2010-2011-1积分变换A卷

2010高数AII(本)A卷试卷答案(刘能东修订) (1)

姓名: 学号: 系别: 年级专业:( 密封线内不答题 )……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………_____________ ________东莞理工学院（本科）A卷试卷答案与评分标准2009 --2010 学年第二学期《高等数学AII(本)》试卷开课单位：数学教研室，考试形式：闭卷，允许带入场题序一二三总分得分评卷人一、（共70分第1—21题每空3分，第22题1分）1. 微分方程的通解是（C为任意常数）。

2.微分方程的通解为3.微分方程的特解形式是，则微分方程的通解为4. 向量与的夹角为：5.过点，且与平面平行的平面方程为.6. 直线的单位方向向量为7 ．坐标面上的曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为。

8. 曲线在点（1，1，1）处的切线方程为：9.球面在点处的法线方程为： .10．设函数，则的梯度：，沿的方向导数= ，11．设，则．12. 设，则1/513. = ，=,其中为正向圆周线14.设闭区域=，则二重积分．15.将三重积分化为直角坐标系下的三次积分为，其中闭区域是由平面所围成部分．16．闭区域由曲面及平面所围成，利用柱面坐标系计算三重积=17. 已知数项级数，则该级数是_发散_____（绝对收敛，条件收敛，发散）．18．已知正项级数，则该级数是__收敛__（收敛、发散）.19.已知正项级数，则该级数是_收敛____（收敛、发散）。

20．级数是条件收敛的（发散，绝对收敛，条件收敛）；21.幂级数的收敛域是．22. 设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅里叶级数在处收敛于．(此题得分1分)二、计算题（共30分每题6分）1. 求微分方程满足初始条件的特解.解：为一阶线性微分方程，（2分）（2分），将代入，得，故满足条件的特解为。

（2分）2．计算，其中是下半圆周逆时针方向的弧段．解：设是轴上由点（2，0）到（0，0）的有向线段，原式=-= - (４分)(2分)3．设是上半球面的上侧,则．解：令是圆面，方向为下侧，原式=- (2分)+ (2分)= (2分)4．求幂级数的收敛域及其和函数.解：，易知收敛域为。

复变函数和积分变换1011一A答案

华北电力大学2010-2011学年第一学期考试试卷(A)答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题2分，共10分）1．下列复数i i i i i i i i i i e i i )(1 , ,cos ,sin ,ln , ,cos ,sin +中，实数的个数是（C ）。

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. )(z f 在区域D 内可导是在区域D 内解析的（A ）。

(A) 充要条件 (B) 充分非必要 (C) 必要非充分 (D) 非充分非必要 3. 若)(z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条正向简单闭曲线，则（D ）。

4. 若幂级数0n n n c z ∞=∑在i z 34+=处收敛，那么该级数在5=z 处（D ）（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定5. 0z =为函数zz z e z f z cos sin 1)(⋅⋅-=的（B ）。

(A) 可去奇点 (B) 一级极点 (C) 二级极点 (D) 本性奇点二、填空题（每空2分，共10分）1. 复数)21)(43(i i z -+=，则2arg arctan11z =-。

2. 用复数形式的参数方程表示连接点i --1和i 32+的直线1(34),z i t i t =--++-∞<<+∞。

(t 的范围不准确酌情给分)3.32||1sin(23)0(2)zz z z e dz z =+-⋅=+⎰Ñ。

4. 设21()3z f z z z-=-, 则1Re [(),0]3s f z =。

5. 映射1)1(+-=z z i w 在3=z 处的伸缩率为18。

三、(10分) 将函数21()(21)2f z z i z i=+--分别在012z z i <-<+<+∞内展开成洛朗级数。

解：211()(21)2(1)(2)f z z i z i z z i ==+---+……………………………………2分（1）01z <-时1111()(1)(1)(1)(112)121[]12f z z z z z i i i-==----+++--+..2分 111001(1)(1)()(1)(1)(1)12(12)(12)n n n nn n n n z z f z z i i i -∞∞-+==--∴=--=-+++∑∑；…………. 2分（22 z i <+<+∞时111()(2)(1)(2)221f z z i z z i z i i -==+-++--21()(2)2112f z z i i z i-=++-+………………………………………………….... 2分 222001(21)()(2)(1)(21)(2)21(2)12n n n nn n i f z z i z i z i i z i z i∞∞----==+∴=+=-=++++-+∑∑。

复变函数与积分变换期末考试题

哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年第一学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在（）.A . 1z =-收敛Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的（）.Ａ．二阶极点、孤立奇点Ｂ．二阶极点、非孤立奇点Ｃ．可去奇点、孤立奇点Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为（）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是（）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。

复变函数与积分变换2010A答案

A和B部分函数C和函数D调和函数
6)题目六：0是的：(C)
A孤立奇点B本性奇点C零点D原点
7)题目七：级数：（C）
A绝对收敛B条件收敛C发散D既不收敛又不发散
二、填空题（每小题2分七小题共14分）
1)题目一：复数-8i的三次单位根是、、。(2i)
2)题目二：。（）
3)题目三：函数的C-R方程是。
6)题目六：若函数在D内的朗洛展开式中不含的负幂项，则是的可去奇点。（T）
7)题目七：积分给出了函数的拉普拉斯变换.( F )
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四、计算题（每题5分五小题共25分）
1)题目一：已知调和函数。求其共轭调和函数。
2)题目二：计算
3)题目三：求函数在的留数。
4)题目四：求函数的傅立叶变换。
4)题目四：设在简单正向曲线C及其所围的区域D内出处解析且 ,那么。
5)题目五：级数的收敛半径是。
6)题目六：函数在解析，则是的m阶零点的充分必要条件是。
7)题目七：傅立叶变换的逆变换是。
三、判断题判断下面各题叙述的正误。正确在后面括号里用T标记，错误的用F标记（每小题1分七小题共7分）。
1)题目一：两个复数乘积的模和辐角分别等于两复数模与辐角的乘积。（F）
2)题目二：函数不仅在可导，则必然在解析。( F )
3)题目三：函数在定义域内一点可导的充分条件是和在点可微且满足C-R方程。（F）
4)题目四：若级数在处收敛，则该级数对任意的z都绝对收敛。( T )
5)题目五：是的m阶极点的充分必要条件是。（T）
设
5）题目五：求正弦函数的复频函数（其中k为任意复数）。
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2019-2020-1复变函数与积分变换A卷答案

河南科技大学
2019 至 2020 学年复变函数与积分变换第一学期试卷（A 卷）
标准答案及评分标准
一、判断题（2 分×4=8 分）
1.×
2.×
3.×
二、选择题（2 分×5=10 分）
1.B
2.D
3.C
三、填空题（2 分×5=10 分）
1. 1 + 1 i 22
2.∞ 3.一阶极点（或简单极点）
4.√ 4.B
对(1)两边求 y 的积分，可得 v= 6x dy x = 6xy x (3)
再对(3)两边同时求 x 的偏导，对比(2)可得， x =0, x C
从而 v= 6xy C ， f z = 3y2 3x2 i 6xy C
由于 f (0) 2i ，故 C=-2，
f z = 3y2 3x2 i 6xy 2 3z2 2i
4. 3t 2
5.C
5. f (t)e jtdt
四、计算题（8 分×4=32 分）
1.（8 分）解：方程即为 z3 1 i=
2
cos
3 4
isin
3 4
根据 3 次方根公式可得：
1
z (1 i)3
2
3
1 3
cos
4
2k 3
3 isin 4
2k 3
, k 0,1,2
1
1 s
4
因此我们有
y(t) =L1 Y (s) 1 1 et 1 e4t
4 3 12
所以方程有 3 个根，对应于 k=0,1,2 分别为
z
6
2
cos
4
i
sin
4
,
6
2
cos
11 12

2011年4月全国高等教育自学考试复变函数与积分变换真题与答案WORD打印版[1]

全国2011年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设复数z 1cos i sin 33ππ=++，则arg z=（）A.-3πB.6π C.3π D.23π 2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（） A.非负实轴 B.实轴 C.上半虚轴 D.虚轴 3.下列说法正确的是（） A.ln z 的定义域为 z>0 B.|sin z|≤1 C.e z ≠0 D.z -3的定义域为全平面4.设C 为正向圆周|z|=1，n C sin zdz z ⎰=2π i ，则整数n 为（）A.-1B.0C.1D.25.设C 为正向圆周|z|=2，则2Czdz z⎰=（） A.-2πi B.0 C.2πiD.4πi6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2Csin 6d (z)πςςς-⎰，则f′(1)=（） A.-3i 36πB.3i 36π7.设nn n 0a z∞=∑nn n 0b z∞=∑和n n n n 0(a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（）A.R=R 1B.R=min{R 1,R 2}C.R=R 2D.R≥min{R 1,R 2}8.罗朗级数nn n 1n 0n 01z z 2∞∞-==+∑∑的收敛域为（）A.|z|<1B.|z|<2C.1<|z|<2D.|z|>29.已知sinz=n 2n 1n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z ,0z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（）A.1B.-13!C.13! D.15! 10.整数k≠0，则Res[cot kz, π]=（）A.-1kB.0C.1kD.k 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。

积分变换试卷A

华南理工大学广州汽车学院 2007——2008学年度第一学期期末考试《积分变换》试卷A 考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚； 2．本试卷共四个大题，满分100分，考试时间120分钟； 3．所有答案应直接写在试卷上。

一．利用定义求下列函数的Fourier 变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．4,02,()0,t f t ≤≤⎧=⎨⎩其它； 2．sin ,,()0,.t t f t t ππ⎧<⎪=⎨>⎪⎩二．利用性质求下列函数的Fourier 变换（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．()();n f t u t t = 2．()()sin 2;t f t u t e t -=3．2()sin ;f t t t = 4．()()sin().4t f t t e t πδ=+三．证明（本大题共1小题，每小题7分，共7分）设()[()]F F f t ω=，证明：0001[()cos ](()()).2F f t t F F ωωωωω=-++四．求下列函数的卷积（本大题共1小题，每小题8分，共8分）sin ,02,()(),()0,.t t t f t e u t g t π-≤≤⎧==⎨⎩其它五．利用Fourier 变换解下列积分方程（本大题共1小题，每小题7分，共7分） 0sin ()cos .t g td t ωωω+∞=⎰ 六．利用定义求下列函数的Laplace 变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．1,03,()0,3t t f t t +≤≤⎧=⎨>⎩； 2．sin ,0,(),.t t f t t t ππ≤≤⎧=⎨>⎩七．利用性质求下列函数的Laplace 变换（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．4()3()2;t f t u t e =- 2．2()();t f t e t δ-=+3．()1;at f t e -=- 4．2()sin 2.f t t t =八．求下列像函数的Laplace 逆变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．41();F s ω= 2．1().(2)F s s ω=+九．求解下列微分方程（本大题共1小题，每小题8分，共8分）'sin ,(0) 1.x x t x +==-。

2007-2008-2-《复变函数与积分变换A》期末考试题_b_参考答案

北京交通大学2007-2008-2-《复变函数与积分变换A 》期末考试试卷(B)参考答案一．填空题（本题满分14分，每空1分），请将合适的答案填在空中.1．复数i i i z +-=2184，则=)Re(z _______；=)Im(z _______；=||z _______ =)arg(z ________________，复数z 的三角表达式为_____________________ 指数表达式为_______________________________________________________ 解：因为i i i i i i z 31414218-=+-=+-=所以，1)Re(=z ；3)Im(-=z ；10||=z ；3arctan )arg(-=z ，复数z 的三角表达式为)]sin(arg )[cos(arg 10z i z +，指数表达式为)arg(10z i e.2．方程083=+z 的所有根是2,1,0,28323==-=+k ez k iππ3．.,2,1,0,)1()]24(2[ln )1( ±±===++++k ee i k i i i iLn i ππ4．函数z ln 在复平面上的连续性为在除去原点和负实轴的平面上连续. 5．若幂级数∑∞=+1)(n nn i z c 在i z =处发散，则该级数在1=z 的敛敛性为发散6．映射ze w =将带形域43)Im(0π<<z 映照成角形域43)arg(0π<<z . 7．幂函数3z w =，把扇形域2||,3)arg(0<<<z z π映照为w 平面上的扇形域8||,)arg(0<<<z z π.8．在傅氏变换意义下，函数)(1t f 和)(2t f 的卷积)(*)(21t f t f 定义⎰+∞∞--τττd t ff )()(21.9．设)()(0t t t f -=δ，则)]([t f F =0t i eω-.二．判断下列命题的真假（本题满分10分，共有10道小题，每道小题1分），对的填“∨”，错的填“⨯”.（∨）1．指数函数z e 是以i π2为周期的周期函数. （⨯）2．正弦函数z sin 一定是有界函数. （⨯）3．奇点一定是孤立奇点.（⨯）4．)(z f 在0z 可导是)(z f 在0z 解析的充分条件.（∨）5．若u 和v 都是D 内的调和函数，且满足柯西-黎曼方程，则 iv u z f +=)(在区域D 内是解析函数.（⨯）6．若积分⎰=Cdz z f 0)(，C 是一条简单闭曲线，则)(z f 在C 内无奇点.（⨯）7．幂级数∑∞=1n nnz 的收敛半径为1，则在1||=z 上的点一定处处收敛.（⨯）8．函数y x v +=是y x u +=的共轭调和函数.（⨯）9．如果无穷远点∞是)(z f 的一阶极点，则0=z 是)1(zf 的一阶极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞.（⨯）10．映射2z w =在z 平面上每一点都具有伸缩率和旋转角的不变性.三．讨论函数33)1()(y i x z f -+=的可导性、解析性（8分）.解：设3x u =，3)1(y v -=，则v u ,处处可微且22)1(3,0,0,3y yvx v yux x u --=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂但1,00)1()1(332222==⇒=-+⇒--=⇒∂∂=∂∂y x y x y x yv x u 即仅在点)1,0(处满足柯西-黎曼方程，因此，33)1()(y i x z f -+=在点)1,0(处可导，但在整个复平面上不解析.四．在扩充复平面上找出函数23)(23+-+=z z iz z f 的孤立奇点并加以分类，若是极点，指出其阶（或级）数，最后分别计算在每个孤立奇点的留数（8分）.解：)2)(1(23)(323--+=+-+=z z iz z z i z z f所以，)(z f 共有两个一阶极点2,121==z z 和一个无穷远点∞.i i z i z z f z z f s z z --=-+=-+=-=→→1112lim )()1(lim ],[Re 3111i i z i z z f z z f s z z +=+=-+=-=→→8181lim )()2(lim ],[Re 32227)2311(lim 21]0,)21)(1(1[Re ]0,1)1([Re ],[Re ''230332-=+-+-=--+-=-=∞→z z iz z z z iz s zz f s f s z五．1.证明: 当C 为任何不通过原点的闭曲线时，⎰=Cdz z012；（3分）. 2. 沿怎样的简单闭曲线有⎰=++Cdz z z 0112；（3分）.3. 计算⎰--Cdz z z )3)(1(15，2|:|=z C .（3分）； 1. 证明：当C 不包含0=z 时，由柯西定理得，⎰=Cdz z 012；当C 包含0=z 时，由高阶导数的柯西积分公式得，0)1(!121'2==⎰Ci dz z π 2. 当i z 23212,1±-=均不被简单曲线C 包围或全部被包围时，⎰=++Cdz z z 0112. 3.]]),[Re ]3,[([Re 2)3)(1(15∞+-=--⎰f s f s i dz z z Cπ121)02421(2])0,)31)(11(1[Re 2421(252ii z z z s i πππ-=+-=----=六．计算⎰Cdz z __，这里曲线C 为)11(12≤≤--+=x x i x z ，方向分别取逆时针和顺时针方向（6分）.解：⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰⎰-，顺时针逆时针i ,__ππθθθi d e ie dz z C i i C七．将函数)(1)(i z z z f -=分别在圆环1||0<<z 与+∞<-<||1i z 内展成罗朗级数（8分）.解：（1）当1||0<<z 时，++++++=+++++=--∙=-=--112221])()(1[)1(11)(1)(n n n iz i z i z z i i zi z i z zi iz i zi z z z f（2）当+∞<-<||0i z 时，+--+--+---=+--+--+---=-+∙-=+-∙-=∙-=-=+24232222)()1()()()(1])()1()(1[)(111)(1)(1)(11)(1)(1)(n n nn ni z i i z i i z i i z i z i i z i i z i i z iz i i z i i z i z z i z i z z z f+--+--+--=-++--+--+--=-+nn nn iz i i z i i z i i z i iz i i z i i z i iz i )()1()(1)11()()1()(1112'2八．计算dz z z z ⎰=+2||651 （8分）. 解：原式=∑=+6165],1[Re 2k k z z z s i π iz z s i z z z s i z z s i ππππ2]0,)1(1[Re 2]0,1111[Re 2],1[Re 2626565=+=∙+=∞+-= 九．计算θθθπd ⎰+202cos 45sin （8分）. 解：设θi e z =，则izdzd =θ，iz z 21sin 2-=θ，z z 21cos 2+=θ原式dz z z z z i z ⎰=++-=1||2222)4104()1(2 dz z z z z i z ⎰=++-=1||2222)4104()1(2 在1||<z 内，有一个二阶极点01=z 和一个一阶极点512-=z ， 85]0),([Re -=z f s83]51),([Re =-z f s所以，原式4]}51,[Re ]0,[{Re 22ππ=-+=f s f s i i十．讨论将半径为1，圆心分别在0=z 和1=z 处的两圆的公共部分在分式线性映照)2321()2321(i z i z --+-=ω下的图形（8分）. 解：两圆1||=z 和1|1|=-z 的交点为i z 23212,1±=，两圆在2,1z 的夹角分别为32π，该分式线性映照将1z 映成原点，而把2z 映成∞，且0|1'≠z ω，因此，分式线性映照在1z 是共形映照，所给的区域经映照后映照成以原点为顶点的角形区域，张角等于32π. 另外，为了确定角形域的位置，取1|21-==z ω，所以，所得的角形域如右图所示：十一. 求函数0,)(||>=-ββt e t f 的傅氏变换（6分）.解：dt e e F t i t ⎰+∞∞---=ωβω||)(22)(0)(211ωββωβωβωβωβ+=++-=+=⎰⎰+∞+-∞--i i dte dt e t i ti十二.用拉普拉斯变换和它的逆变换求下列一阶常系数非齐次常微分方程的解： 0)0(,2'=+=-y t e y y t （6分）.解：作Laplace 变换，记Y(s)=L[y(t)], 则 2121)()(ss s Y s sY +-=- 1)(112111111121)1(1)2)(1(1)(2222--=---=---+---=-+--=t e t y ss s s s s s s s s s s s Y t。

《复变函数与积分变换》考试试卷(A卷)

20.（12分）将函数在下列范围内展为幂级数或罗朗（Laurent）级数，
（1）；（2）（3）
得分
21.（11分）已知，求常数及二元函数使得为解析函数且满足 .
3．下列级数中，绝对收敛的级数为
（A）（B） (C) （D）
4.若函数在复平面内处处解析，那么实常数
（A）（B）（C）（D）
5. 则下列结论正确的是
（A） (B)
(C) (D)
6.设是从到的直线段，，则积分
（A） (B) (C) (D)
7. 阶零点.
（A） (B) (C) (D)
8.下列命题中，正确的是（）
（A）设在区域D内均为的共轭调和函数，则必有；
(B) ；
(C)以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数；
(D)指数函数是周期函数；
9. 阶极点.
（A） (B) (C) (D)
得分
二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，满分18分）
10.复数的辐角主值为；
11．设，则；
12．极限；
13．函数在处展成幂级数为（并注明收敛域）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
得分
答案
1.幂级数在内的和函数为
（A）（B）（C） (D)
2．下列命题不正确的是
（A）是的极点，则在处不可导；
（B）若函数在某点解析，它的各阶导数在该点不一定解析；
（C）若在区域D内解析，则在D内从到的积分与路径无关；
（D）幂级数在其收敛圆内的和函数是解析函数；
；
14．幂级数的收敛半径为；

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周：解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。

西安工业大学复变函数与积分变换试卷A(1)

学生姓名__________ 学号_________________ 所在学院___________ 班级___________ ----------------------------------------------请在装订线以下答题---------------------------------------------------烟台大学20 21～20 22学年第二学期复变函数与积分变换试卷A一、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1、方程21=-z 所代表的曲线是( )A. ）（0,1B. ）（1,0为圆心，半径为2的圆周C. ）（1,0的圆周D. ）（0,1为圆心，半径为2的圆周2、解析函数),(),()(y x v i y x u z f +=的导函数是( )A. y x u i u z f +=')(B. y x u i u z f -=')(C. y x v i u z f +=')(D. x y v i u z f +=')(3、设C 是正向圆周 2=z ，则=⎰C zdz 2( ) A. 0 B. i π2- C. i π D. i π24、若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )A. 0B. 1C. 2D. 2-5、=--→00)Re()Re(lim 0z z z z z z( ) A. 等于i - B. 等于i C. 等于0 D. 不存在二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1、复数i z 22+-=的指数表达式为 .2、指数函数z e 的周期是 .3、设曲线C 是正向圆周2z =，则()=-⎰dz z C 211 . 4、设,1)(=t f 则其傅里叶变换为 .5、函数()f z u iv =+在000z x iy =+点可导是()f z 在该点解析的条件. 三、计算题（本题共5小题，每小题8分，共40分）1、求复数ii z -+=131的实部、虚部、模、辐角、共轭复数.2、求i -1的三次方根.3、计算)54(Ln i-及i i.4、计算积分⎰Czdzze2022，其中C为2=z.5、计算积分dz z z C ⎰+123,其中C 为 (1) 1=-i z (2) 1=+i z (3) 2=z四、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分）1、讨论函数y x i xy z f 22)(+=的可导性与解析性.2、证明函数x xy u 32+=为调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(.3、求函数t t f sin )(=的傅里叶变换及拉普拉斯变换.。

2011年复变函数与积分变换试题及答案(A卷)

2011～2012学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2011年11月28日考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每题3分，共24分)1．设31)1(-=z ，则z 的模为，z 的辐角主值]),((ππθθ-∈分别为．2．)21ln(i +的值为，)2cos(i 的值为．3.函数i y x z f 322)(+=在i z -=31处是否可导？__________，在i z 322+=处是否可导？________.4.级数∑∞=12n n n n i 是否收敛？_____，级数∑∞=12n nn n i 是否收敛？_____.5.函数)9(1)(2z z z f -=在i z +=1点展成泰勒级数的收敛半径为．6.0=z 为函数zz z f sin 1)(-=的____ 阶极点.7.在映射z z z f +=2)(下，i z 2210+-=处的旋转角为_________，f (z )在复平面上除去=z _________的点外处处保角.8．已知)]()([)(00ωωδωωδπω-++=F 为)(t f 的傅氏变换，则)(t f =_________.二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=2||d cos z z zz2．⎰=-3||2d )1(sin z z z z zπ3．⎰+202sin 311πθθd4．x a x bxx d sin 022⎰∞++(a >0,b >0)三、(8分) 验证224),(x y xy y x v -+= 是调和函数，并求满足条件i f -=2)1(的解析函数v i u z f +=)(．四、(12分)将函数)3)(1(1)(2--=z z z z f 在z 0=0点展开为洛朗(Laurent)级数．五、(8分)求上半平面在映射iz iw +=2下的像.六、(10分)求将半带形域}0Re ,2πIm 0:{<<<=z z z D 映射到单位圆内部的保形映射．七、(12分)利用Laplace变换求解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-=-+-1)0(,3)(2)(3)('1)0(,)()()('2y e t y t x t y x e t y t x t x t t八、(6分)已知函数)(ξf 在R ≤ξ上解析，设|z|<R ，证明:)(')(2d ))()()((212||22z f z f z R f z z f iR =---⎰=ξξξξξπξ2011—2012年《复变与积分》试卷答案（A 卷）一、填空1. 1 πππ,3,3-2. i 4π 222e e +-3. 是否4. 是（收敛）否（发散）5. 26. 37.2π 21-8. tw 0cos 二、计算题1.⎰=dz zzz cos 2解：z z cos 在2=z 内有两个简单极点21π=z ，22π-=z 2sin 2,cos Re 2πππ-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=z zz z z s （2′）2sin 2,cos Re 2πππ-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=z zz z zs （2′）故⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2,cos Re 2,cos Re 2cos 2πππz zs z z s i dz z z zi i 22)22(2ππππ-=--=（1′）2.dz z z zz 23)1(sin -⎰=π解：2)1(sin -z z zπ在3=z 内有2个奇点，1,021==z z ，由于πππππ=-→⋅→=-→22)1(0lim sin 0lim )1(sin 0lim z z z z z z z z z 故01=z 为2)1(sin -z z xz 的可去奇点，00,)1(sin Re 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-z z z s π12=z 是z πsin 的1阶零点，是2)1(-z z 的2阶零点，故1是2)1(sin -z z zπ简单极点。

复变函数与积分变换试题(A卷)(3)

2008～2009学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2008年11月24日考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每空2分，共20分)1．复数ii2332++-的主辐角为．2．函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？，何处解析？．3．)43(Ln i +-的值为． 4．级数∑∞+=1n nni 是否收敛？；是否绝对收敛？． 5．函数1e)(-=z z z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径为．6．区域}0Im :{<<-=z z D π在映射z w e =下的像为． 7．映射2332)(z z z f +=在i z =处的旋转角为． 8．函数t t t t f cos )2()1()(2--=δ的Fourier 变换为．解答内容不得超过装订线二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=++3||342215d )1()1(z z z z z2．⎰=3||d 1cosz z zz3．)1(20>+⎰a a πcos d θθ4．x x xd cos 0⎰∞++52三、(14分)已知y x y a x y x u ++=22),(，求常数a以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为解析函数且满足条件i i f +-=1)(．解答内容不得超过装订线四、(14分)将函数211)(z z f +=分别在0=z 点和i z -=点展开为洛朗(Laurent )级数．五、(6分)求区域}0Im ,0Re :{>>=z z z D 在映射iz i z w -+=22下的像．六、(10分)求把区域}23arg 0,1||:{π<<<=z z z D 映射到上半平面的共形映射．解答内容不得超过装订线七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程：0)(4)(2)(=-'-''t x t x t x ，1)0(,0)0(='=x x ．八、( 6 分) 已知幂级数∑+∞=0n nn z a 的系数满足：110==a a ，)2(,21≥+=--n a a a n n n ，该级数在251||+-<z 内收敛到函数)(z f ，证明： )(d )1()()(1216.0||2z f z f i=--+⎰=ξξξξξπξ，)6.0||(<z ．。

《复变函数与积分变换A》期末考试题b

北京交通大学2007-2008学年第二学期《复变函数与积分变换A 》期末考试试卷(B) 学院_______________ 专业_______________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_______________一．填空题（本题满分14分，每空1分），请将合适的答案填在空中. 1．复数i i i z +-=2184，则=)Re(z _______；=)Im(z _______；=||z _______ =)arg(z ___________，复数z 的三角表达式为_______________________ 指数表达式为___________________________________________________ 2．方程083=+z 的所有根是_________________________________________ 3．=+i i )1(________________________________________________________ 4．函数z ln 在复平面上的连续性为___________________________________ 5．若幂级数∑∞=+1)(n n n i z c 在i z =处发散，则该级数在1=z 的敛敛性为_______6．映射z e w =将带形域43)Im(0π<<z 映照成___________________________ 7．幂函数3z w =，把扇形域2||,3)arg(0<<<z z π映照为w 平面上的________________________________________________________________8．在傅氏变换意义下，函数)(1t f 和)(2t f 的卷积)(*)(21t f t f 定义为________________________________________________________________ 9．设)()(0t t t f -=δ，则)]([t f F =______________________________________二．判断下列命题的真假（本题满分10分，每道小题1分），对的填“∨”，错的填“⨯”.1．指数函数z e 是以i π2为周期的周期函数. ( ) 2．正弦函数z sin 一定是有界函数. ( ) 3．奇点一定是孤立奇点. ( ) 4．)(z f 在0z 可导是)(z f 在0z 解析的充分条件. ( ) 5．若u 和v 在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则 iv u z f +=)(在区域D 内是解析函数. ( ) 6．若积分⎰=Cdz z f 0)(，C 是一条简单闭曲线，则)(z f 在C 内无奇点.( )7．幂级数∑∞=1n nnz 的收敛半径为1，则在1||=z 上的点一定处处收敛. ( )8．函数y x v +=是y x u +=的共轭调和函数. ( )9．如果无穷远点∞是)(z f 的一阶极点，则0=z 是)1(zf 的一阶极点，并且)1(lim ]),([Re 0z zf z f s z →=∞. ( )10．映射2z w =在z 平面上每一点都具有伸缩率和旋转角的不变性. ( ) 三．（本题满分8分）讨论函数33)1()(y i x z f -+= 的可导性、解析性.四．（本题满分8分）在扩充复平面上找出函数23)(23+-+=z z iz z f 的孤立奇点并加以分类，若是极点，指出其阶（或级）数，最后分别计算在每个孤立奇点的留数.五．1．证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，⎰=Cdz z 012（2分）； 2．沿怎样的简单闭曲线有 ⎰=++Cdz z z 0112（2分）； 3．计算 ⎰--C dz z z )3)(1(15，2|:|=z C .（5分）六．（本题满分5分）计算⎰Cdz z __，这里曲线C 为)11(12≤≤--+=x x i x z ，方向分别取逆时针和顺时针方向.七．（本题满分8分）将函数)(1)(i z z z f -=分别在圆环1||0<<z 与+∞<-<||1i z 内展成罗朗级数.八．（本题满分8分）计算dz z z z ⎰=+2||651.九．（本题满分8分）计算θθθπd ⎰+202cos 45sin .十．（本题满分8分）讨论将半径为1，圆心分别在0=z 和1=z 处的两圆的公共部分在分式线性映照)2321()2321(i z i z w --+-=下的图形.十一.（本题满分6分）求函数0,)(||>=-ββt e t f 的傅氏变换.十二.（本题满分6分）用拉普拉斯变换和它的逆变换求下列一阶常系数非齐次常微分方程的解：0)0(,2'=+=-y t e y y t .。

复变函数与积分变换A(2017冬)A卷

北京信息科技大学
2017-2018学年第一学期
《复变函数与积分变换A 》课程期末考试试卷（A ）
一、解答题（本题满分60分，共含10道小题，每小题6分）
1、对于映射z
w 1=，求出y =2x 的像. 2、将()6
3i -化为三角表示式和指数表示式. 3、计算 sin 3i
4、求i e 43-及其幅角主值.
5、dz z z sin e z ⎰=-1
253 6、函数22)(iy x z f +=在何处可导,何处解析.
7、计算积分()()⎰=++3
||d 21-1z z z z z 8、计算积分()
dz z z cos z ⎰
=432-． 9、求()t u e t f t j 0)(ω=的傅里叶变换.
10、求t sin t )t (f 2=的拉普拉斯变换.
三、解答题（本题满分40分，共含4道小题，每小题10分）
1、判别函数)2(cos 1)(--=z z z z f 的有限孤立奇点，指明类型，并求其在有限孤立奇
点处的留数.
2、将3
1)(-=
z z f 在圆环域 (1）30<<z (2）+∞<-<12z 内展开成洛朗级数.
3、求函数⎩⎨⎧τ<=其它,0,E )(t t f 傅氏积分表达式.
4、利用拉氏变换求解下列微分方程t e t y t y -=-)('2)('',1)0(',0)0(-==y y .。

西安交通大学复变函数与积分变换试卷(A卷)及参考答案

三、（10分）求一个函数，使得它把上半单位圆盘共形地映射成单位圆盘。
四、（10分）用留数计算广义积分。
五、（10分）用Laplace变换解微分方程的初值问题：
，，。
成绩
西安交通大学考试题
课程复变函数与积分变换(A卷)答案
系别考试日期2006年1月日
专业班号
姓名学号期中期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）
（），
所以级数的收敛半径为2.
7、解：的零点为（ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，显然它们都是孤立零点；而
，
所有这些点都是的1级零点；故
的全部孤立奇点是（），且都是1级极点.
8、解：是的2级极点，故
.
9、解：在复平面上有两个奇点，，且都包含在曲线C内；
由留数定理，
.
10、解：由分式线性映射的保圆性，以及在C上无奇点，
1、解：由C-R方程，得到，；
解出，。
2、解：（）；
其主值为。
3、解：因被积函数在复平面解析，由Cauchy-Goursat定理，
.
4、解：因在复平面解析，由高阶导数公式，
，
所以
.
5、解：（）,
所以{ }无界。又因
（），
级数的一般项不收敛于0，所以发散。
共4页第1页
6、解：记，则
6、求幂级数的收敛半径。
7、求的奇点，并指出奇点类型。
8、求在孤立奇点处的留数。
9、求积分，其中，方向为正向。
10、映射把圆周变成什么曲线？写出曲线的方程。
共2页第1页
11、求函数的Fourier变换。
12、求函数的Laplace变换。