第七节可降阶的高阶微分方程(精)
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
可降阶的高阶微分方程
一、 y(n) f ( x) 型
特点: 左端是未知函数 y 的n 阶导数, 右端是
自变量x 的一个已知函数,且不含未知函数 y 及其
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n 次,得到含有n 个任意常数的通解.
例1 求微分方程 y e2x cos x 的通解.
解
y
(e 2 x
cos
x)dx
1 e2x 2
sin x
C1 ,
y
1 2
e2x
sin
x
C1
dx
1 4
e2x
cos
x
C1 x
C2,
通解为 y
1 4
e2x
cos
x
C1 x
C2
dx
1 8
e2x
sin
x
C1 x2
C2 x
C3 .
二、y f (x, y) 型
可得
p C1 y,
dy dx
C1
y,
即
dy y
C1dx,
原方程通解为 y C2ec1x .
F( x, p,, p(nk) ) 0
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
例3 解方程 y(5) 1 y(4) 0. x
解 令 y(4) p( x), 则方程变为
p 1 p 0, 可分离变量方程 x
由分离变量法解得 p C1 x. 于是
y(4) C1 x,
所以原方程的通解为
解 设 y p,代入原方程, 得
dp 2 x dx p 1 x2
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
常微分方程课件--可降阶的高阶方程
1 y '2
则
''
（1.7.11）
dp y p dy
于是（1.7.11）变为
dp ap 2 p dy vy
1 p2
由此得
dp ap 1 p2 , p 0 dy vy
（1.7.12）
从 p 0 得解 y 0 ,即点M沿Ox轴移动.
讨论方程
dp ap 2 2 p 1 p dy vy 由图1.7知,在点M未追上点P之前,点P的横
水平线),如图3.2所示.设绳索是均匀的,柔 软的,仅受绳本身的重量作用,它弯曲如图中的 形状,试确定该绳索在平衡状态时的形状. 解: 设C是其最低点,选取坐标系xOy 如图中所示, 且 y 轴通过C点.
y
B
P ( x, y )
A
C O
图3.2
x
考虑绳索在最低点C与点 P( x, y ) 之间的一段, 这一段在下面三个力的作用下平衡: (1)在点P的张力T,方向沿着P点的切线方向; (2)在点C的水平张力H; (3)CP段的垂直的重量,记为 W (x) ,设它作用
x x
x
x
积分上式，得：
a a x a y (e e ) c2 ach( ) c2 2 a 把初始条件 y(0) b 代入上式得 c2 b a
H ．此时 c2 0，从而 为简单起见，假设b a w
得绳索的方程：
x a a y ach( ) (e e a ) a 2 x x
x 的方
dy 程，令 p 则方程（1.7.1７）化为 dx dp w 1 ( p) 2 dx H
分离变量，积分得：
w dx c1 H 1 p2
§12-7 可降阶的高阶微分方程-文档资料
四、齐次方程
zdx 解法： 可通过变换 ye
( n ) k ( n ) ( x , ty , t y , , ty ) t F ( x , y , y , , y ) 特点： F
k次齐次函数
将 y y 0 的通解 .
解
dP 设 y p ( y ), 则 y p , dy
dP 2 dP ,即 P (y P )0 , 代入原方程得 y P P 0 dy dy
dP 由y P 0 ， 可得 P C y , 1 dy
( n 1 ) ( x , y , y , , y ) C ,
再设法求解这个方程.
2 y y y 0 的通解 . 例 3 求方程
d 解 将方程写成 ( yy) 0, dx
故有 y y C , 1
即 ydy C dx , 1
2
C x C . 积分后得通解 y 1 2
dp dy dP p , 则 y dydx dy
代入原方程得到新函数 P (y ) 的 ( n 1 ) 阶方程，
dy P ( y ) ( y ,C , ,C ), 求得其解为 1 n 1 dx dy x C , 原方程通解为 n ( y ,C , ,C ) 1 n 1
另解
y y , 原方程变为 y y
C x 1
两边积分,得 ln y ln y ln C ， 即 y C y ， 1 1
C e . 原方程通解为 y 2
2 补充题: 求方程 xy y x y y y 的通解 .
解
zdx xz ， 设y e , 代入原方程,得 z
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程引言高阶微分方程是微积分中的一个重要概念，通常包含二阶及以上的导数。
然而，在某些情况下，我们可能希望将高阶微分方程降阶为一阶微分方程，这样可以更方便地求解和分析。
本文将讨论可降阶的高阶微分方程及其相关概念。
一阶可降阶微分方程一阶可降阶微分方程是指可以通过某种变换将其降为一阶微分方程的高阶微分方程。
例如，考虑一个二阶微分方程：d2y dx2+a(x)dydx+b(x)y=f(x)通过引入新的变量P(x)=dydx，我们可以将上述二阶微分方程转化为一个一阶可降阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)y=f(x)这样，我们就成功地将高阶微分方程降为了一阶微分方程。
降阶方法降阶高阶微分方程的一般方法是引入新的变量，并通过适当选择这些变量的方式将其转化为一阶微分方程。
下面介绍几种常用的降阶方法。
1. 变量代换法变量代换法是一种常见的降阶方法，通过引入新的变量将高阶微分方程转化为一阶微分方程。
例如，对于一个三阶微分方程：d3y dx3+a(x)d2ydx2+b(x)dydx+c(x)y=f(x)我们可以引入新的变量P(x)=d 2ydx2和Q(x)=dydx，从而将该三阶微分方程转化为一个一阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)Q+c(x)y=f(x)dQdx+b(x)P+c(x)Q=02. 微分幺正变换法微分幺正变换法是一种通过选择适当的变换矩阵将高阶微分方程转化为一阶微分方程的方法。
具体而言，通过选择一个幺正变换矩阵U(x)，我们可以将一个n阶微分方程转化为一个一阶微分方程：d dx [y1y2⋮y n]=U(x)[f1f2⋮f n]其中y i表示原始高阶微分方程的解，f i表示相应的一阶微分方程的解。
3. 特解代换法特解代换法是一种通过引入特解来降低高阶微分方程的阶数的方法。
具体而言，我们假设高阶微分方程的一个特解形式，并代入原方程求解。
将得到的特解代入原方程，我们可以得到一个低阶微分方程。
可降阶的高阶微分方程
y
( x3 6
ex
2x)dx
x4 24
ex
x2
C3.
再由y x0 1,得C3 2，所以
y x4 ex x2 2为所求的特解. 24
6.4.2 y(n) f ( x, y(n1) )型的微分方程
令 p y(n1)，则原方程化为
例6.40（略）
例6.41
求方程 y(5) 1 y(4) 0 的通解。 x
解 令y(4) p, 则y(5) p, 原方程可化为
p
1 x
p
0 .
p
C1e
(
1 x
)dx
C1 x .
y(4) .
y
C1xdx .
C1 2
x2
C2,
y
y ln x d x x ln x x C1，
y ( x ln x x C1)d x
x ln xdx (x C1)d x
x2
ln xd( 2 ) (x C1)d x
x2
x2 1
x2
ln x 2
2
dx x
例6.42 设函数y( x)在区间[0， ）上具有连续偏导数，
并且满足关系式y( x) 1 x 2 x ( x t) y(t) y(t)dt,求y(t). 0
解
x
x
y( x) 1 x 2x y(t)y(t)dt 2 ty(t)y(t)dt,
0
0
[
2 x2
e
3 x
dx
dx
C1]
可降阶的高阶微分方程
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
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从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程
可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程一、可降阶的高阶微分方程在数学中，可降阶的高阶微分方程指的是一个高阶微分方程可以通过一系列变量代换和降阶操作化简为低阶的微分方程。
这种化简的方法在求解高阶微分方程时非常有用，可以简化计算过程并得到解析解。
具体而言，可降阶的高阶微分方程通常可以通过一系列变量代换将高阶导数转化为低阶导数，从而降低微分方程的阶数。
常见的变量代换包括令新变量等于原函数的高阶导数，或者令新变量等于原函数与其高阶导数之间的某种组合。
通过这些变量代换，高阶微分方程可以转化为一系列关于新变量的低阶微分方程。
例如，考虑一个三阶微分方程：\[y'''(x) + p(x)y''(x) + q(x)y'(x) + r(x)y(x) = 0\]可以通过令新变量\(v = y'(x)\)和\(u = v'\)来进行变量代换。
通过求导可以得到：\[v' = u\]将上述代换带入原方程，可以得到一个关于\(u\)和\(v\)的二阶微分方程：\[u' + p(x)u + q(x)v + r(x)y = 0\]通过继续进行变量代换，可以将该二阶微分方程进一步降阶为一阶微分方程。
这种可降阶的方法可以在高阶微分方程的求解中起到重要的作用。
二、二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程是一种形式为\(ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0\)的微分方程，其中\(a\)、\(b\)和\(c\)是常数。
这类微分方程在物理、工程和数学等领域中广泛应用，可以描述许多自然现象和物理过程。
对于二阶常系数微分方程，其特征方程为\(ar^2 + br + c = 0\)，其中\(r\)为待定的解。
通过解特征方程可以得到该微分方程的通解。
特别地，当特征方程有两个不相等的实根时，通解可以表示为：\[y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\]其中\(C_1\)和\(C_2\)为任意常数，\(r_1\)和\(r_2\)为特征方程的两个实根。
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程是指方程中包含高于一阶导数的项。
在某些情况下，我们可以将高阶微分方程转化为可降阶的形式，从而更容易地求解。
首先，我们来看一个简单的例子：$$y'' + 2y' + y = e^x$$这是一个二阶齐次线性微分方程，它的特征方程为：$$r^2 + 2r + 1 = 0$$解得$r=-1$（重根），因此通解为：$$y_h(x) = (c_1+c_2 x)e^{-x}$$现在考虑非齐次方程右侧的$e^x$项。
我们可以猜测一个特解形式为$y_p(x) = Ae^x$，代入原方程得到：$$Ae^x + 2Ae^x + Ae^x = e^x$$解得$A=\frac{1}{4}$，因此特解为：$$y_p(x) = \frac{1}{4}e^x$$于是原方程的通解为：$$y(x) = (c_1+c_2 x)e^{-x} + \frac{1}{4}e^x$$现在我们来看如何将高阶微分方程转化为可降阶的形式。
考虑以下三阶线性非齐次微分方程：$$y'''(t) + a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = f(t)$$我们可以猜测一个特解形式为$y_p(t) = A t^n e^{rt}$，其中$n$是一个整数，$r$是$f(t)$的特征根。
代入原方程得到：$$A n(n-1)(n-2)t^{n-3}e^{rt} + a_2 A n(n-1)t^{n-2}e^{rt} + a_1 A n t^{n-1}e^{rt} + a_0 A t^n e^{rt} = f(t)$$整理得：$$A \left(n^3+(a_2+2n)a_1+n(a_2a_0-a_1^2)\right)t^{n-3}e^{rt} = f(t)$$由于$n$和$r$已经确定，因此我们可以将上式看作一个常数乘以$t^{n-3}$和$e^{rt}$的乘积。
可降阶的高阶微分方程高阶线性微分方程及其通解结构
d2 y dx2
P( x) dy dx
Q(x)y
f (x) ①
当 f ( x) 0时，①式叫二阶线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，①式叫二阶线性非齐次微分方程
n 阶线性微分方程的一般形式为 y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y an ( x) y f ( x)
y1 P( x) y1 Q( x) y1 0 ，y2 P( x) y2 Q( x) y2 0 ， 将y C1 y1 C2 y2代入(1)的左端得： [C1 y1 C2 y2 ] P( x)[C1 y1 C2 y2 ] Q( x)[C1 y1 C2 y2 ] C1[ y1 P( x) y1 Q( x) y1] C2[ y2 P( x) y2 Q( x) y2 ] 0, 所以y C1 y1 C2 y2是方程(1)的解.
特点：不显含未知函数y, y， y(n1) . 解法： 接连积分n次，得通解．
4
例1 求方程y e2x cos x的通解.
解
y
e2x cos x dx
1 2
e2x
sin
x
C0
,
y
1 2
e
2
x
sin x C0 dx
1 e2x 4
cos x C0 x C2 ,
y
1 4
例2 求微分方程(1 x2 ) y 2xy满足 y 1,y 3的特解.
x0
x0
解
所给方程是y
f ( x, y) 型，令y
P( x),
则
y
P
dP ,
dx
代入原方程,得
1 P
d
P
1
2x x2
d
可降阶高阶微分方程
S2 y P S1 1 y ox x
dp dy = p y
解 解 p = C1y, 利用定解条件得 C1 =1, 再 y′ = y, 得 得
y = C2 ex , 再利用 y (0) = 1 得 C2 =1, 故所求曲线方程为
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
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思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
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例5.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα 2
S2 = ∫ y(t) d t
补充：可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、 型的微分方程 型的微分方程 型的微分方程
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一、 y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z=y
(n−1)
,
因此
z = ∫ f (x) dx + C1
可降阶的高阶微分方程
2y
即有新方程: 即有新方程:
dy dn−1y G(x, y, ,L n−1 ) = 0 dx dx
它比原来的方程降低了一阶. 它比原来的方程降低了一阶.
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d x dx 例 求解方程 x 2 − = 0 dt dt
2
2
解: 令
x = y 取 x 作为新未知变量, 作为新未知变量,
dy dk−1y x(k)可用 y, ,L k−1 (k ≤ n) 由数学归纳法知, 由数学归纳法知, , k− dx dx
来表达, 来表达,将这些表达式代入 (3.1.3) 可得
L L L L
dy dy 2 2 d F(x, y, y , y( ) + y ,L ) = 0 , 2 dx dx dx
例１、 求解方程
d5x 1 d4x − =0 5 4 dt t dt
d4x = y ,则方程可化为: 则方程可化为: 解: 令 4 dt dy 1 − y =0 dt t 它是一个一阶方程,通解是: 它是一个一阶方程,通解是:
y = ct
即
d x = ct 4 dt
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4
积分上式四次,得原方程的通解为: 积分上式四次,得原方程的通解为:
'
于是原方程化为: 于是原方程化为:
dy 2 xy − y = 0 dx dy dx 从而可得 y = 0 及 =
所以
y =c x 1
y
x
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代入原变量得: 代入原变量得:
dx = c1x dt
故原方程的解为: 故原方程的解为:
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代入原方程得到新函数P ( y )的( n 1)阶方程，
dy P ( y ) ( y , C1 , , C n1 ), 求得其解为 dx dy x Cn , 原方程通解为 ( y , C1 , , C n 1 )
作为上述类型的特殊情 况是 : 三. y f ( y, y)
求方程 yy y 2 0 的通解.
dp f ( y, p), 这是一个一阶微分方程 dy
令p y, 则p y, 原方程成为 P f ( x, p)
这是一个一阶微分方程，可用已掌握的方法解出p,再由
dy p ( x)解出方程的通解 dx
例 : 求解微分方程 y x sin x
1 2 1 3 解 : y x cos x c1 , y x sin x c1 x c2 2 6
解线性方程, 得 P C1 x 即 y ( 4 ) C1 x , 1 2 两端积分,得 y C1 x C 2 , , 2 C1 5 C 2 3 C 3 2 y x x x C4 x C5 , 120 6 2
原方程通解为 y d 1 x d 2 x d 3 x d 4 x d 5
求解时设y p( y ),则y 原方程成为p
dp dy dp p dy dx dy
例2
dP 解 设 y p( y ), 则 y p dy , dP dP 2 代入原方程得 y P P 0, 即 P ( y dy P ) 0, dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , dy dy C1 y , 原方程通解为 y C e C1 x . 2 dx
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P ( nk ) f ( x, P ( x ),, P ( nk 1) ( x )). 求得 P ( x ),
将y
(k )
P ( x ) 连续积分k次, 可得通解.
作为上述类型有两种更特殊的情况：
一. y ( n) f ( x)
等式右端不显含末知函数及末知函数的导数，可 对两端直接积分n次求其通解，通解中有n个任意 常数 二. y f ( x, y)
第七节 可降阶的高阶微分方程
基本解法是： 通过代换将其化成较低阶的 方程来求解.
一、 y
( n)
f ( x, y ,, y
(k )
( n1 )
)型
特点： 不显含未知函数y及 y,, y( k 1) .
解法： 令 y ( k ) P ( x )
则 y ( k 1 ) P , y ( n ) P ( n k ) .
P.366 3 y
例 : 求解微分方程 xy y 0
1 2 1 3 x c1 , y x c1 x c2 2 6 1 1 y (0) 1, y(0) , c2 1, c1 , 2 2 1 1 所求曲线方程为 y x3 x 1 6 2
解 : 设y p, 则有xp p 0, 解之得 c1 dy p , y c1 ln x c2 x dx
例 1 求方程 xy ( 5 ) y ( 4 ) 0 的通解.
解
设 y ( 4 ) P ( x ),
y
(5)
P ( x )
代入原方程
xP P 0, （P 0）
5 3 2
ห้องสมุดไป่ตู้
二、 y
( n)
f ( y, y ,, y
(k)
( n1)
) 型
特点： 右端不显含自变量x . 解法： 设 y p( y )
2 2
d P dP 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
dp dy dP 则 y p , dy dx dy