空间几何体期末考前复习资料教师版(1)
必修二空间几何体章末复习(带答案)
必修 2.1.4 空间几何体章末复习知识框架：知识内容：知识梳理1. 构成空间几何体的基本元素1）几何体的概念只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2）构成几何体的基本元素：点、线、面（1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A，B ，C 来命名；（2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般用一个小写字母a，b，l 或用直线上两个点AB ，PQ 表示；一条直线把平面分成两个部分．（3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面，平面ABCD 或平面AC ；一个平面将空间分成两个部分．3）用运动的观点理解空间基本图形间的关系在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体．2. 多面体的结构特征1）多面体（1）多面体的定义由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．（2）多面体的分类按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等．（3）简单多面体定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系V F E 2 ．（4）正多面体定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体；正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5 种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等．2）棱柱（1）棱柱的定义由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，ABC D ，侧面有ABB A ，DCC D 等四个，侧棱为AA ，BB ，CC ，DD ，对角面为面ACC A ，BDD B ，AH 为棱柱的高．2）棱柱的性质棱柱的两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．3）棱柱的分类①按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形⋯⋯的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱②按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；③底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；4）棱柱的记法①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱；②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱ABCD A'B'C'D '或棱柱AC '等．5）特殊的四棱柱：3） 棱锥（ 1） 棱锥的定义 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥． 它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 多边形叫做棱锥的底面； 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面 垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高．（ 2） 棱锥的分类 底面是三角形、四边形、五边形 ⋯⋯的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 ⋯⋯； 底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥． 正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．（ 3） 棱锥的记法 用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如上图的五棱锥记为 棱锥 S ABCDE 或棱锥 S AC ．4） 棱台（ 1） 棱台的定义 棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台． 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台 的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高． （ 2） 棱台的性质底面是平行四边形四棱柱平行六面体侧棱与 底面垂直直四棱柱正方体正四棱柱底面为 正方形底面是平行四边形直平行六面体侧棱与 底面垂直侧面也为 正方形棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；3）棱台的记法用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示．4）正棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C ，侧棱AA ，BB ，CC延长后必交于一点．O，O 为上下底面的中心，它们的连线O O是棱台的高，HH 是棱台的斜高．3. 旋转体的结构与特征1）圆柱、圆锥和圆台（1）定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示．（2）性质①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．O'2）球球的定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体）做球面．，半圆旋转而成的曲面叫半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．4. 三视图1) 投影由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．MF2）平行投影（1）定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．（2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．（3）正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．3）中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．4）三视图（1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）（2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）（3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：5）三视图的对应关系正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．5. 直观图1）定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法．2）斜二测画法规则（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使xOz 90 ，yOz 90 ．（三维空间中）（2）画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz画成对应的轴Ox，Oy，Oz ，使xOy 45 或135 ，xOz 90 ，xO y 所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）（3）已知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴，y'轴或z 的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．6. 简单空间几何体的表面积和体积1）直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积．S直棱柱侧（S圆柱） ch，其中c 为底面的周长，h为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2）正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．11S正棱锥侧ch' nah' ，其中a 为底面边长，h '为斜高；221S圆锥侧1cl πrl ，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；圆锥侧23）正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．1nS正棱台侧1(c c')h' n(a a')h' ，其中a,a '分别是正棱台上下底面的边长，h '为斜高；正棱台侧2 24) 球面面积等于它的大圆面积的四倍，S球4πR2，R为球的半径．5) 柱体(棱柱，圆柱)体积公式：V柱体Sh，其中S 为底面积，h为高；16) 棱体(棱锥，圆锥)的体积公式：V棱体1 Sh，其中S 为底面积，h为高；棱体37) 台体(棱台，圆台)的体积公式：V台体1h(S SS' S') ，其中S',S分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；48) 球的体积公式：V球4πR3，R为球的半径．3例题讲解：题型一图形的画法本章重点学习了立体几何图形的两种画法：一是三视图画法，二是斜二测画法．1．三视图画法：它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“高平齐、长对正、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；D 表示直径，R表示半径；单位不注明的按mm 计．2．斜二测画法：主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；② 画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y 轴的线段的长度变为原来的一半．例1 在下图中，图乙是图甲中实物的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的侧视图．解析：图甲是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)．正确画法如下图所示．( 用虚线表示) ，例 2 已知正三角形 ABC 的边长为 a ，那么 △ABC 的平面直观图 △A ′B ′C ′的面积为 ( )图(1)、 (2)所示为实际图形和直观图．由 (2)可知， 13A ′B ′＝ AB ＝a ，O ′C ′＝2OC ＝ 4 a ， 在图 (2) 中作 C ′D ′⊥A ′B ′于 D ′， 则 C ′D ′＝ 22O ′C ′＝86a.28∴S △A ′B ′C ′＝1A ′B ′C ·′D ′＝ 1×a × 6a ＝ 6a 2.2 2 8 16 答案： D巩固 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ___________________答案： 16π－ 16题型二 有关空间几何体的体积与表面积的计算1．直接考查表面积与体积公式．2．组合体的表面积与体积，分割转化成柱、锥、台、球的表面积与体积．解决这类问题，要充分利用平面几何知识，把空间图形转化为平面图形，特别注意应用柱、锥、台体的侧面展开 图．A.43a 2 B. 83a 262 C. 8 a 2D. 616解析： 先根据题意，画出直观图，然后根据直观图 △A ′B ′C ′的边长及夹角求解．1V PGAC＝2V PABC ＝V GABC1h ＝ 3S △ABC ·2.又 S △ ADC ∶ S △ ABC ＝ 2∶ 1， 故 V DGAC ∶V PGAC ＝ 2∶1. 答案： C例 4 右图是古希腊数学家阿基米德的基碑文，基碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆 柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：圆柱的体积与球的体积 之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为 ( )解析： 设球的半径为 R ， 则圆柱的底面半径为 R ，高为 2R ， ∴V 圆柱＝ πR 2× 2R ＝ 2πR 3，34 3 V 圆柱2πR 3 V 球＝3πR 3，∴ V 球 ＝4π3＝2，V 3 πR 3S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，例 3 正六棱锥 PABCDEF 中， G 为 PB 的中点， 则三棱锥 DGAC 与三棱锥 PGAC 的体积之比为 ( )A ． 1∶ 1B ．1∶2解析： 如图， 设棱锥的高为 h ，V DGAC＝ VGDAC 11＝ 3S △ADC ·2h ，A.32，1B.23，1C.322 D.3，S 圆柱 S 球26πR 24πR 232，故选 C.C．答案： C个平面分三棱台成两部分的体积之比为 (答案： CA 1B 1C 1ABC 的体积为 V 2，则 V 1∶V 2＝ ________答案： 1∶ 24题型三 思想方法——转化思想与函数方程思想转化思想的核心在于把生疏和复杂的问题转化、归结为较为熟悉、简单的问题解决，在本章中体现在通过展开图 求其表面积、利用截面图将立体几何问题转化成平面几何问题等．函数方程思想是用运动变化的观点研究具体问题中 的数量关系，如表面积、体积及空间几何体表面上的距离等问题．例 3 已知一个圆锥的底面半径为 R ，高为 H ，在其中有一个高为 x 的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；巩固 如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2 的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A1B 1EF ，这A ． 1∶2C ．3∶4B ． 2∶3 D ． 4∶5解析： 设棱台的高为 h ，上底面面积为 S ，则下底面面积为174S ，∴V 台＝3h （S ＋ S × 4S ＋4S ）＝3Sh.V 柱 A 1B 1C 1FECV柱V 台－ V 柱Sh73Sh －Sh 34，故选 C.巩固 如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是 AB ，AC ，AA 1 的中点，设三棱锥FADE 的体积 V 1，三棱柱(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解析： (1)设圆柱的底面半径为 r ，则它的侧面积为S ＝ 2πrx ， r H － xRR ＝H，解得： r ＝R －H x ， 所以 S 圆柱＝ 2πRx － 2 R x 2.H(2)由(1)知：S 圆柱 ＝ 2πRx － 2H πR x 2，在此表达式中， S 为 x 的二次函数，因此，当 x ＝ H 2时，圆柱的侧面积最大．ABCD 中， AB ＝CD ＝p ，AD ＝BC ＝q ，AC ＝BD ＝r ，则三棱锥 ABCD 外接球的半径为多少？x 2＋y 2＝2 2 2 2 2 2 p 2＋q 2＋r 2x 2＋y 2＋z 22p 2＋q 2＋r 2则 y 2＋z 2＝q 2， 所以 x 2＋y 2＋z 2＝p 2.从而外接球的半径为 R ＝ x 2 ＝ 2 p 4222 z ＋ x ＝ r ，巩 固 在三棱锥解析 ：以 AB ， AC ，AD 为面对角线构造长方体，设长方体的三棱长分别为x ，y ，z.2p ， 2、选择题章末测试卷1．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，A ．棱柱B．棱台水平放置，所得的几何体是() C．棱柱与棱锥组合体 D ．无法确定2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能2 题图为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的A．①②D．①②B ．②③C．①③3．如图所示的正方体中，M、N 分别是AA1、CC 1 的中点，作四边形D1MBN ，则四边形D1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，近，又A′ D′∥y′轴，那么原△ ABC 的AB、是△ A′ B′C′中B′C′边上的一点，)DAD 、AC 三条线段中(且D ′离C′比D′离B′A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是AD最短的是ACD．AD，A ．等腰梯形最长的是B．直角梯形C．任意四边形6．如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，A．1 B．2)D．平行四边形直角三角形的个数是7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()B，C 分别是△ GHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图（二、填空题13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的的编号）．①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱14．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于A．6 B．9 C．128．平面A. 6π9．如图所示，α截球O 的球面所得圆的半径为B．4 3π则这个几何体的体积等于C．1，球心O 到平面4 6πα的距离为2，则此球的体积为（）D ．6 3π()A．4 B．6 C．D．1211．圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A ．120 °B．150°C．180°D．240°12．已知三棱锥S－ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ SC＝2，则此棱锥的体积为23A. B.66ABC 是边长为的正三角形，SC 为球O 的直径，且(C. 32D.2210．将正三棱柱截去三个角（如图1 所示，A，2 所示方向的侧视图为选项图中的（填入所有可能的几何体前3cm .)20. 如图所示，有一块扇形铁皮 OAB ，∠ AOB ＝60°， OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇形环 ABCD ，作圆台形容器的 侧面，并且余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面 )．试求： (1)AD 的长； (2)容器的容积．15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，则这个球的表面积是 _____________ ．116.一个水平放置的圆柱形储油桶 (如图所示 ) ，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的41，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是 ____________三、解答题17．某个几何体的三视图如图所示 (单位： m)，(1) 求该几何体的表面积 (结果保留 π)； (2) 求该几何体的体积 (结果保留 π)．18．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图如图．(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图 (2)求这个几何体的体积．(不写作法 )；19. 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠ DAB ＝90°，∠ ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2 2， AD ＝ 2，求四边形 ABCD绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．答案1．A 2.B 3.D 4．C 5．B 6．D 7.B 8.B 9．A 10．A 11． C 12．A 13．①②③⑤ 14． 1 15.24 π 16.41－21π 4 2 π17．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为12 2 2 2(1)几何体的表面积为 S ＝2×4π×12＋ 6×22－ π× 12＝ 24＋ π(m 2)． (2)几何体的体积为 V ＝23＋12× 34×π×13＝8＋ 23 (m 3)． 18．解 (1) 直观图如图．(2)这个几何体是一个四棱锥．它的底面边长为 2，高为 3， 所以体积 V ＝ 13× 22× 3＝433.3319．解 S 表面＝ S 圆台底面＋ S 圆台侧面＋ S 圆锥侧面 ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝ (4 2＋60) π.V ＝V 圆台－V 圆锥12 2 1 2＝ 3π（r 12＋ r 1r 2＋r 22）h －3πr 21h ′ 11 ＝3π（25＋ 10＋ 4）×4－ 3π× 4× 2即 AD 应取 36 cm. ππ （2）∵2πr ＝3·OD ＝3·36，∴r ＝6 cm ， 圆台的高 h ＝ x 2－ R － r 2＝ 362－ 12－ 6 2＝ 6 35.∴ V ＝ 31πh （ R 2＋ Rr ＋ r 2） ＝ 31π·635 ·（12 2＋ 12× 6＋62）＝504 35π（cm 3）．14820．解 (1) 设圆台上、下底面半径分别为 r 、R ，AD ＝x ，则 OD ＝72－x ，由题意得 2πR ＝ 60· 180 π ×72 72－x ＝3RR ＝12 x ＝ 361 m 的半球．。
《空间几何体》复习要点
《空间几何体》复习要点一、几何体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”，注意虚、实线的区别．二、几何体的直观图画几何体的直观图一般采用斜二测画法，步骤清晰易掌握，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z 轴的线段长度不变)来掌握，在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查画法中角度和长度的变化．三、例题讲解例题1：如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．改：把本例中的几何体上下颠倒后如图，试画出它的三视图例题2：如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB=6，DC=4，AD=2，则这个平面图形的实际面积是.【思路点拨】由∠BCx=45°，先计算BC的长度．【解析】由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形，且AB与CD的长度不变，仍为4和6，高CB为【误区点评】梯形的高容易误认为AD，而实际是BC.四、习题精炼1、用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱，圆锥，球体的组合体2、已知某物体的三视图如图1所示，那么这个物体的形状是()A．六棱柱B．四棱柱C．圆柱D．五棱柱图1 图2 图33、已知一个几何体的三视图如图2所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱4、关于如图3所示几何体的正确说法为()①这是一个六面体②这是一个四棱台③这是一个四棱柱④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱A ．①②③④⑤B ．①③④⑤C ．①④⑤D ．①③④5、右图4为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为 .图4 图56、三视图如图5的几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台 7、如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。
专题4 第1讲 空间几何体(教师版)
第1讲 空间几何体【要点提炼】考点一 表面积与体积1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)．2．空间几何体的体积公式V 柱＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 锥＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； V 球＝43πR 3(R 为球的半径)． 【热点突破】【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．【答案】 402π【解析】 因为母线SA 与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r ，则母线长l ＝2r.在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158. 因为△SAB 的面积为515，即12SA ·SBsin ∠ASB＝12×2r ×2r ×158＝515， 所以r 2＝40，故圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D －BB 1C 1的体积为________．【答案】 233 【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接AO.∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3.∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3.又11BB C S ＝12×2×2＝2， ∴11D BB C V ＝13×2×3＝233. 易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)．(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π【答案】 B【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．【答案】 327 【解析】 设CD ＝DE ＝x(0<x<1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x)(1－x)＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1时，V ′<0. ∴当x ＝33时，V max ＝327. 【要点提炼】考点二 多面体与球解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．【典例】2 (1)已知三棱锥P －ABC 满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】 64π【解析】 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面PAB 上，即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理AB sin ∠APB＝2R ，解得R ＝4， 所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】 23π 【解析】 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π. 规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S －ABC 的外接球球心O 的确定方法：先找到△ABC 的外心O 1，然后找到过O 1的平面ABC 的垂线l ，在l 上找点O ，使OS ＝OA ，点O 即为三棱锥S －ABC 的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．【拓展训练】2 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】 C【解析】 如图所示，设球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △AOB ＝12R 2，因为V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．【答案】 20π【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3，∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE 2＝AD 2＋ED 22＝2， 设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1，则43πR 31＝92π，解得R 1＝322. ∵PA ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 21， 可得PA 2＝R 21－r 21＝102，∴PA ＝10. 正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10，∴r 2＝102，∵PA ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π.专题训练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形【答案】 A【解析】 AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2.在Rt △AOB 中，AB ＝12＋32＝2，同理AC ＝2，所以原△ABC 是等边三角形．2．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12 【答案】 C【解析】 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′，则由已知得h 2＝12ah ′. 如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， ∴h ′2＝12ah ′＋14a 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0， 解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)． 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18【答案】 C【解析】 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形，设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14. 4．(2020·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为( )A ．4 500元B ．4 000元C ．2 880元D ．2 380元【答案】 B【解析】 因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】 B【解析】 由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h(h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 【答案】 C【解析】 如图，过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3. 7．(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】 A【解析】 如图，设圆O 1的半径为r ，球的半径为R ，正三角形ABC 的边长为a.由πr 2＝4π，得r ＝2， 则33a ＝2，a ＝23， OO 1＝a ＝2 3.在Rt △OO 1A 中，由勾股定理得R 2＝r 2＋OO 21＝22＋(23)2＝16，所以S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π.8．(2020·武汉调研)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为( ) A.32π3 B ．3π C.4π3 D ．8π【答案】 A【解析】 设△ABC 外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3， ∴2r ＝AB sin ∠ACB ＝112＝2， 即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3， ∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，∴球O 的体积V ＝43π·OA 3＝32π3.故选A. 9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C ．81πD ．128π【答案】 B 【解析】 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0<h<5)，底面半径为r(0<r<5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h<5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h<53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h<5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝⎛⎭⎪⎫25－259×⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋5＝4 000π27，故选B. 10．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( )A.36B.12C.13D.32【答案】 C【解析】 ∵在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ，∵球O 的半径为1， ∴正方体的边长为233，即PA ＝PB ＝PC ＝233， 球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13 S △PAB ×PC ＝13× 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形， S △ABC ＝233，∴h ＝23， ∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13. 二、多项选择题11．(2020·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值【答案】 AD【解析】 由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A 正确；因为水面EFGH 所在四边形，从图②，图③可以看出，EF ，GH 长度不变，而EH ，FG 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B 错；假设A 1C 1与水面所在的平面始终平行，又A 1B 1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A 1B 1C 1D 1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C 错；水量不变时，棱柱AEH －BFG 的体积是定值，又该棱柱的高AB 不变，且V AEH －BFG ＝12·AE ·AH ·AB ，所以AE ·AH ＝2V AEH －BFG AB ，即AE ·AH 是定值，故D 正确． 12. (2020·青岛检测)已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π【答案】 AD【解析】 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，并取E ，E 1分别为BC ，B 1C 1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，BD ，A 1C 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE.由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则PA ＝2AA 1＝4，OA ＝2，所以OO 1＝12PO ＝12PA 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由PA ＝PC ＝4，AC ＝4，得△PAC 为正三角形，则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 不正确；四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE 2＝12×232＋22＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 不正确；易知OA 1＝OB 1＝OC 1＝OD 1＝O 1A 21＋O 1O 2＝2＝OA ＝OB ＝OC ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D 正确．三、填空题13．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．【答案】 1【解析】 如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝2π，即r ·l ＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl 2＝2π， 可得l ＝2，因此r ＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.【答案】 2 600π【解析】 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm 2)． 15．已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为________．【答案】 823π 【解析】 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径2R ＝22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π. 16．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2π2【解析】 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形，则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ. 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1，同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点，∴∠PEQ ＝π2， 知PQ 的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。
空间几何体复习提纲.docx
空间几何休笈习提倒一、简单几何体的结构特征：点、线、面是构成几何体的基本元素；1、多面体：若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体；围成多面体的各个多边形叫多面体的面，相邻两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点。
(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的多面体叫做棱柱。
①、侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱；②、侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱；③、底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)棱锥：一个面是多边形；其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱锥的分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥……正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥正棱锥的基本性质：侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(叫做正棱锥的斜高)。
要特别注意正三棱锥和正四面体的区别与联系，以及他们的特征：正三棱锥是指底面是正三角形，其余侧面是全等等腰三角形的棱锥；正四面体是指四个面都是全等的等边三角形的棱锥。
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台。
2、旋转体：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体(1)圆柱、圆锥、圆台：菖A 色(\②球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫作球体，简称球(用一个截面去截一个球，截面是圆面。
)3、简单组合体：常见的组合体有三种：①、多面体与多面体的组合；②、多面体与旋转体的组合；③、旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体.二、柱体、锥体、台体、球的表面积和体积:1、棱柱、棱锥、棱台的表面积：都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形。
新课标2023版高考数学一轮总复习第6章立体几何第1节空间几何体教师用书
第一节 空间几何体考试要求：1．认识柱、锥、台及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱及其简易组合)的直观图．3．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．一、教材概念·结论·性质重现1．多面体的结构特征互相平行且全等多边形互相平行平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点平行四边形三角形梯形相互平行且相等并垂直于底相交于一点延长线交于一圆空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)“斜”：在直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°．(2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线，在直观图中长度为原来的一半．画直观图要注意平行，还要注意长度及角度两个要素．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl圆台侧＝π(r1＋．空间几何体的表面积与体积公式名称表面积体积几何体柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S 底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝S底·h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解6．常用结论几个与球有关的切、接常用结论：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R．①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a．(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．解决与球“外接”问题的关键：二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( √ )(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS．( × ) 2．如图，长方体ABCD A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱 D．简单组合体C 解析：由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A．1 cm B．2 cmC．3 cm D． cmB 解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2 cm．4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．12π B．C．8π D．4πA 解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π．故选A．5．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为__________，面积为________cm2．矩形 8 解析：由斜二测画法的规则可知，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2．考点1 空间几何体的结构特征与直观图——基础性1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球D．圆柱、圆锥、球体的组合体C 解析：截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体．2．下列命题正确的是( )A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台C 解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A，B错误，C正确．对于D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，D不正确．3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C ′D′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形C 解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm．所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC，所以四边形OABC是菱形．4．(多选题)下列命题中正确的是( )A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C．存在每个面都是直角三角形的四面体D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等BC 解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1 ABC，四个面都是直角三角形；D不正确棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．1．解决空间几何体的结构特征的判断问题主要方法是定义法，即紧考点2 空间几何体的表面积与体积——综合性考向1 空间几何体的表面积问题(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2 B．2 C．4 D．4B 解析：由题意知圆锥的底面周长为2π．设圆锥的母线长为l，则πl＝2π，即l＝2．故选B．(2)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为()A ．4＋4B ．4＋4C ．12D ．8＋4A 解析：连接A 1B ．因为AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥BC ，又AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为∠CA 1B ＝30°．又AA 1＝AC ＝2，所以A 1C ＝2，所以BC ＝．又AB ⊥BC ，则AB ＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4．(3)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝ cm 2．2 600π 解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm 2)．求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积1．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_________．12 解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′．由题意，得×6××2××h＝2，所以h＝1，所以斜高h′＝＝2，所以S侧＝6××2×2＝12．2．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为________．36 解析：设球的半径为r，底面三角形的周长为l，由已知得r＝1，所以堑堵的高为2．则lr＝6，l＝12，所以表面积S＝12×2＋6×2＝36．考向2 空间几何体的体积问题(1)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为( )A． B．C． D．A 解析：易知三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，又三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝．(2)(2021·八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．61π 解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝＝＝3．据此可得圆台的体积V＝π×3×(52＋5×4＋42)＝61π．求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．通过选择合适的底面来求几何体体积，主要用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积1．(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．39π 解析：设圆锥的高为h ，母线长为l ，则圆锥的体积V ＝×π×62×h ＝30π，解得h ＝．所以l ＝＝＝，故圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π×6×＝39π．2．如图，已知体积为V 的三棱柱ABCA 1B 1C 1，P 是棱B 1B 上除B 1，B 以外的任意一点，则四棱锥PAA 1C 1C 的体积_________． 解析：如图，把三棱柱ABCA 1B 1C 1补成平行六面体A 1D 1B 1C 1ADBC ．设点P 到平面AA 1C 1C 的距离为h ，则V ＝S ·h ＝V ＝·2V＝．考点3 与球有关的切、接问题——综合性考向1 “相切”问题已知正四面体PABC 的表面积为S 1，此四面体的内切球的表面积为S 2，则＝________． 解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S1＝4××a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝×a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝．考向2 “相接”问题已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )A． B． 2C． D．3C 解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝．1．已知三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥PABC的外接球的体积为( )A．π B．π C．27π D．27πB 解析：因为三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC．因为PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥PABC的外接球．因为正方体的体对角线长为＝3，所以其外接球半径R＝．因此三棱锥PABC的外接球的体积V＝×＝π．2．(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．π 解析：方法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝＝2．易知BE ＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，所以R＝，圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π．方法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2．设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π．。
立体几何复习资料
..DOC版. 立体几何复习资料（1）一、空间几何体1．1棱柱、棱锥和棱台知识点：1、棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。
平移的起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面。
底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…2、棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。
3、棱台：棱锥被平行于地面的一个平面所截之后，截面和底面之间的部分叫做棱台。
1．2圆柱、圆锥、圆台和球知识点：1、将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着他的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做地面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线。
2、球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球，半圆弧旋转而成的曲面叫做球面。
3、旋转面旋转体：一般的，一条平面曲线饶它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何称陈为旋转体。
1．3中心投影和平行投影1、投影：投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。
2、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影，按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。
3、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。
4、视图：视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。
光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下地称为俯视图，自左向右地称为左试图，用这三种视图刻画空间物体的结构，我们称之为三视图。
5、三视图要点主视图与左视图高要保持平齐，主视图与俯视图的长应对正，俯视图与左视图的宽度应相等（高平齐，宽相等，长对正）1．4直观图画法斜二测画法(1)在空间图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz=90°,∠y Oz=90°(2) 画直观图时把他们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，他们相交与O′，并使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°. x′轴和y′轴所确定的平面表示水平平面。
《立体几何》知识点填空(教师版)
《立体几何》知识点填空（教师版）一、两个元素之间的关系（以下公理、定理、结论，均分别用“文字、图形、符号”这三种语言描述）（一）“点与直线”之间有 2 种关系？（1）过空间中一点作已知直线的平行线，共有1条？作平行面，共有无数个？（2）过空间中一点作已知直线的垂线，共有无数条？作垂面，共有1个？（二）“点与平面”之间有2种关系？【公理1】如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
【应用】①检验桌面是否平；②判断直线是否在平面内。
【公理2】经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1：一直线和直线外一点确定唯一平面。
推论2：两相交直线确定唯一平面。
推论3：两平行直线确定唯一平面。
【应用】①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据。
（1）过空间中一点作已知平面的平行线，共有无数条？作平行面，共有1个？（2）过空间中一点作已知平面的垂线，共有1条？作垂面，共有无数个？（三）“直线与直线”之间有3种关系？【等角定理】如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
【异面直线判定定理】过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。
（四）“直线与平面”之间有3种关系？（五）“平面与平面”之间有2种关系？【公理1】夹在两平行平面间的平行线段相等。
【公理2】如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
【应用】①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（六）空间中的平行问题定理1（线面平行的判定）：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
定理2（面面平行的判定）：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
定理4（面面平行的性质1）：如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
2020年高三总复习数学人教旧版-必修2[第1讲 空间几何体的结构与体积] 讲义(教师版)
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的关系： r R2 d 2
5.旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面；该定直
线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．
6.简单组合体
常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；
多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基
本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成
叫底面 O 的半径，线段 SO 是圆锥的高．
S 顶点
(2)圆的简单性质
①平行于底面的截面都是圆； ②过轴的截面是全等的等腰三角形；
侧面
轴 母线
③圆锥的侧面展开图是扇形． 3.圆台 (1)圆台的定义
O B
A 底面
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周所形成的集合体叫做圆台．
如右图，旋转轴叫圆台的轴（即上、下底面圆心的连线）；在轴上这条边
4.球
(1)球的定义
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球． 如右图，半圆的圆心
叫球的球心；半圆的半径叫做球的半径； 半圆的直径叫做球的直径；半圆弧旋转而成的曲面叫做球面．
(2)球的简单性质
A 直径
用一个平面去截球，截面是圆面，而且球心和截面圆心的连线
O
垂直于截面，球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 有下面 球面
4．棱台和圆台的体积： (1) 如 果 台 体 的 上 、 下 底 面 面 积 分 别 为 S′ 、 S ， 高 是 h ， 则 它 的 体 积 是 V 台 体 ＝
㤶(h + h' + hh').
(2)如果圆台的上、下底面半径分别是 r′、r，高是 h，则它的体积是 V 圆台＝ 㤶( + ' +
空间几何体复习知识点归纳.doc
1.1柱、锥、台、球的结构特征（1） 棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A 'B 'C 'D 'E '或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD ' 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形； 侧面、对角面都是平行四边形； 侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2） 棱锥定义：有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A 'B 'C 'D 'E ' 几何特征:侧面、对角面都是三角形； 平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。
3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 PA 'B 'C 'D 'E ' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4） 圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ，其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体几何特征:①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5） 圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6） 圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。
期末复习立体几何
高一期末复习（三）——立体几何一、空间几何体（一）基本知识回顾：1. 空间几何体——柱、锥、台、球的结构特征：2. 三视图、斜二测画法：3. 空间几何体的表面积：棱柱、棱锥的表面积：圆柱的表面积= 圆锥的表面积=圆台的表面积= 球的表面积=扇形的面积=4. 空间几何体的体积：柱体的体积= 锥体的体积=台体的体积= 球的体积=（二）复习练习：1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④2. 若一个几何体的正视图与侧视图均是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图是（）A B C3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A．14+πB．134+πC．834+πD．84+π4.5. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是（）A．8 B．12 C．4(1D．6. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：cm），则这个几何体的表面积、体积分别是（）A．29πcm、315cmπB．212πcm、312cmπC．215πcm、315cmπD．224πcm、312cmπ俯视图7. 如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视 图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积为 A ．24 B ．8 C ．12 D ．48. 一个正三棱柱的三视图如下所示，则这个正三棱柱的高 和底面边长分别为（ ）A. 2，B.2 C. 4，2 D. 2，49. 已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如图所示，则它的左(侧)视图的面积是．10. 如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）. A. π B.4π C. π D.32+π11. 设某几何体的三视图如下左边所示（尺寸的长度单位为m ）。
则该几何体的体积为3m 12. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如上右图，则该几何体的侧面积为________cm 2.13. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.14. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图 是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为 正方形，那么该几何体的表面积是（ ） A. 16 B. 2412+C. 20D. 2416+15. 正方体ABCD-A’B’C’D 中，E 、F 分别为A A’,C’D’的中点，G 为正方形BCC’B’中心，则四边形AEFG 在该正方体各个面的投影可能是.①② ③ ④16. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是（ ）17. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为A. 12B. 32C. 23 D. 6直观图正视图（11题） （12题） （13题）E 正视图侧视图俯视图A 主视俯视图左视正视俯视侧视CA二、点、直线、平面间的位置关系（切忌死记硬背，提倡灵活运用） （一）立体几何网络图：（二）空间角的求法：（了解）1. 异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所 成的角。
高二第1讲 空间几何体及表面积与体积(教师)
2.画几何体的高：在已知图形中过O点作垂直于xOy平面的z轴，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍_平行于_z′轴且长度_不变_.
五、柱体、锥体、台体的表面积
1．多面体的表面积
(1)我们可以把多面体展成_平面图形_，利用_平面图形_求面积的方法，求多面体的表面积；
(2)棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的侧面积就是各_側面面积____之和，表面积是_各个面的面积_之和，即_側面积_与_底面积__之和．
2．旋转体的面积与体积
名称
图形
侧面积
表面积
体积
圆柱
S侧＝2πrl_
S＝_ 2πr2＋2πrl
或S＝_ 2πr(r＋l)
V=Sh
圆锥
S侧＝πrl
S＝πr2＋πrl
(2)（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）
（3）已知正三角形ABC的边长为1，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．
思考流程(1)分析：将直观图还原为平面图形；推理：将斜二测画法画直观图的要求逆用；结论：根据规则画出原来图形．(2)分析：观察俯视图，用淘汰法。
(2)如图7－37－8所示，已知△ABC的水平放置的直观图是等腰Rt△A′B′C′，且∠A′＝90°，A′B′＝，则△ABC的面积是()
A.B．2C．4D．1
[答案](1)2a2(2)B
[解析](1)一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，而直观图面积S′＝a2，所以原平面四边形的面积为＝2a2.
4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．
立体几何复习讲义
期末复习讲义（一）立体几何．基础知识．点、直线、平面之间的位置关系及语言表达;3.8,请同学们自己梳理一下问题(还会吗?)(结合以前做过的题目)(1)和几何体的展开图及展开图还原的相关问题;(2)什么叫截面?如何找几何体的截面及和截面相关的问题;(3)如何利用等积法求三棱锥的体积及点到平面的距离?(4)探索性问题及折叠问题.综合例题讲解(一)类型一：平行垂直的证明例：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=1,D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.工(1)求证：PA1±BC；(2)求证：PB1〃平面AC1D；(3)求证：B1D，平面ADC1.(二)类型二：求空间中的角/PAB=60。
AB=BC=CA平面例：如图在三棱锥P—ABC中/APB=90。
PAB1平面ABC(I)求直线PC与平面ABC所成角的正切值(II)求二面角B—AP—C的正切值(求异面直线与的夹角的余弦值。
(三)类型三：有关求体积或求距离的综合问题例3:如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD，底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点.(2)求异面直线PB与CD所成角的正切值的大小;(3)线段AD上是否存在点。
，使得它到'平面PCD的总若不存在,请说明理由．PA(1)求证：PO，平面ABCD；C 0,,,3离为2? 存在，求出QD的值;(四)类型四:有关折叠的综合性问题(探索性问题等)例：如图Z ACB=45。
BC=3过动点作AD1BC垂足在线段上且异于点连接沿AD将^ABD折起使Z BDC=90。
(如图所示)(I)当BD的长为多少时三棱锥A-BCD的体积最大(II)当三棱锥A-BCD的体积最大时设点EM分别为棱BCAC的中点试在棱CD上确定一点N使得EN1BM。
AAMD・.CBE图1图2作业：如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BB1C1C，底中面ABC.⑴若D是BC的中点，求证：AD±CC/⑵过侧面BB1C1C的对角线BC1的平山上侧面BB1c1C.C.2.如图，正方体的棱长为1,B'C n BC=0,求:(1)A0与A，C'所成角的度数；(2)A0与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面A0B与平面A0C所成角的度数.3..如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为DD,,DB的中点.(1)求证：EF〃平面ABC1D1；(2)求证：EF±B1C；(3)求三棱锥B1-EFC的体积.AB1如图直三棱柱ABC—ABC中AC=BC=—AAD是棱AA1的中点DC11BD11121证明DC1BC1求二面角A—BD—C的大小11。
第一章空间几何体知识点归纳及基础练习
第一章 空间几何体一、知识点归纳（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。
(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积①柱体的体积 V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底 ③台体的体积1)3V S S h =+⨯下上（ ④球体的体积343V R π= 二、巩固练习： 222r rl S ππ+=1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④解析：正方体三个视图都相同；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆；三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同；正四棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形，故选D.答案：D2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )A ．角的水平放置的直观图不一定是角B ．相等的角在直观图中仍然相等C ．相等的线段在直观图中仍然相等D ．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B 、C ，故选D.3．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）BA.2倍B.42倍C.22倍 D.21倍 4．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（ B ） A ．1:2:3 B ．1:4:9C ．2:3:4D ．1:8:27 5．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如图所示，则该几何体的表面积为 （ B ）A ．π12B ．π24C ．π36D ．π486（A）圆锥(B)棱柱答案C.7．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为A．π3B．π2C．π23D．π4答案 C.8．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ A ）B.9．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ B ）A．25πB．50πC．125πD．都不对10.三角形ABC中，AB=32，BC=4，︒=∠120ABC，现将三角形ABC绕BC旋转一周，所得简单组合体的体积为（）CA．π4 B.π)34(3+ C.12π D.π)34(+11．下图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为( D )A.15πB.18πC.22πD.33π12．某四棱锥的三视图如图所示,( B )B．16C．48D．16+13．设正方体的棱长为233,则它的外接球的表面积为（C）A．π38B．2πC．4πD．π3414．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3:2:1,则此长方体的外接球的表面积为 ( ) DA.π7B.π14C.π21D.π2815．Rt ABC∆中，3,4,5AB BC AC===，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为____________。
2019-2021北京高中数学期末汇编：空间几何体(教师版)
2019-2021北京高中数学期末汇编：空间几何体一．选择题（共31小题）1．（2020秋•石景山区期末）如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD 的面积为f（x）（x）的图象大致是（）A．B．C．D．2．（2021春•海淀区校级期末）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的高为（）A．1B．C．D．23．（2021春•西城区期末）某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为（）A．12πcm3B．15πcm3C．36πcm3D．45πcm34．（2020春•顺义区期末）已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．8π5．（2020春•平谷区期末）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（）A．2πB．8πC．12πD．16π6．（2020春•西城区期末）圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（）A．20πcm2B．10πcm2C．28πcm2D．14πcm27．（2021春•朝阳区期末）如图、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝2，则该四棱锥的体积为（）A．18B．12C．9D．68．（2020春•丰台区期末）如图所示，下列四个几何体：其中不是棱柱的序号是（）A．①B．②C．③D．④9．（2021春•通州区期末）下列说法不正确的是（）A．平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B．直棱柱的侧棱长与高相等C．斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D．直四棱柱是长方体10．（2021春•丰台区期末）已知正三棱锥P﹣ABC，底面ABC的中心为点O，给出下列结论：①PO⊥底面ABC；②棱长都相等；③侧面是全等的等腰三角形．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．（2021春•房山区期末）下列命题正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥D．圆锥有无数条母线12．（2021春•海淀区校级期末）若圆锥的母线长与底面半径之比为4：1，则该圆锥的侧面积与底面积之比为（）A．4：1B．2：1C．π：1D．π：213．（2021春•海淀区校级期末）圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A．2B．3C．1D．14．（2020秋•东城区期末）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）（）A．B．C．D．15．（2019秋•海淀区校级期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足（）A．6B．8C．12D．2416．下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形17．（2020秋•海淀区校级期末）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1的中点，AA1＝2，AB＝1，若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹是（）A．B．C．D．18．（2021春•丰台区校级期末）如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕其图中的对称轴旋转一周，形成的几何体为（）A．一个球B．一个球中间挖去一个棱柱C．一个圆柱D．一个球中间挖去一个圆柱19．正四棱柱的高为3cm，体对角线长为cm（）A．10B．24C．36D．4020．（2021春•昌平区期末）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为．则该正四棱锥的表面积为（）A．B．C．D．21．（2021春•房山区期末）已知正四棱锥P﹣ABCD的高为，底面边长为2，则正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为（）A．B．8C．D．422．（2021春•海淀区校级期末）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．23．（2021春•西城区期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）（a＞0，b＞0，c＞0），且△ABC的面积为6．过O作OH⊥平面ABC于点H．若三棱锥O﹣ABC的体积为6（）A．（1，1，1）B．（1，2，2）C．（1，2，1）D．（1，2，3）24．（2021春•昌平区期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，CC1的中点，O为底面ABCD的中心，点P在正方体的表面上运动，则下列说法正确的是（）A．点P可以是棱BB1的中点B．线段NP的最大值为C．点P的轨迹是平行四边形D．点P轨迹的长度为25．（2020春•朝阳区期末）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°＜α＜360°），使该几何体与自身重合，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C（）A．7条B．9条C．13条D．14条26．（2021春•延庆区期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，那么三棱锥D1﹣ABC的体积是（）A．B．C．D．27．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A．[]B．[]C．[]D．[]28．（2021春•西城区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论一定成立的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH是正方形C．BD∥HG D．平面EFGH∥平面ABCD29．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN（）A．点P可以是棱BB1的中点B．线段MP的最大值为C．点P的轨迹是正方形D．点P轨迹的长度为30．（2021春•丰台区校级期末）在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA1、BB1、CC1的长度分别为10m、15m、30m，则立柱DD1的长度是（）A．30m B．25m C．20m D．15m31．（2019春•西城区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD＝1，∠DAB＝60°，且PD⊥平面ABCD，Q为PC的中点（）A．AD⊥PBB．PQ⊥DBC．平面PBC⊥平面PBDD．三棱锥D﹣PBQ的体积为二．填空题（共20小题）32．（2020春•延庆区期末）一个圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则圆锥底面半径为．33．（2020春•海淀区校级期末）某正方体的体对角线长为，则这个正方体的表面积为．34．（2019春•西城区期末）圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是．35．（2021春•顺义区期末）已知四棱锥P﹣ABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是（写出所有正确结论的序号）．①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形36．（2020春•海淀区校级期末）已知正四棱锥的高为4，侧面积为4，则该棱锥的侧棱长为．37．（2021春•顺义区期末）以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是．38．（2019春•海淀区校级期末）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的侧面积为．39．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于．40．（2020春•朝阳区期末）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．41．（2020春•延庆区期末）如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为2（x），则函数F（x）的定义域为；最大值为．42．（2020春•密云区期末）将底面直径为8，高为2的圆锥体石块打磨成一个圆柱．43．（2021春•西城区校级期末）我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时，想到了推算球体积的方法，创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形．如图1所示，其相交的部分，就是牟合方盖，牟合方盖恰好把正方体的内切球包含在内并且同球相切．刘微指出，球体积与牟合方盖体积之比等于，则“牟合方盖”的体积等于．44．（2021春•海淀区校级期末）阿基米德（Archimedes，公元前287年﹣公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家，他构造了这样的一个几何体（如图所示），圆柱的底面直径与高都等于球的直径．若球的体积为36π，则圆柱的体积为．45．（2021春•海淀区校级期末）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB＝6，CD＝8，EF到平面ABCD 的距离为3，CD与AB间的距离为10．46．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动．平面区域W由所有满足A1P≥的点P组成，则W的面积是．47．（2021春•延庆区期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，M是线段A1E上的一点．给出下列命题：①平面ABCD中一定存在直线与平面ACM垂直；②平面ADD1A1中一定存在直线与平面ACM平行；③平面ADD1A1与平面ACM所成的锐二面角不小于45°；④当点M从点A1移动到点E时，点D到平面ACM的距离逐渐减小．其中，所有真命题的序号是．48．（2021春•海淀区校级期末）棱长为4正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点，N为棱B1C1的中点．设直线A1D1与平面MNC交于点Q．则D1Q＝．49．（2021春•丰台区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，P A＝4，AB⊥BC，垂足为H，D是P A的中点（1）当CB＝2时，△CDH的面积是．（2）当△CDH的面积最大时，CB的长是．50．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面P AB内不存在直线与DC平行；②在平面P AB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面P AB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．51．（2021春•海淀区校级期末）如图所示，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为棱A1B1的中点，过点A1的平面α与平面BMC1平行，则平面α与直线CD的交点到顶点D的距离为；三棱锥A1﹣BMC1的体积为．三．解答题（共3小题）52．（2021春•西城区期末）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB ＝AD＝2，AA1＝1．（Ⅰ）求三棱锥B1﹣ABD的体积；（Ⅰ）求证：BC∥平面ADD1A1；（Ⅰ）求证：AC⊥B1D．53．（2021春•东城区期末）如图①，矩形ABCD中，AB＝4，E，F分别为AB，DC的中点．将四边形AEFD沿EF 折起至四边形A1EFD1的位置，如图②．（1）求证：EF⊥平面A1EB；（2）若点A1在平面EFCB上的射影为BE的中点，求三棱锥F﹣A1BC的体积；（3）当平面A1EFD1与平面EFCB垂直时，作正方体A1D1NM﹣EFCB如图③．若平面α∥平面A1FB，且平面a 截该正方体所得图形的面积为S．①若C∈α，则S＝；②S的最大值为．（直接写出结果）54．（2021春•西城区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且P A＝AD＝3，点E为线段PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）求三棱锥A﹣PEC的体积．2019-2021北京高中数学期末汇编：空间几何体参考答案与试题解析一．选择题（共31小题）1．（2020秋•石景山区期末）如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD 的面积为f（x）（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，从而△PBD的面积为f（x）＝BD×PO，再在△P AO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f（x）的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题．【解答】解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，则PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f（x）＝BD×PO，在三角形P AO中，PO＝＝，∴f（x）＝××＝，画出其图象，如图所示，对照选项，A正确．故选：A．【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．（2021春•海淀区校级期末）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的高为（）A．1B．C．D．2【分析】求出圆锥的底面半径r，再利用勾股定理求出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，可得2πr＝π×2，解得r＝1，所以此圆锥的高为h＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，是基础题．3．（2021春•西城区期末）某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为（）A．12πcm3B．15πcm3C．36πcm3D．45πcm3【分析】根据圆锥的母线长和底面半径求出圆锥的高，再计算圆锥的体积．【解答】解：圆锥的母线长l＝5cm，底面半径长r＝3cm，所以圆锥的高h＝＝＝4（cm），所以该圆锥的体积为V＝πr5h＝π×42×4＝12π（cm）7．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．4．（2020春•顺义区期末）已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（）【分析】圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积＝底面周长×高+2πr2．【解答】解：根据圆柱表面积的计算公式可得π×2×1×6+π×12×4＝6π．故选：C．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键．5．（2020春•平谷区期末）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（）A．2πB．8πC．12πD．16π【分析】根据圆柱的底面半径和高求出圆柱的侧面积．【解答】解：圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是S侧＝2π×5×2＝8π．故选：B．【点评】本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．6．（2020春•西城区期末）圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（）A．20πcm2B．10πcm2C．28πcm2D．14πcm2【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解答】解：圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为S侧＝3π×2×5＝20π（cm6）．故选：A．【点评】本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．7．（2021春•朝阳区期末）如图、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝2，则该四棱锥的体积为（）【分析】根据棱锥的体积公式，计算即可．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，底面矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝AB•AD＝3×2＝5，因为PD⊥底面ABCD，所以四棱锥的高为PD＝3，所以该四棱锥的体积为V四棱锥P﹣ABCD＝S矩形ABCD•PD＝×2×3＝6．故选：D．【点评】本题考查了利用棱锥的体积公式计算四棱锥体积的应用问题，是基础题．8．（2020春•丰台区期末）如图所示，下列四个几何体：其中不是棱柱的序号是（）A．①B．②C．③D．④【分析】利用棱柱的定义，判断几何体的正误即可．【解答】解：根据棱柱的定义，有两个面互相平行，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体，可知①是三棱柱；②是多面体；③是四棱柱．故选：B．【点评】本题考查棱柱的结构特征，棱柱的定义，是基本知识的考查．9．（2021春•通州区期末）下列说法不正确的是（）A．平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B．直棱柱的侧棱长与高相等C．斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D．直四棱柱是长方体【分析】利用平行多面体的定义判断选项A，由直四棱柱的结构特征判断选项B，由斜棱柱的特征判断选项C，由直四棱柱与长方体的定义判断选项D．【解答】解：对于A，由平行多面体的定义可知，故选项A正确；对于B，直四棱柱上下底面平行，故选项B正确；对于C，设斜棱柱的侧棱与高所成的角为α，则cosα＝h＜l（其中l为棱长，h为高）；对于D，直四棱柱上下底面平行，故直棱柱不一定是长方体，故选项D错误．故选：D．【点评】本题考查了平行多面体的定义、直四棱柱的结构特征、斜棱柱的特征、长方体的定义，考查了基本概念的理解与应用，空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．10．（2021春•丰台区期末）已知正三棱锥P﹣ABC，底面ABC的中心为点O，给出下列结论：①PO⊥底面ABC；②棱长都相等；③侧面是全等的等腰三角形．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用正三棱锥的定义以及结构特征，依次判断即可．【解答】解：由正三棱锥的定义可知，顶点在底面的射影为底面的中心，所以PO⊥底面ABC，故选项①正确；由正三棱锥的定义可知，底面是正三角形，但是侧棱长和底面边长的大小关系不确定，故选项②错误；由正三棱锥的定义可知，侧棱长均相等，故选项③正确．故选：B．【点评】本题考查了正三棱锥的定义以及正三棱锥的结构特征，考查了空间想象能力，属于基础题．11．（2021春•房山区期末）下列命题正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥D．圆锥有无数条母线【分析】根据棱锥、棱台的概念与结构特征，即可得解．【解答】解：根据斜二测画法可知，正方形的直观图不可能是正方形；只有当平面与棱锥的底面平行时，才能截出棱台；如果一个多面体的一个面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，与选项的区别重点是“公共顶点”；圆锥有无数条母线，即选项D正确．故选：D．【点评】本题考查简单空间几何体的概念与结构特征，考查空间立体感，属于基础题．12．（2021春•海淀区校级期末）若圆锥的母线长与底面半径之比为4：1，则该圆锥的侧面积与底面积之比为（）A．4：1B．2：1C．π：1D．π：2【分析】设圆锥的母线长为l＝4x，则底面半径r＝x，分别求出圆锥的侧面积和底面面积，即可得到答案．【解答】解：设圆锥的母线长为l＝4x，则底面半径r＝x，所以圆锥的侧面积为S＝πrl＝4πx4，圆锥底面面积为S'＝πr2＝πx2，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为6：1．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的几何性质的应用，圆锥的侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．13．（2021春•海淀区校级期末）圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A．2B．3C．1D．【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积列方程求出r的值．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，所以圆锥的表面积为S＝S底面积+S侧面积＝π•r2+πrl＝π•r2+8πr＝12π，即r2+4r﹣12＝7，解得r＝2或r＝﹣6（不合题意，舍去），所以该圆锥的底面半径为5．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的表面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．14．（2020秋•东城区期末）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）（）A．B．C．D．【分析】将几何体补充为正方体，结合图形得出该几何体的侧（左）视图．【解答】解：将几何体补充为正方体，如图1所示：则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧（左）视图如图2所示：故选：B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了直观想象能力，是基础题．15．（2019秋•海淀区校级期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足（）A．6B．8C．12D．24【分析】建立空间直角坐标系，则点A（2，0，0），C1（0，2，2），考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为（x，y，2），则由题意可得0≤x≤2，0≤y≤2，计算＝x2﹣2x+y2﹣2y＝（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2＝﹣1，即可得出结论．【解答】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则点A（2，7，0），C1（8，2，2），设点P的坐标为（x，y，则由题意可得7≤x≤2．∴＝（2﹣x，﹣2），，2﹣y，∴＝﹣x（2﹣x）﹣y（2﹣y）+8＝x2﹣2x+y5﹣2y＝（x﹣1）4+（y﹣1）2﹣8＝﹣1，∵点P是棱上一点（含顶点），∴（x﹣1）8+（y﹣1）2＝8与正方形A1B1C4D1切于4个点，同理P在右侧面的棱上，也有3个点，下底面中P（2，1，7），，﹣1，5，2）＝﹣1，3，0），，﹣5，1，2）＝﹣3，内侧面，P（0，0，＝（2，0，2，1）＝﹣1，2，1），，﹣8，0，1）＝﹣5，∴满足的点P的个数为12故选：C．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．16．下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形【分析】直接利用棱柱的定义，棱柱的性质判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：棱柱的每个侧面都是平行四边形，故A错误；对于B：棱柱的侧面最少由三个侧面，故一个棱柱最少有五个面；对于C：正方体是正四棱柱，每个对面都互相平行；对于D：平行六面体的侧面为平行四边形，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识要点：棱柱的定义，棱柱的性质，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．17．（2020秋•海淀区校级期末）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1的中点，AA1＝2，AB＝1，若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹是（）A．B．C．D．【分析】分别取BB1、CC1的中点M、N，连CM、MN、PN、AC，则由CM⊥BN知：CM⊥BP，由BP⊥AC．推导出Q在线段MC上．由此能求出动点Q的轨迹．【解答】解：分别取BB1、CC1的中点M、N，连CM、PN，则由CM⊥BN知：CM⊥BP，又BP⊥AC．故BP⊥平面AMC．∴过A与BP垂直的直线均在平面AMC内，又Q在平面BCC3B1内，故Q∈平面AMC∩侧面BB1C2C，即Q在线段MC上．故选：D．【点评】本题考查动点的轨迹的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（2021春•丰台区校级期末）如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕其图中的对称轴旋转一周，形成的几何体为（）A．一个球B．一个球中间挖去一个棱柱C．一个圆柱D．一个球中间挖去一个圆柱【分析】利用球以及圆柱的定义进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：由题意，根据球的定义，由圆柱的定义，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，所以绕其图中的对称轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱．故选：D．【点评】本题考查了旋转体的理解与应用，主要考查了球以及圆柱定义的应用，考查了空间想象能力，属于基础题．19．正四棱柱的高为3cm，体对角线长为cm（）A．10B．24C．36D．40【分析】利用勾股定理求出正四棱柱的底面边长，正四棱柱的侧面积等于底面的周长乘以高．【解答】解：正四棱柱的高为3cm，对角线长为，所以 17＝9+5AB2，解得正四棱柱的底面边长为AB＝2，所以此正四棱柱的侧面积为7×2×3＝24（cm6）．故选：B．【点评】本题考查正四棱柱的结构特征与侧面积的计算问题，是基础题．20．（2021春•昌平区期末）已知正四棱锥的侧棱长为2，高为．则该正四棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】根据条件作图可求得该四棱锥的底面边长，进而可求得其表面积．【解答】解：如图，由题可知正四棱锥V﹣ABCD中，VB＝2，则OB＝＝＝，故AB＝OB＝3，所以该正四棱锥的表面积为4××4+2×8＝4+4故选：C．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，数形结合思想，属于基础题．21．（2021春•房山区期末）已知正四棱锥P﹣ABCD的高为，底面边长为2，则正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为（）A．B．8C．D．4【分析】根据题意计算正四棱锥侧面的高，求出它的侧面积．【解答】解：正四棱锥底面边长为2，高为，则侧面的斜高为h＝＝2，所以正四棱锥的侧面积为S＝4××2×6＝8．故选：B．【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征以及侧面积的求法，是基础题．22．（2021春•海淀区校级期末）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1﹣ABC1的体积为（）A．B．C．D．【分析】取B1C1的中点D，可知A1D⊥面BB1C1，根据三棱锥的体积公式求三棱锥的底面积和高，再求出体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C6的所有棱长均为1，∴三棱锥B1﹣ABC6的体积等于A﹣B1BC1的体积，也等于A7﹣BB1C1的体积，取B5C1的中点D，则由正三棱柱的性质可知，A1D⊥面BB5C1，∴A1D＝．∴三棱锥B1﹣ABC5的体积V＝，故选：A．【点评】本题考查正三棱柱的性质以及三棱锥的体积的计算，利用三棱锥的体积相等进行转化是解决本题的关键，属于基础题．23．（2021春•西城区期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）（a＞0，b＞0，c＞0），且△ABC的面积为6．过O作OH⊥平面ABC于点H．若三棱锥O﹣ABC的体积为6（）A．（1，1，1）B．（1，2，2）C．（1，2，1）D．（1，2，3）【分析】由题意可知，OH为三棱锥O﹣ABC的高，利用锥体的体积求出OH＝3，设H（x，y，z），则，故x2+y2+z2＝9，依次判断四个选项即可．【解答】解：由题意，三棱锥O﹣ABC的体积为6，过O作OH⊥平面ABC于点H，则OH为三棱锥O﹣ABC的高，所以，解得OH＝3，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（a，0，B（0，b，C（4，0，b＞0，设H（x，y，z），则，因为OH＝5，则有x2+y2+z3＝9，对于A，1+8+1＝3，故选项A错误；对于B，5+4+4＝5，故选项B正确；对于C，1+4+8＝6，故选项C错误；对于D，1+3+9＝14，故选项C错误．故选：B．【点评】本题考查了锥体体积公式的应用，解题的关键是利用体积求出OH，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．24．（2021春•昌平区期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，CC1的中点，O为底面ABCD的中心，点P在正方体的表面上运动，则下列说法正确的是（）A．点P可以是棱BB1的中点B．线段NP的最大值为C．点P的轨迹是平行四边形D．点P轨迹的长度为【分析】过N点作与直线MO垂直的平面，该平面与正方体表面的交线即为P点的轨迹．根据正方体的性质得MO∥A1C，A1C⊥平面C1DB，所以MO⊥平面C1DB，又因为N为CC1中点，故分别取CD中点F，CB中点E，则P点的轨迹为△NEF．【解答】解：如图，连接AC，A1C，取CD中点F，连接NF，EF．因为M，O分别为AA1，AC的中点，所以MO∥A3C．在正方体中，A1C⊥平面C1DB，又平面NEF∥平面C7DB，所以A1C⊥平面NEF．所以，MO⊥平面NEF．所以P点的轨迹长度为△NEF的周长为，NP的最大值为NE．故选：B．【点评】本题考查正方体的性质，考查线面垂直和面面平行的应用，属于中档题．25．（2020春•朝阳区期末）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°＜α＜360°），使该几何体与自身重合，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C（）A．7条B．9条C．13条D．14条【分析】由题意结合对称性分三类找出对称轴，则答案可求．【解答】解：由对称性结合题意可知，过EF、AC，此时旋转角α最小为90°；过正方形ABCD，AECF，共6条；过八面体相对面中心的连线为旋转轴，共4条．综上，这个八面体的旋转轴共有13条．故选：C．【点评】本题考查多面体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．26．（2021春•延庆区期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，那么三棱锥D1﹣ABC的体积是（）A．B．C．D．【分析】求出D1到平面ABC的距离为BB1＝a，从而三棱锥D1﹣ABC的体积是＝．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C3D1的棱长为a，D1到平面ABC的距离为BB2＝a，∴三棱锥D1﹣ABC的体积是：＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查三棱锥体积公式、正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．27．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）。
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必修2第一章空间几何体一.知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体①棱柱的侧棱都,上、下底面是的多边形.②棱锥的底面是任意多边形,侧面是__________________________.③棱台可由__________________截棱锥得到,其上、下底面是________多边形.(2)旋转体①圆柱可以由_________绕其一边所在直线旋转得到.②圆锥可以由直角三角形绕其________所在直线旋转得到.③圆台可以由直角梯形绕_______所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到.④球可以由半圆或圆绕________所在直线旋转得到.⑤不垂直于轴的边都叫做_________.*自我核对：(1)平行且相等全等有一个公共顶点的三角形平行于底面的平面相似(2)矩形直角边直角腰直径母线2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是________得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是________,三视图包括:___________________.*自我核对：正投影完全相同的正视图、侧视图、俯视图3.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用___________画法,其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为________,z′轴与x′轴、y′轴所在平面________.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别_______坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度__________,平行于y轴的线段长度在直观图中变为_____________.*自我核对：斜二测45°(或135°)垂直平行于不变原来的一半常用结论(1)常见旋转体的三视图①球的三视图都是半径相等的_______.②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的__________. ③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的__________. ④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的__________.*自我核对：圆 等腰三角形 等腰梯形 矩形 (2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.4.空间几何体的表面积和体积 (1).多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是___________,表面积是侧面积与底面面积之和. (2).圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式(3).柱、锥、台和球的表面积和体积*自我核对：(1)所有侧面的面积之和 (2)2πrl πrl π(r 1＋r 2)l (3)Sh 13Sh 4πR 2 43πR 3常用结论(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论a.正方体的棱长为a,球的半径为R,①若球为正方体的外接球,则2R＝_______;②若球为正方体的内切球,则2R＝_______;③若球与正方体的各棱相切,则2R＝______.b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R＝________________.c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为______.*自我核对：3a a 2a a2＋b2＋c23:1【思考辨析】(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形,这样的几何体一定是棱台.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.()(5)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.()(6)菱形的直观图仍是菱形.()(7)多面体的表面积等于各个面的面积之和.()(8)锥体的体积等于底面积与高之积.()(9)球的体积之比等于半径比的平方.()(10)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.()(11)长方体既有外接球又有内切球.()(12)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.()*自我核对：××××××√××√××二.典型例题题型一[空间几何体的相关概念及结构特征]例1(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;⑤用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是球.其中正确结论的序号是________.(3)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;②底面是矩形的平行六面体是长方体;③直四棱柱是直平行六面体;④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是________.答案(1)A(2)③⑤(3)①④解析(1)①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图1所示;③不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图2所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.图1图2(2)这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥,①错;这条腰若不是垂直于两底的腰,则得到的不是圆台,②错;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面是显然成立的,③正确;如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥,则得到的不是圆锥和圆台,④错;只有球满足任意截面都是圆面,⑤正确.(3)命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的;命题④由棱台的定义知是正确的.巩固训练1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是________.答案②③④解析①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体AC1中的三棱锥C1－ABC,四个面都是直角三角形.题型二[三视图]例2(1)由三视图还原形状若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是()答案 D解析A,B的正视图不符合要求,C的俯视图显然不符合要求,故选D.(2)由直观图判断三视图一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()答案 B解析该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等,因此选B.(3)由部分视图画剩余部分视图如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图可能是()答案 A解析由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥,底面是长方形,内侧的侧面垂直于底面,所以正视图为A. 巩固训练2(1)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱答案(1)B解析由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选B.(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图,该几何体的侧视图为()答案 B解析由直观图和正视图、俯视图可知,该几何体的侧视图应为面P AD,且EC投影在面P AD上,故B正确.(3)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到如图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为()解析侧视图中能够看到线段AD1,应画为实线,而看不到B1C,应画为虚线.由于AD1与B1C不平行,投影为相交线,故应选B.答案 B题型三[直观图]例3(1)下图是水平放置的某个三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴,A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,那么()A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AD,最短的是AC(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()答案(1)C(2)A解析(1)A′D′∥y′轴,根据斜二测画法规则,在原图形中应有AD⊥BC,又AD为BC边上的中线,所以△ABC为等腰三角形.AD为BC边上的高,则有AB,AC相等且最长,AD最短.(2)由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为2,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2 2.巩固训练3如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′＝6 cm,C′D′＝2 cm,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形答案 C解析如图,在原图形OABC中,应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm),CD＝C′D′＝2 cm.∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm),∴OA＝OC,∴四边形OABC是菱形.题型四[求表面积]例4(1)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1＋ 3B.1＋2 2C.2＋ 3D.2 2(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π,则r等于()A.1B.2C.4D.8(3)一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________. 答案 (1)C (2)B (3)12解析 (1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3,故选C.(2)由正视图与俯视图想象出其直观图,然后进行运算求解.如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r ,圆柱的底面半径为r ,高为2r ,则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π,∴(5π＋4)r 2＝16＋20π,∴r 2＝4,r ＝2,故选B. (3)设正六棱锥的高为h ,侧面的斜高为h ′.由题意,得13×6×12×2×3×h ＝23,∴h ＝1,∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2,∴S 侧＝6×12×2×2＝12.巩固训练4 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8＋2 2B.11＋2 2C.14＋2 2D.15答案 B 解析由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.直角梯形斜腰长为12＋12＝2,所以底面周长为4＋2,侧面积为2×(4＋2)＝8＋22,两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3,所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2. 题型五 [求体积] 例5 (1)由三视图求体积一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D 解析 如图,由题意知,该几何体是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分,截去的部分为三棱锥AA 1B 1D 1,设正方体的棱长为1,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 VAA 1B 1D 1VB 1C 1D 1ABCD ＝VAA 1B 1D 1VA 1B 1C 1D 1ABCD －VAA 1B 1D 1＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D.(2)求简单组合体的体积已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C.22πD.42π答案 B解析 如图,设等腰直角三角形为△ABC ,∠C ＝90°,AC ＝CB ＝2,则AB ＝2 2.设D 为AB 中点,则BD ＝AD ＝CD ＝ 2.∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体,其体积V ＝2×13×π×(2)2×2＝42π3.(3)补形法求体积如图：△ABC 中,AB ＝8,BC ＝10,AC ＝6,DB ⊥平面ABC ,且AE ∥FC ∥BD ,BD ＝3,FC ＝4,AE ＝5.则此几何体的体积为________.解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8,所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.答案 96巩固训练5 (1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的体积等于( )A.4π3B.32π3C.36πD.256π3(2)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( ) A.3 B.32 C.1 D.32答案 (1)B (2)C 解析(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,底面为直角三角形,高为12,如图所示,其中AC ＝6,BC ＝8,∠ACB ＝90°,则AB ＝10.由题意知,当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时,该球的半径最大. 即r ＝6＋8－102＝2,故能得到的最大球的体积为43πr 3＝4π3×8＝32π3,故选B.(2)在正△ABC 中,D 为BC 中点,则有AD ＝32AB ＝3, S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3. 又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ,AD ⊥BC ,AD ⊂平面ABC ,∴AD ⊥平面BB 1C 1C , 即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高.∴V 三棱锥A －B 1DC 1＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.题型六 [与球有关的切、接问题]例6 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12,则球O的半径为( )A.3172B.210C.132D.310答案 C解析 如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52,OM ＝12AA 1＝6,所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132. 变式1 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 解 由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ,内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4,故其体对角线长为43,从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π,V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.变式2 本例若将直三棱柱改为“正四面体”,则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2,其内切球半径r 为正四面体高的14,即r ＝14·63a ＝612a ,因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26,则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 变式3 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”,则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得,该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6,高为(32)2－(12×6)2＝3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3.巩固训练6 如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB ＝AC ,侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB 1A 1的面积为( )A.22 B.1 C. 2 D. 3答案 C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,∴∠BAC＝90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,Rt△OMC1中,OM＝x2,MC1＝x2,OC1＝R＝1(R为球的半径),∴(x2)2＋(x2)2＝1,即x＝2,则AB＝AC＝1,∴S矩形ABB1A1＝2×1＝ 2.三.过关自测一.选择题1．如图所示的几何体是棱柱的有()A．②③⑤B．③④⑤C．③⑤D．①③答案 C解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱，故选C.2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案 B解析 由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D 不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C 不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A 不正确．3．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A ．①③B ．①④C ．②④D ．①②③④答案 A解析 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确． 4．(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 3 答案 C解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.故选C.5．如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于( ) A ．100π B.100π3C ．25π D.25π3答案 A解析 易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为S ＝4πR 2＝100π. 6．(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛答案 B解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)．7．(2015·课标全国Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥OABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 答案 C 解析 如图，要使三棱锥OABC 即COAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥COAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V OABC 最大＝V COAB 最大＝13×S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.选C. 二.填空题8．已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为__________________________________． 答案62a 2解析 如图，过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′，与x ′轴交于点D ′.则C ′D ′＝32a sin 45°＝62a .又C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图，所以CD ＝6a . 故S △ABC ＝12AB ·CD ＝62a 2.9.如图所示，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为平面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的________(填出所有可能的序号)．答案 ①②③解析 空间四边形D ′OEF 在平面DCC ′D ′上的投影是①，在平面BCC ′B ′上的投影是②，在平面ABCD 上的投影是③，故填①②③.10．(2015·四川)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P A 1MN 的体积是________． 答案124解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵VP A 1MN ＝VA 1PMN ， 又∵AA 1∥平面PMN ， ∴VA 1PMN ＝V APMN ，∴V APMN ＝13×12×1×12×12＝124，故VP A 1MN ＝124.三.解答题11．(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥EACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． (1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 故AC ⊥平面BED .又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt △AEC中，可得EG＝3 2x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥EACD的体积V EACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5. 故三棱锥EACD的侧面积为3＋2 5.。