高三第一学期期中数学试卷及答案
江苏省镇江市2024~2025学年高三上学期期中模拟测数学试卷(含答案)
2024~2025学年第一学期高三期中模拟测试卷（1）姓名：___________ 班级：___________一、单选题1．若，则（）A．B．C．D．2．已知全集，集合，，则如图所示的图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．3．若等比数列{an}的前n项和为S n，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（）A．80B．120C．150D．1804．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．5．记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．C．D．36．在△ABC中，，为上一点，且，若，则的值为（）A．B．C．D．7．已知，，且，则的最小值为（）．A．4B．6C．8D．128．设，则（）A．B．C．D．二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（）A．的周期为B．的一条对称轴为C．是奇函数D．在区间上单调递增10．已知函数，则（）A．有两个极值点B．有三个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A．动点B．三棱锥体积的最小值为C．与不可能垂直D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、填空题12．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．14．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.四、解答题15．已知函数的定义域为，对任意且，都满足.(1)求;(2)判断的奇偶性;(3)若当时，，且，求不等式的解集.1i1zz=+-z=1i--1i-+1i-1i+RU={}2560A x x x=--≤3lg3xB x yx-⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭Venn(]3,1--(]1,3-(]1,3[]3,6[]21,2,0x x a∀∈-≤4a≤4a≥5a≤5a≥()y f x=3252π,23BAC AD DB∠==P CD12AP mAC AB=+||3,||4AC AB==AP CD⋅76-761312-1312x>0y>26xy x y++=2x y+0.110.1e,ln0.99a b c===-，a b c<<c b a<<c a b<<a c b<<()sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭6π()g x()g xπ()g x3xπ=()g x()g x,36ππ⎡⎤-⎢⎣⎦3()1f x x x=-+()f x()f x(0,1)()y f x=2y x=()y f x=1111ABCD A B C D-E1DD F11C CDD1//B F1A BEF11B D EF-131B F1A B11B D DF-25π2αβtan tan4αβ+=tan tan1αβ+sin()αβ+=e xy x=+()0,1ln(1)y x a=++a=()f x(,0)(0,)-∞+∞,x y∈R||||x y≠()22()()f x y f x y f x y++-=-(1),(1)f f-()f x1x>()0f x>(2)1f=(2)(1)2f x f x+--<16.如图，三棱锥中，，，，E 为BC 的中点．(1)证明：；(2)点F 满足，求二面角的正弦值．17．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．18．已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和.19．记△ABC 的内角的对边分别为，已知．(1)求； (2)若，求△ABC 面积．参考答案：题号12345678910答案C D C D A D A CAD AC 题号11 答案ABD12．A BCD -DA DB DC ==BD CD ⊥60ADB ADC ∠=∠= BC DA ⊥EF DA =D AB F --()()e xf x a a x =+-()f x 0a >()32ln 2f x a >+{}n a 11a =11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数2n n b a =1b 2b {}n b {}n a ,,A B C ,,a b c 2222cos b c a A+-=bc cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==--因为，，则，，又因为，则，，则，则，解得法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,则13．【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.14．【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：15．【详解】（1）因为对任意且，都满足，令，得，，令，得，.（2）对任意非零实数，，令，可得.在上式中，令，得，即对任意非零实数，都有，是偶函数.（3）对任意且，有，由（2）知，在区间上单调递增.，，是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，原不等式转化为，解得或或，原不等式的解集为.16．【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而所以二面角17．【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m mαβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,Zk m∈()()()22ππ,22π2πm k m kαβ+∈++++,Zk m∈()tan0αβ+=-<()()3π22π,22π2π2m k m kαβ⎛⎫+∈++++⎪⎝⎭,Zk m∈()sin0αβ+<()()sincosαβαβ+=-+()()22sin cos1αβαβ+++=()sinαβ+=αβcos0,cos0αβ><cosα==cosβ==sin()sin cos cos sin cos cos(tan tan)αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cosαβ====282142=36()1446323⨯⨯⨯=()122343⨯⨯⨯=32428-=(13164283⨯⨯+=28ln2e xy x=+e1xy'=+0|e12xy='=+=e xy x=+()0,121y x=+()ln1y x a=++11yx'=+()ln1y x a=++()()00,ln1x x a++121yx'==+012x=-11,ln22a⎛⎫-+⎪⎝⎭112ln21ln222y x a x a⎛⎫=+++=++-⎪⎝⎭ln20a-=ln2a=ln2,x y∈R||||x y≠()22()()f x y f x y f x y++-=-1,0x y==(1)(1)(1)f f f+=(1)0f∴=1,0x y=-=(1)(1)(1)0f f f-+-==(1)0f∴-=a b,22a b a bx y+-==()()()f a f b f ab+=1b=-()(1)()f a f f a+-=-a()()f a f a=-()f x∴12,(0,)x x∈+∞12x x<22111,0x xfx x⎛⎫>∴>⎪⎝⎭()()()22211111x xf x f x f f x f xx x⎛⎫⎛⎫=⨯=+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x∴(0,)+∞(2)1,211(2)(2)(4)f f f f=∴=+=+=(2)(1)2f x f x+--<(2)(1)2(1)(4)(44),f x f x f x f f x∴+<-+=-+=-()f x(,0)(0,)-∞+∞(0,)+∞∴0|2||44|x x<+<-2x<-225x-<<2x>∴2(,2)2,(2,)5∞∞⎛⎫--⋃-⋃+⎪⎝⎭,AE DE DB DC=DE BC⊥DA DB DC==60ADB ADC∠=∠= ACDABD△AC AB∴=AE BC⊥AE DE E=,AE DE⊂ADE⊥BC ADE AD⊂ADE BC DA⊥2DA DB DC===BD CD⊥BC DE AE∴==2224AE DE AD∴+==AE DE∴⊥,AE BC DE BC E⊥=,DE BC⊂BCD AE∴⊥BCD E,,ED EB EA,,x y z(0,0,0)D A B EDAB ABF()()11112222,,,,,n x y z n x y z==D AB F--θ(AB=(EF DA==(F()AF=1111⎧=⎪∴=11x=1(1,1,1)n=222==⎪⎩21y=2(0,1,1)n=cos=sinθ==D AB F--()()e xf x a a x=+-R()e1xf x a=-'a≤e0x>e0xa≤()e10xf x a=-<'()f x R当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则令，则，则所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则，则在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.18．【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．0a >()e 10xf x a =-='ln x a =-ln x a <-()0f x '<()f x (),ln a -∞-ln x a >-()0f x '>()f x ()ln ,a -+∞0a ≤()f x R 0a >()f x (),ln a -∞-()f x ()ln ,a -+∞()()()ln min 2ln ln ln e1af a a x a f a a a --+=++=+=3()2ln 2f x a >+2312ln 2ln a a a ++>+21ln 02a a -->()()21ln 02g a a a a =-->()21212a g a a a a -=-='()0g a '<0a <<()0g a '>a >()g a ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()2min102g a g ==--=>()0g a >0a >3()2ln 2f x a >+()e 1xh x x =--()e 1x h x '=-e x y =R ()e 1x h x '=-R ()00e 10h =-='0x <()0h x '<0x >()0h x '>()h x (),0-∞()0,∞+()()00h x h ≥=e 1x x ≥+0x =()2ln 22()e e eln 1xxx af x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-ln 0x a +=ln x a =-3()2ln 2f x a >+23ln 12ln 2x a a x a +++->+21ln 02a a -->()()21ln 02g a a a a =-->()21212a g a a a a -=-='()0g a '<0a <<()0g a '>a >()g a ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()2min 102g a g ==--=>()0g a >0a >3()2ln 2f x a >+2n 21222212,1n n n n a a a a +++=+=+2223n n a a +=+13n n b b +=+121+12b a a ==={}n b 122,5,31n b b b n ===-1231,2,4a a a ===122432,15b a b a a ====+=11n n a a +-=n 12n n a a +-=n n n *23()n n a a n N +-=∈()11331n b b n n =+-⨯=-{}n a *113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N 11213(1)11222b a a -==++=+=322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++ 12(1)131n n n =+-+=-⨯122,5b b =={}n b 31n b n =-20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++ 1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++ 110()102103002b b +⨯=⨯-={}n a 12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+2122123n n n a a a +-=+=+{}n a 2221213n n n a a a ++=+=+{}n a从而数列的前20项和为：．19．【详解】（1）因为，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以故的面积为．{}n a 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++ 1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=2222cos a b c bc A =+-2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===1bc =cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++()()sin sin sin A B A B B --+=2cos sin sin A B B -=0sin 1B <≤1cos 2A =-0πA <<sin A =ABC V 11sin 122ABC S bc A ==⨯△。
数学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷及答案
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。
2023-2024学年北京西城区八中高三(上)期中数学试题及答案
2023-2024学年度第一学期期中练习题年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{|5}A x N x =∈≤与集合{|(2)0}B x x x =->，则A B =()A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．[2,5)D ．(2,5]2.复数2i12iz -=+的虚部为()A ．1B ．1-C ．iD ．i-3.下列函数中最小值为4的是()A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222xxy -=+ D.4ln ln y x x=+4.在空间中，若,,a b c 是三条直线，,αβ是两个平面，下列判断正确的是()A ．若a 的方向向量与α的法向量垂直，则//a α；B ．若//a α，βα⊥，则a β⊥；C ．若αβ⊥，c αβ= ，a c ⊥，则a α⊥；D ．若,αβ相交但不垂直，c α⊂，则在β内一定存在直线l ，满足l c ⊥.5.“0x >”是“+sin 0x x >”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量a，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b <+> =()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19357.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A .若函数x y a =(0a >且1a ≠)及log b y x =（0b >且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足()A.1a b << B.1b a << C.1b a >> D.1a b >>8.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =()A ．31010B.1010C.1010-D .31010-9.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.则哪种方案能通过考试的概率更大()A ．方案一B ．方案二C ．相等D ．无法比较10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AE x B F y ==.若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是()A.[0,1]B.13[,]22C.[1,2]D.3[,2]2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数a =.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．13.函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移________个单位长度得到.14.已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若||23AB =，则||CD =______.ABCD1D 1A 1B 1C E F15.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有.①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞④()ln(1)f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.(本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求角A 的值，进而再求()f B 的取值范围.17.（本小题满分14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级:学习时间t (分钟/天)20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18.（本小题满分14分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体ABCDEF ，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，其中EF ∥AD ∥BC ，4AD =，2EF BC AB ===，ED =M为AD 中点，平面BCEF 与平面ADEF 交于EF .再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF 能够确定，然后解答下列各题：（Ⅰ）求证：BM ∥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B AE F --的余弦值.（Ⅲ）在线段AE 上是否存在点Q ，使得MQ 与平面ABE 所成的角的正弦值为77，若存在，求出AQ AE 的值，若不存在，请说明理由.条件①：平面CDE ⊥平面ABCD ；条件②：平面ADEF ⊥平面ABCD ；条件③：EC =.19.（本小题满分15分）已知椭圆22220:1()x y W a ba b +=>>的焦距为4，短轴长为2，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）设,,A B C 是椭圆W 上的三个点，判断四边形OABC 能否为矩形？并说明理由．20.（本小题满分15分）已知函数212)(1()e 2x f x ax x -=-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程；（Ⅱ）若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围．21.（本小题满分14分）设数阵111202122,a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈⋅⋅⋅，设12{,,,}{1,2,,6},l S e e e =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅其中*12, 6.l e e e l N l <<⋅⋅⋅<∈≤且定义变换k ϕ为“对于数列的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以-1，若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”12(,,,).l k e e e =⋅⋅⋅0()s A ϕ表示“将0A 经过1e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A ，⋅⋅⋅，以此类推，最后将1l A -经过le ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为0()s T A .（Ⅰ）若011A ⎛= ⎝25⎫⎪⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；（Ⅱ）若013A ⎛=⎝36⎫⎪⎭，{1,3},S =求0()s T A 的值；（Ⅲ）对任意确定的一个矩阵0A ，证明：0()s T A 的所有可能取值的和不超过4-.2023-2024学年度第一学期期中练习题答案年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）BBCDCDACAC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.-3或012.21n n +13.23π14.415.①②④；(,](0,)e -∞-+∞ 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+11=sin 2cos 222x x +2=sin(2)24x π+.由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得88k x k 3πππ-≤≤π+.所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）.……………6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-.即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(214B π-≤+≤.由2())24f B B π=+，则()f B 的取值范围是2222⎡-⎢⎥⎣⎦，.………………13分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65.………3分（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ.所以，(0)==P ξ022628C C 1528C =，(1)==P ξ112628C C 123287C==，(2)==P ξ202628C C 128C =.所以ξ的分布列为ξ012P152837128ξ的数学期望为15311()012287282=⨯+⨯+⨯=E ξ.……………11分（Ⅲ）X <甲X 乙;22ss >甲乙……………13分（Ⅰ） 等腰梯形ABCD M 是AD 中点MD BC ∴=MD BC∴∥∴平行四边形BCDM BM CD ∴∥BM ∉ 平面CDE CD ∈平面CDE BM ∴∥平面CDE .（Ⅱ）选②和选③，过程仅在建系之前有区别.选②：取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系选③：取MD 中点Q ，连接CQ 和EQ EC = 3EQ=CQ =∴EQ CQ⊥∴二面角2E AD C π--=∴平面ADEF ⊥平面ABCD 取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系(0,2,0)A-1,0)B-C (0,2,0)D (0,1,3)E (0,1,3)F -(0,0,0)M (1,0)BA =- (0,3,3)AE = 设平面BAE 的一个法向量(,,)n x y z =00n BA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0330y y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩令x =，则3y =-，3z =，则3,3)n =- 易知(1,0,0)m =-是平面AEF的一个法向量cos ,||||7m n m n m n ⋅<>==-经检验，B AE F --为钝角，所以二面角B AE F --的余弦值为77-（Ⅲ）设,[0,1]AQAEλλ=∈，(0,3,3)AQ AE λλλ== ，(0,32,3)MQ MA AQ λλ=+=- ||7|cos ,|7||||MQ n MQ n MQ n ⋅<>==⋅解得153λ±=,均不满足题意，故不存在点Q .解：（Ⅰ）由题意，椭圆W 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）设:AC y kx m =+,1122(,),,(),C x A x y y AC 中点00(,)M x y ,33(,)B x y ，2222255(15)10550x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，222(10)4(15)(55)0km k m ∆=-+->，1221015km x x k +=-+,21225515m x x k-=+.(1)由条件OA OC ⊥，得12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=，将(1)式代入得2222(1)(55)(10)(15)0k m km km m k +-+-++=即22655m k =+(2)又20125215x x km x k +==-+,00215m y kx m k =+=+且M 同时也是OB 的中点,所以30302,2x x y y ==因为B 在椭圆上,所以223355x y +=，即02024205x y +=，222254()20(51515km m k k -+=++，所以22451m k =+(3)由(2)(3)解得2272,5k m ==，验证知222(10)4(15)(55)1200km k m ∆=-+-=>，所以四边形OABC 可以为矩形.20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）111(0)e 22f e-=⋅=，∴切点为1(0,2e ，又21221()e ]2(1)[22(e 1)x x f x ax x x ax a a --+-'==+-，∴(0)0f '=，∴切线方程为102y e-=.（Ⅱ）定义域为R ，21()2(1)e x f x x ax a -'=+-1当0a =时，21()2e x f x x -'=-，令0()f x '>得0x <，∴()f x 增区间为(,0)-∞；令0()f x '<得0x >，∴()f x 增区间为(0,)+∞；∴()f x 在0x =取极大值，合题意.2当0a <时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,0ax x a-==<，x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '-0+0-()f x 减极小值增极大值减∴()f x 在0x =处取得极大值，∴0a <合题意.3当0a >时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,a x x a-==(i)当10aa-<即1a >时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极小值，不合题意.(ii)当10aa-=即1a =时,()0f x '≥在R 上恒成立，∴()f x 在R 上增，无极大值点.北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案第6页，共6页(iii)当10a a->即01a <<时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(,0)-∞01(0,)a a -1a a -1(,)a a -+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极大值，∴01a <<合题意.综上可得：a 的取值范围是(,1)-∞（Ⅲ）1(0,]221.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）经过2f 变换111A æ-ç=ççè25ö-÷÷÷÷ø（Ⅱ）013A æç=ççè36ö÷÷÷÷ø经过1j 变换得到113A æ-ç=ççè36ö-÷÷÷÷ø经过3j 变换得到313A æç=ççè36ö÷÷÷÷-ø，所以0()13(3+S T A =++-）（-6)= -5（Ⅲ）因为集合S 共有含空集在内的子集64个，令00()A A f j =,对于第一行11a 和12a ①若1112a a =，则含11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a -，12a -；不含有11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a ，12a ，所有l A 中第一行的和为0。
山西省太原市2024-2025学年高三第一学期期中测评数学答案
2024-2025年第一学期高三年级期中试题参考答案及评分建议一．选择题：D B C A B C A B二．选择题：9.BC10.AC 11.BCD 三．填空题:12.14513.)1,21(14.33四．解答题：15.解：（1）由题意得}21|{≤<=x x A ，}0|{>=∴y y B ，]2,1(=∴B A ；………6分（2）由题意得xxax f 22)(+=的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，01)0(=+=∴a f ，1-=∴a ，xx x f 212)(-=∴，………9分x x x f 212)(-= 在]2,1(上单调递增，23)1(=f ，415)2(=f ，∴当B A x ∈时，)(x f 的值域为]415,23(.………13分16.解（1）设}{n a 的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧===-=-,8,12)1(2132124q a a q q a a a 解得⎩⎨⎧==2,21q a 或⎪⎩⎪⎨⎧-==21,321q a （舍去），)(2*N n a n n ∈=∴；………6分（2）由（1）可得)N (2)4(*∈⨯-=n n b nn ，n n n n n S 2)4(2)5(2)2(2)3(12⨯-+⨯-++⨯-+⨯-=∴- ，①1322)4(2)5(2)2(2)3(2+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-=∴n n n n n S ，②①-②，整理得102)5(1+⨯-=+n n n S ，………10分所以对于任意的*N ∈n ，不等式102)4(102)5(1+⨯-≤+⨯-+n n n n λ恒成立，即不等式0)410()2(≥-+-λλn 对于任意的*N ∈n 恒成立，………12分⎩⎨⎧≥-+-≥-∴,04102,02λλλ解得382≤≤λ，∴实数λ的取值范围是]38,2[.………15分17.解：（1）由题意得)62sin(2cos 212sin 23)(π-=-=x x x x f ，………3分1)62sin()(=-=∴πA A f ，20π<<A ，65626πππ<-<-∴A ，=∴A π3，C B sin 3sin 2= ，由正弦定理可得c b 32=，即c b 23=，………5分7=a ，由余弦定理得747cos 22222==-+=c A bc c b a ，2=∴c ，3=b ；………7分（2）由题意得x x x f x g 2cos )22sin()3()(=+=+=ππ，………9分02cos )(==∴B B g ，20π<<B ，π<<∴B 20，4π=∴B ，………10分n m ⋅∴C A C A sin sin cos cos +=)cos(C A -=432cos(π-=A ，………13分24ππ<<A，44324πππ<-<-∴A ，1)432cos(22≤-<∴πA ，n m ⋅∴的取值范围为]1,22(.………15分18.（1）证明：连接OA ，P A AB = ，︒=∠60P AB ，∴△P AB 是正三角形，P A AB PB ==∴，同理可得AB PC =，PC PB =∴，O 是BC 的中点，BC OP ⊥∴，………2分AC AB = ，BC OA ⊥∴，AC AB ⊥ ，BC OB OA 21==∴，BC OP ⊥ ，222OB OP PB +=∴，222222OA OP OB OP PB P A +=+==∴，OA OP ⊥∴，………4分O BC OA = ，⊥∴OP 平面ABC ；………6分（2）由（1）得OA OP ⊥，OB OP ⊥，OB OA ⊥，以O 为原点，OP OB OA ,,所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2=AB ，则)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)0,1,0(-C ，)1,0,0(P ，AP BQ = ，)1,1,1(-∴Q ，显然)1,0,0(=OP 是平面ABC 的一个法向量，………8分设),,(z y x m =是平面BCQ 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,BQ m BC m ⎩⎨⎧=+-=-∴,0,02z x y 取1=z ，则0,1==y x ，)1,0,1(=∴m ，………10分2221||||,cos ==>=<∴OP m OP m OP m ，∴二面角Q BC A --的大小为︒135；……12分（3）假设存在点M ，设BM =λBQ (0≤λ≤1)，则BM =λBQ =(-λ,0,λ)，QPBCAzOyxM),1,1(λλ--=+=∴BM AB AM ，………13分直线AM 与平面BCQ 所成角的正弦值为77，71|1)1(21||||||||,cos |22=+++-==><∴λλAM m AM m AM m ，………15分21=∴λ或23-=λ（舍去），21=∴BQ BM .………17分19.（1）证明：由题意得曲线)(x f y =在点))(,(n n a f a 处的切线方程为))(()(n n n a x a f a f y -'=-，即)(n a a a x e e y n n -=-，令0=y ，解得1-=n a x ，则11-=+n n a a ，即11-=-+n n a a )(*N n ∈，所以数列}{n a 是以1a 为首项、1-为公差的等差数列；………5分（2）由（1）可得11-=-+n n a a )(*N n ∈，所以ee af a f n n a a n n 1)()(11==-++，所以数列)}({n a f 是以)(1a f 为首项、e1为公比的等比数列，其前4项的和为1)1(431---e e e a )1)(1(231++=-e e e a )1)(1(2++=e e ，所以实数31=a ；………10分（3）原不等式等价于23121xe x x m x-++≥在),0(+∞上恒成立，令23121)(x e x x x h x-++=，0>x ，则322)222)(2()(x e x x x x h x -++-='，令xe x x x t 222)(2-++=，0>x ，则0)1(2)(<-+='xe x x t ，所以)(x t 在),0(+∞上递减，所以0)0()(=<t x t ，令0)(<'x h ，则2>x ；令0)(>'x h ，则20<<x ，所以)(x h 在)2,0(上递增，在),2(+∞上递减，所以47)2()(2e h x h -=≤，所以实数m 的取值范围为),47[2+∞-e .………17分注：以上各题其它解法请酌情赋分.。
2025届北京市海淀区高三数学上学期期中练习试卷及答案解析
北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{0A x x =£或x >1}，{}2,0,1,2B =-，则A B =I （ ）A. {}2,2- B. {}2,1,2- C. {}2,0,2- D. {}2,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合A B Ç.【详解】因为集合{0A x x =£或x >1}，{}2,0,1,2B =-，则{}2,0,2A B =-I .故选：C.2. 若复数z 满足i 1i z ×=-，则z =（ ）A. 1i +B. 1i-+ C. 1i- D. 1i--【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得.【详解】由i 1i z ×=-，得2i (1i)(i)z -×=-×-，所以1i z =--.故选：D3. 若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A. 22a b < B. 2a ab< C.b a a b> D.2b a a b+>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【详解】因为0a b <<，所以0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故A 错误；因为0a b <<，所以2a ab >，故B 错误；由A 知22a b >，两边同乘以正数1ab ，则>a b b a，故C 错误；因为0a b <<，所以0,0a b b a >>，所以2b a a b +³=（a b ¹，等号不成立），故2b aa b+>，故D 正确.故选：D 4. 已知()sin cos x f x x =，则π4f æö¢=ç÷èø（ ）A. 1 B. 2C. 1- D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导函数，计算得解.【详解】因为()sin cos xf x x=，所以2222cos sin ()cos 1cos x x f x x x+¢==，所以π12142f æö¢==ç÷èø，故选：B5. 下列不等式成立的是（ ）A. 0.3log 0.21< B. 0.20.31< C. 0.3log 0.20< D. 0.30.21>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可.【详解】因为函数0.3log y x =在()0,¥+上单调递减，所以0.30.3log 0.2log 0.31>=，0.30.3log 0.2log 10>=，故AC 错误；因为函数0.3x y =在R 上单调递减，所以0.200.30.31<=，故B 正确；因为函数0.2x y =在R 上单调递减，所以0.300.20.21<=，故D 错误.故选：B.6. 若()2,,23,x x a f x x x aì³=í+<î在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A. [1,¥+)B. [3,)+¥ C. [1,3]- D. (,1][3,)-¥-+¥U 【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数的单调性列式运算得解.【详解】因为()f x 是R 上单调递增函数，所以2023a a a ³ìí³+î，解得3a ³.所以实数a 的取值范围为[)3,+¥.故选：B.7. 已知向量(,1),(1,)a x b y ==-r r，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是（ ）A. 0a b ×=r rB. ||||2a b +=r rC. ||||a b =r rD. ||2a b +=r r【答案】B 【解析】【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案.【详解】当 0a b ×=r r时，0x y -+=，有无数组解，故A 错误；当||||2a b +=r r2+=1³³，2³，当且仅当0x y ==时，等号成立，故方程有且仅有一组解，故B 正确；当||||a b =r r=，当x y =或x y =-时方程成立，方程有无数组解，故C 错误；当||2a b +=r r2=，即()()22114x y -++=，方程有无数组解，故D 错误.故选：B8. 大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地B. 当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率C. 当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同【答案】C 【解析】【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可.【详解】对于A ，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，所以甲地的绿化好于乙地，故A 正确；对于B ，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B 正确；对于C ，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C 错误；对于D ，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D 正确.故选：C.9. 设无穷等差数列{}n a 的前n 项积为n T .若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ³”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分析公差0,0,0d d d >=<三种情况，当0,0d d =<时n T 无最大值，当0d >时，不一有最大值，即可得出论【详解】对于无穷等差数列{a n }，由于10a <，当0d >时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然n T没有最大值，.当0d =时，数列为常数列，当1a 不等于1-时，1nn T a =，无最大值，所以公差0d ³不能推出n T 有最大值，当0d <时，0n a <，所以n T 趋于正无穷，{}n T 为正负间隔的摆动数列，没有最大值，所以当n T 有最大值时，只能0d ³，综上，“n T 有最大值”是“公差0d ³”的充分不必要条件，故选：A10. 已知数列{}n a 满足()111(1,2,3,),(0,1)n n n a ra a n a +=-=ÎL ，则（ ）A. 当2r =时，存在n 使得1n a ³B. 当3r =时，存在n 使得0n a <C. 当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +>D. 当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +-<【答案】D 【解析】【分析】需要根据给定的r 值，分析数列{}n a 的性质.通过对递推式的分析和一些特殊情况的探讨,结合二次函数的性质来判断每个选项的正确性.【详解】对于A 选项,当2r =时，12(1)n n n a a a +=-.令2()2(1)22f x x x x x =-=-+，(0,1)x Î.对于二次函数222y x x =-+，其对称轴为12x =，最大值为11(22f =.因为1(0,1)a Î，由递推关系可知(0,1)n a Î，所以不存在n 使得1n a ³，A 选项错误.对于B 选项，当3r =时，13(1)n n n a a a +=-.令1(0,1)a x =Î，23(1)33y x x x x =-=-+.因为233y x x =-+的值域为3(0,]4，且1(0,1)a Î，所以由递推关系可知(0,1)n a Î，不存在n 使得0n a <，B 选项错误.对于C 选项，当3r =时，13(1)n n n a a a +=-.令1(0,1)a x =Î，23(1)33y x x x x =-=-+.设213(1)23n n n n n n n a a a a a a a +-=--=-.令2()23g x x x =-，(0,1)x Î，()g x 对称轴为13x =，()g x 在1(0,3上递增，在1(,1)3上递减.当(0,1)x Î时，()g x 的值不是恒大于0的，所以不存在正整数N ，当N n >时，1n n a a +>，C 选项错误.对于D 选项，当2r =时，12(1)n n n a a a +=-.设212(1)2n n n n n n n n b a a a a a a a +=-=--=-.因为(0,1)n a Î，22y x x =-+在1(0,)4上递增，在(1,14)上递减.当n 足够大时，n a 会趋近于某个值a （01a <<），此时1n n n b a a +=-会趋近于0.所以存正整数N ，当n >N 时，112024n n a a +-<，D 选项正确.故选：D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知102,105a b ==，则a b +=____________.【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算求解.【详解】因为102,105a b ==，所以lg 2,lg 5a b ==，故lg 2lg 5lg101a b +=+==，故答案为：112. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 的终边经过点(2,1)P .若角a 的终边逆时针旋转π2得到角b 的终边，则sin b =____________.在【解析】【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.【详解】因为角a 的终边经过点(2,1)P ，所以cos a ==又π2b a =+，所以πsin sin cos 2b a a æö=+==ç÷èø.13. 如图所示，四点,,,O A B C 在正方形网格的格点处.若OC OA OB l m =+uuu ruuu ruuu r，则l =________，m =________.【答案】 ①.23②.13【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解.【详解】建立平面直角坐标系，如图，则()()()()0,0,3,6,4,5,6,3O A C B ,所以()()()4,5,3,6,6,3OC OA OB ===uuu r uuu r uuu r，由OC OA OB l m =+uuu r uuu r uuu r可得()()()4,53,66,3u l =+，即364635u u l l +=ìí+=î，解得12,33u l ==,故答案为：23；1314. 已知函数π()sin()0,||2w j w j æö=+><ç÷èøf x x 满足()2(0)f x f ³-恒成立.①j 的取值范围是____________；②若2π2(0)3f f æö=-ç÷èø，则w 的最小值为____________.【答案】 ①.ππ62j £< ②. 2【解析】【分析】根据题意可知()201f -£-，解不等式可得j 的取值范围，由2π2(0)3f f æö=-ç÷èø确定2π13f æö=-ç÷èø，解出w ，由0w >可得最小值.【详解】因为()sin()f x x w j =+，所以()min 1f x =-所以由()2(0)f x f ³-可得2(0)1f -£-，即()10sin 2f j =³，由π||2j <可知，ππ62j £<，因为()1012f £<，所以()2201f -<-£-，因为()11f x -££，所以由2π2(0)3f f æö=-ç÷èø可知()201f -=-，即()10sin 2f j ==，π6j =，此时2π2ππsin 1336f w æöæö=+=-ç÷ç÷èøèø，所以2πππ2π,Z 362k k w +=-+Î，解得31,Z k k w =-Î，又0w >，所以min 2w =.故答案为：ππ62j £<；2【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对正弦函数最值的理解，理解了正弦函数最值就能根据()2(0)f x f ³-恒成立转化为2(0)1f -£-，也能根据2π2(0)3f f æö=-ç÷èø转化出2π13f æö=-ç÷èø.15. 已知函数ln(1)()ln x f x x+=，其定义域记为集合,,D a b D Î，给出下列四个结论：①{0D xx =>∣且1}x ¹；②若1ab =，则|()()|1f a f b ->；③存在a b ¹，使得()()f a f b =；④对任意a ，存在b 使得()()1f a f b +=.其中所有正确结论的序号是____________.【答案】①②④【解析】【分析】根据解析式求定义域判断①，利用对数运算化简及对数函数的单调性判断②，求函数导数，利用导数分析函数的单调性及范围可判断③，取1b a=后利用对数运算化简可判断④.【详解】由ln(1)()ln x f x x +=知，100x x +>ìí>î且1x ¹，解得0x >且1x ¹，所以{0D xx =>∣且1}x ¹，故①正确；当1ab =时，()()11ln 1ln 1ln 1ln 1()()1ln ln ln a a a a f a f b a a aæöæö++++ç÷ç÷+èøèø-=-=1ln 21log 2ln a a a a a a æö++ç÷æöèø==++ç÷èø，因为112a a a ++>，当01a <<时，1log 21a a a æö++<-ç÷èø，当1a <时，因为12a a a ++>，1log 21a a a æö++>ç÷èø，所以1log 21a a a æö++>ç÷èø，故②正确；()()()22ln ln(1)ln 1ln 11()ln 1ln x x x x x x x x f x x x x x+--+++==+¢，当01x <<时，ln 0x x <，()()1ln 10x x ++>，所以()()ln 1ln 10x x x x -++<，又()21ln 0x x x +>，所以()0f x ¢<，()f x 在(0,1)上单调递减，当1x >时，ln y x x =单调递增，所以()()ln 1ln 1x x x x <++，同理可得()0f x ¢<，()f x 在(1,+∞)上单调递减，又0x →时，()ln 0,ln 10x x +，所以ln(1)()0ln x f x x +=<，当x →+¥时，()ln 1ln 0x x +>>，所以ln(1)()1ln x f x x+=>，即当01x <<时，函数图象在x 轴下方单调递减，当1x >时，函数图象在1y =上方单调递减，所以不存在a b ¹，使得()()f a f b =，故③错误；由②可联想考虑当1b a =时，()()11ln 1ln 1ln 1ln 1ln ()()11ln ln ln ln a a a a a f a f b a a a aæöæö++-+ç÷ç÷+èøèø+=+===，即对任意a ，存在1b a=使得()()1f a f b +=，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：判断③时，关键在于求导数后，能分类讨论得到导数的符号，判断出函数的单调性，再分析两段函数图象的上下界，才能作出正确的结论.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为3nn S b =+.（1）求1,b a 的值；（2）设221,1,2,3,n n c a n n =+-=L ，求数列{}n c 前n 项和n T .【答案】（1）11,2b a =-= （2）()23914nn -+【解析】【分析】（1）根据等比数列中,n n a S 的关系可得解；（2）根据分组求和，利用等比数列、等差数列求和公式得解.【小问1详解】当2n ³时，1123n n n n a S S --=-=´，的因为{}n a 是等比数列，所以12a =，又因为113a S b ==+，所以1b =-.【小问2详解】由（1）知123n n a -=´，因为26a =，且2229n na a +=，所以{}2n a 是以6为首项，9为公比的等比数列，()()2421321n n T a a a n éù=+++++++-ëûL L ()29123691.9124n n n n n -×=´+=-+-17. 设函数2()sin 22sin 1(0)f x A x x A =-+>，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.（1）求A 的值；（2）若()f x 在(0,)m 上有且仅有两个极大值点，求m 的取值范围.条件①：π7π0412f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø；条件②：将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后所得的图象关于原点对称；条件③：对于任意的实数()()1212,,x x f x f x -的最大值为4.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1（2）7π13π66,æùçúèû【解析】【分析】（1）化简()f x 后，选条件①，根据π7π0412f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø化简得解；选条件②，由平移可知π012f æö-=ç÷èø2=得解；（2）由正弦型函数性质求出极大值点，再根据题意知7π6在区间内，13π6不在区间内即可得解.【小问1详解】条件①()sin 2cos 2f x A x x =+，所以π7πππ7π7πsin cos sin cos 04122266f f A A æöæö+=+++=ç÷ç÷èøèø，所以02A A --=，解得A =条件②()sin 2cos 2f x A x x =+，所以()f x 的图象向右平移π12后所得图象关于原点对称，所以π012f æö-=ç÷èø，即ππsin cos 0662A A æöæö-+-=-=ç÷ç÷èøèø，解得A =，经验证：A =.条件③()sin 2cos 2f x A x x =+，所以()()2f x x j =+，其中1πtan ,0,2A j j æö=Îç÷èø，由题意知，()()max min 4f x f x -=2=，因为0A >，所以A =【小问2详解】()π2cos 22sin 26f x x x x æö=+=+ç÷èø，当ππ22π,Z 62x k k +=+Î时，()f x 取得极大值，即ππ,Z.6x k k =+Î因为()f x 在()0,m 上有且仅有两个极大值点，所以0,1k =符合题意，所以7π13π,.66m æùÎçúèû18. 已知函数2()ex x a f x -=.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为3y kx =-.（1）求,a k 的值；（2）求()f x 的最小值.【答案】（1）3a k ==（2）2e-【解析】【分析】（1）求出导函数，根据题意列出方程即可求解；（2）求出导函数的零点，列表即可得出函数最小值.【小问1详解】()()()()()()222222e e 2e e 2e e e x xx x xx x x a x a x x a x x a f x ¢-×--××--×-++===¢，依题意，()()030f a f a k ì=-=-ïí==¢ïî，解得3a k ==.【小问2详解】由（1）得()23.e xx f x -=()()()21323e ex x x x x x f x -+=¢--++=，令()0f x ¢=，解得1x =-或3，(),(),x f x f x ¢的变化情况如下表：x (,1)¥--1-(1,3)-3(3,)+¥()f x ¢-0+0-()f x ]极小值Z 极大值]由表格可知，()f x 有极小值()12e f -=-，因为当(3,)x Î+¥时，()0f x >，所以()f x 最小值为2e -.19. 如图所示，某景区有,MN PQ 两条公路（,MN PQ 在同一平面内），在公路上有两个景点入口,,A C 游客服务中心在点B 处，已知1km,120,cos BC ABC BAC °=Ð=Ð=cos ACQ Ð=.（1）已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则A 处的工作人员与C 处的工作人员能否用对讲机正常通话?（2）已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ 段上建立一个志愿服务驿站D ，且要求在志愿服务驿站D 接收景点入口A 处对讲机的信号最强.若选址D 使2km CD =，请判断该选址是否符合要求【答案】（1）A 处工作人员对讲机能与C 处工作人员正常通话（2）D 点选址符合要求【解析】【分析】（1）由正弦定理求出AC ，与3比较大小即可得出结论；（2）由余弦定理求出AD ，可证明AD PQ ⊥，即可得解.【小问1详解】因为cos 0BAC Ð=>， 所以BAC Ð为锐角，所以sin BAC Ð==在ABC V 中sin sin AC BC ABC BAC =ÐÐ，所以sin sin BC ABC AC BAC Ð==Ð，3<，所以A 处工作人员对讲机能与C 处工作人员正常通话.【小问2详解】由余弦定理，2222cos 74223AD AC CD AC CD ACD =+-××Ð=+-=因为222347AD CD AC +=+==，所以AD 的长为点A 与直线PQ 上所有点的距离的最小值，所以D 点选址符合要求.20. 已知函数21()ln()(21),02f x a x a x a x a =-+-+>.（1）若()f x 在4x =处取得极大值，求(4)f 的值；（2）求()f x 的零点个数.【答案】（1）20-（2）1【解析】【分析】（1）求出函数导数，利用极值点导数为0求出a ，再检验即可得解；（2）分01,1,1a a a <<=>三种情况讨论，讨论时，列出当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况，再由零点存在性定理判断零点个数即可.【小问1详解】()f x 的定义域为(),a +¥.()()()()()2221312221x a x a x a x a a a f x x a x a x a x aéù--+-+++ëû¢=+-+==---因为4是()f x 的极大值点，所以()40f ¢=，即()()4230a a --=，解得2a =或3a =当2a =时，当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况如下表：x ()2,33()3,44()4,+¥()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z此时，4是()f x 的极小值点，不符合题意；当3a =时，当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况如下表：x()3,44()4,66()6,+¥()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z此时4是()f x 的极大值点，符合题意.因此3a =，此时()420f =-.【小问2详解】①当01a <<时，当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况如下表：x(),2a a 2a ()2,1a a +1a +()1,a ¥++()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z()22ln 220f a a a a a =--<，因此],(1x a a Î+时，()0f x <，又()(42)ln 320f a a a +=+>，因此()f x (1,)a ++¥上有且仅有一个零点，因此()f x 的零点个数是1.②当1a =时，对任意1,()0x f x ¢>³，()f x 在(1,)+¥上是增函数，又(2)10(6)l ,n 50f f =-<=>，由零点存在定理知，有1个零点，因此()f x 的零点个数是1.③当1a >时，当x 变化时，()(),f x f x ¢的变化情况如下表：在x(),1a a +1a +()1,2a a +2a ()2,a +¥()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z()()3111022f a a a æö+=--+<ç÷èø，因此(],2x a a Î时，()0f x <，又()(42)ln 320f a a a +=+>，因此()f x 在()2,a +¥上有且仅有1个零点，因此()f x 的零点个数是1.综上，当0a >时，()f x 的零点个数是1.21. 对于n 行n 列(2)n ³的数表111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a éùêúêú=êúêúëûL L M M O M L ，定义T 变换：任选一组,,i j 其中{1,2,,},{1,2,,}ÎÎL L i n j n ，对于A 的第i 行和第j 列的21n -个数，将每个数同时加1，或者将每个数同时减1，其余的数不变，得到一个新数表.（1）已知对1111éùêúëû依次进行4次T 变换，如下：123411002120,11010202T T T T a b c d éùéùéùéùéù¾¾¾¾¾→¾¾¾¾¾→¾¾¾¾¾→¾¾¾¾¾→êúêúêúêúêúëûëûëûëûëû第次变换第次变换第次变换第次变换写出a b c d ,,,值；（2）已知000111000,111000111A B éùéùêúêú==êúêúêúêúëûëû.是否可以依次进行有限次T 变换，将A 变换为B ?说明理由；（3）已知11行11列的数表000000000C éùêúêú=êúêúëûL M O M M L L ，是否可以依次进行k 次T 变换，将其变换为111011*********D -éùêúêú=-êúêú--ëûL M O M M L L ?若可以，求k 的最小值；若不可以，说明理由.的【答案】（1）1 3.,,11,a b c d ====（2）不能，理由见解析（3）可以，k 的最小值400【解析】【分析】（1）根据变换的定义直接得解；（2）根据变换的规律，分析变换前后数字和的规律得解；（3）由题意，讨论三种选取,i j 方式，求出加1与减1变换次数之差，由题意得出k 满足条件即可.【小问1详解】根据变换的定义，可得1 3.,,11,a b c d ====【小问2详解】不可以，理由如下:由题可知每次变换T ，数表中所有数的和增加或减少5.因为A 中所有数的和为0，所以其经过有限次变换T 后各数和为5的倍数.而 B 中所有数的和为9，不符合，故无法通过有限次变换T ，将A 变换为B .【小问3详解】可以，且k 的最小值为 400当所选{},1,2,,10i j ÎL 时，所有加l 的变换T 与减1的变换T 次数之差设为x ；当所选11=i 且{}0,,121,j ÎL 或者{}0,,121,i ÎL 且11j =时，所有加1的变换T 与减1的变换T 次数之差设为y ；当所选11i j ==时，加1的变换T 与减1的变换T 次数之差设为z .考虑变换T 对上述三部分各数之和的影响，可知191010021020200100x y x y z y z +=ìï++=-íï+=î，解得100200100x y z =-ìï=íï=-î，所以||||||400k x y z ++=³，其中符合题意的 400 次变换T 构造如下：当所选{},1,2,,10i j ÎL 时，各进行一次减1的变换T ；当所选11=i 且{}0,,121,j ÎL 或者{}0,,121,i ÎL 且11j =时，各进行10次加l 的变换T ；当所选11i j ==时，进行100次减l 的变换T .【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于理解T 变换含义，即一个数表通过T 变换后得到什么数表，核心是理解新定义.。
朝阳区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题及答案
北京市朝阳区2024-2025学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷 2024.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{02}A x x =≤≤，集合{13}B x x =<<，则AB =（ ） A.{12}x x <≤ B.{02}x x ≤≤ C.{03}x x ≤< D.{13}x x << 2.若函数4()(0)f x x x x =+>在x a =处取得最小值，则a =（ ）A.1 C.2 D.43.下列函数中，既是奇函数又在区间(,0)−∞上单调递增的是（ ）A.2x y =B.ln ||y x =C.tan y x =D.2y x x=−4.如图，在ABC △中，13BD BC =，12AE AC =，则（ ） A.1133BD AB AC =− B.2233BD AB AC =− C.2136DE AB AC =−+ D.2136DE AB AC =− 5.已知单位向量i ，j 满足0i j ⋅=，设向量2c i j =−，则向量c 与向量i 夹角的余弦值是（ ）A.5−B.5− C.5 D.5 6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（ ）A.1天B.2天C.3天D.4天7.已知α，β均为第二象限角，则“sin sin αβ>”是“cos cos αβ>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数e ,0,()0.x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若直线y x m =+与函数()y f x =的图象有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.(,1](2,)−∞+∞ B.(,1)[2,)−∞+∞ C.(,0](2,)−∞+∞ D.(,0)[2,)−∞+∞9.在三棱锥O -ABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，点P 在底面ABC 内，已知点P 到OA ，OB ，OC 所在直线的距离分别为1，2，2，则线段OP 的长为（ ）A.22C.3D.92 10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记S 为集合S 的元素个数，()S ϕ为集合S 的子集个数，若集合A ，B ，C 满足： ①99A =，100B =；②()()()()A B C B C Aϕϕϕϕ++=， 则A B C 的最大值是（ ）A.99 B .98 C .97 D .96第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算2i 1i=−________. 12.在ABC △中，已知3cos 5A =，则sin A =__________；tan(π)A −=________. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S An Bn =+（A ，B 为常数），写出一个有序数对(),A B =________，使得数列{}n a 是递增数列.14.某种灭活疫苗的有效保存时间T （单位：h ）与储藏的温度t （单位：℃）满足函数关系e kt b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h ，在5℃时的有效保存时间是360h ，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.15.对于无穷数列{}n a ，若存在常数0M >，对任意的*n ∈N ，都有不等式21321n n a a a a a a M +−+−++−≤成立，则称数列{}n a 具有性质P .给出下列四个结论： ①存在公差不为0的等差数列{}n a 具有性质P ；②以1为首项，(||1)q q <为公比的等比数列{}n a 具有性质P ；③若由数列{}n a 的前n 项和构成的数列{}n S 具有性质P ，则数列{}n a 也具有性质P ；④若数列{}n a 和{}n b 均具有性质P ，则数列{}n n a b 也具有性质P .其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）在ABC △中，cos cos 2a C c A a +=.（I ）求b a的值；（II ）若π6A =，c =b 及ABC △的面积. 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，2AB AD ==，3CD PD ==.（I ）求证：AB ⊥平面P AD ；（Ⅱ）求平面P AB 与平面PCD 的夹角的余弦值；（Ⅲ）记平面P AB 与平面PCD 的交线为l .试判断直线AB 与l 的位置关系，并说明理由.18.（本小题13分）已知函数()ln(1)()f x ax x a =−+∈R .（I ）若1a =，求()f x 的最小值；（II ）若()f x 存在极小值，求a 的取值范围.19.（本小题14分） 设函数2π()sin 2cos 2cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭. （I ）若1ω=，π6ϕ=，求π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（II ）已知()f x 在区间ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，且π3x =是函数()y f x =的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求ω，φ的值. 条件①：当π6x =−时，()f x 取到最小值； 条件②：π532f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 条件③：()f x 在区间ππ,36⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.（本小题15分）已知函数()e cos x f x x =+.（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（II ）讨论()f x 在区间(π,)−+∞上的零点个数；（III ）若()f m n =，其中0m >，求证：2n m −>.21.（本小题15分）若有穷正整数数列A ：1a ，2a ，3a ，…，2(3)n a n ≥满足如下两个性质，则称数列A 为T 数列： ①2122(1,2,3,,)i i i a a i n −+==； ②对任意的{1,2,3,,21}i n ∈−，都存在正整数j i ≤，使得112()i j j j j i j a a a a a ++++−=++++. （I ）判断数列A ：1，1，1，3，3，5和数列B ：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T 数列，说明理由； （II ）已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，2(3)n a n ≥是T 数列.（i ）证明：对任意的{2,3,,1}i n ∈−，2232i i a −=⨯与22132i i a −+=⨯不能同时成立；（ii ）若n 为奇数，求2462n a a a a ++++的最大值.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
河北省保定市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题(含答案)
2024年高三摸底考数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和容题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知，则（）A.B. C. D.2.已知是的共轭复数，则（）A.0 B. C.2D.3.已知向量，且，则（）A.1B.2C.D.04.若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（）A.2B.3C.45.设函数为偶函数.当满足时，|有最小值2，则和的值分别是（）A. B.C. D.6.若中，角所对的边分别为平分交于，且，则（）{}1,{5,}A xx B x x x ==<∈N ∣∣…A B ⋂={}0,1{}1[]0,1(]0,1()21i ,1i z z -=+z z =2i 2-()()1,1,2,a b λ==- ()0b λ=> a b ⋅= 1-r ()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭12,x x ()()122f x f x -=12x x -∣ωϕπ,0ωϕ==ππ,2ωϕ==ππ,22ωϕ==π,02ωϕ==ABC ,,A B C ,,,4,16,a b c a b CD ==ACB ∠AB D 4CD =BD =B.3C.D.7.已知且，则的最小值是（）A.12 B.16 C.15 D.148.已知函数若关于的方程至少有5个不等的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象经过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.若是平面的一条斜线，，直线平面且直线，记直线与平面所成的角为，则下列说法正确的是（）A.与是一对异面直线B.若点和分别为直线上和平面内异于点的点，则C.若和分别是直线与上的动点，则满足且的直线不唯一D.过直线有且只有唯一平面与直线平行11.若函数存在两个极值点，下列说法正确的是（）A.时满足条件B.不存在实数使得均为正整数C.当时，D.对任意正整数，均存在对应的，使得三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知曲线在处的切线斜率为4，则实数的值为__________.13.函数的最小正周期是__________，在上的单调递减区间是__________.0ab >21a b +=221a b ab++()()1,11,22,17,x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-⎪⎩………x ()f x a =a []1,0-[]2,0-[]4,0-[]8,0-()11x y a a a=->αl O α⋂=a ⊂αO ∉a αθa A B αO AOB ∠θ…M N a MN l ⊥MN a ⊥a ()21ln 2f x x x mx x =--()1221,x x x x >1m =m 12,x x 321x x …m n 12,x x ()222112ln x x n x x -=13e 1x y ax -=++1x =a ()2cos sin cos 1f x x x x =++()f x ()0,π14.已知递增数列共有项（为定值）且各项均不为零，末项.若从数列中任取两项和，当时，仍是数列中的项，则数列的通项公式__________（用含和的式子表示.）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量.（1）若，且，求的值；（2）设函数，求函数的值域.16.（15分）已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角.17.（15分）在中，角的对边分别为.（1）求角；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若边，点为线段上的动点，点为线段上的动点，且线段平分的面积，求线段长度的最小值.18.（17分）已知函数.{}n a m *,m m ∈N 1m a ={}n a i a j a i j <j i a a -{}n a {}n a n a =m n ()3cos ,1,sin ,2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ a ∥b ()0,πx ∈sin cos x x -()()π2,0,4f x a b a x ⎡⎤=+⋅∈⎢⎥⎣⎦ ()f x 111ABC A B C -12AB BC BB ===AB BC ⊥,E F AC 1CC 1A E ⊥BEF 1ABC BEF ABC ,,A B C 2,,,cos cos b a c a b c B C-=B 2222b c ac =+cos C 2c =D AB E BC DE ABC DE ()()e sin 2,2cos x f x x x g x x =+-=-（1）已知直线是曲线的切线，求实数a 的值；（2）求函数的单调区间；（3）求证：恒成立.19.（17分）已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且.（1）证明：数列为等比数列，并求实数的值；（2）若，数列前项和为，求证：；（3）当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式.0x y a -+=()[],0,πy g x x =∈()f x ()()f x g x …{}n a n n S ,2n n n S a μ=-1212a a +={}n a μ21log n n b a =()n b n n T 2ln 2n n T +>1n …{}123232,1n n n i j i j B a a a a i j ++=+⋅<+<⋅<∣…*,i j ∈N n B n c {}n c2024年高三数学摸底试题参考答案一､选择题：（每小题5分，共40分）1.A2.B3.C4.B5.D6.C7.D8.B8.解析：由题意的图象如图所示，问题转化为函数的图象与直线的至少有5个公共点，故的范围是B 正确.二､多选题：（每小题6分，共18分）9.ABC11.解析：当时在上单调递增.此时至多有一个极值点，不符合题意.当时，若；若.在上单调递增，在上单调递减.又当时.当时，故只需A 错误.此时且由于是的两个零点且.则若为正整数则.此时.()f x ()f x y a =a []2,0.-()()()()1ln 0;0mx f x x mx x f x x x'-=->='>'0m ≤()()0f x f x ≥∴'''()0,∞+()f x 0m >()10,,0x f x m ⎛⎫⎪⎭''∈> ⎝()1,,0x f x m ∞⎛⎫∈+⎭''< ⎪⎝()f x ∴'10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x +→()f x ∞'→-x ∞→+()f x ∞'→-1110ln 100.e f m m m '⎛⎫>⇒->⇒<< ⎪⎝⎭1e m>()()e 1e 0,10f m f m '=->-'=<12,x x ()f x '12x x <121e 1e x x m <<⎧⎪⎨>>⎪⎩1x 12x =()()2ln22ln2242ln242ln22ln2042f m m f m x '=-⇒=⇒='-=-=⇒=所以存在使得均为正整数，B 错误.由于和是函数与直线交点的横坐标.当时恰有.所以当时，必有当（注：由图象与直线交点变化情况可知m 越小，越小，越大.m 越大，越大，越小）所以当时，m正确..由于当时此时，当时此时故的取值范围是，即对任意正整数均存在使得.D 正确综上可知：CD 正确.三､填空题：（每个小题5分，共15分）12.113.；（开闭区间均给分）14.14.解析：由题意：，若则.而是递增数列中的项，这与是ln22m =12x x 111212212ln ln ln ln x mx x x m x x mx x x =⎧⇒==⇒⎨=⎩2x ()ln x g x x =y m ===m =12x x ==321x x =0m <≤321x x ≥m >321x x <ln x y x=y m =1x 2x 1x 2x 321x x ≥()()()()()22212121212121121212ln ln ln x x x x x x x x x x x x x x x x mx mx m+-+---===++0m +→21x x ∞-→+21x x m∞-→+1e m →210x x +-→210x x m-→()222112ln x x x x -()0,∞+n 12,x x ()222112ln x x n x x -=ππ5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦n m 10a ≠10a <11m m a a a ->=1m a a -{}n a 1m a =数列的最大项矛盾.故必有.因为数列是单调递增数列，所以有.从而有且它们均为数列中的项.因此由上可知所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.所以四､解答题：（本题共5小题，共77分）15.（13分）解：（1），，又，，；（2）由题意：10a >{}n a 12301m a a a a <<<<<=2131411m m a a a a a a a a a -<-<-<<-< {}n a 121212a a a a a =-⇒=23131213a a a a a a a =-⇒=+=34143114a a a a a a a =-⇒=+=.⋯⋯⋯11111m m m m a a a a a a ma --=-⇒=+=11a m ={}n a 11a m=1m n n a m=a ∥3,cos sin 2b x x ∴-= 3tan 2x ∴=-()0,πx ∈ sin x x ∴==sin cos x x ∴-=1cos sin ,2a b x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ()()()2122cos sin ,cos ,12cos 2sin cos 12f x a b a x x x x x x ⎛⎫∴=+⋅=+-⋅=+- ⎪⎝⎭ πsin2cos224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，的值域是16.（15分）（1）证明平面平面，又，又平面又平面.又即.又平面.（2）解：如图所示，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，易得设平面的法向量，则，取，则法向量.由（1）可知平面的法向量.平面与平面的夹角为.πππ3π0,,2,4444x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()∴f x ⎡⎣1A A ⊥ ,ABC BE ⊂1,ABC A A BE ∴⊥,.AB BC AE EC BE AC ==∴⊥ 1A A AC A BE ⋂=∴⊥ 11ACC A 1A E ⊂ 111,A ACC A E BE ∴⊥1tan tan A EA EFC ∠∠== 11ππ22A EA EFC EFC FEC A EA FEC ∠∠∠∠∠∠∴=+=∴+= 1A E EF ⊥1.EF BE E A E ⋂=∴⊥BEFB BA x BC y 11(2,0,0),(0,0,0),(0,2,2),(2,0,2),(1,1,0)A B C A E ()()12,0,0,0,2,2,BA BC == 1ABC (),,n x y z = 120,220n BA x n BC y z ⋅==⋅=+= 1y =()0,1,1n =-()11,1,2A E =-- BEF 111cos ,||A E n A E n A E n ⋅∴<>===⋅ 1ABC BEF π617.（15分）解：（1），，，（2），又，（3）若边由（1）（2）可知，，令，则，又由余弦定理得：（当时等号成立）.18.（17分）解：（1），，解得切点为，2,sin cos 2sin cos cos sin cos cos b a c B C A B B C B C -=∴=- sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B∴+=1sin 2sin cos ,cos 2A A B B ∴=∴=()π0,π,3B B ∈∴=222π1,232B b a c ac =∴=+-⋅ 2222b c ac =+ 233,,22ac a a c b ∴=∴=∴=222cos 2a b c C ab +-∴===2c =π3,3a b B ===1sin 2ABC BDE S ac B S ∴==∴= ,BD m BE n ==132BDE S mn ==∴= 2221232DE m n mn mn =+-≥=m n ==DE ∴()[]sin ,0,πg x x x =∈' ()sin 1g x x ='∴=π,2x =∴π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ20,222a a ∴-+=∴=-（2），当时，单调递减当时，，单调递增，单调递递增.综上所述，在上单调递减，在上单调递增.（3）证明：恒成立恒成立恒成立.令，则令则单调递增，又，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；恒成立.19.（17分）解：（1）令可得，即.令可得，即，所以又.，两式相减可得，数列为首项为4，公比为2得等比数列.（2）证明：由（1）可知，所以.()e cos 2xf x x =+'- (],0x ∞∈-()()e 1,cos 1,0,xx f x f x ≤'≤≤∴[)0,x ∞∈+()e sin ,e 1,sin 1x xf x x x =-≥'≤'()()0,f x f x ≥'∴''∴()()()00,f x f f x ='≥'∴()f x (],0∞-[)0,∞+()()f xg x ≥e sin 2cos 20x x x x ⇔+-+-≥sin cos 2210e xx x x +--⇔+≥()sin cos 221e x x x x h x +--=+()()()()cos sin 2sin cos 222sin e e x x x x x x x x x h x ---+'---==()sin m x x x =-()()1cos 0,m x x m x =-≥∴'()00m = ∴(],0x ∞∈-()0m x ≤()()0,h x h x '≤[)0,x ∞∈+()0m x ≥()()0,h x h x '≥()()()()00,h x h f x g x ∴≥=∴≥1n =112S a μ=-1a μ=2n =222S a μ=-1222a a a μ+=-22a μ=1212,4a a μ+=∴= 112424n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩ 1122,2n n n n n a a a a a --=-∴=∴{}n a 12n n a +=211log 1n n b a n ==+要证成立，只需证，即令，当时，单调递增，（3）时，集合，即3中元素个数，等价于满足的不同解，如果.则.盾!如果j ，则，矛盾!，又，，即，共个不同解，所以.11122,ln ln .121n n n i i n i T i i ==++==++∑∑ ∴2ln 2n n T +>12ln 11n n n +>++11ln 111n n ⎛⎫>+ ⎪++⎝⎭()()()()1ln 1,10,0,11x f x x x f x x x x ∞=-+==>'-∈+++∴()0,x ∞∈+()f x ()()()1ln 100,01f x x x f f n ⎛⎫=-+>=∴> ⎪+⎝⎭112ln 1,ln 112n n T n n +⎛⎫∴>+∴> ⎪++⎝⎭1n ≥{}123232n n n i j i j B a a a a ++=+⋅<+<⋅∣1*22232,1,,,n i j n n i j i j B +⋅<+<⋅≤<∈N 1322232n i j n +⋅<+<⋅(),i j 2j n <+1122222232i j i n n n n +++++=⋅……2n >+31222232i j i n n +++≥+>⋅2j n ∴=+()12223224232220n n n n n ++-⋅=+⋅-⋅=+> 1222212322222222232n n n n n n n n ++++++∴⋅<+<+<<+<+=⋅ 1,2,3,,i n = n (),i j ()1n c n n =≥。
2024-2025学年山东省菏泽市高三上学期期中数学试题及答案
菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （ ）A. {}0,1 B. {}1 C. {}1,1- D. ∅2. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（ ）A. []1,2 B. []4,6 C. []5,9 D. []3,73. 已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（ ）A. 12-B.12C. 0D. 14. “函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（ ）A. 1B.3log 22C.ln33D.2log 36.6. 函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（ ）A. 1B. 0C. 3D. 27. 自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（ ）A. ①和④B. ③和④C. ③和②D. ①和②8. 已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（ ）A. 有最大值为1e -，最小值为1 B. 有最大值为0，最小值为1e-C. 有最大值为0，无最小值D. 无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 已知0c b a <<<，则（ ）A. ac bc <B. 333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10. 已知函数()21,2,5,2xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（ ）A. 1a ≤- B. []1,4c ∈ C. ()20,5ad ∈ D. 222a b +=.11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（ ）A. π6f ⎛⎫=⎪⎝⎭B. ()f x 的图象关于直线π3x =对称C. S 呈周期变化D. 6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13. 已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14. 已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. 记ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16. 已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17. 记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；的（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18. 已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19. 已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．的是菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a - （2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。
2024年高三数学期中试卷及答案
2024年高三数学期中试卷及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = 3，求a的值。
A. -1B. 1C. 2D. -2{答案：B}2. 已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 21B. 19C. 23D. 17{答案：A}3. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q，求点Q的坐标。
A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-2, -3)D. (-3, -2){答案：A}4. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(f(-1))的值。
A. 4B. 2C. 0D. -2{答案：A}5. 设函数g(x) = |x - 1| - |x + 1|，求g(2)的值。
A. 1B. -1C. 2D. -2{答案：B}6. 若直线y = 2x + 3与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5相切，求圆心到直线的距离。
A. 1B. √5C. 2D. 3{答案：B}7. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。
A. 4B. -4C. 5D. -5{答案：B}8. 已知复数z = 3 + 4i，求复数z的模。
A. 5B. 7C. 9D. 25{答案：A}9. 设矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵A的特征值。
A. 2B. 3C. 4D. 5{答案：A}10. 若f(x) = x^3 - 3x + 1，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3x + 1C. 3x^2 + 3D. x^2 + 3x - 1{答案：A}二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知等比数列{bn}的首项为2，公比为3，求第5项的值。
{答案：2 * 3^4}2. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点为Q，求点Q的坐标。
2025届四校联考高三数学期中考试试卷及答案
上海（四校联考）2024学年高三数学第一学期期中考试试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合{}265<0A x x x =-+，{}0,1,2B =，则A B ⋂=___________．【答案】：{}22．已知向量(1,2)a =- ，(3,2)b = ，则b 在a方向上的数量投影为_____________．【答案】：52.53．曲线xy e =在点(01)，处的切线方程为_______．【答案】：1y x =+4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为__________．【答案】：1205．二项式6(3x 的展开式中，常数项为_______．【答案】：18-6．关于x 的方程100910152024x x x +++-=的解集为__________．【答案】：{}07．已知>0x ，>0y ，4x y xy +=，则x y +的最小值为________．【答案】：98．《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺.”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为________平方尺．【答案】：41π9．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为2x xe e shx --=，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移12个单位，再向上平移2个单位，得到函数()y f x =的图象，并且数列{}n a 满足条件(2025n na f =，则数列{}n a 的前2024项和2024S =________________．【答案】：202310.已知椭圆Γ：22143x y +=，点1F 和2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则12PF F △内切圆半径的最大值为__________．【答案】：404811.在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+________．【答案】：3312．若关于x 的方程2(ln )20x x e a x x a -⋅-+-=在(0,1]上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是________．【答案】：311(,]3e e二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13．设z C ∈，则1z R z+∈是1z =的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】：B14．在ABC △中，10BC =，M 为BC 中点，4AM =，则AB AC ⋅= （）．A .9-B .16-C .9D .16【答案】：14. A15．已知定义在R 上的函数()y f x =，其导数为()f x '，记()()g x f x '=，且()()4f x f x x --=，()(2)0g x g x +-=，则下列说法中正确的个数为（）．（1）(0)1g =；（2）()f x y x=的图象关于(0,2)对称；（3）()(2)0f x f x +-=；（4）21()nk g k n n==-∑．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】：B16．已知正项数列{}n a 满足1112ln n n n a a a ++=-，下列说法正确的是（）．A ．当10<<1a 时，数列{}n a 单调递减B ．当1>1a 时，数列{}n a 单调递增C ．当10<<1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，01<2n n a D ．当1>1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，0<2n n a 【答案】：D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.【解析】：（1）成绩在区间[80,100]的比例为：(0.0100.005)100.150.35+⨯=<；（2分）成绩在区间[70,100]的比例为：0.150.04100.550.35+⨯=>，因此65%分位数位于区间[70,80)；（4分）因此入围分数为：0.40.27010750.4-+⨯=，因此入围分数应设为75分；（6分）（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此0,1,2X =，(0)P X =2426C C =25=（8分）1124268(1)15C C P X C ⋅===（10分）(2)P X =2226C C=115=，则X 的概率分布为：01228151515⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（12分）所以X 的数学期望为812[]1215153E X =⨯+⨯=.（14分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()y f x =是定义在(1,1)-上的奇函数，并且当0x >时，()cos sin(223x x f x π=⋅+2cos 2x（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求关于x 的不等式21(log 1)()(0)2f x f x f ++-<的解集.【解析】：（1）当01x <<时，()fx 1sin()234x π=-+；（2分）当0x =时，()0f x =；当10x -<<时，0x ->，()()f x f x -=-=1sin(234x π+-；（4分）因此1sin(1234()0, 0133sin()1 0234x x f x x x x ππ⎧-+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+--⎪⎩<<<<；（6分）（2）当(0,1)x ∈时，13336x ππππ---<<<，因此有()y f x =在(0,1)上严格增；（8分）而当0x =时1333sin()02342x π-+=>，因此有()y f x =在(1,1)-上严格增；原不等式可化为：21(log 1)()2f x f x +-<；（10分）而()y f x =是定义在(1,1)-上的严格增函数，所以221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-+⎪⎪--⎨⎪⎪+-⎪⎩<<<<<；（12分）因此不等式的解集为11(,42.（14分）19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥P ABC -中AC BC ⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC AC ===，4BC =，E ,F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l.（1）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在AC 的同侧），且直线PQ 与直线EF 所成的角为4π，求平面PBQ 与平面AEF 所成的锐二面角的余弦值.【解析】：（1）证明：BC AC ⊥ ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =BC ∴⊥平面PAC ；（2分）又E 、F 分别为PB 、PC 的中点，//BC EF ∴；（4分）EF ∴⊥平面PAC ；（6分）（2）BC AC ⊥ ，∴以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,4,0)B，P，1(,0,)22E，1(,2,22F ，而//EF BC ，BC 不在平面AEF 上，EF ⊂平面AEF ，//BC ∴平面AEF ，//l BC ∴，设Q 点坐标为(2,,0)(0)y y ≥，(1,PQ y = ，(0,2,0)EF = ，cos ,PQ EF ∴=2=，即2y =，则Q 点坐标为(2,2,0)；（8分）设平面PBQ 的法向量000(,,)n x y z = ，即0n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取01x =，可得n = ；（10分）设平面AEF 法向量为111(,,)m x y z = ，则0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取11x =，可得m = ；（12分）cos ,5m n ∴== ，即平面PBQ 与平面AEF所成的锐二面角的余弦值为5.（14分）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知点G 是圆22:(1)16T x y ++=上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为(1,0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线OM 、ON 的斜率分别为1k 和2k 且1234k k =-，则MON △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长OP 至Q ，使3OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E于A 、B 两点，求AQB △面积的最大值.【解析】：（1）RH RG =，则42RT RH RT RG GT TH +=+===>，则曲线C 是以(1,0)-和(1,0)为焦点，4为长轴的椭圆；（2分）设椭圆方程为22221x y a b +=，则2,1a c ==，2223b a c =-=，曲线C ：22143x y +=；（4分）（2）设(2cos )M ϕϕ，(2cos )N θθ，则123sin 3sin 2cos 2cos k k ϕθϕθ==⋅34-，即cos()0θϕ-=；（7分）12cos 2cos )2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△为定值；（10分）（3）设点(,)Q x y ，则点(,33x y P ，代入椭圆方程得到曲线E ：2213627x y +=；当直线l 的斜率不存在时：设:([2,2])l x n n =∈-，代入E 中有223274y n =-，则2AQB AOB S S ==≤△△（12分）当直线l 斜率存在时：设:l y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，代入E 的方程：222(43)841080k x mkx m +++-=，则122843km x x k -+=+，2122410843m x x k -=+；（14分）122AQB AOBS S m x x ==-==△△；（16分）而l 与椭圆C 有公共点，代入得：222(43)84120k x kmx m +++-=，由0∆≥有2243k m +≥，记2243m t k =+，则AQB S =≤△，综上，AQB △面积的最大值为.（18分）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()y f x =的表达式为()(2ln )()f x x ax x a R =-∈.（1）当1a =时，求()y f x =的单调增区间；（2）若当1x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：5740472ln1012233420232024+++⨯⨯⨯ >.【解析】：（1）1a =时，2()(2ln )2ln f x x x x x x x =-=-，则()2(ln 1)f x x x '=--（2分）令()ln 1g x x x =--，则1()1g x x'=-，则()g x 在(0,1)上严格减，(1,)+∞上严格增，则()(1)0g x g ≥=，即()f x 在(0,)+∞上严格增，因此函数()y f x =的增区间为(0,)+∞；（4分）（2）()22(1ln )2(ln 1)f x ax x ax x '=-+=--，记()ln 1h x ax x =--，则1()h x a x'=-，若1a ≥，则1a1≤，即1x >时()0h x >，()f x ∴在(1,)+∞上严格增，()(1)1f x f a >=>，满足要求；（6分）若(0,1)a ∈，则11a >，1(1,x a ∈时()0h x <，则1()(1,f x a 在上严格减，故当1(1,x a ∈时，()(1)1f x f a <=<，不满足要求；（8分）若(,0]a ∈-∞，则()0h x <，()f x 在(1,)+∞上严格减，则()(1)1f x f a <=<，不满足要求；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.（10分）（3）由（2）可知1a =时2()2ln 1f x x x x =->，则12ln (1)x x x x <->，取21n x n +=+，则221232ln112(1)(2)n n n n n n n n n ++++<-=+++++，即2322ln (1)(2)1n n n n n ++>+++；（14分）20222022112323420242ln 2ln()2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++∴>=⨯⨯⨯=+++∑∑ ，即572334+⨯⨯40472ln101220232024++⨯ >.。
2024-2025学年天津市河东区高三数学上学期期中考试卷及答案解析
y2 - y1
2 -1
= 1.
，这里 C (1,1) ， P(2, 2) ，则 kCP =
x2 - x1
2 -1
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为 k1 和 k2 ，则 k1k2 = -1 .
已知 kCP = 1 ，所以切线的斜率 k = -1 .
又因为切线过点 P(2, 2) ，根据点斜式方程 y - y0 = k ( x - x0 ) （这里 x0 = 2, y0 = 2, k = -1 ），
【解析】
【分析】按照投影向量的计算公式求解即可.
r
r
【详解】解：因为向量 a = 2, 0 , b = 3,1 ，
r
r r
r
r r
r
b
a ×b b
a ×b r 6
9 3
r
r r
r
× (3,1) = ( , ) .
则向量 a 在向量 b 上的投影向量为: | a | × cos < a , b > × r = r × r = r 2 × b =
o
bö
bö
æ
÷ ， B ç -1, ÷ ，
aø
aø
è
△ ABF 为正三角形，由对称性可知，直线 AF 的倾斜角为 30 ，则
k AF
b
3 ，解得 b = 2 3 ，
= a =
a
3
2
3
2 3
x.
3
所以双曲线 C 的两条渐近线方程为 y = ±
故选：C
8. 已知函数 f ( x) = 2sin x cos x - 2 3 cos 2 x + 3 给出下列结论：
高三年级第一学期期中考试(数学)试卷含答案解析
高三年级第一学期期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）1．命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（）A ．20,10x x x ∀>-+≤B ．20,10x x x ∀≤-+≤C ．20,10x x x ∃>-+≤D ．20,10x x x ∃≤-+≤2.（5分）2．已知集合A ，B 均为全集U ={1，2，3，4}的子集，且C U (A ∪B )={1}，B ={3,4}则A ∩(C U B )=（）A ．{1}B ．{2}C ．{1，2}D ．∅3.（5分）3．设平面α∩平面β=m ，且a b αβ⊂⊂，，a ⊥m ，b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分不必要条件4.（5分）4．已知α为第三象限角，则（）A ．sin02α> B ．cos02α>C ．sin20α>D ．cos20α>5.（5分）5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A ．3.50分钟 B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟6.（5分）6．将函数4cos 2()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭π和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，…，A k ，若P 点坐标为(03，则12k PA PA PA +++……=（）A ．KB ．2kC ．5D ．107.（5分）7．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当x∈(0，+∞)时，)’(2f x >恒成立，若不等式()(1221)()f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.（5分）8．三棱锥A —BCD 中，∠ABC=∠CBD=∠DBA=60°，BC=BD =1，△ACD 的面积为114，则此三棱锥外接球的表面积为（） A ．4πB ．16πC ．163π D ．323π 二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．设z 1，z 2是复数，则下列说法中正确的是（）A ．1212=z z z z --B ．1212=z z z z ⋅C ．若12z z ∈R，则12=z zD ．若12=0z z -，则12=z z10.（5分）10．已知2cos cos ()3g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（）A ．函数()g x 的最小正周期为πB ．函数()g x 在03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减C ．5012⎛⎫- ⎪⎝⎭π，是函数()g x 图象的一个对称中心 D ．函数()g x 的图象可以由函数1y cos 62x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12得到 11.（5分）11．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3=6，S 16>0，a 9<0，则（）A ．12111d -<<-B ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为第9项C ．S n <0时，n 的最小值为17D ．a 8>012.（5分）12．关于函数f (x )=e x+a sin x ，x ∈(-π，+∞)，下列结论正确的有（）A ．当a =1时，f (x )在(0，f (0))处的切线方程为2x -y +1=02=3α- B ．当a =1时，f (x )在(-π，+∞)上存在唯一的极小值点 C ．对任意a >0，f (x )在(-π，+∞)上均存在零点D ．当a <0时，若对∀x ∈(-π，+∞)，f (x )≥0恒成立，则420e a -≤<π三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．若tan 2=3α-，则cos2α=____________． 14.（5分）14．某电商一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值_______．15.（5分）15．已知向量a ，b 是平面内的两个非零向量，则当|a +b |+|a －b |取最大值时，a 与b 夹角为______．16.（5分）16．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别是36n a n =+，()*=27N n n n b +∈．将集合{}{}1212,,,,,,,,n n a a a b b b ⋯⋯⋃⋯⋯中的元素按照从小到大的顺序排列，构成数列{}n c ，则数列{}n c 的前62项和S 62______．四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17．（本小题满分10分）设各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，S 5=20，且a 2，a 6-1，a 11成等比数列． （1）求数列{}n a 的公差d ；（2）数列{}n b 满足：1=n n n b b a ++，且111=b a +，求数列{}n b 的通项公式．18.（12分）18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B =b sin 2A B+． （1）求角C 的大小；（2）若b =8，cos B =21，D 为边BC 上一点，且AD=7，求BD DC的值． 19.（12分）19．（本小题满分12分）某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A ，B ，C ．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A ，B ，C 三辆车每天出车的概率依次为221,,332，且A，B，C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．（1）求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；（2）设X表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X)．20.（12分）20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=4，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且PA=2．（1）证明：PA⊥底面ABCD；（2）当点E在BC边上移动，使二面角E—AF—B为60°时，求二面角F—AE—P的余弦值．21.（12分）21．（本小题满分12分）如图，已知直线y=2x与椭圆E：x2+2y2=1交于A，B两点（点A在第一象限），点P(-4t，t)在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．（1）求点A到椭圆左准线的距离；（2）求证：直线CD的斜率为定值．22.（12分）22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=e x-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，f’(x)是函数f(x)的导函数．（1）求函数f’(x)在区间[0，1]上的最小值；（2）若f(1)=0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求实数a的取值范围.答案一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）1．C 2.（5分）2．B 3.（5分）3．A 4.（5分）4．C5.（5分）5．B6.（5分）6．D7.（5分）7．D8.（5分）8．A二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分） 9.（5分）9．ABD 10.（5分）10．AB 11.（5分）11．ACD 12.（5分）12．ABD三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．51314.（5分）14．20 15.（5分）15．π216.（5分）16．3395四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分） 17.（10分）17． 解：设{}n a 的公差为d ，由520S =得155()202a a +=，即34a =． ……2分又2a ，61a -，11a 成等比数列，所以()262111a a a -=⋅，即()233(4)(48)d d d +=-⋅+，即2171070d d --=，所以(1)(177)0d d -+=， ……4分若717d =-，则132017a =-<，与0n a >矛盾，所以1d =． ……6分（2）由（1）有3(3)1n a a n d n =+-=+，故11n n b b n ++=+，且121b b ==，所以122n n b b n +++=+，两式相减得21n n b b +-=， ……8分所以数列{}n b 的奇数项与偶数项分别成公差为1的等差数列， 当n 为奇数时，()1111122n n n b ++=+-⨯=， 当n 为偶数时，()11122n n n b =+-⨯=， 所以()11124n n n b -+-=+．（写成分段函数亦可） (10)分18.（12分）18．解：因为sin sin2A Bc B b +=， 在△ABC 中，A B C +=π-， 所以sin sincos 22C Cc B b b π-==． 在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin cos2CC B B = 又0B <<π，sin 0B ≠， 所以sin cos2C C =，即 2sin cos cos 222C C C =， 又0πC <<，所以022C π<<，所以cos 02C≠， 所以1sin22C =，因为π022C <<，所以π26C =， 即π3C =． (4)分（2）因为cos B，所以sin B =sin sin()A B C =+πsin()3B =+ππsin cos cos sin 33B B =+127=+=， ……6分在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a bA B=，810a ==， ……8分 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AD DC AC DC AC C =+-⋅， 即28150DC DC -+=，故(3)(5)0DC DC --=，所以3DC =或5DC =， (10)分当3DC =时，7BD BC DC =-=，73BD DC =， 当5DC =时，5BD BC DC =-=，1BDDC=， 所以BD DC 的值为73或1． ……12分19.（12分）19．解：（1）设该分公司A ，B ，C 三辆押运车在星期四出车的事件分别为A 4､B 4､C 4，该分公司在星期四至少有一辆押运车外出执行任务的事件为D ．则P (D )＝1－P (D －)＝1－P (A －B －C －)＝1－13×13×12＝1718． ……4分 （2）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3． ……5分P (X ＝0)＝12×13×13＝118；P (X ＝1)＝12×13×13＋12×23×13＋12×13×23＝518；P (X ＝2)＝12×23×23＋12×23×13＋12×13×23＝49；P (X ＝3)＝12×23×23＝29． ……9分 所以X 的分布列为E (X )＝0×118＋1×518＋2×49＋3×29＝116． ……11分 答：星期四至少有一辆车外出执行任务的概率为1718；X 的数学期望为116辆． (12)分20.（12分）20．证明：（1）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB 平面ABCD AB =，矩形ABCD 中，AD AB ⊥，AD ABCD ⊂平面，AD ⊥所以平面PAB ， 又AP PAB ⊂平面，AD AP ⊥所以． (2)分同理可证AB AP ⊥，又ABAD A AB AD ABCD =⊂，，平面，所以PA ⊥底面ABCD ． ……4分（2）因为PA AB =，点F 是PB 的中点，，AF PB ⊥所以．AD ⊥又平面PAB ，又AF PAB ⊂平面，AD AF ⊥所以，且//AD BC ，BC AF ⊥所以，AF ⊥所以平面PBC EF PBC ⊂，平面，所以AF EF ⊥，所以 BFE ∠为二面角E AF B --的平面角， (6)分即60BFE ∠=，此时6BE =，AD 因为，AB ，AP 三线两两垂直，分别以AD ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，()0,0,0A ，()002P ,,，()0,1,1F ，()06,2,E，()0,0,2AP =，()0,1,1AF =，()6,2,0AE =，设平面FAE 的法向量为()111,,x y z =m ，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11116200x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令13z =，得116,3x y ==-，则()6,3,3=-m ， (8)分设平面PAE 的法向量为()222,,x y z =n ，由00n AP n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22220620z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令26x =，得22,30y z =-=，()6,3,0=-n ， …… 10分则10cos ,42615m n m n m n ⋅<>===⋅，所以二面角F AE P --的余弦值为4． …… 12分21.（12分）21．解：（1）因为椭圆2221x y +=中，21a =，212b =，所以22212c a b =-=，故左准线为x =由22212x y y x⎧+=⎨=⎩，得13x =±，因为点A 在第一象限，所以13A x =．． （2）设00()P x y ，，11( )A x y ，，22( )B x y ，，33( )C x y ，，44( )D x y ，， 则0040x y +=，221121x y +=，222221x y +=，又设1AP PC λ=，2BP PD λ=，其中12λλ∈R ，， 则1013110131(1) (1) x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，，代入椭圆2212x y +=并整理得，22222210011101011(1)(2)(2)2(1)(2)x y x y x x y y λλλ++++-++=，从而有 2210001011(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-，①同理可得，2220002021(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-，②①－②得，221200()(21)0x y λλ-+-=， 因为220021x y +<,所以12λλ=， 从而//AB CD ，故2CD AB k k ==.22.（12分）22．解：（1）由2()e 1x f x ax bx =---得()e 2x f x ax b '=--，令()()g x f x '=，所以()e 2x g x a '=-．（i ）当0a ≤时，()0g x '>对一切[]0 1x ∈，恒成立， 所以()g x 在[]0 1，内单调递增，故()g x 在[]0 1，上的最小值是(0)1g b =-； （ⅱ）当20a >即0a >时，令()0g x '=，得ln(2)x a =，从而有 ① 当ln(2)0a ≤即102a <≤时，列表：故()g x 在[]0 1，上的最小值是(0)1g b =-； ② 当0ln(2)1a <<即1e22a <<时，列表：故()g x 在[]0 1，上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a a b =--； ③ 当ln(2)1a ≥即e 2a ≥时，列表：故()g x 在[]0 1，上的最小值是(1)e 2g a b =--. 综上，当12a ≤时，所求最小值是1b -，当1e 22a <<时，所求最小值是22ln(2)a a a b --；当e2a ≥时，所求最小值是e 2ab --.（2）由(1)0e 10e 1f a b b a =⇒---=⇒=--，所以()()e 2e 1x g x f x ax a '==--++，且(0)0f =.若函数()f x 在区间(01)，内有零点，设x 0为f (x )在区间(01)，内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0)x ，内不可能单调递增，也不可能单调递减． 则()g x 在区间0(0)x ，内不可能恒为正，也不可能恒为负． 故()g x 在区间0(0)x ，内存在零点1x ，同理()g x 在区间0(1)x ，内存在零点2x . 由（1）知当12a ≤或e 2a ≥时，函数()g x 在(01)，内单调，与至少两个零点矛盾，舍；若1e22a <<，此时()g x 在区间()0ln(2)a ，内单调递减，在区间()ln(2)1a ，内单调递增． 因此()10ln(2)x a ∈，，()2ln(2)1x a ∈，， 又min [()](ln(2))22ln(2)e 132ln(2)e 1g x g a a a a a a a a ==--++=--+， 令()32ln(2)e 1h x x x x =--+（1e22x <<）， 则1()32ln(2)2212ln(2)2h x x x x x'=--⋅⨯=-，令()0h x '=得2x =，列表：故当1e22x <<时，max [()]e 10h x =+<， 所以min [()]32ln(2)e 10g x a a a =--+<恒成立，所以1e 22(0)0(1)0a g g ⎧<<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，即1e 222e 010a a a ⎧<<⎪⎪-+>⎨⎪-+>⎪⎩e 21a ⇔-<<，综上，a 的取值范围为()e 21-，.。
2024届黑龙江哈尔滨九中高三上学期期中数学试题及答案
哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（ ）A. ()0,2 B. ()1,2- C. (],4∞- D. (]1,4-2. 若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 2iB. 2i- C. 2- D. 23. 在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（ ）A. 20 B. 24C. 27D. 294. “26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列命题中，真命题的是（ ）A. 函数sin ||y x =的周期是2π B. 2,2x x R x ∀∈>C. 函数2()ln2x f x x +=-是奇函数. D. 0a b +=的充要条件是1ab=-6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 3C. 9D. 7. 已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（ ）A 27B. 0C. 716-D. 916-8. 在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设的.某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ）A. 35B. 42C. 49D. 56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（ ）A. 数列1{}2n a +为等比数列 B. 11322n n a =⨯-C. 数列{}n a 是递减数列D. {}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-10. 下列说法中正确的是（ ）A. 在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B. 非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C. 已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为3511. 已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A. 若()0f =，则π3ϕ=B. 若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C. 若()f x [],a b 上单调，则π2b a ω-≤D. 若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12. 已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax xx f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为()0,6πB. 方程()f x m =可能有三个实数根在C. 若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D. 过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．14. 已知ABC的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅=________；15. 若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．16. ()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.19. 已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．21. 已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .22. 已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．的的哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（ ）A. ()0,2B. ()1,2- C. (],4∞- D. (]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2. 若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 2i B. 2i- C. 2- D. 2【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，得到z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数z 满足i 2i z =+，所以2i12i iz +==-，所以z 的共轭复数12i z =+.其虚部为：2.故选：D3. 在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（ ）A. 20 B. 24C. 27D. 29【答案】D 【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：2642=10a a a +=，所以45a =，又59a =，所以544d a a =-=，所以510592029a d a +=+==，故选：D 4. “26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】26k πθπ=+，Z k ∈时，1sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，526k πθπ=+，Z k ∈时，551sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的充分而不必要条件，故选:A .5. 下列命题中，真命题的是（ ）A. 函数sin ||y x =的周期是2π B. 2,2x x R x ∀∈>C. 函数2()ln 2x f x x +=-是奇函数. D. 0a b +=的充要条件是1ab=-【答案】C 【解析】【分析】选项A ，由sin ||sin |2|33πππ-≠-+可判断；选项B ，代入2x =，可判断；选项C ，结合定义域和()()f x f x -=-，可判断；选项D ，由1ab=-得0a b +=且0b ≠，可判断【详解】由于5sin |||2|sin()333ππππ-=-+==，所以函数sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题；函数2()ln2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题故选：C6. 设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 3C. 9D. 【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：0,a b >>Q 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k abαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.7. 已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC⋅的最小值为（ ）A. 27 B. 0C. 716-D. 916-【答案】D 【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A ，B ，C 的坐标，再设出点M 的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示 ，由题意可知，()0,4A ，()3,0C ，3,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0M t ，其中[]3,3t ∈- ，则3,22MD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0MC t =- ，故()22399993222416MD MC t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以当94t = 时，MD MC ⋅ 有最小值916-.故选：D.8. 在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ）A. 35 B. 42C. 49D. 56【答案】B【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染,则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数：1200000111n nR R R R R +-++++=- ，∵0R 3=，∴当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ，由563243,3729==，故得6n ≈，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得50分，部分选对的得2分．9. 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（ ）A. 数列1{}2n a +为等比数列 B. 11322n n a =⨯-C. 数列{}n a 是递减数列 D. {}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-【答案】AB 【解析】【分析】推导出1113()22n n a a ++=+，11322a +=，从而数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解： 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，*n ∈N ，131n n a a +∴=+，1113(22n n a a +∴+=+，11322a +=，为∴数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，故A 正确；113133222n n n a -+=⨯=⨯，∴11322n n a =⨯-，故B 正确；数列{}n a 是递增数列，故C 错误；数列1{}2n a +的前n 项和为：13(13)3132(31)313444n n n n S +-'==-=⨯--，{}n a ∴的前n 项和1111332424n n n S S n n +'=-=⨯--，故D 错误．故选：AB ．10. 下列说法中正确的是（ ）A. 在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B. 非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C. 已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 在ABC 中，若2350OA OB OC ++= ，则AOC 与AOB 的面积之比为35【答案】BD 【解析】C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而35CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅> 即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅< ,∴C 为钝角，故A 错误；2222222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-=，a b -=B 正确；(1,2)a b λλλ+=++r r，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=，∴3522AO OB OC =+ ，延长AO 交BC 于D ,如图所示.∵,AO OD共线，∴存在实数k ，3522k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴35122k k +=,∴14k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴35CD DB =.∴35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.11. 已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A. 若()0f =，则π3ϕ=B. 若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C. 若()f x [],a b 上单调，则π2b a ω-≤D. 若2ϕπ=时，且()f x在π3⎡-⎢⎣上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】将0x =代入()f x 求出函数值，根据ϕ的范围即可判断选项A ；根据偶函数的性质即可判断选项B ；根据()f x 在[],a b 上单调，则2Tb a ≥-即可判断选项C ；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A ，若()0f =，则2cos ϕ=cos ϕ=，∵[]0,πϕ∈，∴π6ϕ=，则A错误；对于选项B ，若函数()y f x =为偶函数，则0ϕ=或πϕ=，即2cos 1ϕ=，则B 正确；对于选项C ：若()f x 在[],a b 上单调，则π2T b a ω-≤=，但不一定小于π2ω，则C错误；在对于选项D ：若2ϕπ=，则()2sin f x x ω=-，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，∴ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则D 正确．故选：BD ．12. 已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax x x f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为()0,6πB. 方程()f x m =可能有三个实数根C. 若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D. 过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据()0f x ≥，得到1a ≥，画出函数图象，可得单调区间；B 选项，结合函数图象得到方程()f m =的根的个数；C 选项，分[0,6π)x ∈和[]6π,7πx ∈两种情况，得到00tan x x =或0001cos sin x x x -=；D 选项，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，分M 为切点和不是切点，结合函数图象可得过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线.【详解】A 选项，因为函数()0f x ≥，[6π,7π]x ∈时，由于1cos 0x -≥恒成立，故3π(1cos )y a x =-要想恒正，则要满足0a ≥，[0,6π]x ∈时，sin 0y ax x =-≥恒成立，cos y a x '=-，当1a ≥时，cos 0y a x '=-≥在[)0,6π恒成立，故sin y ax x =-在[)0,6π单调递增，又当0x =时，0y =，故sin 0y ax x =-≥在[)0,6π上恒成立，满足要求，当01a <<时，令cos 0y a x '=-=，故存0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos a x =，当()00,x x ∈时，0'<y ，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，故sin y ax x =-在()00,x x ∈上单调递减，又当0x =时，0y =，故()00,x x ∈时，sin 0y ax x =-<，不合题意，舍去，综上：1a ≥，当6πx →时，sin 6πy ax x a =-→，(6)3π[1cos(6π)]0f a π=-=，且(7π)3π[1cos(7π)]6πf a a =-=，画出函数图象如下，故()f x 的单调递增区间为(0,6π),(6π,7π)，A 错误；B 选项，可以看出方程()f x m =最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B 错误；C 选项，当[)0,6πx ∈时，()cos f x a x '=-，则()00cos f x a x '=-，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()0000sin cos y ax x a x x x --=--，将()0,0代入切线方程得()()0000sin cos ax x x a x --=--，解得00tan x x =，当[]6π,7πx ∈时，()3πsin f x a x '=，则()003πsin f x a x '=，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()0003π1cos 3πsin y a x a x x x --=-⎡⎤⎣⎦，将()0,0代入切线方程得，0001cos sin x x x -=，其中06πx =满足上式，不满足00tan x x =，故C 错误；D 选项，当[)0,6πx ∈时，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，()cos f x a x '=-，当切点为()111,sin M x ax x -，则()11cos f x a x '=-，在故切线方程为()()()1111sin cos y ax x a x x x --=--，此时有一条切线，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()222,sin N x ax x -，则()22cos f x a x '=-，此时有()2211221sin sin cos ax x ax x a x x x ---=--，即12212sin sin cos x x x x x -=-，其中1212sin sin x x t x x -=-表示直线MN 的斜率，画出cos ,[0,6π)y x x =∈与y t =的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，[]6π,7πx ∈时，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()()22,3π1cos N x a x -，则()3πsin f x a x '=，()223πsin f x a x '=，()7π3πsin 7π0f a '==，()6π3πsin 6π0f a '==，13π13π3πsin 3π22f a a ⎛⎫⎪==⎭'⎝，结合图象可得，存在一个点()()22,3π1cos N x a x -，使得过点()()22,3π1cos N x a x -的切线过[)0,6πx ∈上时函数的一点，故可得一条切线，当M 点在[]6π,7πx ∈时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过()f x 图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D 正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2) 已知斜率k 求切点()()11,A x f x ,即解方程()1f x k '=；(3) 已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,A x f x ,利用()()()10010f x f x k f x x x -=='-求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14. 已知ABC 的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅=________；【答案】2【解析】【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A =3A π∠= ，所以解得4bc =由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯= 【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15. 若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】19-【解析】【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-16. ()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．【答案】21223n +-【解析】【分析】设n A 中有n c 项为0，其中1和1-的项数相同都为n b ，由已知条件可得()111222n n n b c n ---+=≥①，()112n n n b b c n --=+≥②，进而可得()1122n n n b b n --+=≥③，再结合12n n n b b ++=④可得()11122n n n b b n -+--=≥，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{}n b 的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为()11,1A =-，依题意得，()21,0,0,1A =-，()31,0,1,1,1,1,0,1A =---，显然，1A 中有2项，其中1项为1-，1项为1，2A 中有4项，其中1项为1-，1项为1，2项为0，3A 中有8项，其中3项1-，3项为1，2项为0，由此可得n A 中共有2n 项，其中1和1-的项数相同，设n A 中有n c 项为0，所以22nn n b c +=，11b =，从而()111222n n n b c n ---+=≥①，因为()f A 表示把A 中每个1-都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，为则()112n n n b b c n --=+≥②，①+②得，()1122n n n b b n --+=≥③，所以12nn n b b ++=④，④-③得，()11122n n n b b n -+--=≥，所以当n 为奇数且3n ≥时，()()()324122411222122211143n n n n n n n n n b b b b b b b b ------+=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++=+=-，经检验1n =时符合，所以213n n b +=（n为奇数），当n 为偶数时，则n 1-为奇数，又因为()1122n n n b b n --+=≥，所以111121212233n n n n n n b b ----+-=-=-=，所以2+1,321,3n n n n b n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，+112121233n n n n n b b ++-+=+=，所以{}n b 的前2n 项和为21211352112345621222422()()()()2+2+2++2143n n n n n b b b b b b b b -+---⨯-++++++++===- .故答案为：21223n +-.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2) ()·=f x a b =x ·cos x ＋sin 2xsin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取PC 的中点M ，根据题意证得//AE MF 且AE MF =，得到四边形AEMF 为平行四边形，从而得到//AE ME ，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量1,1)2PB =- 和平面PAD 的一个法向量n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 的中点M ，连接,MF EM ，在PCD 中，因为,M F 分别为,PC PD 的中点，可得//MF CD 且12MF CD =，又因为E 为AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =，所以//AE MF 且AE MF =，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以//AE ME ，因为ME ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以//AF 平面PCE .【小问2详解】解：因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，连接BD ，可得ABD △为等边三角形，又因为E 为AB 的中点，所以DE AB ⊥，则DE DC ⊥，又由PD ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以,,DE DC DP 所在的直线分别为,x y 和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，1PD AD ==，可得11(0,0,0),,0),,0),(0,0,1)22D A B P -，则11,1),,0),(0,0,1)22PB DA DP =-=-=，设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z =，则1020n DA x y nDP z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取x =，可得3,0y z ==，所以n =，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，则sin cos ,n PB n PB n PB θ⋅==== ，所以直线PB 与平面PAD19. 已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =- （2）1133n n n T -+=-【解析】的【分析】（1）利用累加法求出na n，进而得n a ；（2）求得1213n n n b --=，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，所以11221111221n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21n a n =-．【小问2详解】因为312n n S -=，所以当1n =时，1111a S b ==，得11b =；当2n ≥时，1113131322n n n n n n n a S S b -----=-=-=，所以1213n n n b --=（1n =时也成立）．因为012135333n T =++++ 所以12311352133333n nn T -=++++ ，所以1012111121222212133121333333313n n n nnn n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⨯-- 112122112333n n nn n --+=+--=-，故1133n n n T -+=-．20. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．【答案】（1）2π3B = （2）[)8,12【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角B .（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】2ABC BC S ⋅=可得：1cos 2sin sin 2B ac B ac B =⋅=，故有sin tan cos BB B ==又∵()0,πB ∈，∴2π3B =；选②，∵()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+，由正余弦定理得222c ac b a +=-，∴2221cos 22a cb B ac +-==-，又()0,πB ∈，∴2π3B =；选③，∵()2cos cos c a B b C +=-，由正弦定理可得()sin 2sin cos sin cos C A B B C +=-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B B C C B C B A =--=-+=-，∵()0,πA ∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又()0,πB ∈，∴2π3B =．【小问2详解】由余弦定理得2222cos 12c a b ac B ac +=+=-∵0ac >，∴2212a c +<．又有222222122c a c a ac c a +=++≤++，当且仅当2a c ==时取等号，可得228c a +≥．即22a c +的取值范围是[)8,12．21. 已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .【答案】（1）25n a n =或2n a n =（N n +∈） （2）当n 为正偶数时，1n nT n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+【解析】【分析】（1）设出公差d ，根据已知条件列出相应的等式即可求解.（2）由题意可以先求出{}n b 的通项公式，再对n 进行讨论即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2na n =；∴25n a n =或2n a n =（N n +∈）.【小问2详解】因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S nn +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111nn n n n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.①当n 为偶数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++----+++-+ 1111n =-++1n n =-+.②当n 为奇数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++-+++----+ 1111111n n n =-+---+231n n +=-+.所以当n 为正偶数时，1n nT n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+.22. 已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．【答案】（1）递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,x ∈+∞上恒成立，令()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，分0m ≥和0m <两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出m 的取值范围；（3）在（2）基础上得到12ln x x x<-，赋值得到211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，利用累加法得到结论.【小问1详解】当3m =-时，()ln 3,0f x x x x =->，则()1133x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >，所以()f x 的单调递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()m f x x <，得1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，设()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，1ln 0,0x x x>->，所以当0m ≥时，()0g x >，不符合题意．当0m <时，()2111g x m x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭22mx x m x ++=，设()()2,1,h x mx x m x =++∈+∞，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为12x m=-0>，当112m ->，即102m -<<时，因为()1210h m =+>，所以当11,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0g x '>，此时()g x 单调递增，所以()()10g x g >=，不符合题意．当1012m <-≤，即12m ≤-时，()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h m <=+≤，所以()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=，符合题意．综上所述，m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【小问3详解】由（2）可得当1x >时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12ln x x x<-，令*1,n x n n+=∈N ，则211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，所以22223351212ln ,2ln ,,2ln 111222n n n n n++<<⋅⋅⋅<+++，以上各式相加得22223135212lnln ln 121122n n n n n++⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，即22223135212ln 121122n n n n n ++⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯<++⋅⋅⋅+⎪+++⎝⎭，所以()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。
北京市第一六六中学2024-2025学年度第一学期高三期中数学试卷-答案
1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则cos α =（ ）A. B.C. D.【答案】B3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）A. B. C.D. 【答案】D4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则//D. 若，则【答案】C5．等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（ ）A ．25B ．5C ．D ．【答案】D6. 设且,则“”是“”成立的2{|3100}A x x x =--<{|10}B x x =-<A B = {}21x x -<<{}15x x <<{}12x x <<{}51x x -<<xOy αOx()sin f x x=()2xf x =()3f x x x =+()()1e e 2x x f x -=-,m n ,αβ,m n αα∥∥m n ∥,m m αβ∥∥αβ∥,,m m αββα⊥⊥⊄m α,m αβα⊥⊂m β⊥{}n a 236,,a a a {}n a 3-15-x R ∈0x ≠1x >12x x+>A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A7．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：05－50根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位答案：C8．如图，已知等腰△ABC 中， ，，点P 是边上的动点，则的值（ ）A ．为定值10B ．为定值6C ．不为定值，有最大值10D ．不为定值，有最小值6【答案】A9．风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF ，D 为AB 的中点，四边形EFDC 为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF 的体积为（ ）()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭x ωϕ+π2π3π22πxπ35π6()sin A x ωϕ+sin y A x ω=()f x π6π6π12π123AB AC ==4BC =BC ()AP AB AC ⋅+DF AB ⊥4AC BC ==120ACB ∠=°AE BE ⊥AB C D【答案】C10. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ）（参考数据：，）A. B. C. D. 【答案】D 11. 函数的定义域是____________.【答案】.12．设向量，且，则 .333112n 99100n lg 20.301≈lg 30.477≈9101112()1ln 1f x x x =+-()()0,11+，⋃∞()()1,,3,4a m b ==- a b a b ⋅=m =15．已知函数给出下列四个结论：① 当时，存在唯一的零点；② 当时，存在最小值；③ 的零点个数为，则函数的值域为；④ 当时，对任意，，.其中所有正确结论的序号是 .答案：①③16．如图，在四棱锥中，PA⟂平面ABCD ，底面是边长为2的正方形，PA =2，为棱的中点，．（1）求证：平面；（2）直线与平面所成角的正弦值；（3）点到平面的距离．【答案】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接OQ ，因为底面ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点，因为Q为PD 中点，所以PB∥OQ，因为PB ⊄平面ACQ ，OQ ⊂平面ACQ ，所以PB∥平面ACQ ；22,()2,x a x af x x ax x a ⎧+<=⎨+≥⎩0a =()f x 12a =-()f x ()f x ()g a ()g a {}0,1,2,31a ≥1x 2x ∈R 1212()()22x x f x f x f +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭P ABCD -Q PD PB ∥ACQ PC ACQ P ACQ17．在△ABC 中，已知．(1)求角C 的大小；(2)若再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积．条件①：sinA =35；条件②：；条件③：△ABC 的周长是．注：如果选择条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3+．17．某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表：产品等级一等品二等品三等品样本数量（件）503020(1)从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；(2)若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为．求的分布列和数学期望；(3)为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？的222a b c +=c =2cos cos cos a A c B b C =+X X18．已知椭圆过点，且．(1) 求椭圆的方程；(2) 设O 为原点，过点的直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，直线l 的斜率存在且与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点．求证：为定值．2222:1(0)x y a b abω+=>>(2,0)A -2a b =(1,0)C ||||OM ON ⋅19．已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2) 求的单调区间；(3)当时，若对于任意，不等式成立，求a 的取值范围．21. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合()21exax x f x +-=R a ∈0a =()y f x =()()0,0f ()f x 0a >[]1,3x ∈()21112ef x ≤≤+Q 12,,,n a a a ()S Q中元素的个数为.（1）写出所有满足的数列；（2）对所有满足的数列，求的最小值；（3）对所有满足的数列，求的最大值.【答案】（1）1，2，1或3，1； （2）7；（3）511566.(){},,1ij i j a a i j n >≤<≤∣()T Q ()()4,1S Q T Q ==Q ()6T Q =Q ()S Q ()2023S Q =Q ()T Q。
安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期期中教学质量检测数学试题+答案
第1⻚/共4⻚合肥⼀中2024—2025学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测数学学科试卷时⻓：120分钟分值：150分⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.或 B.或C.D.3.已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（）A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数在上单调，则a 的取值范围是（）A.B.C.D.5.在中，内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的外接圆半径为1，且，则的⾯积是（）A.B. C.1 D.26.已知⼀个正整数，且N 的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（）．（参考数据：）A.3B.4C.5D.67.已知函数，，若，使得，则实数a 的取值范围是（）A.B.第2⻚/共4⻚C.D.8.已知正数x ，y 满⾜，则的最⼩值为（）A.1B.2C.3D.4⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于x 的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最⼤值为 C.的最⼩值为D.的最⼩值为10.如图是函数的部分图象，A 是图象的⼀个最⾼点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且的⾯积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的最⼩正周期为B.函数图象关于直线对称C.函数图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到D.函数与在上有2个交点11.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，且是奇函数，令，则下列说法正确的是（）第3⻚/共4⻚A.函数是奇函数B.CD.三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．12.已知幂函数在上单调递减，则______.13.已知，且，则________．14.设函数，下列说法正确的有________．①函数的⼀个周期为；②函数的值域是③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点．四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .（1）求集合；（2）设集合，若是必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.已知函数．（1）若的图象在点处的切线经过点，求；（2）若是的两个不同极值点，且，求实数a 的取值范围．17.已知定义域为的函数满⾜对任意，都有（1）求证：是奇函数；第4⻚/共4⻚（2）当时，．若关于x 的不等在上恒成⽴，求a 的取值范围．18.记的内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A 取值的范围；（2）若，求周⻓的最⼤值；（3）若，求的⾯积．19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线⽅程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在上零点的个数.第1⻚/共22⻚合肥⼀中2024—2025学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测数学学科试卷时⻓：120分钟分值：150分⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果.【详解】或，，所以，故选：C 2.若，则（）A.或 B.或C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据，将原式上下同时除以，化简求解即可.【详解】根据题意可知，所以，若，则，与⽭盾故，将其上下同时除以，可得，化简可得，解之得或.故选：B第2⻚/共22⻚3.已知函数，则“”是“函数的是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由是奇函数确定的取值范围，即可判断.【详解】由为奇函数，可得：，即，即恒成⽴，即恒成⽴，即恒成⽴，解得，所以是函数为奇函数的充分不必要条件.故选：A 4.函数在上单调，则a 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利⽤导数求得其导函数并使其恒⼤于0，再根据分段函数单调性得出不等式即可.【详解】由题意可知时，，时，；第3⻚/共22⻚⼜因为，所以在上单调递增，因此可得时，恒成⽴，可得，⼜，可得；综上可得a 的取值范围是.故选：D 5.在中，内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知的外接圆半径为1，且，则的⾯积是（）A.B. C.1 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利⽤余弦定理求出，利⽤三⻆恒等变换求出，再利⽤正弦定理及三⻆形⾯积公式计算得解.【详解】在中，由及余弦定理，得，解得，⼜，则，由，得，整理得，即，两边平⽅得，⼜，，则，即，由正弦定理得，所以的⾯积是.故选：C6.已知⼀个正整数，且N 的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（）．（参考数据：）第4⻚/共22⻚A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】设这个15次⽅根为，则，利⽤对数的运算性质求即可．【详解】设这个15次⽅根为，则，其中且，故，，,，故，，，由于,故．故选：C ．7.已知函数，，若，使得，则实数a 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利⽤导函数证明在区间上单调递增，从⽽得出的值域；同理得出的单调区间和值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从⽽得出范围.【详解】，∴时，，∴在区间上单调递增，∴当时，，令，则，令，则，∵，∴时，，∴单调递增，∴，∴在上单调递增，第5⻚/共22⻚∴，由题意可知，∴.故选：B8.已知正数x ，y 满⾜，则的最⼩值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】应⽤三⻆换元，令，且，结合已知、平⽅关系、和⻆正弦公式得，进⽽有，最后利⽤基本不等式“1”的代换求⽬标式最⼩值.【详解】，由，得，令，且，所以，有，即，故，所以，则，当且仅当，即时取等号，第6⻚/共22⻚所以的最⼩值为1.故选：A【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三⻆函数的性质，应⽤三⻆换元将已知等式化为是关键.⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于x 的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最⼤值为 C.的最⼩值为D.的最⼩值为【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合⼆次不等式与⼆次⽅程的关系可得，然后结合基本不等式的乘“1”法可判断C ，利⽤向量的性质可求解B ，根据⼆次函数的性质可判断D ．【详解】因为关于的不等式，的解集为,所以，所以，，所以，A 错误；因为，，所以，当且仅当时取等号，故，由于设，由于，故，当且仅当时等号成⽴，故B 正确；第7⻚/共22⻚，当且仅当，即时取等号，C 正确；，当且仅当时取等号，故最⼩值为，D 错误．故选：BC ．10.如图是函数的部分图象，A 是图象的⼀个最⾼点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且的⾯积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的最⼩正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到D.函数与在上有2个交点【答案】ABC 【解析】【分析】根据部分图像求出的表达式，再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各项.【详解】设的最⼩正周期为，第8⻚/共22⻚由图像可知，，即，可得，故A 正确；且，所以，解得，⼜因为图像过点，可得，即，且，可得，所以.对于选项B ：因为，为最⼩值，所以函数的图象关于直线对称，故B 正确；对于选项C ：将的图象向右平移个单位⻓度，得到，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位⻓度得到，故C 正确；对于选项D ：注意到，在同⼀坐标系内，分别作出函数与在上的图象，由图象可知：函数与在上有3个交点，故D 错误；故选：ABC.11.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若，且是奇第9⻚/共22⻚函数，令，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数B.C.D.【答案】BCD 【解析】【分析】把已知等式中换成，再移项变形可得A 错误；求导令可得，再由是奇函数，再求导可得B 正确；由奇函数的性质得到①，在令，可得，再由已知等式得到④，进⽽得到，然后可得C 正确；由原函数和导函数的奇偶性可得，进⽽可得D 正确；【详解】对于A ，因为，把换成，则，移项化简可得，即，为偶函数，故A 错误；对于B ，由A 中求导可得，令，可得，⼜是奇函数，即，求导可得，即，令，则，所以，故B 正确；对于C ，由B 中可得，①由A 中，②把①中换成可得，③由②③可得，所以:第10⻚/共22⻚故C 正确；对于D ，由B 中，⼜由可得，即，所以所以令可得；令可得；，所以，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 选项的关键在于理解抽象复合函数求导，原函数为奇函数则导函数为偶函数这⼀性质，再利⽤函数的奇偶性解答.三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．12.已知幂函数在上单调递减，则______.【答案】【解析】【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数.【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或.当时，为增函数，不符合题意；当时，在单调递减，符合题意.故答案为:.第11⻚/共22⻚13.已知，且，则________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利⽤同⻆公式求出，再利⽤和差⻆的余弦公式求出即可.【详解】由，得，，由，得，，由，得，即，则，因此，所以.故答案为：14.设函数，下列说法正确的有________．①函数的⼀个周期为；②函数的值域是③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；④当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点．【答案】①④【解析】【分析】利⽤函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采⽤三⻆代换，利⽤导数判断函数单调性，利⽤函数单调性求解函数值域，判断②；利⽤，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案.第12⻚/共22⻚【详解】对于①，，，故是函数的⼀个周期，①正确；对于②，，需满⾜，即，令，，则即为，当时，在上单调递增，则；当时，，（，故）此时在上单调递减，则，综上，的值域是，②错误；对于③，由②知，，当时，满⾜此条件下的图象上的点到的距离；当时，,满⾜此条件下的图象上的点到的距离第13⻚/共22⻚，当且仅当且时等号成⽴，⽽时，或，满⾜此条件的x 与⽭盾，即等号取不到，故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误；对于④，由②的分析可知，则，即，⼜，故当且仅当时，，即当时，函数的图象与直线有且仅有⼀个公共点，④正确．故答案为：①④【点睛】关键点点睛：对于函数，先求出定义域，再采⽤换元法令，，得函数，利⽤单调性求其值域.四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题“”为假命题，命题“在上为增函数”为真命题，设实数a 所有取值构成的集合为A .（1）求集合；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】第14⻚/共22⻚【分析】（1）由：“，”为假命题时，可转化为关于的⼀元⼆次⽅程⽆解，然后利⽤判别式即可，命题q 可利⽤对勾函数的性质求解，取交集即可得a 的取值范围，则集合A 可求，再结合补集运算可得答案；（2）由是的必要不充分条件可得B，然后分为空集和⾮空集两种情况讨论即可.【⼩问1详解】因为命题为假命题，所以关于的⼀元⼆次⽅程⽆解，即，解得，因为命题q 为真命题，当时，在上为增函数，满⾜题意；当时，结合对勾函数的性质可知在上单调递减，不满⾜题意；故集合，所以或；【⼩问2详解】由是的必要不充分条件，则B，当时，，解得，此时满⾜B，当时，则或，解得或，综上所述，的取值范围是或.16.已知函数．（1）若的图象在点处的切线经过点，求；（2）若是的两个不同极值点，且，求实数a 的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】第15⻚/共22⻚【分析】（1）求出函数的导数，利⽤导数的⼏何意义求出切线⽅程即可求解作答.（2）利⽤极值点的意义，结合⻙达定理、根的判别式列出不等式，求解作答.【⼩问1详解】函数，求导得，则，，于是函数的图象在点处的切线⽅程为，即，⽽切线过点，则，整理可得，解得或，所以或【⼩问2详解】由（1）知，⽅程，即有两个不等实根，则，解得，且，于是，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是.17.已知定义域为的函数满⾜对任意，都有（1）求证：是奇函数；（2）当时，．若关于x 的不等在上恒成⽴，求a 的取值范围．【答案】（1）证明⻅解析第16⻚/共22⻚（2）【解析】【分析】（1）利⽤赋值法，先求出及的值，再证明即可；（2）由题意得，构造函数，得出的奇偶性及在上的单调性，继⽽可得，结合题意可得，令，利⽤导数求出在上的最⼤值即可求解.【⼩问1详解】证明：令，得，即，令，得，即，令，，所以是奇函数.【⼩问2详解】，，且，所以，令，因，所以，则，设，则，所以，因为，所以在上是减函数，第17⻚/共22⻚，所以为偶函数，所以在上恒成⽴，即或，即或（负值，舍去），令，即，，令，解得，所以，，单调递增，所以，所以.故的取值范围是.18.记的内⻆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求A 取值的范围；（2）若，求周⻓的最⼤值；（3）若，求的⾯积．【答案】（1）；（2）6；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意利⽤正弦定理结合三⻆恒等变换分析可得，在利⽤余弦定理结合基本不等式分析运算即可；（2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算；（3）根据题意结合正弦定理可求得，利⽤正弦定理以及⾯积公式分析运算.【⼩问1详解】第18⻚/共22⻚由题设，所以，，⼜，则，根据正弦边⻆关系，易得，则，⼜，则，当且仅当时取等号，所以，结合，可得；【⼩问2详解】由（1）有，⼜，⼜，则，所以，当且仅当取等号，所以周⻓的最⼤值6.【⼩问3详解】由，且，所以，⽽，则，由，显然，故，即，结合，可得，由，⽽，由，整理得，可得（负值舍），第19⻚/共22⻚所以，故.19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线⽅程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在上零点的个数.【答案】（1）；（2）答案⻅解析；（3）答案⻅解析.【解析】【分析】（1）求出、，利⽤点斜式可得出所求切线的⽅程；（2）对实数的取值进⾏分类讨论，分析导数在上的符号变化，由此可得出结论；（3）对实数的取值进⾏分类讨论，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】（1）当时，，则，所以，，，所以，曲线在点处的切线⽅程为，即；（2），设，则对任意的恒成⽴，故在上单调递减.所以，，当时，.①若，即时，由零点存在定理可知，存在，使得，第20⻚/共22⻚当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，在处取得极⼤值，不存在极⼩值；②若，则，对任意的恒成⽴，此时，函数在上单调递增，此时函数⽆极值.综上所述，当时，函数有极⼤值，⽆极⼩值；当时，函数⽆极值；（3）分以下情况讨论：①若，函数在上单调递增，则，此时，函数在上⽆零点；②若，由（2）可知，由零点存在定理可知，存在，使得，且函数在上单调递增，在上单调递减.从⽽有，设，则对任意的恒成⽴，从⽽当增⼤时，也增⼤.（i ）若，此时，此时函数在上单调递减，若，可得或（舍去）.此时函数在上⽆零点；第21⻚/共22⻚若，可得，此时函数在上有且只有⼀个零点.当时，，，此时函数在上只有⼀个零点；（ii ）当时，此时，此时函数在上单调递增，在上单调递减.，，所以，，设，则对任意恒成⽴，所以，函数在上单调递增，所以，，若，即，即，此时函数在上⽆零点；若，即，即时，此时函数在上有且只有⼀个零点.综上所述，当时，函数在上⽆零点；当时，函数在上有且只有⼀个零点.【点睛】⽅法点睛：利⽤导数解决函数零点问题的⽅法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的⽅法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的⼯具作⽤，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应⽤；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；第22⻚/共22⻚（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.。
北京市顺义一中2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一．选择题（本大题共10小题，共40分）1．设集合{}10A x x =−>，集合{}03B x x =<≤，则A B =（ ） A ．()1,3B ．(]1,3C ．()0,∞+D ．()1,+∞2．若复数z 满足(1)2i i z ，则z 的共轭复数=z （ ）A ．1i −B ．1i +C ．i −D ．1i −+3．如图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则下列结论正确的是（ ） A ．123k k k >> B ．213k k k >> C ．231k k k <<D ．312k k k >>4．已知角α的终边经过点()3,4−，则()cos πα+=（ ）A ．45−B ．35 C ．35D ．455．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．3y x =B ．cos y x =C ．2x y =D ． 21lny x = 6．在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =，则A ∠的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6 D ．π3或2π37．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC AB AC +>−”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若30m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A ．100mB ．112mC ．117mD ．132m9．函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π−=，则下列结论成立的是（ ）A ．6f s π⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．162f s π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭C ．6f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ．162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10．已知函数()22,,x ax x af x x a x a ⎧−+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数二．填空题（本大题共5小题，共25分） 11．函数2ln(12)y x x=−+的定义域是 . 12．首项为1的等比数列{}n a 中，14a ，22a ，3a 成等差数列，则公比q = .13．能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中Z k ∈”为假．命题的一组α，β的值是 ．14．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD 的边长为4，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为 .15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上． 给出下列四个结论：①MN 的最小值为2； ②四面体NMBC 的体积为43；③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直； ④存在点M ，N ，使MBN △为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分。
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江苏金陵中学2008—2009学年度高三第一学期期中试卷数 学 试 题一、填空题（将答案写在答卷纸上相应的位置）1．计算=︒-)330sin( 。
2．已知=⋂∈==∈==B A R x x y y B R x x y y A 则},,|{},,sin |{2。
3．椭圆124322=+y x 的 离心率为 。
4．若i b i i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a。
5．右图是某算法的流程图，则执行该算法输出的结果是 =S 。
6．函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a 。
7．“0<c ”是“实系数一元二次方程02=++c x x 有两异号实根”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”）8．函数],0[,sin cos )(π∈+=x x x x f 的最大值是 。
9．直线250154322=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为 。
10．在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是 。
11．已知向量a 和b 的夹角是60°，=-⊥==m b ma b b a 则实数且),(,2,1 。
12．函数)2sin 2lg(cos )(22x x x f -=的定义域是 。
13．在ABC ∆中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则 。
14．设函数0)(),()(3=+-=x f b bx x x f 若方程为常数的根都在区间[-2，2]内，且函数)(x f 在区间（0，1）上单调递增，则b 的取值范围是 。
二、解答题（将解答过程写在答卷纸上相应的位置）15．（本小题满发14分） 已知.02cos 22sin=-x x （I ）求x tan 的值；（II ）求x x xsin )4cos(22cos +π的值16．（本小题满分14分）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。
（I ）求直线l 的方程；（II ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。
17．（本小题满分14分）已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为.4π （I ）求n m ,的值；（II ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ，如果不存在，请说明理由。
18．（本小题满分16分）如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上。
（I ）求证：;1D A BC ⊥（2）求证：平面⊥BC A 1平面.1BD A19．（本小题满分16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。
已知AB=3米，AD=2米。
（I ）设x AN =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大小32平方米，求x 的取值范围；（II ）若)4,3[∈x （单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积。
20．（本小题满分16分）已知数列}{n a 中，22=a ，前n 项和为.2)1(,+=n n n a n S S 且 （I ）证明数列}{1n n a a -+是等差数列，并求出数列}{n a 的通项公式；（II ）设)12)(12(1-+=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值。
参考答案一、填空题1．21 2．[0，1]3．21 4．15．166．-17．充要8．]2,1[-9．810．1011．412．},4242|{Z k k x k x ∈+<<-ππππ13．214．[3，4]二、解答题 15．已知.02cos 22sin =-x x （I ）求x tan 的值；（II ）求x x x sin )4cos(22cos +π的值 解：（I ）由.02cos 22sin =-x x 得,22tan =x …………2分 故.3421222tan 12tan 2tan 22-=-⨯=-=x x x …………6分 （II ）原式x x x xx sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--=…………8分xx x sin sin cos +=…………12分 .41431tan 11=-=+=x …………14分 16．在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。
（I ）求直线l 的方程；（II ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。
解：（I ）由于直线l 经过点)2,3(P 和F （2，0），则根据两点式得，所求直线l 的方程为.232020--=--x y ………………3分即).2(2-=x y从而直线l 的方程是).2(2-=x y …………7分 （II ）设所求椭圆的标准方程为)0(1.2222>>=+b a by a x …………8分 由于一个焦点为F （2，0），则4,222=-=b a c 即①…………10分 又点)2,3(P 在椭圆)0(1.2222>>=+b a by a x 上， 则12922=+ba ②…………12分 由①②解得.8,1222==b a所以所求椭圆的标准方程为181222=+y x …………14分 17．已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为.4π（I ）求n m ,的值；（II ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ，如果不存在，请说明理由。
解：（1）,13)(2-='mx x f 依题意，得.32,113,4tan )1(==-='m m f 即π因为.31,)1(-==n n f 所以…………6分 （II ）令.22,012)(2±==-='x x x f 得…………8分 当;012)(,2212>-='-<<-x x f x 时 当;012)(,22222<-='<<-x x f x 时 当;012)(,3222>-='<<x x f x 时 又.15)3(,32)22(,32)22(,31)1(=-==-=-f f f f因此， 当.15)(32,]3,1[≤≤--∈x f x 时…………12分 要使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立，则.2008199315=+≥k所以，存在最小的正整数.2008=k使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立。
…………14分 18．如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上。
（I ）求证：;1D A BC ⊥（2）求证：平面⊥BC A 1平面.1BD A证明：（I ）由于A 1在平面BCD 上的射影O 在CD 上，则BCD BC BCD O A 平面又平面⊂⊥,1则O A BC 1⊥…………4分又,,1O CO O A CO BC =⋂⊥则,,111CD A D A CD A BC 平面又平面⊂⊥故.1D A BC ⊥…………8分（II ）因为ABCD 为矩形，所以.11B A D A ⊥由（I ）知,,,1111BC A D A B BC B A D A BC 平面则⊥=⋂⊥又.11BD A D A 平面⊂从而有平面.11BD A BC A 平面⊂…………16分19．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。
已知AB=3米，AD=2米。
（I ）设x AN =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大小32平方米，求x 的取值范围；（II ）若)4,3[∈x （单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积。
解：由于,AM DC AN DN =则AM ＝32x x - 故S AMPN ＝AN ?AM ＝232x x - …………4分（1）由S AMPN > 32 得 232x x - > 32 ， 因为x >2，所以2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0从而8283x x <<> 或 即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞U ，，+…………8分 （2）令y ＝232x x -，则y ′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ ………… 10分 因为当[3,4)x ∈时，y ′< 0，所以函数y ＝232x x -在[3,4)上为单调递减函数， 从而当x ＝3时y ＝232x x -取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大27平方米， 此时AN ＝3米，AM=9米 …………15分分答：（略）20．已知数列}{n a 中，22=a ，前n 项和为.2)1(,+=n n n a n S S 且 （I ）证明数列}{1n n a a -+是等差数列，并求出数列}{n a 的通项公式； （II ）设)12)(12(1-+=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值。
解：（I ）由题意，当.1,21,11111=+===a a S a n 则时 当],1)1([212)1)(1(2)1(,2111+--=+--+=-=≥---n n n n n n n a n na a n a n S S a n 时 则],)1(2)1[(21111-++-+-+=-n n n n n a n na a n a a 则,0)1()1(2)1(11=-+----+n n n a n a n a n即.,021111-+-+-=-=+-n n n n n n n a a a a a a a 即则数列}{1n n a a -+是首项为1，公差为0的等差数列。