[推荐学习]高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法练习新人教B版必修1
高中数学 第二章 函数 2.4.2 求函数零点近似解的一种
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．(重点) 2．会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．(难点)[基础·初探]教材整理1 变号零点与不变号零点阅读教材P72～P73“第一行”以上部分内容，完成下列问题．1．零点存在的判定条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即x0∈(a，b)使f(x0)＝0.2．变号零点如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．3．不变号零点如果函数图象通过零点时没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．函数f(x)的图象如图241所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )图241A．0 B．1C．2 D．3【解析】函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点．【答案】 D教材整理2 二分法阅读教材P73“第三行”以下～P73“例”以上的内容，完成下列问题．1．定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．2．求函数零点的一般步骤已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：①在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋b02.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0. c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋b12.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.……继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n－a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )【解析】(1)×.如函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解．(2)×.对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．(3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型](1)图242已知函数f(x)的图象如图242所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.【导学号：60210063】【精彩点拨】(1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量．【自主解答】(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.(2)设f(x)＝x3－2x－5，f(1)＝1－2－5＝－6<0，f(2)＝23－4－5＝－1<0，f(3)＝33－6－5＝16>0，f(x)零点所在的区间为(2,3)，∴方程x3－2x－5＝0有根的区间是(2,3)．【答案】(1)D (2)(2,3)二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.[再练一题]1．下面关于二分法的叙述，正确的是( )A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【解析】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错．求方程的近似解也可以用二分法，故D错．【答案】 B(1)f(x)＝3x－6；(2)f(x)＝x2－x－12；(3)f(x)＝x2－2x＋1；(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.【精彩点拨】(1)是一次函数，(2)、(3)均是二次函数，(4)虽然是高次函数，但给出因式积的形式，所以容易分别求得．【解】(1)零点是2，是变号零点．(2)零点是－3和4，都是变号零点．(3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.图象连续不间断的函数f x在[a，b]上，若f a f b，则函数f x在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.[再练一题]2．判断下列函数是否有变号零点．(1)y＝x2－5x－14；(2)y＝x2＋x＋1；(3)y＝x4－18x2＋81.【解】(1)零点是－2,7，是变号零点．(2)无零点．(3)零点是－3,3，都不是变号零点．[探究共研型]探究1【提示】函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．探究2 如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？【提示】设方程为f(x)＝g(x)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求方程f(x)＝g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)零点的近似解问题．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．【精彩点拨】构造函数f(x)＝2x3＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<0.1是否成立→下结论．【自主解答】令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[再练一题]3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]【解析】由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．【答案】 A1．下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．【答案】 C2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001【解析】据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．【答案】 B3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关【解析】由“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．【答案】 B4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：【导学号：97512033】【解析】 根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.4.【答案】 1.45．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0， ∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。
原创1：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（导学式）
0.0625
由于0.0625<0.1，所以2.5可作为方程的一个正实数近似解．
题后反思
【规律方法】(1)运用二分法解题流程
(2)二分法中对结果要求的“精确度”与“精确到”有何区别？
精确度为0.1，是指二分法停止二分区间时，区间[a，b]的长
度|b－a|<0.1，此时a(或b)即为零点近似值，且此时位于区间[a，b]
A.(1,1.25)
B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)
[解析]∵f(1.25)·f(1.5)＜0,∴方程的根在区间(1.25,1.5)内.
答案：选B.
)
D.不能确定
变式训练：
【变式】用二分法求方程x3 −2x−5=0在区间[2，3]内的实根，取区间
中点x0=2.5，那么下一个有根的区间是______.
找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数
值近似地表示真正的零点.
归纳小结
2．二分法的记忆口诀：
函数连续值两端，相乘为负有零点，
区间之内有一数，方程成立很显然.
要求方程近似解，先看零点的区间，
每次区间分为二，分后两端近零点.
归纳小结
3．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看.
2.25
2.5
− +
3
3
f(2)<0，f(3)>0⟹2<x1<3
f(2)<0，f(2.5)>0 ⟹2<x1<2.5
f(2.25)<0，f(2.5)>0 ⟹2.25<x1<2.5
f(2.375)<0，f(2.5)>0 ⟹2.375<x1<2.5
高中数学二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．三维目标1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．重点难点教学重点：用二分法求方程的近似解．教学难点：二分法．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测．师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好．(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球．第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球．第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球．其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究 提出问题①解方程2x －16＝0.②解方程x 2－x －2＝0.③解方程x 3－2x 2－x ＋2＝0.④解方程x 2－2x 2－3x ＋2＝0.⑤我们知道，函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？ ⑦什么叫二分法？⑧试求函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.,⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点. 讨论结果： ①x＝8.②x＝－1，x ＝2.③x＝－1，x ＝1，x ＝2 ④x＝－2，x ＝2，x ＝1，x ＝2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x ＝a ＋b 2称为区间(a ，b)的中点〕⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＜0，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．⑦对于在区间[a ，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y ＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．⑧因为函数f(x)＝lnx ＋2x －6，用计算器或计算机作出函数f(x)＝lnx ＋2x －6的对应值表． x 1 2 3 4 5 6 789f(x)－4－1.306 91.098 63.386 35.609 47.791 89.945 9 12.079 4 14.197 2由表可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)·f(3)＜0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x 0，取区间(2,3)的中点x 1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x 0∈(2.5,3)．同理，可得表(下表)与图象(如下图)．区间 中点的值 中点函数近似值(2,3) 2.5 －0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.562 5 0.066 (2.5,2.562 5) 2.531 25 －0.009 (2.531 25,2.562 5)2.546 8750.029(2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 0.010 (2.531 25,2.539 062 5)2.535 156 250.001由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x ＝2.531 25作为函数f(x)＝lnx ＋2x －6零点的近似值．⑨用二分法求函数零点的一般步骤如下：第一步 在D 内取一个闭区间[a 0，b 0] D ，使f(a 0)与f(b 0)异号，即f(a 0)·f(b 0)＜0.零点位于区间[a 0，b 0]中．第二步 取区间[a 0，b 0]的中点(如下图)，则此中点对应的坐标为x 0＝a 0＋12(b 0－a 0)＝12(a 0＋b 0)．计算f(x 0)和f(a 0)，并判断：(1)如果f(x 0)＝0，则x 0就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 0)·f(x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)如果f(a 0)·f(x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0. 第三步 取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝a 1＋12(b 1－a 1)＝12(a 1＋b 1)．计算f(x 1)和f(a 1)，并判断：(1)如果f(x 1)＝0，则x 1就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 1)·f(x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； (3)如果f(a 1)·f(x 1)＞0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1. ……继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y ＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．应用示例思路1例1求函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正实数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a 0＝1，b 0＝2 f(1)＝－2，f(2)＝6 [1,2] x 0＝(1＋2)/2＝1.5 f(x 0)＝0.625＞0 [1,1.5] x 1＝(1＋1.5)/2＝1.25 f(x 1)＝－0.984＜0 [1.25,1.5] x 2＝(1.25＋1.5)/2＝1.375 f(x 2)＝－0.260＜0 [1.375,1.5] x 3＝(1.375＋1.5)/2＝1.437f(x 3)＝0.162＞0[1.375,1.437 5]1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的图象如下图．实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．点评：以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效．如果一种计算方法对某一类问题(不是个别问题)都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果．算法更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点．有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值．本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．在思路2例1求方程2x3＋3x－3＝0的一个实数解(精确到0.01)．解：考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．经试算，f(0)＝－3＜0，f(2)＝19＞0，所以函数f(x)＝2x3＋3x－3在[0,2]内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在[0,2]内有解．取[0,2]的中点1，经计算，f(1)＝2＞0，又f(0)＜0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．3至此，可以看出，区间[0.742 187 5,0.744 140 625]内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.01的实数解．点评：利用二分法求方程近似解的步骤：①确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令b－a＝1；②利用二分法求近似解.，发现x1∈(2,2.5)(如上图)，这样可以进一步缩小，先画出函数图象的简图，如上图．＝2＞0，x2－2x－1＝0有一解，记为x1.，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5.知能训练1．函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案：D2．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：应用二分法的思想，最多称__________次就可以发现这枚假币？解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚就是假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：43．求方程x 3－3x －1＝0的一个正的近似解(精确到0.1)．解：设f(x)＝x 3－3x －1，设x 1为函数的零点，即方程x 3－3x －1＝0的解．作出函数f(x)＝x 3－3x －1的图象如下图．因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，所以在区间(1,2)内方程x 3－3x －1＝0有一个解，记为x 1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)＝－2.125＜0，所以1.5＜x 1＜2.再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)＝－0.890 625＜0，所以1.75＜x 1＜2. 如此继续下去，得f(1)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1,2)， f(1.5)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.5,2)， f(1.75)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.75,2)， f(1.875)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.875,2)，f(1.875)＜0，f(1.937 5)＞0 ⇒x 1∈(1.875,1.937 5)，因为区间[1.875,1.937 5]内的所有值，如精确到0.1都是1.9，所以1.9是方程x 3－3x －1的实数解． 拓展提升从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识) 答案：至少需要检查接点的个数为4. 课堂小结①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用． ②思想方法：函数方程思想、数形结合思想． 作业课本习题2—4 A 7.设计感想 “猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离．二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用．本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性．备课资料基本初等函数的零点个数 结合基本初等函数的图象得：①正比例函数y ＝kx(k≠0)仅有一个零点0； ②反比例函数y ＝kx (k≠0)没有零点；③一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)仅有一个零点；④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当Δ＞0时，二次函数有两个零点－b ±Δ2a ；当Δ＝0时，二次函数仅有一个零点－b2a；当Δ＜0时，二次函数无零点．。
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【学习目标】1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．【重点】了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．【难点】会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．【基础自测】1．零点存在的判定方法条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)使f(x0)＝0.2．零点的分类3．二分法(1)定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．(2)求函数零点的一般步骤已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：①在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋b02.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0. c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋b12.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.……继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n－a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．思考：二分法需要注意的问题有哪些？[提示]用二分法求方程近似解应注意的问题为：①看清题目的精确度，它决定着二分法步骤的结束．②在没有公式可用来求方程根时，可联系相关函数，用二分法求零点，用二分法求出的零点一般是零点的近似解，如求f(x)＝g(x)的根，实际上是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求曲线y＝f(x)与y＝g(x)交点的横坐标．③并不是所有函数都可用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．一、二分法的概念(1)已知函数f(x)的图象如图2-4-2所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．图2-4-2[规律方法] 二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.[跟踪训练] 1．下面关于二分法的叙述，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循D ．只有在求函数零点时才用二分法 二、函数零点类型的判定判断下列函数是否有变号零点：(1)y ＝x 2－5x －14； (2)y ＝x 2＋x ＋1；(3)y ＝－x 4＋x 3＋10x 2－x ＋5； (4)y ＝x 4－18x 2＋81.[规律方法] 图象连续不间断的函数f （x ）在[a ，b]上，若f （a ）·f （b ）<0，则函数f （x ）在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中提醒：1当fa ·f b＞0时，不要轻率地判定f x 在a ，b 上没有零点，如fx ＝x 2－2x ＋12，有f0·f 2＝14＞0，但x ＝1±22∈0，2是fx的两个变号零点2初始区间的选定一般在两个整数间，如3选的是0和5.[跟踪训练] 2．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点三、用二分法求方程的近似解 [探究问题]1．函数y＝f(x)的零点与方程f(x)＝0的解有何关系？提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．2．如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？提示：设方程为f(x)＝g(x)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求方程f(x)＝g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)零点的近似解问题．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．[规律方法] 1.根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[跟踪训练] 3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是() A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]1．下列函数中能用二分法求零点的是()2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A．|a－b|<0.1B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.0013．图象连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：5．指出方程x3－2x－1＝0的正根所在的大致区间；一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有() 【导学号：60462178】A．2个B．3个C．4个D．5个3．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定属于()A．[－2,1] B．[2.5,4] C．[1,1.75] D．[1.75,2.5]4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为() A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.65．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内二、填空题6．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号) 【导学号：60462179】①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)8．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：①函数f(x)在区间(－1,0)内有零点；②函数f(x)在区间(2,3)内有零点；③函数f(x)在区间(5,6)内有零点；④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．三、解答题9．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，求实数a的取值范围.10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度为0.1)[冲A挑战练]一、选择题1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一实根0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0 C．等于0 D．无法判断2．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为()①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．A．0 B．1 C．3 D．4二、填空题3．下面是连续函数f(x)在[1,2]上的一些函数值，如表：4．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为________.三、解答题5．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．。
高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法导学案新人教B版必
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【预习要点及要求】1．理解变号零点的概念。
2．用二分法求函数零点的步骤及原理。
3．了解二分法的产生过程，掌握二分法求方程近似解的过程和方法。
4．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。
【知识再现】1.函数零点的概念2.函数零点的性质【概念探究】阅读课本72页完成下列问题。
1．一个函数)(xfy=，在区间[]b a,上至少有一个零点的条件是异号，即＜0，即存在一点),(bax∈使，这样的零点常称作。
有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作。
2．能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系？阅读课本73页完成下列问题。
3．求函数变号零点的近似值的一种计算方法是，其定义是：已知函数)(xfy=定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点0x的近似值x，使它与零点的误差，即使得。
4．用二分法求函数零点的一般步骤是什么？5．二分法求函数的零点的近似值适合于怎样的零点？【例题解析】例１：求32近似值（精确到０．０１）例２：求方程33235=+--xxx的无理根（精确到０．０１）参考答案：例1解：设ｘ＝32，则3x＝２，即3x－２＝０，令ｆ（ｘ）＝3x－２，则函数ｆ（ｘ）零点的近似值就是得近似值，以下用二分法求其零点．由于ｆ（１）＝－１＜０，ｆ（２）＝６＞０，故可以取区间［１，２］为计算的初始区间．用二分法逐次计算．列表如下：由上表的计算可知，区间［１．２５７８１，１．２６１７１］的左右端点按照精确度要求的近似值都是１．２６，因此１．２６可以作为所求的近似值．评析：学会用二分法求近似值的主要步骤．例2解：由于)3)(1(3332235--=+--xxxxx所以原方程的两个有理根为１，－１，而其无理根是方程x3－３＝０的根，令ｇ（ｘ）＝x3－３，用二分法求出ｇ（ｘ）的近似零点为１．４４评析：通过因式分解容易看出无理根为方程x 3－３＝０的根，所以令ｇ（ｘ）＝x3－３，只需求出ｇ（ｘ）的零点即可． 【达标检测】1.方程04223=-+-g x x x 在区间[]4,2-上的根必定属于区间（ ） A.)1,2(-B.)4,25(C.)4,1(πD.)25,47(2.若函数)(x f 的图象是连续不间断的，且0)4()2()1(,0)0(<⋅⋅>f f f f ，则下列命题正确的是（ ）A.函数)(x f 在区间[]1,0内有零点B.函数)(x f 在区间[]2,1内有零点C.函数)(x f 在区间[]2,0内有零点D.函数)(x f 在区间[]4,0内有零点3.函数x y =与1+=x y 图象交点横坐标的大致区间为（ ）A.)0,1(-B.)1,0(C.)2,1(D.)3,2(4.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是5.写出两个至少含有方程01223=--+x x x 一个根的单位长度为1的区间 或。
2.4.2求函数零点近似解的一种方法——二分法
通 高
它的两个端点处的函数值异号，即 f (a) • f (b) 0
中 则，这个函数在这个区间上至少有一个零点，即
课 程
存在一点 x0 (a,b) 使得 f (x0 ) 0 。 不变号零点
标 准 如果函数图像通
y
过零点时没有穿
过x轴，则成这 a
样的零点叫不变 x0 b
x1
号零点。
bqr6401@
y=2x
y
4
y=4-x
1
x
012 4
提问：能否不画图确定根所在的区间？
bqr6401@
四、应用举例
例1：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解（精确到0.1）
解：设函数f (x)=2x+x-4
普 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0
通 ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点，
普 通 高 中 课 程 标 准
良乡中学数学组 任宝泉 bqr6401@
书少成天勤劳才功山小才的就=有艰孩是不在苦子百路展分学于的勤之望劳习勤一为未动，的来径奋+老灵,正，感确学来努但，的懒百海徒力方惰分无法的之伤才+孩崖九少悲能子十苦谈享九成空作受的话现汗舟功在水！!！!!
普通高中课程标准数学1(必修)
普
区间
通
高
(2,3)
中
课
(2.5,3)
程
(2.5,2.75)
标
准
(2.5,2.625)
中点的值
2.5 2.75 2.625 2.5625
中点函数近似值
-0.084 0.512 0.215 0.066
区间长度
高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法bb高一数学
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2．设 f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且 f(a)·f(b)<0，则方程 f(x)＝0 在闭区间[a，b]内( ) A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 答案：D
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3．下面关于二分法的叙述，正确的是________． ①用二分法可求所有函数零点的近似值； ②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一 位； ③二分法无规律可循，无法在计算机上完成； ④只有在求函数零点时才用二分法． 答案：②
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端点(中点)坐标
a0＝－1，b0＝0
x1＝－12＋0＝－ 0．5
x2＝－1－2 0.5＝－ 0．75
计算中点的函数值 f(－1)＝－1<0，f(0)
＝5>0 f(x1)＝3．375>0
f(x2)＝1．578 125>0
取区间 [－1，0] [－1，－0．5]
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解析：选 A．因为 f(0)<0，f(0．5)>0， 所以函数 f(x)的一个零点 x0∈(0，0．5)， 第二次计算 f0＋20.5＝f(0．25)．
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3．函数的零点都能用“二分法”求吗？ 解：不一定．例如：函数 y＝x2 的零点为 x＝0，但不能用二 分法求解．
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本部分(bù ，即 f(a)·f(b)<0，那么这 个函数在这个区间上_至__少__有__一_个__(y_ī_ɡè_)零__点__，即存在一点 x0∈ (a，b)，使___f_(_x0_)＝__0_________，若函数图象通过零点时穿过 x 轴，这样的零点称为__变__号__零__点__(lí，nɡ d如iǎn果) 没有穿过 x 轴，则 称为_不__变__号__零_点__(_lín_ɡ．diǎn)
高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法教学素
高中数学第二章函数2.4 函数与方程2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法教学素材新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.4 函数与方程2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法教学素材新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法教学建议1。
通过二分法的教学让学生体验算法思想，并且认识其重要性。
在用二分法求函数零点的近似值时,首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽可能小；其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间[a n,b n］是否满足这一精确度，以决定是否停止计算。
2.求方程的无理根问题可通过因式分解,先找出其有理根,然后转化为求另一个函数的无理数零点问题,再利用二分法求出近似零点.例如求函数f（x）=x4+x3—4x2—2x+4的无理零点,先分解因式f（x)=(x—1)（x+2)（x3—2),其有理根为x1=1和x2=—2,转化为求函数g(x）=x3—2的零点问题.3.求函数零点的二分法,对图象连续不断的一类函数的变号零点都有效。
凡是一种计算方法对某一类问题都有效的可以一步步地进行下去，每一步都得到唯一结果.这类问题的求解过程就是解决这类问题的一种算法,它的优点是一种通法，可让计算机来实现.备用习题1。
对于函数f（x）=x2+mx+n,若f(a）〉0,f（b)>0，则函数f(x)在区间（a，b)内( )A.一定有零点B。
高中数学 第二章 函数 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法学业分层测评 新人教B版必
2018版高中数学第二章函数2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法学业分层测评新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章函数2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法学业分层测评新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（建议用时:45分钟)［学业达标]一、选择题1．用二分法求如图2。
4。
3所示函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（)图243A．x1B．x2C．x3D．x4【解析】由题图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出．【答案】C2．已知连续函数f（x)的部分对应值如下表：x123456789f(x)148－2273－2－18则函数f（xA．2个B．3个C．4个D．5个【解析】∵f(2）＝8>0，f（3）＝－2〈0，f(4）＝2>0，f（6）＝3〉0，f（7)＝－2〈0，f（8)＝－1<0,f（9）＝8>0，∴f（2)·f(3）〈0，f（3)·f（4）〈0，f(6)·f(7)<0,f（8)·f(9）<0，∴在（2，3），(3,4），(6，7），（8,9）上都至少各有一个零点，∴至少有4个零点，故选C。
【答案】C3．函数f(x）＝x3－2x2＋3x－6在区间［－2,4］上的零点必定属于（）【导学号：60210065】A．［－2，1］B．[2.5，4］C．［1,1。
高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法练习新人教B版必修1
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4解析:由题图知x1,x2,x4是变号零点,可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出.2.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( C )(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.故选C.3.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必定属于( D )(A)[-2,1] (B)[2.5,4](C)[1,1.75] (D)[1.75,2.5]解析:因为f(-2)=-28<0,f(4)=38>0,f(1)=-4<0,f(2.5)=4.625>0, f(1.75)=-1.515625<0. 所以f(x)在[-2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5].故选D.4.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( D )(A)(1.4,2) (B)(1.1,4)(C)(1,) (D)(,2)解析:设f(x)=x3-2x-1,则f(1)=-2<0,f(2)=23-2×2-1>0,F()=()3-2×-1=-<0,所以f()·f(2)<0,所以该根应在区间(,2)内.故选D.5.(2018·河南中原名校联考)函数y=x3与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是( A )(A)[1,2] (B)[0,1](C)[-1,0] (D)[2,3]解析:设f(x)=x3-x-3,当x=1时,y=-3,当x=2时,y=3,f(1)f(2)<0,所以函数的零点必在区间[1,2],故选A.2(A)(-3,-1)和(2,4) (B)(-3,-1)和(-1,1)(C)(-1,1)和(1,2) (D)(-∞,-3)和(4,+∞)解析:因为f(-3)·f(-1)<0,f(2)·f(4)<0.故选A.7.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一实根0,则f(-1)·f(1)的值( D )(A)大于0 (B)小于0(C)等于0 (D)无法判断解析:如图,根据连续函数零点的性质,若f(-1)·f(1)<0,则f(x)在(-1,1)内必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)内有实根;反之,若方程f(x)=0在(-2,2)内有实根,不一定有f(-1)·f(1)<0,也可能有f(-1)·f(1)>0.故选D.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个(B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数对应的函数值的符号不同,即f(1.25)·f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.解析:令F(x)=f(x)-g(x),因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)<0,F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451<0,F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890>0,于是F(0)·F(1)<0,故使f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),又因为F(2)>0,F(3)>0,故只有区间(0,1).答案:(0,1)10.(2018·广西四校期中联考)已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)=-<0,函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在性定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.(2)解:取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)=-<0,下一个有解区间为(1,2),再x2=(1+2)=,得f()=-<0,由f(1)·f()=-<0,则下一个有解区间为(1,),综合上述所求实数解x0在较小区间(1,)内.11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)a>b>c,且f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点;(2)设x1,x2∈R,x1<x2,且f(x1)≠f(x2),若方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,试证明必有一个实根属于区间(x1,x2).证明:(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=0.又因为a>b>c,所以a>0,c<0,即ac<0.所以Δ=b2-4ac≥-4ac>0.所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,所以f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x1)-f(x2)].g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)].因为g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]2,且f(x1)≠f(x2),所以g(x1)g(x2)<0.所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.所以方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于区间(x1,x2).。
高中数学第二章2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法同步训练新人教B版必修442
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法5分钟训练1.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈______________,第二次应计算______________.以上横线上应填的内容为( )A.(0,0.5) f(0.25)B.(0,1) f(0.25)C.(0.5,1) f(0.75)D.(0,0.5) f(0.125)答案：A解析：∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴函数f(x)的一个零点x0∈(0,0.5).第二次计算f(25.0)=f(0.25).2.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A.ε越大，零点的精确度越高B.ε越大，零点的精确度越低C.重复计算次数就是εD.重复计算次数与ε无关答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低.3.函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：D解析：考虑分解因式降次.∵f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x+1)(x-1),∴f(x)有三个零点.4.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内（如15秒）猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了或低了，以猜对或到时为游戏结束.如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是_________________（只写出一个正确答案）.答案：二分法(或综合法等)10分钟训练1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：C解析：只有函数的变号零点才能用二分法求.2.二次函数y=ax 2+bx+c 中,a·c<0,则函数的零点个数是( )A.1B.2C.0D.无法确定 答案：B解析：分析条件a·c<0,a 是二次项系数,确定抛物线的开口方向;c=f(0). ∴a·c=af(0)<0,由此得解. ∵c=f(0),∴ac=af(0)<0,即a 与f(0)异号,即⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>.0)0(,00)0(,0f a f a 或 ∴函数必有两个零点.3.已知连续函数y=f(x),有f(a)·f(b)<0(a<b),则y=f(x)( )A.在区间［a,b ］上可能没有零点B.在区间［a,b ］上至少有一个零点C.在区间［a,b ］上零点个数为奇数个D.在区间［a,b ］上零点个数为偶数个 答案：B4.用二分法求方程x 3-2x-5=0在区间［2,3］内的实根,取区间中点x 0=2.5,那么下一个有根区间是______________. 答案：［2,2.5］解析：由计算器计算得f(2)=23-2×2-5=-1,f(2.5)=15.625>0, ∴f(2)·f(2.5)<0,∴下一个有根区间是［2,2.5］.5.如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积在数值上等于S,且V=S+1,那么这个立方体的一个面的边长(精确到0.01)约为______________. 答案：6.05解析：设立方体的边长为x,则V=x 3,S=6x 2. ∵V=S+1, ∴x 3=6x 2+1.不妨设f(x)=x 3-6x 2-1,应用二分法得方程的根约为6.05.函数f(x)在哪几个区间内有零点?为什么?解：由x 、f(x)的对应值表,可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点”,可知函数f(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点. 30分钟训练1.(创新题)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平,请问:最多需要称几次就可以发现这枚假币( )A.3B.4C.5D.6 答案：B解析：可利用二分法的思想方法去解决.2.若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,24),(0,12),(0,6),(0,3)内,则下列命题正确的是( )A.函数f(x)在区间(0,2)内有零点B.函数f(x)在区间(0,2)或(2,3)内有零点C.函数f(x)在区间(3,24)内无零点D.函数f(x)在区间(2,24)内无零点 答案：C3.若方程2ax 2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是( )A.a<-1B.a>1C.-1<a<1D.0≤a<1 答案：B解析：令f(x)=2ax 2-x-1,a=0时显然不适合，a≠0时，则有f(0)f(1)=-1×(2a -2)<0, ∴a>1.4.已知函数f(x)=mx 2+(m-3)x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A.（0,1］B.（0,1）C.（-∞,1）D.（-∞,1］ 答案：D解法一：取m=0有f(x)=-3x+1的根x=31>0，即m=0应符合题设，所以排除、当m=1时，f(x)=x 2-2x+1=(x-1)2，它的根是x=1,符合要求，排除，故选D.解法二：直接法. ∵f(0)=1，∴（1）当m<0时，必成立，排除、B.（2）当m>0时，要使与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≥--=∆>.023,04)3(,02mm m m m∴0<m≤1.（3）当m=0时根为x=31>0.故选D. 5.(探究题)已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则函数f(x)：①当x<-1时,恰有一零点(有一零点且仅有一零点);②当-1<x<0时,恰有一零点;③当0<x<1时,恰有一零点;④当x>1时,恰有一零点.其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.4答案：B解析：∵f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,f(-1)=0.01>0,即f(-2)·f(-1)<0,∴在(-2,-1)内有一零点.结合函数图象,函数在(-∞,-1)上,恰有一个零点,∴①正确.又∵f(0)=0.01>0,结合图象,知函数f(x)在(-1,0)上没有零点,∴②不正确.又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,f(1)=0.01>0,即f(0.5)·f(1)<0,∴函数f(x)在(0.5,1)上必有一个零点,且f(0)·f(0.5)<0.∴函数f(x)在(0,0.5)上也有一个零点.∴函数f(x)在(0,1)上有两个零点,③不正确.由f(1)>0,结合图象，知函数f(x)在(1,+∞)上没有零点,∴④不正确.6.定义在R上的偶函数y=f(x),当x>0时,y=f(x)是单调递增的,f(1)·f(2)<0,则函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数是______________.答案：2解析：∵f(1)·f(2)<0,∴在(1,2)上函数y=f(x)有零点.又∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,∴函数y=f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.由函数为偶函数可知,函数在(-∞,0)上也有一个零点.7.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点（精确到0.000 1）的近似值，那么将区间（a,b)等分的次数至多是_______________.答案：108.求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点（精确到0.1）.解：∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0,∴存在x1∈(1,2)，使f(x1)=0.用二分法逐次计算，列表如下：∵最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7，∴所求的正数零点为1.7. 9.某方程有一无理根在区间D 内,若用二分法求此根的近似值,那么: (1)区间D=(1,3)时,将D 等分n 次后,所得近似解可精确到多少? (2)一般情况,是否有必要尽可能多地将区间D 等分? 解：(1)设无理根为x 0,将D 等分n 次后的长度为d n . 包含x 0的区间为(a,b),于是d 1=1,d 2=21,d 3=221,d 4=321,…,d n =121-n . 所以|x 0-a|≤d n =121-n , 即近似值可精确到121-n .(2)由于121-n 随n 的增大而不断地趋向于0,故对于事先给定的精确度ε,总有自然数n,使得121-n ≤ε.所以,只需将区间D 等分n 次就可以达到事先给定的精确度ε.所以,一般情况下,不需尽可能多地将区间D 等分.10.设函数f(x)=-x 2-3x-2.(1)若g(x)=2-［f(x)］2,求g(x)的解析式; (2)借助计算器或计算机,画出函数g(x)的图象; (3)求出函数g(x)的零点(精确到0.1).解：(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x 2+3x+2)2=-x 4-6x 3-13x 2-12x-2. (2)函数图象如下图所示.(3)由图象可知,函数g(x)分别在区间(-3,-2)和区间(-1,0)内各有一个零点. 取区间(-3,-2)的中点x 1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5. 因为g(-3)·g(-2.5)<0, 所以x 0∈(-3,-2.5).再取(-3,-2.5)的中点x 2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28. 因为g(-3)·g(-2.75)<0, 所以x 0∈(-3,-2.75).同理可得x 0∈(-2.875,-2.75),x 0∈(-2.812 5,-2.75). 由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,此时区间(-2.812 5,-2.75)的两个端点精确到0.1的近似值都是-2.8,所以函数在区间(-4,-3)内精确到0.1的零点约为-3.5.同样可求得函数在区间(-1,0)内精确到0.1的零点约为-0.2.所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-3.5或-0.2.。
高中数学 第二章 函数 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学案 新人教B版必修1
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法[学习目标] 1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在.2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程序化的步骤.[知识链接]现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？ [预习导引] 1.二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解. 2.用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤(1)在D 内取一个闭区间[a 0，b 0]⊆D ，使f (a 0)与f (b 0)异号，即f (a 0)·f (b 0)<0.零点位于区间[a 0，b 0]中.(2)取区间[a 0，b 0]的中点(如图)，则此中点对应的坐标为x 0＝a 0＋12(b 0－a 0)＝12(a 0＋b 0).计算f (x 0)和f (a 0)，并判断：①如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；②如果f (a 0)·f (x 0)<0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； ③如果f (a 0)·f (x 0)>0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.(3)取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝a 1＋12(b 1－a 1)＝12(a 1＋b 1).计算f (x 1)和f (a 1)，并判断：①如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；②如果f (a 1)·f (x 1)<0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； ③如果f (a 1)·f (x 1)>0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1.(4)继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f (x )的近似零点，计算终止.这时函数y ＝f (x )的近似零点满足给定的精确度.要点一 函数零点类型的判断 例1 判断下列函数是否有变号零点； (1)y ＝x 2－5x －14；(2)y ＝x 2＋x ＋1； (3)y ＝4x 2＋4x ＋1.解 (1)∵y ＝x 2－5x －14＝(x ＋2)(x －7)， ∴有两个零点－2,7.由二次函数的图象知，－2,7都是变号零点. (2)∵y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0恒成立，∴此函数没有零点.(3)∵y ＝4x 2＋4x ＋1＝(2x ＋1)2， ∴有一个零点－12，但它是不变号零点.规律方法 函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x 轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.跟踪演练1 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示.下列结论正确的序号是( )①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0；③当x ＜－12时，恰有一个零点；④当0＜x ＜1时，恰有一个零点. A.①② B.①②④ C.②③ D.①②③答案 D解析 函数y ＝f (x )的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确. 要点二 二分法求函数零点近似解例2 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1). 解 由于f (1)＝－6＜0，f (2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.规律方法 1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点. 2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.跟踪演练2 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1).解由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：0.1的近似零点为1.3.1.设函数f(x)用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间( )A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定答案 B解析∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5).2.函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点.3.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A.0.68B.0.72C.0.7D.0.6答案 C解析已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.4.下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是________(填序号).答案③解析图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图③中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________.答案[2,2.5]解析令f(x)＝x3－2x－5，f(x)图象在[2,3]上连续不断，∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(x0)＝f(2.5)＝5.625＞0，∴f(2)·f(2.5)＜0，故下一个有根区间是[2,2.5].1.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用.2.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.。
高中数学 第二章 函数 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学案 新人教B版必修1
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法[学习目标] 1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在.2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程序化的步骤.[知识链接]现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？ [预习导引] 1.二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解. 2.用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤(1)在D 内取一个闭区间[a 0，b 0]⊆D ，使f (a 0)与f (b 0)异号，即f (a 0)·f (b 0)<0.零点位于区间[a 0，b 0]中.(2)取区间[a 0，b 0]的中点(如图)，则此中点对应的坐标为x 0＝a 0＋12(b 0－a 0)＝12(a 0＋b 0).计算f (x 0)和f (a 0)，并判断：①如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；②如果f (a 0)·f (x 0)<0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； ③如果f (a 0)·f (x 0)>0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.(3)取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝a 1＋12(b 1－a 1)＝12(a 1＋b 1).计算f (x 1)和f (a 1)，并判断：①如果f (x 1)＝0，则x 1就是f (x )的零点，计算终止；②如果f (a 1)·f (x 1)<0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； ③如果f (a 1)·f (x 1)>0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1.(4)继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f (x )的近似零点，计算终止.这时函数y ＝f (x )的近似零点满足给定的精确度.要点一 函数零点类型的判断 例1 判断下列函数是否有变号零点； (1)y ＝x 2－5x －14；(2)y ＝x 2＋x ＋1； (3)y ＝4x 2＋4x ＋1.解 (1)∵y ＝x 2－5x －14＝(x ＋2)(x －7)， ∴有两个零点－2,7.由二次函数的图象知，－2,7都是变号零点. (2)∵y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0恒成立，∴此函数没有零点.(3)∵y ＝4x 2＋4x ＋1＝(2x ＋1)2， ∴有一个零点－12，但它是不变号零点.规律方法 函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x 轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.跟踪演练1 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示.下列结论正确的序号是( )①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0；③当x ＜－12时，恰有一个零点；④当0＜x ＜1时，恰有一个零点. A.①② B.①②④ C.②③ D.①②③答案 D解析 函数y ＝f (x )的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确. 要点二 二分法求函数零点近似解例2 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1). 解 由于f (1)＝－6＜0，f (2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.规律方法 1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点. 2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.跟踪演练2 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1).解由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：0.1的近似零点为1.3.1.设函数f(x)用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间( )A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定答案 B解析∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5).2.函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点.3.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A.0.68B.0.72C.0.7D.0.6答案 C解析已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.4.下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是________(填序号).答案③解析图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图③中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________.答案[2,2.5]解析令f(x)＝x3－2x－5，f(x)图象在[2,3]上连续不断，∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(x0)＝f(2.5)＝5.625＞0，∴f(2)·f(2.5)＜0，故下一个有根区间是[2,2.5].1.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用.2.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.。
高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法bb高一数学
C．有唯一的实数根
D．没有实数根
解析：C ∵f(x)是[－1,1]上的增函数，f－12·f12<0，可知
f(x)＝0 有唯一的实数根，故选 C．
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第十七页，共三十一页。Fra bibliotek二、填空题 7．已知函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，其零点为 x1，x2，…， x2 017，则 x1＋x2＋…＋x2 017＝__________. 解析：f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴0 是 f(x)的零点．又∵f(x)为奇函数， ∴除 0 之外的 2 016 个零点关于原点对称， ∴x1＋x2＋…＋x2 017＝0. 答案：0
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第十九页，共三十一页。
9．用二分法求方程 f(x)＝0 在[0,4]上的近似解时，最多经过 ________次计算精确度可以达到 0.001.
解析：由题可知 4×21n<0.001，即2n1－2<1 0100，∴n≥12 时， 不等式成立，故最多经过 12 次计算．
答案：12
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∴f(x)一定存在零点的区间是(2,3)．
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4.函数 f(x)的图象如图所示，函数 f(x)的变号零点个数为 ()
A．1 C．3 答案：C
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B．2 D．4
第十五页，共三十一页。
5．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn) 内，当|an－bn|<ε 时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超 过( )
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2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
【选题明细表】
1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )
(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4
解析:由题图知x1,x2,x4是变号零点,可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出.
2.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( C )
(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
解析:根据零点存在性定理,
由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,
所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,
在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.
故选C.
3.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必定属于( D )
(A)[-2,1] (B)[2.5,4]
(C)[1,1.75] (D)[1.75,2.5]
解析:因为f(-2)=-28<0,f(4)=38>0,f(1)=-4<0,f(2.5)=4.625>0, f(1.75)=-1.515625<0. 所以f(x)在[-2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5].故选D.
4.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( D )
(A)(1.4,2) (B)(1.1,4)
(C)(1,) (D)(,2)
解析:设f(x)=x3-2x-1,
则f(1)=-2<0,f(2)=23-2×2-1>0,
F()=()3-2×-1=-<0,
所以f()·f(2)<0,
所以该根应在区间(,2)内.故选D.
5.(2018·河南中原名校联考)函数y=x3与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是( A )
(A)[1,2] (B)[0,1]
(C)[-1,0] (D)[2,3]
解析:设f(x)=x3-x-3,当x=1时,y=-3,
当x=2时,y=3,f(1)f(2)<0,
所以函数的零点必在区间[1,2],故选A.
2
(A)(-3,-1)和(2,4) (B)(-3,-1)和(-1,1)
(C)(-1,1)和(1,2) (D)(-∞,-3)和(4,+∞)
解析:因为f(-3)·f(-1)<0,f(2)·f(4)<0.故选A.
7.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一实根0,则f(-1)·f(1)的值( D )
(A)大于0 (B)小于0
(C)等于0 (D)无法判断
解析:如图,根据连续函数零点的性质,若f(-1)·f(1)<0,则f(x)在(-1,1)内必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)内有实根;反之,若方程f(x)=0在(-2,2)内有实根,不一定有f(-1)·f(1)<0,也可能有f(-1)·f(1)>0.故选D.
8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.
由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )
(A)至少5个(B)5个
(C)至多5个 (D)4个
解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数对应的函数值的符号
不同,
即f(1.25)·f(1.375)<0,
所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,
同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,
函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,
函数的一个零点在(1.5,1.61)上,
函数的一个零点在(1.61,1.875)上.
故函数至少有5个零点,
即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.
解析:令F(x)=f(x)-g(x),
因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)<0,
F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451<0,
F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890>0,
于是F(0)·F(1)<0,
故使f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),
又因为F(2)>0,F(3)>0,故只有区间(0,1).
答案:(0,1)
10.(2018·广西四校期中联考)已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,
所以f(0)·f(2)=-<0,
函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在性定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解:取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)·f(2)=-<0,
下一个有解区间为(1,2),
再x2=(1+2)=,
得f()=-<0,
由f(1)·f()=-<0,
则下一个有解区间为(1,),
综合上述所求实数解x0在较小区间(1,)内.
11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)a>b>c,且f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点;
(2)设x1,x2∈R,x1<x2,且f(x1)≠f(x2),若方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,试证明
必有一个实根属于区间(x1,x2).
证明:(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=0.
又因为a>b>c,
所以a>0,c<0,即ac<0.
所以Δ=b2-4ac≥-4ac>0.
所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,
所以f(x)必有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],
则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]
=[f(x1)-f(x2)].
g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)].
因为g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]2,
且f(x1)≠f(x2),所以g(x1)g(x2)<0.
所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
所以方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于区间(x1,x2).。