第二讲--初等模型
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第2章初等模型精品PPT课件
Qk1T 1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 2d 1T2k1d2T 1k 1lT2k2d
室
f(h)
1
内
室
外
0.9
T1
T2
0.8
0.7
0.6
0.5
d
d 0.4
0.3 记h=l/d并令f(h)=
0.2
类似有
Q
k1
T1 T2 2d
Q
2
Q 2(k1l)/(k2d)
一般 k1 16 ~ 32 故 k2
O B(0,-b)
令：
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
汇合点由p此必关位系于式此即圆可上求。出P点的坐标和
θ2 的值。
y(ta)nxb（航母的路线方程） 本模型虽简单，但分析极清晰且易
再一步深入考虑
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回 来的时间记 为t2，还得解一个方程组：
h
g k
( t1
1 k
e kt 1
)
g k2
h 340 t2
这一方程组是非线性 的，求解不太容易， 为了估算崖高竟要去 解一个非线性主程组 似乎不合情理
t1
最小二乘法 插值方法
最小二乘法
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据画在平面直角坐标系中，见 图。 如果建模者判断 这n个点很象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而利 用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成 立，但我们希望
第二章初等模型
⑺
Q2 8h 1 d
比值 Q1 / Q2 反映了双层玻璃窗在减少热量流失上的功 效。它只与 h l / d 有关。下图给出了Q1 / Q2 h曲线， 当 h上升时，Q1 / Q2 迅速下降；而当 h 到达一定值后， Q1 / Q2 下降趣缓。由此可见，h不必过大。
Q1 / Q2
0.06 0.03 0.02
厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
记双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta，外层玻璃的内侧
温度是Tb，玻璃的热传导系数为 k1，空气的热传导系数 为k2，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热
l
l3 d2.
⑶
在该假定之下，有
l3 d2,
所以：
f m S l d2 l l4,
即：体重与躯干长度的4次方成正比。
四、汽车的刹车距离
问题的提出
美国的某些司机培训课程中有这样的规则: 正常驾驶条 件下, 车速每增加10英里/小时, 后面与前面一辆车的距 离应增加一个车身的距离. 又云: 实现这个规则的一种简 便方法是所谓“两秒准则”: 即后车司机从前车经过某 一 标志开始默数2秒后到达同一标志，而不管车速如何.
pi2 ni
1
,
i 1, 2, , m
⑼
再根据Qi 值最大的一方进行分配。
再回到本节一开始的问题，此时m 3.
首先先给各系一个席位，因而n1 n2 n3 1.
p1 103, p2 63, p3 34,n 21. 再计算
1032
632
Q1 2 5304.5,Q2 2 1984.5,
第二章初等模型.ppt
1032
632
Q1
2
5304.5,Q2
1984.5, 2
Q3
342 2
578,
由此，第4个席位应该给甲系，此时n1 2, 再计算Q1
值:
2019-10-10
感谢你的欣赏
21
1032 Q1 2 3 1768.17,
而Q2 , Q3 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
2019-10-10
感谢你的欣赏
28
建模
由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
2019-10-10
都达到最小.
2019-10-10
感谢你的欣赏
14
解模
设 A单位已有席位nA ，B单位有席位 nB，并假定 A吃
亏，即kA kB，因而rA nA, nB 有意义.
现考虑下一个席位的分配:
⑴席位分配给 A仍然是 A 吃亏，即 pA pB , nA 1 nB
毫无疑问，该席位应该分配给 A.
感谢你的欣赏
29
记双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta，外层玻璃的内侧
温度是Tb，玻璃的热传导系数为 k1，空气的热传导系数
为
k
，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热
2
量流失）为
Q1
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1 Tb
02初等模型
第二章 几个初等模型一个数学模型的优劣完全取决于它的应用效果，而不是看它采用了多么高深的数学方法。
如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
§2.1席位分配问题设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？常见的方法是按人数比例分配，即令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数； 当*1q ，*2q 不是两个整数时，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分，当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则1q ＋1，2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则1q ，2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系103名，乙系63名，丙系34名。
若学生代表会议设20个席位或21个席位，按上述方法的计算结果列于下表.表2－1 按照通常方法的席位分配从表2-1可见，总席位为20个时，丙系的席位是4个，总席位为21个时，丙系的席位却只有3席，这个结果对丙系太不公平. 例1说明通常方法的席位分配方法是存在弊病的.现在我们来建立一个的公平分配席位的新方法。
第一步，若由（2.1）式计算出的*1q ，*2q 是两个整数，以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，显然，这个分配方案是合理的.第二步，若*1q ，*2q 不是两个整数时，先分别给A 、B 单位][*11q q =和][*22q q =个席位.下面对上面的初次分配方案的合理性讨论如下：1）若11q p ＞22q p ，则初次分配方案对A 不公平。
数学建模第二章初等模型
市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)
《初等模型》课件
根据收集到的数据，估计模型的参数，使模型能够更好地拟合实际数据。
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法，如交叉验证、Bootstrap等，以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果，评估模型的性能，如准确率、误差率等，以便进一步优化和完善 模型。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前，首先需要 明确研究的目的和目标，以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的，选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性，能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三：决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合；
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项：决策树模型容易过拟合，因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度，例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外，决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂，需要根据实际情况进行调整和优化。
REPORT
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
《初等模型》ppt课 件
目录
CONTENTS
• 初等模型简介 • 初等模型的建立 • 初等模型的分析 • 初等模型的实践案例 • 初等模型的未来发展
REPORT
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法，如交叉验证、Bootstrap等，以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果，评估模型的性能，如准确率、误差率等，以便进一步优化和完善 模型。
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SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前，首先需要 明确研究的目的和目标，以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的，选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性，能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三：决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合；
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项：决策树模型容易过拟合，因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度，例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外，决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂，需要根据实际情况进行调整和优化。
REPORT
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• 初等模型简介 • 初等模型的建立 • 初等模型的分析 • 初等模型的实践案例 • 初等模型的未来发展
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ANALYSIS
SUMMAR Y
第二章 初等模型课件ppt
C
C´
O
D´
A
x
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
求实
模型构成
创新
团结
奉献
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
求实
创新
团结
奉献
第二章
初等模型
初等模型通常指研究对象的机理比较简单，一般用静态、 线性、确定性模型就能达到建模的目的时，可以用初等数学 的方法来构造和求解的模型。 衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果， 而不在于它采用了多么高的数学方法。解决实 际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模， 方法越简单而且初等，模型就越容易被人理解、 接受和采用，因而就更有价值。
求实
创新
团结
奉献
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
考察四脚呈长方形的椅子
数学 问题
已知： f() , g()是பைடு நூலகம்续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
C´
O
D´
A
x
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
求实
模型构成
创新
团结
奉献
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
求实
创新
团结
奉献
第二章
初等模型
初等模型通常指研究对象的机理比较简单，一般用静态、 线性、确定性模型就能达到建模的目的时，可以用初等数学 的方法来构造和求解的模型。 衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果， 而不在于它采用了多么高的数学方法。解决实 际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模， 方法越简单而且初等，模型就越容易被人理解、 接受和采用，因而就更有价值。
求实
创新
团结
奉献
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
考察四脚呈长方形的椅子
数学 问题
已知： f() , g()是பைடு நூலகம்续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
初等模型
初等模型初等模型是指运用初等数学知识如函数、方程、不等式、简单逻辑、向量、排列组合、概率统计、几何等知识建立起来的模型，并且能够用初等数学的方法进行求解和讨论。
对于机理比较简单的研究对象，一般用初等方法就能够达到建模目的。
但衡量一个模型的优劣，主要在于它的应用效果，而不在于是否采用了高等数学方法。
对于用初等方法和高等方法建立起来的两个模型，如果应用效果相差无几的话，那么受到人们欢迎和被采用的一定是初等模型。
2.1 人行走的最佳频率2.1.1 问题的提出行走是正常人每天工作、学习以及从事其他大多数活动的一项肢体运动。
人行走时的两个基本动作是身体重心的位移和腿部的运动，所做的功等于抬高身体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。
试建立模型确定人行走时最不费力（即做的功最小）所应保持的最佳频率。
2.1.2 模型假设1.基本假设（1）不计人在行走时的空气阻力。
（2）人行走时所做的功为人体重心抬高所需的势能与两腿运动所需的动能之和。
（3）人的行走速度均匀。
2.符号及变量l ：腿长；d ：步幅；δ：人体重心位移；v ：行走速度；m ：腿的质量；M ：人体质量；g ：重力加速度；u ：两腿运动动能；W ：人行走所做的功；n ：人的行走频率。
2.1.3 模型建立1.重心位移的计算人行走时重心位置的升高近似等于大腿根部位置的升高，如图2.1所示。
图2.1 人行走时重心位置的变化示意图由图2.1容易看出，人行走时重心位置的位移为2lδ=由于d l <l ，从而28d l δ≈. (0.1)2.两腿运动功率的计算 人的行走是一种复杂的肢体运动，下面主要基于两种不同的假设计算行走时两腿运动的功率。
补充假设1 将腿等效为均匀直杆，行走设为两腿绕髋部的转动。
由均匀直杆的转动惯量计算公式，得到行走时两腿的转动惯量为213J ml =. 于是两腿的转动动能为 221126u J mv ω==. 而人每行走一步所需时间为/t d v =，则单位时间内两腿的运动动能亦即运动功率为 36u mv p t d ==. (0.2)补充假设2 将行走视为脚的匀速直线运动，腿的质量主要集中在脚上。
2017 第二讲(初等模型)解析
D L
例3 椅子能在不平的地面上放稳吗?
问题分析 通常 : 三只脚着地 放稳 : 四只脚着地 模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
C
C´
O
D´
A
x
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和: f()
B,D 两脚与地面距离之和: g()
正方形ABCD 绕O点旋转
圆桶下沉时受到的海水阻力:
D = Cv，C =0.08
求解方法：
利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足 的微分方程：
m
其中
d2y m , D Cv, v g dt
或者：
g dv cg v (W B), W dt W V (0) 0. (2)
例2 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 黄灯应当亮多久。 刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动
后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对 司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过 长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 设想一下黄灯的作用是什么，不难看 可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 马上要转红灯了，假如你能停住，请 律计算出来立即停车。停车是需要时间的，在这 （ 留作习题）。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 离 L。这就是说，在离街口距离为 L 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 处存在着一条停车线（尽管它没被画 的车顺利穿过马路，即 T 至少应当达到 （L+D） 在地上），见图 1-4。对于那些黄灯亮 /v。 时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
第二章初等模型共17页文档
席位数
11 7 3
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
1.2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
系别 甲 乙 丙
1) p1 p2 称为“绝对不公平准”。标 n1 n2
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位 A
人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准
120 10
12
12-10=2
B
100 10
10
C
1020 10
D
1000 10
102 102-100 100 =2
C,D的不公平程度大为改善！
rB(n11,n2)p2(pn11n 21)1 rA(n1,n21)p1(pn22n 11)1
p2(n11)p1(n21)
p1n2
p2n1
p2
p2
2
1Biblioteka n2(n21) n1(n11)
(*)
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
Qi ni(npii21) i1,2,,m
初等 模型
初等模型初等模型是指运用初等数学知识如函数、方程、不等式、简单逻辑、向量、排列组合、概率统计、几何等知识建立起来的模型，并且能够用初等数学的方法进行求解和讨论。
对于机理比较简单的研究对象，一般用初等方法就能够达到建模目的。
但衡量一个模型的优劣，主要在于它的应用效果，而不在于是否采用了高等数学方法。
对于用初等方法和高等方法建立起来的两个模型，如果应用效果相差无几的话，那么受到人们欢迎和被采用的一定是初等模型。
2.1 人行走的最佳频率2.1.1 问题的提出行走是正常人每天工作、学习以及从事其他大多数活动的一项肢体运动。
人行走时的两个基本动作是身体重心的位移和腿部的运动，所做的功等于抬高身体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。
试建立模型确定人行走时最不费力（即做的功最小）所应保持的最佳频率。
2.1.2 模型假设1.基本假设（1）不计人在行走时的空气阻力。
（2）人行走时所做的功为人体重心抬高所需的势能与两腿运动所需的动能之和。
（3）人的行走速度均匀。
2.符号及变量l ：腿长；d ：步幅；δ：人体重心位移；v ：行走速度；m ：腿的质量；M ：人体质量；g ：重力加速度；u ：两腿运动动能；W ：人行走所做的功；n ：人的行走频率。
2.1.3 模型建立1.重心位移的计算人行走时重心位置的升高近似等于大腿根部位置的升高，如图2.1所示。
图2.1 人行走时重心位置的变化示意图由图2.1容易看出，人行走时重心位置的位移为2lδ=由于d l <l ≈，从而28d lδ≈.(0.1)2.两腿运动功率的计算人的行走是一种复杂的肢体运动，下面主要基于两种不同的假设计算行走时两腿运动的功率。
补充假设1 将腿等效为均匀直杆，行走设为两腿绕髋部的转动。
由均匀直杆的转动惯量计算公式，得到行走时两腿的转动惯量为213J ml =.于是两腿的转动动能为221126u J mv ω==. 而人每行走一步所需时间为/t d v =，则单位时间内两腿的运动动能亦即运动功率为36u mv p t d==. (0.2)补充假设2 将行走视为脚的匀速直线运动，腿的质量主要集中在脚上。
初等模型-数学模型
几何模型
01
02
03
平面几何
平面几何是几何模型的基 础，通过点、线、面等基 本元素描述实际问题，如 三角形、四边形、圆等。
立体几何
立体几何是描述三维空间 中物体形状和位置关系的 数学模型，如长方体、球 体、圆柱体等。
解析几何
解析几何是将几何问题转 化为代数问题的数学模型， 通过代数方法解决几何问 题。
提高数学模学模型具有强大的预测和决策支持功能 ，可以提高决策的科学性和准确性。通过 数学模型的建立和应用，可以解决实际问 题，推动科学技术和社会经济的发展。
影响力
加强数学模型的宣传和推广，提高其在社 会、经济、科技等领域的认知度和影响力 。同时，加强国际交流与合作，推动数学 模型在全球范围内的应用和发展。
感谢观看
THANKS
通过数学模型可以模拟物种进化过程， 解释生物多样性的起源和演化。
在商业决策中的应用
市场预测
通过分析历史数据和市场趋势， 可以建立一个数学模型来预测未
来的市场需求和销售情况。
投资决策
利用数学模型评估投资组合的风 险和回报，帮助投资者做出明智
的投资决策。
供应链管理
通过数学模型优化库存管理、物 流和运输，降低成本并提高效率。
01
02
03
04
解析法
通过数学公式推导求解，适用 于有解析解的简单问题。
数值法
通过数值计算求解，适用于大 多数实际问题。
近似法
通过近似计算求解，适用于难 以精确求解的问题。
模拟法
通过模拟实验求解，适用于难 以建立数学模型的问题。
数学模型的验证与优化
模型验证
通过对比模型的预测结果与实际数据 进行验证，确保模型的准确性。
第2讲 初等模型
设玻璃的热传导系数空气的热传导系数单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为q类似有32010203040506070809考虑到美观和使用上的方便h不必取得过大例如可取h3即l3d此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗23假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度假定你能准确地测定时间你又怎样来推算山崖的高度呢请你分析一下这一问题
模型1（线性模型）
将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体 量近似满足线性关系，只有110公斤级有点例外，两 项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近 似关 系式L=kB+C，其中B为体重，L为举重成绩。 你在作图 时L轴可以放 在50公斤或52公斤处，因为 没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完 成。
2
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 不妨可以提出以下 假设： 型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。 1、设室内热量的流失是热传导 比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的 引起的，不存在户内外的空气对 差异仅仅在窗户不同。 流。
第2讲 初等模型
2.1、船艇回合问题 2.2、双层玻璃的功效 2.3、崖高的估算 2.4、 经验模型 2.5、量纲分析 2.6、 几个实例
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 多测几次，取平均 值 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 再一步深入考虑 进一步深入考虑
模型1（线性模型）
将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体 量近似满足线性关系，只有110公斤级有点例外，两 项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近 似关 系式L=kB+C，其中B为体重，L为举重成绩。 你在作图 时L轴可以放 在50公斤或52公斤处，因为 没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完 成。
2
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 不妨可以提出以下 假设： 型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。 1、设室内热量的流失是热传导 比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的 引起的，不存在户内外的空气对 差异仅仅在窗户不同。 流。
第2讲 初等模型
2.1、船艇回合问题 2.2、双层玻璃的功效 2.3、崖高的估算 2.4、 经验模型 2.5、量纲分析 2.6、 几个实例
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 多测几次，取平均 值 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 再一步深入考虑 进一步深入考虑
第2讲 初等数学模型
1.首先用三个数据点(-50,10),(0,0),(50,10)拟合 成一个抛物线 2.然后用弧长公式计算该抛物线的长度.
建模所需知识点在Matlab 建模所需知识点在Matlab中的实现 Matlab中的实现
功能:多项式拟合 命令:polyfit(x,y,n) 说明:x,y为已知的数据组,n为多项式的次数. 结果为多项式的系数矩阵. 例: x=0:5 y=[0,20,60,68,77,110] polyfit(x,y,1) polyfit(x,y,4)
2.1 工厂选址
解法1 解法1
求p(x)的一阶导数p’(x),然后求p’(x)=0的解.
建模所需知识点在Matlab 建模所需知识点在Matlab中的实现 Matlab中的实现
功能:求一元函数导数/微分 命令:diff(fun,var,n) 说明:对函数fun按变量var求n阶导数
建模所需知识点在Matlab 建模所需知识点在Matlab中的实现 Matlab中的实现
4 b b 3
即
3 − 4 A= 3 4
1 3 a = 0 1 b 0 − 3
Matlab解法 Matlab解法
format rat; rref(A-eye(2)) ans = 1 -4/9 0 0
作业
问题: 问题 在医院的外科手术室,往往需要 在医院的外科手术室 往往需要 将病人安置到活动病床上,沿走廊 将病人安置到活动病床上 沿走廊 推到手术室或送回病房.然而有的 推到手术室或送回病房 然而有的 医院走廊较窄,病床必须沿过道推 医院走廊较窄 病床必须沿过道推 过直角拐角(如图所示 如图所示). 过直角拐角 如图所示 设标准病床长2米 宽 米 设标准病床长 米,宽1米，拐弯 前的过道宽1.5米， 拐弯后的过道 前的过道宽 米 宽 1.2米， 问标准的病床能否安适 米 的推过拐角? 的推过拐角
建模所需知识点在Matlab 建模所需知识点在Matlab中的实现 Matlab中的实现
功能:多项式拟合 命令:polyfit(x,y,n) 说明:x,y为已知的数据组,n为多项式的次数. 结果为多项式的系数矩阵. 例: x=0:5 y=[0,20,60,68,77,110] polyfit(x,y,1) polyfit(x,y,4)
2.1 工厂选址
解法1 解法1
求p(x)的一阶导数p’(x),然后求p’(x)=0的解.
建模所需知识点在Matlab 建模所需知识点在Matlab中的实现 Matlab中的实现
功能:求一元函数导数/微分 命令:diff(fun,var,n) 说明:对函数fun按变量var求n阶导数
建模所需知识点在Matlab 建模所需知识点在Matlab中的实现 Matlab中的实现
4 b b 3
即
3 − 4 A= 3 4
1 3 a = 0 1 b 0 − 3
Matlab解法 Matlab解法
format rat; rref(A-eye(2)) ans = 1 -4/9 0 0
作业
问题: 问题 在医院的外科手术室,往往需要 在医院的外科手术室 往往需要 将病人安置到活动病床上,沿走廊 将病人安置到活动病床上 沿走廊 推到手术室或送回病房.然而有的 推到手术室或送回病房 然而有的 医院走廊较窄,病床必须沿过道推 医院走廊较窄 病床必须沿过道推 过直角拐角(如图所示 如图所示). 过直角拐角 如图所示 设标准病床长2米 宽 米 设标准病床长 米,宽1米，拐弯 前的过道宽1.5米， 拐弯后的过道 前的过道宽 米 宽 1.2米， 问标准的病床能否安适 米 的推过拐角? 的推过拐角
第二讲之初等数学建模法
5
初等数学方法建模
j 列元素.
证： 对 k 用数学归纳法 k 1 时，显然结论成立; 假设 k 时，定理成立， 考虑 k 1 的情形. 记 A 的 i 行 j 列元素为 aij
l
(l )
l2
, 因为 A A A
l
l 1
, 所以 (2.2) 走一步到 v j ；由归纳
( l 1) l aij ail1 a1 j ail2 a2 j ain anj
1 ，最多能找到几个点？ n
1.2 “奇偶校验”方法 所谓 “奇偶校验” ，即是如果两个数都是奇数或偶数，则称这两个数具有相同的奇偶性；若一个数是 奇数，另一个数是偶数，则称具有相反的奇偶性。在组合问题中，经常使用“奇偶校验”考虑配对问题。 问题 1（棋盘问题） ：假设你有一张普通的国际象棋盘，一组对角上的两个方格被切掉，这样棋盘上只 剩下 62 个方格（如图 1—2） 。若你还有 31 块骨牌，每块骨牌的大小为 1 2 方格。试说明用互不重叠的骨牌 完全覆盖住这张残缺的棋盘是不可能的。 分析：关键是对图 1—2 的棋盘进行黑白着色，使得相邻的两个方格有不同的颜色；用一块骨牌覆盖两 个方格，必是盖住颜色不同的方格。我们计算一下黑白着色棋盘的黑格，白格个数，分别为 30 和 32 ；因此 不能用 31 块骨牌盖住这张残缺的棋盘。用奇偶校验法，我们可以把黑色方格看成奇数方格，白色方格看成 偶数方格；因为奇偶个数不同，所以不能进行奇偶配对，故题中要求的作法是不可能实现的。
2
初等数学方法建模
思考题：1、设一所监狱有 64 间囚室，其排列类似 8 8 棋盘，看守长告诉关押在一个角落里的囚犯， 只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻囚室间都有门相通）,他将获释， 问囚犯能否获得自由？ 2、某班有 49 个学生，坐成 7 行 7 列，每个坐位的前后左右的坐位叫做它的邻座，要让 49 个 学生都换到他的邻座上去，问是否有这种调换位置的方案？ 1.3 自然数的因子个数与狱吏问题 令 d ( n) 为自然数 n 的因子个数，则 d ( n) 有的为奇数，有的为偶数，见下表: n d(n) 1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 4 7 2 8 4 9 3 10 4 11 2 12 6 13 2 14 4 15 4 16 5
初等数学方法建模
j 列元素.
证： 对 k 用数学归纳法 k 1 时，显然结论成立; 假设 k 时，定理成立， 考虑 k 1 的情形. 记 A 的 i 行 j 列元素为 aij
l
(l )
l2
, 因为 A A A
l
l 1
, 所以 (2.2) 走一步到 v j ；由归纳
( l 1) l aij ail1 a1 j ail2 a2 j ain anj
1 ，最多能找到几个点？ n
1.2 “奇偶校验”方法 所谓 “奇偶校验” ，即是如果两个数都是奇数或偶数，则称这两个数具有相同的奇偶性；若一个数是 奇数，另一个数是偶数，则称具有相反的奇偶性。在组合问题中，经常使用“奇偶校验”考虑配对问题。 问题 1（棋盘问题） ：假设你有一张普通的国际象棋盘，一组对角上的两个方格被切掉，这样棋盘上只 剩下 62 个方格（如图 1—2） 。若你还有 31 块骨牌，每块骨牌的大小为 1 2 方格。试说明用互不重叠的骨牌 完全覆盖住这张残缺的棋盘是不可能的。 分析：关键是对图 1—2 的棋盘进行黑白着色，使得相邻的两个方格有不同的颜色；用一块骨牌覆盖两 个方格，必是盖住颜色不同的方格。我们计算一下黑白着色棋盘的黑格，白格个数，分别为 30 和 32 ；因此 不能用 31 块骨牌盖住这张残缺的棋盘。用奇偶校验法，我们可以把黑色方格看成奇数方格，白色方格看成 偶数方格；因为奇偶个数不同，所以不能进行奇偶配对，故题中要求的作法是不可能实现的。
2
初等数学方法建模
思考题：1、设一所监狱有 64 间囚室，其排列类似 8 8 棋盘，看守长告诉关押在一个角落里的囚犯， 只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻囚室间都有门相通）,他将获释， 问囚犯能否获得自由？ 2、某班有 49 个学生，坐成 7 行 7 列，每个坐位的前后左右的坐位叫做它的邻座，要让 49 个 学生都换到他的邻座上去，问是否有这种调换位置的方案？ 1.3 自然数的因子个数与狱吏问题 令 d ( n) 为自然数 n 的因子个数，则 d ( n) 有的为奇数，有的为偶数，见下表: n d(n) 1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 4 7 2 8 4 9 3 10 4 11 2 12 6 13 2 14 4 15 4 16 5
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若 p1 / n1 p2 / n2，定义
绝对误差»相对误差
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) p2 / n2
若 p2 / n2 p1 / n1
对A的相对不公平度
p2 / n2 p1 / n1 rB (n1 , n2 ) p1 / n1
对B的相对不公平度
•热量传播只有传导，没有对流
Q1
墙 室 外 T2
2d
热传导定律
T Qk d
Q2
墙
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
两个方程 两个中间 变量Ta,Tb
剩余席次分配
no
n1 n2 n
yes 输出 结果
分配方案的推广 m方Q-值席次分配方案
组别 人数 席次 1 2 ... m pm p p k
k 1 m m
Q-值
2 pk Qk , k 1, 2,, m nk (nk 1)
p1 p2 ... n1 n2 ...
nm n nk
2.2 双层玻璃窗的隔热功效
问 题
室 双层玻璃窗与同样多材料的单层 内 玻璃窗相比，减少多少热量损失? T1
d
l
d
室 外 T2
假 设 •T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 •材料均匀，热传导系数为常数
室 内 T1
参数k的最小二乘估计
2 2 min g (k ) (di 0.75vi kvi ) k i 1 7 dg 2 (di 0.75vi kvi2 )(vi2 ) dk i 1
7
实际刹车距离 车速 （英尺） (英里/小时) (英尺/秒) v1 = 20 29.3 d1= 42
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 动 常数 距 最大制动力与车质量成正比， 离 使汽车作匀减速运动。
刹 车 距 离
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 Fm
甲系11席，乙系6席，丙系4席
公平吗？
公平了吗?
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
分配的判决准则: rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1)
rA, rB的定义
n2 (n2 1)
2 p2
n1(n1 1)
2 p1
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！ 绝对的公平是否存在?!
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
绝对不公平度不是公平度量的一个合理测度?
“公平”分配方法 将绝对度量改为相对度量
v2 = 30
v3= 40 v4 = 50 v5= 60 v6 = 70 v7 = 80
44.0
58.7 73.3 88.0 102.7 117.3
d2=73.5
d3=116 d4=173 d5=248 d6=343 d7=464
7 4 7 2 =2 k vi vi (di 0.75vi ) 0 i 1 i 1 k
比 系别 学生 比例 例 人数 （%） + 103 51.5 惯 甲 例 乙 63 31.5 丙 34 17.0
20席的分配 比例 10.3 6.3 3.4 结果 10 6 4
21席的分配
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 系 10.815 11 公 6.615 7 平 3.570 3 吗 ? 21.000 21
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Q1 2 k1 l , sh , h Q2 s 2 k2 d
Q1 Q2
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32 对Q1比Q2的减少量 Q1 1 , 作最保守的估计，
取k1/k2 =16
第二章 初等模型
2.1 公平席位分配 2.2 双层玻璃窗功效
2.3 汽车刹车距离
2.4 划艇比赛成绩 2.5 实物交换 2.6 核军备竞赛迷局
2.1
问 题
公平的席位分配
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配? 若增加为21席，又如何分配?
2 2 (n1 1)(n2 1) p1 p2 rA rB p1 p2 n1 (n1 1) n2 (n2 1)
两方席次分配的Q值方案
人数 A方 B方 p1 p2 席位 n1 n2 总席次
n n1 n2
Q-值
pi2 Qi , i 1,2, ni (ni 1)
2
4
6
双层窗的功效不会如此之大
2.3
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背 景 与 问 题
• 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。
• 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：
后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何.
Q2
l h 8h 1 d
Q1 1 l 模型应用 Q 8h 1 , h d Q /Q 2 1 2 取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03
即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比，可 减少97%的热量损失。
0.06 0.03 0.02 0
h 结果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于层间 减少热量 流失的途 径: 减小 空气极低的热传导系数 k2, 而 空气夹层 这要求空气非常干燥、不流通。 的热传导 系数: 真 房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。 空玻璃
该席给Q值较大的一方
(n1 , n2 )
总人数 粗分配: n1 floor (np1 / p ),
n2 floor (np2 / p ).
可能出现的情况: n1 n2 n 分配结束
n1 n2 n
计算Q-值
If Q1 >Q2 then n1 1 n1 elsewise n2 1 n2
最接近公平的分配问题描述: min max{rA ( n1 , n2 ), rB ( n1 , n2 )
( n1 , n2 )
subject to n1 n2 n.
公平分配方案应 使相对不公平度 尽可能小
分配的实施策略: 一次性席次分配转化为动态席次分配 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席， 问应分给A,还是B?
增加名额给A的条件;条件不符合给B
条件推导过程
若 p1/(n1+1)< p2/n2 则
若 p1/n1> p2/(n2+1) 则
p2 p1 n2 n1 1 rB (n1 1, n2 ) p1 n1 1 p1 p2 n1 n2 1 rA (n1 , n2 1) p2 n2 1
不妨设分配开始时p1/n1> p2/n2 即对A不公平
讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
2
d d1 d 2
d1 t1v
且F与车的质量m成正比
绝对误差»相对误差
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) p2 / n2
若 p2 / n2 p1 / n1
对A的相对不公平度
p2 / n2 p1 / n1 rB (n1 , n2 ) p1 / n1
对B的相对不公平度
•热量传播只有传导，没有对流
Q1
墙 室 外 T2
2d
热传导定律
T Qk d
Q2
墙
建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1
Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
两个方程 两个中间 变量Ta,Tb
剩余席次分配
no
n1 n2 n
yes 输出 结果
分配方案的推广 m方Q-值席次分配方案
组别 人数 席次 1 2 ... m pm p p k
k 1 m m
Q-值
2 pk Qk , k 1, 2,, m nk (nk 1)
p1 p2 ... n1 n2 ...
nm n nk
2.2 双层玻璃窗的隔热功效
问 题
室 双层玻璃窗与同样多材料的单层 内 玻璃窗相比，减少多少热量损失? T1
d
l
d
室 外 T2
假 设 •T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 •材料均匀，热传导系数为常数
室 内 T1
参数k的最小二乘估计
2 2 min g (k ) (di 0.75vi kvi ) k i 1 7 dg 2 (di 0.75vi kvi2 )(vi2 ) dk i 1
7
实际刹车距离 车速 （英尺） (英里/小时) (英尺/秒) v1 = 20 29.3 d1= 42
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 动 常数 距 最大制动力与车质量成正比， 离 使汽车作匀减速运动。
刹 车 距 离
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 Fm
甲系11席，乙系6席，丙系4席
公平吗？
公平了吗?
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
分配的判决准则: rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1)
rA, rB的定义
n2 (n2 1)
2 p2
n1(n1 1)
2 p1
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！ 绝对的公平是否存在?!
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
绝对不公平度不是公平度量的一个合理测度?
“公平”分配方法 将绝对度量改为相对度量
v2 = 30
v3= 40 v4 = 50 v5= 60 v6 = 70 v7 = 80
44.0
58.7 73.3 88.0 102.7 117.3
d2=73.5
d3=116 d4=173 d5=248 d6=343 d7=464
7 4 7 2 =2 k vi vi (di 0.75vi ) 0 i 1 i 1 k
比 系别 学生 比例 例 人数 （%） + 103 51.5 惯 甲 例 乙 63 31.5 丙 34 17.0
20席的分配 比例 10.3 6.3 3.4 结果 10 6 4
21席的分配
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 系 10.815 11 公 6.615 7 平 3.570 3 吗 ? 21.000 21
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
墙
Q1 2 k1 l , sh , h Q2 s 2 k2 d
Q1 Q2
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32 对Q1比Q2的减少量 Q1 1 , 作最保守的估计，
取k1/k2 =16
第二章 初等模型
2.1 公平席位分配 2.2 双层玻璃窗功效
2.3 汽车刹车距离
2.4 划艇比赛成绩 2.5 实物交换 2.6 核军备竞赛迷局
2.1
问 题
公平的席位分配
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配? 若增加为21席，又如何分配?
2 2 (n1 1)(n2 1) p1 p2 rA rB p1 p2 n1 (n1 1) n2 (n2 1)
两方席次分配的Q值方案
人数 A方 B方 p1 p2 席位 n1 n2 总席次
n n1 n2
Q-值
pi2 Qi , i 1,2, ni (ni 1)
2
4
6
双层窗的功效不会如此之大
2.3
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背 景 与 问 题
• 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。
• 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：
后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何.
Q2
l h 8h 1 d
Q1 1 l 模型应用 Q 8h 1 , h d Q /Q 2 1 2 取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03
即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比，可 减少97%的热量损失。
0.06 0.03 0.02 0
h 结果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于层间 减少热量 流失的途 径: 减小 空气极低的热传导系数 k2, 而 空气夹层 这要求空气非常干燥、不流通。 的热传导 系数: 真 房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。 空玻璃
该席给Q值较大的一方
(n1 , n2 )
总人数 粗分配: n1 floor (np1 / p ),
n2 floor (np2 / p ).
可能出现的情况: n1 n2 n 分配结束
n1 n2 n
计算Q-值
If Q1 >Q2 then n1 1 n1 elsewise n2 1 n2
最接近公平的分配问题描述: min max{rA ( n1 , n2 ), rB ( n1 , n2 )
( n1 , n2 )
subject to n1 n2 n.
公平分配方案应 使相对不公平度 尽可能小
分配的实施策略: 一次性席次分配转化为动态席次分配 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席， 问应分给A,还是B?
增加名额给A的条件;条件不符合给B
条件推导过程
若 p1/(n1+1)< p2/n2 则
若 p1/n1> p2/(n2+1) 则
p2 p1 n2 n1 1 rB (n1 1, n2 ) p1 n1 1 p1 p2 n1 n2 1 rA (n1 , n2 1) p2 n2 1
不妨设分配开始时p1/n1> p2/n2 即对A不公平
讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
2
d d1 d 2
d1 t1v
且F与车的质量m成正比