九年级数学上册 与圆有关的位置关系讲义 (新版)新人教版
初三数学上册点和圆的位置关系课件(新版)新人教版
•合作探究
• 3．如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离 OD＝6，在直线l上有A，B，C三点，AD＝6，BD＝8 ，CD＝9，问A，B，C三点与⊙O的位置关系是怎样 的？ • 点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用．
• 4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．
•合作探究
二、跟踪练习
•预习导学
• 一、自学指导
• 1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r. • 2.经过已知点A可以作无数个圆，经过两个已知点A， B可以作无数个圆，它们的圆心在线段AB的垂直平分线 上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作一个 圆． • 3．经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形的三条边垂直平分线的交点，叫 做这个三角形的外心． • 任意三角形的外接圆有一个，而一个圆的内接三角形 有无数个．
•点拨精讲：这里连接AO，要先证明AO垂直BC，或作AD⊥BC， 要证AD过圆心．
•合作探究
• 5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm， AD＝4 cm. • (1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B ，C，D与⊙A的位置关系怎样？ • (2)若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点 中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， 则⊙A的半径r的取值范围是什么？ • 解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在 ⊙A上；(2)3＜r＜5. • 点拨精讲：(2)问中B，C，D三点中至少有一 点在圆内，必然是离点A最近的点B在圆内； 至少有一点在圆外，必然是离点A最远的点C 在圆外．
•预习导学
•一、小组合作
• 1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ • (用反证法证明)
新人教版九年级数学上册《圆和圆的位置关系》课件
. A.
0
P
课堂练习
1. ⊙O1 和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米， 在下列条件下,求⊙O1 和⊙O2的位置关系：
（1）O1O2＝8厘米 （2）O1O2＝7厘米 （3）O1O2＝5厘米 （4）O1O2＝1厘米 （5）O1O2＝0.5厘米 （6）O1和O2重合
外离 外切 相交 内切 内含
∴ R=24 cm r=16cm ∵ 两圆相交 R-r<d<R+r ∴ 8cm<d<40cm
思考题 已知⊙01和⊙02的半径分别为R和r(R>r),
圆心距为d,若两圆相交,试判定关于x的方
程x2-2(d-R)x+r2=0的根的情况。
解 ∵两圆相交 ∴R- r<d<R+r △ =b2-4ac=[-2(d-R)]2-4r2 =4(d-R)2-4r2 =4(d-R+r)(d-R-r) =4[d-(R-r)][d-(R+r)]
A
B
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B外切 d=R+r
A
B
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B相交R-r <d<R+r
AB
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B内切 d=R-r
AB
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B内含 d<R-r
并且除了这个点这外， 每一个圆上的点都在另 一个圆的外部， 叫做这两圆外切。这个相交
第四种情况
特点：两圆有唯一的公共点， 除了这个点以外，一个 圆上一的所有点在另一 个圆的内部，
九年级数学上册 24.2.3 圆和圆的位置关系教案 (新版)新人教版(2)
《圆和圆的位置关系》一、教材地位和作用《圆与圆的位置关系》是人教版九年级数学上第二十四章《圆》第二单元第三节第一课时。
本节内容是学生在已经掌握“点和圆的位置关系”“直线和圆的位置关系”后，学生在已获得一定的探究方法的基础上，进一步探究两圆的位置关系。
作为初中平面几何所研究的基本图形之一的圆，从知识的掌握来看，它是对圆的有关内容的进一步完善，也是学习两圆的公切线的必不可少的内容。
此外，平面几何中圆的知识是高中立体几何、解析几何学习中必不可少的基础知识。
所以，本节内容在本章及初中数学中占有重要的地位。
本课以多媒体为载体，以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以探究式教学法和直观演示法为主的教学方法，注重数学与生活的联系，创设一系列有启发性、挑战性的问题情景激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。
二、教学目标分析：（一）、知识与能力1. 探索并了解圆和圆的位置关系．2. 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系．3．能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题．（二）、数学思考1.学生经历操作、探究、归纳、总结圆和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力．2．学生经历探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力．（三）、解决问题1．学生在探索圆和圆的位置关系的过程中，学会运用数形结合的思想解决问题．2．学生通过运用圆和圆的位置关系的性质与判定解题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识．（四）、情感态度学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感．让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。
三、学生特征分析：由于九（1）班有38名学生，他们中一半的学习基础较好，独立学习的能力也比较强，能在课前对将要教学内容进行预习，在课堂上也能积极发言，作业也能独立完成；但也有部分学困生在知识的理解和动手的能力上存在问题。
九年级数学上册 24.2 与圆有关的位置关系教案2 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册
3、三角形的内切圆及内心的概念。
老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书
学生活动
板 书设 计
1、圆的切线长概念；
2、切线长定理；
3、三角形的内切圆及内心的概念。
4、例题。
作业布置
教 学反 思
（2）由x、y是方程2t-30t+m=0的两根，可得：
x+y= =15
同理可得：xy=36
∴x=3，y=12或x=12，y=3．
（3）连结OE，则OE⊥CD
∴S△COD= CD·OE= ×（AD+BC）· AB
= ×15× ×12
=45cm2
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1、圆的切线长概念；
（3）求△COD的面积。
分析：（1）要求y与x的函数关系，就是求BC与AD的关系，
根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即DC=x+y，
又因为AB=12，所以只要作DF⊥BC垂足为F，
根据勾股定理，便可求得。
（2）∵x，y是2t2-30t+m=0的两根，
那么x1+x2= ，x1x2= ，便可求得x、y的值。
教
学
目
标
知识
与
技能
（1）了解切线长的概念．
（2）理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．
（3）理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题。
过程
与
方法
复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．
人教版数学九年级上册24.2.3圆和圆的位置关系课件
6．半径为5cm的⊙O外一点P，则以点P为 圆心且与⊙O相切的⊙P能画2______个．
名 师 课 件 免 费课件 下载优 秀公开 课课件 人教版 数学九 年级 上 册 24. 2.3 圆 和 圆的 位置关 系课件
名 人 师 教 课 版 件 数 免 学 费 九课 年件 级 下 上载 册优24 秀.2公.3开圆 课和课圆件的 人位教置版关 数系学课九件 年级 上 册 24. 2.3 圆 和 圆的 位置关 系课件
2.已知两圆的半径为R和r(R＞r), 圆心距为d ,
且 d 2 R2 r 2 2dR 则两圆的位置关系为( D )
A.外切 B. 内切 C.外离 D.外切或内切
3.定圆O的半径是4cm,动圆P的半径是1cm, (1)设⊙O和 ⊙P相外切，点P与点O的距离是多少？点P 可以在什么样的线上移动？ (2)设⊙O和⊙P相内切，情况又怎样？
变(二)已知⊙O的半径为5cm,则与⊙O
相切且半径为2cm 动？
的圆的o·圆P ·心怎样移
o
· ·P
以O点为圆心，以7cm或3cm为半径的圆上移动
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例题： 名师课件免费课件下载优秀公开课课件人教版数学九年级 上册24.2.3 圆和圆的位置关系课件
如图⊙O的半径为5cm，点P是
宾 ⊙O外一点，OP=8cm。以P为圆
心作⊙P与⊙O相外切，求⊙P的半径？
若⊙P与⊙O相内切解(1?)：若设⊙⊙O与P的⊙半P径外为切R，
则 OP=5+R =8
..
O
新人教版九上24.2.3圆和圆的位置关系课件(一)
怎样从两圆的圆心距与两圆半径的数量关 系来判断两圆的位置关系?
R
O1
•
r
d
R
2
• O
O1 R r •dO • O
1
2
•
r
d
• O 2
R
两圆外离 R
两圆外切
• d O1
r
• O
2
O1 r • O2 d•
两圆内含
两圆相交
两圆内切
圆与圆的位置关系 (从 d与 r1、r2 (r1>r2 )的数量关系看)
O
A
P
（2）当两圆相交时，⊙P的半径r的取值范围是3cm<r<13cm
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例题讲解2: 两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心 距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d 的取值范围是多少?
解：设大圆半径 R = 3x,小圆半径 依题意得： 3x-2x=8 x=8 r = 2x
∴ ∴
4＜d＜10 ⑸若两圆相交,则____________.
练习3
填空题：1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，设d=O1O2 ： 外离 （1）当d=9时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是______. 内切 （2) 当d=2时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是______. 内含 （3）当d=1时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_____. 外切 （4）当d=8时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是______. 相交 （5）当d=5时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是______. 同心圆 （6）当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是______.
图例
r
d r d r
名称
点在圆内 点在圆上
人教版数学九年级上册24.2《圆和圆的位置关系》说课稿
人教版数学九年级上册24.2《圆和圆的位置关系》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《圆和圆的位置关系》是本册教材中的重要内容，主要介绍了圆与圆之间的位置关系，包括外切、相离、相交、内切和内含五种位置关系。
这部分内容是学生学习圆相关知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆与圆之间的位置关系，学生可能还比较陌生，需要通过实例和图形的直观展示来帮助学生理解和掌握。
同时，学生需要通过实践活动来提高自己的空间想象能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生掌握圆与圆之间的五种位置关系，并能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流和思考，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆与圆之间的五种位置关系的概念和判定方法。
2.教学难点：圆与圆位置关系的理解和运用，特别是外离、内含两种位置关系的判定。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和实践活动法，引导学生主动探究和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型，直观展示圆与圆的位置关系，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的圆形物体，引导学生思考这些物体之间的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生通过阅读教材和观察图形，尝试找出圆与圆之间的位置关系，并尝试用语言描述。
3.合作交流：学生分组讨论，共同总结圆与圆位置关系的判定方法，并通过实践活动加深理解。
4.教师讲解：针对学生的讨论结果，教师进行讲解和补充，强调重点和难点。
5.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生在实践中运用所学知识，巩固所学内容。
九年级数学上册 与圆有关的位置关系讲义 (新版)新人教版
与圆有关的位置关系（讲义）知识点睛1. 点与圆的位置关系d 表示的距离，r 表示．①点在圆外 ； A②点在圆上 ；③点在圆内．三点定圆定理：．注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．2. 直线与圆的位置关系d表示的距离，r 表示．①直线与圆相交；②直线与圆相切 ； ③直线与圆相离．切线的判定定理：；切线的性质定理： ． *切线长定理：． 注：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． *3. 圆与圆的位置关系d 表示 的距离，R 表示 ，r 表示．①圆与圆外离 ； ②圆与圆外切 ； ③圆与圆内切 ； ④圆与圆内含 ； ⑤圆与圆相交 ．4. 圆内接正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的 .正多边形的中心：；与圆有关的位置关系，关键是找 d ．和 ．r ． 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形．5 正多边形的半径： ； 正多边形的中心角： ； 正多边形的边心距： ．精讲精练1. 矩形ABC D 中，AB =8，BC3，点P 在AB 边上，且BP =3AP ，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ） A ．点 B ，C 均在圆 P 外B ．点 B 在圆 P 外、点C 在圆 P 内C ．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外D ．点 B ，C 均在圆 P 内2. 如图，在 5×5 的正方形网格中，一条圆弧经过 A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是点 ．第 2 题图第 3 题图3. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示， 为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块A4. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，BC =4 cm ，以点 C 为圆心，以 3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是 ． CB5. 在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以 C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边 AB 有且只有一个公共点，则 R 的取值范围是 ． 6. 在△ABC 中，∠C =90°，AC =3 cm ，BC =4 cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为 1 cm ，4 c m ，则⊙A ，⊙B 的位置关系是．②① ③④O7. 若有两圆相交于两点，且圆心距为 13 cm ，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（ ） A ．25 cm ，40 cm B ．20 cm ，30 cm C ．1 cm ，10 cmD ．5 cm ，7 cm8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°， 过点 C 作⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 E ，则∠E = ．AP第 8 题图第 9 题图9. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠ACB = ． 10. 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是 ⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A =．AE DFBC第 10 题图第 11 题图1. 如图，O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，⊙O 与边 AB ，BC 都相切，点 E ，F 分别在边 AD ，DC 上．现将△DEF 沿着 EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形 ABCD 的边长是 ．12. 如图，在⊙O 中，FC 为直径，长为 8．分别以 F ，C 为圆心， 以⊙O 的半径 R 为半径作弧，与⊙O 相交于点 E ，A 和 D ，B ， 则 A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，顺次连接 AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA ． 过点 O 作 OG ⊥BC ，垂足为 G ，则 OG 长为．33， ， ， 13. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，半径为 4，则这个正︵六边形的边心距 OM 和BC 的长分别为（ ）A ． 23 B ． 2 3 C ．23D ． 2 4 E314. 如图，⊙O 的直径为 AB ，点 C 在圆周上（异于 A ，B ），A D ⊥CD ． （1）若 BC =3，AB =5，求 AC 的长；（2）若 AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线．B15. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的⊙O 交 AB于点 D ，BD 的垂直平分线交 BC 于点 E ，交 BD 于点 F ，连接 DE ． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC =6，BC =8，OA =2，求线段 DE 的长．【参考答案】知识点睛1.点到圆心；圆的半径；d r ；d r ；d r ．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2.圆心O 到直线l；圆的半径；d r ；d r ；d r ．经过半径的外端且垂直于该半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3.圆心之间；大圆半径；小圆半径．d R r ；d R r ；d R r ；0≤d R r ；R r d R r ．4.顶点都在同一圆上的正多边形；外接圆．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．精讲精练1. C2.Q3. B4.相交125. 3 R ≤4 或R56.外切7. B8. 50°9. 110°10. 99°211. 212. 2 313. D14. （1）AC=4；（2）证明略1915. （1）直线DE与⊙O相切，理由略；（2）DE4。
新人教版九年级上册24.2圆与圆的位置关系
相交：
两个圆有两个公共点， 此时叫做这两个圆相交。
思考：这两圆的 位置关系？ 相交： •
•
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内切
击中篮框内侧边缘， 恰好中
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内切：
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公 共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的 内部时，叫做这两个圆内切。
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圆
系
与 圆 的
关
置 位
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学习目标
1、使学生掌握圆和圆的五种位置关系的定义。 2、使学生掌握圆和圆的五种位置关系中圆心距与半 径之间的数量关系，并了解它是性质又是判定。 3、使学生能初步会运用两圆相切的性质和判定。 4、使学生掌握相交两圆的性质定理。 5、使学生初步会应用相交两圆的性质定理。
两圆相交
判定 内
切
R− r <d <R+ r
外 R− r =d 切 相 R− r >d 交
外 离
0
位 置 关 系 数 字 化
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我们知道,圆是轴对称图形。 两个圆相切是否 也组成一个轴对称图形呢？如果是轴对称图形， 那么它的对称轴是什么？切点与对称轴有什么 位置关系呢？(如图)
两圆的圆心之间的距离叫做圆心距.
R
r
R O1 O2
r
设两圆的半径分别为R和r (R>r),圆心距为d ， 两圆相离、相交、相切时，d 、 R和r 之间 有怎样的数量关系？ 需要更完整的资源请到 新世纪教
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两圆圆心的距离叫 圆心距 用d表示
人教版九年级数学与圆有关的位置关系讲义(含解析)
@ 第11讲与圆有关的位置关系修剧知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三,根底偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课,本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系,重点掌握各种与圆位置关系的判断方法, 其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用,能够结合题意证实相关切线, 最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念.本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理,属于中考重点内容,也是难点之一,希望同学们能够好好学习, 扎实根底.品I识梳理讲解用时：25分钟：与圆有关的位置关系? ■(1)点与圆的位置关系点与圆的位置关系有3种,设..的半径为r,点P到圆心的距离OP=d, 那么有：.点P在圆外Od> r.点P在圆上O d=r.点P在圆内Od< r 注意：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.(2)直线与圆的位置关系直线和圆的3种位置关系：.相离：一条直线和圆没有公共点；.相切：一条直线和圆只有一个公共点,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点；.相交：一条直线和圆有两个公共点,这条直线叫圆的割线；判断直线和圆的位置关系：.直线l和.0相交.d< r.直线l和.0相切.d=r.直线l和.0相离.d> r(3)圆与圆的位置关系.外离：两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部；.外切：两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部；.相交：两个圆有两个公共点；.内切：两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部；.内含：两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部.判断圆和圆的位置关系：.两圆外离Od>R+r；.两圆外切Od=R+r；.两圆相交.R - r<d<R+r (R>»;.两圆内切Od=R- r (R>r);.两圆内含.d<R-r (R>r).切线的性质与判定>(1)切线的性质.圆的切线垂直于经过切点的半径；.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.如果一条直线符合以下三个条件中的任意两个, 那么它一定满足第三个条件,这三个条件是：.直线过圆心；.直线过切点；.直线与圆的切线垂直.(2)切线的判定切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注意：.切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径,否那么就不是圆的切线；.切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切这个结论直接得出来的；.在判定一条直线为圆的切线时,当条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证实该线段的长等于半径,可简单的说成无交点,作垂线段,证半径〞；当条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证实该半径垂直于这条直线,可简单地说成有交点,作半径,证垂直〞.切线长定理/(1)圆的切线长定义经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长；(2)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.三角形外接圆与内切圆(1)三角形的外接圆与外心外接圆：经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆；外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点.概念说明：O接〞是说明三角形的顶点在圆上,或者经过三角形的三个顶点；.锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形的外部；.找一个三角形的外心,就是找一个三角形的两条边的垂直平■分线的交点,三角形的外接圆只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.(2)三角形的内切圆与内心内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三个内角角平分线的交点.概念说明：.任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形；.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等,三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角【例题11到圆心的距离不大于半径的点的集合是〔〕.A.圆的外部B.圆的内部C.圆D.圆的内部和圆【答案】D【解析】此题考查圆的熟悉以及点与圆的位置关系,根据点和圆的位置关系,知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合.所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部〔包括边界〕.应选：D.讲解用时：3分钟解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合, 以及点和圆的位置关系即可解决. 教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：吁哈县校级月考年份：2021秋【练习11RtOABC 中,OC=90, AC=3, BC=币,CDD AB,垂足为点D,以点D为圆心作OD ,使得点A在.D外,且点B在.D内,设.D的半径为r,那么r 的取值范围是.4 4【解析】此题考查的是点与圆的位置关系,ORtOABC^, OACB=90, AC=3, BC= 41 ,OAB= 32〔 7〕24,OCDDAB, OCD=4OAD?BD=CD2,9设AD=x , BD=4 — x.解得x 一 ,4.点A在圆外,点B在圆内,一 .一一7 9r的范围是-r -4 4■讲解用时：5分钟解题思路：先根据勾股定理求出AB的长,进而得出CD的长,由点与圆的位置关系即可得出结论.教学建议：熟知点与圆的三种位置关系.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：普陀区一模年份：2021【例题2】I1//I2,已12之间的距离是3cm,圆心O到直线l i的距离是1cm,如果圆O 与直线l i、I2有三个公共点,那么圆O的半径为—cm【答案】2或4【解析】此题考查直线和圆的位置关系,如以下图所示,设圆的半径为r如图一所示,r - 1=3,得r=4,如下图,r+1=3,得r=2,故答案为：2或4.讲解用时：4分钟解题思路：根据题意可以画出相应的图形,从而可以解答此题.教学建议：利用数形结合的思想解答.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区二模年份：2021【练习2】在△ ABC中,/C=90° , AC = 5, BC = 12,假设以C为圆心,R为半径,所作的圆与斜边AB 没有公共点,那么R 的取值范围是【答案】0 R 60或R>1213【解析】此题考查直线和圆的位置关系以及勾股定理,圆心C 到斜边AB 的距离d 60 ,13【例题3】如果两圆的半径之比为3: 2,当这两圆内切时圆心距为3,那么当这两圆相交时, 圆心距d 的取值范围是.【答案】3V d<15【解析】此题考查了圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系,设两圆半径分别为3x, 2x,由题意,得3x -2x=3,解得x=3,那么两圆半径分别为9, 6,所以当这两圆相交时,圆心距 d 的取值范围是9-6<d<9+6,即 3Vd<15.讲解用时：3分钟解题思路：先根据比例式设两圆半径分别为 3x 、2x,根据内切时圆心距列出等 式求出半径,然后利用相交时圆心距与半径的关系求解.教学建议：熟知圆与圆的五种位置关系..当圆C 与AB 相离时,0 R当边AB 所有点都在圆内部时, 60 13, R>12, 讲解用时:解题思路: R 60或 R>12. 13 4分钟 先求出圆心C 到斜边AB 的距离d 60 ,那么当圆C 与AB 相离时, 13,当边AB 所有点都在圆内部时,R>12.教学建议：注意分类讨论. 难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2021难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：金山区二模 【练习3】如图,在.ABC 中,00=90 , AC=3, BC=4, OB 的半径为 BC 相交,且与OB 没有公共点,那么OA 的半径可以是〔A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】D【解析】此题考查了圆与圆的位置关系以及勾股定理,ORtOABCJ^, OC=90°, AC=3, BC=4,.由勾股定理得 AB=5 ,OOA> OB 没有公共点,OOA 与.B 外离或内含,OOB 的半径为1,.假设外离,那么OA 半径r 的取值范围为：0<r<5-1=4,假设内含,那么OA 半径r 的取值范围为r> 1+5=6,OOA 半径r 的取值范围为：0<r<4或r>6,应选：D.讲解用时：5分钟解题思路：由RtOABC 中,OC=90, AC=3, BC=4,利用勾股定理即可求得 AB 的长,又由OA 、OB 没有公共点,可得OA 与.B 外离或内含,然后利用两圆位 置关系与圆心距d,两圆半径R, r 的数量关系间的联系求得答案.教学建议：熟练掌握两圆的位置关系.难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：松江区二模 年份：2021【例题4】如图,PA 、PB 切.0 于点 A 、B, PA=4, OAPB=60 ,点 E 在AB 上,且CD 切.0 于点E,交PA 、PB 于C 、D 两点,那么CD 的最小值是.【答案】83【解析】此题主要考查了切线长定理及等边三角形的性质与判断, 当CD//AB 时,切线CD 的长最小, 由切线长定理,得PA=PB=4, AC=CE,ED=DB,年份：20211,OA 与直线OL OCDP=PC+PD+CD=PC+CE+PD+DE=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8,O O APB=60, PA=PB, O O PA更等边三角形,O O PAB=60,由于CD//AB , OOPCD0PAB=6O ,8O O PC此等边二角形,O CD=83讲解用时：7分钟解题思路：首先判断在什么情况下CD最短.利用切线长定理,说明OPCD 是等边三角形,求OPCD的周长并得结论教学建议：熟练利用切线长定理解答.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：资中县一模年份：2021【练习4】如图.BAC=60,半径长1的.0与.BAC的两边相切,P为.0上一动点, 以P为圆心,PA长为半径的OP交射线AB、AC于D、E两点,连接DE, 那么线段DE长度的最大值为【答案】3.3【解析】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,连接AO并延长,与ED交于F点,与圆O交于P点,此时线段ED最大,连接OM, PD,可得F为ED的中点,OOBAC=60, AE=AD , OOAED为等边三角形,OAF为角平分线,即OFAD=30,在RtOAOM 中,OM=1 , 00AM=30 , O OA=2,O PD=PA=AO+OP=33在Rt.PDF中,OFDP=30, PD=3, OPF=-,2根据勾股定理得: FD=3-^ ,2贝U DE=2FD=3 J3 .讲解用时：8分钟解题思路：连接AO并延长,与圆O交于P点,当AF垂直于ED时,线段DE 长最大,设圆O与AB相切于点M,连接OM, PD,由对称性得到AF为角平分线,得到OFAD为30度,根据切线的性质得到OM垂直于AD,在直角三角形AOM中,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长,由AO+OP 求出AP的长,即为圆P的半径,由三角形AED为等边三角形,得到DP为角平分线,在直角三角形PFD中,利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长,再利用勾股定理求出FD的长,由DE=2FD求出DE的长,即为DE的最大值.教学建议：熟练掌握切线的性质是解此题的关键.难度：4适应场景：当堂练习例题来源：鄂州一模年份：2021【例题5】如图,00的半径为6, OABC是.0的内接三角形,连接假设.BAC£ BOC=180 ,那么弦BC的长为.【答案】6 3【解析】此题考查了三角形的外接圆与外心, 作OHDBC于H,如图,贝U BH=CH , 一一一一 . 一—一1一一一OOBACEBOC=180,而.BAC=1.BOC,OB、OC,2-1 -BOC£BOC=180 ,解得.BOC=120, 2OOB=OC, OO OBC=3O,OOH=1OB=3, O BH=<3 OH=3 v13 ,2OBC=2BH=6V3 .讲解用时：8分钟解题思路：作OHDBC于H,如图,利用垂径定理得到BH=CH,再根据圆周角定理可计算出OBOC=120,那么.B=30°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解.教学建议：熟记三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点难度：4适应场景：当堂例题例题来源：花都区一模年份：2021【练习5】如图,RtOABC中,00=90,假设AC=4, BC=3,那么.ABC的内切圆半径r=o【答案】1【解析】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识, 如图,设.ABC 的内切圆与各边相切于D、E、F,连接OD, OE, OF,那么OED BC, OF? AB , ODD AC, 设半径为r, CD=r,OOC=90； AC=4, BC=3, OAB=5, OBE=BF=3- r, AF=AD=4 - r, 04- r+3 -r=5, CDr=1.ABC的内切圆白半径为1.讲解用时：8分钟解题思路：首先求出AB的长,再连圆心和各切点,利用切线长定理用半径表示AF和BF,而它们的和等于AB,得到关于r的方程,即可求出.教学建议：熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键.难度：4适应场景：当堂练习例题来源：大庆模拟年份：2021【例题61如图,在平面直角坐标系中,A (0, 273),动点B、C从原点O 同时出发,分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动,以点A为圆心,OB的长为半径画圆；以BC为一边,在x轴上方作等边OBCD,设运动的时间为t秒,当.A与.BCD 的边BD所在直线相切时,求t的值【答案】4 ... 3 +6【解析】此题考查了切线的性质以及等边三角形的性质,作AHDBD于H,延长DB交y轴于E,如图,OOA与.BCD的边BD所在直线相切,OAH=OB=t,O O BCM等边三角形,O O DBC=60,OO OBE=60, OO OEB=30,在RtOOBE中,OE=T3OB=T3t,在Rt.AHE 中,AE=2AH=2t ,OA (0, 2<3), OOA=2j3,O2V3 +V3t=2t, Ot=4V3 +6.讲解用时：10分钟解题思路：作AHDBD于H,延长DB交y轴于E,如图,利用切线的性质得AH=OB=t ,再利用等边三角形的性质得O DBC=60 ,贝UO OBE=60 ,所以OE= V3 OB= J3t, AE=2AH=2t,从而得到2“q+ 73t=2t,然后解关于t的方程即可.教学建议：假设出现圆的切线,必连过切点的半径,得出垂直关系.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：滨湖区一模年份：2021【练习6】如图,直线y=x-4与x轴、y轴分别交于M、N两点,©0的半径为2,将.0以每秒1个单位的速度向右作平移运动,当移动时问秒时,直线MN恰好与圆相切【答案】4-2行或4+2行【解析】此题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质,作EF平行于MN,且与.0切,交x轴于点E,交y轴于点F,如下图.设直线EF的解析式为y=x+b ,即x- y+b=0,OEF与.0相切,且00的半径为2,O1b2=1 X2¥5|b|,解彳#: b=2 &或b= -2立,2 2.直线EF的解析式为y=x+2,2或y=x - 272 ,.点E的坐标为(2桓,0)或(-2J2 , 0).令y=x —4 中y=0,贝U x=4,.点M (4, 0)..根据运动的相对性,且00以每秒1个单位的速度向右作平移运动,.移动的时间为4- 2 72秒或4+2 J2秒.讲解用时：10分钟解题思路：作EF平行于MN,且与.0切,交x轴于点E,交y轴于点F,设直线EF的解析式为y=x+b,由.0与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程,解方程即可求b值,从而得出点E的坐标,根据运动的相对性,即可得出结论.教学建议：解题的关键是求出点E、M的坐标利用运动的相对性变移圆为移直线.难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：绥化模拟年份：2021【例题7】.0中,AC为直径,MA、MB分别切..于点A、B.(1)如图.,假设.BAC=23,求.AMB的大小；【解析】此题考查了等边三角形性质和判定、切线性质、线段垂直平分线性质、垂径定理以及平行四边形的性质和判定的应用,(1)连接OB,CDMA、MB 分别切..于A、B, OO OBM=OAM=90 ,.弧BC对的圆周角是OBAC,圆心角是OBOC,.BAC=23 ,OO BOC=2〕BAC=46 ,OO BOA=180-46o =134°OOAMB=360 -90 -90 - 134° =46°〔2〕连接AD, AB,OBD//AM, DB=AM ,.四边形BMAD是平行四边形,O BM=AD ,CDMA切..于A, OACXDAM,OBD//AM, OBD3AC,OA^O, OBE=DE, OAB=AD=BM , /[ \CDMA、MB 分别切..于A、B, / \\OMA=MB, O BM=MA=AB , “~,国①O O BMA是等边三角形,O O AMB=60 .讲解用时：15分钟解题思路：〔1〕根据切线性质求出OOBM =OAM=90 ,根据圆周角定理求出OCOB,求出.BOA,即可求出答案；〔2〕连接AB、AD,得出平行四边形,推出MB=AD ,求出等边三角形AMB , 即可得出答案.教学建议：〔2〕关键证出三角形AMB是等边三角形.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：安徽模拟年份：2021【练习7】在直角坐标系中,CDA与.B只有一个公共点,CDA与.B的半径分别为2和6, 点A的坐标为〔2, 1〕,点B为x轴上一点,求点B的坐标.【答案】 2 布,0、2 715,0、2 3月,0、2 36,0【解析】此题考查了圆与圆的位置关系,设B(x,0),那么圆心距d AB v(x 2)2 1 ,OOA与.B只有一个公共点OOA与.B相切当OA 与CDB 内切时,r B-r A=d,即4 J(x 2)2 1 ,解得：x1 2 vl5 , x2 2 而；当.A 与.B 外切时,r B+r A=d,即8 J(x 2)2 1 ,解得：xi 2 3万,x2 2 3".综上,点B的坐标为 2 /5,0、2 屈,0、23/,0、23/7,0.讲解用时：10分钟解题思路：当两圆内切时r B-r A=d,当两圆外切时r B+r A=d,然后再代入相关长度计算即可. 教学建议：注意分类讨论.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：广东模拟年份：2021课后作业【作业11圆A的半径长为4,圆B的半径长为7,它们的圆心距为d,要使这两圆没有公共点,那么d的值可以取〔〕.A. 11B. 6C. 3D. 2【答案】D【解析】此题考查了圆与圆的位置关系,假设两圆没有公共点,那么可能外离或内含,外离时的数量关系应满足d > 11;内含时的数量关系应满足0&k 3.观察选项,只有D符合题意.讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：长宁区二模年份：2021【作业2】如图,00过正方形ABCD的顶点A、B,且与CD相切,假设正方形ABCD的边长为2,那么.0的半径为【答案】54【解析】此题主要考查了正方形、圆及直角三角形的性质,连接OE、OB,延长EO交AB于F;OE 是切点,OOEDCD,OOFOAB, OE=OB;设OB=R, WJ OF=2- R,在RtOOBF中,BF=1AB= 1 X 2=1 OB=R, OF=2- R, 2 25OR2= (2- R) 2+12,解得R=5 .4讲解用时：5分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：寿光市模拟年份：2021【作业3】如图,点P是.0外任意一点,PM、PN分别是.0的切线,M、N是切点.设OP与.0交于点K,那么点K是.PMN的(A.三条高线的交点B,三条中线的交点C.三个角的角平分线的交点D,三条边的垂直平分线的交点【答案】C【解析】此题考查了切线的性质、全等三角形的性质与判定、圆周角定理的应用等,连接OM、ON、MK、NK,0 PM PN分别是.0的切线,OPM=PN,OO PMN0PNM,O OM=ON 易证O POIM) O PON,OOP是.MPN的平分线,由圆周角定理可得OPMK=1 OMOK, OPNK=1 ONOK, ONMK=- O NOK, 2 2 2 OMNK=1OMOK, 2OO PMKONMKQPNK电MNK.点K是.PMN的三个角的角平分线的交点,应选：C.讲解用时：8分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：鼓楼区一模年份：2021【作业4】在RtOABC中,OACB=90 , BE平分.ABC, D是边AB上一点,以BD为直径的00经过点E,且交BC于点F.(1)求证：AC是.0的切线；(2)假设BF=6, 00的半径为5,求CE的长.【答案】(1)证实：连接OE.OOE=OB, OOOBE电OEB,.BE平分.ABC, OO OBEOEBC, OOEBCWOEBOOEDBC, OO OEAOC ,OO ACB=90, OO OEA=90,OAC是.0的切线；(2) CE=4【解析】此题考查了切线的判定定理、垂径定理以及勾股定理的运用,(1)证实：连接OE.OOE=OB, OO OBEOOEB,OBE平分.ABC, OO OBEOEBC, OOEBCWOEBOOEDBC, OO OEAOC ,OO ACB=90, OO OEA=90,OAC是.0的切线；(2)解：连接OE、OF,过点O作OHDBF交BF于H, 由题意可知四边形OECH为矩形,OOH=CE,OBF=6, OBH=3,在RtOBHO中,OB=5,.由勾股定理得OH=4, OCE=4讲解用时：10分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：聊城二模年份：2021。
九年级数学上册 24.2.1 点和圆的位置关系课件 (新版)新人教版
以前学过的“过一点有且只有一条直线
C 与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一
条直线上的三点不能作圆．
新课讲解 反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得 出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得 到原命题成立，这种方法叫做反证法． 例如：
命题：经过同一直线的三点不能作出一个圆．
点和圆的位置关系
新课引入
你能猜出其中
蕴含的与圆有关的 数学知识吗？
掷飞镖
新课引入
你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认 为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？
观察
③C B ②
E ⑤
① A
D ④
新课引入
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位
置关系？
点A在圆内， 点B在圆上， 点C在圆外.
新课讲解
外接圆、外心
A
外接圆的圆心是三 角形三边垂直平分线的 交点，叫做三角形的外 心(circumcenter)．
O
B
C
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个 圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)．
新课讲解 内接三角形
A
O
B
C
△ABC叫这个圆的内接三角形．
新课讲解
不在同一直线上的三 个点确定一个圆．
为什么要这样强调？经过 同一直线的三点能作出一 个圆吗？
A
B
C
新课讲解
经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？
P
l1
A
B
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、
C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，
人教版九年级数学上册 第17讲 与圆有关的位置关系(一)辅导讲义
第17讲 与圆有关的位置关系（一）知识要点梳理：一、点与圆的位置关系及判定：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则有：①点P 在圆外⇔d>r ②点P 在圆上⇔d=r ③点P 在圆内⇔d<r 二、不在同一直线上的三个点确定一个圆也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆． 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． 三、直线与圆的位置关系及判定：设⊙O 的半径为r ，圆心到直线L 的距离为d ， ①直线L 和⊙O 相交⇔d<r ，如图（a ）所示； ②线L 和⊙O 相切⇔d=r ，如图（b ）所示； ③直线L 和⊙O 相离⇔d>r ，如图（c ）所示．四、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 五、切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径六、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 经典例题：例1．如图，PA ，PB 分别为⊙O 的切线，AC 为直径，切点分别为A 、B ，∠P =70°，则∠C= 例2．如图，已知Rt △ABC 的斜边AB=8cm ，AC=4cm ．（1）以点C 为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB 与⊙C 相切？为什么？ （2）以点C 为圆心，分别以2cm 和4cm 为半径作两个圆，这两个圆与直线AB 分别有怎样的位置关系？ 例3．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径． 例4.如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ， 使得2ACD DAB ∠=∠．(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若AB =，求BC 的长．例5.如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD =2，AE =1，求BCD S ∆。
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O C
与圆有关的位置关系（讲义）
知识点睛
1. 点与圆的位置关系
d 表示
的距离，r 表示
．
①点在圆外 ； A
②点在圆上 ； ③点在圆内
．
三点定圆定理：
．
B
注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
2. 直线与圆的位置关系
d 表示
的距离，r 表示 ．
①直线与圆相交
； ②直线与圆相切 ； ③直线与圆相离 ．
切线的判定定理：
； 切线的性质定理： ． *切线长定理：
．
注：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是
三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． *3. 圆与圆的位置关系
d 表示 的距离，R 表示 ，r 表示 ．
①圆与圆外离 ； ②圆与圆外切 ； ③圆与圆内切 ； ④圆与圆内含 ； ⑤圆与圆相交 ．
4. 圆内接正多边形
叫做圆内接正多边形，这个
圆叫做该正多边形的 .
正多边形的中心：
；
O O
O
O 1 O 2
O 1O 2
O 1 O 2
O 1O 2
O 2
O 1
与圆有关的位置关系，关键是找 d ．和 ．
r ． 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形．
5 正多边形的半径： ； 正多边形的中心角： ； 正多边形的边心距： ．
精讲精练
1
. 矩形ABC D 中，AB =8，BC
3
，点P 在AB 边上，且BP =3AP ，
如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是
（ ） A ．点 B ，C 均在圆 P 外
B ．点 B 在圆 P 外、点
C 在圆 P 内C ．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外
D ．点 B ，C 均在圆 P 内
2
. 如图，在 5×5 的正方形网格中，一条圆弧经过 A ，B ，C 三点， 那么这
条圆弧所在圆的圆心是点 ．
第 2 题图
第 3 题图
3
. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示， 为配到
与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）
A ．第①块
B ．第②块
C ．第③块
D ．第④块
A
4
. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，
∠A =60°，BC =4 cm ，以点 C 为圆心，以 3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是 ． C
B
5. 在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以 C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边 AB 有且只有一个公共点，则 R 的取值范围是 ． 6
. 在△ABC 中，∠C =90°，AC =3 cm ，BC =4 cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为 1 cm ，4 c m ，则⊙A ，⊙B 的位置关系是
．
A B C P Q R M
②
① ③
④
O
7
. 若有两圆相交于两点，且圆心距为 13 cm ，则下列哪一选项中的长度可
能为此两圆的半径（ ） A ．25 cm ，40 cm B ．20 cm ，30 cm C ．1 cm ，10 cm
D ．5 cm ，7 cm
8
. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°， 过点 C 作
⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 E ，则∠E = ．
A
P
第 8 题图
第 9 题图
9. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠ACB = ． 1
0. 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是 ⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A =
．
A
E D
F
B
C
第 10 题图
第 11 题图
1
. 如图，O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，⊙O 与边 AB ，
BC 都相切，点 E ，F 分别在边 AD ，DC 上．现将△DEF 沿着 EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形 ABCD 的边长是 ．
1
2. 如图，在⊙O 中，FC 为直径，长为 8．分别以 F ，C 为圆心， 以⊙O 的半径 R 为半径作弧，与⊙O 相交于点 E ，A 和 D ，B ， 则 A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，
顺次连接 AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA ． 过点 O 作 OG ⊥BC ，垂足为 G ，则 OG 长为
．
3 3 A F O M C
D
， ， ， 1
3. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，半径为 4，则这个正
︵
六边形的边心距 OM 和BC 的长分别为（ ）
A ． 2
3 B ． 2 3 ， C ．
2
3
D ． 2 4 B E
3
14. 如图，⊙O 的直径为 AB ，点 C 在圆周上（异于 A ，B ）， A D ⊥CD ． （1）若 BC =3，AB =5，求 AC 的长；
（2）若 AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线．
D
C
A
O
B
1
5. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的⊙O 交 AB
于点 D ，BD 的垂直平分线交 BC 于点 E ，交 BD 于点 F ，连接 DE ． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC =6，BC =8，OA =2，求线段 DE 的长．
E
O A
D
F
B
【参考答案】
知识点睛
1.点到圆心；圆的半径；d r ；d r ；d r ．
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2.圆心O 到直线l；圆的半径；d r ；d r ；d r ．
经过半径的外端且垂直于该半径的直线是圆的切线；圆的切
线垂直于过切点的半径．
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3.圆心之间；大圆半径；小圆半径．
d R r ；d R r ；d R r ；0≤d R r ；
R r d R r ．
4.顶点都在同一圆上的正多边形；外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆
的半径叫做正多边形的半径；
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到
正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
精讲精练
1. C
2.Q
3. B
4.相交
12
5. 3 R ≤4 或R
5
6.外切
7. B
8. 50°
9. 110°
10. 99°
11. 2
2
12. 2 3
13. D
14. （1）AC=4；（2）证明略
19
15. （1）直线DE与⊙O相切，理由略；（2）DE
4。