2016年秋季新版沪科版九年级数学上学期21.3、二次函数与一元二次方程同步练习4
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它旨在让学生通过学习二次函数与一元二次方程的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
本节内容与前面的二次函数知识紧密相连，为后续的代数学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在求解一元二次方程时，可能会对公式法和解根的判别式混淆。
因此，在教学过程中，需要引导学生明确两者之间的关系，并通过实例让学生体会二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握一元二次方程的解法，理解二次函数与一元二次方程的关系，并能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的观察、分析、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程的关系。
2.教学难点：二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。
六.说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解一元二次方程的解法，引导学生通过公式法和因式分解法求解一元二次方程。
3.探究：引导学生发现二次函数的图像与一元二次方程的解之间的关系，总结二次函数与一元二次方程的内在联系。
4.应用：通过实例，让学生运用二次函数的性质解决实际问题，体会数学在生活中的应用。
新沪科版九年级数学上册同步练习： 二次函数与一元二次方程
21.3二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程知识要点基础练知识点1抛物线和x轴的交点坐标与对应的一元二次方程的根的关系1.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1,x2=2,那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线( C)A.x=1B.x=2C.x=32D.x=-322.抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点坐标是( -3,0 )和( 1,0 ),一元二次方程x2+2x-3=0的两根是x1=-3,x2=1,故抛物线y=x2+2x-3与x轴交点的横坐标就是一元二次方程x2+2x-3=0的两个根.3.抛物线y=2x2-4x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是x1=-1,x2=3.【变式拓展】如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A( -2,4 ),B( 1,1 ),则方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.知识点2抛物线和x轴的交点个数与对应的一元二次方程的根的判别式的关系4.抛物线y=x2+2x+2与x轴的交点的个数是( A)A.0B.1C.2D.不能确定5.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是( B)A.k>-74B.k≥-74且k≠0C.k≥-74D.k>-74且k≠06.( 自贡中考)若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为-1.知识点3利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根7.根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c( a≠0,a,b,c为常数)的自变量x与函数y的对应值,判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为( C)A.1.40<x<1.43B.1.43<x<1.44C.1.44<x<1.45D.1.45<x<1.468.利用二次函数y=-12x 2+x+2的图象和性质,求方程-12x 2+x+2=0在3和4之间的根的近似值.( 结果精确到0.1 )解:方程-12x 2+x+2=0的根是函数y=-12x 2+x+2与x 轴交点的横坐标.画出二次函数y=-12x 2+x+2的大致图象,可知方程有两个根,一个在-2和-1之间,另一个在3和4之间.当x=3.2时,y=0.08;当x=3.3时,y=-0.145.因此,x=3.2是方程的一个近似根,故方程-12x 2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为3.2. 综合能力提升练9.( 苏州中考 )已知二次函数y=x 2-3x+m ( m 为常数 )的图象与x 轴的一个交点为( 1,0 ),则关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根是( B )A.x 1=1,x 2=-1B.x 1=1,x 2=2C.x 1=1,x 2=0D.x 1=1,x 2=310.已知抛物线y=ax 2+bx+c 如图所示,则关于x 的方程ax 2+bx+c-8=0的根的情况是( C )A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根11.( 济南中考 )二次函数y=x 2+bx 的图象如图所示,对称轴为直线x=1,若关于x 的一元二次方程x 2+bx-t=0( t 为实数 )在-1<x<4的范围内有解,则t 的取值范围是( C )A.t ≥-1B.-1≤t<3C.-1≤t<8D.3<t<812.下表是一组二次函数y=x 2+3x-5的自变量x 与函数值y 的对应值:那么方程x 2+3x-5=0的一个近似根是 1.2 .( 结果精确到0.1 )13.若函数y=mx 2+( m+2 )x+12m+1的图象与x 轴只有一个交点,那么m 的值为 0,2或-2 .14.( 改编 )设二次函数y=ax 2+bx-( a+b )( a ,b 是常数,a ≠0 ).( 1 )判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数,并说明理由;( 2 )若该二次函数图象经过A ( -1,4 ),B ( 0,-1 ),C ( 1,1 )三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.解:( 1 )设y=0,∴0=ax 2+bx-( a+b ),∵Δ=b 2+4ab+4a 2=( 2a+b )2≥0,∴二次函数图象与x 轴的交点有两个或一个.( 2 )当x=1时,y=a+b-( a+b )=0,∴二次函数不经过点C ,把点A ( -1,4 ),B ( 0,-1 )分别代入得{4=a -b -( a +b ),-1=-( a +b ),解得{a =3,b =-2, ∴二次函数的表达式为y=3x 2-2x-1.15.如图,抛物线y=-2x 2+8x-6与x 轴交于A ,B 两点( 点A 在点B 左侧 ).( 1 )求点A ,B 的坐标.( 2 )在该抛物线上是否存在点D ,使△ABD 的面积是6?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.解:( 1 )当y=0时,即-2x 2+8x-6=0,解得x=1或x=3,所以点A 坐标为( 1,0 ),点B 坐标为( 3,0 ).( 2 )存在.设点D 的纵坐标为m ,由( 1 )得点A 坐标为( 1,0 ),点B 坐标为( 3,0 ),所以AB=2,根据三角形面积公式12×2·|m|=6,m=±6.又点D 在抛物线y=-2x 2+8x-6上,分两种情况:①当y=6时,即-2x 2+8x-6=6,x 2-4x+6=0,此方程无实根;②当y=-6时,即-2x 2+8x-6=-6,解得x=0或x=4.综上所述,点D 坐标为( 0,-6 )或( 4,-6 ).16.已知关于x 的函数y=ax 2+x+1( a 为常数 ).( 1 )若函数的图象与x 轴恰有一个交点,求a 的值;( 2 )若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x 轴上方,求a 的取值范围.解:( 1 )当a=0时,函数y=x+1,它的图象显然与x 轴只有一个交点( -1,0 ).当a ≠0时,依题意得方程ax 2+x+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=1-4a=0,∴a=14. ∴当a=0或14时,函数图象与x 轴恰有一个交点.( 2 )若a>0,要使抛物线的顶点始终在x 轴上方,∴抛物线与x 轴无交点, ∴Δ=1-4a<0,∴a>14;若a<0,要使抛物线的顶点始终在x 轴上方,∴抛物线与x 轴有两个交点,∴Δ=1-4a>0,∴a<0. ∴当a>14或a<0时,抛物线顶点始终在x 轴上方.拓展探究突破练17.( 宁波中考 )已知抛物线y=( x-m )2-( x-m ),其中m 是常数.( 1 )求证:不论m 为何值,该抛物线与x 轴一定有两个公共点.( 2 )若该抛物线的对称轴为直线x=52. ①求该抛物线的函数表达式;②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点. 解:( 1 )y=( x-m )2-( x-m )=x 2-( 2m+1 )x+m 2+m ,∵Δ=( 2m+1 )2-4( m 2+m )=1>0,∴不论m 为何值,该抛物线与x 轴一定有两个公共点.( 2 )①∵该抛物线的对称轴是直线x=52, ∴--( 2m+1 )2=52,解得m=2, ∴该抛物线的表达式为y=x 2-5x+6.②∵y=x 2-5x+6=(x -52)2−14, ∴该抛物线的顶点为(52,-14),∵抛物线开口向上,∴把该抛物线沿y 轴向上平移14个单位长度后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.。
沪科版初中九年级上册数学教案 第21章 二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程
21.3 二次函数与一元二次方程1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征.3.经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.4.培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质.【教学重点】经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程.【教学难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系.一、情景导入，初步认知我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质.二、思考探究，获取新知1.观察二次函数y=x2+3x+2的图象，并回答下列问题.（1）每个图象与x轴有几个交点？（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根有什么关系？【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法.【归纳结论】一元二次方程ax2+bx+c=0.当Δ≥0时有实数根，这个实数根就是对应二次函数y＝ax2＋bx＋c的值等于0时自变量x的一个值，即二次函数的图象与x轴一个交点的横坐标.2.用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0近似解.（精确到0.1）由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：观察上表可以发现，当x分别取-3和-2时，对应的y由正变负，可见在-3和-2之间肯定有一个x使y=0,即方程的一个根.题目要求精确到0.1,当x=-2.4时，y=-0.04比y=0.25更接近0，所以选x=-2.4.因此，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4.请仿照上面的方法，求出方程精确到0.1的另一个根.3.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求：分别画出函数y=x2,y=-2x+1的图象，如图，它们交点A,B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.【教学说明】引导学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ B ）A.ac＞0B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C.2a-b=0D.当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断.解：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac ＜0，故本选项错误；B.∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C.∵抛物线对称轴为x=1，∴2a+b=0，故本选项错误；D.∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误.故选B.2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ C ）A.-1.6B.3.2C.4.4D.以上都不对【分析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图形和已知条件即可求出x2.解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4. 故选C.3.根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ C ）A.8＜x＜9B.9＜x＜10C.10＜x＜11D.11＜x＜12【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.解：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11.故选C.【教学说明】学生独立完成3个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题21.3”中第2、4、8题.本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想.三种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标.。
上海沪科版初中数学九年级上册21.3 第1课时 二次函数与一元二次方程2
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！21.3 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解方程及不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x 轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下 观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 .【答案】x1=1,x2=-52.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.五、继续探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经学习了二次函数的图像和性质的基础上，进一步引导学生通过观察二次函数的图像，探究其与一元二次方程之间的关系，从而加深学生对二次函数和一元二次方程的理解。
教材通过具体的例子，引导学生从图像的角度去观察、分析和解决问题，提高学生的数形结合思想。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图像和性质，对二次函数有了初步的认识。
但是，对于如何通过二次函数的图像来解决一元二次方程，可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系，提高学生解决问题的能力。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考的能力，提高学生的数形结合思想。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。
2.难点：如何引导学生从图像的角度去分析和解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、观察法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，提高学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，准备好相关的教学工具和材料。
2.学生准备：预习相关内容，了解二次函数的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，展示一个二次函数的图像，并提出相关问题，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）教师引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。
沪科版数学九年级上册 21.3 二次函数与一元二次方程
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
情境引入
问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如 果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m） 与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：
观察图象，完成下表：y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 1
y = x2－6x＋9
抛物线与 x 交点 相应的一元二次
轴交点个数 横坐标
方程的根
y = x2 - x + 1
0个
y = x2 - 6x + 9 1 个
y = x2 + 3; 1 = 0,无解 3 x2-6x+9=0,x1=x2=3 -2，1 x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
h = 20t - 5t2.
考虑以下问题：
二次函数与一元二次方程的关系
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多
少飞行时间？
h/m h = 20t - 5t2
解：令 15 = 20t - 5t2，
15
整理，得 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1， t2 = 3.
O1
时 y 更接近 0，故 x1≈-2.4. 同理可得另一近似根为 x2≈0.4.
方法归纳
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1) 用描点法作出二次函数的图象； (2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取
例2 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，学会通过观察二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
教材通过具体的例子引导学生探究，从而让学生理解并掌握二次函数与一元二次方程之间的联系。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图象和性质有了初步的了解。
但是，对于如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳，从而理解并掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.让学生学会通过观察二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.教学难点：如何通过观察二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，从而让学生理解并掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
同时，通过案例教学，让学生学会如何通过观察二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
在小组合作学习环节，让学生在讨论和交流中，进一步巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
例如：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，求证：方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示相关的案例，让学生观察二次函数的图象，引导学生发现二次函数与一元二次方程之间的关系。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的，主要让学生通过探究二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程的知识。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
三. 教学目标1.理解二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
2.学会运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
2.难点：如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际操作，探究二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生的抽象思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备计算机和投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现二次函数的图象，引导学生观察图象，发现图象与一元二次方程的解之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，运用二次函数的图象来解决一些一元二次方程的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
沪科版9上数学21.3二次函数观与一元二次方程
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点 情况是( C )
A 无交点
B 只有一个交点
C 有一元 二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值 时就成了一元二次方程； ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时 就成了二次函数.
2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝1 的解是_x_＝__－__2_．
思考：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取
一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程， 由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关 系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二 次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系 呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题．
自学互研
知识模块一 一元二次方程与二次函数的关系
1．观察二次函数y＝x2＋3x＋2的图象，并回答下列问题． (1)函数图象与x轴有几个交点？ (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
解：(1)函数图象与x轴有两个交点． (2)从以上观察可以得出， 求函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点 坐标即是求当y＝0时，自变量x的值， 也就是求方程ax2＋bx＋c＝0的根．
解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个 在0与1之间.
y
0
x
先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个 根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
沪科版 九年级上册数学 学案 21.3.3二次函数和一元二次方程
6 .（10分）如图给出二次函数 的图象，对于这个函数有下列五个结论，其中正确的有.
（1） <0； （2） ；
（3） > 0 ； （4） ；
（5）当y = 2时，x只能等于0.
7.（10分）如图21－3－3是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴的一个交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是__________．
8.（10分）若函数y＝mx2＋mx＋m－2的值恒为负数，求m的取值范围是．
9、（10分）.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B,与x轴交于A, C两点.求△ABC的周长和面积.
10、（10分）、已知抛物线y=- x2-3x -
①写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；
②求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
③画出草图；
④观察草图，指出x为何值时，y＞0，y＜0，y＝0？
（1）写出抛物线的顶点坐标、对称轴和抛物线与x轴、y轴的交点坐标
（2）当x在什么范围内时y随x的增大而减小？
（3）当x在什么范围内时,y>0?当x在什么范围内时，y<0 ?
2、如图，已知抛物线 与 轴的两个交点分别为A（ ）、B（ ），且 ， ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
归纳总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方部分所对应的自变量取值范围就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；图象在x轴下方部分所对应的自变量的取值范围就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
2.根据二次函数图象认识一元二次不等式的解集，体会数形结合的思想
新沪科版九年级上册初中数学 21-3二次函数与一元二次函数 教学课件
新课讲解
(3)当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有
公共点．反之亦成立．
2.拓展：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公
共点A(m，0)，B(n，0)，m b
,n b
,
2a
2a
其中
Δ＝b2－4ac.此时A，B两点间的距离 AB m n
我们把 b b ,
元二次方程的根的情况；反之，根据一元二次方程的
根的情况，可以判断二次函数的图象与x轴的公共点的
情况．
(2)拓展：一元二次方程的根的情况由根的判别式决定，而
当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，两公共点间
的距离为
a
，并且两公共点关于直线
x
b 2a
对称．
新课讲解
例2 若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n)，
新课导入
知识回顾
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识 了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函 数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方 程的联系．先来看下面的问题．
新课导入
前面我们学习通过观察一次函数的图象，研究 了一次函数与一次方程、一次不等式之间的关系。
想一想，通过一次函数的图象可 以得出哪些结论？
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象
如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
沪科版九年级数学上册21.3 二次函数和一元二次方程同步练习
21.3 二次函数与一元二次方程一、选择题1．]二次函数y＝x2－x＋3的图象与x轴的交点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．32．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图1所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是( )图1A．x＞3B．x＜－1C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞33．若关于x的二次函数y＝2mx2＋(8m＋1)x＋8m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )A．m<－116B．m≥－116且m≠0C．m＝－116D．m>－116且m≠04．[下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的范围是( )A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.205．若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )A．b＜1且b≠0 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜16．关于抛物线y＝ax2＋bx＋c，下面几个结论中，正确的是( )①当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当a＜0时，情况相反；②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点；③只要函数表达式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①7．已知二次函数y＝x2＋x＋c的图象与x轴的一个交点坐标为(2，0)，则它与x轴的另一个交点坐标是( )A．(1，0) B．(－1，0) C．(2，0) D．(－3，0)8．根据表中的二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值，可判断该二次函数的图象与x轴( )A.只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们在y轴同侧D．无交点9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab ＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )图2A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④二、填空题10．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象如图3所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________；不等式－x2＋2x＋m＞0的解集是________；当x________时，y 随x的增大而减小．11．若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．12．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为________．图3 图413．已知函数y＝|x2－4|的大致图象如图4所示，如果方程|x2－4|＝m(m为实数)有4个不相等的实数根，则m的取值范围是________．三、解答题14．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.(1)请画出该二次函数的图象；(2)根据图象求方程－x2＋2x＋3＝0的解；(3)观察图象确定x取何值时，y＜0；(4)若方程－x2＋2x＋3＝k有两个不相等的实数根，请直接写出k的取值范围．15．有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数．已知输入值为－2，0，1时，相应的输出值分别为5，－3，－4.(1)求二次函数的表达式；(2)如图5，在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y为正数时，输入值x的范围．图516．已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点坐标为(m，0)．若2＜m＜3，求a的取值范围．17 某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)若自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝________．(2)根据上表数据，在如图6所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有________个交点，所对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；②方程x2－2|x|＝2有________个实数根．图6答案1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 9．C10．x 1＝－1，x 2＝3 －1<x<3 >1 11．[答案]m ＞9 12．[答案]6 13．[答案]0＜m ＜414．解：(1)画函数图象如图所示．(2)∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)， ∴方程－x 2＋2x ＋3＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3.(3)由函数图象可以看出：当x ＜－1或x ＞3时，图象在x 轴的下方，即当x ＜－1或 x ＞3时，y ＜0. (4)k ＜4.15． (1)根据待定系数法求出函数的表达式即可；(2)求输出值y 为正数时，输入值x 的范围，即求二次函数的图象在x 轴上方时所对应的x 的取值范围．解：(1)设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 把(－2，5)，(0，－3)，(1，－4)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－3，4a －2b ＋c ＝5，a ＋b ＋c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，故所求的函数表达式为y ＝x 2－2x －3. (2)如图所示：由图象可得，当输出值y 为正数时，x ＜－1或x ＞3. 16．解：∵y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a ＝(ax －1)(x ＋a)， ∴当y ＝0时，x 1＝1a，x 2＝－a ，∴抛物线与x 轴的交点为(1a ，0)和(－a ，0)．∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(m ，0)且2＜m ＜3， ∴当a ＞0时，2＜1a ＜3，解得13＜a ＜12；当a ＜0时，2＜－a ＜3，解得－3＜a ＜－2. 综上所述：13＜a ＜12或－3＜a ＜－2.17 解：(1)当x ＝－2时，y ＝(－2)2－2×|－2|＝0，∴m ＝0.故答案为0. (2)根据给定的表格中的数据描点画出图象，如图所示．(3)(答案不唯一)观察函数图象，可得出：函数图象关于y 轴对称；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．(4)①观察函数图象可知，当x 为－2，0，2时，y ＝0，∴该函数图象与x 轴有3个交点，即对应的方程x 2－2|x|＝0有3个实数根．故答案为3，3. ②在图中作直线y ＝2.观察函数图象可知，函数y ＝x 2－2|x|的图象与直线y ＝2只有2个交点． 故答案为2.。
沪科初中数学九上《21.3 二次函数与一元二次方程》word教案 (2)
23.4 二次函数与一元二次方程教学目标：掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A ( ， ),B( ， )(2)当x= 时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1) y=x2-10x+25(2) y=3x2-4x+2(3) y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1. 如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
(1)请写出方程ax2+bx+c=0的根(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。
沪科版九年级上数学21.3二次函数与一元二次方程教案设计
21.3二次函数与一元二次方程第一课时教学目标：知识与技能：1、理解二次函数y=ax2 +bx + c与x轴有交点，则一元二次方程Ax2 +bx + c = 0有实数根，若与x轴无交点，则方程无实数根2、知道抛物线与x轴三种位置关系，对应着一元二次方程的根的三种情况.过程与方法：通过对一元二次方程根的不同情况下，学生历经从函数解析式及函数图象角度探索与一元二次方程之间的关系，渗透了数形结合及转化的思想方法.情感、态度与价值观：通过师生交流、生生交流，学生养成了乐于探究、勇于探索的良好学习习惯，同时学生从中也感受了合作成功带来的喜悦.教学重点、教学难点：重点如何让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系.难点让学生理解用图形法能求方程解的合理性及方法步骤.教学方法与教学手段：教学方法采用“主动探究、合作交流”的数学活动模式，真正为学生创设一个自主探究、合作交流的活动空间，让每个人获得有价值的数学.教学手段为了使学生的活动更加充分有效，增强教学直观性，利用多媒体、来辅助教学教学过程：一、复习1、一元二次方程x2-2x-3=0的根为：。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
当△﹥0方程根的情况是：；当△=0时，方程；当△﹤0时，方程。
3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条，它与x轴的交点有几种可能的情况？y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2活动方式：学生回答，复习巩固已学知识.二、创设问题情境,引入新课师：上学期我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.三、活动探究二次函数①y= x2+2x, ②y=x2-2x+1, ③y= x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?师：还请大家先讨论后解答.答：(1)二次函数y= x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y= x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y= x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
沪科新版九年级(上) 中考题同步试卷：21.3 二次函数与一元二次方程(02)
沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.3 二次函数与一元二次方程（02）一、选择题（共13小题）1．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1 3．已知函数y＝x2+2x﹣3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是（）A．﹣4B．0C．2D．34．如图，已知二次函数y1＝x2﹣x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3 5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 6．给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象：①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果时，那么a＜﹣1．则（）A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③7．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b2﹣4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜08．二次函数y＝2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．﹣8B．8C．±8D．69．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4≤x≤2C．x≤﹣4或x≥2D．﹣4＜x＜2 10．如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤3B．x≤﹣1C．x≥1D．x≤﹣1或x≥3 11．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a＞1B．﹣1＜a≤1C．a＞0D．﹣1＜a＜2 12．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx ﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜813．若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0B．0或2C．2或﹣2D．0，2或﹣2二、填空题（共8小题）14．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．15．若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．16．如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx＝0的根是．17．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞0；③c＝﹣3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．其中正确的结论是．（只填序号）18．如果函数y＝（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是．19．已知二次函数y＝kx2+（2k﹣1）x﹣1与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），则对于下列结论：①当x＝﹣2时，y＝1；②方程kx2+（2k﹣1）x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2；③x2﹣x1＝．其中正确的结论有（只需填写序号即可）．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…105212…则当y＜5时，x的取值范围是．21．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n＝．三、解答题（共5小题）22．根据下列要求，解答相关问题（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数y＝﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（见图1）画出二次函数y＝﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）②求得界点，标示所需；当y＝0时，求得方程﹣2x2﹣4x＝0的解为；并用锯齿线标示出函数y＝﹣2x2﹣4x图象中y≥0的部分．③借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为．（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集①构造函数，画出图象②求得界点，标示所需③借助图象，写出解集（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．23．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；（3）点B（﹣1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC 的函数关系式．24．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y＝x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB＝2OA•OB﹣3，求k的值．25．关于x的函数y＝（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．26．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的近似根（精确到0.1）．沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.3 二次函数与一元二次方程（02）参考答案一、选择题（共13小题）1．B；2．C；3．B；4．C；5．D；6．A；7．D；8．B；9．D；10．D；11．B；12．C；13．D；二、填空题（共8小题）14．0或﹣1；15．0或1；16．x1＝0，x2＝2；17．③④；18．a＜﹣5；19．①②；20．0＜x＜4；21．9；三、解答题（共5小题）22．x1＝0，x2＝﹣2；﹣2≤x≤0；23．；24．；25．；26．；。
初中数学沪科版九年级上册《21.3二次函数与一元二次方程》教案
21.3二次函数与一元二次方程教学设计题目：写出二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标,对称轴，并画出它的图象.教师提示：通过列表法展示该二次函数的画图过程探究一提问：当x为何值时，y=0?展示列表与图像，启发学生思考图像与x轴的交点，同时y=0时，即是方程x2-2x-3=0的解。
【例】如图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴有几个交点？交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？引导并帮学生完善结论：总结：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个公共点(x1，0)、(x2，0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2 ,反之亦成立.探究二：观察二次函数y=x²-6x+9的图象和二次函数y=x²-2x+3的图象，分别说出一元二次方程x²-6x+9=0和x²-2x+3=0的根的情况.提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?例：用图象法求一元二次方程x²+2x－1= 0 的近似解（精确到0.1）。
教师展示两种不同的解答方法。
变式：利用二次函数的图象求一元二次方程x²+x －1= 0 的近似解。
小试牛刀：1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若AB=4，则点M到直线l的距离为（）A． 2 B．3 C．4 D．52.小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象顶点始终在平行于x轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的值范围为m≥2；④点A（x1y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＞y2；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43. 一如图，抛物线y=x2-3x+k+1与x轴相交于O，A两点．求k的值及点A的坐标。
沪科版九年级数学上册21.3二次函数与一元二次方程教案
第21章二次函数与反比例函数21．3二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程课题21.3二次函数与一元二次方程授课人教学目标知识技能1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根. 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．数学思考通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系．问题解决能够从函数表达式的角度分析二次函数与一元二次方程之间的关系，同时也能够从函数图象的角度分析函数与方程之间的关系．情感态度通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解．教学难点理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．授课类型新授课课时(续表)教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.一元二次方程的一般形式是2＋＋c＝0(a≠0)，其根的判别式是2－4，求根公式是＝．2．二次函数的一般式是＝2＋＋c(a，b，c是常数，a≠0)，顶点坐标是．3．抛物线y＝x2＋2x－4的对称轴是直线x＝－1，开口方向是向上，顶点坐标是(－1，－5)．4．抛物线y＝2(x－2)(x－3)与x轴的交点坐标为(2，0)，(3，0)．5．已知抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，并且经过点(0，1)，则抛物线所对应的函数表达式为＝－x2＋1．师生活动：学生自主解答上述问题，教师进行个别指导，然后进行点评和总结．通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识，巩固以前所学知识，为学好本节课的新知识做好铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题：如图21－3－6所示，以40 m的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.考虑以下问题：(1)球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要飞行多长时间？(2)球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多长时间？(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？(4)球从飞出到落地要用多长时间？从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情.图21－3－6师生活动：教师进行引导，飞行高度h与飞行时间t 的表达式为h＝20t－5t2，所以将h的值代入函数表达式，得到关于t的一元二次方程即可求解．让学生完成解答过程，教师巡视指导．活动二：实践探究交流新知1.探究新知活动一：针对[课堂引入]的问题进行探究，教师总结解题过程：(1)解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝01＝1，t2＝3.当球飞行1 s和3 s时，它的高度为15 m.(2)解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝01＝t2＝2.当球飞行2 s时，它的高度为20 m.(3)不能．理由：解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0.因为16－4×4.1<0，所以此方程无解，所以球的飞行高度不能达到20.5 m.(续表)活动二：实践探究交流新知(4)解方程0＝20t－5t2，t2－4t＝01＝0，t2＝4.当球飞行0 s和4 s时，高度均为0 m，即0 s时球从地面飞出，4 s时球落回地面，所以球从飞出到落地要用4 s.教师总结：把函数值代入函数表达式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值．活动二：画出二次函数h＝20t－5t2的图象，体会以上问题的答案．问题提示：(1)教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图；(2)教师巡视指导，与学生合作、交流；(3)教师引导学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程；(4)学生小组讨论、交流、总结二次函数与一元二次方程的关系．图21－3－7活动三：思考：二次函数y＝x2＋x－2；y＝x2－6x＋9；y＝x2－x＋1.(1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？(2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？师生活动：教师展示二次函数的图象，学生观察图象，展开讨论，并回答问题．(1)抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1.(2)抛物线y＝x2－6x＋9与x轴只有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.(3)抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．教师总结：一般地，如果二次函数y＝2＋＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2＋＋c＝0的根．2．归纳总结通过以上学生间、师生间的观察、交流、讨论，进行总结：一般地，从二次函数y＝2＋＋c的图象可知，(1)如果抛物线y＝2＋＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是1.利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形结合带来的方便2．设计活动三使学生掌握通过函数图象判断方程的根这一方法，并把方程与函数建立联．系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中.x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程2＋＋c＝0的一个根．(续表)活动二：实践探究交流新知(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根．由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．因为作图或观察时可能存在误差，所以由图象求得的根一般是近似的．3．提升归纳问题：(1)观察二次函数y＝x2－6x＋9和y＝x2－2x＋3的图象，分别说出一元二次方程x2－6x＋9＝0和x2－2x＋3＝0的根的情况．(2)二次函数y＝2＋＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程2＋＋c＝0的根有什么关系？师生活动：师生共同讨论总结：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴只有一个交点；当Δ<0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．3.利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形结合带来的方便.活动三：开放训练体现应用【应用举例】图21－3－8例1利用函数图象求一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．师生活动：教师引导学生做出函数图象，或求出抛物线与x轴的交点坐标，学生进行计算．解：作二次函数y＝x2－2x－2的图象．它与x轴的交点的横坐标x1≈－0.7，x2≈2.7，所以一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程x2－2x－2＝0的近似解，后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异．通过课前设疑，激发学生的学习兴趣，运用所学知识，从不同的角度进行解答，既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性，又培养了学生深层次的思维能力.【拓展提升】例2已知抛物线y＝2＋(3－2m)x＋m－2(m≠0)与x由抛物线与x轴的交点个轴有两个不同的交点．(1)求m的取值范围；(2)判断点P(1，1)是否在该抛物线上．师生活动：学生自主解答后，教师进行讲解，学生再次审题，完成对题目的重新整理数逆向求函数表达式中的字母系数的取值范围，进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识，提升学生灵活运用知识的能力.(续表)活动四：课堂总结反思【达标测评】1．二次函数y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)，两个交点间的距离为4．2．抛物线y＝x2－2x－8与x轴有2个交点．3．若抛物线y＝x2－4＋4的顶点在x轴上，则b＝±1.4．二次函数y＝2＋＋c的值永远为负值的条件是(D)A．a>0，b2－4<0B．a<0，b2－4>0C．a>0，b2－4>0 D．a<0，b2－4<0学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.【课堂总结】1．课堂总结：谈一谈你在本节课中有哪些收获，有哪些进步，还有哪些困惑．教师总结：抛物线与x轴的交点问题有三种情况，分别是有两个交点、有一个交点、没有交点，主要判定方法可以通过计算相应一元二次方程根的判别式进行确定．2．布置作业：教材P33的练习．小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】框架图式总结，更容易形成知识网络【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的环节中，教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示，使学生能够理解“数”与“形”之间的关系；课堂训练环节中，教师给予学生自主解答问题的时间，教师做好点评.②[讲授效果反思]教师引导学生注意以下几点：（1）抛物线与坐标轴交点的求法，即把已知坐标代入；（2）抛物线与x轴交点个数可通过计算b2－4进行判断.③[师生互动反思]教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质。
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二次函数与一元二次方程
第2 课时阅读与思考——由二次函数的图象认识一元二次不等式的解集
一、教材题目：P34 T1-T2
1．先求出一元二次方程x2＋2x－1＝0的根，再结合二次函数y＝x2＋2x－1的图象(图21－21)，求出当y＝x2＋2x－1>0和y＝x2＋2x－1<0时，x的取值范围．
2．结合函数y＝－2x2＋3x－5的图象，求：
(1)－2x2＋3x－5>0的解集；
(2)－2x2＋3x－5<0的解集．
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
3．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常数)一个解的范围是( )
A.3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
4．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个解．
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解；
(2)解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解．如图①，把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝________的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．
(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．
(i)把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝________的图象与直线y＝________的交点的横坐标；
(ii)在图②中画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
(第4题)
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
(第8题)
9．(2015²滨州)根据下列要求，解答相关问题．
(1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y＝－2x2－4x；并在下面的坐标系中(如图①)画出二次函数y＝－2x2－4x的图象(只画出图象即可)．
②求得界点，标示所需：当y＝0时，求得方程－2x2－4x＝0的解为________________；并用锯齿线标示出函数y＝－2x2－4x的图象中y≥0的部分．
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式－2x2－4x≥0的解集为__________________．
(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式x2－2x＋1＜4的解集．
①构造函数，在图②中画出图象：
②求得界点，标示所需：
③借助图象，写出解集：
(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集．
(第9题)
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
答案
一、
教材
1．解：由a ＝1，b ＝2，c ＝－1，知x ＝－2±4＋4
2＝－1±2，即x 1＝－1－2，x 2
＝－1＋2；图象在x 轴上方，则y ＝x 2
＋2x －1＞0，此时x 的取值范围为x ＜－1－2或x ＞－1＋ 2.图象在x 轴下方，则y ＝x 2＋2x －1＜0，此时x 的取值范围为－1－2＜x ＜－1＋ 2.
2．解：函数y ＝－2x 2
＋3x －5的图象如图所示．
(第2题)
由图象可知：
(1)－2x 2
＋3x －5＞0无解．
(2)－2x 2＋3x －5＜0的解集为全体实数． 二、
典中点
3.C
4．解：(2)x 2
－x －1 (3)(ⅰ)x 2
；x ＋1 (ⅱ)如图．
(第4题)
8．解：(1)x 1＝1，x 2＝3.(2)1＜x ＜3. (3)x ＞2.
(4)∵方程ax 2
＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根．
∴二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c －k 的图象与x 轴有两个交点，即二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象向下平移k 单位长度后与x 轴有两个交点．
由图象可知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 向下平移2个单位长度后与x 轴有一个交点，∴k ＜2.
9．解：(1)①图略；②x 1＝0，x 2＝－2；图略；③－2≤x≤0 (2)①构造二次函数y ＝x 2
－2x ＋1，并画出图象(图略)．
②当y ＝4时，求得方程x 2－2x ＋1＝4的解为x 1＝3，x 2＝－1；图略． ③借助图象，直接写出不等式x 2
－2x ＋1＜4的解集为－1＜x ＜3.
(3)①当b 2
－4ac ＞0时，解集为x ＞－b ＋b 2
－4ac 2a 或x ＜－b －b 2
－4ac
2a
；
②当b 2
－4ac ＝0时，解集为x≠－b 2a (x ＞－b 2a 或x ＜－b 2a 亦可)．
③当b 2
－4ac ＜0时，解集为全体实数．
(第10题)
10．解：(1)解方程x 2
＋4x －5＝0得x 1＝－5，x 2＝1.∴A 点的坐标为(－5，0)，B 点的坐标(1，0)，则抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x ＋5)(x －1)＝ax 2
＋4ax －5a ，则D 点的坐标为(－2，－9a)，C 点的坐标为(0，－5a)．依题意画出图形，如图所示，则OA ＝5，OB ＝1，AB ＝6，OC ＝5a ，过点D 作DE⊥y 轴于点E ，则DE ＝2，OE ＝9a ，CE ＝OE －OC ＝4a.S △ACD ＝S 梯
形ADEO
－S △CDE －S △AOC ＝12(DE ＋O A)²OE－12DE²CE－12OA²OC ＝12(2＋5)³9a －12³2³4a －
1
2
³5³5a＝15a.而S △ABC ＝1
2
³6³5a ＝15a ，∴S △ABC ∶S △ACD ＝1∶1.
(2)∵∠ADC＝90°，∴AC 2
＝AD 2
＋CD 2
，即(－5)2
＋(－5a)2
＝(－5＋2)2
＋(－9a)2
＋(－2)2
＋(－9a ＋5a)2
，即72a 2
＝12.
解得a ＝±66.∵a＞0，∴a ＝66，故二次函数的表达式为y ＝6
6
(x ＋5)(x －1)，即y ＝
66x 2＋263x －56
6.。