【小初高学习】2018年秋高中数学专题强化训练2 圆锥曲线与方程新人教A版选修1-1

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(浙江专版)2018年高中数学第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程学案新人教A版选修2_1

复习课(二) 圆锥曲线与方程标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于2，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1 (2)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1．[答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1[类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[题组训练]1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝b ax 过点(2，3)，可得3＝b a×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的几何性质[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：a 2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．[解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．[题组训练]1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22，故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－3b 22a ⎝⎛⎭⎪⎫2c ，－b 2a ，又AD ⊥F 1B ，2c 2＋3b 42a2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 24b 2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③由①③得p 2＝4b 2．④将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a 2＝2，即ba＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0．答案：x ±y ＝0高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．[考点精要]直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝＋k2x 1－x 22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1－y 22，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．[题组训练]1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0．当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3．因此a 2＝6，b 2＝3．所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0， x 26＋y 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463．由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0．于是x 3,4＝－2n ±－n 23．因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·b a＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2．2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选 A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c2＝1＋34＝74，得a ＝72．5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2B ．522＋1C ．522－2D ．522－1解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1． 6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )A ．y 2－3x 2＝36B ．x 2－3y 2＝36C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36 解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48，∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36． 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧ ＋c 2＋y 2＝6.52，－c 2＋y 2＝3.52，解得c ＝52，从而b 2＝a 2－c 2＝754，所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k 2＋4b k ＝－4，∴b k＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝t －2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a， ∴k OM ＝－b 2ac．由题意，知k AB ＝－ba，是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1＋r 222－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1(－a ，b )n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，，即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23，依题意且满足(*)得m 2<23，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 4，求y 0的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2．再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1．所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k2．从而y 1＝4k 1＋4k2．设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2．以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y (－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2．令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k2．(－2，－y 0)(x 1，y 1－y 0)．2x 1－y 0(y 1－y 0) ＝－2×2－8k 21＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝4×16k 4＋15k 2－11＋4k 22＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145．综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。

2018版高中数学第2讲参数方程二圆锥曲线的参数方程练习新人教A版选修4_4

二圆锥曲线的参数方程一、基础达标1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y24＝1 B.x 2＋y22＝1 C.y 2＋x24＝1D.y 2＋x24＝1解析易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A. 答案 A2.方程⎩⎪⎨⎪⎧xcos θ＝a ，y ＝bcos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一部分解析由x cos θ＝a ，∴cos θ＝a x，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]，∴曲线应为双曲线的一部分.答案 D3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2，y ＝4t(t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5解析抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 答案 C4.当θ取一切实数时，连接A (4sin θ，6cos θ)和B (－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.直线D.线段解析设中点M (x ，y )，由中点坐标公式，得x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3cos θ＋3sin θ，即x2＝sin θ－cos θ，y 3＝sin θ＋cos θ，两式平方相加，得x24＋y29＝2，是椭圆. 答案 B5.实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________.解析因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案 56.抛物线y ＝x 2－2x t的顶点轨迹的普通方程为________.解析抛物线方程可化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t 2－1t2，∴其顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，－1t2，记M (x ，y )为所求轨迹上任意一点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝－1t2，消去t 得y ＝－x 2(x ≠0).答案 y ＝－x 2(x ≠0)7.如图所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？解抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2.得M (2t ，2t 2).设P (x ，y )，则M 是OP 中点.∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A.RB.(0，＋∞)C.(0，1)D.[0，1)解析将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m ＜1.。

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程1课件新人教A版

反思与感悟
用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.
跟踪训练 3 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为435和235，过点 P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 解答
(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)；解答
设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，则92A5A＋＋4BB＝＝11，，解得AB＝＝9193161，. 故所求椭圆的标准方程为9x12 ＋9y12 ＝1.
3 16
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). 解答
类型三椭圆中焦点三角形问题
例4 (1)已知P是椭圆 y52＋x42＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且 ∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积. 解答
(2)已知椭圆x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上.若|PF1|＝4，求 ∠F1PF2 的大小. 解答
由x92＋y22＝1，知 a＝3，b＝ 2，∴c＝ 7， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝－12， ∴∠F1PF2＝120°.
条件
结论
2a>|F1F2| 2a＝ |F1F2|
2a<|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
动点的轨迹是线段F1F2 动点不存在，因此轨迹不
存在
知识点二椭圆的标准方程
思考1
在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定.

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.1

02第二章圆锥曲线与方程2.1　曲线与方程课时过关·能力提升基础巩固1已知0≤α<2π,点P (cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y 2=3上,则α的值为( ) A. B.π35π3C. D.π3或5π3π3或π6(cos α-2)2+sin 2α=3,得cos α=.12∵0≤α<2π,∴α=.π3或5π32方程(x-2)2+(y+2)2=0表示的图形是( )A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点3已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (-,0),B (,0),则顶点C 的轨迹是( )33A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点4已知动点P 在曲线2x 2-y=0上,则点A (0,-1)与点P 连线的中点的轨迹方程是( )A.y=2x 2B.y=8x 2C.y=8x 2-1D.2y=8x 2-1AP 的中点为M (x ,y ),点P (x 1,y 1),由中点坐标公式,得{x =x 12,y =y 1-12⇒{x 1=2x ,y 1=2y +1.由于P (x 1,y 1)在曲线2x2-y=0上,代入化简,得2y=8x 2-1.5在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α+β,其中OC OA OB α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=6方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线是( ).由xy<0,当x>0时,y<0,曲线应在第四象限;当x<0时,y>0,曲线应在第二象限,且与坐标轴均无交点.7若点A在方程x 2+(y+1)2=5表示的曲线上,则m= . (m 3,m )3或658已知两点M (-2,0),N (2,0),点P 满足=0,则点P 的轨迹方程为 .PM ·PNP 的坐标为(x ,y ),由=(-2-x ,-y )·(2-x ,-y )=x 2-4+y 2=0,得x 2+y 2=4,PM ·PN 则点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=49已知点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,也在曲线g (x ,y )=0上,求证:点P 在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,∴f (x 0,y 0)=0.同理g (x 0,y 0)=0,∴f (x 0,y 0)+λg (x 0,y 0)=0+λ·0=0(λ∈R ),即点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.10已知A ,B 两点的坐标分别为A (0,-4),B (0,4),直线MA 与MB 的斜率之积为-1,求点M 的轨迹方程.M 的坐标为(x ,y ).∵直线MA 与MB 的斜率之积为-1,∴直线MA ,MB 都存在斜率,∴x ≠0.由A (0,-4),B (0,4),得k MA =,k MB =.y +4x y -4x 又k MA ·k MB =-1,∴=-1,化简得x 2+y 2=16.y +4x ·y -4x 故点M 的轨迹方程为x 2+y 2=16(x ≠0).能力提升1如图所示的曲线方程是( )A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0x|y |D.-1=0|x |y选项中应是函数y=|x|,y ≥0,C,D 项中y ≠0,故选B .2已知点A (1,0),直线l :y=2x-4,点R 是直线l 上的一点,若,则点P 的轨迹方程为( )RA =APA.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8 D.y=2x+4,知R ,A ,P 三点共线,且A 为RP 的中点.设P (x ,y ),R (x 1,y 1),R A =AP 则由,得(1-x 1,-y 1)=(x-1,y ),RA =AP 则即x 1=2-x ,y 1=-y ,将其代入直线y=2x-4中,得y=2x.故选B.{1-x 1=x -1,-y 1=y ,3已知O 是平面上的一个定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足+λOP =OA ,λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )(AB|AB |AC|AC |)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心由与∠BAC 的平分线共线,AB |AB |AC |AC |又λ>0,设λ(P'为∠BAC 的平分线上的点),则,(AB|AB |AC|AC |)=AP OP=OA +AP =OP 故,即点P'与点P 重合.于是点P 在∠BAC 的平分线上,即点P 的轨迹过△ABC 的内心.OP =OP '4已知两定点A (-2,0),B (1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则点P 的轨迹所围的面积等于( )A.9πB.8πC.4πD.πP (x ,y ),则=2,化简得x 2-4x+y 2=0.(x +2)2+y2(x -1)2+y 2即(x-2)2+y 2=4,点P 轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=π×22=4π.5已知由动点P 向圆O :x 2+y 2=1引两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,且∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为 . ,得OP=2,为定长,于是点P 的轨迹是以定点O 为圆心,以2为半径的圆.故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=46已知过点A (4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B (2,1),则圆C 的方程为 .C 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,圆心(a ,b )到直线x-y-1=0的距离d==r.①|a -b -1|2又圆C 过A (4,1),B (2,1),故(4-a )2+(1-b )2=r 2,②(2-a )2+(1-b )2=r 2.③由①②③,得a=3,b=0,r=.2因此,圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.x-3)2+y 2=27在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于,则动点P 的轨迹方程为　.132-3y 2=-2(x ≠±1)8一个动点到直线x=8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.(x ,y ),则动点到直线x=8的距离为|x-8|,到点A 的距离为.(x -2)2+y 2由已知,得|x-8|=2,(x -2)2+y 2化简得3x 2+4y 2=48.故动点的轨迹方程为3x 2+4y 2=48.★9如图所示,已知A (-3,0),B ,C 两点分别在y 轴和x 轴上运动,点P 为BC 延长线上一点,并且满足,试求动点P 的轨迹方程.AB ⊥BP ,BC =12CPP (x ,y ),B (0,y'),C (x',0),则=(x',-y'),=(x-x',y ).BC CP 由,得(x',-y')=(x-x',y ),BC =12CP 12即x'=,y'=-,x 3y 2故B ,C .(0,-y2)(x 3,0)又A (-3,0),∴.AB =(3,-y 2),BP =(x ,32y )由,得=0,AB ⊥BP AB ·BP故3x-y 2=0,得y 2=4x ,34即为动点P 的轨迹方程.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.3.2

2.3.2　双曲线的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1若等轴双曲线的一个焦点是F 1(-6,0),则其标准方程为( )A.=1B.=1x 29‒y 29y 29‒x 29 C.=1D.=1y 218‒x 218x 218‒y 218等轴双曲线的焦点在x 轴上,∴可设标准方程为=1(n>0),x 2n ‒y 2n ∴2n=36,∴n=18.故选D .2若中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( )53A.y=±x B.y=±x 5445C.y=±xD.y=±x 4334=1(a>0,b>0),得e=.y 2a2‒x 2b2c a =53设a=3k ,c=5k (k ∈R ,且k>0),则b 2=c 2-a 2=25k 2-9k 2=16k 2,则b=4k.故其渐近线方程为y=±x.343已知双曲线=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )x 2a2‒y 25A. B. C. D.314143243243a 2+5=32⇒a=2⇒e=,选项C 正确.c a =324若直线过点(,0)且与双曲线x 2-y 2=2仅有一个公共点,则这样的直线有( )2A.1条B.2条C.3条D.4条5设双曲线=1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( )x 2a 2‒y 29A.4 B.3C.2D.16点A (x 0,y 0)在双曲线=1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0= .x 24‒y 232(6,0),由题意,得解得x 0=2.{x 0≥2,(x 0-6)2+y 20=4x 20,x 204-y 2032=1,7设椭圆C 1的离心率为,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点513的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为 .=1y 298直线2x-y-10=0与双曲线=1的交点坐标是 .x 220‒y25或(143,-23)9设F 1,F 2分别是双曲线=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且x 2a2‒y 2b 2|AF 1|=3|AF 2|,求双曲线的离心率.AF 1⊥AF 2,所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2.①因为|AF 1|=3|AF 2|,所以点A 在双曲线的右支上.则|AF 1|-|AF 2|=2a ,所以|AF 2|=a ,|AF 1|=3a ,代入到①式得(3a )2+a 2=4c 2,.c 2a 2=104所以e=.c a=10210求满足下列条件的双曲线方程:(1)以2x ±3y=0为渐近线,且经过点(1,2);(2)离心率为,虚半轴长为2;54(3)与椭圆x 2+5y 2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.3设所求双曲线方程为4x 2-9y 2=λ(λ≠0),将点(1,2)代入方程可得λ=-32,则所求双曲线方程为4x 2-9y 2=-32,即=1.9y 232‒x 28(2)由题意,得b=2,e=.c a =54令c=5k ,a=4k (k ∈R ,且k>0),则由b 2=c 2-a 2=9k 2=4,得k 2=.49则a 2=16k 2=,故所求的双曲线方程为649=1或=1.9x 264‒y 249y 264‒x 24(3)由已知得椭圆x 2+5y 2=5的焦点为(±2,0),又双曲线的一条渐近线方程为y-x=0,3则另一条渐近线方程为y+x=0.3设所求的双曲线方程为3x 2-y 2=λ(λ>0),则a 2=,b 2=λ.λ3所以c 2=a 2+b 2==4,所以λ=3.4λ3故所求的双曲线方程为x 2-=1.y 23能力提升1若双曲线mx 2+y 2=1的焦距是实轴长的倍,则m 的值为( )5A.- B.-4C.4D.1414mx 2+y 2=1是双曲线,∴m<0,且其标准方程为y 2-=1.x 21-m ∵焦距是实轴长的倍,∴虚轴长是实轴长的2倍.5∴-=4,即m=-.1m 142若双曲线=1的渐近线与圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)相切,则r=( )x 26‒y 23A. B.2C.3D.63y=±x ,圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切,可22得圆心到渐近线的距离等于r ,即r=.|±32|2+4=326=33若0<k<a 2,则双曲线=1与=1有( )x 2a 2-k‒y 2b 2+k x 2a2‒y 2b 2A.相同的虚轴 B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点0<k<a 2,且a 2-k+b 2+k=a 2+b 2,∴有相同的焦点.★4设F 1,F 2分别是双曲线x 2-=1的左、右焦点.若P 在双曲线上,且=0,则||=y 29PF 1·PF 2PF 1+PF 2( )A.2B.C.2D.551010,知双曲线两个焦点的坐标分别为F 1(-,0),F 2(,0).1010设点P (x ,y ),则=(--x ,-y ),=(-x ,-y ).PF 110PF 210∵=0,∴x 2+y 2-10=0,即x 2+y 2=10.PF 1·PF 2∴||PF 1+PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2+2PF 1·PF 2==2.2(x 2+y 2)+20105已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线上一点,且x 2a2‒y 2b 2PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,则双曲线的离心率是 . PF 1⊥PF 2,所以由{|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,||PF 1|-|PF 2||=2a ,得4c 2-4a 2=8ab ,所以b=2a ,c 2=5a 2,所以e=.5★6已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0).若双曲线上存在一点P ,x 2a2‒y 2b 2使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=ac|PF 1|=|PF 2|.ca 由双曲线的定义,知|PF 1|-|PF 2|=2a ,则|PF 2|-|PF 2|=2a ,即|PF 2|=.ca 2a 2c -a 由双曲线的几何性质,知|PF 2|>c-a ,则>c-a ,即c 2-2ac-a 2<0,2a 2c -a 故e 2-2e-1<0,解得-+1<e<+1.22又e ∈(1,+∞),故双曲线的离心率e ∈(1,+1).2(1,+1)27设双曲线=1的右顶点为A ,右焦点为F ,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲x 29‒y 216线交于点B ,求△AFB 的面积.双曲线方程为=1,x 29‒y 216∴渐近线方程为y=±x.43∵A (3,0),F (5,0),不妨令直线BF 的方程为y=(x-5),43代入双曲线方程,得(x 2-10x+25)=1.x 29‒116×169解得x=,∴y=-,∴B .1753215(175,-3215)∴S △AFB =(5-3)×.123215=32158已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).210(1)求此双曲线的方程;(2)若点M (3,m )在此双曲线上,求证:=0.F 1M ·F 2Me=,所以a=b.c a=2设双曲线方程为x 2-y 2=n (n ≠0),因为点(4,-)在双曲线上,10所以n=42-(-)2=6.10所以双曲线方程为x 2-y 2=6.M (3,m )在双曲线上,所以m 2=3.又点F 1(-2,0),点F 2(2,0),33所以=-=-1.k MF 1·k MF 2=m 3+23·m 3-23m 23所以=0.F 1M ·F 2M ★9已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的一个焦点是F (2,0),离心率e=2.x 2a2‒y 2b 2(1)求双曲线C 的方程;(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ,N ,线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k 的取值范围.由已知,得c=2.又e=2,则a=1,b=.3故所求的双曲线方程为x 2-=1.y 23(2)设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)的坐标满足方程组{y =kx +m ,x 2-y 23=1,① ②将①式代入②式,整理,得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0.此方程有两个不等实根,于是3-k 2≠0,且Δ=(-2km )2+4(3-k 2)(m 2+3)>0.整理,得m 2+3-k 2>0.③由根与系数的关系,可知线段MN 的中点坐标(x 0,y 0)满足x 0=,y 0=kx 0+m=.x 1+x 22=km 3-k23m3-k 2从而线段MN 的垂直平分线方程为y-=-.3m3-k21k(x -km 3-k 2)此直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为.(4km 3-k2,0),(0,4m 3-k 2)由题设可得=4.12|4km3-k2|·|4m 3-k 2|整理,得m 2=(k ≠0).(3-k 2)22|k |将上式代入③式,得+3-k 2>0,(3-k 2)22|k |整理,得(k 2-3)(k 2-2|k|-3)>0(k ≠0).解得0<|k|<或|k|>3.3故k 的取值范围是(-∞,-3)∪(-,0)∪(0,)∪(3,+∞).33。

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修2-1

2.4.1 抛物线及其标准方程1.掌握抛物线的定义及其标准方程.(重点、难点))2.会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程.(易错点[基础·初探]教材整理1 抛物线的定义阅读教材P65“思考”以上部分，完成下列问题.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做______.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______.【答案】抛物线焦点准线判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线.( )(2)抛物线是双曲线的一支.( )(3)若定点在定直线上，则到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是一条直线.( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 抛物线的标准方程阅读教材P65“思考”以下部分，完成下列问题.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0 x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，0 x ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2 y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p 21.抛物线x ＝4y 2的准线方程是( ) A.y ＝12B.y ＝－1C.x ＝－116D.x ＝18【解析】由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116.【答案】 C2.抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4D.8【解析】由y2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4. 【答案】 C[小组合作型](1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上； (3)焦点到准线的距离是4.【精彩点拨】 (1)过点M (－6,6)的抛物线有几种情况？ (2)所求抛物线的焦点是什么，有几种情况？ (3)由焦点位置判断有几种情况？【自主解答】 (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上，设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)，将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .(3)焦点到准线距离p ＝4，焦点可在x ，y 轴上，故有四种情况，标准方程为y 2＝8x ，y 2＝－8x ，x 2＝8y ，x 2＝－8y .1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系.(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况的个数.(3)注意p 与p2的几何意义.[再练一题]1.根据下列条件确定抛物线的标准方程. (1)关于y 轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x －2y －4＝0上.【导学号：37792079】【解】 (1)法一设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，将点(－1，－3)代入方程，得(－1)2＝－2p ·(－3)，解得p ＝16，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .法二由已知，抛物线的焦点在y 轴上，因此设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0).又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m ·(－3)，即m ＝－13，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .(2)法一设所求抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p ′y (p ′＞0)，将点(4，－8)代入y 2＝2px ，得p ＝8；将点(4，－8)代入x 2＝－2p ′y ，得p ′＝1.所以所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .法二当焦点在x 轴上时，设抛物线的方程为y 2＝nx (n ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n ，即n ＝16，抛物线的方程为y 2＝16x ；当焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m ，即m ＝－2，抛物线的方程为x 2＝－2y .综上，抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0).当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得p ＝8，所以所求抛物线方程为y 2＝16x .综上所述，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x .A (4,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标.【精彩点拨】利用抛物线的定义，把|PF |转化成到准线的距离. 【自主解答】如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|PA |＋|PF | ＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号. ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2).根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.[再练一题]2.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )【导学号：37792080】A.172B.3C. 5D.92【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得，∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部，连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线， ∴其最小值为 |AF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172. 【答案】 AM 的轨迹方程.【精彩点拨】 (1)圆M 与直线y ＝2相切可以想到什么？(2)两圆外切的条件是什么？(3)点M 的条件满足抛物线定义吗？【自主解答】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等.由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .求动点轨迹方程的方法：定义法，判断动点的轨迹是否满足抛物线的定义.若满足抛物线的定义，则可按抛物线标准方程的形式写出方程.[再练一题]3.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【解】设动点M (x ，y )，⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等， ∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3,0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线， ∴p2＝3，∴p ＝6，故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .[探究共研型]探究1 【提示】求解抛物线实际应用题的五个步骤：探究2 如何利用抛物线定义解决实际问题？【提示】把实际问题转化为数学问题，利用抛物线的知识来解决实际问题.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【精彩点拨】建系→设方程→解方程→求出相关量→解决问题【自主解答】如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y .∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航. 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航.1.本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.2.以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用已求方程求点的坐标.[再练一题]4.探照灯反射镜(如图241)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60 cm ，灯深40 cm ，求抛物线的标准方程和焦点坐标.图241【解】如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由已知条件可得点A 的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入方程，得：302＝2p ·40，解得p ＝454.故所求抛物线的标准方程为y 2＝452x ，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫458，0.1.准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( )A.x 2＝83yB.x 2＝－83yC.y 2＝－83xD.y 2＝83x【解析】由准线方程为y ＝23知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .【答案】 B2.以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是________.【解析】由双曲线x 216－y 29＝1，得抛物线的焦点坐标为(4,0)，故可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，所以p2＝4，即p ＝8，抛物线方程为y 2＝16x .【答案】 y 2＝16x3.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________.【解析】把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0).故点A 到焦点的距离为4. 【答案】 44.若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标.【导学号：37792081】【解】由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，准线方程为x＝p 2.设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x .由点M (－9，y )在抛物线上，得y ＝±6，故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6).。

2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.1.1

02第二章圆锥曲线与方程2.1　椭圆2.1.1　椭圆及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1.若动点M到两个定点F1,F2的距离之和为定值m,则点M的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都可能解析:∵|MF1|+|MF2|=m,∴当m>|F1F2|时,点M的轨迹为椭圆;当m=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当m<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.答案:D2.椭圆x216+y225=1的焦点坐标是( )A.(±4,0)B.(0,±4)C.(±3,0)D.(0,±3)答案:D3.在椭圆的标准方程中,a=6,b=5,则椭圆的标准方程是( )A .x236+y225=1B .y236+x225=1C .x236+y2=1D .x236+y225=1或y236+x225=1解析:因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应有两种形式.答案:D4.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长( )A.2B.4C.8D .32答案:B 5.若方程x 225-m +y 2m +9=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( ) A.-9<m<25B.8<m<25C.16<m<25D.m>8解析:由题意,8<m<25.得{m +9>0,25-m >0,m +9>25-m ,解得答案:B6.已知椭圆的两焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),P 为椭圆上的一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项.该椭圆的方程是( )A .x 212+y 264=1B.x 216+y 212=1C .x 24+y 216=1D.x 24+y 212=1答案:B7.已知椭∠F 1PF 2= .圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= , 解析:由|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=‒12.故∠F 1PF 2=120°.答案:2　120°8.已知F 1,F 2是椭圆C △PF 1F 2的:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⊥PF 2.若面积为9,则b= .解析:依题意,有{|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|·|PF2|=18,|PF1|2+|PF2|2=4c2,解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.答案:39.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6,求椭圆的方程;(2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.解:(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则由题意,a=3,c=2,得b2=5.故椭圆方程为x29+y25=1.(2)因为焦点为F1(0,-5),F2(0,5),所以可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).2a=32+(4+5)2+32+(4-5)2=410,所以a=210,c=5,b2=40‒25=15,故椭圆方程为y240+x215=1.10.一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.解:两定圆的圆心和半径分别是O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题设条件,可知|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,则|MO1|+|MO2|=10>|O1O2|=6.由椭圆的定义,知M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,则b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为x225+y216=1.能力提升1.椭圆mx2+ny2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是( )A.(0,±m-n)B.(±m-n,0)C.(0,±n-m)D.(±n-m,0)解析:化为标准方程是x2-n+y2-m=1.∵m<n<0,∴0<-n<-m.∴焦点在y 轴上,且c =-m -(-n )=n -m .答案:C2.设P 是椭△PF 1F 2是( )圆x 216+y 212=1上一点,P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2,则A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a=8.又|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=5,|PF 2|=3.∵|F 1F 2|=2c=216-12=4,∴△PF 1F 2为直角三角形.答案:B3.设F 1,F 2是椭△PF 1F 2的面积等圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则于( )A.5B.4C.3D.1答案:B 4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ·FP 的最大值为( )A.2 B.3 C.6 D.8解析:由题意得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),≤x 0≤2),则y 20=3(1-x 204)(‒2OP ·FP =x 0(x 0+1)+y 20=x 20+x 0+y 20=x 20+x 0+3(1-x 204)=14(x 0+2)2+2,当x 0=26.时,·取得最大值为答案:C5.设P为椭·|PF 2|的最大值是 .圆x 24+y 29=1上的任意一点,F 1,F 2分别为其上、下焦点,则|PF 1|解析:由已知a=3,|PF 1|+|PF 2|=2a=6,则|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=9,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=3时,式中取等号.故|PF 1|·|PF 2|的最大值为9.答案:9★6.已知椭圆x 24+y 2=1的两个焦点为F 1,F 2,过左焦点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|PF 2| . 解析:由椭圆的方程可知F 1的坐标为(‒3,0),设P (P (,得|y|‒3,y ),把‒3,y )代入椭圆的方程中=12,即|PF 1|=12.根据椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4,故|PF 2|=4-|PF 1|=4‒12=72.答案:727.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点A (63,3)和B (223,1)的椭圆;(2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.分析(1)因为不确定焦点在哪个坐标轴上,所以可直接设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ),代入A ,B 两点的坐标,列出方程组,求出m ,n 即可.(2)先求出公共焦点,再结合过点(-3,2)求解.解:(1)设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).∵椭圆过点A (63,3)和B (22,1),∴{m ·(63)2+n ·(3)2=1,m ·(223)2+n ·12=1,解得{m =1,n =19.∴所求椭圆的标准方程为x 2+y 29=1.(2)∵已知椭a=3,b=2,且焦点在x 轴上,圆x 29+y 24=1中∴c 2=9-4=5.∴设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-5=1.∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴9a 2+4a 2-5=1.∴a 2=15或a 2=3(舍去).∴所求椭圆方程为x 215+y 210=1.★8.已知椭圆方程∠F 1PF 2=α,为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点P 是椭圆上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,且求△PF 1F 2的面积.解:设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则m+n=2a.又|F 1F 2|=2c ,∠F 1PF 2=α,则4c 2=m 2+n 2-2mn cos α,∴4c 2=(m+n )2-2mn (1+cos α),∴2mn (1+cos α)=4a 2-4c 2=4b 2,∴mn =2b 21+cosα.α∴S △F 1PF 2=12mnsin =b 2sinα1+cosα=2b 2sin α2cos α22cos 2α2=b 2tan α2.。

数学：第二章《圆锥曲线与方程》测试(2)(新人教A版选修1-1)

圆锥曲线与方程单元测试时间：90分钟分数：120分一、选择题（每小题5分，共60分）1．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（） A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（）A ．10B ．8C ．6D ．43．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．315(-，)1-4．（理）已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（）A ．（2，5）B ．（-2，5）C ．（5，-2）D ．（5，2）（文）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（）A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④6．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（）A ．1351222=-y xB ．1312522=-y xC ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（） A ．28 B ．24 C ．22 D ．8． 9．（理）已知椭圆22221a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（） A ．2230<<a B ．2230<<a 或282>a C ．223<a 或 282>a D ．282223<<a（文）抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（） A ．0 B ．23C ．2D ．3 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点,MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C) 12522=-y x (D) 15222=-y x 11.将抛物线342+-=x x y 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为（）（A ）x y -=+2)1(2（B ）2)1(2-=+x y （C ）x y -=-2)1(2（D ）2)1(2-=-x y12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题（每小题4分，共16分）13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________．14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx )0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法： ①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________．三、解答题（共44分） 17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．（本小题10分）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围.19.（本小题12分）如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y . （1）求证：M 点的坐标为)0,1(；（2）求证：OB OA ⊥；（3）求AOB ∆的面积的最小值.20．（本小题12分）已知椭圆方程为1822=+y x ，射线x y 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，yx过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求△AMB面积的最大值．圆锥曲线单元检测答案1. A2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B13．24或69 14．3415．42l 16．①③④17.（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （0,12-a ）由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x . 1322=+y x ………………………………………………4分. （2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m ①………………6分13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p p mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②…………………………8分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k 解得21>m .故所求m 的取范围是（2,21）……………………………………10分 18．设M )(0,0y x 是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ，即MN MF =2，由双曲线定义可知e MF MF eMNMF =∴=211……5分由焦点半径公式得000x eaex aex ∴=-+ee e a -+=2)1(…………………………7分而a ee e a ax ≥-+∴≥20)1( 即 0122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但 1211+≤<∴>e e ……………………………………10分19. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根,∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM ,于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1.20．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)22(2--=-x k y ．分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k x A ，2284222-++=k k k x B ． ∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k （定值）．（2）设直线AB 方程为m x y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得mx x 24162+ 0)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =．设AMB ∆的面积为S ．∴ 2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ．当22±=m 时，得2max =S ．圆锥曲线课堂小测时间：45分钟分数：60分命题人：郑玉亮一、选择题（每小题4分共24分）1．0≠c 是方程 c y ax =+22表示椭圆或双曲线的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件2．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（）A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x3．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（）A ．))((2R n R m ++B ．))((R n R m ++C ．mnD ．2mn4．若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是（） A ．4B ．2C ．1D ．215．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（） A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x6．已知双曲线12222=-by a x 的离心率2[∈e ，]2．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（）． A ．6π[，]2π B ．3π[，]2π C ．2π[，]32π D ．32π[，π]二、填空题（每小题4分共16分）7．若圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________． 8．过抛物线x y 42=的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点，那么线段PQ 中点的轨迹方程是 .9．连结双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y （a ＞0，b ＞0）的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，则21S S的最大值是________．10．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 . 三、解答题（20分）11．（本小题满分10分）已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.12．（10分）已知椭圆2222by a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．参考答案1 B2 A3 A4 C5 D6 C 7．（0，7±）8．222-=x y 9．2110.①② 11．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程整理得012)1(222=-++-a kay y k ……………………3分而012≠-k ，于是122--=+=k aky y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22k a k ak T --……5分点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴ka k a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k 时，由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x …………………………10分 12．解：（1）直线AB 方程为：0=--ab ay bx ．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ，解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ．（2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(22>+-=∆k k ． ①设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x k k x x ， ②而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当C E ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．∴ 05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立．综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．。

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案新人教A版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质.有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明. 1.求最值例1 线段|AB |＝4，|PA |＋|PB |＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( ) A.2 B. 2 C. 5 D.5解析由于|PA |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A 、B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案 C 2.求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________.解析设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号.由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝|PF 2|，解得|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3，0). 答案 (±3，0)点评由椭圆的定义可得“|PF 1|＋|PF 2|＝10”，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF 1|，|PF 2|积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标. 3.求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积.解由已知，得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②将②代入①，得|PF 1|＝65.所以12PF F S △＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是335.点评在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF 1|，|PF 2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.2 如何求椭圆的离心率1.由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________.解析如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴|AF 2|＝c ，|AF 1|＝2c ·sin 60°＝3c .∴|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.答案3－1点评本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决.2.解方程(组)求离心率例2 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)、B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，则椭圆的离心率e ＝________.解析如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c ，0)到直线AB 的距离为b7，∴b7＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2，∴7|a －c |＝a 2＋b 2，即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2. 又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝c a知，8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去).答案 123.利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析如图所示，切线PA 、PB 互相垂直，PA ＝PB .又OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OA ＝OB ，则四边形OAPB 是正方形，故OP ＝2OA ，即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22. 答案224.综合类例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1＝15°，求椭圆的离心率. 解由正弦定理得2c sin 90°＝|MF 1|sin 15°＝|MF 2|sin 75°＝|MF 1|＋|MF 2|sin 15°＋sin 75°＝2asin 15°＋sin 75°，∴e ＝c a ＝1sin 15°＋cos 15°＝12sin 60°＝63.点评此题可推广为若∠MF 1F 2＝α，∠MF 2F 1＝β，则椭圆的离心率e ＝cosα＋β2cosα－β2.3 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用.下面举例说明. 1.求动点轨迹例1 一动圆C 与两定圆C 1：x 2＋(y －5)2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.解设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，因为动圆C 与两定圆相外切，所以⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r ＋1，|CC 2|＝r ＋4，即|CC 2|－|CC 1|＝3<|C 1C 2|＝10，所以点C 的轨迹是以C 1(0，5)，C 2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a ＝32，c ＝5，所以b 2＝914.故动圆圆心C 的轨迹方程为4y 29－4x 291＝1(y ≥32).点评依据动圆与两定圆外切建立关系式，易得到|CC 2|－|CC 1|＝3<|C 1C 2|，从而判断出C 的轨迹是双曲线的一支，最后求出a ，b 即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支. 2.求焦点三角形的周长例2 过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的直线与左支交于A 、B 两点，且弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________.解析由双曲线的定义知|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝16，从而有|AF 2|＋|BF 2|＝16＋6＝22，所以△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝22＋6＝28. 答案 28点评与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧. 3.最值问题例3 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4，2)，求|PM |＋|PF |的最小值.解设双曲线的左焦点为F ′，则F ′(－2，0)，由双曲线的定义知：|PF ′|－|PF |＝2a ＝23，所以|PF |＝|PF ′|－23，所以|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PF ′|－23，要使|PM |＋|PF |取得最小值，只需|PM |＋|PF ′|取得最小值，由图可知，当P 、F ′、M 三点共线时，|PM |＋|PF ′|最小，此时|MF ′|＝210，故|PM |＋|PF |的最小值为210－2 3.点评本题利用双曲线的定义对F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值.另外同学们不妨思考一下：(1)若将M 坐标改为M (1，1)，其他条件不变，如何求解呢？(2)若P 是双曲线左支上一动点，如何求解呢？ 4.求离心率范围例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，试求该双曲线离心率的取值范围. 解因为|PF 1|＝4|PF 2|，点P 在双曲线的右支上，所以设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝4m ，由双曲线的定义，则|PF 1|－|PF 2|＝4m －m ＝2a ，所以m ＝23a .又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即4m ＋m ≥2c ，所以m ≥25c ，即23a ≥25c ，所以e ＝c a ≤53.又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为1<e ≤53.点评本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解.4 抛物线的焦点弦例1 如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A 、M 、B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)|AB |＝2(x 0＋p2)(焦点弦长与中点坐标的关系)；(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(4)A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A 、O 、B 1三点共线； (7)1|FA |＋1|FB |＝2p. 以下以第(7)条结论为例证明：证明当直线AB 的斜率不存在，即与x 轴垂直时，|FA |＝|FB |＝p ， ∴1|FA |＋1|FB |＝1p ＋1p ＝2p . 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，并代入y 2＝2px ，∴⎝⎛⎭⎪⎫kx －kp 22＝2px ，即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24.∵|FA |＝x A ＋p 2，|FB |＝x B ＋p2， ∴|FA |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ，|FA |·|FB |＝⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ＋p 2＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p 2(x A ＋x B ＋p ).∴|FA |＋|FB |＝|FA |·|FB |·2p，即1|FA |＋1|FB |＝2p. 点评该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况.例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则 |FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1，0).由FA →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点.求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题.下面对其求法进行探究. 1.定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法. 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1，0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围.解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线，∴|NA |＝|NM |.∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2，∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆.当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1，0)，B (0，b )， ∴直线l 的方程为x －1＋yb ＝1，即bx －y ＋b ＝0.设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1，0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y2＋b ＝0，消去x 得y ＝4bb 2＋1. ∵离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴14≤e 2≤34，即14≤1a 2≤34，∴43≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b≤2，当且仅当b ＝1时取等号. 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]. 2.直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法.例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.求圆心M 的轨迹方程.解如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2， ∴d 22－d 21＝25，即⎝⎛⎭⎪⎫3x －2y ＋3132－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋2132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65. 点评若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可. 3.待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解.例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA ＝23，求椭圆的方程.解椭圆的长轴长为6，cos∠OFA ＝23，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF |＝c ，|AF |＝|OA |2＋|OF |2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4.相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹.例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.分析设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可.解设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)， ∵点P 是线段QN 的中点， ∴N 点的坐标为(2x －x 0，2y －y 0).又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2).又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.点评本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P 、Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解.5.参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法.例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1，0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程. 解如图，设OP 的斜率为k ，则P (2，2k ).当k ≠0时，直线l 的方程：y ＝－1kx ；① 直线m 的方程：y ＝2k (x －1).②联立①②消去k 得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1).当k ＝0时，点Q 的坐标(0，0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1).6 解析几何中的定值与最值问题1.定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线.设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值.证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0，又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a 2x 0.∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a 2，∵ON →∥a ，∴13＝b 2a2.∵a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，又直线方程为y ＝x －c .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0.∵x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值.例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0， ②且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点. 2.最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值.例3 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________.解析设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(4，0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，|PF ′|＋|PA |最小需P 、F ′、A 三点共线，最小值即4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝4＋5＝9. 答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法.例4 已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值.解设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0).如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.7 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱.圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题.本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习. 1.常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由.分析先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论.解设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)， ①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1，∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2， ②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2，即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝2a3－a2，④把④代入③，得(2－a )·2a3－a2＝2，解得a ＝32，经检验符合题意，∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a . 2.点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.分析假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在. 解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上，设圆心的坐标是(－p ，p )(p >0)，则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8，由于O (0，0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4，0).假设存在异于原点的点Q (m ，n )使|QF |＝|OF |，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125.3.直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.分析假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解.解设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m1＋3k2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk .∵AP ⊥MN ，∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2＋12.由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0. 故当k ∈(－1，0)∪(0，1)时，存在满足条件的直线l .8 圆锥曲线中的易错点剖析1.求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程.错解如图所示，设A (0，y )，B (x ，0).由中点坐标公式可得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，连接OP ，由直角三角形斜边上的中线性质有|OP |＝12|AB |＝12a .故⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.错因分析求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为(x ，y ).上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误. 正解设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n ，0)，则m 2＋n 2＝a 2，x ＝n 2，y ＝m2，于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝14a 2.2.忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0，4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段错解根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故选A.错因分析在椭圆的定义中，点M 到两定点F 1，F 2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF 1|＋|MF 2|>|F 1F 2|，亦即2a >2c .而本题中|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.121212答案 D3.忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2(m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程. 错解抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m4.又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4. 故－m 4＝－2或－m4＝4.∴m ＝8或m ＝－16.所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.错因分析错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先正解由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .4.涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误例4 正方形ABCD 的A ，B 两点在抛物线y ＝x 2上，另两点C ，D 在直线y ＝x －4上，求正方形的边长.错解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x 2⇒x 2－x －b ＝0，|AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b ). ∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2，∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0，解得b ＝2或b ＝6，∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.正解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x 2⇒x 2－x －b ＝0，|AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b ). ∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2，∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0，解得b ＝2或b ＝6，∵Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.∴b ＝2或b ＝6都满足Δ>0，∴b ＝2或b ＝6. ∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.5.求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例5 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程.错解一因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0). 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0). 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x . 当m <0时，点A 在第三象限，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去).所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论.正解因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝p2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12，所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2－m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .9 圆锥曲线中的数学思想方法1.方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.本章中，方程思想的应用最为广泛.例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若|AB |＝25，求椭圆的方程. 解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2.∵|AB |＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52·16－4(8－2b 2)＝25，解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16.∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.2.函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系.这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果.一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法.例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值.解 ∵x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，∴x 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2≥0，即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 242＋4＋b 24.当b 24≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋b 24；当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b . 综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 24， 0<b ≤4，2b ， b >4.3.转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想.转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题.这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法. 例3 如图所示，已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x ＝12，P 是l 上任意一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在线段OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上运动时，求点Q 的轨迹方程.解设P (12，y P )，R (x R ，y R )，Q (x ，y )，∠POx ＝α. ∵|OR |2＝|OQ |·|OP |，∴⎝⎛⎭⎪⎫|OR |cos α2＝|OQ |cos α·|OP |cos α.由题意知x R >0，x >0，∴x 2R ＝x ·12.①又∵O ，Q ，R 三点共线，∴k OQ ＝k OR ，即y x ＝y Rx R. ② 由①②得y 2R ＝12y2x.③ ∵点R (x R ，y R )在椭圆x 224＋y 216＝1上，∴x 2R 24＋y 2R16＝1.④由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)， ∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0). 4.分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论.例4 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程. 分析由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论.解由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，即x 24λ－y 2λ＝1(λ≠0). 当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1.当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5， ∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1.综上所述，所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.5.数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题.例5 在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设|BC |＝m ，当三个角满足条件|sin C －sinB |＝12|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程.解以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示.则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0. 设点A 坐标(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝12|sin A |.根据正弦定理，得||AB |－|AC ||＝m2.可知点A 在以B 、C 为焦点的双曲线上. 2a ＝m 2，∴a ＝m4.又c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2.故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y23m2＝1(y ≠0).。

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程学案新人教A版选修2_1

2.1.2 求曲线的方程学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.知识点一坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？答案不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.梳理(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程.②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质.知识点二求曲线的方程的步骤类型一直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程. 解设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2(x－2)2＋(y－0)2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程. 解据题设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|，又|PA |＝(x －2)2＋(y －0)2，故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1 已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列.求点P 的轨迹方程.解设点P (x ，y )，由M (－1，0)，N (1，0)，得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2，0).∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x ).于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0). 类型二代入法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程.解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2 △ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条定直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程.解如图所示，以BC 所在的定直线为x 轴，以过A 点与x 轴垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点的坐标为(0，b ).设△ABC 的外心为M (x ，y )，作MN ⊥BC 于N ，则MN 是BC 的垂直平分线. ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，∴M ∈{M ||MA |＝|MB |}. 而|MA |＝x 2＋(y －b )2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝a 2＋y 2， ∴x 2＋(y －b )2＝a 2＋y 2，化简，得所求轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0. 类型三根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1，2)的直线与曲线y ＝a x(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围.解当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝ax，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0. ①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点. ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0. 设方程①的两根分别为y 1，y 2，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ， ∴k ＝2－a ，代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0，解得0<a <83.又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0，2)∪(2，83).反思与感悟结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定.跟踪训练3 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程. 解设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5，0)，再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得(x －52)2＋y 2＝254.∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －52)2＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <165).1.曲线y ＝1x与xy ＝2的交点是( )A.(1，1)B.(2，2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在答案 D解析联立方程组无解.2.方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是( )答案 D解析 ∵xy <0，当x >0时，y <0，曲线应在第四象限；当x <0时，y >0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.3.直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________.答案 x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1) 解析设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a ，0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.4.已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________. 答案 x ＝32解析设动点P (x ，y )，则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简整理得x ＝32.5.M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4，2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP ∶PM ＝3，求动点P 的轨迹方程.解设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x ，y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法. (5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.40分钟课时作业一、选择题1.下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A.y ＝x ，y x＝1 B.y ＝x ，y ＝x 2C.|y |＝|x |，y ＝xD.|y |＝|x |，y 2＝x 2答案 D解析 A 中y ＝x 表示一条直线，而y x＝1表示直线y ＝x ，除去点(0，0)；B 中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；C 中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；D 中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线.故选D. 2.如图所示的图象对应的方程是( )A.|x |－y ＝0B.x|y |－1＝0 C.x －|y |＝0 D.|x |y－1＝0答案 C解析据图，当x >0，y >0时，y ＝x ；当x >0，y <0时，y ＝－x ，只有选项C 符合要求，故选C.3.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3 B.53π C.π3或53π D.π3或π6答案 C解析由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π，所以α＝π3或α＝53π.4.已知点A (－1，0)，B (1，0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝1 B.x 2＋y 2＝2C.x 2＋y 2＝1(x ≠±1) D.x 2＋y 2＝2(x ≠±2)答案 A解析设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ). 由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0，即x 2＋y 2＝1.5.过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10 答案 C解析由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.6.已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 2＋y 2＝2 B.y 2－x 2＝2 C.x 2－2y 2＝1 D.2x 2－y 2＝1答案 B解析设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )， PQ →＝(－x ，0)，PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2. 由PA →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2，所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. 二、填空题7.已知定点A (0，1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________.答案 x 2＝4y解析设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y .8.点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________. 答案 5解析由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.9.过点P (0，1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________. 答案 [22，4]解析曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4].10.已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________. 答案 y 2＝4x (x ≥0)解析设点P (x ，y )，则Q (－1，y ). 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x (x ≥0). 三、解答题11.在平面直角坐标系中，已知点F (0，2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程. 解设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点，因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则|MF |－|MB |＝2，即x 2＋(y －2)2－y ＝2，整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，化简得y ＝18x 2，所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0).12.已知线段AB ，B 点的坐标为(6，0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋62，y ＝y12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y .由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上，所以2y ＝(2x －6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32.13.已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若|MN |和|MQ |的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解连接ON ，OM ，易知ON ⊥MN ，设M (x ，y ). ∵圆的半径是1，∴|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝|OM |2－1. 由题意，|MN ||MQ |＝λ，∴|MN |＝λ|MQ |，即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0. ∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54，该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为(x －2λ2λ2－1)2＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2，该方程表示以(2λ2λ2－1，0)为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆.。

2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程专题强化训练新人教A版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程专题强化训练(二) (建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 分别为3和5时，点P 的轨迹分别为 ( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线C [依题意，得|F 1F 2|＝10.当a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6<|F 1F 2|，可知点P 的轨迹为双曲线的右支；当a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝10＝|F 1F 2|，可知点P 的轨迹为以F 2为端点的一条射线．故选C ．]2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ( ) A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1B [椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.]3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e ＝( )【导学号：46342122】A ． 2B ．2C ． 3D ．3A [由题意知－b a ×b a ＝－1，即b 2a 2＝1，∴e 2＝1＋b 2a2＝2，即e ＝ 2.]4．直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线x 29－y 2＝1交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，则直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点．]5．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 A [由题意，得4m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，则－2<m <2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A ．] 二、填空题6．已知抛物线的离心率为e ，焦点为(0，e )，则抛物线的标准方程为________．x 2＝4y [由题意知e ＝1，则p2＝1，从而2p ＝4.抛物线方程为x 2＝4y .]7．椭圆的两个焦点为F 1，F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．32[由题意知|F 1A |＝|F 2A |＝a ，|F 1F 2|＝2C ．由余弦定理得4c 2＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°. 即3a 2＝4c 2，所以e 2＝c 2a 2＝34.所以e ＝32.] 8．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________． 2x －y －15＝0 [设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－4y 21＝4 ①x 22－4y 22＝4 ②②－①整理得y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1)，又x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. 所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，即弦所在的直线的斜率为2. 故弦所在的直线方程为2x －y －15＝0.] 三、解答题9．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程．(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围.【导学号：46342123】[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.10．已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1，0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．[解] (1)由题意，c ＝1，设椭圆的方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0，设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k2，y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k x F －x E ＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.[能力提升练]1．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2 D [由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝k x(k >0)得k ＝1×2＝2，故选D ．]2．已知双曲线C 的两条渐近线为l 1，l 2，过右焦点F 作FB ∥l 1且交l 2于点B ，过点B 作BA ⊥l 2且交l 1于点A ．若AF ⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为( )A ． 3B ．233C ．62D ．2 2B [如图，延长AF 交l 2于A 1，则易得|OA |＝|OA 1|.在△OAA 1中，F 为AA 1的中点，而BF ∥OA ，所以B 为OA 1的中点．又AB ⊥OA 1，于是△OAA 1中边OA 1上的高线与中线重合，从而△OAA 1为等边三角形，所以边OA 即直线l 1与x 轴的夹角为30°，所以e ＝1cos 30°＝233.]3．与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程为________.【导学号：46342124】x 212－y 28＝1 [法一：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．又点(32，2)在双曲线上，故(32)2a 2－4b2＝1.又a 2＋b 2＝16＋4＝20，得a 2＝12，b 2＝8，则双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1. 法二：设双曲线的标准方程为x 216－k －y 24＋k＝1(－4<k <16，且k ≠0)，将点(32，2)代入方程，得k ＝4，则双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.]4．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．2 3 [设点P (x 0，y 0)，则点P 到准线x ＝－2的距离为x 0＋2，由抛物线的定义，得x 0＋2＝42，所以x 0＝32，则|y 0|＝26，故△POF 的面积为12×2×26＝2 3.]5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． [解] (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32.(2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. 此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m ＋3＝43|m |＋3|m |≤2，当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.。

2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.3.1

2.3　抛物线2.3.1　抛物线及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( )A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)答案:B2.抛物线y=x 2的准线方程是( )A.2x+1=0B.4x+1=0C.2y+1=0D.4y+1=0解析:抛物线y=x 2的标准形式为x 2=y ,p y 轴正半轴上,故准线方程为y=4y+1=0.=12,且焦点在‒14,即答案:D3.已知抛物线的准线方程是x=-3,则抛物线的标准方程为( )A.x 2=-12yB.y 2=12xC.y 2=-12xD.x 2=12y解析:准线为x=-3,所以焦点在x 轴正半轴上,2p=12.故选B.且p 2=3,故答案:B4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.12解析:由题意知P 到抛物线准线的距离为4-(-2)=6,由抛物线的定义知,点P 到抛物线焦点的距离也是6.答案:B5.已知在抛物线y 2=2px (p>0)上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p 的值为( )A.0.5B.1C.2D.4解析:由题意,得4p=2.+p 2=5.故答案:C6.若抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 . 解析:抛物线方程化为x 2y=M 到焦点的距离为1,=14y ,准线为‒116.因为点所以点M 到准线的距离也为1,所以点M 的纵坐标等于1‒116=1516.答案:15167.若点M 到点F (0,-2)的距离比它到直线l :y-3=0的距离小1,则点M 的轨迹方程是　. 解析:由题意,点M 到点F (0,-2)的距离与它到直线l':y-2=0的距离相等,结合抛物线的定义可知,点M 的轨迹是以点F (0,-2)为焦点、y=2为准线的抛物线,即x 2=-8y.答案:x 2=-8y8.若双曲线x 2m ‒y 23=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则m = . 解析:抛物线的焦点为(3,0),m>0,故m=6.则m +3=3,且答案:69.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点M (-6,6);(2)焦点F 在直线l :3x-2y-6=0上.解:(1)∵点M (-6,6)在第二象限,∴过点M 的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,则焦点在x 轴上,设其方程为y 2=-2px (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=-2p ×(-6),∴p=3.∴抛物线的方程为y 2=-6x.若抛物线开口向上,则焦点在y 轴上,设其方程为x 2=2py (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=2p ×6,∴p=3,∴抛物线的方程为x 2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y 2=-6x 或x 2=6y.(2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0),∴抛物线的焦点是F (2,0),∴p2=2,∴p=4,∴抛物线的标准方程是y2=8x.②∵直线l与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点是F(0,-3),∴p2=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程是x2=-12y.综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.10.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以点F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D 两点.若∠BFD=90°,△ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程.解:因为以点F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,所以△BFD为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p,又因为点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=2p,所以S△ABD=42=12|BD|×d=12×2p×2p,所以p=2.所以圆F的圆心为(0,1),半径r=|FA|=22,圆F的方程为x2+(y-1)2=8.能力提升1.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=12yD.x2=-12y答案:C2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2‒y23=1的渐近线的距离是( )A .12B.32C.1D.3答案:B3.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )A .34B.1C.54D.74答案:C4.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且与y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x解析:抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F的坐标l的方程为y=y轴的交点为(a4,0),则直线2(x-a4),它与△OAF的面积a=±8.为A(0,-a2),所以为12|a4|·|a2|=4,解得所以抛物线的方程为y2=±8x,故选B.答案:B5.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为 .解析:∵抛物线的焦点坐标为F(p2,0),线段FA的中,点B(p4,1)在抛物线上∴12=2p ×p4,∴p=2,∴x=B(24,1),抛物线的准线方程为‒22,∴点B到该抛物线准线的距离为|24-(-22)|=34 2.答案:342★6.已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若点M到此抛物线的准线和x轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为 .解析:设M(x0,y0),则x0+p2=5,|y0|=4.又y20=2px0,∴x0=8p,∴8p+p2=5.∴p=2或p=8,则x0=4或x0=1.答案:1或47.已知抛物线的焦点F在x轴上,点A(m,-3)在抛物线上,且|AF|=5,求抛物线的标准方程.解:因为抛物线的焦点F在x轴上,且点A(m,-3)在抛物线上,所以当m>0时,点A在第四象限,抛物线的方程可设为y2=2px(p>0),设点A到准线的距离为d,则d=|AF|=p 2+m ,所以{(-3)2=2pm ,p 2+m =5.解得{p =1,m =92或{p =9,m =12.所以抛物线的方程为y 2=2x 或y 2=18x.当m<0时,点A 在第三象限,抛物线方程可设为y 2=-2px (p>0),设点A 到准线的距离为d ,则d=|AF|=p 2‒m ,所以{(-3)2=-2pm ,p 2-m =5.解得{p =1,m =-92或{p =9,m =-12.所以抛物线的方程为y 2=-2x 或y 2=-18x.综上所述,抛物线的方程为y 2=-2x 或y 2=-18x 或y 2=2x 或y 2=18x.★8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100+y 225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M (0,647为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D (8,0).观测点A (4,0),B (6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在x 轴上方时,观测点A ,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解:(1)设曲线方程为y=ax2+647,由题意可知,0=a ·64+647.∴a =‒17.∴曲线方程为y=‒17x 2+647.(2)设变轨点为C (x ,y ),根据题意可知{x 2100+y 225=1,y =-17x 2+647,①②解得y=4或y=,舍去).‒94(不合题意∴y=4.当y=4时,x=6或x=-6(不合题意,舍去).∴点C 的坐标为(6,4),|AC|=25,|BC|=4.答:当观测点A ,B 测得离航天器的距离分别,应向航天器发出变轨指令.为25,4时。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.4.1

又��23=8x3,即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
可得(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2.
★ 9 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如右图.航天器运行(按顺时针
��2 + ��2 方向)的轨迹方程为100 25=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为
为
m.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y.当 y=3 时,x=± 6,故水面宽为 2 6 m. 答案:2 6
7 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不
( ) 对称轴、M 0,674 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D(8,0).观测点 A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程. (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
64
解:(1)设曲线方程为 y=ax2+ 7 (a<0),
( ) 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2
2
��
-
�� 2
,与
y2=2px
联立,从而有
4x2-5px+p2=0,
5��
故 x1+x2= 4 .
由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即 p=4. 故抛物线的方程为 y2=8x. (2)由(1),得 p=4,代入 4x2-5px+p2=0,得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2=4, 则 y1=-2 2,y2=4 2. 故 A(1,-2 2),B(4,4 2). 设��=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(1+4λ,-2 2+4 2λ),

18版高中数学圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程学案新人教A版2_1180320479

2.1.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.知识点一曲线与方程的概念思考1 设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？(1){P|PA＝PB}(A，B是两个定点)；(2){P|PO＝3 cm}(O为定点).答案(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆.思考2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.梳理一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明.答案不能.还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.思考2 方程x－y＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？答案方程x－y＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x－y＝0的解.例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A 是第一、三象限角平分线上的点.方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线.梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1 曲线与方程的判定例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )A.方程f(x，y)＝0的曲线是CB.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC.f(x，y)＝0是曲线C的方程D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上答案 B解析不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、C、D错误.举例如下：曲线C：一、三象限角平分线，方程为|x|＝|y|，显然满足已知条件，但A、C、D错.反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是( )A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0答案 D解析“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A 、C 错，B 显然错. 命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k . 证明 ①如图，设M (x 0，y 0)是轨迹上的任意一点.因为点M 与x 轴的距离为|y 0|，与y 轴的距离为|x 0|，所以|x 0|·|y 0|＝k ，即(x 0，y 0)是方程xy ＝±k 的解.②设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程xy ＝±k 的解，则x 1y 1＝±k ，即|x 1|·|y 1|＝k .而|x 1|，|y 1|正是点M 1到纵轴、横轴的距离，因此点M 1到这两条直线的距离的积是常数k ，点M 1是曲线上的点.由①②可知，xy ＝±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k (k >0)的点的轨迹方程.反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.跟踪训练2 写出方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线.解由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1). 类型二曲线与方程关系的应用例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值.解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上.(2)∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m22＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185.反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围. 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.1.曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程为( ) A.f (x －3，y )＝0 B.f (y ＋3，x )＝0 C.f (y －3，x ＋3)＝0 D.f (y ＋3，x －3)＝0答案 D解析由对称轴x －y －3＝0得x ＝y ＋3，y ＝x －3可知D 正确. 2.方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x －y ＝0对称答案 C解析同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称.3.方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________. 答案两条相交直线解析原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.4.若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________.答案 4 1解析 ∵曲线过A (0，－2)，B (12，3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝4.5.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________. 答案 4个点解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点.1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.40分钟课时作业一、选择题1.“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析结合曲线方程的定义易得.2.曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，则下列四个点中在曲线C 上的是( ) A. (0，0) B.(7，15) C.(2，3) D.(4，4) 答案 C解析由y ＝2x －1(1<x <5)得A ，B 的横坐标不满足题意，D 项中坐标代入后不满足方程，故选C.3.方程|x |＋|y |＝|xy |＋1表示的曲线是( ) A.一条直线 B.一个正方形 C.一个圆 D.四条直线答案 D解析由|x |＋|y |＝|xy |＋1得(|x |－1)(|y |－1)＝0，即x ＝±1或y ＝±1，因此该方程表示四条直线.4.下列方程对应的曲线是同一条曲线的是( ) ①y ＝log a x a ；②y ＝x 2；③y ＝log a a x；④y ＝3x 3. A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 答案 B解析由y ＝log a a x＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线.5.过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA 、OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( ) A.点P (a ，b )一定在单位圆内 B.点P (a ，b )一定在单位圆上 C.点P (a ，b )一定在单位圆外D.当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上答案 B解析 ∵OC →2＝(aOA →＋bOB →)2，且OA →⊥OB →，∴a 2＋b 2＋2abOA →·OB →＝a 2＋b 2＝1，因此点P (a ，b )一定在单位圆上，故选B.6.方程|x |－|y |＝0表示的图形是下图中的( )答案 C解析由|x |－|y |＝0知y ＝±x ，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线. 7.已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，若动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围的面积为( )A.9πB.8πC.4πD.π 答案 C解析设P (x ，y )，∵|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2， ∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆， ∴所围成的面积S ＝π·22＝4π. 二、填空题8.设命题甲：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0，命题乙：点P 在曲线C 上，命题丙：点Q 坐标不适合f (x ，y )＝0，命题丁：点Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件. 答案充分不必要解析依题意可知，曲线C 上的点都满足方程，但以满足方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点不一定都在曲线C 上，那么逆否命题为不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C 上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件.9.方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是____________. 答案点(1，2)解析由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0且y －2＝0即x ＝1且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1，2).10.在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________. 答案 (x －1)2＋y 2＝2解析直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝(1－2)2＋(0＋1)2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 三、解答题11.直线y ＝x －2与曲线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，求证：OA ⊥OB . 证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝2x ，消去y 并整理，得x 2－6x ＋4＝0，由x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，从而有y 1·y 2＝(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4－12＋4＝－4. 又OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4－4＝0， ∴OA →⊥OB →，即OA ⊥OB .12.已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积.解由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.13.已知两曲线f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的一个交点为P(x0，y0).求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.证明因为P(x0，y0)是两曲线的交点，所以点P的坐标既满足方程f(x，y)＝0，又满足方程g(x，y)＝0，即f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0，故f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0，所以P(x0，y0)的坐标是方程f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0的解，故点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.。

2018年秋高中数学专题强化训练2圆锥曲线与方程新人教A版选修1-1

A. 0B. 1专题强化训练（二）圆锥曲线与方程（建议用时：45分钟）［基础达标练］，动点P 满足| PF | — | PK| = 2a ,当a 分别为3和5时，点P 的轨迹分别为（）［依题意，得|布| = 10.当a = 3时，|PF | — |PFF = 2a = 6<| F 1F 2I ，可知点P 的轨迹为双曲线的右支；当 a = 5时，|PF | —|P 冋=2a = 10 =|冃冃，可知点P 的轨迹为以F 2为端点的一条射线.故选 C.］2•与椭圆9x 2 3 4 + 4y 2= 36有相同焦点，且短轴长为 2的椭圆的标准方程为（ 2 2x yA. — + = 1242 2x yD.8 + 5 = 12 222x yB [椭圆9x 2+ 4y 2 = 36可化为二+殳=1,4 9、选择题1.已知 F ( — 5,0) , F 2(5,0) A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D . 双曲线的一支和一条直线 2x 2%+y=1A. 0B. 22 2y x故可设所求椭圆方程为孑+匕2= 1（ a >b >0），则 26,则所求椭圆的标准方程为X 2 + ； = 1.］4.直线y = 1 x — 7与双曲线2备—y 2= 1交点的个数是（可知焦点在y 轴上，焦点坐标为（0 ,士 5),3.若双曲线X 2 — a 2y-2 =1（a >0, b >0）的两条渐近线互相垂直, b则双曲线的离心率 e =()【导学号:97792113】A. 2B. 2C. 3D. 3A ［由题意知一 b b了 a =— 1， ••• e 2 =1+a 2=2,即 e = ,2.]c = 5.又 2b = 2，即 b = 1，所以C. 2D. 3B [双曲线的渐近线方程为 y =± g x ,则直线y = 3 x — |与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点.]2 222x y5.若直线mx+ ny = 4和圆O ： x + y = 4没有交点，则过点 P (m n )的直线与椭圆-9 +立 =1的交点个数为()A. 2B. 1C. 0D. 0 或 1422JX 1A ［由题意，得. 22>2，所以m + n <4,则一2<m <2, — 2<n <2，所以点«P( m n )在椭2 2 2 2x yx y圆—+ 4 = 1内，则过点 Rm n )的直线与椭圆—+ — = 1有2个交点.故选 A.］二、填空题6•已知抛物线的离心率为 e ,焦点为(0 , e )，则抛物线的标准方程为 _____________ .x 2= 4y [由题意知e = 1,则2= 1,从而2p = 4.抛物线方程为x 2= 4y .]2吕.7•椭圆的两个焦点为 F 1, F 2，短轴的一个端点为 A ,且三角形 RAF 是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为芒［由题意知 |F 1A =| EA = a , | F 1F 2I = 2c .由余弦定理得 4C 2= a 2 + a 2 — 2a 2cos 120°2所以e =x 2— 4y 2= 4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是2x — y — 15= 0 [设弦的两个端点分别为 A (X 1, y" , 0X 2,月2②—①整理得X 2+ X 1，又 Z X2= 16, y1 + y2= 2・ y 2 — V 1所以X- X-= 2，即弦所在的直线的斜率为2.X 2 — X 1 故弦所在的直线方程为 2x — y — 15= 0.]即 3a2= 4c 2,所以 e 2= a c 2 32= 4.&点R8,1)平分双曲线_15 =y 2 — y 1 X —则① ②三、解答题9•已知椭圆的一个顶点为 A (0,— 1)，焦点在x 轴上，右焦点到直线 x — y + 2 2 = 0 的距离为3.(1) 求椭圆的方程.(2) 设椭圆与直线y = kx + m (k z 0)相交于不同的两点 M N 当| AM = I AN 时，求m 的取值范围.【导学号：97792114】［解］(1)依题意可设椭圆方程为y 2= l(a >l),则右焦点F ( a 2— 1, 0), 由题设，知1怎—1 + 2 21= 3,7222X 2解得a 2= 3,故所求椭圆的方程为-+ y 2= 1. y =kx + m⑵设点P 为弦MN 的中点，由 x 223+y = 1,得(3 k 2 + 1)x 2+ 6mkx^ 3( m — 1) = 0, 由于直线与椭圆有两个交点,2 2所以△ >0,艮卩m <3k + 1,①o所以k A 一宀_ mt^,X P3mk又 | AM =| AN ，所以 API MN.2则—巧k J 1一 12m= 3k 2+ 1，②3mkk把②代入①得2m >m ,解得0<m <2, 由②得k 2= 2m —J >0,解得m >;,3 2 故所求m 的取值范围是 2 2 .10 •已知椭圆C 经过点A 1, 3，两个焦点为(一1, 0) , (1,0) (1)求椭圆C 的方程;所以 X P =X M + X N3mk23k +1,线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.［解］(1)由题意，c = 1,设椭圆的方程为1因为A 在椭圆上，所以i +牙+3解得b = 3或b =- 4(舍去)•⑵E , F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直所以椭圆的方程为2 2X y + -= 1.4 3(2)证明：设直线 AE 的方程为 3y = k (x — 1) + 22得(3 + 4k 2) X 2 + 4k (3 — 2k )X + 4 3 — k — 12= 0,丿设 E (X E , y E ) , F (X F , y F ),24i3Q4b -\!- 所以 XE=r+k? 12, 3—,y E = kx +又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以— k 代k ,可得24；+k -12XI 3+ 4狂/ 所以直线EF 的斜率 3—kx F + 2 + k .X F — X EA即直线EF 的斜率为定值，其值为X F — X1 2.［能力提升练］1 •已知双曲线 C 的两条渐近线为 I 1, I 2,过右焦点 F 作FB//I 1且交l 2于点B,过点B则双曲线C的离心率为(作BALI 且交A. ,3B ［如图，延长AF 交I 2于A,则易得| OA =|0A |.在厶OAA 中，F 为AA 的中点，而BF// OA 所以B 为OA 的中点.又ABL OA,于是△ OAA 中边OA 上的高线与中线重合，从而△ OAA 为等边三角形，所以边 OA 即直线l i 与x 轴的夹角为30°,所以e = _ =疝］ cos 30 ° 3 J2.在平面直角坐标系2x2xOy 中，双曲线——y = 1的右准线与它的两条渐近线分别交于点•••IPQ = ,3,1 1• S 四边形 F 1PRQ= 2 •丨 F 1F 2I • PQ =寸 4X 3 = 2 3.]2 23.与双曲线1x 6—卷=1有公共焦点，且过点(3迈,2)的双曲线的标准方程为 ________________【导学号：97792115】2 2 2 2；2 — ； = 1 ［法一：设双曲线的标准方程为 *— b 2= 1(a >0, b >0).又点(3 , 2, 2)在双P, Q,其焦点是F i , F 2，则四边形所以 | F i F 2| = 4.2X2双曲线——y =1的右准线方程为3x =—c 2'渐近线方程为 y =± Jx .3由y =x ,2— x2 3 ［如图所示，双曲线-— ,F 2（2,0）（3 得P3,曲线上，故b = 1.又a 2+ b 2= 16+ 4= 20,得a 2= 12, b 2= 8,则双曲线的标准方2y_ 8= 1. 22 2X y _法二：设双曲线的标准方程为k —4+k = 1( —4<k<16，且k丰0)，将点(3 ,2 2)代2 2入方程，得k = 4，则双曲线的标准方程为爲—y= 1.]12 84•已知O为坐标原点，F为抛物线C： y2=他/2x的焦点，P为C上一点，若| PF| = 4半, 则厶POFF面积为2 3 [设点Rx o, y o)，则点P到准线x=—2的距离为X o+ , 2,由抛物线的定义，得1X o+j2 = 4,2，所以X o= 3 2，则| y o| = 2、..,6，故△ POFF面积为x 2 X2 6 = 2 3.]25•已知椭圆G X + y2= 1.过点(m,0)作圆x2+ y2= 1的切线I交椭圆G于A, B两点.4⑴求椭圆G的焦点坐标和离心率;⑵将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.［解］(1)由已知得a= 2, b= 1,所以c = > - a —b =•, 3.所以椭圆G的焦点坐标为(一3, 0) , ( 3, 0),离心率为e= c= 3.a 2 <\ •当m= 1时，切线I的方程为x = 1,点A, B的坐标分别为H , 此时| AB| = \ 3.当m=—1时，同理可得|AB = , 3.当| m>1时，设切线I的方程为y= k(x—m •y = k 由i x\ 214+y =1, 八 /丿得(1 + 4 k2) x2—8k2mx^ 4k2n i—4 = 0.设A, B两点的坐标分别为(X1, y" ,(X2, y2)，则■ 2 . 2 28k m 4k m—4X1 + X2 = , X1X2 = YyT.1 + 4k 1 + 4k又由l与圆x2+ y2= 1相切，得= 1,即mk = k2+ 1.所以| AB = . X2—X1 2+ y2 —y1 21,—I I J > x—m= 1+ k2L X1 + X2 2—4x1X2］■ ~64k 4m 4~虞需―4__"] 4羽| m+ 4k 2 2— 1 + 4k 2 = m + 3 . 由于当m=±1时，| AB = 3, 当且仅当m=± 3时，| AB = 2, 所以| AB 的最大值为2.因为| AE | = 所以| AB = m€ ( —a, — 1] U [1 , 4 m = m + 3 = 4 ；3 3|m+rm1 + k 2。

2018_2019学年高中数学二圆锥曲线与方程课后训练巩固提升新人教A版

二圆锥曲线与方程[A 基础达标]1．若双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一个焦点为(3，0)，则它的离心率为( )A ．2 2 B.423C.324D.2解析：选C.由焦点为(3，0)知，1＋a 2＝9，所以a 2＝8，a ＝22，所以离心率e ＝322＝324.故选C. 2．设k <3，k ≠0，则下列关于二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1的说法正确的是( )A ．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆B ．它们有相同的顶点C ．它们有相同的焦点D ．它们有相同的离心率解析：选C.当0<k <3时，则0<3－k <3，所以x 23－k －y 2k ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.所以两曲线有相同焦点；当k <0时，－k >0且3－k >－k ，所以x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆．a 2＝3－k ，b 2＝－k .所以a 2－b 2＝3＝c 2，与已知椭圆有相同焦点．3．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率为( )A. 5B.102C.3＋1D.3解析：选C.由题知PF 1⊥PF 2，则⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，|PF 1|＝3|PF 2|，得c a＝3＋1.故选C.4．已知斜率为22的直线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，＋∞)C ．(1，5)D.(5，＋∞)解析：选B.依题意，双曲线的一条渐近线的斜率b a 必大于22，即b a>22，因此该双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>3，选B.5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 C ．(1，2) D.(1，－2)解析：选B.如图，因为点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，选B.6．双曲线x 24－y 2＝1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 2＝1的右顶点为(2，0)，渐近线方程为x ±2y ＝0，故点(2，0)到x ±2y＝0的距离为d ＝|2|4＋1＝255.答案：2557．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)(O 为坐标原点)，则|OM →|＝________．解析：设F 1为右焦点，因为|PF →|＝6，所以|PF 1→|＝10－6＝4，又OM →＝12(OP →＋OF →)，所以M 为PF 的中点，所以OM 为△FPF 1的中位线，所以|OM →|＝12|PF 1→|＝2.答案：28．已知直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且交椭圆C于A 、B 两点，椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，则椭圆C 的方程为________．解析：根据题意，直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，所以F (1，0)，所以c ＝1.又因为椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，所以b ＝3，b 2＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝19．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一内接△OAB ，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝0，直线OA 的方程为y ＝2x ，且|AB |＝413，求抛物线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，又OA →·OB →＝0，所以OA ⊥OB ，故直线OB 的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，联立得B (8p ，－4p )．因为|AB |＝413，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＋(p ＋4p )2＝16×13，解得p ＝85，所以抛物线方程为y 2＝165x .10．设椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >2)的离心率为33，斜率为k 的直线l 过点E (0，1)且与椭圆交于C ，D 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC →＝DE →，求k 的值．解：(1)由题可得e 2＝c 2a 2＝a 2－4a 2＝13，解得a 2＝6，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 26＋y 24＝1，得(2＋3k 2)x 2＋6kx －9＝0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 2＋3k 2，x 1x 2＝－92＋3k 2，则CD 中点的横坐标为x 0＝－3k2＋3k2，又E (0，1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0，则GE 中点的横坐标为x 0′＝－12k ，又因为GC →＝DE →，所以CD ，GE 的中点重合，即－3k 2＋3k 2＝－12k ，解得k ＝±63. [B 能力提升]11．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D.± 2解析：选C.由题设，得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，F (c ，0)．将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a .不妨设B (c ，b 2a )，C (c ，－b 2a )，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得b a＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.12．点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线作垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若2AF →＝FB →，则双曲线C 的离心率是________．解析：由题意得双曲线C 的右焦点为F (c ，0)，记一条渐近线OA 的方程为y ＝b ax ，则另一条渐近线OB 的方程为y ＝－b ax ，设A (m ，bm a )，B (n ，－bn a)，因为2AF →＝FB →，所以2(c －m ，－bm a)＝(n －c ，－bn a)，所以2(c －m )＝n －c ，－2bm a ＝－bna，解得m ＝3c 4，n ＝3c 2，所以A (3c 4，3bc4a )．由FA ⊥OA 可得3bc4a －03c 4－c ·ba ＝－1.所以a 2＝3b 2，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝233.答案：23313．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率为22，过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，|AB |＝2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P (x 0，y 0)满足OP →＝OM →＋2 ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，求证：x 20＋2y 20为定值．解：(1)由e 2＝a 2－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2，因为过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以由椭圆的对称性，知该直线过点(c ，1)或(－c ，1)，且点(±c ，1)在椭圆上，即c 2a2＋1b2＝1，即a 2－b 2a 2＋1b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则k OM ·k ON ＝y 1x 1·y 2x 2＝－12，化简得x 1x 2＋2y 1y 2＝0.因为M ，N 是椭圆上的点，所以x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，即有x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，由OP →＝OM →＋2 ON →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋2x 2y 0＝y 1＋2y 2，所以x 20＋2y 20＝(x 1＋2x 2)2＋2(y 1＋2y 2)2＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝4＋4×4＋0 ＝20.即x 20＋2y 20为定值．14．(选做题)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0.(1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点(2，0)作斜率为k 的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得OA →·OB →≤－1？若存在，求出直线l 的斜率k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，知Q 为线段PN 的中点，且GQ ⊥PN ，则GQ 为线段PN 的中垂线，故|PG →|＝|GN →|，所以|GN →|＋|GM →|＝|PM →|＝6.故点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且其长半轴长a ＝3，半焦距c ＝5，所以短半轴长b ＝2.所以点G 的轨迹C 的方程是x 29＋y 24＝1.(2)设l 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 29＋y 24＝1⇒(9k 2＋4)x 2－36k 2x ＋36(k 2－1)＝0，所以x 1＋x 2＝36k 29k 2＋4，x 1x 2＝36（k 2－1）9k 2＋4， y 1y 2＝[k (x 1－2)][k (x 2－2)]＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－20k29k 2＋4，则x 1x 2＋y 1y 2＝36（k 2－1）9k 2＋4－20k 29k 2＋4＝16k 2－369k 2＋4. 由OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2≤－1，得16k 2－369k 2＋4≤－1，解得k 2≤3225，故－425≤k ≤425.故存在这样的直线l ，使得OA →·OB →≤－1，且直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－425，425.。

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专题强化训练(二) 圆锥曲线与方程(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 分别为3和5时，点P 的轨迹分别为 ( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线C [依题意，得|F 1F 2|＝10.当a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6<|F 1F 2|，可知点P 的轨迹为双曲线的右支；当a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝10＝|F 1F 2|，可知点P 的轨迹为以F 2为端点的一条射线．故选C.]2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 B [椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.]3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e ＝( )【导学号：97792113】A. 2 B ．2 C. 3 D ．3A [由题意知－b a ×b a ＝－1，即b 2a 2＝1，∴e 2＝1＋b 2a2＝2，即e ＝ 2.]4．直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线x 29－y 2＝1交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，则直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点．]5．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1A [由题意，得4m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，则－2<m <2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.] 二、填空题6．已知抛物线的离心率为e ，焦点为(0，e )，则抛物线的标准方程为________．x 2＝4y [由题意知e ＝1，则p2＝1，从而2p ＝4.抛物线方程为x 2＝4y .]7．椭圆的两个焦点为F 1，F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．32[由题意知|F 1A |＝|F 2A |＝a ，|F 1F 2|＝2c .由余弦定理得4c 2＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°. 即3a 2＝4c 2，所以e 2＝c 2a 2＝34.所以e ＝32.] 8．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________． 2x －y －15＝0 [设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－4y 21＝4 ①x 22－4y 22＝4 ②②－①整理得y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1，又x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，即弦所在的直线的斜率为2. 故弦所在的直线方程为2x －y －15＝0.] 三、解答题9．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程．(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围.【导学号：97792114】[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1，① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.10．已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1，0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．[解] (1)由题意，c ＝1，设椭圆的方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0，设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k . 所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x F ＋x E ＋2k x F －x E ＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.[能力提升练]1．已知双曲线C 的两条渐近线为l 1，l 2，过右焦点F 作FB ∥l 1且交l 2于点B ，过点B 作BA ⊥l 2且交l 1于点A .若AF ⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233C.62D ．2 2B [如图，延长AF 交l 2于A 1，则易得|OA |＝|OA 1|.在△OAA 1中，F 为AA 1的中点，而BF ∥OA ，所以B 为OA 1的中点．又AB ⊥OA 1，于是△OAA 1中边OA 1上的高线与中线重合，从而△OAA 1为等边三角形，所以边OA 即直线l 1与x 轴的夹角为30°，所以e ＝1cos 30°＝233.]2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．2 3 [如图所示，双曲线x 23－y 2＝1的焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以|F 1F 2|＝4.双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝a 2c ＝32，渐近线方程为y ＝±33x . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝33x ，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.∴|PQ |＝3，∴S 四边形F 1PF 2Q ＝12·|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3.]3．与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程为________.【导学号：97792115】x 212－y 28＝1 [法一：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．又点(32，2)在双曲线上，故22a2－4b2＝1.又a 2＋b 2＝16＋4＝20，得a 2＝12，b 2＝8，则双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.法二：设双曲线的标准方程为x 216－k －y 24＋k＝1(－4<k <16，且k ≠0)，将点(32，2)代入方程，得k ＝4，则双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.]4．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．2 3 [设点P (x 0，y 0)，则点P 到准线x ＝－2的距离为x 0＋2，由抛物线的定义，得x 0＋2＝42，所以x 0＝32，则|y 0|＝26，故△POF 的面积为12×2×26＝2 3.]5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． [解] (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. 此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m2＋4k22－k 2m 2－1＋4k2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m ＋3＝43|m |＋3|m |≤2，当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.。