛市2016年高考数学一模试卷(文科) 含解析
2016年山东省青岛市高考数学一模试卷(文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分)1．已知全集U={y｜y=x3，x=﹣1，0，1，2}，集合A=｛﹣1，1｝，B={1，8}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1｝B．{﹣1}C．{1}D．∅2．函数的定义域为（)A．（﹣∞,1］ B．[﹣1,1]C．[1，2）∪（2，+∞）D．3．已知数据x1,x2,x3，…,x50，500(单位:公斤），其中x1，x2,x3,…，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，…,x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较,下列说法正确的是（)A．平均数增大,中位数一定变大B．平均数增大,中位数可能不变C．平均数可能不变,中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小4．下列函数为偶函数的是（)A．f(x）=x2﹣x B．f（x）=xcosx C．f（x)=xsinx D．5．已知a∈R，“关于x的不等式x2﹣2ax+a≥0的解集为R”是“0≤a≤1"(）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．函数f(x）=的图象与函数的图象的交点个数是（)A．1 B．2 C．3 D．47．如图,非零向量=，=，且NP⊥OM,P为垂足，若向量=,则λ的值为（）A．B．﹣C．D．8．已知x，y∈R，且满足，则的最大值为（)A．3 B．2 C．1 D．9．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与四棱锥P﹣ABCD的体积比为（)A．1:2 B．1：3 C．1：6 D．1：810．如图所示的程序框图,输出S的值为（)A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni,则的共轭复数为_______．12．已知圆C的圆心坐标为（3，2),抛物线x2=﹣4y的准线被圆C截得的弦长为2，则圆C 的方程为_______．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ)（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f(x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点,且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2｜=｜F1F2｜，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为_______．三、解答题：本大题共6小题,共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2016年山东高考数学模拟题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合P={x|x 2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(P C R )∩Q=( )A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]答案 C2. 设复数z 满足-=i,则|z|=( ) A.1B.C.D.2答案 A的图象的图象，只要将函数）要得到函数（x y x y 4sin )34sin(3=-=π个单位向右平移个单位向左平移个单位向右平移个单位向左平移3)(3)(12)(12)(ππππ D C B A 4.设四边形ABCD 为平行四边形,| |=6,| |=4.若点M,N 满足 =3 , =2 ,则 · =( ) A.20B.15C.9D.6答案 C5. 不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5) 答案 A6. 已知x,y 满足约束条件 - ,, 若z=ax+y 的最大值为6,则a=( )A.3B.2C.-2D.-3答案 B7. 在梯形ABCD 中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2 将梯形ABCD 绕BC 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.B.C.D.2π答案 B8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) (附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.2 386B.2 718C.3 413D.4 772答案 C9.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2B.4C.6D.2答案 C10.已知函数f(x)=-||,,(-),,函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R 若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )A.,∞B.-∞,C.,D.,答案 D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.观察下列各式:=40;+=41;++=42;+++=43;……照此规律,当n∈N*时,-+-+-+…+--= .答案4n-112.若“∀x∈,,tanx m”是假命题,则实数m的最大值为.13.执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=__________.答案：714.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .答案 115.设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为.答案三、解答题：本大题共6小题，共75分16.已知函数f(x)=sin-sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在,上的单调性.解析(1)f(x)=sin -sin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin--,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为-.(2)当x∈,时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在,上单调递增;在,上单调递减.17. 如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.解析解法一:(1)证明:如图,取AE的中点H,连结HG,HD,又G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=AB.又F是CD的中点,所以DF=CD.由四边形ABCD是矩形得,AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.(2)如图,在平面BEC内,过B点作BQ∥EC 因为BE⊥CE,所以BQ⊥BE又因为AB⊥平面BEC,所以AB⊥BE,AB⊥BQ以B为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为AB⊥平面BEC,所以=(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.又 =(2,0,-2), =(2,2,-1), 由· , · ,得- , - ,取z=2,得n=(2,-1,2). 从而cos<n, >=· | |·||= =, 所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为.18. S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,+2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =,求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)由 +2a n =4S n +3,可知 +2a n+1=4S n+1+3. 可得 - +2(a n+1-a n )=4a n+1,即 2(a n+1+a n )= - =(a n+1+a n )(a n+1-a n ).由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又 +2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1.(6分) (2)由a n =2n+1可知 b n == ( )( )= -.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=--…-= ( ).(12分)EXX n n n 的分布列和数学期望分若甲参加活动，求甲得的“三位递增数”；写出所有个位数字是分。
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青岛2016高考文科数学二模试题 2016.05一、选择题：1．设全集为R，函数()f x =M ，则=M C R A ．(,1)-∞ B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(0,2)2．若复数2a iz i+=（R a ∈，为虚数单位）的实部与虚部相等，则z 的模等于 A ．12 B．2C ． D3．“p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设12log 3a =，0.21()3b =，121()2c -=，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．直线:20l x y -+=和圆22: 2410C x y x y ++-+= 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交过圆心D ．相交不过圆心6．如图，把侧棱与底面垂直，且底面边长和侧棱长都等于的三棱柱截去三个角（如图1所示，,,A B C 分 别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图（侧视图）为A ．B ．C ．D ．7．在区间)2,0(π上随机取一个数x ，则事件“22cos tan >⋅x x ”发生的概率为A ．43B ．21C ．31D ．148.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”. 若输入的,m n 分别为385,105，EB E BE B EB图1BCA DEFADBCI HGE F图2执行该程序框图（图中“ MOD m n ”表示m 除以n 的余数， 例：11 MOD 74=），则输出的m 等于 A ．0 B ．15 C ．35 D ．709．在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标(,)x y 满足21050210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，向量()1,1-=a ，则OP a ⋅的最大值是A ．1-B ．0C ．D ．210．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，()(12xf x =-，若在 区间(2,6)-内，函数()log (2) (1)a y f x x a =-+>恰有个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(1,4]B ．(1,2)(4,)+∞UC ．(4,)+∞D ．(1,4)二、填空题：11.某农业生态园有果树60000棵，其中樱桃树有4000棵．为调查果树的生长情况，采用分层抽样的方 法抽取一个容量为300的样本，则样本中樱桃树的数量为 棵. 12.已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= . 13.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为4，则双曲线的离心率为14.已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且0.95 1.45y x =+，则实数m = . 15．函数()y f x =图象上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ,，规定||(,)||A B k k K A B AB -=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“近似曲率”.设曲线1y x =上两点11(,),(,)A a B a a a(01)a a >≠且，若(,)1m K A B ⋅>恒成立，则m 取值范围是三、解答题：16.为调查某乡镇中心小学的学生每周平均体育运动时间的情况，收集了20位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时). 这20位学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样 本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]. （Ⅰ）求这些学生每周平均体育运动时间不超过6个小时的概率；（Ⅱ）从这些学生每周平均体育运动时间超过6个小时的学生中任选2人，求这两名同学不在同一个分组区 间的概率.17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos a B a B c =. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）函数2()5cos ()32Af x x ω=+-(0)ω>，将()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =的最小正周期为π. 当[0,]3x π∈时，求函数()f x 值域.18．四边形ABCD 为菱形，ACFE 为平行四边形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，设BD 与AC 相交于点G ，H 为FG 的中点，2AB BD ==，AE =2CH =. （Ⅰ）求证：CH ⊥平面BDF ；（Ⅱ）求三棱锥B DEF -的体积.19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22732a a -=，且321S a 成等比数列，*N n ∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；HEA BCD G（Ⅱ）令22n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈，都有2825n T λλ<+成立，求实数λ的取值范围.20．已知点1F 、2F 分别为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 也为抛物线22:8C y x =的焦点，P 为椭圆1C 上的一动点，且12PF F ∆的面积最大值为（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）T 为直线3x =-上任意一点，过点1F 作1TF 的垂线交椭圆1C 于M N ,两点，求1||||TF MN 的最小值.21．已知函数2()(),R xf x e x ax a a =-+∈.（Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上存在单调增区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数2()()p x f x x =-在0x =处取得极小值，求a 的取值范围．一、选择题：C B B AD A B C C D 二、填空题：11. 20 12. 19- 13.2 14．1.8 15． [,)2+∞ 16. 解：（Ⅰ）运动时间不超过6个小时的概率为12(0.0250.10.15)0.55P =⨯++=; ………………………………………………4分（Ⅱ）运动时间超过6个小时的学生分别在(6,8]，(8,10]，(10,12]组中，其中在(6,8]组的人数为 20.125205⨯⨯=人，在(8,10]组的人数为20.075203⨯⨯=人，在(10,12]组的人数为20.025201⨯⨯=人. ………………………………………………7分记(6,8]组的5人分别为12345,,,,A A A A A ，(8,10]组的3人分别为123,,B B B ，(10,12]组的人为1C . 则任选2人的事件分别有121345,A A A A A A 共10种，121323,,B B B B B B共3种，111213515253,,,,A B A B A B A B A B A B 共15种，112151,AC A C A C 共5种，112131,,B C B C B C 共3种. …………………………………………………………………………………………………………………10分 所以不在同一个分组区间的概率351523103351536P ++==++++ . ………………………12分17．解：（Ⅰ）sin cos a B a B c =∴sin sin cos A B A B C ………………………………………2分()C A B π=-+ ，∴sin sin cos )A B A B A B+cos cos sin )A B A B =+tan A ∴= 0A π<< ，3A π∴=.…………………………………………………6分(Ⅱ)251()5cos ()3cos(2)6232f x x x ππωω=+-=+-，从而541()cos()2332g x x πω=+-，23423ππωω∴=⇒=∴51()cos(3)232f x x π=+-，………………………………………………………………9分当[0,]3x π∈时，43333x πππ≤+≤，11cos(3)32x π∴-≤+≤，从而33()4f x -≤≤，所以()f x 的值域为3[3,]4-. (2)18．（Ⅰ）证明： ACFE为平行四边形，AE =CF ∴=四边形ABCD 为菱形，AG CG ∴=，BG DG =，AD AB =2AB BD == ，ABD ∴∆是以2为边长的等边三角形AG CG ∴==CG CF =H 为FG 的中点，CH FG ∴⊥ ……………………2分四边形ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BD ∴⊥平面ACFECH ⊂ 平面ACFE ，BD CH ∴⊥ …………………4分HEFABCDGBD FG G = ，BD ⊂平面BDF ，FG ⊂平面BDF ， ∴CH ⊥平面BDF ……………………………6分（Ⅱ） 解：连结EG ， 由（Ⅰ）可知BD ⊥平面ACFEFG ⊂平面ACFE ，EG ⊂平面ACFE ， BD EG ∴⊥，BD FG ⊥由（Ⅰ）可知CH FG ⊥，CG =CH =30FGC ∴∠=…………………………………………………8分 由（Ⅰ）可知CG CF =，30GFC ∴∠= ，从而120FCG ∠=ACFE 为平行四边形，60EAG ∴∠= 由（Ⅰ）可知AE AG =，AEG ∴∆为正三角形，从而EG ，60AGE ∠=180306090EGF ∴∠=--= ，即FG EG ⊥ BD EG G = ，FG ∴⊥平面BDE在CFG ∆中，23FG HG === …………………………………………………10分 在BDE ∆中，12BDE S BD EG ∆=⋅=∴11333B DEF F BDEBDE V V S FG --∆==⋅== …………………………12分 19．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d由227232321a a S a -=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩11111(21)3(6)2(23)()33a d a d a d a d a d +-+=⎧⇒⎨+-⋅+=+⎩ …………………2分 即111232()(26)0a d a d a d -+=⎧⎨++-=⎩，解得：122a d =⎧⎨=⎩ 或 12525a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………4分当125a =-，25d == 12, 2a d ∴==，此时22(1)2n a n n =+-= …………………………………………6分（Ⅱ）221111()2(2)42n n n b a a n n n n +===-++ ……………………………8分123n n T b b b b =++++111111111111111111()()()()()()413424435446457468=-+-+-+-+-+- 111111()()41142n n n n ++-+--++11113111(1)()42128412n n n n =+--=-+++++ ……………………………10分 11832()312n T n n ∴=-+<++为满足题意，必须2253λλ+≥ 12λ∴≥或3λ≤-. ………………………………12分20．解: （Ⅰ）22:8C y x = ，2(2,0)F ∴，1(2,0)F -，2c ∴= ……………………………2分12PF F ∆的面积最大值为1211||422F F b b ==⨯=， …………………………………4分b ∴=2226a bc ∴=+=∴椭圆1C 的方程为22162x y +=. ……………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1(2,0)F -，设T 点的坐标为(3,)m -，则直线1TF 的斜率1032TF m k m -==--+ 当0m ≠时，直线MN 的斜率1MN k m=. 直线MN 的方程是2x my =-当0m =时，直线MN 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式． 所以直线MN 的方程是2x my =-设1122(,),(,)M x y N x y ，则221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(3)420m y my +--=， 所以12122242,33m y y y y m m +==-++ ………………8分1TFMN= ……………………………………11分所以1TF MN =当且仅当22411m m +=+，即1m =±时，等号成立，此时1TF MN．13分21．解：（Ⅰ）2()(),R x f x e x ax a a =-+∈2()[(2)][(2)]x x f x e x a x xe x a '∴=--=-- 2分 当2a =时，2()0x f x x e '=≥恒成立，()f x 在[1,2]为增函数，符合题意； 当2a >时，()[(2)]0x f x xe x a '=-->得20x a x >-<或若()f x 在[1,2]上存在单调增区间，则满足22a -<，即24a <<当2a <时，()[(2)]0x f x xe x a '=-->得02x x a ><-或()f x ∴在[1,2]为增函数，符合题意 综上可得：4a < .…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）222()()()x p x f x x x ax a e x =-=-+-，()[(2)2]x p x x x a e '∴=+-- 由()0p x '=得0x =或(2)20x x a e +--=，由(2)20x x a e +--=得220xx a e +--= 令22()2, ()10x xu x x a u x e e '=+--=+>恒成立，()u x ∴在(,)-∞+∞为单调增函数方程2()20x u x x a e=+--=的根唯一，记为0x . ……………………………………8分 （1）当00x >时，0(,)x x ∈+∞时，2()20x u x x a e=+-->，即(2)20x x a e +-->，()0p x '>，()p x 为增函数； 0(0,)x x ∈时，2()20xu x x a e =+--<，即(2)20xx a e +--<，()0p x '<，()p x 为减函数； (,0)x ∈-∞时，2()20x u x x a e=+--<，即(2)20x x a e +--<，()0p x '>，()p x 为增函数；此时()p x 在0x =处取得极大值，此种情况不符合题意. ……………………………10分 （2）当00x =时，由0()0u x =得0a =，()[(2)2]x p x x x e '=+-(,0)x ∈-∞时，2()20xu x x e =+-<，即(2)20xx e +-<，()0p x '>，()p x 为增函数； (0,)x ∈+∞时，2()20x u x x e =+->，即(2)20x x e +->，()0p x '>，()p x 为增函数；又(0)0p '=，()0p x '∴≥恒成立，()p x ∴在(,)-∞+∞为增函数，没有极值不合题意12分 （3）当00x <时0(,)x x ∈-∞时，2()20x u x x a e=+--<，即(2)20x x a e +--<，()0p x '>，()p x 为增函数； 0(,0)x x ∈时，2()20x u x x a e=+-->，即(2)20x x a e +-->，()0p x '<，()p x 为减函数； (0,)x ∈+∞时，2()20xu x x a e =+-->，即(2)20xx a e +-->，()0p x '>，()p x 为增函数； 此时()p x 在0x =处取得极小值，符合题意.()u x 在(,)-∞+∞为单调增函数，00x <，0()(0)u x u ∴<，00220x x e ∴+-< 由0()0u x =，得00220x x a e +--=，00220x a x e∴=+-<综上可得：0a <．14分。