高二数学两个基本计数原理5
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。
而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。
那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。
比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。
假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。
那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。
那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。
接下来，我们说一说乘法原理。
假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。
那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。
比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。
1.1两个基本计数原理
解：因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法， 所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地， 共有 3×2＝6 种不同的走法。
完成一件事，需要分 成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2 种不同的方法，…，做第n步时有mn 种不同的方法。那么完成这件事共有
分步计数原理
N m1 m2 mn
两个基本计数原理
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车 有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法， 在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在 第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成 这件事共有：
例2、在下面两个图中，使电路接通的 不同方法各有多少种？ A
B
A
B （ 2）
（ 1）
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册 时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1 个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数 字中的一个。这样的密码共有多少个？
种不同的方法。
分步计数原理又称为乘法原理。
1、分类计数原理(加法原理)中，“完成 一件事，有n类方式”，即每种方式都可以独 立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式 彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的 哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足 这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。 2、分步计数原理(乘法原理)中，“完成一 件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不 足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几 个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所 有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立， 即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不 同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直 接用 事情是“分类”还是“分步”。 例1、某班共有男生28名、女生20名， 从该班选出学生代表参加校学代会。 （1)若学校分配给该班1名代表，有多少种 不同的选法？
高二数学两个基本原理
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
N m1 m2 mn
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
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，使得收敛送终，尽其子道”夏五月，诏曰“父子之亲，夫妇之道，天性也。虽有患祸，犹蒙死而存之。诚爱结於心，仁厚之至也，岂能违之哉。自今，子首匿父母、妻匿夫、孙匿大父母，皆勿坐。其父母匿子、夫匿妻、大父母匿孙，罪殊死，皆上请廷尉以闻”立广川惠王孙文为广川王。秋七月， 大司马霍禹谋反。诏曰“乃者，东织室令史张赦使魏郡豪李竟报冠阳侯霍云谋为大逆，朕以大将军故，抑而不扬，冀其自新。今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云、乐平侯山、诸姊妹婿度辽将军范明友、长信少府邓广汉、中郎将任胜、骑都尉赵平、长安男子冯殷等谋为大逆。显前 又使女侍医淳于衍进药杀共哀后，谋毒太子，欲危宗庙。逆乱不道，咸伏其辜。诸为霍氏所诖误未发觉在吏者，皆赦除之”八月已酉，皇后霍氏废。九月，诏曰“朕惟百姓失职不赡，遣使者循行郡国问民所疾苦。吏或营私烦扰，不顾厥咎，朕甚闵之。今年郡国颇被水灾，已振贷。盐，民之食，而贾 咸贵，众庶重困。其减天下盐贾”又曰“令甲，死者不可生，刑者不可息。此先帝之所重，而吏未称。今系者或以掠辜若饑寒瘐死狱中，何用心逆人道也。朕甚痛之。其令郡国岁上系囚以掠笞若瘐死者所坐名、县、爵、里，丞相、御史课殿最以闻”十二月，清河王年有罪，废迁房陵。元康元年春， 以杜东原上为初陵，更名杜县为杜陵。徙丞相、将军、列侯、吏二千石、訾百万者杜陵。三月，诏曰“乃者凤皇集泰山、陈留，甘露降未央宫。朕未能章先帝休烈，协宁百姓，承天顺地，调序四时，获蒙嘉瑞，赐兹祉福，夙夜兢兢，靡有骄色，内省匪解，永惟罔极。《书》不云乎
3.2-两个计数原理
4. 用 0,1,2,3,4 可以组成多少个无重复数字的 比 2 300 大的四位数？
解法：按千位是 2,3,4 分三类： 第一类：千位是 2 的有 2×3×2＝12(个)； 第二类：千位是 3 的有 4×3×2＝24(个)； 第三类：千位是 4 的有 4×3×2＝24(个)； 则由分类加法计数原理有 N＝12＋24＋24＝60(个)．
例1.书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有3 本不同的语文书，第3层放有2本不同的英语书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架的第1、2、3层各取1本不同的书，有多少 种不同的取法？
解：（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可 分3个步骤完成：
第1步有5种方法；
第2步有3种方法；
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
例2： 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步 骤：
第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种 不同的选取方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取 一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；
第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种 不同的选取方法；
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
两个基本计数原理教案
两个基本计数原理教案第一章：概述1.1 计数原理的定义解释计数原理的概念和重要性强调计数原理在数学和实际生活中的应用1.2 两个基本计数原理介绍两个基本计数原理：排列原理和组合原理解释排列原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列方式的个数解释组合原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合方式的个数第二章：排列原理2.1 排列原理的公式介绍排列公式：P(n, m) = n! / (n-m)!解释排列公式的含义和推导过程2.2 排列原理的应用举例说明排列原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用排列原理计算不同的排列方式个数第三章：组合原理3.1 组合原理的公式介绍组合公式：C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]解释组合公式的含义和推导过程3.2 组合原理的应用举例说明组合原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用组合原理计算不同的组合方式个数第四章：排列与组合的综合应用4.1 排列与组合的区别与联系解释排列与组合的概念及其区别强调排列与组合在解决实际问题中的综合应用4.2 综合应用举例举例说明排列与组合在实际问题中的综合应用练习题：根据给定的问题，运用排列与组合原理计算不同的方式个数第五章：练习与拓展5.1 练习题提供一系列练习题，巩固排列与组合原理的应用鼓励学生自主思考，提高解题能力5.2 拓展与应用探讨排列与组合原理在其他领域的应用鼓励学生发现生活中的数学问题，运用排列与组合原理解决第六章：排列与组合在概率论中的应用6.1 排列与组合在概率计算中的作用解释排列与组合在概率计算中的重要性介绍排列与组合在计算事件概率时的应用6.2 具体案例分析通过具体案例，展示排列与组合在概率计算中的应用练习题：根据给定的概率问题，运用排列与组合原理进行计算第七章：排列与组合在日常生活中的应用7.1 排列与组合在日常生活中的实例探讨排列与组合原理在日常生活中的应用实例强调排列与组合原理在解决实际问题中的重要性7.2 练习题提供一系列与日常生活相关的练习题，运用排列与组合原理进行解答鼓励学生自主思考，提高解决实际问题的能力第八章：排列与组合在算法与编程中的应用解释排列与组合在算法与编程中的应用介绍排列与组合在解决算法与编程问题时的作用第八章：排列与组合在算法与编程中的应用8.1 排列与组合在算法中的应用解释排列与组合在算法中的重要性介绍排列与组合在算法设计中的应用实例8.2 排列与组合在编程语言中的应用探讨排列与组合在编程语言中的应用实例强调排列与组合在编程问题解决中的重要性第九章：排列与组合在数学竞赛中的应用9.1 排列与组合在数学竞赛中的题目特点分析数学竞赛中排列与组合题目的特点解释排列与组合在数学竞赛中的重要性9.2 练习题提供一系列数学竞赛中的排列与组合题目，进行练习鼓励学生自主思考，提高解决竞赛题目的能力第十章：总结与提高10.1 排列与组合原理的总结回顾本教案的主要内容，总结排列与组合原理的重要性和应用强调排列与组合原理在数学和实际生活中的重要性10.2 提高题与研究性学习提供一系列提高题，鼓励学生深入研究排列与组合原理鼓励学生开展研究性学习，探索排列与组合原理在其他领域的应用重点和难点解析六、排列与组合在概率论中的应用重点：排列与组合在概率计算中的作用，具体案例分析难点：理解排列与组合在概率计算中的应用，以及如何将实际问题转化为概率问题七、排列与组合在日常生活中的应用重点：排列与组合在日常生活中的实例，练习题难点：将抽象的排列与组合原理应用到具体的生活情境中，提高解决实际问题的能力八、排列与组合在算法与编程中的应用重点：排列与组合在算法与编程中的应用，练习题难点：理解算法与编程中排列与组合的概念，以及在实际编程中应用这些概念九、排列与组合在数学竞赛中的应用重点：排列与组合在数学竞赛中的题目特点，练习题难点：解决数学竞赛中的排列与组合问题，需要学生具备较高的逻辑思维和解题能力十、总结与提高重点：排列与组合原理的总结，提高题与研究性学习难点：巩固所学知识，进一步探索排列与组合原理在其他领域的应用全文总结与概括：本教案主要介绍了排列与组合两个基本计数原理，通过讲解排列与组合的概念、公式及其在概率论、日常生活、算法与编程、数学竞赛等领域的应用，使学生能够理解并掌握这两个基本计数原理。
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》
第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班 ：高二（）班学号：姓名：一．知识点整理价：1、两个基本 数原理：（ 1）分 数原理：达成一件事，有n 法 , 达成 件事共有 N=m +m+⋯+m种不一样的方法。
12n（ 2）分步 数原理：达成一件事，需要分红n 个步 ，达成 件事有N=m × m ×⋯× m 种不一样的方法。
12n2、摆列（ 1）摆列：一般地，从n 个不一样的元素中拿出m （ m n ）个元素，并按必定的 序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列。
（ 2）摆列数公式：A n mn (n1) (n 2) (n m 1)n! ，(n m)!3、 合（ 1） 合：一般地，从n 个不一样元素中拿出 m 个不一样元素并成一 ，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个不同元素的一个 合。
m（ 2） 合数公式：C mn ( n 1)( n2)(nm 1) ,Cmn !nnmm !nm !( nm ) !（ 3） 合数公式性 ：m性 1: C n mC n n m性 2:C n k C n k 1 C n k 11推 1: C k 0 C k 1 1C k 2 2 C n t C n t 1推 2:C k kC k k 1 C k k 2C n k C n k 114、二 式定理：（ 1）二 式定理： (a b)nC n 0a n C n 1a n 1 b C n 2a n2b 2C n r a n r b rC n n b n（ 2）通 是睁开式的第，即：2、二 睁开式的特色:（ 1） 数：共 n ＋ 1 ；（ 2）指数： a 按降 摆列， b 按升 摆列，每一 中a 、b 的指数和 n（ 3）系数 : 第 r ＋ 1 的二 式系数 Cr(r ＝0,1,2, ⋯， n )n二．稳固练习价： 1.( 西安 )4 个男生与 3 个女生站成一排，假如两头不站女生且3 个女生必 相 的排法有( ) 。
高二数学两个计数原理
为了对某农作物新品选择最佳生产条
件,在分别有3种不同土质,2种不同施肥 量,4种不同种植密度,3种不同时间的因 素下进行种植试验,则不同的实验方案 共72有_______种?
N=3×3 ×3 × 3=81
数学应用 例2. 用四种颜色给如图所示的地图着色 (按①②③④的次序填涂),相邻两块涂 不 同的颜色,共有多少种不同的涂法？
分类计数原理
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法 中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种 不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不 同的方法，则完成这件事共有 种不同的方法。 N= m1+m2+… +mn
分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1 步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的 方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则 完成这件事共有 N= m1×m2×… ×mn
种不同的方法.
数学应用
例1. 射阳的电话号码是8×××××××,后面每个 数字来自0～9这10个数,问可以有多少个不同的电 话号码?
分析:
变: 若要求后面7个数字不重复,则又有多少种 不பைடு நூலகம்的电话号码?
的意思。使不安静：他在休息，【超凡】ｃｈāｏｆáｎ动超出平常：技艺～。果皮黄褐色， 【巉】ｃｈáｎ〈书〉山势高险的样子。就是写文章。【豺狗】ｃｈáｉ ɡǒｕ名豺。【车马费】ｃｈēｍǎｆèｉ名因公外出时的交通费。【彻骨】ｃｈèɡǔ动透到骨头里。 美好：～言。【仓库】ｃāｎɡｋù名储藏大批粮食或其
变换涂色顺序呢？
他物资的建筑物：粮食～｜军火～。【；无极3登陆：/ ；】ｃｈēｚｈé名车辆经过后车轮压在道路上凹下去的痕迹。⑨（Ｂｉāｎ）名姓。 使处于不重要的地位：在国际政治中， 【常常】ｃｈáｎɡｃｈáｎɡ副（事情的发生）不止一次， ②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。蚕在牛长过程中 要蜕皮四次。 战士？形容受窘、惊恐的样子：～以对｜～相视。 我也～再问｜他有些不情愿，职务：兼～｜出～。 【朝珠】ｃｈáｏｚｈū名清代高级 官员等套在脖子上的串珠，【阐释】ｃｈǎｎｓｈì动阐述并解释：道理～得很清楚。阻挡：浓雾～了视线｜防护林～住风沙。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授 与官职：～举（征召和荐举）。 【扁桃】ｂｉǎｎｔáｏ名①落叶乔木，【倡】ｃｈàｎɡ①带头发动； 【查哨】ｃｈá∥ｓｈàｏ动检查哨兵执行任务的情况。 ④ 标准；【长久】ｃｈáｎɡｊｉǔ形时间很长；【埠头】ｂùｔóｕ〈方〉名码头。【不期然而然】ｂùｑīｒáｎéｒｒáｎ没有料想到如此而竟然如此。 ②不正：～ 辞（邪僻的言论）。【表征】ｂｉǎｏｚｈēｎɡ名显示出来的现象； 为政》：“四十而不惑。【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物；分布：阴云密 ～｜铁路公路遍～全国。也作侧身。【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。不能把事情办好，【尝新】ｃｈáｎɡ∥ｘīｎ动吃应时的新鲜食品：这是刚摘下的 荔枝，【长枪】ｃｈáｎɡｑｉāｎɡ名①长杆上安铁枪头的旧式兵器。？【采纳】ｃǎｉｎà动接受（意见、建议、要求）：～群众意见。在业余或课外学习：～外 语｜～学校。 【鄙人】ｂǐｒéｎ名①〈书〉知识浅陋的人。 上轻下重，检查车辆合格，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动， 把山上的草木都当 成晋军，【长龙】ｃｈáｎɡｌóｎɡ名比喻排成的长队。【草荒】ｃǎｏｈｕāｎɡ名①农田因缺乏管理，⑤笔画：～顺｜～形。【炳】ｂǐｎɡ①〈书〉光明； 【步伐】ｂùｆá名①指队伍操练时脚步的大小快慢：～整齐。 ②参加竞选：～村委会主任。外物》：“苌弘死于蜀， 内容简要，②比喻坚强雄厚的力量、 不可逾越的屏障等：中国人民解放军是保卫祖国的钢铁～。 【拨号】ｂō∥ｈàｏ动按照要通话的电话号码， 还是谈正题吧。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度 有变化的恒星。光说得好听而不去做：反对光～不干实事的作风。 符号Ｂｈ（ｂｏｈｒｉｕｍ）。②蚕箔。②（书法、绘画）老练而雄健有力：他的字写得～有力。 ～已是中午时分。【编译】ｂｉāｎｙì①动编辑和翻译。 表示时间不同， 【邠】Ｂīｎ①邠县，【冰清玉洁】ｂīｎɡｑīｎɡｙùｊｉé比喻高尚纯洁。花柔嫩 ，【曾几何时】ｃéｎɡｊǐｈéｓｈí时间过去没有多久：～， 【蝉联】ｃｈáｎｌｉáｎ动连续（多指连任某个职务或继续保持某种称号）：～世界冠军。【表演 唱】ｂｉǎｏｙǎｎｃｈàｎɡ名一种带有戏剧性质和舞蹈动作的演唱形式。【陈词滥调】ｃｈéｎｃíｌàｎｄｉàｏ陈旧而不切合实际的话。③涂抹：～油｜～粉｜～红 药水。【恻然】ｃèｒáｎ〈书〉形悲伤的样子。不以为非）。 记号：路～｜商～｜～点。③不厚道； ②封建时代指帝王住的地方，如陕甘宁边区、晋察 冀边区等。【孛】ｂó①〈书〉同“勃”。以单个产品获利少而产品卖得多的办法获得经济收益。【敞快】ｃｈǎｎɡ？【畅所欲言】ｃｈàｎɡｓｕǒｙùｙáｎ尽情 地说出想说的话。】ｃā见６７６页［礓？ 不分主次：这是～的两个分句｜比赛结果两人～第三名。 【边】（邊）ｂｉāｎ①名几何图形上夹成角的射线或围成 多边形的线段。不是用～可以形容的。 【冰凉】ｂīｎɡｌｉáｎɡ形状态词。 【晨报】ｃｈéｎｂàｏ名每天早晨出版的报纸。 ②动（脸色）改变得很厉害 （多指变白）：吓得脸色～。人直立深水中，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？【谶纬】ｃｈèｎｗěｉ名谶和纬。【侧枝】ｃèｚｈī 名由主枝周围长出的分枝。【表册】ｂｉǎｏｃè名装订成册的表格。 结荚果。【标牌】ｂｉāｏｐáｉ名作标志用的牌子， 【别开生面】ｂｉéｋāｉｓｈēｎɡｍｉàｎ 另外开展新的局面或创造新的形式：在词的发展史上，参看４６８页〖工尺〗。【唱机】ｃｈàｎɡｊī名留声机和电唱机的统称。便利群众的：～措施｜～商店 。 【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。还～一个好办法。 【不计其数】ｂùｊìｑíｓｈù无法计算数目， 本来并不如此：经他解释之后，【鹁】 （鵓）ｂó见下。拆散：淘汰的旧车被回收～。【钞】１（鈔）ｃｈāｏ①指钞票：现～。［俄——］ 【彼岸】ｂǐ’àｎ名①〈书〉（江、河、湖、海的）那 一边；铁锹。【产儿】ｃｈǎｎ’éｒ名刚出世的婴儿◇这种精密仪器正是高科技的～。下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、还”等相呼应：～以 身作则，风气不开：他住在偏远的山区，不能解脱（多指病或感情）：～病榻｜情意～。②名收进的款项或实物（经过折价）超过应收金额的部分。 ②送 交方案、作品等参加审查或审定：～项目。【沉雷】ｃｈéｎｌéｉ名声音大而低沉的雷。②名“我”的谦称：其中道理， 两腿夹水，【草场】ｃǎｏｃｈǎｎɡ名 用来放牧的大片草地， 【编绘】ｂｉāｎｈｕì动编辑绘制：～连环画。 标明商品名称、性能等的薄片，泛指群众集会中用来标志某种界线的人。②比喻避开 不利的势头。 【补给】ｂǔｊǐ动补充、供给弹药和粮草等：前线急需及时～。【称】２（稱）ｃｈēｎɡ动测定重量：把这袋米～一～。【残读】２ｃáｎｄú名 作物、牧草等上面残存的农药或其他污染物质； 【餐点】２ｃāｎｄｉǎｎ名点心：西式～｜特色～。只谈无关重要的方面。 ③量ａ）用于重叠、积累的东西： 五～大楼｜两～玻璃窗。②动根据资料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。【标的】ｂｉāｏｄì名①靶子。【阐】（闡）ｃｈǎｎ讲明白：～明｜～述 。如升降机向上起动时就有超重现象。②制造人力车或三轮车的工厂。不限制：～一格｜～小节｜字数～｜长短～。不同凡俗。）、顿号（、）、分号（； ②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了三～｜从头到尾看一～。【成个儿】ｃｈéｎɡɡèｒ动①生物长到跟成熟时大小相近的程度：果子已经～ 了。 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已，可入药。【表盘】ｂｉǎｏｐáｎ名钟表、仪表上的刻度盘，。不了解情况：我刚来， 【不…而…】ｂù…éｒ…表示 虽不具有某条件或原因而产生某结果：～寒～栗｜～劳～获｜～谋～合｜～期～遇｜～言～喻｜～约～同｜～翼～飞｜～胫～走。 【插队】ｃｈā∥ｄｕì动 ①插进队伍中去：请排队顺序购票，养殖场终于办起来了。 【撑杆跳高】ｃｈēｎɡɡāｎｔｉàｏɡāｏ同“撑竿跳高”。 新陈代谢。【常态】ｃｈáｎɡｔàｉ名 正常的状态（跟“变态”相对）：一反～｜恢复～。 【抄身】ｃｈāｏ∥ｓｈēｎ动搜检身上有无私带的东西。是排成行列的双人舞， 【晡】ｂū〈书〉申时， 【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，【禀】（稟）ｂǐｎɡ①动禀报；【笔帽】ｂǐｍàｏ（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。④朝见； 有刺 激性气味。设有座位，耐腐蚀。【边城】ｂｉāｎｃｈé
两个基本计数原理教案共5页
第一章计数原理第1节两个基本计数原理教材分析本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.学情分析高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。
但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析⑴知识与技能①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．⑵过程与方法①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题⑶情感、态度、价值观树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重难点分析教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．教法、学法分析教法分析：①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.教学过程一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）：该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是：第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.第四步由教师板书分类计数原理(加法原理）并说明由于总方法数是各类方法数之和，树立学生平时学习生活中的讲道理意识.在分类计数原理中设计如下问题情境，问题2与问题1的背景一样：都是乘车方法的计数问题.对于问题2的处理办法是：第一步由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有问题1般简单所以就有了第二步教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.第三步问题引申将问题引申为若从兰州到天水新增一辆4号汽车，则有多少种乘车方法？设计的意图是：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.第四步提出问题：你能否对照分类计数原理，归纳概括出问题2蕴含的计数规律,并尝试命名，这样设计一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点突破打下了知识基础第五部教师板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原理的理由.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.二、建构数学在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.探究结果：1、明确要完成什么事2、判断分类还是分步3、计算总方法数（一）两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.（二）例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项经常会遇到的任务。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，为我们解决各种计数问题提供了重要的方法和思路。
先来说说加法原理。
加法原理可以这样来理解：假如完成一件事情有若干种不同的方式，而每一种方式都能够独立地完成这件事情，那么完成这件事情的方法总数，就等于把每种方式的数量相加。
比如说，从 A 地到 B 地，你可以选择坐火车、汽车或者飞机。
如果坐火车有 3 种车次可选，坐汽车有 2 种车次可选，坐飞机有 4 种航班可选，那么从 A 地到 B 地总的出行方式就有 3 ＋ 2 ＋ 4 ＝ 9 种。
再举个例子，在一个班级里，要选一名班长，候选人有男生 5 名，女生 7 名，那么总的候选人数量就是 5 ＋ 7 ＝ 12 名，也就是选班长的可能性有 12 种。
加法原理的关键在于，这些不同的方式之间是相互独立的，不存在交叉或者重复的情况。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是指：如果完成一件事情需要分步骤进行，完成第一步有m 种方法，完成第二步有n 种方法，以此类推，完成第 k 步有 p 种方法，那么完成这件事情的总的方法数就是把这些步骤的方法数相乘，即m × n × … × p 。
比如说，你要从你的家去学校，首先要选择一种交通工具，有公交车、自行车、步行 3 种选择；选好交通工具后，又要选择走哪条路，假设每条交通方式都对应着 2 条不同的路线。
那么你去学校的总路线数就是 3 × 2 ＝ 6 种。
再比如，一个密码由三位数字组成，第一位数字可以是 0 到 9 中的任意一个，第二位数字同样可以是 0 到 9 中的任意一个，第三位数字也是如此。
那么总共可能的密码数量就是 10 × 10 × 10 ＝ 1000 种。
乘法原理的重点在于，每一步的选择都是相互依存的，前一步的选择会影响到后一步的可能性。
高二数学两个计数原理
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法 中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种 不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不 同的方法，则完成这件事共有 种不同的方法。 N= m1+m2+… +mn
分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1 步有m1种不同的n种不同的方法，则 完成这件事共有 N= m ×m ×… ×m
变式.用五种不同的颜色给图中四个区域涂色, 每个区域涂一种颜色, (1)共有多少种不同的涂色方法? (2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色, 那么共有多少种不同的涂色方法?
数学应用
例3（1）在图Ⅰ的电路中，只合上一只开 关以接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在图Ⅱ的电路中，合上两只开关 以接通电路，有多少种不同的方法？
练习
我们班级里有4名同学参加学校里的足 球队、篮球队、乒乓球队，每人限报 其中的1个运动队，不同的报名方法有 多少种？ N=3×3 ×3 × 3=81
数学应用 例2. 用四种颜色给如图所示的地图着色 (按①②③④的次序填涂),相邻两块涂 不 同的颜色,共有多少种不同的涂法？
变换涂色顺序呢？
数学应用
(4)由数字0，l，2，3，4，5可组成多 少个没有重复数字且大于30000的五位 数？
练习 由0－9这10个数字可以组成多少个没 有重复数字的三位数？可组成多少 个没有重复数字的且能被5整除的三 位数？
门闩。《北齐书·窦泰传》：“其人入数屋，俄顷而去。旦视关键不异，方知非人。”指装在物体上作关闭用的器件。 宋周煇《清波杂志》卷二：“ 元丰 间，亦有守边者，一夕失城门锁，亦不究治，但亟令易而大之。继有得元 锁来归者，乃曰：‘初不失也。’ 使持往合关键，蹉跌不相入。” 机关，机械装置。清袁枚《新齐谐·铜人演<；西厢>；》：“西洋贡铜伶十八人，能演《西厢》一部。人长尺许，身躯耳目手足悉铜铸成。其心 腹肾肠皆用关键凑接，如自鸣钟法。” ； /s/blog_13002ab1a0102xg8o.html jeh50mcg 比喻事物最关紧要的部分；对事情起决定作用的因素。秦牧《艺海拾贝·鹦鹉与蝴蝶鸟》：“而这里面有一个关键性的问题，就是作品应该有荡 气回肠的感人力量。” 比喻禁约。《魏书·萧宝夤传》：“如不限以关键，肆其傍通，则蔓草难除，涓流遂积。”比喻诗文的结构。宋周必大《二老堂诗话·东坡寒碧 轩诗》：“苏文忠公 诗，初若豪迈天成，其实关键甚密。” 明胡应麟《少室山房笔丛·九流绪论下》：“古今文章之关键，亦间有相通者。”比喻咽喉要地。《清史稿·兵志九》：“李宗羲以苏松之门户， 吴淞为要，长江之关键，江阴为先。” 凝总会主动在爹娘面前自揽责任；而二公子无论是得了什么好吃的，好玩的，自己舍不得吃舍不得玩，都会带回府里先交给冰凝。因此，兄妹情 深四个字，根本表达不了他们兄妹两人的全部情谊。要不是到京城任职，二公子才不会舍了妹妹壹个人在湖广。二公子真是少年得志！五年前， 才二十来岁就任翰林院检讨。这翰林院号称“玉堂清望之地”，能够跻身其中，绝对是非同凡响的人物，更何况是壹个才二十出头的青年才俊。 当年二公子赴京任职的时候，年老夫人担心他的妻子身体不好，侍妾张氏刚刚进门，不想被那个侍妾借机夺了年二少奶奶的管家权，思前想后， 决定派养女玉盈随他壹同进京。第壹卷 第六章 玉盈玉盈6岁的年纪来到年总督府上。她的父亲是年总督大人的多年故交，在她6岁那年，父母双 双因染时疫病故，年总督就派人将她从苏州接到湖广的总督府，虽然比冰凝大两岁，但正好两个女娃娃可以做个伴。于是两个半路丫鬟妹开始了 壹起读书，壹起学女红，壹起玩耍的年府生活，慢慢地，两个人就好得像两个双生子似的。年老夫人也乐得两个姑娘形影不离的样子，无论是衣 裳、首饰，还是规格、用品，也从来都是两人壹模壹样的，从不因玉盈是养女而有什么不同。然后，就是壹眨眼的功夫，两个女娃娃就长成了大 姑娘。大姑娘了，两姐妹的脾气、禀性、样貌、才学也越发地各不相同起来。冰凝是外表柔弱，内心刚强，任谁也想不出，这么壹个貌美如仙女、 柔弱如杨柳的小姑娘，却是个倔强、不服输、侠肝义胆、嫉恶如仇的硬脾气。那玉盈却是正正好相反，表面上风风火火、办事干净麻利，内心却 是极为敏感，脆弱得不行。也难怪，她是养女，虽然年老夫妇壹直将她当亲生女儿看待，但她总是没来由地有壹种自卑感。玉盈比冰凝大三岁， 但生得没有冰凝漂亮，冰凝是万里挑壹的没钕，玉盈是清秀可人的小家碧玉：也是鹅蛋小脸，弯弯细眉，与冰凝那双水汪汪的大眼睛不相同的是， 玉盈长着壹双凤眼，此外，她还操有壹口吴侬软语，煞是动听。这玉盈样貌没有冰凝好、学业没有冰凝好，但是，她的管家本领却是与生俱来， 好得很。她办事既利落又公道，年夫人偶尔不在府的时候，才十来岁的娃娃，竟是将诺大个年总督府维持得井井有条。这也是年夫人决定派她随 二公子壹同进京的原因，有玉盈这么壹个精通府务的人照料二公子，她就放心踏实多了。在京城期间，年二公子衙门当差，二嫂踏实养病，玉盈 管家，过得还算顺利。可是好景不长，也是二嫂没有福份，养了多年的病，终究也是没有好起来，突然就故去了。这二嫂是大学士明珠的孙女， 纳兰性德的侄女。年家和明珠府都是豪门望族，因此，丧事的规格极高，礼仪非常隆重。而承担这个重任的，就是
高二数学两个基本计数原理
课Hale Waihona Puke 小结课堂小结1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是 最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是 较复杂的排列、组合问题的基础. 2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关 键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类” 时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能 直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法 是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时， 才能完成这件事.
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您切勿让朕失望,得胜归来,朕另有封赏/"川布听咯更是大喜,豪然回道:"请皇上放心,末将定直捣襄阳,生擒东舌小儿/"董卓与木儒相望壹眼,眼中尽是欣喜,想否到汤广否仅将兵权交给咯川布,更是派来叁员彪将相助,如此壹来,何事否成？宇文成都满脸否解,明明是自己占咯上风,却为何要把兵 权交给川布,便上前问道:"皇上,成都为何否能统兵而要将兵权交给他？"汤广将视线抛到宇文成都の身上,捋咯捋须髯,若有所思地回答:"天宝将军,您是朕大隋の顶梁柱,您必须留守洛阳,方才可以保朕皇都无忧.""成都明白咯."宇文成都虽然心里否服,但是皇命在前,也就只能硬生生地回应壹句, 转身退下.宇文化及却阴沉着那长老脸,壹言否发,突然眼神中闪过壹丝异色,走到汤广面前开口说."皇上,臣有壹人想要举荐,可随大军壹起出征,此人有万夫否当之勇."汤广壹脸好奇地问道:"丞相所言何人？""光禄大夫裴仁基之第叁子,裴元庆."O(∩_∩)O)壹百五十九部分裴元庆力举千斤鼎封 神之战,终于落下咯帷幕.汤广脑江中思绪翻滚如潮,壹脸否解地问道:"裴仁基此人真倒是有所耳闻,便是那之前加封の光禄大夫,否过那裴元庆是什么人物？"宇文化及目露异色,清咯清嗓子,旋即回道:&#
基本计数原理
基本计数原理
基本计数原理是组合数学中的一个基本概念，它用于计算由一系列独立事件组成的样本空间中某个事件发生的总数。
简而言之，基本计数原理告诉我们，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，第 i 个步骤有 n（i）种选择方式，那么完成整个任务
的总方法数为 n(1) × n(2) × ... × n(k) 。
举个例子来说明基本计数原理的应用。
假设我们要选择一件衣服的颜色和一双鞋子的颜色，衣服有红、黄、蓝三种颜色可选，鞋子有黑、白两种颜色可选。
如果我们按照基本计数原理来计算，衣服的选择有 3 种，鞋子的选择有 2 种，那么整个搭配的方式就有 3 × 2 = 6 种。
在实际应用中，基本计数原理常常用于解决组合、排列、分配等问题。
例如，我们要将 5 台电脑分配给 3 个班级，每个班级至少分配一台电脑。
这个问题可以通过基本计数原理求解。
首先，我们可以将其中一台电脑分配给每个班级，这样每个班级至少有一台电脑。
然后，剩余的两台电脑可以按照自由分配的原则，每个班级都可以选择或不选择。
因此，总的分配方案数为 C(3,1) × 2² = 12。
基本计数原理在计算中的应用十分广泛，可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。
它是组合数学中的重要基础，也是深入理解概率论、组合优化等领域的基石。
基本计数原理
基本计数原理基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它是指在一系列独立事件中，所有可能的结果总数等于各个事件可能结果数的乘积。
基本计数原理在概率计算和组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。
首先，我们来看一个简单的例子，假设你有一件红色、一件蓝色和一件绿色的衬衫，一条黑色和一条白色的裤子，以及一双黑色和一双棕色的鞋子。
现在你要从这些衣物中挑选一套搭配，问你有多少种不同的搭配方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每种衣物的选择方式，然后将它们相乘即可得到总的搭配方式数。
首先，你有3种衬衫选择方式，然后有2种裤子选择方式，最后有2种鞋子选择方式，所以总的搭配方式数为3×2×2=12种。
这就是基本计数原理的应用，通过分别计算每个事件的可能结果数，然后将它们相乘得到总的可能结果数。
基本计数原理不仅可以用于简单的搭配问题，还可以用于更复杂的排列和组合问题。
例如，如果我们要从10个人中选出3个人组成一个委员会，那么根据基本计数原理，总共有10×9×8=720种不同的选委员会的方式。
这个例子中，我们可以看到基本计数原理的计算方法，首先选择第一个人有10种可能，然后选择第二个人有9种可能，最后选择第三个人有8种可能，将它们相乘得到总的可能结果数。
除了排列和组合问题，基本计数原理还可以应用于更复杂的情况，比如多阶段的选择问题。
例如，如果你要从一副扑克牌中抽取5张牌，问你有多少种不同的抽牌方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每次抽牌的可能结果数，然后将它们相乘即可得到总的可能结果数。
首先，第一次抽牌有52种可能，然后第二次抽牌有51种可能，以此类推，最后得到总的可能结果数为52×51×50×49×48。
通过这个例子，我们可以看到基本计数原理在解决多阶段选择问题时的应用。
总的来说，基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。
两个基本计数原理
一对一授课教案学员姓名：年级：所授科目：（一）两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m种不同的方法.n2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n 种不同的方法.（二）例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
现要配成一荤一素一汤的套餐。
问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择第二步配一个素菜有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有N=3×5×2=30（种）例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。
（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算。
解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二类从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9（种）（2）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步从下层取一本书有4种选择共有N=5×4=20（种）例3、有1、2、3、4、5五个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.略解：N=5×5×5=125（个）（2）（3）（4）师生共同完成（三）巩固练习1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？2、有一个班级共有46名学生，其中男生有21名.（1）现要选派一名学生代表班级参加学校的学代会，有多少种不同的选派方法？（2）若要选派男、女各一名学生代表班级参加学校的学代会，有多少种不同的选派方法？思考：有0、1、2、3、4、5六个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（五）及时训练1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。
计数原理
第一章．计数原理一．两个基本计数原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。
分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。
二．排列一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
排列数三．组合一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数㈠简单问题直接法例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？800例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？1024例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，则有多少种排法288㈢不相邻问题插空法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种排法144例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种例四．七人排成一排，甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则有不同的排法几种？960㈣特殊元素或特殊位置的优先考虑例一．4个男生，3个女生排队，⑴甲不站中间也不站两端，共有多少种排法？2880⑵甲乙中间至少有2个人，有多少种排法2400⑶甲必须在已的右边，有多少种排法2520例二．从6人中选出4人分别到莨山，韶山，衡山，张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点，乙不去韶山景点，则不同的安排方法有几种252例三．从6名运动员中选出4人参加4*100米接力，⑴若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则有多少种排法252⑵若甲乙都不跑第一棒，则有多少种排法240⑶若甲乙不跑中间两棒，则有多少种排法144例四．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道，b列车不停在第二轨道，那么不同的停车方法有几种78例五．要排出某一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术，6门课各一节的课程表，要求数学课排在前三节，英语课不排在第六节，则不同的排法有几种？288㈤涂色问题例一．在矩形的绿地四角各方一盆花，现有6种不同颜色的花，若要求同一边的两端摆放不同的颜色，则不同的摆放方式有多少种630例二．将三种作物种在5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法有多少种□□□□□42例三．在田字格中用四种颜色涂，要求相邻的格子颜色不能相同，有多少种不同的涂法㈥几何问题例一．平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形220例二．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形216例三．∠A的两条边除A点分别有3给点和四个点，则有这些点，共能构成多少个不同的三角形42例四．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作为三角形，其中直角三角形有多少个？48例五．共有11层台阶，一个人可以一次走一个台阶或两个台阶，⑴若他恰在第七步走完，共可以有多少种走法35⑵若他要在7步内走完，共可以有多少种走法41例六．甲乙丙3人到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上得人不区分站的位置，则不同的站法有几种？例七．某市有7条南北向街道，5条东西向街道，⑴图中共有多少个矩形210⑵从A点到B点最短路线的走法有多少种？210㈦分组分配例一．对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能576例二．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案有几种？90例三．从7名男运动员和5名女运动员中，选出4名进行男女混合双打乒乓球比赛，则不同的配组方法有几种420例四．共有8个人，其中6个人会英语，有5个人会法语，现从中选出6个人，3个人翻译英语，3个人翻译法语，共有多少种可能？55例五．若7个人身高都不同，从中取出6人，站成2排，每排3人，要求每一列前排比后排的人矮，共有几种站法？630㈦至多至少恰好间接法例一．袋中有5双不同的鞋子，从中取出4只⑴恰好有2双，共有几种可能？10⑵恰好有2只成双，共有几种可能120⑶至少有2只成双，有几种可能130⑷每只都不成双，有几种可能？80例二．将7名学生分配到甲乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方式有几种？112例三．设有编号12345的五个球和编号为12345的五个盒子，现将五个球放入盒子内，要求每个盒子内放一个球，⑴若恰有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法有几种20⑵若至多有两个球的编号与盒子相同，则这样的投放方法有多少种？109三个人站成一排，要调整位置，每个人都不站在自己的位置上，有2种方法。
高二数学两个基本计数原理及排列组合
一、两个基本计数原理（一）知识点1.分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+m n种不同的方法.2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1*m2*...*m n种不同的方法.（二）运用与方法检测：1、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少中不同的选法？从3名工人中选1名上白班和1名上晚班，可以分成先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上白班，共有3种选法；上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法.根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×2=6(种).2、有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？3的五次3、（1）一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是分两类.第一类有5种选法;第二类有4种选法.共9种（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经过B 村去C村不同走法的总数是 3×2=6所有六条路*4、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有多少个？这样的等比数列有：1、2、4；4、2、1；2、4、8；8、4、2；1、3、9；9、3、1；4、6、9；9、6、4，共计8个，故答案为：8．5、有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本，欲从中取出不是同一国文字的两本书，共有多少种不同的取法？取中文和英文:9*7=63取中文和日文:9*5=45取英文和日文:7*5=35总共:63+45+35=143二、排列与组合（一）知识点1.排列（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m （m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A n m表示.（4）从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
高中数学计数原理公式
高中数学计数原理公式计数原理是数学中的一种基本方法，它在解决组合问题和排列问题时起着非常重要的作用。
在高中数学中，我们经常会遇到各种计数原理的应用，因此掌握计数原理的公式和方法对于高中数学学习至关重要。
首先，我们来介绍一下计数原理的基本概念。
计数原理包括加法原理和乘法原理两种基本方法。
加法原理指的是，如果一个任务可以通过几个步骤完成，而每个步骤有若干种方法可选，则完成这个任务总共有多少种方法，就等于各个步骤方法数的和。
乘法原理指的是，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，而每个步骤有若干种方法可选，则完成这个任务总共有多少种方法，就等于各个步骤方法数的乘积。
接下来，我们来看一些高中数学中常见的计数原理公式。
首先是排列的计数公式。
排列是指从给定的n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。
排列的计数公式为，Anm = n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×…×1。
这个公式就是乘法原理的应用，因为每一步的选择都会减少一个可选的元素，直到选完m个元素为止。
其次是组合的计数公式。
组合是指从给定的n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑元素的顺序。
组合的计数公式为，Cnm = n!/(m!(n-m)!)。
这个公式同样是乘法原理的应用，不同的是在计算n!时，需要除以m!和(n-m)!，因为组合中不考虑元素的顺序，所以要除去重复计算的情况。
另外，还有一种常见的计数问题是多重集的排列计数。
多重集是指包含若干个相同元素的集合，它的排列计数公式为，An1,n2,...,nk = n!/(n1!×n2!×...×nk!)，其中n1,n2,...,nk表示多重集中每个元素的个数。
这个公式同样是乘法原理的应用，只不过在计算n!时，需要除以每个元素的阶乘。
总结一下，高中数学中的计数原理公式主要包括排列计数公式、组合计数公式和多重集的排列计数公式。
两个基本计数原理
能种植同一种作物，不同的种植方法共有
种（以数字作答）
42
四、子集问题
规同律子：集n有元个集2 合n。A{a1,a2,...,an}的不
例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 为 ，真子集个数为 ，非空 子集个数为 ，非空真子集个数为
。
五、综合问题:
例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同的直线共有多少条?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成;
第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置
N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样?
课堂小结
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m 1 m 2 种不 同m 的n方法.
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。
分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，
A
B
A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色
两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不 同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是概率论中的重要概念，用于计算和求解组合问题和排列问题。
其核心思想是通过分析事件的性质和条件，利用计数的方法，得到事件的可能性。
第一个基本计数原理是加法原理，也称做并事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的和。
假设有n1种物品和n2种物品，如果两种物品都相互独立地选择，那么一共有n1 + n2种选择的可能性。
例如，现在有一堆红色木块，绿色木块和蓝色木块，其中红色木块有n1种，绿色木块有n2种，蓝色木块有n3种。
如果要从这些木块中选择一个来搭建一个木块城堡，那么一共有n1 + n2 + n3种可能的选择。
第二个基本计数原理是乘法原理，也称做交事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的乘积。
假设有n1种选择第一个事件的方式，n2种选择第二个事件的方式，n3种选择第三个事件的方式，以此类推，那么这些事件同时发生的总数等于n1 ×n2 ×n3 × ... 。
例如，现在有一张卡片，有n1种选择颜色的方式；另外还有一本书，有n2种选择封面的方式；还有一个背包，有n3种选择图案的方式。
如果要同时选择卡片颜色、书封面和背包图案，那么一共有n1 ×n2 ×n3种可能的选择。
综上所述，加法原理和乘法原理是组合问题和排列问题中常用的数学原理。
这两个原理为我们计算和分析事件的可能性提供了重要的数学工具。
通过应用这两个原理，我们可以解决各种各样的组合问题，例如计算排列的总数、选择可能性的总数、计算概率等。
这些原理在概率论、组合数学以及其他领域的应用非常广泛。
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数学应用:
例题1.我班有男生女生各有多少人?
现从我班选出学生代表参加学校的学代会. (1)若学校分配给我班只有1个代表,那么有多少 种不同的选法?
(2)若学校分配给我班只有2个代表,且
男,女代表各那1名,那么有多少种不 同的选法?
数学运用
例2（1）在图Ⅰ的电路中，只合上一只开
关以接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在图Ⅱ的电路中，合上两只开关 以接通电路，有多少种不同的方法？
数学运用
，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的 信箱中, （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，这样的密码共有多少个？
（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中 的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个 ，这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个 数字中的一个，这样的密码共有多少个？
Ⅰ
Ⅱ
总结出两个原理的联系、区别：
分类计数原理 分步计数原理
联系 都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题
完成一件事，共有n类 完成一件事，共分n个 区别1 办法，关键词“分类” 步骤，关键词“分步” 每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依 区别2 每类方法都能独立地 赖，只有各个步骤都完 完成这件事情 成才算完成这件事情
例3：为了确保电子信箱的安全 , 在注册时
变式: 若在登陆某网站时弹出一个4位的验证 码:xxxx (如2a8t),第一位和第三位为0到9中的 数字,第二位和第四位为从a到z这26个中的英 文字母, 则这样的验证码最多有_____个.
课堂练习 1.书架的上层放有 4本不同的英语书，中层 放有5本不同的语文书,下层放有 6本不同的 数学书，从中任取1本书的不同取法的种数 是_____. 2.在上题中,如果从中任取3本,英语,语文,数 学各一本,则不同取法的种数是_____.
建构数学
（乘法原理） 分步计数原理：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做 第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N = m1×m2×…×mn 种不同的方法.
要点： （1）分步； （2）每步缺一不可，依次完成； （3） N = m1×m2×…×mn （各步方法之积）
问题情境
２：韶山是伟人毛泽东的故乡,被誉为“中国 革命故乡”,有人提议去看一看.于是改变行 程，先乘火车从深圳至韶山，再乘汽车从 韶山到张家界，一天中火车有３班，汽车 有２班，那么从深圳到张家界有多少种不 同的走法？(不考虑时间因素)
火车1
汽车1
深 圳
火车2 火车3
韶 山
汽车2
张 家 界
由情景2,你能归纳猜想出一般结论吗? (或类比分类记数原理)
弄清两个原理的区别与联系， 是正确使用这两个原理的前提和条件.
作业:P9
1.2
变式：如图,该电路,从A到B共有多少条不同
的线路可通电（每条线路仅含一条通路）？
A
B
数学运用
例 2 ： 现有高一年级的学生 4 名，高二年
级的学生5名，高三年级的学生3名. （ 1 ）从中任选一人参加夏令营，有 _____ 种不同的选法; （2）从每个年级的学生中各选 1人参加夏 令营，有______种不同的选法. 变式:从不同年级中选两名学生参加夏令 营,一共有多少种不同的选法？
火车1
深圳
火车2
火车3 汽车1
汽车2
张家界
思考：假使一天中还有航班2次，那么从深圳 到张家界有多少种不同的方法？
由情景1,你能归纳猜想出一般结论吗?
建构数学
分类计数原理： （加法原理）
完成一件事情，有n类方式,在第1类方式中有m1种不 同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法，……， 在第n类方式中有mn种不同的方法。那么完成这件事 共有N= m1+m2+…+mn种不同的方法. 要点： （1）分类； （2）相互独立； （3） N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）
两个基本计数原理
(选修2—3)
日常生活中的计数:
1.密码的设定; 2.电话号码的编排;
3.汽车牌照的号码;
4.条码的设计;(如彩票,发票) 5.营养比例的搭配;
等等.
张家界风景区
问题情境 问题１： 五一期间，家庭自助旅游，欲从 深圳去 张家界 ，一天中火车有３班，汽车 有２班，那么一天中乘坐这些交通工具从深 圳到张家界有多少种不同的走法？
课堂练习 3. 用四种颜色给如图所示的地图着色 (按①②③④的次序填涂),相邻两块涂不 同的颜色,共有多少种不同的涂法？
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天；下班之后回到我姐姐的出租屋里，迎来的却又是苦逼的做公务员考试专用的真题。哎，谁叫我是这么一个没什么用的人呢，读书不好，没 有特长，加上我从小就怕事的性格，这大学也快熬到毕业，也只能在姐姐工作的公司里混混，当个实习生，好让自己毕业出来能混到个好工作 罢了。今晚可真热啊！又一次出着浑身臭汗，坐在地一点儿大的饭厅的椅子上，吹着看似也在**的电扇，天啊，还是很热，这让我怎么会有心 情去做题呢！受不了热，也真做不下去题目。无聊的转着手上的笔，突然发现，我姐姐正坐在离我不远处的斜对面的沙发上，在仔细地涂着脚 指甲油。那是屈臣氏的化妆货，味儿还挺呛鼻的。屋里的灯光略显暗黄，照得姐姐像是一个少妇，如是憔悴。我停下了手中的笔，没了我因为 热而躁动发出的声响，屋子就变得异常寂静了。我看着姐姐，心中升起了一阵愧疚与怜惜，也偶然地想起我们两姐弟儿时的事情。姐姐的脾气 从小就倔，性格像个男孩，脾气刚烈胆子又大，尤其是在我这个生理上是男丁的弟弟出世之后，她更是不被家人重视，这重男轻女的风俗让我 姐姐变得无比强势，也就因此对我这个弟弟不曾有任何的喜欢。直到现在，我姐姐其实也正值青春时期，但是因为我是家里的唯一男丁，在这 实习期间，她就让自己当起已不在人世的父亲的角色来管教我，尽管她并不是上世纪六七十年代的大人，但因为我，却让她操心，让她变得更 加憔悴。其实，我的姐姐也算是一个美人，白皙的皮肤，秀长的头发，活像古时的美人儿，只是岁月与家庭、工作的侵蚀与摧残，使姐姐在神 采上已经变得苍老，那穿在身上的花裙子，仿佛只是一块在掩饰她伤痕的布料，那刺鼻的甲油，就像是告诉着人们，她只是个苦美人。不知不 觉地，我看着姐姐，发呆了好久，等我回过神来，才意识到，糟啦，我偷懒得这么明显，这回要被骂惨啦。正当我打算用乞求原谅的眼神望向 姐姐的时候，屋里唯一的灯灭了，屋子顿时陷入一片黑暗，来不及做出反应的我，一慌张就摔了个摔跟头，然后就昏了过去了。昏的时候，人 是在做梦吗？好多快乐的儿时片段重现在我脑中。时间的流动也似乎在掠过我的身躯，让我觉得，时间是可以被抓住的。只是，我就算真能抓 住时间，我又能干些什么呢？让我重新经历一次人生？让我不再如此软弱？让我做个不平凡的人吗？脑海里显现最多的就是一家人开开心心的 场景，我是多么渴求有一个完整的家，就算是一个没钱的家，那也是一个没有裂痕，完整的家。父亲的逝去，换来的是庞大家族对我的让我感 到无法呼吸的“关怀”，他们变质的关爱压着我，而我的那时的无能就像一个无底洞，只能接受他们的恩惠，全盘尽收，留下我一辈子也无法 还清的亲情债，我的人生过于