高考数学真题专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用
专题七不等式第二十一讲不等式的综合应用答案
ax y 4表示的区域不包含点 （2,1），故排除C ,故选D .专题七不等式第二十一讲不等式的综合应用答案部分2019 年1.解析x 0， y0，x 2y 5，x 1 2y 1 2xy x 2y 1罕62网 v xy由基本不等式, 2历亠…2 p 屁各4^3 J xy V v xy（当且仅当2j xy 品时，即J xyxy 3，且 x 2y 5时，即x 3 * *或x;时，等号成立）y 1 y-故斗夕 J xy 的最小值为2010-2018年 1. D 【解析】点（2,1）在直线x y 1上，ax y 4表示过定点（0,4），斜率为 a 的直线, 当a 0时，x ay 2表示过定点（2,0），斜率为 丄的直线，不等式x ay < 2表示 a的区域包含原点，不等式 ax y 4表示的区域不包含原点.直线 ax y 4与直线 x ay 2互相垂直，显然当直线ax y 4的斜率 a 0时，不等式ax 4表示 3 的区域不包含点（2,1），故排除A ;点（2,1）与点（0,4）连线的斜率为 - 23 3a -，即卩 a 一时，ax22y 4表示的区域包含点（2,1），此时xay 2表示的区域也包含点（2,1），故排除1时，2a 1 4 3，则2 aw 2，解得a 2，所以当且仅当解法二由题意x 0时，f (x)的最小值2，所以不等式f(x)弋a|等价于(2,1) A .故选D •2. A【解析】解法一函数f(x)的图象如图所示，当xy 12 a I的图象经过点(0, 2)时，可2a的图象与y X —x的图象相切时，由0，并结合图象可得x 一a2.xx -，得x2，要使f (x)》|—a I恒成立，当a w 0时，需满足a w 2 ,即2w a w 0 , 当a 0时，需满足a w 2，所以x|—a|w 2在R上恒成立.2当a 2^3时，令x 0，得|- 2/3|22，不符合题意，排除C、D;当a 273时，令x 0，得|- 2J3| 2，不符合题意，排除2B；3. C【解析】若｛a n｝是递减的等差数列，则选项A, B都不一定正确. 若｛a n｝为公差为0的等差数列，则选项D不正确.对于C选项，由条件可知｛a n｝为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得a2 =穿，由基本不等式得肓 >屁，所以C正确.4. B【解析】•••0<a<b ,•••宁>底，又f(x) = lnx在(0，+?)上单调递增，故f(Jab)v f(旦+3，即q> P,解法二若(2,1) A a w -时,29.1 1r = -( f (a) + f (b)) = - (In a + ln b) = l^/ab = f (TOb) = p ,故选B.二 p = r vq .D 【解析】 由已知得 3a 4b ab，且ab0,可知a 0,b 0,4 所以43 1(a 0,b 0), a b (ab)(-[) 74b 3a> 7 4/3 .a ba ba b当且仅当4b 3a ——时取等号.abD 【解析】 本题考查的是均值不等式. 因为 1 2x 2y2J 2X 2y ,即2xy22,所以xy2，当且仅当2x2y ，即 x y 时取等号.B 【解析】 由I x23xy 4y 2 z 0,得z x 2 3xy 4y 2.所以空xy111,当且仅当x4yz y x3y5. 6.7. x 3xy 4y x xyxyxyxy当且仅 当x 24y2即x 2y 时,z -有最小值1,xy将x2y 代入原式得 z 2y 2 ,所以x 2y z 2y2y 2y 22y 24y ,当y 1时有最大值2.故选C .；【解析】Q x 3y 口1 5xy ,-35 ,y x1 1 3 1 3x 12y 13 1-(3x 4y)(—-) (- ):匚2 5 y x 5 y x 5 52j x 2 4y 233后逻5.5z x 24y 23 1,x 2y 时取等号此时2y 2,2 1 2y y 丄空)2xy& C【解析】 x 2 3xy 4y 2x 2 4y 23xy10. C 【解析】Q x 3y 1 1 5(3X 4y) (7 -) X 1 3x 12y 片v )13 511. A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为 2Sa b2ab a b 2ab ^/ab T ab.2aba b 2a 2 2a 12. B 【解析】在同一坐标系中作出 y2m7(m 0)，y |log 2 X 图像如下图, 由 Iog 2 X = m ，得 X 1 82m 12 2m8Iog2x| = —8— 2m 1 X 3 1,X 488依题意得a 2 m 2 2m 1 ,b-m- 2m 12 2b a82 2m 1 8m 2 m 12m28 m -----2 2m 1Q m —8— 2m 1 13. B 【解】（方法一）已知 2因为a4 12b 和 v ab31(b)i\ /minaa b 2(j ab)2a(a b) 0，所以 a T ab ，同理由，比较a 与J Ob ,b 2(j ab)2b(b a) 0得 j ab b ；作差法：b -~~b218. 4【解析】所以—b2（方法二） ■ a bb，综上可得a质丁 b;故选B . 则Tab 取 a 2, b 8, 4，竽5，所以a 质专b . 14. D 【解析】 对于 A 取a b 1，此时a 2 b 2 2ab 2，因此A 不正确；对于 1,此时a b 2 2jab 2，因此B 不正确；对于 C 取a b 1 1 2此时1 12亠 a b T ab 2，因此C 不正确；对于D ,v ab 0 , b 0, b0 a a b a A 2 /F I a bY a bD 正确. 15. 1【解析】由a 3b 4 0，得 a 3b 6 , 所以2a 1 8b23b 6 A 2松 2b 2 2 3 1 当且仅当 23b 6，即b 1时等号成立. 16. (1,4) ; (1,3]U(4, ）【解析】若 2，则当X > 2时，令X 4 0，得2 <2当X 2时，令X 4x 3 0 ,得1 X 2 .综上可知1X 4，所以不等式f （x ） 0的解集为(1,4).令X 4 0 ,解得X 4 ;令X 24x 3 解得X为函数f （X ）恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知 17. [1,1]【解析】由题意，U X 2 y 2 X 2 (1 X)2 2x 2 2x 1 2(xf)21 2，且2 2 1 X [0,1]，又 X 0 时，U X y 1 , X -时，u min2 2 2 1 y 1，所以X y 取值范围为[2,1].a4 4b4 1、4a2b2 14ab 丄 A 4 ,ab ab 当且仅当aba 22b 2，且ab -，即a 2— 时取等号. 2 2X 2y 2 £，当 X 1时,0 ,x 30时等号成立. 9解得a 一或a219. 30【解析】总费用为4x600 6x240，当且仅当x 100，即 x21. 综上可得，实数 a 的取值范围是，|].J Q—【解析】由3a b c 0 得，a则 a2 *( b c)2 b 22c 2 2bc2 .2c bc 21，所以 3a 2w 2 ,22. 23. 解得血w a w 毎，故a 的最大值为磴3 3 3-1【解析】设|2a b|最大，则必须a,b 同号, 因为 4a 2 b 2 4ab c 6ab w c 3( — )2, 2Q —I* 故有(2a b)2 w 4c , c > (—于)2，当且仅当2a b 时取等号，此时 4 = 4A 4(1 丄)21> 1 . c b b b 2—2【解析】2 2设 2a b t ，则 2a t b ，因为 4a 2ab 4b c所以将2a tb 代入整理可得6b 2 3tb t 2c 0①,c b 2,20.(,|］【解析】•••[1,4]，二4-[4,5] x①当a > 5时，f(x)2a所以f (x)的最大值2a 5，即②当a < 4时，f (x) 9a -2 4 x - w 5(舍去)③当4 a 5时,f(x)max max{|a| a,| 5 a| a}，则|4 a| a >|5 |4 a| a 5a|a或 14a| a||5 5，当|2a b|取得最大值时，t ,0 ,5 X y w3324. 25. 26. 27. 代入①式得当且仅当 1900 100 焉，再由2a2 祠 4^107c 7c 5时等号成立. 【解析】（I ） F 当且仅当V 11时等号成立. / 、 L 76000 ” (n) F -------------- w 20 5 g V ---- 18 V 2000 1900 100.-2【解析】；T a > —a— 4|a| 当且仅当 V4|a| b 3 r c ~ 2V 10，V c V c76000 / 76000----------- ___________ 20 6.05 18 2A 21 181900, 倍2。
2021年高考数学分项汇编 专题07 不等式(含解析)文
2021年高考数学分项汇编专题07 不等式（含解析）文一．基础题组1. 【xx课标全国Ⅱ，文3】设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最小值是( )．A．－7 B．－6 C．－5 D．－3【答案】：B2. 【xx全国新课标，文5】已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )A．(,2) B．(0,2)C．(,2) D．(0,)【答案】A3. 【xx全国2，文2】不等式＜0的解集为( )A．{x|－2＜x＜3} B．{x|x＜－2}C．{x|x＜－2或x＞3} D．{x|x＞3}【答案】：A【解析】原不等式等价于(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3.4. 【xx全国2，文5】若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】：C5. 【xx全国2，文5】不等式＞0的解集是( )(A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞)【答案】：C【解析】 .二．能力题组1. 【xx全国2，文9】设，满足约束条件则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故只需将直线经过可行域，尽可能平移到过A点时，取到最大值．，得，所以．xyx-3y+3=0x+y-1=0x-y-1=0–1–2–3–41234–1–2–3–41234AO2. 【xx全国新课标，文9】设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}等于( ) A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}【答案】：B3. 【xx全国3，文16】已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是【答案】12三．拔高题组1. 【xx全国新课标，文11】当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是( )A．(0，) B．(，1)C．(1，) D．(，2)【答案】 B2. 【xx全国新课标，文11】已知ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是( )A．(－14,16) B．(－14,20) C．(－12,18) D．(－12,20) 【答案】：B-`;35306 89EA 觪-31372 7A8C 窌 q^] 38346 95CA 闊。
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高考数学真题专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用
专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 2．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[- 3．（2015北京）设{}n a 是等差数列．下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->4．（2015陕西）设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 5．（2014重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ．326+B ．327+C ．346+D ．347+ 6．（2013福建）若122=+yx ，则y x +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞7．（2013山东）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时， 212x y z+-的最大值为A ．0B ．1C ．94D ．3 8．（2013山东）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为A ．0B ．98C ．2D ．949．（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245 B ．285C ．5D ．6 10．（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 A ．245 B ．285C ．5D ．6 11．（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则 A ．a v ab <<B ．v abC ab <v <2a b + D ．v =2a b+12．（2012湖南）已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值为 A ．2 B ．82 C ．384 D ．34413．（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b ab +<<<B ．2a ba ab b +<<< C ．2a b a ab b +<<< D 2a bab a b +<<<14．（2011上海）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．2a b ab +≥C ．11a b ab+> D ．2b aa b +≥ 二、填空题15．(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab +的最小值为 ．16．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是___________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 17．(2017北京)已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是_______．18．（2017天津）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．19．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是 ． 20．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．21．（2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是__； 22．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为 ． 23．（2014辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 ． 24．（2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时． 25．（2013天津）设a + b = 2， b >0， 则当a = 时， 1||2||a a b+取得最小值. 26．（2013四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__． 27．（2011浙江）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是____． 28．（2011湖南）设,x y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为 ．29．（2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ； ③222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥。
高考数学真题分类专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用答案
专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用答案部分2019年1.解析 0x >，0y >，25x y +=，===由基本不等式，22xy==时，即3xy =，且25x y +=时，即31x y =⎧⎨=⎩或x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2010-2018年1．D 【解析】点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-， 当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立． 当a=0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ； 当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．3．C 【解析】若{}n a 是递减的等差数列，则选项,A B 都不一定正确．若{}n a 为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{}n a 为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得1322a a a ，由基本不等式得13132a a aa ，所以C正确． 4．B 【解析】∵0a b ，∴2a bab ，又()ln f x x 在(0,)上单调递增，故()2a bf f ，即q p ，∵11(()())(ln ln )ln ()22rf a f b a b ab f ab p ，∴p r q ．5．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b +=(0,0a b >>)，4343()()77b aa b a b a b a b+=++=+++≥ 当且仅当43b aa b=时取等号．6．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为yx y x 222221⋅≥+=，即222-+≤y x ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号． 7．B 【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+．所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =zxy. xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2yy x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ， 故选B.8．C 【解析】由22340x xy yz -+-=得2243x y xy z +-=，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥=-=， 当且仅当224x y =即2x y =时，zxy有最小值1， 将2x y =代入原式得22z y =，所以22222224x y z y y y y y +-=+-=-+， 当1y =时有最大值2．故选C ．9．C 【解析】35x y xy +=，135y x+=， 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.10．C 【解析】35x y xy +=，135y x+=，113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥113236555⨯⨯+=. 11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，则222112S ab v ab S Sa b aba ba b===<=+++． ∵ a b <,∴ 2222ab a v a a b a=>=+,∴a v ab <<．选A ． 12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =821m +(0m >)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==． 依题意得8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==．8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()82b a ∴=13．B 【解】（方法一）已知a b <2a bab +<，比较a ab因为22()()0a ab a a b -=-<，所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b <；作差法：022a b b ab +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a ba b +<<<；故选B ． （方法二）取2a =，8b =，4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<．14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时22a b +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b +=-<=，因此C 不正确；对于D ，∵0ab >， ∴0b a >，0b a>∴2b a a b +=≥，D 正确． 15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥， 当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立． 16．(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．17．1[,1]2【解析】由题意，22222211(1)2212()22u x y x x x x x =+=+-=-+=-+，且[0,1]x ∈，又0x =时，221u x y =+=，12x =时，22min 12u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1[,1]2．18．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥ ，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =时取等号．19．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．20．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=， 解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．21．30a b c ++=得，a b c =--，则2222()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤，又2221a b c ++=，所以232a ≤，解得33a -≤≤，故a的最大值为3． 22．－1【解析】设|2|a b +最大，则必须,a b 同号，因为22224463()2a b a b ab c ab c +++=++≤， 故有2(2)4a b c +≤，22()2a b c +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2c b =， 所以124a b c ++=2244114()112b b b +=+--≥．23．－2 【解析】 设2a b t +=，则2a t b =-，因为224240a ab b c -+-=， 所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①， 由0∆≥解得t ≤2a b +取得最大值时，t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c +=222=--≥． 当且仅当52c =时等号成立． 24．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v==⨯++，当且仅当11v =时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v==⨯++，当且仅当10v =时等号成立．20001900100-=．25．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b=<，即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b+取得最小值时，2a =-． 26．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x x a x x=+≥=，当且仅当4ax x=，即3x ==，解得36a =． 27．3【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤， ∴24()3x y +≤，3x y +≤．28．9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=．29．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥， 命题③正确；1122a b a b ab ab++==≥，命题⑤正确．。
2021年高考数学分项汇编 专题7 不等式(含解析)理
2021年高考数学分项汇编专题7 不等式（含解析）理一．基础题组1. 【xx全国卷Ⅰ，理3】不等式||＜1的解集为…（）A.{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|-1＜x＜0}D.{x|x＜0}【答案】：D2. 【xx全国，理14】设x，y满足约束条件130,x yx yxy≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩－－，＋，，，则z＝x－2y的取值范围为__________．【答案】：[－3,3］3. 【xx全国1，理13】若满足约束条件则的最大值为．【答案】：9．4. 【xx全国，理14】设，式中变量x、y满足下列条件则z的最大值为。
【答案】115. 【xx 全国1，理13】若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m mm 则【答案】155二．能力题组1. 【xx 课标Ⅰ，理9】不等式组的解集为D,有下面四个命题：， ，，其中的真命题是（ ）A ．B ． C． D ．【答案】B x y–1–2–3–41234–1–2–3–41234O A2. 【xx 全国1，理9】在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】B3. 【xx高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【考点定位】线性规划解法三．拔高题组1. 【2011全国新课标，理13】若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为__________．【答案】-634017 84E1 蓡36611 8F03 較22408 5788 垈25533 63BD 掽32762 7FFA 翺21068 524C 剌L]L26426 673A 机 36249 8D99 趙:31784 7C28 簨31869 7C7D 籽。
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题21不等式选讲含解析理
专题21 不等式选讲【2024年】1.（2024·新课标Ⅰ）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 2.（2024·新课标Ⅱ）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.3.（2024·新课标Ⅲ）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 （1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题. 4.（2024·江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【2024年】1．【2024年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满意abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥ =3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．2．【2024年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．3．【2024年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．4．【2024年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-；当0≤x≤12时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>12时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x<->或．【2024年】1. （2024年全国I卷理数）[选修4–5：不等式选讲]已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．【解析】（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．2. （2024年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．3. （2024年全国Ⅲ卷理数） [选修4—5：不等式选讲]设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1）的图像如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5。
文科数学高考真题分类训练专题七 不等式第二十一讲 不等式综合应用答案
高中复习系列资料专题七 不等式第二十一讲 不等式综合应用答案部分1.解析0x >，0y >，24x y +=，而()()1212212552x y xy x y xy xyxyxyxy++++++===+.由基本不等式有42x y =+…所以02xy <<（当且仅当22x y ==时，即2x =，1y =时，等号成立）.所以552xy …，5592222xy ++=…， 所以()()121x y xy++的最小值为92. 2010-2018年1．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立． 当a=0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ； 当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．4．C 【解析】解法一 ∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b+=，所以111a b =+=≥(当且仅当2a b ==时去等号)2． 又a b +≥当且仅当2a b ==时去等号)，所以4a b +≥(当且仅当2ab ==时去等号)． 解法二∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b+=， 所以11()()224a ba b a b abb a +=++=+++=≥(当且仅当2a b==时去等号)．5．C 【解析】解法一 由已知122b aa b ab++==0,0a b >>，∴2b a =+≥ab ≥解法二 由题意知0,0a b >>12a b =+≥ab ≥ 6．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b+=(0,0a b >>)，43()()a b a b a b +=++=4377b aa b+++≥． 当且仅当43b aa b=时取等号． 7．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为yx y x 222221⋅≥+=，即222-+≤y x ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号． 8．B 【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+．所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =zxy. xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2yy x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ，故选B. 9．C 【解析】由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥=-=， 当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，zxy有最小值1， 将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C. 10．C 【解析】Q 35x y xy +=，135y x+=，113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=. 11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，则22211S ab v S Sa b a ba b===<=+++ ∵ a b <,∴ 2222ab a v a a b a=>=+,∴a v <<选A.12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =821m +(0m >)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==. 依照题意得8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++Q ，min ()82b a ∴=13．B 【解】（方法一）已知a b <2a bab +<，比较a ab22()()0a ab a a b -=-<，所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b ；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a bb +<， 综上可得2a ba ab b +<<<；故选B ． （方法二）取2a =，8b =4ab =，52a b +=，所以2a ba ab b +<<<． 14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时222a b ab +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b ab+=-<=，因此C 不正确；对于D ， ∵0ab >，∴0b a >，0ba>，∴22b a b a a b a b +⋅=≥，D 正确．15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥， 当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立． 16．1[,2]8【解析】当30x -≤≤时，()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x ++--≤恒成立，即232a x x --+≤恒成立，所以2min (32)2a x x --+=≤；当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立，即22x x a -+≥恒成立，所以2max 1()28x x a -+=≥．综上，a 的取值范围是1[,2]8．17．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥ ，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =，24b =时取等号.18．8【解析】由题意有121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥．当且仅当4b aa b=，即4b =，2a =时等号成立．19．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．20．-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否定“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +≤”是真命题， 由于a b c >>，所以2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <， 因此a ，b ，c 依次取整数-1，-2，-3，满足a b c +≤．()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题．21．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．22．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN上， 由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为[-．23．24a b =+++92+≤ 9418a b =+++=．当且仅当13a b +=+且5a b +=，即73,22a b ==时等号成立． 24 【解析】 由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy --⊗==，因为00x y >>，，所以，22222242(2)22x y y x x y x y y x xy xy xy --+⊗+⊗=+=≥=x =时，(2)x y y x ⊗+⊗．25．30a b c ++=得，a b c =--，则2222()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤，又2221a b c ++=，所以232a ≤，解得33a -≤≤，故a的最大值为3． 26．－1【解析】设|2|a b +最大，则必须,a b 同号，因为22224463()2a b a b ab c ab c +++=++≤， 故有2(2)4a b c +≤，22()2a b c +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2c b =， 所以124a b c ++=2244114()112b b b +=+--≥．27．－2【解析】设2a b t +=，则2a t b =-，因为224240a ab b c -+-=， 所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①， 由0∆≥解得t ≤2a b +取得最大值时，t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c +=222=--≥． 当且仅当52c =时等号成立． 28．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v==⨯++，当且仅当11v = 时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v==⨯++，当且仅当10v =时等号成立．20001900100-=．29．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b=<，即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b+取得最小值时，2a =-．30．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x a x =+≥=，当且仅当4ax x=，即3x ==，解得36a =．31【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤，∴24()3x y +≤，x y +．32．9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=．33．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥⇒≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；1122a b a b ab ab++==≥，命题⑤正确．。
【高考数学】专题七 不等式第二十一讲 不等式综合应用(含答案)
x + 2 y − z 的最大值为
A．0
B． 9 8
C．2
D． 9 4
10．（2012 浙江）若正数 x, y 满足 x + 3y = 5xy ，则 3x + 4 y 的最小值是
A． 24 5
B． 28 C．5 D．6 5
11．（2012 陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b （ a b ），其全程的平均时速为 v ，
的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 x 的值是
．
20．（2017 北京）能够说明“设 a ， b ， c 是任意实数．若 a b c ，则 a + b c ”是假命
题的一组整数 a ， b ， c 的值依次为____________________．
21．（2017 浙江）已知 a R ，函数 f (x) =| x + 4 − a | +a 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 x
段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a, b ，当 m 变化时， b 的最小值为 a
A．16 2
B.8 2
C. 8 3 4
D. 4 3 4
13．（2011 陕西）设 0 a b ，则下列不等式中正确的是
A． a b ab a + b 2
B． a ab a + b b 2
B．[−2,0]
C．[−2,+) D． (−,−2]
8．（2013 山东）设正实数 x, y, z 满足 x2 − 3xy + 4 y2 − z = 0 ．则当 xy 取得最大值时， z
2 + 1 − 2 的最大值为 xyz
A．0
高考数学试题汇编基本不等式、不等式的综合应用
第三节 基本不等式、不等式的综合应用高考试题考点一 利用基本不等式证明1.(2012年福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( ) (A)lg(x 2+14)>lg x(x>0) (B)sin x+1sin x≥2(x ≠k π,k ∈Z) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R) (D)211x +>1(x ∈R) 解析:对于选项A,显然x=12时,不成立; 对于选项B,当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确; 对于选项C,由基本不等式得x 2+1≥2|x|(x ∈R),选项C 正确; 对于选项D,因x 2+1≥1,所以211x +≤1.故选C. 答案:C2.(2011年上海卷,理15)若a 、b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )(A)a 2+b 2>2ab (B)a+b ≥(C)1a +1b (D)b a +ab≥2 解析:对于选项A,a 2+b 2≥2ab,所以选项A 错;对于选项B 、C,虽然ab>0,只能说明a 、b 同号,若a 、b 都小于0时,选项B 、C 错; 对选项D,∵ab>0,∴b a >0,a b >0,则b a +ab≥2. 故选D. 答案:D考点二 利用基本不等式求最值1.(2013年重庆卷,理≤a ≤3)的最大值为( )(A)9 (B)92 (C)3 解析:法一 由-6≤a ≤3,得3-a ≥0,a+6≥0,362a a -++=92, 当且仅当3-a=a+6, 即a=-32时取等号. 故选B.法二 y=(3-a)(a+6)=-a 2-3a+18=-(a+32)2+814,当且仅当a=-32时y取最大值814.92.故选B.答案:B2.(2011年重庆卷,理7)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是( )(A)72(B)4 (C)92(D)5解析:∵a>0,b>0,a+b=2,∴2a b+=1.y=(1a+4b)·2a b+=12(1+4+ba+4ab)=12(5+ba+4ab)≥12=92(当且仅当a=23,b=43时取“=”).故选C.答案:C3.(2012年湖南卷,理8)已知两条直线l1:y=m和l2:y=821m+(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,ba的最小值为( )解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由|log2x|=m,得x1=2-m,x2=2m,|log2x|=821m+,得x3=8212m-+,x4=8212m+,则ba=8218212222mmm m+--+--=8212m+·2m=18122122m +-+（2m+1）≥722当且仅当m=32时,等号成立.故选B. 答案:B4.(2010年重庆卷,理7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是( ) (A)3(B)4(C)92(D)112解析:∵2xy=8-(x+2y), 故8-(x+2y)≤(22x y +)2, ∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0, 解得x+2y ≥4或x+2y ≤-8(舍去), ∴x+2y 的最小值为4. 故选B. 答案:B5.(2013年天津卷,理14)设a+b=2,b>0,则当a= 时,12a +a b取得最小值. 解析:由a+b=2,b>0, 则12a +a b =4a b a ++a b =4a a +4b a +a b, 由a ≠0,若a>0, 则原式=14+4b a +a b ≥1454, 当且仅当b=2a=43时等号成立, 若a<0, 则原式=-14-4b a -a b ≥-14=34, 当且仅当b=-2a 即a=-2,b=4时等号成立, 综上得当a=-2时,12a +a b取得最小值34.答案:-26.(2011年湖南卷,理10)设x 、y ∈R,且xy ≠0,则 (x 2+21y )(21x+4y 2)的最小值为 . 解析:因为x 、y ∈R,且xy ≠0,所以x 2y 2>0.所以(x 2+21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2+221x y +4≥当且仅当4x 2y 2=221x y ,即x 2y 2=12时等号成立.答案:9考点三 利用不等式求参数的取值范围1.(2012年浙江卷,理17)设a ∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x 2-ax-1)≥0,则a= .解析:设f(x)=(a-1)x-1,g(x)=x 2-ax-1,易知f(x)与g(x)都过点(0,-1), ∴f(x)与g(x)在(0,+∞)同正同负, ∴a-1>0且g(11a -)=0, ∴有211a ⎛⎫⎪-⎝⎭-a(11a -)-1=0, 化简得2a 2-3a=0,∴a=32,a=0(舍去). 答案:322.(2010年山东卷,理14)若对任意x>0,231xx x ++≤a 恒成立,则a 的取值范围是 .解析:因为x>0, 所以x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号), 所以有231x x x ++=113x x++≤123+=15,即231x x x ++的最大值为15,故a ≥15. 答案:[15,+∞) 3.(2010年天津卷,理16)设函数f(x)=x 2-1,对任意x ∈[32,+∞),f(x m)-4m 2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数m 的取值范围是 .解析:依据题意得22x m-1-4m 2(x 2-1)≤(x-1)2-1+4(m 2-1)在x ∈[32,+∞)上恒成立,即21m-4m 2≤-23x -2x +1在x ∈[32,+∞)上恒成立. 当x=32时,函数y=-23x -2x +1取得最小值-53, 所以21m -4m 2≤-53, 即(3m 2+1)(4m 2-3)≥0,解得m ≤或m答案:(-∞∪,+∞) 4.(2010年湖南卷,理20)已知函数f(x)=x 2+bx+c(b,c ∈R),对任意的x ∈R,恒有f'(x)≤f(x). (1)证明:当x ≥0时,f(x)≤(x+c)2;(2)若对满足题设条件的任意b 、c,不等式f(c)-f(b)≤M(c 2-b 2)恒成立,求M 的最小值.(1)证明:易知f'(x)=2x+b. 由题设知对任意x ∈R,2x+b ≤x 2+bx+c,即x 2+(b-2)x+c-b ≥0恒成立,则(b-2)2-4(c-b)≤0,从而c ≥24b +1,于是c ≥1,且c ≥因此2c-b=c+(c-b)>0.故当x ≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0,即当x ≥0时,f(x)≤(x+c)2.(2)解:由(1)知c ≥|b|.当c>|b|时,有M ≥22()()f c f b c b --=22222c b bc b c b -+--=2c bc b++.令t=b c ,则-1<t<1,2c b c b ++=2-11t+.而函数g(t)=2-11t+(-1<t<1)的值域是(-∞,32).因此,当c>|b|时,M 的取值范围为[32,+∞). 当c=|b|时,由(1)易知b=±2,c=2. 此时f(c)-f(b)=-8或0,c 2-b 2=0,从而f(c)-f(b)≤32(c 2-b 2). 综上所述,M 的最小值为32. 5.(2013年安徽卷,理21)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n 位学生,每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X. (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (2)求使P(X=m)取得最大值的整数m.解:(1)因为事件A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件B:“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件,所以A 与B 相互独立.由于P(A)=P(B)=11k n k n C C --= kn,故P(A )=P(B )=1-kn, 因此学生甲收到活动通知信息的概率P=1-(1-k n)2=222kn k n -.(2)当k=n 时,m 只能取n,有P(X=m)=P(X=n)=1.当k<n 时,整数m 满足k ≤m ≤t,其中t 是2k 和n 中的较小者.由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(k n C )2.当X=m 时,同时收到李老师和张老师所发信息的学生人数恰为2k-m,仅收到李老师或仅收到张老师所发信息的学生人数均为m-k.由乘法计数原理知:事件{X=m}所含基本事件数为2k k mm k n kn k C C C ---=k m k m k n k n k C C C ---.此时P(X=m)=()22k k m m kn k n k k nC C C C ---= m k m k k n k kn C C C ---.当k ≤m<t 时,P(X=m)≤P(X=m+1)⇔m k m k kn kC C---≤11m k m k kn kCC+-+--⇔(m-k+1)2≤(n-m)(2k-m)⇔m ≤2k-2(1)2k n ++. 假如k ≤2k-2(1)2k n ++<t 成立,则当(k+1)2能被n+2整除时,k ≤2k-2(1)2k n ++<2k+1-2(1)2k n ++≤t.故P(X=m)在m=2k-2(1)2k n ++和m=2k+1-2(1)2k n ++处取得最大值;当(k+1)2不能被n+2整除时,P(X=m)在m=2k-[2(1)2k n ++]处取得最大值.(注:[x]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k-2(1)2k n ++<t. 因为1≤k<n,所以2k-2(1)2k n ++-k=212kn k n --+≥2(1)12k k k n +--+=12k n -+≥0.而2k-2(1)2k n ++-n=-2(1)2n k n -++<0,故2k-2(1)2k n ++<n,显然2k-2(1)2k n ++<2k.因此k ≤2k-2(1)2k n ++<t. 考点四 不等式的综合应用1.(2013年山东卷,理12)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当xy z 取得最大值时,2x +1y -2z的最大值为( ) (A)0 (B)1 (C)94(D)3 解析:由x 2-3xy+4y 2-z=0(x,y,z>0), 得3xy+z=x 2+4y 2≥2x ·2y,即xy ≤z,xyz≤1当且仅当x=2y 时等号成立, 当x=2y 时,z=4y 2-6y 2+4y 2=2y 2. 则2x +1y -2z =22y +1y -222y =-21y +2y=-(21y -2y ) =-(1y-1)2+1. 故当1y =1,即y=1时,2x +1y -2z的最大值为1. 故选B.答案:B2.(2010年湖北卷,理15)设a>0,b>0,称2aba b+为a,b 的调和平均数.如图,C 为线段AB 上的点,且AC=a,CB=b,O 为AB 中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于点D,连接OD,AD,BD.过点C 作OD 的垂线,垂足为E.则图中线段OD 的长度是a,b 的算术平均数,线段 的长度是a,b 的几何平均数,线段 的长度是a,b 的调和平均数.解析:在Rt △ABD 中DC 为高, 则由射影定理可得CD 2=AC ·CB,故CD=ab ,即CD 的长度为a,b 的几何平均数, 将OC=a-2a b +=2a b-, CD=ab ,OD=2a b+代入OD ·CE=OC ·CD 中可得 CE=a bab a b-+, 故OE=22OC CE -=2()2()a b a b -+,所以ED=OD-OE=2aba b+, 故DE 的长度为a,b 的调和平均数. 答案:CD DE3.(2013年湖南卷,理20)在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 解:(1)设点P 的坐标为(x,y).(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x ∈R,y ∈[0,+∞).(2)由题意知,点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y ≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|. 因为d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3| ≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立. 又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x ∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立, 所以d 1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立. d 2(y)=2|y|+|y-20|≥21, 当且仅当y=1时,等号成立.故点P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y ≤1时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y ≥21. 由①知,d 1(x)≥24, 故d 1(x)+d 2(y)≥45, 当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.模拟试题考点一 利用基本不等式证明1.(2013北京丰台区期末)“x>0”是“x+1x≥2”的( ) (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充分且必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:当x>0时,x+1x≥2因为x,1x同号, 所以若x+1x ≥2,则x>0, 1x>0. 所以x>0是x+1x≥2成立的充要条件.选C. 答案:C2.(2012东城区二模)设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) (A)(a+b)(1a +1b)≥4 (B)lgb a +lg ab≥2 (C)a 2+b 2+2≥2a+2b解析:∵(a+b)(1a +1b)≥·当且仅当a=b 时,等号成立, ∴选项A 成立;∵a 2+b 2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,∴选项C 成立;对于选项D,如果a<b,显然成立, 如果a>b,a-b ≥+b ⇔≤0,而)≤0成立,故选项D 也成立. 对于选项B,显然当0<ba<1时不成立. 故选B. 答案:B考点二 利用基本不等式求最值1.(2012郑州质检)若a>b>0,则代数式a 2+1()b a b -的最小值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:a 2+1()b a b -≥a 2+212b a b +-⎛⎫⎪⎝⎭=a 2+24a ≥4, 当且仅当22,4,0,b a b a a a b =-⎧⎪⎪=⎨⎪>>⎪⎩即时,等号成立.故选C. 答案:C2.(2012武汉质检)双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的离心率为2,则213b a+的最小值为( )(C)2 (D)1 解析:已知双曲线的离心率是2,故2=c a= 解得ba, 所以213b a +=2313a a +=a+13a,当且仅当a 2=13时等号成立,. 故选A. 答案:A考点三 含参数的不等式的恒成立问题1.(2012哈师大附中月考)已知关于x 的不等式2x+2x a-≥7在x ∈(a,+∞)上恒成立,则实数a 的最小值为( ) (A)1 (B)32(C)2 (D)52解析:由2x+2x a -=2(x-a)+ 2x a -+2a ≥=4+2a ≥7, 得a ≥32,故实数a 的最小值为32. 故选B. 答案:B2.(2013昆明一中检测)已知m>0,a 1>a 2>0,则使得21m m+≥|a i x-2|(i=1,2)恒成立的x 的取值范围是( )(A)[0,12a ] (B)[0,22a ] (C)[0,14a ] (D)[0,24a ] 解析:21m m +=m+1m≥2,所以要使不等式恒成立, 则有2≥|a i x-2|(i=1,2)恒成立, 即-2≤a i x-2≤2, 所以0≤a i x ≤4, 因为a 1>a 2>0,所以1240,40,x a x a ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩即0≤x ≤14a , 所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0,14a ].故选C. 答案:C考点四 不等式的综合应用1.(2013北京东城区期末)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价2p q+%,若p>q>0,则提价多的方案是 . 解析:设原价为1,则提价后的价格: 方案甲:(1+p%)(1+q%), 乙:(1+2p q +%)2,≤1+%2p +1+%2q =1+2p q +%,因为p>q>0,2p q +%, 即(1+p%)(1+q%)<(1+2p q +%)2,所以提价多的方案是乙.答案:乙2.(2011十堰二模)设M 是△ABC 内一点,且AB ·AC ,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m 、n 、p 分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积,若f(M)=(12,x,y),则1x +4y 的最小值是 .解析:根据题意AB ·AC =|AB ||AC |cos ∠可得|AB ||AC |=4,所以S △ABC =12|AB ||AC |sin ∠BAC=12×4×12=1, 则12+x+y=1,即x+y=12, 所以1x +4y =2(x+y)·(1x +4y ) =2(1+4+yx +4xy )≥2×(5+4)=18. 当且仅当yx =4xy ,即x=16,y=13时取等号.答案:18综合检测1.(2013昆明三中模拟)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x 2+y 2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则1a +1b 的最小值为()(A)14(C)32(D) 32解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线ax-by+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2, 所以2a+b=1,所以1a +1b =(1a +1b )(2a+b) =12+1+b a +2ab≥32=32当且仅当b a =2a b ,即a 2=2b 2时取等号,所以1a +1b 的最小值为32故选C. 答案:C2.(2012年高考重庆卷)若函数f(x)=x+12x -(x>2)在x=a 处取最小值,则a 等于( )(D)4解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=x-2+12x -+2≥+2=4, 当且仅当x-2=12x -(x>2),即x=3时取等号, 即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.故选C.答案:C3.(2011宿州模拟)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy ≥m-2恒成立,则实数m 的最大值是 .解析:由x>0,y>0,xy=x+2y ≥得xy ≥8,于是由m-2≤xy 恒成立,得m-2≤8,m ≤10,故m 的最大值为10.答案:10。
高考数学真题专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用答案
专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用答案部分1．D 【解析】点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-， 当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．3．C 【解析】若{}n a 是递减的等差数列，则选项,A B 都不一定正确．若{}n a 为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{}n a 为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得1322a a a +=，由基本不等式得132a a +C 正确．4．B 【解析】∵0a b <<，∴2a b+()ln f x x =在(0,)+?上单调递增，故()2a bf f +<，即q p >，∵11(()())(ln ln )22r f a f b a b f p =+=+===，∴p r q =<．5．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b +=(0,0a b >>)，4343()()77b aa b a b a b a b+=++=+++≥ 当且仅当43b aa b=时取等号．6．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号． 7．B 【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+．所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =zxy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2yy x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ， 故选B.8．C 【解析】由22340x xy y z -+-=得2243x y xy z +-=，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥=-=， 当且仅当224x y =即2x y =时，zxy有最小值1， 将2x y =代入原式得22z y =，所以22222224x y z y y y y y +-=+-=-+， 当1y =时有最大值2．故选C ． 9．C 【解析】Q 35x y xy +=，135y x+=， 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=. 10．C 【解析】Q 35x y xy +=，135y x+=， 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=. 11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，则22211S ab v S Sa b a ba b===<=+++ ∵ a b <,∴ 2222ab a v a a b a=>=+,∴a v <<A ． 12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =821m +(0m >)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==． 依题意得8218218218212222,22,22m m m mmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==．8141114312122222m m m m +=++-≥-=++Q ，min ()82b a ∴=13．B 【解】（方法一）已知a b <2a bab +<，比较a ab因为22()()0a ab a a b -=-<，所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b <；作差法：022a b b ab +--=>， 所以2a b b +<，综上可得2a ba ab b +<<<；故选B ． （方法二）取2a =，8b =，4ab =，52a b +=，所以2a ba ab b +<<<．14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时222a b ab +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b ab+=-<=，因此C 不正确；对于D ，∵0ab >， ∴0b a >，0b a> ∴2b a b a a b a b+⋅=≥，D 正确．15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥， 当且仅当363122b b-=，即1b =时等号成立． 16．(1,4)；(1,3](4,)+∞U 【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．17．1[,1]2【解析】由题意，22222211(1)2212()22u x y x x x x x =+=+-=-+=-+，且[0,1]x ∈，又0x =时，221u x y =+=，12x =时，22min 12u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1[,1]2．18．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥ ， 当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =时取等号．19．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．20．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．210a b c ++=得，a b c =--，则2222()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤，又2221a b c ++=，所以232a ≤，解得a ，故a22．－1【解析】设|2|a b +最大，则必须,a b 同号，因为22224463()2a b a b ab c ab c +++=++≤， 故有2(2)4a b c +≤，22()2a b c +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2c b =， 所以124a b c ++=2244114()112b b b +=+--≥．23．－2 【解析】 设2a b t +=，则2a t b =-，因为224240a ab b c -+-=， 所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①， 由0∆≥解得t ≤2a b +取得最大值时，t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c +=222=--≥． 当且仅当52c =时等号成立． 24．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v==⨯++，当且仅当11v =时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v==⨯++，当且仅当10v =时等号成立．20001900100-=．25．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b=<，即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b+取得最小值时，2a =-．26．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x a x =+≥=，当且仅当4ax x=，即3x ==，解得36a =．27．3【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤，∴24()3x y +≤，3x y +≤．28．9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=．29．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥， 命题③正确；1122a b a b ab ab++==≥，命题⑤正确．。
高考数学 专家讲坛 第7讲 不等式及综合应用(含2013试题,含点评)
高考数学 专家讲坛 第7讲 不等式及综合应用（含2013试题，含点评）真题试做►———————————————————1．(2012·高考浙江卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285 C ．5 D ．62．(2012·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．考情分析►———————————————————不等式部分在高考中往往是一到两个填空题，重点考查一元二次不等式、简单的线性规划问题和基本不等式在求最值中的应用，解答题一般没有纯不等式的题目，而会穿插在其他知识中进行综合考查．一元二次不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决相关数学问题的基础与工具．在近几年的高考中，涉及二次不等式的试题占有较大的比例，试题形式活泼且多种多样，既有填空题，又有解答题，多数是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，考查不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，以及逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的综合数学能力，充分体现了不等式的知识所具有的极强的辐射作用．考点一 一元二次不等式解一元二次不等式，换元法和图解法是常用的技巧之一，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准更清晰．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}(2)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．1≤a ≤19B ．1<a <19C ．1≤a <19D ．1<a ≤19【思路点拨】 (1)涉及分段函数的有关问题，求解时应按分段函数中每段的定义域进行分类．(2)本题的解题思路是：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴上方，则对应不等式ax 2＋bx ＋c >0对一切x ∈R 恒成立．(1)解一元二次不等式通常先将不等式化为ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式，然后求出对应方程的根(若有根的话)，再写出不等式的解；(2)解指数、对数不等式，可以考虑把不等式的两边化成同底数的幂或同底数的对数的形式，然后再根据指数函数、对数函数的单调性，把它化为代数不等式，但要注意对数不等式的真数大于零这一隐含条件；(3)求解分段函数条件下的不等式，应按每段定义域对应下的函数解析式分别转化为一般不等式求解；(4)求解一元二次不等式在区间上恒成立的问题一般是把一元二次不等式看作二次函数，通过二次函数的图象判断函数图象在这个区间上与x 轴的相对位置，列出不等式恒成立满足的条件．强化训练1 解不等式：(1)x ＋64－x≤1；(2)log 12(x 2＋2x －3)>log 12(3x ＋1)．.考点二 简单的线性规划问题熟悉二元一次不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示平面区域的判定方法，会求与平面区域相关的整点、面积等问题．掌握线性规划问题的解题步骤，结合目标函数的几何意义，利用数形结合思想解答．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．(1)几何意义法：指根据目标函数表达式的特征找到其所代表的几何意义，结合图形求解，它是解决中学阶段线性规划问题的一般方法，高考范围内的所有线性规划问题都可采用这一方法．常见目标函数表示的几何意义有截距、向量投影(目标函数是整式)、斜率(目标函数是分式)、距离(目标函数是两个完全平方式之和)、点线距(目标函数是二元一次因式的绝对值)等．(2)变量替代法：指把目标函数z 代换到原约束条件中去，得到新的不等式组，画出此时的平面区域，观察左右或上下边界即可得到目标函数z 的值域(最值)．(3)解不等式法：指在目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题中，把目标函数z 代换到原约束条件中去，得到z 的不等式组，直接放缩求解．(4)界点定值法：指通过总结，若目标函数和约束条件都是线性的线性规划问题，对应目标函数最值的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点，这时要求目标函数的值域，只要把可行域的几个顶点代入，找到目标函数几个取值中最大的和最小的，即目标函数的最大值和最小值．强化训练2 设定点A (3，0)，动点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则|OP →|cos∠AOP (O 为坐标原点)的最大值为________．考点三 基本不等式及其应用 利用基本不等式及变形求最值，掌握基本不等式及变形求函数的最大值和最小值；能灵活应用基本不等式解答函数和数列等综合问题．(2012·高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2【思路点拨】 先据已知条件用a 和b 表示出平均时速为v ，再据基本不等式求出v 与a ＋b2，ab ，a 之间的大小关系． 基本不等式是高考的重点与热点之一，同时也是解决很多函数最值问题的重要手段，我们常用“一正，二定，三相等”来表明应用基本不等式的原则，当题目的条件不满足这一前提，就需要适当的“凑”与“配”．高考中，以填空题形式考查是常见的一种形式，有时也和函数结合在一起以解答题的形式考查．强化训练3 (2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3不等式与四类知识的交汇不等式是中学数学中重要的基础知识，是分析和解决各种数学问题的重要工具，它的思想方法和内容几乎遍布高中数学的每一个章节，应用十分广泛，与其他知识的交汇是高考中常考常新的问题，应该引起我们的重视，下面分类解析不等式与其他知识点的交汇问题．一、不等式与集合的交汇已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≥1}，N ＝{x |x ＋1x －2≥0}，则∁U (M ∩N )＝________．【解析】 易求得N ＝{x |x ≤－1或x >2}，而M ＝{x |x ≥1}，∴M ∩N ＝{x |x >2}，∴∁U (M ∩N )＝{x |x ≤2}．【答案】 {x |x ≤2} 本题主要考查分式不等式的解法及集合的交集、补集运算，不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考常考内容，要认真掌握，并确保得分．二、不等式与逻辑条件的交汇(2013·云南师大附中月考改编)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0；若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．【解析】 对于p ：－1≤x ≤4，对于q 讨论如下，当m >0时，q ：3－m ≤x ≤3＋m ；当m <0时，q ：3＋m ≤x ≤3－m ，若p 是q 的充分不必要条件，只需要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.【答案】 (－∞，－4]∪[4，＋∞)对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(3)讨论判别式是否大于0，当判别式大于0时，判断两根的大小关系．三、不等式与函数的交汇函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，当x >0时，f (x )>0，且不等式f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0对所有θ恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 令x 1＝x 2＝0，则f (0)＝f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0. 由题意，对于任意实数x ∈R ，f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数． 对任意实数x 1<x 2，则x 2－x 1>0， 所以f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，则f (x )是增函数．由题意，得f (cos 2θ－3)>－f (4m －2m cos θ)＝f (2m cos θ－4m )．又f (x )是增函数，则原不等式等价于cos 2θ－3>2m cos θ－4m 对所有θ恒成立，分离参数，得m >2－cos 2θ2－cos θ＝－[(2－cos θ)＋22－cos θ]＋4，由于2－cos 2θ2－cos θ的最大值是4－2 2.故实数m 的取值范围是(4－22，＋∞)．利用函数性质法求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性等性质，找到参数满足的不等式．四、不等式与数列的交汇已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ≥1)．(1)设b n ＝a n －1(n ＝1，2，3…)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝2n a n ·a n ＋1，求证：数列{c n }的前n 项和S n <13.【证明】 (1)由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)， ∴{a n －1}是以a 1－1＝2为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －1＝2×2n －1＝2n ，∴a n ＝2n＋1，∴c n ＝2n a n a n ＋1＝2n （2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1， ∴S n ＝(121＋1－122＋1)＋(122＋1－123＋1)＋…＋(12n ＋1－12n ＋1＋1)＝13－12n ＋1＋1<13.本题以数列为载体考查了不等式的证明，解题的关键是熟练掌握等比数列的定义、数列求和方法等数列知识._体验真题·把脉考向_1．【解析】选C.∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.2．【解析】由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )＜c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ， 即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ，－a2＋c ＝m ＋6.①②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9. 【答案】9_典例展示·解密高考_ 【例1】【解析】(1)当x ＋1<0，即x <－1时， f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x .∴原不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x )≤1.①由①得－x 2≤1，x ∈R ，此时不等式的解集为{x |x <－1}． 当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，∴原不等式可化为x ＋(x ＋1)x ≤1.② 解②得－2－1≤x ≤2－1，此时不等式的解集为{x |－1≤x ≤2－1}．综上可知，原不等式的解集为{x |x <－1}∪{x |－1≤x ≤2－1}＝{x |x ≤2－1}． (2)因为函数f (x )的图象恒在x 轴上方，所以不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立．①当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式可化为24x ＋3>0，不满足题意； 若a ＝1，不等式可化为3>0，满足题意．②当a 2＋4a －5≠0时，应有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）<0， 解得1<a <19.综上，可得a 的取值范围是1≤a <19. 【答案】(1)C (2)C[强化训练1]【解】(1)原不等式可变形为x ＋64－x－1≤0，即x ＋6－（4－x ）4－x ≤0，化简得x ＋1x －4≥0.此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －4）≥0，x －4≠0，解得x ≤－1，或x >4.故原不等式的解集为{x |x ≤－1，或x >4}．(2)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，3x ＋1>0，x 2＋2x －3<3x ＋1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |1<x <1＋172 【例2】【解】法一：(截距法)先作出可行域，如图(1)中的△ABC 及其内部(阴影部分)，且求得A (5，2)，B (1，1)，C (1，225)，作出直线L 0：2x －y ＝0，再将直线L 0平移．当L 0的平行线过C 点时，可使z ＝2x －y 达到最小值；当L 0的平行线过A 点时，可使z ＝2x －y 达到最大值．所以z min ＝－125，z max ＝8.图(1)法二：(变量替代法)将y ＝2x －z 代入原约束条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧－7x ＋4z ≤－3，13x －5z ≤25，x ≥1，把z 看作纵轴，画出此不等式组表示的平面区域，如图(2)所示(阴影部分)，可知最高点P (5，8)，最低点Q (1，－125)，所以z min ＝－125，z max ＝8.图(2)法三：(解不等式法)由解法二，可知⎩⎪⎨⎪⎧－7x ＋4z ≤－3，13x －5z ≤25，x ≥1，可变为⎩⎪⎨⎪⎧4z ＋37≤x ，x ≤5z ＋2513，x ≥1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤5z ＋2513，4z ＋37≤5z ＋2513，解得－125≤z ≤8.故z 的最大值为8，z 的最小值为－125.法四：(界点定值法)先作出可行域，如图(1)中的△ABC 及其内部(阴影部分)，可求得A (5，2)，B (1，1)，C (1，225)．把△ABC 的顶点A ，B ，C 的坐标代到目标函数中求出z 值分别为8，1，－125，比较大小，可知z 的最大值为8，z 的最小值为－125.[强化训练2]【解析】|OP →|·cos ∠AOP ＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋03＝x .作出动点P (x ，y )的坐标满足约束条件的平面区域如图所示，由图形，可知当点P 是直线x ＋y ＝6与y ＝2的交点时，x 取最大值．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，y ＝2，得P (4，2)．所以x 的最大值为4，即|OP →|cos ∠AOP 的最大值为4. 【答案】4。
高考数学复习考点知识归纳专题解析21不等式选讲(解析版)
高考数学复习考点知识归纳专题解析专题21 不等式选讲考点知识归纳常考点01 绝对值不等式的求解 (1)【典例1】 ................................................................................................................................................ 1 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 3 【变式演练1】 ........................................................................................................................................ 3 常考点02含绝对值不等式的恒成立问题 .. (5)【典例2】 ................................................................................................................................................ 5 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 7 【变式演练2】 ........................................................................................................................................ 8 常考点03 不等式的证明 .. (9)【典例3】 ................................................................................................................................................ 9 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................. 10 【变式演练3】 ...................................................................................................................................... 11 【冲关突破训练】 .. (12)常考点01 绝对值不等式的求解【典例1】1．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数()3121f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()()1f x f x >+的解集．【解析】（1）∵()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图像，如图所示：（2）将函数()f x 的图像向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图像，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-，∴不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．2．（2020江苏23）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩，21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤，∴解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【考点总结与提高】1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集(2)|ax+b|≤c (c>0)和|ax+b|≥c (c>0)型不等式的解法 |ax+b|≤c ⇔-c ≤ax+b ≤c ; |ax+b|≥c ⇔ax+b ≥c 或ax+b ≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.【变式演练1】1．已知函数()|1||23|f x x x =+--． （I ）在图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式|()|1f x >的解集．【解析】(1)如图所示：(2)，．当，，解得或，； 当，，解得或，或； 当，，解得或，或．综上，或或，，解集为．2．已知()211f x x x =-++.（1）画出函数()f x 的图象；()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >1x -≤41x ->5x >3x <1x -∴≤312x -<<321x ->1x >13x <113x -<<∴312x <<32x ≥41x ->5x >3x <332x <∴≤5x >13x <13x <<5x >()1f x >∴()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，（2）求不等式()()1f x f x <-的解集.【答案】（1）见解析；（2）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）函数()f x 的图象如图所示；（2）将()f x 的图象向右平移一个单位得到函数(1)f x -的图象，()y f x =的图象与(1)=-y f x 的图象的交点坐标为39,44⎛⎫ ⎪⎝⎭，由图象可知当且仅当34x <时，()y f x =的图象在(1)=-y f x 的图象下方， ∴不等式()(1)f x f x <-的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．常考点02含绝对值不等式的恒成立问题【典例2】1.（2021年全国甲卷）已知函数()2f x x =-，()2321g x x x =+--.（1）画出()y f x=和()y g x=的图像. （2）若()()f x ag x+≥，求a的取值范围. 【答案】见解析【解析】易知34,231 ()42,2214,2xg x x xx⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则()y f x=和()y g x=的图像为（1）由（1）中的图可知，()y f x a=+是()y f x=左右平移a个单位得到的结果，向右平移不合题意，向左平移至()y f x a=+的右支过点曲线，()y g x=上的1(,4)2点为临界状态，此时()y f x a=+右支的解析式为2y x a=+-，由点1(,4)2在2y x a=+-可知1422a=+-，解得112a=，若要满足题意，则()y f x a=+要再向左平移，则112a≥,则a的取值范围为11[,)2+∞2.（2021年全国乙卷）已知函数()|||3|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()f x ≥6的解集； （2）若()f x a >-，求a 的取值范围.【答案】（1）(,4][2,)-∞-+∞；（2）3(,)2a ∈-+∞【解析】（1）当1a =时，()f x ≥6|1||3|x x ⇔-++≥6， 当x ≤3-时，不等式13x x ⇔---6，解得x ≤4-； 当31x -<<时，不等式13x x ⇔-++≥6，解得x ∈∅； 当x ≥1时，不等式13x x ⇔-++≥6，解得x ≥2. 综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞. （2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3|f x x a x =-++≥|()(3)|x a x --+|3|a =+（当且仅当()(3)x a x -+≤0时，等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∈-+∞.【考点总结与提高】1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决. 2．巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.(1)求|a|-|b|的范围:若a±b 为常数M,可利用||a|-|b||≤|a±b|⇔-|M|≤|a|-|b|≤|M|确定范围. (2)求|a|+|b|的最小值:若a±b 为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.3．f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a,f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a.【变式演练2】1．已知函数()221f x x a x a =-+-+． （1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞．【思路导引】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果． 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞．2．已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，，求的取值范围． 【解析】（1）当a=1时，．()|||2|().f x x a x x x a =-+--1a =()0f x <(,1)x ∈-∞()0f x <a ()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---当时，；当时，，∴不等式的解集为． （2）因为，∴．当，时， ∴的取值范围是．常考点03 不等式的证明【典例3】1．（2020全国Ⅲ文理23）设,,,0,1a b c a b c abc ∈++==R ． （1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用{}max ,,a b c 表示,,a b c 的最大值，证明：{}max ,,a b c ≥． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）证明：().0,02=++∴=++c b a c b a,0222222=+++++∴ca ac ab c b a 即()222222c b a ca bc ab ++-=++ .0,0222<++∴<++∴ca bc ab ca bc ab（2）证法一：不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=，当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c ．证法二：不妨设403<<<≤c b a ，则,4,41133>=-->=cb ac ab 而1132a b ->--≥>==矛盾，∴命题得证．2．（2021全国I 文理23）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．1x <2()2(1)0f x x =--<1x ≥()0f x ≥()0f x <(,1)-∞()=0f a 1a ≥1a ≥(,1)x ∈-∞()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----a [1,)+∞222111a b c a b c ++≤++333()()()24a b b c c a +++≥++【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）因为，又， 故有，∴．（2）因为为正数且，故有=24．∴．【考点总结与提高】1．基本不等式(1)基本不等式:如果a,b>0,那么2a b+≥a=b 时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即123nn n a a a a n+++≥,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.2．柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d 都是实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,当且仅当ad=bc 时,等号成立. (2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时,等号成立.(3)二维形式的三角不等式:设x 1,y 1,x 2,y 2∈R ,.(4)一般形式的柯西不等式:设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n 是实数,则(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,…,n )或存在一个数k 使得a i =kb i (i=1,2,…,n )时,等号成立.3．证明不等式的基本方法2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥1abc =222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++222111a bc a b c++≤++, , a b c 1abc =333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c 3≥⨯⨯⨯333()()()24a b b c c a +++++≥(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法和放缩法;(5)数学归纳法.【变式演练3】1．设，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立． ∴的最小值为． （2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立，因此的最小值为．由题设知，解得或．2．已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)()()554a b a b ++≥； (2)2a b +≤．,,x y z ∈R 1x y z ++=222(1)(1)(1)x y z -++++2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥3a ≤-1a ≥-2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥531313z =-222(1)(1)(1)x y z -++++432[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-43a x -=13a y -=223a z -=222(2)(1)()x y z a -+-+-2(2)3a +2(2)133a +3a -1a -【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++()22244ab a b=+-≥．（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+， ∴3()8a b +≤，因此2a b +≤．【冲关突破训练】1．设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围． 【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，∴()f x ≥2． （Ⅱ）1(3)33f a a=++-． 当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a＜52+；当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12+＜a ≤3．综上：a的取值范围是（12+，52+）． 2．设函数，其中． （Ⅰ）当时，求不等式的解集； （Ⅱ）若不等式的解集为，求a 的值．【解析】（Ⅰ）当时，可化为，由此可得或．()3f x x a x =-+0a >1a =()32f x x ≥+()0f x ≤{}|1x x ≤-1a =()32f x x ≥+|1|2x -≥3x ≥1x ≤-故不等式的解集为或． ( Ⅱ) 由得，此不等式化为不等式组或，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aax ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为，∴不等式组的解集为，由题设可得=，故．3．已知()|1||1|f x x ax =+--． (1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，∴21≥a，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．4．设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．()32f x x ≥+{|3x x ≥1}x ≤-()0f x ≤30x a x -+≤30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩0a >{}|2a x x ≤-2a-1-2a =(2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ． 由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，∴a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞． 5．设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．6．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤，∴()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =，∴()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥． 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，∴(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤，∴a 的取值范围为[1,1]-．7．已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤； 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．∴()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤，且当32x =时，2512=4x x x x +---+，故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+． 解不等式|22|26x -+，得13x -，因此()6f x ≤的解集为{|13}x x -．（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， ∴当x R ∈时，()()3f x g x +等价于|1|3a a-+．①当1a时，①等价于13a a -+，无解． 当1a >时，①等价于13a a -+，解得2a．∴a 的取值范围是[2,)+∞．9．已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->， 当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤． ∴()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． （Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，∴函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．∴a 的取值范围为(2,)+∞．10．已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+， 则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．11．设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab >cd>>||||a b c d-<-的充要条件．【解析】（Ⅰ）∵2()2a b a b ab+=++，2()2c d c d cd+=++，由题设a b c d+=+，ab cd>得22>>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d-<-，则22()()a b c d-<-，即22()4()4a b ab c d cd+-<+-．因为a b c d+=+，∴ab cd>，由（Ⅰ）得a b c d+>+．>22>，即a b c d++>++因为a b c d，∴ab cd，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d-=+-<+-=-．因此||||a b c d-<-．>||||a b c d-<-的充要条件．12．设均为正数，且，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca+≥+≥+≥得222a b c ab bc ca++≥++，由题设得()21a b c++=，即2222221a b c ab bc ca+++++=，∴()31ab bc ca++≤，即13ab bc ca++≤．（Ⅱ）∵2222,2,2a b cb ac b a cb c a+≥+≥+≥，∴222()2()a b ca b c a b cb c a+++++≥++，即222a b ca b cb c a++≥++，∴2221a b cb c a++≥．,,a b c1a b c++=13ab bc ca++≤2221a b cb c a++≥。
2021届高考数学总复习模块七选考模块第21讲不等式选讲学案文
第21讲不等式选讲1.[2021·全国卷Ⅰ]函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)假设不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.[试做]命题角度含绝对值的不等式的解法含绝对值不等式的解题策略:关键一:运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论;关键二:运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解.2.[2021·全国卷Ⅱ]a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.[试做]命题角度不等式的证明不等式证明的方法有比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中公式法常用的是根本不等式和柯西不等式.3.[2021·全国卷Ⅲ]函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.[试做]命题角度关于含绝对值不等式的恒成立问题解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为:①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;②f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;③f(x)>a有解⇔f(x)max>a;④f(x)<a有解⇔f(x)min<a;⑤f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;⑥f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.解答1含绝对值的不等式的解法1 设函数f(x)=|2x-a|+5x,其中a>0.(1)当a=3时,求不等式f(x)≥5x+1的解集;(2)假设不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.[听课笔记]【考场点拨】高考常考的含有绝对值的不等式的解法:(1)利用零点分区间讨论法.以绝对值的零点为分界点,将数轴分成几个区间,运用分类讨论思想对每个区间进展讨论.(2)利用绝对值的几何意义求解.即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离(范围)问题结合.解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用.(3)构造函数去解决.一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数,剩余的局部构造成另一个函数,画出函数图像,利用数形结合的方法解决问题.【自我检测】函数f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;(2)假设f(x)≤|2x+1|的解集包含3,2,求实数m的取值范围.4解答2不等式的证明2 函数f(x)=|x+1|-|x-4|.(1)假设f(x)≤-m2+6m恒成立,求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,设m的最大值为m0,a,b,c均为正实数,当3a+4b+5c=m0时,证明:a2+b2+c2≥12.[听课笔记]【考场点拨】高考中不等式证明的关注点:不等式证明的方法有比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中以比拟法和综合法最为常见,反证法和分析法也是我们常用的,公式法常用的是根本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是证明不等式的利器,又是求二元变量关系式最值的法宝.【自我检测】函数f(x)=|x-1|+|x-5|.(1)解关于x的不等式f(x)>6;(2)记f(x)的最小值为m,实数a,b,c都是正实数,且1a +12a+13a=a4,求证:a+2b+3c≥9.解答3含绝对值不等式的恒成立问题3 函数f(x)=|x-2|-|2x-2|.(1)求不等式f(x)+1>0的解集;(2)当x∈R时,f(x)<-x+a恒成立,求实数a的取值范围.[听课笔记]【考场点拨】利用绝对值不等式恒成立求参数的值或范围,一般采用别离参数法,然后使用结论:(1)如f(x)>g(a)恒成立,那么转化为f(x)min>g(a);(2)如f(x)<g(a)恒成立,那么转化为f(x)max<g(a).【自我检测】设函数f(x)=|x+a|+|x-3a|,a∈R.(1)假设f(x)的最小值是4,求a的值;(2)假设对于任意的实数x∈R,总存在a∈[-2,3],使得m2-4|m|-f(x)≤0成立,求实数m的取值范围.第21讲不等式选讲典型真题研析1.解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√172.所以f(x)≥g(x)的解集为{a|-1≤a≤-1+√172}.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2,且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+a)24(a+b)=2+3(a+a)34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.3.解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3.因此,f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3等价于|1-a|+a ≥3.① 当a ≤1时,①等价于1-a+a ≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a ≥3,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞). 考点考法探究解答1例1 解:(1)当a=3时,不等式f (x )≥5x+1即|2x-3|+5x ≥5x+1,即|2x-3|≥1,解得x ≥2或x ≤1,∴不等式f (x )≥5x+1的解集为{x|x ≤1或x ≥2}.(2)由f (x )≤0得|2x-a|+5x ≤0,即{a ≥a 2,7a -a ≤0或{a <a2,3a +a ≤0,又a>0,∴不等式f (x )≤0的解集为x x ≤-a3, 由题意得-a3=-1,解得a=3. 【自我检测】解:(1)当m=-1时,f (x )=|x-1|+|2x-1|.①当x ≥1时,f (x )=3x-2≤2,此时1≤x ≤43; ②当12<x<1时,f (x )=x ≤2,此时12<x<1; ③当x ≤12时,f (x )=2-3x ≤2,此时0≤x ≤12.综合①②③可知,原不等式的解集为{a |0≤a ≤43}.(2)由题意可知f (x )≤|2x+1|在34,2上恒成立,当x ∈34,2时,由f (x )=|x+m|+|2x-1|=|x+m|+2x-1≤|2x+1|=2x+1,可得|x+m|≤2, 即-2≤x+m ≤2,所以-2-x ≤m ≤2-x ,又(-2-x )max =-114,(2-x )min =0,所以m ∈-114,0.解答2例2 解:(1)不等式f (x )≤-m 2+6m 恒成立等价于f (x )max ≤-m 2+6m , 而f (x )=|x+1|-|x-4|≤|x+1-(x-4)|=5,∴-m 2+6m ≥5,∴1≤m ≤5,即实数m 的取值范围为[1,5].(2)证明:在(1)的条件下,m 的最大值m 0=5,即3a+4b+5c=5, 由柯西不等式得(a 2+b 2+c 2)·(9+16+25)≥(3a+4b+5c )2, 即50(a 2+b 2+c 2)≥25,∴a 2+b 2+c 2≥12.【自我检测】解:(1)f (x )=|x-1|+|x-5|,所以由f (x )>6得{a <1,1−a +5−a >6或{1≤a ≤5,a -1+5-a >6或{a >5,a -1+a -5>6,解得x<0或x>6,所以不等式f (x )>6的解集为(-∞,0)∪(6,+∞).(2)证明:由f (x )=|x-1|+|x-5|≥|x-1-(x-5)|=4(当且仅当1≤x ≤5时取等号), 得f (x )min =4,即m=4,从而1a +12a +13a =1,所以a+2b+3c=1a +12a +13a(a+2b+3c )=3+a 2a +2aa+a 3a +3aa+2a 3a +3a 2a≥9(当且仅当a=2b=3c=3时取等号).解答3例3 解:(1)当x ≤1时,f (x )=x ,∴f (x )+1>0即为x+1>0,解得x>-1,此时-1<x ≤1;当1<x ≤2时,f (x )=-3x+4,∴f (x )+1>0即为-3x+5>0,解得x<53,此时1<x<53;当x>2时,f (x )=-x ,∴f(x)+1>0即为-x+1>0,解得x<1,此时x∈⌀.综上可知,f(x)+1>0的解集为x-1<x<53.(2)由(1)知f(x)={a,a≤1,-3a+4,1<a≤2, -a,a>2.作出y=f(x)的图像,如下图:结合图像可知,要使f(x)<-x+a恒成立,只需当x=1时,f(x)<-x+a,即1<-1+a,解得a>2,∴实数a的取值范围为(2,+∞).【自我检测】解:(1)∵f(x)=|x+a|+|x-3a|≥|(x+a)-(x-3a)|=4|a|,且f(x)min=4,∴4|a|=4,解得a=±1.(2)由题知|m|2-4|m|≤4|a|,又a是存在的且a∈[-2,3].∴|m|2-4|m|≤4|a|max=12,即|m|2-4|m|-12≤0,即(|m|-6)(|m|+2)≤0,∴|m|≤6,∴-6≤m≤6,即实数m的取值范围为[-6,6].[备选理由] 在不等式的证明中,反证法也是解决问题的一个重要思路,备用例1是对例2应用的一个补充.例1[配例2使用]函数f(x)=|2x-a|,g(x)=x+2,a∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)+f(-x)≤g(x)的解集;(2)假设b ∈R,求证:fa 2,f -a 2,f12中至少有一个不小于12.解:(1)当a=1时,f (x )+f (-x )≤g (x )即|2x-1|+|2x+1|≤x+2,所以{a ≤−12,-4a ≤a +2,无解;{-12<a <12,2≤a +2,解得0≤x<12;{a ≥12,4a ≤a +2,解得12≤x ≤23.综上,原不等式的解集为x 0≤x ≤23.(2)证明:(反证法)假设fa 2,f -a 2,f12都小于12,那么{ -12<a -a <12,-12<a +a <12,-12<a -1<12,前两式相加可得-12<a<12,与第三式12<a<32矛盾,故假设不成立. 所以f (a2),f (-a2),f (12)中至少有一个不小于12.。
高中数学复习专题讲座不等式的综合应用
高中数学复习专题讲座不等式的综合应用 高考要求不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决咨询题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出 不等式的应用大致可分为两类 一类是建立不等式求参数的取值范畴或解决一些实际应用咨询题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值咨询题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的咨询题 重难点归纳 1 应用不等式知识能够解决函数、方程等方面的咨询题，在解决这些咨询题时，关键是把非不等式咨询题转化为不等式咨询题，在化归与转化中，要注意等价性 2 关于应用题要通过阅读，明白得所给定的材料，查找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的要紧特点与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的咨询题 典型题例示范讲解例1用一块钢锭烧铸一个厚度平均，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，那么当h 为何值时，V最大？求出V 的最大值(求解此题时，不计容器厚度) 命题意图 此题要紧考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的运算及用均值定论求函数的最值 知识依靠 此题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值 错解分析 在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0 技巧与方法 此题在求最值时应用均值定理 解 ①设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h h h a V (h ＞0)得 2121)1(31=⋅=++=hh h h hh V 而 因此V ≤61，当且仅当h =h1即h =1时取等号 故当h =1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米 例2a ，b ，c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1(1)证明 |c |≤1；(2)证明 当－1 ≤x ≤1时，|g (x )|≤2；(3)设a ＞0，有－1≤x ≤1时， g (x )的最大值为2，求f (x ) 命题意图 此题要紧考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析咨询题和解决咨询题的能力 知识依靠 二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是此题的灵魂 错解分析 此题综合性较强，其解答的关键是对函数f (x )的单调性的深刻明白得，以及对条件〝－1≤x ≤1时|f (x )|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空泛，缺乏严密，从而使题目陷于僵局 技巧与方法 此题(2)咨询有三种证法，证法一利用g (x )的单调性；证法二利用绝对值不等式 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |；而证法三那么是整体处理g (x )与f (x )的关系(1)证明 由条件当=1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，取x =0得 |c |=|f (0)|≤1，即|c |≤1(2)证法一 依题设|f (0)|≤1而f (0)=c ，因此|c |≤1 当a ＞0时，g (x )=ax +b 在［－1，1］上是增函数，因此g (－1)≤g (x )≤g (1)，(－1≤x ≤1)∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，|c |≤1，∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤|f (1)|+|c |=2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(|f (－2)|+|c |)≥－2，因此得|g (x )|≤2 (－1≤x ≤1)；当a ＜0时，g (x )=ax +b 在［－1，1］上是减函数，因此g (－1)≥g (x )≥g (1)，(－1≤x ≤1)，∵|f (x )|≤1 (－1≤x ≤1)，|c |≤1∴|g (x )|=|f (1)－c |≤|f (1)|+|c |≤2综合以上结果，当－1≤x ≤1时，都有|g (x )|≤2 证法二 ∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)∴|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，|f (0)|≤1，∵f (x )=ax 2+bx +c ，∴|a －b +c |≤1，|a +b +c |≤1，|c |≤1， 因此，依照绝对值不等式性质得|a －b |=|(a －b +c )－c |≤|a －b +c |+|c |≤2，|a +b |=|(a +b +c )－c |≤|a +b +c |+|c |≤2，∵g (x )=ax +b ，∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2，函数g (x )=ax +b 的图象是一条直线，因此|g (x )|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x =－1或x =1处取得，因此由|g (±1)|≤2得|g (x )|≤2，(－1＜x ＜1))21()21(])21()21([])21()21([)2121(])21()21[()(,)21()21(4)1()1(:22222222--+=+-+--++++=--++--+=+=∴--+=--+=x f x f c x b x a c x b x a x x b x x a b ax x g x x x x x 证法三 当－1≤x ≤1时，有0≤21+x ≤1，－1≤21-x ≤0， ∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，∴|f )21(+x |≤1，|f (21-x )|≤1； 因此当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤|f )21(+x |+|f (21-x )|≤2 (3)解 因为a ＞0，g (x )在［－1，1］上是增函数，当x =1时取得最大值2，即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2 ①∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1，∴c =f (0)=－1因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，依照二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图象的对称轴， 由此得－ab 2＜0 ，即b =0 由①得a =2，因此f (x )=2x 2－1例3设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)，方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2a1 (1)当x ∈［0，x 1)时，证明x ＜f (x )＜x 1； (2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，证明 x 021x 解 (1)令F (x )=f (x )－x ，因为x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，因此F (x )=a (x －x 1)(x －x 2) 当x ∈(0，x 1)时，由于x 1＜x 2，得(x －x 1)(x －x 2)＞0，又a ＞0，得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)＞0，即x ＜f (x )x 1－f (x )=x 1－［x +F (x )］=x 1－x +a (x 1－x )(x －x 2)=(x 1－x )［1+a (x －x 2)］∵0＜x ＜x 1＜x 2＜a1，∴x 1－x ＞0，1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2＞1－ax 2＞0 ∴x 1－f (x )＞0，由此得f (x )＜x 1(2)依题意 x 0=－ab 2，因为x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根∴x 1+x 2=－ab 1- ∴x 0=－aax ax a x x a a b 2121)(22121-+=-+=，因为ax 2＜1， ∴x 0＜2211x a ax = 学生巩固练习 1 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，给出以下不等式，其中正确不等式的序号是( )①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ) A ①③ B ②④ C ①④ D ②③ 2 以下四个命题中 ①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ，y 差不多上正数，假设yx 91+=1，那么x +y 的最小值是12 ④假设|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，那么|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是__________ 3 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存物资的运费y 2与到车站的距离成正比，假如在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分不为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处 4 二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )=x 的两实数根为x 1，x 2(1)假如x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证x 0＞－1；(2)假如|x 1|＜2，|x 2－x 1|=2，求b 的取值范畴 5 某种商品原先定价每件p 元，每月将卖出n 件，假假设定价上涨x成(那个地点x 成即10x ，0＜x ≤10) 每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原先的 z 倍(1)设y =ax ，其中a 是满足31≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)假设y =32x ，求使售货金额比原先有所增加的x 的取值范畴 6 设函数f (x )定义在R 上，对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1(1)求证 f (0)=1，且当x ＜0时，f (x )＞1；(2)求证 f (x )在R 上单调递减；(3)设集合A ={ (x ，y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}，集合B ={(x ，y )|f (ax －g +2)=1，a ∈R }，假设A ∩B =∅，求a 的取值范畴 7 函数f (x )=1222+++x c bx x (b ＜0)的值域是［1，3］， (1)求b 、c 的值；(2)判定函数F (x )=lg f (x )，当x ∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；(3)假设t ∈R ，求证 lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤513 参考答案1 解析 由题意f (a )=g (a )＞0，f (b )=g (b )＞0，且f (a )＞f (b )，g (a )＞g (b ) ∴f (b )－f (－a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b )而g (a )－g (－b )=g (a )－g (b )∴g (a )+g (b )－［g (a )－g (b )］=2g (b )＞0，∴f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )同理可证 f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )答案 A2 解析 ①②③不满足均值不等式的使用条件〝正、定、等〞④式 |x －y |=|(x －2)－(y －2)|≤|(x －2)－(y －2)|≤|x －2|+|y －2|＜ε+ε=2ε 答案 ④ 3 解析 由y 1=x20；y 2=0 8x (x 为仓库与车站距离) 费用之和y =y 1+y 2=0 8x + x 20≥2x x 208.0⋅=8 当且仅当0 8x =x20即x =5时〝=〞成立 答案 5公里处4 证明 (1)设g (x )=f (x )－x =ax 2+(b －1)x +1，且x ＞0∵x 1＜2＜x 2＜4，∴(x 1－2)(x 2－2)＜0，即x 1x 2＜2(x 1+x 2)－4，12)42(212)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---⋅=-=x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得(2)解 由方程g (x )=ax 2+(b －1)x +1=0可知x 1·x 2=a1＞0，因此x 1，x 2同号 1°假设0＜x 1＜2，那么x 2－x 1=2，∴x 2=x 1+2＞2，∴g (2)＜0，即4a +2b －1＜0 ① 又(x 2－x 1)2=44)1(22=--a ab ∴2a +1=1)1(2+-b (∵a ＞0)代入①式得， 21)1(2+-b ＜3－2b② 解②得b ＜41 2°假设 －2＜x 1＜0，那么x 2=－2+x 1＜－2∴g (－2)＜0，即4a －2b +3＜0③ 又2a +1=1)1(2+-b ，代入③式得21)1(2+-b ＜2b －1④ 解④得b 47 综上，当0＜x 1＜2时，b ＜41，当－2＜x 1＜0时，b 47 5 解 (1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分不是 p (1+10x )元、n (1－10y )元、npz 元， 因而)10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=， 在y =ax 的条件下，z =1001［－a ［x －aa )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］ 由于31≤a ＜1，那么0＜aa )1(5-≤10要使售货金额最大，即使z 值最大，现在x =a a )1(5- (2)由z =1001 (10+x )(10－32x )＞1，解得0＜x ＜5 6 (1)证明 令m ＞0，n =0得 f (m )=f (m )·f (0) ∵f (m )≠0，∴f (0)=1 取m =m ，n =－m ，(m ＜0)，得f (0)=f (m )f (－m )∴f (m )=)(1m f -，∵m ＜0，∴－m ＞0，∴0＜f (－m )＜1，∴f (m )＞1 (2)证明 任取x 1，x 2∈R ，那么f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)－f ［(x 2－x 1)+x 1］=f (x 1)－f (x 2－x 1)·f (x 1)=f (x 1)［1－f (x 2－x 1)］，∵f (x 1)＞0，1－f (x 2－x 1)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在R 上为单调减函数(3)由⎩⎨⎧=+-<+⎩⎨⎧θ==+->+021)(1)2()1()(2222y ax y x f y ax f f y x f 得， 由题意此不等式组无解，数形结合得 1|2|2+a ≥1，解得a 2≤3∴a ∈［－3，3］ 7 (1)解 设y =1222+++x c bx x ，那么(y －2)x 2－bx +y －c =0 ①∵x ∈R ，∴①的判不式Δ≥0，即 b 2－4(y －2)(y －c )≥0，即4y 2－4(2+c )y +8c +b 2≤0 ②由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y 2－4(2+c )y +8c +b 2=0的两根⎪⎩⎪⎨⎧+=⨯+=+48312312b c c ∴c =2，b =－2，b =2(舍〕(2)任取x 1，x 2∈［－1，1］，且x 2＞x 1，那么x 2－x 1＞0，且(x 2－x 1)(1－x 1x 2)＞0，∴f (x 2)－f (x 1)=－)1)(1()1)((2)12(122221*********x x x x x x x x x x ++--=+--+＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)，lg f (x 2)＞lg f (x 1)，即F (x 2)＞F (x 1)∴F (x )为增函数,31|)61()61(||||,61||61|)3(=+--≤+--=t t u t t u 记 即－31≤u ≤31，依照F (x )的单调性知 F (－31)≤F (u )≤F (31)， ∴lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513对任意实数t 成立 课前后备注数学中的不等式关系数学是研究空间形式和数量关系的科学，恩格斯在«自然辩证法»一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中包蕴着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系正是该点的生动表达，它们是对立统一的，又是相互联系、相互阻碍的；等与不等关系是中学数学中最差不多的关系等的关系表达了数学的对称美和统一美，不等关系那么如同仙苑奇葩出现出了数学的奇特美 不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简单不等式，不等式的差不多性质，假如把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式进展为一个人丁兴盛的大伙儿族，由简到繁，形式各异 假如给予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等 不等式是永恒的吗？明显不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的咨询题 解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范畴或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明那么是推理性咨询题或探干脆咨询题 推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，差不多方法有比较法、综合法、分析法；探干脆咨询题大多是与自然数n 有关的证明咨询题，常采纳观看—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明 另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系 不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他咨询题，诸如集合咨询题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值咨询题无一不与不等式有着紧密的联系 许多咨询题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还能够解决现实世界中反映出来的数学咨询题 不等式中常见的差不多思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程 总之，不等式的应用表达了一定的综合性，灵活多样性等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系 数学的差不多特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的表达不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺立，峰之隽秀，海之宽敞，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？。
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a 1a 3
⎨⎪
专题七 不等式
第二十一讲 不等式的综合应用
一、选择题
1．(2018 北京)设集合 A ={(x , y ) | x - y ≥1, ax + y > 4, x - ay ≤ 2}, 则
A ．对任意实数a ， (2,1) ∈ A
C ．当且仅当a < 0 时， (2,1) ∉ A
B ．对任意实数a ， (2,1) ∉ A D ．当且仅当a ≤ 3
时， (2,1) ∉ A
2
⎧| x | +2, x < 1, x
2．（2017 天津）已知函数 f (x ) = ⎪
x + ⎩ 2 , x ≥1. x
设a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| + a | 2
在 R 上恒成立，则a 的取值范围是
A ．[-2, 2]
B ．[-2 3, 2]
C ．[-2, 2 3]
D ．[-2 3, 2 3]
3．（2015 北京）设{a n } 是等差数列．下列结论中正确的是
A ．若a 1 + a 2 > 0 ，则a 2 + a 3 > 0
B ．若a 1 + a 3 < 0 ，则a 1 + a 2 < 0
C ．若0 < a 1 < a 2 ，则a 2
D ．若a 1 < 0 ，则(a 2 - a 1 )(a 2 - a 3 ) > 0
4．（2015 陕西）设 f (x ) = ln x ，
0 < a < b ，若 p = f ( 1
a + b
ab ) ， q = f ( ) ， 2
r = ( f (a ) + f (b )) ，则下列关系式中正确的是
2
A. q = r < p
B. q = r > p
C. p = r < q
D. p = r > q
5．（2014 重庆）若log （4 3a + 4b ）
= log 2 ab ,则a + b 的最小值是
A ． 6 + 2
B ． 7 + 2
C ． 6 + 4
D ． 7 + 4
6．（2013 福建）若2x
+ 2y
=1，则 x + y 的取值范围是
A ．[0,2]
B ．[-2,0]
C ．[-2,+∞)
D ． (-∞,-2]
7．（2013 山东）设正实数 x , y , z 满足 x 2
- 3xy + 4y 2
- z = 0 ．则当
xy
取得最大值时，
z
2 + 1 - 2
的最大值为 x y z
3
3
3
3
ab ab ab ab ab ab
A ．0
B ．1
C ．
9 4
D ．3
8．（2013 山东）设正实数 x , y , z 满足 x 2 - 3xy + 4y 2 - z = 0 ，则当 z xy
取得最大值时，
x + 2y - z 的最大值为
A ．0
B ．
9
8
C ．2
D ． 9
4
9．（2012 浙江）若正数 x , y 满足 x + 3y = 5xy ，则3x + 4 y 的最小值是
A. 24
5
B. 28 5
C ．5
D ．6
10．（2012 浙江）若正数 x , y 满足 x + 3y = 5xy ，则3x + 4 y 的最小值是
A. 24 5
B. 28 5
C.5
D ．6
11．（2012 陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （ a < b ），其全程的平均时速为v ，
则
A ．
a < v < B ． v =
a + b
C.
< v <
2
a + b
D. v = 2
12．（2012 湖南）已知两条直线l : y = m 和l : y = 8
( m > 0 )，l 与函数 y = log x 的
1 2 2m +1
1 2
图像从左至右相交于点 A , B ，l 2 与函数 y = log 2 x 的图像从左至右相交于C , D ．记线 段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为a , b ，当m 变化时， b
的最小值为
a
A ．16
B ． 8
C ． 83 4
D ． 43 4
13．（2011 陕西）设0 < a < b ，则下列不等式中正确的是
a + b
a + b
A ． a < b < <
B ． a < <
< b
2
a + b
C ． a < < b <
D 2
2
< a < a + b < b 2
14．（2011 上海）若a ,b ∈ R ，且ab > 0 ，则下列不等式中，恒成立的是
A. a 2 + b 2
> 2ab
B. a + b ≥ 2 C ． 1 + 1 >
2 a b D ． b + a
≥ 2
a b
二、填空题
15．(2018 天津)已知a , b ∈ R ，且a - 3b + 6 = 0 ，则2a
+ 1 8b
的最小值为
．
ab
2
2 ab
ab
⎨x 2
- 4x + 3, x < λ 16．(2018 浙江)已知λ ∈ R ，函数 f (x ) = ⎧x - 4, x ≥ λ
⎩
，当λ = 2 时，不等式 f (x ) < 0
的解集是
．若函数 f (x ) 恰有 2 个零点，则λ 的取值范围是
．
17．(2017 北京)已知 x ≥ 0 ， y ≥ 0 ，且 x + y = 1，则 x 2 + y 2 的取值范围是
．
18．（2017 天津）若a ,b ∈ R ，
ab > 0 ，则 a 4 + 4b 4 +1 ab
的最小值为 ．
19．（2017 江苏）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年
的总存储费用为4 x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 x 的值是
．
20．（2017 浙江）已知a ∈ R ，函数 f (x ) =| x + 4
- a | +a 在区间[1，4]上的最大值是 5，则
x
a 的取值范围是
．
21．（2014 浙江）已知实数 a , b , c 满足a + b + c = 0 ， a 2 + b 2 + c 2 =1，则a 的最大值是 ；
22．（2014 辽宁）对于c > 0 ，当非零实数 a ，b 满足4a 2
- 2ab + b 2
- c = 0 ，且使| 2a + b |
1 2 4
最大时， + + 的最小值为
．
a b c 23．（2014 辽宁）对于c > 0 ，当非零实数a ，b 满足4a 2
- 2ab + 4b 2
- c = 0 ，且使| 2a + b |
3 4 5
最大时， - + 的最小值为
．
a b c
24．（2014 湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F （单位时间内
经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度 v （假设车辆以相同速度 v 行驶，单 位：米/秒）、平均车长 l （单位：米）的值有关，其公式为 F = 76000v ．
v 2
+ 18v + 20l
（Ⅰ）如果不限定车型， l = 6.05 ，则最大车流量为
辆/小时；
（Ⅱ）如果限定车型， l = 5 ，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时．
25．（2013 天津）设 a + b = 2， b >0， 则当 a =
时， 1 2 | a | + | a |
取得最小值.
b
26．（2013 四川）已知函数 f (x ) = 4x + a
(x > 0, a > 0) 在
x = 3 时取得最小值，则a = ．
x
27．（2011 浙江）若实数 x , y 满足 x 2 + y 2 + xy =1，则
x + y 的最大值是 ．
28．（2011 湖南）设 x , y ∈ R ，则(x 2 + 1 )( 1 + 4 y 2 ) 的最小值为
．
y 2 x
2
a b 2
29．（2010 安徽）若a > 0,b > 0, a + b = 2 ，则下列不等式对一切满足条件的a , b 恒成立的
是
(写出所有正确命题的编号)．
① a b ≤ 1； ② + ≤ ； ③ a 2 + b 2 ≥ 2 ； ④ a 3
+ b 3
≥ 3 ； ⑤ 1 + 1
≥ 2
a b。