相似三角形常用模型及应用

相似三角形模型及应用相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，结论：AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DEAC AB BC== 图③双A 字型，结论：DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）IH G FED CB AGFEDC BAEDCB A ED C BA图① 图② 图③ 图④8字型图①8字型，结论：AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD ==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF =，图④A 8字型，结论：111AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△EFD C BA F ED C BAOD C BAODC BAGFED CB A图① 图② 图③ 图④ 图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DC B AE DC BAEDCBAC60°F E DCB AFED CB A图① 图② 图③ 图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BDAC CD= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅D C BD BA CAEDCB AD C B A梅涅劳斯型常用辅助线G FEDCBAGFEDCBA G FE DC B ADEFCBA考点一相似三角形【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA中考满分必做题【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得A P B B P C C P A ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB =________．PCBA【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE= PEDCBA【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证：3EF DE =.F NMED CBA考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比 【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。

甲设计的方案如图①所示，乙设计的方案如图②所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）【例8】 ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S .HGF E D CB AD MFECBA②①GF E D CB AF E D C BA【例9】 如图，已知ABC ∆中，51145AC AB BC ===，，，四边形DEGF 为正方形，其中D E ，在边AC BC ，上，F G ，在AB 上，求正方形的边长． GFEDCBA【例10】 如图，已知ABC ∆中，四边形DEGF 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB 上，如果1ADF CDE S S ∆∆==，3BEG S ∆=，求ABC ∆的面积．GFEDCBA【例11】 如图，在ABC ∆中，5AB =，3BC =，4AC =，动点E （与点A ，C 不重合）在AC 边上，EF ∥AB 交BC 于F 点．（1）当ECF ∆的面积与四边形EABF 的面积相等时，求CE 的长． （2）当ECF ∆的周长与四边形EABF 的周长相等时，求CE 的长．（3）试问在AB 上是否存在点P ，使得EFP ∆为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF 的长．F E CBA考点四：与平行四边形有关的相似问题【例12】 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是___________．EFGDC AB【例13】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.DOECB A【例14】 如图，ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值．OFE DCBA【例15】 如图：矩形ABCD 的面积是36，在AB AD ，边上分别取点E F ，，使得3AE EB =，2DF AF =，且DE 与CF 的交点为点O ，求FOD ∆的面积。

KA B EFOEDCB A【例16】 如图，已知在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连接FC （AB AE >）.（1）AEF ∆与ECF ∆是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设ABk BC=是否存在这样的k 值，使得AEF ∆∽BCF ∆，若存在，证明你的结论并求出k 值；若不存在，说明理由.FEDCB A考点五 与梯形有关的相似问题【例17】 如图，梯形ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为22p q ，，则梯形的面积是（ ）q 2p 2OAB CDA ．()222p q+B ．()2p q +C ．22p q pq ++D ．222222p q P q p q +++【例18】 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，两条对角线AC 、BD 相交于O ，若:1:9AOD COB S S =△△，那么:BOC DOC S S =△△________．OAB CD【例19】 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，,4CD =，若E F B C∥，且梯形AEFD与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长．F E DCBA【例20】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长.FEMDCBA【例21】 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长．OQ PBF CDE A【例22】 如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，AB a =,AD b =,2BC b =（a b >）,DE DC ⊥,DE交AB 于点E ，连接EC .（1）判断DCE ∆与ADE ∆，DCE ∆与BCE ∆是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出a 、b 满足什么关系时，它们就能相似.EDCBA考点六：相似三角形与实际问题☞考点说明：常见的题型如测量树高、楼高，或者路灯下影子长度等问题【例23】小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米。

已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为_____米【例24】如图，王华同学晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，他继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ） A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米考点七：位似FE C DBA☞考点说明:位似可以考察作图题，也可以填空题的形式展现，但是难度相对较简单【例25】如图，ABC ∆与'''A B C ∆的位似中心为点O ，若2AB =，''5A B =，则ABC ∆与'''A B C ∆的面积比是________，AC 与''A C 的比是__________【例26】作一个多边形的位似图形，若相似比已知，下列说法中错误的是（ ）A.位似中心可以是多边形的一个顶点B.位似中心可以任意选取C.所作出位似图形的大小与位似中心的位置无关D.所作出位似图形的大小与位似中心的位置有关【例27】如图是由边长为1个单位的小正方形组成的88⨯正方形网格，O 为一个定点，在网格中画出一个直角三角形，要求满足满足下列条件：三个顶点都是小正方形的顶点，O 是一条直角边的中点，斜边长5，且以O 为位似中心，相似比为3的位似图形也在正方形网格内，这样的三角形能画出几个？O O O O O考点八：“旋转相似三角形”模型☞考点说明：此模型结合了相似与旋转的知识，在很多的几何综合问题中都能看到它的影子，因此也是非常重要的相似基本模型【例28】如图，在ABC ∆和ADE ∆中，BAD CAE ∠=，ABC ADE ∠=∠（1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线） （2）请分别说明两对三角形相似的理由C'B'A'C BA OCE DBA【例29】我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：________ （2）如图（1），在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC BD ⊥，垂足为O ． 求证：2222AD BC AB DC +=+，即四边形ABCD 是等平方和四边形． 证明：⑶如果将图（1）中的AOD ∆绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）后得到图（2），那么四边形ABCD 能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由． 证明：ODCBAABC DO.【例30】如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．图3图2图1ABCEFG DHO A BCE FGDG FEDCBA（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB a =，BC b =，CE ka =，CG kb =（a b ≠，0k >），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．.图6图5图4A BCDEF G OH A BC DEFGGFEDC BA（3）在第（2）题图5中，连结DG 、BE ，且3a =，2b =，12k =，求22BE DG +的值．考点九：“双垂直”模型☞考点说明:射影定理图形，虽然在考纲中并没有要求射影定理，但是还是建议学生熟练掌握，为顺利结题提供方法和思路，以及它的变形【例31】如图，直角ABC △中，AB AC ⊥，AD BC ⊥证明：2AB BD BC =⋅，2AC CD BC =⋅，2AD BD CD =⋅．【例32】如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点D 在AC 上，BD AD =，M 是AB 的中点，ME AC ⊥于E ，点P是ME 的中点，连接DP ．求证：BE DP ⊥．DCBABCPMEDCBA.考点十：“一线三等角”模型☞考点说明：一线三等角模型也是相似三角形中常见的图形之一 【例33】如图，90B D ACE ∠=∠=∠=︒，求证：AB DE BC CD ⋅=⋅【例34】如图，等边ABC ∆的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=︒，则CD 的长为（ ）A.32B.23C.12D.34ECDBAPABCD。