高考数学：平面向量数量积的求法
平面向量数量积问题的三种解法
平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的加法、减法、数乘运算法则，数量积公式和向量的模的公式.平面向量的数量积问题的常见命题形式是：根据已知图形、向量及其关系，求两个向量的数量积或其范围.本文主要谈一谈解答平面向量的数量积问题的三种方法.一、公式法已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||||a →||||||b →cos θ称为a 和b 的数量积，即a ⋅b =||||||a →||||||b →cos θ.运用公式法解答平面向量的数量积问题主要就是利用平面向量的数量积公式，求出||||||a →、||||||b →及两个向量a →和b →的夹角的余弦值，即可求得两个平面向量a 和b 的数量积.特别要注意的是，在求两个向量的夹角θ时，需要使a 和b共起点.例1.在边长为1的正三角形ABC 中，D ,E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近点B ），求 AD ⋅AE .解：因为D ,E 是边BC 的两个三等分点，所以BD =DE =CE =13，在△ABD 中，AD 2= BD 2+ AB 2-2 BD ∙ AB ∙cos 60°=æèöø132+12-2×13×1×12=79，即AD .同理可得AE ，在△ADE 中，由余弦定理可得cos ∠DAE = AD 2+ AE 2- DE 22 AD ⋅ AE 7979æö132=1314，所以 AD ⋅ AE =|| AD |AE cos ∠DAE =×1314=1318.对于本题，需要先用余弦定理求出两个向量的夹角的余弦值，再利用向量数量积的公式求解.当题目中两个向量的夹角或向量的模未知时，可以先利用解三角形知识求出它们的夹角或者向量的模，再将其代入数量积公式，运用公式法求解.二、基底法运用基底法求解平面向量的数量积问题，首先要确定一组基底，将题目中涉及的向量分别用这组基底表示出来，将问题转化为基底间的运算问题，通过向量运算求得问题的答案.此方法通常适用于向量的模或夹角不明确，无法用公式直接求出的题目.例2.如图1所示，已知正方形ABCD 的边长为1，E 是AB 边上的动点，则 DE ⋅ CB 的值为_____； DE ⋅ DC的最大值为_______.解：因为 DE = AE -AD ，所以 DE ⋅ CB =( AE - AD )⋅ CB = AE ⋅ CB - AD ⋅CB =1；DE ⋅ DC =( AE - AD )⋅ DC = AE ⋅ DC - AD ⋅ DC =|| AE ⋅|| DC ≤|| DC 2，所以() DE ⋅ DC max =|| DC max=1.解答本题，需以 AD 、AE 为基底，运用基底法求解.运用基底法求解向量的数量积问题，关键是根据已知条件选取恰当的基底，将所求向量用基底来表示，从而将问题简化.三、坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，用坐标的形式来表示各个向量，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法解答平面向量的数量积问题，关键是根据题意或已知图形建立合适的平面直角坐标系.通常可以矩形的两条相邻的边为坐标轴；以直角三角形的两条直角边为坐标轴；正三角形的中线和底边为坐标轴来建立平面直角坐标系.例3.如图2，在直角△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，AB =2，AC =4，求 AD ⋅AB .解：建立如图2所示的平面直角坐标系，由题意可得 AD =(2,1)， AB =(0,2)，所以 AD ⋅AB =(2,1)⋅(0,2)=2.该三角形为直角三角形，于是以该直角三角形的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，便可通过向量坐标运算求解.总之，在求解平面向量的数量积问题时，同学们要根据题意和图形，灵活选用合适的方法进行求解，这样才能简化运算过程，达到快速解题的目的.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）图1图2考点透视36。
高中数学平面向量公式
1、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a，b。
作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a，b〉并规定0≤<a，b〉≤π定义:两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=｜a｜•｜b|•cos<a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x’+y•y'.向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律）；（λa）•b=λ（a•b)(关于数乘法的结合律）;（a+b）•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质a•a=｜a｜的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤｜a|•｜b｜。
向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：（a•b）•c≠a•（b•c）;例如：(a•b）^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c （a≠0)，推不出b=c。
3、｜a•b｜≠|a｜•｜b|4、由|a｜=|b｜,推不出a=b或a=—b。
2、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。
若a、b不共线，则a×b的模是:∣a×b∣=|a｜•｜b|•sin〈a，b>；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。
若a、b共线，则a×b=0. 向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律a×b=-b×a；(λa)×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
3、向量的三角形不等式1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b反向时,左边取等号;②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
高二数学向量数量积的运算律
ab
a b 0 ∣AC∣=∣BD∣=
22
a b
即：AC=BD，长方形对角线相等
平面向量数量积运算律
小结：平面向量数量积运算规律
作业： （1）第111页练习A、B （2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人， 行动的矮子
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互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直， 根据向量垂直的性质，则
（a kb）（ a kb）=0
（a
k
b）（ a
k
b）
a2
-
k
a
b
k
a
b
-
k
2
2
b
∣a∣2 -k 2∣b∣2 9 16k 2 0
解得 : k 3 或k 3
44ຫໍສະໝຸດ 平面向量数量积运算律所以（a b) （ a) b a (b)
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
即： a b b a 交换律
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
平面向量数量积公式
平面向量数量积公式介绍平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。
数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。
数量积公式平面向量数量积公式表示为：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。
公式解释平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。
数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。
公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。
向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。
公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。
夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。
综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。
数量积应用平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：1.计算向量的模：通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。
向量的模用于衡量向量的长度和大小。
2.计算向量之间的夹角：通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。
夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。
3.判断向量的正交性：如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。
正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。
4.判断向量的平行性：如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。
5.导出向量的投影：通过平面向量数量积公式，可以导出向量在另一个向量上的投影。
高中三年数学掌握平面向量的数量积与向量积计算方法
高中三年数学掌握平面向量的数量积与向量积计算方法在高中数学课程中，学生需要学习并掌握平面向量的数量积与向量积的计算方法。
这两个概念是向量分析中非常重要的一部分，对于解决几何和代数问题都具有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的数量积与向量积的定义及其计算方法，并结合具体例子进行说明。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
设有平面向量a和b，它们的数量积用记号a·b表示。
计算方法如下：\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cosθ\]其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a与b之间的夹角。
数量积的计算结果是一个标量，即一个实数。
它可以用于判断两个向量之间的夹角关系以及计算向量在某个方向上的投影长度等。
例如，给定两个向量a=(2,3)和b=(4,1)，求它们的数量积。
首先计算向量a和b的模长：\[|a| = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}\]\[|b| = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}\]然后计算向量a和b夹角的余弦值：\[\cosθ = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{11}{\sqrt{221}}\]所以，向量a和b的数量积为：\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cosθ = \sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \cdot\frac{11}{\sqrt{221}} = \frac{11\sqrt{221}}{\sqrt{221}} = 11\]二、平面向量的向量积平面向量的向量积，又称为叉积或外积，表示两个向量之间的叉乘。
设有平面向量a和b，它们的向量积用记号a×b表示。
高中数学知识点总结平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影
高中数学知识点总结平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影高中数学知识点总结：平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它能够用来描述空间中的位置和方向。
平面向量的数量积与向量的投影是平面向量的重要运算和应用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量的投影，并探讨其在几何问题中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积，它是两个向量之间的一种运算。
设有两个平面向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
1. 数量积的定义数量积的定义如下：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 数量积的性质数量积具有以下性质：（1）a·b = b·a，即数量积满足交换律。
（2）a·a = |a|^2，即一个向量与自身的数量积等于它的模长的平方。
（3）a·b = 0，当且仅当a和b垂直。
3. 数量积的应用数量积在几何问题中有广泛的应用，包括求向量夹角、判断向量垂直和平行关系，以及求向量投影等。
（1）求向量夹角利用数量积的定义，可以得到以下结论：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)通过以上公式，可以求得向量a和向量b的夹角θ的余弦值，然后进一步求得夹角θ。
（2）判断向量垂直和平行关系设有两个非零向量a和b，利用数量积可以得到以下结论：（i）若a·b = 0，则向量a和向量b垂直。
（ii）若a·b = |a| * |b|，则向量a和向量b平行。
通过以上结论，可以判断两个向量之间的垂直和平行关系。
（3）求向量投影向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。
设有非零向量a和向量b，向量a在向量b上的投影表示为proj_b a，其计算公式如下：proj_b a = (a·b) / |b|通过这个公式，可以求得向量a在向量b上的投影。
平面向量的数量积与投影
平面向量的数量积与投影平面向量的数量积和投影是向量运算中的重要概念，在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的数量积和投影的概念、计算方法以及其在几何和物理中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积（也称为内积、点乘）是指将两个向量的对应分量相乘后求和所得到的数值。
若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则它们的数量积用符号表示为a·b，计算公式为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。
数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a2. 分配律：a·(b+c)=a·b+a·c3. 数乘结合律：(k·a)·b=k·(a·b)数量积的几何意义在于它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)，其中||a||和||b||分别为向量a和b的模。
根据这个公式，我们可以判断向量之间的夹角大小以及它们之间的相对方向。
二、平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的影子长度，它是向量运算中的一种重要应用。
设有向量a和b，投影表示为proj_b a，计算公式为：proj_b a=(a·b)/||b|| * (b/||b||)，其中(||b||)为向量b的模。
投影有以下性质：1. 投影为零向量当且仅当向量a与向量b垂直，即a⊥b。
2. 投影的方向与向量b相同或相反，具体取决于向量a与向量b的夹角。
当0°≤θ≤90°时，投影方向与b相同；当90°<θ≤180°时，投影方向与b相反。
投影的几何意义在于它可以帮助我们分析向量之间的关系，特别是在解决几何问题时，投影的计算能够简化向量的运算过程。
三、平面向量的数量积与投影的应用1. 几何应用：平面向量的数量积和投影在几何学中有广泛的应用。
平面向量的数量积和叉积的计算注意事项
平面向量的数量积和叉积的计算注意事项平面向量是高中数学中重要的概念之一，其数量积和叉积是计算两个向量之间关系的有效工具。
在进行数量积和叉积的计算时，需要注意以下几个关键点。
一、数量积的计算注意事项数量积又称为点积或内积，表示两个向量间的乘积。
在计算数量积时，有以下几个注意事项：1. 数量积的计算公式：对于两个向量A和B，其数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角。
2. 注意模长的计算：在计算数量积时，需要先计算出向量的模长。
向量A的模长计算公式为|A| = √(A₁² + A₂²)，其中A₁和A₂分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。
3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。
当θ为锐角时，cosθ大于0；当θ为钝角时，cosθ小于0；当θ为直角时，cosθ等于0。
4. 注意正负号：数量积的结果既可以是正数，也可以是负数。
正数表示两个向量同向，负数表示两个向量反向。
二、叉积的计算注意事项叉积又称为向量积或外积，表示两个向量间的叉乘结果。
在计算叉积时，有以下几个注意事项：1. 叉积的计算公式：对于两个向量A和B，其叉积的计算公式为A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于平面的单位向量。
2. 注意模长的计算：与数量积不同，叉积计算中不需要计算向量的模长。
3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。
当θ为锐角时，sinθ大于0；当θ为钝角时，sinθ小于0；当θ为直角时，sinθ等于0。
4. 注意右手法则：叉积的结果具有方向性。
根据右手法则，将右手的食指指向向量A，中指指向向量B，那么拇指的方向就是叉积结果的方向。
总结：在计算平面向量的数量积和叉积时，我们需要注意以下几个要点：1. 数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，注意模长的计算和夹角的取值范围。
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
求平面向量数量积的5种方法
求平面向量数量积的5种方法平面向量的数量积（也称为内积、点积或标量积）是两个向量的乘积，结果是一个标量（即一个数），代表了两个向量之间的相似度。
平面向量数量积可以通过多种方法进行计算。
本文将介绍五种常用方法，包括点乘法、分量法、向量夹角法、模长法和运算法。
一、点乘法点乘法是最常用的计算平面向量数量积的方法。
给定两个向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则它们的数量积记作A·B，计算公式如下：A·B=a1*b1+a2*b2二、分量法分量法是另一种常用的计算平面向量数量积的方法。
当向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)的夹角为θ时，它们的数量积可以用以下公式表示：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
三、向量夹角法向量夹角法是通过向量夹角公式直接计算平面向量数量积的方法。
若向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
四、模长法模长法是一种通过计算向量的模长与夹角的余弦值来求解平面向量数量积的方法。
若向量A的模长为，A，向量B的模长为，B，向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
五、运算法运算法是一种通过平面向量的加、减、乘、除等运算求解数量积的方法。
根据数量积的性质，有以下运算法则：-若A·B=0，则向量A与向量B相互垂直。
-若A·B>0，则向量A与向量B夹角小于90度，即为锐角。
-若A·B<0，则向量A与向量B夹角大于90度，即为钝角。
平面向量的数量积和标量积
平面向量的数量积和标量积平面向量是平面上具有大小和方向的有向线段，可以用点表示，也可以用坐标表示。
当我们研究平面向量时，两个重要的运算是数量积和标量积。
一、数量积数量积，也叫内积或点积，是两个向量的乘积的数量表达式。
设有两个平面向量A和B，它们的数量积表示为A·B，计算方式如下：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模，θ表示A与B之间的夹角。
数量积有以下几个重要性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数量积与夹角的关系：A·B = 0，则A与B垂直；A·B > 0，则A 与B夹角锐角；A·B < 0，则A与B夹角钝角。
数量积的应用：1. 判断两个向量是否垂直：若A·B = 0，则A与B垂直。
2. 计算向量的模：若A·A = |A|^2，则|A| = √(A·A)。
3. 计算向量的夹角：若A·B = |A||B|cosθ，则θ = arccos(A·B /(|A||B|))。
二、标量积标量积，也叫外积或叉积，是两个向量的乘积的向量表达式。
设有两个平面向量A和B，它们的标量积表示为A×B，计算方式如下：A×B = |A||B|sinθn其中，|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模，θ表示A与B之间的夹角，n表示垂直于A和B构成的平面的单位法向量。
标量积有以下几个重要性质：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：(A + B)×C = A×C + B×C3. 标量积与夹角的关系：A×B = 0，则A与B平行；A×B > 0，则B 在A的逆时针方向；A×B < 0，则B在A的顺时针方向。
向量数量积的五种求法
向量的数量积的五种求解策略方法一：定义法利用向量数量积的概念，即：a ·b=∣a ∣·∣b ∣cos θ。
根据向量的数量积的公式可知，在求解两个向量的数量积时，需要先确认两个向量的模以及它们的夹角，在判断向量的夹角时，要特别注意它们是否为“共起点“，如果不是”共起点“的需要先转化为”共起点“的向量再进行求解。
定义法也是求向量数量积的最常见的方法。
例题1：在▲ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上，且满足AP=2PM ，则PA ·(PB+PC)=解：∵ M 是BC 的中点，AM=1，且AP=2PM 可得：PB+PC=2PM 又AP=23∴ PA ·(PB+PC)=PA ·AP=-49例题2：在▲ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足ccosB+bcosC=4acosA ，S ▲ABC =√15，则AB ·AC= 解：由射影定理可得：a=ccosB+bcosC=4acosA ， ∴ cosA=14，可得：sinA=√154PMABC·又 S ▲ABC =12∣AB ∣··∣AC ∣·sinA可得：∣AB ∣··∣AC ∣=8∴ AB ·AC=∣AB ∣··∣AC ∣·cosA=2 方法二：数量积的几何意义a ·b 的几何意义为： a 的模∣a ∣和b 在a 方向上的投影∣b ∣cos θ的乘积。
当两个向量的夹角θ未知时，有时可以根据题目条件，利用其几何意义迅速解决向量的数量积问题。
例题1：如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，AP=3，试求AP ·AC 的数量积。
解： ∵ AC=2AO ∵ AP ⊥BD∴ 可知AO 在AP 方向上的投影为∣AP ∣ ∴ AC 在AP 方向上的投影为2∣AP ∣ ∴ AP ·AC=∣AP ∣·2∣AP ∣=18例题2：点P 是▲ABC 的外心，且∣AC ∣=4，∣AB ∣=2，求AP ·(AC-AB)的数量积。
求平面向量数量积的5种方法
平面向量数量积的5种方法一、定义：(与物理中功的定义一致，两向量通过数量积运算以后是标量或实数。
)(亦称内积)是两向量乘法运算中的一种，2121y y x x b a ⋅+⋅==⋅θ，叫做向量a 与b 的数量积。
θ为向量a 与b 的夹角，注意：求两向量的夹角应把向量的起点移到同一点，注意不能理解成两条直线的夹角，[]0,θπ∈。
二、几何意义为：b a ⋅等于a (或b )与b (或a )在a (或b )方向上的投影cos b θ(θcos a)的乘积。
三、运算率：①交换率：a b b a ⋅=⋅；②分配率：()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+;③不满足结合率：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅，因为前面表示与c 共线的向量，后面表示与a 共线的向量。
四、三种方法：1.定义法：代入到数量积的公式中，对于较简单题（已知两向量的模与夹角），用此法计算。
2.绕法：当两向量的模与夹角不易求时，把两向量通过平行四边形或三角形绕成用已知向量（已知模与夹角的向量）表示，然后代入到数量积公式中。
3.坐标法：如果给出两向量所在图形存在垂直关系（易建系时）时，适当建立直角坐标系，代入坐标计算。
4.投影法：当一个向量在另一个向量上的投影易求时，用此法计算。
5.特殊图形法：如果图形形状不确定，则可取特殊图形，然后利用建系或投影计算。
1、利用定义计算（简单）。
1.(2010年辽宁卷)平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==，则OAB ∆的面积等于 ( ) 222()a b a b -⋅ 222()a b a b +⋅C.12222()a b a b -⋅ D.()22221ba b a ⋅+2.(2016年新课标全国卷II3)已知向量()()2,3,,1-==b m a 且()b b a ⊥+，则m = ( ) A.－8 B.－6 C.6 D.83.(2012年辽宁卷)已知向量)1,1(-=a ，),2(x b =，若1=⋅b a ，则x = ( ) A.—1 B.—12 C.12D.1 4.(2016年新课标全国卷II4)已知向量b a ,满足1,1-=⋅=b a a ，则()b a a -⋅2= ( ) A.4B.3C.2D.05.(高考题)已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=，则||b 的取值范围是 。
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
平面向量向量的数量积与向量积的计算方法
平面向量向量的数量积与向量积的计算方法平面向量的数量积与向量积的计算方法平面向量是数学中常见的概念，它有两个基本运算：数量积和向量积。
数量积也称为点积或内积，而向量积也称为叉积或外积。
这两个运算在向量的计算和几何问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量积的计算方法。
一、数量积数量积是两个向量之间的一种运算，表示为A·B，其中A和B是两个向量。
数量积的计算方法是相同位置的两个分量相乘，再将结果相加。
设A和B是两个平面向量，其坐标表示分别为A=(x₁,y₁)和B=(x₂,y₂)，则数量积的计算公式如下：A·B = x₁x₂ + y₁y₂这个公式表示了数量积的定义和计算方法。
数量积的结果是一个实数，它可以用于计算向量的模长、夹角和投影等问题。
二、向量积向量积是两个向量之间的一种运算，表示为A×B，其中A和B是两个向量。
向量积的计算方法是利用行列式的形式进行计算。
设A和B是两个平面向量，其坐标表示分别为A=(x₁,y₁)和B=(x₂,y₂)，则向量积的计算公式如下：A×B = det | i j || x₁ y₁ || x₂ y₂ |其中，i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。
行列式的计算方法是先计算主对角线上的乘积，再减去副对角线上的乘积。
即：A×B = (x₁y₂ - y₁x₂)·k这个公式表示了向量积的定义和计算方法。
向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于A和B所确定的平面，并符合右手定则。
向量积可以用于计算面积、判定向量的共面性和计算法向量等问题。
综上所述，平面向量的数量积和向量积是两个重要的运算方法。
数量积是两个向量的乘积的加和，结果为实数；向量积是两个向量的乘积的行列式形式，结果为向量。
这两个运算在解决代数问题和几何问题中起着重要的作用，可以高效地计算向量的性质和运算结果。
掌握数量积和向量积的计算方法，对于理解和解决相关问题具有重要意义。
平面向量的数量积与向量积的几何解释
平面向量的数量积与向量积的几何解释引言在数学中，向量运算是一个重要的概念，而平面向量的数量积和向量积是其中的两个重要运算。
本文将讨论平面向量的数量积和向量积，并探讨它们在几何上的解释。
一、平面向量的数量积数量积也称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量表示形式。
对于平面向量的数量积，可以用下列公式表示：A ·B = |A| × |B| × cosθ其中，A 和 B 是两个平面向量，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模长，θ 表示 A 和 B 之间的夹角。
几何解释：平面向量的数量积可以用于计算两个向量之间的相似程度。
当两个向量的夹角为 0 度时，数量积最大，即向量的方向相同，模长相似；当两个向量的夹角为 90 度时，数量积为 0，即向量垂直或正交；当两个向量的夹角为180 度时，数量积最小，即向量方向相反，模长相似。
根据这个特性，数量积可以用于判断向量的方向和判定向量是否垂直或平行。
二、平面向量的向量积向量积也称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量表示形式。
对于平面向量的向量积，可以用下列公式表示：A ×B = |A| × |B| × sinθ × n其中，A 和 B 是两个平面向量，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模长，θ 表示 A 和 B 之间的夹角，n 为垂直于平面的单位向量，确认向量积的方向。
几何解释：平面向量的向量积用于计算两个向量所构成平行四边形的面积和面的方向。
两个向量的向量积结果为一个新的向量，其模长表示两个向量构成的平行四边形的面积，而方向则垂直于所构成平行四边形的平面。
根据这个特性，向量积可以用于计算平行四边形面积、寻找垂直于两个向量所构成平面的法向量等。
三、平面向量的数量积与向量积的关系对于平面向量 A 和 B，它们的数量积与向量积之间存在关系：|A × B| = |A| × |B| × sinθ其中，|A × B| 表示向量积的模长。
平面向量的数量积和向量夹角
平面向量的数量积和向量夹角平面向量是研究平面上的物理量时常用到的工具。
平面向量有两个重要的运算：数量积和向量夹角。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量夹角，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
记作 A·B 或A∙B。
对于平面向量 A=(x₁, y₁) 和 B=(x₂, y₂)，它们的数量积定义为：A·B = x₁x₂ + y₁y₂数量积有以下几个重要的性质：1. 对换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中 k 是任意实数数量积可以用于计算向量之间的夹角、判断两个向量是否垂直或平行，以及计算向量的模长等。
二、平面向量的向量夹角平面向量的向量夹角是指两个向量之间的夹角。
记作θ。
假设向量A 和向量 B 的夹角为θ，则有以下关系：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B 是向量 A 和向量 B 的数量积，|A| 和 |B| 分别是向量 A和向量 B 的模长。
根据夹角的余弦值可以判断两个向量之间的关系：1. 若cosθ = 1，夹角θ = 0°，则 A 和 B 方向相同；2. 若cosθ = -1，夹角θ = 180°，则 A 和 B 方向相反；3. 若cosθ = 0，夹角θ = 90°，则 A 和 B 垂直。
三、平面向量的数量积和向量夹角的应用1. 判断两个向量是否垂直或平行：根据数量积的性质，如果两个向量的数量积为零，则这两个向量一定是垂直的；如果两个向量的数量积非零且模长比例相同，则这两个向量一定是平行的。
2. 计算向量的模长：根据向量的数量积定义可以得到以下公式：|A| = √(A·A)即向量的模长等于它自己与自己的数量积的平方根。
平面向量的数量积
平面向量的数量积在解析几何中，平面向量的数量积是一种常见且重要的运算。
通过求取两个向量的数量积，我们可以得到向量的夹角以及向量的投影等有用信息。
本文将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方式以及其在几何学和物理学中的应用。
一、概念平面向量是具有方向和大小的箭头，一般用有序数对(a, b)表示，其中a表示该向量在x轴上的投影，b表示该向量在y轴上的投影。
为了方便计算，我们可以使用向量与坐标轴形成的三角形，其中向量的起点位于原点，以及向量的终点位于坐标轴上。
平面向量的数量积又称为点积或内积，通常用符号"·"表示。
对于平面向量u和v，它们的数量积定义为u·v = |u||v|cosθ，其中|u|和|v|分别表示向量u和v的模长，θ表示u和v之间的夹角。
二、计算方式计算平面向量的数量积可以使用以下公式：u·v = a₁a₂ + b₁b₂，其中u=(a₁, b₁)、v=(a₂, b₂)。
根据该公式，我们可以很容易地计算出两个向量的数量积。
另外，数量积也可以写成向量形式：u·v =|u||v|cosθ，其中u、v分别表示向量u和v，θ表示夹角。
三、性质平面向量的数量积具有以下几个重要的性质：1. 交换律：u·v = v·u2. 分配律：k(u+v) = ku + kv，其中k为任意实数3. 数量积与夹角的关系：u·v = 0，当且仅当两个向量垂直，即夹角为90度4. 数量积与模长的关系：u·v = |u||v|cosθ5. 数量积为零的性质：若u·v = 0，则u和v线性无关四、应用平面向量的数量积在几何学和物理学中有着广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 判断向量垂直：通过计算两个向量的数量积，若结果为0，则可以判断这两个向量垂直。
2. 计算夹角：通过计算两个向量的数量积，利用cosθ = u·v / (|u||v|)，我们可以求得两个向量的夹角。
平面向量的数量积与向量的投影
平面向量的数量积与向量的投影平面向量是在平面上具有大小和方向的箭头表示的数学对象。
在平面向量的运算中，数量积和向量的投影是两个重要的概念。
本文将分别介绍平面向量的数量积和向量的投影，并探讨它们在数学和物理中的应用。
数量积（又称为点积、内积）是两个向量的数学运算，计算的结果是一个标量（即实数）。
数量积的定义如下：对于平面上的两个向量A和B，它们的数量积记作A·B，计算方法为A·B = |A| * |B| * cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积的运算规则如下：1. A·B = B·A，即数量积满足交换律。
2. A·A = |A|^2，即一个向量与自身的数量积等于该向量模长的平方。
3. 若A·B = 0，则说明向量A和B正交（垂直）。
4. 若A·B > 0，则说明向量A和B夹角小于90°，即为锐角。
5. 若A·B < 0，则说明向量A和B夹角大于90°，即为钝角。
数量积的应用非常广泛。
在几何中，数量积可以用来判断两个向量的夹角，并且可以通过夹角的余弦值计算其大小关系。
在物理中，数量积可以用来计算力的功和力矩等物理量，进而解决力学问题。
向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
在平面向量中，向量的投影可以分为两种情况：一个向量在另一个向量上的投影和一个向量在坐标轴上的投影。
1. 一个向量在另一个向量上的投影，可以通过数量积进行计算。
设有一个向量A，它在向量B上的投影记作proj_B A。
投影的计算方法为proj_B A = (A·B) / |B| * B，即向量A与向量B的数量积除以向量B 的模长，再乘以向量B。
投影的结果是一个向量。
注：如果向量A与向量B的夹角为90°，则投影为零向量。
2. 一个向量在坐标轴上的投影，可以通过数量积的性质进行计算。
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平面向量数量积的求法
利用解三角形方法求解
例1 如图1所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，求·的值.
解析：向量的模已知，向量的模以及它与向量的夹角∠DAC未知，但是cos∠DAC可以通过解三角形知识求得.
由三角函数诱导公式知：cos∠DAC=sin+∠DAC，因为AD⊥AB，所以∠BAD=，那么cos∠DAC=sin（∠BAD+∠DAC）=sin∠BAC.
在三角形ABC中，由正弦定理可得：=，则ACsin∠BAC=ACcos∠DAC=BCsinB.
因为=1，=，所以·=cos∠DAC=sin∠BAC=sinB=sinB==，即·的值是.
【点拨】在向量数量积的运算中，若各相关向量模长及其夹角的余弦值可以通过三角形有关知识求得，可考虑运用解三角形的方法求解.
化归为基向量求解
例2 如图2所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，求·的值.
解析：向量，的模长与夹角均未知，而向量，的模长及其夹角均已知，故可视，为基向量，通过向量的加、减法，将·“化归”为基向量，之间的数量积，进行求解.
因为DC=2BD，所以=，·=（+）·=+·. 又=-，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，所以+·=+（-）·（-）=（+2）·（-）=（1-8+·）=（-7+2cos120°）=-，即·的值是-.
【点拨】在所求的向量数量积中，向量的模长与夹角未知，但与此有关的向量的模长与夹角已知，此时可考虑利用“化归”思想，把已知模长与夹角的向量作为基向量，将所求向量“化归”为基向量再来求解.
利用向量的射影性质求解
例3 如图3-1所示，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，求·的值.
解析：例3中向量，的模长及夹角均未知，而，的模长已知，但夹角∠CAB又未知，难以以此作为基向量，考虑到圆的特性，选择用向量数量积的射影性质进行运算，是一个极好的途径.
延长AO交圆O于点D，如图3-2所示，则AD是圆O的直径，故AC⊥CD，AB⊥BD. ·=·（-）=（·-·）.
由向量射影性质可知：cos∠CAD=，又AC=5，所以·=cos∠CAD=2=25.同理可得：·=2=9.所以·=（25-9）=8，即·的值是8.
【提示】=（+）是例3中BC经过圆心时的特殊情况，若例3为选择题或者填空题，可假设BC经过圆心，能更快捷地得出答案，节约做题时间.
【点拨】在两个向量数量积的运算中，若其中一个向量的模长已知，另一个向量的模长与它们间的夹角均未知，但未知向量的模与夹角的积可通过射影的形式来确定的，可考虑用向量的射影性质来求解.
利用“极化恒等式”求解
在这里提到了一个概念：极化恒等式.那么，什么是极化恒等式呢？在△ABC中，O是BC边上的中点，如图4-1所示，则·=AO2-OC2.
证明：由于O为BC的中点，则有=（+），==（-）？圯=-，=+，故·=（-）·（+）=2-2=AO2-OC2.
极化恒等式的几何意义为：向量数量积可以表示为以这组向量为邻边的三角形的第三边中线与第三边边长一半的平方差.
例4 在△ABC中，设P0是边AB上一定点，满足P0B=AB且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则
.
（A）∠ABC=90°（B）∠BAC=90°
（C）AB=AC （D）AC=BC
解析：例4用一般的方法求解会感到有点棘手，但若能根据题设条件，充分利用向量数量积的重要性质——极化恒等式进行推理，则求解并不困难.
如图4-2，取BC的中点D，则由极化恒等式可知：·=2-2，·=2-2，由·≥·恒成立，可知2-2≥2-2，即2≥2恒成立. 由于P0是边AB上一定点，P是动点，所以，只能是P0D⊥AB （点到直线的垂线段最短）.
取AB中点M，连结CM，因为P0B=AB，所以P0D是△BMC的一条中位线，所以P0D ∥MC.因为P0D⊥AB，所以MC⊥AB.在△ABC中，MC既是AB边上的垂线，又是中线，所以AC=BC，故选D .
【点拨】在向量数量积的运算中，若所求向量的模长与夹角均不确定，而由这两个向量组成的三角形的第三条边边长以及第三条边上的中线长度已知，可考虑用“极化恒等式”来求解.
利用向量坐标表示法求解
例5 在平行四边形ABCD中，∠DAB=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，求·的取值范围.
解析：求解例5可以视，为基向量进行运算，但考虑到图形的特点，也可以选用坐标的方式进行求解.
以A为坐标原点、向量所在直线为x轴建立直角坐标系，如图5所示.因为AB=2，AD=1，∠DAB=，所以A（0，0），B（2，0），C，，D，.
由于=，故==.设Nx，，其中≤x≤，则=-x，=-x，M2+-x，-x.
根据题意，=x，，=-，，所以·=x-+=-+x+=-x-2+6，其中≤x≤，故2≤·≤5，所以·的取值范围是[2，5].
【点拨】在向量数量积的运算中，若相关向量均可以方便地用坐标形式来表示的，用坐标形式求解不失为一种便利的方法.
利用函数与方程的思想求解
例6 设=1，若=2，求·的最大值.
解析：无论用以上介绍的哪一种方法求解例6，都会涉及变量（参数）问题，但有关向量的模与夹角均可以用同一变量表示出来，不妨考虑用函数思想进行探究.
设=m，则=2=2m. 如图6所示，在△ABC中，由三边关系可得2m-m≤1，2m+m≥1？圯≤m≤1，所以·=·cos∠ACB=2m2cos∠ACB.
由余弦定理知：cos∠ACB= ，所以·=2m2×=.因为≤m≤1，所以·=≤=2，即·的最大值为2.
【点拨】在向量数量积的运算中，若所求向量及其夹角均可用同一个（或两个相关）变量表示，可以考虑运用函数与方程的思想进行求解.。