向量平行的坐标表示和定比分点坐标公式
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由A 到B 的向量. A 为向量的起点，B 为向量的终点）.向量AB（或a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 注意0与0的区别③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1 下列各量中不是向量的是（ DA.浮力B.风速C.位移D.密度 例2 下列说法中错误．．的是（ A ）A.零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0C. D.例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A. B . C. D.2）向量坐标的有关概念① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i 和j .② 将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a =，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐标为(,)x y ，它在x 轴和y 轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+③ 向量的正交分解在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y .一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP ，容易推得122121()()PP x x i y y j =-+-，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --. 3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，R λ∈则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm .22a x y =+.注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4 已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP ==，求点P 的坐标.解：点P 的坐标为612(,)55- 或 612(,)55--. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--=，求a 、b 的坐标. 解：(1,2),(2,1)a b =-=-- 例6 设向量,,,,a b c R λμ∈，化简：（1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+--； （2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++. 解：都为0.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知a 与b 为非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =，所以，向量平行的充要条件可以表示为：1221//().a b a b x y x y λλ⇔=⇔=其中为非零实数例7 已知向量(2,3)a =-，点(2,1)A -，若向量AB 与a 平行，且213AB =，求向量OB 的坐标.解：OB 的坐标为(6,7)- 或 (2,5)-.3. 定比分点公式1）定比分点公式和中点公式① 12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ， 使P P 1=2PP λ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：(内分) λ>0 (外分) λ<-1 (外分) -1<λ<0② 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是直线l 上任一点，且P P 1=2PP λ(,1)R λλ∈≠.P 是直线12P P 上的一点，令(,)P x y ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这个公式叫做线段12P P 的定比分点公式，特别地1λ=时，P 为线段12P P 的中点，此时121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，叫做线段12P P 的中点公式.注：① 12PP PP λ=⋅可得12PP PP λ=±⋅；② 当1λ=-时，定比分点的坐标公式121x x x λλ+=+和121y y y λλ+=+显然都无意义，也就是说，当1λ=-时，定比分点不存在2）三角形重心坐标公式设ABC ∆的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，G 为ABC ∆的重心，则12312333G G x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例8 在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =，求出P 的坐标.解：当P 在12P P 上时，(0,3)P ；当P 在12P P 延长线上，(8,15)P -.例9 已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得155(,)22P --.*方法提炼*几个重要结论1. 若,a b 为不共线向量，则a b +，a b -为以,a b 为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. 22222()a b a b a b ++-=+；3. G 为ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=123123(,)33x x x y y y G ++++⇔ 112233[(,),(,)(,)]A x y B x y C x y【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（ CA.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中,正确的结论为（ D (1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠bA. (1)(3)B. (2)(4)C. (3)(4)D. (1)(3)(4) 4. 已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）A. 点C 分AB 的比是-31B.点C 分BA 的比是-3C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是25. 已知两点1(1,6)P --、2(3,0)P ，点7(,)3P y -分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、y的值为（ C ）A －41，８ B.41 C －41，－８ D ４，816. △ABC 的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ A ）A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件. 答案：必要非充分8. 已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 . 答案：不共线9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=答案：2或2710. △ABC 的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C 点坐标为 答案：(8,-4)11. 已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且18AMC ABC S S ∆∆=，则M 分AB 所成的比为 答案：71【巩固提高】12. 已知点(1,4)A =--、(5,2)B ，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P 点的坐标以及,A B 分21P P 所成的比λ．解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-213. 过1(1,3)P 、2(7,2)P 的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值解：12514. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）15. 设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=,则（ B ） (A). 0PA PB += (B). 0PC PA += (C). 0PB PC += (D). +0PA PB PC +=16. 若平面向量,a b 满足1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则(1,1)(3,1)a =--或.17．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.AC →＝2AQ →＝2(PQ →－PA →)＝(－6,4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，BC →＝3PC →＝(－6,21)．18.已知O 为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OA m OB n OC =-==-若A,B,C 三点共线，且2m n =，求实数,m n 的值19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P 是直线AB 上一点，且1||||3AP AB =，求点P 的坐标.20. 已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且8||25m n +=，求cos()28θπ+的值。
8.1.2向量的坐标表示及其运算
二、定比分点的概念
于P 的任意一点， 则存在唯一的实数 ，使得 , P 1 2
设P 是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同 1, P 2
PP 1 PP 2
其中 叫做点 P 分有向线段 PP 所成的比 1 2
P1
P P1 P
P2 P2 P2
P
l l l
0
例 6．已知 A3,2 , B8,3点 P 在直线 AB 上， 且满足 AP 2 PB ，求点 P 的坐标.
例 7．在 ABC 中， A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 ， 求 ABC 重心 G 的坐标.
A
G
.
E
B
D
C
x1 x2 x3 y1 y2 y3 G , 3 3
例 1．已知 a x 1,2, b 1, x （1）若 a // b ，求实数 x 的值； （2）若 a b //a b ，求实数 x 的值.
例 2．已知 a // b , a 2,3 ,且 b 2 13，求 b 的坐标.
方法一： 方法二：
例3. O 是坐标原点， OA (k ,12), OB (4,5),
A, B, C 三点共线？ OC (10, k ) ，当 k 为何值时， 分析： A, B, C 三点共线的充要条件是 AB // BC
解： AB OB OA (4 k , 7)
BC OC OB (6, k 5) AB// BC (4 k ) (k 5) 6 (7) 0 2 化简得： k 2 或 11 k 9k 22 0 解得： A, B, C 三点共线. 因此 k 2 或 11时，
平面向量基本公式大全
平面向量基本公式大全平面向量是二维空间中的量，可以表示平面上的位移、速度、加速度等物理量。
平面向量的运算和性质有很多，下面是一些平面向量的基本公式。
1.平面向量的定义：设有平面内两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A到点B的位移向量可以表示为：AB=(x2-x1,y2-y1)。
2.平移：若有向量AB，向量AC的表示式为：AC=AB+BC。
3.等比例划分：若有向量AB，其等比例划分的点是M，AM:MB=λ:μ，则向量AM和向量MB满足：AM=(λ/(λ+μ))AB，MB=(μ/(λ+μ))AB。
4.向量的共线性：若有向量AB和CD，若存在实数k，使得AB=kCD，则称向量AB和CD 共线。
5.向量的平行性：若有向量AB和CD，若存在实数k，使得AB=kCD，则称向量AB和CD 平行。
6.向量的加法：若有向量AB和CD，则AB+CD=AD。
7.向量的减法：若有向量AB和CD，则AB-CD=AD。
8.向量的数量积：设有向量A(x1,y1)和B(x2,y2)，其数量积AB=x1x2+y1y29.向量的模长：设有向量A(x,y)，其模长，A，=√(x^2+y^2)。
10.向量的单位向量：设有非零向量A(x,y)，其单位向量A'=A/，A。
11.向量的夹角：设有非零向量A和B，其夹角θ满足：cosθ = (A·B)/(，A，B，)。
12.向量的垂直性：若有向量A和B，若A·B=0，则称向量A和B垂直。
13.平面向量的线性相关性：若有向量A和B，若存在实数k，使得A=kB，则称向量A和B线性相关。
14.平面向量的线性无关性：若有向量A和B，若只有当k=0时，A=kB，任意实数k都无法使得A=kB，则称向量A和B线性无关。
15.平面向量的正交基：若有向量A和B，若A·B=0，并且，A，≠0，B，≠0，则称向量A和B为正交基。
16.平面向量的投影：若有向量A和B，其夹角为θ，则A在B上的投影长度为：，Acosθ。
1-4-2 向量线性运算的坐标表示(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（2）推导过程：＝（ + ）＝ + ＝（，）.
例 3 已知＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），若＝ + ，则 + ＝
解析
由题意知，＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），
则＝ + ＝(−1，3) + （5，2）＝（ − + 5，3 + 2）＝ 3，2 ，
又∵与有公共点A，∴ A，B，C三点共线.
（2）解：若A，B，C三点共线，则， 共线.
∵＝- ＝（4 − ， − 7），＝- ＝（10 − ， − 12），
∴ （4 − ）（ − 12） + 7（10 − ）＝0.解得＝ − 2或＝11.
故当＝ − 2或＝11时，A，B，C三点共线.
（2）若向量起点和终点的坐标未知，则可利用向量的线性运算，转化为已知坐标的向量，通过运算求向
量坐标.
2.平面向量坐标运算的技巧
（1）已知向量的坐标，则直接利用向量加、减及向量数乘运算的坐标运算法则求解.
（2）解题过程中，常利用相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解，要重视方程思
想的应用.
8
A. 1, 3
B.
13 8
,
3 3
C.
13 4
,
3 3
D. −
13
4
,
−
3
3
（2）已知 + ＝（2，-8）， − ＝（-8，16），则＝（-3，4） ，＝ （5，-12） .
1
3
2
3
解析 （1）由题意，得＝ （2 − ）＝ −
1
，∴
3
2
3
向量的坐标表示和坐标运算
极坐标系
以原点为极点，以正x轴为极 轴，用极角和极径表示点的位
置。
圆柱坐标系
适用于描述旋转对称或柱面结 构的问题，其中z轴与旋转轴
重合。
球坐标系
适用于描述空间中距离和角度 的问题，其中原点与球心重合
。
向量的模
Байду номын сангаас
1 2
向量的模
表示向量的大小或长度，记作 $|overset{longrightarrow}{AB}|$。
2023
PART 04
向量的向量积
REPORTING
定义与性质
定义
向量积是一个向量运算，其结果是 一个向量，记作a×b。
性质
满足反交换律，即a×b=-b×a；不 满足结合律，即 (a+b)×c≠a×c+b×c。
几何意义
方向
向量积的方向垂直于作为运算两向量的平面，其指向按照右手定则确定。
长度
向量积的长度等于两向量构成的平行四边形的面积。
2023
PART 02
向量的基本运算
REPORTING
向量的加法
01
向量加法定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点 为共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，所得到的 向量。
02 03
向量加法的几何意义
向量加法的几何意义可以理解为平行四边形的对角线向量 ，即两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形 的对角线向量。
坐标系
向量的坐标表示
在直角坐标系中，向量可以用有序实 数对表示，即 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
苏教版向量平行的坐标表示教案
第2课时向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.思考：当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？[提示]坐标不为0时成正比例．1．下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)D[∵在D中，b＝(6，－4)，a＝(－3,2)，∴b＝－2(－3,2)＝－2a，∴a与b共线．]2．若a＝(2,3)，b＝(x,6)，且a∥b，则x＝________.4 [∵a ∥b ，∴2×6－3x ＝0， 即x ＝4.]3．已知四点A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，则AB →与CD →的关系是________．(填“共线”或“不共线”)共线 [AB →＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)， CD →＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)， 因为4×(－8)－4×(－8)＝0， 所以AB →∥CD →， 即AB →与CD →共线．]向量平行的判定【例1】 已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB →与CD →是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？思路点拨：根据已知条件求出AB →和CD →，然后利用两向量平行的条件判断． [解] ∵A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)， ∴AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0， ∴AB →与CD →平行且方向相反．此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断. 提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.1．已知A ，B ，C 三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB → .[证明] 设点E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 依题意有，AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)， ∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，∴EF →∥AB →.利用向量共线求参数的值【例2】 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：充分利用向量共线的条件解题．[解] 法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， 因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向． 法二：由题知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)． 因为k a ＋b 与a －3b 平行， 所以(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．利用x 1y 2－x 2y 1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值． [解] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2. 共线向量与定比分点公式[探究问题]1．若点P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，试用P 1，P 2的坐标表示点P 的坐标．提示：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，因为P 1P →＝12P 1P 2→， 所以(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2．若P 1P →＝λPP 2→，则点P 的坐标如何表示？提示：P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ，推导方法类同于探究问题1. 已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →|. 思路点拨：分“AP →＝±13AB →”两类分别求点P 的坐标． [解] 设点P 的坐标为(x ，y )， ①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x ,2－y )， 解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →＝－14PB →，∴(x－3，y＋4)＝－14(－9－x2－y)，解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．1．向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．2．本例也可以直接套用定比分点公式求解． 提醒：注意方程思想的应用．教师独具1．本节课的重点是平面向量共线的坐标表示． 2．要正确理解向量平行的条件(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)且b 1≠0，b 2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．1．下列说法不正确的是( )A ．存在向量a 与任何向量都是平行向量B ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2C ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0D ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥bB [A 当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；B 不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；C 、D 正确．]2．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y ＝________. －4 [∵a ∥b ，∴－12＝2y ，∴y ＝－4.]3．若P 1(1,2)，P (3,2)，且P 1P →＝2PP 2→，则P 2的坐标为________．(4,2) [设P 2(x ，y )，则P 1P →＝(2,0)， PP 2→＝(x －3，y －2)，2PP 2→＝(2x －6,2y －4)． 由P 1P →＝2PP 2→可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6＝2，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.]4．给定两个向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若a ＋2b 与2a －2b 共线，求λ的值． [解] ∵a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)， 2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)， 又a ＋2b 与2a －2b 共线， ∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0， ∴λ＝12.。
高一数学必修件向量平行的坐标表示
坐标运算规则
向量加法
a+b=(x1+x2,y1+y2)。
向量减法
a-b=(x1-x2,y1-y2)。
向量数乘
λa=(λx1,λy1)。
平行向量（共线向量）的 坐标表示
若向量a与向量b平行（共线） ，则存在唯一实数λ，使得 a=λb。特别地，当λ=0时，a 为零向量；当λ=-1时，a=-b ，即a与b互为相反向量。
在空间直角坐标系中，一个向量可以用一个有序实数组(x,y,z)来表示，这个有序实数组称为向量的坐 标。
空间向量平行的坐标表示
如果两个空间向量的坐标成比例，则这两个向量平行。即，如果存在一个实数k，使得向量a的坐标 (x1,y1,z1)与向量b的坐标(x2,y2,z2)满足x1/x2=y1/y2=z1/z2=k，则向量a与向量b平行。
03
判断两向量是否平行方法
利用坐标表示法判断
01
02
03
向量坐标表示法
在平面直角坐标系中，向 量可以用坐标形式表示， 记为$vec{a} = (x_1, y_1)$，$vec{b} = (x_2, y_2)$。
平行条件
两向量$vec{a}$和
$vec{b}$平行当且仅当它
们的坐标成比例，即
$frac{x_1}{x_2}
=
frac{y_1}{y_2}$。
注意事项
当$x_2$和$y_2$都不为零 时，该条件才有效。
利在平面直角坐标系中，向量的斜率可 以定义为$frac{Delta y}{Delta x}$， 即向量在y轴上的变化量与在x轴上的 变化量之比。
当$Delta x$不为零时，该条件才有效 。
向量的坐标运算公式
向量的坐标运算公式向量的坐标运算是数学中的重要概念，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。
在这篇文章中，我们将深入探讨向量的坐标运算，从而更好地理解和应用它们。
让我们来了解一下什么是向量。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在二维空间中，一个向量可以由它在水平轴上的坐标和垂直轴上的坐标表示。
例如，向量v可以表示为(vx, vy)，其中vx 是水平方向上的坐标，vy是垂直方向上的坐标。
接下来，我们来看一下向量的加法运算。
当我们将两个向量相加时，只需要将它们对应的坐标相加即可。
例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的和向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax + bx，cy = ay + by。
除了加法运算，我们还可以进行向量的数乘运算。
数乘运算指的是将一个向量与一个标量相乘，即将向量的每个坐标都乘以这个标量。
例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，而一个标量k，那么将向量a与标量k相乘得到的新向量b的坐标可以表示为(bx, by)，其中bx = k * ax，by = k * ay。
我们还可以进行向量的减法运算。
向量的减法运算可以看作是向量加法运算的逆运算。
当我们将一个向量b从另一个向量a中减去时，只需要将b的坐标的相反数加到a的坐标上即可。
例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的差向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax - bx，cy = ay - by。
我们来讨论一下向量的模。
向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。
在二维空间中，一个向量的模等于它的坐标的平方和的平方根。
例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，那么它的模表示为|a| = √(ax^2 + ay^2)。
通过以上的讨论，我们对向量的坐标运算有了更深入的了解。
空间向量平行的公式
空间向量平行的公式空间向量平行是指两个向量在某个座标系中，其方向相同，但大小可能不同。
在数学上，两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)相互平行，其满足以下关系：a1/b1 = a2/b2 = a3/b3其中，a1, a2, a3, b1, b2, b3分别表示两个向量的不同分量，当每个分量之比相等时，则该两个向量就相互平行。
另外，两个空间向量可以用矩阵的形式来表示，比如a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，可以写成：A=[a1 a2 a3] B=[b1 b2 b3]显然，若两个向量是平行的，则其对应的矩阵乘积相等，即：A*B=B*A空间向量平行在数学中具有重要的应用价值，可以用来解决各种类型的几何问题，例如求两个线段的交点、求多边形的面积等，都可以通过空间向量的平行关系来解决。
例如，假设一个空间向量a1=(a1,a2,a3)和b1=(b1,b2,b3)，以及一个空间向量c=(c1,c2,c3)，如果要确定c是否是a1和b1的线段的交点，则只要满足以下关系即可：a1 +(b1-a1) = c其中，λ为一个实数，λ=0时表示c点处在a1处，λ=1时表示c点处在b1处，若0<1，则c点处在两个空间向量a1和b1线段的中间，因此二者是相交的，即c点是a1和b1线段的交点。
空间向量平行关系还可以应用到向量计算中，例如求向量的和、差、积等，例如，两个平行向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)的和可以写成如下形式：a+b=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)显然，求空间向量的和、差等简单计算可以简化为统一形式。
空间向量平行还广泛应用于实际工程中，例如在建筑工程中，需要计算不同物体之间的关系，有时可以通过求解空间向量平行的关系，来进行计算。
同时，空间向量的平行关系也在拓扑学中有着重要的应用，例如求解两个曲线（曲线是空间中的特殊一种向量）的位置间的相对平行关系，以及求解体的体积等。
向量平行的坐标表示-课件
解： (2) 6 3 (4) 0a与b共线
(3)a (5,3),b (8,5)
解： 55 83 0 a与b不共线
已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)． 判断A→B与C→D是否共线？
解 A→B＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)． C→D＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？
解:依题意,得
巩固练习 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)， 当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？
解：由已知得，ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b 与 a－3b 平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得 k＝－31.
∵ (－2)×(－6)－3×4＝0， ∴ A→B与C→D共线．
类型二: 三点共线问题 【例】 已知O→A＝(3,4)，O→B＝(7,12)，O→C＝(9,16)，
求证：A，B，C 三点共线．
证明： ∵A→BA→＝C＝O→BO→－C－O→AO→＝A＝(4，(6，8)，12)，
412 68 0
则A→B，A→C共线 , 即 A，B，C 三点共线.
( r
x1
,
yr1
),
b
r
(
x2
,
y2
)
a Pb b a x1y2 x2 y1 0
作业： 课本练习题
谢谢
分析：先设出点 P 的坐标，然后利用共线条件求解．
解：设 P(x，y)，则O→P＝(x，y)， 且O→B＝(4,4)，又O→P与O→B共线，所以 x＝y. 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2,6)，A→P与A→C共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
向量定理七个公式
向量定理七个公式平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
输入分数，查看能上的大学测一测能上的大学1向量的加法1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3向量的的数量积1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.3、向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);4、向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.5、向量的数量积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.（2）向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出b=c.（3）|a•b|≠|a|•|b|（4）由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b.4数乘向量1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.5向量的向量积1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.6向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.7定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式8其他公式1、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线2、三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心3、向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。
向量坐标平行和垂直公式
向量坐标平行和垂直公式向量是数学中一个重要的概念，它可以表示空间中的一个点或一个物理量。
在三维空间中，向量通常由三个分量表示，分别表示在x、y、z轴上的投影。
在向量的运算中，有两个重要的概念，分别是平行和垂直。
我们来看平行向量。
两个向量如果方向相同或相反，则称它们为平行向量。
具体来说，如果向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)平行，那么它们的比值应该相等，即x1/x2 = y1/y2 = z1/z2。
这个比值称为向量的分量比。
我们可以通过判断两个向量的分量比是否相等来确定它们是否平行。
接下来，我们来看垂直向量。
两个向量如果互相垂直，则称它们为垂直向量。
具体来说，如果向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)垂直，那么它们的点积（内积）应该为0，即x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 = 0。
这个点积为0的条件可以用来判断两个向量是否垂直。
在实际应用中，判断两个向量是否平行或垂直是非常重要的。
例如，在几何学中，我们经常需要判断两条直线是否平行或垂直。
如果两条直线的方向向量平行，则两条直线平行；如果两条直线的方向向量垂直，则两条直线垂直。
又如在物理学中，力和位移的关系可以通过判断两个向量的平行或垂直来确定。
除了判断向量的平行和垂直关系外，我们还可以通过向量的坐标进行运算。
例如，可以将两个向量相加或相减，得到一个新的向量。
具体来说，如果向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)相加，得到的新向量C(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
如果向量A和向量B平行，则它们相加的结果也是一个平行向量。
如果向量A和向量B垂直，则它们相加的结果是一个斜向量。
除了向量的加法和减法，我们还可以通过向量的数量积（点积）和向量积（叉积）进行运算。
向量的数量积用来计算两个向量之间的夹角，具体公式为：cosθ = (x1*x2 + y1*y2 + z1*z2) / (|A| * |B|)，其中θ是两个向量之间的夹角，|A|和|B|分别是向量A和向量B的模长。
两向量平行的坐标关系
两向量平行的坐标关系1. 引言在数学和物理学中，向量是一种有大小和方向的量。
向量的平行性是向量运算中一个重要的概念。
本文将讨论两个向量平行的坐标关系，包括平行向量的定义、判定方法以及与坐标关系的相关性。
2. 平行向量的定义两个非零向量u和v被称为平行向量，如果它们的方向相同或相反。
换句话说，如果存在一个标量k，使得u=kv，那么u和v就是平行向量。
3. 平行向量的判定方法判定两个向量是否平行可以通过以下方法进行：3.1 坐标法设u=(x1, y1)和v=(x2, y2)是平面上的两个向量，如果存在一个非零实数k，使得x1=kx2且y1=ky2，那么u和v是平行向量。
3.2 向量法设u=(a1, b1, c1)和v=(a2, b2, c2)是空间中的两个向量，如果存在一个非零实数k，使得a1=ka2，b1=kb2，且c1=kc2，那么u和v是平行向量。
3.3 内积法设u=(x1, y1)和v=(x2, y2)是平面上的两个向量，如果它们的内积等于它们的模的乘积，即x1x2+y1y2=|u||v|，那么u和v是平行向量。
3.4 叉乘法设u=(a1, b1, c1)和v=(a2, b2, c2)是空间中的两个向量，如果它们的叉乘等于零向量，即a1b2-a2b1=0，b1c2-b2c1=0，且c1a2-c2a1=0，那么u和v是平行向量。
4. 平行向量与坐标关系平行向量在坐标系中有一些特殊的几何关系。
以下将探讨平行向量与坐标关系的几个重要性质：4.1 坐标系中的平行向量在平面直角坐标系中，两个向量u=(x1, y1)和v=(x2, y2)是平行向量，当且仅当它们的比值相等，即x1/x2=y1/y2。
在三维直角坐标系中，两个向量u=(a1, b1, c1)和v=(a2, b2, c2)是平行向量，当且仅当它们的三个分量的比值相等，即a1/a2=b1/b2=c1/c2。
4.2 坐标系中的平行线平行向量的概念可以推广到平行线。
向量平行坐标关系
向量平行坐标关系一、引言向量平行坐标关系是在三维空间中描述向量之间关系的一种方法，它可以帮助我们更好地理解向量的性质和应用。
本文将详细介绍向量平行坐标关系的定义、性质、应用以及相关的数学知识。
二、向量平行坐标关系的定义1. 向量的概念向量是具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序三元组$(x,y,z)$或者$\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$。
2. 平行向量的概念如果两个向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$的方向相同或相反，则称它们为平行向量。
如果两个非零向量平行，则它们可以表示为一个公共方向上长度相等或成比例的两个箭头。
3. 垂直向量的概念如果两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$垂直，则称它们为垂直（正交）向量。
垂直向量之间没有公共方向，因此不能表示为一个箭头。
4. 向量平行坐标系的定义在三维空间中，我们可以使用向量平行坐标系来描述向量之间的关系。
向量平行坐标系是由三个平行的坐标面$x=0$，$y=0$和$z=0$组成的，每个向量$\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$在这三个坐标面上都有一个对应的点$(y,z)$，$(x,z)$和$(x,y)$。
这些点可以用一条折线连接起来，形成一个平行四边形。
三、向量平行坐标关系的性质1. 平行向量在向量平行坐标系中具有相同的横坐标（或纵坐标）如果两个向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$是平行的，则它们在向量平行坐标系中具有相同的横坐标（或纵坐标）。
这是因为它们在公共方向上长度相等或成比例。
2. 垂直向量在向量平行坐标系中具有相互垂直的对角线如果两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$垂直，则它们在向量平行坐标系中对应的两条对角线相互垂直。
这是因为它们没有公共方向。
向量平行公式和垂直公式
向量平行公式和垂直公式向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
在向量运算中，判断向量是否平行或垂直是一项基础的操作。
本文将详细介绍向量的平行公式和垂直公式，并通过数学推导和几何解释来说明其原理和应用。
一、向量的定义和表示法向量是带有方向的量，可以用有序的两个点来表示。
通常使用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在笛卡尔坐标系中，向量通常用坐标表示，例如向量a可以表示为：a=(x,y)其中，x表示向量在x轴方向上的分量，y表示向量在y轴方向上的分量。
二、向量的平行概念两个向量a和b平行的概念是指它们的方向相同或相反。
具体来说，如果存在一个实数k，使得向量a与向量b的每个对应分量满足以下关系：a=k*b其中，k表示两个向量的比例因子。
如果k为正数，则表示两个向量的方向相同；如果k为负数，则表示两个向量的方向相反。
三、向量的平行判断公式根据向量的平行定义，可以推导出判断两个向量平行的方法。
假设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，向量a与b平行的条件可以表示为：x1/x2=y1/y2这个条件说明，两个向量的x轴分量和y轴分量的比例相等时，它们是平行的。
从几何上来看，这表示两个向量在坐标平面上的斜率相等，即它们的直线方程具有相同的斜率。
四、向量的垂直概念两个向量a和b垂直的概念是指它们的方向互为正交。
具体来说，如果向量a与向量b的内积等于0，则表示它们垂直。
内积的定义为：a·b=x1*x2+y1*y2其中，x1和y1分别是向量a的x轴分量和y轴分量，x2和y2分别是向量b的x轴分量和y轴分量。
五、向量的垂直判断公式根据向量的垂直定义，可以推导出判断两个向量垂直的方法。
向量a 和向量b垂直的条件可以表示为：x1*x2+y1*y2=0这个条件说明，两个向量的内积为0时，它们是垂直的。
从几何上来看，这表示两个向量在坐标平面上的直角。
向量平行的坐标公式
向量平行的坐标公式向量平行是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和工程学中有广泛的应用。
本文将介绍向量平行的坐标公式，并探讨其背后的几何意义和实际应用。
在二维空间中，我们可以用坐标表示一个向量。
假设有两个向量A 和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)。
要判断这两个向量是否平行，我们可以使用向量平行的坐标公式。
向量平行的坐标公式如下：如果(Ax/Ay) = (Bx/By)，那么向量A和向量B是平行的。
这个公式告诉我们，如果两个向量的坐标比例相等，那么它们是平行的。
具体来说，当Ax/By和Ay/Bx的比值相等时，向量A和向量B平行。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过几何图形来说明。
假设有一个平面上的点O，以及两个非零向量A和B，它们的起点都是点O。
我们可以将向量A和向量B分别表示为从点O出发的有向线段。
如果这两个向量是平行的，那么它们的方向相同或相反，并且它们的长度之比等于坐标之比。
在实际应用中，向量平行的坐标公式有着广泛的用途。
例如，在航空航天工程中，我们经常需要判断两个向量的平行关系。
当飞行器需要以特定的速度和角度飞行时，我们可以将飞行方向表示为一个向量，将目标方向表示为另一个向量。
通过比较这两个向量的坐标比例，我们可以判断飞行器是否朝着目标方向飞行。
在计算机图形学中，向量平行的坐标公式也被广泛应用。
当我们需要绘制平行于某个向量的线段或图形时，我们可以利用向量平行的坐标公式来计算出这些线段或图形的坐标。
向量平行的坐标公式是判断两个向量平行关系的重要工具。
通过比较向量的坐标比例，我们可以判断两个向量是否平行，并在几何学、物理学和工程学等领域进行相关的计算和应用。
这个公式不仅有着重要的理论意义，还有着广泛的实际应用，为我们的科学研究和工程设计提供了有力的支持。
坐标向量平行公式
坐标向量平行公式在数学中，坐标向量平行公式是一种用于判断两个坐标向量是否平行的方法。
它是向量代数中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。
我们需要了解什么是坐标向量。
在一个坐标系中，我们可以用坐标向量表示一个点的位置。
坐标向量通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
例如，一个二维平面上的点可以用一个二维坐标向量表示，即(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
那么，如何判断两个坐标向量是否平行呢？我们可以利用坐标向量的特性来进行判断。
假设有两个坐标向量A和B，它们的分量分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)。
根据坐标向量的定义，我们可以得到以下公式：A = Ax * i + Ay * jB = Bx * i + By * j其中，i和j分别表示二维坐标系中的单位向量。
根据这个公式，我们可以将向量A和B进行展开：A = Ax * i + Ay * jB = Bx * i + By * j将上述公式展开后，我们可以得到：A = Ax * i + Ay * jB = Bx * i + By * j通过观察上述公式，我们可以发现，如果两个向量平行，那么它们的分量之比应该相等。
换句话说，如果向量A和向量B平行，那么有以下关系式成立：Ax / Bx = Ay / By这就是坐标向量平行公式。
通过这个公式，我们可以判断两个坐标向量是否平行。
接下来，让我们通过一个例子来理解坐标向量平行公式的应用。
假设有两个坐标向量A(2, 3)和B(4, 6)，我们可以将这两个向量代入坐标向量平行公式：2 / 4 =3 / 6化简后得到：1/2 = 1/2由于等式左右两边相等，我们可以得出结论：向量A和向量B是平行的。
通过这个例子，我们可以看到，通过坐标向量平行公式，我们可以简单、直观地判断两个坐标向量是否平行。
总结一下，坐标向量平行公式是一种用于判断两个坐标向量是否平行的方法。
通过计算两个向量的分量之比，我们可以判断它们是否平行。
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总结：
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向量平行的坐标表示及 定比分点坐标公式
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复习与思考：
1 实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标.
2 相等的向量有相等的坐标
a 3 向量 与非零向量 b平行(共线)的充要条件是有且
只有一个实数 , 使得a b
4 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件? 会得到什么样的重要结论?
定比分点坐标公式的应用之一----三角形重心公式
已知三角形ABC [A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）]， 设三角形重心为G（x,y）
则x=(x1+x2+x3)/3 y=(y1+y2+y3)/3
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习题
在直角坐标系内,已知两点P1(2,1),P2(x2,y2);在两点连 线上有一点P, 它的坐标为(4,3),且线段P1P比线段PP2 的比值为3,那么试着求出P2的坐标
证明：利用向量法 P1P =λPP2
即有（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y）
所以 x-x1=λ(x2-x)，y-y1=λ(y2-y)
解出 x , y 得
x=(x1 + λ · x2) / (1 + λ)
y=(y1 + λ · y2) / (1 + λ)
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பைடு நூலகம்12
分点的不同情况
当P为内分点时,λ>0; 当P为外分点时,λ<0(λ≠-1); 当P与P1重合时,λ=0; 当P与P2重合时,λ不存在
这就是说: a//b(b0)的充要条件是
x1y2x2y10
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向量平行(共线)充要条件的两种形 式:
(1)a//b(b0)ab;
(2)a//b(a(x1,y1),b(x2,y2),b0)
x1y2x2y10
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6
习题
1. 已知 a ( 4 , 2 ), b ( 6 ,y ) 且 a ,/b , / 求 y
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2
设
a(x1,y1),b(x2,y2) ,b 0
即 x2 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由 a b
由平面向量基本定理可知
x 1 i y 1 j ( x 2 i y 2 j ) x 2 i y 2 j
于是，对应起来便是
x1x2,y1y2
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化简可得到
x1y2x2y10
2. 已知 A ( 1 , 1 )B ,( 1 ,3 )C ,(2 ,5 ),
3. 求证: A、B、C 三点共
线。
3. 若向量 a(1,x)与, b(x,2) 共线且
4. 方向相同, 求 x.
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10
思考：
大家请注意观察下，以上例题中，点P分线段P1P2 所成的比例和P点的坐标是否存在对应规律？
我们可以学到一个新知识，那就是定比分点坐标公式
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11
在直角坐标系内,已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2);在两点连线 上有一点P,设它的坐标为(x,y),且线段P1P比线段PP2的比值
为λ,那么可以求出P的坐标为
x=(x1 + λ · x2) / (1 + λ) y=(y1 + λ · y2) / (1 + λ)