天津市南开中学高三数学第三次月考试题理(扫描版)

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天津市高三数学第三次月考试题理新人教A版

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数=++-ii i 111 A. i - B.C. i -1D. i +12. 条件甲：⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ；条件乙：⎩⎨⎧<<<<3210y x ，则甲是乙的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是A. 4B. 5C. 6D. 75. 已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.1631 B. 2 C.1633 D.3316 6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为 A.8πB. 83πC. 43πD. 2π7. 设F 是抛物线)0(2:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线与双曲线22222:by a x C -=1)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为A. 2B. 3C.25D. 58. 若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）。

2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|340}M x x x =--≤，集合{|ln 0}N x x =≥，则M N ⋂=（） A ．{|14}x x ≤≤ B ．{|1}x x ≥ C ．{|14}x x -≤≤ D ．{|1}x x ≥- 【答案】A【解析】{|14},{|1}M x x N x x =-≤≤=≥,所以{|14}M N x x ⋂=≤≤,故选A.2．已知,x y 满足约束条件20,20,1,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】做出可行域，根据图像，即可求解. 【详解】做出可行域，如下图所示（阴影部分）：由12y x y =⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，(1,1)A 由图像可得，当目标函数2z x y =+过点A 时，取得最小值为3. 故选:B.【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题. 3．如图是一个算法流程图，则输出k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】根据循环体的运算定义，直到满足条件，退出循环体，输出k ，即可求出结论. 【详解】38,2S k ==；34,3S k ==；26,4S k ==； 10,5S k ==；22,6S k =-=，输出6.故选:D 【点睛】本题考查循环结构运行结果，属于基础题.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n 项和公式进行判断即可．【详解】若公比q ＝1，则当a 1＞0时，则S 2019＞0成立，若q ≠1，则S 2019()2019111a q q-=-，∵1﹣q 与1﹣q 2019符号相同， ∴a 1与S 2019的符号相同，则“a 1＞0”⇔“S 2019＞0”，即“a 1＞0”是“S 2019＞0”充要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n 项和公式是解决本题的关键．5．要得到函数y =的图象,只需将函数24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向左平行移动6π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动6π个单位长度【答案】C【解析】将y =化为)2y x π=+根据三角函数伸缩、平移关系，即可求解. 【详解】将函数24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数4y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像，再向左平移4π个长度单位，得到函数)2y x y x π=+==. 故选:C. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数图像变换关系，属于基础题.6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，，()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C【解析】试题分析：函数()f x 是偶函数，在上是增函数，所以在(]0,+∞上是减函数，0.6420.2log 7log 3<<Q ()()()0.6420.2log 7log 3f f f b a c ∴>>∴<<【考点】函数奇偶性单调性7．设直线0)30(x y m m -+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点,A B ，若(),0,P m PA PB =，则双曲线的离心率等于( )A ．32B 5C 5D ．2【答案】B【解析】将直线0)30(x y m m -+=≠与双曲线的渐近线方程22220x y a b-=联立，结合韦达定理，求出AB 中点M 坐标，由(),0,P m PA PB =，得出直线PM 斜率为-3，求出,a b 关系，即可求解. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为22220x y a b-=，联立2222030x y a b x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去x 得222222(9)60b a y mb b m --+=，当2222290,0,40b a m m a b -≠≠∆=>，设AB 中点为00(,)M x y ，则202239mb y b a =-， 2002239ma x y m b a =-=-，2222223(,)99ma mb M b a b a∴--， (),0,P m PA PB =，2222222223393299MPmb b b a k ma a b mb a -===----，解得2222222154,,144b b a b e a a =∴==+=，e ∴=. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的渐近线的位置关系，合理设出渐近线方程是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.8．()()21,02,41,0x x f x x x g x xx x ⎧+>⎪=--=⎨⎪+≤⎩，若方程[()]0g f x a -=的实数根个数有4个，则a 的取值范围是( )A ．51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,2【答案】A【解析】设2()(1)11t f x x ==-++≤，方程[()]0g f x a -=的实数根个数有4个，根据已知条件，()g t a =有两不大于1的解，结合()y g t =图像与直线y a =关系，即可求出a 的范围. 【详解】设2()(1)11t f x x ==-++≤，()g t a = 方程[()]0g f x a -=的实数根个数有4个，()g t a =有两不大于1的解，由已知得，当0t ≤，()1g t ≤ 当0t >，1()14g t t t =+≥，当且仅当12t =时，等号成立，做出()y g t =的图像如下图所示：5(1)4g =，所以54a ≤ 当54a =时，5()4g t =，则0t >，有1544t t +=解得1t =或14t =此时()t f x =只有三个解，不合题意，根据图像可得514a ≤<. 故选:A.【点睛】本题考查复合函数根的个数求参数，换元结合函数图像是解题的关键，属于中档题.二、填空题9．已知i 为虚数单位，则13ii+=-__________. 【答案】1255i + 【解析】由复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i i i i i ++++===+--+. 故答案为:1255i + 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.10．123x x ⎛⎝展开式中的常数项为__________. 【答案】220-【解析】写出123x x ⎛⎝展开式的通项，令x 的指数为零，即得常数项. 【详解】12x ⎛ ⎝展开式中第1k +项为 41212311212((1),0,1,2,12k k k k k kk T C xC x k --+==-=L ，令4120,93k k -==，所以常数项为931212220C C -=-=-. 故答案为:-220 【点睛】本题考查二项展开式中特定的项，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.11．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2,4，则其外接球的表面积为__________. 【答案】32π【解析】将三棱锥补成长方体，转化为求长方体外接球的问题，利用长方体的对角线为外接球的直径，即可求解. 【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成长方体，则长方体相邻的三边长为2,4，且长方体的外接球即为所求，=所以所求的外接球的表面积为2432ππ⨯=. 故答案为:32π. 【点睛】本题考查球与锥的接切问题，将问题转化为熟悉几何体的外接球，可提高解题效率，减少计算量，属于基础题.12．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M ()14cos πθ+=，曲线N 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数).若曲线M 与N 相交于,A B 两点，则线段AB 的长等于__________. 【答案】8()14cos πθ+=化为直角坐标方程，244x t y t ⎧=⎨=⎩消去参数化为普通方程，联立方程，由韦达定理结合弦长公式，即可得出结论.【详解】()214cos πρθ+=展开得sin 1cos ρθρθ-=，得到10x y --=为曲线M 的直角坐标方程，244x t y t⎧=⎨=⎩消去参数得24y x =，联立2104x y y x--=⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y y --=， 1616320∆=+=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，12124,4y y y y +==-，2121212||11||2()48AB y y y y y y =+-=+-=.故答案为:8. 【点睛】本题考查极坐标方程与直线坐标方程互化，参数方程与普通方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，属于基础题.13．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u v u u u v ，2AP BP ⋅=u u u r u u u r，则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是______________.【答案】22【解析】根据基底,AB AD u u u r u u u r 表示,,AP BP u u u v u u u v 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=u u u r u u u r，即得结果. 【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2231162AD AB AB AD=--⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 14．已知()2f x x bx c =++，且()12f x ≤在[]3,5x ∈恒成立，则b c +的值为__________. 【答案】152【解析】()12f x ≤等价于()1122f x -≤≤，在[]3,5x ∈恒成立，只需()()max min 1212f x f x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，根据()2f x x bx c =++的对称轴分类讨论，求出()f x 在[]3,5x ∈的最大值和最小值，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】()222()24b b f x x bxc x c =++=+-+，对称轴方程为2b x =-，()12f x ≤在[]3,5x ∈恒成立，需()()max min 1212f x f x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，当3,62b b -≤≥-时，()max min1=(5)52521()(3)392f x f b c f x f b c ⎧=++≤⎪⎪⎨⎪==++≥-⎪⎩①②，(1)-⨯①+②得152b ≤-，不合题意舍去；当5,102b b -≥≤-时，()max min1=(3)3921()(5)5252f x f b c f x f b c ⎧=++≤⎪⎪⎨⎪==++≥-⎪⎩③④，(1)-⨯③+④得172b ≥-，不合题意舍去；当max max 35,106,(){(3),(5)}2bb f x f f <-<-<<-=2min1(3)3921(5)52521()()242f b c f b c b b f x f c ⎧=++≤⎪⎪⎪=++≤⎨⎪⎪=-=-+≥-⎪⎩⑤⑥⑦⑤+⑥(2)+-⨯⑦得228320,(8)02b b b ++≤+≤，2(8)0,8b b ∴+==-，代入⑤⑦得312312c c ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，3115,22c b c ∴=+=. 故答案为:152.【点睛】本题考查二次函数的最值以及不等式的性质，考查分类讨论思想，属于较难题.三、解答题15．已知函数()226f x cos x sin x π⎛⎪⎭+⎫⎝=-. (1)求函数()f x 的最小正周期;(2)在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()2a c cosB bcosC -=，求2f A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围. 【答案】(1)π;(2)2⎛⎝ 【解析】（1）用两角差余弦公式、辅助角公式，化简()fx 2(6)x π=+，即可求出周期；（2）用正弦定理将条件等式化为角，结合三角形内角和关系，可求出3B π=，求出A的范围，整体替换结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】(1)由()226f x cos x sin x π⎛⎪⎭+⎫⎝=-22266cos xcossin xsinsin x ππ=++32222sin x x =+2(6)x π=+，则()f x 的最小正周期2T ππω==;(2)由正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== 则2,2,2a RsinA b RsinB c RsinC ===，由()2a c cosB bcosC -=，则()2sinA sinC cosB sinBcosC -=，则()2sinAcosB sin B C =+，由()() 0sin B C sin A sinA π+=-=>，所以12cosB =，由0B π<<，则3B π=22266A A f A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由203A π<<，则5666A πππ<+<，所以1126sin A π⎛⎫ ⎪⎝⎭<+≤(6)A π<+≤所以2A f ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭⎝. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换以及图像与性质，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，属于中档题.16．甲､乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人.随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为211,,332，且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率;(2)用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望; (3)求两队得分之和大于4的概率. 【答案】(1)25;(2)分布列见解析，()2E ξ=;(3)48243【解析】（1）用求组合数的方法，求出从6人中抽取2人的抽法个数，再求出2人来自同一组的抽法个数，按求古典概型概率的方法，即可求解；（2）甲队中每人答对的概率均为23，且每人答题时相互独立，答对者为本队赢得一分，甲队的总得分ξ服从二项分布，23,3~B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出分布列和期望；（3）两队得分之和大于4按互斥事件分为：总分和为5分包括甲队2分乙队3分和甲队3分乙队2分，总分和为6分甲乙各3分.分别求出以上各互斥事件的概率，然后相加，即可求出结果. 【详解】(1)6个选手中抽取两名选手共有2615C =种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有:2326C =种结果用A 表示事件:“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队.”()62155P A == 故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为25(2)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭()303110327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()21321613327P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()223211223327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()333283327P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭ξ∴的分布列为:ξ123P1272949827ξ的数学期望12480123227992)7(E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)用B 表示事件:“两队得分之和大于4”，包括:两队得分之和为5，两队得分之和为6，用1A 表示事件:“两队得分之和为5”，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分.()3121212121113332323323P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4211409323243⎛⎫+⨯⨯= ⎪⎝⎭用2A 表示事件:“两队得分之和为6”，甲队3分乙队3分，()32221183332243P A ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭ ()()()1240848243243243P P A P A B =+=+=【点睛】本题考古典概型概率以及互斥事件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，解题的关键要把问题转化为二项分布，属于中档题.17．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点.（1）求证：//FG 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；（3）在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成的角为3π？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）4π（3）见解析【解析】试题分析： 1? \*?GB2?=⑴建立平面直角坐标系，由11,0,2GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，()0,2,0DC =u u u v ，GF DC ⊥u u u v u u u v证得//FG 平面PED2?\*?GB2?=⑵建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；⑶假设存在点M ，由共线向量基本定理得到M 点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM 与直线PA 所成角为3π转化为两向量所成的角为3π，由两向量的夹角公式求出M 点的坐标，得到的M 点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论．解析：（1）∵EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，∴PD ⊥平面ABCD ， ∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，又四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD ⊥，故PD ，AD ，CD 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，∵22AD PD EA ===， ∴()0,0,0D ，()0,0,2P ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()2,0,1E ，∵F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点， ∴()1,1,1F ，12,1,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,1H ， 11,0,2GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，平面PED 的一个法向量为()0,2,0DC =u u u v ，又∵11002002GF DC ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u v u u u v ，∴GF DC ⊥u u u v u u u v，又∵FG ⊄平面PED ，∴//FG 平面PED .（2）11,0,2GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，12,0,2GH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，设()1111,,n x y z =u v为平面FGH 的一个法向量，则1100n GF n GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取11y =，得()10,1,0n =u v ，()2,2,2PB =-u u u v ，()0,2,2PC =-u u u v，设()2222,,n x y z u u v =为平面PBC 的一个法向量，则220n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v ，即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取21z =得()20,1,1n u u v =，∴12cos ,n n = 12122n n n n ⋅=⋅u v u u v u v u u v ，∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为4π. （3）假设在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成角为3π，设PM PC λ=u u u u v u u u v，其中01λ≤≤，由()0,2,2PC =-u u u v ，则()0,2,2PM λλ=-u u u u v ，又∵FM FP PM =+u u u u v u u u v u u u u v ，()1,1,1FP =--u u uv ，∴()1,21,12FM λλ=---u u u u v ， ∵直线FM 与直线PA 所成角为3π，()2,0,2PA u uu v =-，∴1cos ,2FM PA =u u u u v u u u v ，即()222412221221λλ--+=⋅+-，解得58λ=， ∴550,,44PM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u v ，524PM =u u u u v ，∴在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成角为3π，此时4PM =. 18．已知数列{}n a 中，11a =，且()2212121,3kk k k k k a a a a -+=+-=+，其中*k N ∈. (1)求234,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 通项公式; (3)求数列{}n a 的前2n 项和. 【答案】(1)20a =，33a =，44a =;(2)()()1122221311,(21311,(2n n n n n n a n +-⎧⎡⎤+--⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+--⎢⎥⎪⎣⎦⎩为奇数）为偶数）;(3)+1233222n n S n =-- 【解析】（1）用1k =代入递推公式分别求出23,a a ，再将2k =，代入前一个递推公式，求出4a ；（2）由递推公式可得()212113kk k k a a +-=+-+，用累加法求出奇数项的通项公式，再由递推关系，求出偶数项的通项公式，即可求解；（3）根据通项公式将前2n 项和分成奇数项和与偶数项分别求和，转化为求等比数列和常数列的和. 【详解】(1)211110a a =-=-=,323033,a a =+=+=431314;a a =+=+= (2)()21221313,kk k k k k a a a +-=+=+-+ 所以()212113kk k k a a +--=-+，所以()131113a a -=-+，()225313a a -=-+，·······()212113kk k k a a +--=-+累加，得()()()121221111...1)33.(..3k kk a a +=+-+-++-+++⎦+⎡⎤⎣()()()()11131311113kk ⎡⎤-⋅--⋅-⎣⎦=++---()11133122kk +---=++()13112kk ++-=-令21k n +=，则12n k -=，112n k ++=所以()212113112(n n n a n -+⎡⎤⎢-⎥⎦=-⎣+为奇数)()()12213131313122k kk k k kk k a a +++-+-=-=--=-令2k n =，则2n k =所以()22(13121,nn n a n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+-为偶数);所以()()1122221311,(21311,(2n n n n n n a n +-⎧⎡⎤+--⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+--⎢⎥⎪⎣⎦⎩为奇数）为偶数） (3)1321n a a a -++⋅⋅⋅+()()()113121111312112222221133311122n n n ++-+----⎛⎫⎡⎤=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()()()()021111133112231n n n -⎡⎤=+++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-+-⎣⋅+-⎦⋅⋅ ()()()()12121133112312nn n ⎡⎤=++--+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()2422422222222421133311122n n n a a a n⎛⎫⎡⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()()()()12121133311122n nn ⎡⎤=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--⎣⎦ 所以()+11223133333 (322213)22n n nnSn n n ⋅-=+++-=-=---【点睛】本题考查求数列的通项公式，关键要寻找项之间的关系，考查用分组求和等价转化为求等比数列的和，考查计算能力，属于中档题.19．如图，在平面直角坐标系0x y 中，已知椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的离心率3e =，12,A A分别是椭圆E 的左､右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q .(1)求直线OP 的方程; (2)求1PQ QA 的值;(3)设a 为常数，过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记三角形OBC 和三角OMN 的面积分别为12,S S .求12S S ⋅的最大值.【答案】(1)3y x =;(2)34;(3)45a 【解析】（1）连接2A P ，根据已知条件由21A P A P ⊥，212|||||A P OA OA a ===，可得||OP a =，从而有2OA P ∆为等边三角形，可得出直线OP 倾斜角为3π，即可求解；（2）由32e =，椭圆方程化为222241x y a a +=，由（1）知2||,3OP a POA π=∠=，求出P 点坐标，进而求出直线1A P 方程，与椭圆方程联立，求出点Q 坐标，即可求解；（3）设OM 的方程为()0y kx k =>，与椭圆方程联立求出B 点坐标，进而求出||OB ，同理求出||,||,||OC OM ON ，求出12S S ⋅以k 为自变量的目标函数，应用基本不等式，求出其最大值. 【详解】(1)连接2A P ，则21A P A P ⊥，且2||A P a =，又12||2A A a =，所以1260A A P ∠=o.又22||||A P A O =，所以2OPA V 为正三角形，所以260POA ∠=o，所以直线OP的方程为y =.(2)由(1)知，由（1）知2||,3OP a POA π=∠=，P点坐标为(,)22a ，1(,0)A a -， 1A P的方程为)3y x a =+，因为e =c a =所以222231,44c a b a ==，故椭圆E 的方程为222241x y a a+=由()2222341y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得22780x ax a ++=， x a =-或7a x =-，7Q ax ∴=- 所以()1||327||47a a PQ a QA a⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--- (3)不妨设OM 的方程为()0y kx k =>，联立方程组222241y kx x y aa =⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得222(14),k x a x +==0,k B >在第一象限，得B ⎛⎫所以||OB =用1k -代替上面的k，得||OC =圆2A 方程为2220x y ax +-=，联立2220y kx x y ax =⎧⎨+-=⎩整理得22(1)20k x ax +-=， 0x =或221a k +，得2222(,)11a ak M k k ++，所以||OM = 用1k -代替上面的k，得||ON = 所以4121||||||||4S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=15=≤当且仅当1k =时等号成立，所以12,S S 的最大值为45a . 【点睛】本题考椭圆的性质应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的性质，考查计算能力和综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于较难题.20．已知函数f （x ）＝（x ＋b ）（x e －a ），（b ＞0），在（－1，f （－1））处的切线方程为（e －1）x ＋ey ＋e －1＝0．（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若方程f （x ）＝m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，证明：x 2－x 1≤1＋(12)1m e e－－．【答案】（Ⅰ）1a =，1b =（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意利用导函数研究函数的切线方程，得到关于a ,b 的方程组，求解方程组并检验可得1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-，则()f x 在(-1，0)处的切线方程为()()111h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，构造函数()()()F x f x h x =-，结合新构造函数的性质分类讨论即可证得题中的不等式.【详解】（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()()1110f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭，又()()1x f x x b e a '=++-，所以()111b f a e e-=-=-+'，若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， ()()00,10f f =-=，设在(-1，0)处的切线方程为，易得，()()111h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =-即()()()()11111x F x x e x e ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，()()12x F x x e e'=+-，当2x ≤-时，()()1120xF x x e e e=+-<-<'，当2x >-时，设()()()12x G x F x x e e =+'=-， ()()30x G x x e =+>'，故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又()10F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，故.()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为'1x ，则'111me x e =-+-又函数()h x 单调递减，故()()()'111h x f x h x =≥，故'11x x ≤，设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e =+-'，当2x ≤-时，()()2220xT x x e =+-<-<'，当2x >-时，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又()00T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，，()()22f x t x ≥设()t x m =的根为'2x ，则'2x m =又函数()t x 单调递增，故()()()'222t x f x t x =≥，故'22x x ≥，又'11x x ≤，()''2121121111m e me x x x x m e e -⎛⎫-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

南开中学高三理科3月考试题.docx

重庆南开中学高2016级（下）3月月考数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A= {1,2,345},集合B={xk （4 — x ）＜°}，则图中阴影部分表示（） A. {1,234} B. {1,2,3} C. {4,5}D. {1,4} 22. 等比数列{a"}满足a 3-a 7,贝ijcosa 5 =()1 B.一 2A.1 C. ±- 23. 设z •为虚数单位且Z 的共辗复数是Z,若z + z=4,Z • Z=8,则Z 的虚部为（）A. ±2B. ±2zC. 2D. -24.现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（） A. 27B. 54C. 108D. 1445. 执行右图所示的程序框图，输出的x 值为（）A. 5B. 6C. 7D. 86. 在AABC 中AC=6, AC 的垂直平分线交AB 边所在直线于N 点, 则痛•应的值为（） A. -6A /3 B. -15A /^" C. -9D. -187. 某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的各侧面中最大|洞蜒|幡|瀚c. 2V2 D. 2>/6俯视图D.2的最大值为.在AA3C 中，AB=AC, E 为AC 边上的点，且AC=3AE, 最大值为•8.已知圆C ： x 2 + y 2 =1,在线段A3： x-y + 2 = 0(-2<x<3)±任取一点M ,过点M 作圆C 的切线，则“点M 与切点的距离不大于3”的概率P%().1 3 2 A ・一 B. — C.—3 5 34D.—59.如图，将绘有函数/(%) = 2sin((ZK + (pi a )>0,<(p<7i j 部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角,若A3之间的空间距离为而，则f(—1) = () A. — 2 B. 2 C. - V3 D. V310.直三棱柱ABC-A l B,C l 的各顶点均在同一个球面上, 则此球的表面积为() 11. A. 20“B. 16/r广 v 2已知双曲线C ：。

天津市南开中学滨海生态城学校2021届高三数学下学期第三次月考试题(含解析).doc

天津市南开中学滨海生态城学校2021届高三数学下学期第三次月考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共45分）1.已知集合{}35M x x =-<≤，{5N x x =<-或}5x >，则M N ⋃=（） A. {5x x <-或}3x >- B. {}55x x -<< C. {}35x x -<< D. {3x x <-或}5x >【答案】A 【解析】【详解】由并集的定义可得{5M N x x ⋃=<-或}3x >-. 故选A. 2.若1tan 3θ= ，则cos2θ=( ) A. 45-B. 15-C.15D.45【答案】D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++ 故选D.3.数列{}n a 满足：()*11,0,n n a a n N R λλλ+=-∈≠∈，若数列{}1n a -是等比数列，则λ值是（）A. 1B. 2C.12D. 1-【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的定义，可知11211n n n n a a q a a λ+--==--，根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.【详解】数列{}1n a -为等比数列 11211n n n n a a q a a λ+--⇒==--即：2n n a qa q λ-=- 上式恒成立，可知：2qq λ=⎧⎨-=-⎩2λ⇒=本题正确选项：B【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果.4.偶函数()f x 在[0,2]上递增，则1221(1),log ,log 4a f b f c f ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭大小为( ) A. c a b >> B. a c b >> C. b a c >>D.c b a >>【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合对数函数的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】()112211log 2log 242b f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 为偶函数，则122211log log 2222c f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在[]0,2上递增，1122<<，所以b a c >>. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查对数函数的性质，属于基础题.5.以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A. 函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C. 点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D. 将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.6.圆22:(1)1C x y -+=的圆心到直线:0(0)l x y a a -+=>，则a 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】依题意0a >，圆的圆心为()1,0，到直线l1a ====. 故选：B【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查根据圆的标准方程求圆心，属于基础题.7.过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）C. 2【答案】C 【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为by x a=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥ ∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒ ∴tan 60ba=︒=223b a=. ∴双曲线的离心率为22c ae a a====故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．8.在平行四边形ABCD 中，2,4,60AD CDABC ︒==∠=，,E F 分别是,BC CD 的中点，DE 与AF 交于H ，则AH DE ⋅的值A. 16B. 12C.165D.125【答案】D 【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出1463,5H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而可计算AH DE .【详解】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则()0,0B ，(2,23A ，()2,0C ，(4,23D ，故(1,0)E ，(3F ，所以:343AF y x =+2323:33DE y x =-，由3432323y x y y x ⎧=+⎪⎨==⎪⎩可得1463,55H ⎛ ⎝⎭，443,55AH ⎛=- ⎝⎭，(3,23DE =--，故122412555AH DE =-+=，故选D. 【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．9.已知函数()||f x lnx =，20,01,()|42,1x g x x x <⎧=⎨--⎩若关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是( ) A. []0,ln2 B. (]2ln2,0-- C. ()2ln2,0-- D. []0,2ln2+【答案】B 【解析】【分析】设()()h x f x m =+，则()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到，分析函数()h x 与()g x 的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．【详解】设()()h x f x m =+，则()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到，当x=1时，h （1）f =（1）1m ln m m +=+=，所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m ）,当x=1时，g(1)=0,当x=2时，g （2）2=-，所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），当x=2时，h （2）2ln m =+，所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m ）, 要使方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解，则等价为()h x 与()g x 的图象有三个不同的交点，则满足(1)(1)(2)(2)h g h g ⎧⎨>⎩，即022m m ln ⎧⎨+>-⎩得022m m ln ⎧⎨>--⎩，即220ln m --<，即实数m 的取值范围是(22ln --，0]，故选B ．【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10.已知复数32i 1iz -=-，i 为虚数单位，则2z =__________. 【答案】132【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果. 【详解】()()()()32i 1i 32i 1i 1i 1i z -+-==--+5i2+=, 225113442z ∴=+=，故答案为132.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 11.曲线()32932f x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为_____________.【答案】12 【解析】【分析】求出原函数的导函数，求得x=1时的导数值得答案．【详解】由题意可得：()2f'39x x x =+,∴()f'13912=+= ∴曲线()32932f x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为12，故答案为12【点睛】本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．12.二项式53x x（-）的展开式中常数项为__________．【答案】10-．【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第1r +项为5552326155(1)(1)r rr r rr rr T C xC x---+=-=-，令55026r -=，则3r =，∴335(1)10A C =-=-．考点：二项式定理．13.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 . 【答案】24 【解析】试题分析：设正方体外接球的半径为R ,由：34433R ππ=，解得：3R 设该正方体的边长为a ，根据223412a R ==解得2a =，所以正方体的表面积为：266424a =⨯=，所以答案为24.考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的表面积和体积公式.14.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________．【答案】1 【解析】【分析】将224m n a a a =写成等比数列基本量1a 和q 的形式，由1a q =可得28m n +=；从而利用()2112128m n m n m n ⎛⎫+=⋅++ ⎪⎝⎭，根据基本不等式求得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：1【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到,m n 满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.15.已知函数()f x 满足，(),0ln ,0kx k x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，其中0k ≥，若函数()()1y f f x =+有4个零点，则实数k 的取值范围是___.【答案】1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先作函数()f x 图象，结合图象确定()1f m =-的根的情况，再结合图象与根的情况确定函数()()1y ff x =+有4个零点所需满足的条件.【详解】先作函数()f x 图象，由图可得()1f m =-有两根，其中1211,=m m e<-，因此1()f x m =必有两根,因此要使函数()()1y f f x =+有4个零点，需2()f x m =有两根,即21k m k e≥∴≥，【点睛】本题考查函数图象与函数零点，考查基本分析求解能力，属中档题. 三、解答题16.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【答案】（1）12；（2）1 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析：（1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =， ∴2BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 22xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232222x -=1x =，即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．17.如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）10【解析】【详解】试题分析：（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-，()0,0,1n =，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --的余弦值为105．试题解析：（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ,12EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=︒得//BC AD ，又12BC AD =所以．四边形BCEF 为平行四边形， //CE BF ．又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故//CE PAB 平面（2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，(01P ，，，(10PC =，，,()100AB ，，=则()(1,1BM x y z PM x y z =-=--，，，，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，是底面ABCD 的法向量，所以 0,cos sin45BM n ==即（x-1）²+y²-z²=0又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则x ,1,y z λ===由①，②得()2x=1+x=1-22y=1y=1z z ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩舍去，所以M 1-,1⎛⎝⎭，从而AM 1-2⎛= ⎝⎭设()000x ,y ,z m =是平面ABM 的法向量，则(0000x 2y 0·AM 0·AB 0x 0m m ⎧++=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即所以可取(0,2)m =.于是·10,m n cos m n m n==因此二面角M-AB-D 点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m ，n >|=·m n m n．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．18.已知椭圆2222+=1(>>0)x y ab a b 经过点(2,3P -离心率=3e （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过椭圆左焦点F 的直线(不经过点P 且不与x 轴重合)与椭圆交于A B 、两点，与直线l :3x =-交于点M ，记直线,,PA PB PM 的斜率分别为1233,,0k k k k ≠（）.则是否存在常数λ，使得向量m =123(,),(,1)k k n k λ+=共线？若存在求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）2. 【解析】【分析】（1）根据椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点P ⎛-⎝⎭，离心率e =，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）直线AB 的方程为()2y k x =+，代入椭圆方程整理得()222231121260k x k x k +++-=，求得M 的坐标为()3,k --，求出()121212124224x x k k k x x x x +++=+++ ,利用韦达定理化简可得1232k k k +=，从而可得结果.【详解】（1）由P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，∴224213a b +=.① 由已知e得c =，∴2223c a = 又222c a b =-，∴223a b .②②代入①解得226,2a b ==.∴椭圆C 的方程为22162x y +=.（2）假设存在常数λ，使得向量()()123,,,1m k k n k λ=+=共线，∴()12310k k k λ+⨯-⨯=，即123k k k λ+=.由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()2y k x =+，③代入椭圆方程22360x y +-=并整理，得()222231121260k x k x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+.④ 在方程③中令3x =-得，M 的坐标为()3,k --.从而11132y k x =+，22232y k x =+，331k k k -==-∴()()12121212112233332222y y k x k x k k x x x x +++=+=+++++()1212124224x x k x x x x ++=+++ , ⑤④代入⑤得22122222124312221262443131k k k k k k k k k k k -+⎛++=== -⎝⎭-+++，又303k k =+≠，∴1232k k k +=. 故存在常数2λ=符合题意.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.19.已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a 与4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，1nn i i S b ==∑.求n S 及使12500n nS n ++⋅->成立的最小正整数n 的值.【答案】（1）2n n a =（2）见解析【解析】试题分析： 1? \*?GB2?=⑴由已知条件利用等差数列的性质和等比数列的通项公式求出等比数列的首项和公比，由此能求出数列{}n a 的通项公式； ⑵求出n b 和n S 的表达式，对题目中的不等式进行变形即可解答；解析：（1）设此等比数列首项为1a ，公比为q ，其中10a ≠，0q ≠，由题意知：2311128a q a q a q ++=，()3211122a q a q a q +=+，得3211161560a q a q a q -+=，即225202q q q -+=⇒=，12q =， ∵等比数列{}n a 单调递增，∴12a =，22nn q a =⇒=. （2）①2nn b n =-⋅，∴123n n S b b b b =++++= ()231222322n n -⨯+⨯+⨯++⋅，设231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅，得231121212122n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ()1122n n +=---，∴()1122n n S n +=---，②要使12500n n S n ++⋅->成立，即()111222500n n n n ++---+⋅->，即226n >，∵421626><，523226>>，且2xy =是单调递增函数， ∴满足条件的n 的最小值为5. 20.设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）两个；（3）0. 【解析】【分析】（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果. 【详解】（1）()()2ln 0f x ax x x =-->，∴()11'ax f x a x x-=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数. 综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，由（1）可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数；又22110f e e⎛⎫=>⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<；故()f x 在()0,∞+有两个零点.（3）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈；又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===，由（2）知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>，∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ∈，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

天津市高三数学上学期第三次月考试题理(含解析)新人教A版

天津一中2012—2013学年高三数学三月考试卷(理科)一、选择题：1．复数2i2i -=+ A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-,选A. 2．“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0m =，两直线方程为1y =和1x =-，此时两直线垂直。

若12m =，两直线方程为2x =-和13302x y ++=，此时两直线相交。

当0m ≠且12m ≠时，两直线方程为11212m y x m m =+--和33y x m m =--，两直线的斜率为12m m -和3m-。

若两直线垂直，则有3()112m m m⨯-=--，解得1m =-，所以直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直时的条件为1m =-或0m =。

所以1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直的充分不必要条件，选A.3．执行右图所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．-1B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】第一次循环，21,224S i ==-=-;第二次循环，22,32(1)3S i ===--;第三次循环，23,42223S i ===-;第四次循环，24,5322S i ===-;所以该循环是周期为4的周期循环，所以当9i =时，和第四次循环的结果相同，所以4S =.选D. 4．函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．)2,1( 【答案】C【解析】因为2(1)21log 110f =-+=>，2011()21log 10222f =⨯-+=-<，所以根据根的存在性定理可知函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的区间为1(,1)2，选C.5．91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是A ．36-B ．36C ．84-D ．84【答案】C【解析】展开式的通项公式为93921991()(1)kkkk k kk T C C x x --+=-=-，令9302k -=得3k =。

2022-2023学年天津市南开中学高三上学期阶段性测试(三)数学试卷含详解

天津市南开中学2023届高三阶段性测试（三）数学试题一、选择题（每题5分，共45分）1.设i 为虚数单位，则复数21i z =+的虚部是（）A.i- B.1- C.iD.12.集合{}24A x x =>，{}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.{}52x x -<<- B.{}22x x -<< C.{}21x x -<< D.{}21x x -≤<3.已知直线()1:120l a x ay -+=，()()2:22110l a x a y -+++=，则1a =是12//l l 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是（）A.135-B.135C.1215D.1215-5.已知2log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c<< B.a c b<< C.a b c<< D.b<c<a6.将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A.()g x 的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称B.()g x 的图象关于直线π6x =对称C.()g x 过点π,28⎛⎫⎪⎝⎭D.()g x 在区间π0,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增7.设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，C 上一点B ，满足直线FB 与y 轴正半轴交于点M ，且B 在F ，M 之间，若2FB BM =，且点B 到抛物线准线的距离为43，则点M 的纵坐标为（）A.1B.C.32D.8.已知双曲线()2222:10,0x y H a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A ，B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅= ，32BF FC =，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.B.375C.2D.39.已知函数(),42426xx x f x x ⎧-<<⎪+⎪=≤<，若方程()20f x ax +=有5个不等实根，则实数a 的取值范围是（）A.1,43⎛⎫⎧⎫-∞-- ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭ B.11,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.12,34⎡⎢⎣⎦D.21,43⎛⎫⎧⎫+∞⋃ ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭二、填空题（每题5分，共30分）10.某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_________11.一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则1533P ξ⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭______．12.等差数列{}n a 中，31a =，5672a a a -+=，则数列(){}cos πn a 的前2023项和为______.13.已知a ，b 都是正数，则222a ba b a b+++的最小值是______.14.已知圆C 的圆心为()2,1C ，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线:420l x y λ-+=与C 交于,A B 两点，120ACB ∠= ，则实数λ=__________．15.如图，在ABC 中，3B π=，2AB =，点M 满足13AM AC = ，43BM AC ⋅= ，O 为BM 中点，点N在线段BC 上移动（包括端点），则OA ON ⋅的最小值是______.三、解答题（共75分，16题14分，17-19题每题15分，20题16分）16.在ABC ，中，记角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos a cC C b++=.（1）求角B ；（2）已知点D 在AC 边上，且4=AD，BD =6AB =，求ABC 的面积.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，2PA BC ==，1AB =，PB =（1）求证：PB ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值；（3）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长.18.已知椭圆C 中心在原点，右焦点()2,0F ，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆左右顶点分别为1A 和2A ，B 为椭圆位于第二象限的一点，在y 轴上存在一点N ，满足BF NF ⊥，设12A A B △和1A FN △的面积分别为1S 和2S ，当12:3:2S S =时，求直线1A B 的斜率.19.已知公差不为零的等差数列{}n a ，{}n b 为等比数列，且满足11a b =，442b a =，2352b b a +=+，2a ，4a ，8a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()94N *2n nn T n λ++≥-∈恒成立，求实数λ的取值范围.20.已知函数()e sin xf x k x =-.（1）当1k =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内存在极值点α.①求实数k 的取值范围；②求证：()f x 在区间()0,π内存在唯一的β，使()1fβ=，并比较β与2α的大小，说明理由.天津市南开中学2023届高三阶段性测试（三）数学试题一、选择题（每题5分，共45分）1.设i 为虚数单位，则复数21i z =+的虚部是（）A.i - B.1- C.iD.1B【分析】利用复数的除法化简复数z ，结合复数的定义可得出合适的选项.【详解】因为()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，因此，复数z 的虚部为1-.故选：B.2.集合{}24A x x =>，{}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.{}52x x -<<- B.{}22x x -<< C.{}21x x -<< D.{}21x x -≤<D【分析】解出集合A ，利用补集和交集的含义即可得到答案.【详解】24x >，则2x >或<2x -，则{2A xx =<-∣或2}x >，R {22}A x x =-≤≤∣ð，{51}B x x =-<<∣，则()R {21}A B xx ⋂=-≤<∣ð，故选：D.3.已知直线()1:120l a x ay -+=，()()2:22110l a x a y -+++=，则1a =是12//l l 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要A【分析】根据12//l l 求出实数a 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若12//l l ，则()()()11222a a a a -+=-，解得1a =或15a =-，当1a =时，直线1l 的方程为0y =，直线2l 的方程为12y =-，此时12//l l ；当15a =-时，直线1l 的方程为30x y +=，直线2l 的方程为12450x y ++=，此时12//l l .因为{}11,15⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，因此，1a =是12//l l 充分不必要条件.故选：A.4.623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是（）A.135-B.135C.1215D.1215-B【分析】由二项展开式通项公式确定常数项的项数，从而得结论.【详解】由二项展开式通项公式可得()66316623C C 3rr r r rr r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630r -=解得2r =，所以常数项()2236C 3135T =-=，故选：B5.已知2log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c << B.a c b<< C.a b c<< D.b<c<aC【分析】利用对数函数与指数函数的性质，以及指数幂的运算公式即可求解.【详解】由题知，2220log 1log log 1=<，即：01a <<，又0.40221b =>=，所以b a >；()15150.462264b ===，1515315511324333c --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴1515b c <，∴b c <，所以：a b c <<.故选：C.6.将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A.()g x 的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称B.()g x 的图象关于直线π6x =对称C.()g x 过点π,28⎛⎫⎪⎝⎭D.()g x 在区间π0,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D【分析】利用函数图象变换可求得函数()g x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；计算出π8g ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断C 选项；利用正弦型函数的单调性可判断D 选项.【详解】将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，可得到函数π2sin 43y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向左平移π6个单位，可得到函数()πππ2sin 42sin 4633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，对于A 选项，7π3π2sin 2242g ⎛⎫==-⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，π2sin π06g ⎛⎫==⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，ππππ2sin 2cos 18233g ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，当π024x <<时，πππ4332x <+<，所以，函数()g x 在区间π0,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 对.故选：D.7.设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，C 上一点B ，满足直线FB 与y 轴正半轴交于点M ，且B 在F ，M 之间，若2FB BM =，且点B 到抛物线准线的距离为43，则点M 的纵坐标为（）A.1B.C.32D.D【分析】作1BB 垂直于准线于1B ，根据线段比例关系得到6B px =，则14623p p BB =+= ，解出p 值，则得到B 点坐标，则可求出M 点纵坐标.【详解】如图所示,作1BB 垂直于准线于1B ,由已知得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,由2FB BM =，则2FB BM =,得B 的横坐标为236p p =,则14623p p BB =+= ，则2p =，故抛物线方程为：24y x =，所以13B x =，代入抛物线方程得233B y =，所以123,33B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据2FB BM =，则33233223M B y y ==⨯=故选：D .8.已知双曲线()2222:10,0x y H a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A ，B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅= ，32BF FC =，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.2B.375C.102D.233B【分析】令双曲线左焦点F '，利用给定条件证得四边形AFBF '为矩形，再利用双曲线定义结合勾股定理列式求解作答.【详解】令双曲线右焦点(c,0)F ，则其左焦点(,0)F c '-，连接,,AF BF CF '''，如图，显然AB 与FF '互相平分于点O ，即四边形AFBF '为平行四边形，又0AF FB ⋅=，则90AFB ∠= ，因此四边形AFBF '为矩形，令||BF m =，由32BF FC =得3||2CF m =，由双曲线定义知，3||2,||22BF a m CF a m ''=+=+，在Rt ' BCF 中，222||||||CF BC BF ''=+，即22235(2)()(2)22a m m a m +=++，解得25m a =，在Rt BFF '△中，122||,||,||255BF a BF a FF c ''===，而222||||||FF BF BF ''=+，于是得222212(2)()()55c a a =+，解得c =，所以双曲线的离心率5c e a ==.故选：B9.已知函数(),42426xx x f x x ⎧-<<⎪+⎪=≤<，若方程()20f x ax +=有5个不等实根，则实数a 的取值范围是（）A.1,43⎛⎫⎧⎫-∞-- ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭ B.11,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.12,34⎡⎢⎣⎦D.21,43⎛⎫⎧⎫+∞⋃ ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭A【分析】分析可知0x =满足方程()20f x ax +=，当0x ≠时，分析可知0a ≠，由()20f x ax +=可得出()()4,4014,0226x x x x x x a x ⎧-+-<<⎪-=+<<⎨≤<，令()()()4,404,0226x x x g x x x x x ⎧-+-<<⎪=+<<⎨≤<，则直线1=-y a 与函数()g x 的图象有4个交点，数形结合可求得实数a 的取值范围.【详解】0x =满足方程()20f x ax +=，当0x ≠时，若0a =，由()0f x =可得0x =，不合乎题意，故0a ≠，由()20f x ax +=可得()1,4002426x x x x a x ⎧-<<<<⎪+⎪-=⎨≤<或，即()()4,4014,026x x x x x x a x ⎧-+-<<⎪-=+<<⎨≤<，令()()()4,404,0226x x x g x x x x x ⎧-+-<<⎪=+<<⎨≤<，当26x ≤<时，()g x =因为内层函数()239u x =--+在[)2,3上单调递增，在()3,6上单调递减，外层函数y =在其定义域上为增函数，、所以，函数()g x 在[)2,3上单调递增，在()3,6上单调递减，且当26x ≤<时，由y =可得()2239x y -+=，由题意可知，直线1=-y a与函数()g x 的图象有4个交点，如下图所示：由图可知，当10a <-<或13a -=时，即当4a <-或13a =-时，直线1=-y a与函数()g x 的图象有4个交点，故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题（每题5分，共30分）10.某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_________30【分析】利用分层抽样各层比例相同列出方程，从而得解.【详解】根据题意，设应抽取高一年级学生的人数为x ，则50500300x=，解得30x =，所以应抽取高一年级学生的人数为30.故答案为：30.11.一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则1533P ξ⎛⎫≤≤=⎪⎝⎭______．47【分析】设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有2k个，总数为72k ，从而可得概率，进而得分布列后可求解.【详解】设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有2k个，总数为72k ，则随机变量ξ的分布列为：ξ123P472717()1541337P P ξξ⎛⎫≤≤=== ⎪⎝⎭．故答案为：4712.等差数列{}n a 中，31a =，5672a a a -+=，则数列(){}cos πn a 的前2023项和为______.12##0.5【分析】利用等差数列的基本性质求出6a ，进而求出数列{}n a 的通项公式，设()cos πn n b a =，对任意的N k ∈，计算出616263646566k k k k k k b b b b b b +++++++++++的值，进而可求得数列(){}cos πn a 的前2023项和.【详解】由题意可得5676622a a a a a -+=-=，则62a =，所以，等差数列{}n a 的公差为631633a a d -==-，所以，()333n n a a n d =+-=，所以，()πcos πcos 3n n a =，令πcos3n n b =，对任意的N k ∈，616263646566k k k k k k b b b b b b +++++++++++()()π2π4π5πcos 2πcos 2πcos 2ππcos 2πcos 2πcos 2π2π3333k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111102222=---++=，因为202363371=⨯+，则数列(){}cos n a π的前2023项和为()2023123456111337337022S b b b b b b b =++++++=⨯+=.故答案为：12.13.已知a ，b 都是正数，则222a ba b a b+++的最小值是______.1-【分析】设2a b x +=，2a b y +=，解出1(2)3a y x =-，1(2)3b x y =-，代入化简得14233y xx y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可求出最值.【详解】因为,a b 均为正实数，故设2a b x +=，2a b y +=，则0,0x y >>联立解得1(2)3a y x =-，1(2)3b x y =-，21(2)(2)23322y x x y a b a b a b x y--∴+=+++14221421331333y x x y y xx y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+=+-≥= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当42y x x y =，即x =，即)22a b a b +=+时取等号，1-.14.已知圆C 的圆心为()2,1C ，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线:420l x y λ-+=与C 交于,A B 两点，120ACB ∠= ，则实数λ=__________．1-或11-【分析】根据直线与圆相交，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求解.【详解】圆C 的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，∴该圆一定过原点，∴半径为r ==，又圆心为()2,1C ，故圆C 的方程为22(2)(1) 5.x y -+-=120,ACB CA CB ∠=== 圆心C 到直线l 的距离为1,2d r =2=，解得1λ=-或11λ=-．故答案为：-1或-1115.如图，在ABC 中，3B π=，2AB =，点M 满足13AM AC = ，43BM AC ⋅= ，O 为BM 中点，点N在线段BC 上移动（包括端点），则OA ON ⋅的最小值是______.2936-【分析】本题采用建系法，设(,0)C t ，利用向量共线得到223,33t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，再写出223,33t BM ⎛+= ⎝⎭，(1,AC t =- ，从而得到方程(2)(1)4233t t +--=，解出t 即可求出O坐标为5,63O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再设(),0N n ，03n ≤≤，写出1,63OA ⎛= ⎝⎭，5,63ON n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则OA ON ⋅ 的函数表达式，利用函数单调性即可求出最值.【详解】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示直角坐标系，设(,0)C t ，0t >，2,,3AB B A π==∴ ，设(,)M x y，(1,AM x y ∴=--，(1,AC t =-，13AM AC = ，11(1)3x t ∴-=-，23t x +=，1(3y -=⨯，3y =，223,33t M ⎛+∴ ⎝⎭，223,33t BM ⎛+∴= ⎝⎭，(1,AC t =- ，43BM AC ⋅= ，即(2)(1)4233t t +--=，解得3t =，523,33M ⎛∴ ⎝⎭，因为O 为BM 中点，53,63O ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0N n ，03n ≤≤，123,63OA ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，53,63ON n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ,152129663636OA ON n n ⎛⎫∴⋅=--=- ⎪⎝⎭ ,03n ≤≤ 所以当0n =时min1292963636n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即min29()36OA ON ⋅=- ，故答案为：2936-.三、解答题（共75分，16题14分，17-19题每题15分，20题16分）16.在ABC ，中，记角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos a cC C b++=.（1）求角B ；（2）已知点D 在AC 边上，且4=AD，BD =6AB =，求ABC 的面积.（1）π3；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C B C A C +=+,再利用sin sin()A B C =+，化简进而求出角B ；（2）设,CD x BC y ==，首先利用余弦定理求出7cos 14ADB ∠=，则cos 14BDC ∠=-，在BCD △和ABC 中分别利用余弦定理得到2222282(4)366y x xx y y⎧=++⎨+=+-⎩，解出,x y ，最后再利用三角形面积公式即可.【小问1详解】因为cos a cC C b++=,由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C B C A C +=+,因为A B C π=--,所以sin sin()A B C =+,sin cos sin sin B C B C C =+,因为sin 0C >,cos 1B B =+,即2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又0πB <<,所以ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故66B ππ-=，则3B π=.【小问2详解】设,CD x BC y ==，在ADB 中利用余弦定理得2227cos14ADB ∠==，cos cos 14BDC ADB ∴∠=-∠=-，在BCD △中，由余弦定理得2222cos y x BDC =+-⨯⋅∠，即22282y x x =++①在ABC 中，由余弦定理得()222π4626cos3x y y +=+-⨯⨯⋅即22(4)366x y y +=+-②将①式代入②式化简得8x y +=③联立①③解得26x y =⎧⎨=⎩，故6AB AC AC ===，故136622ABC S =⨯⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，2PA BC ==，1AB =，PB =（1）求证：PB ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值；（3）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长.（1）见解析；（2）105；（3）73.【分析】（1）根据平面PAB ⊥平面ABCD ,得到BC ⊥平面PAB ，则BC PB ⊥，再利用勾股定理得到PB AB ⊥，最后利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系B xyz -,易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =,求出平面PCD 的一个法向量为3,3,2)m =,代入公式即可求解；（3）根据点E 在棱PA ,得到,[0,1]AE AP λλ=∈,又//BE 平面,PCD m为平面PCD 的一个法向量，代入数量积公式即可求解λ值.【小问1详解】平面PAB ⊥平面ABCD ,且平面PAB ⋂平面ABCD AB =,又 BC AB ⊥,且BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面PAB ，PB ⊂ 平面PAB ，BC PB ∴⊥.在PAB 中，2,3,1PA PB AB === ，222PA AB PB ∴=+，PB AB ∴⊥，AB BC B ⋂= ，且,AB BC ⊂平面ABCD ，PB ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）知,,PB BC AB 两两互相垂直，所以,建立空间直角坐标系B xyz -,如图所示：所以(1,0,0),(0,0,0),(0,2,0),(1,3,0),(0,0,3),(1,1,0),(0,2,3)A B C D P CD PC --=-=-.易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =.设平面PCD 的一个法向量为(,,)m x y z =,则00m CD m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即23x y y z =⎧⎪⎨=⎪⎩,令2z =,则(3,3,2)m = .则210cos ,||||5334n m n m n m ⋅〈〉==⋅++,即平面PCD 与平面ABCD 夹角的余弦值为105.【小问3详解】因为点E 在棱PA ,所以,[0,1]AE AP λλ=∈.因为3)AP = .所以(3),(1,0,3)AE BE BA AE λλλλ==+=-.又因为//BE 平面,PCD m为平面PCD 的一个法向量,所以0BE m ⋅= ,3(1)30λλ-+=,所以13λ=.所以23,0,33BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,所以7||3BE BE == .18.已知椭圆C 中心在原点，右焦点()2,0F ，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆左右顶点分别为1A 和2A ，B 为椭圆位于第二象限的一点，在y 轴上存在一点N ，满足BF NF ⊥，设12A A B △和1A FN △的面积分别为1S 和2S ，当12:3:2S S =时，求直线1A B 的斜率.（1）2211612x y +=（2）32【分析】（1）直接代入公式及性质即可求解；（2）设出坐标，利用面积关系求出坐标再求斜率即可.【小问1详解】由题知，2c =，12c a =，222a b c =+解得：4a =，b =，所以椭圆C 的标准方程为：2211612x y +=.【小问2详解】设(),B m n ，()0,N t ，则0m <，0n > BF NF ⊥，∴2BF n k m =-，2NF tk =-∴122n t m =--- ，化简得：()220m t n-=<.由112142S A A n n =⨯⨯=，()216212m S A F t n-=⨯⨯=，12:3:2S S =，化简得：()2492n m =-①，又因为B 为椭圆位于第二象限的一点,所以有：2211612m n +=②，联立①②解得：2m =-，3n =，即()2,3B -.所以，()1303242A B k -==---，因此，当12:3:2S S =时，直线1A B 的斜率为：32.19.已知公差不为零的等差数列{}n a ，{}n b 为等比数列，且满足11a b =，442b a =，2352b b a +=+，2a ，4a ，8a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()94N *2n n n T n λ++≥-∈恒成立，求实数λ的取值范围.（1）2n a n =，2nn b =（2）1,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用通项公式以及等比中项公式即可求解；（2）利用错位相减法求和，再利用导数讨论单调性求最值即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .11a b =，442b a =，2352b b a +=+，∴()31123b q a d =+①，211142b q b q a d +=++②，2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a = ，∴()()()211137a d a d a d +=++③，由①②③解得：12d a ==，12q b ==，∴2n a n =，2n n b =.【小问2详解】由（1）知：22n nn a nb =所以：312123n n na a a a Tb b b b =++++ ，即：12321222322222n n n T ⨯⨯⨯⨯=++++ ①，所以：23411212223222222n n n T +⨯⨯⨯⨯=++++ ②，由①-②得：1231122222222222n n n n T +⨯=++++- ，11111222212212n n n n T +⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎢⎥=⨯-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦化简得：1242n n n T -+=-()N*n ∈，由942n n n T λ++≥-，即19222n n n n λ-+++≥，所以1295222n n n n n n λ-++-≥-=.令()52x x f x -=()N *x ∈，则()ln 215ln 22xx f x -++'= ，由()0f x '=解得：15ln 2x =+()6,7∈，所以，10,5ln 2x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，15,ln 2x ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，又 N *x ∈，()()16764f f ==∴()()1764f x f ≤=，∴164λ≥.所以，若不等式()94N *2n n n T n λ++≥-∈恒成立，实数λ的取值范围为：1,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.已知函数()e sin xf x k x =-.（1）当1k =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内存在极值点α.①求实数k 的取值范围；②求证：()f x 在区间()0,π内存在唯一的β，使()1f β=，并比较β与2α的大小，说明理由.（1）增区间为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，无减区间（2）①()1,+∞；②证明见解析，2βα<【分析】（1）当1k =时，利用导数符号与函数的单调性的关系可求得函数()f x 的单调区间；（2）①由()e cos cos x f x x k x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()ecos x g x x =，其中π02x <<，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用极值点的定义以及数形结合可得出实数k 的取值范围；②将问题转化为证明出函数()2esin 1xm x k x =--在区间()0,π内存在唯一的零点β，利用导数结合①中的结论，可以证明；表示出()2m α，构造函数()2e 2e sin 1xx h x x =--，其中π02x <<，利用导数分析函数()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得出()()00h x h >=，从而可得出()()20m m αβ>=，再利用函数()m x 的单调性，比较后可得出结论.【小问1详解】解：当1k =时，若π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()e sin x f x x -=，则()e cos 1cos 0xf x x x '=->->，所以，函数()f x 的增区间为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，无减区间.【小问2详解】解：①因为π02x <<，()e e cos cos cos xxf x k x x k x ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，令()e cos xg x x =，其中π02x <<，则()()2e cos sin 0cos x x x g x x+'=>，所以，函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，作出函数()g x 与y k =的图象如下图所示：由图可知，当1k ≤时，对任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()e cos 0cos x f x x k x ⎛⎫'=->⎪⎝⎭，则函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，不合乎题意；当1k >时，由图可知，直线y k =与函数()g x 的图象有且只有一个交点，设交点的横坐标为α，当0x α<<时，()e cos 0cos x f x x k x ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，当π2x α<<时，()e cos 0cos x f x x k x ⎛⎫'=->⎪⎝⎭，此时函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭只有一个极值点，且为极小值点，综上所述，实数k 的取值范围是()1,+∞；②要证明存在唯一的()0,πβ∈，使得()1fβ=，令()()1e sin 1x m x f x k x =-=--，只需证明存在唯一的()0,πβ∈，使得()0m β=，因为()()e cos x m x k x f x ''=-=，由①可知，函数()m x 在()0,α上单调递减，在π,2α⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又当ππ2x <<时，()e cos 0x m x k x '=->，所以，函数()m x 在()0,α上单调递减，在(),πα上单调递增，当0x α<<时，()()00m x m <=，且()()00m m α<=，又因为()ππe 10m =->，所以，函数()m x 在()0,α内无零点，在(),πα内存在唯一零点，即存在唯一的()0,πβ∈使得()0m β=，即()1fβ=，由①可知，e cos 1k αα=>，所以，()2222esin 21e 2sin cos 1e 2e sin 1m k k ααααααααα=--=--=--，令()2e 2e sin 1x x h x x =--，其中π02x <<，则()()()22e2e sin cos 2e e sin cos x x x x h x x x x x '=-+=--，令()e sin cos x p x x x =--，其中π02x <<，则()e cos sin 1cos sin 0x p x x x x x '=-+>-+>，所以，函数()p x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，故当π02x <<时，()()00p x p >=，故当π02x <<时，()0h x '>，所以，函数()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，因为π02α<<，()20m α>，所以，()()20m m αβ>=，因为()m x 在(),πα上为增函数，且()2,παα∈，(),πβα∈，所以，2βα<.【点睛】关键点点睛：本题要比较β与2α的大小关系，关键就是构造出合适的函数()g x ，转化为比较()2g α、()g β的大小关系，结合函数()g x 的单调性求解.。

天津市南开中学高三数学下学期第三次月考试卷理(含解析)

2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 276 D． 3002．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①④D．②④3．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．5．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D． 26．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A． x2=y B． x2=y C． x2=8y D． x2=16y7．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．8．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题0分，共30分．）015春•天津校级月考）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+1（n∈N*），且a1=1，则通项公式a n= ．1015春•天津校级月考）圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B（﹣4，0），则圆C的方程为．1015春•天津校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•= ．1015春•天津校级月考）已知cos（x﹣）=﹣，则cosx+cos（x﹣）= ．1015春•天津校级月考）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是．1015春•天津校级月考）点F是椭圆E：的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为，则直线l的斜率是．三、解答题：（15-18每小题0分，19-20每小题0分，共80分．）1015春•天津校级月考）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．1013•铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．1014•东莞二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．1014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．1014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（﹣4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 276 D． 300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4××4=240．故选B．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①④D．②④考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．解答：解：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β；故②为真命题；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故③为真命题；④若m∥α，n∥β，m∥n，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选B．点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．3．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．5．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D． 2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，F2F1=2c，AF1=c，AF2=c，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=c﹣c=2a，变形可得离心率的值．解答：解：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，由焦距的意义可知F2F1=2c，AF1=c，由勾股定理可知AF2=c，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=2a，即c﹣c=2a，变形可得双曲线的离心率==+1故选：C．点评：本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题．6．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A． x2=y B． x2=y C． x2=8y D． x2=16y考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．解答：解：∵双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，∴c=2a，即=4，∴，双曲线的一条渐近线方程为：．抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，∴2=，∵，∴p=8．∴抛物线C2的方程为x2=16y．故选：D．点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．7．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．8．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．点评：熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．二、填空题：（每小题0分，共30分．）015春•天津校级月考）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+1（n∈N*），且a1=1，则通项公式a n= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过a n+1=S n+1﹣S n，可得该数列从第2项起的公比为，进而可得结论．解答：解：∵S n=2a n+1（n∈N*），∴S n+1=2a n+2，两式相减得：a n+1=2a n+2﹣2a n+1，整理得：=，又∵a1=1，∴a1+a2=2a2，即a2=，∴，故答案为：．点评：本题考查求数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．1015春•天津校级月考）圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B（﹣4，0），则圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5 ．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由条件求得圆心的坐标为C（﹣3，2），半径r=|AC|=，从而得到圆C的方程．解答：解析：直线AB的中垂线方程为x=﹣3，代入直线x﹣2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C（﹣3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=，∴圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x+3）2+（y﹣2）2=5点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．1015春•天津校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•= 1 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得||=||=2，且与的夹角∠BAD=60°，用与作基底表示要求的向量，由数量积的运算可得．解答：解：由题意可得||=||=2，且与的夹角∠BAD=60°，由向量的运算可得=+=+，=﹣，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣=22﹣×2×2×﹣×22=1故答案为：1点评：本题考查平面向量的数量积，涉及平面向量基本定理，属基础题．1015春•天津校级月考）已知cos（x﹣）=﹣，则cosx+cos（x﹣）= ﹣1 ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由和差角的三角函数公式可得cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=cos（x﹣），代入已知数据可得．解答：解：∵cos（x﹣）=﹣，∴cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x﹣）=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．1015春•天津校级月考）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是（﹣2，2）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由题意，根据根的存在性定理知，只需使函数f（x）的极大值与极小值符号相反即可．解答：解：令f′（x）=3x2﹣3=0解得，x=1或x=﹣1，∵函数f（x）=x3﹣3x+c的图象与x轴恰好有三个不同的公共点，∴f（1）f（﹣1）＜0，即（c﹣2）（c+2）＜0，则﹣2＜c＜2，故答案为：（﹣2，2）．点评：本题考查了函数的图象与性质，利用导数求极值及根的存在性定理．1015春•天津校级月考）点F是椭圆E：的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为，则直线l的斜率是．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的a，b，c，求得F的坐标，设直线AB：x=my﹣4，（m＞0），代入椭圆方程，可得（25+9m2）y2﹣72my﹣81=0，运用韦达定理，由△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|=，两边平方，化简整理，解方程即可得到m，进而得到直线l的斜率．解答：解：椭圆E：的a=5，b=3，c=4，则F（﹣4，0），设直线AB：x=my﹣4，（m＞0），代入椭圆方程，可得（25+9m2）y2﹣72my﹣81=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=，y1y2=，则|y1﹣y2|2=（y1+y2）2﹣4y1y2=（）2﹣4•=，则△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|=，两边平方可得，16•=81，解得m=，即有直线l的斜率为，故答案为：．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题：（15-18每小题0分，19-20每小题0分，共80分．）1015春•天津校级月考）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，利用古典概型的概率公式求解即可．（Ⅱ）X的取值可能是2，3，4，5，分别分别求出概率得到分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的取值为2，3，4，5．=，=，=，=．所以X的分布列为X 2 3 4 5PX的数学期望EX=2×+3×+4×=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查计算能力．1013•铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．考点：正弦定理；等差数列；三角函数的定义域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B．（Ⅱ）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos（A﹣C）的范围．解答：解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，即：sin（A+C）=sinB，∴sinB=2sinBcosB，又在△ABC中，sinB≠0，∴，∵0＜B＜π，∴；（Ⅱ）∵，∴∴==，∵，∴∴2sin2A+cos（A﹣C）的范围是．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键就是利用了正弦定理把边的问题转化成了角的问题，利用三角函数的特殊性质求得答案．1014•东莞二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；（II）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．（III）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．解答：证明：（Ⅰ）连结AC∩BD=F，ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．∴在△CPA中，EF∥PA…（2分）且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…（4分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=ADABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD所以CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA…（6分）又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．…..（9分）（Ⅲ）如图，取AD的中点O，连结OP，OF．∵PA=PD，∴PO⊥AD．∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA=PD=AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1）．若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，连结PG，DG设G（1，a，0）（0≤a≤2）．由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为=（1，0，﹣1）．设平面PGD的法向量为=（x，y，z）．∵=（1，0，1），=（﹣2，﹣a，0），∴由，=0可得，令x=1，则y=﹣，z=﹣1，故=（1，﹣，﹣1），∴cos==，解得，a=．所以，在线段AB上存在点G（1，，0），使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．…（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力．1014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=﹣1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e，，三种情形来讨论，可得最值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．解答：解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1）=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..（3分）（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x﹣=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=．②若1＜＜e，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=，③若，即a≥e2在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=；当a≥e2时，f min（x）=．…．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则即，此时，e＜a＜．所以，a的取值范围为（e，）…..（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．1014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．由此能证明{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出a n=．（2）由（1）知=（n+1）•（）n，利用错位相减法能求出T n=3﹣．再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn可求得c n，对任意n∈N+，都有c n+1＞c n即c n+1﹣c n＞0恒成立，整理可得（﹣1）n﹣1•λ＜（）n﹣1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决．解答：（1）证明：在S n=﹣a n﹣+2（n∈N*）中，令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=，当n≥2时，S n﹣1=﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，∴2a n=a n﹣1+（）n﹣1，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．∵b n=2n a n，∴b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1，又b1=2a1=1，∴{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，∴a n=．（2）证明：∵，∴=（n+1）•（）n，∴T n=2×+3×（）2+…+（n+1）×（）n，①=2×（）2+3×（）3+…+（n+1）×（）n+1，②①﹣②，得：=1+=1+﹣（n+1）•（）n+1=，∴T n=3﹣．∴T n﹣=3﹣=，∴确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时，T n＞．①当n=3时，23＞2×3+1，成立②假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立，则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，∴当n=k+1时，也成立．于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立∴n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由，得=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，∴c n+1﹣c n=[3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n]=2•3n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n＞0，∴，①当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为λ＜，②依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为③，依题意，③式对k=1，2，3…都成立，∴，∴，又λ≠0，∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*有c n+1＞c n．点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（﹣4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由抛物线x2=4得焦点．设椭圆方程为．由题意可得，再利用及a2=b2+c2即可得出；（2）由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系．设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1）．直线BE的方程为．把y1，y2分别用x1，x2表示，在代入直线BE的方程即可得出；（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及判别式，再利用向量的数量积，即可得出其其中范围．当过点M的直线斜率不存在时，比较简单．解答：（1）解：由抛物线x2=4得焦点．设椭圆方程为．由题意可得，解得，∴椭圆的方程为．（2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），联立，消去y得到（4k2+3）x2+32k2x+64k2﹣12=0 ①设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1）．直线BE的方程为．令y=0，则，把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式并整理得．②由①得，，将其代入②并整理得．∴直线BE与x轴相交于定点M（﹣1，0）．（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，联立得（4m2+3）x2+8m2x+4m2﹣12=0，则△=（8m2）2﹣4（4m2+3）（4m2﹣12）=144（m2+1）＞0．∴，，∴=m2（x3x4+x3+x4+1）=﹣．∴=x3x4+y3y4==﹣．由m2≥0得．当过点M的直线斜率不存在时，直线ST的方程为x=﹣1，，，此时，，∴•的取值范围为．点评：本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、直线过定点问题、向量相等及其数量积等基础知识及基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．。

高三数学下学期第三次月考试题含解析试题

南开中学滨海生态城2021届高三数学下学期第三次月考试题〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题〔每一小题5分，一共45分〕1.集合{}35M x x =-<≤，{5N x x =<-或者}5x >，那么M N ⋃=〔〕 A. {5x x <-或者}3x >- B. {}55x x -<< C. {}35x x -<< D. {3x x <-或者}5x >【答案】A 【解析】【详解】由并集的定义可得{5M N x x ⋃=<-或者}3x >-. 应选A. 2.假设1tan 3θ= ，那么cos2θ=( ) A. 45-B. 15-C.15D.45【答案】D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++ 应选D.3.数列{}n a 满足：()*11,0,n n a a n N R λλλ+=-∈≠∈，假设数列{}1n a -是等比数列，那么λ的值是〔〕 A. 1 B. 2C.12D. 1-【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的定义，可知11211n n n n a a q a a λ+--==--，根据式子恒成立，可知对应项系数一样，从而求得结果.【详解】数列{}1n a -为等比数列 11211n n n n a a q a a λ+--⇒==--即：2n n a qa q λ-=-上式恒成立，可知：2qq λ=⎧⎨-=-⎩2λ⇒=此题正确选项：B【点睛】此题考察利用等比数列的定义求解参数问题，关键是可以通过对应项系数一样求解出结果. 4.偶函数()f x 在[0,2]上递增，那么1221(1),log ,log 4a f b f c f ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭大小为( ) A. c a b >> B. a c b >> C. b a c >>D. c b a >>【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合对数函数的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】()112211log 2log 242b f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 为偶函数，那么122211log log 2222c f f f f -⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在[]0,2上递增，1122<<，所以b a c >>. 应选：C【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性、单调性，考察对数函数的性质，属于根底题. 5.以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的选项是 A. 函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C. 点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D. 将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D【点睛】此题考察了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考察学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.6.圆22:(1)1C x y -+=的圆心到直线:0(0)l x y a a -+=>的间隔，那么a 的值是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的间隔公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】依题意0a >，圆的圆心为()1,0，到直线l 的间隔1a ===⇒=. 应选：B【点睛】本小题主要考察点到直线的间隔公式，考察根据圆的HY 方程求圆心，属于根底题.7.过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，假设B为线段FA 的中点，且OB FA ⊥〔O 为坐标原点〕，那么双曲线的离心率为〔〕C. 2【答案】C 【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为by x a=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥∴OA OF c ==，那么AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒∴tan 60ba=︒=，即223b a =.∴双曲线的离心率为22cae aa a==== 应选C.点睛：此题考察了椭圆和双曲线的定义和性质，考察了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．8.在平行四边形ABCD 中，2,4,60AD CD ABC ︒==∠=，,E F 分别是,BC CD 的中点，DE 与AF 交于H ，那么AH DE ⋅的值 A. 16 B. 12C.165D.125【答案】D 【解析】【分析】建立如下图的平面直角坐标系，求出1463,55H ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，从而可计算AH DE . 【详解】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图的直角坐标系，那么()0,0B ，(2,23A ，()2,0C ，(4,23D ，故(1,0)E ，(3F ，所以:343AF y x =+2323:33DE y x =-，由3432323y x y y x ⎧=+⎪⎨==-⎪⎩可得14635H ⎛ ⎝⎭，443,55AH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(3,23DE =--，故122412555AH DE =-+=，应选D. 【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：〔1〕利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；〔2〕利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；〔3〕利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；〔4〕靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或者边对应的向量．9.函数()||f x lnx =，20,01,()|42,1x g x x x <⎧=⎨--⎩假设关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解，那么m 的取值范围是( ) A. []0,ln2 B. (]2ln2,0-- C. ()2ln2,0--D. []0,2ln2+【答案】B 【解析】【分析】设()()h x f x m =+，那么()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到，分析函数()h x 与()g x 的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进展求解即可．【详解】设()()h x f x m =+，那么()h x 是()f x 的图象沿着1x =上下平移得到，当x=1时，h 〔1〕f =〔1〕1m ln m m +=+=，所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为〔1，m 〕, 当x=1时，g(1)=0,当x=2时，g 〔2〕2=-，所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为〔2，-2〕，当x=2时，h 〔2〕2ln m =+，所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为〔2，ln2+m 〕, 要使方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解，那么等价为()h x 与()g x 的图象有三个不同的交点，那么满足(1)(1)(2)(2)h g h g ⎧⎨>⎩，即022m m ln ⎧⎨+>-⎩得022m m ln ⎧⎨>--⎩，即220ln m --<，即实数m 的取值范围是(22ln --，0]，应选B ．【点睛】此题主要考察函数的图像和性质的综合应用，考察函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.二、填空题〔每一小题5分，一共30分〕 10.复数32i 1iz -=-，i 为虚数单位，那么2z =__________. 【答案】132【解析】【分析】利用复数的除法运算法那么：分子、分母同乘以分母的一共轭复数，化简复数z ，从而可得结果.【详解】()()()()32i 1i 32i 1i 1i 1i z -+-==--+ 5i2+=, 225113442z ∴=+=，故答案为132.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 11.曲线()32932f x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为_____________. 【答案】12 【解析】【分析】求出原函数的导函数，求得x=1时的导数值得答案．【详解】由题意可得：()2f'39x x x =+,∴()f'13912=+= ∴曲线()32932f x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为12，故答案为12【点睛】此题考察利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是根底题．12.二项式531x x（-）的展开式中常数项为__________．【答案】10-．【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第1r +项为5552326155(1)(1)r rr r rr rr TC xC x---+=-=-，令55026r -=，那么3r =，∴335(1)10A C =-=-．考点：二项式定理．13.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，假设该球的体积为，那么该正方体的外表积为 . 【答案】24 【解析】试题分析：设正方体的外接球的半径为R ,由：34433R ππ=，解得：3R ,设该正方体的边长为a ，根据223412a R ==解得2a =，所以正方体的外表积为：266424a =⨯=，所以答案为24. 考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的外表积和体积公式.14.首项与公比相等的等比数列{}n a 中，假设m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，那么21m n+的最小值为__________．【答案】1 【解析】【分析】将224m n a a a =写成等比数列根本量1a 和q的形式，由1a q =可得28m n +=；从而利用()2112128m n m n m n ⎛⎫+=⋅++ ⎪⎝⎭，根据根本不等式求得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，那么首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a qa q --⋅=那么：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>那么44n m m n +≥=〔当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号〕 ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 此题正确结果：1【点睛】此题考察根本不等式求解和的最小值的问题，关键是可以根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列根本量得到,m n 满足的等式，从而配凑出符合根本不等式的形式，利用根本不等式求得结果. 15.函数()f x 满足，(),0ln ,0kx k x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，其中0k ≥，假设函数()()1y f f x =+有4个零点，那么实数k 的取值范围是___.【答案】1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先作函数()f x 图象，结合图象确定()1f m =-的根的情况，再结合图象与根的情况确定函数()()1y f f x =+有4个零点所需满足的条件.【详解】先作函数()f x 图象，由图可得()1f m =-有两根，其中1211,=m m e<-，因此1()f x m =必有两根,因此要使函数()()1y ff x =+有4个零点，需2()f x m =有两根,即21k m k e≥∴≥，【点睛】此题考察函数图象与函数零点，考察根本分析求解才能，属中档题. 三、解答题16.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)假设AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【答案】〔1〕12；〔2〕1 【解析】试题分析：〔1〕借助题设条件运用三角形的面积公式求解；〔2〕借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析：〔1〕，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.〔2〕∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，2DC =∴2BD =．设AC x =，那么2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 22x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅， ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，∴223342222x x --=-，解得1x =，即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．17.如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．〔1〕证明：直线//CE 平面PAB ；〔2〕点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕105【解析】【详解】试题分析：〔1〕取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；〔2〕建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-，()0,0,1n =，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --10 试题解析：〔1〕取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ,12EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=︒得//BC AD ，又12BC AD = 所以．四边形BCEF 为平行四边形， //CE BF ．又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故//CE PAB 平面〔2〕由得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如下图的空间直角坐标系A-xyz,那么那么()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，(013P ，，， (103PC =-，，,()100AB ，，=那么()(1,13BM x y z PM x y z =-=-，，，，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，是底面ABCD 的法向量，所以 0,cos sin45BM n =()222z 221x y z =-++即〔x-1〕²+y²-z²=0又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则x ,1,33y z λλ=== 由①，②得()22x=1+x=1-22y=1y=166z z ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩舍去，所以M 1-,1⎛ ⎝⎭，从而AM 1-,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设()000x ,y ,z m =是平面ABM 的法向量，那么(0000x 2y 0·AM 0·AB 0x 0m m ⎧+=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即所以可取(0,2)m =.于是·10,5m ncos m n mn == 因此二面角M-AB-D 的余弦值为5点睛:〔1〕求解此题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进展向量运算，要认真细心、准确计算．〔2〕设m ，n 分别为平面α，β的法向量，那么二面角θ与<m ，n >互补或者相等，故有|cos θ|＝|cos<m ，n >|=·m n m n ．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．18.椭圆2222+=1(>>0)x y a b a b经过点(2,3P -离心率=3e 〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕经过椭圆左焦点F 的直线(不经过点P 且不与x 轴重合)与椭圆交于A B 、两点，与直线l :3x =-交于点M ，记直线,,PA PB PM 的斜率分别为1233,,0k k k k ≠（）.那么是否存在常数λ，使得向量m =123(,),(,1)k k n k λ+=一共线？假设存在求出λ的值；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕22162x y +=；〔2〕2. 【解析】【分析】〔1〕根据椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点P ⎛- ⎝⎭，离心率e =，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；〔2〕直线AB 的方程为()2y k x =+，代入椭圆方程整理得()222231121260k x k x k +++-=，求得M 的坐标为()3,k --，求出()1212121242324x x k k k x x x x +++=-+++ ,利用韦达定理化简可得1232k k k +=，从而可得结果. 【详解】〔1〕由2,3P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，∴224213a b +=.①由e得3c a =，∴2223c a = 又222c a b =-，∴223a b .② ②代入①解得226,2a b ==.∴椭圆C 的方程为22162x y +=. 〔2〕假设存在常数λ，使得向量()()123,,,1m k k n k λ=+=一共线，∴()12310k k k λ+⨯-⨯=，即123k k k λ+=.由题意可设AB 的斜率为k ，那么直线AB 的方程为()2y k x =+，③代入椭圆方程22360x y +-=并整理，得()222231121260k x k x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，那么有21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+.④ 在方程③中令3x =-得，M 的坐标为()3,k --.从而11132y k x -=+，22232y k x -=+，331k k k --==+-∴()()12121212112233332222y y k x k x k k x x x x +++=+=+++++()1212124224x x k x x x x ++=+++ , ⑤④代入⑤得22122222124312221262433343131k k k k k k k k k k k -+⎛⎫++=-=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭-+++，又30k k =≠，∴1232k k k +=. 故存在常数2λ=符合题意.【点睛】此题主要考察待定系数法求椭圆的HY 方程、直线与椭圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，假设结论正确那么存在，假设结论不正确那么不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.19.单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a 与4a 的等差中项.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设12log n n n b a a =，1n n i i S b ==∑.求n S 及使12500n n S n ++⋅->成立的最小正整数n 的值. 【答案】〔1〕2n n a =〔2〕见解析【解析】试题分析： 1? \*?GB2?=⑴由条件利用等差数列的性质和等比数列的通项公式求出等比数列的首项和公比，由此能求出数列{}n a 的通项公式；⑵求出n b 和n S 的表达式，对题目中的不等式进展变形即可解答；解析：〔1〕设此等比数列首项为1a ，公比为q ，其中10a ≠，0q ≠，由题意知：2311128a q a q a q ++=，()3211122a q a q a q +=+，得3211161560a q a q a q -+=，即225202q q q -+=⇒=，12q =， ∵等比数列{}n a 单调递增，∴12a =，22n n q a =⇒=.〔2〕①2n n b n =-⋅，∴123n n S b b b b =++++= ()231222322n n -⨯+⨯+⨯++⋅，设231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，那么234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅，得231121212122n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ()1122n n +=---，∴()1122n n S n +=---，②要使12500n n S n ++⋅->成立，即()111222500n n n n ++---+⋅->，即226n >，∵421626><，523226>>，且2x y =是单调递增函数，∴满足条件的n 的最小值为5.20.设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕当1a =时，试判断()f x 零点的个数；〔Ⅲ〕当1a =时，假设对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<〔Z k ∈〕成立，求k 的最大值. 【答案】〔1〕当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；〔2〕两个；〔3〕0. 【解析】【分析】〔1〕求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；〔2〕当1a =时，由〔1〕可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数，由()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<，利用零点存在定理可得结果；〔3〕当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，利用导数求出13ln ln 4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围，从而可得结果.【详解】〔1〕()()2ln 0f x ax x x =-->，∴()11'ax f x a x x -=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数.当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数. 综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 〔2〕当1a =时，由〔1〕可知，()f x 在()0,1是单减函数，在()1,+∞是单增函数；又22110f e e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110f =-<，()2240f e e =->. ∴()2110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，()()210f f e ⋅<；故()f x 在()0,∞+有两个零点.〔3〕当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭. 令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈；又()()2222131ln 2ln '0f x x x x F x x x x x x---=-+===，由〔2〕知，()'0F x =在()1,+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在()01,x 上单减，在()0,x +∞上单增；∴()()()000min 00ln 3ln *x F x F x x x x ==++ 又()1ln3'309F -=<，()()21ln22ln4'401616F --==>， ∴()()'3'40F F ⋅<，∴()03,4x ∈且002ln 0x x --=，即00ln 2x x =-代入()*式，得()()()00000min 00023121,3,4x F x F x x x x x x x -==-++=+-∈. 而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 而()713,0,11216⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭，∴()()min 10,14F x ∈， 0,k ∴≤即所求k 的最大值为0.【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考察力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本局部的要求一定有三个层次：第一层次主要考察求导公式，求导法那么与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考察，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

《精编》天津市高三数学第三次月考试题理新人教A版(1).doc

天津耀华中学2021届高三年级第三次月考理科数学试卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟。

第一卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题的4个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 复数=++-ii i 111 A. i - B.C. i -1D. i +12. 条件甲：⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ；条件乙：⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么甲是乙的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，那么y x z +=A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值4. 某程序框图如以下列图，该程序运行后输出的k 的值是A. 4B. 5C. 6D. 75. 等比数列{a n }的首项为1，假设4a 1，2a 2，a 3成等差数列，那么数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.1631B. 2C.1633 D.3316 6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，那么ϕ的最小正值为 A. 8π B. 83π C. 43π D. 2π7. 设F 是抛物线)0(2:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线与双曲线22222:by a x C -=1)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且x AF ⊥轴，那么双曲线的离心率为A. 2B. 3C.25D. 58. 假设直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，那么称点对[P,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对〞〔注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对〞〕。

天津市南开中学2024届高三上学期第三次月考数学试题

n Î N*
，数列{an} 的前 n 项积为Tn ．若任意的 n Î N*,Tn < l 恒成立，则
整数 l 的最小值为
．
试卷第41 页，共33 页
三、解答题 16．在 VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 VABC 的面积为 3 15 ，
b
-
c
=
2,
cosA
=
-
1 4
，
éêê-
3 2
ù úú
=
-1 ．令
S = 3 81 + 3 82 + 3 83 + ××× + 3 125 ，求 éêS ùú 的值．
4
4
4
4
（参考数据：803 » 344.7 ，813 » 350.5 ，1243 » 618.3 ，1263 » 631.7 ．）
试卷第81 页，共33 页
1．D
A． 1 9
B． 1 3
C． 6 6
D． 2 3
8．已知正项等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 S8 - 2S4 = 6 ，则 a9 + a10 + a11 + a12 的最
小值为（）
A．10
B．14
C． 20
D． 24
9．已知函数 f ( x) = cos4x + 2sinxcosx - sin4x ，有下列命题：
试卷第21 页，共33 页
①
x
=
5π 8
为函数
f
(
x)
图象的一条对称轴
②将 f ( x) 的图象向左平移 π 个单位，得到函数 g ( x) 的图象，若 g ( x) 在[0,t] 上的最大

天津市南开中学2021届高三数学上学期第三次月考试题含解析

天津市南开中学2021届高三数学上学期第三次月考试题（含解析）一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{|||2}A x x =<，集合{|31}B x x =-≤≤，则A B =（）A. {1,0,1}-B. (2,1]-C. [3,1]-D. [3,2]-————B 分析：根据已知条件，直接求集合的交集即可.解答：因为{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，{|31}B x x =-≤≤， (2,1]AB -∴=，故选：B ．2. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（） A. y ＝12x B. y ＝2x - C. y ＝12log xD. y ＝1x————A 分析：画出每个函数图象，即得解.解答：y ＝12x ＝x ，y ＝2x -＝1()2x ，y ＝12log x ，y ＝1x，它们的图象如图所示:由图象知，只有y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增．故选：A.点拨：本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3. 函数sin 31cos xy x=+，(,)x ππ∈-图象大致为（）A. B. C. D.————D 分析：根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.解答：()()()sin 3sin 3,1cos 1cos x xf x f x f x x x=-=-=-++，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A 选项.由πsinπ20π631cos 16f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭++排除B 选项.由5πsin5π205π631cos16f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭+-，排除C 选项，故本小题选D.点拨：本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题. 4. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的前5项之和为（） A. 23- B. 25-C. 43-D. 45-————D 分析：首先根据题意得到2326()a a a =，解得6d =-，再计算5S 即可. 解答：根据题意，2a ，3a ，6a 成等比数列，即2326()a a a =，则有2(32)(3)(35)d d d +=++，解可得6d =-或0d =（舍)，则{}n a 的前5项之和51545(6)452S a ⨯=+⨯-=-. 故选：D点拨：本题主要考查等差数列的前n 项和，同时考查了等比中项，属于简单题. 5. 设3log 52a =，5log 23b =，2log 35c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<————B 分析：分别判断31log 52<<，21log 32<<和51log 22<，再代入计算，可得b a c <<. 解答：因为31log 52<<，所以3log 512222a <=<；又因为21log 32<<，所以2log 312555c <=<；又551log 2log 2<=51log 2233b =<=b a c <<. 故选：B.点拨：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确；当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．6. 椭圆221162x y m m +=--的焦距为4，则m 的值为（）A. 1B. 7C. 1或17D. 7或11————D 分析：对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值.解答：在椭圆221162x y m m +=--中，由已知可得24c =，解得2c =.若椭圆的焦点在x 轴上，可得()()2160201624m m m m c ⎧->⎪->⎨⎪---==⎩，解得7m =；若椭圆的焦点在y 轴上，可得()()2160202164m m m m c ⎧->⎪->⎨⎪---==⎩，解得11m =.因此，7m =或11. 故选：D.7. 以下命题正确的是（）A. 命题“任意0x >，sin x x >”的否定为“存在0x ≤，sin x x ≤”B. 设等比数列的前n 项和为n S ，则“10n n S S +<”是“公比0q <”的充要条件C. 若对于任意实数λ，有λ≠a b ，则向量a ，b 不共线D. “直线30kx y ++=与2(1)60x k y +++=平行”是直线(1)230k x y -++=与(1)60kx k y +-+=垂直”充分非必要条件————D 分析：根据全称命题的否定为特称命题判断A 选项；举反例判断B 选项；若对于任意实数λ，非零向量,a b 满足λ≠a b ，则向量a ，b 不共线，C 错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k 的值，然后判断两命题之间的关系.解答：命题“任意0x >，sin x x >”的否定为“存在0x >，sin x x ≤”，A 错误；()211n n n n S S S q +=+，当10q =-<，n 为奇数时有10n n S S +=，B 错误；若0a ≠，b 为零向量，对于任意实数λ，有λ≠a b ，但,a b 共线，C 错误；两直线平行则()12k k +=，解得2k =-或1，当1k =时两直线重合不满足条件，所以2k =-；由两直线垂直可得()()1210k k k -+-=，解得2k =-或1. 所以“直线30kx y ++=与2(1)60x k y +++=平行”是直线(1)230k x y -++=与(1)60kx k y +-+=垂直”的充分非必要条件，D 正确.故选：D8. 已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②点,03π⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心； ③把函数sin y x =的图像上所有点向左平移6π个单位长度，得到函数()y f x =的图像. 其中所有正确结论的序号是（） A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③————B 分析：本题首先可通过周期计算公式得出①正确，然后求出曲线()y f x =的对称中心即可判断出②错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出③正确. 解答：①：函数()cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期221T ππ==，①正确； ②：πππ32xk ，即5ππ6x k k Z ，则曲线()y f x =的对称中心为5ππ,06k k Z ，点,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是曲线()y f x =的对称中心，②错误；③：函数sin y x =的图像上所有点向左平移6π个单位长度，得到函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，因为sin sin cos 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以③正确，故选：B.点拨：关键点点睛：本题考查三角函数的周期性、对称性、图像变换以及诱导公式的应用，函数sin y x =向左平移ϕ个单位，得到()sin y x ϕ=+，然后横坐标缩小ω倍，得到()()sin sin y x x ωϕωωϕ=+=+⎡⎤⎣⎦，再然后向上平移B 个单位，可以得到sin ωωφy x B ，考查推理能力，是中档题.9. 已知函数3()()f x x a a a R x=--+∈，若方程()2f x =有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A. (1B. (1,1(1)-⋃+∞C. (,1-∞D. (,1(1-∞⋃————D 分析：先将()2f x =有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.解答：由()2f x =得32x a a x --+=，即32x a a x-+=+，设()h x x a a =-+，()3g x 2x=+,()h x x a a =-+的顶点()a,a 在直线y x =上，而y x =与()h x 的交点坐标为()2,2,()1,1--,联立232y x a y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩,可得()2x 2230a x +-+=,由()222120a =-==，得a 1=结合函数()h x x a a =-+，()3g x 2x=+的图像可得，要使()2f x =有且只有三个不同的实数根，只需((),11a ∈-∞⋃+. 故选D.点拨：本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. i 是虚数单位，纯虚数z 满足(1i)2i z m -=+，则实数m 的值为________. ————2 分析：利用复数的除法运算将复数z 整理为a bi +的形式，再根据z 为纯虚数则实部为零求解m . 解答：()()()()()2i 122i 21i 1122m i m im m z i i ++++-===+--+ z 为纯虚数，202m -∴=，，解得2m =. 故答案为：211. 在622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是________. ————60 分析：由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令630r -=，运算即可得解.解答：二项式622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为666136222r r r rr rr T C x C x x +--⎛⎫== ⎪⎝⎭，令630r -=，解得2r，所以222x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为2262=60C .故答案为：6012. 已知点(2,2)P -和圆C ：22(1)(2)16x y ++-=，则P 在圆C ________(填内､外或上)，以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为________________.———— (1). 外 (2). 22(2)(2)81x y -++= 分析：根据点P 距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径.解答：PC =，∴P 在圆C 外，设以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为222(2)(2),0x y r r -++=>，4PC r +=即49r ==，∴以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为22(2)(2)81x y -++=.故答案为：外；22(2)(2)81x y -++= 13. 已知向量a 和b 的夹角为60︒，13(,22a =，()2a ab ⋅+=，则a b +的值为________.分析：由已知求得1a =，又由()2+2a a b b a a ⋅⋅=+=，求得1a b ⋅=， 2b =，从而利用222+a b a a b b ⋅+=+，代入可求得答案．解答：因为13(,22a =，所以2112a ⎛⎫== ⎪，又()2+2a a b b a a ⋅⋅=+=，所以1a b ⋅=，又向量a 和b 的夹角为60︒，所以1cos 601b ⨯⨯=，得2b =，所以2221+2+a a b ba b +=+=⋅=14. 已知0a >，0b >，且22a b +=，则2121a b +++的最小值为________. ————43分析：利用换元法，设2x a =+，1y b =+，所以26x y +=，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．解答：设22x a =+>，11y b =+>，所以26x y +=．故212121a b x y+=+++ ()()1211414244246663yx x y x y x y ⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当33,2x y ==时取等号，即11,2a b ==时取等号．故答案为：43．点拨：本题解题关键是通过换元法设2x a =+，1y b =+，转化为常见基本不等式模型，在26x y +=的条件下求21x y+的最小值，从而顺利求解．15. 已知a ∈R .设函数1,11,()ln , 1.a ax x f x x a x x +--≤≤⎧=⎨->⎩若关于x 的不等式(())0f f x ≥恒成立，则a 的取值范围为________. ————22a e -≤≤ 分析：欲利用()f x 单调性求()f x 值域，确定将0a =，0a >，0a <分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合(())0f f x ≥恒成立的a 的取值范围. 解答：（1）当0a =时，1,11(),1x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，()f x 的值域为[)1,+∞，则(())0f f x ≥恒成立，故0a =成立（2）当0a >时，1,11()ln ,1a ax x f x x a x x +--≤≤⎧=⎨->⎩当11x -≤≤，()1f x ax a =-++单调递减，故此时[]()1,21f x a ∈+. 当1x >时，()1a x a f x x x-'=-=，当x a >时，()f x 单调递增；当1x a <<时，()f x 单调递减①当01a <≤时，()f x 在1,上单调递增.此时()f x 的值域为[)1,+∞，(())0f f x ≥恒成立 ②当1a >时，()f x 在x a =时，()f x 取得最小值()min ()()ln 1ln f x f a a a a a a ==-=-当1a e <≤时，()0f a ≥，则(())0f f x ≥恒成立当a e >时，()0f a <.此时若()1f x ax a a =-++=即1x a=时，(())0f f x <，此时不符合题意故0a e ≤≤，(())0f f x ≥恒成立，（3）当0a <时，11x -≤≤时，()f x 为单调递增的一次函数，[]()12,1f x a ∈+.1≥x 时()10a x a f x x x-'=-=> ()f x 在[)1,-+∞上为增函数，值域为[)12,a ++∞ (())f f x 要有意义，则121a +≥-此时1a ≥-，()22min (())2112120f f x f a a a a a =+=+--=-≥.∴22a -≤≤,故02a -≤≤因此0a ≤≤，(())0f f x ≥恒成立综上所述，a e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案：2a e -≤≤ 点拨：（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.三､解答题：本大题共5个小题，共75分.16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a =5b =，c =（1）求角C 的大小；（2）求sin A 的值；（3）求sin(2)6A π+的值.————（1）30︒；（2；（3）1314.分析：（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用正弦定理求解即可.（3）首先计算cosA =，从而得到sin2A =，1cos27A =，再计算sin(2)6A π+的值即可.解答：（1）由余弦定理，得222cos2a b c C ab +-===，又因为0180C <<，所以30C =︒. （2）由（1），有1sin 2C =，由正弦定理，得1sin 212sin 2377c A a c =⋅=⋅=. （3）解：由a b <，知A 为锐角，故232cos 1sin 177A A =-=-=，进而3243sin22sin cos 2777A A A ==⋅⋅=，241cos22cos 12177A A =-=⋅-=，所以4331113sin 2sin2cos cos2sin 666727214A A A πππ⎛⎫+=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭. 17. 如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，2SA AD CD ===，1AB =.（1）设点M 为棱SD 的中点，求证：//AM 平面SBC ；（2）求异面直线SD 和BC 所成角的余弦值；（3）棱SB 上是否存在点N ，使得平面ANC ⊥平面SBC ？若存在，求出AN 的长；若不存在，说明理由.————（1）证明见解析；（2）105；（3）存在，AN 2107 分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明//BP AM 从而证明线面平行；（2）求出向量SD 、BC 的坐标，代入cos ,SD BC SD BC SD BC⋅=⋅即可求解；（3）设SN SB λ=，用λ表示出点N 的坐标，求出平面SBC 、平面ANC 的法向量，由题意知m n ⊥则0m n ⋅=，即可带入坐标求得λ从而求得AN .解答：（1）证明：以点A 为坐标原点，向量AB ，AD ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)S ，(0,1,1)M . 设点P 为SC 中点，则有(1,1,1)P ，(0,1,1)BP AM ==，//BP AM ∴，又因为BP ⊄平面SBC ，AM ⊄平面SBC ，所以//AM 平面SBC . （2）由(0,2,2)SD =-，(1,2,0)BC =，得22222210cos ,02(2)120SD BC SD BC SD BC⋅===⋅++-⨯++所以，异面直线SD 和BC 10（3）由（1）中知，(1,0,2)SB =- 设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =，有n SB n BC⎧⊥⎨⊥⎩，进而2020x z x y -=⎧⎨+=⎩，不妨设1z =，得(2,1,1)n =-，易知()()0,0,2,0,2,0AS AD ==分别为平面ABCD 、平面ABS 的法向量，2AS n ⋅=，∴平面ABCD 与平面SBC 不垂直，2AD n ⋅=-，∴平面ABS 与平面SBC 不垂直，所以点N 不在棱SB 的端点处，依题意，设SN SB λ=，(01λ<<)，可得(,0,22)N λλ-. 设平面ANC 的法向量为(,,)m x y z =，有m AN m AC ⎧⊥⎨⊥⎩，进而(22)0220x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，不妨设1x =，得(1,1,)22m λλ=--. 由题意知，m n ⊥，则12(1)(1)1022m n λλ⋅=⨯+-⨯-+⨯=-，解得67λ=.此时，2||AN AN ⎛=== 18. 设数列{}n a 是公比为正整数的等比数列，满足1310a a +=，2238a a -=.设数列{}n b 满足11b =，113n n n b b b +-=+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求{}n b 的通项公式；（3）记1n n n a b c n =-，2n ≥.求证：1224n nk k c n +==-∑.————（1）2nn a =；（2）证明见解析，21n b n=-；（3）证明见解析. 分析：（1）由1310a a +=，2238a a -=解得首项和公比可得答案；（2）由13211111222n n n n b b b b ++--==+++，可得1112n b =+进而求得答案；（3）12222(1)1n n nn n c n n n n+-=⋅=---，用裂项相消可得证明.解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，有2112221110,8,a a q a q a q ⎧+=⎨-=⎩解得12,2,a q =⎧⎨=⎩所以2nn a =. （2）证明： 1332111111111122122213n n n n n nn n n n b b b b b b b b b b +++--=-=-==-++++++++，又因为11112b =+，所以数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，其通项公式为1112n b =+，进而，21n b n=-. （3）由（1）、（2）知2nn a =，21n b n=-，所以 12222(1)1n n n n n c n n n n +-=⋅=---，所以23341122222222412231n n n nk k c n n n++==-+-++-=--∑. 点拨：方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =P 在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A，点B 在椭圆位于x 轴上方的部分，直线AB 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，满足EF DF ⊥，直线AE 与椭圆C 交于点G .若ABG 的面积为AB 的方程.————（1）22142x y +=；（2）20x +-=. 分析：（1）由离心率及过的点和,,a b c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）由（1）得,A F 的坐标，设直线AB 的方程，与椭圆联立得B 的坐标，由题意得点D 的坐标，再由题意得G 的坐标，表示出面积，求得k 的值，得到直线AB 的方程.解答：（1）由已知，有222222211c e a a b c a b⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）由（1）知，)F，(2,0)A .设直线AB 的方程为(2)y k x =-(0k <)，其与椭圆C 的交点(,)B B B x y 满足方程组221,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得到2222(12)8840k x k x k +-+-=，解得224221B k x k -=+.在直线AB 的方程中，令0x =，解得2y k =-，即得(0,2)D k -. 设()0,E E x ，由题意，有())2,220E E EF DF x k kx ⋅=-⋅=-=，解得1E x k=. 进而得到直线AE 的方程为12xky +=，其与椭圆C 的交点(,)G G G x y 满足方程组221,421,2x y x ky ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得到22(21)40k y ky +-=，解得2421G k y k=+，进而222421G k x k -=+. 由上述过程可得，|||B A AB x x =-=点G 到直线AB=.因此，12ABGS ==△化简得2210k ++=，解得k =，所以直线AB的方程为20x -=.点拨：思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题意，结合椭圆的性质，结合,,a b c 之间的关系求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立消元，根据题中所给的条件，建立相应的等量关系，求得结果.20. 已知函数()ln 1f x ax x =++，()e x g x x =. （1）若1a =-，求函数()f x 的最大值；（2）若0a =，（i ）求过原点且与曲线()()=-y g x f x 相切的直线方程；（ii ）设1x ，2x 为方程()()g x f x t -=(t ∈R )的解，求证：12||x x t -<. ————（1）0；（2）（i ）y x =；（ii ）证明见解析. 分析：（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-++，求导11()1xf x x x-'=-+=.分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求函数()f x 的最大值.（2）（i ）记()()()e ln 1x h x g x f x x x =-=--.设切点00(,())P x h x ，求得过点P 处的切线方程为000()()()y h x x x h x ='-+.由已知解得0200e ln xx x =-，代入可得其切线方程；（ii ）构造函数()()H x h x x =-，求导1()(1)e 1xH x x x'=+--，令1()(1)e 1x G x x x =+--，求导'21()(2)e x G x x x=++得'()0G x >，可得()H x '单调递增.又由0()0H x '=，得出()H x 单调性，从而可得证.解答：解：（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-++，11()1xf x x x-'=-+=. 当01x <<时，有()0f x '>，则()f x 单调递增；当1x >时，有()0f x '<，则()f x 单调递减.因此，存在极大值(1)0f =，也即函数的最大值，所以函数()f x 的最大值为0.（2）（i ）记()()()e ln 1x h x g x f x x x =-=--.取曲线()y h x =上一点00(,())P x h x ，则P 处的切线方程为000()()()y h x x x h x ='-+.由题意，有0000()()()h x x h x ='-+，即0200e ln xx x =-，变形后得到方程01ln 0000ln 1e ln e x x x x x x =-=⋅.记函数e (0)x y x x =>，由(1)e 0x y x '=+>，知e (0)x y x x =>为增函数，故001ln x x =.将其代入切线方程，故所求切线方程y x =.（ii ）构造函数()()H x h x x =-，则1()(1)e 1xH x x x'=+--，令1()(1)e 1xG x x x =+--，则'21()(2)e x G x x x=++.有'()0G x >，故()H x '单调递增.又0()0H x '=，因此当00x x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减；当0x x >时，()0H x '>，()H x 单调递增.所以，0()()0H x H x ≥=.由题意，12()()h x h x t ==.不妨设12x x <，由前述知，2()0H x ≥，即22()x h x t ≤=.所以12||0x x t t -<-=.点拨：方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。

《精编》天津市高三数学第三次月考试题理(含解析)新人教A版.doc

天津耀华中学2021届高三年级第三次月考理科数学试卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟.第一卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题的4个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1. 复数=++-ii i 111 A. i -B.C. i -1D. i +1【答案】D 【解析】2211(1)1221(1)(1)12ii i i i i i i i i i i ++-++-++====+-+-,选D. 2. 条件甲：⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ；条件乙：⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么甲是乙的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】当⎩⎨⎧<<<<3210y x 能得到⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ，但当⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 时，不妨取21x y ==，满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ，但⎩⎨⎧<<<<3210y x 不满足，所以甲是乙的必要而不充分条件选C.3. 设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，那么y x z +=A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】由y x z +=得y x z =-+.做出不等式对应的平面区域阴影局部，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点C (2,0)时，直线的截距最小，此时z 最小，为202z x y =+=+=，无最大值，选B.4. 某程序框图如以下列图，该程序运行后输出的k 的值是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】第一次循环为00,021,1S S k ==+==;第二次循环为11,123,2S S k ==+==;第三次循环为33,3211,3S S k ==+==;第四次循环为1111,112100,4S S k ==+>=;第五次循环，不满足条件，输出4k =.选A.5. 等比数列{a n }的首项为1，假设1234,2,a a a 成等差数列，那么数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为 A.1631B. 2C.1633 D.3316 【答案】A【解析】因为1234,2,a a a 成等差数列，所以13244a a a +=，即211144a a q a q +=，所以2440q q -+=，即2(2)02q q -==，，所以1112n n n a a q --==，所以111()2n n a -=，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和55511(1())13122[1()]121612S -==-=-，选A. 6. 将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，那么ϕ的最小正值为 A.8πB.83π C.43π D.2π【答案】B【解析】函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位得到2sin[2()]2sin(22)44y x x ππϕϕ=-+=+-，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍得到2sin(42)4y x πϕ=+-，此时关于直线4π=x 对，即当4π=x 时，4242,4442x k k Zππππϕϕπ+-=⨯+-=+∈，所以324k πϕπ=+，3,82k k Z ππϕ=+∈，所以当0k =时，ϕ的最小正值为38πϕ=，选B. 7. 设F 是抛物线)0(2:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线与双曲线22222:by a x C -=1)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且x AF ⊥轴，那么双曲线的离心率为A. 2B. 3C.25D. 5【答案】D【解析】由题意知(,0)2p F ，不妨取双曲线的渐近线为b y x a =，由22b y x a y px⎧=⎪⎨⎪=⎩得222pa x b =.因为x AF ⊥，所以2A p x =，即2222pa p x b ==，解得224b a =，即22224b a c a ==-，所以225c a =，即25e =，所以离心率e = D.8. 假设直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，那么称点对[P,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对〞〔注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对〞〕.函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，那么此函数的“友好点对〞有A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对【答案】C【解析】解：根据题意：当0x >时，0x -<，那么22()()4()4f x x x x x -=---=-+, 假设P 、Q 关于原点对称，可知，函数为奇函数，可有2()4()f x x x f x -=-+=-，即2()4,(0)f x x x x =->，那么函数24,(0)y x x x =--≤的图象关于原点对称的函数是2()4,(0)f x x x x =->,由题意知，作出函数2()4,(0)f x x x x =->的图象，看它与函数2()log ,(0)f x x x =>交点个数即可得到友好点对的个数．由图象可知它们的图象交点个数为2个，所以此函数的“友好点对〞有2对，选C.第二卷〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，那么该样本中的老年职工人数为_______；【答案】18【解析】由题意知，中年职工和老年职工共有270人，那么老年职工人数为90人.那么抽出老年职工人数为x ，那么3290160x =，解得18x =. 10. 一个几何体的三视图如以下列图，那么该几何体的体积为____________；【答案】80【解析】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高3，正方体棱长为4,所以正方体的体积为3464=.四棱锥的体积为1443163⨯⨯⨯=，所以该组合体的体积之和为641680+=.11. 假设⊙5:221=+y x O 与⊙)(20)(:222R m y m x O ∈=+-相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，那么线段AB 的长度是____________________；【答案】4【解析】由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5<<m ，又21AO A O ⊥，所以有525)52()5(222±=⇒=+=m m ，所以452052=⋅⋅=AB . 12. 函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的最大值为________________；【答案】215-【解析】函数的导数为2'()32f x x bx c =++，因为函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，所以2'()320f x x bx c =++≤在[1,2]-上横成立.那么有'(1)0'(2)0f f -≤⎧⎨≤⎩，即3201240b c b c -+≤⎧⎨++≤⎩，设z b c =+，那么c b z =-+.做出不等式对应的平面区域BCD,如图，平移直线c b z =-+，由图象平移可知当直线c b z =-+经过点B 时，直线c b z =-+的截距最大，此时z 最大.由3201240b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得326b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即3(,6)2B --，代入z b c =+得315(6)22z =-+-=-，即b c +的最大值为215-. 13. 如以下列图，在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥，垂足为P ，且3=AP ，那么AC AP ⋅=_______；【答案】18 【解析】设ACBD O =，那么2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.14. 设{a n }是等比数列，公比2=q ，S n 为{a n }的前n 项和.记1217+-=n nn n a S S T ，*N n ∈，设0n T 为数列{T n }的最大项，那么n 0=__________；【答案】4【解析】设首项为1a，那么n S =，2n S =11n n a a +=，所以1217+-=n nn n a S ST 2n n =2(2)17((n n -=[(2)17](n =+-，因为8n≥=，当且仅当n =，即4n=，4n =时取等号，此时[(2)17](817)(n n T =+-≤-=有最大值，所以04n =.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 〔本小题总分值13分〕函数)(1cos 2)62sin()(2R x x x x f ∈-+-=π〔1〕求)(x f 的单调递增区间；〔2〕在△ABC 中，三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，21)(=A f ，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值.16. 〔本小题总分值13分〕甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51. 〔1〕求甲获第一名且丙获第二名的概率；〔2〕设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.17. 〔本小题总分值13分〕在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，︒90=ABC ∠，AB=PB=PC=BC=2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD.〔1〕求证：AB ⊥平面PBC ；〔2〕求平面ADP 与平面BCP 所成的锐二面角的大小；〔3〕在棱PB 上是否存在点M 使得CM//平面PAD ？假设存在，求PBPM的值；假设不存在，请说明理由.18. 〔本小题总分值13分〕如图F 1、F 2为椭圆1:2222=+by a x C 的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率23=e ，2312-=∆DEF S .假设点),(00y x M 在椭圆C 上，那么点),(0by a x N 称为点M 的一个“椭点〞，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B 两点的“椭点〞分别为P 、Q.〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕问是否存在过左焦点F 1的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？假设存在，求出该直线的方程；假设不存在，请说明理由.19. 〔本小题总分值14分〕函数x x ppx x f ln )(--=，)21(ln )(22p e e x p x x g -+-=…. 〔1〕假设p=0，求证：x x f -≥1)(；〔2〕假设)(x f 在其定义域内是单调函数，求p 的取值范围；〔3〕对于在区间〔1,2〕中的任意常数p ，是否存在00>x 使得)()(00x g x f ≤成立？假设存在，求出符合条件的一个x 0；假设不存在，请说明理由.20. 〔本小题总分值14分〕数列{a n }的前n 项和)(2)21(*1N n a S n n n ∈+--=-，数列{b n }满足n n n a b 2=.〔1〕求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；〔2〕设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n 1的前n 项和为T n ，证明：*N n ∈且3≥n 时，125+>n n T n ；〔3〕设数列{c n }满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-〔λ为非零常数，*N n ∈〕，问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.数学开展性试题〔理科〕：〔15分〕1. 假设0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，那么c b a ++2的最小值为〔〕A. 13-B. 13+C. 232+D. 232-2. 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i ⋯〔n 是不小于3的正整数〕，假设对任意的p ，},,3,2,1{n q ⋯∈，当q p <时有q p i i >，那么称q p i i ,是该数组的一个“逆序〞.一个数组中所有“逆序〞的个数称为该数组的“逆序数〞，如数组〔2,3,1〕的逆序数等于2.假设数组),,,,(321n i i i i ⋯的逆序数为n ，那么数组),,,(11i i i n n ⋯-的逆序数为_________；3. 定义在)1,1(-上的函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1)()(，当)0,1(-∈x 时0)(>x f .假设)0(,21,11151f R f Q f f P =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=，那么P,Q,R 的大小关系为_____________.【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBA ABDC二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 9. 18 10. 8011. 4 12. 215-13. 18 14. 4三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15. 解：〔1〕x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π)62sin(2cos 212sin 23π+=+=x x x 令)(226222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ )(x f 的单调递增区间为)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ〔2〕由21)(=A f ，得21)62sin(=+πA ∵62626ππππ+<+<A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A 由b,a,c 成等差数列得2a=b+c∵9=⋅AC AB ，∴9cos =A bc ，∴18=bc由余弦定理，得bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+= ∴183422⨯-=a a ，∴23=a16. 解：〔1〕甲获第一，那么甲胜乙且甲胜丙，所以甲获第一的概率为614132=⨯ 丙获第二，那么丙胜乙，其概率为54511=-，所以甲获第一名且丙获第二名的概率为1525461=⨯ 〔2〕ξ可能取的值为0,3,6.41)411)(321()0(=--==ξP127)321(41)411(32)3(=-+-==ξP 614132)6(=⨯==ξP 所以ξ的分布列为ξ0 3 6P41 127 61 E ξ=4116161273410=⨯+⨯+⨯17. 解：〔1〕证明：因为o 90=∠ABC ，所以AB ⊥BC因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PBC. 〔2〕如图，取BC 的中点O ，连接PO ，因为PB=PC ，所以PO ⊥BC.因为PB=PC ，所以PO ⊥BC ，因为平面PBC ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O －xyz.不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD 得，)0,2,1(),0,1,1(),3,0,0(A D P -.所以)0,1,2(),3,1,1(=-=DA DP ，设平面PAD 的法向量为),,(z y x m =.因为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DA m DP m ，所以⎩⎨⎧=+=+-0203y x z y x令1-=x ，那么3,2==z y .所以)3,2,1(-=m .取平面BCP 的一个法向量)0,1,0(=n ，所以22||||,cos =⋅>=<n m n m n m 所以平面ADP 与平面BCP 所成的锐二面角的大小为4π 〔3〕在棱PB 上存在点M 使得CM//平面PAD ，此时21=PB PM .取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN ，那么MN//PA ，AN=21AB.因为AB=2CD ，所以AN=CD ，因为AB//CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形，所以CN//AD.因为MN ∩CN=N ，PA ∩AD=A ，所以平面MNC//平面PAD. 因为CM ⊂平面MNC ，所以CM//平面PAD. 18. 解：〔1〕由题意得23==a c e ，故ab ac 21,23==，231)231(412)23(21)(2122-=-⨯=⨯-=⨯-⨯=∆a a a a b c a S DEF ，故42=a ，即a=2，所以b=1，c=3，故椭圆C 的标准方程为1422=+y x . 〔2〕①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ，不妨令)21,3(),21,3(---B A ，所以对应的“椭点〞坐标)21,23(),21,23(---Q P .而021≠=⋅OQ OP . 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y ，消去y 得：041238)14(2222=-+++k x k x k设),(),,(2211y x B y x A ，那么这两点的“椭点〞坐标分别为),2(),,2(2211y xQ y x P ，由根与系数的关系可得：14382221+-=+k k x x ，144122221+-=k k x x 假设使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点，那么OP ⊥OQ ，而),2(),,2(2211y xOQ y x OP ==，因此0=⋅OQ OP ，即042221212121=+=+⨯y y x x y y x x 即141222+-k k =0，解得22±=k所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y 19. 解：〔1〕证明：当p=0时，x x f ln )(-=.令)0(1ln )(>+-=x x x x m ，那么xxx x m -=-='111)( 假设10<<x ，那么0)(>'x m ，)(x m 在区间)1,0(上单调递增；假设1>x ，那么0)(<'x m ，)(x m 在区间),1(+∞上单调递减. 易知，当x=1时，)(x m 取得极大值，也是最大值.于是0)1()(=≤m x m ，即01ln ≤+-x x ，即x x -≥-1ln 故假设p=0，有x x f -≥1)(〔2〕2221)(xp x px x x p p x f +-=-+='，令)0()(2>+-=x p x px x h ①当p=0，01)(<-='xx f ，那么)(x f 在),0(+∞上单调递减，故当p=0时符合题意；②假设p>0，pp p p p x p p x px x h 4141)21()(22-≥-+-=+-= 那么当041≥-p p ，即21≥p 时，0)(≥'x f 在x>0上恒成立，故当21≥p 时，)(x f在),0(+∞上单调递增；③假设p<0，pp p x p p x px x h 41)21()(22-+-=+-=的图像的对称轴为021<=px ，0)0(<=p h ，那么0)(<'x f 在x>0上恒成立，故当p<0时，)(x f 在),0(+∞上单调递减.综上所述，),21[]0,(+∞-∞∈U p〔3〕令pxee x px x g xf x F 2ln 2)()()(2-+-=-=，那么原问题等价于是否存在x 0>0使得0)(0≤x F 成立，故只需满足0)]([min ≤x F 即可.因为)2)(()2)((22)(2222p ex p e x x p px e px e px px e e x p x F ---=+--=---='而21,0<<>p x ，故02,0<->pep e ，故当p e x <<0时，0)(<'x F ，那么)(x F 在),0(p e 上单调递减；当pe x >时，0)(>'x F ，那么)(x F 在),(+∞pe上单调递增.易知04ln 222ln 22)()(min >-+=-++-==p e e p e pe F x F 与上述要求的0)]([min ≤x F 相矛盾，故不存在00>x 使得)()(00x g x f ≤成立.20. 解：〔1〕在2)21(1+--=-n n n a S 中，令n=1，可得1121a a S n =+--=，即211=a 当2≥n 时，2)21(211+--=---n n n a S ，∴111)21(---++-=-=n n n n n n a a S S a ， ∴11)21(2--+=n n n a a ，即12211+=--n n n n a a .∵n n n a b 2=，∴11+=-n n b b ，即当2≥n 时，11=--n n b b . 又1211==a b ，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 于是n n n a n n b 21)1(1==⋅-+=，∴nn n a 2=. 〔2〕由〔1〕得n n n n a n n c )21)(1(1+=+=，所以n n n T )21)(1()21(4)21(321232++⋯+⨯+⨯+⨯= ① 1432)21)(1()21(4)21(3)21(221+++⋯+⨯+⨯+⨯=n n n T ② 由①－②得132)21)(1()21()21()21(121++-+⋯+++=n n n n T1112323)21)(1(211])21(1[411++-+-=+---+=n n n n n∴nn n T 233+-= )12(2)122)(3(125233125+--+=+-+-=+-n n n n n n n n T n n n n 于是确定T n 与125+n n 的大小关系等价于比较n2与2n+1的大小由⋯⨯<+⨯<+⨯<+⨯<+⨯<;522;1422;1322;1222;11225432可猜想当3≥n 时，122+>n n .证明如下：证法1：①当n=3时，由上验算显示成立. ②假设n=k+1时1)1(2)12(1)1(224)12(22221++>-+++=+=+>=+k k k k k g k k所以当n=k+1时猜想也成立综合①②可知，对一切3≥n 的正整数，都有122+>n n . 证法2：当3≥n 时1222)11(21101210+>+=+++≥++⋯+++=+=--n n C C C C C C C C C nn n n n n n n n n n n n n n 综上所述，当n=1,2时125+<n n T n ，当3≥n 时125+>n nT n〔3〕∵n n nnn nn a n c 2)1(3)1(311⋅-+⋅-+=--λλ ∴]2)1(3[]2)1(3[1111n n n n n n n n c c ⋅-+-⋅-+=--+++λλ02)1(3321>⋅--⋅=-n n n λ∴1123)1(--⎪⎭⎫⎝⎛<⋅-n n λ ①当n=2k －1，k=1,2,3,……时，①式即为2223-⎪⎭⎫⎝⎛<k λ ②依题意，②式对k=1,2,3……都成立，∴1<λ当n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为1223-⎪⎭⎫⎝⎛->k λ ③依题意，③式对k=1,2,3……都成立， ∴23->λ ∴123<<-λ，又0≠λ ∴存在整数1-=λ，使得对任意*N n ∈有n n c c >+1.数学开展性试题1. D2. 232nn - 3. Q R P >>。

2019-2020学年天津市南开中学滨海生态城学校高三(下)第三次月考数学试卷-(含答案解析)

2019-2020 学年天津市南开中学滨海生态城学校高三（下）第三次月考数学试卷、选择题（本大题共 9 小题，共 45.0 分）1. 已知集合，A. 或 C.2.若，则A. B. C. D.3.数列满足：且，若数列是等比数列，则的值等于A. 1B.C.D. 24.已知偶函数在上递减，试比，，大小A. B. C. D.5.以下关于函数的命题，正确的是A. 函数在区间上单调递增B. 直线是函数图象的一条对称轴C. 点是函数图象的一个对称中心D. 将函数的图象向左平移个单位，可得到的图象6.圆 C ：的圆心到直线 1：的距离为，则 a的值为A. 0B. 1C. 2D. 37.过双曲线的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于 A ， B 两点，若 B 为线段 FA 的中点，且，则双曲线的离心率为A. B.C. 2D.8.在平行四边形 ABCD 中，，，，E ，F 分别是 BC ，CD 的中点， DE 与 AF 交于 H ，则的值A. 12B. 16C.D.9.已知函数，若关于 x 的方程恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是A. B. C. D.或，则 B.D. 或二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）10. 已知复数，i 为虚数单位，则 ___________________________ ．11. 曲线在点处的切线斜率为 ________________________________________ 13. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为．14. 已知首项与公比相等的等比数列中，若 m ，，满足，则的最小值为 _______15. 已知函数满足，，其中，若函数有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是 _________ ．三、解答题（本大题共 5 小题，共 75.0 分）16.中，D 是 BC 上的点， AD 平分，面积是面积的 2倍．17. 如图，四棱锥中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，，，E 是 PD 的中点．证明：直线平面 PAB ；点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为，求二面角的余弦值．18. 已知椭圆经过点，离心率．Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 经过椭圆左焦点 F 的直线不经过点 P 且不与 x 轴重合与椭圆交于 A 、B 两点，与直线l ：交于点 M ，记直线 PA ，PB ，PM 的斜率分别为，，，则是否存在常数，使得向量，共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由．12.______ 用数字作答的展开式中常数项为若，求 BD 和 AC 的长．19. 已知单调递增的等比数列满足，且是与的等差中项．求数列的通项公式；若，求及使成立的最小正整数n 的值．20. 设函数．Ⅰ 求的单调区间；Ⅱ 当时，试判断零点的个数；Ⅲ 当时，若对，都有成立，求k 的最大值．答案与解析1. 答案：A解析：解：在数轴上画出集合，或，则或．故选：A．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．2. 答案：D解析：解：，．故选：D ．原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．3. 答案：D解析：解：由，得．由于数列是等比数列，，得，故选：D ．把已知数列递推式变形，由数列是等比数列求得的值．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题．4. 答案：D解析：解：，在上递减，又是偶函数，，即故选：D ．由对数的定义，可得，再结合函数函数在上递减，即可得到a、b、c 的大小关系．本题给出偶函数在上递减，要求我们比较三个函数值的大小，考查了函数奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识，属于基础题．5. 答案：D解析：【分析】本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：函数，在区间上，，故函数在区间上不单调，故排除A；令，求得，不是函数的最值，故直线不是函数图象的一条对称轴，故排除B ；令，求得，故点不是函数图象的一个对称中心，故排除C ；将函数的图象向左平移个单位，可得到的图象，故D 正确．故选：D ．6. 答案：B解析：解：圆C ：的圆心坐标，由题意可，即，解得或．得：，．故选：B．由圆的方程求得圆心坐标，再由点到直线的距离公式得答案．本题考查直线与圆的位置关系，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．7. 答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线的渐近线方程及离心率公式，考查计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．由题意可知：则为等腰三角形，且，根据对称性求得B和A点坐标，代入渐近线方程，即可求得，根据双曲线的离心率公式，即可求得答案．【解答】解：双曲线的渐近线方程，由题意可知：设，由B为FA 的中点，且，则为等腰三角形，且，，即．，整理得，双曲线的离心率，8.答案：C解析：【分析】过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，计算出，求出和的向量，利用向量数量积的定义和公式计算即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据条件求出和的表达式是解决本题的关键．【解答】解：过点F作BC的平行线交DE于G，则G 是DE 的中点，且，则∽，从而，，，则，，则，，故选：C．9.答案：C解析：解：设，作出函数和的图象如图则是的图象沿着上下平移得到，由图象知B 点的纵坐标为，A 点的纵坐标为，当时，，，要使方程恰有三个不相等的实数解，则等价为与的图象有三个不同的交点，则满足即得，即，即实数m 的取值范围是，故选：C．设，则是的图象沿着上下平移得到，作出函数与的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．10.答案：解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：，解：，故答案为：．11.答案：9解析：解：的导数为，即有曲线在点处的切线斜率为，故答案为：9．求出函数的导数，令即可得到切线的斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，属于基础题．12.答案：解析：【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中常数项为，故答案为：．13.答案：24解析：【分析】本题考查球的内接体，球的体积，正方体的表面积，考查空间想象能力，运算求解能力，属于基础题．由题意，球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，即可求正方体的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由，解得，所以正方体的棱长，所以正方体的表面积为．故答案为：24．14.答案：1解析：解：，，，，，结合等比数列的通项公式可得，然后由，展开后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题． 15.答案：则，只有一解，不合题意，此时若函数，则，则，或，只有三解，不合题意，当且仅当且即故答案为： 1．，时取等号，解析：解：当时，函数的图象如下图所示：的图象如下图所示：此时若函数，则，当时，函数的图象如下图所示：此时若函数，则，则，或，有四解，满足题意，故满足条件的实数k 的取值范围是，故答案为：函数的零点个数，即为方程的解的个数，结合函数，求解方程可得答案．本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，是解答的关键．16.答案：解：如图，过A作于E，平分在中，在中，由知，．过D 作于M ，作于N，平分，，，令，则，，，由余弦定理可得：，，，的长为，AC 的长为1．解析：如图，过A 作于E，由已知及面积公式可得，由AD 平分及正弦定理可得而得解由可求过D 作于M ，作于N，由AD 平分，可求，令，则，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长．本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．17.答案：证明：取PA 的中点F，连接EF，BF，因为E是PD 的中点，所以，，又，，，，四边形BCEF 是平行四边形，可得，又平面PAB ，平面PAB ，直线平面PAB；解：如图所示，，从由于为正三角形，则，因为侧面底面 ABCD ，平面平面，侧面 PAD ，所以平面 ABCD ，又平面 ABCD ，所以．因为，且，所以四边形 ABCO 是矩形，所以，以 O 为原点， OC 为 x 轴， OD 为 y 轴， OP 为 z 轴建立空间直角坐标系，不妨设，则．又因为为直角三角形，，所以．作，垂足为 N ，连接 BN ，因为，所以，又平面 ABCD ，所以平面 ABCD ，所以即为直线 BM 与平面 ABCD 所成的角，设，因为，所以，．因为，所以，即，解得，则，，设平面 MAB 和平面 DAB 的法向量分别为，，可取，则，平面 DAB 的法向量可令，所以，，所以，，，因为二面角是锐二面角，所以其余弦值为解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于较难题．取 PA 的中点 F ，连接 EF ，BF ，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．取 AD 中点 O ，连接 PO ，CO ，作，垂足为 N ，以 O 为原点， OC 为 x轴，OD 为 y 轴，OP 为 z 轴建立空间直角坐标系，即可求出二面角的余弦值．解得，，故椭圆的方程为Ⅱ 假设存在常数，使得向量，共线，，由题意可设 AB 的斜率为 k ，则直线 AB 的方程为，代入椭圆方程并整理得设，，则有，在方程中，令得，，．故存在常数符合题意解析： Ⅰ 由题意可得，从而解得 a ，b ，即可得到椭圆的标准方程；Ⅱ 可先设出直线 AB 的方程为，代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一元二次方程，设，，利用根与系数的关系，再求点 M 的坐标，分别表示出，，比较即可求得参数的值；本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．19.答案：解：设此等比数列首项为，公比为 q ，其中，，18.答案：解： Ⅰ 由题意可得由题意知：，且，得，即，解得：或2 ，等比数列单调递增，，，则：．，，，，设，，得：，．则：．要使成立，即成立，即：，由于：为单调递增函数，故：n 的最小值为5．满足条件的n 的最小值为5．解析：直接利用已知条件求出数列的通项公式．利用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用函数的单调性求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.答案：解：，．时，，函数在上单调递增．时，，．则在上单调递减，在上单调递增．时，．，．则在上单调递减，在上单调递增．时，函数取得极小值即最小值，．时，；时，．函数存在两个零点．当时，对，都有成立，化为：，令，，，函数在单调递增，，，存在唯一的，使得，即，函数在内单调递减，在内单调递增．，，．的最大值为0．解析：，对a 分类讨论，可得其单调区间．时，，根据单调性可得时，函数取得极小值即最小值，．进而得出零点的个数．当时，对，都有成立，化为：，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

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天津市南开中学高三数学第三次月考试题 理(扫描版)

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