重庆市云阳江口中学校2020届高三下学期第一次月考数学(理)试题+Word版含答案

重庆市云阳江口中学校·高2020级高三下期第1次月考试卷数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|22B x x =-≤≤，则A B I =（ ）A ．[2,1]--B ．[1,2)-C ．[1,1]-D ．[1,2)2．已知i 是虚数单位，20172i3i 1i z =-+，且z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ）A 3B 5C ．5D ．33．记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若将函数y =2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）A ．()z 62∈-=k k x ππB ．()z 62∈+=k k x ππ C ．()z 122∈-=k k x ππD ．()z 122∈+=k k x ππ6．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A．若mα⊂，则mβ⊥B．若m α⊂，nβ⊂，则m n⊥C．若mαβ=I，n m⊥，则nα⊥D．若mα⊄，mβ⊥，则//mα7．已知小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．964B．12C．164D．188．函数1sin1xxey xe+=⋅-的部分图像大致为（）9．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC 的面积是（）A．3 B．932C．332D．3 310．如图，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．如图所示，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点.若△ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为（）1111DCBAABCD-1,21===AABCAB1BCDDBB1136562515510A B C DA ．13B ．7C ．5D ．212．已知函数3|2|1,0()3+1,0x x f x x x x --⎧=⎨-+<⎩≥，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+-⎩≤，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3(ln2,)2 B ．(ln2,4) C ．(ln3,2) D ．(ln31,1)-第II 卷(共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)。

13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= ．14．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种．(用数字作答)15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．16．已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b +++的最小值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A ．（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长．18．（本小题满分12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，2AB AD ==2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求证：AD ABC ⊥平面； （2）求二面角B AE C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点2，1)，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为－12．（1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x ＝m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值．21．（本小题满分12分）（1）讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;xx e x -++>（2）证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值．设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分12分）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数)。

以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． （1）写出直线C 1的极坐标方程；（2）设动直线l ：y ＝kx (k >0)与C 1，C 2分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值．23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x －2|．（1）求不等式f (x )≤2x ＋5的解集；（2）记函数g (x )＝f (x ＋1)－f (－x ＋5)，且g (x )的最大值为M ，若a >0，求证：213Ma a +≥．重庆市云阳江口中学校·高2020级高三上第一次月考测试卷数 学（理）·答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A CCABDDBCDBD12.【解析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，则2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-或1x =（舍去）.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象如图所示.由图可知，若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解之得ln31<<1m -.二、填空题13. 23 14. 60 15. 1和3 16.1716.【解析】()sin cos f x a x b x =+22sin()a b x ϕ=++(tan )ba ϕ=，最大值为22ab +，故22a b ab +=，整理可得22111a b +=，则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()111291117b a a b a b a b a b a b =+++=+++=+++=≥,当且仅当2234a b ==时，取得等号，故4422141a b a b +++的最小值为17. 三、解答题17.17.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =.由题设得21sin 23sin a bc A A =，即8bc =. 由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=. 故ABC △的周长为3+18.解：（1）由22⨯列联表的数据，有2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(30001200)1406070130-=⨯⨯⨯220018146713⨯=⨯⨯⨯54008.4810.828637=≈<.因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为310.X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4.∵239(0)()10100P X ===，12(1)P X C ==13321010⨯=， 12(2)P X C ==213137()5102100⨯+=，12(3)P X C ==111255⨯=，211(4)()525P X ===，∴X 的分布列为：X 的数学期望为3371210100EX =⨯+⨯1134 1.8525+⨯+⨯=（元）.19（Ⅰ）∵顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上， ∴平面ABD ⊥平面BCD ，∵90CBD ∠=︒，∴BC BD ⊥，................................................................................2分∵平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴BC ⊥平面ABD ，AD ⊂面ABD ，∴BC AD ⊥， 由AB AD ==2BD =，得222BD AB AD =+，∴AD AB ⊥，∵AB BC B ⋂=，∴AD ⊥平面ABC ．.............................................................................2分（Ⅱ）连结OE ，分别以OE 、OD 、OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，................................................................................5分()0,0,0O ，()0,0,1A ，()010B -,,，()2,1,0C -，()0,1,0D ，()1,0,0E ，()2,1,1AC =--u u u r ，()0,1,1AB =--u u u r，()1,0,1AE =-u u u r，................................................................................6分设(),,n x y z =r为平面ABE 的一个法向量，则00n AB y z n AE x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩u u uv r u u u v r ， 取1x =，得()1,1,1n =-r，................................................................................9分()2,1,1AC =--u u u r ，()1,0,1AE =-u u u r，设平面ACE 的法向量(),,m x y z =u r ，则020m AE x z m AC x y z ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩u u u v r u u uv r ， 取1z =，则()1,1,1m =u r，................................................................................11分设二面角B AE C --的平面角为θ，则1cos 3m n m n θ⋅===⋅r r r r ．...............................................................................12分∴二面角B AE C --的余弦值为13． 20.解：（1）椭圆过点，∴22211a b +=，① ………2分又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-，可求得2212b a =，②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=． ……………………………………………6分（2）方法1：由（1）知，(2,0)为-C ． 由题意可设:(2)CM y k x =+， 令x =m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=．…………………6分 ∵21284212k x k --=+，∴2122412k x k-=+，1124(2)12k y k x k =+=+， 所以222244(,)1212k kP k k-++， ……………………………………………………8分 ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++uu u r uuu r mk k k m k OP OM m k m k k k k ，…10分 要使⋅uu u r uuu r OP OM 与k 无关，只须12=m ，此时⋅uu u r uuu r OP OM 恒等于4.∴ 2=m ……………………………………………………………………………12分Γ方法2：:设00(,)P x y ，则00:(2)2=++y CM y x x ，令x =m ,得00(2)(,)2++y m M m x ， ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++uu u r uuu r y m y m OP OM x y m mx x x 由2200142+=x y 有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y ， 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=uu u r uuu r m x m x m OP OM mx ，要使⋅uu u r uuu rOP OM 与0x 无关，只须12=m，此时4⋅=uu u r uuu r OP OM . ∴ 2=m …………………………………………………………………………12分21.解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=-所以(2)(2),(2)20x xx e x x e x ->-+-++> （II ）32(2)(2)2'()(()),x x e a x x g x f x a x x -+++==+由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.因此()g x 在x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+于是00h()2x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x x xe x e e x x x +=>+++单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++因为2xe x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =-∈ 使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是21(,].24e22.解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=，即sin()4πρθ+= …………………………5分（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(，设12(,),(,)M N ραρα，则212sin sin()1=sin(2)242ON OM πααρπαρ+=-+，由02πα<<，有32444πππα-<-<，当sin(2)=14πα-时，ON OM 的最大值为2． ………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）由52)(+≤x x f 得⎩⎨⎧+≤-≤--≥+52252052x x x x ，解得1-≥x ∴不等式52)(+≤x x f 的解集为[)+∞-,1． ………………………5分（2）Θ23131)5()1()(=+--≤+---=+--+=x x x x x f x f x g当且仅当3≥x 时等号成立，∴2=M ， ………………………7分∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=．当且仅当21a a =，即1=a 时等号成立． ………………………10分。