7.解析几何解答题
专题七 解析几何专题复习
专题七、解析几何1、解析几何（椭圆、双曲线、抛物线）1、椭圆18y 16x 22=+的离心率为（ ）A.31 B. 21C. 33D. 222、设F 1，F 2是椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x =32a上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A. 21B. 32C. 43D. 543、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点P (4,-2)，则它的率心率为（ ）A.6B.5 C.26 D. 25 4、已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |=12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为（ ） A.18 B.24 C.36 D.485、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=34，则C 的实轴长为（ ） A.2 B. 22 C.4 D.86、已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3，则有（ ）A.|FP 1|+|FP 2|=|FP 3|B.|FP 1|2+|FP 2|2=|FP 3|2C.2|FP 2|+|FP 1|=|FP 3|D.|FP 2|2+|FP 1|²|FP 3|7、双曲线221102x y -=的焦距为（ ） A . 23 B. 24 C.33 D. 34 8、已知一正方形的两顶点为双曲线C 的两焦点，若另外两个顶点在双曲线上，则双曲线C 的离心率e =（ ） A.13+ B.12+ C.215+ D. 2122+9、已知F 1、F 2是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点后的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|=（ ）A.16B.11C.10D.910、设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，点A 为垂足，如果直线AF 的斜率为-3，那么|PF |=A. 34B. 8C. 38D.1611、已知双曲线1366422=+y x 的焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为（ ）A.18B. 324C. 336D.3212、已知双曲线C ：12222=+by a x (a ＞0，b ＞0)半焦距为c ，若直线y =2x 与双曲线的一个交点A 横坐标为c ，则双曲线的离心率为（ ） A.222+ B. 2122+ C. 13+ D.12+13、双曲线112422=-y x 的焦点到其渐近线的距离是（ ） A. 32 B.2 C. 3 D.114、已知椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)，左焦点F （-C.0），右顶点B （a.0）与短轴的一个端点C 的连线构成的三角形恰好为直角三角形，则该椭圆的离心率是（ ） A.221+- B. 231+- C. 21D.215、已知抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点M （1，m ）（m ＞0）到其焦点的距离为5，双曲线 1222=-y ax （a ＞0）的顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a =（ ）A. 251B. 91C. 51D. 3116、设F 1, F 2分别为双曲线12222=-by a x （a ＞0,b ＞0）的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.3x ±4y =0B.3x ±5y =0C.4x ±3y =0D.5x ±4y =0 17、过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=8，则P=（ ）A.8B.6C.4D.2。
解析几何历年高考真题试卷--带详细答案
解析几何高考真题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为 √5 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 82.（2020·新课标Ⅲ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. （ 14 ，0）B. （ 12 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 3.（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线 x =a 与双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于 D,E 两点，若 △ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.（2020·天津）设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=15.（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F ，准线为l.若与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且 |AB|=4|OF| （O 为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. √56.（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作 PQ ⊥l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线 OPD. 垂直于直线 OP7.（2019·天津）已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. √5 8.（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（ ）A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B两点．若|AF+BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45 ， 则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A. (0,√32] B. (0,34] C. [√32.1) D. [34,1)10.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b ， e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b ， e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 211.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加(m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）A. 对任意的a,b,e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b,e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2二、填空题（共5题；共6分）12.（2020·新课标Ⅰ·理）已知F 为双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________.13.（2019·江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 14.（2019·浙江）已知椭圆x 29+y 25=1 的左焦点为F ，点P 在椭圆且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________ 15.（2018·北京）已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ,双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1 . 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________16.（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．三、解答题（共9题；共85分）17.（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 C:x 225+y 2m 2=1(0<m <5) 的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线 x =6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP ⊥BQ ，求 △APQ 的面积．18.（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|= 43 |AB|． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．19.（2020·新课标Ⅰ·理）已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1 （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ，P 为直线x=6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.20.（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.21.（2019·天津）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|（O为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.22.（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= x22，D为直线y= −12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.23.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C: y=x22，D为直线y=- 12的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.24.（2019·全国Ⅱ卷文）已知F1,F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。
解析几何,吕林根,课后习题解答一到五
3. 设一直线上三点 A, B, P 满足 AP ＝ PB (－1),O 是空间任意一点，求证： OP ＝ OA OB 1
解：
图 1-7
4. 在 ABC中,设 AB e1, AC e2 . (1) 设 D、E 是边 BC 三等分点,将矢量 AD, AE 分解为 e1, e2 的线性组合; （2）设 AT 是角 A 的平分线(它与 BC 交于T 点),将 AT 分解为 e1, e2 的线性组合
解：
2 试证明：射影 l( a1 a2 +…+n an )＝1 射影 l a1 + 2 射影 l a2
+…+n 射影 l an . [证明]
1．证明：
§1.7 两矢量的数性积
（1） 矢量 a 垂直于矢量 (ab)c (ac)b ；
（2）在平面上如
果
m1
m2
，且
a
mi
＝b
mi
(i=1,2)，则有 a ＝ b .
证明：
2．已知矢量 a, b 互相垂直，矢量 c 与 a, b 的夹角都是 60 ，且 a 1, b 2, c 3 计算：
(1)(a b)2;(2)(a b)(a b); (3)(3a 2b).(b 3c); (4)(a 2b c)2
[解]：
3. 计算下列各题 . （1）已知等边△ ABC 的边长为1, 且 BC a , CA b , AB C, 求 ab bc ca ；
(2) 已知 a, b, c 两两垂直 , 且 a 1, b 2, c 3, 求 r a b c 的长和它与 a, b, c 的夹 角. (3) 已知 a 3b 与 7a 5b 垂直，求 a, b 的夹角.
(4) 已知 a 2, b 5, (a,b) 2 , p 3a b, q a 17b. 问系数 取何值时
二轮专题复习第7讲解析几何(学生版)
2023年高考数学二轮复习专题解析几何1.直线的倾斜角与斜率的关系（1）倾斜角α的取值范围： .倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k ＝ ，当倾斜角为=α90°的直线斜率 ．当∈α 时，k >0且k 随倾斜角α的增大而增大．当∈α 时时，k <0且k 随倾斜角α的增大而增大．（1）两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离：|P 1P 2|＝ . （2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ . (3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ . 二．圆的方程 1.圆的方程形式：（1）标准方程： ，圆心坐标为 ，半径为 .（2）一般方程： ( )，圆心坐标为 ，半径r ＝ . 2.点与圆的位置关系（1）几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．（2）代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．3.直线与圆的位置关系直线l ：Ax＋By ＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.位置关系几何法：根据d＝与r的大小关系代数法：联立消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0 4.圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d与r1、r2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>无解外切d＝一组实数解相交<d<两组不同实数解内切d＝(r1≠r2)一组实数解内含≤d<(r1≠r2)无解三．椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫．||P F1|＋|P F2|＝2a(2a>|F1F2|=2c)在平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(0＜2a＜2c)，则点P的轨迹叫．||P F1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)在平面内定点F和定直线l，（点F直线l上），P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上焦点在x轴上焦点在x轴正半轴上图象几何性质范围|x|≤，|y|≤|x|≥，y∈R x≥，y∈R 顶点，对称性关于、和对称关于对称例1：(1)经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝(2)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是 (3)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(4)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．【变式训练1】(1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．(2)直线l 过点M (－1,2)且与以点P (－2，－3)、Q (4,0)为端点的线段恒相交，则l 的斜率范围是（3）△ABC 的三个顶点为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： ①BC 所在直线的方程；②BC 边上中线AD 所在直线的方程；③BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．考向2：两条直线的位置关系及距离公式例2：（1）若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为（2）已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝ (3)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．(4)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【变式训练2】 (1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的 条件。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题7 解析几何(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题7 解析几何 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD 的面积等于_______.【解析】 【分析】由对称性，知O 为平行四边形的中心，设()00,A x y ，得()002,32B x y --，将点A 、B 的坐标代入双曲线方程，求得A 、B 的坐标，利用等面积法知4ABCDAOB S S =△，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O 为平行四边形的中心，由A 、B 、C 、D 四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A 、D 在左支上，B 、C 在右支上， 如图：考虑A 、B 关于双曲线中心的对称点,A B ''，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知,A C B D =''=，所以ABCD 的对称中心为O .设()00,A x y ，由12AP PB =，得()002,32B x y --. 将点A 、B 的坐标代入双曲线方程得()22002020*******y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得：0014x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0014x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩.故242||21ABCDADBAOBA B SSSOP x x ===⋅-=⨯=故答案为：36542．（2021·全国·高三竞赛）抛物线2Γ:2(0)y px p =>，设它的某三条切线交于A 、B 、C 三点，设ABC 的外接圆与x 轴相切，切点为(,0)D k ，则k =_______． 【答案】2p k = 【解析】 【分析】先证明A 、B 、C 、F 四点共圆，得出D 、F 重合，进而求出k . 【详解】设Γ的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，下面我们证明：A 、B 、C 、F 四点共圆．设直线AB 与Γ切于()11,P x y ，直线BC 与Γ切于()22,Q x y ，直线CA 与Γ切于()33,R x y ．则2(1,2,3)2i i y x i p==，于是直线AB 的方程为()11yy p x x =+，直线BC 的方程为22()yy p x x =+，直线CA 的方程为()33yy p x x =+．记i l 为直线()(1,2,3)i i yy p x x i =+=．设F 在直线AB BC CA 、、上的射影分别为123K K K 、、，于是直i FK 的方程为2i y p y x p⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又直线i l 方程为()(1,2,3)i i yy p x x i =+=，则直线i FK 与直线i l 交点为0,(1,2,3)2i y i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以123K K K 、、均在y 轴上，故123K K K 、、三共线，由Simson 定理逆定理知：A 、B 、C 、F 四点共圆．所以D 、F 重合，于是2p k =． 3．（2021·全国·高三竞赛）设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =．若在Γ的右支上存在一点A ，使得||||OA OF =且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ离心率的取值范围为___________． 【答案】2215⎛+ ⎝⎦【详解】在平面直角坐标系xOy 中考虑问题．不妨设A 在第一象限．A 是以O 为圆心，OF 为半径的圆Ω与Γ的交点． 设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即,FAB FBA FA FB ∠≥∠≤．在Ω上取一点C ，使FC FB =，则FC FA ≥． 由双曲线的定义知2CX CF a -≤（a 是实半轴长），即 2222(2)4a CF CX c CF +≥=-（c 是半焦距）．代入2c CF FB ==，得2222424c c a c ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭．解得22151,7e ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦． 故答案为：22151,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦4．（2021·全国·高三竞赛）过椭圆221169x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A ､B 为切点过A ､B 的直线l 与x 轴､y 轴分别交于点P ､Q 两点，则POQ △面积的最小值为___________. 【答案】13【详解】解析：设(4cos ,3sin )M θθ，则l 的方程为(4cos )(3sin )2x y θθ+=，12,2cos 3sin P Q x y θθ==， 11123sin 23P Q S x y θ=⋅=≥，当且仅当4πθ=时等号成立，故答案为：13.5．（2021·全国·高三竞赛）设123A A A △为抛物线24y x =的内接三角形，分别过1A ､2A ､3A 作抛物线的切线1l ､2l ､3l ，设三条切线相交所成的三角形为123B B B .求123A A A △与123B B B 的面积比. 【答案】2 【解析】 【详解】推导一般情况.设222(0),,,1,2,32i i i t y px p A t i p ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭.那么过i A 的切线方程为2222i i t x p y t p +⋅=⋅，即2:,1,2,32ii i t l yt px i =+=.联立1l 与2l 的方程：211222,2.2t yt px t yt px ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1212,2.2t t x p t t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 这表明1l 与2l 的交点3B 的坐标为12123,22t t t t B p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.同理，13132,22t t t t B p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，23231,22t t t t B p ⎛+⎫ ⎪⎭⎝.由面积公式：123123A A AB B B S S =△△2112222331212131323231211221212211222122t t pt t p t t pt t t t p t t t t pt t t t p+++=2211222233121213132323111111t t t t t t t t t t t t t t t t t t +++而222112222332222231213122313111t t t t t t t t t t t t t t t t t t =++---， ()()()()121221313132312132321311232323111t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ++=+++++-++()()222312312123t t t t t t t t t t -+-+232222122331122331t t t t t t t t t t t t =++---，所以211222231212131333232111111t t t t t t t t t t t t t t t t t t +=++，从而1231232A A A B B B SS=.故答案为：2.6．（2021·全国·高三竞赛）双曲线222019x y -=，左右顶点分别为1A ､2A ，P 为双曲线右支上一点，且1210A PA ∠=︒，则12PA A ∠=___________. 【答案】40︒ 【解析】 【详解】设直线12,A P A P 的倾斜角分别为,αβ，则2019tan tan 12019αβ==， 故90αβ+=︒，而10βα-=︒，故40α=︒， 故答案为：40︒.7．（2021·全国·高三竞赛）已知双曲线2213y x -=的左右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线右支交于A 、B 两点，则12AF F △、12BF F △的内切圆面积之和的取值范围是__________． 【答案】102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【详解】解析：令12AF F △、12BF F △的内切圆心为1I 、2I ，与x 轴切于M ，N ，则12121132F F F A F AF M F N +-===，所以M 、N 重合于双曲线右顶点．过2F 的直线与双曲线右支交于A 、B 两点，令212,33AF F ππα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，内切圆面积和为22221210tan cot 2,223S r r ααπππππ⎛⎫⎡⎫=+=+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭．故答案为：102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8．（2021·全国·高三竞赛）已知双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左右两支于点B 、C ，若2BC CF =，则双曲线的离心率为__________． 523+【解析】 【详解】根据题意，记12BF F θ∠=，则sin a cθ=，其中c进而由双曲线的焦半径公式和双曲线的定义，可得1112CF BF CF a -=-， 即22cos b a c aθ=+，也即22b a bc a c=⋅+，解得1ba=因此双曲线的离心率c e a ===9．（2021·浙江·高三竞赛）若正方形ABCD 的一条边在直线206y x =+上，另两个顶点在抛物线2yx 上，则该正方形的面积为______.【答案】2178或1250 【解析】 【分析】 【详解】设另一条边所在直线为y x m =+，则20x x m --=， 设两交点的横坐标12,x x，则12x x -=2428424320m m -+=， 解得272m =或156m =，所以22178S ==或1250.故答案为：2178或1250.10．（2021·浙江·高三竞赛）已知点()3,1P ，存在抛物线24x y =上相异的两点A ，B ，使得四边形PAQB 为矩形，则点Q 的轨迹方程是______.【答案】()222395402x x y ⎡⎤+⎛⎫+--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y Q x y ,且22112211,44y x y x ==. 则由四边形PAQB 为矩形知,121231x x x y y y +=+⎧⎨+=+⎩ ，即122212311144x x xx x y +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 即122123(3)442x x x x y x x +=+⎧⎪⎨+--=⎪⎩， 且PA PB ⊥,即()()()()12120,33110PA PB x x y y ⋅=--+--=,()()121212123910x x x x y y y y -+++-++=， ()()222212121212113910164x x x x x x x x -+++-++=， 222(3)441(3)443(3)9(1)102162x y x y x y ⎡⎤+--+----++-++=⎢⎥⎣⎦，222(3)441(3)4430244x y x y x y ⎡⎤+--+--++-=⎢⎥⎣⎦，即2223(9)5402x x y ⎡⎤+⎛⎫+--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 故点Q 的轨迹方程为2223(9)5402x x y ⎡⎤+⎛⎫+--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案为：2223(9)5402x x y ⎡⎤+⎛⎫+--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 11．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆Γ的方程为22195x y +=，经过Γ的左焦点(2,0)F -，且斜率为1k （1k 存在且不为0）的直线与Γ交于A 、B 两点，设点(1,0)R ，延长AR 、BR 与Γ分别交于点C 、D ．直线CD 的斜率为2k ，将2122k k 写成既约分数ab，其中a ，b 是互质的正整数，则2a b +=__________． 【答案】305 【解析】 【分析】 【详解】设()()()()11122334411,,,,,,,,:1AR x A x y B x y C x y D x y l x y y -=+代入椭圆Γ的方程， 消去x 得2112115140x x y y y y --+-=． 由韦达定理得()211311405y y y y x =-≠-， 从而13145y y x =-，代入直线AR 的方程得131595x x x -=-．类似的，242595x x x -=-，24245y y x =-．故()()121212342342145516y x y y x y y y k x x x x --+-==--．因为A 、F 、B 三点共线，所以121222y y x x =++，故()1221212y x y x y y -=-， 所以()()2211212212771616,494449y y a k k k a b x x b k -==⇒==⇒==-． 所以2305a b +=． 故答案为：305.12．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．【解析】 【分析】 【详解】因为12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，若曲线C 的方程为22221x y a b +=，则I 的轨迹方程为22221x y c bc c a +=⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故有22121.3bc c a c k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=-=-⋅可知::2a b c =，所以3m =．设(2cos )P θθ为曲线C上一点，则有|2cos ||t θθ≥+恒成立，即t13．（2021·全国·高三竞赛）已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的焦点，P 是M 上一点，12PF F △的周长是6，且41a c+的值是3，过(4,0)Q -的直线交M 于不同两点A ，B ，则QA QB ⋅的取值范围是_________．【答案】45,124⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】 【详解】 因为12226PF F Ca c =+=，所以3a c +=．由241()(21)a c a c ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭，413a c +≥，得到2,1a c ==，所以椭圆的方程为22143x y +=．（1）当直线QA 为0y =时，12QA QB =．（2）设直线QA 的方程为4x my =-，联立得22123034m y my ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， 221(2)43034m m ⎛⎫∆=-⨯⨯+> ⎪⎝⎭，得2m >或2m <-．所以()2212231143m QA QB y y m +⋅=⋅=+．将2m >或2m <-代入，得出QA QB ⋅的取值范围为45,124⎛⎫⎪⎝⎭．由（1）（2）知QA QB 的取值范围为45,124⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：45,124⎛⎤⎥⎝⎦.14．（2021·全国·高三竞赛）已知P 、Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则PQ 的最小值为__________．【解析】 【分析】 【详解】由22(4)8x y -+=得22880x x y -++=，于是22222828x x y x y -++=+，从而()22221442x x y x y -++=+=等于点P 到点(2,0)M 的距离．所以PQ PQ PM MQ +=+≥，而min MQ =所以PQ15．（2021·全国·高三竞赛）半径为2的球O 放在水平桌面上，该水平桌面所在平面内的一点1A 的竖直正上方有一个点光源A ．若1AA 与球O 相切，且16AA =，那么，球O 经过点光源A 照射之后，在该水平桌面上的投影的离心率为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】 【详解】考虑过A 、1A 、O 三点的截面，设12A A 的中点为M ，如图：容易求得1228,10,213A A AA AM === 则利用圆锥曲线的定义知，投影的椭圆的长半轴长为42212232AA AA AM +⎛⎫-= ⎪⎝⎭224(23)12-=．故答案为：12.16．（2021·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22111x yt t +=+-与双曲线1xy =相切，则t =_________． 5【解析】 【分析】 【详解】设切点为1,m m ⎛⎫⎪⎝⎭．容易求得1xy =在1,m m ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线为()211y x m m m =--+，即220x m y m +-=．椭圆22111x y t t +=+-在1,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线为()1011mx y t m t +-=+-，由以上两条切线为同一条直线，知()2211121m m t m m m t ⎧⋅=⎪+⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，因为1t >，所以由以上方程组容易解得5t = 517．（2021·全国·高三竞赛）设双曲线22221x y a b -=的离心率为e ，过原点的直线与之交于A 、B 两点，若双曲线上存在一点C ，使得直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之乘积恰为e ，则e 的值为__________.【解析】 【分析】 【详解】设()()sec ,tan ,sec tan ,sec ,t (n )a A a b B a b C a b ααααββ--﹐， 则222tan tan tan tan 1sec sec sec sec AC BCb b b b b k e a k a a a aβαβαβαβα-+=⨯==--+⋅，因此21e e -=，即e =. 18．（2021·全国·高三竞赛）任作椭圆22221x y a b+=的一条切线与椭圆两条对称轴分别交于点A B 、，若AB 长度的最小值为4b ，则椭圆的离心率为___________.【答案】3【解析】 【分析】 【详解】设切点为()cos ,sin P a b θθ，则切线方程为cos sin 1x y a bθθ+=. 其与x 轴、y 轴交点分别为,0,0,cos sin a b A B θθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2222222222cos sin ()cos sin cos sin a b ab AB a b θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以4,3,ca b b a b e a +=====. 19．（2021·全国·高三竞赛）已知S 、P （非原点）为抛物线2y x 上不同的两点，点P 处的切线与y 轴交于点R ，若SP PR ⊥，则PSRS的最小值为______________．【解析】 【分析】 【详解】设()200,P x x ，则切线方程：()002y x x x =-，交于y 轴上的点()200,2R x -，切线的垂线：()0012y x x x =--， 与抛物线联立，解点S 的坐标：2000011,22S x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 那么011||||222SPRSSP PR x x =⋅=⋅()2200141=42x x +⋅令02t x =，则：()22114SPRtSt+=⋅()2222111133344t t tt⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭==24t ⎛ ⎝⎭≥==最值在213t =时取到．. 20．（2019·山东·高三竞赛）△ABC中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .【答案】54π【解析】 【详解】分别以点B 、C 为圆心，6为半径作圆，交于三角形外一点D ，连结BD 、CD ； 有5353cos ,cos 7272A BDC =∠=-，故A 、B 、D 、C 四点共圆，所以∠ABD +∠ACD =π. 又易知AB 与圆C 相离，故所求的面积为2个圆的面积去掉半个圆的面积再加上△BCD 的面积等于54π+故答案为：54π 21．（2019·重庆·高三竞赛）已知△ABC 为椭圆22194x y +=的内接三角形，且AB 过点P (1，0)，则△ABC 的面积的最大值为_______ .【解析】 【详解】提示：经伸缩变换32x X y Y=⎧⎨=⎩得△A 'B 'C '内接于圆X 2+Y 2=1，A 'B '过点1,03P '⎛⎫ ⎪⎝⎭.6ABCA B C SS'''=，设O '到A 'B '的距离为t ，则10,3t A B ''=21(1)A B C S t t '''-⋅+，易知当13t =时，A B C S '''，所以S △ABC .． 22．（2019·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，若以(r +1,0)为圆心､r 为半径的圆上存在一点(a ,b )满足b 2≥4a ，则r 的最小值为____________ . 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，求得,a r 的不等关系，结合不等式有解，即可求得r 的范围，从而求得最小值. 【详解】由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a =---=---. 即22(1)210a r a r --++.上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2[2(1)]4(21)4(4)0r r r r --+=-， 解得r ≥4.经检验，当r =4时，(,)(3,a b =满足条件.因此r 的最小值为4. 故答案为：4.本题考圆的方程，以及一元二次不等式的有解问题，属综合中档题.23．（2019·四川·高三竞赛）双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，离心率为e ，过点F 且倾斜角为3π的直线与该双曲线交于点A 、B ，若AB 的中点为M ，且|FM |等于半焦距，则e =_____ .【解析】 【详解】设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b-=-=.两式相减，得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=，所以AB的斜率为20122120b x y y k x x a y -===-又||,3FM c xFM π=∠=，所以M点的坐标为32c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以22b a=01x =，所以c e a ===二、解答题(共0分)24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．【解析】 【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出D 坐标，再结合直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求出2,3M ⎛ ⎝⎭再代入椭圆求出a ，进而【详解】不妨设椭圆1C 的半焦距1c =，则221b a =-，椭圆右焦点为(1,0)F ．设:1l x ky =+，将1x ky =+，代入22221x ya b+=消去x 化简整理得()()()222222222110a kk a y a ky a -++---=．显然，方程判别式Δ0>，设()(),,,A A B B A x y B x y ．由韦达定理知()2222221A B a k y y a k k a-+=--+，从而()()22222222222211122222A B D A B a k x x a x ky ky a k k a a k k a ⎛⎫-+==++=-+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，()2222211D D a k x y k a k k a--==--+， 于是()22222222221,a k a D a k k a a k k a ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭． 所以直线OD 的方程为()221a x y a k=--． 设圆AMBN 的方程为222:0C x y Dx Ey F ++++=，直线l直线MN 的方程为()232:(1)01a C x ky x y a k ⎛⎫--+= ⎪ ⎪-⎝⎭， 由于3C 经过12C C 、的交点，且123C C C 、、均为二次曲线，则存在常数12λλ、，使得()()2222212222(1)11a x y x ky x y x y Dx Ey F a b a k λλ⎛⎫⎛⎫--+=+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 比较方程两边xy 系数知()2201a k a k -+=-，即2221a k a =-，由对称性不妨设k =．代入点D 的坐标得1,2D ⎛ ⎝⎭，又||8||3MN OD =，得点2,3M ⎛ ⎝⎭，而M 在1C 上，故222222123311a a a a ⎛⎫-⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=-，解得98a =， 于是1C 的离心率为223c e a ==． 25．（2021·全国·高三竞赛）已知如图椭圆221:14x C y +=的左右顶点为1A 、2A ，上下顶点为1B 、2B ，记四边形1122A B A B 的内切圆为2C ．（1）求圆2C 的标准方程；（2）已知P 为椭圆1C 上任意一点，过点P 作圆2C 的切线分别交椭圆1C 于M 、N 两点，试求三角形PMN 面积的最小值．【答案】（1）2245x y +=；（2）85. 【解析】 【详解】（1）因为2A 、1B 分别为椭圆221:14x C y +=的右顶点和上顶点， 则2A ，1B 坐标分别为(2,0),(0,1)，可得直线21A B 方程为：22x y +=， 则原点O 到直线21A B 的距离为2512d ==+，即圆2C 的半径5r d ==， 故圆2C 的标准方程为2245x y +=． （2）设直线PM 方程为1mx ny +=，由直线PM 与圆2C 相切，可知原点O 到直线PM 距离225d m n ==+2254m n +=，将直线PM 方程代入椭圆1C 可得222()4x y mx ny +=+， 整理即有()222448410y y n mn m x x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，则2212221241411544444y y m m x x n m --===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 即1OP OM k k ⋅=-，故OP OM ⊥．同理OP ON ⊥，故M 、O 、N 三点共线，则2||||PMNOPMS SOP OM ==．设:OP y kx =代入椭圆方程可得22214x k x +=，则22414x k =+， 故()()222222241114k OP x y kxk+=+=+=+，同理()22222141414114k k OM k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则 ()()22222211144544141k k OP OM k k +++=+=++， 则2251124||||OP OM OP OM =+≥，得8||||5OP OM ≥， 则85PMN S OP OM =≥△，当且仅当OP OM ==故三角形PMN 面积的最小值为85．26．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F .C 上两点A ､B 满足()1A B A B x x x x +=≠，且FA FB ⊥.求证：以AB 为直径的圆恒过异于点F 的一个定点.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由FA FB ⊥可得()()220A B B A x x y y --+=，结合1A B x x +=可得2A B A B x x y y +=-，而以AB 为直径的圆为：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=，化简可得()2220A B x y x y y y +---+=，该圆过(1,0)-或(2,0)（舍）.27．（2021·全国·高三竞赛）已知()()()111222333,,,A x y A x y A x y 、、是抛物线()220y px p =>上三个不同的动点，123A A A △有两边所在的直线与抛物线22(0)x qy q =>相切.证明：123A A A △的重心在定直线上. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】如图，不妨设边13A A 和23A A 所在直线与抛物线22(0)x qy q =>相切，切点分别为1T 和2T .那么切点弦12T T 所在直线方程为()33x x q y y =+.设切点1T 和2T 的坐标分别为211,2t t q ⎛⎫ ⎪⎝⎭和222,2t t q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线13A A 的斜率为1t q ，于是有31131y y t x x q -=-，即1312t py y q=+. 把切点1T 的坐标代入直线方程()33x x q y y =+中，可得213132t x t q y q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理即22311322y t t q y p q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再把1312t p y y q =+中的1t 代入该式，可得()223323131222y pqp q q y p y y y y ⎡⎤⋅=+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()2233231312y p q y y y y y =+++，即()213231312y y p q y y y y -=++，可得()213132y y y y p q +=-. 同理，利用切点2T 可以推得()223232y y y y p q +=-.上面两式相减可得1230y y y ++=，所以123A A A △的重心的纵坐标恒为0，从而一定在x 轴（定直线）上.28．（2021·全国·高三竞赛）设椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，抛物线222:C x by b +=．（1）若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率；（2）设5(0,),33,4A b Q b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又M 、N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若AMN 的垂心为30,4B b ⎛⎫⎪⎝⎭，且QMN 的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程．【答案】（1）22；（2）椭圆方程为2211643x y +=，抛物线方程为224x y +=．【解析】 【详解】（1）已知椭圆焦点(,0)c 在抛物线上，可得：22c b =，由22222a b c c =+=，有221222c e a =⇒=．（2）由题设可知M 、N 关于y 轴对称，设()11,M x y -，()()111,0N x y x >， 由AMN 的垂心为B ，有()21113004BM AN x y b y b ⎛⎫⋅=⇒-+--= ⎪⎝⎭．由点()11N x y ,在抛物线上，有2211x by b +=，解得14by =-或1y b =（舍去）．故1,,,,44b b x M N ⎛⎫⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得QMN重心坐标4b ⎫⎪⎭．由QMN 的重心在抛物线上得：2234bb +=，所以112,,22b M N ⎛⎫⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎭，又因为M 、N 在椭圆上可得2163a =， 所以，椭圆方程为2211643x y +=，抛物线方程为224x y +=．29．（2020·浙江·高三竞赛）已知直线l 与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>交于A 、B 两点，直线AB 不经过原点O .（1）求OAB 面积的最大值；（2）设M 为线段AB 的中点，延长OM 交椭圆C 于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求四边形OAPB 的面积. 【答案】（1）2ab ；（2. 【解析】 【详解】解法一 当直线AB 的斜率不存在时，由对称性，设直线AB 方程为()0x n n a =<<，则y =122OABS n =⨯⨯=△2222122n n a a ab ab ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤=，当且仅当n =. 设直线l ：()0y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22221x y a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：()22222222220ba k x a kmx a m ab +++-=，判别式()()()()2222222222222222440a km b a k a m a b a b b a k m ∆=-+-=+->，则2222b a k m +>，于是AB ==原点O 到AB的距离d =1122OABS AB d ==△()()2222222222m b a k m ab ab ab b a k ++-=≤⋅=+， 当且仅当22222m b a k =+时取等号.（2）不妨设0k >，根据垂径定理得：22AB OM k k b a =-⋅，则OM 的方程为22b y x a k=-.将OM 的方程代入椭圆方程，消去y 得422222a k xb a k =+.注意O 、P 在直线AB 的两侧，所以M x =2222M M b b y x a k a k ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎝⎭⎝.又点M 在直线ABk m ⎛=+ ⎝，化简得：22224b a k m +=，则22OAPB OAB S S ab ===△解法二 （1）设x x ay y b ⎧=⎪''⎪⎨⎪=⎪⎩，则221x y ''+=，OAB O A B S abS '''=△△.设原点O '到直线A B ''的距离为()()0,1d d ∈，则22122OAB O A B d d abS abS ab A B d ab '''-+''==⋅=≤=△△. （2）要四边形OAPB 为平行四边形，则四边形O A P B ''''为菱形，由（1）知12211sin1202O A B S S S ''''==⨯⨯⨯⨯︒=⇒=△.解法三 （1）设()cos ,sin A a b αα，()cos ,sin B a b ββ，则 ()1cos sin cos sin sin 222OAB ab abS a b a αββααβ=⋅-=-≤△， 当且仅当2k παβπ-=+，k Z ∈时取等号.（2）(cos cos ,sin sin )OP OA OB P a a b b αβαβ=+⇒++，则2222(cos cos )(sin sin )1a a b b a b αβαβ+++=，即22cos()1αβ+-=，移项整理得1cos()2αβ-=-，则()3sin 2αβ-=，故322OAPB OAB S S ab ==△. 30．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，ABC 三边所在直线与抛物线分别相切，求证：ABC 外接圆过定点．【答案】证明见解析 【解析】 【详解】由对称性，及BC x ⊥轴，可猜测ABC 的外接圆过定点F ．设()22,2P pt pt ，切点()2112,2M pt pt ，切点()2222,2N pt pt ，则2:22BC l t y x pt ⋅=+； 211:22AC l t y x pt ⋅=+；222:22AB l t y x pt ⋅=+．则()12122,A pt t pt pt +，()222,B ptt pt pt +，()112,C ptt pt pt +， 所以()()121222,4141CF BF t t t t k k t t tt ++==--，因此()()()()()2112212112212224141tan 2214114141BF CF BF CFt t t t t t k k tt t t CFB t t t t k k t t tt t t ++-----∠===+++⋅++--． 同时12121122tan tan 1114AC AB AB ACk k t t BAC CFB k k t t --∠===-∠+⋅+，所以180BAC BFC ∠+∠=︒，故ABC 外接圆过定点F ．31．（2021·全国·高三竞赛）已知A ､B 是抛物线2:4C y x =上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限，直线12l l 、分别过点A ，B 且与抛物线C 相切，P 为12l l 、的交点.设C ､D 为直线12l l 、与直线4x =的交点，求PCD 面积的最小值. 1283【解析】 【详解】设()22121212,,,044y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1l 方程为12121,2y x y l y =+方程为22212y x y y =+， 联立1l ､2l 方程可得点P 坐标为1212,42y y y y P +⎛⎫⎪⎝⎭，C ､D 的坐标分别为11814,2y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭､22814,2y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()()1212121212168181||222y y y y CD y y y y y y --⎛⎫⎛⎫=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是()()121212121614242PCDy y y y y y Sy y --=-⋅. 设21212(0),y y t t y y m =->-=，由()()2222121212440y y y y y y m t +=-+=-≥知2m t ≥， 当且仅当120y y +=时等号成立，所以()()()()222222222221616216161424216168PCDtmm t t t t t St t t t--⋅+⋅++=+⋅=≥=-.设()2216()8tf t t+=，则()()()()222222221621631616()88t t t t t t f t tt+⋅⋅-+-+=='.所以0t <<时，()0f t '<；t >()0f t '>， ()f t '在区间⎛ ⎝⎦上为减函数；在区间⎫+∞⎪⎪⎣⎭上为增函数.所以t =时，()f t所以当1212160,3y y y y +==-，即12y y ==PCD. 32．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22223:1(0)x y C a a a+=>，点P 、Q 在椭圆C 上，满足在椭圆C 上存在一点R 到直线OP 、OQ 的距离均为12a ，证明：223a OP OQ ⋅≤．【答案】证明见解析 【解析】 【详解】设cos R a θθ⎛⎫⎪⎝⎭，1:0OP k x y -=，2:0OQ k x y -=， 则根据题意，1k 、2k 是关于k12a =的两个实根，该方程即222111cos sin 0434k k θθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 于是2212221111sin sin 13434133cos sin 44k k θθθθ--⋅===---．OP OQ ⋅=2a =2a =2a =2a ≤223a =， 原命题得证．33．（2021·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，A 为抛物线C 上异于顶点的动点，D 为x 轴正半轴上的动点．设直线AF 、AD 分别交抛物线C 于M 、N （不同于点A ），设,AF FM AD DN λμ==．已知FA FD =，且43λμ+=，求直线MN 的方程．【答案】12(1)2y x +=--或12(1)2y x -=-．【解析】 【分析】 【详解】设()20000,,4A x y y x =，则(),M M M x y 满足()002114M M M M y y x x y x⎧=-⎪-⎨⎪=⎩， 消元得()200000411M M y y y y x x --=--， 由根与系数的关系得04M y y =-，2000044M y y y y y λ=-=-=⎛⎫- ⎪⎝⎭． 因为01DF AF x ==+，所以()02,0D x +．()00:22AD y l y x x =--+⎡⎤⎣⎦，则(),N N N x y 满足()002224N N N Ny y x x y x ⎧⎡⎤=--+⎪⎣⎦⎨⎪=⎩，得0024N x y y +=-⨯， 所以()200042N y y y x μ=-=+． 由43λμ+=，得()2200044423y y x +=+，即000423x x x +=+．解得083x =-（舍）或者01x =，所以02y =±．当001,2x y ==时，有(1,2),(9,6)M N --，则1:2(1)2MN l y x +=--．当001,2x y ==-时，有(1,2),(9,6)M N ，则1:2(1)2MN l y x -=-．综上，1:2(1)2MN l y x +=--或12(1)2y x -=-．34．（2021·全国·高三竞赛）已知圆Γ与抛物线2y x 交于A 、B 、C 、D 四个不同的点，且AC为圆Γ的直径，线段AC 和BD 的中点分别为M 、N ，求证：线段MN 在y 轴上的投影长度为定值．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】设()()()()222211223344,,,,,,,A x x B x x C x x D x x ，则圆Γ的方程为：()()()()2213130x x x x y x y x --+--=．联立圆Γ和抛物线方程，消去y ，得()()()()222213130x x x x x x x x --+--=，即()()()()131310x x x x x x x x --+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，从而2x 、4x 是方程()2131310x x x x x x ++++=的两根．由韦达定理知，()24132413,1x x x x x x x x +=-+=+．所以()()2222221313242413242212222x x x x x x x x x x x x +-+-++-=-=． 又22132x x +、22242x x +分别是点M 、N 的纵坐标，所以线段MN 在y 轴上的投影长度为定值1．（2021·全国·高三竞赛）已知(2,1)S 为椭圆22Γ:182x y +=上的点，对椭圆Γ上的任意两点P 、Q ，用如下办法定义它们的“和”P Q +：过点S 作一条平行于PQ （若点P 与Q 重合，则直线PQ 表示椭圆Γ在P 处的切线）的直线l 与椭圆Γ交于不同于S 的另一点，记作P Q +（若l与椭圆Γ相切，则规定S 为P Q +）.并规定n nP P P P=+++个.35．若点(22,0),(0,2)P Q -，求P Q +、2P 以及100P 的坐标.36．在椭圆Γ上是否存在不同于S 的点P ，满足3P S =？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】35．(2,1),2(2,1),100(0,2)P Q P P +---- 36．存在，311,322P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭或311,322P ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用新定义数形结合直接求解P Q +、2P 以及100P 的坐标（2）利用参数方程假设存在，找出点P 、Q 对应的参数，求出P Q +对应的参数，以及2P ，3P 对应的参数，列方程直接求解.(1)根据新定义P Q +“和”的运算，画图如下：过S 做PQ 的平行线，因为12PQ OS k k ==，所以平行直线过原点，可知P+Q 的坐标与S 关于原点对称，所以(2,1)P Q +--过S 做P 处切线的平行线，可知2P 的坐标2(2,1)P -，以此类推100(0,2)P -(2) 存在.设(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b C a b D a b ααββγγθθ则sin sin sin sin //cos cos cos cos b b b b AB CD a a a a αβγθαβγθ--⇔=--2sin cos2sincos22222sin sin 2sin sin2222αβαβγθγθαβαβγθγθ-+-+⋅⋅⇔=-+-+⋅⋅ tantan(mod 2)22αβγθαβγθπ++⇔=⇔+≡+.而(2,1)S 对应的参数为4π，于是，若点P 、Q 对应的参数为αβ、，则P Q +对应的参数γ满足(mod 2)4πγαβπ≡+-.设(cos ,sin )P a b ϕϕ，且对应的参数为ϕ.则2P 对应的参数为2(mod 2),34P πϕπ-对应的参数为3(mod 2)2πϕπ-. 故23(mod 2)2443k ππππϕπϕ-≡⇒=+. 于是，3P 的坐标为2222cos ,2sin 4343k k ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而，所求坐标为311,322P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭或311,322P ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭.37．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．【解析】 【分析】 【详解】设()()()()11220000,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ''，则直线AP 的方程为()112y y x x =+， 直线BP 的方程为()222y y x x =+，故有121242y y a y y b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，同理可得1010,22E D y y y yy y '++==，又因为PD AE =，所以1E D y y b y +=+，即002y y b +'=， 故12121200424AB MN y y k k x x y y b y y '-=====-++， 因此//AB MN ．直线AB 的方程为22by x a =+，直线MN 的方程为0000004y y y x y y y y '''=+++， 即0022y y by x '=+，故两平行线间的距离d '，||AB ===||MN =所以00|4|1(||||)24MNABy y a S d AB MN '-=⋅+=⋅， 其中0204a y y b ≤'≤，可令22004,b a A b y y X '-=-=，则：1(4MNAB S A X =-218=3183⎛≤ ⎝⎭= 当22001(4)9b y y b a '-=-时取到最大值．38．（2021·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆T 的中心为原点O ，焦点在x(1,0)C -的直线l 与T 交于两点A 、B 满足2AC BC =．求AOB 面积的最大值以及取到最大值时T 的方程． 【答案】故ABCT 的方程为2235+=x y ． 【解析】 【分析】 【详解】设2222:1(0)x y T a b a b +=>>，离心率e = 则222223,:3a b T x y a =+=． 显然，l 不与x 轴重合．若l 垂直于x 轴，则AC BC =，不满足题意．故可设:(1)l y k x =+，即:1y l x k =-，与T 联立得：22213y y a k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22212310y y a k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭． ①设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理可得：1222221313kky y k k +==++， ② 2122113a y y k -⋅=+． ③ 若点C 在椭圆内部，则1y 、2y 异号，由2AC BC =知122y y =-，代入②知22231ky k -=+，故 12223132231AOBk SOC y y y k =⋅⋅-==+333121323k k kk=≤=+⋅．上式等号成立当且仅当13k k =，即33k =±，此时，2123,23y k y y =-==-． 上式代入③得2212221213a y y y k -⋅=-=+，即2221,536a a --==， 此时①的判别式()222414311246(15)0a k k ⎛⎫∆=-+-=-⨯⨯-> ⎪⎝⎭， ①有两实根，此时方程为2235+=x y ．若点C 在椭圆外部，则1y 、2y 同号，由2AC BC =知122y y =， 代入②知()222331ky k =+，故()12221122331AOBk SOC y y y k =⋅⋅-==+ 11331821133||323||||||k k k k =≤=<⎛⎫+⋅⋅⎪⎝⎭．故ABC 面积的最大值为32，此时T 的方程为2235+=x y ． 39．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】存在，PQ 的方程为(26)6360x y ++-．【解析】 【分析】 【详解】假设这样的P 、Q 存在，且设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知(0,1),(1,0)M F ，所以直线()111:10MP y x x y x --+=．因为该直线与圆F 相切，则d r =r =，两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦， 整理得()()()()22221111111210r x r y x y -+--+-=．因为()221121x y =-，消去1x 得()()()()()2222111112111210r y r y x y -⋅-+--+-=．因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111211120r y r y x -⋅++---=，整理得()()221121310x r y r -+-+-=， 即点P 在直线()()2221310x r y r -+-+-=上．同理，点Q 也在直线()()2221310x ry r -+-+-=上，因此直线PQ 的方程为()()2221310x r y r -+-+-=．又因为直线PQ 圆Fr=，解得r =因此直线PQ 存在且直线PQ的方程为(260x y ++-．40．（2021·全国·高三竞赛）设F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左焦点，过F 作两条相互垂直的直线，与椭圆的四个交点顺次记为A 、B 、C 、D ，设F 在四边形ABCD 的四条边上的射影分别为P 、Q 、R 、S ，求证：P 、Q 、R 、S 四点共圆. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】实际上结论对一切非等轴双曲线的圆锥曲线都是成立的（对等轴双曲线则变为四点共线）为证明原结论，我们来说明F 在AB 上的射影P 在定圆上.以F 为原点重新建立平面直角坐标系，设椭圆的离心率为e ，焦准距为p ，不妨设A 在第一象限，AF 与x 轴正半轴夹角为锐角θ，B 在第二象限，于是：,1cos 1sin ep epAF BF e e θθ==-+，从而cos cos sin cos (,),(,)1cos 1cos 1sin 1sin ep ep ep ep A B e e e e θθθθθθθθ---++， 所以sin cos sin cos ,sin cos sin cos AB FP e k k eθθθθθθθθ-++==-+-+ 记FP 与x 轴的夹角为α，再记sin cos t θθ-=，则sin cos θθ+我们有cos αα==另一方面，FP ==，所以2()(22t e ep P e et +-++，不难验证它在圆22222()2e p x y e -+=-上.同理Q 、R 、S 均在此圆上，结论成立.41．（2021·全国·高三竞赛）设a 为正实数．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12:,:l y ax l y ax ==-，过点()2,0M -的直线l 分别与直线12l l 、交于点A B 、，其中点A 在第三象限，点B 在第二象限，点()2,0N ．设直线AN 交2l 于点P ，直线BN 交1l 于点Q ．若直线l PQ 、的斜率均存在，分别为12k k 、，判断12k k 是否为定值?若为定值．求出该定值；若不为定值，说明理由． 【答案】是，12k k 为定值13-． 【解析】 【分析】 【详解】由题意，直线l 的方程为1(2)y k x =+，其中1k a ≠±，联立方程1(2),,y k x y ax =+⎧⎨=⎩得11()2a k x k -=．解得112Ak x a k =-，则112A ak y a k =-．。
2013高考精选专题七解析几何
专题七 解析几何1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：选C.由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32， ∴y 20＝42x 0＝42×32＝24， ∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点， PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33 解析：选D.如图，由题意知s in 30°＝|PF 2||PF 1|＝12， m∴|PF 1|＝2|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33.故选D. 5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)解析：选C.设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1，0)，|AF ||BF |＝3.又1|F A |＋1|FB |＝2p ， ∴13|BF |＋1|BF |＝1， ∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2psin 2θ，∴163＝4sin 2θ， ∴s in 2θ＝34，∴s in θ＝32，∴k ＝tan θ＝±3.故选C.6．(2013·高考大纲全国卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是 ( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]解析：选B.由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P在椭圆上得点P (2619，2419)，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P (27，127)，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是[38，34]．7．(2013·高考大纲全国卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：选C.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点(1，32)必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.8．(2013·高考大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选D.抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 9．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝04解析：选A.设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －12)2＝54①，圆C ：(x －1)2＋y 2＝1②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．10．(2013·高考山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233 D.433解析：选D.∵双曲线C 2：x23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)，焦点为F ′(0，p2)．设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433.11．(2013·高考浙江卷)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：选D.由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22， 因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.12．(2013·高考北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623解析：选C.∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83. 13．(2013·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2p x (p>0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选C.由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p·p 2＝3，可得p ＝2.14．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m>12 B ．m ≥1C ．m>1D ．m>2解析：选C.∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e>2，∴1＋m>2，∴m>1.15．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25 B.45 C .255 D.455解析：选C.双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d＝|±2±0|5＝255.16．(2013·高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线a x －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C.由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线a x －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P(2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a|1＋a 2＝5，解得a ＝2. 17．(2013·高考福建卷)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A .12 B.22 C ．1 D. 2解析：选B.双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.18．(2013·高考湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C .83 D.43 解析：选D.分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB ＝AC ＝4，故B(4,0)，C(0,4)．设P(t,0)为线段AB 上的点，点P 关于AC 的对称点P ′(－t,0)．点P 关于直线BC 的对称点为M(4,4－t)．由光的反射定理知，点P ′，M 一定在直线RQ 上．又△ABC 的重心坐标为G(43，43)，由题意知点G 在线段RQ 上，即P ′，G ，M 三点共线．∵P ′G →＝(43＋t ，43)，MP ′→＝(－4－t ，t －4)，P ′G →∥MP ′→，∴(43＋t)(－4＋t)－43(－4－t)＝0，解得t ＝43， 即|AP →|＝43.19．(2013·高考辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0解析：选C.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a＝－1， 所以a(a 3－b)＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． 20．(2013·高考陕西卷)已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线a x ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B.由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆相交．21．(2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：选B.由于y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1(y ≥0)，直线l 与x 2＋y 2＝1(y ≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S △AOB ＝12·s in ∠AOB ≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33.22．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D.双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝co s θ，b ＝s in θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝s in θ，b ＝s in θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ.故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等．23．(2013·高考江西卷)已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C . 1∶ 5D ．1∶3 解析：选C.如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN ∽△FOA ，则|MH||HN|＝|OF||OA|＝12，则|MH|∶|MN|＝1∶5， 即|MF|∶|MN|＝1∶ 5.24．(2013·高考湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 解析：选D.双曲线C 1和C 2的实半轴长分别是s in θ和co s θ，虚半轴长分别是co s θ和s in θ，则半焦距c 都等于1，故选D.25．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C . 3 D ．1 解析：选D.抛物线y 2＝8x 的焦点为F(2,0)，则d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝1.故选D. 26．(2013·高考四川卷)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A .24 B.12 C .22 D.32解析：选C.设P(－c ，y 0)，代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝ca可得离心率e.由题意设P(－c ，y 0)，将P(－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2＝b 2·a 2－c 2a2＝b 4a2. ∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac.∵A(a,0)，B(0，b)，∴k AB ＝b －00－a ＝－ba .又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c.∴e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c 2＝22.故选C. 27．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A .12 B.32 C ．1 D. 3解析：选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32 或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 28．(2013·高考重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A.设P(x ,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC 1|－1，|PN|＝|PC 2|－3， ∴|PM|＋|PN|＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 29．(2013·高考重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 解析：选B.如图，圆心M(3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.30．(2013·高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A.与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b|12＋12＝1，故b ＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.31．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C .x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B.右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为ca＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，故选B. 32．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A .x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C .x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y23＝1，故选D.33．(2013·高考安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6解析：选C.圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1. 在Rt △ACP 中，|AP|＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4. 34．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r ＝2，当弦过点A(3,1)且与CA 垂直时为最短弦．|CA|＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.∴半弦长＝r 2－|CA|2＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2. 答案：2 2 35．(2013·高考安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：设C(x ，x 2)，由题意可取A(－a ，a)，B(a ，a)， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a)x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a)y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(1－2a )≥0，a 2－a ≥0，(1－2a )2－4(a 2－a )>0，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)36．(2013·高考江苏卷)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .答案：y ＝±34x37．(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F,右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2,若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c.又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca.由已知可得b 2c ＝6·bca，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.答案：3338．(2013·高考浙江卷) 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x－y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：4 5 39．(2013·高考北京卷)若抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．解析：∵ 抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(p2，0)，∴准线方程为x ＝－p2.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1. 答案：2；x ＝－1 40．(2013·高考浙江卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P(－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．答案：±141．(2013·高考天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2.又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y23＝142．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－143．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，co s ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF|＝|BF 1|＝6，|BO|＝|AO|.在△ABF中，设|BF|＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF|＝8.所以∠BFA＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO|＝|AO|，所以|OF|＝12|AB|＝5，即c ＝5.所以e ＝57.答案：5744．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析：x 216－y2m ＝1中，a ＝4，b ＝m ，∴c ＝16＋m.而e ＝54，∴16＋m 4＝54，∴m ＝9.答案：945．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－146．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a ，|QF|－|QA|＝2a ，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a ，则|PF|＋|QF|＝4a ＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：4447．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．解析：由题意a 2＝16⇒a ＝4.又b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25⇒c ＝5，故e ＝c a ＝54.答案：5449．(2013·高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，F 1为左焦点，F 2为右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a. 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a. ∵在双曲线中c>a ，∴在△PF 1F 2中|PF 2|所对的角最小且为30°. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|co s 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，即3a 2＋c 2－23ac ＝0.∴(3a －c)2＝0，∴c ＝3a ，即ca＝ 3.∴e ＝ 3.答案： 350．(2013·高考江西卷)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由于x 2＝2py(p>0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 答案：651．(2013·高考江西卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．解：(1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c.代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：法一：因为B(2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠0，k ≠±12，① ①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D(0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N(x ,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．法二：设P(x 0，y 0)(x 0≠0，x 0≠±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0，联立，得⎩⎨⎧y ＝12(x ＋2)，y ＝y0x 0－2(x －2)，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2， 所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值)．52．(2013·高考四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M ，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M(2,4)． 答案：(2,4) 53．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.解： 由已知得圆M 的圆心为M(－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1,0)，半径r 2＝4.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝Rr 1，可求得Q(－4,0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627，所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.54．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系x Oy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.55．(2013·高考大纲全国卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a 、b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．解：(1)由题设知ca ＝3，即a 2＋b 2a2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，求得x ＝± a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，将其代入①并化简，得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝(x 1＋3)2＋y 21＝(x 1＋3)2＋8x 21－8 ＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝(x 2＋3)2＋y 22＝(x 2＋3)2＋8x 22－8＝3x 2＋1. 由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23，故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.由于|AF 2|＝(x 1－3)2＋y 21＝(x 1－3)2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝(x 2－3)2＋y 22＝(x 2－3)2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16， 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．56．(2013·高考山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.由题意知2b2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|(32x 0＋2)2＝|m －3|(32x 0－2)2.因为－3<m<3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0.因此－32<m<32.法二：设P(x 0，y 0)，当0≤x 0<2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P(3，12)或P(3，－12)．若P(3，12)，则直线PF 1的方程为x －43y ＋3＝0.由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m<3，所以m ＝334.若P(3，－12)，同理可得m ＝334.②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)．由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝1＋1k 211＋1k 22.因为x 204＋y 20＝1，且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝4(x 0＋3)2＋4－x 204(x 0－3)2＋4－x 20＝3x 20＋83x 0＋163x 20－83x 0＋16＝(3x 0＋4)2(3x 0－4)2， 即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|. 因为－3<m<3，0≤x 0<2且x 0≠3，所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0，整理得m ＝3x 04，故0≤m<32且m ≠334.综合①②可得0≤m<32.当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0.综上所述，m 的取值范围是(－32，32)．(3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2k x 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k (1k 1＋1k 2)＝(－4y 0x 0)·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.57．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系x Oy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP →＝tOE →，求实数t 的值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m. 由题意得－2<m<0或0<m< 2.将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y|＝ 2－m 22.所以 S △AOB ＝|m|·2－m 22＝64.解得m 2＝32或m 2＝12.①因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(2m,0)＝(mt,0)，又P 为椭圆C 上一点，所以(mt )22＝1.②由①②，得t 2＝4或t 2＝43，又t>0，所以t ＝2或t ＝233.(ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝k x ＋h.将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kh x ＋2h 2－2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2，此时x 1＋x 2＝－4kh1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k 2，所以|AB|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22×1＋k 2×1＋2k 2－h 21＋2k 2.因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h|1＋k 2，所以S △AOB ＝12|AB|d ＝12×22×1＋k 2×1＋2k 2－h 21＋2k 2×|h|1＋k 2＝2×1＋2k 2－h 21＋2k 2×|h|.又S △AOB ＝64，所以2×1＋2k 2－h 21＋2k2×|h|＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0.解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2)， 又P 为椭圆C 上一点，所以t 2[12(－2kh 1＋2k 2)2＋(h 1＋2k 2)2]＝1，即h 2t 21＋2k 2＝1.⑤ 将④代入⑤，得t 2＝4或t 2＝43.又t>0，故t ＝2或t ＝233.经检验，适合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)，得t ＝2或t ＝233.58.(2013·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系x Oy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝k x ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．59．(2013·高考浙江卷)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点， 求|MN |的最小值.解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2|84－x 1－84－x 2|＝82|x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16|＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t ＋1>2 2.当t <0时，|MN |＝2 2 (5t ＋35)2＋1625≥852.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.60．(2013·高考安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明：设出点P 的坐标，并求出其横、纵坐标的关系式． 注意点在直线上时，点的坐标满足直线方程．设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －y 0，即点Q 坐标为(0，cy 0c －x 0)．因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2， 即点P 在定直线x ＋y ＝1上．61．(2013·高考北京卷)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． 解：(1)因为四边形OABC 为菱形， 所以AC 与OB 互相垂直平分．所以可设A (t ，12)，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3.所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2， 所以AC 的中点为M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)．因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·(－14k)≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．62．(2013·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程； (2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解：(1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线C D 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2。
7空间解析几何与向量代数习题与答案
空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。
表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
方法篇练习：专题7-解析几何-第28练-含解析
第28练椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望］椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多．分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题,所以我们对椭圆知识必须系统的掌握．对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解．体验高考1．（2015·广东）已知椭圆x225＋错误!＝1(m〉0)的左焦点为F1(－4,0）,则m等于()A．2 B．3 C．4 D．9答案B解析由题意知25－m2＝16,解得m2＝9，又m>0，所以m＝3。
2．（2015·福建)已知椭圆E：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M，直线l:3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF｜＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于错误!，则椭圆E的离心率的取值范围是()A。
错误! B.错误!C.错误!D。
错误!答案A解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B,则四边形AFBF0为平行四边形．∵｜AF｜＋|BF｜＝4，∴｜AF ｜＋|AF 0｜＝4，∴a ＝2.设M (0，b ),则4b 5≥45,∴1≤b ＜2.离心率e ＝c a ＝错误!＝ 错误!＝ 错误!∈错误!，故选A.3．(2016·课标全国丙）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为椭圆C 上一点,且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为( ） A 。
错误! B 。
错误! C.错误! D 。
错误!答案 A解析 设M （－c ,m )，则E 错误!，OE 的中点为D ，则D 错误!，又B ，D ，M 三点共线,所以错误!＝错误!，a ＝3c ，e ＝错误!。
4．（2015·浙江）已知椭圆错误!＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋错误!对称．（1)求实数m 的取值范围；（2)求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．解（1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－错误!x＋b。
解析几何七种常规题型及方法
解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 一、一般弦长计算问题：例1、椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x yl a b-=被椭圆C 截得的弦长为e =，过椭圆C 的直线2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为，得228a b +=，………①又3e =，即2223c a =，所以223a b =………………………….②联立①②得226,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22162x y +=.⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，251860x x -+= 由韦达定理知，1212186,55x x x x +==从而12x x -==由弦长公式，得1255AB x =-==，即弦AB 的长度为5点评：此题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。
二、中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 121221-=，x y 222221-=。
两式相减得()()()()x x x x y y y y 12121212120+--+-=。
又设中点P 〔*,y 〕，将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得22201212x yy y x x ---=·。
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。
证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。
（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλ21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。
又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。
证明：（1）s V V V +++ 21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。
证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。
现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλααα 。
解析几何7
[课堂练通考点]1．已知m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则抛物线mx 2＝ny 的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，14 D.⎝⎛⎭⎫14，0解析：选A 由题意知，2n ＝m ＋m ＋n 且n 2＝m ·mn ，解得m ＝2，n ＝4，故抛物线为x 2＝2y ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12. 2．(2013·福建模拟)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：选C 设点P 的坐标为(x p ，y p )，则|PF |＝x p ＋32.过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，则∠PFM ＝∠APF ＝60°，所以|PF |＝2|MF |，即x p ＋32＝2⎝⎛⎭⎫x p －32，解得x p ＝92，所以|PF |＝6.3．(2013·郑州质检)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选D 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.4．(2014·辽宁五校联考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.解析：分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.答案：85．(2014·厦门模拟)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则 k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， ∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k P B.由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·沈阳模拟) 抛物线x 2＝12y 的焦点F 到其准线l 的距离是( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选D 因为2p ＝12，p ＝14，所以由抛物线的定义可知所求的距离为14.2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.12D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p 2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知抛物线的焦点坐标为F (p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入抛物线方程得y 2＝2px ＝2p (y ＋p2)＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.4．(2014·北京东城区期末)已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为12×8×8＝32. 5．(2014·武汉调研)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y 2＝4x .显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，其中k ≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋(2－2k )，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋[4k (1－k )－4]x ＋4(1－k )2＝0，显然4k 2－4k ＋42k 2＝2，解得k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x .答案：y ＝x6．(2013·江西高考) 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝ 12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p 2＝32，解得p ＝6.答案：67．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D.(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA ·FB ＝89，求∠DBK 的平分线与y 轴的交点坐标．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4＝0， 从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4.直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)，即y －x 214＝x 2－x 14(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝x 1x 24＝1，所以点F 在直线BD 上．(2)因为FA ·FB ＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)＝8－4k 2， 故8－4k 2＝89，解得k ＝±43，所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0. 又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±473，故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±73，因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0，7x ＋3y －3＝0. 设∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )， 则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)， 所以∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M ⎝⎛⎭⎫0，19. 8．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC ＝4AB .(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率为12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ② 又∵AC ＝4AB，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．故b 的取值范围为(2，＋∞)． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值；(2)如果OA ·OB＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA ·OB＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4B.令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2. ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA ·OB ＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．2．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x ＞0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．3. (2014·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14m ，线段MF 的中点N ⎝⎛⎭⎫1，18m －14在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14(m ＝－12舍去)．(2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.。
热点难点微专题七解析几何中的参数取值范围问题
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题七 解析几何中的参数取值范围问题
代入直线 PA 的方程得 y1＝104－y03x0. 则 k1＝x0y－0 2，
4y0 k2＝x1y－1 1＝11001x－00－－3x1302x－0 1＝13x40y－0 22.
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专题综述 典型例题 课后作业
当且仅当 k＝± 22时等号成立，此时|S1－S2|的最大值为 4. 综上，|S1－S2|的最大值为 4.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题七 解析几何中的参数取值范围问题
7. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，过椭圆 右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时，AB＋CD＝7. (1) 求椭圆的方程； (2) 求 AB＋CD 的取值范围．
热点难点微专题七 解析几何中的参数取值范围问题
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，有一动点 P 到直线 x＝433的距离与到点( 3，0)的
距离比值是2
3 3.
(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(2) 已知点 A(2,0)，若 P 不在 x 轴上，过点 O 作线段 AP 的垂线 l 交曲线 C 于点 D，
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题七 解析几何中的参数取值范围问题
2. 已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，满足M→F1·M→F2＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭
圆离心率的取值范围是________________．
0，
2 2
解析：满足M→F1·M→F2＝0 的点 M 在圆 x2＋y2＝c2 上，由题意知方程组
解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
解析： 设A 〔121,2y p y 〕，B 〔222,2y py 〕，则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ 〔1〕 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入〔1〕式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点〔-)2,2p p说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。
例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
高中数学竞赛(强基计划)历年真题练习 专题7 解析几何 (学生版+解析版)
【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉一、单选题1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉－zA B.!!.3c.主4 D.前三个答案都2不对2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小4 9值之利是（〉A. 4..{JjB.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭2圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若。
－－IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为25 16坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉A .e 2 B.e 2 -1C.I-e2D.-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦4 9A C 和B D ，顺次连接A ,B,C,D 得－四边形，则该四边形的丽积可能为（A. 10B. 12c. 14D. 167.(2019贵州高三校联考竞赛〉设椭圆C：牛牛！（a>b>O）的左、右焦点分别为。
解析几何类解答题
专题五
解析几何
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专题五
解析几何
高考解答题的审题与答题示范(五) 解析几何类解答题
专题五
解析几何
[审题方法]——审方法 数学思想是问题的主线，方法是解题的手段．审视方法， 选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过 程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心 涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．
专题五
解析几何
(本题满分 12 分)(2018· 高考全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2 ＝2x，点 A(2，0)，B(－2，0)，过点 A 的直线 l 与 C 典例 交于 M，N 两点． (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN.
专题五
解析几何
审 (1)l⊥x 轴―→x＝2―→M 的坐标―→直线 MB 的方程． 题 (2) 直 线 l 与 C 交 于 M 、 N 两 点 分类讨论 ――→ 路 l⊥x轴―→∠ABM＝∠ABN l与x轴不垂直―→设直线l的方程―→转化为关于y的一元二次方程 线 ―→y1＋y2，y1y2的值―→kBM＋kBN＝0―→∠ABM＝∠ABN.
专题五
解析几何
标准答案 (1)当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x＝2，① 可得 M 的坐标为(2，2)或(2，－2)．② 1 1 所以直线 BM 的方程为 y＝ x＋1 或 y＝－ x－1.③ 2 2 (2)证明： 当 l 与 x 轴垂直时， AB 为 MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN.④ 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)， N(x2，y2)，则 x1>0，x2>0.
（完整版）§7空间解析几何与向量代数习题与答案
（完整版）§7空间解析⼏何与向量代数习题与答案第七章空间解析⼏何与向量代数A⼀、1、平⾏于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，⽅向余弦和⽅向⾓.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. ⼆、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹⾓的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问µλ与满⾜_________时，轴z b a ⊥+µλ.三、1、以点(1,3,-2)为球⼼，且通过坐标原点的球⾯⽅程为__________________.2、⽅程0242222=++-++z y x z y x 表⽰______________曲⾯.3、1)将xOy 坐标⾯上的x y 22=绕x 轴旋转⼀周，⽣成的曲⾯⽅程为 _______________，曲⾯名称为___________________.2)将xOy 坐标⾯上的x y x 222=+绕x 轴旋转⼀周，⽣成的曲⾯⽅程 _____________，曲⾯名称为___________________.3)将xOy 坐标⾯上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转⼀周，⽣成的曲⾯⽅程为_____________，曲⾯名称为_____________________. 4）在平⾯解析⼏何中2x y =表⽰____________图形。
在空间解析⼏何中2x y =表⽰______________图形.5）画出下列⽅程所表⽰的曲⾯ (1))(4222y x z +=(2))(422319y 4x 22y 在平⾯解析⼏何中表⽰____________图形，在空间解析⼏何中表⽰______________图形.2、求球⾯9222=++z y x 与平⾯1=+z x 的交线在xOy ⾯上的投影⽅程.3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy ⾯及xOz ⾯上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平⾯3x-7y+5z-12=0平⾏的平⾯⽅程.2、求过点(1,1,-1)，且平⾏于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平⾯⽅程.3、求平⾏于xOz ⾯且过点(2,-5,3)的平⾯⽅程.4、求平⾏于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平⾯⽅程. 六、1、求过点(1,2,3)且平⾏于直线51132-=-=z y x 的直线⽅程.2、求过点(0,2,4)且与两平⾯12=+z x ,23=-z y 平⾏的直线⽅程.3、求过点(2,0,-3)且与直线=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平⾯⽅程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平⾯⽅程.5、求直线??=--=++03z y x z y x 与平⾯01=+--z y x 的夹⾓.6、求下列直线与直线、直线与平⾯的位置关系 1)直线?=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线4+=-z y x 和平⾯x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线?=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为⾮零⽮量），试证:a c c b b a ?=?=?.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=?=?求.3、已知a 和b 为两⾮零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最⼩？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过z 轴，且与平⾯052=-+z y x 的夹⾓为3π的平⾯⽅程.6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平⾯.7、求过直线=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线2l ：211zy x =-=平⾏的平⾯.8、求在平⾯π:1=++z y x 上，且与直线-==11z y L ：垂直相交的直线⽅程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重⼒所做的功（长度单位为m ）.10、求曲线?==-+30222z x z y 在xoy 坐标⾯上的投影曲线的⽅程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j k i 3,3+=+=，求OAB ?的⾯积12、.求直线=---=+-0923042z y x z y x 在平⾯14=+-z y x 上的投影直线⽅程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线L ：121122=--=+y x 相交成3⾓的直线⽅程. 3、过)4,0,1(-且平⾏于平⾯01043=-+-z y x ⼜与直线21311zy x =-=+相交的直线⽅程.4、求两直线1L ：1101-=-=-z y x 与直线2L ：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱⾯的准线是xoy ⾯上的圆周（中⼼在原点，半径为1），母线平⾏于向量}1,1,1{=g ，求此柱⾯⽅程.6、设向量a,b ⾮零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线??--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转⼀周所围成曲⾯⽅程. 第七章空间解析⼏何与向量代数习题答案A⼀、1、?-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j ⼆、1、1）3)1()2(2)1(13=-?-+?-+?=?b ak j i k j ib a 75121213（2）18)(63)2(-=?-=?-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=?=? （3）2123),cos(^=??=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M MM a4462201423221--=--=?= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
新数学二轮总复习专题突破练28专题七解析几何过关检测含解析
专题突破练28 专题七解析几何过关检测一、单项选择题1。
(2019重庆第一中学高三下学期第三次月考)已知直线l1：mx+（m—3)y+1=0,直线l2：(m+1)x+my—1=0,若l1⊥l2，则m=（)A.m=0或m=1B.m=1C.m=—32D。
m=0或m=-322.(2020百师联盟高三5月月考，4）已知点F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左焦点，点P是该双曲线渐近线上一点，若△POF是等边三角形(其中O为坐标原点),则双曲线C的离心率为（）A.√3B。
2 C。
3 D。
2√333.（2020北京朝阳一模，5)已知抛物线C：y2=2px（p〉0）的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l于D.若AF=4,∠DAF=60°，则抛物线C的方程为()A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=x4.（2020北京东城一模,4）若双曲线C：x2—y2b2=1（b〉0)的一条渐近线与直线y=2x+1平行，则b的值为（）A。
1 B.√2 C.√3 D.25.(2020北京东城一模，9）设O为坐标原点，点A(1，0）,动点P在抛物线y2=2x上,且位于第一象限,M是线段PA的中点,则直线OM斜率的取值范围是（）A。
(0，1] B。
(0,√22)C。
(0,√22]D。
[√22,+∞)6.（2019陕西宝鸡高三高考模拟检测三)双曲线x236−y29=1的一条弦被点P(4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是() A.x-y—2=0 B。
2x+y-10=0C。
x—2y=0 D。
x+2y—8=07。
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a〉b>0)的半焦距为c（c〉0),左焦点为F,右顶点为A，抛物线y2=158(a+c)x与椭圆交于B，C两点,若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A.815B.415C。
23D。
128。
（2020黑龙江铁人中学二模)设F1,F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0)的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点,若△AF1F2的内切圆M的半径为a,且△AF1F2的重心G满足MG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线C的离心率为（)A.√3 B 。
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2016浙江精彩题选——解析几何解答题1.（2016名校联盟第一次）19．（本题满分15分）已知椭圆C ：22ax ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2，离心率为e .直线l :y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于点A ,B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设.（Ⅰ）若l =34，求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若D PF 1F 2为等腰三角形，求l 的值.2.（2016温州一模19）．（本题满分15分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点，且离,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，N M ,是椭圆C 上非顶点的两点，且OMN ∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点A 作OM AP //交椭圆C 于点P ，求证：ON BP //．解：（Ⅰ）由题意得： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+====+222222221)26(1c b a a c e b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==2422b a故椭圆C 的方程为：12422=+y x ……………………………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM ,ON 的方程为OM y k x =，ON y k x =联立方程组22142OM y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得M ,同理可得(N ,……………………………………7分作'MM x ⊥轴, 'NN x ⊥轴,','M N 是垂足,OMN S ∆=''''OMM ONN MM N N S S S ∆∆--梯形1[()()]2M N M N M M N N y y x x x y x y =+--+ 1()2M N N M x y x y =-12==9分已知OMN S ∆2=，化简可得2-=ON OM k k .……………………………………11分设(,)P P P x y ,则2242P Px y -=， 又已知AP OM k k =,所以要证BP ON k k =,只要证明12AP BP k k =-……………………13分而2212242P P P AP BP P P P y y y k k x x x ===-+--所以可得ON BP //…………………………………………………………………………15分 （,M N 在y 轴同侧同理可得）解法二：设直线AP 的方程为)2(+=x k y O M ，代入4222=+y x得0488)12(2222=-+++O M O M O M k x k x k ，它的两个根为2-和P x 可得124222+-=OM OMp k k x 1242+=OM OM P k k y ……………………………………7分 从而OM OM OMOM OMBPk k k k k k 2121242124222-=-+-+= 所以只需证ON OMk k =-21即21-=ON OM k k …………………………………9分设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线MN 的斜率不存在，易得221±==x x 从而可得21-=ON OM k k …………………………………10分 若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=， 代入12422=+y x 得0424)12(222=-+++m kmx x k则124221+-=+k km x x ，12422221+-=k m x x ，0)24(822>-+=∆m k ………11分 212)24(8||21||||2122221=+-+⋅=-⋅=∆k m k m x x m S OMN化得0)12()24(22224=+++-k m k m ，得1222+=k m ………………………13分214)12(2412424)(222222************-=-+-+=--=+++==⋅k k k m k m x x m x x km x x k x x y y k k ONOM ………………………………………………15分3.(2016嵊州期末)（本小题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>l ：10x y +-=与C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）证明：线段AB 的中点为定点，并求出该定点坐标；（Ⅱ）设()1,0M ，MA BM λ=u u u r u u u r，当a ∈⎝时，求实数λ的取值范围．解：（Ⅰ）223a b =． ………………2分设()()1122,,,A x y B x y ，联立22233010x y b x y ⎧+-=⎨+-=⎩，，消去y 得()2246310x x b -+-=故1232x x +=，()212314b x x -=， ………………4分所以12324x x +=，121211224y y x x ++=-=． 故线段AB 的中点为定点3144⎛⎫⎪⎝⎭，． ………………6分（Ⅱ）()1,0M ，MA BM λ=u u u r u u u r，得()1211x x λ-=-． ………………8分 结合1232x x +=解得2121x λλ-=-，122(1)x λλ-=-． 由()212314b x x -=得211231b λλ+=+-．………………10分因为a ∈⎝，故27,112b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ………………12分 从而2115102,3123b λλ⎛⎫+=+∈ ⎪-⎝⎭．………………13分解得()11,2,332λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭U ．………………15分法二：本题在运算时用12y y λ=-再利用y 的韦达定理算出λ的式子，用21212()y y y y +来算要好算一点。
4.（2016嘉兴一模）．（本题满分15分）过离心率为22的椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点)0,1(F 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点B A 、，设||||FB FA λ=，)0,2(T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若21≤≤λ，求ABT ∆中AB 边上中线长的取值范围． 解：（Ⅰ）∵22=e ，1=c ，∴1,2==c a 即椭圆C 的方程为：1222=+y x . …7分（Ⅱ）（1）当直线的斜率为0时，显然不成立. （2）设直线1:+=m y x l ，设),(11y x A ，),(22y x B 联立01222=-+y x 得012)2(22=-++m y y m 得22221+-=+m m y y ，21221+-=m y y ，由||||FB FA λ=，得21y y λ-=∵12211y y y y +=-+-λλ，∴24)(212221221+-=+=+-+-m m y y y y λλ ∴722≤m 又∵AB 边上的中线长为221221)()4(21||21y y x x TB TA ++-+=+→→2224)2(494+++=m m m427)2(2222++-+=m m ]16213,1[∈ …8分 5.（2016浙江六校联考19）如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，且圆2C 的面积为π。
椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ，直线EA ，EB 与椭圆1C 的另一个交点分别是点P ，M ． （I ）求椭圆C 1的方程；（II ）求△EPM 面积最大时直线l 的方程．19. 解：（1）由题意得：1b =，则3a b = （2）由题意得：直线,PE ME 的斜率存在且不为 不妨设直线PE 的斜率为(0)k k >，则:1PE y kx =-由：22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩ 所以：2221891:(,)9191k k P k k -++ 同理得:222189:(,)99k k M k k --++ 2110PMk k k-= ………………8分 由2211y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得：22221:(,)11k k A k k -++， 所以：212AB k k k -=x所以：342221162()1162()29829982EPMkk k kS PE EMk k kk∆++=⋅==++++………………12分设1t kk=+，则2162162276496489EPMtSt tt∆==≤++……13分当且仅当183t kk=+=时取等号，所以1kk-=则直线2111 :()22kAB y x k xk k-==-所以所求直线l方程为：y x=………………15分特别提醒：6.（2016丽水一模19）（15分）已知椭圆E ：13422=+y x 的左、右顶点分别为B A ,，N M ,是椭圆E 上异于B A ,的两点，直线BN AM ,交于点)4(t P ,． （Ⅰ）若直线MN 与x 轴垂直，求实数t 的值；（Ⅱ）记PAB PMN ∆∆,的面积分别是)()(21t S t S ,，求)()(21t S t S 的最小值． 解．(Ⅰ)设),(),,(0000y x N y x M -，直线AM 的方程为)2(200++=x x y y 直线BN 的方程为)2(20--=x x y y联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++=)2(2)2(20000x x y y x x y y 得：)24(000x y x P ,44=∴x 解得：23,100±==y x代入直线AM 可得3±=t ……………………………………（6分）(Ⅱ)直线AM 的方程为()26+=x ty ，代入椭圆的方程并整理得：()()010*********=-+++t x t x t解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-2718,27254222t t t t M直线NB 的方程为()22-=x ty ，代入椭圆的方程并整理得： ()()0124432222=-+-+t x t x t解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-36,362222t t t t N所以22N P1M P 2A P B P 18t 6tt t PM PN y y S (t)y y t 27t 3S (t)PA PB y y y y t t---⋅--++==⋅=⋅⋅---- 392792222++⋅++=t t t t 19112911081222+++⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t当181912=+t ，即3±=t 时，12min S (t)3S (t)4⎛⎫= ⎪⎝⎭ …………………（15分） 7.（2016台州一模19）（本小题满分15分）如图,已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为(0,1)A ,（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点A 作圆()2221:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ） 由已知可得,2221,,2,12,b ca b a a b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩,所求椭圆的方程为2214x y += ---------------------------5分 （Ⅱ）设切线方程为1y kx =+，则2|1|1k r k-=+，即222(1)210r k k r --+-=， 设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=； ------------------------------------8分由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx ++=， 所以211112211814,1414k k x y k k --==++， (第19题图)同理可得：222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k ----====++++，-----------------12分 所以221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==----++， 于是直线BD 方程为22111221111418()14314k k k y x k k k -+--=--++， 令0x =，得2221111222111114185205143143(14)3k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++， 故直线BD 过定点5(0,)3-. ----------------------------15分分析：本题应直接设BD 的方程，其本质是求BD 的定点只需:BD l y kx m =+中的k 、m 两个字母变一个字母，就可求出定点，而两条切线就是一个AB k 与AD k 的一个等量关系。