高中数学讲义微专题75 几何问题的转换
《几何变换》PPT课件
广义的概念中，直线、射线、线段和点却是对称图 形。一种观点认为，任何图形上的所有点都可以类聚 起来，最终类聚为一点（原始点），也即：“不管图 形怎样变化，都是原始点自身”，有对称点（原始 点），可以完全重合（均为原始点镜像），你能说直 线和点不是对称图形吗？其中，最著名的就是“宇宙 大爆炸理论”，该理论认为“宇宙起源于某一点，由 这一点爆炸形成宇宙，宇宙至今还在膨胀。”
例13 已知P为正方形ABCD中一点,PA=1,PB=2,PD= 6,
求正方形ABCD的面积.
分析 将APD绕顶点A按顺时针方向旋转
D
C
900至APB的位置,可造成RtAPP,
从而可求得PP 2,
6
在PBP中,PP= 2,PB=2,PD= 6,
P
由PB2 PP2 PB2得
1
2
A2
B
BPP 90, APB 90 45 135,
F,G分别是DE,AB的中点.求证:FG= 1 ( AB DE).
2
分析 为了作出二线段之差AB-DE,
C
将FE平移至BN的位置, 将DF平移至AM.因为DE AB,
DF
E
所以M,N都落在AB上. 故MN=AB-DE,G是MN的中点,
AM
G
B N
MFN=C=900.
由直角三角形的性质知FG 1 MN. 2
么么么么方面
• Sds绝对是假的
例8 已知ABC中,A=900,B的平分线BD与BC边上的高 AE交于F,过F作FG BC于AC于G.求证:AD=GC.
几何变换与平面向量平面上的几何变换和向量的几何应用
几何变换与平面向量平面上的几何变换和向量的几何应用几何变换与平面向量一、几何变换的概念和分类几何变换是指平面上的点、线、面经过某种规则的操作之后，位置、形状、大小或角度发生改变的现象。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和对称等。
1. 平移平移是指将平面上的点沿着某一指定方向按照指定的距离进行移动。
平移变换不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
平移变换的关键是移动的向量。
2. 旋转旋转是指平面上的点围绕某一固定点按照指定的角度进行旋转。
旋转变换改变了图形的方向和角度，但保持了图形的形状和大小。
旋转变换的关键是旋转的角度和旋转中心。
3. 缩放缩放是指平面上的点按照一定比例进行扩大或缩小。
缩放变换改变了图形的大小，但保持了图形的形状和位置。
缩放变换的关键是缩放的比例因子。
4. 对称对称是指平面上的点通过某一定线进行映射，使得图形在对称线两侧成对出现。
对称变换改变了图形的位置和方向，但保持了图形的形状和大小。
对称变换的关键是对称线的位置。
二、平面向量的定义和性质平面向量是指具有大小和方向的有向线段，可以用有序数对表示。
平面向量常用于描述几何变换中的位移、方向和长度。
1. 平面向量的定义平面向量是一个具有起点和终点的有向线段，可以由有序数对表示。
通常用大写字母加箭头表示，例如A→。
2. 平面向量的加法平面向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加的结果是由它们的起点和尾点构成的平行四边形的对角线。
3. 平面向量的数量积平面向量的数量积（点乘）是两个向量的模长相乘再乘以夹角的余弦值。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量之间的相关程度。
4. 平面向量的向量积平面向量的向量积（叉乘）是两个向量的模长相乘再乘以夹角的正弦值，并指定一个垂直于两个向量所在平面的向量。
向量积的结果是一个向量，垂直于两个向量所在平面。
三、平面上的几何变换与向量的应用平面上的几何变换常常涉及到平移、旋转和缩放等操作，而这些变换可以通过向量的运算来表示和计算。
几何形的旋转和切变变换
几何形的旋转和切变变换几何形的旋转和切变变换是数学中常见的几何操作，它们在许多领域中都有广泛的应用，包括计算机图形学、物理学、工程学等。
在本文中，我们将探讨旋转和切变的基本概念、公式以及其在实际应用中的意义。
旋转变换是将一个几何形体绕着某个中心点旋转一定角度的操作。
我们常用极坐标系来描述旋转变换，其中原点代表旋转中心，角度表示旋转的程度。
假设我们有一个点P(x,y)，要将它绕着中心点O旋转θ角度后的新坐标为P'(x',y')，那么有以下公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这些公式通过三角函数来描述坐标的变化。
通过改变θ的值，我们可以实现对几何形体的不同旋转效果。
切变变换是将一个几何形体沿着某个方向进行平移的操作。
它可以分为水平切变和垂直切变两种。
水平切变是将几何形体的每个点在水平方向上进行平移，而垂直切变则是在垂直方向上进行平移。
具体的切变公式如下：水平切变：x' = x + shx * yy' = y垂直切变：x' = xy' = y + shy * x其中shx和shy分别表示水平和垂直方向的切变系数。
通过改变切变系数的大小，我们可以实现对几何形体在平移方向上的不同变换效果。
旋转和切变变换在计算机图形学中有着广泛的应用。
比如，在计算机游戏中，我们经常需要对角色的模型进行旋转和切变，以实现动画效果。
同时，在CAD软件中，旋转和切变变换也被用于设计和编辑图形对象，使其具有更好的可视化效果。
除了计算机图形学，旋转和切变变换还在物理学和工程学等领域中发挥着重要作用。
在物理学中，我们可以通过旋转和切变变换来描述刚体在空间中的运动轨迹，从而研究其力学行为。
在工程学中，旋转和切变变换可以应用于材料力学、流体力学等领域，来研究材料的变形和流体的运动。
综上所述，几何形的旋转和切变变换在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
几何变换和群的初步认识
几何变换和群的初步认识几何变换是几何学中的重要概念，用于描述对图形进行的变换操作。
而群是代数学中的一个基本概念，可以用来描述和研究各种变换的集合。
本文将介绍几何变换和群的基本概念，并探讨它们之间的关系。
一、几何变换的概念几何变换是指通过一系列操作将一个图形转化为另一个图形的过程。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和对称等操作。
下面将分别介绍这些几何变换的定义及其性质。
1. 平移平移是指将一个图形沿着平行于某一方向的直线进行移动，保持图形内部所有点与原位置的相对位置不变。
平移变换可以用向量表示，即通过给定的位移向量来确定平移的幅度和方向。
平移变换具有保持图形形状、大小和内部结构不变的特点。
2. 旋转旋转是指将一个图形绕着某一点或某条线进行转动，使图形内部所有点绕着该点或该线固定方向旋转一定角度。
旋转变换可以用旋转矩阵或复数表示，其中旋转角度可以是正数、负数或零。
旋转变换具有保持图形形状、大小和内部结构不变的特点，但会改变图形的方向。
3. 缩放缩放是指通过改变图形的尺寸来进行变换，使图形的各个部分在同一直线上，与原图形相似但大小不同。
缩放变换可以用缩放因子表示，即通过给定的比例因子来确定缩放的程度。
缩放变换具有保持图形形状和内部结构不变，但会改变图形的大小。
4. 对称对称是指通过某一直线、点或平面将图形中的点与其对应的镜像位置进行互换，从而得到一个与原图形关于对称轴对称的图形。
对称变换可以有多种方式，包括关于某一直线的对称、关于某一点的对称、关于某一平面的对称等。
对称变换具有保持图形形状不变但可能改变图形的位置和朝向的特点。
二、群的概念群是一个集合，同时满足封闭性、结合律、存在单位元素和存在逆元素这些性质。
在几何变换中，我们可以将一组具有某种特定性质的变换操作构成一个群。
以下介绍几何变换中常见的群。
1. 平移群平移群是指所有平移变换构成的群，平移变换之间的组合仍然是一个平移变换。
平移群具有封闭性、结合律和存在单位元素的性质，每个平移变换都有一个相应的逆变换。
几何几何变换与投影法
几何几何变换与投影法引言：几何几何变换是几何学中的重要概念，它描述了点、线、面在空间中的位置关系在某些条件下如何变化。
而投影法是几何学中常用的一种表示法，通过投影将三维图形映射到二维平面上，常用于解决实际问题中的空间关系。
本教案将介绍几何几何变换和投影法的基本概念、方法和应用。
一、几何几何变换1. 平移变换平移变换是将图形沿着某一方向上的直线移动一定的距离，而保持图形的形状和大小不变。
在平面几何中，平移变换可以通过向量表示，通过加法的方式将点的坐标进行平移。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形按照一定的旋转轴和旋转角度，绕旋转轴旋转一定的角度，而保持图形的形状和大小不变。
在二维几何中，旋转变换可以通过矩阵乘法和坐标变换的方式实现。
3. 缩放变换缩放变换是指将图形按照一定的比例因子，在某一方向上进行扩大或缩小，而保持图形的形状和大小不变。
在二维几何中，缩放变换可以通过矩阵乘法和坐标变换的方式实现。
4. 对称变换对称变换是指将图形相对于某一直线或者某个点对称，使得图形的一个部分和另一个部分完全对应。
在二维几何中，对称变换可以通过坐标变换的方式实现。
5. 图形的组合变换图形的组合变换是指将多个几何变换或者其它变换进行叠加，从而得到更复杂的变换结果。
通过将平移、旋转、缩放等操作按照一定的顺序进行组合，可以得到丰富多样的几何变换效果。
二、投影法1. 平行投影平行投影是指将三维空间中的点、线、面通过平行光线投影到平面上，得到二维的影像。
平行投影常用于工程绘图、建筑设计等领域。
在平行投影中，光线方向和投影面平行，保持了图形的大小和形状。
2. 透视投影透视投影是指将三维空间中的点、线、面通过锥形光线投影到平面上，由于光线的特殊性质，得到一种近大远小的效果。
透视投影常用于绘画、建筑设计等领域。
在透视投影中，远离观察者的物体比较小，接近观察者的物体比较大，产生了远近效果。
三、几何几何变换与投影法的应用1. 几何变换在计算机图形学中的应用计算机图形学中需要对三维图形进行变换和投影，实现现实世界的模拟和渲染。
高中数学讲义微专题75 几何问题的转换
微专题75 几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化： （1）角度问题：① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB ∠为钝角（再转为向量：0CA CB ⋅<；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ⋅=）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ⋅>） （3）三点共线问题① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：()()1122,,,a x y b x y ==，则,a b 共线1221x y x y ⇔=；a b ⊥12120x x y y ⇔+=（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC 的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI AB AP AQ ACAB⋅⋅⇒=⇒=（4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点DP DA DB ⇒=+（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：AC AB AC AB ⋅=⋅，AC BC AC BC ⋅=-⋅A二、典型例题：例1：如图：,A B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是,AF FB 的等差中项，3是,AF FB 的等比中项（1）求椭圆C 的方程（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。
几何变换高中数学教案
几何变换高中数学教案
教学目标：
1. 理解几何变换的基本概念和性质；
2. 掌握平移、旋转、对称和放缩等几何变换的方法和规律；
3. 能够应用几何变换解决实际问题。
教学重点：
1. 平移、旋转、对称和放缩的定义和特点；
2. 不同几何变换之间的关系和性质；
3. 几何变换在实际生活中的应用。
教学难点：
1. 灵活运用几何变换解决复杂问题；
2. 理解和证明几何变换的性质和规律。
教学准备：
1. 教学课件；
2. 几何变换的练习题；
3. 实物模型或图片。
教学流程：
一、导入（5分钟）
教师通过给学生展示一些实物模型或图片，引出几何变换的概念，并让学生讨论这些物体发生了哪些变化。
二、讲解（15分钟）
1. 介绍平移、旋转、对称和放缩的定义和性质；
2. 演示不同几何变换的方法和规律；
3. 讲解几何变换的应用场景。
三、练习（20分钟）
教师让学生进行几何变换的练习题，要求学生灵活运用不同的几何变换方法解决问题。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的内容，强调几何变换的重要性和应用，并引导学生思考如何将几何变换运用到实际生活中解决问题。
五、作业（5分钟）
布置作业：练习册中相关习题。
六、拓展（10分钟）
引导学生思考更复杂的几何变换问题，拓展学生对几何变换的理解和运用。
教学反思：
本节课重点在于让学生理解几何变换的基本概念和性质，掌握几何变换的方法和规律，并能够灵活应用到实际生活中。
通过练习和拓展，学生对几何变换的理解和应用能力会得到提升。
几何变换与映射的性质
几何变换与映射的性质几何变换与映射是几何学中常见的概念，它们用来描述空间或平面中图形的转换关系。
在几何学中，变换是指通过某种规则将一个图形转换为另一个图形的操作。
映射是一种特殊的变换，它是指从一个集合到另一个集合的关联规则。
1. 平移平移是一种基本的几何变换，它通过保持图形大小和形状不变的方式将图形沿着平行线移动。
平移是一种向量变换，它通过将图形中每个点的坐标都增加相同的向量来实现。
平移具有以下性质：- 平移不改变图形的大小和形状。
- 平移保持图形的相对位置关系不变。
- 平移后的图形与原图形是全等的。
2. 旋转旋转是将图形绕着某个点或轴线进行旋转的几何变换。
旋转可以根据旋转角度的不同分为顺时针旋转和逆时针旋转。
旋转具有以下性质：- 旋转不改变图形的大小。
- 旋转后的图形与原图形相似，它们的形状是相同的。
- 旋转保持图形中各点之间的相对位置关系不变。
3. 缩放缩放是一种通过改变图形的大小来实现的几何变换。
缩放可以根据缩放比例的不同分为放大和缩小。
缩放具有以下性质：- 放大使得图形的大小增加，缩小使得图形的大小减小。
- 缩放不改变图形的形状。
- 缩放保持图形中各点之间的相对位置关系不变。
4. 对称对称是指通过某个中心轴、中心点或平面将图形映射为对应的镜像图形的几何变换。
对称具有以下性质：- 对称不改变图形的大小和形状。
- 对称保持图形中各点到对称轴的距离不变，同时保持图形在对称轴上的投影点不变。
- 对称后的图形与原图形是全等的。
在几何学中，几何变换与映射的性质是非常重要的。
它们不仅可以帮助我们理解并描述图形之间的转换关系，还可以应用于解决实际问题。
例如，在计算机图形学中，几何变换与映射被广泛用于图像处理、图形变换和模拟等领域。
总结起来，几何变换与映射是描述图形转换关系的重要概念。
它们具有各自的性质和特点，通过对这些性质的分析和应用，我们可以更好地理解和应用几何学中的各种变换与映射。
无论是在学术研究还是实际应用中，对几何变换与映射的性质的理解都是至关重要的。
几何变换法课件教案
几何变换法课件教案教案标题：几何变换法课件教案一、教学目标：1. 理解几何变换法的概念及其在几何学中的应用。
2. 掌握几何变换法中的平移、旋转、镜像和缩放的基本操作方法和性质。
3. 能够灵活运用几何变换法解决几何问题，灵活运用几何变换法衡量图形的性质。
二、教学重点：1. 平移、旋转、镜像和缩放的基本概念和定义。
2. 运用几何变换法解决相关的几何问题。
三、教学准备：1. 教师准备：课件、黑板、彩色粉笔、几何工具（直尺、量角器、圆规）、幻灯机等。
2. 学生准备：教科书、练习册、几何工具。
四、教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 引入新课主题，向学生介绍几何变换法的概念，并与学生探讨几何变换法在日常生活和几何学中的应用。
2. 提出以下问题鼓励学生思考：- 你认为几何变换法有哪些类型？- 你平时见过哪些几何变换？步骤二：讲解与示范（15分钟）1. 使用课件和黑板，详细讲解平移、旋转、镜像和缩放的定义、基本操作方法和性质。
2. 通过具体示例，展示这些变换法的实际运用，并引导学生思考这些变换法对图形的影响。
步骤三：练习与讨论（20分钟）1. 发放练习册，让学生进行一些简单的练习，巩固对平移、旋转、镜像和缩放的理解。
2. 鼓励学生提出问题，与同学一起进行讨论，并帮助学生消除疑惑。
3. 针对部分学生疑难问题，进行个别辅导和指导。
步骤四：巩固与拓展（15分钟）1. 布置一些更复杂的几何问题给学生，要求他们运用几何变换法求解。
2. 鼓励学生互相讨论解决方案，并请部分学生上台展示他们的方法和答案。
3. 引导学生思考几何变换法在建筑、艺术和工程等领域的应用。
步骤五：小结与反思（5分钟）1. 对学生本节课学到的知识进行小结和总结。
2. 提醒学生复习几何变换法的相关概念和性质，并鼓励他们多做练习以提高运用能力。
五、教学延伸：1. 鼓励学生参加几何竞赛，提升几何变换法应用的能力。
2. 提供一些拓展性的实践项目，让学生运用几何变换法解决实际问题。
高中数学教案：解平面图形的几何变换
高中数学教案：解平面图形的几何变换一、引言几何变换是数学中的重要概念之一。
在高中数学教学中，解平面图形的几何变换是一个内容丰富且具有实际应用意义的课题。
通过学习解平面图形的几何变换，学生不仅可以了解和掌握各种基本变换操作，如平移、旋转、翻折和放缩等，还能够应用所学知识解决实际问题。
因此，在高中数学教案设计中，解平面图形的几何变换是不可或缺的一部分。
二、知识与技能目标1. 知识目标：学生能够理解平移、旋转、翻折和放缩这四种基本的平面图形变换，并分别掌握它们的定义和特点。
学生能够运用各种基本变换对已知图形进行操作，并根据需求进行组合运用。
学生了解平面图形在日常生活以及其他学科领域中的实际应用。
2. 技能目标：学生能够准确描述每个基本变换发生后图形是否重合以及重合情况。
学生能够正确地运用适当工具绘制变换后的图形。
学生能够灵活运用所学知识解决与平面图形变换相关的实际问题。
三、教学重点和难点教学重点：掌握平移、旋转、翻折和放缩的定义和特点，能够正确运用各种基本变换操作图形。
教学难点：培养学生观察能力，使其能准确描述图形的位置变化；引导学生分析并解决基于平面图形变换的实际问题。
四、教师引导1. 导入与激发通过给出一些日常生活中关于平面图形变换的例子，如摆放家具、设计过山车弯道等，激发学生对平面图形变换的兴趣。
2. 新知引入(1) 给出一个有关平移的示意图，并让学生观察其中规律。
引导学生总结出平移的定义和特点。
- 平移是保持图形大小和方向不变，在同一平面上将所有点按指定方向和距离同时移动。
(2) 针对旋转、翻折和放缩也进行类似引入，并总结各自的定义和特点。
- 旋转是保持图形大小和形状不变，在同一平面上按指定中心和角度旋转。
- 翻折是保持图形大小和边的长度相等，在同一平面上按指定直线对称。
- 放缩是保持图形的形状，通过改变图形的尺度而使其大小发生变化。
五、教学过程设计1. 平移的学习与运用(1) 示范：给出一个平面图形，并让学生观察其在不同位置之间的关系。
高中数学中的平面解析几何与坐标变换
高中数学中的平面解析几何与坐标变换平面解析几何是数学中的一个重要分支，其应用广泛且深入。
在高中数学课程中，平面解析几何是一个必修内容，它与坐标变换密切相关。
本文将就高中数学中的平面解析几何与坐标变换进行探讨。
一、平面解析几何基础概念在开始讨论平面解析几何与坐标变换之前，先介绍一些基础概念。
平面解析几何研究的是平面上的几何图形以及它们之间的关系。
主要包括点、直线、圆等基本几何图形。
1.1 点的坐标表示平面解析几何中，点可以用坐标表示。
一般情况下，我们用有序数对（x，y）表示一个点，其中x和y分别表示该点在x轴和y轴上的坐标。
通过这种方式，我们可以用数学方法方便地进行几何问题的研究和计算。
1.2 直线方程在平面解析几何中，直线是研究的基本对象之一。
直线的方程可以用一般式、点斜式和截距式等多种形式表示。
其中，一般式方程为Ax + By + C = 0，点斜式方程为y - y₁ = k(x - x₁)，截距式方程为x/a + y/b = 1，其中A、B、C、k、x₁、y₁分别表示直线的系数或已知点的坐标。
1.3 圆与圆方程圆是平面上的另一个重要几何图形。
圆可以通过中心点和半径来确定，其方程一般形式为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
二、平面解析几何的应用平面解析几何在实际生活中具有广泛的应用。
通过运用平面解析几何的知识，我们可以解决各种与平面几何相关的问题。
2.1 判断点与直线的位置关系在平面解析几何中，我们可以用方程将点和直线表示为数学对象，从而判断点与直线的位置关系。
例如，对于直线Ax + By + C = 0和点(x₁, y₁)，我们可以将点的坐标代入直线方程，若等式成立，则点在直线上，若不成立，则点不在直线上。
2.2 求直线的交点利用平面解析几何的知识，我们可以求解直线的交点。
给定两条直线的方程，我们可以通过求解方程组的方法，求得直线的交点坐标。
高中数学讲义微专题75 几何问题的转换
微专题75 几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化： （1）角度问题：① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB∠为钝角（再转为向量：0CA CB ⋅<u u r u u u r ；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ⋅=u u r u u u r）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ⋅>u u r u u u r）（3）三点共线问题① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：()()1122,,,a x y b x y ==r r，则,a b r r 共线1221x y x y ⇔=；a b ⊥r r 12120x x y y ⇔+=（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC V 的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI ABAP AQ AC AB⋅⋅⇒=⇒=u u r u u u r u u r u u u ru u u r u u u r （4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点DP DA DB ⇒=+u u u r u u u r u u u r（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：AC AB AC AB ⋅=⋅u u u r u u u r ，AC BC AC BC ⋅=-⋅u u u r u u u rA二、典型例题：例1：如图：,A B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是,AF FB 的等差中项，3是,AF FB 的等比中项（1）求椭圆C 的方程（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。
圆锥曲线几何问题的转换
几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化： （1）角度问题：① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB ∠为钝角（再转为向量：0CA CB ⋅<；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ⋅=）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ⋅>） （3）三点共线问题① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：()()1122,,,a x y b x y ==，则,a b 共线1221x y x y ⇔=；a b ⊥12120x x y y ⇔+=（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC 的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI AB AP AQ ACAB⋅⋅⇒=⇒=（4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点DP DA DB ⇒=+（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：AC AB AC AB ⋅=⋅，AC BC AC BC ⋅=-⋅CA二、典型例题：例1：如图：,A B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是,AF FB 的等差中项，3是,AF FB 的等比中项（1）求椭圆C 的方程（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。
2020年高考数学复习高中数学解题思想方法几何变换法
几何变换法在高中数学中的应用高中数学中几何变换是全等变换，包括平移，轴对称，中心旋转，它们只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．几何变换法就是将图形的部分或全部变换到一个新的位置， 构成一个新的关系，有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷．几何变换法常见于立体几何，解析几何，解三角形等问题中，几何变换法在这些知识的运用，对学生直观想象，数据处理能力提出较高的要求．一．平移变换（平行）在立体几何中的应用例1．如图1，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．图1图2分析：本题考察空间的距离问题，解决思路一，利用空间向量解决，建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，求出P 到直线CC 1的距离，最后转化为函数求最小值．思路二，利用传统立体几何解题思路，把空间问题平面化．本题抓住过点P 垂直直线CC 1的直线与底面ABCD 平行，在图2中，设点P 在底面ABCD 的射影P ′，P ′C 即为点P 到直线CC 1的距离，从而把空间的距离转为平面ABCD 内C 到DE 的距离．解：法一，以DA ，DC ，DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设P 的横坐标为x ，则P 的坐标(x ，2x ，2－2x )，CP →＝(x ，2x －2，2－2x )，CC 1→的同向向量m ＝(0，0，1)．设点P 到直线CC 1的距离为d ， d 2＝|CP →|2sin 2〈CP →，m 〉＝|CP →|2(1－cos 2〈CP →，m 〉)＝|CP →|2－(CP →•m )2＝x 2＋(2x －2)2＋(2－2x )2－(2－2x )2＝5(x －45)2＋45≥45所以，点P 到直线CC 1的距离的最小值为255．法二，设点P 在底面ABCD 的射影P ′，点P 在直线CC 1的射影为Q ，连接P ′C ．由PQ ∥平面ABCD ，得PQ ∥P ′C ，又PP ′∥QC ，所以四边形PP ′CQ 是平行四边形．P ′C 即为P 到直线CC 1的距离．因为在平面内直线外一点与直线上动点的连线中，垂线段最短，所以P ′C⊥DE 时，P ′C ＝DC •CE DE＝255为最小值．评析：两种解法，把空间问题平面化的解法不是空间向量法可代替的．线面平行与面面平行的性质定理，借助“确定平面”就是把空间的问题转化为平面问题的重要条件．而这种转化有事空间图形中解决部分问题的重要思想方法．这种转化最基本的依据就是四个公理．具体来讲，点P 在线段D 1E （不包括点E ）上，PQ 是变化的，不变的是PQ ∥平面ABCD ，过相交直线PQ ，QC 有唯一确定平面且与平面ABCD 交于P ′C ，PQ ∥＝P ′C ，利用平移（平行）把空间问题转为平面问题．二．轴对称在解析几何中的应用例2．F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引A 1A 1垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2AF →＝FB →，则C 的离心率是______．分析：本题考察双曲线的性质问题，思路一，把交点转化为方程组的解，把向量关系坐标化，最后联立方程组得到a ，b 的关系，进而求出离心率；思路二，利用双曲线的渐近线关于x 轴对称，转化为平面几何问题．解：法一，不妨设直线AB 的方程为y ＝－ab(x －c )与b 2x 2－a 2y 2＝0联立得，(b 4－a 4)y 2－2ab 3cy ＋a 2b 2c 2＝0．y 1＋y 2＝2ab 3c b 4－a 4， ①y 1y 2＝a 2b 2c 2b 4－a4， ②2y 1＝－y 2，③ ①②③联立解得a 2＝3b 2，所以e ＝233．法二，易知|F A |＝b ，|AB |＝3b ，设渐进线与x 轴正半轴的夹角为α，则tan α＝ba，tan 2α＝3b a ，于是2b a 1－(b a)2＝3b a，整理得a 2＝3b 2，所以e ＝233． 法三，如右图，根据双曲线的对称性，过点F 向C 的另一条渐近线引垂线，垂足为C ．易知|FC |＝b ，|FB |＝2b ，在Rt △BFC 中，得∠FBC ＝30°，所以∠AOB ＝60°，在Rt △AOF 中，得∠AOF ＝30°，所以e ＝1cos ∠AOF＝233．评析：法一是几何问题直接代数化，求直线的交点，然后联立方程组得到a ，b 的关系，求离心率，此解法对数据处理能力，图形直观想象等思维能力体现层次较低；解法二着眼于对图形是双曲线的渐近线关于x 轴对称的分析，抓住对称，还有|F A |＝b ，在直角三角形中结合二倍角公式得到a ，b 的关系，体现了学习与考试是一个厚积薄发的过程，此解法思维能力体现层次较好；解法三对解法二的改进，做出垂线段FC ，利用双曲线的渐近线关于x 轴对称，把条件转化到一个直角三角形中的解法让我们眼前一亮，此解法思维能力体现层次较高．圆锥曲线都是轴对称图形，有些问题抓住了对称，常觉意料之外，却在情理之中．三．中心旋转在解三角形中的运用 例3．在等边△ABC 中，M 为△ABC 内一动点，∠BMC ＝120º，则MAMC 的最小值是_________． 分析：本题是在三角形中，求有关长度的最值问题，明确变量，利用正弦定理在相关的三角形表示出对应的边，然后建立比值的函数关系，求最值．解：法一由题意可知，∠MBC ＝∠ACM ，在△AMC 中，由正弦定理可知MA sin ∠ACM ＝ACsin ∠AMC⇒MA ＝AC sin ∠MBC sin ∠AMC ①在△MBC 中，由正弦定理可知MC sin ∠MBC ＝BCsin ∠BMC⇒MC ＝2BC sin ∠MBC3 ②由①②可得MA MC ＝32sin ∠AMC．BM所以，当∠AMC ＝90°，MA MC 取最小值32．法二，以B 为中心，将△ABM 顺时针旋转60°，旋转后M 记为N ，得AM ＝NC ，BM ＝BN ，∠NBM ＝60°，又∠BMC ＝120º，3∠NMC ＝60°．在△AMC 中，由正弦定理可知MC sin ∠NCM ＝NC sin 60°NC MC ＝32sin ∠NMC．所以，MA MC ＝32sin ∠NMC ，当∠NMC ＝90°，MA MC 取最小值32评析：两种解法对比，发现利用中心旋转的方法，将两边之比转化到一个新的三角形中，计算起来简捷多了．练习1．平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ∩平面ABCD ＝m ，a ∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）132．如图1，把椭圆x 225＋y216＝1的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝______．3．如图2，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边AB ，DA 上的点．若△APQ 的周长为2，求∠PCQ ＝_______．解答：1．A ．a //平面A 1BD ，平面A 1BD ∩平面ABCD ＝BD ，依据面面平行的性质定理可知，m //BD ，设平面A 1BD ∩平面ABB 1A 1＝A 1B ，同理可知n //A 1B ．所以m 、n 所成的角即BD 与A 1B 所成的角∠A 1BD ＝60°，则m 、n 所成角的正弦值为32． 2．35．如图3，取椭圆的右焦点为F ˊ，根据椭圆关于y 轴对称，所以，|P 1F |＝|P 7F ˊ|，|P 1F |＋|P 7F |＝|P 7F ˊ|＋|P 7F |＝2a ＝10，同理|P 2F |＋|P 6F |＝|P 3F |＋|P 5F |＝2|P 4F |＝2a ＝10，所以，|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝35．3．45°．以C 为中心将△CDQ 逆时针旋转90°，设旋转后的Q 为M ，∠PCM ＝90°．因为正方形ABCD 的边长为1，△APQ 的周长为2，所以QP ＝DQ ＋PB ＝BM ＋PB ＝PM ，由QC ＝CM ，则△CQP ≌△CMP ，故∠PCQ ＝∠PCQ ＝45°．ACBD QP图4 MACBD Q图2。
几何变换数学教案高中
几何变换数学教案高中年级：高中课时：1课时课型：理论课教学目标：1. 了解几何变换的基本概念和分类；2. 掌握平移、旋转、翻转和放缩的变换规律；3. 能够应用几何变换解决实际问题。
教学内容：1. 几何变换的概念和分类；2. 平移、旋转、翻转和放缩的变换规律；3. 几何变换的性质和应用。
教学重点：1. 几何变换的基本概念和分类；2. 平移、旋转、翻转和放缩的变换规律。
教学难点：1. 几何变换的性质和应用；2. 解决实际问题时的几何变换操作方法。
教学准备：1. 教案、教材、板书；2. 计算工具、几何工具；3. 教学多媒体设备。
教学步骤：Step 1：导入新知（5分钟）通过展示一幅经过几何变换的图片，引导学生讨论图片的变化过程，引出几何变换的概念。
Step 2：讲解几何变换的基本概念和分类（10分钟）向学生介绍平移、旋转、翻转和放缩的定义和特点，展示具体的几何图形进行变换的例子。
Step 3：讲解几何变换的规律（15分钟）分别讲解平移、旋转、翻转和放缩的变换规律，并通过实例演示如何进行几何变换操作。
Step 4：练习与讨论（15分钟）让学生在小组内尝试进行几何变换，然后让他们展示演示结果，一起讨论和纠正。
Step 5：总结与应用（10分钟）通过总结几何变换的基本概念和规律，引导学生思考如何应用几何变换解决实际问题。
Step 6：作业布置与反馈（5分钟）布置练习题目并要求学生完成，下节课进行作业反馈和讨论。
教学反思：本节课主要通过理论讲解和实践练习相结合的方式，帮助学生掌握几何变换的基本概念和规律。
在讲解过程中，要注意引导学生思考和讨论，激发他们的学习兴趣，从而更好地理解和掌握知识。
同时，要结合实际生活和学习中的问题，引导学生将所学知识应用到实际问题中，提高他们的思维能力和解决问题的能力。
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微专题75 几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化： （1）角度问题：① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB∠为钝角（再转为向量：0CA CB ⋅<u u r u u u r ；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ⋅=u u r u u u r）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ⋅>u u r u u u r）（3）三点共线问题① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：()()1122,,,a x y b x y ==r r，则,a b r r 共线1221x y x y ⇔=；a b ⊥r r 12120x x y y ⇔+=（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC V 的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI ABAP AQ AC AB⋅⋅⇒=⇒=u u r u u u r u u r u u u ru u u r u u u r （4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点DP DA DB ⇒=+u u u r u u u r u u u r（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：AC AB AC AB ⋅=⋅u u u r u u u r ，AC BC AC BC ⋅=-⋅u u u r u u u rA二、典型例题：例1：如图：,A B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是,AF FB 的等差中项，3是,AF FB 的等比中项（1）求椭圆C 的方程（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。
证明：,,Q P B 三点共线解：（1）依题意可得：()()(),0,,0,,0A a B a F c -,AF c a BF a c ∴=+=-2Q 是,AF FB 的等差中项 42AF FB a c a c a ∴=+=++-= 2a ∴=3Q 是,AF FB 的等比中项 ()()()22223AF FB a c a c a c b ∴=⋅=+-=-=23b ∴=Q 椭圆方程为：22143x y += （2）由（1）可得：()()()2,0,2,0,1,0A B F -设():2AP y k x =+，设()11,P x y ，联立直线与椭圆方程可得：()()22222234124316161202x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨=+⎪⎩ 2211221612684343A k k x x x k k --∴=⇒=++()11212243ky k x k ∴=+=+ 2226812,4343k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭另一方面，因为FQ AP ⊥ 1FQ k k∴=-()1:1FQ y x k ∴=--，联立方程：()1132,2y x Q k k x ⎧=--⎪⎛⎫⇒-⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎩ ()2,0B Q()303224BQk k k -∴==--- 22221201234368164243BPkk k k k k k k --+===---+ BQ BP k k ∴=,,B Q P ∴三点共线例2：已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为F ，M 为上顶点，O 为坐标原点，若△OMF 的面积为21，且椭圆的离心率为22． （1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）111222OMF S OM OF bc =⋅⋅==V::2c e a b c a ==⇒= 1b c ∴== 2222a b c ∴=+=∴椭圆方程为：2212x y +=（2）设),(11y x P ，),,(22y x Q 由（1）可得：()()0,1,1,0M F1MF k ∴=- F Q 为△PQM 的垂心MF PQ ∴⊥ 11PQ MFk k ∴=-=设:PQ y x m =+由F 为△PQM 的垂心可得：MP FQ ⊥()()1122,1,1,MP x y FQ x y =-=-u u u r u u u r()()1212110MP FQ x x y y ∴⋅=-+-=u u u r u u u r①因为,P Q 在直线y x m =+上1122y x my x m=+⎧∴⎨=+⎩，代入①可得： ()()()1212110x x x m x m -++-+=即0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ② 考虑联立方程：2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩ 得0224322=-++m mx x ． ()22216122203m m m ∆=-->⇒<1243mx x ∴+=-,322221-=m x x ．代入②可得： ()2222421033m m m m m -⎛⎫⋅+-⋅-+-= ⎪⎝⎭解得：43m =-或1m = 当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去 当34-=m 时，所求直线l 存在，直线l 的方程为34-=x y 小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）例3：如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点是()1,0F ，O 为坐标原点.（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F 且不垂直x 轴的直线l 交椭圆于,A B 两点，若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OA OB AB +<, 求a 的取值范围.解：（1）由图可得：10,3M b ⎛⎫⎪⎝⎭由正三角形性质可得：,63MF MFO k π∠==-1301MFb k -∴==-b ∴= 2224a bc ∴=+=∴椭圆方程为：22143x y += （2）设():1l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y222OA OB AB +<Q222cos 02OA OB ABAOB OA OB+-∴∠=<AOB ∴∠为钝角12120OA OB x x y y ∴⋅=+<u u u r u u u r联立直线与椭圆方程：()()222222222222211y k x b x a k x a b b x a y a b=-⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩，整理可得： ()222222222220a kb x a k x a k a b +-+-=22222212122222222,a k a k a b x x x x a k b a k b-∴+==++ ()()()22221212121211y y k x x k x x k x x k ∴=--=-++2222222222222222222222a k a b a k k b a b k k k k a k b a k b a --=⋅-⋅+=++=22222222212122220a k a b k b a b k x x y y a k b-+-∴+=<+ 2222222220a k a b k b a b k -+-<恒成立即()2222222k a b a b a b +-<恒成立22220a b a b ∴+-< 221b a =-Q()2222110a a a ∴---<解得：12a +>a ∴的取值范围是⎫+∞⎪⎝⎭例4：设,A B 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1 （1）求椭圆的方程；（2）设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点， 若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点,M N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内 解：（1）依题意可得2a c =，且到 右焦点距离的最小值为1a c -= 可解得：2,1a c ==b ∴=∴椭圆方程为22143x y += （2）思路：若要证B 在以MN 为直径的圆内，只需证明MBN ∠为钝角，即MBP ∠为锐角，从而只需证明0BM BP ⋅>u u u u r u u u r，因为,A B 坐标可求，所以只要设出AM 直线（斜率为k ） ，联立方程利用韦达定理即可用k 表示出M 的坐标，从而BM BP ⋅u u u u r u u u r可用1k 表示。
即可判断BM BP ⋅u u u u r u u u r的符号，进而完成证明解：由（1）可得()()2,0,2,0A B -，设直线,AM BN 的斜率分别为k ，()11,M x y ，则():2AM y k x =+ 联立AM 与椭圆方程可得：()2223412y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()2222431616120k x k x k +++-= 2211221612684343A k k x x x k k --∴=⇒=++11212243ky kx k k ∴=+=+，即2226812,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭设()04,P y ，因为P 在直线AM 上，所以()0426y k k =+=，即()4,6P k()22216122,6,,4343k k BP k BM k k ⎛⎫-∴== ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r2222232124060434343k k k BP BM k k k k -∴⋅=+⋅=>+++u u u r u u u u rMBP ∴∠为锐角， MBN ∴∠为钝角 M ∴在以MN 为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线24x y =的焦点F 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，与椭圆2233142y x +=的交点为,C D ，是否存在直线l 使得AF CF BF DF ⋅=⋅？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点()0,1F ，设:1l y kx =+AF CF BF DF ⋅=⋅Q AF DF BFCF∴=，不妨设AF DF BFCFλ==则,AF FB DF FC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y()()1122,1,,1AF x y FB x y ∴=--=-u u u r u u u r()()3344,1,,1CF x y FD x y =--=-u u u r u u u r1234x x x x λλ-=⎧∴⎨-=⎩ 考虑联立直线与抛物线方程：2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩ ()1222122144x x x k x x x λλ+=-=-⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩ ，消去2x 可得：()2214k λλ-=-- ①联立直线与椭圆方程：()222216314634y kx x kx x y =+⎧⇒-+=⎨+=⎩，整理可得：()2236610kx kx ++-=()3442234426136136k x x x k x x x k λλ⎧+=-=-⎪⎪+∴⎨⎪=-=-⎪+⎩()22213636k k λλ-∴=--+ ② 由①②可得：22236436k k k -=-+，解得：211k k =⇒=±所以存在满足条件的直线，其方程为：1y x =±+例6：在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220x py p =>的准线方程为12y =-，过点()4,0M 作抛物线的切线MA ，切点为A （异于点O ），直线l 过点M 与抛物线交于两点,P Q ，与直线OA 交于点N （1）求抛物线的方程 （2）试问MN MN MPMQ+的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解：（1）由准线方程可得：1122p p -=-⇒= ∴抛物线方程：22x y =（2）设切点()00,A x y ，抛物线为212y x ='y x ∴= ∴ 切线斜率为0k x =∴ 切线方程为：()000y y x x x -=-，代入()4,0M 及20012y x =可得：()2000142x x x -=-，解得：00x =（舍）或08x =()8,32A ∴ :4OA y x =设:4PQ x my =+,,,M P N Q Q 共线且M 在x 轴上11P Q N N N N P Q PQ P Q y y MNMNy y y y MP MQ y y y y y y ⎛⎫+∴+=+=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ 联立PQ 和抛物线方程：()222424x y my y x my ⎧=⇒+=⎨=+⎩，整理可得：()2282160m y m y +-+= 222816,P Q P Qm y y y y m m -∴+=⋅= 再联立,OA PQ 直线方程：416414N y x y x my m =⎧⇒=⎨=+-⎩ 22281621614P Q N P Q m y y MN MN m y MP MQ y y mm -+∴+=⋅=⋅=- 例7：在ABC V 中，,A B的坐标分别是()),，点G 是ABC V 的重心，y 轴上一点M 满足GM ∥AB ，且MC MB = （1）求ABC V 的顶点C 的轨迹E 的方程（2）直线:l y kx m =+与轨迹E 相交于,P Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使得四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围 解：（1）设(),C x y 由G 是ABC V 的重心可得：,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由y 轴上一点M 满足平行关系，可得0,3y M ⎛⎫⎪⎝⎭由MC MB ==化简可得：()221026x y y +=≠C ∴的轨迹E 的方程为：()221026x y y +=≠ （2）Q 四边形OPRQ 为平行四边形OR OP OQ ∴=+u u u r u u u r u u u r设()()1122,,,P x y Q x y ()1212,R x x y y ∴++R Q 在椭圆上()()22121236x x y y ∴+++=()()22221122121233626xy x y x x y y +++++= ①因为,P Q 在椭圆上，所以221122223636x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，代入①可得： 121212126212633x x y y x x y y ++=⇒+=- ②联立方程可得：()22222326036y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 212122226,33km m x x x x k k -∴+=-=++ ()()()2222121212122363m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴=++=+++=+代入②可得：2222222636332333m m k m k k k --⋅+=-⇒=+++ ()2223260kx kmx m +++-=有两不等实根可得：()()222244360k m k m ∆=-+->，即2236180m k -++>，代入2223k m =- ()22236231800m m m ∴-+-+>⇒>另一方面：22230m k -=≥232m m ∴≥⇒≥或m ≤,22m ⎛⎫∴∈-∞-+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭U 例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点()()4,0,0,2A B ，且与椭圆C 相切于点P （1）求椭圆C 的方程（2）是否存在过点()4,0A 的直线m 与椭圆交于不同的两点,M N ，使得23635AP AM AN =⋅？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由解（1）12c e a ==::2a b c ∴= ∴椭圆方程化为：22222221341243x y x y c c c+=⇒+=l Q 过()()4,0,0,2A B∴设直线1:12422x y l y x +=⇒=-+ 联立直线与椭圆方程：2223412122x y c y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩消去y 可得：2221342122x x c ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭ 整理可得：222430x x c -+-=l Q 与椭圆相切于P()2444301c c ∴∆=--=⇒=∴椭圆方程为：22143x y +=，且可解得31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）思路：设直线m 为()4y k x =-，()()1122,,,M x y N x y ，由（1）可得：31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，再由()4,0A 可知2454AP =，若要求得k （或证明不存在满足条件的k ），则可通过等式23635AP AM AN =⋅列出关于k 的方程。