2020-2021福州市高中必修二数学下期中模拟试卷附答案
2020-2021福州市高中必修二数学下期末模拟试卷带答案
2020-2021福州市高中必修二数学下期末模拟试卷带答案一、选择题1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π3．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C ．232D 33+6．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．4323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．323⎡⎢⎣⎦，C ．4323⎡⎢⎣⎭，D ．32,3⎛ ⎝⎦7．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生10．已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14 B ．14-C ．240D ．240-11．若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.14．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.16．函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.17．函数()12x f x -的定义域是__________．18．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______19．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．20．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．三、解答题21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．22．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（3）求点E 到平面ACD 的距离．23．已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.24．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .25．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的最小正周期；(2)令()1π212g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在[]0,x π∈内，方程()()212320a g x ag x ⎡⎤-+-=⎣⎦有且仅有两解，求a 的取值范围.26．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．3．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．5．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当AC BC ==时，取等号．∴12(1)122222S =⨯⨯+++⨯32+=． 故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．6．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 7．A 解析：A【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．C解析：C 【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.10．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()()366216221rr n rr rr r r nT C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．11．D【解析】 由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-，所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++，选D.点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。
2020-2021学年福建省福州一中高二(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年福建省福州一中高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={2,3，5}，B={x∈Z|x2−6x+m<0}，A∩B={3}，则A∪B=()A. {2,3，4}B. {1,2，3，4，5}C. {2,3，5}D. {2,3，4，5}2.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为()A. 38B. 27C. 28D. 373.已知三个正态分布密度函数ϕi (x)=1√2πσie−(x−μi)22σi2(x∈R,i=1,2，3)的图象如图所示，则()A. μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3B. μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3C. μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3D. μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ34.甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到不同社区的不同安排方案共有()A. 6种B. 18种C. 36种D. 72种5.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y2 4.2 4.5 4.6m且回归方程是y=0.65x+2.7，则m=()A. 5.6B. 5.3C. 5.0D. 4.76.某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召，组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁4名员工进行核酸检测，现采用抽签法决定检测顺序，在“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的条件下，员工丙第一个检测的概率为()A. 313B. 27C. 14D. 157. 某单位订阅了30份《光明日报》发给3个部门，每个部门至少发放9份报纸，问一共有多少种不同的发放方法( )A. 7B. 9C. 10D. 128. 函数f(x)满足：12e x f(x)+e x f′(x)=√x ，f(12)=√2e，则当x >0时，f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，也无极小值二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是( )附：随机变量ξ服从正态分布N(u,σ2)，则P(μ−σ<ξ<u +σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(u −3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974A. 该市学生数学成绩的期望为100B. 该市学生数学成绩的标准差为100C. 该市学生数学成绩及格率超过0.8D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等10. 若(x 2+1ax )6的展开式中，x 3的系数是−160，则( )A. a =−12B. 所有项系数之和为1C. 二项式系数之和为64D. 常数项为−32011. 某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C ，D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点个数，则( )A. 该游客至多游览一个景点的概率为14 B. P(X =2)=38 C. P(X =4)=124 D. E(X)=13612. 江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行．私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(38,72)，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(44,22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度出发，下列说法中合理的有( ) 参考数据：若Z ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z ≤μ+σ)=0.6826， P(μ−2σ<Z ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z ≤μ+3σ)=0.9974A. 若8：00出门，则开私家车不会迟到B. 若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C. 若8：06出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大D. 若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若X ～B(3,25)，则DX =______．14. 若函数f(x)=4x 2−kx −8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是______ ． 15. 已知(√x −2√x 4)n 的展开式中的二项式系数之和为256.则展开式中含x 项为______．16. 记a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则(a +b)(c +d)(e +f)为偶数的排列的个数共有______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； (2)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率．18. 福州市风景秀丽，是著名的旅游城市，很多人慕名而来旅游，牛角梳是我市的著名土特产，在我市重要景点三坊七巷有一家牛角梳店，通过在店面随机询问60名购买牛角梳的游客之前是否知道牛角梳是本市特产，得到如下列联表：(1)由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为购买牛角梳和是否事先知道牛角梳为本市特产有关系？(2)从被询问的24名事先知道牛角梳为本市特产的顾客中随机选取2名顾客，求抽到的女顾客人数的分布列及其数学期望．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)x2(k>−1)．19.已知函数f(x)=ln(1+x)−x+k+12(1)当k=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．20.射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运动．射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康．某私人靶场为了吸引游客前来练习射击，对近8年的宣传费x i和年利润y i=1，2，…，8的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x−y −w−∑(8i=1x i−x−)2∑(8i=1w i−w−)2∑(8i=1x i−x−)(y i−y−)∑(8i=1w i−w−)(y i−y−)46.6563 6.8289.8 1.61469108.8参考公式：{b̂=∑(ni=1x i−x−)(y i−y−)∑(ni=1x i−x−)2=∑x ini=1y i−nx−y−∑x i2ni=1−nx−2â=y−−b̂x−，表中w i=√x i，w−=18∑w i8i=1．(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d√x，哪一个适宜作为年利润y关于年宣传费x的回归方程，并建立y关于x的回归方程；(2)张三在射击休息之余用手机逛B站刷到了孤胆英雄机枪守大桥的视频．由此，在接下来的射击体验中，张三更换了一把型号为M249，弹夹容量为100发的机枪，但是由于子弹的质量问题，每发子弹都有110的概率为哑弹，假设每次射击的子弹相互独立且均随机，打空一个弹夹时遇到的哑弹数量为随机变量ξ.计算ξ的均值、方差以及ξ取均值时的概率(所求概率列式即可，不需计算出具体数据)．21. 设k ∈R ，函数f(x)=lnx −kx ．(1)若f(x)有零点，求实数k 的取值范围；(2)若f(x)有两个相异零点x 1，x 2，求满足lnx 1+lnx 2>a 恒成立的最大整数a ．22. 一只蚂蚁从正方形ABCD 的顶点A 出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为13，逆时针的概率为23，设蚂蚁经过n 步回到A 点的概率为p n ． (1)求p 1，p 2；(2)设经过n 步到达C 点的概率为q n ，求p n +q n 的值； (3)求p n ．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A∩B={3}，B={x∈Z|x2−6x+m<0}，∴3是x2−6x+m<0的解，2，5不是x2−6x+m<0的解，故△>0，又∵y=x2−6x+m的图象关于x=3对称，∴B={x∈Z|x2−6x+m<0}={3}，故A∪B={2,3，5}，故选：C．由A∩B={3}，B={x∈Z|x2−6x+m<0}，结合y=x2−6x+m的图象关于x=3对称知，B={x∈Z|x2−6x+m<0}={3}，从而求得．本题考查了集合的运算，难点在于确定集合B，注意到x=3是y=x2−6x+m的图象的对称轴是关键，属于中档题．2.【答案】B【解析】解：设A=“依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球”，B=“依次摸出两个小球，则在两次都摸得红球”，由已知得n(A)=C31C71=21，n(B)=C31C21=6．故所求概率为P=n(B)n(A)=621=27．故选：B．先算出先后两次摸秋，第一次红球的取法数，然后再算出两次先后都摸出红球的取法数．代入条件概率公式计算即可．本题考查条件概率的计算公式，要注意将两个事件的个数算对．属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．正态曲线关于x =μ对称，且μ越大图象越靠近右边，又有σ越小图象越瘦长，从而得到正确的结果． 【解答】解：∵正态曲线关于x =μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三个图象的均值小，且第二个曲线和第三个曲线的均值相等，即μ1<μ2=μ3， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个曲线的σ2比第三个曲线的σ3要小，即σ1=σ2<σ3 故选D ．4.【答案】D【解析】解：根据题意，分2步进行分析： ①将6人分为3组，要求甲乙不到同一组，有C 62C 42C 22A 33−12C 42=12种分组方法，②将分好的3组全排列，安排到三个社区，有A 33=6种情况， 则有12×6=72种不同的安排方法， 故选：D ．根据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲乙不到同一组，②将分好的3组全排列，安排到三个社区，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x .=2，y .=15.3+m5，∴代入回归方程y =0.65x +2.7，得m =4.7， 故选：D ．根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出m ． 本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题．6.【答案】B【解析】解：先求P(A)，设事件A 为“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”，事件B 为“员工丙第一个检测”．事件A 分两类：甲最后检测，则剩下的3名员工可以随便排序，方法数为A 33； 甲不是最后检测，则中间两个位置选1个位置为甲，然后剩下的位置除了最后一个位置，选一个位置给乙，其余的员工随便排，方法数为C 21C 21A 22，故P(A)=A 33+C 21C 21A 22A 44=14A 44，再求P(AB)，员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测，员工丙是第一个检测， 则先排丙在第一个位置，然后除了第一个位置和最后一个位置选1个位置给乙，剩下的两个员工随便排，方法数C 21A 22，故P(AB)=C 21A 22A 44=4A 44．综上在“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的条件下， 员工丙第一个检测的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=414=27．故选：B ．设事件A 为“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”，事件B 为“员工丙第一个检测”.事件A 分两类：甲最后检测，则剩下的3名员工可以随便排序，方法数为A 33；甲不是最后检测，则中间两个位置选1个位置为甲，然后剩下的位置除了最后一个位置，选一个位置给乙，其余的员工随便排，方法数为C 21C 21A 22，求出P(A)；员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测，员工丙是第一个检测，则先排丙在第一个位置，然后除了第一个位置和最后一个位置选1个位置给乙，剩下的两个员工随便排，方法数C 21A 22，求出P(AB)，由此利用条件概率能求出结果．本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，先给每个部门发8份《光明日报》，将剩余6份《光明日报》分给3个部门，每个部门至少一份即可，将6份《光明日报》看成6个元素，排成一排，中间有5个空位，在其中任选2个，插入挡板，可以将6份《光明日报》分为3组，对应分给3个部门即可，则有C 52=10种不同的发放方法，故选：C ．根据题意，先给每个部门发8份《光明日报》，再将剩余6份《光明日报》分给3个部门，每个部门至少一份，由挡板法分析可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：因为12e x f(x)+e x f′(x)=√x ，所以12e 12x f(x)+e 12xf′(x)=√x e 12x，令F(x)=e 12x f(x)，则f(x)=F(x)e 12x ，且F′(x)=√x e 12x，所以f′(x)=F′(x)e 12x −12e 12xF(x)(e 12x )2=√x e 12x −12F(x)e 12x ，令ℎ(x)=√xe 12x −12F(x)， 则ℎ′(x)=2√x −√x 2e 12x −12⋅√xe 12x =2√x−√x e 12x ，令ℎ′(x)=0，解得x =12，当0<x <12时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增， 当x >12时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)单调递减， 所以当x =12时，ℎ(x)取得最大值ℎ(12)=√12e 14−12F(12)=√12e 14−12⋅e 14f(12)=0， 则ℎ(x)≤0，故f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立， 所以f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数， 则当x >0时，f(x)既无极大值，也无极小值． 故选：D ．由已知的等式，构造F(x)=e 12x f(x)，则F′(x)=√xe 12x ，且f(x)=F(x)e 12x，求出f′(x)，再进行二次求导，研究函数f′(x)的正负，得到f(x)的单调性，由此判断函数f(x)的极值情况． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解析】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为x=100，σ=10．∴该市学生数学成绩的期望为100，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为10，故B错误；P(90<x<110)=0.6826，P(80<x<120)=0.9544，∴P(x≥90)=0.5+12×0.6826=0.8413，故C正确；P(x<90)=P(x>110)=12[1−P(90<x<110)]=0.1587，P(x<120)=0.5+12×0.9544=0.9772，则P(x≥120)=1−0.9772=0.00228．∴该市学生数学成绩不及格的人数远大于优秀的人数，故D错误．故选：AC．由已知可得A正确，B错误；求出该市学生数学成绩的及格率判断C；分别求出该市学生数学成绩不及格的概率和优秀的概率判断D．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由T r+1=C6r(x2)6−r(1ax )r=(1a)r⋅C6r⋅x12−3r，令12−3r=3，得r=3．∴1a3⋅C63=−160，得a=−12，故A正确；(x2+1ax )6=(x2−2x)6，取x=1，可得所有项系数之和为1，故B正确；二项式系数之和为26=64，故C正确；由12−3r=0，得r=4，展开式的常数项为(−2)4⋅C64=240，故D错误．故选：ABC．写出二项展开式的通项，由x的指数为3求得r值，再由x3的系数是−160求得a值，然后取x=1求得所有项系数，再求出二项式系数和常数项，比对四个选项得答案．本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：X 的所有可能取值为0，1，2，3，4． A .P(X =0)=(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)=124，P(x =1)=23×(12)3+3×(1−23)×(12)3=524， ∴该游客至多游览一个景点的概率为P(X =0)+P(X =1)=124+524=14，故A 正确．B .P(X =2)=23×C 31×12×(1−12)2+(1−23)×C 32×(12)2×(1−12)=38，故B 正确．C .P(X =4)=23×(12)3=112，故C 错误．D .P(X =3)=23×C 32×(12)2×(1−12)+(1−23)×C 33×(12)3=724，∴E(X)=0×124+1×524+2×38+3×724+4×112=136，故D 正确．故选：ABD ．X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．A .分类讨论，该游客一个景点也没有旅游和只游一个景点两种情况：利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出结论．B .利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出P(X =2)．C .利用相互独立事件的概率计算公式即可得出P(X =4)．D .利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出P(X =3)，进而得出E(X)． 本题考查了相互独立、互斥事件的概率计算公式及其数学期望、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】CD【解析】解：对于A ，由题意，当满足P(Z ≥59)=1−P(17<Z≤59)2=1−0.99742=0.0013时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故选项A 错误； 对于B ，若8：02分出门，①江先生开私家车，由题意，当满足P(Z ≤52)=1−P(24<Z<52)2+P(24<Z <52)=0.9772，此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁，由题意，当满足P(Z ≤48)=1−P(40<Z<48)2+P(40<Z <48)=0.9772，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故选项B错误；对于C，若8：06分出门，①江先生开私家车，由题意，当满足P(Z≤48)>P(Z≤45)=1−P(31<Z<45)2+P(31< Z<45)=0.8413，此时江先生开私家车不会迟到；②江先生乘坐地铁，由题意，当满足P(Z≤44)=12=0.5时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故选项C正确；对于D，若8：12分出门，江先生乘坐地铁上班，由题意，当满足P(Z≤38)=1−P(38<Z<50)2=0.0013时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故选项D正确．故选：CD．对于A，由P(Z≥59)=0.0013即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算P(Z≤38)=0.0013即可判断．本题考查正态分布，考查考生的数据处理能力，分析问题解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】1825【解析】解：因为X～B(3,25)，所以DX=np(1−p)=3×25×(1−25)=1825．故答案为：1825．利用正态分布的方差计算公式求解即可．本题考查了正态分布的方差求解，解题的关键是掌握正态分布的方差计算公式，属于基础题．14.【答案】(−∞,40]∪[64,+∞)【解析】解：根据二次函数的性质知对称轴x=k8，在[5,8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上∴k 8≤5，或k8≥8，得k ≤40，或k ≥64．故答案为：(−∞,40]∪[64,+∞)．根据二次函数的性质知对称轴x =k8，在[5,8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上，k8≤5，或k8≥8，解出不等式组求出并集即可． 本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是看出二次函数在一个区间上单调，只有对称轴不在这个区间上，本题是一个基础题．15.【答案】358x【解析】解：∵(√x −2√x 4)n 的展开式中的二项式系数之和为256，∴2n =256，∴n =8， ∴T r+1=C 8r(√x)8−r⋅2√x4)r=C 8r(−12)r x 16−3r 4，令16−3r 4=1，∴r =4，∴展开式中含x 项为T 5=C 84(−12)4x =358x.故答案为：358x.先求得n =8，再求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于1，求得r 的值，即可求得含x 项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．16.【答案】432【解析】解：根据题意，a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列， 则共有A 66=720个排列，若(a +b)(c +d)(e +f)为偶数的对立事件为“(a +b)(c +d)(e +f)为奇数”， (a +b)、(c +d)、(e +f)全部为奇数，有6×3×4×2×2×1=288， 故则(a +b)(c +d)(e +f)为偶数的排列的个数共有720−288=432． 故答案为：432．若(a +b)(c +d)(e +f)为偶数的对立事件为“(a +b)(c +d)(e +f)为奇数”，即(a +b)、(c +d)、(e +f)全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有A 66种，进而可得所求．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，则A 、B 、C 相互独立，由题意得：P(AB)=P(A)P(B)=0.05， P(AC)=P(A)P(C)=0.1， P(BC)=P(B)P(C)=0.125，∴P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5，∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5; (2)∵A 、B 、C 相互独立，∴A 、B 、C 相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内都不需要照顾的概率为P(A ⋅B ⋅C)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.75×0.5=0.3，∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为P =1−P(A ⋅B ⋅C)=1−0.3=0.7．【解析】本题主要考查独立事件同时发生的概率，对立事件，属于基础题． (1)由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的问题，根据题意，列出方程，解方程得到结果．(2)这个小时内至少有一台需要照顾的对立事件是这个小时内没有一台需要照顾，即都不需要照顾，根据对立事件的概率公式，列出算式，得到结果．18.【答案】解：(1)K 2=60×(8×4−32×16)240×20×24×36=20>10.828， 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为购买牛角梳和是否事先知道牛角梳为本市特产有关系．(2)设抽到女顾客的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，∴P(ξ=0)=C 82C 242=769，P(ξ=1)=116C 81CC 242=3269，P(ξ=2)=C 162C 242=3069=1023，∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望E(ξ)=0×769+1×3269+2×1023=9269．【解析】(1)根据2×2列联表，计算K 2的值，再与临界值比较，即可得到结论． (2)设抽到女顾客的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，根据古典概型的概率公式求出相应的概率，得到ξ的分布列，进而求出ξ的数学期望即可．本题主要考查了独立性检验的实际应用，考查了离散型随机变量的期望与方差，是基础题．19.【答案】解：(1)k =1时，f(x)=lnx −x +x 2，可得f′(x)=1x +2x −1，所以切点为(1,0)，切线的斜率k =f′(1)=2， 故切线方程为y =2(x −1)，即2x −y −2=0； (2)f′(x)=1x+1−1+(k +1)x =x x+1[(k +1)x +k]，k >−1，由f′(x)=0，可得x 1=0，x 2=−kk+1=−1+1k+1>−1， 当k =0时，f′(x)x 2x+1≥0，f(x)在(−1,+∞)递增；当x 1<x 2，即−1<k <0时，当−1<x <0或x >−kk+1时，f′(x)>0，f(x)递增；当0<x <−kk+1时，，f′(x)<0，f(x)递减；当x 1>x 2，即k >0时，当−1<x <−kk+1或x >0时，f′(x)>0，f(x)递增；当−kk+1<x <0时，，f′(x)<0，f(x)递减．综上可得，当−1<k <0时，f(x)的增区间为(−1,0)，(−kk+1,+∞)，减区间为(0,−kk+1)； 当k =0时，f(x)在(−1,+∞)递增；当k >0时，f(x)的增区间为(−1,−kk+1)，(0,+∞)，减区间为(−kk+1,0)．【解析】(1)先求出导数，求出切线斜率，然后利用点斜式求出切线方程；(2)求出导数并分解因式，求出导数的零点，结合定义域讨论根的大小求出导数大于或小于零的解集，从而得到单调区间．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由散点图可以判断，y =c +d √x 适宜作为年年利润y 关于年宣传费x 的回归方程，令ω=√x ，先建立y 关于ω的线性回归方程， 由d ̂=108.81.6=68，所以c ̂=y −−d ̂x −=563−68×6.8=100.6，则y 关于ω的线性回归方程为y ̂=68ω+100.6， 所以y 关于x 的回归方程为y ̂=68√x +100.6； (2)由题意可得，ξ～B(100,110)，所以E(ξ)=100×110=10，D(ξ)=100×110×910=9，P(ξ=10)=C 10010×(110)10×(910)90．【解析】(1)由散点图的形状判断即可；令ω=√x ，先建立y 关于ω的线性回归方程，利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程，从而得到答案；(2)由题意可知，ξ～B(100,110)，利用二项分布的均值、方差、概率计算公式求解即可． 本题考查了线性回归方程的求解，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量期望以及方差的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)若f(x)=lnx −kx 有零点，则lnx −kx =0有解，即k =lnx x有解，令g(x)=lnx x(x >0)， 则g′(x)=1−lnx x 2，令g′(x)=0，得x =e ，所以当0<x <e 时，g′(x)>0，g(x)单调递增，且g(x)<0，当x >e 时，g′(x)<0，g(x)单调递减，且当x →+∞时，g(x)→0， 所以g(x)≤g(e)=1e ， 所以k 的取值范围为(−∞,1e ].(2)设f(x)的两个相异的零点为x 1，x 2，且x 2>x 1>0， 由(1)知0<x 1<e ，x 2>e ，所以lnx 1−kx 1=0①，lnx 2−kx 2=0②，由(1)知0<k <1e 时，有两个不同的零点，且g(1)=0， f(1k )=−lnk −1>0，所以1<x 1<1k <x 2，且f(x 1)=f(x 2)=0，设F(x)=f(x)−f(2k −x)=lnx −ln(2k −x)+2−2kx ， 则F′(x)=2(kx−1)2x(2−kx)>0，所以F(x)在(1,1k )上单调递增， 即F(x)<F(1k )=0， 所以f(x)<f(2k −x)，从而有f(x 1)<f(2k −x 1)，f(x 2)<f(2k −x 2)， 又当x ∈(1k ,+∞)上，f(x)单调递减， 则x 2<2k −x 1， 所以k(x 1+x 2)<2，所以lnx 1+lnx 2=k(x 1+x 2)<2， 所以a 的最大值为2．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调的关系，及零点的判定定理即可得出答案．(2)由题意可知x 1，x 2是lnx −kx =0的两个根，且f(1k )=−lnk −1>0，构造函数F(x)=f(x)−f(2k −x)，结合单调性，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：(1)p1即经过一步从A点到达A点的概率，∴p1=0，p2即经过两步从A点到达A点的概率，包括先顺时针再逆时针和先逆时针再顺时针，∴p2=13×23+23×13=49，(2)当n为偶数时，由顶点A出发只能到A点或C点，到达A的概率为p n，到达点C的概率为q n，∴p n+q n=1，当n为奇数时，由顶点A出发只能到B点或D点，p n=q n=0，∴p n+q n=0，综上，当n为偶数时，p n+q n=1，当n为奇数时，p n+q n=0．(3)当n为奇数时，p n=0，当n为偶数时，从A点或C点出发经过两步到A的概率分别为，p A→A=13×23+23×13=49，p C→A=13×13+23×23=59，从A点出发经过n步到A分为两类，①从A点出发经过n−2步到A，再经过两步到A，概率为49p n−2，②从A点出发经过n−2步到C，再经过两步到A，概率为59q n−2，∴p n=49p n−2+59q n−2，∵p n+q n=1，∴p n=−19p n−2+59，∴p n−12=−19(p n−2−12)，∵p2=49，∴p n−12=(−118)(−19)n2−1，∴p n=12(13n+1).综上，当n为奇数时，p n=0，当n为偶数时，p n=12(13n+1).【解析】(1)p1即经过一步从A点到达A点的概率，p2即经过两步从A点到达A点的概率，即可求出p1和p2，(2)当n为偶数时，由顶点A出发只能到A点或C点，可得p n+q n=1，当n为奇数时，由顶点A出发只能到B点或D点，可得p n+q n=0，(3)当n为偶数时，得到p n=49p n−2+59q n−2，进而得到p n=−19p n−2+59，再构造等比数列即可求解．本题考查了概率的求法，由数列的递推式求数列的通项公式．属于难题．。
2020-2021福州市三牧中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题附答案
2020-2021福州市三牧中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题附答案一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面2．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．()1,3 D ．()2,33．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则A ．b a c ≤≤B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤ 4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o5．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．2B ．32C 322D ．226．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π 7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π8．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+25 10．已知点()1,2-和3,03⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 二、填空题13．已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.14．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.15．在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________16．底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________17．正四棱锥S -ABCD 2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．18．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.19．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．20．已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题21．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ；（2）若二面角P －AD －B 为60°．①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．22．如图，直角梯形BDFE 中，//,,22EF BD BE BD EF ⊥=，等腰梯形ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ；（2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．23．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：//PA平面BDE；（2）求证：BD⊥平面PAC.24．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3 21 12x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为22cos()4πρθ=-.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于,A B两点，求线段AB的长度.25．如图，在ABCV中AC BC⊥且点O为AB的中点，矩形ABEF所在的平面与平面ABC互相垂直.（1）设EC的中点为M，求证：//OM平面ACF；（2）求证：AC⊥平面CBE26．设直线l的方程为()()1520a x y a a R++--=∈.(1)求证:不论a为何值，直线l必过一定点P;(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点(),0AA x，()0,BB y，当AOB∆而积最小时，求AOB∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.2．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 3．D解析：D【解析】【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大.【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时,因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b .故选D.【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4．C解析：C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.16==,故m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 6．C解析：C【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =.ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A ==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．A解析：A【解析】【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =，∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积8．C解析：C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为2+5故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B 3 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121, 3.01303PA PB k k ---==-==-- ∵点(1,−2)和(33,0)在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ3tanθ≠0.解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项. 11．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.12．B解析：B【解析】【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交．【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)22102519d -⨯--==<+，即直线与圆相交.故选A.【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程. 二、填空题13．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：163,32⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围. 【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.14．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查解析：2【解析】 【分析】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，如图所示作辅助线，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得答案. 【详解】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，90BAC ∠=︒，故O 在平面ABC 的投影为BC 中点1O ，D 为AC 中点，PA PC =，故PD AC ⊥，侧面PAC ⊥底面ABC ，故PD ⊥底面ABC .连接1O D ，作OH PD ⊥于H ，易知1OO DH 为矩形，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，PD =，12OH DO ==，1CO =R =【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球 解析：50π【解析】 【分析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为2221523452R =++=所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.16．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据解析：43【解析】 【分析】将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分相加求和即可. 【详解】如图, 将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分. 其中四棱锥N ACPM -的高为2sin 603⨯︒=.ACPM 为梯形. 则()352183332N ACPM V -+⨯=⨯⨯=.1234343N ABC V -⨯=⨯⨯=. 故多面体ABC MNP -体积为83434333+=故答案为：3【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法,根据多面体的特征分为两个棱锥计算即可.属于中档题.17．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt △SO1C 中∵SC ＝∴∴O1S ＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合解析：43π【解析】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知1112O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC 2 ，∴ 22111SO SC O C =-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为34433r π=π.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.18．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：1515,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴211k +解得：1515[k ∈ 故答案为1515[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．19．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理． 详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值， 2221251k+==+又0k >， ∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．20．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一解析：223(2)16x y -+-=（）或2211(6)144x y -++=（） 【解析】 【分析】由题意可知，126x x +=，124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心满足直线5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，），由圆与直线2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得21218AB k x =+-=，圆心到直线AB222221r (a 1)2(3)162d AB a =+↔+=-+解得：当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=得解。
2020福建省高二下学期期中联考试题数学(文)含答案
期中联考高中二年数学科（文科）试卷命 题： 复 核：完卷时间：120分钟 满 分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若212(1),1z i z i =+=-，则12z z 等于( )A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（ ） A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明” 中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—反证法 B ．①—分析法，②—反证法 C ．①—综合法，②—分析法 D ．①—分析法，②—综合法4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理（ ） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的5、已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2, 1.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．y=3x ﹣4.5B ．y=﹣0.4x+3.3C ．y=0.6x+1.1D ． y=﹣2x+5.5 6、极坐标方程2cos 4sin ρθθ=所表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条抛物线D ．一条双曲线7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定 8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( ) A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x 的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上 9、定义运算a b ad bc c d=-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ） A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆 B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆 C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10、若下列关于x 的方程24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=，22(1)0x a x a +-+= （a 为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(,1)2--B ．3(,0)2-C ．3(,][1,)2-∞-⋃-+∞D ．3(,][0,)2-∞-⋃+∞11、以下命题正确的个数是（ ）①在回归直线方程82^+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量^y 平均增加2个单位； ②已知复数21,z z 是复数，若221121z z z z z z ⋅=⋅=，则；③用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于060”时，应假设“三个内角都大于060”；④在平面直角坐标系中，直线x y l 6:=经过变换⎩⎨⎧==yy x x ''23：ϕ后得到的直线'l 的方程：x y =； A ．1B ．2C ．3D ．412、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
2020年福建省福州市高二(下)期中数学试卷解析版
A. （-1，3）
B. [-1，3]
C. （1，3）
D. [1，3]
12. 若不等式 2xlnx≥-x2+ax-3 对 x∈（0，+∞）恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （-∞，0）
B. （0，+∞）
C. （-∞，4]
D. [4，+∞）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 若实数 x，y 满足 x2+y2=1，则 2x-y 的最小值为______．
20. 已知 f（x）=|2x-1|+|x+1|． （1）求不等式 f（x）≥3 的解集；
（2）若关于 x 的不等式
在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围
21. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均 每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
（θ 为参数），以坐
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 M 是直线 l 上任意一点，过 M 做圆 C 切线，切点为 A、B，求四边形 AMBC
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面积的最小值．
19. 已知函数 f（x）=x3+ax2-1 在点（-1，f（-1））处的切线方程为 3x+y+2=0． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值．
或
，
当 a=-1、b=-2 时，|a+bi|=|-1-2i|=
=，
当 a=2、b=1 时，|a+bi|=|2+i|=
2020-2021高三数学下期中模拟试卷(及答案)
2020-2021高三数学下期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2C ．2D ．2 2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <3．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<5．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 6．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 7．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40368．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．139．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．1410．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．372 B ．34 C ．32或37D ．343711．,x y满足约束条件3620x yx yxy-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ()A．256B．25C．253D．512．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若341118a a a++=则11S=（）A．9B．22C．36D．66二、填空题13．已知变数,x y满足约束条件340{210,380x yx yx y-+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a=+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为_____________．14．已知x y、满足约束条件1{1,22x yx yx y+≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b=+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______．15．已知a b c R∈、、，c为实常数，则不等式的性质“a b a c b c>⇐+>+”可以用一个函数在R上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x=_________16．等差数列{}n a前9项的和等于前4项的和.若141,0ka a a=+=，则k= .17．设等差数列{}n a的前n项和为n S，12mS-=-，0mS=，13mS+=.其中*m N∈且2m≥，则m=______.18．已知数列{}n a满足11a=，111nnaa+=-+，*n N∈，则2019a=__________．19．若等比数列{}n a的各项均为正数，且510119122a a a a e+=，则1220ln ln lna a a+++L等于__________．20．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和． 23．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式． 24．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5-时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．25．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．26．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以2q =，故21222a a q ===，故选D. 2．D解析：D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D3．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】 由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键6．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可． 详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩， 当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.7．D解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.9．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±．【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,33,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得23927233a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或37． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
高中数学必修二 必刷卷02下学期期中仿真必刷模拟卷(含答案)
2020-2021学年高一下学期数学期中仿真必刷模拟卷【人教A版2019】期中检测卷02姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B ＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C 与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角。
福建省福州市2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文科)试题
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知命题 ，使 ；命题 ，都有 .给出下列结论：
①命题“ ”是真命题 ②命题“ ”是假命题
③命题“ ”是真命题 ④命题“ ”是假命题
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③C．②④D．③④
9．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 ”时，应假设（）
11．圆 （ 为参数）与直线 的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心
12．对于任意的两个实数对 和 ,规定 当且仅当 , ；运算“ ”为： ，
运算“ ”为： ，
设 ，若 则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设复数 满足 （ 是虚数单位），则 的实部是_________
故选A．
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
6．B
【解析】
解：设曲线y=sinx上任意一点（x′，y′），变换前的坐标为（x，y）
根据曲线y=2sin3x变为曲线y′=sinx′
∴伸缩变换是
，故答案选B
7．A
【分析】
可以探索 且 是 的什么条件,利用原命题与其逆否命题真假相同进行判断.
【详解】
若 且 ,则 ，显然成立.若 不一定推出 且 .所以 是 的充分不必要条件.根据原命题与其逆否命题真假相同可得“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
【点睛】
本题考查原命题与逆否命题真假相同，充分不必要条件的概念，属于基础题
8．B
【分析】
先判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
2020-2021福州市高中必修二数学下期中一模试卷(及答案)
2020-2021福州市高中必修二数学下期中一模试卷(及答案)一、选择题1．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．32π B ．24πC ．6πD ．6π2．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．43．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π4．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<5．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,36．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．8 7．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b8．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．9．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2B ．12或32C ．2或0D ．-2或010．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．16011．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 二、填空题13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)14．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．15．若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.18．若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.19．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______20．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题21．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .22．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u v u u u v＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.23．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值． 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．25．在正方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，E 在1CC 上且12CE EC =．（1）若F 是AB 的中点，求异面直线1C F 与AC 所成角的大小； （2）求三棱锥1B DBE -的体积．26．已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=． （1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．3．A解析：A 【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球， 外接球的直径等于长方体的对角线，即2R ==246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．B解析：B【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ . 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．9．C解析：C 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可. 【详解】把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2). 则圆心到直线0x y a -+=的距离2221(1)d ==+-, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =. 所以a 的值为0或2. 故选C. 【点睛】本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.10．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为，则，所以，. 又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角. 12．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．④【解析】【详解】连接BD B1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面MEF又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故解析：④【解析】【详解】连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，则PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，故直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.14．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．15．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=【解析】【分析】设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，2222112244,44x y x y -=-=Q ，()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-=()()12121680x x y y ∴---=，12121628y y x x -==- 2AB k ∴=，∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.16．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结解析：1132-+ 【解析】 【分析】 先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果.【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-Q ， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部，设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为131||(1),1312,AF a a a a --+=∴-==. 故答案为：113-+. 【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题. 17．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：262+ 【解析】【分析】 首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解． 【详解】在POB V 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点，从而2OC OE EC ''=+==亦即CE OE +的最小值为：2，故答案为2. 【点睛】 本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．18．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则 解析：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线，对于曲线1C x =-，则101x x -≥⇒≥，曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=，则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =.结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 19．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以解析：25x y +=【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程.【详解】因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0, 222152(1)k k k -+=∴=-+-，所以切线方程为112022x y --++=， 所以切线方程为25x y +=， 故答案为：25x y +=【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.20．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得r =ABC V 中，2AB AC ==，BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC的距离d ==点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC V 所在平面截球所得圆（即ABC V 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点.又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC . ∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥.又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ，∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ，∴面1AB D ⊥面ABM .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.22．（1）4747(33-；（2）2． 【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．1=，解得：1244,33k k +==．故当4433k <<，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=， 可得()()2214170k x k x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k ++==++， ∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k ++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k=1， 故直线l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算23．（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，OC OA ⊥，可证OC ⊥平面AOB ，即可证明结论； （2）取OB 中点E ，连DE ，则//DE AO ，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，解Rt CDE ∆，即可求出结论.【详解】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB I 平面AOC OA =， ,OC OA OC ⊥⊂平面,AOC OC ∴⊥平面AOB ，OC ⊂Q 平面,COD ∴平面COD ⊥平面AOB ；（2）取OB 中点E ，连DE ，D 为AB 的中点，//DE AO ∴，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，,,,OA OB OA OC OB OC O OA ⊥⊥=∴⊥Q I 平面BOC ，DE ∴⊥平面BOC ，CE ⊂平面,BOC DE CE ∴⊥，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，2,OA OB OC DE CE ∴===∴===15tan 3CE CDE DE ∴∠==， 所以异面直线AO 与CD 所成角的正切值为153.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论.【详解】（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==， 所以四边形ABCM 是平行四边形，所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，所以//NQ PA ，因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，所以//PA 平面MNB ；（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥，因为//MD BC ，MD BC =，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥，因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ，所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PMB ．【点睛】本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.25．(1)4π (2) 92 【解析】【分析】（1）连接AC ，11A C ，由11AC AC P 知11FC A ∠ （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角，由余弦定理解三角形即可（2）根据11B DBE D BEB V V --=，且三棱锥1D BEB -的高为DC ，底面积为1BEB ∆的面积.【详解】（1）连接AC ，11A C ，∵1111,AC AC FC A ∴∠P （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角在11FC A ∆中，111192A C A F C F ===222119()22cos 9222FC A +-∠==⨯ ∴异面直线1C F 与AC 所成角为4π． （2）由题意得， 1111119333=3322B DBED BEB BEB V V S DC --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅． 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，属于中档题.26．（1）5m <（2）4m =【解析】【试题分析】（1）先配方，()()22125x y m -+-=-，当50m ->时是圆，即求得m 的范围.（2）先求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理得出半径，进而得到m 的值.【试题解析】（1）方程22240x y x y m +--+=可化为()()22125x y m -+-=-， ∵此方程表示圆，∴50m ->，即5m <．（2）∵圆的方程化为()()22125x y m -+-=-，∴圆心()1,2C ，半径r =则圆心()1,2C 到直线l ：240x y +-=的距离为d ==，由于MN =12MN = ∵2222MN r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴225m -=+⎝⎭，得4m =． 【点睛】本题主要考查二元二次方程什么时候为圆的方程，考查有关圆的弦长的计算方法.对于二元二次方程22=0x y Dx Ey F ++++，当2240D E F +->时，方程为圆的方程，当2240D E F +-=时，为点的坐标.直线和圆相交所得弦长一般利用圆心到直线的距离构造直角三角形来求解.。
2020-2021福州市文博中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题带答案
2020-2021福州市文博中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题带答案一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．32π B ．24π C ．6π D ．6π3．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥4．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+6．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 7．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π 8．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 9．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．42B ．32C ．322D ．2210．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或111．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．31+ B ．31- C ．22 D ．51- 12．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题13．经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.14．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.15．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o②ACD ∆是等边三角形③AB 与CD 所成的角为60o④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒则上面结论正确的为_______．17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.18．正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．19．已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为__________．20．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.三、解答题21．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．22．如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，43BC =BC AC ⊥，3cos SCB ∠=D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．23．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =u u u v u u u v ，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.24．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -.（1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．26．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 2．C解析：C【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=62R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 3．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．4．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥Q 平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.5．B解析：B【解析】 该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 6．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1，∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.7．A解析：A【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线， 即24116R =++=246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.8．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.9．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.16==,故m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 10．D解析：D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a +=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a 2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．B解析：B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -=所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得1e ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 12．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题解析：1934011x y ++= 【解析】【分析】 先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-， 平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=， 则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】 本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.14．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC V 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积． 【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC V 为直角三角形，因此BC =BC =（舍）．所以只可能是BC =此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，所以平面ABC 所在小圆的半径即为22AC r ==， 又因为2PA =，所以外接球O 的半径R === 所以球O 的表面积为24π20πS R ==．【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．15．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl⊥α 解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E 是BD 的中点易得∠AED ＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB 与平面BCD解析：②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．【详解】作出如图的图象，E 是BD 的中点，易得∠AED ＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB 与平面BCD 所成的线面角的平面角是∠ABE ＝45°，故AB 与平面BCD 成60°的角不正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC 中AC 等于正方形的边长，故△ACD 是等边三角形，此命题正确；对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B AC D--的平面角，又BH=DH=3AC,BD=2,AC cos∠BHD=-1,3故二面角B AC D--不是120︒综上知②③④是正确的故答案为②③④【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．17．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角5【解析】【分析】点1B到平面ADE的距离等价于点B到平面ADE的距离，过B作BF AE⊥，交AE于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离.【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，151,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得5BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题. 18．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt △SO1C 中∵SC ＝∴∴O1S ＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合解析：43π 【解析】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知1112O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC 2 ，∴ 22111SO SC O C =-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为34433r π=π.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.19．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62 解析：【解析】 试题分析：由题意，得抛物线的准线为，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为，所以，即，所以，整理，得，解得或．又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以． 考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．20．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A解析：菱形【解析】【分析】【详解】根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ，又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形三、解答题21．（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】【详解】分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明．（2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可．详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为»CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．（2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．22．（1）证明见解析；（2）6π. 【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ，证明出OS AC ⊥，OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面SOD ，即可证明出AC SD ⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，说明直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，求出OSD ∆三边边长，利用余弦定理求出OSD ∠，即可求出直线SD 与平面SAC 所成角的大小．【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ， SAC ∆Q 为等边三角形，O 为AC 的中点，SO AC ∴⊥，D Q 、O 分别为AB 、AC 的中点，//OD BC ∴，BC AC ⊥Q ，OD AC ∴⊥，SO OD O =Q I ，AC ∴⊥平面SOD ，SD ⊂Q 平面SOD ，AC SD ∴⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，AC ⊥Q 平面SOD ，DH ⊂平面SOD ，DH AC ∴⊥，DH SO ⊥Q ，SO AC O =I ，DH ∴⊥平面SAC ，所以，直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，由（2）知，1232OD BC ==AC BC ⊥Q ，228AB AC BC ∴+=. SAC ∆Q 是边长为4的等边三角形，4sin233SO π∴== 在SBC ∆中，4SC =，43BC =由余弦定理得2222cos 88SB SC BC SC BC SCB =+-⋅⋅∠=，222SB ∴=由余弦定理得2221cos 28SA AB SB SAB SA AB +-∠==-⋅， 2222cos 36SD SA AD SA AD SAD ∴=+-⋅⋅∠=，6SD ∴=.在SOD ∆中，由余弦定理得2223cos 2SO SD OD OSD SO SD +-∠==⋅. 0OSD π<∠<Q ，6OSD π∴∠=，因此，直线SD 与平面SAC 所成角的大小为6π.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的计算，涉及到利用余弦定理解三角形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）4205. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意1l ⊥平面SAB ，得到所以1l SA ⊥，同理可证2l SA ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）分别以AB u u u r 、AD u u u r 、AS u u u r 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量EF u u u r 和平面SCD 的一个法向量为n r，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成的角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ，使得1l AB ⊥，2l AD ⊥.因为AB AD A ⋂=，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB .所以1l SA ⊥.同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C ⋂=，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD .同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条，所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD .所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线.所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB u u u v 、AD u u u v 、AS u u u v所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，()2,0,0B ，()2,3,0C ，()0,3,0D ，()0,0,6S .由F 为SC 的中点，得31,,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；由23BE BC =u u u v u u u v ，得()2,2,0E .所以11,,32EF u u u v ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2,3,6SC =-u u u v ，()2,0,0DC =u u u v .设平面SCD 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则00n SC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =.所以()0,2,1n =v . 所以cos ,EF n u u u v v EF n EF n ⋅=⋅u u u v v u u u v v ()1102311190414⎛⎫-⨯+-⨯+⨯ ⎪⎝⎭=++⨯++ 4205205=. 所以，直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值为4205205. 24．（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=.【解析】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34 ∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++= 25．（1）320x y ++=；（2）320x y -+=【解析】分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为()306x y m m -+=≠-，然后由点到直线的距离得出2210510m+=，就可以求出m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD，又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0，所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3，而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0.(2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0.由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．26．(1) 13+24y x =46 【解析】【分析】(1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解.【详解】（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ， ∵10=2112CP k -=--，∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24y x = （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为1+2y x =圆心C 到直线l 的距离为110d -+==2，∴弦AB 的长为=. 【点睛】 本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题.。
2020-2021福州市黎明中学高中必修二数学下期中试卷含答案
2020-2021福州市黎明中学高中必修二数学下期中试卷含答案一、选择题1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．3．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．3+ 4．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．D 5．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．B ．5CD ．46．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π7．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 8．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a9．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．3πC ．4πD ．3π 10．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1011．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π12．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)14．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.15．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.17．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．18．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．三、解答题21．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．22．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积23．如图，直角梯形BDFE 中，//,,2EF BD BE BD EF ⊥=ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ；（2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=︒，3AD BC =，2AO OD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．（1）求证：//AB 平面DEF ；（2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ；（3）求三棱锥1E ACB -的体积.26．求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线10x y -+=；（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．2．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥Q 平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343V R π==本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径. 3．D解析：D【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大1+，PAB S ∆最大值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB 的距离为2.∴△PAB 面积的最大值是112||(1)2222AB +=⨯= 故选D ．【点睛】 主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.4．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.5．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=.故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 6．A解析：A【解析】【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积7．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC V 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S V 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =V ，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO V 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ． 考点：球内接多面体，球的表面积． 8．B解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．9．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 由勾股定理得：BA⊥AD又因为B D⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径DE =243S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.10．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=， 又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =，所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 12．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则PQ ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④ 【解析】 【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ， ∴l ∥平面ABCD ，故①成立； 又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立； 当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立． 即不成立的结论是④.14．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上 2 【解析】 【分析】首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值. 【详解】当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度，∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，∴点C 到BD 的距离的最小值22CO =.故答案为：22【点睛】本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.15．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90 解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切． ()()22232122a a ---+-=，∴a=1或9，a=1时，2，∠MCN=90°，∠MFN=45°， a=9时，r=52MCN ＜90°，∠MFN ＜45°， 则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-= 考点：圆的标准方程16．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角解析：5 【解析】 【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，151,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得55BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.17．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4 【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,, 当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥所以切线长的最小值为=4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.18．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】 【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解. 【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10. 【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】 【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB . 【详解】PA ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥, ,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥I 平面PAC ，BC PC ⊥， ,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析：217. 【解析】 【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方可得CD 的长． 【详解】Q 二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==u u u r ．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）34m =-， 【解析】 【分析】（1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可. 【详解】（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1.（2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，AC ==当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，解得34m =-，此时弦长为=故当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为 【点睛】本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题. 22．：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）16 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）证明：因为,DE EF CF EF ⊥⊥，所以四边形平面CDEF 为矩形，由5,4GD DE ==，4GC CF ==得3GE ==4GF ==， 所以5EF =，在EFG V 中 ，有222EF GE FG =+，所以EG GF ⊥又因为,CF EF CF FG ⊥⊥，得CF ⊥平面EFG ， 所以CF EG ⊥，所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面CFG ;（Ⅱ）：在平面EGF 中，过点G 作GH EF ⊥于点H ，则125EG GF GH EF ⋅== 因为平面CDEF ⊥平面EFG ，得GH ⊥平面CDEF ，1163CDEF CDEF V S GH =⋅=23．（1）见解析（2）23【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理可证；（2）设AC BD O =I ，计算后可证OF//BE ，从而由已知可证OF ⊥平面ABCD ，因此可以OA ，OB ，OF 为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向量法求二面角． 试题解析：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，C A BD ⊥，平面BDFE I 平面ABCD BD =， 又AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面BDFE ；（2）设AC BD O =I ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，,242DOC AB CD π∠===，∴2,22OD OC OB OA ====，∵//FE OB ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴//OF BE ， 又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角，∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴22OF OB ==以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()(()()0,22,0,0,2,0,2,2,0,0,22,0,0B D F C A --，(()2,22,2,2,0DF CD u u u v u u u v==-，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0， 设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =v，由·0·0DF n CD n ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v 得2220220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令2x =得，()2,2,1n =-v ， 2222cos ,31?221n AC u u uv v ==++，∴二面角B DF C --的余弦值为23．点睛：立体几何中求“空间角”，一种方法是根据“空间角”的定义作出它的“平面角”，再通过解三角形求得，其方法是一作二证三计算；第二种方法是在图形中有相互垂直的三条直线（或两条）时，可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求角，这种方法主要的就是计算，减少了作辅助线，证明的过程，只要计算过关，一般都能求得正确结论． 24．（1）见解析；（2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AEEP=时能使得面//BOE 面PCD ，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）可证PD ⊥平面PAB ，从而得到要证明的面面垂直. （2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AEEP=时能使得面//BOE 面PCD ， 利用面面平行的判断定理可证明该结论. 【详解】（1）因为90BAD ∠=︒，故BA AD ⊥又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD I 底面ABCD AD =，BA ⊂平面ABCD ， 所以BA ⊥平面PAD .因为PD ⊂平面PAD ，故BA PD ⊥，又因为PA PD ⊥，PA AB A =I ，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB ，而PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD . （2）在棱PA 上存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，E 满足2AEEP=，证明如下：因为2AEEP =，2AO OD =，所以DAE EP AO O =，故//OE PD . 因为OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，故//OE 平面PCD .因为//BC AD ，13OD AD BC ==，故//,OD BC OD BC =， 所以四边形BCDO 为平行四边形，故//BO CD ，因为BO ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，故//BO 平面PCD .因为BO ⊂平面EOB ，EO ⊂平面EOB ，BO EO O ⋂=， 故面//BOE 面PCD .【点睛】本题考查面面垂直的证明和面面平行的探索，前者注意空间中三种垂直关系的转化，后者应根据题设条件得到动点满足的位置特征，然后再根据判定定理来证明，本题属于中档题. 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23. 【解析】 【分析】（1）由题意可知DE P AB ，从而得证；（2）要证平面1ACB ⊥平面DEF ，转证EF ⊥平面1ACB ，即证AC EF ⊥，1EF CB ⊥； （3）利用等积法即可得到结果. 【详解】（1）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B P AB , 又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE P 11A B , 于是DE P AB ,AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF , 所以AB P 平面DEF .(2) 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥, 又AC BC ⊥,1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11C BC B ,所以AC ⊥平面11C BC B ,EF ⊂平面11C BC B ,所以AC EF ⊥ ,又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥， 所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ ,而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC , 所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C ⋂=，1,AC CB ⊂平面1ACB , 所以EF ⊥平面1ACB , 又EF ⊂平面DEF ,所以平面1ACB ⊥平面DEF . （3） 1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅= . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 26．（1）40x y -+=（2）390x y +-= 【解析】 【分析】 【详解】 得23100{3420x y x y -+=+-=⇒2{2x y =-=即两直线交点坐标为()2,2-. ∵所求直线与已知直线平行.∴设直线方程1:0l x y C -+=；将交点坐标代入直线方程，解得4C =. ∴直线1:40l x y -+=. （2）联立两直线方程得280{210x y x y +-=-+=⇒32x y =⎧⎨=⎩即两直线交点坐标为()3,2. ∵所求直线与已知直线垂直.∴设直线方程2:30l x y C ++=；将交点坐标代入直线方程，解得9C =-. ∴直线2:390l x y +-=.。
福建省2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理
福建省福清市龙西中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一项符合要求1.下列各式正确的是( )A.(sin α)′＝cos α(α为常数)B.(cos x )′＝sin xC.(sin x )′＝cos xD.(x －5)′＝－15x －62．若复数z ＝1＋b i2＋i (b ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则复数z 的共轭复数是( )A ．35iB ．－35iC ．iD ．－i3.用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个不大于0”，下列假设正确的是( ) A.假设a ，b ，c 都小于0 B.假设a ，b ，c 都大于0 C.假设a ，b ，c 中都不大于0D.假设a ，b ，c 中至多有一个大于04.由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( ) A.②①③ B.③②① C.①②③ D.③①②5. .在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点,则AB =（ ） A.2 B.2 C. 10 D. 46.已知二次函数f (x )的图像如图1所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )图1A B C D7．若⎠⎛1a⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2且a >1，则实数a 的值是( )A ．2B ．3C ．5D ．68．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)9.曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B.2e 2 C.e 2D.e 2210.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( ) A.1 B.2k＋1C.2k －1D.2k11.点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B.22(1＋ln 2)C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2 D.12(1＋ln 2) 12．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x2>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－1,0)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. ）13．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是________．14．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 15.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.16．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________．三．解答题：(本大题共6小题，满分70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
福建省2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文
福建省福清市龙西中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是A3．用演绎法证明函数3y x =是增函数时的小前提是A ．增函数的定义B ．函数3y x =满足增函数的定义C ．若12x x <，则12()()f x f x < D ．若12x x >，则12()()f x f x >4. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是（ ）A ．,sin 1x R x ∃∈≥B ．,sin 1x R x ∀∈≥C ．,sin 1x R x ∃∈>D ．,sin 1x R x ∀∈>5. 设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UPC Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 6. “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 ( )A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病8. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） A.假设三内角都不大于60度； B.假设三内角都大于60度； C.假设三内角至多有一个大于60度； D.假设三内角至多有两个大于60度。
2020-2021福州市时代中学高中必修二数学下期中模拟试卷带答案
2020-2021福州市时代中学高中必修二数学下期中模拟试卷带答案一、选择题1．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．6 2．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 4．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-5．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β6．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π8．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π 9．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D 4110．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=I ，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．16012．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π二、填空题13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．14．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．15．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。
2020-2021福州华南实验中学高中必修二数学下期中第一次模拟试卷附答案
2020-2021福州华南实验中学高中必修二数学下期中第一次模拟试卷附答案一、选择题1．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A ．2732B ．1086+ C ．166+ D ．322166+2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π4．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ） A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③5．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是()A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o6．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=7．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ） A ．5B ．6C ．35D 418．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm9．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β10．若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124纟çúçú棼11．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.14．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．15．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与CD 所成的角为60o ④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒ 则上面结论正确的为_______．17．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.18．已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为__________．19．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^； ④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM . 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形． （1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．24．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程．25．如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面1,//,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：平面BEF ⊥平面PAC26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为66，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=， 设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+= 所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(1132216644264232+⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．2．D解析：D 【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误； ②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误； ④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确． 故选B ．5．C解析：C【解析】 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果． 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．7．A解析：A 【解析】 【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.故选：A . 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.9．D解析：D 【解析】 【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确；C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确；D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．D解析：D 【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=…与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围. 【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=…，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <…，直线与半圆有两个交点， AD 与半圆相切时，221k =+，解得512AD k =，4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：D 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)2210219d -⨯--==<+，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.二、填空题13．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本 解析：3π【解析】 【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】先把三棱锥P ABC -3,所以球的半径为2，所以球的表面积为24π3π⨯=⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．14．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x －5y +1=0 【解析】 【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果. 【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y +-=--+=+. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题.15．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD ⊥平面ADC 可推知BD ⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC ＝60°；③由D A ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③ 【解析】 【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直． 【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错． 故答案为②③ 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．16．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E是BD的中点易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD解析：②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．【详解】作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B AC D--的平面角，又BH=DH=3AC,BD=2,AC cos∠BHD=-1,3故二面角B AC D--不是120︒综上知②③④是正确的 故答案为②③④ 【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．17．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】 【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62 解析：【解析】试题分析：由题意，得抛物线的准线为，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为，所以，即，所以，整理，得，解得或．又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以．考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．19．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心 解析：23π 【解析】 【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案． 【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1， 再由AB 3=A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯，则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④ 【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.三、解答题21．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=. 【解析】 【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程. 【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=，则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意. 综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<， 则圆心()3,2C -到直线m的距离d ===22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <Q ，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=， 则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点. 又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC . ∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥. 又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ， ∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ， ∴面1AB D ⊥面ABM . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 23．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）要想证明线线垂直，可以考虑线面垂直.已知底面ABCD 是菱形，显然有BD AC ⊥ ，已知PA ⊥平面ABCD ，可以得到PA BD ⊥，这样就可以根据线面垂直的判定定理，证明出BD ⊥平面APC ，进而可以证明出BD PC ⊥;（2）可以先证明出线面平行，然后利用线面平行的性质定理证明出//BC l . 【详解】（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ． ∵四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂ 平面ABCD ,∴PA BD ⊥ 又∵PA AC A ⋂=, PA ⊂平面PAC , AC ⊂平面PAC ∴BD ⊥平面APC ， 又∵PC ⊂平面APC ∴ BD PC ⊥（2）∵四边形ABCD 为菱形，∴//BC AD ∵AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ． ∴//BC 平面PAD .又∵BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PAD l =. ∴//BC l ． 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理以及性质定理.关键是考查了转化思想.24．（1）43y-19=0x +（2）见解析（3）221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】（1）直线AB 方程为：y 1x-45-11-4-=，化简得：43y-19=0x +； （2）AB 514-1-43k -==； BC 5231--34k -==（），∴AB BC =-1k k ，则AB BC ⊥ ∴△ABC 为直角三角形（3）∵△ABC 为直角三角形，∴△ABC 外接圆圆心为AC 中点M 1322⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为r=|AC |=22，∴△ABC 外接圆方程为221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25．（1）证明见详解（2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，则可根据OF 是APC ∆中位线求证OF AP P ，进而得证；（2）由线段关系可证BE CD ∥，又由AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，进而可得BE AC ⊥，再结合四边形ABCE 是菱形可得BE AC ⊥，即可求证；【详解】 （1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，又1,2AB BC AD ==BC AE ∴=， 又//AD BC Q ，所以四边形ABCE 是菱形，则O 是AC 中点， 又F 为PC 中点，∴OF 是APC ∆中位线，OF AP ∴P ，AP ⊄平面BEF ，OF ⊂平面BEF ，∴//AP 平面BEF ；（2）由（1）可知四边形ABCE 是菱形，BE AC ∴⊥，又Q AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，E 为AD 中点可得BC ED =，又//AD BC Q ，∴四边形BCDE 为平行四边形，CD BE P ，AP BE ∴⊥，AC AP A =I ，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC【点睛】本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题 26．（1）证明见解析；（2）23；（3）存在，3BP =或23BP = 【解析】 【分析】（1）以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r，得到证明.（2）平面DEF 的一个法向量为()12,1,0n =u r ，平面BEF 的一个法向量为()12,1,2n =u r，计算夹角得到答案.（3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，22cos AP n AP n θ⋅=⋅u u u r u u r u u u r u u r ，解得答案.【详解】（1）取BC 中点G ，连接DG ，易知DA DG ⊥，平面EDCF ⊥ABCD ，四边形EDCF 为矩形，故ED ⊥平面ABCD .以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,2,2F -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,2E . ()1,2,2DF =-u u u r ，()1,0,2AE =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r ，故DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r ， 故//DF 平面ABE . （2）设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即20220z x y z =⎧⎨-++=⎩， 取1y =，则()12,1,0n =u r .设平面BEF 的一个法向量为()2,,n a b c =u u r ，则2200n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，即20220x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩， 取1y =，则()12,1,2n =u r .则121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r B EF D --二面角的正弦值为23. （3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r ，则()1,22,2P λλλ--，(),22,2AP λλλ=--u u u r ，()12,1,2n =u r ，设线AP 与平面BEF 所成角为θ， 则22cos AP n AP n θ⋅===⋅u u u r u u r u u u r u u r 23λ=或29λ=. 故3BP BE λλ==u u u r u u u r ，故3BP =或23BP =.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。
2020-2021学年福州市闽侯二中高二(下)期中数学复习卷2(含答案解析)
2020-2021学年福州市闽侯二中高二(下)期中数学复习卷2一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1,2，4}，B={2,3，4}，则A∪B=()A. {2,4}B. {1,2，3}C. {1,2，3，4}D. {(1,2，3，4)}2.若复数z满足(1+i)z=(3+i)i，则|z|=()A. √2B. √3C. √5D. √63.用反证法证明命题“如果a>b，那么a3>b3“时，下列假设正确的是()A. a3<b3B. a3<b3或a3=b3C. a3<b3且a3=b3D. a3>b34.函数f(x)=ln(4−x)x−2的定义域是()A. (−∞,4)B. (2,4)C. (0,2)∪(2,4)D. (−∞,2)∪(2,4)5.下列有关三段论推理“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是()A. 推理正确B. 推理形式不正确C. 大前提错误D. 小前提错误6.已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N∗)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数中是一阶整点函数的是()①f(x)=x+1x (x>0)②g(x)=x3③ℎ(x)=(13)x④φ(x)=lnx．A. ①②③④B. ①③④C. ④D. ①④8.已知函数f(x)=log2(x2−ax+3a)在区间[2,+∞)上递增，则实数a的取值范围是()A. (−∞,4)B. (−4,4)C. (−4,4]D. [−4,+∞)9.为调查高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，如图是此次调查中的某一项流程图，若输出的结果是3800，则身高在170cm以下的频率为()A. 0.24B. 0.38C. 0.62D. 0.7610.下列函数是奇函数的是()A. y=x3B. y=2x2−3C. y=x 12D. y=x−2，x∈[0,1]11.定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，又f(−3)=0，则不等式xf(x)<0的解集为()A. (−3,0)∪(0,3)B. (−∞,−3)∪(3,+∞)C. (−3,0)∪(3,+∞)D. (−3,3)12.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+1)=−f(x)对任意实数x恒成立，且x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2.那么函数y=f(x)−sinx在区间[0,10]上的零点个数有()个．A. 6B. 7C. 8D. 9二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收2.93.3 3.64.4a5.2 5.9入yy关于t的线性回归方程为y∧=0.5t+2.3，则a的值为______．14. 仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中有 个 小方格．15. 设函数f(x)=x 2+mx +m +3，g(x)=mx −m ，若存在整数x 0满足{f(x 0)<0g(x 0)<0，则实数m 的取值范围是______．16. 函数y =√x −1+13−x 的定义域是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数(用代数形式表示)．18. 已知集合A ={x|x 2−2x −8≤0}，集合B ={x|x 2−(2m −3)x +m 2−3m ≤0,m ∈R}，(Ⅰ)若A ∩B =[2,4]，求实数m 的值；(Ⅱ)设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．19. 已知直线l 的参数方程为{x =2+ty =√3t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.(参考公式cos 2θ−sin 2θ=cos2θ)(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．20. (本小题满分12分)某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为(1)求频率分布直方图中的值；(2)从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；(3)若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在上的概率．21. 为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析．下面是该生前5次考试的成绩． 数学 120 118 116 122 124 物理 7979778283 附b =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2,a ̂=y −−b x −．R 2=1−∑(n i=1y i −y i )2∑(n i=1y i −y −)2．(1)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程；(2)我们常用R 2来刻画回归的效果，其中R 2越接近于1，表示回归效果越好．求R 2．(3)已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？22. 在直角坐标系xOy 中，直线l ：{x =√55ty =1+2√55t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ−4cosθ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(0,1)，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求|PM|⋅|PN|的值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：集合A={1,2，4}，B={2,3，4}，则A∪B={1,2，3，4}．故选：C．由集合的并集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的并集的求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题．2.答案：C解析：本题考查了复数的运算、共轭复数、复数的模，属于基础题．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．解：∵(1+i)z=(3+i)i，(1−i)(1+i)z=(3i−1)(1−i)，∴2z=4i+2，∴z=1+2i．∴|z|=√5．故选C．3.答案：B解析：解：由于命题“a3>b3”的否定为“a3<b3或a3=b3”，故用反证法证明命题“如果a>b，那么a3>b3”时，应假设a3<b3或a3=b3，故选：B．用反证法证明数学命题“如果a>b，那么a3>b3”时，应假设它的否定“a3<b3或a3=b3”.本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“a3>b3”的否定为“a3< b3或a3=b3”，是解题4.答案：D解析：解：由{4−x >0x −2≠0，解得x <4且x ≠2．∴函数f(x)=ln(4−x)x−2的定义域是(−∞,2)∪(2,4)．故选：D ．由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．5.答案：A解析：解：凡自然数都是整数，而4是自然数，所以4是整数． 大前提：“凡自然数都是整数”是正确的， 小前提：“4是自然数”也是正确的， 结论：“4是整数”是正确的， ∴这个推理是正确的， 故选：A ．要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．6.答案：D解析：试题分析：，其对应的点落在第四象限。
2020-2021学年福建省福州市福清市华侨中学高二(下)期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年福建省福州市福清市华侨中学高二(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面内，复数i(2−i)的共轭复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =√2sinθ(θ为参数)，直线l 的参数方程为{x =ty =t +a (t 为参数)，若直线l 与曲线C 相切，则a =( )A. √3B. 2C. ±√3D. ±23. 曲线{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)上的点到原点的最大距离为( ) A. 1 B. √2 C. 2 D. √34. 在极坐标系中，曲线ρ2−6ρcosθ−2ρsinθ+6=0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( )A. √3B. 2√3C. 2√15D. 45. 若0<n <1，则( )A. n 13>n 12 B. (1−n)12>(1+n)12 C. log n (1+n)>0D. log n (1+n)>log n (1−n)6. 已知两点M(−1,0)和N(1,0)，若直线上存在点P ，使|PM|+|PN|=4，则称该直线为“T 型直线”.给出下列直线：①y =x +2；②y =−√3x +1；③y =−x −3；④y =12x +1，其中为“T 型直线”的是( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7. 在平面直角坐标系中，曲线C ：x 2−y 2=36经过伸缩变换{x ′=12x y ′=13y后，所得曲线的焦点坐标为( )A. (0,±√5)B. (±√5,0)C. (0,±√13)D. (±√13,0)8. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为( )A.B.C.D.9. 已知函数f(x)=x −1−lnx ，对定义域内任意x 都有f(x)≥kx −2，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,1−1e 2]B.C.D.10. 若函数y =x 2+(2a −1)x +1在区间(2,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. [−32,+∞)B. (−∞,−32]C. [32,+∞)D. (−∞,32]11. 已知命题甲：，命题乙：，那么甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 已知函数f(x)=xe x −e x −a 有且仅有两个不同的零点，且函数g(x)=xe x −e x 满足：{g(−3),g(2)}min ≤a ≤{g(−3),g(2)}max ，则实数a 的取值范围是( )A. [−4e 3,0)B. (−1,e 2]C. [0,e 2]D. (0,−4e 3]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. sin25°cos5°−cos25°cos95°=______．14. 已知复数z =(1+i)(1−2i)(i 为虚数单位)，则z 的实部为______ ．15. 若不等式(m 2+4m −5)x 2−4(m −1)x +3>0一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是______ ． 16. 15.已知函数满足，当时，若在区间内方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是：三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =1+2t y =2−2t (t 为参数，t ∈R)，曲线C 2：{x =4cosα+4y =4sinα(α为参数)．(Ⅰ)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线C 2的极坐标方程； (Ⅱ)若曲线C 1与曲线C 2相交于点A 、B ，求|AB|．18.在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(3,√5)且倾斜角为π4，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴)中，圆C的方程为p=2√5sinθ．(1)求直线l的参数方程及圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于A，B两点，若点P的坐标为(3,√5)，求|PA|⋅|PB|．19.已知函数f(x)=x+ax−4，g(x)=kx+3．(1)当a=−1时，证明f(x)在区间(0,+∞)是增函数；(2)当a∈[3,4]，函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m)，试求实数m的取值范围；(3)当a∈[1,2]，若不等式|f(x1)|−|f(x2)|<g(x1)−g(x2)对任意x1，x2∈[2,4]，求实数k的取值范围．20.已知函数f(x)=ln(2+3x)+m2x2在x=13处取得极值．(1)求f(x)在[0,1]上的单调区间；(2)若对任意的x∈[16,13]，不等式|a−lnx|+ln[f′(x)+3x]>0恒成立，求实数a的取值范围．21.某工厂的甲、乙两个车间的110名工人进行了劳动技能大比拼，规定：技能成绩大于或等于90分为优秀，90分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个车间工人中随机抽取1人为优秀的概率为311(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与车间有关系？”22.已知函数f(x)=x1nx+(2−a)x，x>1，其中a∈R．(1)求f(x)的单调区间；(2)若存在x∈(1,+∞)，使得不等式f(x0)a<−1成立，求正整数a的最小值【答案与解析】1.答案：D解析：2.答案：C解析：解：曲线C 的参数方程为{x =cosθy =√2sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+y 22=1． 直线l 的参数方程为{x =ty =t +a (t 为参数)，消去参数t 得：x −y +a =0， 由于直线与曲线相切， 则{x 2+y 22=1x −y +a =0整理得2x 2+(x +a)2−2=0，即3x 2+2ax +a 2−2=0，利用△=4a 2−12(a 2−2)=0，解得a =±√3． 故选：C ．首先把参数方程转换为直角坐标方程，进一步把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用直线和曲线的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，直线和曲线的位置关系，判别式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查两点间的距离公式的应用，正弦函数的值域，得到距离的表达式为√1+3cos 2θ，是解题的关键．曲线上的点到原点的距离为2θ +sin 2θ=√1+3cos 2θ≤2．解：曲线{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)上的点到原点的距离为√4cos 2θ +sin 2θ=√1+3cos 2θ≤2， 当且仅当cosθ=±1时，取得最大值2． 故选C ．4.答案：B解析：解：曲线ρ2−6ρcosθ−2ρsinθ+6=0转化成直角坐标方程为： x 2+y 2−6x −2y +6=0． 由于曲线与极轴交于A ，B 两点， 设交点坐标为：A(x 1,0)，B(x 2,0)， 令y =0，则：x 2−6x +6=0， 所以：x 1+x 2=6，x 1x 2=6．则：|AB|=|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3． 故选：B ．首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用在x 轴上的两根和与两根积的关系式，利用两点间的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点间的距离公式的应用，及相关的运算问题．5.答案：A解析：本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用，考查比较大小，特殊值法是解答选择题的有效方法之一，属于基础题．利用特殊值n =12，验证四个选项判断正误即可． 解：∵0<n <1，∴不妨取n =12，对于A ，∵y =(12)x 是减函数，∴(12)13>(12)12，所以A 正确；对于B ，(1−12)12=(12)12<1,(1+12)12>1，所以B 不正确；对于C ，log n (1+n)=log 1232<0，所以C 不正确；对于D ，log n (1+n)=log 1232<0，log n (1−n)=log 1212=1，所以D 不正确．故选A ．6.答案：B解析：解：满足|PM|+|PN|=4的点，在以M ，N 为焦点、长轴等于4的椭圆上，椭圆的方程为x 24+y 23=1． ①联立{y =x +2x 24+y 23=1，得7x 2−16x +4=0，△=(−16)2−16×7>0，直线y =x +2和椭圆有两个交点，满足条件； ②联立{y =−√3x +1x 24+y 23=1，得15x 2−8√3x −16=0， △=(−8√3)2+4×15×16>0，直线y =−√3x +1和椭圆有两个交点，满足条件； ③联立{y =−x −3x 24+y 23=1，得7x 2+24x +24=0， △=(24)2−4×7×24<0，直线y =−x −3与椭圆无交点，故不满足条件； ④联立{y =12x +1x 24+y 23=1，得x 2+x −4=0， △=17>0，直线y =12x +1与椭圆有2个交点，故满足条件． ∴“T 型直线”是①②④． 故选：B ．根据椭圆的定义可得点P 在以M ，N 为焦点、长轴等于4的椭圆上，将问题转化为考查哪些直线和椭圆有交点，从而得到结论．本题考查椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，问题转化为考查直线和椭圆有无交点问题，是中档题．7.答案：D解析：本题考查了曲线的伸缩变换，双曲线的焦点，属于一般题．由{x′=12x y′=13y 可得{x =2x′y =3y′，代入曲线C ：x 2−y 2=36，可得变换后的方程，即可求出曲线的焦点坐标．解：由{x′=12x y′=13y可得{x =2x′y =3y′，代入曲线C：x2−y2=36，可得4x′2−9y′2=36，即x′29−y′24=1，∴a=3，b=2，∴c=√a2+b2=√13，∴焦点坐标为(±√13,0)．故选：D．8.答案：B解析：试题分析：令，所以为增函数，由得，所以．考点：1、导数运算；2、函数的单调性．9.答案：A解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式恒成立问题，属于中档题．问题转化为k≤1+1x −lnxx对任意x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=1+1x−lnxx，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，从而即可求出k的取值范围．解：因为f(x)=x−1−lnx，对定义域内任意x都有f(x)≥kx−2，则k≤1+1x −lnxx对x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=1+1x −lnxx，则g′(x)=lnx−2x，令g′(x)>0，解得：x>e2，令g′(x)<0，解得：0<x<e2，故g(x)在(0,e2)上单调递减，在(e2,+∞)上单调递增，故g(x)的最小值是g(e2)=1−1e，故k≤1−1e2．故选A．10.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，若函数y=x2+(2a−1)x+1在区间(2,+∞)上是增函数，则y′=2x+2a−1≥0在区间(2,+∞)上恒成立，解得答案．解：若函数y=x2+(2a−1)x+1在区间(2,+∞)上是增函数，则y′=2x+2a−1≥0在区间(2,+∞)上恒成立，−x在区间(2,+∞)上恒成立，即a≥12∴a≥−3，2,+∞)，故实数a的取值范围是[−32故选：A11.答案：A解析：本题考查充分条件和必要条件的判断及绝对值不等式的解法，先求出命题乙的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结果．解：由|x−2|<3得−3<x−2<3，即−1<x<5，∵甲为“0<x<5”，∴甲是乙的充分不必要条件．故选A．12.答案：A解析：解：函数f(x)=xe x−e x−a有且仅有两个不同的零点，则a=(x−1)e x有且仅有两个不同的零点，则y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，g′(x)=xe x，令g′(x)>0，解得：x>0，令g′(x)<0，解得：x<0，故g(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，故g(x)min=g(0)=−1，而x→−∞时，g(x)→0，x→+∞时，g(x)→+∞，如图示：=g(2)=e2又g(−3)=−4e≤a<0，结合图象，−4 e3故选：A．问题转化为y=a和g=(x−1)e x的图象有且只有2个不同的交点，根据函数的单调性画出g(x)的图象求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是中档题．13.答案：12解析：解：sin25°cos5°−cos25°cos95°，=sin25°cos5°+cos25°sin5°，=sin30°=1．2故答案为：12利用公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，结合诱导公式，可得答案．本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．14.答案：3解析：解：复数z=(1+i)(1−2i)=1−2i+i+2=3−i，∴z的实部为3．故答案为：3．利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．15.答案：{m|1≤m<19}解析：主要考查了二次函数的基本性质，以及分类讨论的思想．此题要分两种情况：①当m2+4m−5=0时，解出m的值，进行验证；②当m2+4m−5>0时，根据二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即△<0，综合①②两种情况求出实数m的范围．解：①当m2+4m−5=0时，得m=1或m=−5，∵m=1时，原式可化为3>0，恒成立，符合题意;当m=−5时，原式可化为：24x+3>0，对一切实数x不恒成立，故舍去；∴m=1；②m2+4m−5≠0时即m≠1，且m≠−5，∵(m2+4m−5)x2−4(m−1)x+3>0对一切实数x恒成立，∴有{m 2+4m−5>0△=16(m−1)2−12(m2+4m−5)<0，解得1<m<19，综上得1≤m<19，故答案为{m|1≤m<19}．16.答案：解析：17.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 2：{x =4cosα+4y =4sinα(α为参数)．∴曲线C 2的直角坐标方程为(x −4)2+y 2=16，即x 2+y 2−8x =0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2=8ρcosθ，即ρ=8cosθ．(Ⅱ)∵曲线C 1：{x =1+2t y =2−2t(t 为参数，t ∈R)， ∴曲线C 1的普通方程为x −y +3=0，曲线C 2：(x −4)2+y 2=16是以(4,0)为圆心，以r =4为半径的圆，圆心C(4,0)到直线C 1：x −y +3=0的距离d =√2=√2， ∵曲线C 1与曲线C 2相交于点A 、B ，∴|AB|=2√r 2−d 2=2√16−494=√15．解析：(Ⅰ)由曲线C 2的参数方程，能求出曲线C 2的直角坐标方程，由此能求出曲线C 2的极坐标方程． (Ⅱ)由曲线C 1的参数方程求出曲线C 1的普通方程为x −y +3=0，曲线C 2：(x −4)2+y 2=16是以(4,0)为圆心，以r =4为半径的圆，求出圆心C(4,0)到直线C 1：x −y +3=0的距离d ，从而|AB|=2√r 2−d 2，由此能求出结果．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：(1)直线l 过点(3,√5)且倾斜角为π4，参数方程为{x =3+√22t y =√5+√22t(t 为参数)； 圆C 的方程为p =2√5sinθ，直角坐标方程为x 2+(y −√5)2=5；(2){x =3+√22t y =√5+√22t (t 为参数)，代入x 2+(y −√5)2=5，可得t 2+3√2t +4=0， ∵点P 的坐标为(3,√5)，∴|PA|⋅|PB|=4．解析：(1)利用直线l 过点(3,√5)且倾斜角为π4，可得参数方程；根据x =ρcosθ、y =ρsinθ可得圆C 的直角坐标方程；(2)利用参数的几何意义，即可求|PA|⋅|PB|．本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=x −1x −4，设0<m <n ，则f(m)−f(n)=(m −1m −4)−(n −1n −4)=(m −n)−(1m −1n )=(m −n)(1+1mn )，由0<m <n ，可得m −n <0，mn >0，即有f(m)−f(n)<0，即f(m)<f(n)．则有f(x)在区间(0,+∞)是增函数；(2)∵a ∈[3,4]，f(x)=x +a x −4的导数为f′(x)=1−a x 2，∴y =f(x)在(1,√a)上递减，在(√a,+∞)上递增，又∵f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m)，∴f(m)≥f(1)，解得(m −1)(m −a)≥0，∴m ≥a max ，即m ≥4；(3)∵|f(x 1)|−|f(x 2)|<g(x 1)−g(x 2)，∴|f(x 1)|−g(x 1)<|f(x 2)|−g(x 2)恒成立，令F(x)=|f(x)|−g(x)，则F(x)在[2,4]上递增．对于F(x)={(−1−k)x −a x +1,x ∈[2,2+√4−a](1−k)x +a x −7,x ∈(2+√4−a,4], (1)当x ∈[2,2+√4−a]时，F(x)=(−1−k)x −a x +1，①当k =−1时，F(x)=−a x +1在[2,2+√4−a]上递增，所以k =−1符合；②当k <−1时，F(x)=(−1−k)x −a x +1在[2,2+√4−a]上递增，所以k <−1符合； ③当k >−1时，只需√a 1+k ≥2+√4−a ，即√11+k ≥(a √4a −1)max =2+√3， 所以−1<k ≤6−4√3，从而k ≤6−4√3；(2)当x ∈(2+√4−a,4]时，F(x)=(1−k)x +a x ，①当k =1时，F(x)=a x −7在(2+√4−a,4]上递减，所以k =1不符合；②当k >1时，F(x)=(1−k)x +a x −7在(2+√4−a,4]上递减，所以k >1不符合；③当k <1时，只需√a 1−k ≤2+√4−a ，即√11−k ≤(√a √4a −1)min =1+√2， 所以k <2√2−2，综上可知：k ≤6−4√3．解析：(1)运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号和下结论几个步骤；(2)求出f(x)的导数，求得单调区间，解不等式f(m)≥f(1)即可；(3)不等式等价于F(x)=|f(x)|−g(x)在[2,4]上递增，显然F(x)为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．本题利用导数解决与最值、不等式的相关问题，考查分析、计算能力以及分类讨论的思想，属于难题．20.答案：解：(1)由题意得函数f(x)的定义域为{x|x >−23}，f′(x)=32+3x +mx =3+2mx+3mx 22+3x ， 又函数f(x)在x =13处取得极值，∴f′(13)=0，即m =−3， 此时，f′(x)=−3(x+1)(3x−1)2+3x． ∴在[0,1]上，当0≤x <13时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当13<x ≤1，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．∴f(x)在x =13处取得极大值．∴f(x)在[0,1]上的单调递增区间为[0,13]，单调递减区间为[13,1]．(2)∵f′(x)+3x =32+3x ，∴当x ∈[16,13]时，ln[f′(x)+3x]∈[0,ln 65](当且仅当x =13时，ln[f′(x)+3x]=0)．因此，不等式|a −lnx|+ln[f′(x)+3x]>0恒成立的a 的取值范围是(−∞,ln 13)∪(ln 13,+∞)．解析：本题考查函数的求导计算以及利用导数分析函数的单调性，利用恒成立求未知量的取值范围，注意先确定自变量的取值范围．(1)先判断函数的定义域，求函数的导数，根据当导数等于0时函数取到极值，求出m 的值，再判断函数的单调性；(2)先求出函数的导数，再利用恒成立求a 的取值范围．21.答案：10 50 30 50 30 80解析：解：(1)根据题意知，甲、乙两个车间成绩优秀总人数为110×311=30，所以甲车间成绩优秀人数为30−20=10，甲车间成绩非优秀人数为60−10=50，填写列联表如下；(2)根据列联表的数据，计算K 2=110×(10×30−20×50)230×80×60×50≈7.486>6.635，对照临界值得，有99%的可靠性认为“成绩与车间有关系”．(1)根据题意，计算对应的数据，填写列联表即可；(2)根据列联表的数据，计算K 2，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．22.答案：解：(1)∵函数f(x)=x1nx +(2−a)x ，x >1，其中a ∈R ．∴f′(x)=lnx +3−a ，当a ≤3时，f′(x)>0，增区间为(1,+∞)；当a >3时，由f′(x)>0，得x >e a−3，由f′(x)<0，得1<x <e a−1，∴f(x)的减区间为(1,e a−3)，增区间为(e a−3,+∞)．(2)∵存在x∈(1,+∞)，使得不等式f(x0)a<−1成立，∴a>xlnx+2xx−1有解，令ℎ(x)=xlnx+2xx−1，得ℎ′(x)=x−lnx−3(x−1)2，令g(x)=x−lnx−3，则g′(x)=1−1x，∵x>1，∴g′(x)=1−1x>0，∴g(x)是增函数，由g(x1)=x1−lnx1−3=0，得lnx1=x1−3，∴a>ℎ(x1)=x1lnx1+2x1x1−1=x12−x1x1−1=x1，∵g(4)=4−ln4−3=1−ln4≈1−1.39=−0.39<0，g(5)=5−ln5−3=2−ln5≈2−1.61=0.39>0，g(x1)=0，g(x)是增函数，∴4<x1<5，由此根据a∈Z+解得a≥5．∴正整数a的最小值为5．解析：(1)推导出f′(x)=lnx+3−a，由a≤3和a>3，利用分类讨论思想和导数性质能求出f(x)的单调区间．(2)推导出a>xlnx+2xx−1有解，令ℎ(x)=xlnx+2xx−1，得ℎ′(x)=x−lnx−3(x−1)2，令g(x)=x−lnx−3，则g(x)是增函数，且g(x1)=x1−lnx1−3=0，由此利用导数性质能求出正整数a的最小值．本题考查函数的单调区间、正整数的最小值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．。
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2020-2021福州市高中必修二数学下期中模拟试卷附答案一、选择题1．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面2．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞3．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ） A ．3B ．21 C ．22 D ．24．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 5．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=6．若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A ．1-或2 B ．1- C ．2 D ．不存在 7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭9．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．10．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1011．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B ．1033C ．23D ．833二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________. 15．直线与圆交于两点，则________．16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与CD 所成的角为60o ④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒ 则上面结论正确的为_______．17．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．18．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．19．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.三、解答题21．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥；（2）E 是侧棱PC 上一点，记PEPCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 23．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．24．如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，43BC =，BC AC ⊥，3cos 4SCB ∠=-，D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．25．设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈.(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.26．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.(1)证明：BC ⊥平面ACFE ；(2)设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求cos θ的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．3．D解析：D 【解析】 【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形．∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.4．A解析：A 【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 所以22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．6．C解析：C 【解析】 【分析】直接根据直线平行公式得到答案. 【详解】直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则()12a a -=，解得2a =或1a =-.当1a =-时，两直线重合，排除. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，意在考查学生的计算能力，多解是容易发生的错误.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 画出截面图形如图 显然A 正三角形C 正方形： D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形； 故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 故可选A ．8．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。