考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习真题练习
考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习讲义
。
考法二 直线方程
1．过点 P（4，－1）且与直线 3x－4y＋6＝0 垂直的直线方程是
。
2．过点 M 2,1 ，且与点 A1, 0 ， B 3, 0 距离相等的直线方程是
。
3．已知点 A（1，2），B（3，1），则线段 AB 的垂直平分线的方程是
。
考法三 直线的位置关系
1．直线 l1 : ax 3y 1 0, l2 : 2x (a 1) y 1 0 ，若 l1//l2 ，则 a 的值为 。
是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向， 即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的 题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。 理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前 n 项和公式；证明 数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数 列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同 的方法（已知 Sn 求 an、已知 Sn 与 an 关系求 an（前两种都是利用 an=Sn-Sn1，注意讨论 n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差 或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列 lamt，通过构造一个新数列使 其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一 步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法 证明，还有就是数列可以看成一个以 n 为自变量的函数。 第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定 理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中 点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积， 注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角 等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计 算，不要算错。 第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求 概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数 /所有可能的个数；理科用排列组合算数。独立性检验根据公式算 K 方值，别算
高三数学 专题9.1 直线的方程(讲+练)(原卷版+解析版)
专题9.1 直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 知识点二 直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 .知识点三 直线方程的五种形式考点一 直线的倾斜角与斜率【典例1】（山西平遥中学2019届模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝⎛⎭⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式1】（湖南浏阳一中2019届模拟）直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π【答案】B【解析】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 考点二 直线方程的求法【典例2】（ 北京师范大学实验中学2019届模拟）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010， 则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【方法技巧】求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．【变式2】（河北正定中学2019届模拟）过点P (3，1)，且比直线l ：x ＋3y －1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．【答案】 3x ＋y －4＝0【解析】直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k ＝－ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x＋y －4＝0.考点三 直线方程的综合应用【典例3】（ 辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12×(12＋12) ＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【方法技巧】(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【变式3】（吉林长春市实验中学2019届模拟）当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__________．【答案】24【解析】因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k≤122，故三角形面积的最大值为24.考点四 综合考查【典例4】（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.【变式4】（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋152723．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝014．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π416．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12 D.12- 2．（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ）A.（1，0）B.（0，1）C.11,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫⎪⎝⎭专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【答案】A【解析】由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A. 2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋272【答案】B【解析】设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以y 1′＝2cos 2x 1.因为函数y 2＝x 2＋3的斜率为1，所以令y 1′＝2cos 2x 1＝1，解得x 1＝π6，则y 1＝0，即函数在⎝⎛⎭⎫π6，0处的切线和直线y 2＝x 2＋3平行，则最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪π6＋32.所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪π6＋322＝＋272.故选B.3．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.4．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不经过第三象限． 6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【答案】B【解析】易知直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .因为k MA ＝3－－－2－0＝－52， k MB ＝2－－3－0＝43， 由图可知－a ＞－52且－a ＜43，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．【答案】y ＝23x 【解析】直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，则直线l ：y ＝23x . 8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【答案】y ＝－53x 或x －y ＋8＝0 【解析】当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时，等号成立．故ab 的最小值为16.10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，所以3a ＋4a＝1，所以a ＝7.所以直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.14．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.16．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5C.52D. 5 【答案】C【解析】由题意可知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)．动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0，因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △P AB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|P A |＝|PB |时，△P AB 的面积取得最大值．由2|P A |＝|AB |＝12＋32＝10，解得|P A |＝ 5.所以S △P AB ＝12|P A |2＝52.综上可得，△P AB 的面积最大值是52. 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．【答案】4x －3y －4＝0【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解析】(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12D.12- 【答案】B【解析】由26y x =-+可知斜率2k =-，本题选B 。
考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习真题练习
考点40 直线方程【题组一 斜率与倾斜角】1的倾斜角为 。
10y -+=2．直线与直线的夹角为______________.1:210l x y -+=2:210l x y ++=3．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范l (1,0)P (2,1)A (4,3)B -AB l 围为_______．【题组二 直线方程】1．过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（ ）:21l y kx k =+-1k =-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【题组三 直线的位置关系】1．设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知m 为实数，直线，，若，则实数m 的值( ) 1:10l mx y +-=()23220l m x my -+-=：12l l //A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．0或 133．已知直线，直线，且∥，若均为正数，则的最小:3210p x y -+=:(1)0q ax b y +-=p q ,a b 23a b+值是（ ）A ．B ．C ．8D ．24253834．是“直线与直线相互垂直”的（ ）. 14a =(1)310a x ay +++=(1)(1)30a x a y -++-=A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【题组四 距离问题】1．直线与直线之间的距离是______．110l x y -+=：250l x y -+=：2．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）P 22ln 0x y --=P 4410x y ++=A B C D ． ln 2)-ln 2)+1ln 2)2+1(1ln 2)2+【题组五 定点问题】1．方程所确定的直线必经过的定点坐标是 ．30kx y +-=2．对任意实数，直线恒过定点，则该定点的坐标为_________m 30mx y m --+=【题组六 对称问题】1．点关于直线对称的点´的坐标是()2,1P -:10l x y -+=P A ． B ． C ．D ． ()1,0()0,1()0,1-()1,0-2．点关于直线对称点的坐标是________．(7,1)A -:250l x y --=A '3．直线关于点对称的直线的方程为_________.3450x y -+=(2,3)M -4．已知直线，点.求：:2310l x y -+=(1,2)A --（1）直线关于点对称的直线的方程；l (1,2)A --l '（2）直线关于直线的对称直线的方程.:3260m x y --=l m '5．圆关于直线对称的圆的标准方程为__．22:1C x y +=:1l x y +=如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A 等于60度直接假设B 和C 都等于60°带入求解。
高三数学直线方程试题答案及解析
高三数学直线方程试题答案及解析1.过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是．【答案】【解析】直线，设，，则由有B为AC中点，则，∴，则带入直线中，有，∴.【考点】直线方程、中点坐标公式.2.直线l经过点(3，0)，且与直线l′：x＋3y－2＝0垂直，则l的方程是______________．【答案】3x－y－9＝0【解析】直线l′：x＋3y－2＝0的斜率为k′＝－，由题意，得k′k＝k＝－1，则k＝3.所以l 的方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.3.求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．【答案】当n≠2时，y－m＝(x－2)，当n＝2时x＝2.【解析】(解法1)利用直线的两点式方程．直线过点A(2，m)和B(n，3)．①当m＝3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y＝3.②当n＝2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x＝2.③当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程得.(解法2)利用直线的点斜式方程．①当n＝2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x＝2.②当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k＝.又∵过点A(2，m)，∴由直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)，得过点A，B的直线的方程是y－m＝(x－2)．4.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【答案】2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【解析】解法1：(借助点斜式求解)由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y－2＝k(x－3)，令x＝0，则y＝－3k＋2；令y＝0，则x＝3－.由题设可得－3k＋2＝3－，解得k＝－1或k＝.故l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0.解法2：(利用截距式求解)由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a.若a＝0，则l过点(0，0)．又过点(3，2)，∴l的方程为y＝x，即l：2x－3y＝0.若a≠0，则设l为＝1.由l过点(3，2)，知＝1，故a＝5.∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.5. 已知直线l ：＋4－3m ＝0.(1)求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程． 【答案】（1）见解析（2）2x ＋y ＋4＝0 【解析】(1)证明：∵m ＋2x ＋y ＋4＝0， ∴由题意得∴直线l 恒过定点M.(2)解：设所求直线l 1的方程为y ＋2＝k(x ＋1)，直线l 1与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则A，B(0，k －2)．∵AB 的中点为M ，∴解得k ＝－2.∴所求直线l 1的方程为2x ＋y ＋4＝0.，6. 已知直线的点斜式方程为y －1＝－ (x －2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为______________，______________，______________． 【答案】y ＝－x ＋，，【解析】将y －1＝－ (x －2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y ＝－x ＋. 因为点(2，1)、均满足方程y －1＝－ (x －2)，故它们为直线上的两点．由两点式方程得，即.由y ＝－x ＋知，直线在y 轴上的截距b ＝，又令y ＝0，得x ＝.故直线的截距式方程为7. 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________________________________________________________________． 【答案】y ＝－x ＋【解析】将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－x ，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y ＝－ (x －1)，即y ＝－x ＋.8. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－2]∪[1，＋∞)【解析】直线ax ＋y ＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB 相交，即应满足－a≥或－a≤，得a≤－2或a≥1.9. 点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( ) A ．－B ．C ．－D ．【答案】D【解析】由题意知，解得k＝－，b＝，∴直线方程为y＝－x＋，其在x轴上的截距为.10.平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是()A．y=2x-1B．y=-2x+1C．y=-2x+3D．y=2x-3【答案】D【解析】在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1),点B 关于点(1,1)对称的点为N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程为=,即y=2x-3,故选D.11.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0【答案】A【解析】方法一，设所求直线方程为x－2y＋C＝0，将点A代入得2－6＋C＝0，所以C＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0，选A.方法二，直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，设所求直线的斜率为k，则k＝，代入点斜式方程得直线方程为y－3＝ (x－2)，整理得x－2y＋4＝0，选A.12.直线过点(－1,2)且在两坐标上的截距相等，则的方程是________．【答案】或【解析】当过原点时，设直线方程为：，又因为过点，则，∴直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为：，代点得，则直线方程为．【考点】直线的截距式方程．13.若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 .【答案】【解析】幂函数的图象相切于点，则，解得，所以，则，故直线的方程为，化简得.【考点】1.直线的切线方程.14.已知两条直线，且，则=A．B．C．-3D．3【答案】C【解析】根据题意，由于两条直线，且，则可知3+a=0,a=-3，故可知答案为选C.【考点】两直线的垂直点评：根据两条直线垂直的充要条件，就是,这是解题的关键，属于基础题。
高中数学直线的方程练习题及讲解
高中数学直线的方程练习题及讲解### 练习题1：点斜式方程题目：已知直线过点A(3,4)，且斜率为-2，求该直线的方程。
解答：根据点斜式方程 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)，其中 \( m \) 是斜率，\( (x_1, y_1) \) 是已知点。
代入已知值：\( m = -2 \)，\( (x_1, y_1) = (3, 4) \)。
得到方程：\( y - 4 = -2(x - 3) \)。
### 练习题2：斜截式方程题目：若直线的斜率为3，且在y轴上的截距为-5，求该直线的方程。
解答：斜截式方程为 \( y = mx + b \)，其中 \( m \) 是斜率，\( b \) 是y轴截距。
代入已知值：\( m = 3 \)，\( b = -5 \)。
得到方程：\( y = 3x - 5 \)。
### 练习题3：两点式方程题目：求经过点B(-1,6)和点C(4,-1)的直线方程。
解答：两点式方程为 \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x -x_1}{x_2 - x_1} \)。
代入点B和点C的坐标：\( \frac{y - 6}{-1 - 6} = \frac{x - (-1)}{4 - (-1)} \)。
化简得到：\( 7(y - 6) = -5(x + 1) \)。
### 练习题4：截距式方程题目：若直线与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,-3)，求该直线的方程。
解答：截距式方程为 \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是x轴和y轴的截距。
代入截距：\( a = 4 \)，\( b = -3 \)。
得到方程：\( \frac{x}{4} - \frac{y}{3} = 1 \)。
### 练习题5：一般式方程题目：将直线方程 \( 3x + 4y - 12 = 0 \) 转换为斜截式。
高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析
专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （ ）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解 【详解】 点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确； 由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误． 故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（ ）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确； 对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误； 对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确． 故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒， 又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2， 所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =． 故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________． 【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=， 所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________． 【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1）， 画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3， 所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=， 又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3）， 所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=， 所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，， 则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行， 所以设方程为()201x y n n -+=≠， 因为直线过点(2,1)M -， 代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '， 则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程； （2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程． 【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2）， 即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意， 综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值； （2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4）， 把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为8y x=， 把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2； （2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上， 所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ， 所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==， 在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1， 所以144m n-+=， 而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析． 【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=． （2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标； （2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=． 故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==， 故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0）， 由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-， 故有1b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得： 即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。
直线方程-2021年新高考数学名校地市必刷题(新高考专用)(含解析)
2021年新高考数学名校地市必刷题（新高考专用）直线方程一、单选题（共10小题）1.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l的方程为3x﹣y﹣2＝0，则直线l的斜率是（）A．3B．﹣3C．D．2.（2019•西湖区校级模拟）已知直线经过点A（2，0），B（1，），则连直线的倾斜角是（）A．B．C．D．3.（2019•西湖区校级模拟）在△ABC中，A（4，﹣1），它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x﹣y﹣1＝0和l2：x+y+2＝0，则BC边所在的直线方程为（）A．9x﹣y+3＝0B．9x+y+3＝0C．x﹣9y+1＝0D．x+9y+1＝04.（2019•西湖区校级模拟）已知动直线l0：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），且Q（4，0）到直线l0的最大距离为3，则+的最小值为（）A．B．C．1D．95.（2019•顺义区二模）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2＝{（x，y）|y＝lnx}；；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”的集合为（）A．M1，M2B．M2，M3C．M1，M4D．M3，M46.（2019•武侯区校级模拟）若三条直线x+y﹣3＝0，x﹣y+1＝0，mx+ny﹣5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2D．27.（2020•普陀区一模）若直线l：+＝1经过第一象限内的点P（，），则ab的最大值为（）A．B．4﹣2C．5﹣2D．6﹣38.（2018•西城区模拟）已知点A（﹣2，0），B（2，0），如果直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得P A⊥PB，那么实数m等于（）A．±4B．±5C．±8D．±109.（2019•朝阳区一模）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y＝kx﹣2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（）A．[0，2）∪（2，+∞）B．[2]C．（﹣∞，0）D．[0，+∞）10.（2019•西湖区校级模拟）若动点A、B分别在直线l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（）A．3B．2C．3D．4二、填空题（共8小题）11.（2020•岳阳一模）若曲线y＝e﹣x上点P到直线x+y+1＝0的最短距离是．12.（2019•西湖区校级模拟）直线l1：x+y+1＝0与直线l2：x+y+3＝0的距离是．13.（2018•黄浦区校级三模）已知直线11：x+2y+1＝0与l2：2x+by﹣4＝0平行，则11与l2的距离为．14.（2019•新吴区校级模拟）我们称两条相交直线所成的角中不大于90°的角为这两条直线的夹角．设直线l1：y＝x，与直线l2：y＝﹣2x+4的夹角为θ，则cosθ的值为．15.（2018•广陵区校级四模）若直线kx﹣y﹣k+2=0与直线x+ky﹣2k﹣3=0交于点P，则OP长度的最大值为．16.（2019•揭阳一模）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是﹣．17.（2019•宝山区校级一模）已知函数f（x）＝a sin2x+b cos2x（a，b∈R，ab≠0），若其图象关于直线对称，则直线ax+by+2＝0的倾斜角α＝．18.（2018•金山区二模）平面上三条直线x﹣2y+1＝0，x﹣1＝0，x+ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A＝﹣﹣．三、解答题（共6小题）19.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+3y﹣2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．20.（2019•西湖区校级模拟）过M（2，1）作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴与点A，B．（1）当M为AB中点时，求直线l的方程；（2）设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．21.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．22.（2018•石景山区一模）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅰ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．23.（2014•嘉定区一模）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．24.（2014•长沙校级模拟）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．一、单选题（共10小题）1.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l的方程为3x﹣y﹣2＝0，则直线l的斜率是（）A．3B．﹣3C．D．【解答】解：化直线l的方程3x﹣y﹣2＝0为y＝3x﹣2，可得直线l的斜率是k＝3．故选：A．【知识点】直线的斜率2.（2019•西湖区校级模拟）已知直线经过点A（2，0），B（1，），则连直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设直线AB的倾斜角为θ，又由点A（2，0），B（1，3），则K AB＝＝﹣，则tanθ＝﹣；又由0≤θ＜π，则θ＝；故选：B．【知识点】直线的倾斜角3.（2019•西湖区校级模拟）在△ABC中，A（4，﹣1），它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x﹣y﹣1＝0和l2：x+y+2＝0，则BC边所在的直线方程为（）A．9x﹣y+3＝0B．9x+y+3＝0C．x﹣9y+1＝0D．x+9y+1＝0【解答】解：由题意，A（4，﹣1）关于直线l1：x﹣y﹣1＝0的对称点A′（0，3），点A（4，﹣1）关于直线l2：x+y+2＝0的对称点A″（﹣1，﹣6），故直线BC的方程，即为A′A″的直线方程：＝，即9x﹣y+3＝0，故选：A．【知识点】直线的一般式方程与直线的性质4.（2019•西湖区校级模拟）已知动直线l0：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），且Q（4，0）到直线l0的最大距离为3，则+的最小值为（）A．B．C．1D．9【解答】解：动直线l0：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），∴a+bm+c﹣2＝0．又Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，∴，解得m＝0．∴a+c＝2．则+＝（a+c）（）＝≥，当且仅当c＝2a＝时取等号．故选：B．【知识点】点到直线的距离公式5.（2019•顺义区二模）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2＝{（x，y）|y＝lnx}；；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”的集合为（）A．M1，M2B．M2，M3C．M1，M4D．M3，M4【解答】解：对于M1，取点（0，1），假设存在（x，y）∈M1满足0+y＝0，解得y＝0，而y＝x2+1≥1，矛盾，因此不满足条件．对于M2，取点（1，0），假设存在（x，y）∈M2满足x+0＝0，解得x＝0，而函数y＝lnx的定义域为{x|x＞0}，矛盾，因此不满足条件．对于M3，假设∀取点A（x1，y1）∈M3，∃B（x2，y2）∈M3，使得x1x2+y1y2＝0成立，即k OA•k OB＝﹣1．结合图象即可得出，正确．对于M4，画出图象，同理可得：正确．只有M3，M4正确．故选：D．【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系6.（2019•武侯区校级模拟）若三条直线x+y﹣3＝0，x﹣y+1＝0，mx+ny﹣5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（）A．B．C．2D．2【解答】解：联立，解得x＝1，y＝2．∵三条直线x+y﹣3＝0，x﹣y+1＝0，mx+ny﹣5＝0相交于同一点，∴m+2n＝5．则点（m，n）到原点的距离的最小值为原点到直线x+2y＝5的距离d＝＝．故选：A．【知识点】两条直线的交点坐标7.（2020•普陀区一模）若直线l：+＝1经过第一象限内的点P（，），则ab的最大值为（）A．B．4﹣2C．5﹣2D．6﹣3【解答】解：直线l：+＝1经过第一象限内的点P（，），则a，b＞0，+＝1．∴ab＝ab（+）＝+＝+．令＝t＞0，g（t）＝+，（t＞0）．∴g′（t）＝﹣＝，可得t＝时，g（t）取得极大值即最大值，g（）＝4﹣2．故选：B．【知识点】直线的斜截式方程8.（2018•西城区模拟）已知点A（﹣2，0），B（2，0），如果直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得P A⊥PB，那么实数m等于（）A．±4B．±5C．±8D．±10【解答】解：直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得P A⊥PB，则此直线与圆：x2+y2＝4相切．∴＝2，解得m＝±10．故选：D．【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系9.（2019•朝阳区一模）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y＝kx﹣2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（）A．[0，2）∪（2，+∞）B．[2]C．（﹣∞，0）D．[0，+∞）【解答】解：如图所示，直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则∠CP A＝45°，∴|CP|＝×＝2．设P（x，y），则点P满足：（x﹣2）2+y2＝4，与y＝kx﹣2联立化为：（1+k2）x2﹣（4k+4）x+4＝0，∴△＝（4k+4）2﹣4×4（1+k2）≥0，解得k≥0．∴实数k的取值范围是[0，+∞）．故选：D．【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系10.（2019•西湖区校级模拟）若动点A、B分别在直线l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（）A．3B．2C．3D．4【解答】解：∵l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，M到原点的距离最小．∵直线l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0，∴两直线的距离为＝，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为＝3，故选：A．【知识点】两点间的距离公式二、填空题（共8小题）11.（2020•岳阳一模）若曲线y＝e﹣x上点P到直线x+y+1＝0的最短距离是．【解答】解：y＝e﹣x的导数为y′＝﹣e﹣x，设在P（m，n）处的切线平行于直线x+y+1＝0，即有﹣e﹣m＝﹣1得m＝0，n＝1，即有切点为P（0，1），可得最短距离为点P（0，1）到直线x+y+1＝0的距离，故答案为：．【知识点】点到直线的距离公式、利用导数研究曲线上某点切线方程12.（2019•西湖区校级模拟）直线l1：x+y+1＝0与直线l2：x+y+3＝0的距离是．【解答】解：由于直线l1：x+y+1＝0与直线l2：x+y+3＝0为平行直线，则两直线间的距离d＝．故答案为：．【知识点】两条平行直线间的距离13.（2018•黄浦区校级三模）已知直线11：x+2y+1＝0与l2：2x+by﹣4＝0平行，则11与l2的距离为．【解答】解：直线11：x+2y+1＝0与l2：2x+by﹣4＝0平行，直线12：x+2y﹣2＝0∴11与l2的距离d＝．故答案为：．【知识点】两条平行直线间的距离14.（2019•新吴区校级模拟）我们称两条相交直线所成的角中不大于90°的角为这两条直线的夹角．设直线l1：y＝x，与直线l2：y＝﹣2x+4的夹角为θ，则cosθ的值为．【解答】解：由题意可得：tanθ＝＝3，∴cosθ＝＝．故答案为：．【知识点】两直线的夹角与到角问题15.（2018•广陵区校级四模）若直线kx﹣y﹣k+2=0与直线x+ky﹣2k﹣3=0交于点P，则OP长度的最大值为．【解答】解：直线kx﹣y﹣k+2=0化为k（x﹣1）﹣y+2=0，过定点A（1，2），直线x+ky﹣2k﹣3=0化为x+k（y﹣2）﹣3=0，过定点B（3，2）；且满足k•1﹣1•k=0，∴两条直线互相垂直，其交点P在以AB为直径的圆上，如图所示；结合图形知，OP长度的最大值为|OC|+1=2+1．故答案为：2+1．【知识点】两条直线的交点坐标16.（2019•揭阳一模）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是﹣．【解答】解：点P所在的直线x+2y﹣1＝0与点Q所在直线x+2y+3＝0平行，因此可设PQ中点M（x0，y0）所在直线的方程为x+2y+m＝0，∴＝，解得m＝1；∴PQ中点M（x0，y0）所在直线的方程为x+2y+1＝0，联立，解得，其交点为N（﹣，﹣）；′∴k ON＝；令＝k，∵PQ中点为M（x0，y0）满足x0+2y0+1＝0，且y0＞2x0+1，如图所示；∴﹣＜k＜；即的取值范围是（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【知识点】直线的斜率17.（2019•宝山区校级一模）已知函数f（x）＝a sin2x+b cos2x（a，b∈R，ab≠0），若其图象关于直线对称，则直线ax+by+2＝0的倾斜角α＝．【解答】解：∵函数y＝a sin2x+b cos2x（a，b不全为0）的图象关于直线x＝对称，设sinθ＝，cosθ＝，∴y＝a sin2x+b cos2x＝（sin2x+cos2x）＝sin（2x+θ），当x＝时，2x+θ＝+θ＝+kπ，（k∈Z），∴θ＝﹣++kπ＝+kπ，（k∈Z），不妨取k＝0时，得θ＝；∴sinθ＝＝，cosθ＝＝，解得a＝，b＝1；∴直线l：ax+by+c＝0可化为：x+y+c＝0，它的斜率为k＝﹣，∴倾斜角是；故答案为：．【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程与直线的性质18.（2018•金山区二模）平面上三条直线x﹣2y+1＝0，x﹣1＝0，x+ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A＝﹣﹣．【解答】解：若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，①是x+ky＝0过另外两条直线的交点，由x﹣2y+1＝0和x﹣1＝0的交点是（1，1），解得k＝﹣1；②是这条直线与另外两条直线平行，此时k＝0或﹣2，综上，k的取值集合是{0，﹣1，﹣2}．故答案为：{﹣1，0，﹣2}．【知识点】确定直线位置的几何要素三、解答题（共6小题）19.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+3y﹣2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1＝0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m＝0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m＝0，即m＝2．所求直线l的方程为2x+y+2＝0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝×1×2＝1．【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系、直线的截距式方程20.（2019•西湖区校级模拟）过M（2，1）作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴与点A，B．（1）当M为AB中点时，求直线l的方程；（2）设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0），则直线l的方程为+＝1，∴M为AB中点，∴＝2，＝1，∴a＝4，b＝2，则直线l的方程为：+＝1，即x+2y﹣4＝0．（2）设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0），则直线l的方程为+＝1，又∵M（2，1）在直线l上，∴+＝1，又∵1＝+≥2，∴ab≥8，∴S＝ab≥4，等号当且仅当，即a＝4，b＝2时成立，∴直线l的方程为：+＝1，即x+2y﹣4＝0．【知识点】直线的截距式方程21.（2019•西湖区校级模拟）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1＝0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1＝0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m＝0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m＝0，即m＝2．所求直线l的方程为2x+y+2＝0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．【知识点】直线的一般式方程与直线的性质、两条直线的交点坐标22.（2018•石景山区一模）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅰ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；（Ⅰ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b=0．∵直线l与抛物线相切，∴△=16﹣16kb=0，即．∴直线l的方程为y=kx+．令x=﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则==．当m=1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．【知识点】直线与圆锥曲线的关系、与直线有关的动点轨迹方程23.（2014•嘉定区一模）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y），则，＝，当m＞0时，解得；当m＜0时，解得，∴或．（2）由题意，任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则＝＞0，∵x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2﹣m＞0，即m＜x1x2，由x2＞x1≥2，得x1x2＞4，所以m≤4．∴m的取值范围是（﹣∞，4]；（3）由f（x）≤kx，得，∵，∴，令，则t∈[1，2]，所以k≥mt2+2t+1，令g（t）＝mt2+2t+1，t∈[1，2]，于是，要使原不等式在有解，当且仅当k≥g（t）min（t∈[1，2]）．∵m＜0，∴图象开口向下，对称轴为直线，∵t∈[1，2]，∴当，即时，g（t）min＝g（2）＝4m+5；当，即时，g（t）min＝g（1）＝m+3，综上，当时，k∈[4m+5，+∞）；当时，k∈[m+3，+∞）．【知识点】其他不等式的解法、奇偶性与单调性的综合、两点间的距离公式24.（2014•长沙校级模拟）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m＝0，分别令x＝0，解得y＝﹣；y＝0，x＝﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴＝24，解得m＝±24．∴直线l的方程为3x+4y±24＝0．【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系。
高中数学训练题及解析——直线的方程
平面解析几何——直线的方程一、选择题1．已知直线l的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝15，则直线l的斜率是()A．－43B．－34C．－43或－34D．±43答案 A解析∵α为倾斜角，∴0≤α＜π.∵sinα＋cosα＝15，∴sinα＝45，cosα＝－35∴tanα＝－4 3.2．两直线xm－yn＝1与xn－ym＝1的图象可能是图中的哪一个()答案 B3．若直线ax＋by＋c＝0，经过第一、二、三象限，则() A．ab>0且bc>0 B．ab>0且bc<0C．ab<0且bc<0 D．ab<0且bc>0答案 C解析显然b≠0，∴y＝－ab x－cb∵直线过一、二、三象限，∴－ab>0，－cb>0∴ab<0且bc<0，故选C4．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为()A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0答案 B解析设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)，为线段PQ中点∴x0＝2 y0＝－4，∴直线PQ的方程为x 2＋y－4＝1.即2x－y－4＝0.5．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1答案 D解析 由条件得a ＋2＝a ＋2a 解之得a ＝－2或1.6．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32 D.23答案 B解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧ a ＋7＝2b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13，选B. 二、填空题7．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围为________．答案 (－2,1)解析 k ＝tan α＝a －12＋a<0 ∴－2<a <1.8．直线ax ＋by ＋c ＝0(a ≠0)的倾斜角为α，则直线ax －by ＋c ＝0(a ≠0)的倾斜角为__________．答案 π－α9．过点(1,3)作直线l ，若经过点(a,0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为________．答案 2解析 解法一 由题意1a ＋3b ＝1⇒(a －1)(b －3)＝3.有两个解⎩⎨⎧ a ＝2b ＝6或⎩⎨⎧a ＝4b ＝4解法二 利用斜率相等知3－b 1＝31－a⇒(a －1)(b －3)＝3.以下同解法一．10．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________答案 [0，π2)∪[3π4，π)解析 设P (x ，y )，y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1∈[－1，＋∞)．∴0≤α<π2或3π4≤α<π.11．过点P (1,2)，在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为______________． 答案 y ＝2x 或x ＋y －3＝0解析 设所求直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(1,2)，∴l 方程为y ＝2x ；若a ≠0，设l 方程为x ＋y ＝a ，则a ＝1＋2＝3，∴l 方程为x ＋y －3＝0.12．直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值为________．答案 2解析 方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号，故a 的值为2.评析 本题考查直线的方程、截距以及由基本不等式求最值等数学基础知识，属于目前高考选择题中典型的小综合题．三、解答题13．一束光线从点P (0,1)出发，射到x 轴上一点A ，经x 轴反射，反射光线过点Q (2,3)，求点A 的坐标．解析 Q (2,3)关于x 轴的对称点为Q ′(2，－3)则P 、A 、Q ′三点共线，设A (x 0,0)则－1x 0＝1－(－3)0－2，∴x 0＝12，即 A (12，0) 14．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．解析 K AC ＝－2，K AB ＝23∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0由⎩⎨⎧ 2x ＋y －3＝03x ＋2y －3＝0得C (3，－3) 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0x －2y ＝0得B (－2，－1) ∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.15．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)，试求2y 2x －5(x ≠52)的取值范围． 解析如图，设P(x，y)．∵2x＋y＝8，且2≤x≤3，∴P(x，y)在线段AB上移动．易得A(2,4)，B(3,2)，因2y2x－5＝yx－52的几何意义是直线MP的斜率，且M(52，0)．∵k MA＝－8，k MB＝4，由图象知，k MP≤－8或k MP≥4，∴2y2x－5的取值范围是(－∞，－8]∪[4，＋∞)．。
高考数学专题《直线与方程》训练试题含答案
高考数学专题《直线与方程》一、单选题1．已知点(3,4)A ，(1,1)B -，则线段AB 的长度是（ ）A ．5B ．25CD ．292．已知直线l 经过点()1,0P ，且与直线21y x =-平行，那么直线l 的方程是（ ） A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x =-+ D ．21y x =-+ 3．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩B ．2x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t=⎧⎨=-⎩ 4．倾斜角为45，在y 轴上的截距为1-的直线的方程是（ ）A ．1y x =+B ．1y x =-C ．1y x =-+D ．1y x =--5．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,26．下列命题错误的是（ ）①y =2y x =表示的是同一条抛物线②所有过原点的直线都可设为y kx =；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->④椭圆2248x y +=A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①②④ 7．已知两直线20x y -=和30x y +-=的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(2)(1)1x y -+-=8．已知直线1:3420l x y ++=，2:6810l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离是A ．12 B ．35 C ．1 D ．3109．若直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2或1-D ．210．如图所示,直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ,则A ．123k k k <<B ．231k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k << 11．“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．直线1y ax a =+-()a R ∈所过定点的坐标为（ ）A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,113．已知(1,4)A ，(3,2)B -，直线:20l ax y ++=，若直线l 过线段AB 的中点，则=a A ．-5 B ．5 C ．-4 D ．414．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 15．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直 16．已知ABC ∆的顶点坐标为()7,8A ，()10,4B ，()2,4C -，则BC 边上的中线AM 的长为A ．8B ．13C ．D 17．已知直线l 经过点()0,1，且与直线210x y -+=的倾斜角互补，则直线l 的方程为（ ） A ．220x y +-= B ．210x y +-= C ．210x y +-= D ．210x y ++=18．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线l 与直线g ：20++=ax by b 平行，则直线l ，g 间的距离为（ ）A B C D19．已知直线l 过点2)-和(0,1)，则直线l 的倾斜角大小为A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．3020．直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其斜率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．⎝D ． 21．已知两条直线1:60l x my ++=，()2:2320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则m 为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．022．已知椭圆：22143x y +=，直线l ：y x =+P ，则点P 到直线l 的距离的最大值（ ）A ．B ．C ．D ．23．若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-24．已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ） A ．(0,2) B ．(1,0) C ．(1,1)a + D ．(,1)e25．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（ ）A B C D 26．已知直线2120l x a y a -+=：与直线()2110l a x ay --+=：互相平行，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．227．经过点()0,1且与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（ ）A ．220x y +-=B ．220x yC ．210x y -+=D ．210x y +-=28．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，且2AF BF =，则k 为（ ）A B C D 29．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 30．已知抛物线2x y =上的点P 到直线240x y --=的距离最小，则点P 的坐标是（ ） A ．()1,1- B ．()1,1 C ．()2,2 D ．()0,031．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7432．“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分也非必要 33．已知圆C ：x 2+（y ﹣2）2＝r 2与直线x ﹣y ＝0交于A ，B 两点，若以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C ，则圆C 的半径r 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．434．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||2AB =，则||PA PB +的最小值是（ ）A ．B ．C ．1D ．235．以下四个命题表述正确的是（ ） ①若点(1,2)A ，圆的一般方程为222410x y x y ++-+=，则点A 在圆上②圆22:28130C x y x y +--+=的圆心到直线4330x y -+=的距离为2③圆22120C :x y x ++=与圆222:4840C x y x y +--+=外切④两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为260x y ++=A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④36．已知两条直线l 1：x +m 2y +6＝0，l 2：（m ﹣2）x +3my +2m ＝0，若l 1与l 2平行，则m ＝（ ） A ．﹣1或0B ．﹣1C ．0D ．﹣1或0 或3二、填空题37．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 38．直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，则a 的值为______．39．设点p 为y 轴上一点，并且点P 到直线3460x y -+=的距离为6，则点P 的坐标为_________.40．直线3y x =-+与坐标轴围成的三角形的面积是_________.41．若在平面直角坐标系内过点P ，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________.42．已知直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行，则a =___________.43．若点(),a b 在直线10x -=上，则22a b +的最小值为_____________________. 44．设△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，0），B （﹣1，3），C （3，﹣2），则AB 边上的高线CD 所在直线的方程为_____．45．已知函数()243f x x x =-+的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，则ABC 的外接圆E 的方程是________．46．设直线212:260,(1)10l ax y l x a y a ++==+-+-=，若12l l ⊥，则a =__________.47．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.48．已知定点()1,1A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP O '=，是坐标原点，则PQ 的取值范围是___________.49．已知两直线与平行，则___ 50．已知函数2()1f x og x =，a b >且1223b ≤≤，()()f a f b k ==，设k 值改变时点(,)a b 的轨迹为C ，若点M ，N 为曲线C 上的两点，O 为坐标原点，则MON ∆面积的最大值为__.51．点(3,2)P 关于直线1y x =+的对称点P '的坐标为__________．52．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为__________． 53．已知直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则124a b+的最小值是__． 54．若对于任意一组实数(),x y 都有唯一一个实数z 与之对应，我们把z 称为变量,x y 的函数，即(),z f x y =，其中,x y 均为自变量，为了与所学过的函数加以区别，称该类函数为二元函数，现给出二元函数(),f m n ()229m n n ⎫=-+⎪⎭，则此函数的最小值为__________．三、解答题55．设直线4310x y +=与210x y -=相交于一点A .（1）求点A 的坐标；（2）求经过点A ，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程.56．已知：ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,2),(4,1),(6,5)A B C -．求AB 边上的高所在直线的点法向式方程．57．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点．（1）若直线l 平行于直线3240x y -+=，求直线l 的方程；（2）若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程．58．已知点P 在圆22:4240C x y x y +--+=上运动，A 点坐标为()2,0-.（1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若直线:250l x y --=与坐标轴交于MN 两点，求PMN 面积的取值范围.59．在平面直角坐标系中，已知点(2,0),(1,3)A B -.（1）求AB 所在直线的一般式方程；（2）求线段AB 的中垂线l 的方程.60．求满足下列条件的直线方程：（1）直线l 过点A （2,-3），并且与直线13y x =的倾斜角相等； （2）直线l 经过点P (2,4),并且在x 轴上的截距是y 轴上截距的12.61．已知两直线1l ：240x y -+=，2l ：4350x y ++=．()1求直线1l 与2l 的交点P 的坐标；()2设()1,2A --，若直线l 过点P ，且点A 到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 62．矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0),M AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上．（1）求AD 边所在直线的方程；（2）若直线:10l ax y b +++=平分矩形ABCD 的面积，求出原点与(,)a b 距离的最小值．63．已知直线l 1：3x+4y ﹣2=0和l 2：2x ﹣5y+14=0的相交于点P ．求：（1）过点P 且平行于直线2x ﹣y+7=0的直线方程；（2）过点P 且垂直于直线2x ﹣y+7=0的直线方程．64．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点． （1）点P 的坐标为1(1,)3P ，若MP PN =，求直线l 的方程； （2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围．65．已知直线()()222:11310l a a x a a y a a -+-++-+-=，a R ∈（1）求证，直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）求当1a =和1a =-时对应的两条直线的夹角.66．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(20)A ，、3(5)B ，，经过原点O 的直线l 将OAB ∆ 分成面积之比为1:2的两部分，求直线l 的方程．67．已知直线:120l kx y k -++=（1）求证：直线l 经过定点．（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．（3）若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围．68．已知圆C:x 2+(y −3)2=4，直线m:x +3y +6=0，过A(−1，0)的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点.（1）当l 与m 垂直时，求出N 点的坐标；（2）当|PQ|=2√3时，求直线l 的方程.69．已知圆P 过点1,0A ，()4,0B .（1）若圆P 还过点()6,2C -，求圆P 的标准方程；（2）若圆心P 的纵坐标为2，求圆P 的标准方程.70．已知(),4A m ，()2,B m -，()1,1C ，()2,3D m +四点.（1）当直线AB 与直线CD 平行，求m 的值；（2）求证：无论m 取何值，总有90ACB ∠=.71．已知圆心为M 的圆经过点(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点.（1）求ABC 的面积；（2）求圆M 的方程.72．已知过原点O 的直线:40l x y -=和点(6,4)P ，动点(Q m ,)(0)n m >在直线l 上，且直线QP 与x 轴的正半轴交于点R ．（1）若QOR 为直角三角形，求点Q 的坐标；（2）当QOR 面积的取最小值时，求点Q 的坐标．73．平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)F ，直线:3l y =-，动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小2.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设斜率为2的直线与曲线C 交于A 、B 两点（点A 在第一象限），过点B 作x 轴的平行线m ，问在坐标平面xOy 中是否存在定点P ，使直线PA 交直线m 于点N ，且PB PN =恒成立？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.74．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标；（2）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．75．如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1,AB OB AB OB ==⊥，点11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是三角板内一点，现因三角板中，阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k .（1）用k 表示出直线MN 的方程，并求出点,M N 的坐标；（2）求出k 的取值范围及其所对应的倾斜角α的范围；（3）求AMN ∆面积的取值范围.76．求满足下列条件的直线的方程：(1)求与直线20x y -=平行，且过点(2)3，的直线方程； (2)已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，其一边所在直线的方程为350x y +-=,求其他三边的方程.77．过圆222:C x y r +=上一点()2,2A -作圆的切线，切线与x 轴交于点B ，过点B 的直线与圆C 交于不同的两点M 、N ，MA 、NA 分别交直线4x =-交于点P 、Q ．（1）求点B 的坐标；（2）求PBQB 的值．78．已知点()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足条件2PM PN -=，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）若P 是W 上任意一点，求2PMPN 的最小值.79．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=与x 轴的正负半轴的交点分别是M ，N .（1）已知点(2,4)Q ，直线l 过点Q 与圆O 相切，求直线l 的方程；（2）已知点P 在直线：4x =上，直线PM ，PN 与圆的另一个交点分别为E ，F . ①若(4,6)P ，求直线EF 的方程；②求证：直线EF 过定点.参考答案1．A【分析】根据两点之间的距离公式，即可代值求解.【详解】因为(3,4)A ，(1,1)B -，故可得5AB ==.故选：A.【点睛】本题考查平面中两点之间的距离公式，属基础题.2．B【分析】由平行关系可得直线l 斜率，由直线点斜式方程可求得结果.【详解】l 与21y x =-平行，∴直线l 的斜率2k =，l ∴方程为：()2122y x x =-=-.故选：B.3．D【分析】由倾斜角求得斜率,由斜截式得直线方程,再将四个选项中的参数方程化为普通方程,比较可得答案. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-,所以直线l 的斜率tan(tan 2)tan arctan 22k arc π=-=-=-, 所以直线l 的斜截式方程为:22y x =-+,由22x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得24y x =-+,故A 不正确;由2x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得2y x =-+,故B 不正确; 由22x t y t =⎧⎨=-⎩消去t 得122y x =-+,故C 不正确;由22x ty t=⎧⎨=-⎩消去t 得22y x =-+,故D 正确; 故选:D. 【点睛】本题考查了直线方程的斜截式,参数方程化普通方程,属于基础题. 4．B 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由倾斜角为45可知所求直线的斜率为1，由直线的斜截式方程可得1y x =-. 故选：B. 5．A 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A. 6．D 【分析】①利用曲线中变量的范围来判断；②利用点斜式的适用条件来判断；③利用圆的一般式方程的系数关系来判断；④利用椭圆几何性质来判断. 【详解】解：①y =0y >，其仅表示抛物线的一部分，与2y x =表示的不是同一条抛物线，故错误；②所有过原点的直线中，0x =不可设为y kx =，故错误；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->，故正确；④椭圆2248x y +=标准方程为22182x y +=，2b =.故选：D. 【点睛】本题考查学生对圆锥曲线的基础知识的掌握情况，是基础题. 7．D 【分析】联立两直线方程，得到交点坐标，即为圆心，再结合半径就可写出圆的方程. 【详解】解：联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得()2,1M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=. 故答案为：D 【点睛】本题考查圆的标准方程，是基础题. 8．A 【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可. 【详解】两条直线1:3420l x y +-=与2:6810l x y ++=，化为直线1:6840l x y +-=与2:6810l x y ++=，则1l 与2l 12=，故选A. 【点睛】本题主要考查两平行线之间的距离，属于简单题.解析几何中的距离常见有：（1）点到点距离，AB =（2）点到线距离，d =，（3）线到线距离d 9．D 【分析】由平行可得()120m m --=，解之，排除重合的情形即可. 【详解】解：∵直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行， ∴()120m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，经验证当1m =-时，直线重合应舍去， 故选：D. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题. 10．B 【分析】设直线123,,l l l 所对应的倾斜角为123,,ααα， 由图可知，12302παααπ<<<<<，由直线的倾斜角与斜率的关系可得231k k k <<，得解. 【详解】解：由图可知,直线1l 的倾斜角为锐角,所以10k >,而直线2l 与3l 的倾斜角均为钝角,且2l 的倾斜角小于3l 的倾斜角,故230k k <<.所以231k k k <<. 故选B.本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了识图能力，属基础题. 11．C 【详解】试题分析：直线20ax y +=平行于直线1x y +=122aa -⇒=-⇒=，因此正确答案应是充分必要条件，故选C. 考点：充要条件. 12．A 【分析】提取公因数a ，得()11y a x =+-，即得1x =-时，1y =-，即得定点. 【详解】直线1y ax a =+-，整理得()11y a x =+-，故对于a R ∈，恒有1x =-时，1y =-.故直线恒过点()1,1--. 故选：A. 13．B 【分析】根据题意先求出线段AB 的中点，然后代入直线方程求出a 的值. 【详解】因为(1,4)A ，(3,2)B -，所以线段AB 的中点为(1,3)-，因为直线l 过线段AB 的中点，所以320a -++=，解得5a =.故选B 【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单. 14．A 【详解】设所求直线为20x y c =＋＋， 由直线与圆相切得，=解得5c =±．所以直线方程为250x y ＋＋＝或250x y ＋－＝．选A.【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系. 【详解】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==- 121k k ∴⋅=- 12l l ∴⊥本题正确选项：A 【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 16．D 【分析】利用中点坐标公式求得()6,0M ，再利用两点间距离公式求得结果. 【详解】由()10,4B ，()2,4C -可得中点()6,0M又()7,8A AM ∴=本题正确选项：D 【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标. 17．A 【分析】根据题意求出直线l 的斜率，然后利用斜截式即可写出直线的方程，进而转化为一般式方程即可. 【详解】因为与直线210x y -+=的倾斜角互补，而直线210x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为112y x =-+，即220x y +-=．故选：A 18．D 【分析】由题可得渐近线方程，利用直线平行可得a =，再利用平行线间距离公式即得. 【详解】根据题意，双曲线C 的渐近线l 的方程为0bx ay +=，该直线与直线g 平行，所以2-=-b aa b，所以a ，此时直线l 的方程为0x +=，直线g 的方程为02+=x ，所以直线l ，g=故选：D . 19．B 【分析】求出斜率后可得直线的倾斜角 【详解】=，故直线的倾斜角为120︒. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的计算，注意倾斜角的范围为0,.本题属于基础题.20．B 【分析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项. 【详解】直线的倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则斜率为tan α，tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数.由于直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以其斜率的取值范围为tan ,tan 43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题. 21．A 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m 的值． 【详解】解：两条直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则()213m m -=⨯且()2162m m ⨯≠⨯-，由()213m m -=⨯解得1m =-或3m =， 当3m =时()2162m m ⨯=⨯-故舍去，所以1m =-； 故选：A ． 22．C 【解析】设椭圆上点的坐标为()()2cos P R θθθ∈ ，由点到直线距离公式可得：d ==，则当()sin 1θϕ+=- 时，点P 到直线l 的距离有最大值max d =.本题选择C 选项.点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式.23．B 【详解】试题分析：点(3,2)A -关于x 轴的对称点为()3,2A '--．因为点(,0)P m 在x 轴上，由对称性可知PA PA =',所以PA PB PA PB +='+,所以当,,A P B '三点共线时此距离和最短． 因为8+2223A B k '==+，所以直线A B '方程为()822y x -=-，即24y x =+，令0y =得2x =-，即,,A P B '三点共线时()2,0P -．所以所求m 的值为2-．故B 正确． 考点：点关于直线的对称点，考查数形结合思想、转化思想． 24．A 【分析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解 【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2) 故选：A 【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题 25．D 【分析】利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离d = 故选：D 26．B 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果． 【详解】解：当0a =时，直线1l ：即0x =，直线2l ：即1x =，满足12l l //． 当0a ≠时，直线21:20l x a y a -+=与直线2:(1)10l a x ay --+=互相平行，∴2211a a a a -=≠--，解得实数a ∈∅． 综上，0a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题． 27．C 【分析】与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，结合点斜式即可求解直线方程． 【详解】直线210x y +-=的斜率为12-所以与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，又过点()0,1， ∴所求直线方程为：21y x =+ 即210x y -+= 故选：C 28．D 【分析】根据直线方程可知直线l 恒过定点()2,0P -，过A B ，分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，得到点B 为AP 的中点，连接OB ，进而可知||||OB BF =，由此求得点B 的坐标，最后利用直线上的两点求得直线l 的斜率． 【详解】抛物线2:8C y x =的准线2x =-，直线l ：(2)y k x =+恒过定点()2,0P -， 如图过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，则||2||AM BN =， 所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则1||||2OB AF =，∴||||OB BF =，OBF ∴∆为等腰三角形，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(，又(2,0)P -，所以k =故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，抛物线的定义，直线斜率的计算，考查了数形结合，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力. 29．A 【分析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以e ⎛ ⎝⎭∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题. 30．B 【分析】 设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，求出点200),(A x x 到直线240x y --=的距离，利用配方法，由此能求出抛物线2x y =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标． 【详解】 解：设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，点200),(A x x 到直线240x y --=的距离2201)3d x -+，∴当01x =时，即当()1,1A 时，抛物线2yx 上一点到直线240x y --=的距离最短．故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，考查学生的计算能力，属于中档题． 31．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++ 22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+ 34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C 32．B 【解析】2a =-时，两条直线分别化为：610,430y y -+=--=，此时两条直线相互垂直，满足条件；由“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”，可得，()()[]22320a a a a +-+⨯+=，解得12a =或2a =-，∴“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的充分非必要条件，故选B. 33．C 【分析】转化以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C 为AC ⊥BC ，可得弦心距2d =，再用圆心到直线距离表示d ，即得解 【详解】由题意，AC ⊥BC ，则C （0，2）到直线x ﹣y ＝0的距离2d =，2=，即r ＝2． 故选：C34．B 【分析】由已知得到12l l ⊥，1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，作线段CD AB ⊥，先求得CD ，求得PD 的最小值，再由||2||PA PB PD +=可得答案.【详解】设圆C 的半径为1r ，直线1:310l mx y m --+=与2310l x my m +--=∶ 垂直， 又1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，设圆心为M ，半径为2r ，作垂直线段CD AB ⊥，则CDmin 12||||PD CM r r ∴=--=2PA PB PD +=∴||PA PB + 的最小值为故选：B35．B 【分析】代入点验证知①正确，计算点到直线的距离得到②错误，计算圆心距为125r r =+，得到③正确，圆方程相减得到公共弦方程，④错误，得到答案. 【详解】将点代入圆方程，222242110++-⨯+=满足，故①正确；圆22:28130C x y x y +--+=的圆心为()1,4，到直线4330x y -+=1=，②错误；圆()221:11C x y ++=，圆心为()1,0-，半径11r =，圆()()222:2416C x y -+-=，圆心为()2,4，半径为24r =125r r =+，故③正确；两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=方程相减得到24120x y -+=，即公共弦方程为：260x y -+=，④错误. 故选：B. 36．A 【分析】解方程213(2)0m m m ⨯-⨯-=，再检验即得解. 【详解】解：因为l 1与l 2平行，所以2213(2)0,(23=0m m m m m m ⨯-⨯-=∴--）， 所以(3)(1)=0,0m m m m -+∴=或1m =-或3m =.当3m =时，两直线重合为x +9y +6＝0，与已知不符，所以舍去. 当0m =或1-时，符合题意. 故选：A 37．10x y -+= 【详解】圆：x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C(－1,0)，因为直线0x y +=的斜率为1-，所以与直线0x y +=垂直的直线的斜率为1，因此所求直线方程为+1y x =，即x －y ＋1＝038．2 【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a 的值. 【详解】解：直线20x y +-=的斜率为1-，和10ax y -+=的斜率为a ，直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，∴()()1tan311a a π--==+⋅-，求得2a ==，或2a ==，故答案为：2【点睛】本题考查两直线的夹角公式，是基础题. 39．()0,6-或()0,9 【分析】设P 点坐标，由点到直线距离公式求解． 【详解】设(0,)P a 6=，解得a =6-或9.所以P 点坐标为(0,6)-或(0,9)． 故答案为：(0,6)-或(0,9)． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握点到直线距离公式是解题关键．40．92【分析】根据直线方程求其与坐标轴的交点坐标，再应用三角形面积公式求直线与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】令0y =，则3x =；令0x =，则3y =， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积193322S =⨯⨯=. 故答案为：9241．(0,2) 【分析】先计算原点与点P 的距离，此时过点P 与原点的距离最大且仅有一条，过原点和点P 时，距离最小，最小为0，可得与原点的距离为d 的直线有两条时d 的取值范围. 【详解】过点P 的直线中，与原点的距离最大为||2OP ，最小为0， 当02d <<时，与原点的距离为d 的直线有两条. 故答案为：(0,2). 【点睛】本题考查了过定点的直线与定点的距离的范围问题，属于基础题. 42．3 【分析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解. 【详解】因为直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行， 所以()()2324(3)0a a a -----=，解得3a =或5a =， 又因为5a =时，1:210l x y -+=，2:4220l x y -+=， 所以直线1l ，2l 重合故舍去，而3a =,1:10l y +=,2:220l y -+=，所以两直线平行. 所以3a =， 故答案为：3. 【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．43．14【分析】由题意，可得22a b +表示直线上的点(),a b 到原点的距离的平方，根据点到直线距离公式，即可求出最小值.【详解】因为22220(()0)+-+=-a b a b 表示点(),a b 到原点距离的平方，又点(),a b 在直线10x -=上，所以当点(),a b 与原点连线垂直于直线10x -=时，距离最小，即22a b +最小；因为原点到直线10x +-=的距离为12==d ， 所以22214≥=+d a b . 即22a b +有最小值14.故答案为：14【点睛】本题主要考查直线上的点与原点距离最值的问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型. 44．x-y -5=0 【分析】利用两条直线垂直的条件，求得AB 边上的高线CD 所在直线的斜率，再用点斜式求得AB 边上的高线CD 所在直线的方程． 【详解】AB 直线的斜率为3012AB k -=--＝﹣1，故AB 边上的高线CD 所在直线的斜率为1， 故AB 边上的高线CD 所在直线的方程为y +2＝1（x ﹣3），即 x ﹣y ﹣5＝0， 故答案为：x ﹣y ﹣5＝0． 45．22(2)(2)5x y -+-= 【分析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求. 【详解】令2()430f x x x =-+=，得1x =或3x =， 则(1,0)A ，(3,0)B∴外接圆的圆心E 的横坐标为2，设()2,E m ，半径为r ，由(0)3f =，得(0,3)C ，则||||EA EC =r ， 得2m =，r =∴ABC 的外接圆E 的方程为22(2)(2)5x y -+-=. 故答案为：22(2)(2)5x y -+-=.46．【详解】试题分析：由12l l ⊥，那么，解得：.考点：两条直线在一般式下垂直的充要条件的应用. 47．0或83【分析】利用已知条件得(1)0a b a +-=⎧⎪=，求解检验即可得解. 【详解】由题意得(1)0a b a +-=⎧⎪， 解得22a b =⎧⎨=-⎩或232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 经检验，两种情况均符合题意， ∴a ＋b 的值为0或83.故答案为：0或83.【点睛】方法点睛：形如直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=， 当l 1∥l 2时，A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0；当l 1⊥l 2时，A 1A 2＋B 1B 2＝0.48． 【详解】令(),P x y ,而点P 关于直线y x =的对称点为P '，所以(),P y x ',(),OP y x '=;而AQ OP '=,所以(),AQ y x =;而()1,1A ,所以()1,1Q y x ++;所以()1,1PQ y x x y =-+-+,2PQ =()222y x -+;而动点P 在圆221x y +=上,所以()202y x ≤-≤,所以()22226y x ≤-+≤,6PQ ≤,所以PQ 的取值范围是.故答案为. 49．7- 【详解】试题分析：由题意可知系数满足()()()()3542{38532a a a a ++=⨯+⨯≠-⨯，解方程得7a =-考点：两直线平行的判定 50．724【分析】由2()1f x og x =，()()f a f b k ==，得到1ab =，然后根据a ，b 范围画出其图像，找到MON∆面积最大的情况，求出此时MN 长度，及O 点到MN 的距离，从而计算出MON ∆面积的最大值. 【详解】 由题意，可知：1223b ≤≤，()f b ∴2211og b og b ==-． 又()()f a f b k ==，1a ∴>，()2211f a og a og a ∴==．()()f a f b =，2211og a og b ∴=-，即：2221110og a og b og ab +==，1ab ∴=．∴曲线C 的轨迹方程即为：1ab =．1223b≤≤，1ab=．∴322a≤≤，则曲线C的图象如图：MON∆面积要取最大值，∴当M、N为曲线C的两个端点时，MON∆面积最大，M∴点坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭，N点坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭．则直线MN的直线方程为：23323122223yx--=--，化简，得：2670x y+-=．MN⎛==⎝原点O到直线MN的距离d==MON∴∆面积的最大值为：1172224MN d⋅⋅==．故答案为724．【点睛】本题考查对数函数的图像与性质，两点间距离，点到直线的距离，题目涉及到的知识点较多，比较综合，属于中档题.51．()1,4【详解】设(,)P x y ' ，则21113(1,4)423122y x x P y y x -⎧⋅=-⎪=⎧⎪-⇒∴⎨⎨=++⎩⎪+⎩'=⎪ 52．3-或2 【详解】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 考点：两直线平行． 53．32 【分析】根据题意，由直线经过点(1,2)-，分析可得28a b -=，即82a b =+；进而可得824111224444a b bb b b+++=+=+，结合基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则有28a b -=， 即82a b =+；则82441112242432444a b bb b b b ++++=+=+⨯=，当且仅当2b =-时等号成立； 即124ab +的最小值是32；故答案为：32． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的一般式方程，属于中档题． 54．22-【详解】因为点(m 在圆224x y += 上,点9(,)n n 在曲线9y x= 上,所以本题转化为求圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间的最小值,如下图，作直线y x = 与它们的图象在第一象限交于A,B 两点，显然圆224x y +=与曲线9y x=的图象都关于直线y x =对称，所以AB 就是圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间距离的最小值,求出(3,3)A B ,所以222(3(322AB =+=-所以。
2021高中数学直线方程解答题专项训练(含解析)
2021直线方程解答题训练一、解答题1.（2020高二上·青铜峡月考）求符合下列条件的直线方程：（1）平行于直线3x+4y－12=0，且与它的距离是7的直线的方程；（2）垂直于直线x+3y－5=0，且与点P(－1，0)的距离是的直线的方程.2.（2020高二上·尚义期中）根据下列条件求直线的方程：（1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为2；（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等．3.（2020高二上·宣城期中）根据下列条件，求直线方程：（1）过点A ，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍；（2）经过点P 且在两坐标轴上的截距相等．4.（2020高二上·天津月考）根据条件，求出下列直线的方程：（1）经过点倾斜角为；（2）经过点，.5.已知直线过点，根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线的倾斜角等于；（2）直线在轴、轴上的截距之和等于0．6.（2020高一下·河北期末）求出满足下列条件的直线方程．（1）经过点且与直线垂直；（2）经过点且在两条坐标轴上的截距相等．7.（2020高二上·宜宾月考）求满足下列条件的直线的方程：（1）求与直线平行，且过点的直线方程；（2）已知正方形的中心为直线和的交点，其一边所在直线的方程为,求其他三边的方程.8.求分别满足下列条件的直线l的方程.（1）斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;（2）经过两点，;（3）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.9.（2020高二上·济宁月考）求适合下列条件的直线方程：（1）已知，，求线段的垂直平分线的方程；（2）求经过点并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程．10.（2021高二上·洮南月考）已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为（1）.求垂心H的坐标；（2）.若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．11.（2021高二上·北流开学考）已知直线过直线和的交点P．（1）若直线过点，求直线的斜率；（2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程．12.（2020高二上·古县期中）直线经过直线和直线的交点，且与直线垂直，求直线的方程.13.（2021高二上·抚松开学考）已知中，，，．（1）求中平行于边的中位线所在直线的一般式方程；（2）求边的中线所在直线的一般式方程．14.（2020高二上·湖北期中）求经过直线与直线的交点M，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线平行；（2）与直线垂直.15.（2020高二上·运城期中）已知直线l过点，根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线l的倾斜角为135°；（2）直线l在轴，轴上的截距之和为0.16.（2020高二上·绵阳期中）已知的顶点，直线的方程为边上的中线所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求边上的高所在直线方程．17.设直线l的方程为（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．18.（2020高二上·天津月考）已知直线与直线的交点为M.（Ⅰ）求过点M且与直线平行的直线l的方程；（Ⅱ）若直线过点M，且点到的距离为，求直线的方程.19.（2020高二上·上海期中）为已知实数，直线的方程为，直线的方程为.（1）讨论直线与的位置关系；（2）当直线与平行时，求这两条平行线的距离的最大值.20.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．21.（2020高二上·运城期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.（1）求边所在直线方程；（2）求过顶点且与平行的直线．22.（2020高一下·浙江期中）已知点和点．（Ⅰ）求线段的垂直平分线的直线方程；（Ⅱ）若直线过点，且，到直线的距离相等．求直线的方程．23.（2020高一下·大庆期末）已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程（要求最终结果都用直线的一般式方程表示）.（1）边上的高线的方程；（2）边的垂直平分线的方程.24.（2020高二上·济宁月考）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．25.（2020高二上·会昌月考）已知三边所在直线的方程为AB：，BC：，CA：，求AC边上的高所在的直线方程．26.（2020高一上·吉林期末）已知直线的方程为（Ⅰ）若直线与平行，且过点，求直线的方程；（Ⅱ）若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.27.（2021高二上·洮南月考）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，（1）.求反射光线所在的方程；（2）.在直线l上求一点P，使；（3）.若点Q在直线l上运动，求的最小值．28.（2021高二上·洮南月考）在中，已知（1）.若直线过点且点到的距离相等，求直线的方程；（2）.若直线：为的平分线，求直线的方程.29.（2020高二上·南昌期中）已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.（1）若与平行，求的值；（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.30.（2021高二上·北流开学考）已知一个动点P在圆上移动，它与定点所连线段的中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过定点的直线与点M的轨迹方程交于不同的两点，且满足，求直线l的方程．31.（2021高二上·南昌开学考）已知直线，.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离.32.（2021高二上·湖南月考）求满足下列条件的直线方程：（1）已知、、，求的边上的中线所在的直线方程；（2）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程.33.（2020高二上·嘉兴期中）已知直线：，直线：．（Ⅰ）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：由题可设所求直线为，则，解得或23，故所求方程为或；（2）解：由题可设所求直线为，则，解得或9，故所求方程为或.【解析】【分析】（1）利用两直线平行斜率相等结合平行线间的距离求解公式，从而结合已知条件求出平行于直线3x+4y－12=0，且与它的距离是7的直线的方程。
(2021年整理)直线与方程高考题
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直线与圆专题复习一 、直线方程的几种形式 ：1。
一般式：ax+by+c=0， a ≠0 2.点斜式：y-y1=k(x —x1) 3.斜截距式：y=k x + b 4。
两点式：121121x x x x y y y y --=--5．截距式：1=+bya x 6、点向式:2111v y y v x x -=- 7、点法式：0)()(11=-+-y y B x x A 二、圆的方程1、 圆的规范方程：()()222r b y a x =-+-2、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x 三、直线与直线关系、直线与圆的关系 1、 直线与直线平行的判断及其应用 2、直线与直线垂直的判断及其应用3、直线与直线相交的判断及其应用4、直线关于直线的对称直线的方程5、圆与圆的位置关系及其判断及应用6、直线与圆的位置关系及其应用 实战演练:1。
（安徽高考）直线过点(-1，2）且与直线23x y -+4=0垂直，则的方程是A ． B. C . D 。
2.(上海高考）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行,则K 得值是( ）（A ） 1或3 （B ）1或5 (C )3或5 （D ）1或23．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22,则m 的倾斜角可以是:①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是。
狂刷40 直线与方程-学易试题君之小题狂刷2021年高考数学(理)(解析版)
专题九 解析几何狂刷40 直线与方程1．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 A ．[)0,πB ．][π30,π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ0π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，【答案】B【解析】直线x sin α+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sin α， ∵﹣1≤sin α≤1，∴﹣1≤k ≤1， ∴倾斜角的取值范围是[0，π4]∪[34π，π）. 故选B ．【名师点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．求解时，由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．2．已知直线l 经过点()0,0O ，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是 A ．30x y +-= B ．30x y -+= C ．0x y +=D ．0x y -=【答案】C 【解析】直线l 与直线30x y --=垂直，∴直线l 的斜率为1-，则()00y x -=--，即0x y +=． 故选C ．【名师点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．由题意可求出直线l 的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．3．已知直线l 经过点212,M t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和点212,N t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．斜率为定值，但倾斜角不确定B ．倾斜角为定值，但斜率不确定C ．斜率与倾斜角都不确定D ．斜率为1-，倾斜角为135︒【答案】D【解析】由已知，直线MN 的斜率221141224t t t t k ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===----，所以直线MN 的倾斜角为135︒． 故选D.【名师点睛】本题考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力，属基础题.先根据斜率公式求斜率，再根据斜率求倾斜角.4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是 A．13 B．26 CD【答案】D【解析】∵直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则4m =， 将直线3230x y +-=的方程化为6460x y +-=， 则两条平行直线之间的距离为d故选D ．【名师点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题． 5．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=【答案】D【解析】根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点()1,2，所求直线方程为2y x =，整理为20x y -=； ②当直线不过原点时，设直线l 的方程为12x y a a +=，代入点()1,2的坐标得1212a a+=，解得2a =，此时直线l 的方程为124x y+=，整理为240x y +-=． 故直线l 的方程为20x y -=或240x y +-=. 故选D ．【名师点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．根据题意，分直线l 是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线l 的方程，即可得答案．6．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 的方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 【答案】A【解析】方法一：由直线l 的方程为10kx y k -++-=，即1(1)1y kx k k x =-+=-+，可知，直线l 恒过定点P （1,1），所以34,4AP BP k k =-=，数形结合可得，若直线l 与线段AB 相交，则k ≥34或k ≤－4.方法二：易求得线段AB 的方程为()513032x y y ++=-≤≤-，得513x y =--，由直线l 的方程得()119514111551514514514y y y y k x y y y +----===-=----++()11955514y =-++， 当1435y -≤<-时，15140y -≤+<，此时，()119455514k y =-+≤-+； 当1425y -<≤-时，05144y <+≤，此时，()1193555144k y =-+≥+. 因此，实数k 的取值范围是4k ≤-或34k ≥，故选A. 【名师点睛】本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 7．已知直线1x ya b+=经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是 A ．a b <B>C ．()()0b a b a -+>D ．11a b> 【答案】B【解析】直线1x ya b+=经过第一、二、三象限，则直线在x 轴的截距0a <，在y 轴的截距0b >， 由直线的斜率小于1可知：01ba<-<，结合0a <可得：0a b a <<<-，逐一考查所给的选项：由绝对值的性质可知：a b >，选项A 错误；>B 正确；由不等式的性质可得：0,0b a b a ->+<，则()()0b a b a -+<，选项C 错误；110,0a b <>，则11a b<，选项D 错误. 本题选择B 选项.【名师点睛】本题主要考查直线的截距式方程，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意首先确定a ，b 的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可. 8．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 的方程为 A ．210x y --= B ．1522y x =-+ C ．25y x =-D ．270x y +-=【答案】A【解析】由题意可知直线AC 和直线BC 关于直线1y x =+对称.设点(1,2)B -关于直线1y x =+的对称点为()00,B x y '，则有0000002111021122y x x y y x -⎧=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=+-⎩⎪=+⎪⎩，即(1,0)B '.因为(1,0)B '在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为101312k -==-，所以直线AC 的方程为11(3)2y x -=-，即210x y --=. 故A 正确.【名师点睛】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B 的对称点，再根据对称性质进行求解.解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解. 9．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为A．)10x y +=B．(10x y -=C．)10x y -=D．)10x y -=【答案】C【解析】如图所示可知)()((),11,1,1AB C D -，，，所以直线AB ，BC ，CD的方程分别为：(),11y x y x y x =-==+整理为一般式即：)10,x y +=(10,x y -=)10,x y -=分别对应题中的A 、B 、D 选项. 本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查直线方程的求解，圆的方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果. 10．已知实数m ，n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点___________. 【答案】12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】由已知得21n m =-，代入直线30mx y n -+=得3210mx y m -+-=， 即()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩，解得213x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线必过定点12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【名师点睛】将21n m =-代入直线30mx y n -+=得()()2310x m y ++--=，由20310x y +=⎧⎨--=⎩即可得结果.探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为(),(,)0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．若过点P(1－a，1＋a)与Q(4，2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．【答案】4,393⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】设直线的倾斜角为α，斜率为k，则2(1)1 tan4(1)3a a aka aα-+-===--+，又α为钝角，∴13aa-<+，即(1)(3)0a a-+<，故31a-<<，因为关于a的函数234m a a=-的对称轴为23a=，∴2222343(3)4(3) 33m⎛⎫⨯-⨯<⨯--⨯-⎪⎝⎭，∴实数m的取值范围是4,393⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率，根据两点坐标表示出直线的斜率，求出a的取值范围，进而得出实数m的取值范围.12．过两直线10x+=y+-的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.【答案】12x=或10x+=【解析】联立10xy⎧+=⎪+=可得交点为1(2.当直线斜率不存在时，x=12，到原点的距离等于12，符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为1()2y k x=-，即220kx y k-=，因为直线与原点的最短距离为1212=，解得k=，所以所求直线的方程为10x+=.所以本题答案为12x=或10x+=.【名师点睛】本题主要考查求两条直线交点坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.求解时，联立直线方程可求出直线的交点坐标，若所求直线的斜率不存在，则可根据交点坐标得到所求直线的方程，然后验证原点到此方程的距离是否等于12即可；若直线斜率存在时，根据点斜式写出直线方程，然后根据原点到直线的距离等于12就可求出直线的斜率，据此可得到满足题意的直线的方程.13．设a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行，则可得：()123a a -=⨯，解得3a =或−2.当3a =时，两直线分别为：3290x y ++=和3240x y ++=，满足平行； 当2a =-时，两直线分别为：30x y -+=和30x y -+=，两直线重合； 所以“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的充要条件. 故选C.【名师点睛】本题主要考查了两直线平行求参数值的问题，先由两直线平行解得a 的值，再通过检验是否重合可得3a =，从而得两命题的关系.已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则1212210l l A B A B ⇔-=∥，需检验两直线是否重合，属于易错题型.14．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线30mx y +-=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意可知，()cos ,sin P θθ是单位圆上的点，而直线30mx y +-=是过定点()0,3的直线（不含y 轴），原点（即圆心）到直线30mx y +-=的距离的最大值为3，∴点P 到直线30mx y +-=的距离的最大值为3＋1＝4． 故选D ．【名师点睛】本题考查点到直线的距离，利用几何意义求解，点P 在单位圆上，直线是过定点()0,3的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．但在求最大值时，不用点到直线距离公式求出距离，而是借助几何意义求解，点P 在单位圆上，直线是过定点()0,3的直线，求出圆心到直线距离的最大值，然后加上半径1即可．而圆心到定点的距离就是当直线变化时，圆心到直线距离的最大值，这可由直角三角形的性质直接得出．这种方法简单易行，值得提倡．15．曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是 A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】当0x ≥，0y ≥时，由13y =得13y -=，该射线所在直线的倾斜角为π3；当0x ≤，0y ≥时，由13y =得13y +=，该射线所在直线的倾斜角为2π3；当0x ≤，0y ≤时，由133y x -=得133y -=，该射线所在直线的倾斜角为π3； 当0x ≥，0y ≤时，由133y x -=得133y --=，该射线所在直线的倾斜角为2π3.作出曲线13y =的图象如下图所示：由图象可知，要使得过原点的直线l 与曲线13y -=没有交点， 则直线l 的倾斜角α的取值范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选A ． 【名师点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.求解时，作出曲线13y -=的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线l 在绕着原点旋转时，直线l 与曲线13y =没有交点时，直线l 的倾斜角α的变化，由此得出α的取值范围.16．已知点()11A ，和点()44B ，，P 是直线10x y -+=上的一点，则PA PB +的最小值是A ． BCD ．【答案】D【解析】如下图所示：点()11A ，，关于直线l ：10x y -+=的对称点为C （0，2），连接BC ，此时PA PB +的最小值为BC ==故选D ．【名师点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题．17．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A 12BC ，12D ，14【答案】A 【解析】a b ，是方程20x x c ++=的两个实根，1a b ∴+=-，ab c =，∵两条直线之间的距离d =()2241422a b abcd +--∴==， 108c ≤≤，11412c ∴≤-≤，21142d ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为2，12. 故选A.【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c ，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.利用方程的根，求出a b c ，，之间的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值即可.18．过点()3,0P -作直线()()2120x y λλλ+++=∈R 的垂线，垂足为M ，已知点()3,2N ，则当λ变化时，MN 的取值范围是A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡+⎣C ．5,5⎡⎣D ．5⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】直线()()2120x y λλλ+++=∈R ，即()()220x y y λ+++=， 由2020x y y +=⎧⎨+=⎩，求得12x y =⎧⎨=-⎩，直线经过定点()1,2Q -．如图，由PQM △为直角三角形，斜边为PQ ，M 在以PQ 为直径的圆上运动， 可得圆心为PQ 的中点()1,1C --，半径为152r PQ ==，则()2,3N 与M 的最大值为||5NC r +==，()2,3N 与M 的最小值为||5NC r -==故MN 的范围为：5⎡-⎣.故选B ．【名师点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．化已知直线为()()220x y y λ+++=，即有20x y +=且20y +=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为 A ．(－4，0)B ．(－3，-1)C ．(－5，0)D ．(－4，-2)【答案】A 【解析】设C (m ，n )，由重心公式，可得△ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭， 代入欧拉直线有：242033m n ++-+=，整理得m －n ＋4＝0 ①. AB 的中点为(1，2)，k AB ＝4002--＝－2， AB 的中垂线方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得：11x y =-⎧⎨=⎩，所以△ABC 的外心为(－1，1)，外心与点B 的距离：d ==外心与点B 的距离与外心与点C 的距离相等，则(m ＋1)2＋(n －1)2＝10，整理得m 2＋n 2＋2m －2n ＝8 ②， 联立①②，可得m ＝－4，n ＝0或m ＝0，n ＝4.当m ＝0，n ＝4时，B ，C 两点重合，舍去，当m ＝－4，n ＝0时满足题意.所以点C 的坐标为(－4，0)．本题选择A 选项.【名师点睛】本题主要考查直线方程的应用，三角形的中心坐标公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.设点的坐标为C (m ，n )，由重心公式得到关于m ，n 的方程，然后利用外心与点B 的距离及外心与点C 的距离相等得到关于m ，n 的方程，两方程联立即可确定顶点C 的坐标. 20．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，P Q ，分别在线段AB BO ，上运动，则MPQ△的周长的最小值为A ．4B ．5C ．D 【答案】C【解析】过()()3,0,0,3A B 两点的直线方程为30x y +-=， 设()10M ，关于直线30x y +-=对称的点为(),N x y ，则11113022y x x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即()32N ，， 同理可求()10M ，关于O 对称的点为()10E -，， 当N P Q E ，，，共线时，MPQ △的周长MQ PQ QM NP EQ PQ ++=++取得最小值，为NE ==故选C ．【名师点睛】本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题. 21．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为__________．【答案】8【解析】设直线(21)210a x y -+-=的斜率为1k ，直线20x by +-=的斜率为2k ， 1212a k -∴=-，21k b =-， 两条直线垂直，12211()()12a k k b -∴=--=-，整理得：2()1a b +=， 11112228b a a b a b a b a b∴+=+⋅+=++≥()()()，当且仅当14a b ==时等号成立， ∴11a b+的最小值为8. 【名师点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.22．若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．【答案】2或12【解析】作出不等式组30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域如图所示：可行域是等腰三角形，平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是点B 到AC 的距离，它们的斜率是2，求得A （2，1），B （1，2），点A 到BC=，点B 到AC=，所以A 到BC 的距离也是最小值，平行线的斜率为12. 故答案为2或12． 【名师点睛】本题主要考查平面区域的作法，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[【解析】设直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，点P 的坐标为(,)x m x -， 则(1,),(1,)MP x m x NP x m x =+-=--，因为PM PN ⊥，所以MP NP ⊥，由向量数量积的坐标公式可得，(1)(1)()()0x x m x m x +-+--=222210x mx m ⇒-+-=， 由题意可知该方程有实根，即22(2)8(1)0m m ∆=---≥，解得m ≤≤【名师点睛】本题考查了转化法、方程思想.求解时，设出点P 的坐标为(,)x m x -，由PM PN ⊥，可以转化为MP NP ⊥，根据平面向量数量积的坐标表示公式可得到一个关于x 的一元二次方程，只要该方程的判别式大于等于零即可，解不等式最后求出实数m 的取值范围.24．已知点P 是函数32y x x =+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为__________．【解析】设0003(,)2P x x x +，则点0003(,)2P x x x +到直线210x y ++=的距离为：00000332()131255x x x x x d +++++==，因为0033(,6][6,)x x +∈-∞-+∞0033+1(,5][7,)x x ⇒+∈-∞-+∞0033+1[5,)x x ⇒+∈+∞，所以min d ==. 【名师点睛】本题考查点到直线的距离公式、对勾函数的最值，属于基础题.求解时，将P 点设出来，利用点到直线的距离公式表示出点P 到直线210x y ++=的距离，再求最小值即可.。
狂刷40 直线与方程-学易试题君之小题狂刷2021年高考数学(理)(原卷版)
专题九 解析几何狂刷40 直线与方程1．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 A ．[)0,πB ．][π30,π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ0π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，2．已知直线l 经过点()0,0O ，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是 A ．30x y +-= B ．30x y -+= C ．0x y +=D ．0x y -=3．已知直线l 经过点212,M t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和点212,N t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．斜率为定值，但倾斜角不确定B ．倾斜角为定值，但斜率不确定C ．斜率与倾斜角都不确定D ．斜率为1-，倾斜角为135︒4．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是A ．13 B ．26 C ．41313D ．713265．已知直线l 过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．20x y -=或220x y +-=D ．20x y -=或240x y +-=6．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 的方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤7．已知直线1x ya b+=经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是A ．a b <B >C ．()()0b a b a -+>D ．11a b> 8．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 的方程为 A ．210x y --= B ．1522y x =-+ C ．25y x =-D ．270x y +-=9．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆222x y +=的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在的直线为A ．)10x y +=B ．(10x y -=C ．)10x y -=D ．)10x y -=10．已知实数m ，n 满足21m n -=，则直线30mx y n -+=必过定点___________.11．若过点P (1－a ，1＋a )与Q (4，2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．12．过两直线10x +=0y +-的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.13．设a ∈R ，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线30mx y +-=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．415．曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是A ．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知点()11A ，和点()44B ，，P 是直线10x y -+=上的一点，则PA PB +的最小值是A ． BCD ．17．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A 12B C ．2，12D ．24，1418．过点()3,0P -作直线()()2120x y λλλ+++=∈R 的垂线，垂足为M ，已知点()3,2N ，则当λ变化时，MN 的取值范围是A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡+⎣C ．5,5⎡⎣D ．5⎡⎤-⎣⎦19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为 A ．(－4，0) B ．(－3，-1) C ．(－5，0)D ．(－4，-2)20．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，P Q ，分别在线段AB BO ，上运动，则MPQ△的周长的最小值为 A ．4 B ．5C ．D21．已知0,0a b >>，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为__________．22．若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是__________． 24．已知点P 是函数32y x x=+的图象上的一点，则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为__________．。
2021年高考数学大一轮总复习 9.1 直线方程高效作业 理 新人教A版
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的倾斜角为α，则cosα的值是( )A．3 B．－13C.31010D．－31010解析：与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的斜率为－13，即tanα＝－13，所以sinαcosα＝－13，又sin2α＋cos2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cosα＝－31010.答案：D2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1解析：由题意得a＋2＝a＋2a，解得a＝－2或a＝1.答案：D3．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A ．3x －5y ＋10＝0B ．3x －4y ＋8＝0C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0解析：设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.答案：D4．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3. 答案：C5．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则a 等于( )A ．2B ．1C.45D.53解析：设点C (x ，y )，由于AC →＝2CB →， 所以(x －7，y －1)＝2(1－x,4－y )， 所以有⎩⎨⎧x －7＝2－2x ，y －1＝8－2y⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.又点C 在直线y ＝12ax 上，所以有3＝32a ，a ＝2.答案：A6．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0解析：易知A (－1,0)，∵|PA |＝|PB |， ∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上，∴B (5,0)． ∵PA 、PB 关于直线x ＝2对称，∴k PB ＝－1，∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k的取值范围是________．解析：∵k ＝tan α在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π上都是增函数，∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3，0)．答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，18．直线l ：x sin α－y ＋1＝0(α∈R )，则其倾斜角θ的取值范围是________． 解析：由题设得k ＝sin α∈[－1,1]，于是k ＝tan θ∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，∴θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．解析：设C (a ，b )(a <0，b <0)．OB 所在直线方程为4x －3y ＝0，则⎩⎨⎧|4a －3b |5＝|a |，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－3.∴C (－1，－3)．答案：(－1，－3)10．(xx·郑州质检)与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是________．解析：设直线l的方程为3x＋4y＝a(a≠0)，则直线l与两坐标轴的交点分别为(a3，0)，(0，a4)，∴12×|a3|·|a4|＝24，解得a＝±24.∴直线l的方程为3x＋4y＝±24.答案：3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·开封二模)已知直线：l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1， 要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A (－1＋2kk，0)，B (0,1＋2k )又－1＋2k k ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0，故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )＝12(4k ＋1k ＋4)≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.12．(xx·长春外国语学校月考)已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0＜a ＜2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值，并求最小值．解：两直线l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2(y－2)，都过点(2,2)，如图．设两直线l1，l2的交点为C，且它们的斜率分别为k1和k2，则k1＝a2∈(0,1)，k2＝－2a2∈(－∞，－12)．∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a2,0)．∴S四边形OACB＝S△OAC＋S△OCB＝12(2－a)×2＋12×(2＋a2)×2＝a2－a＋4＝(a－12)2＋154.∴当a＝12时，四边形OACB的面积最小，其值为154.13．(xx·北京东城高三综合练习)已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(－2,0)的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点．(1)若OP→·OQ→＝－12，求直线l的方程；(2)若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．解：(1)依题意，直线l的斜率存在，则可设直线l的斜率为k.因为直线l过点M(－2,0)，可设直线l：y＝k(x＋2)．因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1. 又因为OP →·OQ →＝－12，所以OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos ∠POQ ＝－12.所以∠POQ ＝120°.所以O 到直线l 的距离等于12.所以|2k |k 2＋1＝12，得k ＝±1515. 所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0. (2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MQ →＝2MP →， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)． 所以⎩⎨⎧x 2＋2＝2x 1＋2，y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝2x 1＋1，y 2＝2y 1.(*)因为P ，Q 两点在圆上，所以⎩⎨⎧x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.把(*)代入得⎩⎨⎧x 21＋y 21＝1，4x 1＋12＋4y 21＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159，即k ＝±159.29004 714C 煌20159 4EBF 亿35255 89B7 覷x27218 6A52 橒24986619A 憚f37318 91C6 釆25432 6358 捘29812 7474 瑴31683 7BC3 篃)w34639 874F 蝏"。
2021届高考数学一轮温习 直线的方程练习 新人教A版必修2(1)
必修Ⅱ－08 直线的方程一、直线方程的几种形式：（1）一样式：已知,,x y A B 的系数分别为，,0A B （不同时为）（2）点斜式：已知点00(,),P x y k斜率为，那么方程为 .（3）斜截式：已知斜率为k y b ，直线在轴上的截距为，那么方程为 . （4）两点式：已知两点111222(,),(,)P x y P x y ，那么方程为 .（5）截距式：x a y b 直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为，那么方程为 二、注意：（1）各式的适用范围①对坐标平面内的任何直线都适用 . ②不能表示无斜率（垂直于x 轴）的直线. ③不能表示无斜率（垂直于x 轴）的直线. ④不能表示平行或重合于两坐标轴的直线.⑤不能表示平行或重合于两坐标轴的直线及过原点的直线 （2）特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：(b 为常数）；平行于y 轴的直线：(a 为常数）.3、两条直线“平行或垂直”的判定（1）直线l1∥l2 或重合⇔倾斜角 ⇔有斜率时 ，或都无斜率；（2）直线l1∥l2 ⇔有斜率时k1=k2且y 轴上的截距不同，或都无斜率且x 轴上的截距不同； （3）直线l1⊥l2 ⇔有斜率时 ，或一条有斜率k1=0另一条无斜率.（4）若11112222:0,:0l Ax B y C l A x B y C ++=++= 假设A 一、A 二、B 一、B2都不为零：①l1⇔1⊥⇔⇔⇔y kx b=+221y y +221x x +1212x x y y --221x x +(5,0),(3,3),(0,2)A B C --BC （2）一条光线从点(3,2)A 发出，经x 轴反射，通过点(1,6)B -，求入射光线和反射光线所在的直线方程.（3）一条直线通过点(2,3),2A y x -=并且它的斜率等于直线的斜率的倍，求这条直线方程. 已知两条直线： l1:(31)(1)220m n x m y m +-+--+=l2:(32)(1)10m n x m y m -+++-+=别离求以下条件下的m ，n 的值.⑴直线l1⊥l2 ，且直线l1通过点（0，-1）； ⑵直线l1∥l2 ，且坐标原点到这两条直线的距离相等.例3 已知点P 在直线l ： 0x y -=上，两点A （-2，1），B （1，2）； （1） 求使|PA|+|PB|取得最小值的点P 的坐标； （2） 求使|PA|-|PB|取得最大值的点P 的坐标。
2021年高考数学《直线及其方程》专题复习检测卷(含答案)
2021年高考数学《直线及其方程》专题复习检测卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本题有12小题，每小题5分，共60分）130y --=的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线l 过点（1，2），且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．250x y +-=B ．250x y ++=C ．20x y -=或250x y +-=D ．20x y -=或230x y -+=3．已知(,0),(,0)A c B c -，直线1x +=上存在唯一点P ，使得||PA =，则c 的值为（ ） A ．1-B ．1-或15C ．1或15-D ．15-4．过点（5，2），且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --=D ．210x y --=或250x y -=5．与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（ ）． A ．220x y B ．220x y --= C ．220x y -+= D ．220x y --=6．已知三点(),1A m ，()4,2B ，()4,2C m -在同一条直线上，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．5C ．0或5D ．0或-57．直线103x y +-=的倾斜角为（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒8．直线10ax y -+=与连接()2,3A ，()3,2B -的线段相交，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1][3,)-∞-⋃+∞B ．[]1,3-C ．1,[1,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．过点(3,2)P -且倾斜角为2π的直线方程是（ ） A ．2x =-B ．3x =C ．2y =-D ．3y =10．已知直线1l ：+10x my +=与直线2l ：320mx y m --+=分别过定点A ，B ，且交于点P ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A B ．5C ．8D ．1011．直线1l :260ax y ++=与直线2l :2(1)10x a y a +-+-= 平行，则a 的值为（ ）A ．2a =-或1B ．1a =-C ．2或1a =-D ．212．已知点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称，则,a b 的值分别为（ ） A ．1，3 B ．12-，32-C ．-2，0D ．12，52-二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．经过点12,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且在坐标轴上截距相等的直线方程为________.14．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线:30l x my m --=与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是___________.15．已知△ABC 的三个顶点分别为A (2，3)，B (-1，-2)，C (-3，4)，则BC 边上的中线AD 所在的直线方程为_____16．若直线10x y -+=与直线310mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为__________．三、解答题（本题有6小题，共70分）17．（10分）已知直线1l ：60x my ++=和2l ：(2)320m x y m -++=，分别就下列条件求出实数m 的值.（1）直线1l 与2l 垂直； （2）直线1l 与2l 平行.18．（12分）已知点(2,2)A ，直线:320l x y -+=． （1）求A 点到直线l 距离；（2）求过点A 且与直线l 平行的直线的方程．19．（12分）已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=.（1）求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距高为85； （2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程.20．（12分）已知直线l ：120kx y k -++= (k ∈R ). （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．21．（12分）如图，ABC 中，顶点(1,2)A ，BC 边所在直线的方程为310x y ++=，AB 边的中点(0,1)D .（1）求AB 边所在直线的方程；（2）若AC BC =，求AC 边所在直线的方程.22．（12分）已知直线l 经过点()2,4P -.（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程.参考答案1．B 【分析】根据直线方程得到直线的斜率后可得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率k =60°． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关已知直线求倾斜角的问题，解题的关键点是正确理解直线的斜率与倾斜角α的关系是：tan ,[0,)(,)22k ππααπ=∈，当2πα=时，直线的斜率不存在，注意倾斜角的范围. 2．C 【分析】当直线过原点时设直线l 的方程为y kx =，当直线不过原点时，设直线的方程为12x yb b+=，分别将点()1,2代入可得答案. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l 的方程为y kx =，把点()1,2代入方程，得2k =，即2k =，所以直线的方程为20x y -=； 当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为12x yb b+=， 把点()1,2代入方程，得1212b b +=，即52b =， 所以直线的方程为250x y +-=． 故选：C ． 3．B 【分析】设0P x ⎛ ⎝，由||PA PB =得()()22003214210x c x c -+++=，然后根据方程只有一个解可得答案. 【详解】设0P x ⎛ ⎝，由||PA PB =得，=整理得()()22003214210x c x c -+++=，因为直线1x =上存在唯一点P ，所以整理后的方程只有一个解， 即()()2241412210c c ∆=+-+=，解得1c =-或15c =. 故选：B. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，解题的关键点是利用方程只有一个解这个条件，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 4．B 【分析】根据截距是否为零分类讨论后可求直线方程. 【详解】若截距为零，则直线过原点，故此时直线方程为25y x =即250x y -=， 若截距不为零，设直线方程为：12x ya a +=，代入点()5,2可得：5212a a+=， 故6a =，故直线方程为2120x y +-=， 故选：B. 5．A 【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由题得所求直线的斜率为12， ∴所求直线方程为10(2)2y x -=+， 整理为220x y ．故选：A 【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）. 6．C 【分析】根据()4,2B ，()4,2C m -知直线斜率存在，利用斜率相等求解. 【详解】因为三点(),1A m ，()4,2B ，()4,2C m -在同一条直线上，且直线斜率存在，所以212244(4)mm --=---， 解得0m =或5m = 故选：C 7．D 【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk 求解倾斜角.【详解】10x y +-=的斜率=k -tan [0,180)o o k θθ∴==∈， ∴150θ︒=. 故选：D 8．C 【分析】直线恒过定点()0,1，数形结合即可求解. 【详解】直线10ax y -+=恒过定点()0,1， 如图，由31120AC k -==-，211303BC k -==---， 则直线10ax y -+=与连接()2,3A ，()3,2B -的线段相交， 即1y ax =+与连接()2,3A ，()3,2B -的线段相交， 所以a 1,[1,)3⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C 9．B 【分析】根据直线垂直于x 轴求解即可. 【详解】 倾斜角为2π，直线垂直于x 轴，直线方程为3x = 故选：B 10．D 【分析】先根据直线方程求出,A B 的坐标，再根据两条直线垂直得到22+=20PA PB ，利用基本不等式可求PA PB ⋅的最大值. 【详解】因为1l ：+10x my +=，故()1,0A -， 因为2:l 320mx y m --+=，故()3,2B，因为()110m m ⨯+⨯-=，故12l l ⊥，故222+=20PA PB AB =， 因为22+2PA PB PA PB ≥⋅，故10PA PB ⋅≤，当且仅当PA PB == 故PA PB ⋅的最大值为10， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于含参数的直线的方程，注意挖掘它们隐含的条件与关系，如直线过定点或直线之间彼此平行或垂直.利用基本不等式求最值时注意对取等条件的验证. 11．B 【分析】根据直线平行关系可得方程组，解方程组求得结果. 【详解】因为直线1l ：260ax y ++=与直线2l ：()()2110x a y a +-+-=平行，所以()()()21202161a a a a ⎧--=⎪⎨-≠-⎪⎩ ，解得1a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数值，易错点是忽略直线不能重合，造成增根. 12．B 【分析】点,A B 关于直线0ax y b ++=对称，则利用垂直关系，以及线段AB 的中点在直线0ax y b ++=上，列式求解.【详解】40202AB k -==--，若点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称， 则直线AB 与直线0ax y b ++=垂直，直线0ax y b ++=的斜率是a -， 所以()()21a -⋅-=-，得12a =-. 线段AB 的中点()1,2在直线0ax y b ++=上，则20a b ++=，得32b =- 故选:B13．04=+y x 或302x y ++= 【分析】分截距为0时和截距不为0时两类讨论，分别求出直线的方程可得答案． 【详解】当截距为0时，即直线过原点时，设该直线的方程为y kx =，把12,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入y kx =得，14k =-，此时方程为14y x =-直线方程为04=+y x ；当截距不为0时，设直线方程为1x y a a +=，则1221a a-+=，解得32a =-，所以直线方程为302x y ++=.综上，直线方程为04=+y x 或302x y ++=.故答案为：04=+y x 或302x y ++=14．[1,3]- 【分析】确定直线l 过定点(0,1)P -，求出直线,PA PB 的斜率，由直线与线段相交得出斜率的不等关系，从而可得结论，注意分类讨论． 【详解】0m =时，直线l 与线段AB 相交，0m ≠时，直线l 的斜率为3k m =， 易知直线:30l x my m --=过定点(0,1)P -，又2(1)310PA k --==---，1(1)120PB k --==-， 而线段AB 上点的横坐标x 满足12x -≤≤， ∴33m ≤-或31m≥，解得10m -≤<或03m <≤， 综上[1,3]m ∈-．故答案为：[1,3]-15．240x y -+=【分析】求出D 的坐标后可得AD 的直线方程.【详解】D 的坐标为()2,1-，故AD 的斜率为()311222-=--， 故直线AD 的方程为()1121222y x x =++=+即240x y -+=， 故答案为：240x y -+=16．3【分析】直接利用两直线垂直，求出m .【详解】因为直线10x y -+=与直线310mx y +-=互相垂直，所以30m -=，解得：3m =故答案为：3【点睛】若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1A 2+B 1 B 2=0,两直线垂直. 17．（1）12（2）1- 【分析】(1）由已知条件利用直线与直线垂直的条件直接求解；(2）由已知条件利用直线与直线平行的条件直接求解.【详解】（1）1l ：60x my ++=和2l ：(2)320m x y m -++=垂直(2)130m m ∴-⨯+=， 解得12m =（2）1l ：60x my ++=和2l ：(2)320m x y m -++=平行，(2)130m m ∴--⨯=且2216m m -≠， 解得1m =-18．（1）5；（2）340x y --=. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式计算即可得解；（2）方法一：根据已知设直线为3y x n =+，点(2,2)A 代入即可得解，方法二：设过点A 且与直线l 平行的直线方程为30x y n -+=，点(2,2)A 代入即可得解.【详解】（1）设点A 到直线l 的距离为d ，则d ==（2）方法一：∵直线l 的斜率3k =，设过点A 且与直线l 平行的直线方程为3y x n =+，把点A 的坐标代入可得4n =-，∴过点A 且与直线l 平行的直线方程为340x y --=.方法二：设过点A 且与直线l 平行的直线方程为30x y n -+=,把点A 的坐标代入可得：620n -+=，解得4n =-,∴过点A 且与直线1l 平行的直线方程为340x y --=.19．（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-=【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值.【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=，所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===， 解得3n =或19n =， 所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-，因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+=△，当且仅当2k =-时等号成立，故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.20．（1）证明见解析；（2）4，240x y -+=.【分析】（1）将直线化简为(2)(1)0k x y ++-=，即可求得定点，即可得证；（2）根据l 的方程，可求得A ，B 的坐标，代入面积公式，即可求得面积S 的表达式，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：直线l 的方程可化为(2)(1)0k x y ++-=，令20x +=，则10y -=，解得2,1x y =-=，∴无论k 取何值，直线总经过定点(2,1)-.（2）由题意可知0k ≠，再由l 的方程，得12(,0)k A k+-，(0,12)B k +． 依题意得：120120k k k +⎧-<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >． ∵21112(12)12222k k S OA OB k k k++=⋅⋅=⋅+=111(44)4)422k k =++≥⨯=. 当且仅当140k k =>，即12k =时取等号， ∴min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=．21．（1）10x y -+=；（2）350x y +-=.【分析】（1）求出AB 边的中点坐标，由直线的两点式方程可得答案；（2）因为AC BC =，所以点C 在线段AB 的中垂线10x y +-=上，与310x y ++=联立可得C 点坐标，由直线的两点式方程可得答案.【详解】（1）因AB 边的中点为(0,1)D ，∴AB 边所在直线的方程为120112x y --=--， 即10x y -+=.（2）因AC BC =，所以点C 在线段AB 的中垂线10x y +-=上，由10310x y x y +-=⎧⎨++=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即C 的坐标为(2,1)-，又点(1,2)A ，AC ∴边所在直线的方程为122112x y --=---， 即350x y +-=.22．（1）2x =-或34100x y +-=；（2）4y =.【分析】（1）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =-，符合条件.当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=+，由点到直线l 的距离公式求得k 值，则直线方程可求； （2）设直线l 夹在直线1l ，2l 之间的线段为AB (A 在1l 上，B 在2l 上)，用点A 的坐标表示出点B 坐标，根据A 在1l 上，B 在2l 上，求得点A 的坐标，即可求得直线方程.【详解】（1）①直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =-，符合条件.②直线l 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=+，由原点到直线l 的距离为242k ，解得34k =-. 故直线l 的方程为()3424y x -=-+， 即34100x y +-=. 综上，所求直线l 的方程为2x =-或34100x y +-=. （2）设直线l 夹在直线1l ，2l 之间的线段为AB (A 在1l 上，B 在2l 上)， A B ，的坐标分别设为()11,x y ，()22,x y ， 因为AB 被点P 平分，所以124x x +=-，128y y +=， 即214x x =--，218y y =-.由于A 在1l 上，B 在2l 上，即1111220,70,x y x y --=⎧⎨+-=⎩ 解得13x =，14y =，即A 的坐标是()3,4， 故直线l 的方程是4y =.。
2021年高考数学一轮复习《直线方程》精选练习(含答案)
2021年高考数学一轮复习《直线方程》精选练习一 、选择题1.k 是直线l 斜率，θ是直线l 倾斜角，若30°≤θ<120°，则k 取值范围是（ ）A.333≤≤-k B.133≤≤k C.3-<k 或33≥kD.33≥k2.直线l 1: ax+2y –1=0与直线l 2: x+(a –1)y+a 2=0平行，则a 的值是（ ）A.–1B.2C.–1或2D.0或1 3.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( )A. B.C.-D.-4.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点( )A.(1,-3)B.(4,3)C.(3,1)D.(2,3) 5.a=41是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.实数x,y 满足3x-2y-5=0(1≤x ≤2),则yx 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞- B.1[1,]4- C.1[0,]4 D.1[,)4+∞7.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4=0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )A ．y=3x ＋2B ．y=3x －2C ．y=3x ＋12D ．y=－3x ＋28.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1=0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 9.已知直线l 1：(k-3)x ＋(3-k)y ＋1=0与直线l 2：2(k-3)x-2y ＋3=0垂直，则k 的值是( )A.2B.3C.2或3D.2或-3 10.以A(1,3)，B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A.3x-y-8=0B.3x ＋y ＋4=0C.3x-y ＋6=0D.3x ＋y ＋2=011.直线l 过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) .A.3x －y －5=0B.3x －y ＋5=0C.3x ＋y ＋13=0D.3x ＋y －13=0 12.抛物线y=-x 2上的点到直线4x ＋3y-8=0距离的最小值是( )A.34 B.57 C.58 D.320 13.两条平行线l 1：3x ＋4y-2=0，l 2：9x ＋12y-10=0间的距离等于( )A.57 B.157 C.154 D.32 14.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上，则的最小值为( )A.B.C.16D.不存在15.设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2=0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞二、填空题16.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x ＋y －b=0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 . 17.记直线l ：2x －y ＋1=0的倾斜角为α，则1sin2α＋tan2α的值为 .18.已知直线ax+by=1经过点(1,2)，则2a +4b 的取范围是 19.已知x ＋y －3=0，则22)1()2(++-y x 的最小值为________． 20.直线22:101al x y a +-=+（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是 . 21.点P(a,b) 在直线x+y+1=0 上，则的最小值为三、解答题22.已知△ABC 的三个顶点A(4，-6)，B(-4,0)，C(-1,4)，求(1)AC 边上的高BD 所在直线方程； (2)BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程； (3)AB 边的中线的方程．23.已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.（1）证明：直线恒过定点M ；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程.24.过点P(4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点.(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l 的方程.25.实系数方程f(x)=x 2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，求：(1)12--a b 的取值范围； (2)(a-1)2+(b-2)2的取值范围. （3）a+b-3的值域.答案解析26.C ； 27.B 28.A 29.C ；解析：2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由解得则直线过定点(3,1),故选C.30.A ；解析：由直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直得(a+1)(a-1)+3a ×(a+1)=0,解得a=0.25或a=-1.∴“a=0.25”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的充分而不必要条件.故选A. 31.B32.答案为：A.解析：因为直线x －2y －4=0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y=3x ＋2. 33.答案为：B ；解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 34.C; 35.B; 36.D 37.A ； 38.C ； 39.B 40.答案为：B.解析：易知直线ax ＋y ＋2=0过定点P(0，－2)，k PA =－52，k PB =43，设直线ax ＋y ＋2=0的斜率为k ，若直线ax ＋y ＋2=0与线段AB 没有交点，根据图象(图略)可知－52＜k ＜43，即－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.41.答案为：[－2,2]；解析：b 为直线y=－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y=－2x ＋b 过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[－2,2].42.答案为：－112；解析：∵直线l ：2x －y ＋1=0的斜率为2，∴tan α=2，∴sin2α=2sin αcos αsin 2α＋cos 2α=2tan α1＋tan 2α=2×21＋22=45，tan2α=2tan α1－tan 2α=2×21－22=－43，∴1sin2α＋tan2α=54－43=－112. 43.答案为：［，+).44.答案为：45.答案：3[,]44ππ.46.答案为：；47.48.解：49.解：设直线l ：x a ＋yb=1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P(4,1)，所以4a ＋1b=1.(1)因为4a ＋1b=1≥24a ·1b =4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a=8，b=2时等号成立，所以当a=8，b=2时，S △AOB =12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2=1，即x ＋4y －8=0.(2)因为4a ＋1b=1，a ＞0，b ＞0，所以|OA|＋|OB|=a ＋b=(a ＋b)·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b =5＋a b ＋4b a ≥5＋2 a b ·4b a =9， 当且仅当a=6，b=3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3=1，即x ＋2y －6=0.50.。
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考点40 直线方程【题组一 斜率与倾斜角】110y -+=的倾斜角为 。
2．直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________.3．已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ，(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为_______．【题组二 直线方程】1．过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．“直线:21l y kx k =+-在坐标轴上截距相等”是“1k =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【题组三 直线的位置关系】1．设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()23220l m x my -+-=：，若12l l //，则实数m 的值( )A ．2B ．1C ．1或2D ．0或133．已知直线:3210p x y -+=，直线:(1)0q ax b y +-=，且p ∥q ，若,a b 均为正数，则23a b +的最小值是（ ）A ．253B ．83C ．8D ．244．14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）. A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【题组四 距离问题】1．直线110l x y -+=：与直线250l x y -+=：之间的距离是______．2．点P 是曲线22ln 0x y --=上任意一点，则点P 到直线4410x y ++=的最小距离是（ ）A ．ln 2)2- B ．(1ln 2)2+ C ．1ln 2)22+ D ．1(1ln 2)2+【题组五 定点问题】1．方程30kx y +-=所确定的直线必经过的定点坐标是 ．2．对任意实数m ，直线30mx y m --+=恒过定点，则该定点的坐标为_________【题组六 对称问题】1．点()2,1P -关于直线:10l x y -+=对称的点P ´的坐标是A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,1-D ．()1,0-2．点(7,1)A -关于直线:250l x y --=对称点A '的坐标是________．3．直线3450x y -+=关于点(2,3)M -对称的直线的方程为_________.4．已知直线:2310l x y -+=，点(1,2)A --.求：（1）直线l 关于点(1,2)A --对称的直线l '的方程；（2）直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程.5．圆22:1C x y +=关于直线:1l x y +=对称的圆的标准方程为__． 如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A 等于60度直接假设B 和C 都等于60°带入求解。
省时省力！4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。
如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简单！6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！考到概率超小7.选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运气，文科可以试试。
）9.遇到这样的选项A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是D因为B可以看作是2/2 前面三个都是出题者凑出来的如果答案在前面3个的话D应该是2(4/2).数学无耻得分综合篇！做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
填空题也是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否用特殊值代入法以及特例求解法。
选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不要有马虎的地方。
大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。
求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。
这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。
理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。
如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。
第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。
计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。
理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。
第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。
求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数/所有可能的个数；理科用排列组合算数。
独立性检验根据公式算K方值，别算错数了，会查表，用1减查完的概率。
回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x平均，y平均）点满足直线方程。
理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是1，不是1说明要不你概率算错了，要不随机变量数少了。
第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时注意与定义域取交。
看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二次函数的比较多，讨论开口a=0、a<0、a>0和后两种情况下delt<=0、delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的运用。
证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、理科的数学归纳法）。
多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结论。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。
第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。
一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。
第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住我说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否存在。
第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系，如b=5k+7，然后将b代入到直线方程y=kx+5k+7=k（x+5）+7即可找出定点（-5,7））、定值问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。
）、最值或范围问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域—别忘了delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求出来了）。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。