新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.3方程组的解集应用案巩固提升新人教B版必修第一册

新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.3方程组的解集应用案巩固提升新人教B 版必修第一册[A 基础达标]1．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －3b ＝13，3a ＋5b ＝30.9的解集为{(a ，b )|(8.3，1.2)}，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋2）－3（y －1）＝13，3（x ＋2）＋5（y －1）＝30.9，的解集为( ) A ．{(x ，y )|(6.3，2.2)}B ．{(x ，y )|(8.3，1.2)}C ．{(x ，y )|(10.3，2.2)}D ．{(x ，y )|(10.3，0.2)}解析：选A.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝8.3，y －1＝1.2.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6.3，y ＝2.2. 2．已知|x －z ＋4|＋|z －2y ＋1|＋|x ＋y －z ＋1|＝0，则x ＋y ＋z ＝( )A ．9B ．10C ．5D ．3解析：选A.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＋4＝0， ①z －2y ＋1＝0， ②x ＋y －z ＋1＝0. ③③－①，得y ＝3.把y ＝3代入②，得z ＝5.把z ＝5代入①，得x ＝1.所以x ＋y ＋z ＝1＋3＋5＝9.故选A.3．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4ax ＋5by ＝－22和⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－4，ax －by ＝8有相同的解，则(－a )b 的值为________．解析：因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为①⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，2x ＋3y ＝－4；②⎩⎪⎨⎪⎧4ax ＋5by ＝－22，ax －by ＝8. 解方程组①，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 代入方程组②，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －10b ＝－22，a ＋2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以(－a )b ＝(－2)3＝－8.答案：－84．若x ＋43＝y ＋64＝z ＋85，且x ＋y ＋z ＝102，则x ＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋43＝y ＋64， ①x ＋43＝z ＋85， ②x ＋y ＋z ＝102， ③由①得y ＝4x －23， ④ 由②得z ＝5x －43， ⑤ 把④⑤代入③并化简，得12x －6＝306，解得x ＝26.答案：26 5．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y －z ＝3，z ＋x ＝1的解也是方程3x ＋my ＋2z ＝0的解，则m 的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2， ①y －z ＝3， ②z ＋x ＝1. ③①＋②，得x －z ＝5， ④将③④组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧z ＋x ＝1，x －z ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝－2. 把x ＝3代入①，得y ＝1.故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝－2.代入3x ＋my ＋2z ＝0，得9＋m －4＝0，解得m ＝－5.答案：－56．解下列三元一次方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y ＋x ， ①2x －3y ＋2z ＝5， ②x ＋2y ＋z ＝13； ③(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝11， ①x ＋y ＋z ＝0， ②3x －y －z ＝－2. ③解：(1)将①代入②、③，消去z ，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，2x ＋3y ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.把x ＝2，y ＝3代入①，得z ＝5. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(2，3，5)}．(2)①－②，得x ＋2y ＝11. ④①＋③，得5x ＋2y ＝9. ⑤④与⑤组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝11，5x ＋2y ＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝234. 把x ＝－12，y ＝234代入②，得z ＝－214. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，234，－214}． 7．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋xy ＝12， ①xy ＋y 2＝4. ② 解：①－②×3得x 2＋xy －3(xy ＋y 2)＝0，即x 2－2xy －3y 2＝0⇒(x －3y )(x ＋y )＝0，所以x －3y ＝0或x ＋y ＝0，所以原方程组可化为两个二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝0，xy ＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，xy ＋y 2＝4. 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3，y 2＝－1. 所以该方程组的解集为{(x ，y )|(3，1)，(－3，－1)}．8．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧xy －x －y ＋1＝0， ①3x 2＋4y 2＝1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－xy －4y 2－3x ＋4y ＝0， ①x 2＋y 2＝25. ② 解：(1)由①得(x －1)(y －1)＝0，即x ＝1或y ＝1.(ⅰ)当x ＝1时，4y 2＝－2无解．(ⅱ)当y ＝1时，3x 2＝－3无解，所以原方程组的解集为∅.(2)由①得(3x －4y )(x ＋y )－(3x －4y )＝0，(3x －4y )(x ＋y －1)＝0，即3x －4y ＝0或x ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0x 2＋y 2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(4，3)，(－4，－3)，(4，－3)，(－3，4)}．[B 能力提升]9．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝5（x ＋y ）， ①x 2＋xy ＋y 2＝43. ② 解：由①得，x 2－y 2－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y )－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y －5)＝0， 所以x ＋y ＝0或x －y －5＝0，所以原方程组可化为两个方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43， 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝－6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y 2＝1或⎩⎨⎧x 3＝43y 3＝－43，⎩⎨⎧x 4＝－43y 4＝43， 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(－1，－6)，(6，1)，(43，－43)，(－43，43)}．10．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋xy ＋y 2＝15， ①3x 2－31xy ＋5y 2＝－45； ②(2)⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＝1， ①16a 2＋1b 2＝1. ②(a >0，b >0) 解：(1)①×3＋②得，3x 2－7xy ＋2y 2＝0，(3x －y )(x －2y )＝0，3x －y ＝0或x －2y ＝0，将y ＝3x 代入①得，x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， 将x ＝2y 代入①得，y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(1，3)，(－1，－3)，(2，1)，(－2，－1)}．(2)令x ＝1a 2，y ＝1b 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝116x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝120y ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1201b 2＝15. 所以⎩⎨⎧a ＝25b ＝5(因为a >0，b >0)． 即原方程组的解集为{(a ，b )|(25，5)}．11．k 为何值时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2， ①y 2－4x －2y ＋1＝0. ② (1)有一个实数解，并求出此解；(2)有两个不相等的实数解；(3)没有实数解．解：将①代入②，整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0， ③ Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＝－16(k －1)．(1)当k ＝0时，y ＝2，则－4x ＋1＝0，解得x ＝14， 方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，Δ＝0时，原方程组有一个实数解，即k ＝1时方程组有一个实数解，将k ＝1代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－4x －2y ＋1＝0，y ＝x ＋2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，Δ＝－16（k －1）>0时，原方程组有两个不相等的实数解，即k <1且k ≠0. 所以当k <1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，Δ＝－16（k －1）<0时，解得k ＞1，即当k >1时，方程组无实数解． [C 拓展探究]12．规定：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c bd ＝ad －bc .例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －13 0＝2×0－3×(－1)＝3. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 y 2 x ＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x z －3 5＝8，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 z 6 y ＝－3. 解：根据规定，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 y 2 x ＝3x －2y ＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x z －3 5＝5x ＋3z ＝8， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 z 6 y ＝3y －6z ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1， ①5x ＋3z ＝8， ②3y －6z ＝－3， ③②×2＋③，得10x ＋3y ＝13. ④将①与④组成二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，10x ＋3y ＝13. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 把y ＝1代入③，得z ＝1，所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(1，1，1)}．。