厦门市2020届高三市质检理科数学模拟试题

厦门市2020届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）模拟试题完卷时间：3月8日 2:30-4:30 满分：150分一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知{}1A x x =≤,21()02B x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭≤,则A C B ⋂=RA. []1,1-B. φC. 111,,122⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. ()1,1- 2.设i 3z =-+，则z z +=A. i 3-+B. i 3++C.i 3-++D. i 3--+3.中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会.这22名中随机抽取3人, 则这3人中中国选手恰好1人的概率为A. 2257B. 191540C. 571540D. 17115404．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．1105.已知函数()e e xxf x -=+, 给出以下四个结论： (1) ()f x 是偶函数； (2) ()f x 的最大值为2；(3) 当()f x 取到最小值时对应的0x =；(4) ()f x 在(),0-∞单调递增,在()0,+∞单调递减.正确的结论是A. (1)B. (1)(2)(4)C. (1)(3)D.(1)(4)6. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，M 为11B C 的中点，过M 作 平面α平行平面1A BD ，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为 A ．18B ．116C ．124D ．1487.设12e a -=,24e b -=,12e c -=,323e d -=,则,,,a b c d 的大小关系为A. c b d a >>>B. c d a b >>>C. c b a d >>>D. c d b a >>>. 8.函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期与最大值之比为A. πB. 2πC. 4πD. 8π9. 已知三角形ABC 为直角三角形,点E 为斜边AB 的中点, 对于线段AB 上的任意一点D 都有4CE CD BC AC ⋅=+=, 则CD 的取值范围是A. [2,26]B. )2,26⎡⎣C. 2,22⎡⎤⎣⎦D. )2,22⎡⎣10．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数)(x f y =，若112233(),(),()y f x y f x y f x ===，123x x x <<，则在区间[]13,x x 上)(x f 可以用二次函数))(()()(212111x x x x k x x k y x f --+-+=来近似代替，其中12121x x y y k --=，2323x x y y k --=，1312x x k k k --=.若令01=x ，2π2x =，3πx =，请依据上述算法，估算2πsin 5的近似值是A ．2524B ．2517C ．2516D ．5311.已知双曲线22221x y a b-=的右支与抛物线22x py =相交于,A B 两点,记点A 到抛物线焦点的距离为1d ,抛物线的准线到抛物线焦点的距离为2d ,点B 到抛物线焦点的距离为3d ,且123,,d d d 构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为A .22y x =± B.2y x =± C.3y x =± D.33y x =± 12. 已知方程()2e e 10x xx a --=只有一个实数根,则a 的取值范围是A.0a ≤或12a ≥B.0a ≤或13a ≥C.0a ≤D.0a ≥或13a -≤ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.()423x y +的展开式中二项式系数最大的项为 ▲ .14.高三年段有四个老师分别为,,,a b c d , 这四位老师要去监考四个班级,,,A B C D , 每个老师只能监考一个班级, 一个班级只能有一个监考老师. 现要求a 老师不能监考A 班,b 老师不能监考B 班,c 老师不能监考C 班,d 老师不能监考D 班,则不同的监考方式有 ▲ 种. 15.已知圆O :221x y +=, 圆N :()()2221x a y a -++-=. 若圆N 上存在点Q ,过点Q 作圆O 的两条切线. 切点为,A B ,使得60AQB ∠=,则实数a 的取值范围是 ▲ 16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3. 点N 是棱11A B 的中点,点T 是棱1CC 上靠近点C 的三等分点. 动点Q 在正方形11D DAA (包含边界)内运动, 且//QB 面1D NT ,则动点Q 所形成的轨迹的长度为 ▲三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. （12分）已知函数1()sin (cos sin )2f x x x x =-+. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a B a B b A =-，求()f A 的取值范围.OC B A C 1B 1A 118. (12分)在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB AC AA === 4BC =，O 为BC 的中点，1.AO ABC ⊥平面 （1）证明四边形11BB C C 为矩形；（2）求直线1AA 与平面11A B C 所成角的余弦值.19. (12分)根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布()280,25N ．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率． （2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入i x （千元）与年收益增量i y （千元）（1,2,3,,8i =⋅⋅⋅）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y a =+的附近，且46.6x =，563y =， 6.8t =，821()289.8i i x x =-=∑，821() 1.6i i t t =-=∑，()()811469i i i x x y y =--=∑， ()()81108.8i i i t t y y =--=∑，其中i t =，t =1881i i t =∑．根据所给的统计量，求y 关于x 的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量． 附：若随机变量()1,4Z N ～，则()570.9974P Z -<<=，100.99870.9871≈；对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20.（12分）在平面直角坐标系xOy 中， 圆22(16:1)A x y -+=，点(1,0)B -，过B 的直线l 与圆A 交于点,C D ，过B 做直线BE 平行AC 交AD 于点E ． （1）求点E 的轨迹τ的方程；（2）过A 的直线与τ交于H 、G 两点，若线段HG 的中点为M ，且2MN OM =，求四边形OHNG 面积的最大值．21．（12分）已知函数()ln 1f x x+ax+=有两个零点12,x x .（1）求a 的取值范围；（2）记()f x 的极值点为0x ，求证：1202()x x ef x +>.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．22．[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 下，曲线C 1的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线C 1在变换T ：⎩⎨⎧==,',2'y y x x 的作用下变成曲线C 2．（1）求曲线C 2的普通方程；（2）若m >1，求曲线C 2与曲线C 3：y =m |x |-m 的公共点的个数．23．[选修45-：不等式选讲]（10分）已知函数m x x x f -++-=|13||2|)(．（1）当m =5时，求不等式0)(>x f 的解集； （2）若当41≠x 时，不等式0|14|16)(>-+x x f 恒成立，求实数m 的取值范围．厦门市2020届高中毕业班高考适应性测试数学（理科）模拟试题答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C 7．B 8．C 9．C 10．A 11．A 12．A 【选择题详解】1. 解析:选C. []1,1A =-,12B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则R A C B ⋂=111,,122⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 2. 解析:选B. 3z i =+，则z z +=310i ++.3. 解析:选C.中国和巴西获得金牌总数为154,按照分层抽样方法,22名获奖代表中有中国选手19个,巴西选手3个.故12193322571540C C P C ==. 4．解析：选D.因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，又数列{}n a 的公差为2-，所以2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =，故20(1)(2)222n a n n =+-⨯-=-，所以1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=．5.解析:选C ，通过偶函数定义判断可知()f x 为偶函数，求导作出下图.6. 解析：选C ．分别取11D C ．1CC 中点E ．F ，易知平面EFM 平行于平面BD A 1，又平面α过点M ，平面α平行于平面BD A 1，所以平面EFM 与平面α是同一个平面，所以体积较小的几何体等于2411)21(21312=⋅⋅⋅. 7.解析:选B.3241e a e e ==,2416b e =,222444e c e e ==,249e d e=,由于 2.7e ≈,27.39e ≈,320.09e ≈,所以c d a b >>>.8. 解析:选C.去绝对值作出图象得函数最小正周期为2π,最大值为142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以最小正周期与最大值之比为4π.9. 解析:选 C.由已知可得4AB =，2CE AE BE ===.设=<,>CE CD θ.当D 与E 重合时,CE ⋅CD =22cos04⋅⋅=,符合题意;当D 与A 重合时,BDC θ∠=,4cos CD θ=,代入4CE CD ⋅=,得24cos cos 4θθ⋅⋅=,此时4πθ=.故04πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.此时由4CE CD ⋅=,得2cos 4CD θ⋅⋅=,即2cos CD θ=,结合04πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,22CD ⎡∈⎣.10．解析:选A.函数()sin y f x x ==在0x =，π2x =，πx =处的函数值分别为 0)0(1==f y ，2π()12y f ==，3(π)0y f ==，故π212121=--=x x y y k ，π22323-=--=x x y y k ，213124π-=--=x x k k k ，故2222444()()2f x x x x x x πππππ=--=-+， 即x x x ππ44sin 22+-≈，所以2524524)52(452sin22=⨯+⨯-≈πππππ.故选A ． 11. 解析:选A .设()11,A x y ,()22,B x y ,抛物线焦点为F .由已知有2AF BF p +=,即12y y p +=.由22112222222211x y a b x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.两式相减得()()2212121222y y y y x x a b -+-=, 即()()1212122222y y y y py py a b -+-=,故2212b a =,所以渐近线方程为y x =.12. 解析:选A.令,0,ln xt e t x t =>=.转化成()2ln 10t t a t --=,即1ln 0t a t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭令()1ln f t t a t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,显然()10f =问题转化成函数()f t 在()0,+∞上只有一个零点1()2/22111at t a f t a t t t -+-⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭若0a =,则()ln f t t =在()0,+∞单调递增,()10f =,此时符合题意； 若0a <,则()/0,f t >()f t 在()0,+∞单调递增,()10,f =此时符合题意； 若0,a >记()2,h t at t a =-+-开口向下,对称轴102t a=>，过()0,a -，214a ∆=-. 当0∆≤时,即2140,a -≤12a ≥时，()/0f t ≤，()f t 在()0,+∞单调递减，()10f =，此时符合题意；当0∆>时，即2140a ->，102a <<时，设()0h t =有两个不等实根12,t t ，120t t <<.又()10h >，对称轴112t a=>，所以1201t t <<<。