湖南省重点高中2014届高三高考仿真模拟测试数学文4
2014年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖南，文1，5分】设命题2:,10p x R x ∀∈+>,则p ⌝为（ ）（A ）200,10x R x ∃∈+> (B ）200,10x R x ∃∈+≤ （C ）200,10x R x ∃∈+< （D ）200,10x R x ∀∈+≤ 【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤，故选B ． （2)【2014年湖南，文2,5分】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =（ )（A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x > (C ）{|23}x x << （D ）{|13}x x << 【答案】C【解析】由题可得{|23}A B x x =<<，故选C ．(3)【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则（ ）（A ）123p p p =< (B)231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （4)【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是( )（A ）21()f x x =（B ）2()1f x x =+ （C ）3()f x x = (D)()2xf x -=【答案】A【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 为非奇非偶函数，所以排除C 、D 选项．由二次函数的图像可得选项B 在(),0-∞是单调递减的，根据排除法选A ．因为函数2y x =在(),0-∞是单调递减的且1y x=在()0,+∞是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(),0-∞是单调递减的，故选A ．（5）【2014年湖南,文5，5分】在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）（A ）45 （B)35 (C ）25 （D ）15【答案】B【解析】在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-，因为[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3,所以根据几何概型的概率计算公式可得35p =,故选B ． （6）【2014年湖南，文6,5分】若圆221:1C x y +=21x=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =( ）(A ）21 （B ）19 （C ）9 （D ）11- 【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，所以25025m m ->⇒<且圆2C的圆心为()3,4,半径为25m -，根据圆和圆外切的判定可得()()2230401259m m -+-=+-⇒=,故选C ．(7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于( )（A ）[]6,2-- （B)[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[]2,0t ∈-时,运行程序如下:(]2211,9t t =+∈，(]32,6S t =-∈-，当[]0,2t ∈时，(]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．(8）【2014年湖南,文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ）（A)1 (B ）2 （C ）3 (D ）4 【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直角三角形）所对应的2121ln ln x x e x x x -<- C.内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切 圆的半径r ，则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B ．（9）【2014年湖南，文9，5分】若1201x x <<<，则（ ）（A ）2121ln ln x x e e x x ->- （B ）2121ln ln x x e e x x -<- (C ）1221x x x e x e > （D ）1221x x x e x e < 【答案】C【解析】设()ln x f x e x =-,则(]0,1x ∈时,()1xf x e x'=-的符号不确定，()f x ∴的单调性不确定．设()x e g x x =,则()0,1x ∈时，()()210xx eg x x -'=<，()g x ∴在()0,1上单调递减，()()1212122112x x x x e e g x g x x e x e x x ∴<⇒<⇒<,故选C ．(10)【2014年湖南,文10，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点,(1,0),(03),(30)A B C -，，，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( ）（A)[4,6] （B ）[19119+1]-， （C ）[2327]，（D ）[717+1]-， 【答案】D【解析】点D 的轨迹是以C 为圆心的单位圆，设()[)()3cos ,sin 0,2D θθθπ+∈，则OA OB OD ++()()()223cos 1sin 3822cos 3sin θθθθ=+-++=++．因为2cos 3sin θθ+的取值范围是()()222223,237,7⎡⎤⎡⎤-++=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故827,82771,71OA OB OD ⎡⎤⎡⎤++∈-+=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦,故选D ． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(11）【2014年湖南,文11，5分】复数23i i +（i 为虚数单位）的实部等于 ．【答案】3-【解析】由题可得所以23i 3i i +=--，3i --的实部为3-．（12）【2014年湖南，文12,5分】在平面直角坐标系中,曲线222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为 ．【答案】10x y --= 【解析】联立222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 可得110x y x y -=⇒--=．（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量y x ，满足约束条件41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为 ．【答案】7【解析】作出不等式组41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数2z x y =+在点()3,1处取得最大值7．（14）【2014年湖南，文14,5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直 线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点()10P -，且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 ． 【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】由题设知机器人在以点(1,0)F 为焦点的抛物线24y x =上,且()1y k x =+与抛物线24y x =无交点，()22441y xy y k k y k x ⎧=⎪⇒=⋅+⇒⎨=+⎪⎩方程204y k y k ⋅-+=无实根，则0k ≠且2101k k ∆=-<⇒<-或1k >, 所以()(),11,k ∈-∞-+∞．（15）【2014年湖南，文15，5分】若()()3ln 1xf x e ax =++是偶函数,则a = ．【答案】23-【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()()33ln 1ln 1x x f x f x e ax e ax --=⇒+-=++⇒()()333ln 13ln 1322x x e x ax e ax x ax a +--=++⇒-=⇒=-．三、解答题:本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年湖南,文16，12分】已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS n N *+=∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n ann n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和．解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，∴*()n a n n N =∈． (2）由题意得：2(1)2(1)n a n n n n n b a n =+-=+-，∴数列{}n b 的前2n 项和2n T 为22212(222)(12342)22n n n T n n +=++++-+-+-+=-+． （17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败;b b ，分别表示乙组研发成功和失败． （1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．解：(1）甲组研发新产品的成绩为1,1，1,0，0,1,1,1，0，1,0,1,1,0，1，其平均数为102==153x 甲．方差为2221222=[(1)10(0)5]15339S -⨯+-⨯=甲;乙组研发新产品的成绩为1,0，1，1,0，1,1，0,1，0,0，1,0,1,1,其平均数为93==155x 乙．方差为2221336=[(1)9(0)6]155525S -⨯+-⨯=乙 22><x x S S 甲乙甲乙，，∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平．（2）记E =｛恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b 共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =． (18）【2014年湖南,文18,12分】如图，已知二面角MN αβ--的大小为60°，菱形ABCD在面β内，,A B 两点在棱MN 上，BAD ∠=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α，垂足为 O ．(1）证明:AB ⊥平面ODE ；（2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值． 解：（1）∵DO α⊥，AB α⊂，∴DO AB ⊥．∵四边形ABCD 问菱形，60BAD ∠=︒，连结BD ，则ABD ∆为正三角形．又E 为AB 的中点，∴DE AB ⊥．而DO DE D =,∴AB ⊥平面ODE ． （2）∵//BC AD ，∴ADO ∠是直线BC ，OD 所成的角． 由（1)知,AB ⊥平面ODE ,∴AB OE ⊥，AB DE ⊥，∴DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,∴60DEO ∠=︒．设2AB =,则2AD =，3DE =，3sin 602DO DE =︒=．连结AO ，则3cos 4DO ADO AD ∠==，∴异面直线BC ，OD 所成的角的余弦值为34．（19）【2014年湖南，文19,13分】如图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥,1DE =,7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=． (1）求sin CED ∠的值； （2）求BE 的长． 解：（1）在CDE ∆中，222+2cos EC CD DE CD DE EDC =-⋅⋅∠．即227+1+CD CD =，2+60CD CD -=，2CD ∴=（3CD =-舍去），设CED α∠=，sin sin EC CDD α=∠，即722sin sin 3πα=，21sin 7α∴=． (2）0<<3πα，21sin 7α=，27cos 7α∴=， 2227cos cos()cos cos +sin sin 33314AEB πππααα∴∠=-==， 在ABE ∆中，cos EAAEB BE ∠=，247cos 7/14EA BE AEB ∴===∠．(20）【2014年湖南，文20，13分】如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．解：（1)设2C 的焦距为22c ，则12222a c ==，∴121a c ==．23(,1)3P 在1C 上，∴2212123:()13y C b -=,213b =． 由椭圆定义知，2222223232()(11)()(11)2333a =+-+++=，∴23a =，2222222b a c =-=， ∴12,C C 的方程分别为22221,1332y y x x -=+=．（2）不存在符合题设条件的直线．①若l x ⊥轴，∵l 与2C 只有一个公共点，∴l 的方程为2x =或2x =-．当2x =时，易得()2,3A ,()2,3B-， ||22,||23OA OB AB +==,此时||||OA OB AB +≠．②若l 不垂直x 轴，设:l y kx m =+，代入双曲线方程整理得222(3)230k x k m x m ----=．当l 与1C 有两个交点()11,A x y ，()22,B x y 时，12223k mx x k +=-，212233m x x k +=-,于是222212121212233()()()3k m y y kx b kx b k x x km x x m k -=++=+++=-，再将y kx b =+代入椭圆方程整理得222(23)4260k x k m x m +++-=，∵l 与2C 只有一个公共点，∴由0∆=,可得2223k m =-,于是有22222212122222333323303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +--+--⋅=+=+==≠----∴2222||||||||40OA OB AB OA OB OB OA OA OB +-=+--=⋅≠，即||||OA OB AB +≠． 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．（21）【2014年湖南,文21,13分】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>．（1)求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<．解:（1）()cos sin cos f x x x x x '=--，令()0f x '=，则*()x k k N π=∈． 当(2,2)()x k k k N πππ∈+∈时,()0f x '<，当(2,22)()x k k k N ππππ∈++∈时，()0f x '>，∴()f x 的单调减区间为(2,2)()k k k N πππ+∈, ()f x 的单调增区间为(2,22)()k k k N ππππ++∈． （2)由(1）知,()f x 在区间(0,)π上单调递减,∵()02f π=,∴12x π=．当*n N ∈时，∵1()()[(1)1][(1)(1)1]0n n f n f n n n πππππ+⋅+=-+⋅-++<， 且()f x 的图像是连续不断的，∴()f x 在区间(,)n n πππ+内至少有一个实根,又()f x 在区间(,)n n πππ+上是单调的，∴1n n x n πππ+<<+．由此可得 222222221211111111111[41][41]23(1)1223(2)(1)n x x x n n n ππ+++<+++++<+++++-⨯⨯--2222111111111162[41(1)()()](411)(6)22321113n n n n ππππ=++-+-++-=++-=-<<---- 综上可知，对一切*n N ∈,都有2221211123n x x x +++<．。
2014年高考数学模拟试题及答案四
2014年高考数学模拟试题及答案四高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑．3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分． 一、选择题1．已知集合{|(1)()0},{||1|A x x a x B x x =-->=++集合|2|3},(),R x C A B R -≤⋃=且则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(1,)-+∞C ．[—1，2]D ．[1,1)(1,2]-⋃2．已知圆O 的半径为R,A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则⋅的值等于 （ ）A．22R B ．212R -C．22R -D ．232R - 3．函数()x x x x x f 44cos cos sin 2sin ++=的最小值是 （ ）A ．1B ．12 C ．12-D ．32-4．设函数()()x g x f ,的定义域分别为F ，G ，且F 是G 的真子集。
若对任意的F x ∈，都有()()x f x g =，则称()x g 为()x f 在G 上的一个“延拓函数”。
已知函数()()02≤=x x f x ，若()x g 为()x f 在R 上的一个“延拓函数”，且()x g 是偶函数，则函数()x g 的解析式是（ ）A ．||2xB ．2log ||xC ．||12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12log ||x5．b a ,为非零向量，“b a ⊥”是“函数()()()a b x b a x x f -⋅+=为一次函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不必要也不充分条件6．定义在R 上的函数()x f 满足()14=f ，()x f '为()x f 的导函数，已知函数()x f y '=的图像如右图所示，若两正数b a ,满足()12<+b a f ，则22++a b 的取值范围是（ ）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,3,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（-∞，-3）7．设M 是ABC ∆内一点，且030,32=∠=⋅BAC AC AB ,定义()()p n m M f ,,=，其中p n m ,,分别是MAB MCA MBC ∆∆∆,,的面积，若()⎪⎭⎫⎝⎛=y x M f ,,21，则y x 41+的最小值是（ ）A ．18B ．16C ．9D ．88 ．若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=,则=⋅（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．29．数列{}n a 满足：0,1,221>==n a a a ，()22122121212≥-=-++--n a a a a a a n nn n n n ，则=834a（ ）A ．25B ．125C ．1D ．210．函数()()π20cos 45sin ≤≤+=x xx x f 的值域是（ ）11111122.,.,.,.,44332233A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11．对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数,例如：[ 2.5]3-=-，[2.5]2=，[2]2=，那么222[log 1][log 2][log 1024]+++=（ ）A ．8204B ．4102C ．2048D ．102412．ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2=a ，且满足222sin 32c b a C ab ++=，则ABC ∆的面积是（ ）A ．1B ．2CD二、填空题13．如图，在ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+= ．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*11,().n n a S n a n N ==∈则n S 的表达式为____ 15．若函数()x x x f -=331在()210,a a -上有最小值，实数a 的取值范围为___________ 16．若规定{}1021,,,a a a E =的子集{}n i i i a a a ,,,21 为E 的第k 个子集，其中11122221---+++=n i i i k ，则E 的第211个子集是______________三、解答题：17．（10分）已知等比数列{}n a 中，123,,a a a b a c ===，,,a b c 分别为ABC ∆的三内角,,A B C 的对边，且3cos 4B =． （1）求数列{}n a 的公比q ；（2）设集合{}2|2||A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式．H18．（12分）已知O 为坐标原点，向量(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)OA OB OC ααα===-，点P 是直线AB 上的一点，且点B 分有向线段AP的比为1．（1）记函数()f PB CA α=⋅ ，(,)82ππα∈-，讨论函数()f α的单调性，并求其值域；（2）若,,O P C 三点共线，求||OA OB +的值．19．（12分）某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润1,1251266025n n a n n ≤≤⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩（单位：万元，*n N ∈），记第n 天的利润率n n b n =第天的利润前天投入的资金总和，例如3312.38a b a a =++ （1）求第n 天的利润率n b ；（2）该商店在经销此纪品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率。
数学_2014年湖南省某校高考数学三模试卷(文科)(含答案)
2014年湖南省某校高考数学三模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合A={3, a2}，B={0, 1, a+1}，若A∩B={1}，则A∪B=()A {0, 1, 3}B {0, 1, 2, 3}C {0, 2, 3}D {0, 1, 3, 4}2. 下列说法中，不正确的是（）A “|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件B 命题p:∀x∈R，sinx≤1，则¬p:∃x∈R，sinx>1C 命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y不是偶数，则x+y不是偶数” D 命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则(¬p)∨(¬q)为真命题3. 冬日，某饮料店的日销售收入y（百元）与当天的平均气温x(∘C)之间有下列5组样本数据：根据散点图可以看出，这组样本数据具有线性相关关系，则其回归方程可能是（）A ŷ=x+2.6B ŷ=−x+2.6C ŷ=x+2.8D ŷ=−x+2.84. 执行如图所示的程序框图，若输入x=3，计算机输出的y值为13，则图中①处的关系式可以是（）A y=x3B y=x−3C y=3xD y=3−x5. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a2+a4=10，则使S n>527成立n的最小值是（）A 16B 17C 22D 236. 若抛物线y2=ax经过不等式组{x−y−2≥0,x+2y−8≤0,y≥1表示的平面区域，则抛物线焦点的横坐标的取值范围是()A [124, 14] B [112, 12] C [16, 1] D [14, 32]7. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起得到一个三棱锥C−ABD，已知该三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A 1B 2C √3D 2√38. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，过点A向∠BAD所在区域等可能任作一条射线AP，已知事件“射线AP与线段BC有公共点”发生的概率为13，则BC边的长为（）A 1B √3C 3D 3√39. 设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a, b >0)的左、右焦点，动点P 满足PF 1→⋅PF 2→=0，若直线l:3x −4y −10=0与点P 的轨迹有且只有一个公共点，则下列结论正确的是（ ） A a 2+b 2=2 B a 2−b 2=2 C a 2+b 2=4 D a 2−b 2=410. 已知定义在(0, +∞)上的函数f(x)满足：对任意正实数a ，b ，都有f(ab)=f(a)+f(b)−2，且当x >1时恒有f(x)<2，则下列结论正确的是（ ）A f(x)在(0, +∞)上是减函数B f(x)在(0, +∞)上是增函数C f(x)在(0, 1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数D f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11. 已知z 为纯虚数，且满足(2−i)z =4−bi ，则实数b =________．12. 已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l 的参数方程为{x =5−√3ty =t （t 为参数），设A ，B 分别为圆C 和直线l 上的动点，则|AB|的最小值为________．13. 如图，已知|OA →|−1，|OB →|=2，∠AOB =∠BOC =60∘，若OC →=λOA →+OB →，则λ=________．14.如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，已知AB =6，AD =5，CD =2，B =30∘，∠ADB 为锐角，则： （1）sin∠ADB =________； （2）AC 边的长为________．15. 设x 1=2t +i t−1×2t−1+i t−2×2t−2+i t−3×2t−3+...i 2×22+i 1×21+i 0×20． x 2=2t +i 0×2t−1+i t−1×2t−2+i t−2×2t−3+...+i 3×22+i 2×21+i 1×20． x 3=2t +i 1×2t−1+i 0×2t−2+i t−1×2t−3+...+i 4×22+i 3×21+i 2×20．x 4=2t +i 2×2t−1+i 1×2t−2+i 0×2t−3+i t−1×2t−4+...+i 5×22+i 4×21+i 3×20，… 以此类推构造无穷数列{x n }，其中i t =0或l(k =0, 1, 2,…,t −1, t ∈N ∗)，若x 1=110，则 （1）x 2=________．（2）满足x n =x 1(n ∈N ∗, n ≥2)的n 的最小值为________．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 已知函数f(x)=√3sin2ωx +6cos 2ωx −3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B 、C 为图象与轴的交点，且△ABC 为正三角形． （1）求ω的值； （2）若f(x 0)=6√35，且x 0∈(23, 83)，求f(x 0+1)的值．17.今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60, 70]，[70, 80]，[80, 90]，[90, 100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A，B，C，D四个等级，等级评定标准如下表所示：(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；(2)从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．18. 如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=CD，E为PB的中点．（1）求异面直线PA与DE所成的角；（2）在底边AD上是否存在一点F，使EF⊥平面PBC？证明你的结论．19. 某地区电力成本为0.3元/kw⋅ℎ，上年度居民用电单价为0.8元/kw⋅ℎ，用电总量为akw⋅ℎ（a为正常数），本年度计划将居民用电单价适当下调，且下调后单价不低于0.5元/kw⋅ℎ，不高于0.7元/kw⋅ℎ．经测算，若将居民用电单价下调为x元/kw⋅ℎ，则本年度居民用电总量比上年度增加0.2ax−0.4kw⋅ℎ．（1）当用电单价下调为多少时，电力部门本年度的收益最低？（精确到0.01元/kw⋅ℎ，参考数据：√2≈1.414）（2）若保证电力部门本年度的收益比上年度增长20%以上，求下调用电单价的定价范围．20. 如图，设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为椭圆的右焦点，已知椭圆的离心率e=√32，且AF→⋅BF→=−1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若存在斜率不为零的直线l与椭圆相交于C、D两点，且使得△ACD的重心在y轴右侧，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21. 已知函数f(x)=1x+1．（1）设g(x)=f(x)⋅1nx，判断函数g(x)在(0, +∞)上是否存在极大值，并说明理由．（2）如图，曲线y=f(x)在点Q(0, 1)处的切线与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交曲线于点Q1；曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2；依次重复上述过程得到点列：P1，P2，P3，…，P n(n∈N∗)，设点P n的坐标为(a n, 0)，求数列{a n}的通项公式，并证明：1a1+1a2+...+1a n≥32−12n．2014年湖南省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. B2. C3. D4. C5. D6. A7. A8. B9. C10. A11. −812. 113. −214. 分别为：35，3√5．15. 87、7．16. 解：（1）函数f(x)=√3sin2ωx+6cos2ωx−3=√3sin2ωx+3cos2ωx=2√3sin(2ωx+π3)．由于△ABC为正三角形，故高线的长为2√3，故边长为BC=4，故周期为8，即2π2ω=8，求得ω=π8．（2）由以上可得，f(x)=2√3sin(π4x+π3)，由f(x0)=2√3sin(π4x0+π3)=6√35，可得sin(π4x0+π3)=35．结合x0∈(23, 83)，可得π4x0+π3∈(π2, π)，∴ cos(π4x0+π3)=−45．求f(x0+1)=2√3sin[π4(x0+1)+π3]=2√3sin[(π4x0+π3)+π4]=2√3[sin(π4x0+π3)cosπ4+cos(π4x0+π3)sinπ4]=2√3(35×√22−45×√22]=−√65．17. 解：(1)∵ 最高小矩形下底边的中点值为75，∴ 估计评估得分的众数为75；∵ 从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，∴ 第二个小矩形的面积为1−0.28−0.16−0.08=0.48；∴ x¯=65×0.28+75×0.48+85×0.16+95×0.08=75.4，即估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4；(2)∵ A等级的频数为25×0.08=2，B等级的频数为25×0.16=4，∴ 从6家连锁店中任选2家，共有6×52=15种选法，其中选1家A等级和1家B等级的选法有2×4=8种，选2家A等级的选法有1种,∴ P=8+115=35，即至少选一家A等级的概率是35．18. 解：（1）取AB的中点G，连结EG、DG，∵ E是PB的中点，∴ EG // PA，∴ ∠DEG为所求的角，由已知得BD=2√2，PD=2，则PB=2√3，∴ DE=12PB=√3，又EG=12PA=√2，DG=√AD2+AG2=√5，∴ DG2=DE2+EG2，∴ ∠DEG=90∘，∴ 异面直线PA与DE所成角为90∘．（2）存在点F为AD的中点，使EF⊥平面PBC．证明如下：取PC的中点H，连结DH，EH，∵ PD=CD，∴ DH⊥PC，①∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC，∵ 底面ABCD是正方形，∴ CD⊥BC，∴ BC⊥平面PCD，∴ BC⊥DH．②结合①②知DH⊥平面PBC，∵ E，F分别是PB、AD的中点，∴ FD= // 12BC，EH= // 12BC，∴ FD= // EH，∴ 四边形EFDH 是平行四边形，∴ EF // DH ， ∴ EF ⊥平面PBC ．19. 解：（1）设电力部门本年度的收益为y 元，则y =(a +0.2a x−0.4)(x −0.3)，x ∈[0.5, 0.7]，∴ y =[(x −0.4)+0.02x−0.4+0.3]a ≥(2√0.02+0.3)a ， 当且仅当x −0.4=0.02x−0.4，即x =0.4+0.1×√2≈0.54时取等号，故用电单价下调为0.54元/kw ⋅ℎ时，电力部门本年度的收益最低； （2）令(a +0.2ax−0.4)(x −0.3)>0，5a(1+20%)，即x 2−1.1x +0.3>0， ∴ x <0.5或x >0.6， ∵ 0.5≤x ≤0.7， ∴ 0.6<x ≤0.7，∴ 下调用电单价的定价范围是(0.6, 0.7]．20. 解：（1）设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． A(−a, 0)，B(a, 0)，F(c, 0)． AF →=(c +a, 0)，BF →=(c −a, 0)． ∵ AF →⋅BF →=−1，∴ c 2−a 2=−1， 又ca =√32，a 2=b 2+c 2，联立解得b 2=1，a 2=4，c 2=3． ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为x =ty +m ，联立{x 2+4y 2=4x =ty +m ，化为(t 2+4)y 2+2mty +m 2−4=0， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−2mt t 2+4．∵ △ACD 的重心在y 轴右侧， ∴x 1+x 2−23>0，即x 1+x 2>2，∴ t(y 1+y 2)+2m >2， ∴−2mt 2t 2+4+2m >2，即4m >t 2+4．∵ 直线l 与椭圆相交，则△=4m 2t 2−4(m 2−4)(t 2+4)>0，化为t 2+4>m 2， ∴ 4m >m 2，解得0<m <4，又t 2≥0，∴ 4m >t 2+4≥4，解得m >1， ∴ m 的取值范围是(1, 4)．21. 解：（1）g(x)=f(x)⋅1nx =lnxx+1(x >0)，g′(x)=1(x+1)2(x+1x−lnx)．设ℎ(x)=x+1x −lnx =1+1x−lnx ．ℎ′(x)=−1x 2−1x=−1+x x 2<0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减， ∵ ℎ(e)=1e >0，ℎ(e 2)=1e 2−1<0，∴ ℎ(x)在区间(e, e 2)内存在唯一零点，即存在x 0∈(e,e 2)，使得ℎ(x 0)=0．∴ 当0<x <x 0时，ℎ(x)>0，从而g′(x)>0；当x >x 0s 时，ℎ(x)<0，从而g′(x)<0． ∴ g(x)在区间(0, x 0)上是增函数，在区间(x 0, +∞)上是减函数， ∴ x 0为函数g(x)的极大值点．故函数g(x)在(0, +∞)上存在极大值． （2）∵ f′(x)=−1(x+1)2，则f′(0)=−1，∴ 切线QP 1的方程为：y =−x +1．令y =0，则x =1． ∴ a 1=1．由已知可得Q n−1(a n−1，1a n−1+1)，则切线Q n−1P n 的方程为y −1a n−1+1=−1(a n−1+1)2(x −a n−1)．令y =0，则x =2a n−1+1，∴ a n =2a n−1+1(n ≥2)．∵ a n +1=2(a n−1+1)(n ≥2)，则数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴ a n +1=2n ，即a n =2n −1．因此∑1ain i=1=1+122−1+⋯+12n −1≥1+122+...+12n =1+14(1−12n−1)1−12=32−12n ．。
湖南省长沙市重点中学2014届高三上学期第四次月考数学(文)试题 含解析
湖南省长沙市重点中学 2014届高三上学期第四次月考试卷文科数学 第Ⅰ卷（共45分)一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
已知,,x y R i ∈为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi +-的值是( ）.2A.2B i - .4C -.2D i2.已知集合1{|0,},A x x x R x=-=∈则满足{1,0,1}AB =-的集合B 个数是（ ）.2A.3B .4C.8D3。
1a =-是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的（ ）.A 充分不必要条件B.必要不充分条件 .C 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：直线1:0l ax y +=,易知其斜率为a -。
直线2:20lx ay ++=，若0a ≠,则其斜率为1a-.当1a =-时，11a a-=-=,所以两直线平行。
此外当1a =时,11a a-=-=-，两直线也平行.故1a =-可推出直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行，但直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行不一定能推出1a =-。
所以1a =-是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的充分不必要条件.考点:充分条件与必要条件、直线平行的判定4。
若非零向量,,a b c 满足a //b ，且0b c ⋅=,则a b c +⋅=（）( ) .4A .3B .2C .0D 【答案】D【解析】试题分析：非零向量a //b ，若所以存在实数λ使得a b λ=.又 0b c ⋅=，所以()(1)0a b c b c λ+⋅=+⋅=.考点：共线向量基本定理、向量的数量积 5。
函数()sin(),()(0,||)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图像如图所示，如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()2x xf += ( ） 1.2A2.2B3.2C.1D6.已知下列四个命题，其中真命题的序号是（）①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行一个平面,另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直；④若两条直线垂直,则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直；.A①②.B②③.C②④.D③④7。
湖南省长沙市2014届高三高考模拟试卷(二模)数学(文)试题_
绝密★启用前湖南省长沙市2014届高三高考模拟试卷（二模）数学（文）试题长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1,1},{|124}x A B x =-=≤<,则AB 等于A ．{-1,0,1}B ．{1}C ．{-1,1}D ．{0,1}2．复数1012ii-= A ．-4+ 2i B ．4- 2i C ．2- 4iD ．2+4i3．已知03131log 4,(),log 105a b c ===，则下列关系中正确的是A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b4．一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是A ．12 cm 3B. 36cm 3 C．cm 3 D ．108πcm 35．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），891011,,,∏∏∏∏中值最大的是 A ．8∏ B ．9∏C ．10∏D ．11∏6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．15 B ．16 C ．124 D ．11207．ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设双曲线22221(0,0)xy a b a b-=>>，离心率e =右焦点(,0)F c ．方程20ax bx c --= 的两个实数根分别为12,x x ，则点12(,)P x x 与圆228x y +=的位置关系A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不确定9．在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，2AD DB = ，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．13-B. 23C.1D.210．已知)sin()(ϕω+=x x f 0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()()f x f x π=-+，21)0(=f ，则)cos(2)(ϕω+=x x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值与最小值之和为A ． 13-B ．23- C．1 D ．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．极坐标方程为2sin ρθ=的圆与参数方程1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩的直线的位置关系是 . 12．一组样本数据的茎叶图如右：3216433104，则这组数据的平均数等于 .13．若x ，y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为 . 14．已知圆M ：224x y +=，在圆M 上随机取两点A 、B ，使32≤AB 的概率为 .15．巳知函数'(),'()f x g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2014年湖南省岳阳一中高考数学四模试卷(理科)
2014年湖南省岳阳一中高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设集合P={-1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定义P*Q={（x，y）|x∈P∩Q，y∈P∪Q}，则P*Q的元素的个数为（）A.4个B.7个C.10个D.12个【答案】C【解析】解：由题意知本题是一个分步计数原理，∵集合P={-1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1}，P∪Q={-1，0，1，2，3}，∴x有2种取法，y有5种取法∴根据乘法原理得2×5=10，故选：C．本题是一个分步计数问题，根据所给的两个集合的元素，写出两个集合的交集与并集，根据新定义的集合规则，得到x和y分别有2和5种结果，根据分步计数原理得到结果．本题考查分步计数原理，考查集合的交集和并集的运算，是一个综合题，注意这是一个必得分题目，不要在细节上出错．2.已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于（）A.25B.-25C.24D.-24【答案】B【解析】解：∵，，∴∴∠B=90°∴===-=-25故选B通过勾股定理判断出∠B=90，利用向量垂直的充要条件求出，利用向量的运算法则及向量的运算律求出值．本题考查勾股定理、向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律．3.一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A.i≤98？B.i≤99？C.i≤100？D.i≤101？【答案】B【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求sum=++…+的值，∵输出的结果为，即sum=1-+-+…+-=1-==，∴跳出循环的i=100，∴判断框内应填i≤99或i＜100．故选：B．算法的功能是求sum=++…+的值，根据输出的结果为，确定跳出循环的i值，从而得判断框应填的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4.在平面直角坐标系中，若不等式（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（）A.-5B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：如图，由y=ax+1，x=1，得A（1，a+1），由x=1，x+y-1=0，得B（1，0），由y=ax+1，x+y-1=0，得C（0，1）．∵△ABC的面积为2，∴S△ABC=×（a+1）×1=2，∴a=3故选D确定不等式组对应的区域，求出直线交点的坐标，利用平面区域内的面积等于2，建立方程，即可求得a的值．本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．5.如果直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，则点P（a，b）与圆的位置关系是（）A.P在圆外B.P在圆上C.P在圆内D.不能确定【答案】A【解析】解：∵直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，∴圆心（0，0）到直线ax+by=4的距离小于半径，即＜2，∴a2+b2＞4，故点P（a，b）在圆外，故选A．由题意得，圆心（0，0）到直线ax+by=4的距离小于半径，得到a2+b2＞4，故点P（a，b）在圆外．本题考查点到直线的距离公式，以及点与圆的位置关系的判定方法．6.当0≤x≤时，|ax-2x3|≤恒成立，则实数a的取值范围是（）A.≥a≥B.-≥a≥C.a≥D.a≤【答案】A【解析】解：由题意可得0≤x≤时，-≤ax-2x3≤恒成立，即．由于函数y=2x2-在[0]上是增函数，故y的最大值为2×-=-．对于函数t=2x2+，当0≤x≤时，∵t′=≤0，故函数t在[0]上是减函数，故t的最小值为2×+=．根据题意可得a大于或等于y的最大值，且a小于或等于t的最小值，故a的范围为[-，]，故选：A．由题意可得0≤x≤时，即．利用单调性求得函数y=2x2-在[0]上的最大值、函数t=2x2+在[0]上的最小值，即可求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用单调性求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础档题．7.已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，则曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程是（）A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3【答案】A【解析】解：∵f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，∴f（1）=2f（1）-1∴f（1）=1∵f′（x）=-2f′（2-x）-2x+8∴f′（1）=-2f′（1）+6∴f′（1）=2根据导数的几何意义可得，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2∴过（1，1）的切线方程为：y-1=2（x-1）即y=2x-1故选A．由f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，可求f（1）=1，对函数求导可得，f′（x）=-2f′（2-x）-2x+8从而可求f′（1）=2即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2，进而可求切线方程．本题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是要由已知先要求出函数的导数，进而可求k=f′（1），从而可求切线方程．8.定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；②“-伴随函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”；其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】A【解析】解：①设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”，故①不正确；②令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=-f（0）若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=-（f（0））2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“-伴随函数”必有根，即任意“-伴随函数”至少有一个零点，故②正确；③用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ-伴随函数”，故③不正确；故正确结论的个数1个，故选：A①设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”；②令x=0，可得f（）=-f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=-（f（0））2＜0，由此可得结论；③用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，从而有λ+1=2λ=λ2=0，此式无解；本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-伴随函数的定义，是解答本题的关键．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（-，）则α+β= ______ ．【答案】-【解析】解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ=-3，tanαtanβ=4，tan（α+β）==又∵α、β∈（-，），∴α+β∈（-π，π）．又∵tanα+tanβ=-3，tanα•tanβ=4，∴α、β同为负角，∴α+β=-．故答案为-此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意α，β的角度范围，这是本题容易出错的地方10.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为______ ．【答案】【解析】解：三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，它的直径是2，所以球的体积是：故答案为：判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，然后求其体积．本题考查三视图求几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．11.设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13= ______ ．【答案】105【解析】解：设数列的公差为d（d＞0），∵a1+a2+a3=3a2=15∴a2=5．∵a1a2a3=80∴（5-d）•5•（5+d）=5（25-d2）=80∴d2=25-16=9∴d=3∴a11+a12+a13=（a1+a2+a3）+30d=15+90=105故答案为105．由a1+a2+a3=15，利用等差中项的性质，可求得a2，然后利用a1a2a3=80通过解方程得到公差d，即可求出a11+a12+a13的值．本题考查等差数列的性质，通过对等差数列的研究，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．是个基础题．12.若不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围______ ．【答案】5＜b＜7【解析】解：因为＜＜＜＜＜，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有＜＜＜＜＜＜．故答案为5＜b＜7．首先分析题目已知不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x-b|＜4含有参数b的解，使得解中只有整数1，2，3，即限定左边大于0小于1，右边大于3小于4．即可得到答案．此题主要考查绝对值不等式的解法问题，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题型．对于此类基础考点在高考中属于得分内容，同学们一定要掌握．13.已知点M是抛物线y2=8x上的动点，F为抛物线的焦点，点A在圆C：（x-3）2+（y+1）2=1上，则|AM|+|MF|的最小值为______ ．【答案】4【解析】解：抛物线y2=8x的准线方程为：x=-2过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=8x的一点，F为抛物线的焦点∴|MN|=|MF|∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|∵A在圆C：（x-3）2+（y+1）2=1，圆心C（3，-1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴（|MA|+|MF|）min=（|MA|+|MN|）min=|CN|-r=5-1=4∴（|MA|+|MF|）min=4故答案为：4先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线，垂足为N，根据抛物线定义可得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案．本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线的简单性质，考查距离和的最小．解题的关键是利用化归和转化的思想，将问题转化为当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小．14.设a1，a2，…，a50是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50=9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107，则a1，a2，…，a50中数字0的个为______ ．【答案】11【解析】解：由（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107得a12+a22+…+a502+2（a1+a2+…+a50）+50=107，即：a12+a22+…+a502=107-50-2×9=39由此式可知：0的个数为11-1和1的总个数是39设-1的个数为x，1的个数为y则有：x+y=39且y-x=9可知：x=15，y=24，故：a1，a2，…，a50中有0的个数为11，1的个数为24，-1的个数为15，故答案为11．根据题中已知条件先求出a12+a22+…+a502的值为39，便可知-1和1的总个数是39，则0的个数为11．本题考查了数列的实际应用，考查了学生的计算能力，解题时要注意整体思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．15.将正整数1，2，3，4，…，n2（n≥2）任意排成n行n列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f（n）．若a ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足a ij=，＜，，则：（1）f（3）= ______ ；（2）f（2013）= ______ ．【答案】；【解析】解：由题意，交换任何两行或两列，特征值不变．当n=3时，数表为此时，数表的“特征值”为当n=4时，数表为此时，数表的“特征值”为当n=5时，数表为此时，数表的“特征值”为．猜想“特征值”为，∴f（3）=，f（2013）=．故答案为：，．分别写出当n=3，n=4，n=5时的图表，由特征值的定义可得答案．本题考查类比推理和归纳推理，考查数列的应用，属基础题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2=a2-（b+c）2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2-sin（-B）的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．【答案】解（Ⅰ）由已知，化为2bccos A=a2-b2-c2-2bc，（2分）由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4bccos A=-2bc，∴，（4分）∵0＜A＜π，∴．（6分）（Ⅱ）∵，∴，＜＜．=．（8分）∵＜＜，∴＜＜，∴当C+=，取最大值，解得B=C=．（12分）【解析】（Ⅰ）通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；（Ⅱ）通过A利用2012年6月7日17：54：00想的内角和，化简为C的三角函数，通过C的范围求出表达式的最大值，即可求出最大值时角B、C的大小．本题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值，考查计算能力．17.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A-PD-Q的余弦值．【答案】解：法1：（Ⅰ）如图，连AQ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．（2分）设BQ=t，则CQ=a-t，在R t△ABQ中，有AQ=．在R t△CDQ中，有DQ=．（4分）在R t△ADQ中，有AQ2+DQ2=AD2．即t2+4+（a-t）2+4=a2，即t2-at+4=0．∴a=t+≥4．故a的取值范围为[4，+∞）．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．（8分）过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．过M作MN⊥PD于N，连接NQ，则QN⊥PD．∴∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角．（10分）在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=，又MQ=2，进而NQ=．（12分）∴cos∠MNQ=．故二面角A-PD-Q的余弦值为（14分）法2：（Ⅰ）以、、为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），P（0，0，4），（2分）设Q（t，2，0）（t＞0），则=（t，2，-4），=（t-a，2，0）．（4分）∵PQ⊥QD，∴=t（t-a）+4=0．即t2-at+4=0．∴a=t+≥4．故a的取值范围为[4，+∞）．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．此时Q（2，2，0），D（4，0，0）．（8分）设n=（x，y，z）是平面PQD的法向量，由，得．取z=1，则n=（1，1，1）是平面PQD的一个法向量．（10分）而，，是平面PAD的一个法向量，（12分）由cos＜，＞．∴二面角A-PD-Q的余弦值为．（14分）【解析】解法1：（I）连AQ，设BQ=t，则CQ=a-t，解R t△ABQ，R t△CDQ，可求出AQ，DQ（均含参数t），在R t△ADQ中，由勾股定理，我们可以得到一个关于t和a的方程，进而由基本不等式得到a的取值范围；（Ⅱ）过Q作QM∥CD交AD于M，过M作MN⊥PD于N，连接NQ，则∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角，解三角形MNQ，即可得到二面角A-PD-Q的余弦值．解法2：（I）以、、为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，设Q（t，2，0）（t＞0），可得到向量，的坐标（均含参数t），由PQ⊥QD，可得•=0，由此可构造一个关于t和a的方程，进而由基本不等式得到a的取值范围；（II）分别求出平面PQD的法向量和平面PAD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-PD-Q的余弦值．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的，向量语言表述线线的垂直关系，二面角的夹角角及求法，方法一的关键是熟练掌握线线垂直的判定及二面角的平面角的构造方法；方法二的关键是建立空间坐标系，将线线垂直及二面角问题转化为向量夹角问题．18.已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0．且a2，a5，a14分别是等比数列{b n}的b1，b2，b3．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{C n}对任意自然数n均有++…+=a n+1成立，求c1+c2+…+c2013的值．【答案】解：（1）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，且a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=2，∴a n=1+（n-1）•2=2n-1，又b1=a2=3，b2=a5=9，∴q=3，；（2）++…+=a n+1，即①，则n≥2时，②，①-②得，，所以（n≥2），n=1时，C1=9，所以，，，所以c1+c2+…+c2013=9+2•32+2•33+…+2•32013=9+2•=32014；【解析】（1）由a2，a5，a14成等比数列可得关于公差d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n，由b1=a2=3，b2=a5=9得公比q，利用等比数列通项公式可得b n；（2），得n≥2时，，两式作差可得，从而求得（n≥2），易求C1=9，由{C n}的通项公式及等比数列求和公式可得答案；本题考查数列求和、等差等比数列的通项公式，考查学生的推理论证能力、运算求解能力．19.某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC．（1）设AB=x米，cos A=f（x），求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【答案】解：（1）设AB=x米，则BC=x米，CD=5-x米，AD=9-x米，则有5-x＞0，即x＜5．在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos A．同理，在△CBD中，BD2=CB2+CD2-2CB•CD•cos C．…（3分）因为∠A和∠C互补，所以AB2+AD2-2AB•AD•cos A=CB2+CD2-2CB•CD•cos C=CB2+CD2+2CB•CD•cos A．…（5分）即x2+（9-x）2-2x（9-x）cos A=x2+（5-x）2+2x（5-x）cos A．解得cos A=，即f（x）=．由余弦的定义，有＜1，则x＞2，故x∈（2，5）．…（8分）（2）四边形ABCD的面积S=（AB•AD+CB•CD）sin A=[x（5-x）+x（9-x）]=．…（11分）记g（x）=（x2-4）（x2-14x+49），x∈（2，5）．由g′（x）=2x（x2-14x+49）+（x2-4）（2x-14）=2（x-7）（2x2-7x-4）=0，∴x=4或x=7或x=-．∵x∈（2，5），∴x=4．…（14分）所以函数g（x）在区间（2，4）内单调递增，在区间（4，5）内单调递减．因此g（x）的最大值为g（4）=12×9=108．所以S的最大值为=6．答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m2．…（16分）【解析】（1）在△ABD与△CBD中，分别利用余弦定理，即可确定f（x）的解析式，及x的取值范围；（2）四边形ABCD的面积S=（AB•AD+CB•CD）sin A=，构建函数g（x）=（x2-4）（x2-14x+49），x∈（2，5），求导函数，即可求得四边形ABCD 面积的最大值．本题考查函数解析式，考查余弦定理的运用，考查四边形面积的计算，考查利用导数求函数的最值，正确表示四边形的面积是关键．20.已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（-1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；（1）求椭圆的标准方程；（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当=λ且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵+=，∴点M是线段PF2的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2∴，解得a2=2，b2=1，c2=1，∴椭圆的标准方程为=1．（5分）（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴，即m2=k2+1，由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，=x1x2+y1y2==λ，∴，∴，解得：，（8分）S=S△AOB===，设μ=k4+k2，则，S=，，，∵S关于μ在[，]上单调递增，S（）=，S（2）=．∴．（13分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此能求出△AOB面积S的取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．21.设函数f n（x）=x n（1-x）2在[，1]上的最大值为a n（n=1，2，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）若数列{a n}的前n之和为S n，证明：对任意正整数n都有S n＜成立．【答案】解：（1）由′，当，时，由f′（x）=0得x=1或；当n=1时，，，f′1（x）=0，则；当n=2时，，，则；当n≥3时，，，而当，时f′n（x）＞0，当，时f′n（x）＜0，故函数f n（x）在处取得最大值，即：，综上：…（6分）（2）当n≥2时，要证，即证，而，故不等式成立…（10分）（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，由（2）的证明可知：＜＜＜，从而＜…（13分）【解析】（1）易求f′n（x）=x n-1（1-x）[n（1-x）-2x]，经分析可得n=1时，；当，时f′n（x）＞0，当，时f′n（x）＜0，函数f n（x）在处取得最大值，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）当n≥2时，利用分析法：要证，即证，再利用二项式定理即可证得该式成立，从而使结论得证；（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，结合（2）的证明及放缩法的应用，即可证得对任意正整数n都有S n＜成立．本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定，突出考查导数的应用，考查分析法、放缩法的综合应用及推理论证能力，属于难题．。
2014年湖南省十三校联考高考数学一模试卷(文科)
2014年湖南省十三校联考高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.下列四个命题中，正确的是( )A.{0}∈RB.2⊂{x|x≤3}C.2∉{x|x≤3}D.{2}⊊{x|x≤3}【答案】D【解析】试题分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系是“∈”、“∉”和“⊆”、“⊈”，进行正确判定．A中，集合{0}与R之间的关系是“⊆”，∴选项A错误；B中，元素2与集合{x|x≤3}之间的关系是“∈”或“∉”，∴选项B错误；C中，2=，3=，∴2＜3，即2∈{x|x≤3}，∴选项C错误；D中，∵2＜3，∴集合{2}⊊{x|x≤3}；∴选项D正确；故选：D．2.从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是()A.5，10，15，20，25B.3，13，23，33，43C.1，2，3，4，5D.2，4，8，16，32【答案】B【解析】试题分析：由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选B．3.设全集为R，集合，则∁R A=()A.{x|0≤x＜1}B.{x|0＜x≤1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x≥1或x＜0}【答案】A【解析】试题分析：由集合，解分式不等式，即可求出集合A，求出集合A的补集即可．集合={x|x＜0或x≥1}，∵全集为R，∴C R A={x|0≤x＜1}故选A．4.“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=0时直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．若两直线垂直，则当m=0时，两直线为y=2与x=-1，此时两直线垂直．当2m-1=0，即m=时，两直线为x=-4与3x+y+3=0，此时两直线相交不垂直．当m≠0且m时，两直线的斜截式方程为．两直线的斜率为，所以由得m=-1，所以m=-1是两直线垂直的充分不必要条件，故选A．5.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B.命题“∃x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x-1＞0”C.命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题D.若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题【答案】D【解析】试题分析：根据原命题与否命题的关系，可得A选项不正确；根据含有量词的命题否定的规律，得到B选项是不正确的；根据原命题与逆否命题真值相同，可知C选项不正确；对于D，得到复合命题p或q的真值表，可得D选项正确．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”所以A错误．命题“∃x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x-1≥0”，所以B错误．命题“若x=y，则sinx=siny”正确，则命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题也正确，所以C错误．若“p或q”为真命题，根据复合命题p或q的真值表，则p，q至少有一个为真命题，故D为真．故选D．6.已知集合，在区间(-3，3)上任取一实数x，则“x∈A∩B”的概率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：分布求解二次不等式及分式不等式可求集合A，B，进而可求A∩B，由几何概率的求解公式即可求解∵，所以A∩B={x|-1＜x＜1}，所以在区间(-3，3)上任取一实数x，则“x∈A∩B”的概率为，故选C．7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是()A.64B.48C.D.16【答案】C【解析】试题分析：三视图对应的几何体是四棱锥，一条侧棱垂直底面，画出图形，根据三视图的数据，求出四棱锥的体积．几何体的直观图如图，所以四棱锥的体积为：v=S底•h=×4×4×4=．故选：C．8.已知A，B是单位圆上的动点，且，单位圆的圆心为O，则=()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：解三角形可得∠OAB，由数量积的等腰可得答案．(如图)，在等腰三角形OAB中，OA=OB=1，AB=，由余弦定理可得，∴∠OAB=30°∴向量的夹角为180°-30°=150°∴=1××cos150°=故选：C9.已知函数f(x)=sinx+cosx，g(x)=2sinx，动直线x=t与f(x)、g(x)的图象分别交于点P、Q，|PQ|的取值范围是()A.[0，1]B.[0，2]C.[0，]D.[1，]【答案】C【解析】试题分析：先根据题意得到|PQ|=|f(t)-g(t)|然后将函数f(x)、g(x)的解析式代入根据辅角公式进行化简，从而可确定|PQ|的取值范围．由题意可知|PQ|=|f(t)-g(t)|=|sint+cost-2sint|=|sint-cost|=|sin(t-)|∴0≤|PQ|≤故选C．10.已知函数f(x)=，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A.(-∞，0]B.(-∞，1]C.[-2，1]D.[-2，0]【答案】D【解析】试题分析：由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．由题意可作出函数y=|f(x)|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2-2x，求其导数可得y′=2x-2，因为x≤0，故y′≤-2，故直线l的斜率为-2，故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可，即a∈[-2，0]故选D二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.= ．【答案】-1【解析】试题分析：先求的值，然后求解表达式的值．∵，∵==(-1)1007=-1．故答案为：-1．12.极坐标系是以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴．已知直线L的参数方程为：，(t为参数)，圆C的极坐标方程为：ρ=2cosθ，若直线L经过圆C的圆心，则常数a的值为11．【答案】1【解析】试题分析：先把直线L的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，再由直线L经过圆C的圆心，求出a的值．∵直线L的参数方程为，(t为参数)，化为普通方程是x-y-a=0；又∵圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为x2+y2=2x，即(x-1)2+y2=1；又直线L经过圆C的圆心(1，0)，∴1-0-a=0，∴a=1．故答案为：1．13.执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为．【答案】2【解析】试题分析：第一次进入循环时，x←2×x+1，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体，依此类推，最后一次：x←2×x+1=23，n=1+3=4，不满足n≤3，退出循环体，利用得到最后一次中x的值将以上过程反推，从而得出输入的x值．模拟程序的执行情况如下：x←2×x+1，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体；x=2×(2x+1)+1，n=2+1=3，满足n≤3，执行循环体；x=2×(4x+3)+1=23，n=3+1=4，不满足n≤3，退出循环体，由2×(4x+3)+1=23即可得x=2．则输入的x值为：2故答案为：2．14.设双曲线的-个焦点为F；虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为．【答案】【解析】试题分析：由题意可得•=-1，c2-a2-ac=0，e2-e-1=0，解方程求得e的值．由题意可得•=-1，∴ac=b2，∴c2-a2-ac=0，∴e2-e-1=0，∴e=，或e=(舍去)，故答案为：．15.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数T使得对任意的x∈M(M⊆D)，有x+T∈D，且f(x+T)≥f(x)，则称函数f(x)为M上的T高调函数．(1)现给出下列命题：①函数f(x)=x为(0，+∞)上的T高调函数；②函数f(x)=sinx为R上的2π高调函数；③如果定义域为[-1，+∞)的函数f(x)=x2为[-1，+∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞)．其中正确命题的序号是；(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0 时，f(x)=|x2-a2|-a2，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是．【答案】②③;[-1，1]【解析】试题分析：(1)①利用函数的单调性，直接判断正误即可．②由正弦函数知函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数；③函数f(x)=x2为[-1，+∞)上m高调函数，只有[-1，1]上至少需要加2．(2)定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=|x-a2|-a2，画出函数图象，可得4≥3a2-(-a2)⇒-1≤a≤1．(1)对于①，∵f(x)=log x为减函数，函数f(x)=log x不是(0，+∞)上的高调函数，∴①不正确；对于②，∵sin(x+2π)≥sinx∴函数f(x)=sinx为R上的2π高调函数，故②正确；对于③，在[-1，+∞)上的任意x(设x=x+m)有y≥-1恒成立，则x+m≥-1恒成立，即m≥-1-x恒成立．对于x∈[-1，+∞)，当x=-1时-1-x最大为0，∴m≥0．又∵f(x+m)≥f(x)，即(x+m)2≥x2在x∈[-1，+∞)上恒成立，化简得m2+2mx≥0，又∵m≥0，故m+2x≥0即m≥-2x恒成立，当x=-1时-2x最大为2，∴m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞)，故③正确；(2)f(x)=|x-a2|-a2的图象如图，∴4≥3a2-(-a2)⇒-1≤a≤1．实数a的取值范围是[-1，1]．故答案为：(1)②③；(2)[-1，1]．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.某矿产品按纯度含量分成五个等级，纯度X依次为A、B、C、D、E．现从一批该矿产品中随机抽取20件，对其纯度进行统计分析，得到频率分布表如下：(Ⅰ)若所抽取的20件矿产品中，纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，求a、b、c的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件(每件矿产品被取出的可能性相同)，求这两件矿产品的纯度恰好相等的概率．【答案】(Ⅰ)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35，∵纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，∴，∴a=0.35-0.15-0.1=0.1．∴a=0.1，b=0.15，c=0.1；(Ⅱ)设纯度为D的三件产品分别为D1，D2，D3，纯度为E的两件产品为E1，E2，所有可能的结果为：D1D2，D1D3，D1E1，D1E2，D2D3，D2E1，D2E2，D3E1，D3E2，E1E2，∴所有可能的结果共10个．设事件A表示“从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件纯度恰好相等”，则A包含的事件为：D1D2，D1D3，D2D3，E1E2，共4个，所以所求的概率P(A)=．【解析】(Ⅰ)通过频率分布表得推出a+b+c=0.35．纯度为D的恰有3件，纯度为E的恰有2件，分别求出b，c，然后求出a；(Ⅱ)根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从纯度为D和E的5件矿产品巾任取两件纯度恰好相等”的事件数，求解即可．17.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【答案】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．(Ⅱ)解：设AC∩BD=O，连接OE，由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在R t△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【解析】(Ⅰ)欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；(Ⅱ)设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在R t△AOE中求出此角即可．18.已知向量(λ≠0)，，，其中O 为坐标原点．(1)若λ=2，，β∈(0，π)，且，求β；(2)若对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．【答案】【解析】(1)根据给出的λ和α的值，求出向量，由向量的坐标差求出向量，最后由向量垂直的坐标表示可解得β的值；(2)把向量和的模代入后得到关于λ的不等式λ2+1+2λsin(β-α)≥4，把不等式左边看作关于λ的二次函数，分λ＞0和λ＜0求出函数的最小值，让最小值大于等于4可求解λ的范围．19.设等差数列{a n}的前n项和为S n．且S4=4S2，a2n=2a n+1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n=2n-1，数列{b n}满足：b1=3，b n-b n-1=a n+1(n≥2)，求数列的前n项和T n．【答案】(1)∵等差数列{a n}的前n项和为S n．且S4=4S2，a2n=2a n+1，∴，解得a1=1，d=2，∴a n=2n-1．(2)∵a n=2n-1，数列{b n}满足：b1=3，b n-b n-1=a n+1(n≥2)，∴当n≥2时，b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)+b1=a n+1+a n+…+a4+a3+b1=n2+2n，当n=1时，也成立，∴b n=n2+2n，∴==，∴T n=[(1-)+()+…+()+()]=(1+--)=-．【解析】(1)由题设条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．(2)由已知条件，利用累加求和法能求出b n=n2+2n，从而得到=，由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和T n．20.已知椭圆与双曲线有两个公共点，且椭圆m与双曲线n的离心率之和为2．(1)求椭圆m的方程；(2)过椭圆m上的动点P作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与圆O：x2+y2=a2+b2相交于点A，C，l2与圆x∈[2，6]相交于点B，D，求四边形ABCD的面积的最小值．【答案】解：(1)若a＞2，则椭圆m与双曲线n有四个公共点；若0＜a＜2，则椭圆m与双曲线n没有公共点；若a=2，则椭圆m与双曲线n有公共点(±2，0)．由题意，可得a=2．…(3分)又双曲线n的离心率为，则椭圆m的离心率．所以椭圆m的方程为．…(6分)(2)圆O的方程为x2+y2=7．若，则，即椭圆m落在圆O内．如图，设点P(x0，y0)到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则，…(7分)由l1⊥l2，得d12+d22=OP2=x02+y02．四边形ABCD的面积…(9分)由点P(x0，y0)在椭圆m上，则．又，得．…(11分)当且仅当d1d2=0且y0=0，即P的坐标为(-2，0)，直线l1，l2的方程为y=0，x=-2或P的坐标为(2，0)，直线l1，l2的方程为y=0，x=2时，．…(13分)所以四边形ABCD的面积的最小值为．…(14分)【解析】(1)由题设条件得a=2，再由双曲线n的离心率为，知椭圆m的离心率．由此能求出椭圆m的方程．(2)圆O的方程为x2+y2=7．若，则，椭圆m落在圆O内．设点P(x0，y0)到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则．由此入手能够求出四边形ABCD的面积的最小值．21.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=(-x2+ax-3)e x(a为实数)．(Ⅰ)当a=5时，求函数y=g(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)在区间[t，t+2](t＞0)上的最小值；(Ⅲ)若存在两不等实根x1，x2∈[，e]，使方程g(x)=2e x f(x)成立，求实数a的取值范围．【答案】(Ⅰ)当a=5时，g(x)=(-x2+5x-3)-e x，g(1)=e．g′(x)=(-x2+3x+2)-e x，故切线的斜率为g′(1)=4e∴切线方程为：y-e=4e(x-1)，即y=4ex-3e；(Ⅱ)f′(x)=lnx+1，①当时，在区间(t，t+2)上f(x)为增函数，∴f(x)min=f(t)=tlnt；②当时，在区间上f(x)为减函数，在区间上f(x)为增函数，∴；(Ⅲ) 由g(x)=2e x f(x)，可得：2xlnx=-x2+ax-3，，令，′．，h(1)=4，h(e)=．．∴使方程g(x)=2e x f(x)存在两不等实根的实数a的取值范围为．【解析】(Ⅰ)把a=5代入函数g(x)的解析式，求出导数，得到g(1)和g′(1)，由直线方程的点斜式得切线方程；(Ⅱ)利用导数求出函数f(x)在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f(x)在区间[t，t+2](t＞0)上的最小值；(Ⅲ)把f(x)和g(x)的解析式代入g(x)=2e x f(x)，分离变量a，然后构造函数，由导数求出其在[，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．。
【解析版】2014年高考模拟组合模拟试卷(一)(数学文湖南版)
【组卷说明】本卷以各地名市级模拟考试和各校的联合考试为主题、以课标卷为模板、以“湖南高考考试大纲”为指导进行组卷，是高考复习必备的重组试卷.根据2013年湖南试题进行组合，试题总体难度适中，新题题目较多，个别试题需要耐心思考.本套试题有如下的鲜明特点：1.注重基础知识的考查：选择题的1-7题，重在基础知识的把握和基本方法的考查；填空中的10-14，强调基础运算能力，也是高考中必要的得分点.2.注重新颖试题的筛选和组合：如选择题的8题，试题设计新颖，但是难度不大；再如选择题的9题，填空题15题，体现在知识的交汇点出题的原则，有一定的难度，可以锻炼学生的解题能力.3.大题难度和新课标高考基本一致，其中21和22体现拔高功能，锻炼学习解题能力：第16题——求解三角形的相关问题，考查公式应用能力以及运算能力；第17题——立体几何问题，考查学生空间想象能力和计算分析能力；第18题——概率，以新颖的背景为依托，考查学生转化分析能力和阅读能力；第20题——数列综合问题，结合常见的数列通项与求和，考查学生的解决实际问题能力；第20题——以抛物线为背景考查直线与曲线相交以及轨迹问题，考查逻辑思维能力；第21题——函数与导数，着重考查导数基础知识、函数不等式恒成立问题.【名校、考点一览表】第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【浙江省富阳场口中学2014届高三8月教学质量检测】已知复数122,3z i z i=+=-，其中是虚数单位，则复数12z z 的实部与虚部之和为（ ）A ．0B ． 12 C ．1 D ． 22.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试】设a ∈R ，则“1a =”是“直线21y a x =+与直线1y x =-平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.【湖北省武汉市部分学校2014届高三起点调研考试】某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1204.【安徽省合肥八中2013届高三高考冲刺最后一卷】函数21,0()(),0x xf xg x a x⎧-≥=⎨+<⎩为奇函数，若()24g-=，则a=（）A．-3 B．4 C．-7 D．65.【2013年高考辽宁卷文】在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为a 、b 、c ，sin cos a B C +1sin cos 2c B A b=，且a b>，则B ∠=（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6.【湖北省武汉市部分学校2014届高三起点调研考试】函数()0.52log 1x f x x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4hx7.【河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试】一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 （ ）A.2009π+B.20018π+C.1409π+D.14018π+8.【广州市五中2014届高三开学检测】设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b的“向量积”：a b⨯ 是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅ .若()1a =-，(b = ，则a b ⨯=（ ）B.2C.D.49.【湖南省十二校2013届高三第一次联考】在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a 、b ，则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A ．12B ．1532C ．1732D ．3132a=2b a=b Oba5,2.5()4,2()4,4()2,2()5,4()5,2()1,4()1,2()第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）10.【湖北省武汉市部分学校2014届高三起点调研考试】已知集合A 、B 均为全集{}1,2,3,4U =的子集，且(){}4U A B = ð，{}1,2B =，则()U A B =ð .UB A321411.【广东省广州市五中2014届高三开学检测】曲线2sin sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与直线y a =有两个公共点，则实数a 的取值范围是.12.【2013年高考湖南卷文】执行如下图所示的程序框图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为______.13.【云南省昆明一中2014届高三开学考试】变量x ，y 满足条件1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y-的最大值为_______________．A z=2x-y 11Oxyx-y=0x+y-1=014.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试】直线14y x b =-+是函数1()f x x =的切线，则实数b = ．15.【湖南省长沙县实验中学2013届高三高考模拟考试一】对于集合12{,,,}n A a a a =L (n∈N*，3n ≥)，定义集合{|,1}i j S x x a a i j n ==+≤<≤，记集合S 中的元素个数为()S A .（1）若集合{}1,2,3,4A =，则()S A = . （2）若1a 、2a 、 、n a 是公差大于零的等差数列，则()S A = (用含n 的代数式表示).三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.【云南省昆明一中2014届高三开学考试】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 若223cos cos 222C A a c b +=．（1） 求证：a 、b 、c 成等差数列；（2） 若︒=∠60B ，4b =，求ABC ∆的面积．17.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试】在边长为4cm 的正方形ABCD 中，E F 、分别为BC CD 、的中点，M N 、分别为AB CF 、的中点，现沿AE AF EF 、、折叠，使B C D 、、三点重合，重合后的点记为B ，构成一个三棱锥．（1）请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明；（2）证明AB ⊥平面BEF ；（3）求四棱锥E AFNM -的体积．M N FB CDAF18.【安徽省合肥八中2013届高三高考冲刺最后一卷】从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间．现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中.（1）求成绩在区间[80，90）内的学生人数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区伺[90，100]内的概率．20.【2013年高考辽宁卷文】如图，抛物线21:4C x y =，()22:20C x py p =->.()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A 、B （M 为原点O 时，A 、B 重合于O ），当01x =时，切线MA 的斜率为12-. （1）求p 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 的中点N 的轨迹方程（A 、B 重合于O ，中点为O ）.21.【湖南省十二校2013届高三第一次考试】已知函数()()21ln2f x x a x=-+（a为常数）．（1）若函数在1x=处的切线斜率为2，求该切线的方程；（2）当()1,3x∈时，()21122f x x a a>+--恒成立，求a的取值范围．第21 页共21 页。
高2014届高三数学模拟试题模拟4
湖南省“五市十校”2014届高三第一次联合检测（12月）数学（理）试题时量 120分钟 满分 150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则（ ）A ．200:,210p x R x ⌝∃∈+≤ B ． C ．200:,210p x R x ⌝∃∈+<D ．2．函数()2xf x e x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)3．由曲线1xy =，直线y x =，3y =所围成的平面图形的面积为（ ）A ．329B ．2ln 3-C ．4ln 3+D ．4ln 3-4．已知的三个内角所对边长分别为，向量，，若∥，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．若()sin f x a x b =+（,a b 为常数）的最大值是5，最小值是1-，则ba的值为（ ）A ．23-B ．23或23-C ．32-D ．326．等比数列{}n a 各项为正，354,,a a a -成等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则63SS =（ ）A ．87B ．45C ．89 D ．27．在中，分别是角所对边的边长，若， 则的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 8．已知函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1,3]x ∈时，，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分） 9．如果，那么的值是_________． 3cos()2A π-1sin()2A π+=ln 31[,)32e ln 31[,)3e 1(0,)2ea x ()()g x f x ax =-1[,3]3()ln f x x =1(0,)e 32πc b a +2:,210p x R x ⌝∀∈+<2:,210p x R x ⌝∀∈+≤2π3π6πABC ∆c b a ,,C B A ,,0sin cos 2sin cos =+-+BB A A ABC△C B A ,,c b a ,,),(b a c a m -+=→),(c a b n -=→→m →n =∠C10．若不等式1|||2|1x a x +>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__________． 11．曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,(1))f 处的切线方程为________． 12．如图，在中，、分别为边、的中点． 为边上的点，且，若，，则的值为 ．13．下列命题：①函数在上是减函数； ②点(1,1),(2,7)A B 在直线两侧；③数列为递减的等差数列，，设数列的前n 项和为，则当 时，取得最大值； ④定义运算， 则函数 的图象在点处的切线方程是其中正确命题的序号是_______________（把所有正确命题的序号都写上）．14．点(,)M x y 是不等式组0333x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，使2z y x =-的值取得最小的点为00(,)A x y ，则OM OA ⋅（O 为坐标原点）的取值范围是____________．15．已知两个正数，可按规则扩充为一个新数，在三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整数），则的值为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知函数12sin 3cos 2)(2-+=x x x f ．（I ）求函数()f x 的单调增区间；（II ）将函数()f x 的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位，再将图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数()g x 的图象．若直线43x π=是函数()g x 的图象的对称轴，求ϕ的值．m n +,m n (1)(1)1m n q p ++-0p q >>,,a b c c c ab a b =++,a b .0536=--y x ⎪⎭⎫⎝⎛31,1113x2+3()=x x f x x212212=-a a b a b b 11a b n S 4=n {}n a 051=+a a {}n a 03=-y x []0π，π=sin -2y x ⎛⎫⎪⎝⎭x y +,x y R ∈AD xAF yAE =+3AB AF =AB F AC BC E D ABC ∆n S17．（本小题满分12分）已知,,A B C 是直线上的不同三点，O 是外一点，向量满足23(1)2OA x =+ OB(ln )x y OC +-，记．（I ）求函数的解析式； （II ）求函数的单调区间．18．（本小题满分12分）已知向量(sin ,1)m x =- ，1(3cos ,)2n x =- ，函数2()2f x m m n =+⋅- ．（I ）求()f x 的最大值，并求取最大值时x 的取值集合；（II ）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且,,a b c 成等比数列，角B 为锐角，且()1f B =，求11tan tan A C+的值． 19．（本小题满分13分）学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A ，B 两种套餐可选，每个学生任选一种，其中A 是本校的传统套餐，B 是从外校引人的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A 套餐的学生，下星期一会有15的学生改选B 套餐；而选B 套餐的学生，下周星期一会有r （405r <<）的学生改选A 套餐，用n a ，n b 分别表示在第n 个星期选A 套餐的人数和选B 套餐的人数．（I ）用1n a -表示n a ； （II ）若310r =，且选A 套餐的学生人数保持不变，求1a ； （III ）根据调查，存在一个常数k ，使得数列{}n a k -为等比数列，且[250,300]k ∈，求r 的取值范围．()y f x =()y f x =()y f x =,,OA OB OCl l20．（本小题满分13分）已知数列的前项和为，通项为，且满足（是常数且）． （I ）求数列的通项公式；（II ） 当时，试证明； （III ）设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分） 设函数，若在点处的切线斜率为． （Ⅰ）用表示；（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）对任意的，证明：．(1sin )(1sin )g g θθ-≤+[0,)2πθ∈a x ()1g x ≤-()ln ()g x x f x =-b a 1(1,(1))f ()f x ()(,)bf x ax a b R x=+∈m n N *∀∈113ni im b=≥∑m 12()()()n n b f a f a f a =+++ ()log q f x x =31<n S 41=q {}n a 0,1q q >≠q 11n n S qa q =--n a n S n {}n a2013年下期五市十校高三联考试卷一、选择题： AADB BCBC 二、填空题 9、12 10、13a << 11、12y ex =- 12、25 13、②④ 14、[]0,6 15、21三、解答题16．解：（I ）cos 21()23sin 213sin 2cos 22x f x x x x +=+-=+ 1分 312(sin 2cos 2)2sin(2)226x x x π=+=+ 2分令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 3分得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 4分所以函数()f x 在每一个[,]()36k k k Z ππππ-+∈区间是增函数． 5分（II ）将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数1()2sin[2()]6f x x πϕ=-+2sin(22)6x πϕ=-+的图象． 6分将函数1()f x 图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数1()2s i n (2)26g x x πϕ=-+的图象． 8分因为直线43x π=是函数()g x 的图象的对称轴，所以142sin(2)2236ππϕ⨯-+=±，得52,62k k Z ππϕπ-+=+∈ 10分 得,26k k Z ππϕ=-+∈， 11分 取0k =，得6πϕ=． 12分17．解：（I ）∵23(1)(ln )2OA x OB x y OC =++-，且,,A B C 是直线上的不同三点，∴， ∴； 6分（II ）∵，∴，∵的定义域为，而在上恒正，∴在上为增函数，即的单调增区间为． 12分18．解：（I ）=(0,)+∞()y f x =(0,)+∞()y f x =(0,)+∞231()x f x x+'=(0,)+∞23()ln 2f x x x =+2131()3x f x x x x+'=+=23()ln 2f x x x =+23ln 2y x x =+23(1)(ln )12x x y ++-=l=﹣2===．故f （x ）max =1，此时，得． 所以取得最大值的x 的集合为{x|}．6分 （II ）由f （B ）=，又∵0＜B ＜，∴．∴，∴．由a ，b ，c 成等比数列，则b 2=ac ，∴sin 2B=sinAsinC ． ∴==． 12分19．解：（I ）由已知得111145500n n n n n a a rb a b ----⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，所以114(500)5n n n a a r a --=+-， 得14()5005n n a r a r -=-+． 4分（II ） 310r =，∴ 1111502n n n a a a --=+=∴ 11300n a a -==． 8分（III ） {}n a k -是等比数列，∴ 14()()5n n a k r a k --=--，得141()()55n n a r a r k -=-++， ∴ 1()5005r k r +=，得250051rk r =+， 11分 [250,300k ∈，∴250025030051r ≤≤+， ∴ 13510r ≤≤． 13分20．解：（I ）由题意，，得∴ …1分 当时， ， ∴ …3分∴数列是首项，公比为的等比数列，∴ ………4分1n n n a q q q -=⋅=q 1a q ={}n a 1n n aq a -=1(1)n n n q a qa qa --=-11(1)(1)1111n n n n n q q q q a a a a a q q q q --=---=-----2n ≥1a q =111(1)1q S a a q ==--)1(1--=n n a q q S（II ）由（Ⅰ）知当时， ………5分 ∵，∴ …………6分即 ……7分（III ）∵＝=…9分∵ ……10分 ∴＝ …12分 由得 -------() ∵()对都成立 ∴ ∵是正整数，∴的值为1,2,3． ∴使对都成立的正整数存在，其值为：1，2，3． ……13分21．解：（Ⅰ），依题意有：；-------------3分（Ⅱ）恒成立． （ⅰ）恒成立，即．恒成立，则．当时，,则，，单调递增， 当，， 单调递减，则，符合题意，即恒成立．所以，实数的取值范围为． --------------------7分1a ≥a ()1g x ≤-max ()(1)121g x g a ==-≤-()g x ()0g x '<(1,)x ∈+∞()g x ()0g x '>(0,1)x ∈2(0)0x g '≥110,x a=-+≤221[(1)](1)(1)(1)1()01,1a x x ax a x a g x x x x x a ---+--+--'===⇒==-+1a ≥(1)11101g a a a +=--++≤⇒≥()1g x ≤-max ()1g x ≤-()1g x ≤-1()ln ()ln ()1a g x x f x x ax x-=-=-+≤-2(1)11bf a a b b a x'=-=-=⇒=-2()b f x a x '=-m n N *∀∈113ni im b =≥∑m m 66311m ≤-=+n N *∀∈**66(1)666111n n m n n n +-≤==-+++113ni im b =≥∑21n n +111112[(1)()()]2231n n -+-++-+ 12111n b b b =+++= 11ni ib =∑12112()(1)1n b n n n n ==-++12(1)log 122n q n n q n ++++=+++= 12log ()q n a a a 12log log log n q q q n b a a a ∴=+++ ()log q f x x =31<n S 31)411(31<-n 1411<-n )411(31411)411(41n n n S -=--=41=q（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数的取值范围为． 令，考虑函数， 下证明，即证：，即证明 ， 由，即证， 又，只需证，即证，显然成立． 即在单调递增，， 则，得成立， 则对任意的，成立．-----------------------13分（a ()1g x ≤-(1sin )(1sin )g g θθ-≤+[0,)2πθ∈(1)(1)g t g t +≥-()0p t ≥min ()(0)0p t p ==[0,1)t ∈()p t 1a ≥sin [0,1)t θ=∈11()(1)(1)ln(1)(1)[ln(1)(1)]1111=ln(1)ln(1)2(1)[]11a a p t g t g t t a t t a t t tt t at a t t--=+--=+-+------+-+------+-222221111211()22(1)[]11(1)(1)1(1)(1)a a p t a a a t t t t t t t --'=--++=-+-++-+--+-()0p t '≥2222112(1)[]01(1)(1)a a t t t -+-+≥-+-222211(1)[]01(1)(1)t a a t t t +-+-≥-+-2111t ≥-22211(1)[]0(1)(1)t a a t t +-+-≥+-10a -≥222110(1)(1)t t t +-+≥+-22242221(1)(1)30(3)0t t t t t t t +≥+-⇐-≤⇐-≤。
2014年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
2014年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（文科）（4月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知P={-1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，则P∩Q=（）A.∅B.{0}C.{-1，0}D.{-1，0，}【答案】C【解析】解：∵Q={y|y=sinθ，θ∈R}，∴Q={y|-1≤y≤1}，∵P={-1，0，}，∴P∩Q={-1，0}故选C．由题意P={-1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，利用三角函数的值域解出集合Q，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．本题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键是明确集合中元素代表的意义．2.已知i为虚数单位，若=y+2i，x，y∈R，则复数x+yi=（）A.2+iB.-2-iC.l-2iD.1+2i【答案】B【解析】解：∵=y+2i，x，y∈R，∴x-i=-2+yi，∴，解得x=-2，y=-1．∴复数x+yi=-2-i．故选：B．利用复数的运算法则和复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则和复数相等，属于基础题．3.“log2a＞log2b”是“2a＞2b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：2a＞2b⇔a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．∴“log2a＞log2b”是“2a＞2b”的充分不必要条件．故选A．分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．4.已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行，则tan2α的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可得tanα=∴tan2α===故选C由题意可得tanα=，代入二倍角公式tan2α=可求本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，两直线平行的条件及二倍角正切公式的应用，计算虽简单，但应用的知识较多5.若变量x，y满足，实数z是2x和-4y的等差中项，则z的最大值等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：∵z是2x和-4y的等差中项，∴2x-4y=2z，即x-2y=z，y=，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线的解决最小，此时z最大．由，解得，即A（1，-1），此时z=1-2×（-1）=1+2=3，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用等差中项，求出z的表达式，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6.已知x，y∈R+，=（x，1），=（1，y-1），若⊥，则+的最小值为（）A.4B.9C.8D.10【答案】A【解析】解：∵=（x，1），=（1，y-1），且⊥，∴x+y-1=0．∴x+y=1．则+==．又∵x，y∈R+，由基本不等式可得+=≥2+2=4，当且仅当，即时，“=”成立．故选：A．首先根据向量垂直的坐标表示得到x+y=1．则+==．利用基本不等式即可求出+的最小值．本题考查向量垂直的坐标表示，基本不等式等知识，属于基础题．7.设函数g（x）=是定义在R上的函数，其中g（x）的导函数为g′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A.f（2）＞e2g（0），f（2014＞e2014g（0）B.f（2）＞e2g（0），f（2014）＜e2014g（0）C.f（2）＜e2g（0），f（2014）＜e2014g（0）D.f（2）＜e2g（0），g（2014）＞e2014g（0）【答案】C【解析】解：由f′（x）＜f（x）得，f′（x）-f（x）＜0，∴g′（x）=′＜0，∴函数g（x）=是定义在R上的减函数，∴g（0）＞g（2），g（0）＞g（2014）即g（0）＞，g（0）＞即f（2）＜e2g（0），f（2014）＜e2014g（0），故选：C．由f′（x）＜f（x），利用导数与函数单调性的关系，判断出函数f（x）=是定义在R上的减函数，即可的答案．考查利用导数研究判断函数单调性及导数的运算法则的运用．8.阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A.-B.-C.D.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=sin+sin+sinπ+…的值，当n=2014时终止运行，∴输出S=sin+sin+sinπ+…+sin，∵sin+sin+…+sin=0，∴S=sin+sin+sinπ=．故选：C．算法的功能是求S=sin+sin+sinπ+…的值，根据n=2014时终止运行，可得S=sin+sin+sinπ+…+sin，再根据sin的值的周期性变化规律，计算S．本题考查了循环结构的程序框图，根据程序框图判断算法的功能是解答此类问题的关键．9.已知双曲线-=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则mn的值为（）A.4B.12C.16D.48【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=16x的焦点为（4，0），则双曲线的焦距为8，则有m+n=16，①∵双曲线-=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴e==2②由①②解得m=4，n=12，∴mn=48故选：D．先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=16，求得n，则答案可得．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质熟练掌握，属于基础题．10.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A.（-，-2]B.[-1，0]C.（-∞，-2]D.（-，+∞）【答案】A【解析】解：∵f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有＜，即＜，解得-＜m≤-2，故选A．由题意可得h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m在[0，3]上有两个不同的零点，故有＜，由此求得m的取值范围．本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在直角坐标系中，参数方程为（t为参数）的直线l，被以原点为极点、x轴的正半轴为极轴、极坐标方程为ρ=2cosθ的曲线C所截，则截得的弦长是______ ．【答案】【解析】解：由题意知，直线l的倾斜角为30°，并过点A（2，0）；曲线C是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆C也过点A（2，0）；设直线l与圆C的另一个交点为B，在R t△OAB中，°．故答案为．将直线的参数方程与圆的极坐标方程化为普通方程联立直接可得直线被圆所截得的弦长可用代数和几何两种方法求解．12.设函数f（x）=x2-5x+4（l≤x≤8），若从区间[1，8]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为______ ．【答案】【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，由f（x0）≤0，得到x2-5x+4≤0，解得：1≤x≤4，∴P==，故答案为：．由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．本题主要考查了几何概型，以及一元二次不等式的解法，概率题目的考查中，概率只是一个载体，其他内容占的比重较大，属于基础题．13.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是______ ．【答案】【解析】解：由三视图知：四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，底面为直角梯形，且直角梯形的直角腰长为，两底边长分别为2、3，∴几何体的体积V=×××2=．故答案为：．根据三视图得四棱锥的高为2，底面为直角梯形，且直角梯形的直角腰长为，两底边长分别为2、3，把数据代入棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，判断三视图的数据所对应的几何量是关键．14.①函数在[0，π]上是减函数；②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x-y=0两侧；③数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{a n}的前n项和为S n，则当n=4时，S n取得最大值；④定义运算则函数的图象在点，处的切线方程是6x-3y-5=0．其中正确命题的序号是______ （把所有正确命题的序号都写上）．【答案】②④【解析】解：①，∵y=sin（x-）=-cosx，在[0，π]上是增函数，故①错误；②，将A（1，1）、B（2，7）的坐标分别代入3x-y得（3×1-1）•（3×2-7）=-2＜0，故点A（1，1）、B（2，7）在直线3x-y=0两侧，即②正确；③，∵数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，又a1+a5=2a3，∴2a3=0，故当n=2或3时S n取得最大值，故③错误；④，∵=a1b2-a2b1，∴f（x）==x3+x2-x，∴[f′（x）]|x=1=（x2+2x-1）|x=1=2，∴f（x）的图象在点（1，）处的切线方程为：y-=2（x-1），整理得：6x-3y-5=0，故④正确；综上所述，正确答案为②④．故答案为：②④．①，利用诱导公式将y=sin（x-）转化为y=-cosx，利用余弦函数的单调性即可判断其正误；②，将A（1，1）、B（2，7）的坐标分别代入3x-y，观察乘积的符号即可判断；③，由题意结合等差数列的性质可判断③的正误；④，依题意可求得f（x）的解析式，从而可求得在点（1，）处的切线方程，继而可作出判断；本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数、平面区域、等差数列、及函数与导数等知识，属于中档题．15.对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用符号＜x＞表示．对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：①a1=＜a＞；②a n+1=＜＞．（Ⅰ）若a=时，数列{a n}通项公式为______ ；（Ⅱ）当a＞时，对任意n∈N*都有a n=a，则a的值为______ ．【答案】；或【解析】解：（Ⅰ）若时，＜＞=-1，则a2==＜＞=-1，∴．（Ⅱ）当＞时，由a n=a知，a＜1，所以a1=＜a＞=a，a2=＜＞，且，．①当，时，a2=＜＞=-1，故（舍去）②当，时，a2=＜＞=-2，故（舍去）综上，或．故答案为：（Ⅰ）；（Ⅱ）或．（Ⅰ）利用符号＜x＞的含义，计算，可得a=时，数列{a n}通项公式；（Ⅱ）分类讨论，利用符号＜x＞的含义，根据a n=a，建立方程，即可a的值．本题考查符号＜x＞的含义，考查学生的计算能力，正确理解符号＜x＞的含义是关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【答案】解：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3；第4组：×6=2；第5组：×6=1．所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共有10种．其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共有7种所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．【解析】（Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（Ⅱ）从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中有7种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．17.在△ABC中，a，b，c分别是角A、C的对边，m=（b，2a-c），n=（cos B，cos C）且m∥n．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设f（x）=cosωx+sin（ωx+）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵m∥n，∴bcos C=（2a-c）cos B，∴bcos C+ccos B=2acos B．由正弦定理可得，sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B．∴sin（B+C）=2sin A cos B．又∵B+C=π-A，∴sin A=2sin A cos B，∴cos B=．∵B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）f（x）=cosωx+sin（ωx+）=cosωx+sin（ωx+）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）又∵f（x）的最小正周期为π，∴=π．∴ω=2．∴f（x）=sin（2x+）．当x∈[0，]时，2x+，．∴sin（2x+）∈[-，1]．∴当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值．当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值．【解析】（1）根据m∥n，可得到bcos C=（2a-c）cos B，再利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B．结合三角形内角和及三角函数诱导公式即可求出B的值．（2）首先将函数f（x）化简为f（x）=sin（ωx+），最小正周期为π，则ω=2．从而得到f（x）=sin（2x+），利用三角函数的性质即可求出最值．本题考查向量数量积，三角函数求值等知识的综合应用，属于中档题．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和，AP=2，E，F依次是PB，PC的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEFD；（Ⅱ）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．【答案】解：（I）∵PA⊥平面ABCD，直线AB是PB在平面ABCD内的射影∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得R t△PAB中，tan∠PBA==1，可得AB=AP=2同理，∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，得R t△PAD中，tan∠PDA==，可得AD=2AP=4∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PA∵矩形ABCD中，AD⊥AB，且AD∩AP=A，∴AD⊥平面PAB∵PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB又∵R t△PAB中，AB=AP，且E为PB中点，∴PB⊥AE∵AD、AE是平面AEFD内的相交直线，∴PB⊥平面AEFD；…（6分）（II）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由（I）知AD=4、AB=2，则各点坐标分别是A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），∴E（1，0，1），F（1，2，1），=（1，4，-1），又∵AB⊥平面PAD，∴平面PAD的一个法向量为==（2，0，0），设直线EC与平面PAD所成的角为α，则sinα===，∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为．…（13分）【解析】（I）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥PA，结合AD⊥AB，得AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB，最后根据△PAB中，中线AE⊥PB且AE、AD是平面AEFD内的相交直线，证出PB⊥平面AEFD；（II）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，结合（I）求出的数据，得到A、B、C、D、E、F、P各点坐标，从而得到=（1，4，-1）和平面PAD 的一个法向量=（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式算出与夹角的余弦之值，即为EC与平面PAD所成角的正弦值．本题在四棱锥中，证明了线面垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了用空间向量求直线与平面的夹角和直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．19.已知函数f（x）=-x3+mx在（0，1）上是增函数．（Ⅰ）实数m的取值集合为A，当m取值集合A中的最小值时，定义数列{a n}：满足a1=3，且a n＞0，a n+1=′（n∈N*），求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）结论，若b2=（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n ＜．【答案】（Ⅰ）解：∵f（x）=-x3+mx在（0，1）上是增函数，∴f′（x）=-3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，即m≥3x2，解得m≥3，∴实数m的取值集合A={m|m≥3}，∴m=3，∴f′（x）=-3x2+3，∵′，a n＞0∴=3a n，∴，∴数列{a n}是以3为首项和公比的等比数列，故．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得b n==，∴，①=，②高中数学试卷第11页，共14页①-②，得：==，∴S n=，∵n∈N*，∴＞，∴S n＜．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出f′（x）=-3x2+3，由此推导出数列{a n}是以3为首项和公比的等比数列，从而得到．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n==，由此利用错位相减法能证明S n＜．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20.已知命题“若点M（x0，y0）是圆x2+y2=r2上一点，则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2”．（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点M（x0，y0）是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，则过点M的切线方程为______ ”（写出直线的方程，不必证明）．（Ⅱ）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且经过点（1，）．（i）求椭圆C的方程；（ii）过F1的直线l交椭圆C于A、B两点，过点A、B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【答案】解：（Ⅰ）．（3分）（Ⅱ）（ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1（-1，0），∴设椭圆C：，∵椭圆经过点（1，），∴，整理，得4a4-17a2+4=0，解得a2=4，或a2=，∴椭圆方程为：．（7分）高中数学试卷第12页，共14页（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设为k，直线l的方程为y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则椭圆在点A处的切线方程为：，①椭圆在点B的切线方程为：，②联立方程①②得：x===-4，即此时交点的轨迹方程：x=-4．（11分）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，此时A（-1，），B（-1，-），经过AB两点的切线交点为（-4，0）．综上所述，切线的交点的轨迹方程为：x=-4．（13分）【解析】（Ⅰ）仿照圆的切线方程进行类比，能求出过椭圆上一点的切线方程．（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆C：，把点（1，）代入，能求出椭圆方程．（ⅱ）分别求出椭圆在点A、B处的切线方程，联立方程组能求出交点的轨迹方程．本题考查切线方程的求法，考查椭圆方程的求法，考查交点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意计算能力、推理论证能力的培养．21.已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f （x）=ax+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）是否存在负实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）对x∈D，如果函数F（x）的图象在函数G（x）的图象的下方（没有公共点），则称函数F（x）在D上被函数G（x）覆盖，若函数f（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x3覆盖，求实数a的取值范围．（注：e是自然对数的底数，[ln（-x）]′=）【答案】解：（Ⅰ）当x∈（-∞，0）时，则-x＞0，由已知f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x）∴f（x）=ax-2ln（-x），∴f（x）=，＞，＜（Ⅱ）假设存在a＜0满足题意，∵f（x）=ax-2ln（-x），x∈[-e，0），∴f′（x）=，x∈[-e，0），令′，高中数学试卷第13页，共14页当＞即a＜时，f（x）在，上单调递减，，上单调递增，∴，解得a=-2e，当≤-e即＜时，f（x）在[-e，0]上单调递增，∴f（x）min=f（-e）=4，解得＜，矛盾，总之，存在a满足题意．（Ⅲ）由题意，x3＞ax+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，即＜对x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=，x∈（1，+∞），则′，设Φ（x）=2x3+2lnx-2，x∈（1，+∞），则Φ′（x）=＞即Φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递增∴Φ（x）＞Φ（1）=0则h′（x）＞0即h（x）=在x∈（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=1若a＜h（x）对x∈（1，+∞）恒成立，则a≤1即可所以实数a的取值范围为（-∞，1]【解析】（Ⅰ）设设x＜0，则-x＞0，代入已知可求f（-x），结合奇函数f（x）=-f（-x），可求（II）由（I）中函数的解析式，我们可以求出函数的导函数的解析式，分类讨论后可得当＞时，；当≤-e时f（x）min=f（-e），列出方程求出参数a的值．（Ⅲ）由题意要证函数F（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x3覆盖等价于需证x3＞ax+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，利用导数求出函数的单调性，求出a的范围．第一问利用函数的奇偶性进行求解，比较常见，第三问是一道证明题，定义了一个新定义覆盖的概念，将这个问题转化为函数的恒成立的问题，就会比较简单；高中数学试卷第14页，共14页。
2014年湖南高考文科数学试题含答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p=< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.49.若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln x xe e x x ->-B.2121ln ln xxe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足 1CD = ,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中，曲线22:12x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________.13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若 机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.15.若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a____________.三、解答题：本大题共6小题，学科 网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率. 18.（本小题满分12分） 如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60 ，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠= ，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .（1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA , 3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长20.（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.21.（本小题满分13分） 已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<。
数学_2014年湖南省某校高考数学四模试卷(文科)(含答案)
2014年湖南省某校高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A ={x|−π≤x ≤π}，集合B ={x|2sinx −1=0, x ∈A}，则集合B =( )A {π6}B {π6, 5π6}C {π3, 2π3}D {−5π6, −π6, π6, 5π6} 2. 下列命题中的假命题是（ ）A ∃x ∈R ，lgx =0B ∃x ∈R ，tanx =1C ∀x ∈R ，x 3>0D ∀x ∈R ，2x >03. 已知直线a ⊂α，则“l ⊥a”是“l ⊥α”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4. 平面向量a →与b →夹角为2π3，a →=(3,0)，|b →|=2，则|a →+2b →|=( ) A 7 B √37 C √13 D 35. 曲线y =sinx e x 在x =0处的切线的斜率是（ ） A 1 B 12 C 0 D −16. 设a >0，b >0，若1是a 与b 的等比中项，则1a +1b 的最小值为（ ）A 8B 4C 1D 27. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A 5+2√5B 6+2√5C 7+2√5D 8+2√58. 定义域为R 的奇函数f(x)，当x ∈(−∞, 0)时，f(x)+xf′(x)<0恒成立，若a =3f(3)，b =−f(−1)，c =−2f(−2)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A a >c >bB c >b >aC c >a >bD a >b >c9. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 1006−1)3+2013(a 1006−1)=1，(a 1008−1)3+2013(a 1008−1)=−1，则（ ）A S 2013=2013，a 1008>a 1006B S 2013=2013，a 1008<a 1006C S 2013=−2013，a 1008>a 1006D S 2013=−2013，a 1008<a 1006二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡相应位置）10. 已知平面向量a →=(1,2)，b →=(−2,m)，且a → // b →，则m ＝________．11. 若tan(π−α)=2，则sin2α=________．12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =(−1)n ⋅n ，则a 8=________．13. 函数f(x)=2x −cosx 的零点个数是________．14. 已知x，y满足条件{x≥0 y≥0x+y≥2，则x2+y2的最小值为________．15. 记数列a1，a2，…，a n为A，其中a i∈{0, 1}，i=1，2，3，…，n．定义变换f，f将A 中的1变为1，0；0变为0，1．设A1=f(A)，A k+1=f(A k)，k∈N∗；例如A:0，1，则A1=f(A)：0，1，1，0．（1）若n=3，则A2中的项数为________；（2）设A为1，0，1，记A k中相邻两项都是0的数对个数为b k，则b k关于k的表达式为________．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）求函数f(x)在[−π6, π3]上的值域．17. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m→=(2, cos2C−1)，n→=(sin2A+B2, 1)且m→⊥n→．（1）求角C的大小；（2）若c=√3，△ABC的面积S=√32，求a+b的值．18. 已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=1，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求三棱锥B−PEC的体积；（3）求证：AF // 平面PEC．19. 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？20. 已知数列{a n}满足a1+a22+...+a nn=2n−1(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2n2−na n，数列{b n}的前n项和为S n．若对一切n∈N∗，都有S n<M成立（M为正整数），求M的最小值．21. 已知函数f(x)=e x−ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．（1）若对函数f(x)存在极小值，且极小值为0，求a的值；（2）若对任意x∈[0,π2]，不等式f(x)≥e x(1−sinx)恒成立，求a的取值范围．2014年湖南省某校高考数学四模试卷（文科）答案1. B2. C3. B4. C5. A6. D7. D8. A9. B10. −411. −4512. 1513. 114. 215. （1）12；（2）b k=2k−1．16. 解：（1）f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．=1+cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)+1，∵ −π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，∴ −π3+kπ≤x≤π6+kπ，∴ 函数f(x的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z，（2）∵ x∈[−π6, π3 ]，∴ −π6≤2x+π6≤5π6，∴ 当2x+π6=−π6时f(x)的最小值为0；当2x +π6=π2时f(x)的最大值为3；∴ f(x)在区间[−π6，π3上的值域为[0, 3]． 17. 解：(1)△ABC 中，∵ m →⊥n →，∴ 2sin 2A+B 2+cos2C −1=0⇒cos2C +cosC =0， ∴ 2cos 2C +cosC −1=0，∴ cosC =12，即C =π3．（2）根据c =√3，△ABC 的面积S =√32=12ab ⋅sinC ，可得ab =2． 由余弦定理c 2=a 2+b 2−2ab ⋅cosC ，即 c 2=(a +b)2−3ab ，即3=(a +b)2−6， 求得(a +b)2−9，可得a +b =3．18. （1）证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥CD ，由底面ABCD 是矩形，∴ CD ⊥DA ，又PA ∩AD =A ，∴ CD ⊥平面PAD ，∴ CD ⊥AF ．∵ PA =AD =1，F 是PD 的中点，∴ AF ⊥PD ，又PD ∩DC =D ，∴ AF ⊥平面PDC ．（2）解：S △BEC =12EB ×BC =12×1×1=12， ∵ PA ⊥平面ABCD ，V B−PEC =V P−BEC =13S △BEC ×PA =13×12×1=16．（3）取PC 得中点M ，连接MF 、ME ．∵ MF = // 12DC ，DC = // AB ，E 是AB 的中点，∴ FM = // AE ， ∴ 四边形AEMF 是平行四边形，∴ AF // EM ．又AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴ AF // 平面PEC ．19. 解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：yx =12x +80000x−200≥2√12x ⋅80000x −200=200， 当且仅当12x =80000x ，即x =400时，该单位每月处理量为400吨，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S =100x −y=100x−(12x2−200x+80000)=−12x2+300x−80000=−12(x−300)2−35000因为400≤x≤600，所以当x=400时，S有最大值−40000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．20. 解：（1）∵ a1+a22+⋯+a nn=2n−1，∴ a1+a22+⋯+a n−1n−1=2n−1−1(n≥2)，两式相减，得a n=n⋅2n−1(n≥2)，…又a1=21−1=1，故数列{a n}的通项公式a n=n⋅2n−1．…（2）∵ b n=2n2−na n =2n−12n−1，…∴ S n=120+32+522+⋯+2n−12n−1，①1 2S n=12+322+523+⋯+2n−12n，②∴ 12S n=1+22+222+⋯+22n−1−2n−12n=1+1×(1−12n−1)1−12−2n−12n=3−2n+32n．∴ S n=6−2n+32n−1…，∵ S n=6−2n+32n−1<6，∴ M≥6，即M的最小值为6．…21. 解：（1）∵ f(x)=e x−ax，∴ f′(x)=e x−a，当a≤0时，f′(x)>0，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；当a>0时，由f′(x)>0，可得x>lna，由f′(x)<0，可得x<lna，∴ x=lna为函数的极小值点，由已知，f(lna)=0，即lna=1，∴ a=e；（2）不等式f(x)≥e x(1−sinx)，即e x sinx−ax≥0，设g(x)=e x sinx−ax，则g′(x)=e x(sinx+cosx)−a，g″(x)=2e x cosx，x∈[0,π2]时，g″(x)≥0，则g′(x)在x∈[0,π2]时为增函数，∴ g′(x)=g′(0)=1−a．①1−a≥0，即a≤1时，g′(x)>0，g(x)在x∈[0,π2]时为增函数，∴ g(x)min=g(0)=0，此时g(x)≥0恒成立；②1−a<0，即a>1时，存在x0∈(0, π2)，使得g′(x0)<0，从而x∈(0, x0)时，g′(x)< 0，∴ g(x)在[0, x0]上是减函数，∴ x∈(0, x0)时，g(x)<g(0)=0，不符合题意．综上，a的取值范围是(−∞, 1]．。
2014年 湖南省 高考数学 试卷及解析(文科)
2014年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤02．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P34．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x5．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣1117．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A ．﹣＞lnx2﹣lnx1B ．﹣＜lnx2﹣lnx12C．x 2＞x 1D．x 2＜x 110．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数（i 为虚数单位）的实部等于．12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=．三、解答题（共6小题，75分）316．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n =，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a ，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a ，），（，b），（a ，），（，），（a，b），（a ，），（，b）（a，b）其中a ，分别表示甲组研发成功和失败，b ，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．18．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．419．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P （，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；5（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．62014年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤0【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．故选：B．【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．2．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}【分析】直接利用交集运算求得答案．7【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）8A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．【解答】解：选项A ，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A ．B ．C ．D ．9【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9．10故选：C．【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．11【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．12【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A ．﹣＞lnx2﹣lnx1B ．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x 2＞x 1D．x 2＜x 1【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=e x+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x1＜x2＜1得答案．【解答】解：令f（x）=e x﹣lnx，则f′（x）=，当x趋近于0时，xe x﹣1＜0，当x=1时，xe x﹣1＞0，因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0，因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；令g（x）=，13，当0＜x＜1时，g′（x）＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵0＜x1＜x2＜1，∴，即．∴选项C正确而D不正确．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题．10．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]【分析】由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），14∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．或|++|=|++|，=（2，），将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即|++|的取值范围是．故选：D．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．15【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求．【解答】解：∵=．∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C ：（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣1=0．【分析】利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程．【解答】解：∵曲线C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化．1613．（5分）若变量x，y 满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．1714．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=﹣．【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，18则f（﹣x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1）﹣ax，即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=ln =ln=lne﹣3x=﹣3x，即2a=﹣3，解得a=﹣，故答案为：﹣，【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f （x）是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，75分）16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n =，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n，19∴数列{a n}的通项公式是a n=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（﹣1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2．∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n﹣2．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a ，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a ，），（，b），（a ，），（，），（a，b），（a ，），（，b）（a，b）其中a ，分别表示甲组研发成功和失败，b ，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．【分析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可．20（Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，==．因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a ，），（，b），（a ，），（，b），（a ，），（a ，），（，b）共7个，故事件E 发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．【点评】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力．2118．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；（Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO．【解答】（1）证明：如图∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，∴AB⊥平面ODE；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，22∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，故异面直线BC与OD 所成角的余弦值为．【点评】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题．19．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【分析】（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．23（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE 中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos （）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．24【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P （，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P （，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程．（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||．若直线l不垂直于x 轴，设直线l得方程为y=kx+m ，由可得y1•y2 =．由25可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||．综合（1）、（2）可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1．由于点P （，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2=+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或x=﹣．当x=时，可得A （，）、B （，﹣），求得||=2，||=2，显然，|+|≠||．同理，当x=﹣时，也有|+|≠||．（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m ，由可得26（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=．于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3．∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||．综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．【点评】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究f（x）的单调区间；27（Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0），∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N*），当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，又f （）=0，故x1=，当n∈N*，∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（﹣1）n nπ+1][（﹣1）n+1（n+1）π+1]＜0，且函数f（x）的图象是连续不间断的，∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的，故nπ＜x n＜（n+1）π，+128因此当n=1时，有=＜成立．当n=2时，有+＜＜．当n≥3时，…++…+＜[][]（6﹣）＜．综上证明：对一切n∈N*，有++…+＜．【点评】本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．29。
湖南省益阳市2014届高三模拟考试数学(文)试题 含解析
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1。
已知集合{}{}1,2,3,1,2,4A B ==，则A B 等于（）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2D ．{}1,2,3,42.已知i 为虚数单位,则(1)i i -等于（ ）A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i +3。
某工厂有甲、乙、丙三类产品,其数量之比为1:2:4，现要用分层抽样的方法从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（ ) A ．20 B ．40 C ．60 D ．80【答案】B 【解析】试题分析:由已知,乙类产品应抽取的件数为214040124⨯=++，故选B 。
考点：分层抽样4。
“方程220xx m -+=有实数根"是“0m <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．163πB ．203π C ．403π D ．5π6。
若向量a 、b 满足||1a =、||2b =，()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）2 34 4正视图侧视图俯视图A ．2π B ．23πC ．34πD ．56π【答案】C 【解析】试题分析：因为,()a a b ⊥+，所以，()0a a b ⋅+=,即2||||||cos ,0a a a b a a b a b ⋅+⋅=+⋅<>=,7.已知双曲线12222=-by ax 的一个焦点与抛物线2410y x =的焦点重合,且双曲线的离心率等于310，则该双曲线的方程为( ）A ．1922=-y x B ．1922=-y x C ．122=-y xD ．19922=-y x8.函数()sin(),()(0,||)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图像如图所示，如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()2x xf +=等于（ ）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】D9.已知函数()2()f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程()f x k =在区间0+∞（，）上有三个互不相等的实数根123x x x ，，,则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ）A ．(1,12)B ．(2,12)C ．(3,32)D ．(4,32)10。
湖南 2014年高考数学(文科)模拟试题
数学 （理工农医类）考试范围：高中内容（人教版） 考试时间：120分钟；命题人：注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 选择题一、单选题(下面每题都四个选项但每题只有一个正确选项，并将正确选项填写在答题卡相应位置上，否则答案无效！)1、已知为虚数单位，且，则的值是（ ） A ．2 B ．-2iC ．-4D ．2i2、已知全集，集合，，则=__________.A ． {1,2,4}B ． {2,3,4}C ． {0,2,4}D ． {0,2,3,4}3、下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是__________.A ．x1y B ． C ． D ．4、已知为不同的直线，为不同的平面，给出下列四个命题： ①若，则； ②若，则；③若，则； ④若，则.其中所有正确命题的序号是（ ）试卷第2页，总7页A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④5、设为等比数列的前项和，，则的值为（ ）A ．B ．C ． 11D ．6、是直线与直线平行的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、若非零向量满足//，且，则（ ） A ．4B ．3C ．2D ．08、函数的部分图像如图所示，如果，且，则 （ ）A ．B ．C ．D ．19、函数 零点的个数（ ） A ．不存在 B ．有一个C ．有两个D ．有三个10、已知函数=，若||≥，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[－2,1]D ．[－2,0]分卷II分卷II 非选择题二、填空题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11、直线（为参数）的倾斜角为__________.12、 某几何体的三视图如图所示，它的体积为__________.13、阅读图的程序框图, 该程序运行后输出的的值为 __.14、 设F 1，F 2是椭圆C ：的两个焦点，若在C 上存在一点P ,使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_____________.15、已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数，试卷第4页，总7页的图象如图所示．（1）的极小值为 _______；（2）若函数有4个零点，则实数的取值范围为 _________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题12分) 若函数在R 上的最大值为5.(1)求实数m 的值； (2)求的单调递减区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
俯视图正视图 侧视图图2湖南省重点高中2014届高三高考仿真模拟测试数学文4一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数1ii-（i 为虚数单位）的模等于 AB ．2C D ．122．某教辅书店有四类高考复习用书，其中语文类、数学类、文科综合类及英语类分别有20种、10种、40种、30种，现从中抽取一个容量为20的样本进行检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的数学类与文科综合类书籍种数之和是A ．4B ．6C ．8D ．103．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 A ．56 B ．42 C ．28 D ．14 4．执行右边的程序框图1，输出的T=A ．6B ．8C ．10D ．155．下面四个命题中的真命题是A ．命题“∀x ∈R ,均有x 2−3x −2≥0”的否定是:“∃x ∈R ,使得x 2−3x −2≤0”B ．命题“若x 2=1,则x =1”的否命题为：“若x 2=1,则x ≠1”C ．已知平面向量a →=(2, −1),b →=(x , 3)，则a →//b →的充要条件是x=−6D ．“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q6．已知一个几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为 A．p + B ．p +C ．4p + D ．4p +7．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A ，B ，C ，D 的距离都大于1的概率为A ．16pB ．4p C D ．14p-8．当2x >时，不等式21270x a x a -+++…()恒成立，则实数a 的取值范围是A ．39轾-臌,B ．(9ù- û,C ．3- (,]D ．9+ [,)9．若规定[]x ()x R Î表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-如：[ 1.2]2,[2.3]2-=-=，{}1.2 1.2(2)0.8-=---=，则函数()sin {}f x x x =-在区间[,]p p -内零点的个数是A ．3B ．4C ．5D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.10．若函数2(0)()1()(0)2x x x f x x ìï<ïï=íïïïî…，则()f x 的值域为 . 11．若实数x ,y 满足约束条件3123x y x y x y ì+ïïï--íïï-ïïî……?3, 则目标函数2z x y =+的最小值为______.12．已知圆C 的参数方程为2x y qq ìï=ïíï=+ïîcos sin q (为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为21r q r q +=cos sin , 则直线被圆所截得的弦长是 .13．在△ABC 中，已知5,3,120a b C === ,则sin B 的值是 .14．已知椭圆22135x y m n +=和双曲线22123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 .15．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中12{,,,}n A a a a =，12{,,,}n B b b b =，12{,,,}n C c c c =，若A 、B 、C中的元素满足条件：12n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数2()(2cos sin 2)(0)f x a x x b a =++> （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期T ；（Ⅱ）若[0,]4x pÎ时，)(x f的值域是[1,，求实数a 、b 的值.17．（本小题满分12分）某学校研究性学习课题组为了研究学生的数学成绩优秀和物理成绩优秀之间的关系，随（Ⅰ）根据上表完成下面的2×2列联表，并说明能否有99%的把握认为学生的数学成绩（Ⅱ）记数学、物理成绩均优秀的6名学生为A 、B 、C 、D 、E 、F ，现从中选2名学生进行自主招生培训，求A 、B 两人中至少有一人被选中的概率.参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++AB CA 1B 1C 118．（本小题满分12分）如图3，三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长都是a ，侧面11BB C C ^底面ABC ,且160B BC? . （Ⅰ）求证:1AB BC ^；（Ⅱ）求直线1AC 与平面ABC 所成角的正弦值.19．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C x py p =>，圆222:8120C x y y +-+=的圆心M 到抛物线1C 的准线的距离为92，点P 是抛物线1C 上一点，过点P 、M 的直线交抛物线1C 于另一点Q ，且||2||PM MQ =，过点P 作圆2C 的两条切线，切点为A 、B .（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）求直线PQ 的方程及PA PB ×的值.20．（本小题满分13分）某企业生产一种特种电线，年成本为100万元，2012年年产量为40万米，售价为5元/米.根据市场调查估计，从2013年开始的若干年（不少于10年）内，该种电线每年的售价将比上年增加1元/米，在这样的市场前景下，假设不新增投资，该企业的年产量将可维持不变；若决定2013年初新增投资400万元，引进一套先进的生产设备，该设备引进后，第xyO PQMAB 图3图4一年可使该特种电线年产量在2012年产量的基础上增加10万米，但由于设备的逐渐损耗，从第二年开始，每年相对于2012年产量的增加量只有前一年相对于2012年产量的增加量的80%.（Ⅰ）到2020年时，此特种电线的售价为多少？如果引进新设备，求出2013年至2020年8年中，该企业生产此特种电线的产量总和.（Ⅱ）若新引进的设备只能使用10年，试分析该企业2013年初是否应该新增投资引进该设备？(附：70.80.21»,90.80.13»)21．（本小题满分13分）已知实数0a >，函数1()2ln f x ax x x =--，23()(1)(01)2g x ax a x x =-++剟. （Ⅰ）求函数()f x 单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，且对任意1[1,2]x Î，总存在2[0,1]x Î，使()f x 在1x x =处的导数12()()f xg x ¢=成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．A 2．D 3．C 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B 9．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.10． (0,1] 11．4 12． 14．.y x = 15.（1）7,9,11 中任一个 （2）{6,10,11,12}三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：∵()(cos2sin 21)f x a x x b =+++……………………………………2分cos(2)4x a b p-++ ………………………………………4分 ∴ 22T pp ==.………………………………………6分（Ⅱ）∵04x p ＃ ，∴2444xpp p-? ，cos(2)14x p………………………………………8分∵)(x f 的值域是， ∴max ()()8f x f a b p==++=min ()(0)21f x f a b ==+=，………………………………………10分 解得1,1a b ==-………………………………………12分17．（本小题满分12分）（Ⅰ）表格为分根据上述列联表求得220(61022)2456.80681281236k ? == 创 6.635> 所以有99%的把握认为：学生的数学成绩优秀与物理成绩优秀之间有关系． ……………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）从A 、B 、C 、D 、E 、F 这6名学生中选2人，有（A,B ），（A,C ）,(A,D), (A,E), (A,F),(B,C), (B,D), (B,E), (B,F), (C,D), (C,E), (C,F), (E,D), (D,F),(E,F),共15ABCA 1B 1C 1D E个基本事件，……………………………………………………………………………9分其中A 、B 两人中至少有一人被选中有（A,B ），（A,C ）,(A,D), (A,E), (A,F), (B,C), (B,D), (B,E), (B,F),共9个基本事件 P=915=35…………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设BC 的中点为D ，连结AD ,1B D ,1B C .由题设知，ABC D 和1BB C D 都是等边三角形， 因此1,BC AD BC B D ^^………4分BC \^平面1AB D ，1BC AB \^.……………………6分（Ⅱ）作1C E BC ^，垂足是E ，连结AE平面11BB C C ^平面ABC ，1C E \^平面ABC1C AE \ 就是直线1AC 与平面ABC 所成的角 ………………………8分160B BC?,1C C //1B B111160,,2C CE C C a C E CE a\?=\==又， 在1,,,1202ACE AC a CE a ACEAE D ==?\=中……………………10分 1AC\= 因此111sin C E C AEAC ?=…………………………12分即直线1AC 与平面ABC .19．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）222:(4)4C x y +-=，∴(0,4)M ， …………………………1分抛物线21:2C x py =的准线方程是2py =-，依题意： 9422p +=，∴1p =，…………………………3分 ∴抛物线1C 的方程为：22x y =.…………………………4分（Ⅱ）设PQ 的方程：4y kx =+2242802y kx x kx x yì=+ïï?-=íï=ïî，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则11(,4)PM x y =--，22(,4)MQ x y =-，∵||2||PM MQ =，∴2PM MQ =，122x x ∴-=…① 又122x x k +=…②，128x x =-…③， 由①②③得1k = ， ∴PQ 的方程为：4y x=? ………………………………………………………9分xy O PQMAB取PQ 的方程：4y x =+，和抛物线22x y =联立得P 点坐标为P （4,8）∴||PM =,AM BM ，||||PA PB PM ==设APMa ?，则sinAM PM a ==， ……………………………11分∴||||cos2PA PB PA PB a ?=228(12sin )a ?=21.…………………13分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意，设从2013年开始的若干年（不少于10年）内，该种电线的售价为一个以a 1=6为首项，d= 1为公差的等差数列{a n }.故到2020年时，此特种电线的售价为a 8，即为13元/米. 工协作 ………………………………………………3分如果引进新设备，则2013年至2020年8年中，该企业生产此特种电线的产量总和为40⨯8+(10+10⨯0.8+10⨯0.82+…+10⨯0.87)=361.6(万米)………………6分（Ⅱ）引进新设备后的10年内，设增加产量带来的收入增加量为S ，由题意有：S=10a 1+10×0.8×a 2+…+10×0.89×a 10=10×(6+7×0.8+8×0.82+…+15×0.89)…………………………………① …………………………………8分0.8S=10×(6×0.8+7×0.82+8×0.83+…+15×0.810) ……………………………②①—②得，0.2S=10×(6+0.8+0.82+0.83+…+0.89-15×0.810)∴S=50(10-16×0.89)=50×7.92=396, ………………………………………12分 ∵S<400，故该企业2013初不应新增投资引进该设备.……………………………………13分 21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2221() (0)ax x f x x x-+¢=>…………………………………………1分 当1a ³时，440a D =- ，()0f x ¢\ 恒成立.故()f x 在(0,)+ 上为增函数；……………3分当01a <<时，由()0f x x ¢＾0()f x ∴的递减区间为，递增区间为)+ ……………………………6分 （Ⅱ）∵()f x 在区间[1,2]上为增函数，∴2221()0ax x f x x -+¢= ，[1,2]x Î恒成立， 即2210ax x -+ 恒成立， 即：221a x x?. 11[1,2] [,1]2x x 蝄无22211(1)11x x x-=--+1a \ ……………………………………………………………………8分 222313(1)()(1)()2224a a g x ax a x a x a a++=-++=-+-，当1a ³时，11122a a +< ，2min 13(1)()()224a a g x g a a ++\==-，max 3(0)2g g ==， 所以函数()g x 的值域为23(1)3[,]242a M a +=-.…………………………10分 又11[1,2] [,1]2x x 蝄 2222113()(1)1[1,]4ax x f x a a a x x -+¢?=+--?-， 故函数()f x ¢值域为3[1,]4N a a =-- …………………………………11分依题意应有N M Í23(1)192443342a a a a a ìï+ï-?ïïï\íïï- ïïïî或0a < …………12分又1a ³，故所求为9]4a Î…………………………………………13分。