中考数学一轮基础复习:专题十六 等腰三角形与直角三角形(有答案)
2020年中考数学一轮专项复习——等腰三角形与直角三角形(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——等腰三角形与直角三角形基础过关1. (2018滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( ) A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知一个等腰三角形的内角是50°,则等腰三角形的底角是( ) A. 50°B. 80°C. 50°或80°D. 50°或65°3. 如图,在△ABC 中,∠B =30°,BC 的垂直平分线交AB 于点E ,垂足为D ,如果CE =8,则ED 的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 6第3题图4. (2019张家界)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =8,DC =13AD ,BD 平分∠ABC ,则点D 到AB的距离等于( )A. 4B. 3C. 2D. 1第4题图5. (2019天水)如图,等边△OAB 的边长为2,则点B 的坐标为( ) A. (1,1) B. (1,3) C. (3,1)D. (3,3)第5题图6. (2019宁夏)如图,在△ABC 中,AC =BC ,点D 和E 分别在AB 和AC 上,且AD =AE .连接DE ,过点A 的直线GH 与DE 平行,若∠C =40°,则∠GAD 的度数为( )A. 40°B. 45°C. 55°D. 70°第6题图7. (2019衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”,它能三等分任一角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ,OB 组成,两根棒在O 点相连并可绕O 转动,C 点固定,OC =CD =DE ,点D ,E 可在槽中滑动,若∠BDE =75°,则∠CDE 的度数是( )A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°第7题图8. (2019湘西州)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =12,AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ,连接BD ,若cos ∠BDC =57,则BC 的长是( )A. 10B. 8C. 4 3D. 2 69. (2019黄石)如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=()A. 125°B. 145°C. 175°D.190°第9题图10. (2019大连)如图,△ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,若AB=2,则AD的长为________.第10题图11. (2019东营)已知等腰三角形的底角是30°,腰长为23,则它的周长是________.12. (2019株洲)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF=1,则AB=________.第12题图13. (2019盐城)如图,在△ABC中,BC=6+2,∠C=45°,AB=2AC,则AC的长为________.14. (人教八上P93第13题改编)如图,△ABC是等边三角形,BD是△ABC的高,延长BC至点E,使CE=CD.(1)判断△DBE的形状,并说明理由;(2)过点A作AF∥BC,交ED的延长线于点F,连接BF,求证:AB垂直平分DF.第14题图能力提升1. 如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()A.2个B.3个C.4个D.5个第1题图2. (2019枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD=________.第2题图3. (2020原创)如图,在Rt△ACB中,∠BCA=90°,∠A=30°,AC=3,点D在线段AB上,点E在线段AB的延长线上,且BE=AD,则CE+CD的最小值是________.第3题图满分冲关1.如图,一块含有45°角的直角三角板,外框的一条直角边长为10 cm,三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm,则图中阴影部分的面积为________cm2.(结果保留根号)第1题图2. (2019大庆改编)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=10 cm,AC=6 cm,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B、A重合的情况),运动速度为2 cm/s,过点D作DE∥BC交AC 于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y(cm).(1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x为何值时,△BDE的面积S有最大值?最大值为多少?第2题图参考答案基础过关1. A2. D3. C 【解析】∵DE 垂直平分BC ,∴BE =CE =8,在Rt △BED 中,∵∠B =30°,BE =8,∴ED =12BE=4.4. C 【解析】如解图,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,∵DC =13AD ,∴DC =14AC ,∵AC =8,∴DC =14×8=2.∵∠C =90°,∴BC ⊥CD ,又∵BD 平分∠ABC ,∴DE =DC =2.第4题解图5. B 【解析】如解图,过点B 作BD ⊥OA 于点D ,∵△OAB 为等边三角形,边长为2,∴∠BOA =60°,OA =OB =2.∴OD =1,BD =OB · sin60°=2×32= 3.∴点B 的坐标为(1,3).第5题解图6. C 【解析】∵AC =CB ,∠C =40°,∴∠BAC =∠B =12(180°-40°)=70°,∵AD =AE ,∴∠ADE =∠AED =12(180°-70°)=55°,∵GH ∥DE ,∴∠GAD =∠ADE =55°.7. D 【解析】设∠O =x ,∵OC =CD ,∴∠CDO =∠O =x .∴∠ECD =2∠O =2x .∵CD =DE ,∴∠CED =∠ECD =2x ,∵∠BDE =75°,∠BDE =∠O +∠CED ,∴3x =75°,解得x =25°.∴∠ECD =∠CED =50°,∴∠CDE =180°-2∠ECD =80°.8. D 【解析】∵cos ∠BDC =57,∴设DC =5x ,BD =7x ,又∵EF 是线段AB 的垂直平分线,∴AD =DB =7x ,又∵AC =12,∴5x +7x =12,解得x =1,在Rt △BDC 中,CD =5,DB =7,BC =BD 2-CD 2=72-52=2 6.9. C 【解析】如解图,连接DF ,∵CD ⊥AB ,F 为边AC 的中点,∴DF =12AC =CF ,又∵CD =CF ,∴CD =DF =CF ,∴△CDF 是等边三角形,∴∠ACD =60°,∵∠B =50°,∴∠BCD +∠BDC =130°,∵∠BCD 和∠BDC 的角平分线相交于点E ,∴∠DCE +∠CDE =65°.∴∠CED =115°,∴∠ACD +∠CED =60°+115°=175°.第9题解图10. 23 【解析】∵△ABC 是等边三角形,∴∠B =∠BAC =∠ACB =60°,∵CD =AC ,∴∠CAD =∠D ,∵∠ACB =∠CAD +∠D =60°,∴∠CAD =∠D =30°,∴∠BAD =90°,∴AD =AB tan 30°=233=2 3.11. 6+43 【解析】∵底角为30°,腰长为23,∴底边的一半为3,∴底为6,则周长为6+23+23=6+4 3.12. 4 【解析】在Rt △ABC 中,∵∠ACB =90°,CM 是斜边AB 上的中线,∴AB =2MC ,∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点,∴EF 是△CMB 的中位线.又∵EF =1,∴MC =2EF =2,∴AB =2MC =4.13. 2 【解析】如解图,过点A 作AD ⊥BC 于点D ,设AD =x ,∵∠C =45°,∴CD =AD =x ,AC =2x ,∴AB =2AC =2x ,在Rt △ABD 中,BD =AB 2-AD 2=(2x )2-x 2=3x ,∴BC =BD +CD =3x +x =(3+1)x =6+2=2(3+1),解得x =2,∴AC =2.第13题解图14. (1)解:△BDE 是等腰三角形,理由如下: ∵△ABC 是等边三角形,BD 是高, ∴∠ABC =∠ACB =60°,∠DBC =30°.又∵CE =CD ,∴∠CDE =∠CED =12∠BCD =30°.∴∠DBC =∠DEC . ∴DB =DE .∴△DBE 是等腰三角形; (2)证明:∵AF ∥BE , ∴∠AFD =∠CED , ∵BD 是△ABC 的高, ∴AD =DC , ∵∠ADF =∠CDE , 在△AFD 和△CED 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFD =∠CED ,∠ADF =∠CDE ,AD =CD ,∴△AFD ≌△CED (AAS),∴AF =CE =CD =AD ,DF =DE =BD , ∵∠FDB =∠DBE +∠E =60°, ∴△BDF 是等边三角形, ∴BF =BD , 又∵AF =AD , ∴AB 垂直平分DF .能力提升1. D 【解析】①∵AB =AC ,∴△ABC 是等腰三角形;②∵AB =AC ,∠A =36°,∴∠ABC =∠C =72°,∵BD 是△ABC 的角平分线,∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =36°,∴∠A =∠ABD =36°,∴BD =AD ,∴△ABD是等腰三角形;③在△BCD 中,∵∠BDC =180°-∠DBC -∠C =180°-36°-72°=72°,∴∠C =∠BDC =72°,∴BD =BC ,∴△BCD 是等腰三角形;④∵BE =BC ,∴BD =BE ,∴△BDE 是等腰三角形;⑤∵∠BED =(180°-36°)÷2=72°,∴∠ADE =∠BED -∠A =72°-36°=36°,∴∠A =∠ADE ,∴DE =AE ,∴△ADE 是等腰三角形.综上可得,图中的等腰三角形有5个.2. 6-2 【解析】如解图,过点A 作AF ⊥BC 于点F ,∵AB =AC ,∴BF =CF .在Rt △ABC 中,AB =AC =2,∴BC =2 2.∴AF =BF =CF = 2.∵两个三角尺大小相同,∴AD =BC =22,在Rt △ADF 中,FD =AD 2-AF 2=(22)2-(2)2= 6.∴CD =FD -FC =6- 2.第2题解图3. 3+1 【解析】当点D 为AB 的中点时,CE +CD 的值最小.∵∠BCA =90°,∠A =30°,AC =3,∴AB =2,BC =1,∠DBC =60°,当D 为AB 的中点时,CD =AD =BD =1,∴∠DCA =∠DAC =30°,∵BE =AD =1,∴DE =2,∴∠BEC =∠BCE =12∠DBC =30°,∵∠BCD +∠DCA =90°,∠DCA =30°,∴∠BCD=60°,∴∠ECD =∠BCE +∠BCD =30°+60°=90°,在Rt △DCE 中,∵DE =BD +BE =2,∠DEC =30°,∴CE =3,∴CE +CD =3+1.满分冲关1. 14+162 【解析】如解图,过点A 作AH ⊥BC 于H ,交EF 于G ,过点D 作DM ⊥AB 于M ,∵三角板ABC 是含45°角的直角三角板,∴△ABC 关于AH 所在直线对称,又∵外框和内框之间的距离均为 2 cm ,∴点D 在AH 上,且DM =GH = 2 cm ,∠MAD =45°,∴AD =2MD =2 cm ,∴DG =AH -AD -GH =22AB -2-2=(42-2) cm ,∴EF =2DG =(82-4) cm ,∴S 阴影=S △ABC -S △DEF =12AB ·AC -12EF ·DG =12×10×10-12(82-4)·(42-2)=(14+162)cm 2.第1题解图2.解:(1)在Rt △ABC 中,由勾股定理得AB =BC 2-AC 2=8 cm ,根据题意可知AD =2x cm ,且点D 运动到点A 需要82=4 s , ∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴AD AB =AE AC, 即8-2x 8=y 6, ∴y =-32x +6(0<x <4); (2)根据题意得,S =12BD ·AE =12×2xy =xy =x (-32x +6)=-32x 2+6x (0<x <4), ∵-32<0, ∴当x =-62×(-32)=2时,S 最大=-32×22+6×2=6. 即当x =2时,△BDE 的面积有最大值,最大值为6.。
(全国通用)中考数学几何复习:等腰三角形与直角三角形(含答案)
中考数学 几何专练:等腰三角形与直角三角形(含答案)一、选择题1.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E 的面 积是( )A .13B .26C .47D .94 2.如图,⊙O 的弦AB =6,M 是AB 上任意一点,且OM 最小值为4,则⊙O 的半径为( )A .5B .4C .3D .2 3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,是一“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角 形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板 投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上), 则投掷一次飞镖扎在中间 小正方形区域(含边线)的概率是( )A .B .C .D . 4.如图,等腰△ABC 中,底边,∠A =36°, ∠ABC 的平分线交AC 于D ,∠BCD 的平分线交BD 于E ,设, 则DE =( )A .B .C .D .5.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点离点的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点,需要爬行的最短距离是( )A .B .25C .D . 6.等腰直角三角形的一个底角的度数是( )A .30°B .45°C .60°D .90°7.如图,AB =AC,BD =BC ,若∠A =40°,则∠ABD 的度数是( )121415110a BC =215-=k a k 2a k 32k a 3k a B C A B 5211055+35 AD CE B第4题图52015 10CBA .B .C .D .8.如图,已知直线且则等于( )A .B .C .D .二、填空题1.如图,已知Rt △ABC 中,AC =3,BC = 4,过直角顶点C 作CA 1⊥AB ,垂足为A 1,再过A 1作A 1C 1⊥BC ,垂足为C 1,过C 1作C 1A 2⊥AB ,垂足为A 2,再过A 2作A 2C 2⊥BC ,垂足为C 2,…,这样一直做下去,得到了一组线段CA 1,A 1C 1,,…,则CA 1=,2.已知Rt △ABC 的周长是,斜边上的中线长是2,则S △ABC =___.3.已知:如图,以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB =3,则图中阴影部分的面积为.20o30o35o40o110AB CD DCF =︒∥,∠,AE AF =,A ∠30︒40︒50︒70︒12C A =5554C A AC 344+第12题图AF BCDEBADC4.如图,等腰中,,是底边上的高,若,则cm .三、解答题1.如图所示,∠BAC =∠ABD ,AC =BD ,点O 是AD 、BC 的交点,点E 是AB 的中点.试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明.2.如图,在中,,分别以为边作两个等腰直角三角形和,使. (1)求的度数;(2)求证:.ABC △AB AC =AD 5cm 6cm AB BC ==,AD=ABC △40AB AC BAC =∠=,°AB AC ,ABD ACE 90BAD CAE ∠=∠=°DBC ∠BD CE=AC DB3.恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧,、到直线的距离分别为和,要在沪渝高速公路旁修建一服务区,向、两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(与直线垂直,垂足为),到、的距离之和,图(2)是方案二的示意图(点关于直线的对称点是,连接交直线于点),到、的距离之和. (1)求、,并比较它们的大小; (2)请你说明的值为最小;(3)拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,到直线的距离为,请你在旁和旁各修建一服务区、,使、、、组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.4.如图所示,是等边三角形,点是的中点,延长到,使, (1)用尺规作图的方法,过点作,垂足是(不写作法,保留作图痕迹); (2)求证:.()A ()B X 50km AB A =,B X 10km 40km P A B AP X P P A B 1S PA PB =+A X A 'BA 'X P P A B 2S PA PB =+1S 2S 2S PA PB =+Y B Y 30km X Y P Q P A B Q ABC △D AC BC E CE CD =D DM BE ⊥M BM EM=P图(1)图(3)图(2)【参考答案】选择题 1. C 2. A 3. C 4. A 5. B 6. B 7. B 8. B 填空题 1., 2. 83. 4. 4 解答题1. OE ⊥AB .证明:在△BAC 和△ABD 中,∴△BAC ≌△ABD .∴∠OBA =∠OAB , ∴OA =OB . 又∵AE =BE , ∴OE ⊥AB .2. 解:(1)ΔABD 是等腰直角三角形,, ∴∠ABD =45°,AB =AC, ∴∠ABC =70°,∴∠CBD =70°+45°=115°.5124529AC BD BAC ABD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90∠=°BAD证明:(2)AB =AC,,AD =AE, ∴ΔBAD ≌ΔCAE, ∴BD =CE .3. 解:⑴图(1)中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC =40,又AP =10,∴AC =30在Rt △ABC 中,AB =50 AC =30 ∴BC =40 ∴ BP = S 1=⑵图10(2)中,过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ,则A ′C =50, 又BC =40∴BA'= 由轴对称知:PA =PA' ∴S 2=BA'= ∴﹥(2)如 图10(2),在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA =MA' ∴MB+MA =MB+MA'﹥A'B ∴S 2=BA'为最小(3)过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B', 连接A'B',交X 轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q 即为所求 过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A'B'=∴所求四边形的周长为90BAD CAE ∠=∠=°24022=+BC CP 10240+4110504022=+41101S 2S 5505010022=+55050+4. 解:(1)作图见下图,(2)是等边三角形,是的中点,平分(三线合一), . , .又,.又,, ,.又,.Q ABC △D AC BD ∴ABC ∠2ABC DBE ∴∠=∠CE CD =Q CED CDE ∴∠=∠ACB CED CDE ∠=∠+∠Q 2ACB E ∴∠=∠ABC ACB ∠=∠Q 22DBC E ∴∠=∠DBC E ∴∠=∠BD DE ∴=DM BE ⊥Q BM EM ∴=ACBD EM。
中考总复习之等腰三角形与直角三角形
中考总复习之等腰三角形与直角三角形中考的脚步越来越近啦,同学们是不是都在紧张地进行总复习呢?今天咱们就来好好聊聊等腰三角形和直角三角形这两个重要的“小伙伴”。
先来说说等腰三角形吧。
还记得有一次我在课堂上做实验,用三根长度不一样的小木棍,想拼成一个等腰三角形。
结果呢,怎么拼都拼不出来,同学们在下面笑得前仰后合。
这让我深刻地意识到,等腰三角形的两条腰长度必须相等,不然可就闹笑话啦!等腰三角形有很多有趣的性质。
比如说,它的两个底角相等。
这就像一对双胞胎,长得一模一样。
而且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,这叫“三线合一”,可厉害啦!再来讲讲直角三角形。
有一次我去公园散步,看到一个滑梯,突然就想到了直角三角形。
这个滑梯的滑道和地面就构成了一个直角三角形。
直角三角形有个特别重要的定理,那就是勾股定理。
就是说两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b,斜边长为 c,那么 a²+ b²= c²。
这个定理在解决很多几何问题的时候,就像是一把万能钥匙,一用就灵。
直角三角形还有很多特殊的性质。
比如 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
这在计算边长的时候特别有用。
在中考中,等腰三角形和直角三角形经常会一起出现,给我们出难题。
比如说,给你一个等腰三角形,其中一个角是直角,让你求其他角的度数或者边长。
这时候可别慌,咱们就一步步来,先根据等腰三角形的性质确定角的关系,再结合直角三角形的定理来计算边长。
还有一种常见的题型是让你证明一个三角形是等腰直角三角形。
这就需要我们综合运用两个三角形的知识,先证明它是等腰三角形,再证明它是直角三角形。
复习这部分知识的时候,同学们一定要多做练习题,把定理和性质都熟练掌握。
遇到难题不要怕,多想想我们讲过的例子和方法,就一定能攻克难关。
最后,希望同学们都能在中考中取得好成绩,加油!就像我们成功拼出一个完美的等腰三角形或者准确算出直角三角形的边长一样,战胜中考的难题!。
2024年中考数学一轮复习考点课件:等腰三角形与直角三角形
9,12,15 ).
(2) 研究直角三角形的勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如
果n表示大于1的整数,x=2n,y=n2-1,z=n2+1,那么以x,y,z为三
边的三角形为直角三角形[即(x,y,z)为勾股数],请你加以证明.
解:∵ x2+y2=(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1=n4+2n2+1=
B. 15°
C. 20°
D. 25°
考点二
等腰三角形的判定
典例4 如图,下列说法中,正确的是( B )
A. ①是等腰三角形
B. ②是等腰三角形
C. ①和②均是等腰三角形
D. ①和②都不是等腰三角形
典例4图
典例5 (2023·蚌埠模拟)在如图所示的网格中找到格点C,使△ABC为
等腰三角形,则这样的点有( C )
开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形
模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12m,则底边上的
高是( B )
第4题
A. 4m
B. 6m
1
2
3
C. 10m
4
5
6
7
8
D. 12m
9
10
11
12
13
14
15
5. 如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使
三边相等,即==(如图1)
三个内角相等,每一个角都等于60°,
性质 即∠=∠=∠ = 60° 如图1
等边三角形
等边三角形是轴对称图形,有⑤
三 条对称轴
三条边相等的三角形是等边三角形(定义)
判定 三个角都相等的三角形是等边三角形
中考数学专题-等腰三角形与直角三角形-(解析版)
等腰三角形与直角三角形(共42题)姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________一、单选题1.(2021·湖南衡阳市·中考真题)下列命题是真命题的是( ).A .正六边形的外角和大于正五边形的外角和B .正六边形的每一个内角为120︒C .有一个角是60︒的三角形是等边三角形D .对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质,对各个选项逐个分析,即可得到答案. 【详解】正六边形的外角和,和正五边形的外角和相等,均为360︒ ∴选项A 不符合题意;正六边形的内角和为:()62180720-⨯︒=︒ ∴每一个内角为7201206︒=︒,即选项B 正确; 三个角均为60︒的三角形是等边三角形 ∴选项C 不符合题意;对角线相等的平行四边形是矩形 ∴选项D 不正确; 故选:B . 【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识;解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质,从而完成求解.2.(2021·江苏扬州市·中考真题)如图,在44⨯的正方形网格中有两个格点A 、B ,连接AB ,在网格中再找一个格点C ,使得ABC 是等腰直角....三角形,满足条件的格点C 的个数是( )A .2B .3C .4D .5【答案】B 【分析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论:∴AB 为等腰直角∴ABC 底边;∴AB 为等腰直角∴ABC 其中的一条腰. 【详解】解:如图:分情况讨论:∴AB 为等腰直角∴ABC 底边时,符合条件的C 点有0个;∴AB 为等腰直角∴ABC 其中的一条腰时,符合条件的C 点有3个. 故共有3个点, 故选:B .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.3.(2021·浙江宁波市·中考真题)如图,在ABC 中,45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ,3BD =.若E ,F 分别为AB ,BC 的中点,则EF 的长为( )A B .2C .1D .2【答案】C 【分析】根据条件可知∴ABD 为等腰直角三角形,则BD =AD ,∴ADC 是30°、60°的直角三角形,可求出AC 长,再根据中位线定理可知EF =2AC。
2024年中考数学一轮复习考点16 特殊三角形(等腰三角形与直角三角形)(精讲)(解析版)7
考点16.特殊三角形(等腰三角形与直角三角形)(精讲)【命题趋势】特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用,也是考查重点,年年都会考查,分值为10分左右,预计2024年各地中考还将出现,并且在选择、填空题中考查等腰(等边)三角形性质与判定和勾股(逆)定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查,这部分知识需要学生扎实地掌握基础,并且会灵活运用。
在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。
【知识清单】1:等腰(等边)三角形的性质与判定(☆☆☆)1)等腰三角形的定义:有两边相等的三角形角等腰三角形。
2)等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)。
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称“三线合一”)。
3)等腰三角形的判定:若某三角形有两个角相等,那这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。
4)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫等边三角形,它是特殊的等腰三角形。
5)等边三角形的性质:(1)等边三角形的三条边相等;(2)三个内角都相等,且每个内角都是60°;(3)等边三角形(边长为a6)等边三角形的判定:(1)三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2:垂直平分线的性质与判定(☆☆)1)垂直平分线的定理:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线)。
2)垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
3)垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3:勾股定理与逆定理及其应用(☆☆)1)勾股定理:直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即:a2+b2=c2.2)勾股定理的逆定理:若三角形的三条边a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.4:直角三角形的性质及计算(☆☆☆)1)直角三角形的定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2)直角三角形的性质:(1)直角三角形两个锐角互余;(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(3)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
(中考精题)等腰三角形与直角三角形-备战中考数学一遍过
一、等腰三角形1.等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角).)直角三角形两锐角互余;,那么它所对的直角边等于斜边的一半;典例1 (2020·四川省武胜县万善初级中学初二月考)等腰三角形的一个内角为内角的度数分别为1.(2020·自贡市田家炳中学初二期中)等腰三角形的周长为三角形的底边为__________cm.典例3 如图,在△ABC于F.2.已知在△ABC中,(1)求△ABC的周长;(典例4 (2019·山东初二期末)如图,在于E,若BE=1,则AC3.(2020·山东初二期中)如图,∆,连接CEBDE典例5 下列推理中,错误的是A.∵∠A=∠B=∠C,∴△4.如图,已知OA=5等边三角形.典例6 如图,在Rt△的长为__________.5.已知直角三角形的两条边分别是典例7 (2020·云南初二月考)直角三角形的两条直角边长分别为∆6.如图所示,在ABC1.(2020·浙江初二月考)直角三角形两直角边长分别为A.3 B.4为等腰三角形;的长.中,AB=AC,AD⊥BC于点D.3.【答案】(1)见解析;(2)20°.【解析】(1)由060ABC DBE ∠=∠=,得ABD CBE ∠=∠,由,AB BC BD BE ==, 得ABD CBE ∆≅∆(SAS );(2)由ABD CBE ∆≅∆,得060BCE A ∠=∠=,所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=, 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理,先证明三角形全等是解决本题的突破口. 4.【答案】5【解析】已知∠AON =60°,当OP =OA =5时,根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形,可得△AOP 为等边三角形.故答案为:5. 5.【答案】6或6.5【解析】分两种情况:①5和12是两条直角边,根据勾股定理求得斜边为13,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5;②5是直角边,12为斜边,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6,故答案为:6或6.5. 6.【答案】(1)BD =2,13AD =;(2)136AE =,56BE = 【解析】(1)∵在ABC ∆中,90B ∠=︒,3AB =,5AC =, ∴在Rt ABC ∆中,222225316BC AC AB =-=-=, ∴4BC =,又∵D 为BC 边上的中点, ∴122BD DC BC ===, ∴在Rt ABD ∆中,222222133AD AB BD =+=+=, ∴13AD =.(2)ABC ∆折叠后如图所示,EF 为折痕,连接DE ,-,3x本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质,属于常考题型,熟练掌握上述图形的性质是解题关键中,已知AB=2.5 m,BO=0.7 m,=2.4 m,m,【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 7.【答案】70【解析】∵∠ABC =90°,AB =AC ,∴∠CBF =180°–∠ABC =90°,∠ACB =45°,在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,AB CBAE CF =⎧⎨=⎩,∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ,∴∠BCF =∠BAE =25°,∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°,故答案为:70.【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 8.【解析】(1)∵CAF BAE ∠=∠,∴BAC EAF ∠=∠,∵AE AB AC AF ==,, ∴BAC EAF △≌△, ∴EF BC =.(2)∵65AB AE ABC =∠=︒,, ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒, ∴50FAG ∠=︒, ∵BAC EAF △≌△, ∴28F C ∠=∠=︒, ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒.【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质,等腰三角形性质,旋转性质等知识点,比较简单,基础知识扎实是解题关键. 9.【解析】(1)∵AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,∴∠BAD =∠CAD ,∠ADC =90°,又∠C =42°,∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°. (2)∵AB =AC ,AD ⊥BC 于点D , ∴∠BAD =∠CAD , ∵EF ∥AC , ∴∠F =∠CAD , ∴∠BAD =∠F ,∴AE =FE .10.【解析】(1)∵AB =AC ,∴∠ECB =∠DBC ,在DBC △与ECB △中,BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴DBC △≌ECB △.(2)由(1)DBC △≌ECB △, ∴∠DCB =∠EBC , ∴OB =OC .11.【解析】(1)∵AB AC =,∴C ABC ∠=∠,∵36C ∠=︒, ∴36ABC ∠=︒,∵D 为BC 的中点,∴AD BC ⊥,∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒. (2)∵BE 平分ABC ∠,∴ABE EBC ∠=∠, 又∵EF BC ∥,∴EBC BEF ∠=∠, ∴EBF FEB ∠=∠, ∴BF EF =.【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质,平行线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.12.【解析】(1)∵90BAC ∠=︒,AB AC =,AD BC ⊥,∴AD BD DC ==,45ABC ACB ∠=∠=︒,45BAD CAD ∠=∠=︒, ∵2AB =,∴2,AD BD DC ===,∵30AMN ∠=︒,∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒, ∴30BMD ∠=︒,∴2BM DM =,由勾股定理得,222BM DM BD -=,即222(2)(2)DM DM -=,解得233DM =, ∴2323AM AD DM =-=-.。
中考数学专题16等腰三角形与直角三角形(共5题)(全国通用解析版)
等腰三角形与直角三角形一.选择题(共24小题)1.(2022•宿迁)若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm.则这个等腰三角形的周长是()A.8cm B.13cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm.而没有明确腰、底分别是多少.所以要进行讨论.还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【解析】当3cm是腰长时.3.3.5能组成三角形.当5cm是腰长时.5.5.3能够组成三角形.则三角形的周长为11cm或13cm.故选:D.【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系.已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况.分类进行讨论.还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.这点非常重要.也是解题的关键.2.(2022•泰安)如图.l1∥l2.点A在直线l1上.点B在直线l2上.AB=BC.∠C=25°.∠1=60°.则∠2的度数是()A.70°B.65°C.60°D.55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C=∠BAC=25°.利用平行线的性质得到∠BEA=95°.再根据三角形外角的性质即可求解.【解析】如图.∵AB=BC.∠C=25°.∴∠C=∠BAC=25°.∵l1∥l2.∠1=60°.∴∠BEA=180°﹣60°﹣25°=95°.∵∠BEA=∠C+∠2.∴∠2=95°﹣25°=70°.故选:A.【点评】本题考查了等腰三角形的性质.平行线的性质以及三角形外角的性质.解决问题的关键是注意运用两直线平行.同旁内角互补.3.(2022•自贡)等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°.则这个底角的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°【分析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为(2x+20)°.根据三角形内角和是180°列出方程.解方程即可得出答案.【解析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为(2x+20)°.根据题意得:x+x+2x+20=180.解得:x=40.故选:B.【点评】本题考查了等腰三角形的性质.考查了方程思想.掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键.4.(2022•天津)如图.△OAB的顶点O(0.0).顶点A.B分别在第一、四象限.且AB⊥x轴.若AB=6.OA=OB=5.则点A的坐标是()A.(5.4)B.(3.4)C.(5.3)D.(4.3)【分析】根据等腰三角形的性质求出AC.根据勾股定理求出OC.根据坐标与图形性质写出点A的坐标.【解析】设AB与x轴交于点C.∵OA=OB.OC⊥AB.AB=6.∴AC=AB=3.由勾股定理得:OC===4.∴点A的坐标为(4.3).故选:D.【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.5.(2022•台湾)如图.△ABC中.D点在AB上.E点在BC上.DE为AB的中垂线.若∠B=∠C.且∠EAC>90°.则根据图中标示的角.判断下列叙述何者正确?()A.∠1=∠2.∠1<∠3B.∠1=∠2.∠1>∠3C.∠1≠∠2.∠1<∠3D.∠1≠∠2.∠1>∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质.等腰三角形的性质解答即可.【解析】∵DE为AB的中垂线.∴∠BDE=∠ADE.BE=AE.∴∠B=∠BAE.∴∠1=∠2.∵∠EAC>90°.∴∠3+∠C<90°.∵∠B+∠1=90°.∠B=∠C.∴∠1>∠3.∴∠1=∠2.∠1>∠3.故选:B.【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质.熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键.6.(2022•广元)如图.在△ABC中.BC=6.AC=8.∠C=90°.以点B为圆心.BC长为半径画弧.与AB交于点D.再分别以A、D为圆心.大于AD的长为半径画弧.两弧交于点M、N.作直线MN.分别交AC、AB于点E、F.则AE的长度为()A.B.3C.2D.【分析】利用勾股定理求出AB.再利用相似三角形的性质求出AE即可.【解析】在Rt△ABC中.BC=6.AC=8.∴AB===10.∵BD=CB=6.∴AD=AB=BC=4.由作图可知EF垂直平分线段AD.∴AF=DF=2.∵∠A=∠A.∠AFE=∠ACB=90°.∴△AFE∽△ACB.∴=.∴=.∴AE=.故选:A.【点评】本题考查勾股定理.相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.属于中考常考题型.7.(2022•金华)如图是城市某区域的示意图.建立平面直角坐标系后.学校和体育场的坐标分别是(3.1).(4.﹣2).下列各地点中.离原点最近的是()A.超市B.医院C.体育场D.学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系.然后根据勾股定理.可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离.再比较大小即可.【解析】如右图所示.点O到超市的距离为:=.点O到学校的距离为:=.点O到体育场的距离为:=.点O到医院的距离为:=.∵<=<.∴点O到超市的距离最近.故选:A.【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系.解答本题的关键是明确题意.作出合适平面直角坐标系.8.(2022•温州)如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.以其三边为边向外作正方形.连结CF.作GM⊥CF于点M.BJ⊥GM于点J.AK⊥BJ于点K.交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.CE=+.则CH的长为()A.B.C.2D.【分析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.设正方形JKLM边长为m.根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.得AF=AB=m.证明△AFL ≌△FGM(AAS).可得AL=FM.设AL=FM=x.在Rt△AFL中.x2+(x+m)2=(m)2.可解得x=m.有AL=FM=m.FL=2m.从而可得AP=.FP=m.BP=.即知P为AB中点.CP=AP=BP=.由△CPN∽△FP A.得CN =m.PN=m.即得AN=m.而tan∠BAC===.又△AEC∽△BCH.得=.即=.故CH=2.【解析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.如图:设正方形JKLM边长为m.∴正方形JKLM面积为m2.∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.∴正方形ABGF的面积为5m2.∴AF=AB=m.由已知可得:∠AFL=90°﹣∠MFG=∠MGF.∠ALF=90°=∠FMG.AF=GF.∴△AFL≌△FGM(AAS).∴AL=FM.设AL=FM=x.则FL=FM+ML=x+m.在Rt△AFL中.AL2+FL2=AF2.∴x2+(x+m)2=(m)2.解得x=m或x=﹣2m(舍去).∴AL=FM=m.FL=2m.∵tan∠AFL====.∴=.∴AP=.∴FP===m.BP=AB﹣AP=m﹣=.∴AP=BP.即P为AB中点.∵∠ACB=90°.∴CP=AP=BP=.∵∠CPN=∠APF.∠CNP=90°=∠F AP.∴△CPN∽△FP A.∴==.即==.∴CN=m.PN=m.∴AN=AP+PN=m.∴tan∠BAC====.∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形.∴△AEC∽△BCH.∴=.∵CE=+.∴=.∴CH=2.故选:C.【点评】本题考查正方形性质及应用.涉及全等三角形判定与性质.相似三角形判定与性质.勾股定理等知识.解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度.9.(2022•安徽)已知点O是边长为6的等边△ABC的中心.点P在△ABC外.△ABC.△P AB.△PBC.△PCA的面积分别记为S0.S1.S2.S3.若S1+S2+S3=2S0.则线段OP长的最小值是()A.B.C.3D.【分析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.证明△P AB的面积是定值.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T.因为△P AB的面积是定值.推出点P的运动轨迹是直线PM.求出OT的值.可得结论.【解析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.∵S△P AB+S△ABC=S△PBC+S△P AC.∴S1+S0=S2+S3.∵S1+S2+S3=2S0.∴S1+S1+S0=2.∴S1=S0.∵△ABC是等边三角形.边长为6.∴S0=×62=9.∴S1=.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T.∵△P AB的面积是定值.∴点P的运动轨迹是直线PM.∵O是△ABC的中心.∴CT⊥AB.CT⊥PM.∴•AB•RT=.CR=3.OR=.∴RT=.∴OT=OR+TR=.∵OP≥OT.∴OP的最小值为.当点P在②区域时.同法可得OD的最小值为.如图.当点P在①③⑤区域时.OP的最小值为.当点P在②④⑥区域时.最小值为.∵<.故选:B.【点评】本题考查等边三角形的性质.解直角三角形.三角形的面积等知识.解题的关键是证明△P AB的面积是定值.10.(2022•南充)如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.∠BAC的平分线交BC于点D.DE∥AB.交AC于点E.DF⊥AB于点F.DE=5.DF=3.则下列结论错误的是()A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理.可以求得CD和CE的长.再根据平行线的性质.即可得到AE的长.从而可以判断B和C.然后即可得到AC的长.即可判断D.再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长.从而可以判断A.【解析】∵AD平分∠BAC.∠C=90°.DF⊥AB.∴∠1=∠2.DC=FD.∠C=∠DFB=90°.∵DE∥AB.∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE=DE.∵DE=5.DF=3.∴AE=5.CD=3.故选项B、C正确.∴CE==4.∴AC=AE+EC=5+4=9.故选项D正确.∵DE∥AB.∠DFB=90°.∴∠EDF=∠DFB=90°.∴∠CDF+∠FDB=90°.∵∠CDF+∠DEC=90°.∴∠DEC=∠FDB.∵tan∠DEC=.tan∠FDB=.∴.解得BF=.故选项A错误.故选:A.【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答.11.(2022•宜昌)如图.在△ABC中.分别以点B和点C为圆心.大于BC长为半径画弧.两弧相交于点M.N.作直线MN.交AC于点D.交BC于点E.连接BD.若AB=7.AC=12.BC=6.则△ABD的周长为()A.25B.22C.19D.18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC.即可得到DB=DC.然后即可得到AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC.从而可以求得△ABD的周长.【解析】由题意可得.MN垂直平分BC.∴DB=DC.∵△ABD的周长是AB+BD+AD.∴AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC.∵AB=7.AC=12.∴AB+AC=19.∴∵△ABD的周长是19.故选:C.【点评】本题考查线段垂直平分线的性质.三角形的周长.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答.12.(2022•河北)题目:“如图.∠B=45°.BC=2.在射线BM上取一点A.设AC =d.若对于d的一个数值.只能作出唯一一个△ABC.求d的取值范围.”对于其答案.甲答:d≥2.乙答:d=1.6.丙答:d=.则正确的是()A.只有甲答的对B.甲、丙答案合在一起才完整C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整【分析】由题意知.当CA⊥BA或CA>BC时.能作出唯一一个△ABC.分这两种情况求解即可.【解析】由题意知.当CA⊥BA或CA>BC时.能作出唯一一个△ABC.①当CA⊥BA时.∵∠B=45°.BC=2.∴AC=BC•sin45°=2×=.即此时d=.②当CA=BC时.∵∠B=45°.BC=2.∴此时AC=2.即d>2.综上.当d=或d>2时能作出唯一一个△ABC.故选:B.【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识.熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键.13.(2022•宜宾)如图.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形.∠BAC=∠DAE=90°.点D是BC边上的动点(不与点B、C重合).DE与AC交于点F.连结CE.下列结论:①BD=CE.②∠DAC=∠CED.③若BD=2CD.则=.④在△ABC内存在唯一一点P.使得P A+PB+PC的值最小.若点D在AP的延长线上.且AP的长为2.则CE=2+.其中含所有正确结论的选项是()A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④【分析】①正确.证明△BAD≌△DAE(SAS).可得结论.②正确.证明A.D.C.E四点共圆.利用圆周角定理证明.③正确.设CD=m.则BD=CE=2m.DE=m.OA=m.过点C作CJ⊥DF于点J.求出AO.CJ.可得结论.④错误.将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB=∠APC=∠BPC=120°.PB =PC.AD⊥BC.设PD=t.则BD=AD=t.构建方程求出t.可得结论.【解析】如图1中.∵∠BAC=∠DAE=90°.∴∠BAD=∠CAE.∵AB=AC.AD=AE.∴△BAD≌△DAE(SAS).∴BD=EC.∠ADB=∠AEC.故①正确.∵∠ADB+∠ADC=180°.∴∠AEC+∠ADC=180°.∴∠DAE+∠DCE=180°.∴∠DAE=∠DCE=90°.取DE的中点O.连接OA.OA.OC.则OA=OD=OE=OC.∴A.D.C.E四点共圆.∴∠DAC=∠CED.故②正确.设CD=m.则BD=CE=2m.DE=m.OA=m.过点C作CJ⊥DF于点J.∵tan∠CDF===2.∴CJ=m.∵AO⊥DE.CJ⊥DE.∴AO∥CJ.∴===.故③正确.如图2中.将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.∴BP=BN.PC=NM.∠PBN=60°.∴△BPN是等边三角形.∴BP=PN.∴P A+PB+PC=AP+PN+MN.∴当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB=∠APC=∠BPC=120°.PB=PC.AD⊥BC.∴∠BPD=∠CPD=60°.设PD=t.则BD=AD=t.∴2+t=t.∴t=+1.∴CE=BD=t=3+.故④错误.故选:B.【点评】本题考查等腰直角三角形的性质.全等三角形的判定和性质.四点共圆.圆周角定理.解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线.构造特殊三角形解决问题.属于中考选择题中的压轴题.14.(2022•眉山)在△ABC中.AB=4.BC=6.AC=8.点D.E.F分别为边AB.AC.BC 的中点.则△DEF的周长为()A.9B.12C.14D.16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边.并且等于第三边的一半.可得出△ABC的周长=2△DEF的周长.【解析】如图.点E.F分别为各边的中点.∴DE、EF、DF是△ABC的中位线.∴DE=BC=3.EF=AB=2.DF=AC=4.∴△DEF的周长=3+2+4=9.故选:A.【点评】本题考查了三角形中位线定理.解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系.15.(2022•湘潭)中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时.用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图).并用它证明了勾股定理.这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1.α为直角三角形中的一个锐角.则tanα=()A.2B.C.D.【分析】根据题意和题目中的数据.可以先求出大正方形的面积.然后设出小直角三角形的两条直角边.再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长.然后即可求得tanα的值.【解析】由已知可得.大正方形的面积为1×4+1=5.设直角三角形的长直角边为a.短直角边为b.则a2+b2=5.a﹣b=1.解得a=2.b=1或a=1.b=﹣2(不合题意.舍去).∴tanα===2.故选:A.【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形.解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长.16.(2022•苏州)如图.点A的坐标为(0.2).点B是x轴正半轴上的一点.将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为(m.3).则m的值为()A.B.C.D.【分析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.可得△ABC是等边三角形.又A(0.2).C(m.3).即得AC==BC=AB.可得BD==.OB==.从而+=m.即可解得m=.【解析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.如图:∵CD⊥x轴.CE⊥y轴.∠DOE=90°.∴四边形EODC是矩形.∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.∴AB=AC.∠BAC=60°.∴△ABC是等边三角形.∴AB=AC=BC.∵A(0.2).C(m.3).∴CE=m=OD.CD=3.OA=2.∴AE=OE﹣OA=CD﹣OA=1.∴AC===BC=AB.在Rt△BCD中.BD==.在Rt△AOB中.OB==.∵OB+BD=OD=m.∴+=m.化简变形得:3m4﹣22m2﹣25=0.解得m=或m=﹣(舍去).∴m=.故选:C.【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换.解题的关键是熟练应用勾股定理.用含m的代数式表示相关线段的长度.17.(2022•扬州)如图.小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了.需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据.为了方便表述.将该三角形记为△ABC.提供下列各组元素的数据.配出来的玻璃不一定符合要求的是()A.AB.BC.CA B.AB.BC.∠B C.AB.AC.∠B D.∠A.∠B.BC 【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.【解析】A.利用三角形三边对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.B.利用三角形两边、且夹角对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.C.AB.AC.∠B.无法确定三角形的形状.故此选项符合题意.D.根据∠A.∠B.BC.三角形形状确定.故此选项不合题意.故选:C.【点评】此题主要考查了全等三角形的应用.正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.18.(2022•湖州)如图.已知在锐角△ABC中.AB=AC.AD是△ABC的角平分线.E 是AD上一点.连结EB.EC.若∠EBC=45°.BC=6.则△EBC的面积是()A.12B.9C.6D.3【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=CD=3.AD⊥BC.根据等腰直角三角形的性质求出ED.根据三角形的面积公式计算.得到答案.【解析】∵AB=AC.AD是△ABC的角平分线.∴BD=CD=BC=3.AD⊥BC.在Rt△EBD中.∠EBC=45°.∴ED=BD=3.∴S△EBC=BC•ED=×6×3=9.故选:B.【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.19.(2022•宁波)如图.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.E为BD上一点.F为CE中点.若AE=AD.DF=2.则BD的长为()A.2B.3C.2D.4【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长.再根据AE=AD.可以得到AD的长.然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系.可以求得BD的长.【解析】∵D为斜边AC的中点.F为CE中点.DF=2.∴AE=2DF=4.∵AE=AD.∴AD=4.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.∴BD=AC=AD=4.故选:D.【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线.解答本题的关键是求出AD的长.20.(2022•云南)如图.OB平分∠AOC.D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点.D、E、F与O点都不重合.连接ED、EF.若添加下列条件中的某一个.就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是()A.OD=OE B.OE=OF C.∠ODE=∠OED D.∠ODE=∠OFE【分析】由OB平分∠AOC.得∠DOE=∠FOE.由OE=OE.可知∠ODE=∠OFE.即可根据AAS得△DOE≌△FOE.可得答案.【解析】∵OB平分∠AOC.∴∠DOE=∠FOE.又OE=OE.若∠ODE=∠OFE.则根据AAS可得△DOE≌△FOE.故选项D符合题意.而增加OD=OE不能得到△DOE≌△FOE.故选项A不符合题意.增加OE=OF不能得到△DOE≌△FOE.故选项B不符合题意.增加∠ODE=∠OED不能得到△DOE≌△FOE.故选项C不符合题意.故选:D.【点评】本题考查全等三角形的判定.解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用.21.(2022•达州)如图.AB∥CD.直线EF分别交AB.CD于点M.N.将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放.若∠EMB=80°.则∠PNM等于()A.15°B.25°C.35°D.45°【分析】根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=80°.由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45°.即可得到结论.【解析】∵AB∥CD.∴∠DNM=∠BME=80°.∵∠PND=45°.∴∠PNM=∠DNM﹣∠DNP=80°﹣45°=35°.故选:C.【点评】本题考查了平行线的性质.等腰直角三角形的性质.熟练掌握平行线的性质是解题的关键.22.(2022•金华)如图.圆柱的底面直径为AB.高为AC.一只蚂蚁在C处.沿圆柱的侧面爬到B处.现将圆柱侧面沿AC“剪开”.在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线.正确的是()A.B.C.D.【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形.而点B是展开图的一边的中点.再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论.【解析】将圆柱侧面沿AC“剪开”.侧面展开图为矩形.∵圆柱的底面直径为AB.∴点B是展开图的一边的中点.∵蚂蚁爬行的最近路线为线段.∴C选项符合题意.故选:C.【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图.最短路径问题.掌握两点之间线段最短是解题的关键.23.(2022•舟山)如图.在Rt△ABC和Rt△BDE中.∠ABC=∠BDE=90°.点A 在边DE的中点上.若AB=BC.DB=DE=2.连结CE.则CE的长为()A.B.C.4D.【分析】根据题意先作出合适的辅助线.然后根据勾股定理可以得到AB和BC 的长.根据等面积法可以求得EG的长.再根据勾股定理求得EF的长.最后计算出CE的长即可.【解析】作EF⊥CB交CB的延长线于点F.作EG⊥BA交BA的延长线于点G.∵DB=DE=2.∠BDE=90°.点A是DE的中点.∴BE===2.DA=EA=1.∴AB===.∵AB=BC.∴BC=.∵=.∴.解得EG=.∵EG⊥BG.EF⊥BF.∠ABF=90°.∴四边形EFBG是矩形.∴EG=BF=.∵BE=2.BF=.∴EF===.CF=BF+BC=+=.∵∠EFC=90°.∴EC===.故选:D.【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形.解答本题的关键是明确题意.求出EF和CF的长.24.(2022•遂宁)如图.D、E、F分别是△ABC三边上的点.其中BC=8.BC边上的高为6.且DE∥BC.则△DEF面积的最大值为()A.6B.8C.10D.12【分析】过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN=a.根据DE ∥BC.证出△ADE∽△ABC.根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DE=a.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值即可.【解析】如图.过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN=a.∵DE∥BC.∴∠ADE=∠B.∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC.∴=.∴=.∴DE=a.∴△DEF面积S=×DE×MN=×a•(6﹣a)=﹣a2+4a=﹣(a﹣3)2+6.∴当a=3时.S有最大值.最大值为6.故选:A.【点评】本题考查了三角形的面积.平行线的性质.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值是解题的关键.二.填空题(共15小题)25.(2022•岳阳)如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.若BC=6.则CD=3.【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点.即可求出CD的长.【解析】∵AB=AC.AD⊥BC.∴CD=BD.∵BC=6.∴CD=3.故答案为:3.【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键.26.(2022•苏州)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍.这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”.底边BC的长为3.则腰AB的长为6.【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”.可知AB=2BC或BC=2AB.若AB =2BC=6.可得AB的长为6.若BC=3=2AB.因1.5+1.5=3.故此时不能构成三角形.这种情况不存在.即可得答案.【解析】∵等腰△ABC是“倍长三角形”.∴AB=2BC或BC=2AB.若AB=2BC=6.则△ABC三边分别是6.6.3.符合题意.∴腰AB的长为6.若BC=3=2AB.则AB=1.5.△ABC三边分别是1.5.1.5.3.∵1.5+1.5=3.∴此时不能构成三角形.这种情况不存在.综上所述.腰AB的长是6.故答案为:6.【点评】本题考查三角形三边关系.涉及新定义.解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边.27.(2022•云南)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°.则△ABC的顶角度数是40°或100°.【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论.即可解答.【解析】当∠A是顶角时.△ABC的顶角度数是40°.当∠A是底角时.则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°=100°.综上.△ABC的顶角度数是40°或100°.故答案为:40°或100°.【点评】本题考查了等腰三角形的性质.此类题目.难点在于要分情况讨论.28.(2022•滨州)如图.屋顶钢架外框是等腰三角形.其中AB=AC.立柱AD⊥BC.且顶角∠BAC=120°.则∠C的大小为30°.【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=∠C=30°.【解析】∵AB=AC且∠BAC=120°.∴∠B=∠C=(180°﹣∠BAC)=×60°=30°.故答案为:30°.【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键.29.(2022•丽水)三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是(﹣.3).则A点的坐标是(.﹣3).【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称.进而可以解决问题.【解析】因为点A和点B关于原点对称.B点的坐标是(﹣.3).所以A点的坐标是(.﹣3).故答案为:(.﹣3).【点评】本题考查了正六边形的性质.中心对称图形.解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征.30.(2022•金华)如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=30°.BC=2cm.把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.连结CC'.则四边形AB'C'C的周长为(8+2)cm.【分析】利用含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.求得四边形AB'C'C的四边即可求得结论.【解析】∵在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=30°.BC=2cm.∴AB=2BC=4.∴AC==2.∵把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.∴B′C′=BC=2.AA′=CC′=1.A′B′=AB=4.∴AB′=AA′+A′B′=5.∴四边形AB'C'C的周长为AB′+B′C′+CC′+AC=5+2+1+2=(8+2)cm.故答案为:(8+2).【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.熟练掌握平移的性质是解题的关键.31.(2022•宜宾)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式.其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂.余半之.自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之.为实.一为从隅.开平方得积.”若把以上这段文字写成公式.即为S=.现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c =4:3:2.则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为3.【分析】根据题意先求出a、b、c.再代入公式进行计算即可.【解析】根据a:b:c=4:3:2.设a=4k.b=3k.c=2k.则4k+3k+2k=18.解得:k=2.∴a=4k=4×2=8.b=3k=3×2=6.c=2k=2×2=4.∴S===3.故答案为:3.【点评】本题考查了二次根式的运算.要注意运算顺序.解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握.32.(2022•十堰)【阅读材料】如图①.四边形ABCD中.AB=AD.∠B+∠D=180°.点E.F分别在BC.CD上.若∠BAD=2∠EAF.则EF=BE+DF.【解决问题】如图②.在某公园的同一水平面上.四条道路围成四边形ABCD.已知CD=CB=100m.∠D=60°.∠ABC=120°.∠BCD=150°.道路AD.AB上分别有景点M.N.且DM=100m.BN=50(﹣1)m.若在M.N之间修一条直路.则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m(结果取整数.参考数据:≈1.7).【分析】解法一:如图.作辅助线.构建直角三角形.先根据四边形的内角和定理证明∠G=90°.分别计算AD.CG.AG.BG的长.由线段的和与差可得AM和AN 的长.最后由勾股定理可得MN的长.计算AM+AN﹣MN可得答案.解法二:构建【阅读材料】的图形.根据结论可得MN的长.从而得结论.【解析】解法一:如图.延长DC.AB交于点G.∵∠D=60°.∠ABC=120°.∠BCD=150°.∴∠A=360°﹣60°﹣120°﹣150°=30°.∴∠G=90°.∴AD=2DG.Rt△CGB中.∠BCG=180°﹣150°=30°.∴BG=BC=50.CG=50.∴DG=CD+CG=100+50.∴AD=2DG=200+100.AG=DG=150+100.∵DM=100.∴AM=AD﹣DM=200+100﹣100=100+100.∵BG=50.BN=50(﹣1).∴AN=AG﹣BG﹣BN=150+100﹣50﹣50(﹣1)=150+50.Rt△ANH中.∵∠A=30°.∴NH=AN=75+25.AH=NH=75+75.由勾股定理得:MN===50(+1).∴AM+AN﹣MN=100+100+150+50﹣50(+1)=200+100≈370(m).答:路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m.解法二:如图.延长DC.AB交于点G.连接CN.CM.则∠G=90°.∵CD=DM.∠D=60°.∴△BCM是等边三角形.∴∠DCM=60°.由解法一可知:CG=50.GN=BG+BN=50+50(﹣1)=50.∴△CGN是等腰直角三角形.∴∠GCN=45°.∴∠BCN=45°﹣30°=15°.∴∠MCN=150°﹣60°﹣15°=75°=∠BCD.由【阅读材料】的结论得:MN=DM+BN=100+50(﹣1)=50+50.∵AM+AN﹣MN=AD+AG﹣MN=100+100+150+50﹣50(+1)=200+100≈370(m).答:路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m.故答案为:370.【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质.勾股定理.二次根式的混合运算等知识与方法.解题的关键是作出所需要的辅助线.构造含30°的直角三角形.再利用线段的和与差进行计算即可.33.(2022•山西)如图.在正方形ABCD中.点E是边BC上的一点.点F在边CD 的延长线上.且BE=DF.连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF.垂足为点M.交边CD于点N.若BE==8.则线段AN的长为4.【分析】连接AE.AF.EN.由正方形的性质可得AB=AD.BC=CD.∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°.可证得△ABE≌△ADF(SAS).可得∠BAE=∠DAF.AE =AF.从而可得∠EAF=90°.根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点.由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM(SAS).△EMN≌△FMN(SAS).可得EN =FN.设DN=x.则EN=FN=x+5.CE=x+3.由勾股定理解得x=12.可得AB=CD=20.由勾股定理可得AE=5.从而可得AM=EM=FM=.由勾股定理可得MN=.即可求解.【解析】如图.连接AE.AF.EN.∵四边形ABCD为正方形.∴AB=AD.BC=CD.∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°.∵BE=DF.∴△ABE≌△ADF(SAS).∴∠BAE=∠DAF.AE=AF.∴∠EAF=90°.∴△EAF为等腰直角三角形.∵AN⊥EF.∴EM=FM.∠EAM=∠F AM=45°.∴△AEM≌△AFM(SAS).△EMN≌△FMN(SAS).∴EN=FN.设DN=x.∵BE=DF==8.∴CD=CN+DN=x+8.∴EN=FN=DN+DF=x+5.CE=BC﹣BE=CD﹣BE=x+8﹣5=x+3.在Rt△ECN中.由勾股定理可得:CN2+CE2=EN2.即82+(x+3)2=(x+5)2.解得:x=12.∴AB=CD=x+8=20.EN=x+5=17.在Rt△ABE中.由勾股定理可得:AE===5.∴AM=EM=FM==.在Rt△EMN中.由勾股定理可得:MN===.∴AN=AM+MN=+=4.故答案为:4.【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.等腰三角形的性质.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.构建全等三角形解决问题.34.(2022•武汉)如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC>BC.分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL.ACDE.BCFG.连接DF.过点C作AB的垂线CJ.垂足为J.分别交DF.LH于点I.K.若CI=5.CJ=4.则四边形AJKL的面积是80.【分析】过点D作DM⊥CI于点M.过点F作FN⊥CI于点N.由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM.△BCJ≌△CFN.可得DM=CJ.FN=CJ.可证得△DMI ≌△FNI.由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI=FI=CI.由勾股定理可得MI.NI.从而可得CN.可得BJ与AJ.即可求解.【解析】过点D作DM⊥CI.交CI的延长线于点M.过点F作FN⊥CI于点N.∵△ABC为直角三角形.四边形ACDE.BCFG为正方形.过点C作AB的垂线CJ.CJ=4.∴AC=CD.∠ACD=90°.∠AJC=∠CMD=90°.∠CAJ+∠ACJ=90°.BC=CF.∠BCF=90°.∠CNF=∠BJC=90°.∠FCN+∠CFN=90°.∴∠ACJ+∠DCM=90°.∠FCN+∠BCJ=90°.∴∠CAJ=∠DCM.∠BCJ=∠CFN.∴△ACJ≌△CDM(AAS).△BCJ≌△CFN(AAS).∴AJ=CM.DM=CJ=4.BJ=CN.NF=CJ=4.∴DM=NF.∴△DMI≌△FNI(AAS).∴DI=FI.MI=NI.∵∠DCF=90°.∴DI=FI=CI=5.在Rt△DMI中.由勾股定理可得:MI===3.∴NI=MI=3.∴AJ=CM=CI+MI=5+3=8.BJ=CN=CI﹣NI=5﹣3=2.∴AB=AJ+BJ=8+2=10.∵四边形ABHL为正方形.∴AL=AB=10.∵四边形AJKL为矩形.∴四边形AJKL的面积为:AL•AJ=10×8=80.故答案为:80.【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.利用全等三角形的性质进行求解.35.(2022•孝感)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三.股修四.经隅五”.观察下列勾股数:3.4.5.5.12.13.7.24.25.….这类勾股数的特点是:勾为奇数.弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数.弦与股相差为2的一类勾股数.如:6.8.10.8.15.17.….若此类勾股数的勾为2m(m≥3.m为正整数).则其弦是m2+1(结果用含m的式子表示).【分析】根据题意得2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理列方程即可得到结论.【解析】∵m为正整数.∴2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理得.(2m)2+a2=(a+2)2.解得a=m2+1.综上所述.其弦是m2+1.故答案为:m2+1.【点评】本题考查了勾股数.勾股定理.熟练掌握勾股定理是解题的关键.36.(2022•台州)如图.在△ABC中.∠ACB=90°.D.E.F分别为AB.BC.CA的中点.若EF的长为10.则CD的长为10.【分析】根据三角形中位线定理求出AB.根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD.【解析】∵E.F分别为BC.CA的中点.∴EF是△ABC的中位线.∴EF=AB.∴AB=2EF=20.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.D为AB中点.AB=20.。
中考总复习之等腰三角形与直角三角形
中考总复习之等腰三角形与直角三角形在中考数学的复习中,等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的知识点。
它们不仅在几何题目中经常出现,而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
接下来,让我们系统地复习一下这两个重要的三角形类型。
一、等腰三角形(一)定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰,另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。
(二)性质1、等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
例如,在等腰三角形 ABC 中,AB = AC,那么∠B =∠C。
2、等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)。
若 AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线,则 AD 也是底边 BC 上的中线和高;反之亦然。
(三)判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)。
(四)常见题型1、计算角度:利用等腰三角形的性质,求出顶角或底角的度数。
例如,已知等腰三角形的一个底角为 70°,则顶角为 180° 70°× 2 =40°。
2、证明线段相等:通过证明三角形是等腰三角形,得出两条线段相等。
3、求边长:根据等腰三角形的性质和已知条件,计算出三角形的边长。
二、直角三角形(一)定义有一个角为 90°的三角形,叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边,其余两边称为直角边。
(二)性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)。
若直角三角形的两条直角边分别为 a、b,斜边为 c,则 a²+ b²=c²。
2、在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。
例如,在直角三角形 ABC 中,∠C = 90°,D 是斜边 AB 的中点,则 CD = 1/2 AB 。
3、直角三角形的两个锐角互余。
专题16 等腰三角形与直角三角形(共25道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题16等腰三角形与直角三角形(25道)一、单选题1.如图,直角ABC 中,30B ∠=︒,点O 是ABC 的重心,连接CO 并延长交AB 于点E ,过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F ,连接AF 交CE 于点M ,则MO MF 的值为()A .12B .54C .23D .33【答案】D 【详解】解:∵点O 是△ABC 的重心,∴OC =23CE ,∵△ABC 是直角三角形,∴CE =BE =AE ,∵∠B =30°,∴∠FAE =∠B =30°,∠BAC =60°,∴∠FAE =∠CAF =30°,△ACE 是等边三角形,∴CM =12CE ,∴OM =23CE ﹣12CE =16CE ,即OM =16AE ,∵BE =AE ,∴EF =33AE ,∵EF ⊥AB ,∴∠AFE =60°,∴∠FEM =30°,∴MF =12EF ,∴MF =36AE ,∴MO MF =1636AE AE =33.故选D .2.将一副直角三角板和一把宽度为2cm 的直尺按如图方式摆放:先把60︒和45︒角的顶点及它们的直角边重合,再将此直角边垂直于直尺的上沿,重合的顶点落在直尺下沿上,这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A ,B 两点,则AB 的长是()A .23-B .232-C .2D .23【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得2cm AD CD ==,由含30度角直角三角形的性质可得24cm BC CD ==,由勾股定理可得BD 的长,即可得到结论.【详解】解:如图,在Rt ACD △中,45ACD ∠=︒,∴45CAD ACD ∠=︒=∠,∴2cm AD CD ==,在Rt BCD 中,60BCD ∠=︒,∴30CBD ∠=︒,∴24cm BC CD ==,∴222242BD BC CD =-=-∴()233cm AB BD AD =-=-故选:B .【点睛】本题考查了勾股定理,等腰直角三角形的性质,含解题的关键.A .1【答案】C 【分析】根据等腰三角形两底角相等与36ABD CBD ∠=∠=︒,根据线段垂直平分线性质得到EB ED =,得到EBD EDB ∠=∠,推出EDB CBD ∠=∠,得到DE BC ∥,推出AED ABC ∠=∠,①正确;根据等角对等边得到AD AE =,AD BD =,根据三角形外角性质得到72BDC C ∠=︒=∠,得到BC BD =,推出BC AE =,②正确;根据AED ABC △∽△,得到ED AD AD BC AC AD DC ==+,推出512ED BC -=,③错误;根据2AC =时,512CD AD -=,得到5122AD AD -=-,推出51AD =-,④正确.【详解】∵ABC 中,AB AC =,36A ∠=︒,∴()1180722ABC C A ∠=∠=︒-∠=︒,由作图知,BD 平分ABC ∠,MN 垂直平分BD ,∴1362ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒,EB ED =,∴EBD EDB ∠=∠,∴EDB CBD ∠=∠,∴DE BC ∥,∴AED ABC ∠=∠,①正确;ADE C ∠=∠,∴AED ADE ∠=∠,∴AD AE =,∵A ABD ∠=∠,∴AD BD =,∵72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒,∴BDC C ∠=∠,∴BC BD =,∴BC AE =,②正确;设ED x =,BC a =,则AD a =,BE x =,∴CD BE x ==,∵AED ABC △∽△,∴ED AD AD BC AC AD DC==+,A.①④【答案】A【分析】①有3种情况,分别画出图形,得出得最大值,进而根据已知数据,结合勾股定理,求得△,根据相似三角形的性质求得∽△CABC BD解;④如图6,根据相似三角形的性质得出性质,即可求AC CD +取得最大值时,2x =.【详解】①有3种情况,如图1,BC 和OD 都是中线,点E 是重心;如图2,四边形ABDC 是平行四边形,F 是AD 中点,点E 是重心;如图3,点F 不是AD 中点,所以点E 不是重心;①正确②当60α=︒,如图4时AD 最大,4AB =,∴2AC BE ==,23BC AE ==,36BD BC ==,∴8DE =,∴21927AD =≠,∴②错误;③如图5,若60α=︒,C ABC BD ∽△△,∴60BCD ∠=︒,90CDB ∠=︒,4AB =,2AC =,23BC =,3OE =,1CE =,∴3CD =,32GE DF ==,32CF =,A.1【答案】D【分析】根据题意易得【详解】解:∴3=AB BC∵点D为AB∴132AD AB ==,∵AD DE AB BC=,∴1DE =,①当点E 为AC 的中点时,如图,∴122AE AC ==,②当点E 为AC 的四等分点时,如图所示:∴1AE =,综上所述:1AE =或2;故选D .【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线,熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键.6.如图,在Rt ABC 中,9053C AB BC ∠=︒==,,,以点A 为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB AC,于点E F ,,分别以点E F ,为圆心,大于12EF 的长为半径作弧,两弧在BAC ∠的内部相交于点G ,作射线AG ,交BC 于点D ,则BD 的长为()A .35B .34C .43D .53【点睛】本题考查了作图:作角平分线,角平分线的性质定理,全等三角形的判定与性质,勾股定理,利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键.7.5月26日,“2023有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)A.4m B.6m【分析】作AD BC ⊥于点D ,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒,再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案.【详解】解:如图,作AD BC ⊥于点D ,ABC 中,120BAC ∠=︒,AB AC =,∴()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒, AD BC ⊥,∴11126m 22AD AB ==⨯=,故选B .【点睛】本题考查等腰三角形的性质,三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质等,解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半.8.如图,ABC 为等边三角形,点D ,E 分别在边BC ,AB 上,60ADE ∠=︒,若4BD DC =, 2.4DE =,则AD 的长为()A .1.8B .2.4C .3D .3.2【答案】C 【分析】证明ADC DEB ∽△△,根据题意得出45BD BC =,进而即可求解.【详解】解:∵ABC 为等边三角形,∴60B C ∠=∠=︒,∵ADB ADE BDE C DAC ∠=∠+∠=∠+∠,60ADE ∠=︒,∴BDE DAC ∠=∠,下列不属于...该尺规作图依据的是()A.两点确定一条直线B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D .线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明:OC OA OB ==即可.【详解】解:作直线PQ (两点确定一条直线),连接PA PB QA QB OC ,,,,,∵由作图,PA PB QA QB ==,,∴PQ AB ⊥且AO BO =(与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).∵90ACB ∠=︒,∴12OC AB =(直角三角形斜边中线等于斜边的一半),∴OA OB OC ==,∴A ,B ,C 三点在以O 为圆心,AB 为直径的圆上.∴O 为ABC 的外接圆.故选:D .【点睛】本题考查作图-复杂作图,线段的垂直平分线的定义,直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.10.如图,在ABC 中,9034ABC AB BC ∠=︒==,,,点D 在边AC 上,且BD 平分ABC 的周长,则BD 的长是()A .5B .6C .655D .364【答案】C【点睛】本题主要考查了勾股定理,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 的三边长a,b,c满足11.ABCA.等腰三角形B.直角三角形【答案】D【分析】由等式可分别得到关于为直角三角形.可推导得到ABC【详解】解∵2()23|32|0a b a b c -+--+-=又∵()20230320a b a b c ⎧-≥⎪⎪--≥⎨⎪-≥⎪⎩∴()20230320a b a b c ⎧-=⎪⎪--=⎨⎪-=⎪⎩,∴0230320a b a b c ⎧-=⎪--=⎨⎪-=⎩解得3332a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,∴222+=a b c ,且a b =,∴ABC 为等腰直角三角形,故选:D .【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识,求解的关键是熟练掌握非负数的和为0,每一个非负数均为0,和勾股定理逆定理.12.四边形ABCD 的边长如图所示,对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化.当ABC 为等腰三角形时,对角线AC 的长为()A .2B .3C .4D .5【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得04AC <<,再利用等腰三角形的定义即可求解.【详解】解:在ACD 中,2AD CD ==,∴2222AC -<<+,即04AC <<,当4AC BC ==时,ABC 为等腰三角形,但不合题意,舍去;若3AC AB ==时,ABC 为等腰三角形,故选:B .【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.二、填空题=,∴当3MD MD=,即MD=3时MD+12⋅MA DN 有最小值为23.故答案为23.考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;旋转的性质;最值问题;综合题.14.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,点D 为BC 的中点,过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E ,若4AC =,5CE =,则CD 的长为.【答案】32/112/1.5【分析】先根据AAS 证明BDA CDE △≌△,推出5==BA CE ,再利用勾股定理求出BC ,最后根据中点的定义即可求CD 的长.【详解】解: CE AB ∥,∴BAD CED ∠=∠,点D 为BC 的中点,∴BD CD =,又 BDA CDE ∠=∠,∴BDA CDE △≌△()AAS ,∴5==BA CE ,Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,4AC =,∴2222543BC AB AC =-=-=,∴1322CD BC ==.故答案为:32.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,勾股定理,平行线的性质等,证明BDA CDE △≌△是解题的【答案】52或412【分析】分两种情况当D 在CA 延长线上和当N ,利用勾股定理解题即可【详解】解:当在线段上时,连接OC ①当D 在线段AC 上时,1AD = ,2CD AC AD ∴=-=,90BCD ∠=︒ ,22222313BD CD BC ∴=+=+= 点O 是线段BD 的中点,11322OC OB OD BD ∴====,ON BC ⊥ ,1322CN BN BC ∴===,AB DE ,221ON CO CN =-= ,2222151()22OE ON NE ∴=+=+=,②当D 在CA 延长线上时,则4CD AD AC =+=,O 是线段BD 的中点,90BCD ∠=︒,12OC OB OD BD ∴===,ON BC ⊥ ,1322CN BN BC ∴===,OB OD = ,122ON CD ∴==,AB DE ,45CAB COE CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒,4CE CD ∴==,35422EN CE CN ∴=-=-=,22225412()22OE EN ON ∴=+=+=,OE ∴的长为52或412.故答案为:52或412.【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,正确作出辅助线是解题的关键.16.如图,在ABC 中,90,6C AC BC ∠=︒==.P 为边AB 上一动点,作PD BC ⊥于点D ,PE AC ⊥于点E ,则DE 的最小值为.【答案】32【分析】连接CP ,利用勾股定理列式求出DE CP =,再根据垂线段最短可得程求解即可.【详解】解:如图,连接CP ,∵90,6C AC BC ∠=︒==,∴222266AB AC BC =+=+=∵PD BC ⊥于点D ,PE AC ⊥于点∴四边形CDPE 是矩形,∴DE CP =,由垂线段最短可得CP AB ⊥时,线段此时,1122ABC S AC BC AB ==△⋅代入数据:11666222创=创∴32CP =,∴DE 的最小值为32,故答案为:32.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,垂线段最短的性质,勾股定理,判断出CP AB ⊥时,线段DE 的值最小是解题的关键.17.如图.四边形ABCD 中,AB AD =,BC DC =,60C ∠=︒,AE CD ∥交BC 于点E ,8BC =,6AE =,则AB 的长为.【答案】27【分析】连接AC 、BD 交于点O ,过点E 作EF AC ⊥,交AC 于点F ,先证明BCD △是等边三角形,AC 垂直平分BD ,求得30EAC ACD ACB ∠=∠=∠=︒,6AE EC ==,再解三角形求出23AO AC CO =-=,4BO =,最后运用勾股定理求得AB 即可.【详解】解:如图:连接AC 、BD 交于点O ,又∵BC DC =,60C ∠=︒,∵BCD △是等边三角形,∴8BD BC CD ===,∵AB AD =,BC DC =,【答案】65【分析】根据题意可得BD BE=答.【详解】解:根据题意可得:BD∴BDE BED ∠=∠,∵18050ABC BDE BED ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒,,∴65BDE BED ∠=∠=︒.故答案为:65.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点,掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键.19.如图,在ABC 中,以A 为圆心,AC 长为半径作弧,交BC 于C ,D 两点,分别以点C 和点D 为圆心,大于12CD 长为半径作弧,两弧交于点P ,作直线AP ,交CD 于点E ,若5AC =,6CD =,则AE =.【答案】4【分析】利用圆的性质得出AP 垂直平分CD 和5AD AC ==,运用勾股定理便可解决问题.【详解】解:根据题意可知,以点C 和点D 为圆心,大于12CD 长为半径作弧,两弧交于点P ,∴AP 垂直平分CD ,即90AED ∠=︒,∴132DE CD ==,又∵在ABC 中,以A 为圆心,AC 长为半径作弧,交BC 于C ,D 两点,其中5AC =,∴5AD AC ==,在ADE V 中,224AE AD DE =-=,故答案为:4.【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质,掌握相关知识点是解题的关键.20.如图,在ABC 中,以点C 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AC ,BC 于点D ,E ;分别以点D ,E 为圆心,大于12DE 的长为半径作弧,两弧交于点F ;作射线CF 交AB 于点G ,若9AC =,6BC =,BCG 的面积为8,则ACG 的面积为.【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点96ACG BCG S AG AC S GB BC === 32=,即可求解.【详解】解:如图所示,过点B 作BM AC ∥∴ACM CMB∠=∠由作图可得CG 是ACB ∠的角平分线,∴ACM BCM∠=∠∵BCM CMB∠=∠∴BC BM=∵BM AC∥∴ACG BMG∽∴AG AC AC GB BM BC==∴96ACG BCG S AG AC S GB BC === 32=,∵BCG 的面积为8,∴ACG 的面积为12,故答案为:12.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,作角平分线,熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键.21.如图,CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线,E 为AC 的中点.若8AC =,5CD =,则DE =.【答案】3【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出AB ,然后利用勾股定理即可得出BC ,最后利用三角形中位线定理即可求解.【详解】解:∵在Rt ABC △中,CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线,5CD =,∴210AB CD ==,∴22221086BC AB AC =-=-=,∵E 为AC 的中点,∴132DE BC ==故答案为:3.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质,三角形中位线定理,掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.22.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,D 是AB 的中点,则CD =.【答案】5【分析】先根据题意画出图形,再运用勾股定理求得AB ,然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.【详解】解:如图:∵∠ACB =90°,AC =6,BC =8∴22226810AB AC BC =+=+=∵∠ACB =90°,D 为AB 的中点,∴CD =12AB =12×10=5.故答案为5.【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点,掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键.三、解答题(1)证明:C ABD BA ∽△△;(2)若610AB BC ==,,求BD 【答案】(1)见解析(2)185BD =【分析】(1)根据三角形高的定义得出角B B ∠=∠,即可得证;(2)根据(1)的结论,利用相似三角形的性质即可求解.【详解】(1)证明:∵BAC ∠∴90ADB ∠=︒,B C ∠+∠=∴90B BAD ∠+∠=︒,∴BAD C∠=∠又610AB BC ==,∴23618105AB BD CB ===.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.24.如图,BD 是等边ABC 的中线,以D 为圆心,DB 的长为半径画弧,交BC 的延长线于E ,连接DE .求证:CD CE =.【答案】见解析【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质,证出2E ∠=∠,再利用等边对等角即可.【详解】证明:BD Q 为等边ABC 的中线,BD AC ∴⊥,160∠=︒330∴∠=︒BD DE = ,330E ∴∠=∠=︒2160E ∠+∠=∠=︒ ,230E ∴∠=∠=︒CD CE∴=【点睛】本题考查了等边三角形,等腰三角形的性质和判定,理解记忆相关定理是解题的关键.(1)求证:EAD EDA ∠=∠;(2)若60C ∠=︒,4DE =时,求△【答案】(1)见解析(2)43【分析】(1)由B AED ∠=∠求出边对等角得出结论;(2)过点E 作EF AD ⊥于F ,根据等腰三角形的性质和含用勾股定理求出EF ,再根据三角形面积公式计算即可.【详解】(1)证明:∵B AED ∠=∠∴180180B AED ︒-∠=︒-∠,即∠∴BAE CED ∠=∠,在BAE 和CED △中,B C BAE BE CD ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴114234322AEDS AD EF=⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查了三角形内角和定理,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,含30︒直角三角形的性质以及勾股定理等知识,正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键.。
专题16等腰三角形与直角三角形(共50题)
专题16等腰三角形与直角三角形(共50题)一.选择题(共24小题)1.(2022•宿迁)若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是()A.8cm B.13cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 2.(2022•泰安)如图,l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°.则∠2的度数是()A.70°B.65°C.60°D.55°3.(2022•自贡)等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°4.(2022•天津)如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB =6,OA=OB=5,则点A的坐标是()A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)5.(2022•台湾)如图,△ABC中,D点在AB上,E点在BC上,DE为AB的中垂线.若∠B=∠C,且∠EAC>90°,则根据图中标示的角,判断下列叙述何者正确?()A.∠1=∠2,∠1<∠3B.∠1=∠2,∠1>∠3C.∠1≠∠2,∠1<∠3D.∠1≠∠2,∠1>∠36.(2022•广元)如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,∠C=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,与AB交于点D,再分别以A、D为圆心,大于AD的长为半径画弧,两弧交于点M、N,作直线MN,分别交AC、AB于点E、F,则AE的长度为()A.B.3C.2D.7.(2022•金华)如图是城市某区域的示意图,建立平面直角坐标系后,学校和体育场的坐标分别是(3,1),(4,﹣2),下列各地点中,离原点最近的是()A.超市B.医院C.体育场D.学校8.(2022•温州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=+,则CH的长为()A.B.C.2D.9.(2022•安徽)已知点O是边长为6的等边△ABC的中心,点P在△ABC外,△ABC,△P AB,△PBC,△PCA的面积分别记为S0,S1,S2,S3.若S1+S2+S3=2S0,则线段OP长的最小值是()A.B.C.3D.10.(2022•南充)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是()A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=911.(2022•宜昌)如图,在△ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD 的周长为()A.25B.22C.19D.1812.(2022•河北)题目:“如图,∠B=45°,BC=2,在射线BM上取一点A,设AC=d,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”对于其答案,甲答:d≥2,乙答:d=1.6,丙答:d=,则正确的是()A.只有甲答的对B.甲、丙答案合在一起才完整C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整13.(2022•宜宾)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点D是BC边上的动点(不与点B、C重合),DE与AC交于点F,连结CE.下列结论:①BD=CE;②∠DAC=∠CED;③若BD=2CD,则=;④在△ABC内存在唯一一点P,使得P A+PB+PC的值最小,若点D在AP的延长线上,且AP的长为2,则CE=2+.其中含所有正确结论的选项是()A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④14.(2022•眉山)在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,则△DEF的周长为()A.9B.12C.14D.1615.(2022•湘潭)中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,α为直角三角形中的一个锐角,则tanα=()A.2B.C.D.16.(2022•苏州)如图,点A的坐标为(0,2),点B是x轴正半轴上的一点,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为(m,3),则m的值为()A.B.C.D.17.(2022•扬州)如图,小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了,需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为△ABC,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是()A.AB,BC,CA B.AB,BC,∠B C.AB,AC,∠B D.∠A,∠B,BC 18.(2022•湖州)如图,已知在锐角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连结EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是()A.12B.9C.6D.319.(2022•宁波)如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE中点.若AE=AD,DF=2,则BD的长为()A.2B.3C.2D.420.(2022•云南)如图,OB平分∠AOC,D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点,D、E、F与O点都不重合,连接ED、EF.若添加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是()A.OD=OE B.OE=OF C.∠ODE=∠OED D.∠ODE=∠OFE 21.(2022•达州)如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点M,N,将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放,若∠EMB=80°,则∠PNM等于()A.15°B.25°C.35°D.45°22.(2022•金华)如图,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C处,沿圆柱的侧面爬到B处,现将圆柱侧面沿AC“剪开”,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线,正确的是()A.B.C.D.23.(2022•舟山)如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为()A.B.C.4D.24.(2022•遂宁)如图,D、E、F分别是△ABC三边上的点,其中BC=8,BC边上的高为6,且DE∥BC,则△DEF面积的最大值为()A.6B.8C.10D.12二.填空题(共15小题)25.(2022•岳阳)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若BC=6,则CD=.26.(2022•苏州)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为.27.(2022•云南)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是.28.(2022•滨州)如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC=120°,则∠C的大小为.29.(2022•丽水)三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是(﹣,3),则A点的坐标是.30.(2022•金华)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm.把△ABC沿AB方向平移1cm,得到△A'B'C',连结CC',则四边形AB'C'C的周长为cm.31.(2022•宜宾)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即为S=.现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2,则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为.32.(2022•十堰)【阅读材料】如图①,四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在BC,CD上,若∠BAD=2∠EAF,则EF=BE+DF.【解决问题】如图②,在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形ABCD.已知CD=CB=100m,∠D=60°,∠ABC=120°,∠BCD=150°,道路AD,AB上分别有景点M,N,且DM=100m,BN =50(﹣1)m,若在M,N之间修一条直路,则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m (结果取整数,参考数据:≈1.7).33.(2022•山西)如图,在正方形ABCD中,点E是边BC上的一点,点F在边CD的延长线上,且BE =DF,连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF,垂足为点M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN的长为.34.(2022•武汉)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接DF.过点C作AB的垂线CJ,垂足为J,分别交DF,LH于点I,K.若CI=5,CJ=4,则四边形AJKL的面积是.35.(2022•孝感)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三,股修四,经隅五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是(结果用含m的式子表示).36.(2022•台州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为.37.(2022•嘉兴)小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图,请帮他在括号内填上一个适当的条件.38.(2022•株洲)如图所示,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON ⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO=度.39.(2022•成都)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB的长为.三.解答题(共11小题)40.(2022•温州)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.(1)求证:∠EBD=∠EDB.(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.41.(2022•金华)如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形.(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.(2)当a=3时,该小正方形的面积是多少?42.(2022•山西)综合与实践问题情境:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EDF中∠EDF=90°,将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处,并将三角板绕点D旋转,三角板的两边DE,DF 分别与边AB,AC交于点M,N.猜想证明:(1)如图①,在三角板旋转过程中,当点M为边AB的中点时,试判断四边形AMDN的形状,并说明理由;问题解决:(2)如图②,在三角板旋转过程中,当∠B=∠MDB时,求线段CN的长;(3)如图③,在三角板旋转过程中,当AM=AN时,直接写出线段AN的长.43.(2022•武汉)问题提出如图(1),在△ABC中,AB=AC,D是AC的中点,延长BC至点E,使DE=DB,延长ED交AB于点F,探究的值.问题探究(1)先将问题特殊化.如图(2),当∠BAC=60°时,直接写出的值;(2)再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展如图(3),在△ABC中,AB=AC,D是AC的中点,G是边BC上一点,=(n<2),延长BC至点E,点DE=DG,延长ED交AB于点F.直接写出的值(用含n的式子表示).44.(2022•怀化)如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.(1)求证:MP=NP;(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).45.(2022•杭州)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点M为边AB的中点,点E在线段AM上,EF ⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.(1)求证:CE=CM.(2)若AB=4,求线段FC的长.46.(2022•陕西)问题提出(1)如图1,AD是等边△ABC的中线,点P在AD的延长线上,且AP=AC,则∠APC的度数为.问题探究(2)如图2,在△ABC中,CA=CB=6,∠C=120°.过点A作AP∥BC,且AP=BC,过点P作直线l⊥BC,分别交AB、BC于点O、E,求四边形OECA的面积.问题解决(3)如图3,现有一块△ABC型板材,∠ACB为钝角,∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件,并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下:①以点C为圆心,以CA长为半径画弧,交AB于点D,连接CD;②作CD的垂直平分线l,与CD交于点E;③以点A为圆心,以AC长为半径画弧,交直线l于点P,连接AP、BP,得△ABP.请问,若按上述作法,裁得的△ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论.47.(2022•绍兴)如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B,C重合),连结AP,将△APC沿AP翻折得△APD,连结DC,记∠BCD=α.(1)如图,当P与E重合时,求α的度数.(2)当P与E不重合时,记∠BAD=β,探究α与β的数量关系.48.(2022•扬州)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,点D在BC边上由点C向点B运动(不与点B、C重合),过点D作DE⊥AD,交射线AB于点E.(1)分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系,并说明理由;①点E在线段AB的延长线上且BE=BD;②点E在线段AB上且EB=ED.(2)若AB=6.①当=时,求AE的长;②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.49.(2022•嘉兴)小东在做九上课本123页习题:“1:也是一个很有趣的比.已知线段AB(如图1),用直尺和圆规作AB上的一点P,使AP:AB=1:.”小东的作法是:如图2,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,再以点A为圆心,AC长为半径作弧,交线段AB于点P,点P即为所求作的点.小东称点P为线段AB的“趣点”.(1)你赞同他的作法吗?请说明理由.(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究:连结CP,点D为线段AC上的动点,点E在AB的上方,构造△DPE,使得△DPE∽△CPB.①如图3,当点D运动到点A时,求∠CPE的度数.②如图4,DE分别交CP,CB于点M,N,当点D为线段AC的“趣点”时(CD<AD),猜想:点N是否为线段ME的“趣点”?并说明理由.50.(2022•湘潭)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,过点B、C分别作l的垂线,垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC=,分别求出线段BD、CE和DE的长;(2)规律探究:(Ⅰ)如图②,若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0<α<45°),请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由;(Ⅱ)如图③,若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段BC相交于点H,请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由;(3)尝试应用:在图③中,延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S△BFC.。
中考数学专题特训 等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义:有两边的三角形叫做等腰三角形,其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质:⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合,简称为⑶等腰三角形是轴对称图形,它有条对称轴,是3、等腰三角形的判定:⑴定义法:有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形,简称【赵老师提醒:1、等腰三角形的性质还有:等腰三角形两腰上的相等,两腰上的相等,两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性,所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题,讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质:⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形,它有条对称轴1、等边三角形的判定:⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【赵老师提醒:1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义:一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质:线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定:到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线:1、性质:角平分线上的点到得距离相等2、判定:到角两边距离相等的【赵老师提醒:1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合,角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形:1、勾股定理和它的逆定理:勾股定理:若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理:若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【赵老师提醒:1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛,要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据,3、勾股数,列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质:除勾股定理外,直角三角形还有如下性质:⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300,那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定:除勾股定理的逆定理外,直角三角形还有如下判定方法:定义法:⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提醒:直角三角形的有关性质在边形,中均有广泛应用,要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一:等腰三角形性质的运用例 1 (2012•襄阳)在等腰△ABC中,∠A=30°,AB=8,则AB边上的高CD的长是.分析:此题需先根据题意画出当AB=AC时,当AB=BC时,当AC=BC时的图象,然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形,分别进行计算即可.解:(1)当AB=AC时,∵∠A=30°,∴CD=12AC=12×8=4;(2)当AB=BC时,则∠A=∠ACB=30°,∴∠ACD=60°,∴∠BCD=30°,∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=43;(3)当AC=BC时,则AD=4,∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=433;故答案为:433或43或4。
中考数学一轮基础复习:专题十六 等腰三角形与直角三角形
中考数学一轮基础复习:专题十六等腰三角形与直角三角形姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题;共30分)1. (2分)(2019·融安模拟) 如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图,图中∠a的度数为()A . 45°B . 60°C . 90°D . 135°2. (2分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是()A . 2B .C .D .3. (2分) (2017八下·东城期中) 如图,已知矩形,,,点、分别是,上的点,点、分别是,的中点,当点在上从向移动而点不动时,若,则().A .B .C .D . 不能确定4. (2分)如图,在△ABC中,,,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则弧BD的度数为()A .B .C .D .5. (2分)如图,在▱ABCD中,EF∥AB,点F为BD的中点,EF=4,则CD的长为()A .B . 8C . 10D . 166. (2分)(2020·上城模拟) 已知△A1B1C1 ,△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:①若A1B1=A2B2 , A1C1=A2C2 ,则△A1B1C1≌△A2B2C2;②若∠A1=∠A2 ,∠B1=∠B2 ,则△A1B1C1≌△A2B2C2 ,对于上述的两个判断,下列说法正确的是()A . ①正确,②错误B . ①错误,②正确C . ①,②都错误D . ①,②都正确7. (2分)(2017·黄石) 如图,△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB=2,AC=1,DE= ,则∠CDE+∠ACD=()A . 60°B . 75°C . 90°D . 105°8. (2分)(2018·深圳模拟) 如图,正方形ABCD中.点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形.连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H.若,则 =()A . 6B . 4C . 3D . 29. (2分)(2018·灌南模拟) 如图,在平行四边形ABCD中,∠C=120°,AD=2AB=4,点H、G分别是边CD,BC上的动点.连接AH,HG,点E为AH的中点,点F为GH的中点,连接EF,则EF的最大值与最小值的差为()A . 1B . ﹣1C .D . 2﹣10. (2分) (2019八下·南岸期中) 等腰三角形的两边长是6cm和3cm,那么它的周长是A . 9cmB . 12 cmC . 12 cm或15 cmD . 15 cm11. (2分)等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,则周长为()A . 13cmB . 17cmC . 13cm或17cmD . 11cm或17cm12. (2分) (2019九下·江都月考) 如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,其中∠ABC=∠AED=90°,CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论:①△CAM∽△DEM;②CD=2BE;③MP•MD=MA•ME;④2CB2=CP•CM.其中正确的是()A . ①②B . ①②③C . ①②③④D . ①③④13. (2分) (2018八上·三河期末) 如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点P在x轴上,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有()A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个14. (2分)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形,连结CE交AD于点F,连结BD交CE于点G,连结BE. 下列结论中:① CE=BD=2;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④ CD·AE=EF·CG;一定正确的结论有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个15. (2分) (2017八上·杭州期中) 如图,在长方形纸片ABCD中,△EDC沿着折痕EC对折,点D的落点为F,再将△AGE沿着折痕GE对折,得到△GHE,H、F、E在同一直线上;作PH⊥AD于P,若ED=AG=3,CD=4,则PH 的长为()A .B . 5C .D .二、填空题 (共6题;共6分)16. (1分)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两边长分别为3和5,则小正方形的面积为________17. (1分) (2019八下·诸暨期中) 如图,菱形ABCD的一个内角是60∘,将它绕对角线的交点O顺时针旋转90∘后得到菱形A′B′C′D′.旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为,则菱形ABCD的边长为________.18. (1分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,如果BD=9,DC=5,cosB=, E为AC的中点,那么sin∠EDC 的值为________ .19. (1分) (2016八上·扬州期末) 如图,数轴上的点A表示的数是________.20. (1分) (2016九上·大石桥期中) 如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,那么 =________.21. (1分)(2017·深圳模拟) 如图,在扇形AOB中,∠AOB=900 ,以点A为圆心, OA的长为半径作交于点C,若OA=2,则阴影部分的面积是________.三、综合题 (共4题;共34分)22. (10分) (2019九上·辽源期末) 问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.(1)(发现证明)小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.(2)(类比引申)如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足________关系时,仍有EF=BE+FD.(3)(探究应用)如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据: =1.41, =1.73)23. (10分)(2017·沂源模拟) 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△CAE;(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.24. (10分) (2019八上·余杭月考) 如图(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE,则∠AEB的度数为________,线段AD、BE之间________的关系.(2)拓展探究:如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.①请判断∠AEB的度数,并说明理由;②当CM=5时,AC比BE的长度多6时,求AE的长.25. (4分)如图,△ABC中,AB=AC=4 ,cosC=(1)动手操作:利用尺规作以AC为直径的⊙O,并标出⊙O与AB的交点D,与BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)综合应用:在你所作的图中,①连接AE,CD,线段AE,CD交于点F,求证:EC2=EF•AE;②求点D到AC的距离.参考答案一、单选题 (共15题;共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共6题;共6分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、三、综合题 (共4题;共34分) 22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、25、答案:略。
中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型(含答案)
中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型(含答案)知识点一:等腰和等边三角形1.等腰三角形定义:有两条边相等的三角形叫等腰三角形(1)性质①等边对等角:两腰相等,底角相等,即AB=AC ∠B=∠C;②三线合一:顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性:等腰三角形是轴对称图形,直线AD是对称轴.(2)判定①定义:有两边相等的三角形是等腰三角形;注意:1.实际解题中的一个常用技巧是,构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质为解题服务,常用的构造方法有:1)、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。
2)、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。
3)、用“垂直平分线”构造等腰三角形;4)、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
2.当等腰三角形的腰和底不明确时,需分类讨论.变式练习1:如若等腰三角形ABC的一个内角为30°,则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.3.三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中,只要满足其中两个,其余均成立.变式练习2:如右图,已知AD⊥BC,D为BC的中点,则三角形的形状是等腰三角形.②等角对等边:即若∠B=∠C,则△ABC是等腰三角形.变式练习3:一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17【解析】A ①当等腰三角形的腰为3,底为7时,3+3<7不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底为3时,周长为3+7+7=17,故这个等腰三角形的周长是17.变式练习4:如图,O为数轴原点,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰△ABC,连接OC,以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为 __7__.变式练习5:一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为( C )A.12 B.16 C.20 D.16或202.等边三角形(1)性质①边角关系:三边相等,三角都相等且都等于60°.即AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠C=60°;②对称性:等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.(2)判定①定义:三边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形;③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB=AC,且∠B=60°,则△ABC是等边三角形.变式练习1:△ABC中,∠B=60°,AB=A C,BC=3,则△ABC的周长为9.变式练习2:在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D 作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求EF的长.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,∴△EDC是等边三角形,∴DE=DC=2,在Rt△DEF,∵∠DEF=90°,DE=2,∴DF=2DE=4,∴EF=DF2-DE2=42-22=2 3.变式练习3:如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,∠E=30°,则BC=__2__.知识点二:角平分线和垂直平分线1.角平分线(1)性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若∠1 =∠2,PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.(2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上.4.垂直平分线图形(1)性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等.即若OP垂直且平分AB,则PA=PB.(2)判定:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.21P C OBAPCO B A注意:(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.(2)等边三角形有一个特殊的角60°,所以当等边三角形出现高时,会结合直角三角形30°角的性质,即BD=1/2AB.变式练习:如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,交AB于E,CD=2,则AC=6.知识点三:直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A+∠B=90°;(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B=30°则AC=12AB;(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半.即若CD是中线,则CD=12AB.(4)勾股定理:两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a2+b2=c2 .2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C=90°,则△ABC是Rt△;(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.即若AD=BD=CD,则△ ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理:若a2+b2=c2,则△ABC是Rt△.3.直角三角形相似判定定理1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2024成都中考数学一轮复习专题 等腰三角形与直角三角形 (含解析)
2024成都中考数学一轮复习专题等腰三角形与直角三角形一、单选题A .12.(2023·甘肃兰州B 为圆心,BF 长为半径的圆弧过A .2B .3.(2023·北京·统考中考真题)如图,点同侧,AB BC <,A ∠=∠个结论:①a b c +<;②上述结论中,所有正确结论的序号是(A .①②B .①③A.①④5.(2023·浙江·统考中考真题)如图,在四边形形BAE,顶点E恰好落在A.2B.226.(2023·四川眉山·统考中考真题)AE AF EF,EF交AB于点连结,,=;②HD列四个结论:①AH HCA.1个B.二、填空题7.(2023·湖南·统考中考真题)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影dm.部分的面积为__________38.(2023·天津·统考中考真题)(1)ADE V 的面积为________;(2)若F 为BE 的中点,连接AF 9.(2023·河南·统考中考真题)矩形以点D ,M ,N 为顶点的三角形是直角三角形时,11.(2023·山东·统考中考真题)如图,1tan 3EAC ∠=,则BD =_________12.(2023·山东日照·统考中考真题)如图,矩形作MN BD ⊥,交边AD BC ,论:①EM EN =;②四边形最小值是20.其中所有正确结论的序号是13.(2023·四川遂宁·统考中考真题)连结ED 、BD 、EC ,过点A 30AED ∠=︒;②EC BD =;③若段DE 的中点.正确的有_________15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)使13BE CD=,连接,AE ED16.(2023·山西·统考中考真题)如图,在四边形5,6,2AB AC BC ADB CBD===∠=∠,则17.(2023·湖北十堰·统考中考真题)在某次数学探究活动中,小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D ,E ,F 分别为AB ,AC ,BC 的中点,G ,H 分别为DE ,BF 的中点),小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠,不留空隙),则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________,最大值为___________________.三、解答题18.(2023·北京·统考中考真题)在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒,AM BC ⊥于点M ,D 是线段MC 上的动点(不与点M ,C 重合),将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE .(1)如图1,当点E 在线段AC 上时,求证:D 是MC 的中点;(2)如图2,若在线段BM 上存在点F (不与点B ,M 重合)满足DF DC =,连接AE ,EF ,直接写出AEF ∠的大小,并证明.19.(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①,ABC 和ADE V 是等边三角形,连接DC ,点F ,G ,H 分别是,DE DC(1)发现问题:如图1,在ABC 和AEF △中,AB AC =,延长BE 交CF 于点D .则BE 与CF 的数量关系:______(2)类比探究:如图2,在ABC 和AEF △中,AB AC =,【初步感知】(1)如图1,当1n =时,兴趣小组探究得出结论:22AE BF AB +=,请写出证明过程.【深入探究】(2)①如图2,当2n =,且点F 在线段BC 上时,试探究线段AE BF AB ,,之间的数量关系,请写出结论并(1)当点P 和点B 重合时,线段PQ 的长为__________(2)当点Q 和点D 重合时,求tan PQE ∠;(3)当点P 在边AD 上运动时,PQE 的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理由;(4)作点E 关于直线PQ 的对称点F ,连接24.(2023·重庆·统考中考真题)如图,在等边ABC 中,AD BC ⊥于点D 重合),连接BE ,CE ,将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF(1)如图1,求证:CBE CAF ∠=∠;(2)如图2,连接BF 交AC 于点G ,连接DG ,EF ,EF 与DG 所在直线交于点H ,求证:(3)如图3,连接BF 交AC 于点G ,连接DG ,EG ,将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内,得(1)求BCF ∠的度数;(2)求CD 的长.深入探究:(3)若90BAC ∠<︒,将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △,连接AE ,CF .当旋转角α满足0360α︒<<︒,点,,C E F 在同一直线上时,利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系,并说明理由.参考答案一、单选题∴122AE AC==②当点E为AC的四等分点时,如图所示:∴1AE=,综上所述:AE===+,∴DF AC a b∵DF DE<,+<,①正确,故符合要求;∴a b c②当60α=︒,如图4时AD 最大,4AB =,∴2AC BE ==,23BC AE ==,36BD BC ==,∴8DE =,∴21927AD =≠,∴②错误;③如图5,若60α=︒,C ABC BD ∽△△,∴60BCD ∠=︒,90CDB ∠=︒,4AB =,2AC =,23BC =,3OE =,1CE =,∴3CD =,32GE DF ==,32CF =,∴52EF DG ==,32OG =,∴723OD =≠,∴③错误;由圆周角定理得:90BDE ∠=︒,45ADB C CBD ∴∠=∠=∠=︒,45ABD DBE EBC ∴∠+∠=︒=∠又∵AD CD =,HD HD =∴(SSS)AHD CHD ≅ ,∴12ADH CDH ∠=∠=∠∵ADH EAD DHE ∠+∠=∠∴EAD DHE ∠=∠,∴FAB DHE EAD ∠=∠=∠又∵45AFE ADH ∠=∠=∴AFK HDE ,∴AF AK HD HE=,又∵22AF AH HE ==二、填空题依题意,22 OD AD=∴图中阴影部分的面积为故答案为:2.正方形ABCD的边长为3,3AD∴=,ADE是等腰三角形,EA13【点拨】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键.9.【答案】2或21+【分析】分两种情况:当MND ∠∵四边形ABCD 矩形,∴90A ∠=︒,则∥MN AB ,由平行线分线段成比例可得:AN BM ND MD=又∵M 为对角线BD 的中点,∵M 为对角线BD 的中点,90NMD ∠=︒【点拨】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数,熟练掌握等边三角形的性质证明延长ME 交BC 于点P,则ABPM 为矩形,∴2226BD AB AD =+=∵ME AD ⊥,MN BD ⊥,【点拨】本题考查矩形的性质,相似三角形的判定和性质,轴对称,掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.13.【答案】①②④【分析】①当AB AC BC ==时,ABC 是等边三角形,根据等角对等边,以及三角形的内角和定理即可得出()1180120302AED ADE ∠=∠=︒-︒=︒,进而判断①;作直线MN BC ⊥于点N ,过点D 作DG MN ⊥于点G ABN EAH ≌,EHM DGM ≌可得MG MH =,在Rt ABN △在Rt MGD 中,勾股定理即可求解.【详解】解:①当AB AC =∵90BAE ∠=︒,MN ⊥∴90ABN BAN ∠+∠=︒又90EAM BAN ∠+∠=︒∴EAM ABN∠=∠又∵EA AB =,当,M B 重合时,∵()8,6B -,则()4,3H -,∴4MH AH NH ===,符合题意,∴()8,6M -,当N 在AM 的上方时,如图,过N 作NJ y ⊥轴于J ,延长MB 交BJ 于K ,则90NJA MKN ∠=∠=︒,8JK AB ==,∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒,∵AN MN =,90ANM ∠=︒,∴90MNK ANJ ∠+∠=︒,∴MNK NAJ ∠=∠,∴MNK NAJ ≌,设(),26N x x --,∴MK NJ x ==-,266212KN AJ x x ==---=--,而8KJ AB ==,∴2128x x ---=,解得:203x =-,则22263x --=,∴22202333CM CK MK =-=-=,∴28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭;设,==BE x AE y ,∵13BE CD =,2ED AE =,∴3,2CD x DE y ==,∵90,32BAC AB AC ∠=︒==,则90AHC AHB ∠=∠=︒,∵5,6AB AC BC ===,∴132===BH HC BC ,【详解】4 BC=,24222AC=´=,CI BD==4=BCID周长=4422=8+22++;三、解答题18.【答案】(1)见解析(2)90AEF ∠=︒,证明见解析【分析】(1)由旋转的性质得DM DE =,2MDE α∠=,利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠=,可得DE DC =,等量代换得到DM DC =即可;(2)延长FE 到H 使FE EH =,连接CH ,AH ,可得DE 是FCH V 的中位线,然后求出B ACH ∠∠=,设DM DE m ==,CD n =,求出2BF m CH ==,证明()SAS ABF ACH ≅ ,得到AF AH =,再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可.【详解】(1)证明:由旋转的性质得:DM DE =,2MDE α∠=,∵C α∠=,∴D DEC M E C α∠-∠∠==,∴C DEC ∠=∠,∴DE DC =,∴DM DC =,即D 是MC 的中点;(2)90AEF ∠=︒;证明:如图2,延长FE 到H 使FE EH =,连接CH ,AH ,∵DF DC =,∴DE 是FCH V 的中位线,∴DE CH ∥,2CH DE =,由旋转的性质得:DM DE =,2MDE α∠=,∴2FCH α∠=,∵B C α∠=∠=,∴ACH α∠=,ABC 是等腰三角形,【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质,旋转的性质,三角形外角的性质,三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识,作出合适的辅助线,构造出全等三角形是解题的关键.19.【答案】图②中2FH FG=【分析】图②:如图②所示,连接图③证明如下:,如图③所示,连接BD HG,∵点F,G分别是DE DC的中位线,∴FG是CDE【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,三角形中位线定理,等边三角形的性质与判定,勾股定理等等,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.20.【答案】(1)BE CF =,30(2)BE CF =,60BDC ∠=︒,证明见解析∠=∠+∠∵AOD ACF BDC ∠=∠=∠∴BDC BAO BAC=,故答案为:BE CF=,(2)结论:BE CF∠=∠证明:∵BAC EAF ∠-∠=∠∴BAC EAC EAF连接BD,以BD为直径,BD的中点为圆心作圆,以=延长BP至M,使得PM DP则MDP是等腰直角三角形,∠∵45CDB ∠=︒,∴MDB MDP ∠=∠+∠∵1,2AD DP DB DM ==∴ADP BDM ∽∴1222PA BM ==,2当1n =时,1AD BD=,即AD BD =90,C AC BC ∠=︒= ,∴45A B ∠=∠=︒,CD AB ⊥,CD AD ∴=,2AB BC =,即当2n =时,12AD DB =,即2AD = G 是DB 的中点,AD DG ∴=,23AG AB =, HG BC ∥,90AHG C ∴∠=∠=︒,HGA ∠=45A ∠=︒ ,∴AHG 是等腰直角三角形,且12JG DG FB DB ∴==,根据(1)中的结论可得AE JG +1222AE JG AE FB AG ∴+=+=故线段AE BF AB ,,之间的数量关系为②解:当点F 在射线BC 上时,如图,在DB 上取一点G 使得AD 同①,可得22AE JG AG +=,1AD BD n =,AD DG =,1DG BD n ∴=,21AG AB n =+,同(1)中原理,可证明DHE △≌△可得22AE GJ AG -=,1AD BD n =,AD DG =,1DG BD n ∴=,21AG AB n =+,同①可得1JG DG FB DB n ==,122AE JG AE FB AG n ∴-=-==即线段AE BF AB ,,之间数量关系为综上所述,当点F 在射线BC 上时,(3)解:如图,当1E 与A 重合时,取迹长度即为12M M 的长度,122,AD AB DB n== ,221AD n ∴=+,221n DB n =+,122,01E n ⎛⎫∴- ⎪ ⎪+⎝⎭,145F BD ∠=︒ ,1F D BD ∴=,∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE ∠=∠=︒∵90PEQ ∠=︒,PBE ECD ∠=∠∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒,∴13∠=∠∴PBE ECD ∽,∵90PEQ ∠=︒,PHE ECQ ∠=∠∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=则四边形ABHP 是矩形,∴PH AB =3=∵3,2QE QF AQ BE ====,在Rt AQF △中,2AF QF =则35BF =-,∵PE t =,则2BP t =-,PF 则2PB t BE t =-=-,PE =在Rt PBE △中,22PE PB =+综上所述,9352t-<≤或【点拨】本题考查了矩形的性质,正方形的性质与判定,勾股定理,求正切,轴对称的性质,分类讨论,分别画出图形,数形结合是解题的关键.23.【答案】(1)①见解析;②②AD DF BD =+.理由如下:∵DF 和DC 关于AD 对称,∴DF DC =.∵AE CD =,∴AE DF =.∴AD AE DE DF BD =+=+∵DF 和DC 关于AD 对称,∴DF DC =,ADF ADC ∠=∠.∵CD BD ⊥,∴45ADF ADC ∠=∠=︒,∴45EBD ∠=︒.∴2DE BD =.。
2024年中考数学一轮复习考点16 特殊三角形(等腰三角形与直角三角形)(精练)(解析版)8
考点16.特殊三角形(等腰三角形与直角三角形)(精练)限时检测1:最新各地模拟试题(50分钟)A.23B.8【答案】C【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得∠=∠+∠从而得出CED ACE A答案,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.中,【详解】解: 在ABC∴∠=∠A22.5,ACE A∠=︒∴ 是等腰直角三角形,,CDECD AB⊥A.由弧②可以判断出PA PB=C .由弧①可以判断出PAM PBM∠=∠D .ABP 的内心和外心都在射线PQ 上【答案】C 【分析】利用基本作图可对A 选项和B 选项进行判断;利用基本作图可得到PQ 平分APB ∠,从而可对C 选项进行判断;根据三角形的内心和外心的定义可对D 选项进行判断.【详解】解:A .由弧②可得PA PB =,故A 选项正确,不符合题意;B .由弧③和弧④可得到AQ BQ =,即弧③和弧④所在圆的半径相等,故B 选项正确,不符合题意;C .由弧③④可判断PQ 为APB ∠的平分线,而由弧①不可以判断出PAM PBM ∠=∠,故C 选项正确,符合题意;D .∵PQ 平分APB ∠,∴ABP 的内心在射线PQ 上,∵PQ 垂直平分AB ,∴ABP 的外心在射线PQ 上,故D 选项正确,不符合题意.故选:C .【点睛】本题考查了作图-基本作图:熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内心与外心.3.(2023·山东德州·统考一模)如图是一把圆规的平面示意图,OA 是支撑臂,OB 是旋转臂,已知OA OB a ==,使用时,以点A 为支撑点,笔芯端点B 可绕点A 旋转作出圆.若支撑臂与旋转臂的夹角2AOB ∠θ=,则圆规能画出的圆的半径AB 长度为()A .2sin a θB .sin2a θC .2tan a θD .tan2a θ【答案】A 【分析】先作OC AB ⊥交AB 于点C ,然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出AB .【详解】解:作OC AB ⊥交AB 于点C ,OA OB,OC∴=,==OA OB a【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质,熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.4.(2023·河北邯郸纸片,使每张小纸片都是等腰三角形(不能有剩余)方案Ⅰ如图1,①分别作对于方案Ⅰ、Ⅱ,说法正确的是(A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行.Ⅰ不可行、Ⅱ可行C.Ⅰ、Ⅱ都可行【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质得出结论,根据等腰三角形的性质得出∠,即可判断的特征,然后根据等腰三角形的判定说明DBC∵AB AC A =∠=,∵BD BC =,∴∠∴BDC 是顶角为∵DBE ABC ∠=∠∵BED BDE ∠=∠A .2B 【答案】C 【分析】先求出EBP ∠半,求出PE 的长.A.7B.8【答案】B【分析】由题意推出AD BD= A.56B.49-在AMG 和DMC 中,AM AMG GM ⎧⎪∠⎨⎪⎩AG DC ∴=,G DCM ∠=∠,60ACD ∠=︒ ,120CAG ∴∠=90ACB DCE ∠=∠=︒Q ,∴∠A .1个B .2【答案】B 【分析】分为两种情况:①2AE EF BF ===判断即可.连接E F '交AC 于P ,过E '作E H '∵E ,E '关于AC 对称,∴PE PE =∵两点之间,线段最短,∴PE +∵230AE A DE AC =∠=︒⊥,,,∴∵90306C A AB AE EF FB ∠=︒∠=︒=+=,,,∴333BC AC ==,,∵CM AB ⊥,∴90AMC ∠=︒,∴39322CM AM ==,,∴(1952FM AM AF AM AE EF EM AM AE =-=-+=-=-=,,【答案】636-/66-+【分析】连接AD ,根据题意可得:而可得ABD △是等边三角形,进而可得由题意得:AB AD AE ==ABD ∴ 是等边三角形,∴636CE AC AE ∴=-=-,故答案为:【答案】106︒/106度【分析】由作图可知,MN 是DE BD =,32EDA A ∠=∠=根据BFC DBE CDB ∠=∠+∠【详解】解:由作图可知,MN 是AC 的垂直平分线,∴E 为AC 的中点,如图,连接DE ,∵CD AB ⊥,∴90CDA ∠=︒,∴DE AE CE ==,∴DE BD =,32EDA A ∠=∠=︒,DBE DEB ∠=∠,∵2EDA DBE DEB DBE ∠=∠+∠=∠,∴16DBE ∠=︒,∴106BFC DBE CDB ∠=∠+∠=︒,故答案为:106︒.【点睛】本题考查了作垂线,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,等边对等角,三角形外角的性质等知识.熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.11.(2023·湖南·统考二模)如图,已知60BAC ∠=︒,AD 是角平分线且20AD =,作AD 的垂直平分线交AC 于点F ,作DE AC ⊥,则DEF 的周长为______.【答案】115︒10cm【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得∠=∠,由三角形内角和定理AED ACB2得结果;【点睛】本题考查了三角形的外心,线段垂直平分线的判定与性质,等腰三角形的性质等知识,掌握线段【答案】13【分析】延长FD 至点P ,使得DP DF =SAS ),从而可得BP CF =,PBD C ∠=∠可求7EQ DQ ==,由2EP EQ PQ =+在BDP △和CDF 中,BD CD BDP CDF PD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90A ∠=︒ ,90ABC C ∴∠+∠=︒,∠BE CF = ,BE BP ∴=,EBP ∴ 为等腰直角三角形,BE BD CF == ,D 是BC 的中点,()11802CDF C ∴∠=︒-∠1902C =︒-∠【答案】21【分析】连接BD ,根据等边三角形的性质,得出由旋转的性质可知BQ 【详解】解:如图,连接 点D 为AB 的中点,∴132AD CD AC ===,BD ∴222333BD AB AD =-=-=,由旋转的性质可知,90ADB ∠=︒ ,∴当90ADQ ∠=︒时,点Q 一定在直线当点Q 在ABC 内部时,如图所示,DQ BD BQ =-AC 于点D ,E .(1)求证:2AE CE =;(2)连接CD ,请判断BCD △的形状,并说明理由.【答案】(1)见解析(2)BCD △是等边三角形,理由见解析【分析】(1)连接BE ,由垂直平分线的性质可求得30EBC ABE A ∠=∠=∠=︒,在Rt BCE 中,由直角三角形的性质可证得2AE CE =即可证明结论;掌握垂直平分线和直角三角形的性质是解答本题的关键;(2)由直角三角形的性质可得CD BD =,且60ABC ∠=︒,可证明BCD △为等边三角形.掌握直角三角形的性质和等边三角形的判定是解答本题的关键.【详解】(1)证明:连接BE ,∵DE 是AB 的垂直平分线,∴AE BE =,∴30ABE A ∠=∠=︒,∴30CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒,在Rt BCE 中,2BE CE =,∴2AE CE =;(2)解:BCD △是等边三角形,理由如下:如图:连接CD .∵DE 是AB 的垂直平分线,∴D 为AB 中点,∵90ACB ∠=︒,∴CD BD =,∵60ABC ∠=︒,∴BCD △是等边三角形.16.(2023·北京海淀·校考模拟预测)已知45MON ∠=︒,点A 为射线OM 上的定点,点B 为射线OM 上的动点(不与A ,O 重合),作线段AB 的垂直平分线,分别交OM ,ON 于C ,D ,连接AD ,BD ,过点A 作BD 的垂线,垂足为E ,AE 交直线OD 于点F .(1)如图1,当点B 在OA 的延长线上时,依题意补全图形,并证明:AF BD =;(2)当点B 在射线OM 上运动时,用等式表示线段OD ,OB 和OF 的关系,并证明.【答案】(1)画图见解析,证明见解析(2)2OD OF OB +=或OD OF -=【分析】(1)先逐步根据提示画图,再证明AD BD =,设ADC BDC ∠=∠可得AF AD =,从而可得答案;(2)如图,过F 作FH AB ⊥于H ,证明FH OH =,2OF OH =,AFH FH AC =,OH AC BC ==,证明CD CO =,2OD OC =,可得CO AH =在线段OA 上时的结论.【详解】(1)解:如图,补全图形如下:∵CD AB ⊥,AC BC =,∴DA DB =,90ACD BCD ∠=∠=,∴设ADC ∠∵CD OB ⊥,45MON ∠=︒,∴45CDO MON ∠=∠=︒,∴45ADO ∠=︒-∵FE DE ⊥,∴90FED ∠=︒,()904545EFD x x ∠=︒-︒+=︒-,∴45AFD ADF x ∠=∠=︒-,∴AF AD =,而DA DB =,∴AF BD =.(2)如图,当点B 在OA 的延长线上时,过F 作FH AB ⊥于H ,∵CD AB ⊥,ADC x ∠=,∴90AHF ACD ∠=︒=∠,90CAD x ∠=︒-,∵45FOH MON ∠=∠=︒,∴45OFH FOH ∠=︒=∠,∴90AFH AFD OFH x ∠=∠+∠=︒-,FH OH =,2OF OH =,∴DAC ∠∵AF AB =,∴()AAS AFH DAC ≌,∴AH CD =,FH AC =,∴OH AC BC ==,∵45CDO MON ∠=∠=︒,∴CD CO =,2OD OC =,∴CO AH =,∴()2222OD OF OC OH OC BC OB +=+=+.当点B 在线段OA 上时,如图,过F 作FH AB ⊥于H ,同理可得:()2222OD OF OC OH OC BC OB -=-=-=.【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质,等腰三角形的判定与性质,线段的垂直平分线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,熟练的根据题意画出图形,作出辅助线是解本题的关键.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)证明Rt Rt ADB △≌则可证出结论;(2)连接MF ,EM∵ADB BCA ≌△△,∴ABD ∠又∵M 为AB 的中点,则AM ∵AE BE =,∴EM 为AB 的垂直平分线,∴∵AF BF =,AC BD =,∴CF ∵N 为CD 的中点,∴NF 平分∵MF 平分AFB ∠,∴N 在MF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,线段中垂线的性质,等腰三角形的性质,证明∴CA CB =(__________________)(填推理依据).∴ABC 是等腰三角形.由作法三可知;PQ 是线段AB 的______.∴CA CB =(__________________)(填推理依据).∴ABC 是等腰三角形.【答案】CB ;ABG ;等角对等边;垂直平分线;线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等【分析】由作法一可知CB AB =,由作法二可知:∠ABG BAM =∠,由作法三可知;PQ 是线段AB 的垂直平分线.根据作图结合垂直平分线的性质,即可求解.【详解】由作法一可知:CB AB =,∴ABC 是等腰三角形.由作法二可知:∠ABG BAM =∠,∴CA CB =(等边对等角)∴ABC 是等腰三角形.由作法三可知;PQ 是线段AB 的垂直平分线.∴CA CB =(线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等)【点睛】本题考查了作线段,作一个角等于已知角,作垂直平分线,熟练掌握基本作图是解题的关键.19.(2023·北京海淀·校考模拟预测)如图,ABC 是等边三角形,D ,E 两点分别在边AB ,AC 上,满足BD AE =,BE 与CD 交于点F .(1)求BFD ∠的度数;(2)以C 为中心,将线段CA 顺时针旋转60︒,得到线段CM ,连接MF ,点N 为MF 的中点,连接CN .①依题意补全图形;②若BF CF k CN +=⋅,求k 的值.【答案】(1)60BFD ∠=︒(2)①见解析;②2k =【分析】(1)证明()SAS ABE BCD △≌△,得出ABE BCD =∠∠,根据60BFD CBF BCD ABE CBF ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒求出结果即可;(2)①根据题意画出图形即可;②延长CN 至点Q ,使QN CN =,连接QF ,证明()SAS FNQ MNC ≌,得出FQ CM =,QFN NMC ∠=∠,证明FQ CM ∥,得出PFQ PCM ∠=∠,延长CF 至点P 使得FP PB =,连接PQ,PB,证明PFQ PBC△≌△,得出60QPF BPC∠=∠=︒,PQ PC=,说明PQC△为等边三角形,得出QC PC PF CF BF CF==+=+,根据2CQ CN=,得出2BF CF CN+=,即可求出结果.【详解】(1)解:∵ABC是等边三角形,∴AB AC BC==,60A ABC ACB∠=∠=∠=︒,∵BD AE=,∴()SASABE BCD△≌△,∴ABE BCD=∠∠,∴60BFD CBF BCD ABE CBF ABC∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.(2)解:①如图所示:②延长CN至点Q,使QN CN=,连接QF,如图所示:∵N是MF的中点,∴NF NM=,在FNQ和MNC中NF NMFNQ CNMNQ NC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SASFNQ MNC≌,∴FQ CM=,QFN NMC∠=∠,∴FQ CM∥,∴PFQ PCM∠=∠,∵ABC为等边三角形,∴AB BC AC==,∵CA绕点C旋转60︒得到CM,∴CM AC=,60ACM∠=°,∴AC CM FQ==,延长CF至点P使得FP PB=,连接PQ,PB,由(1)可知,60BFD∠=︒,∴BFP△为等边三角形,∴60BPF︒=∠,∴120PBC PCB∠+∠=︒,∵120ACM ACB PCM PCB∠+∠=︒=∠+∠,∴PBC FCM∠=∠,∴PFQ PBC∠=∠,在PFQ△和PBC中PF PBPFQ PBCFQ BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴PFQ PBC△≌△,∴60QPF BPC∠=∠=︒,PQ PC=,∴PQC△为等边三角形,∴QC PC PF CF BF CF==+=+,∵2CQ CN=,∴2BF CF CN+=,∴2k=.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质,作出辅助线,构造全等三角形.20.(2023·河南安阳·统考模拟预测)已知,ABC是等边三角形,4AB=.(1)观察猜想:如图1,点D 是BC 边上一点,60ADE ∠=︒,DE 交ABC 的外角平分线于点E ,求线段AB ,CD ,CE 之间的数量关系.小明发现,过点D 作AC 的平行线交AB 于点F ,容易发现线段AB ,CD ,CE 之间的数量关系是_________;(2)类比探究:如图2,若点D 在BC 的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,写出此时AB ,CD ,CE 之间的数量关系,并说明理由;(3)解决问题:如图3,过点A 作AD BC ⊥于点D ,点P 是直线AD 上一点,以CP 为边,在CP 的下方作等边CPQ ,连接DQ ,直接写出DQ 的最小值.【答案】(1)AB CD CE =+(2)不成立,结论AB CE CD =-,理由见详解(3)1【分析】(1)可证BDF V 是等边三角形,可得AF DC =,从而可证ADF DCE ≌△△,可得DF CE =,由AB AF BF =+即可得证;(2)过点D 作DF AC ∥交CE 于点F ,ACD EFD ≌,可得EF AC =,由EF CE CF =-即可得证;(3)连接BQ ,可证ACP BCQ △≌△,可得30CAP CBQ ∠=∠=︒,当DQ BQ ⊥时,DQ 最小,即可求解.【详解】(1)解:AB CD CE =+;ABC 是等边三角形,60BAC B ACB ∴∠=∠=∠=︒,AB BC =,DF AC ∥ ,120AFD ∠=︒,60BDF ACB ∴∠=∠=︒,18012060ADF DAF ∴∠+∠=︒-︒=︒,BDF ∴ 是等边三角形,BD BF DF ∴==,AB BF BC BD ∴-=-,AF DC ∴=,CE 是ABC 外角平分线,60ACE ∴∠=︒,120DCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒,AFD DCE ∴∠=∠,60ADE ∠=︒ ,18060ADF EDC BDE ADE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒,DAF EDC ∴∠=∠,在ADF △和DCE △中AFD DCE AF DC DAF EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,ADF DCE ∴V V ≌(ASA ),ABC 是等边三角形,∴60ACB =︒,∴FDC ∠ CE 是ABC 外角的平分线,∴ACE DCE ∠=∠∴18060120EFD ∠=︒-︒=︒ACD EFD ∴∠=∠, 60CDF ADE ∠=∠=︒,ADC ADF EDF ∴∠+∠=∠ACD EFD FD ADC EDF =∠=∠,∴ACD CD -.限时检测2:最新各地中考真题(60分钟)A .70︒B .【答案】C 【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理,即可解答.【详解】解:,AB AC = A .20︒【答案】B 【分析】先根据等边对等角求出可得40ABD A ==∠∠【详解】解:∵在等腰A .13B .13【答案】D 【分析】依据题意,连接BP ,然后先证明从而在Rt MBN △中可以求得MN 在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒BP AC ∴⊥,CBP ABP ∠=∠18045MBP NCP ∴∠=∠=︒-︒BP AC ⊥ ,PM PN ⊥,∴∠4.(2022·浙江台州·中考真题)如图,点D 在ABC 的边BC 上,点P 在射线AD 上(不与点A ,D 重合),连接PB ,PC .下列命题中,假命题是()A .若AB AC =,AD BC ⊥,则PB PC=B .若PB PC =,AD BC ⊥,则AB AC =C .若AB AC =,12∠=∠,则PB PC=D .若PB PC =,12∠=∠,则AB AC=【答案】D 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD 是否是BC 的垂直平分线,判断即可.【详解】因为AB=AC ,且AD ⊥BC ,得AP 是BC 的垂直平分线,所以PB=PC ,则A 是真命题;因为PB=PC ,且AD ⊥BC ,得AP 是BC 的垂直平分线,所以AB=AC ,则B 是真命题;因为AB=AC ,且∠1=∠2,得AP 是BC 的垂直平分线,所以PB=PC ,则C 是真命题;因为PB=PC ,△BCP 是等腰三角形,∠1=∠2,不能判断AP 是BC 的垂直平分线,所以AB 和AC 不一定相等,则D 是假命题.故选:D .【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定,掌握性质定理是解题的关键.5.(2022·浙江湖州·中考真题)如图,已知在锐角△ABC 中,AB =AC ,AD 是△ABC 的角平分线,E 是AD 上一点,连结EB ,E C .若∠EBC =45°,BC =6,则△EBC 的面积是()A .12B .9C .6D .【答案】B【分析】根据三线合一可得ED BC ⊥,根据垂直平分线的性质可得EB EC =,进而根据∠EBC =45°,可得BEC △为等腰直角三角形,根据斜边上的中线等于斜边的一半可得132DE BC ==,然后根据三角形面积公式即可求解.【详解】解: AB =AC ,AD 是△ABC 的角平分线,,AD BD BD DC ∴⊥=,EB EC ∴=,∠EBC =45°,45ECB EBC ∠=∠=︒,∴BEC △为等腰直角三角形,6BC = ,∴132DE BC ==,则△EBC 的面积是13692⨯⨯=.故选B .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定,垂直平分线的性质,直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键.6.(2022·湖北宜昌·中考真题)如图,在ABC 中,分别以点B 和点C 为圆心,大于12BC 长为半径画弧,两弧相交于点M ,N .作直线MN ,交AC 于点D ,交BC 于点E ,连接BD .若7AB =,12AC =,6BC =,则ABD △的周长为()A .25B .22C .19D .18【答案】C 【分析】由垂直平分线的性质得BD =CD ,由△ABD 的周长=AB +AD +BD =AB +AD +CD =AB +AC 得到答案.【详解】解:由作图的过程可知,DE 是BC 的垂直平分线,∴BD =CD ,∵7AB =,12AC =,∴△ABD 的周长=AB +AD +BD =AB +AD +CD =AB +AC =19.故选:C【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.7.(2022·湖南湘潭·中考真题)(多选题)如图,小明在学了尺规作图后,作了一个图形,其作图步骤是:①作线段2AB =,分别以点A 、B 为圆心,以AB 长为半径画弧,两弧相交于点C 、D ;②连接AC 、BC ,作直线CD ,且CD 与AB 相交于点H .则下列说法正确的是()A .ABC 是等边三角形B .AB CD ⊥C .AH BH =D .45ACD ∠=︒【答案】ABC 【分析】根据等边三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质一一判断即可.【详解】解:由作图可知:AB =BC =AC ,∴△ABC 是等边三角形,故A 选项正确∵等边三角形三线合一,由作图知,CD 是线段AB 的垂直平分线,∴AB CD ⊥,故B 选项正确,∴AH BH =,30ACD ∠=︒,故C 选项正确,D 选项错误.故选:ABC .【点睛】此题考查了作图-基本作图,等边三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.8.(2022·云南·中考真题)已知△ABC 是等腰三角形.若∠A =40°,则△ABC 的顶角度数是____.【答案】40°或100°【分析】分∠A 为三角形顶角或底角两种情况讨论,即可求解.【详解】解:当∠A 为三角形顶角时,则△ABC 的顶角度数是40°;当∠A 为三角形底角时,则△ABC 的顶角度数是180°-40°-40°=100°;故答案为:40°或100°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,此类题目,难点在于要分情况讨论.9.(2023·辽宁锦州·统考中考真题)如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,30ABC ∠=︒,4AC =,按下列步骤作图:①在AC 和AB 上分别截取AD 、AE ,使AD AE =.②分别以点D 和点E 为圆心,以大于12DE 的长为半径作弧,两弧在BAC ∠内交于点M .③作射线AM 交BC 于点F .若点P 是线段AF 上的一个动点,连接CP ,则12CP AP +的最小值是.由题意知:AF 平分BAC ∠,∵90ACB ∠=︒,30ABC ∠=︒∴12PQ AP =,∴12CP AP +=∴当C 、P 、Q 三点共线,且与【答案】71+/17+【分析】如图,过E 作EQ CA ⊥,交CA 的延长线于点26BC AB ==,6CE x =+,CQE △为等腰直角三角形,2()22y ⎧=⎪⎪设,==BE x AE y ,∵13BE CD =,2ED =∵90,32BAC AB AC ∠=︒==,∴BC =∴()22632222QE CQ CE x ===+=+【答案】52或412【分析】分两种情况当D 在CA 延长线上和当N ,利用勾股定理解题即可【详解】解:当在线段上时,连接OC ①当D 在线段AC 上时,1AD = ,90BCD ∠=︒ ,22BD CD BC ∴=+ 点O 是线段BD 的中点,OC OB ∴=O 是线段BD 的中点,90BCD ∠=︒,ON BC ⊥ ,1322CN BN BC ∴===,AB DE ,CAB COE CBA ∴∠=∠=∠354EN CE CN ∴=-=-=,OE ∴=【答案】①③④【分析】由题意易得,AB AC ABC =∠则可证()SAS AEB FED ≌,然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解.【详解】解:∵,BAC DEB △△和△【答案】407/557【分析】根据题干条件可得BAG EAG∠=∠,所以方形的边长,再根据BGHV【点睛】本题考查三角形的全等,勾股定理的运用,三角形相似计算等知识点,利用条件推理证明、列出【答案】22.5︒或45︒或67.5︒【分析】分情况讨论,利用折叠的性质知的外角性质列式计算即可求解.【详解】解:由折叠的性质知当A D DE '=时,DEA A '∠=∠由三角形的外角性质得DEA ACD A CD ''∠=∠+∠+∠,即30302α︒=︒+,此情况不存在;当A D A E ''=时,30A '∠=︒,()118030752DEA EDA ''∠=∠=︒-︒=︒,由三角形的外角性质得7530α︒=︒+,解得22.5α=︒;当EA DE '=时,30EDA A ''∠=∠=,∴1803030120DEA '∠=︒-︒-︒=︒,2α,解得45α=︒;综上,α∠的度数为22.5︒或45︒或67.5︒.故答案为:【点睛】本题考查了折叠的性质,三角形的外角性质,等腰三角形的性质,画出图形,数形结合是解题的关键.15.(2023·四川广安·统考中考真题)在平面直角坐标系中,点【答案】202223【分析】过点1A 作1A M x ⊥轴,交直线130AOM ∠=︒,再根据等边三角形的性质、的长,即可得点1B 的纵坐标,同样的方法分别求出点()12,0A ,12OA ∴=,当x16.(2022·江苏无锡·中考真题)△ABC 是边长为5的等边三角形,△DCE 是边长为3的等边三角形,直线BD 与直线AE 交于点F .如图,若点D 在△ABC 内,∠DBC =20°,则∠BAF =________°;现将△DCE 绕点C 旋转1周,在这个旋转过程中,线段AF 长度的最小值是________.【答案】804##4+【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ,得到∠DBC =∠EAC =20°,据此可求得∠BAF 的度数;利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°,推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上,当BF 是圆C 的切线时,即当CD ⊥BF 时,∠FBC 最大,则∠FBA 最小,此时线段AF 长度有最小值,据此求解即可.【详解】解:∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形,∴AC =BC ,DC =EC ,∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°,∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°,即∠DCB =∠ECA ,在△BCD 和△ACE 中,CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACE ≌△BCD (SAS ),∴∠EAC =∠DBC ,∵∠DBC =20°,∴∠EAC =20°,∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°;设BF 与AC 相交于点H ,如图:∵△ACE ≌△BCD ∴AE =BD ,∠EAC =∠DBC ,且∠AHF =∠BHC ,∴∠AFB =∠ACB =60°,∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上,∵点D 在以C 为圆心,3为半径的圆上,当BF 是圆C 的切线时,即当CD ⊥BF 时,∠FBC 最大,则∠FBA 最小,∴此时线段AF 长度有最小值,在Rt △BCD 中,BC =5,CD =3,∴BD =4,即AE =4,∴∠FDE =180°-90°-60°=30°,∵∠AFB =60°,∴∠FDE =∠FED =30°,∴FD =FE ,过点F 作FG ⊥DE 于点G ,∴DG =GE =32,∴FE =DF =cos30DG ︒∴AF =AE -FE 80;【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,圆周角定理,切线的性质,解直角三角形,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.17.(2023·广东江门·校考一模)在学习完勾股定理后,小芳被“弦图”深深地吸引了,她也设计了一个类似“弦图”的图案(如图),主体是一个菱形,把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形,这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形,另两个三角形的两直角边分别是6cm 和8cm ,那么中间的矩形的面积是_____________.【答案】()270298cm ##(298702cm -+【分析】由题意可知8cm AH =,6cm DH =,AE BE =,从而由勾股定理可求出10cm AB AD ==.再根据等腰直角三角形的性质可求出52cm BE AE ==,进而可求出()852cm EH =-,()526cm EF =-,最后根据矩形的面积公式即可求出中间矩形的面积.【详解】如图,由题意可知8cm AH =,6cm DH =,AE BE =,∴2210cm AD AH DH =+=,∴10cm AB AD ==.∵222AE BE AB +=,即22210AE =,∴52cm AE =,∴52cmBE AE ==∴()852cm EH AH AE =-=-,()526cm EF BE BF =-=-,∴中间的矩形的面积是()()()285252670298cm EH EF ⋅=--=-.故答案为:()270298cm -.【点睛】本题考查菱形的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,矩形的性质.利用数形结合的思想是解题关键.18.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,在ABC 中,,AB AC AD =为ABC 的角平分线.以点A 圆心,AD 长为半径画弧,与,AB AC 分别交于点,E F ,连接,DE DF .(1)求证:ADE ADF V V ≌;(2)若80BAC ∠=︒,求BDE ∠的度数.【答案】(1)见解析(2)20BDE ∠=︒【分析】(1)根据角平分线的定义得出(2)根据角平分线的定义得出EAD ∠形的性质得出70ADE ∠=︒,AD ⊥【详解】(1)证明:∵AD 为ABC (1)线段AB 的长为;(示的网格中,画出点Q ,使CPQ 明).由图可得:∵AJF BLF ∠=∠,AFJ BFL ∠=∠,AJ BL =∴()Rt Rt AAS AJF BLF ≌,∴FJ FL =,AF BF =,∵∵IMF HNF ∠=∠,IFM HFN ∠=∠,∴Rt Rt IMF HNF ≌∵AFI BFH ∠=∠,AF BF =,∴()SAS AIF BHF ≌,∴(1)求证:CAD CBE ≌;(2)存在最小值,如果存在,求出这个最小值;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)10。
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中考数学一轮基础复习:专题十六 等腰三角形与直角三角形一、单选题(共15题;共30分)1.(2017•聊城)如图是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点P 是某个小矩形的顶点,连接PA 、PB ,那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=4,BC=3,分别以点A ,点B 为圆心,大于 12 AB 的长为半径画弧,两弧相交于点M ,N ,作直线MN 交AB 于点O ,连接CO ,则CO 的长是( )A. 1.5B. 2C. 2.4D. 2.53.(2017•包头)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,AF 平分∠CAB ,交CD 于点E ,交CB 于点F .若AC=3,AB=5,则CE 的长为( )A. 32B. 43C. 53D. 85 4.(2017•包头)若等腰三角形的周长为10cm ,其中一边长为2cm ,则该等腰三角形的底边长为( )A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm5.(2017•营口)如图,在△ABC 中,AB=AC ,E ,F 分别是BC ,AC 的中点,以AC 为斜边作Rt △ADC ,若∠CAD=∠CAB=45°,则下列结论不正确的是( )A. ∠ECD=112.5°B. DE 平分∠FDCC. ∠DEC=30°D. AB= √2 CD6.如图,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论:① DEBC =12;② S△ODES△COB=12;③ OEOB=12;④ S△ODES△OEC=12其中正确的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.(2017•大连)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为()A. 2aB. 2 √2aC. 3aD. 4√33a8.(2017•毕节市)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,将△ABE绕点A 顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,则下列判断不正确的是()A. △AEE′是等腰直角三角形B. AF垂直平分EE'C. △E′EC∽△AFDD. △AE′F是等腰三角形9.(2017•河池)已知等边△ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DE⊥AC于点E,过E作EF⊥BC 于点F,过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时,AD的长是()A. 3B. 4C. 8D. 910.(2017•荆州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°11.(2017•天津)如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A. BCB. CEC. ADD. AC12.(2017•淄博)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为()A. 52B. 83C. 103D. 15413.(2017•武汉)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为()A. 4B. 5C. 6D. 714.(2017•泰安)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为()A. 18B. 1095 C. 965D. 25315.(2017•无锡)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于()A. 2B. 54C. 53D. 75二、填空题(共6题;共6分)16.(2017•长春)如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE 是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为________.17.(2017•绥化)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD= 12BC,则△ABC的顶角的度数为________.18.(2017•青岛)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为________度.19.(2017•东营)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是________尺.20.(2017•宁夏)在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DEDM.当AM⊥BM时,则BC的长为________.上,且ME= 1321.(2017•抚顺)如图,等边△A1C1C2的周长为1,作C1D1⊥A1C2于D1,在C1C2的延长线上取点C3,使D1C3=D1C1,连接D1C3,以C2C3为边作等边△A2C2C3;作C2D2⊥A2C3于D2,在C2C3的延长线上取点C4,使D2C4=D2C2,连接D2C4,以C3C4为边作等边△A3C3C4;…且点A1,A2,A3,…都在直线C1C2同侧,如此下去,则△A1C1C2,△A2C2C3,△A3C3C4,…,△A n C n C n+1的周长和为________.(n≥2,且n为整数)三、综合题(共4题;共34分)22.(2017•宁夏)在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥A B,PN⊥AC,M、N分别为垂足.(1)求证:不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;(2)当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.23.(2017•连云港)如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.24.如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD:AD:CD=2:3:4,(1)试说明△ABC是等腰三角形;(2)已知S△ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为t(秒),①若△DMN的边与BC平行,求t的值;AD,点N是折25.在图1﹣﹣图4中,菱形ABCD的边长为3,∠A=60°,点M是AD边上一点,且DM= 13线AB﹣BC上的一个动点.(1)如图1,当N在BC边上,且MN过对角线AC与BD的交点时,则线段AN的长度为________.(2)当点N在AB边上时,将△AMN沿MN翻折得到△A′MN,如图2,①若点A′落在AB边上,则线段AN的长度为________;②当点A′落在对角线AC上时,如图3,求证:四边形AM A′N是菱形;________③当点A′落在对角线BD上时,如图4,求A′B的值.________A′N答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】C13.【答案】D14.【答案】B15.【答案】D二、填空题16.【答案】1017.【答案】30°或150°或90°18.【答案】3219.【答案】2520.【答案】821.【答案】2n−12n−1三、综合题22.【答案】(1)解:连接AP,过C作CD⊥AB于D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,∴12AB•CD= 12AB•PM+ 12AC•PN,∴PM+PN=CD,即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;(2)解:设BP=x,则CP=2﹣x,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∵PM⊥AB,PN⊥AC,∴BM= 12x,PM= √32x,CN= 12(2﹣x),PN= √32(2﹣x),∴四边形AMPN的面积= 12×(2﹣12x)• √32x+ 12×[2﹣12(2﹣x)]• √32(2﹣x)=﹣√34x2+ √32x+ √32=﹣√34(x﹣1)2+ 3√34,∴当BP=1时,四边形AMPN的面积最大,最大值是3√3423.【答案】(1)解:∠ABE=∠ACD;在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD;(2)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC,∵AB=AC,∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.24.【答案】(1)证明:设BD=2x,AD=3x,CD=4x,则AB=5x,在Rt△ACD中,AC= =5x,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形(2)解:S△ABC= ×5x×4x=40cm2,而x>0,∴x=2cm,则BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm.①当MN∥BC时,AM=AN,即10﹣t=t,∴t=5;当DN∥BC时,AD=AN,得:t=6;∴若△DMN的边与BC平行时,t值为5或6②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.当点M在BD上,即0≤t<4时,△MDE为钝角三角形,但DM≠DE;当t=4时,点M运动到点D,不构成三角形当点M在DA上,即4<t≤10时,△MDE为等腰三角形,有3种可能.如果DE=DM,则t﹣4=5,∴t=9;如果ED=EM,则点M运动到点A,∴t=10;如果MD=ME=t﹣4,过点E做EF垂直AB于F,因为ED=EA,所以DF=AF= AD=3,在Rt△AEF中,EF=4;因为BM=t,BF=7,所以FM=t﹣7则在Rt△EFM中,(t﹣4)2﹣(t﹣7)2=42,∴t= .综上所述,符合要求的t值为9或10或25.【答案】(1)√13(2)1;解:②在菱形ABCD中,AC平分∠DAB,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=∠CAB=30°,∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN,∴AC⊥MN,AM=A′M,AN=A′N,;∴∠AMN=∠ANM=60°,∴AM=AN,∴AM=A′M=AN=A′N,∴四边形AM A′N是菱形;;③在菱形ABCD中,AB=AD,∴∠ADB=∠ABD=60°,∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB,∴A′M=AM=2,∠NA′M=∠A=60°,∴∠NA′B=∠DMA′,∴△DMA′∽△BA′N,∴DMA′M =A′BA′N,∵MD= 13AD=1,A′M=2,∴A′BA′N = 12。