2019最新华师大版八年级数学上册等腰三角形练习题试题(试卷)
华师大版-数学-八年级上册-《等腰三角形》分层练习
13.3 等腰三角形一、基础巩固题1.等腰三角形的________、_________、_________三线合一.2.等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角是________.3.在△ABC中,AB=AC,∠B=80°,则∠A=_____°.4.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,D为垂足,则∠BAD=_____°.5.在△ABC中,∠A=100°,∠B=40°,试判断△ABC是______三角形.6.下列说法错误的是( )A.等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴；B.等腰三角形底边上的中线所在直线是它的对称轴；C.等腰三角形顶角的平分线所在直线是它的对称轴；D.等腰三角形的一内角平分线所在直线是它的对称轴.7.下列判断不正确的是( )A.等腰三角形的两底角相等；B.等腰三角形的两腰相等；C.等边三角形的三个内角都是60°；D.两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形.8.等腰三角形的一个顶角为150°,则它的底角为( )A.30°B.15°C.30°或15°D.50°二、强化提高题9.等腰三角形的一个角是110°,则它的底角为_______°.10.等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰边长为_ ____cm.11.等腰三角形的一边长是2cm,另一边长是4cm,则底边长为______cm.12.如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠FEM=______.13.等腰三角形的两边长分别为2和7,则它的周长是( )A.9B.11C.16D.11或1614.下列结论错误的是( )A .等腰三角形的底角必为锐角；B.等腰三角形的底角等于顶角的一半C.等腰三角形的腰一定大于底边的一半D.等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半12题NMEFCBADA15.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC, CE 平分∠ACB,CE 交BD 于点O,那么图中的等腰三角形 共有( )个.A.4B.6C.7D.816.如图,已知AB=AC,D 是AB 上一点,DE ⊥BC 于E,ED 的延长线交CA 的延长线于F,那么△ADF 是等腰三角形吗?为什么?三、 课外延伸题17.等腰三角形的底边长为10,则腰长m 的取值范围是_________. 18.等腰三角形的周长为12,则腰长a 的取值范围是( ) A.a>6 B.a<3 C.4<a<7 D.3<a<619.已知:如图,BD 是等边△ABC 一边上的高,延长BC 至E,使CE=CD. (1)试比较BD 与DE 的大小关系,并说明理由;(2)若将BD 改为△ABC 的角平分线或中线,能否得出同样的结论?19题ECBAD四、中考模拟题20.如果以5cm 长为等腰三角形的一边,另一边为10cm,则它的周长应为_____.21.如图,在△ABC 中,已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F,过点F 作DE ∥BC 交 AB 于D,交AC 于E,若BD+CE=9,求线段DE 的长.21题E FCBAD16题EFCBA D参考答案。
华师大版初中数学八年级上册专题训练13.3 等腰三角形(含答案)
13.3 等腰三角形专题一 与等腰三角形有关的探究题1. 设a 、b 、c 是三角形的三边长，且ca bc ab c b a ++=++222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个 2. 如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3……在射线 OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4……均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2013B 2013A 2014 的边长为（ ）201220133. 如图,在△AB 1A 中, ∠B ＝20°,AB ＝1A B ，在1A B 上取一点C,延长1AA 到2A ,使得12A A ＝1A C ; 在2A C 上取一点D,延长12A A 到3A ,使得23A A ＝2A D ;……，按此做法进行下去,求∠n A 的度数.4. 如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．（1）试说明△COD是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．5. 如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．专题二等腰（边）三角形中的动点问题6. 已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论.测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______.7. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE 是等腰三角形．8. 阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12AB•h，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____．若不存在，请说明理由．状元笔记[知识要点]1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；（2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分重合（简称为“三线合一”）；（3）等腰三角形的两底角相等（简称“等角对等边”）．2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°．3．等腰三角形的判定：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”．（2）三个角都是60°的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【方法技巧】1．等边对等角或等角对等边必须在同一个三角形中．2．判断一个三角形的形状一般要考虑：①等腰三角形；②直角三角形；③等边三角形；④等腰直角三角形．3．“等边对等角”和“等角对等边”成为今后证明角或边相等又一新方法．参考答案1. C 【解析】 由ca bc ab c b a ++=++222得：222()()()0a b b c a c -+-+-=，所以000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，所以a b c ==，所以②、③是真命题，故选C. 2. C 【解析】 ∵△A 1B 1A 2是等边三角形， ∴A 1B 1=A 2B 1，∠1=60°. ∵∠MON=30°， ∴∠2=30°=∠MON ， ∴A 1B 1 =OA 1=1= A 1A 2.同理可证：A 2B 2 =OA 2 =2，A 2A 3=OA 2 =2，A 3A 4=OA 3 =4=22，A 4A 5=OA 4 =8=32. 以此类推：A 2013B 2013A 2014=22012． 故选C ．3. 解：如图，在△AB 1A 中， ∵∠B ＝20°,AB ＝1A B ， ∴∠1AA B ＝80°. 在△12A A C 中， ∵12A A ＝1A C ，∴∠12A A C ＝112AA B ∠＝1802⨯＝211802-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝40°. 在△23A A D 中, ∵23A A ＝2A D ,∴∠23A A D ＝1212A A C ∠＝118022⨯⨯＝311802-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝20°. 依此类推, 得∠n A 的度数为11802n -⎛⎫⎪⎝⎭.故∠n A 的度数为1n-11808022n -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或.4. 解：（1）∵△AOC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转90°得△BDC ， ∴∠OCD=90°，CO=CD ， ∴△COD 是等腰直角三角形；（2）△BOD 为等腰三角形． 理由如下：∵△COD 是等腰直角三角形， ∴∠COD=∠CDO=45°，而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，∠BDO=95°-45°=50°， ∴∠OBD=180°-80°-50°=50°． ∴△BOD 为等腰三角形． 5. 解：（1）△ODE 是等边三角形， 其理由是：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°， ∴△ODE 是等边三角形； （2）BD=DE=EC ，其理由是： ∵OB 平分∠ABC ，且∠ABC=60°， ∴∠ABO=∠OBD=30°， ∵OD ∥AB ，∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB ， ∴DB=DO ， 同理可证EC=EO. ∵DE=OD=OE ， ∴BD=DE=EC ． 6. 60°，60°，60°.证明: ∵BM=CN ；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.ΔABM ≌ΔBCN(SAS),∠BAM=∠CBN;8. 解：（1）证明：连结AP ，BP ，CP.则=ABC BPC APC APB S S S S ++△△△△，即12311112222BC h BC r AC r AB r ⋅=⋅+⋅+⋅， ∵AB=BC=AC ，∴r 1+r 2+r 3=h （定值）． （2）存在；2.。
华东师大版八年级数学上册练习：13.3 等腰三角形-全国
华东师大版八年级数学上册练习：13.3 等腰三角形-全国填空题在等腰三角形中，已知顶角为底角度数的4倍，则顶角等于__________ ,【答案】120°【解析】根据等腰三角形的两底角相等，设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，利用三角形的内角和定理即可求得x的值，进而求得顶角的度数．设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，则有x+x+4x=180．解得：x=30，则顶角是：4×30°=120°，故答案是：120°．填空题等边三角形的周长是30厘米，则边长为_______.【答案】10厘米【解析】根据等边三角形的三边长相等即可求得答案.30÷3=10（厘米）答：它的边长是10厘米．故答案为：10厘米．填空题等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______________ 【答案】50°或80°【解析】试题分析：当这个外角是顶角的外角时，则这个顶角的度数为50°；当这个外角是底角的外角时，则这个底角的度数为50°，顶角的度数为80°.填空题△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC= 50cm，AB+BD+DA =40cm，那么AD=_____,【答案】15cm【解析】由AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，根据等腰三角形的两腰相等以及等腰三角形的三线合一，可以把已知条件转换为含有两个未知量的方程组，再进行求解即可．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴AB+BD=AC+DC，又∵AB+BC+AC=50cm，即AB+BD+CD+AC=50cm，∴AB+BD=25cm，∵AB+BD+AD=40cm，即25+AD=40cm，∴AD=15cm，故答案为：15cm.（略）填空题如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAD＝4∶1，则∠B＝____.（略）【答案】40°【解析】首先设∠B=x°，根据题意得出∠DAB和∠CAD的度数，最后根据∠CAB+∠B=90°列出方程得出答案．设∠B=x°，则∠DAB=x°，∵∠BAD∶∠CAD＝4∶1，∴∠CAD=（略），∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°，即x+x+（略）=90，解得：x=40，即∠B=40°．填空题如图，∠AOB内一点P，分别画出P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为__________ cm .（略）【答案】5【解析】由P与P1关于OA对称，得到OA为线段PP1的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得MP=MP1，同理可得NP=NP2，由P1P2=P1M+MN+NP2=5，等量代换可求得三角形PMN的周长．∵P、P1,P、P2关于OA、OB对称∴PM=P1M,PN=P2N∴△PMN的周长=P1P2∴△PMN的周长是5cm.填空题已知AB垂直平分CD，AC=6cm,BD=4cm，则四边形ADBC的周长是____________．（略）【答案】20cm【解析】根据线段垂直平分线的性质可得CB=BD，AC=AD，再利用四边形的周长公式进行求解即可.∵AB垂直平分CD，∴CB=BD，AC=DA，而BD=4cm，AC=6cm，∴CB=4cm，AD=6cm，∴四边形ADBC的周长=AC+AD+BD+BC=6+6+4+4=20（cm），故答案为：20cm．填空题如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB=_______。
华师大版初中数学八年级上册《13.3 等腰三角形》同步练习卷(含答案解析
华师大新版八年级上学期《13.3 等腰三角形》同步练习卷一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，若∠BAD=36°，则∠C的大小为（）A．36°B．38°C．40°D．42°2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB=130°，则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．35°3．若等腰三角形的两边长分别是6cm和4cm，则等腰三角形的周长是（）A．16cm B．14cm C．16cm或14cm D．无法确定4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（）A．36°B．54°C．72°或36°D．54°或126°5．等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（）A．20B．22C．20或22D．不确定6．某等腰三角形的周长为25，其中一边长为9，则等腰三角形底边长为（）A．9B．7C．9或7D．以上均不对7．如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论正确的是（）A．EF=ED B．FD=BC C．EC=MF D．EC=AG8．等腰三角形的一个外角是140°，则其底角是（）A．40°B．70°或40°C．70°D．140°9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠DBC等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°10．如图，在第一个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的底角的度数为（）A．5°B．10°C．175°D．170°11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个12．已知A（0，﹣1）、B（1，0）是平面直角坐标系中的两点，且点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A．4个B．5个C．7个D．8个13．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．1个B．3个C．5个D．无数多个14．如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4B．6C．8D．1015．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3=60°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．270°D．360°16．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状17．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．解答题（共22小题）18．已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE=DF？并给出证明；（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．19．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，求BF的长．20．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=，∠CDE=；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．21．如图，AB∥CD，点E、N在AB上，点F在CD上，∠EFD的平分线FM交AB 于点G，且GM=GN，若∠EFC=112°，求∠M的度数．22．如图①，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE=∠AED．（1）试说明∠BAD=2∠CDE；（2）如图②，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．23．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）如图①，若∠B=∠C=30°，∠BAD=70°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=70°，∠CDE=15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系，并说明理由．24．已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE=DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．25．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．（1）试猜想线段AR与AQ的长度之间存在怎样的数量关系？并证明你的猜想．（2）如图（2），如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，其它条件不变，问（1）中所得的结论还成立吗？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）26．在△ABC中，AB=AC=a，AB边上的高CD=h，点P是直线BC上任意一点，过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且PE=h1，PF=h2．（1）若点P在边BC上时，h，h1，h2三者关系如何？请予以证明；（2）若点P在BC或CB的延长线上时，h，h1，h2三者关系又如何（直接写出结论，不需证明）（3）若点P是直线BC上的点，h1=5，h=8，求h2的值．27．如图1，已知△ABC中，AB=AC，点D是△ABC外的一点（与点A分别在直线BC的两侧），且DB=DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD 交BC于点F．（1）求证：AD垂直平分BC；（2）请从A，B两题中任选一题作答，我选择题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE=AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．28．操作发现将一副直角三角板如图（1）摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图1中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上．AC与BD交于点O，连接CD，如图2．（1）若DF=4，求BF的长；（2）求证：△CDO是等腰三角形．29．如图，在△ABC中，∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．求证：△ABC是等腰三角形．30．如图，已知CD平分∠ACB，DE∥BC，说明△EDC是等腰三角形的理由．根据解题的要求，填写适当的内容或理由．解：∵DE∥BC （已知）∴（两直线平行，内错角相等）又（已知）∴∠ACD=∠BCD （）∴∠EDC=∠ACB∴DE=EC（）∴△EDC是等腰三角形．31．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠MAC和∠ABC的平分线AD、BD相交于点D，试说明△ABD是等腰三角形的理由．32．如图，在△ABC中，AB=AC，D在边AC上，且BD=DA=BC．（1）如图1，填空∠A=°，∠C=°．（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．①求证：△BNE是等腰三角形；②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．33．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．34．如图，等边△ABC中，AB=6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE=CD，DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：BF=EF；（3）求△BDE的面积．35．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．36．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）37．如图，已知等边△ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为4，求BH的长．38．（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．指出图中的等腰三角形，并说明理由．（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF=BE+CF．39．已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）如图1，求证：BE=DE．（2）如图2，在过点D作DF∥AB，连接EF，过点E作EG⊥BC，若EG=3，BF=5，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积等于的所有三角形．三．填空题（共3小题）40．如图，由九个等边三角形组成的一个六边形ABCDEF，当图中最小的等边三角形的边长为1cm时，这个六边形ABCDEF的周长为cm．41．如图，把面积为1的正三角形ABC的各边依次循环延长一倍，顺次连接这三条线段的外端点，这样操作后，可以得到一个新的正三角形DEF；对新三角形重复上述过程，经过2017次操作后，所得正三角形的面积是．42．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=15°，CD是AB边上的高，则CD=．华师大新版八年级上学期《13.3 等腰三角形》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，若∠BAD=36°，则∠C的大小为（）A．36°B．38°C．40°D．42°【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解．【解答】解：∵∠BAD=36°，AB=AD=DC，∴∠ABD=∠ADB=72°，又∵AD=DC，∴∠C=∠CAD=∠ADB=36°．故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解．2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB=130°，则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】设∠BAC=x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．【解答】解：设∠BAC=x，∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣x），∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，∴∠ABD=（180°﹣x），∠DAB=x，∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，∴（180°﹣x）+x+130°=180°，∴x=20°．故选：A．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．3．若等腰三角形的两边长分别是6cm和4cm，则等腰三角形的周长是（）A．16cm B．14cm C．16cm或14cm D．无法确定【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6cm时，②当腰长为4cm时，解答出即可；【解答】解：根据题意，①当腰长为6cm时，周长=6+6+4=16（cm）；②当腰长为4cm时，周长=4+4+6=14（cm）．故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质定理，本题重点是要分两种情况解答．4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（）A．36°B．54°C．72°或36°D．54°或126°【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=36°，∴∠A=54°，即顶角的度数为54°．②如图2，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=36°，∴∠BAD=54°，∴∠BAC=126°．故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．5．等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（）A．20B．22C．20或22D．不确定【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为8时，解答出即可．【解答】解：根据题意，①当腰长为6时，周长=6+6+8=20；②当腰长为8时，周长=8+8+6=22．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．6．某等腰三角形的周长为25，其中一边长为9，则等腰三角形底边长为（）A．9B．7C．9或7D．以上均不对【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是9时，则另两边是9，7．当底边是9时，另两边长是8，8，则该等腰三角形的底边为9或7，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．7．如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论正确的是（）A．EF=ED B．FD=BC C．EC=MF D．EC=AG【分析】想办法证明BF=EC，BF=FM即可解决问题；【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵DM∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴BF=EC，∵∠D=∠DBC=∠FBD，∴DF=BF，同法可证：BF=FM，∴EC=FM，故选：C．【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．等腰三角形的一个外角是140°，则其底角是（）A．40°B．70°或40°C．70°D．140°【分析】分这个外角为顶角的外角和底角的外角，分别求解即可．【解答】解：当140°为顶角的外角时，则其顶角为：40°，则其底角为：=70°，当140°为底角的外角时，则其底角为：180°﹣140°=40°．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为180°是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠DBC等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C=∠BDC，∠C=∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠C=∠BDC=75°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵从作图可知：BD=BC，∴∠C=∠BDC，∵在△ABC中，∠A=30°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=（180°﹣∠A）=75°，∴∠BDC=∠C=75°，∴∠DBC=180°﹣∠C﹣∠BDC=30°，故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能求出∠C和∠BDC 的度数是解此题的关键．10．如图，在第一个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的底角的度数为（）A．5°B．10°C．175°D．170°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A6的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A==80°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===40°；A同理可得∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠A n=，以点A4为顶点的底角为∠A5．∵∠A5==5°，故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【解答】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．2+（3﹣1）+（3﹣1）=6，∴符合条件的点有六个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．12．已知A（0，﹣1）、B（1，0）是平面直角坐标系中的两点，且点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A．4个B．5个C．7个D．8个【分析】若线段AB为腰，以点A为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点，以点B为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点；若线段AB为底边，作线段AB的垂直平分线与坐标轴有一个交点，所有与坐标轴的交点都是满足条件的C点．【解答】解：根据题意画出图形如下所示；①若等腰三角形以线段AB为腰，以点A为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点，以点B为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点；②若等腰三角形以线段AB为底边，作线段AB的垂直平分线与坐标轴有一个交点；故满足条件的C点有7个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质，分类别寻找是正确解答本题的关键，有一定难度．13．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．1个B．3个C．5个D．无数多个【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB，如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．14．如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4B．6C．8D．10【分析】延长AD，BC交于点G，根据BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，可得AB=BG，D是AG的中点，依据DE∥BG，即可得出DE是△ABG的中位线，EF是△ABC 的中位线，求得BG=2DE=6，即可得到AB=6．【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，∴∠BAD=∠G，∴AB=BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点，∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2，又∵EF=2DF，∴DF=1，∴DE=3，∴BG=2DE=6，∴AB=6，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用三角形中位线定理进行推算．15．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3=60°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．270°D．360°【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=120°．故选：B．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．16．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状【分析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．故选：B．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．17．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的判定：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，分析并作答．【解答】解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（4）推出等边三角形，（2）若每个角各取一个外角时，该结论成立．而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形的判定，利用三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形这一知识点．二．解答题（共22小题）18．已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE=DF？并给出证明；（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．【分析】（1）根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接AD，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，证明：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）CG=DE+DF证明：连接AD，=S三角形ADB+S三角形ADC，∵S三角形ABC∴AB×CG=AB×DE+AC×DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．19．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，求BF的长．=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC又S=AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．△ABC【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，△ABC=AC•BF，∵S△ABC∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．20．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=64°，∠CDE=32°；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．【分析】（1）如图①，将∠BAC=100°，∠DAC=36°代入∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，求出∠BAD．在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠ABC+∠BAD=104°，在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED=72°，那么∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=32°；（2）如图②，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，∠ADE=∠AED=．根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACB﹣∠AED=，再由∠BAD=∠BAC﹣∠DAC得到∠BAD=n﹣100°，从而得出结论∠BAD=2∠CDE；（3）如图③，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，∠ADE=∠AED=．根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACD﹣∠AED=，再由∠BAD=∠BAC+∠DAC得到∠BAD=100°+n，从而得出结论∠BAD=2∠CDE．【解答】解：（1）∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=100°﹣36°=64°．∵在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+64°=104°．∵∠DAC=36°，∠ADE=∠AED，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=104°﹣72°=32°．故答案为64°，32°；（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图②，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=．∵∠ACB=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACB﹣∠AED=40°﹣=．∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=n﹣100°，∴∠BAD=2∠CDE；（3）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ACD=140°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=．∵∠ACD=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACD﹣∠AED=140°﹣=．∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=100°+n，∴∠BAD=2∠CDE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系是解题的关键．21．如图，AB∥CD，点E、N在AB上，点F在CD上，∠EFD的平分线FM交AB 于点G，且GM=GN，若∠EFC=112°，求∠M的度数．【分析】求出∠EFD，根据角平分线定义求出∠GFD，根据平行线的性质求出∠MGN，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠EFC=112°，∴∠EFD=180°﹣112°=68°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=34°，∵AB∥CD，∴∠MGN=∠GFD=34°，∵GM=GN，∴∠M=∠MNG=×（180°﹣∠MGN）=73°．【点评】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，能根据知识点求出∠MGN的度数是解此题的关键．22．如图①，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE=∠AED．（1）试说明∠BAD=2∠CDE；（2）如图②，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质解答即可；（2）根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵∠AED是△CDE的外角∴∠AED=∠ACB+∠CDE，∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠BAD+∠ABC，∵∠ADE=∠AED∴∠ACB+∠CDE+∠CDE=∠BAD+∠ABC，∵∠ABC=∠ACB，∴∠BAD=2∠CDE；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵∠ACB是△CDE的外角∴∠ACB=∠AED+∠CDE，∵∠ABC是△ABD的外角∴∠ABC=∠ADB+∠BAD，∵∠ABC=∠ACB，∴∠AED+∠CDE=∠ADB+∠BAD，∵∠AED=∠ADE=∠CDE+∠ADB∴∠CDE+∠ADB+∠CDE=∠ADB+∠BAD∴∠BAD=2∠CDE．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质解答即可．23．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC 上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）如图①，若∠B=∠C=30°，∠BAD=70°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=70°，∠CDE=15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=120°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=70°﹣15°=55°，于是得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=x°+α③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∵∠BAD=70°，∴∠DAE=50°，∴∠ADE=∠AED=65°，∴∠CDE=180°﹣50°﹣30°﹣65°=35°；（2）∵∠ACB=70°，∠CDE=15°，∴∠E=70°﹣15°=55°，∴∠ADE=∠AED=55°，∴∠ADC=40°，∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=70°，∴∠BAD=30°；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=x°+α∴，∴2α=β，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=x°﹣α∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．24．已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE=DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．（1）根据SAS证明△ADE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得DE=DF；【分析】（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可证明DM=DN．再分一、当M与E重合时，N就一定与F重合．二、当M落在C、E之间时，N 就一定落在B、F之间．三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．三种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）∵EF∥AB．∴∠FEC=∠A=30°．∠EFC=∠B=30°∴EC=CF．又∵AC=BC∴AE=BFD是AB中点．∴DB=AD∴△ADE≌△BDF．∴DE=DF（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．∵AC=BC，∴∠A=∠B，又∵∠ACB=120°，∴∠A=∠B=（180°﹣∠ACB）÷2=30°，∴∠ADM=∠BDN=60°，∴∠MDN=180°﹣∠ADM﹣∠BDN=60°．∵AC=BC、AD=BD，∴∠ACD=∠BCD，∴DM=DN．由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：DM=DE、DN=DF，结合证得的DM=DN，得：DE=DF，但EF∥AB，不合题意．二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：∠EDM=∠EDF﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∠FDN=∠MDN﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，∴△DEM≌△DFN（ASA），∴DE=DF．三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：∠EDM=∠MDN﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∠FDN=∠EDF﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，∴△DEM≌△DFN（ASA），∴DE=DF．综上一、二、三所述，得：DE=DF．【点评】考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，注意第（2）题分三种情况讨论求解，有一定的难度．25．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．（1）试猜想线段AR与AQ的长度之间存在怎样的数量关系？并证明你的猜想．（2）如图（2），如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，其它条件不变，问（1）中所得的结论还成立吗？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，根据等角的余角相等求出∠BQP=∠PRC，再根据对顶角相等可得∠BQP=∠AQR，从而得到∠AQR=∠PRC，然后根据等角对等边证明即可；（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠C，再根据对顶角相等可得∠ABC=∠PBQ，从而得到∠C=∠PBQ，然后根据等角的余角相等求出∠Q=∠R，最后根据等角对等边证明即可．【解答】（1）解：AR=AQ．理由如下：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∵PR⊥BC，∴∠B+∠BQP=90°，∠C+∠PRC=90°，∴∠BQP=∠PRC，∵∠BQP=∠AQR（对顶角相等），∴∠AQR=∠PRC，∴AR=AQ；。
华师大版-数学-八年级上册-等腰三角形考题大放送
等腰三角形考题大放送等腰三角形是初中数学的一个重要内容，也是中考经常考查的知识点.下面以中考试题为例介绍有关等腰三角形在中考中的考查． 一、分类讨论题例1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_______.分析：若6作底边，则另两边长为5，5，则它的周长等于16，若6作腰长，则另两边长为6，5，则它的周长等于17． 二、折叠题例2、有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图1）依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（ ） A 、21 B 、41 C 、81 D 、161分析：将原等腰直角三角形折叠四次后，边长是原等腰直角三角形的41，所以小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的41，选B 三、求等腰三角形的面积例3、底角为15°，腰长为a 的等腰三角形的面积是_______ 分析：作腰的高可知高为21a ，则等腰三角形的面积是41a 2. 四、求等腰三角形的周长例4、如图2，已知在△ABC 中，AB =AC =8cm ，BC =10cm ，D 是AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于E ．求△EBC 的周长． 分析：本题主要考查等腰三角形与垂直平分线的性质因为D 是AB 的中点，DE ⊥AB ， 所以DE 垂直平分AB ，AE =BE ， 又因为AB =AC =8cm ，BC =10cm.所以△EBC 的周长=BE +CE +BC =（AE +CE ）+BC =AC +BC =8+10=18cm. 五、等腰三角形的证明题图1ABCDE图2例5如图3，已知△ABC 中，AB = AC ，D 、E 分别是AB 和BC 上的点，连结DE 并延长与AC 的延长线交于点F ，若DE =EF ，求证：BD = CF证明：过D 作DG ∥AF 交BC 于G则∠F =∠GDE ，DE =EF ，∠DEG =∠FEC ∴△DGE ≌△FCE ∴GD =CF 又∵AB =AC ∴∠B =∠ACB又∵∠ACB =∠BGD ∴∠B =∠BGD ∴BD =GD 又∵GD =CF ∴BD =CF 六、等腰三角形的应用题例6、上午8时，一条船从A 出发以15海里每小时的速度向正北方向航行，10时到达B 点，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC =42°，∠NBC =84° 求B 到灯塔C 的距离．解：∵∠NBC =∠A +∠C (三角形的一个外角等于两个 不相邻的内角的和)∠NBC =84°，∠A =42°（已知） ∴∠C =42°（等式性质） ∴∠A =∠C （等量代换） ∴BC =AB （等角对等边） ∵AB =15×（10－8）=30海里 ∴BC =30海里答：从B 到灯塔C 的距离为30海里． 七、探究题例7、如图5，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称为“正度”. 在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等.设等腰三角形的底和腰分别为a ，b ，底角和顶角分别为α，β. 要求“正度”的值是非负数.同学甲认为：可用式子|a -b |来表示“正度”，|a -b |的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|α-β|来表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三ABCFD图3图4角形.探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）； （3）请再给出一种衡量“正度”的表达式.分析：（1）同学乙的方案较为合理. 因为|α-β|的值越小，α与β越接近600，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等. 同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等. 如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形与正三角形的接近程度相同，但|2-4|=2≠|4-8|=4.（2）对同学甲的方案可改为用,a b a bka kb--等（k 为正数）来表示“正度”，它的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形. 仍以边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形为例，取k=10，用|a-b|10a 来计算“正度”，则边长为4，4，2的等腰三角形的“正度”为|2-4|10×2=0.1，边长为8，8，4的等腰三角形的“正度”为|4-8|10×4 =0.1，二者相等，表明它们与正三角形的接近程度相同.（3）通过对同学乙的方案的分析，我们发现还可以从角度入手，用()()[]22000060260311206060-β+-α-β+α-β-α,,,等来表示“正度”.八、开放题例8、△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，若∠A ＝36°，则下列结论中成立的有_____________，并且证明结论的正确性． ①∠C ＝72°②BD 是∠ABC 的平分线abbααβ……图5 D N MCA图6③△BCD∽△ABC④△ABD是等腰三角形⑤△BCD的周长＝AC+BC分析：本题考查的知识点较多，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高．正确的结论有①②③④⑤详细证明请同学们自己完成．。
华师大版初中数学八年级上册《13.3 等腰三角形》同步练习卷
华师大新版八年级上学期《13.3 等腰三角形》2019年同步练习卷一．选择题（共11小题）1．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．10B．8C．6D．42．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形的个数是（）A．4个B．5个C．6个D．7个3．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE ＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3．若点P是BC边上任意一点，则AP的长不可能是（）A．7B．5.3C．4.8D．3.56．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（）A．8B．4C．12D．67．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BCD＝60°，CD是斜边AB上的高，AD＝cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．2cm D．4cm8．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元9．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，且最大的边长为2，那么最小的边长为（）A．1B．C．2D．410．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.511．等腰三角形一腰上的高与腰之比1：2，则等腰三角形顶角的度数为（）A．30°B．60°或120°C．30°或150°D．150°二．填空题（共17小题）12．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．13．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝．14．如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB n A n的边OA n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是．15．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以AB＝1为边长画正三角形，记为第1个正三角形；以BC＝2为边长画正三角形，记为第2个正三角形；以CD＝4为边长画正三角形，记为第3个正三角形；以DE＝8为边长画正三角形，记为第4个正三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第n个正三角形的面积为．16．已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB n∁n 的面积为．17．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是．①P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．18．等腰三角形ABC的面积为10，AB＝AC＝5，那么BC＝或．19．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2＝160°，∠A2C2A3＝80°，∠A3C3A4＝40°，∠A4C4A5＝20°，…．，根据上述规律请你写出∠A n+1A n∁n ＝°．（用含n的代数式表示）20．如图，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（6，0），在x轴上确定一点P，使△P AB 为一个等腰三角形，则P点的坐标可以是．21．如图，等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的动点，且AE ＝BF＝CG，当△EFG的面积恰为△ABC面积的一半时，AE的长为．22．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点P1、P2、…P2012的位置，则点P2012的横坐标为．23．如图，一只蜘蛛结了一张很大的网，直线MN、PQ与x轴所夹的锐角都为60°，第1个结点A1在原点上，此后各个结点均按逆时针排列，同一直线上相邻两个结点之间的距离都是1个单位长，那么第91个结点A91的坐标为．24．已知：在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3cm，则斜边长为．25．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为．26．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于．27．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是度．28．如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为．三．解答题（共22小题）29．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．30．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？（3）当t为何值时PQ∥BC？32．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD＝AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．33．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关系．（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）34．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．35．如图，△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？36．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．37．在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．38．如图．AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求证：BC＝DC．39．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．40．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CB＝AD，求△ABC各角的度数．41．已知：如图，在等边△ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．试说明：BD＝DE．42．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？43．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．44．如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：△EAB是等腰三角形．45．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F．求证：△ABC是等腰三角形．46．如图：已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC＝AD；②CF＝DF．47．证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：；求证：；证明过程：．48．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠A＝120°，求BC的长．49．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB．求证：∠A＝30°．50．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABD＝30°，AB＝AD，DC⊥BC于点C，若BD ＝2，求CD的长．华师大新版八年级上学期《13.3 等腰三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．10B．8C．6D．4【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC；【解答】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×12＝6，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形的个数是（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝36°，∴∠BAC＝108°，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键，难度适中．3．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A．B．C．D．【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD＝∠ABD＝90°，根据HL证两三角形全等得出∠F AD＝60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF＝ZN＝a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长．【解答】解：连接AD、DF、DB．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∵∠AFE＝∠ABC＝120°，∴∠AFD＝∠ABD＝90°，在Rt△ABD和RtAFD中∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），∴∠BAD＝∠F AD＝×120°＝60°，∴∠F AD+∠AFE＝60°+120°＝180°，∴AD∥EF，∵G、I分别为AF、DE中点，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI＝∠F AD＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM＝60°＝∠M，∴ED＝EM，同理AF＝QF，即AF＝QF＝EF＝EM，∵等边三角形QKM的边长是a，∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四边形FZNE是平行四边形，∴EF＝ZN＝a，∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证），∴∠GFZ＝30°，∴GZ＝GF＝a，同理IN＝a，∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，即第六个正六边形的边长是×a，故选：A．【点评】本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE ＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3．若点P是BC边上任意一点，则AP的长不可能是（）A．7B．5.3C．4.8D．3.5【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据题意解答．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3≤AP≤6，故选：A．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（）A．8B．4C．12D．6【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝90°；易证得∠DAC＝∠C ＝30°，即CD＝AD＝4．Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD＝2AD＝8；由此可求得BC的长．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×4＝8，∠B+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝，4∴BC＝BD+DC＝8+4＝12，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出BD和CD的长度是解决问题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BCD＝60°，CD是斜边AB上的高，AD＝cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．2cm D．4cm【分析】先求出∠ACD＝∠B＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再求出AB即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝2×＝2cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝2×2＝4cm．故选：B．【点评】本题考查了根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．8．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元【分析】如图，作BH⊥AC于H，先利用邻补角的定义得到∠ABH＝30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BH＝AB＝10，则根据三角形的面积公式可计算出三角形的面积，从而得到购买这种草皮的费用．【解答】解：如图，作BH⊥AC于H，则∠ABH＝180°﹣∠BAC＝30°，在Rt△ABH中，BH＝AB＝10，所以S△ABC＝×10×30＝150，所以购买这种草皮至少需要150a元．故选：C．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．9．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，且最大的边长为2，那么最小的边长为（）A．1B．C．2D．4【分析】先求出三角形是直角三角形，再根据含30°角的直角三角形的性质得出即可．【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，三角形的内角和等于180°，∴此三角形的三个角的度数是30°，60°，90°，即此三角形是直角三角形，∵三角形的最大的边长为2，∴三角形的最小的边长为×2＝，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键．10．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.5【分析】首先过点P作PD⊥CB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，再利用等腰三角形的性质求出CM的长．【解答】解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故选：D．【点评】此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长以及等腰三角形的性质，得出CD的长是解题关键．11．等腰三角形一腰上的高与腰之比1：2，则等腰三角形顶角的度数为（）A．30°B．60°或120°C．30°或150°D．150°【分析】当三角形为锐角三角形时，可求得其顶角为30°；当三角形为钝角三角形时，可求得顶角的邻补角为30°，可分别求得其顶角．【解答】解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，∵sin∠A＝＝，∴∠A＝30°，即△ABC的顶角为30°；当该三角形为钝角三角形时，如图2，在Rt△ABD中，∵sin∠BAD＝＝，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝150°，即△ABC的顶角为150°；综上可知该三角形的顶角为30°或150°，故选：C．【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．二．填空题（共17小题）12．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画4条．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故答案为：4．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．13．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝9．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n＝9．故答案为：9．【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB n A n的边OA n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是．【分析】由于点B1是△OBA两条中线的交点，则点B1是△OBA的重心，而△OBA是等边三角形，所以点B1也是△OBA的内心，∠BOB1＝30°，∠A1OB＝90°，由于每构造一次三角形，OB i边与OB边的夹角增加30°，所以还需要（360﹣90）÷30＝9，即一共1+9＝10次构造后等边△OB n A n的边OA n与等边△OBA的边OB第一次重合；又因为任意两个等边三角形都相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，由△OB1A1与△OBA的面积比为，求得构造出的最后一个三角形的面积．【解答】方法一：解：∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，∴点B1是△OBA的重心，也是内心，∴∠BOB1＝30°，∵△OB1A1是等边三角形，∴∠A1OB＝60°+30°＝90°，∵每构造一次三角形，OB i边与OB边的夹角增加30°，∴还需要（360﹣90）÷30＝9，即一共1+9＝10次构造后等边△OB n A n的边OA n与等边△OBA的边OB第一次重合，∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10．如图，过点B1作B1M⊥OB于点M，∵cos∠B1OM＝cos30°＝＝，∴＝＝＝，即＝，∴＝（）2＝，即S△OB1A1＝S△OBA＝，同理，可得＝（）2＝，即S△OB2A2＝S△OB1A1＝（）2＝，…，∴S△OB10A10＝S△OB9A9＝（）10＝，即构造出的最后一个三角形的面积是．故答案为．方法二：∵∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠AOB＝60°，∴每构造一次增加30°，∴n＝＝10，∵△OBA∽△OB1A1，∴⇒，∵S△OBA＝1，∴S△OB1A1＝，q＝，∴S△OB10A10＝．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度．根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出△OB1A1与△OBA的面积比为，进而总结出规律是解题的关键．15．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以AB＝1为边长画正三角形，记为第1个正三角形；以BC＝2为边长画正三角形，记为第2个正三角形；以CD＝4为边长画正三角形，记为第3个正三角形；以DE＝8为边长画正三角形，记为第4个正三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第n个正三角形的面积为×22n﹣4．【分析】先根据第1个正三角形的边长为1，第2个正三角形的边长为2，第3个正三角形的边长为4，第4个正三角形的边长为8，得出第n个正三角形的边长为2n﹣1，再根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵第1个正三角形的边长为1，1＝20，第2个正三角形的边长为2，2＝21，第3个正三角形的边长为4，4＝22，第4个正三角形的边长为8，8＝23，∴第n个正三角形的边长为2n﹣1，∴第n个正三角形的面积为：×2n﹣1×（2n﹣1×）＝×22n﹣4．故答案为×22n﹣4．【点评】本题考查了等边三角形的性质，难度适中，根据条件得出第n个正三角形的边长为2n﹣1，是解题的关键．16．已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB n∁n的面积为（）n．【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB n∁n的面积．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1＝1，AB＝2，根据勾股定理得：AB1＝，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2＝（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2＝，AB1＝，根据勾股定理得：AB2＝，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2＝（）2；依此类推，第n个等边三角形AB n∁n的面积为（）n．故答案为：（）n．【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．17．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是①②③④．①P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．【分析】首先根据角平分线上点的性质，推出①正确，然后通过求证△ARP和△ASP全等，推出②正确，再根据AQ＝PQ，推出相关角相等，通过等量代换即可得∠QP A＝∠QAR，即可推出③正确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS＝∠B，便可推出结论④．【解答】解：∵PR＝PS，PR⊥AB，PS⊥AC，∴P在∠A的平分线上，在Rt△ARP和Rt△ASP中，∵，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），∴AS＝AR，∠QAP＝∠P AR，∵AQ＝PQ，∴∠P AR＝∠QP A，∴∠QP A＝∠QAR∴QP∥AR，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠P AR＝∠QP A＝30°，∴∠PQS＝60°，在△BRP和△QSP中，∵，∴△BRP≌△QSP（AAS），∴①②③④项四个结论都正确，故答案为①②③④．【点评】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角，直角三角形的性质，平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，认真推理计算相关的等量关系．18．等腰三角形ABC的面积为10，AB＝AC＝5，那么BC＝4或2．【分析】作出图形，过点A作AD⊥BC于D，设BC＝2x，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD＝BC，然后根据勾股定理列式求出AD，再根据三角形的面积公式列式计算求出x的值，即可得解．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，设BC＝2x，则BD＝CD＝BC＝x，在Rt△ABD中，AD＝＝，S△ABC＝BC•AD＝×2x＝10，整理得，x4﹣25x2+100＝0，解得x2＝20或x2＝5，所以，x＝2或，BC＝4或2．故答案为：4；2．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理三角形的面积，解一元二次方程，综合题，但难度不大，作出图形更形象直观．19．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2＝160°，∠A2C2A3＝80°，∠A3C3A4＝40°，∠A4C4A5＝20°，…．，根据上述规律请你写出∠A n+1A n∁n＝（90﹣）°．（用含n的代数式表示）【分析】利用三角形的内角和计算，同时注意利用等腰三角形的性质．【解答】解：由张角度数变化可知顶角∠A n+1∁n A n＝，则∠A n+1A n∁n＝（180﹣）÷2＝90﹣．故答案为：（90﹣）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等．20．如图，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（6，0），在x轴上确定一点P，使△P AB 为一个等腰三角形，则P点的坐标可以是（﹣，0）或（﹣6，0）或（16，0）或（﹣4，0）．【分析】分以AB为底、AB为腰A为顶点、AB为腰B为顶点三种情况讨论即可．【解答】解：①以AB为底边时，作AB的垂直平分线交x轴于点P1，则P1A＝P1B设点P的坐标为（a，0）则a2+82＝（6﹣a）2解得：a＝﹣∴P1（﹣，0）②当以AB为腰A为顶点时，如图2，以A为圆心，以AB的长为半径作圆，交x轴于点P2，此时OB＝OP2，故p2的坐标为（﹣6，0）③以AB为腰B为顶点时，如图3，以B为圆心以BA的长为半径作圆交x轴于点P3和P4，此时BP3＝BP4＝AB＝10，∴点P3的坐标为（16，0），点P4的坐标为（﹣4，0）故答案为：（﹣，0）或（﹣6，0）或（16，0）或（﹣4，0）【点评】本题考查了等腰三角形的判定，能够分三种情况分类讨论是解题的关键．21．如图，等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的动点，且AE＝BF＝CG，当△EFG的面积恰为△ABC面积的一半时，AE的长为．【分析】可证明三个三角形AEG、BFE、CGF全等，则三角形ABC相似于三角形EFG，根据相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，即可得出三角形EFG边长，再设AE＝x，则AG＝1﹣x，过G点作AE边上的高GH，利用勾股定理求出x即可．【解答】解：∵AE＝BF＝CG，AB＝AC＝BC，∴AG＝BE＝CF，∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△AEG≌△BFE≌△CGF，∴EF＝FG＝EG，∴△ABC∽△EFG，∴（）2＝，即（）2＝，解得EF＝，∴EG＝，过G点作GH⊥AE于点H，设AE＝x，则AG＝2﹣x，∴∠AGH＝30°，AH＝AG＝（2﹣x）＝1﹣x，EH＝AE﹣AH＝x﹣（2﹣x）＝x﹣1，在Rt△AGH和Rt△EGH中，HG2＝AG2﹣AH2＝EG2﹣EH2，即（2﹣x）2﹣（1﹣x）2＝2﹣（x﹣1）2，整理得，3x2﹣6x+2＝0，解得x＝．故答案为：．。
八年级数学上册 第十三章 全等三角形 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形的性质作业 (新版)华东师大版
13.3.1等腰三角形的性质1．等腰三角形的对称轴是（）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（）A ．17cmB ．22cmC ．17cm 或22cmD ．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A ．40° B．50° C．60° D．30°4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A ．100° B．100°或40° C．40° D．80°5．如图，C.E 和B.D.F 分别在∠GAH 的两边上，且AB =BC =CD =DE =EF ，若∠A =18°， 则∠GEF 的度数是（）ED CA B HF GA ．80° B．90° C．100° D．108°6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度．7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图，△ABC 中AB =AC ，EB =BD =DC =CF ，∠A =40°，则∠EDF 的度数是___________．E D C AB F10．已知△ABC 中AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC.△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，求AD 的长．211．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，求证：∠ABC =∠ADC .DCAB 12．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD = 12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB参考答案:1．D2．B3．A4．C5．B6．60 7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合8．（90+ 12n）°9．70°10．6cm11．证明：连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC12．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形3。
初中数学八年级上册等腰三角形同步练习题(附参考答案)
八年级数学上册等腰三角形同步练习班级考号姓名总分一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个2．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（）A．2种B．3种C．4种D．6种5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C．AB=AC=2，BC=4 D．AB=3，BC=7，周长为136．下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（）A．1，2，1 B．2，2，1 C．1，3，1 D．2，2，58．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③二．填空题（共10小题）9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形，底边用了10根，则一腰至少要用_________根火柴．10．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC，则图中有_________个等腰三角形．12．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是_________．13．在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_________°时，△ABC是等腰三角形．14．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=_________度，图中有_________个等腰三角形．15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是_________．16．如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是_________三角形．17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成_________种．18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是_________三角形．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是_________．（直接写出结论，不需证明）20．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．22．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，试说明△BCD是等腰三角形．23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．（1）求证：△ABC≌△CDA．（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．附：参考答案答案：一、DCDCBABA二、9、6；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；16、等腰；17、4；18、等腰三、19、（1）证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）解：∵△ABC≌△DCB，∴∠OBC=∠OCB．∴OB=OC．∴△OBC为等腰三角形．故填等腰三角形．20、解答：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵AO平分∠BAC，∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2，∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．21解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④为条件，理由：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠DBO=∠ECO，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．22解：△ABC中∵AB=AC，∠A=36°∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠A）=72°∵CD平分∠ACB∴∠DCB=∠ACB=36°在△DBC中∠BDC=180°﹣∠B﹣∠DCB=72°=∠B∴CD=CB即△BCD是等腰三角形．23、解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA）；（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，∴△AB′C≌△ABC，∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，∴∠DAC=∠ACB′，∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，∵CB=CB′，∴△CBB′为等腰三角形；（3）△AB′O≌△CDO，理由为：证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，∴△AB′C≌△CDA，∴B′C=DA，AB′=CD，又OA=OC，∴DA﹣OA=B′C﹣OC，即OB′=OD，在△AB′O和△CDO中，，∴△AB′O≌△CDO．。
华师大版八年级数学上册等腰三角形练习题.docx
八年级上学期等腰三角形练习题命题人：梁秀芳时间：2015-11-24一、选择题1、如图1所示，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )A．40° B．35° C．25° D．20°2、如图2所示，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE=BE，DF=DC，若∠A=40°，则∠EDF的度数为( )A.45°B.60°C.70°D.80°3、已知BD是等腰△ABC的角平分线，如果∠A=80°，那么△ADB等于（）．A．900 B．750C．600D．900或750或6004、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°5、把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图3所示的图形，两条直角边在同一直线上．则图中等腰三角形有（）个.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、如图4所示，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取最小值时，则∠ECF的度数为（）A. 30°B. 22.5°C. 15°D. 45°7、如图5所示，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞68、有两边相等的三角形的两边长为3cm，7cm，则它的周长为（）A．15cm B．17cm C．13cm D．17cm或13cm9、如图6所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个 C．7个D．8个二、填空题10、如图7所示：△ABC中，⑴若AB=AC,则_______；⑵若AB=AC, ∠BAD=∠CAD,则 _________，___________；⑶若AB=AC, BD=CD,则，_____ ；⑷若AB=AC, AD⊥BC,则，。
第13章全等三角形等腰三角形的性质与判定专题练习华师大八年级上初二数学试题试卷.doc
华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形等腰三角形的性质与判定专题检测题1. 等腰三角形的两边长分别为3利6,则这个等腰三角形的周长为（）A. 12B. 15C. 12 或 15D. 182. 同学们都玩过跷跷板，如图是一跷跷板的示意图，立柱0C 与地面垂直，OA = OB,当 跷跷板的一头A 着地时，ZOAC=25°,则当跷跷板的另一头B 着地时，ZAOA ，等于（）A. 25°B. 50°C. 60°D. 130。
3. 如图，直线h 〃12，点A 在直线1】上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直A. 36°B. 54°C. 72°D. 73°4. 在等腰AABC 中，AB=AC,其周长为20 cm,则AB 边的取值范围是( )A. 1 cm<AB<4 cmB. 5 cm<AB< 10 cm5. 如图，在△ ABC 中，ZABC 和ZACB 的平分线交于点E,过点E 作MN 〃BC 交AB 于M,交AC 于N,若BM+CN = 9,则线段MN 的长为（ ）BC.若ZABC = 54°,则Z1的大小为(C. 4 cm<AB<8 cmD. 4 cm<AB< 10 cmA. 66.如图,() AC. 8 D ・9B. 7 B C(I)A. (1)(2)c. (2)(3)(4) D. (1)(3)(4)7. 如图，在厶ABC 中，AB=AC, ZA=36°, BD, CE 分别是ZABC, ZBCD 的角平分 线，则图中的等腰三角形有()B CA. 5个B. 4个C. 3个D. 2个8. 如图，D 在 AC 上，E 在 AB 上，若 AB 二AC, BC = BD, AD=DE=BE,则ZA 的度9. ___________________________________ 如图，在AABC 中，AB=AC, ZA=80°, E, F, P 分别是 AB, AC, BC 边上一 点，且 BE=BP, CP = CF,贝iJZEPF= 度.10. ____________________________________________________________ 如图，a 〃b, ZABC = 50°,若AABC 是等腰三角形，则Za= _____________________________ .(填一个 即可)11. 如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB = AC, ZA = 50°,折叠该纸片，使点A 落在12. 如图，在RtAABC 中，D, E 为斜边AB ±的两个点，且BD = BC, AE=AC,则Z B. 72° C. 45° D. 60°A. 60° 则 ZCBE = DCE 的大小为 _______ 度.13.如图，在Z\ABC中，AB = AC, BD = CD, DE丄AB, DF丄AC,垂足分别为点E, F. 求证：ABED^A CFD.14.己知：如图，在Z\ABC中，D为BC±的一点，DA平分ZEDC,且ZE=ZB, DE = DC,求证：AB=AC.15.如图，AABC中，ZABC=2ZC, AD是BC边上的高，延长AB到E使BE = BD.证明：AF=FC.答案:1—8 BACBD DAC9.5010.130。
数学华东师大版八年级上册13.3.1 等腰三角形的性质练习课件
4，则这个等腰三角形顶角度数为( C )
A．20°
B．120°
C．20°或 120° D．36°
【点拨】分情况讨论：当顶角为 x°，底角为 4x°时，解得 x＝20； 当底角为 x°，顶角为 4x°时，解得 x＝30，∴4x＝120，故选 C.
12．[中考·丹东]已知等腰三角形的一个内角为 50°，则这个等腰
18．如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，O 是 AD，BC 的交点， E 是 AB 的中点，试判断 OE 和 AB 的位置关系，并给出证明．
解：OE⊥AB. 证明：在△BAC 和△ABD 中，A∠CB＝ABCD＝，∠ABD，
AB＝BA， ∴△BAC≌△ABD，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAC＝∠OBD. 又∵AC＝BD，∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD， ∴OA＝OB. 易知 AE＝BE，∴OE⊥AB.
3．等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于__6_0_°____； 等边三角形是轴对称图形，它有___3___条对称轴．等边三角 形也称为正三角形．
பைடு நூலகம்
1．[中考·呼伦贝尔]如图，在△ABC 中，AB＝AC，过点 A 作 AD ∥BC，若∠1＝70°，则∠BAC 的大小为( A ) A．40° B．30° C．70° D．50°
(3)猜想∠EDC 与∠BAD 的数量关系(不必证明)． 解：∠EDC＝12∠BAD.
【点拨】∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C. ∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B.设∠B＝x°， 则∠DAC＝∠C＝x°，∠BAD＝180°2－x°， ∴180°2－x°＋3x°＝180°，∴x＝36，即∠B＝36°.
【答案】B
11．[中考·白城]已知：一个等腰三角形两个内角度数之比为 1 ∶
华东师大版八年级上册 13.3.1等腰三角形的性质专题练习题(无答案)
等腰三角形的性质等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形⎪⎩⎪⎨⎧等腰钝角三角形等腰直角三角形等腰锐角三角形分类等腰三角形⎪⎩⎪⎨⎧三线合一：轴对称图形等腰三角形两底角相等 等腰三角形性质例题： （分类讨论）1. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．2. 已知等腰三角形的一个内角是80°，则顶角为_________．2-1：已知等腰三角形的一个外角是140°，则顶角为_________．3、若等腰三角形的周长为13 cm ，其中一边长为3 cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．4、若等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．5、已知一个等腰三角形底边的长为5厘米，一腰上的中线把其周长分成两部分，且两部分的差为3厘米，则腰上为_________6、已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．7、若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．（方程思想）1、如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．D CB ACD BAABCE第1题图 第/2题图2、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠BAD =50°，则∠CDE =________．3、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．DB A4、如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =BD =BC ．若∠A =40°，则∠DBC =______．DC BA（两圆一线）1. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直），请在直线l上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．2.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．3、已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．典型练习：1.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=9，则线段MN的长为（）N M ECBA ．6B ．7C ．8D ．92、如图，△ABC 是等边三角形，把∠A 按如图折叠到△DEF ，求∠BDF+∠CEF3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE=BD ，连接AE,ED,CD （1）求证：AE=CD （2）若∠CAE=30°，求∠EDC 的度数4、如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．DCBAEDCBA第4题图 第5题图5、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ，∠A =100°，则∠DEC =________．6、如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD⊥BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．求证：AE=ED．7、已知AB=AC,AD=AE，求证BD=CE8、如图△BCD，△ACE都是等边三角形，求证BE=ADECBA。
八年级数学上册第十三章全等三角形13-3等腰三角形13-3-1等腰三角形的性质作业新版华东师大版
13.3.1等腰三角形的性质1．等腰三角形的对称轴是（）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（）A ．17cmB ．22cmC ．17cm 或22cmD ．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A ．40° B．50° C．60° D．30°4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A ．100° B．100°或40° C ．40° D．80°5．如图，C.E 和B.D.F 分别在∠GAH 的两边上，且AB =BC =CD =DE =EF ，若∠A =18°， 则∠GEF 的度数是（）ED CA B HF GA ．80° B．90° C．100° D．108°6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度．7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图，△ABC 中AB =AC ，EB =BD =DC =CF ，∠A =40°，则∠EDF 的度数是___________．E D C AB F10．已知△ABC 中AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC.△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，求AD 的长．11．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，求证：∠ABC =∠ADC .DCAB 12．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD = 12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB参考答案:1．D2．B3．A4．C5．B6．60 7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合8．（90+ 12n）°9．70°10．6cm11．证明：连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC12．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
华东师大初中数学八年级上册等腰三角形的判定 巩固练习(基础)
等腰三角形的判定 (基础)巩固练习【巩固练习】一.选择题1.在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.（2016秋•桐乡市期中）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：23. 等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( ) ．①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE；③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF.A．1个B．2个C．3个D．4个5. 如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）．A．2 B．4 C．6 D．126. 如图，ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）．A．4个B．5个C．6个D．7个二.填空题7.如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是三角形．8.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为12，AB=16，则△ABC的周长为________．9. 如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则四个结论正确的是．①P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.10. 如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．12.（2016•山西模拟）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A、B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有个．三.解答题13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．14. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CF=AD；（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？15.如图，在△ABC中，∠C=90°，过A点沿直线AE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的D点处，连接DC，若AE=BE，求证：△ADC是等边三角形．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确．故选D．2. 【答案】B；【解析】A、∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c=2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A =50°，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．故选B．3. 【答案】B；【解析】等边△ABC的两条高线相交于O，∠OAB＝∠OBA＝30°，故∠AOB＝120°. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确.5. 【答案】C；【解析】AE＝2DE，△ABC的面积是△CDE面积的6倍.6. 【答案】C；【解析】△ABD，△ADE，△ACE，△ABE，△ACD，△ABC为等腰三角形.二.填空题7. 【答案】等腰；【解析】解：∵所给图形是长方形，∴∠1=∠2，∵∠2=∠ABC，∴∠1=∠ABC，∴AC=BC，即△ABC为等腰三角形．故答案为：等腰．8. 【答案】28；【解析】解：由题意得：MN是线段AB的垂直平分线，则AD=BD，∵△ADC的周长为12，∴AC+CD+AD=12，∴AC+CD+DB=12，即：AC+BC=12，∵AB=16，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=12+16=28，故答案为：28．9. 【答案】①②③④；10.【答案】1；【解析】连接AO，△ABO的面积＋△ACO的面积＝△ABC的面积，所以OE＋OF＝等边三角形的高.11.【答案】10；【解析】OM ＝BM ，ON ＝CN ，∴△OMN 的周长等于BC.12.【答案】5；【解析】画出图形得：故答案为：5三.解答题13.【解析】证明：（1）∵AD ∥BC （已知），∴∠ADC=∠ECF （两直线平行，内错角相等），∵E 是CD 的中点（已知），∴DE=EC （中点的定义）．∵在△ADE 与△FCE 中，ADC ECF DE ECAED CEF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴FC=AD （全等三角形的性质）．（2）∵△ADE ≌△FCE ，∴AE=EF ，AD=CF （全等三角形的对应边相等），∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF ，∵AD=CF （已证），∴AB=BC+AD （等量代换）．14.【解析】解：当BC=6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，其理由是：∵BC=6，AD=2，AB=8，∴AB=BC+AD ．又∵CF=AD ，BC+CF=BF ，∴AB=BF ．∴△ABF 是等腰三角形，∴点B 在AF 的垂直平分线上．15.【解析】证明：根据折叠的性质：△ACE≌△ADE，AC=AD ，∠ADE=∠ACB=90°， ∵AE=BE，∴AD=BD，∴AB=2AD=2AC，∴∠B=30°，∴∠CAB=60°，∴△ADC是等边三角形．。
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八年级上学期等腰三角形练习题
命题人：梁秀芳时间：2015-11-24
一、选择题
1、如图1所示，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是()
A．40°B．35°C．25°D．20°
2、如图2所示，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且
DE=BE，DF=DC，若∠A=40°，则∠EDF的度数为( )
A.45°
B.60°
C.70°
D.80°
3、已知BD是等腰△ABC的角平分线，如果∠A=80°，那么△ADB等于（）．
A．900B．750 C．600 D．900或750或600
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）
A、60°
B、120°
C、60°或150°
D、60°或120°
图1 图2 图3
5、把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图3所示的图形，两条直角边在同一直线上．则图中等腰三角形有（）个.
A．1个B．2个C．3个D．4个
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6、如图4所示，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的
动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取最小值时，则∠ECF的度数为（）
A. 30°
B. 22.5°
C. 15°
D. 45°
7、如图5所示，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）
A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞6
8、有两边相等的三角形的两边长为3cm，7cm，则它的周长为（）
A．15cm B．17cm C．13cm D．17cm或13cm
9、如图6所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠
ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）
A．5个B．6个C．7个D．8个
图4 图5 图6
二、填空题
10、如图7所示：△ABC中，⑴若AB=AC,则_______；⑵若AB=AC, ∠BAD=
∠CAD,则_________，___________；⑶若AB=AC, BD=CD,则，_____ ；⑷若AB=AC, AD⊥BC,则，。
11、如图8所示，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=800，则∠C
的度数为______。
12、如图9所示，在△ABC中，AB＝AC，BM、CM分别是∠ABC、∠ACB的平
分线，DE经过点M，且DE//BC，则图中有 _______个等腰三角形．
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3
13、如图10所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，点D 在AC 上，BD=BC ，
则∠ABD 的度数是 _______。
14、 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为360，则该等腰三角形的底角的度数
为______。
15、如图11所示，在等腰△ABC 的两腰AB 、BC 上分别取点D 和E ，使DB=DE ，
此时恰有∠ADE=∠ACB ，则∠B 的度数是 ______。
16、如图12所示，在△ABC 中，D 、E 在BC 上，且BD=DE=AD=AE=EC ，则∠
BAC 的度数是_______。
17、等腰三角形的周长为20 cm ，一边长为6 cm ，
则底边长为__________．
18、如图13所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC
的中点，∠B=400，则∠BAD=__________． 三、解答题
19、如图14所示，已知锐角△ABC 的两条高
BD 、CE 相交于点O ，且OB=OC. （1）求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由.
图10 图11 图12
图13
图14
20、如图15所示，△ABC是边长为6cm的等边三角形，BD是中线，延长BC至
E点，使CE=CD。
求：（1）CE的长；
（2）∠E的度数。
图15
21、如图16所示，在△ABC中，AB=AC,点M、N分别在BC所在的直线上，且
AM=AN。
（1）BM=CN吗？说明理由；（2）若∠MAB=150，∠BAN=450，求：∠BAC的度数。
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图16。