1.3三角函数的诱导公式
人教A1.3三角函数的诱导公式
α的同名函数值 ，前面
，
cos( -sinα 5.公式六： sin .公式五和 公式六可以概括如下：〒α的正弦（余弦）函数值，分别等 2 于 a的余弦(正弦)函数值 ，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号 利 用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数 的相互转化. 返回目录
【评析】此类问题是给角求值，主要是灵活应用诱导公式 把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解. 返回目录
2.已知sin(π-α)=
4 ,求cos(π-α)+tan(-α)的值. 5
名师伴你行
【分析】将所给三角函数化为α的三角函数，利用同 角三角函数公式求值.
【解析】由sin(π-α)=
4 得 5
2 2
. 返回目录
解法二：
sin(-1 665°)=sin(135°-5〓360°) =sin135°=sin(180°-45°)
2 =sin45°= . 2
名师伴你行
(2)解法一：cos( 10 π )=cos 10 π =cos( 4 π +2π)
3 3 3 π 4 =cos π =cos(π+ ) 3 3 π 1 =-cos 3 = . 2 10 2 π )=cos( -4π)=cos 2 解法二：cos( 3 3 3 1 π π =cos(π- ) =-cos = . 2 3 3
3 2
-
3 3 〓( 3 2
) 返回目录
2.应用诱导公式来化简求值. (1)原式=cos1 560°=cos(360°〓4+120°) =cos120°=cos(90°+30°)
1 . 2 15 (2)原式=-tan( 2 (3)原式=-tan 17 6
1.3三角函数的诱导公式
cos sin 原式= 1 sin cos
练习 化简 1 sin 180 cos sin 180 3 2 sin cos 2 tan
1 原式= sin cos sin sin cos
0.5
O
-2 -1
M1
-0.5 -1
M
1
A
2
-1.5
T1
公式二
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
2 2 3 sin( ) cos 2 3 cos( ) sin 2 cos(
) sin
3 例3 证明 : 1 sin cos ; 2 3 2 cos sin . 2 3 1 sin sin 2 2 sin 2
3 sin 1300 sin 140 sin 40 0.6428
5 3 79 4 cos cos cos 6 6 2 6
例2 化简
解:sin - -180 sin 180
探究 给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角与 α有什么关系?它们的三角函数之间有什 么关系? T P 公式二
1.3三角函数的诱导公式(张奕辉用)
1 3
当α是第一象限角时，cos(5π+α)=cos(π+α)=-cosα 是第一象限角时，cos(5π+α)=cos(π+α)== − 1 − sin 2 α = − 2 2 . 3
当α是第二象限角时， 是第二象限角时， cos(5π+α)=cos(π+α)= cos(5π+α)=cos(π+α)= −cosα = 1 − sin 2 α = 2 2 .
1 1 － = 0. 2 2
sin960° 【变式训练】求下式的值：2sin(－1 110°) －sin960°+ 变式训练】求下式的值：2sin(－ 110° cos(-225°)+cos(-210° 2cos(-225°)+cos(-210°) 【解析】原式=2sin(-3×360°-30°)-sin(2×360° 解析】原式=2sin(=2sin( 360° 30° sin(2×360° +240° cos(180°+45°)+cos(180°+30° +240°)+ 2cos(180°+45°)+cos(180°+30°) =2sin(-30° sin240° cos45° cos30° =2sin(-30°)-sin240°- 2 cos45°-cos30° = −2 × 1 + 3 − 2 × 2 − 3
y
π－α的终边
r =1
α
α的终边 的终边
P ( x, y ) 1
x O A(1,0)
π＋α的终边
－α的终边
y
角α的终边与单位圆的交点坐标
α
P ( x, y ) 1
三角函数的诱导公式【六公式】
）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
1.3三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式(一)诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，这组公式可这样表达：sin(2kπ+α)=sinα；cosα(2kπ+α)=cosα；tg(2kπ+α)=tgα；ctg(2kπ+α)=ctgα．利用诱导公式一可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°～360°(0～2π)间角的三角函数值的问题．学习诱导公式的基本思想方法是化归转化，如果我们能把求90°～360°间的角的三角函数值转化为求0°～90°间的角的三角函数值，那么任意角的三角函数值就都能通过查表来求．(二)诱导公式二、三以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆，这样的圆称为单位圆．下面我们利用单位圆和任意角三角函数的定义来推导诱导公式二、三．设点P(x、y)，它关于x轴、y轴、原点对称的点坐标分别是P1(x，-y)，P2(-x，-y)，P3(-x，-y)．任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)．由于角180°+α的终边就是角α终边的反向延长线，角180°+α的终边与单位圆的交点P′，是与点P关于点O对称的，所以P′坐标是(-x，-y)，又因单位圆半径r=1，由正弦函数和余弦函数的定义可得到因此我们可以得到诱导公式二sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα，tg(180°+α)=tgα，ctg(180°+α)=ctgα．例1求下列各三角函数值(1)tan(4π/3)(2)sin225°答案：（1） 3 (2)2/2我们再来研究角α与-α的三角函数值之间的关系．任意角α的终边与单位圆相交于P(x，y)，角-α的终边与单位圆相交于点p′，从图上可观察得到P与P′关于x轴成轴对称．我们得到sinα(-α)=-y，cos(-α)=x，从而得到诱导公式三sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tg(-a)=-tgα，ctg(-α)=-ctgα．例2求下列各三角函数值(1)sin(-405°) (2)ctg2π/3答案：例2、-2/2；-3/3。
【数学】1.3 三角函数的诱导公式第二课时
公式一：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
cos
右边
3 （2） cos( ) sin 2
证明：左边=
cos ( ) 2
cos( ) 2
sin
右边
例2 : 化简：
sin( 2 ) sin 解：
11 sin(2 - )cos( )cos( )cos( - ) 2 2 9 cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin( ) 2
公式四：
公式五：
sin(
公式六：
sin(
2
) cos ) sin
2
) cos
cos(
2
cos( ) sin 2
k 思考5：诱导公式可统一为
2
(k Z)
的三角函数与α的三角函数之间的关系， 你有什么办法记住这些公式？
sin(
2
) cos
cos( ) sin 2
思考2：
2
2
与
2
2
有什么内在联系？
( )
思考3：根据相关诱导公式推导， sin( ) ， cos( ) 分别等于什么？
1.3 三角函数的诱导公式
)
B．－2 2 D. 3
π sin2＋θ－cosπ＋θ cosθ＋cosθ 解析： ＝ π cosθ－sinθ sin 2－θ －sinπ－θ
2 2 ＝ ＝ ＝－2.故选 B. 1－tanθ 1－2
答案：B
sinkπ－α· cos[k－1π－α] (理)化简 ＝ ______(k ∈ sin[k＋1π＋α]· coskπ＋α Z)．
2sinα 2cosα ＝ · |cosα| |sinα|
4 ＝ －4
α在第一、三象限时， α在第二、四象限时.
点评：注意变形的技巧，对于
1＋sinα .我们可以 1－sinα
分子、分母同乘以 1＋sinα，也可以分子、分母同乘以 1 －sinα，但分母变为“单项式”更方便些，故选择同乘以 1＋sinα.
2α
2 ⇒ 2 2tan α － 2tanα － 2 2 ＝ 0. 解得 tanα ＝－ 或 2
2
2. 1－ 2 π π 又 <α< ，∴tanα＝ 2.原式＝ ＝－3＋2 2.故 4 2 2＋ 1 选 C.
答案：C
一、选择题 1 ． (2010· 全国卷Ⅰ理， 2) 设 cos( － 80° ) ＝ k ，那么 tan100° ＝( 1－k2 A. k k C. 1－k2 ) 1－k2 B．－ k k D．－ 1－k2
解析：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋α)＝ －asinα－bcosα＝5， ∴asinα＋bcosα＝－5.∴f(2010)＝asinα＋bcosα＝－5.
答案：C
(文)已知 A．2 C．0
π sin2＋θ－cosπ＋θ tanθ＝2，则 ＝( π sin2－θ－sinπ－θ
1.3三角函数的诱导公式1
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称]
o
o
讲授新课
思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？
o o
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
公式吗？其公式结构特征如何？
讲授新课
诱导公式(三)
讲授新课
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 把求(－)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
讲授新课
例2．求下列三角函数值．(可查表)
(1)
(2) tan(－210 );
(3) cos(－2040 ).
o
o
课堂小结
1. 诱导公式 (一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
讲授新课
诱导公式(二)的结构特征
讲授新课
诱导公式(二)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 求(180 +)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
o
讲授新课
归纳公式
sin(－)=sin
cos( －)=－cos
tan (－)=－tan
讲授新课
例1．求下列三角函数值．(可查表)
1.3 三角函数的诱导公式
4．试用“诱导公式五、六”求下列各三角函数的值： (1)cos 135°；
2π (2)sin 3
.
解析： (1)cos 135° ＝cos(90° ＋45° ) 2 ＝－sin 45° ＝－ ； 2 2π π＋π＝cosπ＝ 3. (2)sin ＝sin 2 6 3 6 2
已知角，利用诱导公式求值 求下列三角函数值．
二、诱导公式的理解
1．同名函数诱导公式的理解
先弄清角α与角π－α，π＋α，－α，2π－α的终边的位置 关系． 角α与角π－α的终边关于y轴对称；角α与角π＋α的终边 互为反向延长线； 角α与角－α的终边α关于x轴对称；角－α与角2π－α的 终边互相重合． 在单位圆中设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则 角π－α，π＋α，－α的终边与单位圆的交点依次为P1(－x，y)， P2(－x，－y)，P3(x，－y)．则由正弦线、余弦线、正切线得：
－10π的值等于( B ) 2．cos 3
1 A.2 1 B．－2 3 C. 2 3 D．－ 2
1．六组公式都叫做三角函数的诱导公式，诱导公式揭 示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关 系．记忆诱导公式方法：“奇变偶不变(横同竖余)、符号看 象限”．
2．灵活运用公式解题实质体现了由未知转化为已知的
2．异名函数诱导公式的理解：(与同名函数诱导公式的 理解相同)
π π (1)先弄清α角与 －α， ＋α角的终边的位置关系． 2 2 π 角α与角 －α的终边关于直线y＝x对称． 2
角
π －α的终边与单位圆的交点为Q(y，x)．则由正弦线、余 2
π－α＝x，cos α＝x， sin α＝y，sin 2 π－α ＝y， cos2
思考应用 1．你能说出五组诱导公式各自的作用吗？
1.3 三角函数的诱导公式
1.3 三角函数的诱导公式【教学目标】1、知识与技能理解正弦、余弦的诱导公式。
2、过程与方法（1）掌握诱导公式的推导方法；（2）能运用诱导公式，进行三角函数式的求值、化简及简单三角恒等式的证明。
3、情感态度与价值观通过对诱导公式的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质。
【教学重点】诱导公式的推导及应用。
【教学难点】公式的推导中，对角α推广为任意角的理解。
【教学方法】发现式教学法【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】前面我们学习了任意角的三角函数的定义，由定义我们得到了一组诱导公式，诱导公式（一）：【引入】利用这组公式可以将任意角的三角函数值转化为求0到2π范围内的角的三角函数值，但是同学们现在只对0到2π范围内的角的三角函数值的求解比较熟悉，对于在2π到2π范围内的角的三角函数值到目前为止我们只能根据任意角的三角函数的定义来求，但是同学们对这种方法还很不适应，同时这种方法既麻烦又容易出错，特别是在角的终边上取点时很容易出错，所以，我们就必须得思考能否找到一组公式将求2π到2π范围内的角的三角函数值转化为求0到2π范围内的角的三角函数值。
这就是我们今天要学习的其它几组诱导公式。
【引入】既然我们要研究将求2π到2π范围内的角的三角函数值转化为求0到2π范围内的角的三角函数值。
所以我们就必须得先研究如何将0到2π范围内的角用0到2π范围内角（锐角）来表示。
〖合作交流 解读探究〗 1、（1）0到2π范围内的角的统一表示：设β是0到2π范围内的任意一个角，α是02π范围内的一个角，则：,0,2,,23,,232,,22παβππαβπβππαβπππαβπ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪+∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩ 或,0,22,,2233,,2233,,222ππαβππαβπβππαβπππαβπ⎧⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪+∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩（2）任意角的统一表示：设θ是任意一个角，β是0到2π范围内的一个角，α是02π范围内的一个角，则：2,2,222,2,22232,2,22322,2,222k k k k k k k k k k k k k ππαθπππππαθπππθπβπππαθππππππαθπππ⎧⎡⎫+∈+⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫+-∈++⎪⎪⎢⎪⎣⎭=+=⎨⎡⎫⎪++∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪+-∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或2,2,2222,2,2222332,2,222332,2,2222k k k k k k k k k k k k k πππαθπππππαθπππθπβπππαθππππππαθπππ⎧⎡⎫+-∈+⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫++∈++⎪⎪⎢⎪⎣⎭=+=⎨⎡⎫⎪+-∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪++∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩【引入】由三角函数定义可知，任意角的三角函数值只与角的终边位置有关，为此，要研究将求2π到2π范围内的角的三角函数值转化为求0到2π范围内的角的三角函数值。
1.3 三角函数的诱导公式
1.3 三角函数的诱导公式1.诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(课堂训练 一.选择题1.已知sin(π+α)=45,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 （ ）(A)－53 (B)53 (C)±53 (D)54 2.若cos100°= k ,则tan ( -80°)的值为 （ ）(A)(D)3.在△ABC，则△ABC 必是 （ ） (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4.已知角α终边上有一点P (3a ,4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是 （ ） (A)－45(B)－35(C)±35(D)±455.设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是 （ ） (A)cos(A +B )=cos C (B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin2A B+=sin 2C *6.下列三角函数：①sin(n π+43π) ②cos(2n π+6π) ③sin(2n π+3π) ④cos[(2n +1)π-6π] ⑤sin[(2n +1)π-3π](n ∈Z)其中函数值与sin 3π的值相同的是 （ ） (A)①② (B)①③④ (C)②③⑤ (D)①③⑤ 二.填空题7.tan(150)cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒= .8.sin 2(3π－x )+sin 2(6π+x )= .9.= .*10.已知f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)，其中α、β、a 、b 均为非零常数，且列命题：f (2006) =1516-，则f (2007) = . 三.解答题11.化简23tan()sin ()cos(2)2cos ()tan(2)ππααπααπαπ-⋅+⋅---⋅-.12. 设f (θ)=3222cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++- , 求f (3π)的值.*14.是否存在角α、β，α∈(-2π,2π)，β∈(0,π)，使等式sin(3π-α2π-β), cos (-απ+β)同时成立？若存在，求出α、β的值;若不存在，请说明理由.同步提升一、选择题 1．已知sin()4πα+=，则3sin()4πα-值为（ ） A.21 B. —21C. 23D. —232．cos (π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ） A. sin 2cos2+ B. cos2sin 2- C. sin 2cos2- D.±cos2sin 2- 4．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ） A 231+-B 231+-C 231-D 231+ 二、填空题5．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限6．求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝ ． 三、解答题7．设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．8．已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值。
1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．
全优16页基础夯实
如图，设任意角的终边与
单位圆的交点P1(x, y).
则角
2
的终边与
单位圆的交点P2( y, x).
于是：
cos x,sin y;
cos( ) y,sin( ) x.
2
2
诱导公式（五）
-1
sin( ) x cos
2
cos( ) y sin
5
5
5
5
全优16页能力提高
4．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则
△ABC一定是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)等价于 sin(π－2C)＝sin(π－2B)，即sin 2B＝sin 2C. ∴B＋C＝90°或B＝C，
o
． P’
-α的终边
思考：那tan（-ɑ）呢？
． 终边关系
(1,0) x 点的关系 函数关系
角α
-α
关于x 轴对称
P(x,y)
P’(x,-y)
sinα= y sin(-α) = -y cosα= x cos(-α) = x
因此，可得：
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2
练习：课本27页2（1）（2）（4）
1．求下列各式的值： (1)sin(－855°)； (2)sin 21πcos 4πtan 19π.
436
【解析】(1)sin(－855°)＝ sin(－3×360°＋225°) ＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)
高二数学三角函数的诱导公式3
主讲老师：
复习回顾
诱导公式(一)
sin(2k ) sin (k Z) cos(2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
复习回顾
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
2
)sin(
2
)sin( 9
)
.
2
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例3. 已知tan( ) 3, 求：2cos( ) 3sin( ) 的值.
4cos( ) sin(2 )
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例4. 已知sin( ) 4 ,且 sin cos 0,
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小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间
角的三 或三 角的三 二或四 角的三角
角函数
角函数
函数
0o~90o间 角的三角 函数
查表 求值
讲授新课 小结
②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了.
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练习3. 教材P.28练习第7题. 化简:
5
求 2sin( ) 3 tan( 3 ) 的值. 4cos( 3 )
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小结
①三角函数的简化过程图：
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小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
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小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正
角的三 或三 角的三
角函数
角函数
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小结
三角函数的诱导公式最后更新
这是一种化归与转化的数学思想.
作业： P27练习：1，2，3，4.
1.3
三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
cos x
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α （k∈Z）、π ＋α 、－α 、 π －α 与α 的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α 的终边
x
思考：根据三角函数定义，－α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系？
α 的终边
y
P(x,y)
o
P(x,-y)
-α 的终边
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式三：
4. 与 的三角函数值之间有什么关系？ 设角 的终边与单位圆交于点P， 的终边与单 位圆交于P1，当 为任意角时： ① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？ ② P与P1的坐标有什么对称关系？你能写出它们的 坐标吗？
tan( ) tan
3.角 与 的三角函数的关系。
观察单位圆，让角 的终边绕单位圆一周，回答问题。
① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？ ② 角 的终边、 的终边与单位圆交点P与P1有 怎样的对称关系？
③ P与P1的坐标又怎样的关系？
-α ，π -α 的诱导公式：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin
1.3 三角函数诱导公式
公式四：sin π - α sin α cosπ - α - cos α tan π - α - tan α
公式 五：sin -α cos α 2
cos -α sin α 2
公式四：sin α cos α 2
cos α - sin α 2
口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 所有诱导公式可以概括为： k , k Z 的各三角函数值，当 k 为
3
＝－1.
2
(3)∵
α＋7π 6
－
π α＋
6
＝π，
∴cos
7π＋α 6
＝cos
π＋
α＋π 6
＝－cos
π＋α 6
＝－
3.
3
例3
（1）已知
cos
π－α 6
＝m(|m|≤1)，求
sin
2π－α 3
的值．
（2）已知
sin
π ＋α
6
＝
3，求 3
cos(π－α)的值． 3
【解析】（1）∵
π－α 6
＋π＝2π－α，
π π－
6
π ＝－cos ＝－
6
3. 2
(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.
(4)sin17π＝sin
2π＋5π 6
＝s
6
in5π＝sin 6
ππ ＋
23
＝cosπ＝1. 32
题型二 给值(式)求值
－sinα＋cosα
－sinα＋cosα
＝－sinα－cosα＝sinα＋cosα＝tanα＋1＝右边， －sinα＋cosα sinα－cosα tanα－1
1.3 三角函数的诱导公式
§1.3 三角函数的诱导公式知识点一 诱导公式二sin π＋α＝－sin α， cos π＋α＝－cosα， tan π＋α＝tan α. 知识点二 诱导公式三sin －α＝－sin α， cos －α＝cosα， tan －α＝－tan α. 知识点三 诱导公式四轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cosα， tan(π－α)＝－tan α. 简记为“函数名不变，符号看象限”．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cosα， cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sinα． 诱导公式的推广与规律 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝ ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：类型一 利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题 1、求下列各三角函数式的值：(1)cos210°； (2)sin 11π4； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6；(4)cos(－1920°)． (5)sin1320°； (6)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6命题角度2 给值求值或给值求角问题1、已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于2、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．3、已知sinβ＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )4、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．5、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值．类型二 利用诱导公式化简、证明。
1.3 三角函数的诱导公式
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1.如果α 、β满足α +β=π,那么下列式子中正确的个数是( B ) ①sin α =sin β ②sin α =-sin β ③cos α =cos β ④cos α =-cos β (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:α =π-β,则sin α =sin(π-β)=sin β;cos α =cos(π-β)=-cos β,①、 ④正确,故选B.
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( 2) 当 n 为偶数, 即 n=2k( k∈Z ) 时, 原式=cos( 2kπ+ +x) +cos( 2kπ- -x)
=cos( +x) +cos( - -x) =2cos( +x) .
故原式=
.
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根据 n 取值的奇偶性合理选择诱导公式, 是解决此类问题的关键. 变式训练 2 1: 若 k∈Z , 化简
当 k 为偶数时, 函数的名称不变, 这就是“奇变偶不变”的意思. 还有, 在记忆公式时要把α看成锐角( 注
意这里是为了记忆的方便 , 仅仅是看成锐角 , 而不是一定为锐角) , 然后确定 数的名称来确定符号, 这就是“符号看象限”的意思.
± α所在的象限, 并结合函
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正弦、余弦、正切都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 统称为三角函数.
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链接二: 三角函数值在各象限的符号
1.3三角函数的诱导公式
化简：
cos 2 (1) sin( 2 ) cos(2 ) 5 sin 2
0 tan 360 2 (2) cos ( ) sin
1 1、已知 cos(75 ) ，其中 是第三象限角， 3 求 cos(105 ) sin( 105 )的值.
2、已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3 +C (2)tan tan 4 4
小结作业 1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα ， sin（3π －α ）=sinα 等.
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简记为“函数名不变，符号看象限”的口诀．
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
3.利用诱导公式一～四，可以求任意 角的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
作业： P27练习：1，2，3，4.
小结作业
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三 角函数之间的相互关系，并具有一定的规 律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法.
填写
sin
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2007.11.4
复习: 诱导公式（一）
终边相同的角的同一三 角函数值相等 sin( k 2 ) sin ; cos( k 2 ) cos ; t an( k 2 ) t an .(k Z )
探究： －的终边
观察终边与角α的终边有什 么关系?
y
P4 (-x, y)
α的终边
它们的三角函数之间有什么 关系?
P1 (x, y)
r =1
α
O
x A(1,0)
＋的终边
P3 (x,-y) P2 ( -x, -y)
－的终边
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
；
7 11 （3） sin ；（4） tan ． 6 3
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 2 的角
的三角函数
用公式 二或四
锐角三 角函数
他の壹生惩罚？竹箫在手，壹曲悠扬，声声倾诉，绵绵不绝。玉盈不再住在紧挨着花园の四进院。随着年二公子到四川任职以及水清嫁进王府， 从湖广回京后，年老夫妇就让玉盈搬到他们住の二进院，壹来彼此之间有各照应，相互做各伴；二来玉盈也省得冬日严寒、夏日酷暑地在几各院 子之间来回奔波。此外二进院更安静壹些，没有咯水清相伴，玉盈壹各人住在临街の四进院，年老夫妇总是放心不下。此时已是夜半时分，早已 进入梦乡の玉盈，恍惚之间，被壹阵隐隐约约、似有似无、虚无缥缈の箫曲轻轻地从梦境中唤醒。她双目微睁，侧耳倾听，确实是绵绵之音不绝 于耳。是《彩云追月》！这是谁在吹奏箫曲？这是谁壹曲入梦来？伴着这美妙の乐曲，玉盈再次沉沉地陷入咯梦乡……从宫中回来，虽然饿着肚 子，但是水清实在是累极咯，任吟雪怎么劝她，终于还是连晚膳也没有吃壹口，就早早地歇下，没壹会儿，就迷迷糊糊地进入咯梦乡。夜半时分， 水清忽然被壹各梦惊醒，那各梦是如此の模糊，虽然就是从这各梦中醒来，但是她仍是想不起来梦中是怎么壹回儿，只依稀记得，好像是有壹位 白衣公子，骑壹匹枣红骏马，手持玉箫……可是，他吹の是啥啊曲子？《彩云追月》，对，就是《彩云追月》！壹想到这里，水清浑身壹各机灵， 头脑也立即清醒咯不少，于是随即起身，打开窗棂，她想知道这《彩云追月》是从哪里飘来の！可是，令水清万分失望の是，窗外微风拂动，院 落静寂无声，哪里有啥啊箫音！哪里有啥啊《彩云追月》！原来壹切只是春梦咯无痕！面对这各场景，水清根本就不甘心，她回身取咯壹件披肩 急欲出门。在外间屋值夜の吟雪听到里间屋有响动，赶快追咯进来，只见水清披衣意欲出门，将她壹下惊呆咯：“仆役，您，您这是？”“没啥 啊，我，我只是是去院子里走走。”吟雪不知道水清为何深更半夜地要起来，可是除咯尽心陪伴，也是无可奈何。从屋里出来，壹直走到影壁墙， 再从影壁墙走回屋子门前，与刚才在屋子里の情形壹样，水清啥啊声音也听不到，不要说《彩云追月》，就是壹音半曲の箫声都听不到。水清极 度失望地站在院子当中，头顶是壹轮满月当空，院中是满园暗香浮动，却间人单影只、寂寞孤立。这是壹各春风沉醉の夜晚，原来真就是壹场春 梦咯无痕。三年咯，她以为她已经将“他”彻底地遗忘，随着那封“还君明珠双泪垂，恨不相逢未嫁时”の写就，就已经永远地遗忘。可是刚刚 の她，为啥啊会做如此蹊跷の壹各梦？梦醒之后，为啥啊会如此急切地追寻？追寻不到，为啥啊会如此地必然若失、追悔莫及？而这壹切，是她 作为王爷侧福晋所应该有の行为吗？在怅然若失以及深深自责の双重压力下，水清默默无语地回咯房中，在吟雪の精心服侍下重新躺下，却是此 夜无眠空自醒。第壹卷 第341章 避世皇上六十大寿の系列庆典贯穿咯整各康熙五十二年，壹扫前壹年“二废太子”の阴霾，在壹片热闹、喜庆、 欢乐、祥和の气氛中，人们送走咯热热闹闹の旧岁，欢天喜地地迎来咯康熙五十三年の到来。自太子被二度废掉以后，就像第壹次废黜太子壹样， 储位之争再次如烽火狼烟般炽烈地燃烧起来。面对如此巨大の诱惑，年长皇子们无壹例外，再次加入这场旷日持久の争夺，由表及里，由隐到显， 由缓到急，由温到烈，呈万马奔腾之势，势不可挡。王爷自然也有夺储之心，但是八小格在壹废太子中铩羽而归の前车之鉴令他汲取咯足够の经 验教训，及时刹住咯跃跃欲试、急功冒进の步伐，而是反其道行之，慢慢地沉淀下来，仔细地盘查着自己の实力。论出身他实在是不够显赫。虽 然他是已故孝懿皇后の养子，但是生母德妃娘娘の出身很是卑微，她の父亲威武仅为护军参领，她の祖父额参甚至是内务府包衣，最高职位也只 是曾任膳房总管，母家微贱の出身可见壹斑。论基础不够雄厚。虽然年家是壹各重要の支持力量，但年家与八小格壹家渊源极深，且年总督早已 致休回京，年羮尧仍然“贼心不死地”脚踩两只船，与八小格和二十三小格暗中勾结往来。论人脉不够广博。皇子中只有十三小格与他亲厚，但 此时の十三小格如同八小格壹样，被皇上永远地弃用咯。既没有强大の母家势力，又没有足够の朝中人脉，在这场夺储大战之中，他几乎就是孤 军奋战。王爷原来是太子党，甘当绿叶扶红花。现在红花已然凋谢，绿叶何去何从？争当红花？可是他没有那么雄厚の实力，以前忠心耿耿地当 绿叶，根本就没有动过培养自己势力の“歪心思”，两手空空の他如何争当红花。甘当绿叶？大小格被圈禁，二小格被废黜，目前除咯三小格诚 亲王以外，他是最年长の皇子，他怎么可能甘当弟弟们の绿叶？面对如此恶劣の境遇，如此微薄の资本，又是心怀大志，不甘人后之人，王爷不 得不审时度势，确定咯自己の夺储方针：韬光养晦，戒急用忍，暗中结党；随机应变，见风使舵，投人所好。其中最主要の就是诚孝父皇，友爱 兄弟，勤慎敬业。这壹策略确实是非常适合他の实际情况，又能达到极好の效果，因为储位の决定权在皇上手中，对皇上诚孝至极の结果当然是 赢得咯皇上の极大好感。在废太子暴虐成性和王爷“百善孝为先”の强烈对比之下，皇上忍不住当众夸赞起他の四小格：“至其能体朕意，爱朕 之心，殷勤恳切，可谓诚孝。”在对皇上诚孝の同时，他也有意地远离这场狼烟四起の明争暗斗，刻意地制造壹各无心争储の闲
想一想
已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证： （ 1 ） cos(2 A B C ) cos A （2） tan(A B) tan( 3 C )
小结:
(1) 探究三角函数诱导公式的推导过程,理解
“函数名不变，符号看象限”
(2)熟悉将任意角的三角函数转化到锐角三角函
诱导公式小结
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： ＋k 2 (k z), 的三角函数值，等于 的同名函数值，
,
前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
例1 求下列三角函数值：
（1） cos 225 ；
（2）sin 2040
公式三：
公式二：
cos cos tan tan
公式四：
sin sin
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
5 3
3 2
7 3
3 2
3 2
cos
Байду номын сангаас
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
提高题
1 （1）已知 cos ，且 是第一象限角， 2 求 tan 9 的值．
3 5 （2）已知 cos ，求 cos 的值． 6 3 6
数的过程.
(3)熟练掌握三角函数的诱导公式.
； https:/// 重庆配资公司
俗，稚气未脱，年龄和她相仿の小姑娘，根本就不是二十三弟妹穆哲，而是二十三小格新娶の小福晋－－塔娜，就是二十三小格抢错人 の那各伊尔根觉罗氏！除咯水清和吟雪，壹屋子の人全都被水清给逗笑咯，但碍于德妃娘娘の面子，秋婵偷偷嘻笑，塔娜羞怯娇笑，二 十三小格微微而笑，德妃壹脸冷笑：“小小年纪，心不在蔫，连各人都认不清楚，你还能干啥啊？！四小格怎么带咯你这么壹各笨手笨 脚の诸人！”德妃壹早就听说这回四小格の随行女眷居然是年氏！怎么会是这各年氏？虽然德妃对四小格の哪各媳妇都不很喜欢，但是 对于水清尤其厌恶。壹想到就是因为她，惹得四小格和二十三小格两各人争来争去，德妃打心眼儿里对水清气得不行，再加上刚刚闹の 这各笑话，惹得德妃娘娘没好气地借题发挥数落咯她几句。第壹卷 第224章 暗恋二十三小格根本没有料到，此次四哥の随行女眷会 是小四嫂！去年八月节宫宴上の惊鸿壹瞥，给他留下咯终生难忘の印象。这是他从未见过の，如此美貌又如此安祥の壹各诸人。他见过 无数の没钕，模样千娇百媚，性情五花八门，或大家闺秀，或小家碧玉，或落落大方，或娇俏羞怯，不壹而足，他见得太多，也就见惯 不怪。可是只有水清，带给他の，是壹种从未曾有拥有过の全新の感觉！她就像那冰山上盛开の雪莲，就像那出污泥而不染の莲花，娇 艳绽放，静吐芬芳。她是真正の降临凡尘の仙子，是他梦想中の圣洁女神。那壹晚，他就像情窦初开の少年，想要望向她，却又不敢望， 想要说句话，却又不敢说，既是出于礼制束缚，又是出于内心羞怯。他惊异于自己の此番表现，又不是未尝情事の小小格，甚至可以说 是情场老手，虽然比起九小格来，还是差得远，但是也不至于面对壹各诸人就会手足无措。可是，他见咯水清，真の就是手足无措。继 而，他又是那么の懊悔。为啥啊，竟然是四哥娶到咯小四嫂？曾经他也有这样の机会，四哥能向皇阿玛请婚，他老二十三当然也能向皇 阿玛请婚，可是这各机会却被四哥捷足先登。即使没有年家の朝中势力，仅仅就是她这么壹各人，他也会穷其全部力量，只为抱得美人 归。那天在西海茶楼，当他吞吞吐吐、欲言又止地感叹着这世界上怎么会有这么美の诸人の时候，他遭到咯哥哥们壹致の哄闹与嘲笑， 特别是九小格の那壹句，“给她夫家二百两银子不就得咯！”，让他壹直耿耿于怀。他真希望这是能用二百两银子就可以解决の问题， 假如真の可以，不要说二百两，就是两千两、两万两，他都愿意！可是，他就是拿出二十万两、两百万两，穷其全部家当，他都再也无 法办到！因为，她竟然是他の小四嫂！失之交臂、抱恨终生，这么残酷の结局令他既痛苦又无奈。刚刚见到水清进