高三数学总复习知能达标训练第八章
高三数学一轮复习 第八章第五节课时知能训练 理 (广东专用)
一、选择题1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条直线 C ．两个点 D ．4条直线【解析】 由(x －y )2＋(xy －1)2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0xy －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)． 【答案】 C2．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】 设椭圆的中心为O ，则OM 是△PF 1F 2的中位线， ∴|MO |＋|MF 1|＝a ＞c ，∴动点M 的轨迹是以点F 1，O 为焦点的椭圆． 【答案】 B3．已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0【解析】 ∵AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB |＝5， 设点C (x ，y )由题意可知 12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， ∴4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0. 【答案】 B4．(2012·杭州模拟)设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，由PM →＝λMQ →得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝λx 0－x y －y 0＝－λy (λ＞0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝λ＋1y由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1， ∴点M 的轨迹是椭圆． 【答案】 B5．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y221＝1【解析】 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |， ∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ | ＝|CQ |＝5，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.【答案】 D 二、填空题6．(2012·汕头模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．【解析】 由题意△ABC 是以点C 为直角顶点的三角形． ∴|MC |＝3，故圆心M 的轨迹是以点C (1，－1)为圆心，以3为半径的圆， 其轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9. 【答案】 (x －1)2＋(y ＋1)2＝97．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为________．【解析】 依题意，设PM ，PN 与圆的切点为C ，D ，则|PM |－|PN |＝(|PC |＋|MC |)－(|PD |＋|DN |)＝|MB |－|NB |＝2，∴点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线(与x 轴的交点除外)的右支，c ＝3，a ＝1，b 2＝8，轨迹方程为x 2－y 28＝1(y ≠0，x ＞0)．【答案】 x 2－y 28＝1(y ≠0，x ＞0)8．△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 【答案】x 29－y 216＝1(x ＞3) 三、解答题9．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 直线l 与y 轴的交点为N (0,1)，圆心C (2,3)，设M (x ，y )，∵MN 与MC 所在直线垂直，∴y －1x ·y －3x －2＝－1，(x ≠0且x ≠2)， 当x ＝0时不符合题意，当x ＝2时，y ＝3符合题意， ∴AB 中点的轨迹方程为：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0，7－74＜x ＜7＋74.图8－5－410．(2011·陕西高考)如图8－5－4，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【解】 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. 11．已知点A (2,0)，B (－2,0)，P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为－34.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)过点(12，0)作直线l ，与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)设P 点的坐标为(x ，y )，依题意得yx －2·y x ＋2＝－34(x ≠±2)，化简并整理得x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． ∴动点P 的轨迹C 的方程是x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)依题意得，直线l 过点(12，0)，且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12x 24＋y 23＝1，消去x 得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m23m 2＋4， ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4， ①当m ＝0时，k ＝0， ②当m ≠0时，k ＝14m ＋4m，又|4m ＋4m |＝4|m |＋4|m |≥8，∴0＜|k |≤18，∴－18≤k ≤18，且k ≠0，综合①②，直线AM 的斜率k 的取值范围为[－18，18]．。
高三数学总复习知能达标训练第八章
高三数学总复习知能达标训练第八章第八节 直线与圆锥曲线的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0解析 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0， 若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.答案 D2．(2012·长沙模拟)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3 解析 根据已知条件c ＝16－m 2， 则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上， ∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.答案 B3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π3的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为A ．2B ．4C ．6D ．8解析 焦点F (1,0)，AF 的直线方程为y －0＝tan π3(x －1)，即y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得[3(x －1)]2＝4x ，即3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝13(舍去)，故点A 的坐标为(3,23)，|AF |＝(3－1)2＋(23－0)2＝4.答案 B 4．(2012·杭州模拟)AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△F AB 的最大面积为A ．b 2B ．abC ．acD ．bc解析 设A 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)，则S △F AB ＝12|OF ||2y 1|＝c |y 1|≤bc . 答案 D5．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为A ．2 B.455 C.4105D.8105 解析 设椭圆交直线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t .消去y ， 得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2· ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝4255－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.答案 C6．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析 由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCM ＝30°，又|AF |＝3，∠AFx ＝60°，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋32，332， A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.答案 B二、填空题(3×4分＝12分) 7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，∴m ＞0且m ≠5. ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m ≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.答案 m ≥1且m ≠58．(2012·湛江模拟)直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 不同两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是________．解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4＞0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎨⎧k ＞－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2. 答案 29．在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M 、N 的坐标分别为________．解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2，整理得x 2＋x －b ＝0，Δ＝1＋4b ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上，代入得b ＝2，解得x1＝－2，y1＝4，x2＝1，y2＝1. 答案(－2,4)，(1,1)三、解答题(38分)10．(12分)(2011·天津)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程．解析(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以(a－c)2＋b2＝2c.整理得2⎝⎛⎭⎪⎫ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍)，或ca＝12.所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x2＋4y2＝12c2，y＝3(x－c).消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c.得方程组的解⎩⎨⎧x1＝0，y1＝－3c，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝85c，y2＝335c.不妨设A⎝⎛⎭⎪⎫85c，335c，B(0，－3c)，所以|AB|＝⎝⎛⎭⎪⎫85c2＋⎝⎛⎭⎪⎫335c＋3c2＝165c.于是|MN|＝58|AB|＝2c.圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝|－3－3－3c|2＝3|2＋c|2.因为d2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN|22＝42，所以34(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.11．(12分)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，M ，N 分别为双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC→＝λOA →＋OB →，求λ的值． 解析 (1)M (－a,0)，N (a,0)，由k PM ·k PN ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝15， 又x 20a 2－y 20b 2＝1，∴a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.设OC →＝(x 3，y 3)，由于OC →＝λOA →＋OB →， 即x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，∴x 23－5y 23＝5b 2，即(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，即λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.又A ，B 在双曲线上，∴x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.又x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，∴λ2＋4λ＝0，λ＝0或λ＝－4.12．(14分)(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限．过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC 并延长，交椭圆于点B ，设直线P A 的斜率为k .(1)若直线P A 平分线段MN ，求k 的值；(2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ；(3)对任意的k ＞0，求证：P A ⊥PB .解析 (1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22. 由于直线P A 平分线段MN ，故直线P A 过线段MN 的中点，又直线P A 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)直线P A 的方程为y ＝2x ， 代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23， 因此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－43. 于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， 直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)证法一 将直线P A 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2.记μ＝21＋2k 2， 则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)． 故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k 2， 其方程为y ＝k 2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ. 因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k 2. 于是直线PB 的斜率 k 1＝μk 32＋k 2－μk μ(3k 2＋2)2＋k 2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k . 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB .证法二 设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)． 设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－(－y 1)x 1－(－x 1)＝y 12x 1＝k 2. 从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＋1 ＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝(x 22＋2y 22)－(x 21＋2y 21)x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB .。
高三数学一轮复习 第八章第8课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y25－x24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：选D.由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，故选D.2．(2011·高考课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．解：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：选D.由已知得椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为F (2,0)，∴p2＝2，得p ＝4.2．(2010·高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选B.y 2＝8x 的焦点是F (2,0)， 准线x ＝－2，如图所示，|PA |＝4，|AB |＝2，∴|PB |＝|PF |＝6.故选B.3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x 解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)， 则p2＝2，所以p ＝22， 所以抛物线方程为y 2＝±42x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )A.125B.19C.15D.13解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线的准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x . 把M (1，m )代入得m ＝4，即M (1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a .解得a ＝19.5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( ) A ．(1,0) B ．(2,2) C ．(3,2) D ．(2,4) 解析：选C.依题意得，抛物线C 的方程是y2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C. 二、填空题6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3. 答案：37．(2012·开封质检)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(1)抛物线的焦点坐标是________；(2)梯形PQRF 的面积是________．解析：代入(1,2)得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.又R ⎝⎛⎭⎪⎫0，－18，|FR |＝14，|PQ |＝2＋18＝178， 所以梯形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋178×1＝1916.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 (2)1916 8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8·(－32)＝12，x ＝±2 3.故水面宽4 3 米．答案：4 3 三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32，∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 11．已知直线AB 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．解：由题意得k OD ＝12，∵AB ⊥OD ，∴k AB ＝－2， 又直线AB 过点D (2,1)，∴直线AB 的方程为y ＝－2x ＋5， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过点O ，∴O A →·O B →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋5y 2＝2px得4x 2－(2p ＋20)x ＋25＝0，∴x 1＋x 2＝p ＋102，x 1x 2＝254，∴y 1y 2＝(－2x 1＋5)(－2x 2＋5) ＝4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25 ＝25－5p －50＋25＝－5p ， ∴254＋(－5p )＝0， ∴p ＝54，∴抛物线方程为y 2＝52x .。
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高三数学总复习知能达标训练第八章第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案 C2．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 中点，则直线AB 的方程是A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0答案 A3．圆心在抛物线y 2＝2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0 解析 设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，依题意有a 22＋12＝|a |， 得圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1. 答案 D4．(2012·台州模拟)圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 圆的圆心(－1，－2)，半径R ＝22，而圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2.答案 C5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－3，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0 解析 设弦心距为d ，则d ＝ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22≤1， 即|2k －3＋3|k 2＋1≤1，解得－33≤k ≤33. 答案 B6．(2011·江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 C 1化为标准式(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y －mx －m ＝0⇒y ＝m (x ＋1)，当m ＝0时，C 2：y ＝0此时C 2与C 1仅有两交点；当m ≠0时，易知要满足题意需(x －1)2＋y 2＝1与y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时m ＝±33，∴直线处于两切线之间，即－33＜m ＜0或0＜m ＜33.综上m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．(2012·中山模拟)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.解析 d ＝|a ＋1|a 2＋1，由已知条件d 2＋3＝4， 即d 2＝1，|a ＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝0. 答案 08．过点(－1，－2)的直线被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析 当斜率不存在时，易知l 与圆相离，∴斜率存在，设圆的斜率为k ，∴l ：y ＋2＝k (x ＋1)，即：kx －y ＋k －2＝0，对于圆的方程，可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)，半径为1，∴圆心到l 的距离：d ＝|k －1＋k －2|k 2＋1＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222⇒(7k －17)(k －1)＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案 k ＝1或k ＝1779．(2011·湖南)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________．(2)圆C 上任一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析 (1)圆心(0,0)，∴d ＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5. (2)如图设直线l ′∥l ，且l ′与圆交于P 、Q 两点，过圆心作AB ⊥l 交l 于B 交l ′于C ，∵|BC |＝2，|OC |＝5－2＝3，又|OP |＝12＝23，∴∠OPQ ＝60°，平移A 到l 距离小于2，则A 在PAQ 上，∴P ＝60°360°＝16.答案 (1)5 (2)16三、解答题(38分)10．(12分)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为M 、N ，证明：直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证明 证法一 设M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵M 、N 在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴过M 、N 的切线方程分别是：x 1x ＋y 1y ＝r 2，x 2x ＋y 2y ＝r 2，又P 是两切线公共点，即有：x 1x 0＋y 1y 0＝r 2，x 2x 0＋y 2y 0＝r 2，上两式表明点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在二元一次方程x 0x ＋y 0y ＝r 2表示的直线上．所以直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证法二 以OP 为直径的圆的方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12y 02＝14(x 20＋y 20)， 即x 2＋y 2－x 0x －y 0y ＝0，又圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，两式相减得x 0x ＋y 0y ＝r 2，这便是过切点M 、N 的直线方程．11．(12分)一直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．解析 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4.∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．(2)当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， ∴|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3， 解得k ＝－34.所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.12．(14分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析 (1)对于y ＝x 2－6x ＋1，令x ＝0得y ＝1，令y ＝0得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，∴曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴交于(0,1)与x 轴交于(3＋22，0)及(3－22，0)，设该圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将以上三点代入．解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1.∴x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0即(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0(x －3)2＋(y －1)2＝9消y 得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，由已知Δ＝(2a －8)2－2×4(a 2－2a ＋1)＝56－16a －4a 2＞0.∴－2－32＜a ＜－2＋32(*)∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0⇒a ＝－1符合(*)，∴a ＝－1.。
高三数学一轮复习 第八章第1课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．(2010·高考安徽卷)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：选A.与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为：x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入x －2y ＋c ＝0，解得：c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.2．直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．0解析：选A.方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a ＞0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号．3．直线l 经过点A (2,1)，B (1，m 2)两点(m ∈R)．则直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：由于直线l 与经过点(－2,1)且斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2，即a ≠0，∵k l ＝1－－1－a －2－a －2＝－1a ，∴－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，得a ＝－23.答案：－23一、选择题1．(2012·洛阳调研)已知直线l 1：y ＝x ，若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为( ) A.π4 B ．k π＋π4(k ∈Z) C.3π4 D ．k π＋3π4(k ∈Z) 解析：选C.根据l 2⊥l 1，且l 1的斜率为1，可得l 2的斜率为－1，因此直线l 2的倾斜角为34π.2．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0解析：选B.∵B (3,1)，C (1,3)，∴k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0. 3．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B.32 C ．3 D. －3解析：选A.过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －－10－－1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．4．(2012·大同质检)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：选B.斜率k ＝－1a 2＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C.由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限． 二、填空题6．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________．解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝t an60°＝3，又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5. 答案：y ＝3x ＋57．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)8．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________． 解析：AB 所在直线方程为x 3＋y4＝1，∴x 3·y 4≤14(x 3＋y 4)2＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：3 三、解答题9．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x－y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得|(3k ＋4)(－4k－3)|＝6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 11．已知直线l 过点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B (如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a,8－2a )． ∵P (0,1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a,2a －6)．又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A (－a,2a －6)代入直线l 1的方程，得 －a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4. ∴点B 的坐标是(4,0)．因此，过P (0,1)，B (4,0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.。
2013年高考总复习文科数学第八章第6课时知能演练+轻松闯关 含答案
1．（2012·大连调研)点A（3,3，1）关于平面xOy的对称点为A1,点B（－2,－2，1)关于平面xOy的对称点为B1，求｜A1B1|等于？解:因点A1与点B1都是点A、B关于同一平面xOy的对称点，所以|A1B1|＝|AB|＝错误!＝错误!＝5错误!。
2．△ABC的顶点分别为A（1，－1，2）,B(5,－6，2），C（1,3，－1）求AC边上的高BD.解：设错误!＝λ错误!，D（x，y，z)，则（x－1,y＋1,z－2）＝λ（0,4，－3）,∴x＝1,y＝4λ－1，z＝2－3λ。
∴错误!＝（－4,4λ＋5,－3λ）,∴4(4λ＋5）－3(－3λ）＝0，∴λ＝－错误!,∴错误!＝(－4，错误!,错误!)，∴｜B错误!|＝错误!＝5。
一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P（1，错误!，错误!),过点P作平面xOy 的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（）A．（0，2，0) B．（0，错误!，错误!）C．(1，0，错误!） D．(1，错误!，0）解析:选D。
Q点在xOy平面上，故其坐标为（1，错误!,0），故选D。
2．设点B是点A（2，－3,5)关于xOy面的对称点，则A、B两点间的距离为（)A．10 B.错误!C。
错误!D．38解析：选A。
由于A、B关于xOy对称，则A，B的横,纵坐标相等,竖坐标互为相反数，故B点坐标为(2，－3，－5），|AB｜＝错误!＝10，选A.3．已知A点坐标为（1，1,1)，B(3，3,3)，点P在x轴上，且｜PA|＝｜PB|，则P点坐标为（）A．(6，0，0) B．（6,0,1)C．(0，0,6）D．(0，6,0)解析:选A。
设P点坐标为(x,0,0），则｜PA｜＝错误!＝x－12＋2，|PB｜＝x－32＋0－32＋0－32＝错误!，∵｜PA｜＝｜PB|，∴错误!＝错误!，两边平方并解得：x＝6.∴P点坐标为(6，0，0）,故选A.4．已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A（－1,2,－1），B（3,－2，3），则正方体的棱长等于（）A．4 B．2C.错误!D．2错误!解析：选A.由题意可知，A、B两点为正方体体对角线的两个端点，设正方体棱长为a，则|AB|＝错误!a，而｜AB|＝错误!＝错误!＝4错误!，∴错误!a＝4错误!,∴a＝4，故选A.5．(2012·沈阳质检)点P（x，y，z)满足错误!＝2,则点P在（）A．以点(1,1，－1）为圆心，以2为半径的圆上B．以点（1，1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C．以点（1，1,－1)为球心，以2为半径的球面上D．无法确定解析：选C。
2022届高三数学一轮复习 第八章第二节课时知能训练 理
课时知能训练一、选择题1．2022·阳江模拟已知直线1：＝2＋3，直线2与1关于直线＝－对称，则直线2的斜率为B．－错误!C．2 D．－2【解析】点A0,3，B－1,1在直线1上，则点A，B关于直线＝－的对称点A′－3,0，B′－1,1在直线2上，故直线2的斜率＝错误!＝错误!【答案】 A2．直线m＋4－2＝0与2－5＋n＝0垂直，垂足为1，－20＝0得m＝10，由垂足1，＋4－2＝0上得，10＋4＝0m≠－6，则有错误!＝错误!，即|m－1|＝7，∴m＝8故所求直线方程为2＋3＋8＝0【答案】2＋3＋8＝08．经过直线3－2＋1＝0和＋3＋4＝0的交点，且垂直于直线＋3＋4＝0的直线的方程为________．【解析】解方程组错误!得交点坐标－1，－1．又直线的斜率＝3所以的方程为＋1＝3＋1，即3－＋2＝0【答案】3－＋2＝0三、解答题9．已知直线：2a＋b＋a＋b＋a－b＝0及点P3,4．1证明直线过某定点，并求该定点的坐标．2当点P到直线的距离最大时，求直线的方程．【解】1证明的方程化为a2＋＋1＋b＋－1＝0，由错误!得错误!，∴直线恒过定点－2,3．2设直线恒过定点A－2,3，当直线垂直于直线PA时，点P到直线的距离最大，又直线PA的斜率PA＝错误!＝错误!，∴直线的斜率＝－5故直线的方程为－3＝－5＋2，即5＋＋7＝010．2022·宁波模拟已知直线经过直线3＋4－2＝0与直线2＋＋2＝0的交点P，且垂直于直线－2－1＝01求直线的方程；2求直线与两坐标轴围成的三角形的面积S【解】1由错误!解得错误!由于点P的坐标是－2,2．所求直线与－2－1＝0垂直，可设直线的方程为2＋＋C＝0把点P的坐标代入得2×－2＋2＋C＝0，即C＝2所求直线的方程为2＋＋2＝02又直线的方程2＋＋2＝0在轴、轴上的截距分别是－1与－2则直线与两坐标轴围成三角形的面积S＝错误!×1×2＝111．在直线：3－－1＝0上求一点P，使得P到A4,1和B0，4的距离之差最大．【解】如图所示，设点B关于的对称点为B′，连结AB′并延长交于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为a，b，则BB′·＝－1，即错误!·3＝－1∴a＋3b－12＝0①又由于线段BB′的中点坐标为错误!，错误!，且在直线上，∴3×错误!－错误!－1＝0，即3a－b－6＝0②①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′3,3．于是AB′的方程为错误!＝错误!，即2＋－9＝0解错误!得错误!即与AB′的交点坐标为P2,5．。
高三数学一轮复习 第八章第9课时知能演练轻松闯关 试题
2021年高三数学一轮复习 第八章第9课时知能演练轻松闯关 新人教版1．AB 为过椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的弦，F (c,0)为它的焦点，那么△FAB 的最大面积为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bcA 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)，那么S △FAB ＝12|OF |·|2y 1|＝c |y 1|≤bc .2．(2021·高考卷)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，那么y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0F 为圆心、|FM |为半径的圆的HY 方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的间隔 为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.3．曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，求1a －1b的值．解：设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a －y 2b＝1，x ＋y －1＝0，那么(b －a )x 2＋2ax －a －ab ＝0.所以x 1＋x 2＝－2a b －a ，x 1x 2＝－a －abb －a，y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2，根据OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，得 1－(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0， 因此1＋2a b －a ＋2×－a －ab b －a ＝0，化简得b －a ab＝2， 即1a －1b＝2.一、选择题1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公一共点，那么m 的取值范围是( )A ．m >4B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0.假设直线与椭圆有两个公一共点，那么Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0，求得m <0或者m x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3.综上，得m 的取值范围是m >1且m ≠3.应选B.2．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，那么OA →·OB →等于( ) A.34 B ．－34C ．3D ．－3解析：选B.法一：(特殊值法)抛物线的焦点为F (12，0)，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)，∴OA →·OB →＝(12，1)·(12，－1)＝14－1＝－34.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝14－1＝－34.3．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，那么此弦所在直线的方程是( ) A ．3x ＋2y －4＝0 B ．4x ＋6y －7＝0 C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.4．(2021·高考课标全国卷)双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B.∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的HY 方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，那么x 2a 2－x －32b 2＝1.整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么x 1＋x 2＝6a2a 2－b 2＝2×(－12)．∴a 2＝－4a 2＋4b 2， ∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.5．(2021·调研)抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4间隔 最近的点的坐标是( ) A ．(32，54)B ．(1,1)C ．(32，94)D ．(2,4)P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任 一点，那么P 到直线的间隔 d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝x －12＋35，∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1,1)．二、填空题6．假设圆x 2＋y 2－ax －2＝0与抛物线y 2＝4x 的准线相切，那么a 的值是________． 解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，圆的方程变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝a24＋2，由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋1＝a 24＋2，即a 24＋a ＋1＝a 24＋2，∴a ＝1. 答案：17．假设m ＞0，点P (m ，52)在双曲线x 24－y25＝1上，那么点P 到该双曲线左焦点的间隔 为________．解析：点P (m ，52)在双曲线x 24－y25＝1上，且m ＞0，代入双曲线方程解得m ＝3，双曲线左焦点F 1(－3,0)，故|PF 1|＝3＋32＋52－02＝132. 答案：1328．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .假设AM →＝MB →，那么p ＝________.解析：如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝MB →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P .那么∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.答案：2 三、解答题9．双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)．直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求此双曲线方程．解：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，且c ＝7，那么a 2＋b 2＝7.①由MN 中点横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 得2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5，故所求方程为x 22－y 25＝1. 10．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的两点，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，且m ·n ＝0，椭圆离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆方程；(2)假设存在斜率为k 的直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝32b ＝1，解得a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)设AB 方程为y ＝kx ＋ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1⇒(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1·x 2＝－1k 2＋4. 由：0＝m ·n ＝x 1x 2b 2＋y 1y 2a2 ＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2＋44·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＋34k ·－23k k 2＋4＋34.解得k ＝± 2.11．中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的一个顶点为B (0，－1)，右焦点到直线m ：x －y ＋22＝0的间隔 为3. (1)求椭圆C 的HY 方程；(2)是否存在斜率k ≠0的直线l 与C 交于M ，N 两点，使|BM |＝|BN |？假设存在，求k 的取值范围；假设不存在，说明理由．解：(1)由题意，b 2＝1，设右焦点为F (c,0)， 那么d ＝|c ＋22|2＝3，即|c ＋22|＝3 2.解得c ＝2，又a 2＝c 2＋b 2＝3，∴a 2＝3. ∴所求椭圆C 的HY 方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在k 满足条件，设l 与C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．那么⎩⎪⎨⎪⎧x 213＋y 21＝1，x223＋y 22＝1，两式相减得13(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.设MN 的中点为P (x 0，y 0)，∴k ·k OP ＝－13，即k ＝－x 03y 0.又∵BP ⊥l ，∴y 0＋1x 0＝－1k. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－32k ，y 0＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k ，12.∵要使|BM |＝|BN |，须x 203＋y 20<1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k 23＋14<1，∴k 2<1且k ≠0.∴存在－1<k <0或者0<k <1满足题设．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2022年高三数学一轮复习 第八章第7课时知能演练轻松闯关 新人教版
2022年高三数学一轮复习第八章第7课时知能演练轻松闯关新人
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1．若∈R，则方程错误!＋错误!＝1表示焦点在轴上的双曲线的充要条件是
A．－3－2 D．>－2
解析：选A由题意可知，错误!错误!0，
∴0＝错误!＝m，
0＝0＋m＝2m，
∵点M0，0在圆2＋2＝5上，
∴m2＋2m2＝5，∴m＝±1
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为错误!，且点4，－错误!在双曲线上．
1求双曲线的方程；
2若点M3，m在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
3求△F1MF2的面积．
解：1∵离心率e＝错误!，∴双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为2－2＝λλ≠0．
∵点4，－错误!在双曲线上，
∴λ＝42－－错误!2＝6
∴所求双曲线方程为2－2＝6
2证明：若点M3，m在双曲线上，则32－m2＝6，
∴m2＝3
由双曲线2－2＝6知焦点F1－2错误!，0，F22错误!，0，
∴错误!·2错误!－3，－m＝9－2错误!2＋m2＝0，即错误!|＝2错误!×错误!＝6。
(新课标)高考数学一轮复习第八章第3讲知能训练轻松闯关
（新课标）高考数学一轮复习第八章 第 3 讲 知能训练轻松闯 关【优化方案】（新课标） 2016 高考数学一轮复习 第八章 第 3 讲 知能训练轻松闯关1．经过点 (1 ， 0) ，且圆心是两直线 x ＝ 1 与 x ＋ y ＝ 2 的交点的圆的方程为 ( )A ． ( x － 1) 2＋ y 2＝ 1B ．． ( x － 1) 2＋ ( y － 1) 2＝1C ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 1D ．( x － 1) 2＋( y － 1) 2＝ 2x ＝ 1x ＝ 1，分析：选 B ．由，得x ＋ y ＝2y ＝ 1，1，故圆的方程为 ( x 即所求圆的圆心坐标为(1 ， 1) ，又由该圆过点 (1 ，0) ，得其半径为 －1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1．2．已知⊙ C ：x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0，则“ F ＝E ＝ 0 且 D <0”是“⊙ C 与 y 轴相切于原点”的()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件D分析：选 A ．由题意可知，要求圆心坐标为－ ， 0 ，而 D 能够大于 0．23．圆 ( x ＋ 2) 2＋ y 2＝ 5 对于直线 y ＝ x 对称的圆的方程为 ()A ． ( x － 2) 2＋ y 2＝ 5B ．x 2＋ ( y － 2) 2＝ 5C ．( ＋ 2) 2＋ ( y ＋2) 2＝ 5D ． x 2＋ ( y ＋2)2＝ 5xx 2＋ ( y ＋ 2) 2分析：选 D ．由题意知所求圆的圆心坐标为 (0 ，－2) ，所以所求圆的方程为 ＝5．4．若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x － 3y ＝0 和 x 轴都相切，则该圆 的标准方程是 ( )A ．( － 2) 2＋ ( y －1) 2＝ 1B ．( x － 2) 2＋( y ＋1) 2＝ 1xC ． ( x ＋ 2) 2＋ ( y －1) 2＝ 1D ．( x － 3) 2＋( y － 1) 2＝ 1分析：选 A ．因为圆心在第一象限且与 x 轴相切，故设圆心为 ( a ， 1) ，又圆与直线 4x－3y ＝ 0 相切，可得 |4 a － 3|＝1，解得 a ＝ 2，故圆的标准方程为 ( x － 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1．55．(2015 ·温州模拟 ) 已知点 P ( x ， y ) 是直线 kx ＋ y ＋ 4＝ 0( k ＞ 0) 上一动点， PA ， PB 是圆 C ： x 2＋ y 2－ 2y ＝ 0 的两条切线， A ， B 为切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为()A ． 4B ．3C ． 2D ． 2分析：选 C ．圆 C 的方程可化为 x 2＋ ( y －1) 2＝ 1，因为四边形 PACB 的最小面积是 2，且此时切线长为2，故圆心 (0 ， 1) 到直线 kx ＋ y ＋ 4＝ 0 的距离为5，即5＝ 5，解得 k1＋ k 2＝± 2，又 k ＞ 0，所以 k ＝ 2．16．假如直线l将圆C：( x－ 2)2＋ ( y＋ 3)2＝ 13 均分，那么坐标原点O到直线 l 的最大距离为 ________．分析：由题意，知直线l 过圆心 C(2，－3)，当直线 OC⊥ l 时，坐标原点到直线l 的距离最大，| | ＝22＋（－ 3）2＝ 13．OC答案：137．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且 | AB| ＝ 6，若以AB的长为直径的圆M 恰好经过点 (1 ，－ 1) ，则圆心的轨迹方程是 ________________ ．C M分析：设圆心坐标为 M( x， y)，||2则 ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝AB，2即 ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 9．答案： ( x－ 1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 98．(2015 ·太原市模拟 ) 已知点P是直线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 上的动点，点C是圆x2＋y2－ 2x －2y＋ 1＝0 的圆心，那么 | PC| 的最小值是 ________．分析：点C到直线 3＋4y＋ 8＝ 0 上的动点P的最小距离即为点C到直线 3 ＋4y＋8＝0x x的距离，而圆心C的坐标是(1，1)，所以最小距离为|3 ×1＋4×1＋ 8|＝ 3．5答案： 39．在平面直角坐标系xOy 中，求与x轴订交于(1，0)和(5 ，0) 两点且半径为5的A B圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为( x－a) 2＋ ( y－b) 2＝5．因为点 A， B 在圆上，所以可获得方程组：（－2＋（ 0－b）2＝5，）1 a（ 5－a）2＋（ 0－b）2＝ 5，a＝3，解得b＝±1.( x－3) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 5所以圆的标准方程是或 ( x－3) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 5．法二：因为 A，B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，依据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB的垂直均分线x＝3上，于是能够设圆心为C(3，b)．又＝5，得（3－1）2＋ 2＝ 5．AC b解得 b＝1或 b＝－1．( x－ 3) 2＋( y－ 1) 2＝ 5所以，所求圆的标准方程为或 ( x－3) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 5．10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和 B(3，4)，线段 AB的垂直均分线交圆 P于点C 和，且|| ＝4 10．D CD(1)求直线 CD的方程；(2)求圆 P 的方程．解： (1) 直线AB的斜率k＝ 1，AB的中点坐标为 (1 ， 2) ．则直线 CD的方程为 y－2＝－( x－1)，即 x＋y－3＝0．(2)设圆心P(a，b)，则由点P 在CD上，得 a＋b－3＝0．①又∵直径 | CD| ＝4 10，∴| PA| ＝210，∴( a＋1) 2＋b2＝ 40．②a＝－3a＝5，由①②解得或b＝－2.b＝62∴圆心 P ( － 3，6) 或 P (5 ，－ 2) ． 22∴圆 P 的方程为 ( x ＋ 3) ＋( y － 6) ＝ 40 或 ( x －5) 2＋ ( y ＋ 2) 2＝ 40．1．若曲线 ：2＋ 2 ＋ 2 －4 ＋ 5 2－4＝0 上全部的点均在第二象限内，则a 的取值Cxyaxaya范围为()A ． ( －∞，－ 2)B ．( －∞，－ 1)C ． (1 ，＋∞)D ．(2 ，＋∞)分析：选 D ．曲线 C 的方程可化为 ( x ＋ a ) 2＋ ( y － 2a ) 2＝ 4，其为圆心为 ( － a ， 2a ) ，半径为 2 的圆，要使圆 C 的全部的点均在第二象限内， 则圆心 ( － ， 2 ) 一定在第二象限，进而有 a >0，aaC 的半径，而且圆心到两坐标轴的最短距离应当大于圆易知圆心到坐标轴的最短距离为 | － a | ，则有 | － a |>2 ，得 a >2．2．已知两点 A (0 ，－ 3) 、 B (4 ， 0) ，若点 P 是圆 C ： x 2＋ y 2－ 2y ＝ 0 上的动点，则△ ABP面积的最小值为 ( )11A ． 6B ． 221 C ． 8D ． 2分析：选 B ．如图，过圆心C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P ，这时△ ABP 的面积最小．直x ＋ y＝ 1，即 3 x － 4y － 12 ＝ 0 ，圆心 C 到直线AB 的距离为d ＝线 AB 的方程为4 － 3|3 × 0－4×1－ 12| 1632＋（－ 4） 2 ＝ 5 ，116 11∴△ ABP 的面积的最小值为 2× 5× ( 5 － 1) ＝ 2 ．3．当方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋ 2y ＋ k 2 ＝0 所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝ ( k －1) x ＋ 2的倾斜角 α＝ ________．分析：由题意知，圆的半径r ＝ 1k 2＋4－ 4k 2＝14－ 3k 2≤1，当半径 r 取最大值时，2 2圆的面积最大， 此时 k ＝ 0，r ＝ 1，所以直线方程为 y ＝－ x ＋ 2，则有 tan α ＝－ 1，又 α∈[0 ，3π π) ，故 α＝ 4 ．3π答案： 44． ( 创新题 ) 已知直线 2ax ＋ by ＝ 1( a ， b 是实数 ) 与圆交于 A ， B 两点，且△ AOB 是直角三角形，点 P ( a ，b ) 是以点O ： x 2＋y 2＝ 1( O 是坐标原点 ) 相M (0 ，1) 为圆心的圆 M 上的随意 一点，则圆 M 的面积的最小值为 ________．分析：因为直线与圆 O 订交所得△ AOB 是直角三角形，可知∠ AOB ＝ 90°，所以圆心 O1 2 2 1 2 到直线的距离为2a 2 ＋ b 2＝ 2 ，所以 a ＝ 1－ 2b ≥ 0，即－ 2≤ b ≤ 2．设圆 M 的半径为 r ，322122则 r ＝ | PM | ＝ a ＋（ b －1） ＝ 2b－ 2b ＋ 2＝ 2 (2 － b ) ，又－ 2 ≤ b ≤ 2，所以2 ＋1≥|PM |≥ 2－ 1，所以圆 M 的面积的最小值为 (3 － 2 2) π．答案： (3 － 2 2) π5．(2013 ·高考课标全国卷Ⅱ ) 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为2 3．(1) 求圆心 P 的轨迹方程；(2) 若 P 点到直线 y ＝ x 的距离为2，求圆 P 的方程．2解： (1) 设 P ( x ， y ) ，圆 P 的半径为 r ．由题设 y 2＋ 2＝ r 2， x 2＋ 3＝ r 2，进而 y 2＋ 2＝x 2＋ 3．故 P 点的轨迹方程为 y 2－ x 2＝ 1．0| 2| 0－xy(2) 设 P ( x 0， y 0) ．由已知得2 ＝ 2 ．2 2| x 0－ y 0| ＝ 1， 又 P 点在双曲线 y － x ＝ 1 上，进而得22x －y ＝ 1，x ＝ 0，y 0－ x 0＝ 1.由0 得 022 y ＝－ 1.y－x ＝ 1，此时，圆 P 的半径 r ＝ 3．由x 0－y 0＝－ 1，得x 0＝ 0，22y 0 ＝1，y 0 －x 0＝ 1，此时，圆 P 的半径 r ＝ 3．故圆 P 的方程为 x 2＋ ( y ＋ 1) 2＝ 3 或 x 2＋( y － 1) 2＝ 3．6． ( 选做题 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2的圆 C 与直线 y ＝ x 相切于坐标原点 O ．(1) 求圆 C 的方程；(2) 尝试究 C 上能否存在异于原点的点 Q ，使 Q 到定点 F (4 ，0) 的距离等于线段 OF 的长？若存在，恳求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1) 设圆 C 的圆心为 C ( a ， b ) ，则圆 C 的方程为 ( x － ) 2＋( y－ ) 2＝ 8．ab∵直线 y ＝ x 与圆 C 相切于原点 O ， ∴ O 点在圆 C 上， 且 OC 垂直于直线 y ＝ x ，a 2＋b 2＝ 8 a ＝ 2a ＝－ 2 于是有 b? 或 ．a ＝－ 1b ＝－ 2b ＝ 2因为点 C ( a ， b ) 在第二象限，故 a <0， b >0， ∴圆 C 的方程为 ( x ＋ 2) 2＋( y －2) 2＝ 8．(2) 假定存在点 Q 切合要求，设 Q ( x ， y ) ，（ x － 4）2＋ y 2＝ 16， 则有（ x ＋ 2）2＋（ y － 2） 2＝ 8，4解之得 x ＝ 5或 x ＝ 0( 舍去 ) ．4 12∴存在点 Q ( 5， 5 ) ，使 Q 到定点 F (4 ， 0) 的距离等于线段 OF 的长．45。
高中数学 第8章8.3知能优化训练 湘教版选修23
高中数学 第8章8.3知能优化训练 湘教版选修231．设随机变量ξ～N (2,2)，则D (ξ)的值为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 解析：选B.∵ξ～N (2,2)，∴D (ξ)＝2.2.如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( )A ．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B ．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C ．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D ．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3解析：选D.当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f (x )＝12πe －x 22在x ＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D.3．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝12πe －x 22，X 在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1、p 2，则p 1、p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C.由题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，所以p 1＝p 2.4．设随机变量ξ服从标准正态分布，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 的值为________． 解析：c ＋1与c －1关于ξ＝0对称，∴c ＋1＋c －12＝0，∴c ＝0. 答案：0一、选择题1．在标准正态分布中，其随机变量的数学期望与方差分别为( )A ．0,0B ．1,0C ．0,1D ．1,1解析：选C.标准正态分布，n ＝0，σ＝1.2．某测量值X 服从标准正态分布，对于x 0，则Φ(x 0)＋Φ(－x 0)＝( )A ．0 B.12πC ．2Φ(x 0)D ．1答案：D3．在某标准正态分布中，对于某量a ≥0，则Φ(a )与Φ(－a )的大小( )A ．Φ(a )＞(－a )B ．Φ(a )＜Φ(－a )C ．Φ(a )≥Φ(－a )D ．Φ(a )≤Φ(－a )解析：选C.当a ＝0时，Φ(a )＝Φ(－a )＝12.当a ＞0时，Φ(a )＞Φ(－a )． 4．在某测量随机变量的标准正态中，有( )A ．P (－1＜x ＜1)＞P (0＜x ＜2)B ．P (0＜x ＜1)＝P (1＜x ＜2)C ．P (0＜x ＜2)＜P (5＜x ＜8)D．P(x＜－1)＞P(x＞1)解析：选A.根据标准正态曲线的对称性及Φ(a)的意义，表示P(x＜a)．5．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( ) A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975解析：选C.ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.6．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝( )A.12＋p B.12－pC．1－2p D．1－p解析：选B.P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝12[1－2P(ξ>1)]＝12－P(ξ>1)＝12－p.二、填空题7．在标准正态分布中，若P(x＜a)＝0.5，则a＝________.解析：标准正态分布关于y轴对称，P(x＜0)＝0.5.答案：08．若随机变量X服从数学期望值μ，标准差是σ的正态分布，当X＝________时，正态曲线达到最大值．解析：正态曲线关于μ对称，当X＝μ时有最大值．答案：μ9．在标准正态分布Φ(x)＝12πe－x22中，若P(x＜3)＝0.9987，则P(－3＜x＜0)＝________.解析：P(x＞3)＝1－P(x＜3)＝1－0.9987＝0.0013，∴P(x＜－3)＝P(x＞3)＝0.0013.又P(x＜0)＝0.5.P(－3＜x＜0)＝P(x＜0)－P(x＜－3)＝0.5－0.0013＝0.4987.答案：0.4987三、解答题10．对于正态分布曲线Φ(x)＝12πe－x22，若Φ(1.5)＝0.9332，Φ(2)＝0.9772.(1)求P(－1.5＜x＜1.5)；(2)求P(－1.5＜x＜2)；(3)求P(－2＜x＜－1.5)．解：(1)∵Φ(1.5)＋Φ(－1.5)＝1，∴Φ(－1.5)＝1－Φ(1.5)，P(－1.5＜x＜1.5)＝Φ(1.5)－Φ(－1.5)＝Φ(1.5)－(1－Φ(1.5))＝2Φ(1.5)－1＝2×0.9332－1＝0.8664.(2)P(－1.5＜x＜2)＝Φ(2)－Φ(－1.5)＝Φ(2)－1＋Φ(1.5)＝0.9772＋0.9332－1＝0.9104.(3)P(－2＜x＜－1.5)＝P(1.5＜x＜2)＝Φ(2)－Φ(0.5)＝0.9772－0.9332＝0.0440.11．对直径等于1 cm的圆测量的周长是x，设测量的标准差是σ，要使P(|x－μ|≤0.0353)＝0.95，其标准差的最小值是多少？解：根据定理在正态分布中P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －M |σ≤1.96＝0.95，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x －M |σ≤1.96＝{|x －M |≤1.96σ}，∴0.0353≤1.96σ，∴σ≥0.018 (cm)， ∴标准差σ的最小值为0.018 cm.12．一次数学考试中，某班学生的分数X 服从正态分布，全班的平均分为μ＝110.(1)当全班分数的标准差为10时，计算|x －110|≤19.6的概率；(2)当全班学生的分数标准差为20时，计算P (70.8≤x ≤149.2)．解：根据定理P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －μ|σ≤1.96＝0.95，(1)当σ＝10，μ＝110时，(x －110)≤19.6，即x －μ10≤1.96，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －110|10≤1.96＝0.95.(2)70.8≤X ≤149.2，∴－39.2≤X －110≤39.2，即|x －110|20≤1.96也是|x －M |σ≤1.96.∴P (70.8≤X ≤149.2)＝0.95.。
2019-2020年高考数学一轮复习 第八章 第4讲 知能训练轻松闯关
2019-2020年高考数学一轮复习 第八章 第4讲 知能训练轻松闯关 1．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切，则圆O 的方程为( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝3C ．x 2＋y 2＝2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A ．依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4．2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A ．12B ．1C ．22D ．2 解析：选D ．因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1－（22）2＝22，所以弦长为2． 3．(xx·高考湖南卷)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C ．圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ．又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5．又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9．4．(xx·湖南岳阳模拟)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A ．12，－4B ．－12，4 C ．12，4 D ．－12，－4 解析：选A ．因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4． 5．过点P (4，1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．3x －y －4＝0B ．3x ＋y －4＝0C ．4x －y －4＝0D ．4x ＋y －4＝0解析：选B ． 如图所示，A 点的坐标为(1，1)，∵AB ⊥PC ，k PC ＝13， ∴k AB ＝－3，∴直线AB 的方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．6．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1，2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为点A (1，2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x＝0，得y ＝52． 令y ＝0，得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254． 答案：2547．(xx·辽宁阜新模拟)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________．解析：∵(1－2)2＋(2)2＝3＜4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，即直线l 交圆的弦长最短，此时圆心(2，0)与点(1，2)的连线垂直于直线l ． ∵2－01－2＝－2， ∴所求直线l 的斜率k ＝22． 答案：228．(xx·山东济南模拟)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝________． 解析：∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3． 答案：3或－39．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0．(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2．(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2． 解得a ＝－34． (2)过圆心C 作CD ⊥AB (图略)，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1．故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0．10．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0．(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角．解：(1)证明：将已知直线l 化为y －1＝m (x －1)．故直线l 恒过定点P (1，1)． 因为12＋（1－1）2＝1<5，故点P (1，1)在已知圆C 内，从而直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)圆半径r ＝5，圆心C 到直线l 的距离为d ＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝32， 由点到直线的距离公式得|－m |m 2＋（－1）2＝32， 解得m ＝±3，故直线的斜率为±3，从而直线l 的倾斜角为π3或2π3．1．(xx·高考江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34π C ．(6－25)π D ．54π 解析：选A ．∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y－4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |．又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π． 2．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A ．设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为(－31＋λ，－3λ1＋λ)，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．3．(xx·江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0．若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是________．解析：圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝4．先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P 到圆心的距离为22”．再将“直线上存在点P 到圆心的距离为22”转化为“圆心到直线的距离小于等于22”．即|3k |k 2＋1≤22，－22≤k ≤22． 答案：[－22，22]4．(xx·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．解析：设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(－1，0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2．问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3，0)与点P (1，－3)之间的距离为（3－1）2＋（0＋3）2＝7，故（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为7＋1．答案：7＋15．已知圆x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0(0＜a ≤4)的圆心为C ，直线l ：y ＝x ＋m ．(1)若m ＝4，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；(2)若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0，4]上变化时，求m 的取值范围．解：(1)∵x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0，∴(x ＋a )2＋(y －a )2＝4a ，∴圆心为C (－a ，a )，半径为r ＝2a ，设直线l 被圆C 所截得的弦长为2t ，当m ＝4时，直线l ：x －y ＋4＝0，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－a －a ＋4|2＝2·|a －2|， 则t 2＝(2a )2－2(a －2)2＝－2a 2＋12a －8＝－2(a －3)2＋10，又0＜a ≤4，∴当a ＝3时，直线l 被圆C 所截得弦长的值最大，其最大值为210．(2)圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－a －a ＋m |2＝|m －2a |2， ∵直线l 是圆C 的切线，∴d ＝r ，即|m －2a |2＝2a ， ∴m ＝2a ±22a ，又∵直线l 在圆心C 的下方，∴m ＝2a －22a ＝(2a －1)2－1，∵a ∈(0，4]，∴m 的取值范围是[－1，8－42]．6．(选做题)(xx·广东揭阳模拟)已知曲线C 的方程为：ax 2＋ay 2－2a 2x －4y ＝0(a ≠0，a 为常数)．(1)判断曲线C 的形状；(2)设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点A ，B (A ，B 不同于原点O )，试判断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的判断； (3)设直线l ：y ＝－2x ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，且|OM |＝|ON |，求曲线C 的方程．解：(1)将曲线C 的方程化为x 2＋y 2－2ax －4a y ＝0⇒(x －a )2＋(y －2a )2＝a 2＋4a2， 可知曲线C 是以点(a ，2a )为圆心，以 a 2＋4a2为半径的圆． (2)△AOB 的面积S 为定值．证明如下：在曲线C 的方程中令y ＝0，得ax (x －2a )＝0，得点A (2a ，0)，在曲线C 方程中令x ＝0，得y (ay －4)＝0，得点B (0，4a)， ∴S ＝12|OA |·|OB |＝12·|2a |·|4a|＝4(定值)． (3)∵圆C 过坐标原点，且|OM |＝|ON |，∴OC ⊥MN ，∴2a 2＝12， ∴a ＝±2，当a ＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆的半径为5，圆心到直线l ：y ＝－2x ＋4的距离d ＝|－4－1－4|5＝95＞5， 直线l 与圆C 相离，不合题意舍去，a ＝2时符合题意．这时曲线C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0．。
高考数学 第八章第3课时 知能演练轻松闯关 新人教A版
高考数学 第八章第3课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版一、选择题1．(2011·高考安徽卷)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B.化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.2．(2013·郑州调研)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16 解析：选B.设P (x ，y )，则由题意可得，2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.3．(2013·广州模拟)若a ∈{－2,0,1，34}，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.要使方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则应有a 2＋(2a )2－4(2a2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23，∴符合条件的a 只有一个，a ＝0，∴原方程只能表示一个圆．4．(2013·深圳调研)若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D.曲线C 的方程可化为：(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心为(－a,2a )，要使得圆C 的所有点均在第二象限内，则圆心必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到x ，y 轴的距离分别为|2a |和|－a |，则有|2a |>2且|－a |>2，且a >2.5．(2013·济南模拟)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴均相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1解析：选B.设圆心为(a ，b )(a >0，b >0)，依题意有|4a －3b |42＋－32＝b ＝1，∴a ＝2，b ＝1， ∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B. 二、填空题6．圆x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)的半径为________．解析：方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)配方为(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，所以方程表示的圆的半径r ＝2|a |. 答案：2|a |7．点P 是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋13＝0上的动点，O 是坐标原点，则线段OP 的中点Q 的轨迹方程是________．解析：圆的方程可化为(x －4)2＋(y －1)2＝4.设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 02，∴x 0＝2x ，y 0＝2y .∵(x 0，y 0)是圆上的动点，∴(x 0－4)2＋(y 0－1)2＝4，∴(2x －4)2＋(2y －1)2＝4，即(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝18．经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的方程为________． 解析：根据题意，设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 由于圆过A ，B ，C 三点，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧2＋D －E ＋F ＝017＋D ＋4E ＋F ＝020＋4D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7E ＝－3F ＝2.故所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.答案：x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0 三、解答题9．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|4t|×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得：t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝5.10．已知过点A (0,1)和B (4，a )，且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值及此时圆的方程．解：由于点A (0,1)在x 轴上方，故经过点A 且与x 轴相切的圆也在x 轴上方，设所求圆的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝n 2，其中圆心为(m ，n )(n ＞0)，半径为n .将A 、B 两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0－m 2＋1－n2＝n24－m 2＋a －n2＝n2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1－2n ＝0m 2－8m ＋16＋a 2－2an ＝0，①②将2n ＝1＋m 2代入②得(1－a )m 2－8m ＋(a 2－a ＋16)＝0，③由于所求圆只有一个，故关于m 的方程③的解只有一个． (1)当a ＝1时，③化为－8m ＋16＝0，解得m ＝2，代入①求得n ＝52，此时所求圆的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.(2)当a ≠1时，方程③是关于m 的一元二次方程．Δ＝4a (a 2－2a ＋17)＝0， ∵a 2－2a ＋17＝(a －1)2＋16＞0，∴a ＝0，代入③得m 2－8m ＋16＝0，解得m ＝4.将m ＝4代入①求得n ＝172.此时所求圆的方程为：(x －4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －1722＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1722.综上，当a ＝1时，所求圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254； 当a ＝0时，所求圆的方程为(x －4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －1722＝2894.一、选择题1．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“F ＝E ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，0，而D 可以大于0，故选A.2．圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且满足OP →·OQ →＝0，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －3)2＝52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋3)2＝52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝254解析：选C.∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3， ∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254，故选C.二、填空题3．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①关于直线x ＋y ＝0对称；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)． 解析：圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确． 答案：①③4．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________．解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)． 设圆C 2的圆心为(a ，b )．∵圆C 1与圆C 2关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.又圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 三、解答题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8. ∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， ∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8ba＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0.∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8， (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －42＋y 2＝16，x ＋22＋y －22＝8，解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．∴存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。
高三数学一轮复习 第八章第4课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．(2010·高考广东卷)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5解析：选D.设圆心O (a,0)(a <0)，则5＝|a |12＋22⇒|a |＝5，得a ＝－5，∴圆O 的方程为(x＋5)2＋y 2＝5.2．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.答案：2543．(2011·高考湖北卷)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析：由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，又圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1， ∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫222， 解得k ＝1或177.答案：1或1774．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y ＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a＝22－32＝1(a >0)，解得a ＝1.答案：1一、选择题1．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＝8－m 2(m >3)，则两圆的位置关系是( )A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离 解析：选D.将两圆方程分别化为标准式圆C 1：(x －m )2＋y 2＝4，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝9， 则|C 1C 2|＝m ＋12＋m 2＝2m 2＋2m ＋1>2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3， ∴两圆相离．2．若直线3x ＋y ＋2n ＝0与圆x 2＋y 2＝n 2相切，其中n ∈N *，则n 的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．1或2 解析：选D.圆心(0,0)到直线的距离为：d ＝2n32＋1＝2n －1.由n ＝2n －1，综合选项，得n ＝1或2.3．已知直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，1 C ．[2，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12 解析：选A.若|MN |≥23，则圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离小于等于1，即|3k ＋1|k 2＋1≤1，解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0. 4．一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是( ) A ．32－1 B ．2 6 C ．5 D ．4解析：选D.因为点A (－1,1)关于x 轴的对称点坐标为(－1，－1)，圆心坐标为(2,3)，所以从点A (－1,1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程为－1－22＋－1－32－1＝4.5．(2012·黄冈调研)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋3，集合M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤0}，集合N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}，则集合M ∩N 的面积是( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π解析：选C.由已知可得M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤0}＝{(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2≤2}， N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}＝{(x ，y )|(x －y )(x ＋y －4)≥0}．则M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22－y －22≤2x －y x ＋y －4≥0，作出其交集部分可得如图所示， 其面积为圆面积的一半，即为12π·(2)2＝π，故应选C.二、填空题6．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________．解析：圆方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.答案：(－∞，－3)∪(1，32)7．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，∴C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析：设过原点的圆的切线是y ＝kx ，由x 2＋(y －6)2＝9，容易求得k ＝± 3.∴两切线的夹角为2×π3＝2π3.∴两条切线间的劣弧所对圆心角为π－2π3＝π3，劣弧长为l ＝αR ＝π3×3＝π.答案：π 三、解答题9．(2012·洛阳质检)求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程．解：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1m －12＋n －22＝m －42＋n ＋12＝r，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5， 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，求△AOC 的面积S .解：(1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，有直线x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k ，|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34. ∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34，l AO ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134，∴S ＝12d |AO |＝12.11．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R ，由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1，则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.。
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高三数学总复习知能达标训练第八章 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为 A ．1 B ．1或3 C ．0D ．1或0解析 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1. 答案 D2．(2012·长沙模拟)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析 根据已知条件c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2. 答案 B3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π3的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为A ．2B ．4C ．6D ．8解析 焦点F (1,0)，AF 的直线方程为y －0＝tan π3(x －1)，即y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ， 得[3(x －1)]2＝4x ，即3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝13(舍去)，故点A 的坐标为(3,23)， |AF |＝(3－1)2＋(23－0)2＝4. 答案 B4．(2012·杭州模拟)AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△F AB 的最大面积为 A ．b 2 B ．ab C ．acD ．bc解析 设A 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)， 则S △F AB ＝12|OF ||2y 1|＝c |y 1|≤bc . 答案 D5．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为 A ．2B.455C.4105D.8105解析 设椭圆交直线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t .消去y ， 得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. 则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 答案 C6．如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析 由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离， 由|BC |＝2|BF |得∠BCM ＝30°，又|AF |＝3，∠AFx ＝60°，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋32，332， A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，∴m ＞0且m ≠5. ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点， 应有：025＋12m ≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5. 答案 m ≥1且m ≠58．(2012·湛江模拟)直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 不同两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是________．解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4＞0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎨⎧k ＞－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2. 答案 29．在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M 、N 的坐标分别为________． 解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2， 整理得x 2＋x －b ＝0，Δ＝1＋4b ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上，代入得b ＝2， 解得x 1＝－2，y 1＝4，x 2＝1，y 2＝1. 答案 (－2,4)，(1,1) 三、解答题(38分)10．(12分)(2011·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解析 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|， 所以(a －c )2＋b 2＝2c . 整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )， 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2. 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.11．(12分)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，M ，N 分别为双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC→＝λOA →＋OB →，求λ的值．解析 (1)M (－a,0)，N (a,0)， 由k PM ·k PN ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝15， 又x 20a 2－y 20b 2＝1，∴a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.设OC →＝(x 3，y 3)，由于OC →＝λOA →＋OB →， 即x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，∴x 23－5y 23＝5b 2，即(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，即λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.又A ，B 在双曲线上，∴x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.又x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c ) ＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ∴λ2＋4λ＝0，λ＝0或λ＝－4.12．(14分)(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限．过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC 并延长，交椭圆于点B ，设直线P A 的斜率为k .(1)若直线P A 平分线段MN ，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k ＞0，求证：P A ⊥PB . 解析 (1)由题设知，a ＝2，b ＝2， 故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22.由于直线P A 平分线段MN ， 故直线P A 过线段MN 的中点， 又直线P A 过坐标原点， 所以k ＝－22－1＝22.(2)直线P A 的方程为y ＝2x ， 代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1， 解得x ＝±23，因此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－43.于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1， 故直线AB 的方程为x －y －23＝0. 因此，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)证法一 将直线P A 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1， 解得x ＝±21＋2k 2.记μ＝21＋2k 2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)． 故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2， 其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0， 解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ.因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k 2. 于是直线PB 的斜率k 1＝μk32＋k 2－μk μ(3k 2＋2)2＋k 2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k . 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB . 证法二 设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)． 设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2. 因为C 在直线AB 上， 所以k 2＝0－(－y 1)x 1－(－x 1)＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1 ＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝(x 22＋2y 22)－(x 21＋2y 21)x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB .。