2020学年新教材高中数学 专题强化训练2 向量的数量积与三角恒等变换 新人教B版第三册
2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两
8.2.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？[提示]依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝y 1，cos α＝x1，所以x＝cos α，y＝sin α，即点P坐标为(cos α，sin α).1.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( )A．12B．13C．32D．33A[原式＝cos(22°＋38°)＝cos 60°＝12.]2.化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为( )A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)C．cos αD．cos βC [原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.]3.cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝_________. 12[cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°) ＝cos[(－40°)＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.]A ．2－64 B ．6－24 C ．2＋64D ．－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.[思路探究]利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．(1)C[cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24.](2)[解] ①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos 45°＝22，所以原式＝22.②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2.两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．1.求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)． [解](1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24.(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.【例2】(1)已知cos α＝5，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，2π，则cos α－3＝________. (2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．[思路探究](1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. (1)3－4310 [因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32＝3－4310.] (2)[解] 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π. 又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.(3)求解.结合公式C α±β求解便可.2.已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值．[解] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437 ＝12.[思路探究] 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010，∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010 ＝22. 又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.1.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解．2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．3.设α，β是锐角，sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3.[证明] 由0<α<π2，0<β<π2，知0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－1114，故sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. 由sin α＝437，可知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5314×437＝12，∴β＝π3.1.若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ [提示] cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.2.利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？[提示] cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)． 3.若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？ [提示] cos(α－β)＝2－a 2－b22.【例4】 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( )A ．33B ．－33 C ．539D ．－69[思路探究] 利用角的交换求解，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. C [∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2， 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C ．]巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等.4．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．[解] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53， ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos α cos β＝sin α sin β. ②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等.1.下列式子中，正确的个数为( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin α； ③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个A [由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sinα，故②错误，故选A ．]2.已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A ．3365 B ．－3365C ．5475D ．－5475A [因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A ．]3.sin 75°＝________. 6＋24[sin 75°＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24.] 4．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值． [解] ∵α，β都是锐角且cos α＝55<12， ∴π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35>12，∴π2<α＋β<π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.。
向量的数量积与三角恒等变换两角和与差的余弦
2023-10-29•向量的数量积•三角恒等变换•两角和与差的余弦•向量的数量积与三角恒等变换的联系•实例分析目录01向量的数量积向量：具有大小和方向的量，用符号表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$。
向量的性质向量具有方向性，其大小和方向均可以影响其运算结果。
向量具有加法交换律和结合律。
即$\vec{a} +\vec{b} = \vec{b} +\vec{a}$向量的零向量性质：$\vec{0} + \vec{a} =\vec{a}$，$\vec{a} +\vec{0} = \vec{a}$。
向量的定义与性质010*******向量的数量积定义：$\vec{a} \cdot\vec{b}$表示向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的数量积，也称为点积。
向量的数量积运算规则：$\vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}| \times|\vec{b}| \times\cos\theta$向量的数量积运算性质$\vec{a} \cdot \vec{b}= \vec{b} \cdot\vec{a}$（数量积具有交换律）。
$(\lambda\vec{a})\cdot \vec{b} =\lambda(\vec{a} \cdot\vec{b})$（数量积具有线性性质）。
向量的数量积运算010*******向量的模定义$|\vec{a}|$表示向量$\vec{a}$的模，也称为向量的长度。
向量的模与夹角向量的模性质$|\lambda\vec{a}| = |\lambda| \times |\vec{a}|$，$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}|+ |\vec{b}|$。
两向量的夹角定义当两个向量指向同一方向时，夹角为0度；当两个向量指向相反方向时，夹角为180度。
02三角恒等变换三角函数的定义与性质三角函数的定义三角函数是定义在单位圆上的函数，它们通常表示为y=sinx、y=cosx、y=tanx等。
向量的数量积与三角恒等变换三角恒等变换的应用
要点二
求三角形面积
通过三角恒等变换，可以求出三角形 的面积，例如利用海伦公式等。
要点三
解三角形方程
通过三角恒等变换，可以解三角形方 程，例如利用正弦定理和余弦定理等 。
三角函数的图像与性质
01
正弦函数图像与性质
02
余弦函数图像与性质
通过三角恒等变换，可以得到正弦函 数的图像与性质，例如周期性、最值 、对称性等。
恒等式的证明方法
证明三角恒等式的方法有多种，包括利用 三角函数的定义、三角函数的和差公式、 二倍角公式等。
VS
恒等式的应用
三角恒等式在解三角形、研究三角函数的 性质和化简求值等问题中有广泛应用。
03
三角恒等变换的应用
解三角形
要点一
判断三角形形状
通过三角恒等变换，可以判断三角形 的形状，例如利用正弦定理和余弦定 理等。
位移与距离
在物理中，位移和距离可以用向量的模进行计算。通过使用三角恒等变换，可以方便地计 算出物体移动的距离和方向。
解析几何中的向量与三角恒等变换应用
点的坐标
在解析几何中，向量可以表示点的坐 标。例如，在二维空间中，一个点可 以表示为一个向量（x, y）。
向量的长度与夹角
通过使用三角恒等变换，可以计算出 向量的长度和夹角。这些信息可以用 于解决几何问题，如计算两点之间的 距离或确定一个点相对于另一个点的 方向。
三角函数的定义
三角函数是角度的正弦、余弦和正切等函数的 统称，它们在解决三角形和平面解析几何等问 题中有广泛应用。
角度的三角函数关系
角度的正弦、余弦和正切之间存在一些恒等式 关系，如sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1等。
三角函数的性质与公式
2020春新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换章末复习教案新人教B版第三册(最新整理)
第八章 向量的数量积与三角恒等变换知识系统整合规律方法收藏1．向量的数量积运算（1）求模：｜a ｜＝错误!；(2）求角度:cos α＝错误!。
(3)判断两直线的关系①法向量判断；②方向向量判断．(4)坐标运算方法若a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0；a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．三角恒等变换常用的方法（1)变角（角的变换）；(2）变名(函数名称的变换)；(3）变幂(升幂与降幂的变换)；(4)变数（常数的变换)．3．三角函数化归的常用方法(1）化异为同;(2）弦切互化；（3)单角化倍角；(4）单角化复角；（5)倍角化复角;（6)复角化复角等．4．角的常用变换技巧(1)α＝(α＋β）－β；（2)α＝β－(β－α);(3)α＝(2α－β）－(α－β)；（4）α＝错误![（α＋β）＋（α－β)］;(5)α＝错误![（α＋β)－（β－α)］;（6)错误!＝错误!－错误!等．学科思想培优一、向量的数量积运算数量积的运算是本章的重点,由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、夹角以及不等式等，因此它的应用也最为广泛．利用数量积可以求长度，也可以判断直线与直线之间的关系（相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知识融合在一起．例1 (1）在△OAB中,OA→＝a,错误!＝b，OD是AB边上的高,若错误!＝λ错误!,则实数λ等于（)A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!［解析] ∵错误!＝λ错误!，∴错误!－错误!＝λ（错误!－错误!）,错误!＝λ错误!＋(1－λ）错误!＝(1－λ)a＋λb。
又因为OD是AB边上的高，所以错误!·错误!＝0，即错误!·(错误!－错误!）＝0，∴[(1－λ）a＋λb］·（b－a)＝0，整理可得λ(b－a）2＝（a－b)·a，即λ＝错误!.故选B.[答案］B（2）已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直,a－4b与7a－2b互相垂直，求a 与b的夹角．［解］由已知条件,得错误!即错误!②－①，得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①，得a2＝b2,∴|a｜＝｜b｜，设a与b的夹角为θ，∴cosθ＝错误!＝错误!＝错误!，∵θ∈［0，π]，∴θ＝错误!.二、向量数量积的应用向量的应用是多方位的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面．例2 (1)已知向量a＝(x,x－1),b＝（1＋mx，1）,若函数f（x）＝a·b在区间(－1,1）上是增函数，求实数m的取值范围．［解] f（x)＝a·b＝x（1＋mx)＋（x－1）＝mx2＋2x－1。
(2020新教材)新人教B版高中数学必修第三册检测(二) 向量的数量积与三角恒等变换(A、B卷)
检测（二） 向量的数量积与三角恒等变换（A 、B 卷）A 卷——学业水平考试达标练 (时间：90分钟 满分：120分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值是( ) A.54 B.62C.32D ．1＋23解析：选A 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝54.2．已知锐角α满足cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝( ) A.1225 B ．±1225C.2425D ．±2425解析：选C ∵锐角α满足cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，∴α＋π6为锐角，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×45×35＝2425. 3．已知OA ―→＝(2,8)，OB ―→＝(－7,2)，则13AB ―→＝( )A ．(3,2) B.⎝⎛⎭⎫－53，－103 C ．(－3，－2)D ．⎝⎛⎭⎫53，4解析：选C ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(－7,2)－(2,8)＝(－9，－6)，∴13AB ―→＝13(－9，－6)＝(－3，－2)．4．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于( ) A ．5 B.13 C.17D ．13解析：选B 因为a ＋b ＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13，故选B.5．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D ．3π4解析：选C ∵|a ＋b |＝1，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3.6．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．3D ．－3解析：选B 由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2＋(3k －8)a ·b －12b 2＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.7．y ＝sin x cos x ＋sin 2x 可化为( ) A ．y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 解析：选A y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12. 8．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)， 而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．9．若α为锐角，3sin α＝tan α＝2tan β，则tan 2β等于( )A.34B.43 C ．－34D ．－43解析：选D 由3sin α＝tan α，得cos α＝13，∴sin α＝223. ∴2tan β＝3sin α＝22，tan β＝2.∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－43.10．在△ABC 中，若(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 由(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，得AC ―→·(BC ―→＋BA ―→－AC ―→)＝0，即AC ―→·(BC ―→＋BA ―→＋CA ―→)＝0，∴2AC ―→·BA ―→＝0，∴AC ―→⊥BA ―→，∴A ＝90°.故选C.二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 11．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |>|b | B ．a ·b ＝12C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选ABC 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，故A 正确；a ·b ＝1×12＋0×12＝12，故B 正确；(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直，故C正确，D 明显错误．12．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．1－2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°解析：选BC A 中，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；B 中，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；C 中，1－2sin 215°＝cos 30°＝32；D 中显然不是32. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________． 解析：2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π4.答案： π414．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为________．解析：tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2.答案：sin 28°215．若向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12＝7. 答案：716．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝35，则sin 2α2＋sin 4αcos 2α1＋cos 4α的值为________． 解析：cos α＝－45，原式＝1－cos α2＋2sin 2α·cos 22α2cos 22α＝1－cos α2＋sin 2α＝12－12cos α＋2sin αcos α＝－350.答案：－350四、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<α<β<π. (1)求|a |的值；(2)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直． 解： (1)|a |＝sin 2α＋cos 2α＝1，∴|a |＝1.(2)证明：∵|a |2＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |2＝sin 2β＋cos 2β＝1，∴(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，∴a ＋b 与a －b 互相垂直．18．(10分)已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解：∵sin α＋cos α＝13，。
2020春新教材高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.3 新人教B版第三册
8.1.3 向量数量积的坐标运算A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b ＝( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7答案 D解析 a ·b ＝(－3)×5＋4×2＝－7.2．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365B.3365 C ．－3365D ．－6365答案 A解析 ∵a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，∴a ·b ＝3×5＋4×12＝63，|a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.∴a 与b 夹角的余弦值为a ·b |a ||b |＝635×13＝6365.3．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 ∵AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，∴AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AC →，∴A ＝90°，故选A.4．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞答案 C解析 x 应满足(x,2)·(－3,5)<0且a ，b 不共线． 解得x >103且x ≠－65，∴x >103.5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 C解析 由已知，得a ＋b ＝－a ，∴a 与c 的夹角与c 与a ＋b 的夹角互补．又cos 〈a ＋b ，c 〉＝a ＋b ·c |a ＋b ||c |＝12.∴〈a ＋b ，c 〉＝60°.∴a 与c 的夹角是120°.6．已知a ＝(2，－3)，b ＝(1，－2)，且c ⊥a ，b ·c ＝1，则c 的坐标为( ) A ．(3，－2) B ．(3,2) C ．(－3，－2) D ．(－3,2)答案 C解析 设c ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x －2y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.7．与已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫223，－13D.⎝⎛⎭⎪⎫223，－13或⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13答案 B解析 设与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，72x ＋12y ＝12x －72y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45，y ＝35，故选B.二、填空题8．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(log 38,1)，若a ⊥b ，则8x＋8－x＝________. 答案103解析 ∵a ⊥b ，∴x ·log 38－1＝0.∴x ＝log 83.∴8x ＋8－x＝103.9．已知向量a ＝(cos 2θ，sin 2θ)，向量b ＝(2,0)，则|2a －b |的最大值是________． 答案 2 2解析 令t ＝cos 2θ(0≤t ≤1)，则a ＝(t,1－t )，所以|2a －b |2＝(2t －2)2＋(2－2t )2＝8(t －1)2.所以|2a －b |＝22|t －1|＝22(1－t )，故当t ＝0时，|2a －b |取得最大值2 2.三、解答题10．已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝(2－k,3)，AC →＝(2,4)． (1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．解 (1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一直线上，即向量BC →与AC →平行，所以4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝12.(2)因为BC →＝(2－k,3)， 所以CB →＝(k －2，－3)， 所以AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)． 若△ABC 为直角三角形，则当A 是直角时，AB →⊥AC →，即AB →·AC →＝0，所以2k ＋4＝0，解得k ＝－2； 当B 是直角时，AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0， 所以k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1； 当C 是直角时，AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0， 所以16－2k ＝0，解得k ＝8. 综上得k 的值为－2，－1,3,8.B 级：“四能”提升训练1．设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的射影相同，则a 与b 满足的关系式为________．答案 4a －5b ＝3解析 ∵a 在b 方向上的射影为a ·b |b |，∴由题意可得OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC→|OC →|，即4a ＋5＝8＋5b,4a－5b ＝3.2．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，b ＝(1＋cos x,2)，其中0<x <2π3，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．解 (1)设n ＝(x ，y )，因为m ·n ＝－1，且m 与n 的夹角为3π4，m ＝(1,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，2·x 2＋y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以n ＝(0，－1)或n ＝(－1,0)． (2)因为n ·a ＝0且a ＝(1,0)， 所以n ＝(0，－1)．又b ＝(1＋cos x,2)，故n ＋b ＝(1＋cos x,1)． 所以|n ＋b |2＝(1＋cos x )2＋1. 因为0<x <2π3，所以－12<cos x <1.故54<|n ＋b |2<5.所以52<|n ＋b |< 5.。
2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.3 倍
8.2.3 倍角公式二倍角公式S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α .C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α .T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？[提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，α2是α4的二倍角等．1.sin 15°sin 75°的值为( ) A ．12 B ．14 C ．32 D ．34 B [原式＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.]2.计算1－2sin 222.5°的结果为( ) A ．12 B ．22 C ．33D ．32B [1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22.] 3.已知cos α＝13，则cos 2α等于________．－79 [由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.](1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sin π24·cos π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.[思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得． [解](1)cos 4α2－sin 4α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2＋sin 2α2 ＝cos α.(2)原式＝12⎝⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24cos π12＝12sin π12cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12cos π12＝14sin π6＝18， ∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12，∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2150°2tan 150°＝1－tan 2150°2tan 150°＝1tan (2×150°)＝1tan 300°＝1tan (360°－60°)＝－1tan 60°＝－33，∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2 α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.1.求下列各式的值： (1)sin π8cos π8；(2)2sin2π12＋1； (3)cos 20°cos 40°cos 80°.[解](1)原式＝2sin π8cos π82＝sinπ42＝24.(2)原式＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin2π12＋2＝2－cos π6＝4－32. (3)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.A ．2B ．－2C ．34D ．－34(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( )A ．79 B ．13 C ．－79D ．－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值． [思路探究](1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α求值；(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)． (1)D (2)C [(1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34. (2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.](3)[解] ①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型：(1)sin α(或cos α)―――――――――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α)．(2)sin α(或cos α)――――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2 α－1)．(3)sin α(或cos α)――――――→同角三角函数的关系⎩⎪⎨⎪⎧cos α(或sin α)，tan α――――→二倍角公式tan 2α.2.(1)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值．(1)－45 35 －43 [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.](2)[解] 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－(－22)2＝427.【例3】 求证：1tanα2－tan α2＝4sin 2α.[思路探究] 可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边． [证明] 法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．∴原式成立．法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．3.求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ． [解] 左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴等式成立.1.在化简1＋sin α－cos α1＋sin α＋cos α＋1＋cos α＋sin α1－cos α＋sin α时，如何灵活使用倍角公式？[提示] 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α2的倍角，可能会有另一种思路，原式＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22sin α2⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＝sinα2cos α2＋cos α2sin α2＝1sin α2cosα2＝2sin α.2.如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？[提示] 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3(2sin x cos x )＝cos2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.【例4】 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[思路探究] 化简f (x )的解析式→f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间[解] f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，所以当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝A sin (ωx ＋φ)的形式，再利用函数图像解决问题.4．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．[解] y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]， 所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2α2n ＋1(n ∈N *)．2.二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2 α；②cos 2 α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2 α；④sin 2α＝1－cos 2α2.1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2sin α＝cos α.又∵sin 2 α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝15.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55.故选B ．]2.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32D [原式＝cos2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.] 3.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.－56 [sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.]4．求下列各式的值： (1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8. [解](1)原式＝2sin π5cos π5cos2π52sinπ5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sinπ54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.。
新教材高中数学专题强化训练2向量的数量积与三角恒等变换新人教B版第三册
新教材高中数学专题强化训练2向量的数量积与三角恒等变换新人教B 版第三册专题强化训练(二) 向量的数量积与三角恒等变换(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)A [设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，k ＝－3，b ＝(－3,6)．] 2.若a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6B [∵a 2－2a·b ＝0，b 2－2a·b ＝0, ∴a 2＝b 2，|a |＝|b |， 又∵cos θ＝a·b |a ||b |＝12a 2|a |2＝12，∴θ＝π3.] 3.函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32D ．－2，32C [f (x )＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，sin x ∈[－1,1]，∴f (x )max ＝32， f (x )min ＝－3.]4．平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 已知两点A (3,1)，B (－1,3), 若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →， 其中α，β∈R 且α＋β＝1, 则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0D [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OC →＝αOA →＋βOB →＝α(3,1)＋(1－α)(－1,3)＝(3α，α)＋(α－1,3－3α) ＝(4α－1,3－2α)，∴x ＝4α－1，y ＝3－2α， 消去α得x ＋2y －5＝0.]5．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图像的一个对称中心为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，－32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，－32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3B [y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－3＝sin2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π，(k ∈Z )x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，∴函数图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，－32.]6．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 为实数，则|a －t b |的最小值是( )A ．12B ．1C ．32D ．1＋ 3A [|a －t b |＝(a －t b )2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝1－2t a·b ＋t 2＝t 2－2t (cos 55°cos 25°＋sin55°sin25°)＋1 ＝t 2－2cos (55°－25°)t ＋1 ＝t 2－3t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋14，|a －t b |的最小值为12.]二、填空题7．给出下列四个命题，其中正确的序号是________．①非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°；②若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；③若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1；④ 若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m ＞－34.①②③ [①中，令OA →＝a ，OB →＝b .以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ．∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故①正确．②中，∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，∴|AB →|2＝|AC →|2， 故△ABC 为等腰三角形．故②正确． ③中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3， 故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1.故③正确．④中，∵BA →＝OA →－OB →＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＞0，即3＋3m ＋m ＞0，∴m ＞－34.又当BA →与BC →同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m ＞－34且m ≠12.故④不正确．]8．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________. －2 [由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α ＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1＝ －4＋2－2×45＝－2.]9．若1＋tan α1－tan α＝2 020，则1cos 2α＋tan 2α＝________.2 020 [1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 020.]三、解答题10．已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b ，且a ，b 满足：a·b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角．求sin(B ＋θ)．[解] 2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0,4cos 2B －8cos B ＋3＝0， 得cos B ＝12，sin B ＝32，cos θ＝a·b |a |·|b |＝－35，sin θ＝45，sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310.[等级过关练]1.已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－211B ．－2C ．－1D ．211B [∵sin 2α＝35，且π2＜2α＜π，∴cos 2α＝－45，∴tan 2α＝－34，∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan (α－β)1＋tan 2αtan (α－β)＝－2.2.设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3C [∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2. 3.函数y ＝(a cos x ＋b sin x )cos x 有最大值2，最小值－1，则实数a ＝________，b ＝________.1 ±22 [y ＝a cos 2x ＋b sin x cos x ＝b 2sin 2x ＋a 2·cos 2x ＋a 2＝a 2＋b 22sin(2x ＋φ)＋a 2，a 2＋b 22＋a2＝2，－a 2＋b 22＋a2＝－1，a ＝1，b ＝±2 2.]4．如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________．－12 [因为点O 是A ，B 的中点，所以PA →＋PB →＝2PO →， 设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)． 所以(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－12. 所以当x ＝12时，(PA →＋PB →)·PC →取到最小值－12.]5．已知函数f (x )＝a (cos 2x ＋sin x cos x )＋b . (1)当a ＞0时，求f (x )的单调递增区间；(2)当a ＜0且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b 的值．[解] f (x )＝a ·1＋cos 2x 2＋a ·12sin 2x ＋b＝2a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋a 2＋b .(1)2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，(k ∈Z )，k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)0≤x ≤π2，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin2x ＋π4≤1，f (x )min ＝3，f (x )max ＝4，∴a ＝2－22，b ＝4.。
2019_2020学年新教材高中数学章末综合测评2向量的数量积与三角恒等变换新人教B版第三册
章末综合测评(二) 向量的数量积与三角恒等变换(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为( ) A ．－32 B ．32 C ．2 D ．6D [a·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6.]2.设向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，12，若a 的模长为22 ，则cos 2α等于( )A ．－12B ．－14C ．12D ．32A [∵|a |＝cos 2α＋14＝22，∴cos 2α＝14.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12.]3.平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4D ．12B [∵|a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12. ∴|a ＋2b |＝2 3.]4．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( ) A ．－22 B ．22C ．－1D ．1 D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28° ＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]5．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30，∴x ＝4.]6．要得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos x －π3的图像( )A ．向右平移π6 个单位B ．向右平移π3 个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位A [y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，向右平移π6个单位即得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin x ，故选A ．]7．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A,1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定A [∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0.∵函数y ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2是递增函数，∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B .即sin A >cos B ．∴p·q ＝sin A －cos B >0，∴p 与q 所成的角是锐角．]8．若向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan15°，1cos 75°，b ＝(1，sin 75°)，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8C [由向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan15°，1cos 75°，b ＝(1，sin 75°)，所以a·b ＝tan 15°＋sin 75°cos 75°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝4，故选C ．]9．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的图像向右平移π6 个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图像重合，则ω的最小值为( )A ．16B ．14C ．13D ．12D [由题意知tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4－πω6＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. ∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12，则ωmin ＝12(ω>0)．]10．设函数f (x )＝a sin x cos x －2sin 2x ，若直线x ＝π6是f (x )图像的一条对称轴，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为1B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为2C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为1D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为2 A [f (x )＝a sin x cos x －2sin 2x ＝a2sin 2x ＋cos 2x －1＝a 24＋1⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin 2x a2a 24＋1＋cos 2x 1a24＋1－1， 令cos θ＝a2a 24＋1，sin θ＝1a 24＋1，则tan θ＝2a，其中θ是参数，则f (x )＝a 24＋1sin(2x ＋θ)－1，则函数的最小正周期T ＝2π2＝π，∵直线x ＝π6是f (x )图像的一条对称轴，∴2×π6＋θ＝k π＋π2，即θ＝k π＋π6，则tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6＝tan π6＝33，即33＝2a ，得a ＝23，则函数f (x )的最大值为a 24＋1－1＝3＋1－1＝4－1＝2－1＝1，故选A ．]11.已知3cos 2α－4sin 2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且α、β都是锐角，则α＋2β＝( )A ．π2B ．πC ．π6D ．π4A [由3cos 2α－4sin 2β＝1得3cos 2α＋2cos 2β＝3，①由3sin 2α－2sin 2β＝0得9sin 22α－4sin 22β＝0，得9cos 22α－4cos 22β＝5，得(3cos 2α－2cos 2β)(3cos 2α＋2cos 2β)＝5，得3cos 2α－2cos 2β＝53， ②①②联立解得cos 2α＝79，cos 2β＝13，∵α，β为锐角，∴sin α＝13，cos α＝223，sin 2β＝223，∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝223×13－13×223＝0，∵α＋2β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2，∴α＋2β＝π2.故选A ．]12.已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2图像的对称轴完全相同；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则y ＝g (x )的值域是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,3] C ．[0,2]D ．[0.3]A [∵函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2图像的对称轴完全相同，∴ω＝2，∴函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则2x －π6＝k π＋π2，即x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，由g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1，则2x ＋φ＝k π， 即x ＝k π2－φ2，k ∈Z .∵|φ|＜π2，∴－φ2＋π2＝π3，∴φ＝π3，∴g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 ∴g (x )∈[－1,2]，故选A ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13.若2sin(π＋x )－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝1，则cos 2x ＝________.79 [∵2sin(π＋x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝1，∴－2sin x －sin x ＝1，∴sin x ＝－13， ∴cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.]14．已知非零向量π，n 满足4|π|＝3|n |，若n ⊥(－4π＋n )，则π，n 夹角的余弦值为________13[∵非零向量π，n 满足4|π|＝3|n |， 若n ⊥(－4π＋n )，∴|π|＝34|n |，且n ·(－4π＋n )＝n 2－4π·n ＝0，即π·n ＝n 24.设π，n 夹角为θ，则cos θ＝π·n |π|·|n |＝14n 234|n |·|n |＝13.]15．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(1，－22)，则|3a －b |的最大值是________．6 [向量3a ＝(3cos θ，3sin θ)，其终点在以原点为圆心，3为半径的圆上， |b |＝12＋(－22)2＝3，其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，|3a －b |为最大，最大值为3|a |＋|b |＝3＋3＝6.如图所示：]16．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2π3，函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sin2x ＋π2＋3m ，若f (x )＜2恒成立，则m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 [f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sin2x ＋π2＋3m ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＋3cos 2x ＋3m＝3m ＋1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤2π3，∴π6≤2x －π3≤π，则3m －1≤f (x )≤3m ＋1， ∵f (x )＜2恒成立，∴3m ＋1＜2，解得m ＜13.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x 其中x ∈(0，π)．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．[解](1)∵a ∥b ，∴sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.∵x ∈(0，π)，∴x ＝π4.(2)∵tan x ＝sin xcos x ＝－2，∴sin x ＝－2cos x .∵a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12，1＋cos x ， ∴|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋(1＋cos x )2 ＝94＋sin x ＋2cos x ＝32. 18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos α－sin α，cosα＋sin α)．(1)求向量a 与b 的夹角；(2)若(λb －a )⊥a ，求实数λ的值．[解](1)|a |＝2，|b |＝2，a·b ＝2cos 2α－2sin αcos α＋2sin αcos α＋2sin 2α＝2；∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝22；又0≤〈a ，b 〉≤π；∴a 与b 的夹角为π4.(2)∵(λb －a )⊥a ；∴(λb －a )·a ＝λa·b －a 2＝2λ－4＝0，∴λ＝2. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (3sin x －cos x )＋12.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，求实数c 的取值范围．[解](1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.由不等式c <f (x )<c ＋2恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c <－12，c ＋2>1 ，解得 －1<c <－12.所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞ ，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12 ＝125 ，求sin α.[解](1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos 2α.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35，∴sin 2α＝12(1－cos 2α)＝15，∴sin α＝±55.21.(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin x,1)，b ＝(cos x ，－1)． (1)若a ∥b ，求tan 2x 的值；(2)若f (x )＝(a ＋b )·b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值．[解](1)∵向量a ＝(3sin x,1)，b ＝(cos x ，－1)． 又a ∥b ，∴1×cos x ＝－1×(3sin x )，∴tan x ＝－33，∴tan 2x ＝2tan x1－tan 2x＝－ 3. (2)∵f (x )＝(a ＋b )·b ，∴f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，函数取最大值为32，故函数的周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时的最大值为32.22.(本小题满分12分)如图，OA ，OB 是两条互相垂直的笔直公路，半径OA ＝2 km 的扇形AOB 是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB 上新增一个入口P (点P 不与A ，B 重合)，并新建两条都与圆弧AB 相切的笔直公路MB ，MN ，切点分别是B ，P .当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA ＝θ，公路MB ，MN 的总长为f (θ)．(1)求f (θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域； (2)当θ为何值时，投资费用最低？并求出f (θ)的最小值．[解](1)连结OM (图略)．在Rt △OPN 中，OP ＝2，∠POA ＝∠PON ＝θ， 故NP ＝2tan θ.据平面几何知识可知，MB ＝MP ，∠BOM ＝12∠BOP ＝π4－θ2，在Rt △BOM 中，OB ＝2，∠BOM ＝π4－θ2，故BM ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2.所以f (θ)＝NP ＋2BM ＝2tan θ＋4tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ2.显然θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以函数f (θ)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)令α＝π4－θ2，则θ＝π2－2α，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.所以f (θ)＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＋4tan α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＋4tan α ＝2cos 2αsin 2α＋4tan α＝2tan 2α＋4tan α＝1－tan 2αtan α＋4tan α＝1tan α＋3tan α≥23，当且仅当1tan α＝3tan α，即tan α＝33等号成立．故θ＝π6时，投资最低f (θ)＝2 3.。
2020春新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换单元质量测评新人教B版第三册(最新整理)
第八章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量a，b满足:｜a｜＝3,｜b｜＝2，|a－b|＝2，则｜a＋b|等于（)A．1 B．42C．3 5 D。
错误!答案D解析由｜a＋b｜2＋|a－b｜2＝2(｜a|2＋|b|2）可求得|a＋b｜。
2．若cosθ〉0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析∵sin2θ＝2sinθcosθ<0,∴θ是第二、四象限的角．又cosθ〉0，∴θ是第四象限的角．3．已知向量a＝（1，n），b＝(－1,n),若2a－b与b垂直，则｜a｜等于( ）A．1 B.2C．2 D．4答案C解析由于2a－b与b垂直，则（2a－b）·b＝0，即(3，n)·(－1，n）＝－3＋n2＝0。
解得n＝±错误!.所以a＝(1，±3)．所以｜a|＝错误!＝2。
4．sin163°sin223°＋sin253°sin313°的值为（)A．－错误!B。
错误!C．－错误!D。
错误!答案B解析原式＝sin(180°－17°）sin(180°＋43°）＋sin(270°－17°）sin（270°＋43°)＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°＝cos60°＝错误!。
5．已知θ为第二象限角，且cos错误!＝－错误!，则错误!的值是( ）A．－1 B.错误!C．1 D．2答案C解析∵θ为第二象限角，∴错误!为第一或第三象限角．∵cos错误!＝－错误!，∴错误!为第三象限角且sin错误!＝－错误!，∴错误!＝错误!＝1.故选C.6．已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝1，|b|＝2,|c|＝3,且a,b，c两两所成的角相等,则｜a＋b＋c｜等于( ）A.错误!B．6或错误!C．6 D．6或3答案D解析由题意，得a，b，c两两所成的角均为120°或0°，当夹角为120°时，a·b＝－1,b·c＝－3，a·c＝－错误!，则|a＋b＋c｜2＝｜a｜2＋|b|2＋|c｜2＋2(a·b＋b·c＋a·c)＝3；当夹角为0°时，｜a＋b＋c｜＝|a｜＋|b|＋|c｜＝6。
2020春新教材高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积
8.1。
1 向量数量积的概念(教师独具内容）课程标准：1。
通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积。
2。
通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点:平面向量数量积的含义及几何意义．教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.【知识导学】知识点一两个向量的夹角(1)定义:给定两个错误!非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作错误!＝a,错误!＝b，则称错误
8.1.3 向量数量积的坐标运算课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)设向量a =(1,0),b =(12,12),则下列结论中不正确的是( )A.|a |=|b |B.a ·b =√22C.a ∥bD.a-b 与b 垂直|a |=1,|b |=√22, 所以|a |≠|b |.又a ·b =1×12+0×12=12≠√22; 易知a 与b 不共线,所以A,B,C 均不正确.因为a-b =(12,-12),且(a-b )·b =12×12+12×(-12)=0,所以(a-b )⊥b .2.已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=√5,若(a +b )·c =52,则<a ,c >=( )B.60°C.120°D.150°c =(x ,y ),则由(a +b )·c =52,得x+2y=-52. 又cos <a ,c >=a ·c|a ||c |=√5×√5=-12, 因为0°≤<a ,c >≤180°,则<a ,c >=120°.3.已知向量a ,b 的夹角为π2,且a =(2,-1),|b |=2,则|a +2b |=( ) A.2√3B.3C.√21D.√41|a |=√22+(-1)2=√5, a ·b =|a ||b |cos π2=0,∴|a +2b |2=(a +2b )2=a 2+4a ·b +4b 2=(√5)2+4×22=21,∴|a +2b |=√21.4.已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a-3b )⊥c ,则实数k 等于( ) A.-92B.0C.3D.152a =(k ,3),b =(1,4),所以2a-3b =2(k ,3)-3(1,4)=(2k-3,-6). 因为(2a-3b )⊥c , 所以(2a-3b )·c =(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.a =(1,0),b =(x ,1),若a ·b =2,则x= ;|a +b |= .a ·b =2,∴x=2.∵a +b =(3,1),∴|a +b |=√10.√10a =(-3,2),b =(-1,0),向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为 .λa +b =λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b =(-1,2),则(λa +b )·(a-2b )=3λ+1+4λ=7λ+1=0,∴λ=-17.-177.已知向量a ,b 同向,b =(1,2),a ·b =20. (1)求向量a 的坐标; c =(2,1),求(b ·c )a .因为向量a ,b 同向,又b =(1,2), 所以设a =λb =λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0. 由a ·b =20,得1×λ+2×2λ=20, 所以λ=4,所以a =(4,8). (2)因为b ·c =(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4, 所以(b ·c )a =4(4,8)=(16,32).8.已知平面向量a =(2,2),b =(x ,-1), (1)若a ∥b ,求x ;a ⊥(a -2b ),求a 与b 所成夹角的余弦值.∵a ∥b ,∴x 1y 2-x 2y 1=0, 即-2-2x=0,可得x=-1.(2)依题意得a -2b =(2-2x ,4), ∵a ⊥(a -2b ),∴a ·(a -2b )=0, 即4-4x+8=0,解得x=3,∴b =(3,-1).设向量a 与b 的夹角为θ, 则cos θ=a ·b |a ||b |=√55. 能力提升练1.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5),则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,3), ∴AB ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-3)+1×3=0. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴A=90°,故选A .2.已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1),在x 轴上有一点P ,使AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值,则点P 的坐标是( ) A.(-3,0) B.(2,0) D.(4,0)P 的坐标为(x ,0), 则AP =(x-2,-2),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,-1). AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.时,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值1,此时点P 的坐标为(3,0).故选C .3.已知向量a =(2,-1),b =(x ,-2),c =(3,y ),若a ∥b ,(a +b )⊥(b -c ),M (x ,y ),N (y ,x ),则向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模2×(-2)-(-1)x=0,解得x=4, ∴b =(4,-2),∴a +b =(6,-3),b -c =(1,-2-y ). ∵(a +b )⊥(b -c ),∴(a +b )·(b -c )=0, 即6-3(-2-y )=0,解得y=-4, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(y-x ,x-y )=(-8,8),∴|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√2.√24.已知向量m =(λ+2,1),n =(λ+1,2),若(m +n )⊥(m -n ),则向量m ,n 的夹角的余弦值m +n 在n 方向上的投影的数量为 .m+n =(2λ+3,3),m-n =(1,-1),∵(m+n )⊥(m-n ), ∴(m+n )·(m-n )=(2λ+3)×1+(-1)×3=2λ=0,即λ=0. 则m =(2,1),n =(1,2),cos <m ,n >=45. m +n =(3,3).m+n 在n 方向上的投影的数量为|m+n |cos <m+n ,n >=(m+n )·n |n |=9√55.9√555.在△ABC 中,已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,m ),m>0. (1)若∠ABC=90°,求m 的值;|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2,且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求cos ∠ADC 的值.若∠ABC=90°,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 因为BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,m-2), 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+2m-4=0,所以m=12. (2)因为|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2,所以√9+(m -2)2=3√2, 因为m>0,所以m=5,所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3), 因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2), 而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-4), 所以cos ∠ADC=DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√2=-7√210.素养培优练1.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且|k a +b |=√3|a -k b |(k>0). (1)用k 表示数量积a ·b ; a ·b 的最小值,并求此时a ,b 的夹角θ.由|k a +b |=√3|a -k b |,得(k a +b )2=3(a -k b )2,所以k 2a 2+2k a ·b +b 2=3a 2-6k a ·b +3k 2b 2. 所以(k 2-3)a 2+8k a ·b +(1-3k 2)b 2=0. 因为|a |=1,|b |=1, 所以k 2-3+8k a ·b +1-3k 2=0, 所以a ·b =2k 2+28k=k 2+14k.(2)由(1)得a ·b =k 2+14k=14(k +1k ),由函数的单调性的定义,易知f (k )=14(k +1k)在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当k=1时,a ·b 的最小值为f (1)=14×(1+1)=12. 此时a ,b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b|a ||b |=121=12,又0°≤θ≤180°,所以θ=60°. 2.已知向量a =(1,√3),b =(-2,0).(1)求a-b 的坐标以及a-b 与a 的夹角; t ∈[-1,1]时,求|a -t b |的取值范围.因为a-b =(1,√3)-(-2,0)=(3,√3), 所以a-b 的坐标为(3,√3). 设a-b 与a 之间的夹角为θ, 则cos θ=(a -b )·a|a -b ||a |=√3×√3√9+3×√1+3=√32, 而θ∈[0,π],故θ=π6.(2)因为a -t b =(1,√3)-t (-2,0)=(1+2t ,√3), 所以|a -t b |=√(1+2t )2+3=√4(t +12)2+3,在[-1,-12]上单调递减,在(-12,1]上单调递增,所以t=-12时,|a -t b |的最小值为√3,t=1时,|a -t b |的最大值为2√3,故|a -t b |的取值范围为[√3,2√3].。
2020春新教材高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.2 新人教B版第三册
8.1.2 向量数量积的运算律A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，(a －b )·b ＝0，那么向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案 C解析 由题意可得a ·b －b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，则2cos θ＝1，cos θ＝12，又θ∈[0，π]，∴θ为60°.2．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a ·b ＝－3，则|a ＋2b |＝( ) A ．1 B.7 C ．4＋ 3 D ．27答案 B解析 根据题意，得|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝7. 3．下列说法正确的是( ) A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 B ．|a ·b |＝|a ||b | C ．a 2＝|a |2D ．在边长为2的等边三角形ABC 中，AB →在CA →方向上的数量为1 答案 C解析 A 中左边是向量，右边是数，显然不等．B 中|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，D 中AB →在CA →方向上的数量为－1.4．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵0＝AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A. 5. 如图，O ，A ，B 是平面上的三点，C 为线段AB 的中点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )＝( )A ．1B ．3C ．5D ．6答案 D解析 由题图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP →＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋b ＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP →·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12×(42－22)＝6.二、填空题6．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝________.答案3解析 依题意得(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝5＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，则|a ＋2b |＝ 3.7．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________.答案 11 解析 展开得，原式＝|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4|a ||b |cos90°－2|a ||c |·cos60°－4|b ||c |cos60°＝11.8．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ①a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ；②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③|a |－|b |＜|a －b |；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的序号是________． 答案 ①③④解析 ①③④正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0.所以(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解 由已知，得a·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)∵(4a －2b )2＝16a 2－16a·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162， ∴|4a －2b |＝16 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )·(k a －b )＝0. ∴k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7.10. 如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足AP →＝λPB →.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA →|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →的取值范围． 解 (1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)．∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →. (2)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos60°＝6. ∵AP →＝λPB →，∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →， ∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB →＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λOA →＋λ1＋λOB →·(OB →－OA →) ＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ－λ1＋λOA →·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ＞0，∴3－131＋λ∈(－10,3)． ∴OP →·AB →的取值范围是(－10,3)．B 级：“四能”提升训练1．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案712解析 因为向量AB →与AC →的夹角为120°， 且|AB →|＝3，|AC →|＝2， 所以AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos120°＝3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3. 由AP →⊥BC →，得AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC → )·(AC →－AB →)＝0， 所以AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＝0， 即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝712.2．平面四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 的形状．解 ∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )， 由上式可得(a ＋b )2＝(c ＋d )2， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2＋2c ·d ＋d 2. 又a ·b ＝c ·d ， 故a 2＋b 2＝c 2＋d 2.① 同理可得a 2＋d 2＝b 2＋c 2② 由①②，得a 2＝c 2，且b 2＝d 2，即|a |＝|c |，且|b |＝|d |，也即AB ＝CD ， 且BC ＝DA .∴四边形ABCD 为平行四边形． 故AB →＝－CD →，即a ＝－c ，∴a ·b ＝b ·c ＝－a ·b ，即a ·b ＝0， ∴a ⊥b ，即AB →⊥BC →.综上知，四边形ABCD 为矩形．。
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专题强化训练(二) 向量的数量积与三角恒等变换(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)A [设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，k ＝－3，b ＝(－3,6)．] 2.若a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6B [∵a 2－2a·b ＝0，b 2－2a·b ＝0, ∴a 2＝b 2，|a |＝|b |， 又∵cos θ＝a·b |a ||b |＝12a 2|a |2＝12，∴θ＝π3.] 3.函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32D ．－2，32C [f (x )＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，sin x ∈[－1,1]，∴f (x )max ＝32， f (x )min ＝－3.]4．平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 已知两点A (3,1)，B (－1,3), 若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →， 其中α，β∈R 且α＋β＝1, 则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0D [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OC →＝αOA →＋βOB →＝α(3,1)＋(1－α)(－1,3)＝(3α，α)＋(α－1,3－3α) ＝(4α－1,3－2α)，∴x ＝4α－1，y ＝3－2α， 消去α得x ＋2y －5＝0.]5．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图像的一个对称中心为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，－32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，－32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3B [y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－3＝sin2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π，(k ∈Z )x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，∴函数图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，－32.]6．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 为实数，则|a －t b |的最小值是( )A ．12B ．1C ．32D ．1＋ 3A [|a －t b |＝(a －t b )2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝1－2t a·b ＋t 2＝t 2－2t (cos 55°cos 25°＋sin55°sin25°)＋1 ＝t 2－2cos (55°－25°)t ＋1 ＝t 2－3t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋14，|a －t b |的最小值为12.]二、填空题7．给出下列四个命题，其中正确的序号是________．①非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°；②若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；③若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1；④ 若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m ＞－34.①②③ [①中，令OA →＝a ，OB →＝b .以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ．∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故①正确．②中，∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，∴|AB →|2＝|AC →|2， 故△ABC 为等腰三角形．故②正确． ③中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3， 故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1.故③正确．④中，∵BA →＝OA →－OB →＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＞0，即3＋3m ＋m ＞0，∴m ＞－34.又当BA →与BC →同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m ＞－34且m ≠12.故④不正确．]8．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________. －2 [由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α ＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1＝ －4＋2－2×45＝－2.]9．若1＋tan α1－tan α＝2 020，则1cos 2α＋tan 2α＝________.2 020 [1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 020.]三、解答题10．已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b ，且a ，b 满足：a·b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角．求sin(B ＋θ)．[解] 2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0,4cos 2B －8cos B ＋3＝0， 得cos B ＝12，sin B ＝32，cos θ＝a·b |a |·|b |＝－35，sin θ＝45，sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310.[等级过关练]1.已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－211B ．－2C ．－1D ．211B [∵sin 2α＝35，且π2＜2α＜π，∴cos 2α＝－45，∴tan 2α＝－34，∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan (α－β)1＋tan 2αtan (α－β)＝－2.2.设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3C [∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2. 3.函数y ＝(a cos x ＋b sin x )cos x 有最大值2，最小值－1，则实数a ＝________，b ＝________.1 ±22 [y ＝a cos 2x ＋b sin x cos x ＝b 2sin 2x ＋a 2·cos 2x ＋a 2＝a 2＋b 22sin(2x ＋φ)＋a 2，a 2＋b 22＋a2＝2，－a 2＋b 22＋a2＝－1，a ＝1，b ＝±2 2.]4．如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________．－12 [因为点O 是A ，B 的中点，所以PA →＋PB →＝2PO →， 设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)． 所以(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－12. 所以当x ＝12时，(PA →＋PB →)·PC →取到最小值－12.]5．已知函数f (x )＝a (cos 2x ＋sin x cos x )＋b . (1)当a ＞0时，求f (x )的单调递增区间；(2)当a ＜0且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b 的值．[解] f (x )＝a ·1＋cos 2x 2＋a ·12sin 2x ＋b＝2a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋a 2＋b .(1)2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，(k ∈Z )，k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)0≤x ≤π2，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin2x ＋π4≤1，f (x )min ＝3，f (x )max ＝4，∴a ＝2－22，b ＝4.。