黄冈中学高考数学典型例题19---解不等式
黄冈中学高考数学知识点与典型例题[1]
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黄冈中学高考知识点与典型例题集合敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好第一部分高考数学知识点重点难点解集合题首先想到Φ=方程无解一，数学思想应用1、数形结合思想在解集合题中的具体应用:数轴法, 文氏图法, 几何图形法数几文2、函数与方程思想在解集合题中具体应用:函数法方程法判别式法构造法3、分类讨论思想 在解集合题中具体应用:列举法 补集法 空集的运用 数学结合4、化归与转化思想 在解集合题中具体应用:列方程 补集法 文氏图法二,集合的含义与表示方法1、一般地，我们把研究对象统称为元素把一些元素组成的总体叫做集合2、集合元素三特性1.确定性；2.互异性；3.无序性3、 a 是集合A 的元素，a ∈A a 不属于集合A 记作 a ∉A 立体几何中体现为 点与直线/ 点与面 的关系元素与集合之间的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.4、非负整数集（自然数集）记作：N 含0正整数集N*或 N+ 不含0整数集Z 有理数集Q 实数集R3、集合表示方法： 列举法 描述法 韦恩图4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。
描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2} {x| x-3>2}集合的分类： 有限集 无限集 空集三、集合间的基本关系“包含”关系—子集B A ⊆有两种可能立体几何中体现为 直线与面关系（a ）A 是B 的一部分（b ）A 与B 是同一集合。
反之: A ⊆/B B ⊇/A （c ）A ∩B=A ⇔B A ⊆⇔C U B ⊆C U A（d ）A ∪B=B ⇔B A ⊆⇔ C U B ⊆C U A（e ）A B ⊆⇔C U A ⊆C U B2．“相等”关系(5≥5，且5≤5⇒5=5)① 任何一个集合是它本身的子集。
湖北省黄冈中学高考数学 典型例题20 不等式的综合应用
高考数学典型例题详解 不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场(★★★★★)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)，方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜a1. (1)当x ∈［0，x 1)时，证明x ＜f (x )＜x 1；(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，证明：x 0＜21x .●案例探究［例1］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托：本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值. 错解分析：在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0. 技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理. 解：①设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h hh a V (h ＞0) 得：2121)1(31=⋅=++=hh h h h h V 而 所以V ≤61，当且仅当h =h1即h =1时取等号故当h =1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米.［例2］已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1.(1)证明：|c |≤1；(2)证明：当－1 ≤x ≤1时，|g (x )|≤2；(3)设a ＞0，有－1≤x ≤1时， g (x )的最大值为2，求f (x ).命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f (x )的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x ≤1时|f (x )|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局.技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g (x )的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |；而证法三则是整体处理g (x )与f (x )的关系.(1)证明：由条件当=1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，取x =0得：|c |=|f (0)|≤1，即|c |≤1. (2)证法一：依题设|f (0)|≤1而f (0)=c ，所以|c |≤1.当a ＞0时，g (x )=ax +b 在［－1，1］上是增函数，于是g (－1)≤g (x )≤g (1)，(－1≤x ≤1).∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，|c |≤1，∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤|f (1)|+|c |=2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(|f (－2)|+|c |)≥－2，因此得|g (x )|≤2 (－1≤x ≤1)；当a ＜0时，g (x )=ax +b 在［－1，1］上是减函数，于是g (－1)≥g (x )≥g (1)，(－1≤x ≤1)，∵|f (x )|≤1 (－1≤x ≤1)，|c |≤1 ∴|g (x )|=|f (1)－c |≤|f (1)|+|c |≤2.综合以上结果，当－1≤x ≤1时，都有|g (x )|≤2. 证法二：∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1) ∴|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，|f (0)|≤1，∵f (x )=ax 2+bx +c ，∴|a －b +c |≤1，|a +b +c |≤1，|c |≤1， 因此，根据绝对值不等式性质得：|a －b |=|(a －b +c )－c |≤|a －b +c |+|c |≤2， |a +b |=|(a +b +c )－c |≤|a +b +c |+|c |≤2， ∵g (x )=ax +b ，∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2，函数g (x )=ax +b 的图象是一条直线，因此|g (x )|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x =－1或x =1处取得，于是由|g (±1)|≤2得|g (x )|≤2，(－1＜x ＜1).)21()21(])21()21([])21()21([)2121(])21()21[()(,)21()21(4)1()1(:22222222--+=+-+--++++=--++--+=+=∴--+=--+=x f x f c x b x a c x b x a x x b x x a b ax x g x x x x x Θ证法三当－1≤x ≤1时，有0≤21+x ≤1，－1≤21-x ≤0， ∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，∴|f )21(+x |≤1，|f (21-x )|≤1； 因此当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤|f )21(+x |+|f (21-x )|≤2. (3)解：因为a ＞0，g (x )在［－1，1］上是增函数，当x =1时取得最大值2，即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2. ①∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1，∴c =f (0)=－1.因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)， 根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图象的对称轴， 由此得－ab2＜0 ，即b =0. 由①得a =2，所以f (x )=2x 2－1.●锦囊妙计1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性.2.对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b ) ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③二、填空题2.(★★★★★)下列四个命题中：①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ，y 都是正数，若yx 91 =1，则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是__________.3.(★★★★★)某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.三、解答题4.(★★★★★)已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )=x 的两实数根为x 1，x 2.(1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|=2，求b 的取值范围.5.(★★★★)某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即10x，0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 z 倍. (1)设y =ax ，其中a 是满足31≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值；(2)若y =32x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围.6.(★★★★★)设函数f (x )定义在R 上，对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )，且当x＞0时，0＜f (x )＜1.(1)求证：f (0)=1，且当x ＜0时，f (x )＞1； (2)求证：f (x )在R 上单调递减；(3)设集合A ={ (x ，y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}，集合B ={(x ，y )|f (ax －g +2)=1，a ∈R }，若A ∩B =∅，求a 的取值范围.7.(★★★★★)已知函数f (x )=1222+++x cbx x (b ＜0)的值域是［1，3］，(1)求b 、c 的值；(2)判断函数F (x )=lg f (x )，当x ∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论； (3)若t ∈R ，求证：lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513.参考答案难点磁场解：(1)令F (x )=f (x )－x ，因为x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，所以F (x )=a (x －x 1)(x －x 2).当x ∈(0，x 1)时，由于x 1＜x 2，得(x －x 1)(x －x 2)＞0，又a ＞0，得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)＞0，即x ＜f (x )x 1－f (x )=x 1－［x +F (x )］=x 1－x +a (x 1－x )(x －x 2)=(x 1－x )［1+a (x －x 2)］∵0＜x ＜x 1＜x 2＜a1，∴x 1－x ＞0，1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2＞1－ax 2＞0 ∴x 1－f (x )＞0，由此得f (x )＜x 1. (2)依题意：x 0=－ab 2，因为x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根.∴x 1+x 2=－ab 1- ∴x 0=－a ax ax a x x a a b 2121)(22121-+=-+=，因为ax 2＜1， ∴x 0＜2211x a ax =歼灭难点训练一、1.解析：由题意f (a )=g (a )＞0，f (b )=g (b )＞0，且f (a )＞f (b )，g (a )＞g (b ) ∴f (b )－f (－a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b )而g (a )－g (－b )=g (a )－g (b )∴g (a )+g (b )－［g (a )－g (b )］ =2g (b )＞0，∴f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) 同理可证：f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) 答案：A二、2.解析：①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式：|x －y |=|(x －2)－(y －2)|≤|(x －2)－(y －2)|≤|x －2|+|y －2|＜ε+ε=2ε.答案：④3.解析：由已知y 1=x 20；y 2=0.8x (x 为仓库与车站距离)费用之和y =y 1+y 2=0.8x + x20≥2xx 208.0⋅=8当且仅当0.8x =x20即x =5时“=”成立 答案：5公里处三、4.证明：(1)设g (x )=f (x )－x =ax 2+(b －1)x +1，且x ＞0. ∵x 1＜2＜x 2＜4，∴(x 1－2)(x 2－2)＜0，即x 1x 2＜2(x 1+x 2)－4，12)42(212)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---⋅=-=x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得(2)解：由方程g (x )=ax 2+(b －1)x +1=0可知x 1·x 2=a1＞0，所以x 1，x 2同号 1°若0＜x 1＜2，则x 2－x 1=2，∴x 2=x 1+2＞2， ∴g (2)＜0，即4a +2b －1＜0①又(x 2－x 1)2=44)1(22=--a ab ∴2a +1=1)1(2+-b (∵a ＞0)代入①式得， 21)1(2+-b ＜3－2b ②解②得b ＜412°若 －2＜x 1＜0，则x 2=－2+x 1＜－2 ∴g (－2)＜0，即4a －2b +3＜0③又2a +1=1)1(2+-b ，代入③式得 21)1(2+-b ＜2b －1④解④得b ＞47. 综上，当0＜x 1＜2时，b ＜41，当－2＜x 1＜0时，b ＞47. 5.解：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p (1+10x )元、n (1－10y)元、npz 元，因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=，在y =ax 的条件下，z =1001［－a ［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1，则0＜aa )1(5-≤10.要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x =aa )1(5-. (2)由z =1001(10+x )(10－32x )＞1，解得0＜x ＜5.6.(1)证明：令m ＞0，n =0得：f (m )=f (m )·f (0).∵f (m )≠0，∴f (0)=1 取m =m ，n =－m ，(m ＜0)，得f (0)=f (m )f (－m ) ∴f (m )=)(1m f -，∵m ＜0，∴－m ＞0，∴0＜f (－m )＜1，∴f (m )＞1 (2)证明：任取x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)－f ［(x 2－x 1)+x 1］ =f (x 1)－f (x 2－x 1)·f (x 1)=f (x 1)［1－f (x 2－x 1)］， ∵f (x 1)＞0，1－f (x 2－x 1)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在R 上为单调减函数.(3)由⎩⎨⎧=+-<+⎩⎨⎧θ==+->+021)(1)2()1()(2222y ax y x f y ax f f y x f 得，由题意此不等式组无解，数形结合得：1|2|2+a ≥1，解得a 2≤3∴a ∈［－3，3］7.(1)解：设y =1222+++x c bx x ，则(y －2)x 2－bx +y －c =0 ①∵x ∈R ，∴①的判别式Δ≥0，即 b 2－4(y －2)(y －c )≥0， 即4y 2－4(2+c )y +8c +b 2≤0②由条件知，不等式②的解集是［1，3］ ∴1，3是方程4y 2－4(2+c )y +8c +b 2=0的两根⎪⎩⎪⎨⎧+=⨯+=+48312312b c c ∴c =2，b =－2，b =2(舍） (2)任取x 1，x 2∈［－1，1］，且x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，且 (x 2－x 1)(1－x 1x 2)＞0，∴f (x 2)－f (x 1)=－)1)(1()1)((2)12(122221211221222x x x x x x x x x x ++--=+--+＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)，lg f (x 2)＞lg f (x 1)，即F (x 2)＞F (x 1) ∴F (x )为增函数.,31|)61()61(||||,61||61|)3(=+--≤+--=t t u t t u 记即－31≤u ≤31，根据F (x )的单调性知F (－31)≤F (u )≤F (31)，∴lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513对任意实数t 成立.［科普美文］数学中的不等式关系数学是研究空间形式和数量关系的科学，恩格斯在《自然辩证法》一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系正是该点的生动体现，它们是对立统一的，又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系.等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简单不等式，不等式的基本性质，如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n 有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明.另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性.等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的体现.不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔，峰之隽秀，海之宽阔，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？。
黄冈中学高考数学典型例题18---不等式的证明策略
黄冈中学高考数学典型例题详解不等式的证明每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看 效果更好体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1. 求证：(a +a1)(b +b1)≥425.●案例探究［例1］证明不等式n n2131211<++++(n ∈N *)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n =k 到n =k +1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即1+k13121+++ ＜2k ，,1211)1(11)1(21121131211+=++++<+++=++<+++++k k k k k k k k k k 则∴当n =k +1时，不等式成立. 综合(1)、(2)得：当n ∈N *时，都有1+n13121+++ ＜2n .另从k 到k +1时的证明还有下列证法：,1111212212:.12112,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22+=+++>++=-++<++∴>++<++∴>+-=+++-=+--+k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k又如.12112+<++∴k k k证法二：对任意k ∈N *，都有：.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221n n n nk k k k k k k =--++-+-+<++++--=-+<+=因此证法三：设f (n )=),131211(2nn ++++-那么对任意k ∈N *都有：1)1(])1(2)1[(11]1)1(2)1(2[1111)1(2)()1(2>+-+=++-+⋅+=-+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f∴f (k +1)＞f (k )因此，对任意n ∈N * 都有f (n )＞f (n －1)＞…＞f (1)=1＞0， ∴.2131211n n<++++［例2］求使y x +≤ay x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x 、y 与cos θ、sin θ来对应进行换元，即令x =cos θ，y =sin θ(0＜θ＜2π)，这样也得a ≥sinθ+cos θ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x 、y 的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x 、y =1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a ≥f (x )，则a min =f (x )max ；若 a ≤f (x )，则a max =f (x )min ，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )，① ∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2xy ，②当且仅当x =y 时，②中有等号成立.比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2.解法二：设yx xy yx xyy x yx y x yx yx u ++=+++=++=++=212)(2.∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2xy (当x =y 时“=”成立)，∴yx xy+2≤1，yx xy+2的最大值是1.从而可知，u 的最大值为211=+，又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2. 解法三：∵y ＞0， ∴原不等式可化为yx +1≤a1+yx ，设yx =tan θ，θ∈(0，2π).∴tan θ+1≤a 1tan 2+θ；即tan θ+1≤a se c θ ∴a ≥sin θ+cos θ=2sin(θ+4π)，③又∵sin(θ+4π)的最大值为1(此时θ=4π).由③式可知a 的最小值为2.●锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练 一、填空题1.(★★★★★)已知x 、y 是正变数，a 、b 是正常数，且yb x a =1，x +y 的最小值为__________.2.(★★★★)设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是__________.3.(★★★★)若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________.二、解答题4.(★★★★★)已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1.求证：(1)a 2+b 2+c 2≥31(2)232323+++++c b a ≤65.(★★★★★)已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明：x ，y ，z ∈［0，32］6.(★★★★★)证明下列不等式： (1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则cb a y ba c x ac b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx )(2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ， 则zy x yx z xz y +++++≥2(zyx111++)7.(★★★★★)已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . (1)证明：n i A i m ＜m i A i n ； (2)证明：(1+m )n ＞(1+n )m8.(★★★★★)若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2，ab ≤1.参考答案 难点磁场证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab ≤41或ab ≥8.∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证.证法二：(均值代换法) 设a =21+t 1，b =21+t 2.∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b aa bb a a显然当且仅当t =0，即a =b =21时，等号成立.证法三：(比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222≥+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 425)1)(1(≥++bb aa 即证法五：(三角代换法）∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2π).425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cossin 1(sin )1)(1(2222222222222442222≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a bb aa 即得ααααααααααααααααα 2歼灭难点训练 一、1.解析：令xa =cos 2θ，yb =sin 2θ，则x =a sec 2θ，y =bc s c 2θ，∴x +y =a sec 2θ+b csc 2θ=a +b +a tan 2θ+b co t 2θ≥a +b +2ab b a b a 2cot tan 22++=θ⋅θ.答案：a +b +2ab2.解析：由0≤|a －d |＜|b －c |⇔(a －d )2＜(b －c )2⇔(a +b )2－4ad ＜(b +c )2－4bc ∵a +d =b +c ，∴－4ad ＜－4bc ，故ad ＞bc . 答案：ad ＞bc3.解析：把p 、q 看成变量，则m ＜p ＜n ，m ＜q ＜n . 答案：m ＜p ＜q ＜n二、4.(1)证法一：a 2+b 2+c 2－31=31(3a 2+3b 2+3c 2－1)=31［3a 2+3b 2+3c 2－(a +b +c )2］=31［3a 2+3b 2+3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc ］ =31［(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2］≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥31证法二：∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2 ∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥31证法三：∵33222cb a cb a ++≥++∴a 2+b 2+c 2≥3cb a ++∴a 2+b 2+c 2≥31证法四：设a =31+α，b =31+β，c =31+γ.∵a +b +c =1，∴α+β+γ=0 ∴a 2+b 2+c 2=(31+α)2+(31+β)2+(31+γ)2=31+32 (α+β+γ)+α2+β2+γ2=31+α2+β2+γ2≥31∴a 2+b 2+c 2≥31629)(323232323323,23323,21231)23(23:)2(=+++<+++++∴+<++<+++<⨯+=+c b a c b a c c b b a a a 同理证法一∴原不等式成立. 证法二：3)23()23()23(3232323+++++≤+++++c b a c b a336)(3=+++=c b a∴232323+++++c b a ≤33＜6∴原不等式成立.5.证法一：由x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，得x 2+y 2+(1－x －y )2=21，整理成关于y 的一元二次方程得：2y 2－2(1－x )y +2x 2－2x +21=0，∵y ∈R ，故Δ≥0∴4(1－x )2－4×2(2x 2－2x +21)≥0，得0≤x ≤32，∴x ∈［0，32］同理可得y ，z ∈［0，32］证法二：设x =31+x ′，y =31+y ′，z =31+z ′，则x ′+y ′+z ′=0，于是21=(31+x ′)2+(31+y ′)2+(31+z ′)2=31+x ′2+y ′2+z ′2+32 (x ′+y ′+z ′)=31+x ′2+y ′2+z ′2≥31+x ′2+2)(2z y '+'=31+23x ′2故x ′2≤91，x ′∈［－31，31］，x ∈［0，32］，同理y ，z ∈［0，32］证法三：设x 、y 、z 三数中若有负数，不妨设x ＜0，则x 2＞0，21=x 2+y 2+z 2≥x 2+21232)1(2)(2222+-=+-=+x x x x z y ＞21，矛盾.x 、y 、z 三数中若有最大者大于32，不妨设x ＞32，则21=x 2+y 2+z 2≥x 2+2)(2z y +=x 2+2)1(2x -=23x 2－x +21=23x (x －32)+21＞21；矛盾. 故x 、y 、z ∈［0，32］)()()()()()(222)(4)(2))(()(2)]()()([)(2)(:)2()(20)()()()2()2()2()(22:)1.(62222222222223333332222222222222222222222222222222222≥-+-+-+-+-+-⇔++≥+++++⇔+++++≥+++++++⇔++≥+++++⋅⇔++≥+++++++≥+++++∴≥-+-+-=-++-++-+=++-+++++y x z x z y z y x y x xy x z zx z y yz xyzz xy yz x xyy x zx x z yz z y xyz z xy yz x x z z y y x xy y x zxx z yzz y z y x zx yz xy y x xy x z zx z y yz xyz zx yz xy zy x yx z xz y z y x zx yz xy z cb a y ba c x a cb x ac z ca z cb y bc y b a x a b zx x ac z c a yz z cb y bc xy y ba x ab zx yz xy z cb a y b ac x c b 所证不等式等介于证明证明∵上式显然成立，∴原不等式得证.7.证明：(1)对于1＜i ≤m ，且A i m =m ·…·(m －i +1)，n i n n n n n nm i m m m m m miim i im 11A ,11A +-⋅⋅-⋅=+-⋅⋅-⋅= 同理， 由于m ＜n ，对于整数k =1，2，…，i －1，有mk m nk n ->-，所以im i i n i iim iin n m mnA A ,A A >>即(2)由二项式定理有：(1+m )n =1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ， (1+n )m =1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m， 由(1)知m iA in＞n iA i m(1＜i ≤m ，而C i m=!A C,!A i i in i nim =∴m i C i n ＞n i C i m (1＜m ＜n )∴m 0C 0n =n 0C 0n =1，m C 1n =n C 1m =m ·n ，m 2C 2n ＞n 2C 2m，…， m m C m n ＞n m C m m ，m m +1C 1+m n ＞0，…，m n C n n＞0， ∴1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ＞1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ， 即(1+m )n ＞(1+n )m 成立.8.证法一：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以 (a +b )3－23=a 3+b 3+3a 2b +3ab 2－8=3a 2b +3ab 2－6=3［ab (a +b )－2］=3［ab (a +b )－(a 3+b 3)］=－3(a +b )(a －b )2≤0.即(a +b )3≤23，又a +b ＞0，所以a +b ≤2，因为2ab ≤a +b ≤2，所以ab ≤1.证法二：设a 、b 为方程x 2－mx +n =0的两根，则⎩⎨⎧=+=abn b a m ，因为a ＞0，b ＞0，所以m ＞0，n ＞0，且Δ=m 2－4n ≥0①因为2=a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］=m (m 2－3n ) 所以n =mm 3232-②将②代入①得m 2－4(mm 3232-)≥0，即mm 383+-≥0，所以－m 3+8≥0，即m ≤2，所以a +b ≤2，由2≥m 得4≥m 2，又m 2≥4n ，所以4≥4n ， 即n ≤1，所以ab ≤1.证法三：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以2=a 3+b 3=(a +b )(a 2+b 2－ab )≥(a +b )(2ab －ab )=ab (a +b )于是有6≥3ab (a +b )，从而8≥3ab (a +b )+2=3a 2b +3ab 2+a 3+b 3= (a +b )3，所以a +b ≤2，(下略） 证法四：因为333)2(2b a b a +-+ 8))((38]2444)[(22222b a b a ab b aab b a b a -+=----++=≥0，所以对任意非负实数a 、b ，有233b a +≥3)2(b a + 因为a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以1=233b a +≥3)2(b a +，∴2b a +≤1，即a +b ≤2，(以下略）证法五：假设a +b ＞2，则a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］＞(a +b )ab ＞2ab ，所以ab ＜1， 又a 3+b 3=(a +b )［a 2－ab +b 2］=(a +b )［(a +b )2－3ab ］＞2(22－3ab )因为a 3+b 3=2，所以2＞2(4－3ab )，因此ab ＞1，前后矛盾，故a +b ≤2(以下略)。
黄冈中学高考数学典型例题18---不等式的证明策略
黄冈中学高考数学典型例题详解不等式的证明每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释;积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1. 求证：(a +a 1)(b +b1)≥425.●案例探究［例1］证明不等式n n2131211<++++Λ(n ∈N *)命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n =k 到n =k +1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.证法一：(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即1+k13121+++Λ＜2k ，,1211)1(11)1(21121131211+=++++<+++=++<+++++k k k k k k k k k k Λ则∴当n =k +1时，不等式成立. 综合(1)、(2)得：当n ∈N *时，都有1+n13121+++Λ＜2n .另从k 到k +1时的证明还有下列证法：,1111212212:.12112,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22+=+++>++=-++<++∴>++<++∴>+-=+++-=+--+k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k ΘΘΘ又如.12112+<++∴k k k证法二：对任意k ∈N *，都有：.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221n n n nk k k k k k k =--++-+-+<++++--=-+<+=ΛΛ因此证法三：设f (n )=),131211(2nn ++++-Λ那么对任意k ∈N*都有：1)1(])1(2)1[(11]1)1(2)1(2[1111)1(2)()1(2>+-+=++-+⋅+=-+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f∴f (k +1)＞f (k )因此，对任意n ∈N * 都有f (n )＞f (n －1)＞…＞f (1)=1＞0， ∴.2131211n n <++++Λ［例2］求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x 、y 与cos θ、sin θ来对应进行换元，即令x =cos θ，y =sin θ(0＜θ＜2π)，这样也得a ≥sin θ+cos θ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x 、y 的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x 、y =1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a ≥f (x )，则a min =f (x )max ；若 a ≤f (x )，则a max =f (x )min ，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得： x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )，①∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2xy ，②当且仅当x =y 时，②中有等号成立. 比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2. 解法二：设yx xyy x xy y x y x y x yx yx u ++=+++=++=++=212)(2. ∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2xy (当x =y 时“=”成立)， ∴y x xy +2≤1，yx xy+2的最大值是1. 从而可知，u 的最大值为211=+， 又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2. 解法三：∵y ＞0， ∴原不等式可化为yx+1≤a 1+yx，设y x =tan θ，θ∈(0，2π). ∴tan θ+1≤a 1tan 2+θ；即tan θ+1≤a se c θ ∴a ≥sin θ+cos θ=2sin(θ+4π)，③又∵sin(θ+4π)的最大值为1(此时θ=4π). 由③式可知a 的最小值为2.●锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练 一、填空题1.(★★★★★)已知x 、y 是正变数，a 、b 是正常数，且ybxa +=1，x +y 的最小值为__________.2.(★★★★)设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是__________.3.(★★★★)若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________.二、解答题4.(★★★★★)已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1. 求证：(1)a 2+b 2+c 2≥31(2)232323+++++c b a ≤65.(★★★★★)已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明：x ，y ，z ∈［0，32］6.(★★★★★)证明下列不等式： (1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则cb a y b ac x a c b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ，则zy x y x z x z y +++++≥2(z y x 111++)7.(★★★★★)已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . (1)证明：n i A i m ＜m i A i n ； (2)证明：(1+m )n ＞(1+n )m8.(★★★★★)若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2，ab ≤1.参考答案 难点磁场证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab ≤41或ab ≥8.∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证. 证法二：(均值代换法) 设a =21+t 1，b =21+t 2.∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a显然当且仅当t =0，即a =b =21时，等号成立. 证法三：(比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222≥+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 425)1)(1(≥++b b a a 即 证法五：(三角代换法）∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2π) .425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2222222222222442222≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a b b a a 即得αααααααααααααααααΘ 2歼灭难点训练一、1.解析：令xa =cos 2θ，yb =sin 2θ，则x =a sec 2θ，y =bc s c 2θ，∴x +y =a sec 2θ+b csc 2θ=a +b +a tan 2θ+b co t 2θ≥a +b +2ab b a b a 2cot tan 22++=θ⋅θ.答案：a +b +2ab2.解析：由0≤|a －d |＜|b －c |⇔(a －d )2＜(b －c )2⇔(a +b )2－4ad ＜(b +c )2－4bc∵a +d =b +c ，∴－4ad ＜－4bc ，故ad ＞bc . 答案：ad ＞bc3.解析：把p 、q 看成变量，则m ＜p ＜n ，m ＜q ＜n . 答案：m ＜p ＜q ＜n二、4.(1)证法一：a 2+b 2+c 2－31=31(3a 2+3b 2+3c 2－1)=31［3a 2+3b 2+3c 2－(a +b +c )2］=31［3a 2+3b 2+3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc ］ =31［(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2］≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥31 证法二：∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c2 ∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥31证法三：∵33222c b a c b a ++≥++∴a 2+b 2+c 2≥3cb a ++ ∴a 2+b 2+c 2≥31证法四：设a =31+α，b =31+β，c =31+γ. ∵a +b +c =1，∴α+β+γ=0∴a 2+b 2+c 2=(31+α)2+(31+β)2+(31+γ)2=31+32 (α+β+γ)+α2+β2+γ2=31+α2+β2+γ2≥31 ∴a 2+b 2+c 2≥31629)(323232323323,23323,21231)23(23:)2(=+++<+++++∴+<++<+++<⨯+=+c b a c b a c c b b a a a 同理证法一Θ ∴原不等式成立.证法二：3)23()23()23(3232323+++++≤+++++c b a c b a 336)(3=+++=c b a∴232323+++++c b a ≤33＜6 ∴原不等式成立.5.证法一：由x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，得x 2+y 2+(1－x －y )2=21，整理成关于y 的一元二次方程得：2y 2－2(1－x )y +2x 2－2x +21=0，∵y ∈R ，故Δ≥0∴4(1－x )2－4×2(2x 2－2x +21)≥0，得0≤x ≤32，∴x ∈［0，32］ 同理可得y ，z ∈［0，32］证法二：设x =31+x ′，y =31+y ′，z =31+z ′，则x ′+y ′+z ′=0， 于是21=(31+x ′)2+(31+y ′)2+(31+z ′)2 =31+x ′2+y ′2+z ′2+32 (x ′+y ′+z ′)=31+x ′2+y ′2+z ′2≥31+x ′2+2)(2z y '+'=31+23x ′2故x ′2≤91，x ′∈［－31，31］，x ∈［0，32］，同理y ，z ∈［0，32］证法三：设x 、y 、z 三数中若有负数，不妨设x ＜0，则x 2＞0，21=x 2+y 2+z 2≥x 2+21232)1(2)(2222+-=+-=+x x x x z y ＞21，矛盾.x 、y 、z 三数中若有最大者大于32，不妨设x ＞32，则21=x 2+y 2+z 2≥x 2+2)(2z y +=x 2+2)1(2x -=23x 2－x +21=23x (x －32)+21＞21；矛盾. 故x 、y 、z ∈［0，32］0)()()()()()(222)(4)(2))(()(2)]()()([)(2)(:)2()(20)()()()2()2()2()(22:)1.(62222222222223333332222222222222222222222222222222222≥-+-+-+-+-+-⇔++≥+++++⇔+++++≥+++++++⇔++≥+++++⋅⇔++≥+++++++≥+++++∴≥-+-+-=-++-++-+=++-+++++y x z x z y z y x y x xy x z zx z y yz xyz z xy yz x xy y x zx x z yz z y xyz z xy yz x x z z y y x xy y x zx x z yz z y z y x zx yz xy y x xy x z zx z y yz xyz zx yz xy z y x y x z x z y z y x zx yz xy z cb a y b ac x a c b x ac z c a z c b y b c y b a x a b zx x ac z c a yz z c b y b c xy y b a x a b zx yz xy z cb a y b ac x c b 所证不等式等介于证明证明Θ ∵上式显然成立，∴原不等式得证.7.证明：(1)对于1＜i ≤m ，且A im =m ·…·(m －i +1)，n i n n n n n n m i m m m m m m iim i im 11A ,11A +-⋅⋅-⋅=+-⋅⋅-⋅=ΛΛ同理， 由于m ＜n ，对于整数k =1，2，…，i －1，有mk m n k n ->-， 所以im i in i i im i in n m m n A A ,A A >>即 (2)由二项式定理有：(1+m )n =1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ，(1+n )m =1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，由(1)知m i A i n ＞n i A i m (1＜i ≤m)，而C i m =!A C ,!A i i i n i n i m = ∴m i C i n ＞n i C i m (1＜m ＜n ) ∴m 0C 0n =n 0C 0n =1，m C 1n =n C 1m =m ·n ，m 2C 2n ＞n 2C 2m ，…，m m C m n ＞n m C m m ，mm +1C 1+m n ＞0，…，m n C nn ＞0， ∴1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ＞1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，即(1+m )n ＞(1+n )m 成立.8.证法一：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以(a +b )3－23=a 3+b 3+3a 2b +3ab 2－8=3a 2b +3ab 2－6=3［ab (a +b )－2］=3［ab (a +b )－(a 3+b 3)］=－3(a +b )(a －b )2≤0. 即(a +b )3≤23，又a +b ＞0，所以a +b ≤2，因为2ab ≤a +b ≤2， 所以ab ≤1.证法二：设a 、b 为方程x 2－mx +n =0的两根，则⎩⎨⎧=+=ab n b a m ， 因为a ＞0，b ＞0，所以m ＞0，n ＞0，且Δ=m 2－4n ≥0① 因为2=a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］=m (m 2－3n )所以n =m m 3232- ②将②代入①得m 2－4(mm 3232-)≥0， 即m m 383+-≥0，所以－m 3+8≥0，即m ≤2，所以a +b ≤2， 由2≥m 得4≥m 2，又m 2≥4n ，所以4≥4n ，即n ≤1，所以ab ≤1.证法三：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以2=a 3+b 3=(a +b )(a 2+b 2－ab )≥(a +b )(2ab －ab )=ab (a +b )于是有6≥3ab (a +b )，从而8≥3ab (a +b )+2=3a 2b +3ab 2+a 3+b 3= (a +b )3，所以a +b ≤2，(下略）证法四：因为333)2(2b a b a +-+ 8))((38]2444)[(22222b a b a ab b a ab b a b a -+=----++=≥0， 所以对任意非负实数a 、b ，有233b a +≥3)2(b a + 因为a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以1=233b a +≥3)2(b a +， ∴2b a +≤1，即a +b ≤2，(以下略）证法五：假设a+b＞2，则a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)因为a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)。
湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解(五)
湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解（五）的首项（1）证明：（2）设的首项，（（a是常数，且）。
），（），数列从第2项起是以2为公比的等比数列；的前n项和，且的最小项。
上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。
是等比数列，求实数a的值；为数列（3）当a>0时，求数列42．已知抛物线C：（1）求抛物线C的方程；（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为现有正确命题：过点的直线交抛物线C：于P、Q两点，设点P关于某轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F。
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。
43．已知函数f(某)=(I)写出，的值;，设正项数列满足=l，．(Ⅱ)试比较与的大小，并说明理由；(Ⅲ)设数列满足=－，记Sn=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．44．已知函数f(某)=某3－3a某(a∈R)．(I)当a=l时，求f(某)的极小值；(Ⅱ)若直线菇某+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(某)的切线，求a的取值范围；(Ⅲ)设g(某)=|f(某)|，某∈[－l，1]，求g(某)的最大值F(a)的解析式．45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中线上，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的（1）试用a与n表示；（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。
46．已知（1）求轨迹E的方程；（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.（i）无论直线l 绕点F2怎样转动，在某轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值.，记点P的轨迹为E.（ii）过P、Q作直线47．设某1、（1）若（2）若（3）若48{an}（1）求{an}的通项an;．已的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记的两个极值点.，求函数f(某)的解析式；的最大值；，求证：知，成等差数列.，求λ的取值范围.若数列（2）设若{bn}的前n项和是Sn，且49．点P在以为焦点的双曲线上，已知，，O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于双曲线E的方程；（Ⅲ）若过点（两点，且，，求为非零常数）的直线与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．50.已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在的值，使直线值；如果不存在,说明理由．（Ⅲ）如果对于所有的,都有成立，求的取值范围．既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出的，，和直线，又．黄冈中学2022年高考数学压轴题汇总详细解答41.解：（1）∵∴由∵即得，∴(n≥2)…………3分，，…………4分，从第2项起是以2为公比的等比数列。
黄冈中学最新高考数学题型分析{含黄冈密卷}
黄冈中学1高考数学分类讨论重点题型分析复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.重点题型分析: 例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+(黄冈，二模 理科）解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0 不等式的解为 x ∈∅.综上，当 0<a<1时，x ∈(a 2, a)当a<0或a>1时，x ∈(a,a 2) 当a=0或a=1时，x ∈∅.评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2．解关于x 的不等式 ax 2+2ax+1>0(a ∈R) 解:此题应按a 是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a ≠0时分为a>0 与a<0两类①10)1(00440002>⇒⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒⎩⎨⎧>>a a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根aa a a aa a a a a a x )1(12442222,1-±-=-±-=-±-=. 则原不等式的解为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a .②101000440002<<⇒⎩⎨⎧<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<>a a a a a a a ∆时， 方程ax 2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-∞，+∞）.③ 11000440002=⇒⎩⎨⎧==>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->⇒⎩⎨⎧=>a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞).④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a a a a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-. ⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆ 综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）. 当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞). 当a<0时，解集为))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-.例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(黄冈，二模 理科）解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a .当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a当⎪⎩⎪⎨⎧-><120aa ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a.-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a-.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值. 解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x 令sinx=t, t ∈[-1,1]. 则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a即a>2时，t=1，2533max =++-=a a y 解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）. (2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max =++-=a a y ,解方程为:34-=a 或a=4（舍）.(3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max =-a 2+a+5=2即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴ 2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2.例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S n n --=1)1(1， 从而.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++nn n n nn n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n n S S S .∵ 函数x y 5.0log =为单调递减函数.∴15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴ b=2.∴ 555222==+==a a a b a c e .（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=ba，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a .(黄冈2010，二模 理科）解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a0)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--aa，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a aa a 即a<1时，解为)12,2(a a --. ②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a aa a 时，解为∅.③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121a a a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(a a --. 由（3）a>1时，aa--12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a a a a ⇒ a 不存在. ② ⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aa a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ a a . 综上:a=1时，x ∈(2,+∞). a<1时，x ∈)12,2(aa-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(a a-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa.评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记.课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x 2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M.（1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+2353212.]4943[，3. (1) M 为），（），（2452 ∞- (2)),9()35,(+∞-∞∈ a4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2高三数学函数重点题型分析复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
高考数学压轴专题黄冈备战高考《不等式选讲》技巧及练习题附解析
【高中数学】数学高考《不等式选讲》复习资料一、141．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.2．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞U D ．(][),04,-∞+∞U【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式确定()f x 的最小值；把()2f x ≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a 的范围。
【详解】根据绝对值三角不等式，得1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+∴()1f x x x a =++-的最小值为1a +()2f x ≥Q 恒成立，∴等价于()f x 的最小值大于等于2，即12a +≥ ∴12a +≥或12a +≤-，1a ≥或3a ≤-，故选B 。
【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a 的取值范围。
3．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.4．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。
【免费】黄冈中学高三数学复习：圆与方程不等式测试卷
黄冈中学高三数学复习：圆与方程不等式测试卷一.选择题（每题4分，共48分）1.圆：222430x y x y +-++=的半径为：A. 1B. 2C. 2D. 42.若直线：30x y a ++=过圆：22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为：A. -1B. 1C. 3D..-33.不等式：2210x x -++>的解集是集合A ；B= {}|20x x -≤<，则A B ⋂= A. 1(,0)2- B. (2,)-+∞ C. (,1)-∞ D. (2,1)-4.设0a b <<，则下列不等式中正确的是： A. 2a b a b ab +<<<B. 2a b a ab b +<<< C. 2a b a ab b +<<< D. 2a b ab a b +<<< 5.直线：320x y +-=与圆：224x y +=相交于AB 两点，则弦长AB= A. 25 B. 23 C. 3 D. 16.在R 上定义运算：2a b ab a b ⊗=++,则满足(2)0x x ⊗-<的实数x 的取值范围：A. (0,2)B. (2,1)-C. (,2)(1,)-∞-⋃+∞D. (1,2)-7.已知224x y +=与圆：2266140x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程：A. 210x y -+=B. 210x y --=C. 30x y -+=D. 30x y --=8.点A.B 分别在x ，y 轴各自正半轴上滑动，2AB =,点P 为AB 的中点；(2,0)C -.则直线CP 斜率的取值范围：A. 3[0,]3B. 3[,1]3C. 1[0,]2D. 1[,1]29已知点 P 在区域： 22x y +≥ 内，.令Z=3x-y ，则Z 的取值范围：24x y +≤41x y -≥-A. 3[,6]2-B. [1,6]-C. [1,)-+∞D. 3[,)2-+∞ 10.若圆：224x y +=与圆：22260(0)x y ay a ++-=>的公共弦长为：23，则a =A. 12B. 1C. 2D. 3 11.已知圆面OC ：222()1x a y a -+≤-的面积为S ，平面区域D ：24x y +≤与圆面C 的公共区域的面积大于12S ,则实数a 的取值范围： A. (,2)-∞ B. (,2]-∞ C. (,1)(1,2)-∞-⋃ D. (,1)(1,2]-∞-⋃12.若关于x 的不等式：1420x x a +--≥在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围：A. (,0)-∞B. (,0]-∞C. (,1)-∞D. (,1]-∞二.填空题(每题3分，共12分)13.已知圆经过A(5,3）,B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆的方程为：________________14.已知圆：224x y +=，直线l ：y x b =+；圆上有四个点到直线l 的距离等于1，b 的取值范围：________________ 15.设x ，y ，z 为正实数，满足x-2y+3z=0，则2y xz的最小值是：________________ 1 0x >16.已知符号函数：sgnx= 0 0x = 则不等2(3)sgn 2x x ->的解集为：_______- -1 0x三..解答题（每题10分，共40分）17. 已知两个圆C 1：x 2+y 2=4，C 2：x 2+y 2-2x-4y+4=0，直线l ：x+2y=0，求经过C 1和C 2的交点 且和l 相切的圆的方程.18. 某校要建一个面积为392 m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4 m 的小路（如图所示）。
黄冈中学高考数学典型例题9：指数、对数函数
黄冈中学高考数学典型例题详解指数、对数函数指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f －1(n )>1+n n ; (3)若F (x )的反函数F －1(x ),证明：方程F －1(x )=0有惟一解.●案例探究［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上； (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218xx x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率：k 2=228222log 3log x x x x =，由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83).［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000(10a )x(0<a <1)的图象上，且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.解：(1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10a )21+n .(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减，∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a)－1>0,解得a <－5(1+2)或a >5(5－1).∴5(5－1)<a <10.(3)∵5(5－1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n .数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1.于是当b n ≥1时，B n <B n －1,当b n <1时，B n ≤B n －1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得：n ≤20.8.∴n =20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有：(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10－x +2)B.3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02( )(log )0( 22x x x x .则f -－1(x －1)=_________.4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L 水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y = ae －nt ,那么桶2中水就是y 2=a －ae －nt ,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有8a .三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式；(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21［f (x 1)+f (x 2)］与f (221x x +)的大小，并加以证明.7.(★★★★★)已知函数x ,y满足x ≥1,y ≥1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值.参考答案 难点磁场解：(1)由xx-+11>0,且2－x ≠0得F (x )的定义域为(－1，1)，设－1＜x 1＜x 2＜1,则F (x 2)－F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=, ∵x 2－x 1>0,2－x 1>0,2－x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1. 因此F (x 2)－F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(－1，1）上是增函数.(2)证明：由y =f (x )=x x -+11log 2得：2y =1212,11+-=-+y y x x x, ∴f －1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ，∴f -－1(x )的定义域为R .当n ≥3时，f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n . 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明：∵F (0)=21,∴F －1(21)=0,∴x =21是F －1(x )=0的一个根.假设F －1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的，故F -1(x )=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g (x )+h (x )=lg(10x +1)①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1).即－g (x )+h (x )=lg(10－x +1)②由①②得：g (x )=2x,h (x )=lg(10x +1)－2x . 答案：C2.解析：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得f- －1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1( log 2x x x x ,从而：f －1(x －1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x答案：⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4.解析：由题意，5分钟后，y 1=ae －nt ,y 2=a －ae －nt ,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae －n (5+t )=8a,解得t =10. 答案：10三、5.解：(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y .即x =x ′+2a ,y =－y ′.∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上，∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aa x -1.(2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log aax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)|·|f (x )－g (x )|≤1,∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a .f (x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为减函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0＜a ≤12579-.6.解：f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)， 当a >1时，有log a x 1x 2≤log a (221xx +)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +)，21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)］≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a (221xx +)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21［f (x 1)+f (x 2)］≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x －1)2+(log a y －1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内，圆弧(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =－u +k 有公共点，分两类讨论.(1)当u ≥0,v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2); (2)当u ≤0,v ≤0,即0＜a ＜1时，同理得到2(1－2)≤k ≤1－3.x 综上，当a >1时，log a xy 的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a ＜1时，log a xy 的最大值为1－3，最小值为2－22.8.解：∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0.∴－3≤21log x ≤－23.即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1.∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =－1;当log 2x =3,即x =8时，y max =0.。
湖北省黄冈中学高考数学 典型例题5 求解函数解析式.doc
高考数学典型例题详解求函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知f (2－cos x )=cos2x +cos x , 求f (x －1).●案例探究［例1］(1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式.(2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,f (x )式.命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解：(1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),则x =a t.因此f (t )=12-a a (a t －a －t) ∴f (x )=12-a a (a x －a －x)(a >1,x >0;0<a <1,x <0)(2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f (x )=2x 2－1或f (x )=－2x 2+1或f (x )=－x 2－x +1或f (x )=x 2－x －1或f (x )=－x 2+x +1或f (x )=x 2+x －1.［例2］设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象.命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目.知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线. 错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱. 技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式. 解：(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2. (2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2.∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1 ∴f (x )=－x 2+2.(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2综上可知：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x );另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)若函数f (x )=34 x mx(x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( )A.3B.23C.－23D.－32.(★★★★★)设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )等于( )A. f (x )=(x +3)2－1 B. f (x )=(x －3)2－1 C. f (x )=(x －3)2+1D. f (x )=(x －1)2－1二、填空题3.(★★★★★)已知f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________.4.(★★★★★)已知f (x )=ax 2+bx +c ,若f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=_________.三、解答题5.(★★★★)设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式.6.(★★★★)设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式.若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.(★★★★★)动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明：f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式.参考答案难点磁场解法一：(换元法）∵f(2－cos x)=cos2x－cos x=2cos2x－cos x－1令u=2－cos x(1≤u≤3),则cos x=2－u∴f(2－cos x)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)解法二：(配凑法）f(2－cos x)=2cos2x－cos x－1=2(2－cos x)2－7(2－cos x）+5∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4).歼灭难点训练一、1.解析：∵f (x )=34-x mx. ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3. 答案：A2.解析：利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1，又y =f (x )关于x =1对称，故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1.答案：B二、3.解析：由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x )=3x 1.由上面两式联立消去f (x1)可得f (x )=x2－x . 答案：f (x )=x2－x 4.解析：∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0.又f (x +1)=f (x )+x +1, ∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b ）x +a +b =bx +x +1. 故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x . 答案：21x 2+21x三、5.解：利用待定系数法，设f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x .6.解：(1)设x ∈［1,2］,则4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4.(2)设x ∈［0，1］，则2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4,又由(1）可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4,设A 、B 坐标分别为(1－t ,0）,(1+t ,0)(0＜t ≤1),则|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ，∴82S =2t 2(2－t 2)·(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764,当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号.∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =9616.7.解：(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，PA =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABDPA =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得PA =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，PA =4－x ,故f (x )的表达式为：f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43( 4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x(2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进行分类求解.如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S△ABP=21AB ·BP =21(x －1）；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x ).故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x8.(1)证明：∵y =f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0.(2)解：当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4).(3)解：∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0,又y =f (x ) (0≤x ≤1)是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3,又f (1)=k ·1=k ,∴k =－3.∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x－5≤1,∴f (x )=f (x －5)= －3(x －5)=－3x +15,6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x .。
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析不等式的综合考查考点透析
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点分析8：不等式的综合考察考点透析【考点聚焦】（解、用、证）（两小半大）考点 1：不等式的性质与重要不等运用考点 2：不等式的解法考点 3：不等式的应用问题考点 4：不等式的综合问题【考题形式】1。
小题与会合，函数定义域、值域联合；（ 1 小是一定的）2．不等式组与线性规划。
3。
大题形式多样与其余知识联合，不会出现独自的不等式题。
【问题 1】不等式的解法1．已知 R为全集， A={x|log1 (3-x) ≥-2},B={x|5≥ 1},C R A ∩B=（B）x22(A)-2<x<-1(B)– 2<x<-1 或 x=3 (C)-2≤ x<-1 (D)-2≤ x≤12．设 a<0,则对于 x 的不等式42x2+ax-a2<0 的解集为：（A）(A)7a ,6a(B)6a , 7a(C)｛ 0｝(D)无解3．以下不等式中，解集为R 的是（B）A ． |x－ 3|>x－ 32x 2x2> 1 B ．x1x 212D．log1x 210C．xx22(x23x 2)( x4) 20 的解为（D）4．不等式x3A ．－ 1<x≤ 1 或 x≥ 2B． x<－ 3 或 1≤ x≤ 2C．x=4 或－ 3<x≤ 1 或 x≥2D． x=4 或 x<－ 3 或 1≤ x≤ 25．（山东卷）设 f(x)=2e x 1 , x2,则不等式 f(x)>2 的解集为log 3 ( x21), x2,(A) （ 1，2）（ 3， +∞） (B) （10 ，+∞）(C)（ 1， 2）（10， +∞） (D) （ 1， 2）解：令 2e x 12（ x 2），解得 1 x2。
令 log 3 ( x 21)2（ x 2）解得 x（10 ，+∞）选 C【精例 1】已知A x x22 x8 0, Bx 9 3x2x19，24ax 3a20，C x x若 A BC ，务实数 a 的取值范围．解：由题意可得， A= ｛ x|x － 4 或 x 2｝B= ｛ x|－2x 3｝则A B={ x|2x 3}而 C=｛ x|(x － a)(x － 3a)0｝ 要使 ABa 2得 a [1,2] ．C 则 a>0，且，3a3【精例 2】解不等式log 1( x1)log 21log 1 12 ．（ 12 分）6 x22解：∵原不等式log 2 ( x 1) log 2 (6 x) log 2 12log ( x1)(6 x) log 12( x 1)( 6x) 0x 3或x 2{ x 1 2且6-x 02 {1 x 6{-1 x 61 x 2或 3 x 6原不等式的解集为： { x1 x2或3x 6} ．【精例 3】P 61 例 1【精例 4】P62例 2【问题 2】含有参数的不等式问题含有参数的不等式问题是高考常考题型， 求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转变，化为一元二次不等式等问题去解决，注意参数在转变过程中对问题的影响. 【精例 5】已知 f ( x) lg( x 1), g(x) 2lg( 2x t )(t R, t 是参数） .（ 1）当 t=－1 时，解 不等式： f(x)≤ g(x) ；（2）假如当 x ∈ [0,1] 时， f(x)≤ g(x)恒成立，求参数t 的取值范围 .x 1 0 解：（ 1）t ＝－ 1 时，f(x) ≤ g(x)，即为 lg( x1) 2 lg( 2x 1) ，此不等式等价于2 x 1x 1 ( 2x 1) 25 5解得 x ≥ 4 , ∴原不等式的解集为｛ x| x ≥ 4｝x 1 0(2) x ∈ [0,1] 时， f(x)≤ g(x)恒成立 , ∴ x ∈ [0,1] 时，2x t 0 恒成立，x 1 ( 2xt) 2x 1 0 ∴ x ∈ [0,1] 时，t2x 恒成立，即 x ∈ [0,1] 时， t2xx 1t2xx 1恒成立，于是转变为求 2xx 1 （ x ∈ [0,1] ）的最大值问题 .令 ux 1 ，则 x=u 2－ 1，由 x ∈ [0,1] ，知 u ∈ [1, 2 ].∴ 2xx 1 ＝－ 2（ u 2－ 1）＋ u= 2(u1 )2 174 8当 u=1 时，即 x=0 时， 2x x 1 有最大值为 1.∴ t 的取值范围是 t ≥1.评论： 对于含参数问题， 经常用分类议论的方法； 而恒成立问题， 除了运用分类议论的方法外，还可采纳分别参数的方法 .【精例 6】解对于 x 的不等式： | log a(ax 2) | | log a x | 2(a 0, 且a 1)点拨与提示：用换元法将原不等式化简，注意对a 的议论 .解：设log a x t ，原不等式化为｜1＋ 2t ｜－｜ t ｜ <2（1）当t1时，－ 1－ 2t ＋ t<2 ，∴ t>－ 3，∴ 3 t122（2）当1 t1，∴1 t20时， 1+2t+t<2 ，∴ t23（ 3）当 t ≥ 0 时， 1+2t － t<2 ，∴ t<1, ∴0≤ t ＜ 1综上可知：－ 3＜ t ＜ 1，即－ 3＜ log a x ＜ 1当 a ＞ 1 时，1 1a 3x a ，当 0＜ a ＜ 1 时， a xa 3因此当 a ＞1 时，原不等式的解集为 ｛ x|1 x a ｝, 当 0＜ a ＜1 时，原不等式的解集为 ｛ x ｜a 3a x1 ｝a 3【精例 7】 P 62 例 3【问题 3】不等式与函数的综合题（隐含不等式）【精例 8】 P 64 T 6【精例 9】已知 f(x)是定义在［ -1， 1］上的奇函数，且 f(1)=1 ，若 m 、n ∈［ -1， 1］， m+n ≠f (m)f (n)1(1)用定义证明 f(x) 在［－ 1，1］上是增函数； (2)解不等式f(x+ 2)0 时m n＞ 01＜f( x1)；(3) 若 f(x) ≤ t －2+1 对全部 x ∈［－ 1， 1］， a ∈［－ 1， 1］恒成立，务实数 t 的取值范围2at【思路剖析】 (1)问单一性的证明，利用奇偶性灵巧变通使用已知条件不等式是重点， (3)问利用单一性把f(x) 转变成“ 1”是画龙点睛(1) 证明 任取 x 1＜x 2 ，且 x 1， x 2∈［－ 1，1］，则 f(x 1212f ( x 1 )f (x 2 )·(x 12)－ f(x )= f(x )+ f(－ x )=x 1x 2－ x )∵－ 1≤ x1＜x2≤ 1，∴ x1+(－ x2)≠ 0，由已知f ( x1 ) f ( x2)＞0，又x1－x2＜0，x1x2∴ f(x1)－ f(x2) ＜ 0，即 f( x)在［－ 1， 1］上为增函数1x 11(2) 解∵ f(x)在［－ 1，1 ］上为增函数，∴2{ x|－3≤ x＜－ 1， x 11解得1x21x112x 1∈R }(3)解由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1 ，故对x∈［－ 1， 1］，恒有f(x)≤ 1，因此要使 f(x)≤ t2－ 2at+1 对全部 x∈［－ 1，1］，a∈［－ 1，1］恒成立，即要t2－ 2at+1≥1成立，故 t2－ 2at≥ 0，记 g( a)=t2－ 2at，对 a∈［－ 1，1］，有 g( a)≥ 0，只要 g(a)在［－ 1， 1］上的最小值大于等于0， g(－ 1)≥ 0， g(1)≥ 0，解得， t≤－ 2 或 t=0 或 t≥ 2∴t 的取值范围是{ t|t≤－ 2 或 t=0 或 t≥2}评论此题是一道函数与不等式相联合的题目，考察学生的剖析能力与化归能力它主要波及函数的单一性与奇偶性，而单一性贯串一直，把所求问题分解转变，是函数中的热门问题；问题（2）、（ 3）要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了重点作用【问题 4】线性规划【精例 10】不等式| 2 x y m | 3 表示的平面地区包括点(0,0) 和点 ( 1,1), 则 m 的取值范围是（ A ）A．C．2m3 B ．0m63m6D．0m3yy 2x 4【精例 11】已知点（ 3 ， 1）和点（－ 4 ， 6）在直线3x–2y +m = 0 的双侧，则（ B ）A ． m＜－ 7或 m＞ 24B ．－ 7＜ m＜ 24 C． m＝－ 7或 m＝ 24 D．－ 7≤m≤ 24x y sO x图 3x0y0下，当 3 x 5 时，【精例 12】在拘束条件xy sy2x4目标函数 z 3x 2 y 的最大值的变化范围是A. [6,15]B. [7,15]C. [6,8]D.[7,8]【 精 例 13】 已 知 a (0,2), 当 a 为什么值时，直线l 1 : ax 2 y 2a 4与 l 2 : 2x a 2 y2a 24及坐标E yl 1 `12 分）轴围成的平面地区的面积最小？（解：Ca( xBODx l 1 : y 22) l 1恒过 A(2,2),2l 2 `交 x, y 轴分别为 B （24,0),C(0,2a)al 2 : y 22(x 2) l 2 恒过 A(2,2), 交x, y 轴分别为 D （a 22,0), C(0,2 4) ，a 2a 24 0 a2 20,2 a， 由 题 意 知 l 1与 l 2及坐标轴围成的平面地区为aACOD ，S ACODS EODS ECA1 (a2 2)( 24 ) 1 ( 4 a) 2 a 2a 4 ( a1) 2 15 ,2a 2 2 a 224当a1时，(S ACOD ) min1524．【问题 4】不等式的实质应用问题对于应用题要经过阅读， 理解所给定的资料， 找寻量与量之间的内在联系， 抽象失事物系统的主要特点与关系， 成立起能反应其实质属性的数学构造， 进而成立起数学模型， 而后利用不等式的知识求出题中的问题【精例 13】（天津卷） 某企业一年购置某种货物 400 吨，每次都购置 x 吨，运费为4 万元/次，一年的总储存花费为 4x 万元，要使一年的总运费与总储存花费之和最小，则 x_______吨．解： 某企业一年购置某种货物400 吨，每次都购置x 吨，则需要购置400次，运费为 4 万x元/ 次，一年的总储存花费为4x 万元，一年的总运费与总储存花费之和为400 4 4x 万元，x40016004 4x ≥ 160，当x4 x 即 x 20 吨时，一年的总x运费与总储存花费之和最小。
高考数学专题08 不等式选讲(解析版)
备战2020高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典专题八 不等式选讲【考生存在问题报告】（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例1】（2019·湖北黄冈中学高三）[选修4-5：不等式选讲]:已知函数. ()2f x x a x a =++-（1）当时，求不等式的解集；1a =()42f x x ≥-+（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值. 0a >0b >()f x t 33t b +=12a b +【答案】（1） （2）7(,[1,)3-∞--+∞ 3+【解析】（1）当时，，原不等式可化为，①1a =()21f x x x =++-2214x x ++-≥当时，不等式①可化为，解得，此时； 2x ≤-2414x x ---+≥73x ≤-73x ≤-当时，不等式①可化为，解得，此时；21x -<<2414x x +-+≥1x ≥-11x -≤<当时，不等式①可化为，解得，此时， 1x ≥2414x x ++-≥13x ≥1x ≥综上，原不等式的解集为. ][7,1,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭（2）由题意得， ，()2f x x a x a =++-≥()()23x a x a a +--=因为的最小值为，所以，由，得， ()f x t 3t a =333a b +=1a b +=所以 ， ()1212a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭2333b a a b =++≥+=+当且仅当，即，的最小值为. 2b a a b =1a =-2b =12a b +3+【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．（二）不能对条件进行正确的等价转化【例2】【2017全国卷Ⅲ23（2）】已知函数.若不等式的解集非空，求21)(--+=x x x f ()2f x x x m ≥-+m 的取值范围.【解析】原式等价于存在，使成立，即 x R ∈2()f x x x m -+≥2max [()]f x x x m -+≥设 ，由已知得2()()g x f x x x =-+2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当时，， 1x ≤-22111()3((1)524=-+-=---≤-=-g x x x x g 当时，， 21<<-x 22355()31(244=-+-=--+≤g x x x x 当时，， 2≥x 1)2(413)21(3)(22=≤+--=++-=g x x x x g 综上述得，故的取值范围为. 45)(max =x g m ]45,(-∞【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式的解集非空”等价转化为()2f x x x m ≥-+)2f x x x m ≥-+解集非空，忽略了右边的代数式也是随着的变化而变化，左右两边的表示的是同max()f x ≥x x 一个数；错点二，将“不等式的解集非空”等价转化为“”，错在对“解集非空”的()2f x x x m ≥-+min ()m g x ≤理解上. 所谓“解集非空”即存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式x ()2f x x x m ≥-+x 成立，等价于即可.212x x x x m +---+≥2max (12)x x x x m +---+≥【例3】（2020·福建高三）已知函数．()231f x x x m =-++-（1）当时，求不等式的解集；5m =()0f x >（2）若当时，不等式恒成立，求实数m 的取值范围． 14x ≠()16041f x x +>-【答案】（1）{x |或}．（2）（，8）．1x <-1x >-∞【解析】（1）当m =5时，，()0f x >⇔23150x x -++->或或 1,323150,x x x ⎧≤-⎪⇔⎨⎪-+--->⎩12,323150,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+++->⎩2,23150,x x x ≥⎧⎨-++->⎩或或或或 1,31,x x ⎧≤-⎪⇔⎨⎪<-⎩12,31,x x ⎧-<<⎪⎨⎪>⎩2,3,2x x ≥⎧⎪⎨>⎪⎩1x ⇔<-12x <<2x ≥或，所以不等式的解集为{x |或}；1x ⇔<-1x >()0f x >1x <-1x >（2）由条件，有当时，不等式， 14x ≠16()0|41|f x x +>-即恒成立， 16|2||31||41|m x x x <-+++-令， 16()|2||31||41|g x x x x =-+++-则因为， 16()(2)(31)41g x x x x ≥-+++-164141x x =-+-8≥=且， 所以，3(84g -=min [()]8g x =所以m <8，即实数m 的取值范围为（，8）．-∞【评析】（1）分类讨论去掉绝对值后再解不等式；（2）由题意可得恒成立，令，利用绝16|2||31||41|m x x x <-+++-16()|2||31||41|g x x x x =-+++-对值三角不等式以及基本不等式可得，从而得出结论．min [()]8g x = （三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法【例4】（2020·广西高三）设，且.,,a b c ∈R 3a b c ++=（1）求证：；()()222113a b c +++-≥（2）若，求证：.1t ≥()()()222123a b t c t -+-++≥【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由 ()()()22911a b c a b c =++=+++-⎡⎤⎣⎦()()()()()2221121211a b c a b b c =+++-++++-()()()()()()()22222222221111111a c a b c a b b c a c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-≤+++-++++++-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ()()222311a b c ⎡⎤=+++-⎣⎦（当且仅当时取等号）1,0,2a b c ===故有()()22113a b c +++-≥（2）()()()()()2222112t a b c t a b t c t +=++-+=-+-++⎡⎤⎣⎦()()()()()2221221a b t c t a b t =-+-+++--()()()()22212b t c t a c t +-++-+()()()()()()()()()222222222121212a b t c t a b t b t c t a c t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤-+-+++-+-+-+++-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()222312a b t c t ⎡⎤=-+-++⎣⎦由，有1t ≥()229t +≥故当时，.1t ≥()()()222123a b t c t -+-++≥【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路.（四）知识掌握不熟练，无法优选算法化简求解过程【例5】【2014全国卷Ⅱ24（1）】设函数= 证明：2； ()f x 1(0)x x a a a++->()f x ≥【解析】法一：因为，所以0a >12,11(),112.x a x a a f x a x a aa x a x a a ⎧+-≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩当时，为增函数，所以， x a ≥1()2f x x a a =+-1()()2f x f a a a≥=+≥当时，， 1x a a -<<1()2f x a a=+≥当时，为减函数，所以 1x a ≤-1()2f x x a a =--+11()()2f x f a a a ≥-=+≥综上述得成立.()2f x ≥法二：因为，又 111x x a x a x a a a a++-=++-≥+0a >所以. 1()2f x a a≥+≥【评析】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.【命题专家现场支招】一、解决问题的思考与对策（一）强化绝对值不等式的求解训练高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，可以归纳为写成分段函数求解、利用函数图象求解、利用绝对值不等式性质求解等方法，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握绝对值不等式求解的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.【例6】（2020·贵州高三）设函数.()21f x x a x a =++--（1）当时，求不等式的解集；0a =()3f x x <（2）若，且关于的不等式有解，求的取值范围.0a >x ()7f x ≤a 【答案】（1）（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(]0,4【解析】（1）当时，解不等式，即，0a =213x x x +-<1x x -<所以，解得. 2221x x x -+<12x >所以不等式的解集为. ()3f x x <1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2） ()31,1,21,1,231,,2x x a a f x x a x a a x x ⎧⎪-≥+⎪⎪=++-<<+⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩当时，. 2a x =-()min 312a f x =+因为有解，所以，即， ()7f x ≤()min 7f x ≤3172a +≤所以，所以，所以的取值范围为.312a ≤04a <≤a (]0,4（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例7】（2020·黑龙江哈九中高三期末）已知.()1f x x a x =-++（1）若不等式的解集是区间的子区间，求实数a 的取值范围；()21f x x <++[]3,2-（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a 的取值范围.x ∈R ()21>+f x a 【答案】（1）（2）[]1,0-(),0-∞【解析】（1）因为，且， ()1f x x a x =-++()21f x x <++ ，，2x a ∴-<22a x a ∴-+<<+由题意知，，所以， ()[]2,23,2a a -+⊆-2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得，所以实数的取值范围是. 10a -≤≤a []1,0-（2），()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+当且仅当时，等号成立，()()10a x x -+≥所以的最小值为.()f x 1a +故对任意的，恒成立可转化为，x ∈R ()21>+f x a 121a a +>+所以或，解得. 10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩10121a a a +<⎧⎨-->+⎩0a <所以实数a 的取值范围是.(),0-∞【例8】（2020·江西高三）已知函数.()|21|||()f x x x m m R =+--∈（1）当时，解不等式；1m =()2f x ≥（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围. x ()|3|f x x ≥-[3,4]m 【答案】（1）（2） 2(,4][,)3-∞-+∞ [4,10]-【解析】（I ）当时，， 12x ≤-()()2112f x x x x =--+-=--由解得，综合得；()2f x ≥4x ≤-4x ≤-当时，， 112x -<<()()()2113f x x x x =++-=由解得，综合得； ()2f x ≥23x ≥213x ≤<当时，，1x ≥()()()2112f x x x x =+--=+由解得，综合得.()2f x ≥0x ≥1x ≥所以的解集是. ()2f x ≥][2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（II ）∵的解集包含，()213f x x x m x =+--≥-[]3,4∴当时，恒成立[]3,4x ∈213x x m x +--≥-原式可变为，即，213x x m x +--≥-4x m x -≤+∴即在上恒成立，44x x m x --≤-≤+424m x -≤≤+[]3,4x ∈显然当时，取得最小值10，3x =24x +即的取值范围是. m []4,10-【例9】（2020·江西高三）设函数．()()40f x x a x a =-+-≠（1）当时，求不等式的解集； 1a =()f x x <（2）若恒成立，求的取值范围． ()41f x a≥-a 【答案】（1）；（2）．()3,5()[),01,-∞+∞ 【解析】（1）当时，，1a =()52,1143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩当时，，无解；当时，可得；当时，可得1x ≤()f x x <14x <<()f x x <34x <<4x ≥()f x x <；故不等式的解集为．45x ≤<()f x x <()3,5（2），()()()444f x x a x x a x a =-+-≥---=-． 4441a a a a-∴-≥-=当或时，不等式显然成立； 0a <4a ≥当时，，则． 04a <<11a ≤14a ≤<故的取值范围为．a ()[),01,-∞+∞ （三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.【例10】（2020·河南高三期末）已知函数，记不等式的解集为. ()2121f x x x =-++()4f x <M （1）求；M （2）设，证明：.,a b M ∈10ab a b --+>【答案】（1）；（2）证明见解析{}|11x x -<<【解析】（1）， ()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩由，解得，()4f x <11x -<<故.{}|11M x x =-<<（2）证明：因为，所以，，,a b M ∈1a <1b <所以，()()()1110ab a b a b -++=-->所以.10ab a b --+>【例11】（2020·重庆西南大学附中高三）已知实数a 、b 、. c R +∈（1）若，求的最小值； 24ab ac bc a +++=-2a b c ++（2）若，求证：. 3a b c ++=3331118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】（1） ；（2）证明见解析. )21-【解析】（1），24ab ac bc a +++=- ()()22ab ac bc a a ab ac bc ∴+++=+++， ()()()())241a a b c a b a c a b =+++=++=-=， ()())221a b c a b a c ∴++=+++≥=当且仅当时，等号成立.a b a c +=+（2）时取等号）.，331a b c a a a -+-==≥ b c =331b a c b b b -+-==≥②（当且仅当时取等号）.，③（当且仅当时取等号）. a c =331c a b c c c -+-==≥a b =又因为实数a 、b 、，c +∈R 由得：当且仅当时取等号 ⨯⨯①②③3331118.(a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c ==) 3331118.a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、典型问题剖析（一）含绝对值不等式的求解1．零点分段求解绝对值不等式的模型(1)求零点；(2)划区间，去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值号的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．2．绝对值不等式恒成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )形式；(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a ；(3)得结论．【例12】【河南省九师联盟2019届高三2月检测】已知函数.f(x)=2|x ‒1|+|x +2|（1）求不等式的解集；f(x)≥4（2）设函数的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围.f(x)M x 2+2x +m ≤M m 【解析】（1），f(x)=2|x ‒1|+|x +2|①当时，，由，解得； x ≥1f(x)=2(x ‒1)+(x +2)=3x f(x)≥4x ≥43②当时，，由，解得； ‒2<x <1f(x)=‒2(x ‒1)+(x +2)=‒x +4f(x)≥4‒2<x ≤0③当时，，由，解得.x ≤‒2f(x)=‒2(x ‒1)‒(x +2)=‒3x f(x)≥4x ≤‒2综上或. x ≤0x ≥43所以不等式的解集是. f(x)≥4{x |x ≤0或x ≥43 }（2）由（1）可知， f(x)={3x,x ≥1‒x +4,‒2<x <1‒3x,x ≤‒2所以函数在区间单调递减，在区间上单调递增，f(x)(‒∞,1][1,+∞)所以函数的最小值.f(x)f(1)=3由题意得有解，x 2+2x +m ≤3所以有解.m ≤‒x 2‒2x +3设，g(x)=‒x 2‒2x +3=‒(x +1)2+4则.g(x)max =4所以.m ≤4故实数的取值范围是.m (‒∞,4]【例13】（2020·福建省福州第一中学高三期末）（1）解不等式；|32|5x ->（2）若成立，求常数的取值范围.[1,2],||1x x x a ∀∈--≤a 【答案】（1）或（2）{|4x x >1}x <-(,1][3,)-∞+∞ 【解析】（1）由，得 |32|5x ->|23|5x ->所以或235x ->235x -<-解得：或4x >1x <-故不等式的解集为：或{|4x x >1}x <-（2）由已知得：22||10()(1)x a x x a x -≥-≥∴-≥-(1)(21)0a a x ∴--+≥当a =1时，恒成立；(1)(21)0a a x --+≥当a >1时，,即，从而；(1)(21)0a a x --+≥21a x ≥-3a ≥当a <1时，,即，从而；(1)(21)0a a x --+≥21a x ≤-1a ≤综上：a 的取值范围是：(,1][3,)-∞+∞ 【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：①求零点；②分区间、去绝对值号；③分别解各区间上所得不等式；④取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值．也可以采用图象法，通过作出函数图象，利用数形结合的思想求解.（二）给定条件，求参数的取值范围【例14】（2020·深圳市南山区华侨城中学高三）已知函数()|2||2|.f x x x =+-(1)解不等式: f (x )<5;(2)当x ∈R 时，f (x )> ax +1,求实数a 的取值范围.【答案】（1）（2） 71,3⎛⎫- ⎪⎝⎭332a -≤<【解析】（1）解:由题,当时,,则,解得,则；0x <()2232f x x x x =-+-=-+325x -+<1x >-10x -<<当时,,则,解得,则；02x ≤<()222f x x x x =+-=+25x +<3x <02x ≤<当时,,则,解得,则, 2x ≥()2232f x x x x =+-=-325x -<73x <723x ≤<综上,解集为 71,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由题,,()32,22,0223,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩则的图象如图所示:()y f x=因为均满足,则的图象在直线的上方,x ∈R ()1f x ax >+()y f x =1y ax =+因为直线恒过定点,点,则, 1y ax =+()0,1P ()2,4A 32PA k =由图象可知 332a -≤<【评析】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．【例15】（2020·湖南师大附中高三）已知函数，．()241f x x x =-++x ∈R （1）解不等式；()9f x ≤（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围． ()2f x x a =-+[]0,2a 【答案】（1）（2） []2,4-19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）可化为， ()9f x ≤2419x x -++≤故，或，或； 2339x x >⎧⎨-≤⎩1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩1339x x <-⎧⎨-+≤⎩解得：，或，或；24x <≤12x -≤≤21x -≤<-不等式的解集为；[]2,4-（2）由题意：，． ()225f x x a a x x =-+⇔=-+[]0,2x ∈故方程在区间有解函数和函数，图像在区间上有交点 ()2f x x a =-+[]0,2⇔y a =25y x x =-+[]0,2当时， []0,2x ∈2195,74y x x =-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦实数的取值范围是. ∴a 19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【评析】本题属于“恰成立”问题，对于“恰成立”问题，解决此类问题只需按照正常解不等式进行，再根据集合相等的条件即可求解.（三）不等式的证明对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法．(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法．(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法．(3)能转化为比较大小的可以用比较法．(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法．【例16】（2020·云南昆明一中高三）已知正数，，满足等式.a b c 1a b c ++=证明：（1；+≤（2++≤【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）要证不等式等价于，因为23≤，22123222a b b c a c a b c +++⎛⎫+=+++≤+++= ⎪⎝⎭，当且仅当时取等号. ≤13a b c ===（2）因为，所以， ()()()23232311a b c +++++=2323231111111a b c +++++=又因为，，.， 23011a +>23011b +>23011c +>+≤时取等号. ≤13a b c ===【例17】（2020·四川三台中学实验学校高三）已知，，，证明：0a >0b >332a b +=(1)； ()()554a b a b ++≥(2).2a b +≤【答案】(1) 见解析(2) 见解析【解析】（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时取553324a b a b a b ++≥+（）（）（）＝，等号；（2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2，∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2，∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2，∴ab ， ()()323a b a b +-=+由均值不等式可得：ab ≤ ()()323a b a b +-=+2(2a b +∴（a +b ）3﹣2，∴（a +b ）3≤2， ()334a b +≤14∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．【评析】不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法.【新题好题针对训练】一、单选题1．（2020·浙江高三期末）若函数的最小值3，则实数的值为（ ）()12f x x x a =+++a A ．5或8B ．或5C ．或D ．或1-1-4-4-8【答案】D 【解析】由题意，①当时，即，，则当时，12a ->-2a >3(1),2(){1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-=+--<≤-++>-2a x =-，解得或（舍）；②当时，即，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=8a =4a =-12a -<-2a <，则当时，，解得3(1),1(){1,123(1),2x a x a f x x a x ax a x --+≤-=-+--<≤-++>-2a x =-min ()(1322a a f x f a a =-=-++-+=（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，8a =4a =-12a -=-2a =()31f x x =+min ()0f x =所以或，故选D.8a =4a =-二、解答题2．（2020·湖南长郡中学高三）已知函数.()|31||2|f x x x =-+-（1）求不等式的解集；()3f x ≥（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值. 1,1m n >>x R ∀∈2253log log ()m n f x ⋅≥mn 【答案】（1）或.（2）4{|0x x ≤1}x ≥【解析】（1）原不等式可化为，|31||2|3x x -+-≥①当时，原不等式可化为， 13x ≤3123x x -++-≥解得，；0x ≤0x ∴≤②当时， 123x <<原不等式可化为，解得，；3123x x -+-≥1x ≥12x ≤<∴③当时，2x ≥原不等式可化为，解得，； 3123x x --+≥32x ≥2x ∴≥综上，不等式的解集为或. {|0x x ≤1}x ≥（2）， 143,31()21,2343,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩. min 15()()33f x f ==∴由恒成立可知， ∴2253log log ()m n f x ⋅≥不等式恒成立.22log log 1m n ⋅≥，22log log 2m n +≥≥ ，2log ()2m n ⋅≥∴，当且仅当时等号成立.4m n ⋅≥∴2m n ==故的最小值4.∴mn 3．（2020·山西高三）已知函数（其中）.()22f x x a x =++-a R ∈（1）当时，求不等式的解集；1a =-()6f x ≥（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.x 2()32f x a x ≥--a 【答案】（1）.（2）.{|13}x x x ≤-≥或4[1,]3-【解析】（1）当时，函数，1a =-()212f x x x =-+-则不等式为，2126x x -+-≥①当时，原不等式为，解得：； 2x ≥2126x x -+-≥3x ≥②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解； 122x ≤<2126x x -+-≥5x ≥③当时，原不等式为，解得：， 12x <1226x x -+-≥1x ≤-原不等式的解集为.{|13}x x x ≤-≥或方法二：当时，函数 ，画出函数的图象，如图： 1a =-()212f x x x =-+-33,211,22133,2x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩()f x结合图象可得原不等式的解集为.{|13}x x x ≤-≥或（2）不等式即为 ， ()232f x a x ≥--22x a x ++-232a x ≥--即关于的不等式恒成立.x 22223x a x a ++-≥而 ，222x a x ++-224x a x =++-()()224x a x ≥+--4a =+所以， 243a a +≥解得或，243a a +≥243a a +≤-解得或. 413a -≤≤a φ∈所以的取值范围是. a 41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．（2020·山西大同一中高三）设函数，． ||f x x a -（）＝a R ∈（1）若不等式的解集为，求a 的值；()1f x ＜2|}0{x x ＜＜（2）若存在，使，求a 的取值范围． 0x R ∈003f x x +（）＜【答案】（1）；（2）1a =(,3)-∞【解析】（1）由题意可得，可化为，1x a -＜11a x a -+＜＜∴，解得． 1012a a -=⎧⎨+=⎩1a =（2）令， ()()g x f x x x a x =+=-+2x a x a a x a -≥⎧=⎨⎩，，＜所以函数的最小值为，()g x a 根据题意可得，所以a 的取值范围为．3a ＜(,3)-∞5．（2020·海南高三）已知都是正数，求证：,,a b c （1）； 222a b c a b c b c a++++…（2）. 111111222a b c a c c a a b+++++++…【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）∵，∴，当且仅当时等号成立， 0,0,0a b c >>>22a b a b +=…a b =同理可得，， 222,2b c c b a c c a++……∴，即； 222222a b c b c a a b c b c a +++++++…222a b c ab c b c a++++…（2）因为，所以， 0,0,0a b c >>>1111222a b a b ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭…当且仅当时等号成立， a b =同理可得，， 1111222b c b c ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭…1111222c a c a⎛⎫+ ⎪+⎝⎭…∴， 111111111111222222222a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭…即. 111111222a b c b c c a a b +++++++…6．（2019·广西大学附属中学高三）已知函数.()|31||33|f x x x =-++（1）求不等式的解集；()10f x ≥（2）正数满足.,ab 2a b +=≥【答案】(1) (2)证明见解析4(,2][,)3-∞-+∞ 【解析】（1）当时，， 1x <-()13336210f x x x x =---=--≥解得，所以；2x -≤2x -≤当时，，； 113x -≤≤()1333410f x x x =-++=≥x φ∈当时，， 13x >()31336210f x x x x =-++=+≥解得，所以. 43x ≥43x ≥综上，不等式的解集为. ()10f x ≥4(,2][,)3-∞-+∞ （2）证明：因为,ab≥等价于对任意的恒成立.()f x a b ≥++x ∈R 又因为，且， ()|31||33|4f x x x =-++≥2a b +=1≤，当且仅当时等号成立.12a b +≤=1a b ==成立.≥7．（2020·南昌市新建区第二中学高三）已知函数. ()1f x x x =++（Ⅰ）解关于x 的不等式；()2f x ≥（Ⅱ）若a ，b ，，函数的最小值为m ，若，求证：. c +∈R ()f x a b c m ++=13ab bc ac ++≤【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）见解析 12x x ⎧≥⎨⎩32x ⎫≤-⎬⎭【解析】（Ⅰ）即，()2f x ≥12x x ++≥可得或或， 012x x x ≥⎧⎨++≥⎩1012x x x -<<⎧⎨-++≥⎩112x x x <-⎧⎨---≥⎩解得或或， 12x ≥x ∈∅32x <-则原不等式的解集为； 1322x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或（Ⅱ）证明：，()111f x x x x x =++≥--=当且仅当，即时上式取得等号，()10x x +≤10x -≤≤可得函数的最小值为1，()f x 则，且a ，b ，，1a b c ++=c +∈R 由 ()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++，()2223ab bc ca ab bc ca ab bc ca ≥+++++=++可得，当且仅当取得等号，即., ()31ab bc ca ++≤13a b c ===13ab bc ac ++≤8．（2020·河北衡水中学高三）已知函数. ()|2||1|()f x x m x m R =+--∈（1）若，解不等式；2m =-()5f x …（2）若，求的最小值.()|5|f x m x +…m 【答案】（1）（2） 5(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭12【解析】（1）当时，，可转化为2m =-3,1()4,213,2x x f x x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩()5f x …或或， 135x x ≥⎧⎨≥⎩2145x x -<<⎧⎨-≥⎩235x x ≤-⎧⎨-≥⎩所以不等式的解集为. 5(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）根据题意，，， x R ∀∈|2||1||5|x m x m x +--+…即，. x R ∀∈|2||5||1|x m x x +++-…记不等式右边函数为， ()g x根据题意()()[)1,(,5][1,)21()2,(5,2)612,2,16x g x x x x x ⎧∈-∞-⋃+∞⎪⎪⎪=-+∈--⎨⎪⎪+∈-⎪⎩于是的值域为，因此实数的最小值为. ()g x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 129．（2020·江西高三期末）已知函数.()|21||1|f x x x =-++（1）解不等式；()2f x …（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值. ()f x m ,a b 322a b m +=23a b +【答案】（1）（2）8 2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1） 3(1)1()211212132x x f x x x x x x x ⎧⎪--⎪⎪⎛⎫=-++=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩……∴或或 132x x -⎧⎨-⎩……11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩1232x x ⎧⎪⎨⎪⎩……∴或或 1x -…10x -<≤23x …∴不等式的解集为 2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）由 3(1)1()212132x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪⎛⎫=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩……可知 min 13()22f x f m ⎛⎫=== ⎪⎝⎭∴323,0,0a b a b +=>>∴231231941(32)66(668333a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…∴当且仅当 94323a b b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即当时的最小值为8.13,24a b ==23a b +10．（2020·甘肃高三期末）已知函数()7 1.f x x x =-++（1）求不等式的解集；2()10x f x <<（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.[]x x [()]9f x ≤[,9]x a a ∈+a 【答案】（1）；（2）.(2,4)-(2,1)--【解析】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由得：或或解得：； ()2f x x >1,622,x x x <-⎧⎨->⎩17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩7,262,x x x >⎧⎨->⎩4x <由，或或解得：. ()10f x <1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩7,2610,x x >⎧⎨-<⎩28x -<<故不等式的解集为：.2()10 x f x <<(2,4)-（2）依题意可得等价于，[()]9f x ≤()10f x <由（1）知的解集为.[()]9f x ≤(2,8)-因为对恒成立，[()]9f x ≤[,9]x a a ∈+所以，所以解得， [,9](2,8)a a +⊆-2,98,a a >-⎧⎨+<⎩21a -<<-所以a 的取值范围为.(2,1)--11．（2019·云南昆明一中高三）已知函数.2()|25|f x x a x a =+++-（1）当时，解不等式；1a =()5f x <（2）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围. x ()5f x <a【答案】（1） （2） 3722x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭02a <<【解析】（1）当时，，1a =()13f x x x =++-即.22(1)()4(13)22(3)x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩当时，由解得，所以， 1x ≤-225x -+<32x >-312x -<≤-当时，不等式恒成立，所以，13x -<<13x -<<当时，由解得；所以. 3x ≥225x -<72x <732x ≤<综上，不等式的解集为. ()5f x <37{|}22x x -<<（2）因为22()2552f x x a x a x a x a =+++-+=+--， 222525x a x a a a ≥+--+=-+所以，，解得.2255a a -+<02a <<12．（2020·内蒙古高三期末）已知函数，. ()221f x x =--()1g x x a x =-++（1）解不等式；()1f x <（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.12,x x R ∈()()12f x g x ≥a 【答案】（1）（2）()(),01,-∞⋃+∞{}|31a a -≤≤【解析】（1）由，得，()1f x <2211x --<所以，即或，211x ->211x ->211x -<-解得：或，1x >0x <所以原不等式的解集为.()(),01,-∞⋃+∞（2）因为存在，使得成立，12,x x R ∈()()12f x g x ≥所以只需要， ()()max min f x g x ≥因为，当时，等号成立，即， ()2212f x x =--≤12x =()max 2f x =，当时，等号成立，即. ()()()111g x x a x x a x a =-++≥--+=+1x =-()min 1g x a =+所以，解得.12a +≤31a -≤≤所以实数的取值范围是.a {}|31a a -≤≤13．（2020·全国高三）已知函数.()|4||2|f x x ax =+--（1）当时，解不等式；2a =()3f x x ≥（2）当时，不等式成立，求实数a 的取值范围. 12x ≥2()4f x x ≥-【答案】（1），（2） 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】（1）当时，不等式，即为，2a =()3f x x ≥|224||3|x x x -+-≥当时，由，得，所以，4x ≤-4223x x x --+-≥3x ≤-4x ≤-当时，由，得，所以，41x -<<4223x x x ++-≥20≥41x -<<当时，由，得，所以， 1x ≥4223x x x +-+≥32x ≤312x ≤≤故不等式的解集为. ()3f x x ≥3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）当时， ， 12x ≥22()4|2|f x x ax x x ≥-⇔-≤+由，得， 2|2|ax x x -≤+2211x a x x x-+-≤≤++当时，由基本不等式得， 12x ≥211x x++≥+当且仅当，即时取等号， 2x x =x =因为函数在上单调递减， 21y x x =-+-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭所以当时，取最大值为， 12x =21y x x=-+-52故实数a 的取值范围是. 512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦14．（2020·广东金山中学高三期末）已知函数，且的解集为||,()2f x k x k R =--∈(2)0f x +≥[1,1]-．（1）求的值；k （2）若是正实数，且，求证：. ,,a b c 111123ka kb kc ++=1231999a b c ++≥【答案】（1）；（2）证明见解析.1k =【解析】（1）∵， ()2f x k x =--∴等价于，(2)0f x +≥x k ≤由有解，得且其解集为，x k ≤0k ≥{|}x k x k -≤≤又的解集为，故； (2)0f x +≥[1,1]-1k =（2）证明：由（1）知， 111123a b c++=又，，是正实数，a b c 由基本不等式，得 11123(23)23a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭223332332a a bb c c b c a c ab=++++++3≥++，32229=+++=当且仅当时取等号． 33,,12a b c ===∴． 1231999a b c ++≥15．（2020·武邑县教育局教研室高三期末）已知函数．()11f x x x =-++（1）解不等式；()2f x ≤（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值． ()f x m a b 14m a b +=+a b 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）. []1,1-92【解析】（Ⅰ） ()2121121x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，，，或 或 ∴122x x ≤-⎧⎨-≤⎩1122x -<≤⎧⎨≤⎩122x x >⎧⎨≤⎩ ,不等式解集为.∴11x -≤≤∴[]1,1-（Ⅱ） ,()()11112x x x x -++≥--+= ,∴2m =又,, 142a b+=0,0a b >> , , ∴1212a b +=∴()125259222222a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当 即时取等号,所以. 1422a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩323a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩()min 92a b +=16．（2020·福建高三期末）设函数.()31f x x x =+--（1）求不等式的解集；()23f x x ≥-（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值. ()f x m a b a b m +=1111a b +++【答案】（1）；（2）. [)0,+∞23【解析】（1）因为，()4,322,314,1x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩当时，由可得出，解得，此时；3x <-()23f x x ≥-234x -≤-2x ≥x ∈∅当时，由可得出，解得，此时； 31x -≤≤()23f x x ≥-2223x x +≥-0x ≥01x ≤≤当时，由可得出，解得，此时. 1x >()23f x x ≥-234x -≤23x ≥-1x >所以不等式的解集为；()23f x x ≥-[)0,+∞（2）根据（1）可知，函数的最大值为，即， ()y f x =44a b +=所以. ()()1116a b +++=()()11111111111111611611b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭， 126⎛≥+ ⎝()122263=+=当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 2a b ==1111a b +++2317．（2020·广东深圳中学高三期末）已知函数. ()222f x x a x a =+-+-(Ⅰ)若，求实数的取值范围； ()13f <a (Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.()2f x ≥a 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（Ⅰ）由可得，， ①当时，不等式化为，解得， ∴； ② 当时，不等式化为，解得， ∴； ③ 当时，不等式化为，解得，∴. 综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得， 当时，取得最小值．∵不等式恒成立，()2f x ≥∴，即，解得或．∴ 实数的取值范围是. 18．（2020·陕西高三）已知. ()|1||21|f x ax x =++-（1）当时，求不等式的解集；1a =()21f x x <+（2）证明：当，时，恒成立.()0,1a ∈()0,x ∈+∞()1f x >【答案】（1）；（2）见解析. 1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）时,1a =()|1||21|21f x x x x x <⇔++-<+或或 111221x x x x ≤-⎧⇔⎨--+-<+⎩11211221x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<+⎩1212121x x x x ⎧≥⎪⎨⎪++-<+⎩或 1132x ⇔<<111123x x ≤<⇔<<所以,原不等式的解集为. 1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）由题意得： 1(2)2,02()1211(2),2a x x f x ax x a x x ⎧-+<≤⎪⎪=++-=⎨⎪+>⎪⎩在是减函数,在是增函数. ()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,成立. min 1()122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭min ()()112a f x f x ≥=+>。
湖北黄冈中学一数学基础知识过关检测题——1.4含绝对值的不等式解法
1.4 含绝对值的不等式解法1．不等式|x-2|>1的解集是（D ） A ．}31|{<<x xB ．}33|{>-<x x x ，或C ．}33|{<<-x xD ．}31|{><x x x ，或提示：12-<-x 或12>-x ，∴1<x 或3>x ． 2．不等式1|31|<-x 的解集为（C ） A ．，0|{<x x 或}32>xB ．，32|{-<x x 或}0>xC ．}320|{<<x xD ．}032|{<<-x x 提示：化为1311<-<-x 后解不等式组得．3．下列不等式组的解集为实数集R 的一个是（A ） A ．⎩⎨⎧≤--->3|1|11||x xB ．⎩⎨⎧-<>-3212x xC ．⎩⎨⎧≤->31x xD ．⎩⎨⎧≤->3|1|1||x x提示：逐一求解不等式组，或直接判断可知A 中不等式组是恒成立的不等式组．4．已知集合M={x||x-1|<2}与集合P={x||x-1|>1}，则M ∩P=（C ） A ．{x|-1<x<3}B ．{x|-1<x<0}C ．{x|-1<x<0，或2<x<3}D ．{x|x<0，或x>3} 提示：M=}31|{<<-x x ，P=0|{<x x ，或}2>x ．5．已知不等式|x-a|<b 的解集是{x|-3<x<9}，则实数A 、B 的值依次是（B ） A ．-3、9 B ．3、6C ．3、9D ．-3、6提示：必有0>b ，∴b a x b <-<-，即不等式的解为b a x b a +<<-，令3-=-b a ，9=+b a 解得．6．已知不等式|x+3|≥|x-5|成立，则实数x 的取值范围是（B ） A ．{x|x>1} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x<1} D ．{x|x ≤1}提示：即0)5()3(22≥--+x x ，∴0)53)(53(≥+-+-++x x x x ．7．已知a 2=9，则不等式x 2-|a|≥0的解集是（B ）A ．{x|x ≤3-，或x ≥3}B ．{x|x ≤3-，或x ≥3}C ．{x|3-≤x ≤3}D ．{x|3-≤x ≤3}提示：即32≥x ．8．不等式|21||3|x x ->+的解集是（A ） A ．2{|3x x <-，或4}x > B ．{|3x x <-，或4}x > C ．{|34}x x -<<D ．2{|4}3x x -<< 提示：原不等式即22(21)(3)x x ->+，∴(213)(213)0x x x x -++--->，即(32)(4)0x x +->，∴23x <-，或4x >，故选A ． 9．设集合M={2|||<-a x x }，P={x |1212<+-x x }，若M ⊆P ，则实数a 的取值范围是（A ） A ．{a |0≤≤a 1} B ．{a |0<<a 1} C ．{1|≥a a } D ．{0|≤a a }提示：}22|{+<<-=a x a x M ，}32|{<<-=x x P ，∴22-≥-a ， 且32≤+a ．10．不等式|1|2kx -<的解集为{|13}x x -<<，则实数k 满足条件（C ）A ．21k -<<B ．113k -<< C ．1k = D ．3k =- 提示：不等式即212kx -<-<，∴13kx -<<，反代检验立知1k =．11．已知不等式||(0)x a a >>的解集是)2()2(∞+--∞，，，则不等式3|3|-≤-a a x的解集是（C ）A ．)1[]1(∞+--∞，，B ．RC ．ФD ．]11[，- 提示：由已知得a=2，则不等式3|3|-≤-a a x即为1||-<x ，由绝对值的意义知这不可能，即不存在实数使不等式3|3|-≤-a a x成立，所以应选择的答案是C ． 12．设全集U=R ，集合M={x||x|<2}，P={x|x ∈N }，给出下列命题： ①0∈M ∩P ； ②-2∈M ∪P ； ③3∈C U M ∩P ； ④C U M={x||x|>2}； 其中正确的命题是（C ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④提示：集合M 即{22|<<-x x }，集合P 即自然数集N ，注意到自然数集中含有元素0，M 在R 中的补集应该是集合{x||x|≥2}，所以正确命题是①和③；故选C ．13．设全集是R ，集合M={|||1}x x ≥，P={||1|2}x x -<，则（ðR M ）∪（ðR P ）=___________．[答案]{|1x x <，或3}x ≥提示：{|1M x x =≤-，或1}x ≥，∴{|11}R M x x =-<<ð，{|13}P x x =-<<，∴{|1R P x x =≤-ð，或3}x ≥，∴（ðR M ）∪（ðR P ）={|1x x <，或3}x ≥；本题也能由ðR （M ∩P ）=（ðR M ）∪（ðR P ）解得．14．若集合M={x|2x-a<3}与P={x|-x+4≤3a}的交集是空集，则实数a 的取值范围是________．[答案]{a|75a ≤} 提示：M={x|x<23a +}，P={x|x ≥4-3a}，∴23a+≤4-3a ．15．不等式|x-3|-|x+2|>0的解集为___________． [答案]1{|}2x x <提示：即32x x -<--，或32x x ->+，故得12x <． 16．设全集为R ，已知集合M={x||4x|≥13}，集合P={x||x|≤2a ，a>0}，若M ∩P 是非空集合，且集合M ∩P 所对应的区间长度之和为23，则a=___________． [答案]2提示：由已知得M={，413|-≤x x 或413≥x }，P=}22|{a x a x ≤≤-，利用数轴表示出集合M ∩P ，可得M ∩P={x|-2a ≤x ≤-413，或413≤x ≤2a}，由此知M ∩P 所对应的区间长度之和为2（2a-413）=23，解得a=2． 17．已知实数a ≠0，则关于x 的不等式|ax+3|<2的解集是_____________．[答案]0a <时为15{|}x x a a -<<-；0a >时为51{|}x x a a-<<- 提示：原不等式即232ax -<+<，∴51ax -<<-，若0a >，则原不等式解集为51{|}x x a a -<<-；若0a <，则原不等式的解集为15{|}x x a a-<<-． 18．不等式2≤|3x-4|<3的解集是______________． [答案]}3723231|{<≤≤<x x x ，或 提示：令3x-4=y ，则不等式等价于不等式组⎩⎨⎧<≥；，3||2||y y 即⎩⎨⎧<<-≥-≤；，，或3322y y y∴3223<≤-≤<-y y ，或，即34322433<-≤-≤-<-x x ，或，解这一对应的一元一次不等式组，得原不等式的解集是}3723231|{<≤≤<x x x ，或．19．已知a 为实数，且关于x 的不等式|(1)|1a x a -<-的解集是{|11}x x -<<，则关于x的不等式|(1)2|1a x a +-≥-的解集是___________． [答案]R提示：若a ≤1则不等式|(1)|1a x a -<-的解集是空集，故在已知条件下有1a >， ∴不等式|(1)2|1a x a +-≥-的右边是一个负数，由绝对值的意义知这一不等式对于任意实数x 都成立，∴所求解集为实数集R ． 20．解不等式|x x 21|43+>-．[解答]若340x -≥，则原不等式化为不等式组⎩⎨⎧+>-≥-；，x x x 2143043解这一不等式组得5x >；若340x -<，则原不等式化为不等式组⎩⎨⎧+>+-<-；，x x x 2143043此时解得53<x ； 综上得原不等式的解集是553|{><x x x ，或}．21．解不等式|2-|2x+1||>1．[解答]原不等式等价于2-|2x+1|<-1，或2-|2x+1|>1， 即|2x+1|>3，或|2x+1|<1，由|2x+1|>3，得2x+1<-3，或2x+1>3，∴x<-2，或x>1； 由|2x+1|<1，得-1<2x+1<1，∴-1<x<0；综合以上得原不等式的解集是{x|x<-2，或-1<x<0，或x>1}．22．已知对于任意的实数x ，不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，求出实数k 的取值范围．[解答一]∵=)(x f =--+|2||1|x x ；，，)2()21()1(3211221321≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=-++-=-+--x x x x x x x x x x∴3|2||1|min -=--+）（x x ，欲不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，当且仅当k 小于)(x f 的最小值时，∴k 的取值范围是（3,-∞-）．[解答二]要使不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，只要代数式|x+1|-|x-2|的最小值大于k ，反之即要求k 小于代数式|x+1|-|x-2|的最小值；注意到|x+1|的几何意义为数轴上的点x 到-1的距离，|x-2|的几何意义为点x 到2的距离，由于这两个距离之差的最小值显然是-3，∴只需k<-3．故k 的取值范围是（3,-∞-）．23．解下列不等式：（1）|5x-4|≥6； （2）3-|-2x-1|>0；（3）1≤|32x+|<3． [解答]（1）即5x-4≤-6，或5x-4≥6，解得52-≤x ，或2≥x ； （2）即|2x+1|<3，∴-3<2x+1<3，解得-2<x<1；（3）原不等式等价于不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+;3|32x|,1|32x|即⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<--≥-≤∴<+<-≥+-≤+∴<+≥+;0x 12,4x ,8x ;66x 6,26x ,26x ;6|6x |,2|6x |或或∴原不等式的解集为{x|-12<x ≤-8，或-4≤x<0}． 24．解下列关于x 的不等式： （1）|ax|<a ；（2）ax-2≤x+b ．24．（1）当a=0时，0<0不成立，原不等式的解集为Ф；当a<0时，不等式的解集也为Ф；当a>0时，不等式即|x|<1，∴解集为{x|-1<x<1}． （2）原不等式即（a-1）x ≤b+2，10当a>1时，a-1>0，∴此时不等式的解集为{x|x ≤12-+a b }，20当a<1时，a-1<0，∴此时不等式的解集为{x|x ≥12-+a b }，30当a=1时，a-1=0，若b ≥-2，则不等式的解集为实数集R ， 若b<-2，则不等式的解集为Ф．25．解不等式|x-1|+|2-x|>3+x ． [解答]当x ≤1时，原不等式化为-(x-1)-(x-2)>3+x ，此时有x<0；当1<x ≤2时，原不等式化为(x-1)-(x-2)>3+x ，此时1<x ≤2，且x<-2不可能； 当x>2时，原不等式化为x-1+x-2>3+x ，此时有x>6；综合上述结果，原不等式的 解集是{x|x<0，或x>6}．26．若关于x 的不等式||1x ax >+的解集是{|0}x x ≤的子集，求实数a 的取值范围．[解答]作出函数||y x =和1y ax =+的草图，由图形特征分析可得所求的a 的取值范围是1a ≥． 27．已知a ∈R ，解关于x 的不等式|(a-3)x-4|>3．[解答]原不等式等价于(a-3)x-4<-3，或(a-3)x-4>3，即(a-3)x<1，或(a-3)x>7；若a-3>0，则x<31-a ，或x>37-a ；若a-3=0，则不等式恒成立； 若a-3<0，则x>31-a ，或x<37-a ；综合知原不等式的解集当a>3时为{x| x<31-a ，或x>37-a }；当a=3时，是R ；当a<3时则为{x| x<37-a ，或x>31-a }．28．已知a b c <<，x ∈R ，若||||||x a x b x c k -+-+->恒成立，求实数k 的取值范围． [解答]设||||y x a x b x c =-+-+-，则当x c ≥时，3()2y x c x b x a x a b c c a b =-+-+-=-++≥--， 当b x c ≤<时，()y c x x b x a x a b c =-+-+-=-+-，此时2c a y c a b -≤<--，当a x b ≤<时，()y c x b x x a x a b c =-+-+-=----， 此时2c a y b c a -<≤+-，当x a <时，3()2y c x b x a x x a b c a b c =-+-+-=-+++>-++，综上[2,)[,2](,2)(2,)y c a b c a c a b c a b c a b c a ∈--+∞----+-+-+∞ ， 化简即得[,)y c a ∈-+∞，欲y k >恒成立，需且只需k c a <-，即k 的取值范围是(,)c a -∞-．29．已知集合A={x||x-22)1a (21|)1a (21-≤+}，B={x|2≤x ≤3a+1}； （1）是否存在实数a ，使得A 是一个单元素的集合？若存在，求出这样的集合A ；若不存在，也请说明理由；（2）若存在实数a ，使得A ⊆B ，试求这样的a 的取值范围．[解答]（1）由|x-2)1a (21+|≤2)1a (21-，可得-2)1a (21-≤x-2)1a (21+≤2)1a (21-， 即A={x|2a ≤x ≤a 2+1}，当且仅当2a=a 2+1时，即a=1时A 是单元素集合；所以这样的实数a 存在，且a=1，此时A={2}；（2）一般地，若A ⊆B ，如图所示，可以直观地得到其充要条件是⎩⎨⎧+≤+≤;1a 31a ,a 222∴1≤a ≤3即为所求的实数a 的取值范围．29题图30．设01a ≤≤，若满足不等式||x a b -<的一切实数x 也满足不等式213||2x a -<，试求实数b 的取值范围．[解答]不等式||x a b -<的解集为{|}A x a b x a b =-<<+， 不等式213||2x a -<的解集为221313{|}22B x a x a =-<<+， 依题意有A B ⊆，∴22132132a b a a b a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，即22132132b a a b a a ⎧≤-++⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，由01a ≤≤，22131322a a a a -+≤-++， 而2213125()0224a a a -+≤-+>，故21302b a a <≤-+．。
黄冈中学高考数学易错题精选-不等式、直线与圆易错题
黄冈中学高考数学易错题精选-不等式、直线与圆易错题1、设a b 、为任意为实数，记||,||,|1|a b a b b +--三者中的最大值为M ，那么〔〕 A 、12M ≥B 、1M ≥C 、12M ≤D 、1M ≤2、方程2(2)10x a x a b +++++=的两根为1x 、2x ，同时1201x x <<<，那么b a的取值范围是〔〕 A 、1(2,]2-- B 、1(2,)2--C 、2(2,)3-- D 、2(2,]3-- 3、给出平面区域如下图，假设使目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，那么a 的值为〔〕 A 、14B 、53C 、4D 、354、过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有〔〕 A 、16条B 、17条C 、32条D 、34条5、过圆C ：22(1)(1)1x y -+-=的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分〔如图〕、假设这四部分图形面积满足S Ⅰ+S Ⅳ=S Ⅱ+S Ⅲ，那么如此的直线AB 有〔〕 A 、0条 B 、1条 C 、2条 D 、3条 6、在平面直角坐标系中，不等式040x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩〔a 为常数〕，表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值是〔〕 A、2+B、2-C 、5-D 、17、假设不等式组0,22,0,.x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，那么a 的取值范围是〔〕A 、43a ≥B 、01a <≤C 、43a 1≤≤D 、4013a a <≤≥或8、实数,a b 满足11()()23ab =，以下5个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =、其中不可能成立的有〔〕A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个9、关于t 的方程20t tx y ++=有两个绝对值都不大于1的实数根，那么点(,)P x y 所对应的区域图形大致是〔〕10、两点(1,1),(2,2)P Q -，假设直线:0l x my m ++=与线段PQ 没有公共点，那么m 的取值范围是、11、满足||||4x y +≤的整点〔横、纵坐标为整数的点〕的个数是、12、实数,x y 满足24,,0x y s x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩当35s ≤≤时，那么2z x y =+3的最大值的变化范围是、 13、不等式2229t t a t t+≤≤+在(0,2]t ∈上恒成立，那么a 的取值范围是、 14、关于满足04p ≤≤的所有实数p ，使不等式243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围为、 15、当R x ∈时，不等式2cos 32sin m x x +<+m 的取值范围为 、16、〔1〕求使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围为；〔2〕不等式2log 0a x x -<在1(0,)2上恒成立，那么a 的取值范围为、17、假设三条直线(4)230,3210m x y x y --+=++=及60mx y -+=能围成三角形，求实数m 的取值范围、18、设R a b c ∈、、，函数2(),f x ax bx c =++()g x ax b =+，当11x -≤≤时，|()|1f x ≤、 〔1〕求证：||1c ≤；〔2〕求证：当11x -≤≤时，|()|2g x ≤、 19、2()(,R),[1,1]f x x ax b a b x =++∈∈-、 〔1〕假设|()|f x 的最大值为M ，求证：12M ≥； 〔2〕当12M =时，求()f x 的表达式、 20、过圆2225x y +=上一点(3,4)A -作两直线12,l l ，分别与圆相交于另一点P 、Q ，假设直线12,l l 的倾斜角互补，试推断直线PQ 的斜率是否为定值、21、方程20x ax a ++=在(0,1]上有解，求a 的取值范围、22、假设不等式230x ax a ++->关于满足22x -≤≤的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围、23、,x y 满足约束条件0041603150x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨+-≤⎪⎪+-≤⎩，且z ax y =+的最大值为7，求a 的值、24、设m 为实数，假设{}22250(,)30(,)|25,0x y x y x x y x y m mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭求的取值范围、25、设满足||y x a ≥-的点(,)x y 的集合为A ，满足||y x b ≤-+的点(,)x y 的集合为B ，其中,a b是正数，且A B ≠∅、 〔1〕问,a b 之间有什么关系？ 〔2〕求A B 表示的图形面积、 26、集合1{(,)||2|}2A x y y x =≥-，{(,)|||}B x y y x b =≤-+，且A B ≠∅、 〔1〕求b 的取值范围；〔2〕假设(,)x y A B ∈，且2x y +的最大值为8，求b 的值、27、R a ∈，二次函数2()22f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又知集合{|13}B x x =<<，假设A B ≠∅，求a 的取值范围、28、设2()(,)f x x bx c b c =++都为常数，方程()f x x =的两个实数根为1x 、2x ，且满足10x >，211x x ->、〔1〕求证：22(2)b b c >+；〔2〕设10t x <<，试比较()f t 与1()f x 的大小、29、设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根1x 、2x 满足1210x x a<<<，当1(0,)x x ∈时，证明：1()x f x x <<、30、直线:l y kx =和抛物线2:(1)3(1)C y x +=-、当k 变化(0)k ≠且直线l 与抛物线C 有公共点时，点(,0)P a 关于直线l 的对称点00(,)Q x y 、请写出0x 关于k 的函数关系式0()x f k =，并求出点Q 直线1x =上时a 的取值范围、不等式、直线与圆易错题参考答案1、解析：由题设，||M a b ≥+，||M a b ≥-，|1|M b ≥-，因此4||||2|1|M a b a b b ≥++-+-|()()2(1)|2a b a b b ≥+----=，因此12M ≥，应选A 、 2、解析：令2()(2)1f x x a x a b =+++++，因为1201x x <<<，因此(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，即10240a b a b ++>⎧⎨++<⎩，此不等式组表示的平面区域，如下图、又00bb a a -=-的几何意义是原点和点(,)a b 所在直线的斜率，由图可知：223b a -<<-，应选C 、 3、解析：依据题意，直线ax y z +=与直线AC 平行，因此22235515ACa k --===--，即35a =，应选D 、4、解析：因为圆22241640x y x y ++--=的标准方程为：222(1)(2)13x y ++-=，即此圆是一个以点(1,2)O -为圆心，以R=13为半径的圆、 因为||11(1)12OA =--=，而R=13，因此通过A 点且垂直于OA 的弦是通过A点的最短的弦，其长度为10； 而通过OA 的弦那么是通过A 点的最长的弦，其长度为圆的直径，即2R=26；因此通过A 点且为整数的弦长还可取11,12,13,14,15,…,25共15个值，又由于圆内弦的对称性，通过某一点的弦的长假设介于最大值与最小值之间，那么一定有2条，而通过某一点的圆的最长弦与最短弦各有1条，故一共有15×2+2=32条，应选C 、 5、解析：由得S Ⅳ-S Ⅱ=S Ⅲ-S Ⅰ，第Ⅱ，Ⅳ部分的面积是定值，因此S Ⅳ-S Ⅱ为定值，即S Ⅲ-S Ⅰ为定值、当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，应选B 、6、解析：作出可行域，可知当2a <-时，可行域确实是040x y x y +≥⎧⎨-+≥⎩构成的区域，其面积是一个无穷大的值，不可能是9，故2a >-〔以下同上述错解〕、答案D 、7、解析：先把前三个不等式表示平面区域画出来，如下图、 如今可行域为△AOB 及其内部，交点B 为22(,)33，故当x y a +=过B 时43a =， 因此43a ≥时可行域仍为△AOB ，当x y a +=过A 点时，101a =+=、故当01a <≤时，如今可行域也为三角形，故4013a a <≤≥或、答案：D 、8、解析：作1()3x y =，1()2x y =的图象，如下图、 当0x <时，11()()23ab =，那么有0a b <<； 当0x >时，11()()23ab =，那么有0b a <<； 当0x =时，11()()23ab =，那么有0a b ==、答案：B 、9、解析：依题意，方程有两个在区间[-1,1]上的实根，因而有240,11,2(1)10,(1)10.x y x f x y f x y ⎧∆=-≥⎪⎪-≤-≤⎪⎨⎪-=-+≥⎪=++≥⎪⎩作出可行域，易得答案为A 、10、解析：由线性规划知识得，点P 、Q 在直线的同侧，故(1)(22)0m m m m -++++>， 即(21)(32)0m m -+>，解得12m >或23m <-、11、解析：坐标轴上有92117⨯-=个整点，第一象限有6个整数，依照对称性四个象限有6424⨯=个整点，故满足条件下整点有17+24=41个，故填41、12、解析：当45s ≤≤时，约束条件表示的区域为24y x +=与x 轴，y 轴在第一象限围成的三角形区域、因此直线32z x y =+过点〔0,4〕时，z 的最大值取值为最大，8z =；当34s ≤<时，直线32z x y =+过y x s +=与24y x +=的交点时最大，如今4z s =+，显然3s =，z 的最大值的取值为最小、由324y x y x +=⎧⎨+=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，因此7z =、因此78z ≤≤，即z 的最大值变化范围是[7,8]、13、解析：设222212111()2()48t f t t t tt +==+=+-，它在〔0，2]上为减函数， a 要小于等于22t t +，即a 要小于或等于()f t 在〔0，2]上的最小值(2)1f =、设2()9t g t t =+，它在〔0，2]上为增函数，a 要大于或等于29t t +，即a 要大于或等于()g t 在〔0，2]上的最大值、而max22[()](2)4913g t g ===+，因此2113a ≤≤，故应填入的答案是2[,1]13、 14、解析：不等式可化为2(1)430x x p x +--+>、设2()(1)43f p x p x x =-+-+，那么22(0)0430,3(4)010f x x x f x ⎧>-+>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨>->⎪⎩⎩或1x <-、15、解析：2cos 32sin m x x +<+232sin cos m x x ⇔+-的解集为R ，求m的范围，即m 2(32sin cos )x x +-的最小值、令22()32sin cos (sin 1)1,R f x x x x x =+-=++∈、 当sin 1x =-时，()f x 的最小值为1、10,11210;m m m m -<⎧<⇔-⇔⎨+≥⎩或21021(1)m m m -≥⎧⎨+>-⎩、112m ⇔-≤<或114,42m m ⎡⎫≤<⇔∈-⎪⎢⎣⎭、 16、解析：(1)由图可知，x 的取值范围是(1,0)-、 上(2)原不等式等价于2log a x x <、当1a >时，显然在1(0,)2log 0a x <，而20x ≥，故不符合条件、因此0α<<1、画出2y x =和log (0)a y x a =<<1的图象，如下图、由图可知，在1(0,)2范围内，要使函数log (01)a y x a =<<的图象在函数2y x =的上方，a 的取值范围是)1,161[、17、解：三条直线能围成三角形必须这三条直线两两相交，且不共点、 12(4)3(2)033(1)202(4)(2)04m m m m m m m ≠⎧--⨯-≠⎧⎪⎪⎪⨯--≠⇒≠-⎨⎨⎪⎪----≠⎩≠-⎪⎩、由4(4)23011332102(1)x m x y m m x y y m ⎧=-⎪--+=⎧-⎪⇒⎨⎨-++=⎩⎪=-⎪-⎩、 由413()()60512(1)m m m m m --++=⇒=--， 即5m =时三线共点，因此34,,12m m m ≠-≠-≠且5m ≠时，三条直线能围成三角形、 18、证明：〔1〕因为当11x -≤≤时，|()|1f x ≤，因此|(0)|1f ≤，即||1c ≤、〔2〕由于11x -≤≤时，|()|1f x ≤，因此|(1)|||1f a b c =++≤，|(1)|||1f a b c -=-+≤、 因此||||||||112a b a b c c a b c c +=++-≤+++≤+=、 ||||||||112a b a b c c a b c c -=-+-≤-++≤+=，即|(1)|2g ≤，|(1)|2g -≤、而()g x ax b =+在[-1,1]上单调，因此11x -≤≤时，|()|2g x ≤、 19、〔1〕证明：因为|(0)|,|(1)|M f M f ≥≥，|(1)|M f ≥-，因此42|(0)||(1)||(1)||2(0)(1)(1)|2M f f f f f f ≥++-≥---=，因此12M ≥、 〔2〕因为|(0)|,|(1)|,|(1)|M f M f M f ≥≥≥-，又12M =，因此11221112211122b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪-≤++≤⎨⎪⎪-≤-+≤⎪⎩，即11223122b b ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤-⎪⎩，故12b =-、 代入得10a -≤≤，且01a ≤≤，因此0a =，故21()2f x x =-、20、解：过点A 作x 轴的垂线交圆O 于B 点，设直线12,l l 分别与x 轴相交于M 、N 点，依据题意△AMN 为等腰三角形，因此AB 为∠PAQ 的平分线、因此B 为PQ 的中点、连结OB ，那么OB ⊥PQ 、由对称性知，点(3,4)B --， 因此43OBk =，因此134PQ OB k k =-=-，为定值、21、解：方法1：设2()f x x ax a =++， 〔1〕假设()0f x =在(0,1]上有两解，如图，那么有0(0)0(1)0012f f a ∆≥⎧⎪>⎪⎪⎨≥⎪⎪<-<⎪⎩，因此此不等式无解、〔2〕假设()0f x =在(0,1]上有且仅有一解，那么有(0)(1)0(0)0f f f ≤⎧⎨≠⎩，即(21)00a a a +≤⎧⎨≠⎩，解得102a -≤<、综上所述得a 的取值范围为1[,0)2-、 方法2：因为(0,1]x ∈，因此1x ≠-， 原方程可变为22211111111()24x a x xx x =-=-=-+++-、因为01x <≤，因此11x≥ 故2211111()(1)22424x +-≥+-=， 即10124x 21<≤11(+)-2，因此1[,0)2a ∈-、22、解：设2()3f x x ax a =++-，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得关于满足22x -≤≤的一切实数x 恒有()0f x >，只需满足：〔1〕24(3)0a a =--<，∴62a -<<、 〔2〕0,2,2(2)0,a f ∆≥⎧⎪⎪-<-⎨⎪->⎪⎩即24(3)0,4,7.3a a a a ⎧⎪--≥⎪>⎨⎪⎪<⎩∴a ∈∅、〔3〕0,2,2(2)af ∆≥⎧⎪⎪->⎨⎪>0,⎪⎩即24(3)0,4,7,a a a a ⎧--≥⎪<-⎨⎪>-⎩∴26,4,7,a a a a ≥≤-⎧⎪<-⎨⎪>-⎩或∴76a -<≤-、 综合①、②、③得，当72a -<<时，不等式230x ax a ++->对一切[2,2]x ∈-均成立、 23、解：画出可行域，如图、直线:0l ax y +=的斜率为a -、假设134a -≤-≤-，即134a ≤≤， 那么直线ax y z +=过点B 〔4,3〕时，max437za =+=，得1a =；假设3a -<-，即3a >，那么直线ax y z +=过点(5,0)C 时，max57z a ==，得75a =〔不符〕； 假设14a ->-，即14a <，那么直线ax y z +=过点(0,4)A 时，max 4z =〔不符〕、故1a =、24、解：画出可行域及圆，如图、直线:0l mx y +=恒过原点，因此当直线l 与线段AB 有交点时，可行域在圆内，满足题意，那么0OAkm ≤-≤，解得403m ≤≤、25、解：〔1〕作函数||y x a =-及||y x b =-+的图象，画出||y x a ≥-及||y x b ≤-+表示的区域，如图、可知，A B ≠∅，那么b a ≥、〔2〕当b a >时，A B 表示一矩形区域，各边所在直线方程为0x y a --=，0x y b -+=，0x y a +-=，0x y b +-=，矩形两边长分别是两平行线间的距离、即12d d ==，因此222212||22a b b a S d d --===矩形、当b a =时，面积0S =、综上，所求面积221()2S b a =-、 26、解：〔1〕分别画出不等式1|2|2y x ≥-和||y x b ≤-+所表示的平面区域，如图、 因为A B ≠∅，由图可知，1b ≥，因此b 的取值范围是[1,)+∞、 〔2〕平移直线20x y +=，当这条直线通过点(0,)b 时，2x y +取得最大值、 因此028b +=，因此4b =、27、解：由2()22f x ax x a =--为二次函数，因此0a ≠、令()0f x =，因为224(2)0a a ∆=-->，因此方程有两个不等实数根、设为12x x <，那么12110,0x x a a =<=、 ①假设0a >，那么12{|}A x x x x x =<>或、由A B ≠∅的充要条件得23x <，即13a <，解这一无理不等式得67a >、 ②假设0a <，那么12{|}A x x x x =<<、由A B ≠∅的充要条件得2x >1， 即1a >1，解这一无理不等式得2a <-、 综合知所求a 的取值范围是6(,2)(,)7-∞-+∞、 28、解：〔1〕由()f x x =，得2(1)0x b x c +-+=，因此121x x b +=-，12x x c =， 因此222211212()()4(1)41x x x x x x b c -=+-=-->，即22141b b c -+->，因此2242(2)b b c b c >+=+，证毕、〔2〕由10t x <<，知10t x -<、又211x x ->，且121x x b +=-， 因此12122121,10,110x x x x t x x x +<+-<+-<+-<， 因此22111()()()f t f x t bt c x bx c -=++-++111()()()t x t x b t x =+-+-11()()t x t x b =-++12()(1)0t x t x =-+->，因此1()()f t f x >、 29、证明：令2()()(1)F x f x x ax b x c =-=+-+，依题意有12()()()F x a x x x x =--， 当1(0,)x x ∈时， 因为12x x <，因此12()()0x x x x -->、 又0a >，因此12()()()0F x a x x x x =-->、 即()f x x >、又11()[()]x f x x F x x -=-+112()()x x a x x x x =---- 12()[1()]x x a x x =-+-，因为1210x x x a<<<<，因此10x x ->，21ax <，即2221()110a x x ax ax ax +-=+->->，因此1()0x f x ->，即1()f x x <、综上，1()x f x x <<、 30、解：由2(1)3(1)y kx y x =⎧⎨+=-⎩，知22(23)40k x k x +-+=、因为l 与C 有公共点，且0k ≠，因此0∆≥，因此可得3122k -≤≤且0k ≠、因为点Q 00(,),(,0)x y P a 关于y kx =对称， 因此0000221y x a k y x ak +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，因此202(1)1a k x k -=+、而31,022k k -≤≤≠， 因此202(1)31(,0)221a k x k k k -=-≤≤≠+、 当点Q 在直线1x =上时，22(1)11a k k -=+，那么211a k a -=+，而2904k ≤≤， 因此19014a a -<≤+，解得135a ≤-或1a >、故实数a 的取值范围是13(,](1,)5-∞-+∞、。
黄冈中学高考数学易错题精选--不等式、直线与圆易错题
黄冈中学高考数学易错题精选（三）不等式、直线与圆易错题1．设a b 、为任意为实数，记||,||,|1|a b a b b +--三者中的最大值为M ，则（ ） A ．12M ≥B ．1M ≥C ．12M ≤D ．1M ≤2．已知方程2(2)10x a x a b +++++=的两根为1x 、2x ，并且1201x x <<<，则ba的取值范围是（ ） A ．1(2,]2--B ．1(2,)2--C ．2(2,)3--D ．2(2,]3--3．给出平面区域如图所示，若使目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） A ．14B ．53C ．4D ．354．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条5．过圆C ：22(1)(1)1x y -+-=的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分（如图）．若这四部分图形面积满足S Ⅰ+ S Ⅳ=S Ⅱ+S Ⅲ，则这样的直线AB 有（ ） A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条6．在平面直角坐标系中，不等式040x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值是（ ） A ．232+ B ．322-+ C ．5- D ．17．若不等式组0,22,0,.x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．43a ≥B ．01a <≤C ．43a 1≤≤D ．4013a a <≤≥或8．已知实数,a b 满足11()()23a b =，下列5个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =．其中不可能成立的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知关于t 的方程20t tx y ++=有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)P x y 所对应的区域图形大致是（ ）10．已知两点(1,1),(2,2)P Q -，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 没有公共点，则m 的取值范围是 ．11．满足||||4x y +≤的整点（横、纵坐标为整数的点）的个数是 ．12．已知实数,x y 满足24,,0x y s x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩当35s ≤≤时，则2z x y =+3的最大值的变化范围是 ． 13．不等式2229t t a t t +≤≤+在(0,2]t ∈上恒成立，则a 的取值范围是 ． 14．对于满足04p ≤≤的所有实数p ，使不等式243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围为 ．15．当R x ∈时，不等式2cos 32sin 21m x x m +<+++恒成立，则实数m 的取值范围为． 16．（1）求使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围为 ； （2）不等式2log 0a x x -<在1(0,)2上恒成立，则a 的取值范围为 ． 17．若三条直线(4)230,3210m x y x y --+=++=及60mx y -+=能围成三角形，求实数m 的 取值范围．18．设R a b c ∈、、，函数2(),f x ax bx c =++()g x ax b =+，当11x -≤≤时，|()|1f x ≤． （1）求证：||1c ≤；（2）求证：当11x -≤≤时，|()|2g x ≤．19．已知2()(,R),[1,1]f x x ax b a b x =++∈∈-． （1）若|()|f x 的最大值为M ，求证：12M ≥； （2）当12M =时，求()f x 的表达式．20．过圆2225x y +=上一点(3,4)A -作两直线12,l l ，分别与圆相交于另一点P 、Q ，若直线12,l l 的倾斜角互补，试推断直线PQ 的斜率是否为定值．21．方程20x ax a ++=在(0,1]上有解，求a 的取值范围．22．若不等式230x ax a ++->对于满足22x -≤≤的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知,x y 满足约束条件0041603150x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨+-≤⎪⎪+-≤⎩，且z ax y =+的最大值为7，求a 的值．24．设m 为实数，若{}22250(,)30(,)|25,0x y x y x x y x y m mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭求的取值范围．25．设满足||y x a ≥-的点(,)x y 的集合为A ，满足||y x b ≤-+的点(,)x y 的集合为B ，其中,a b 是正数，且A B ≠∅I ． （1）问,a b 之间有什么关系？ （2）求A B I 表示的图形面积．26．已知集合1{(,)||2|}2A x y y x =≥-，{(,)|||}B x y y x b =≤-+，且A B ≠∅I ． （1）求b 的取值范围；（2）若(,)x y A B ∈I ，且2x y +的最大值为8，求b 的值．27．已知R a ∈，二次函数2()22f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又知集合{|13}B x x =<<，若A B ≠∅I ，求a 的取值范围．28．设2()(,)f x x bx c b c =++都为常数，方程()f x x =的两个实数根为1x 、2x ，且满足10x >，211x x ->．（1）求证：22(2)b b c >+；（2）设10t x <<，试比较()f t 与1()f x 的大小．29．设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根1x 、2x 满足1210x x a<<<，当1(0,)x x ∈时，证明：1()x f x x <<．30．已知直线:l y kx =和抛物线2:(1)3(1)C y x +=-．当k 变化(0)k ≠且直线l 与抛物线C 有公共点时，点(,0)P a 关于直线l 的对称点00(,)Q x y ．请写出0x 关于k 的函数关系式0()x f k =，并求出点Q 直线1x =上时a 的取值范围．不等式、直线与圆易错题参考答案1．解析：由题设，||M a b ≥+，||M a b ≥-，|1|M b ≥-，于是4||||2|1|M a b a b b ≥++-+-|()()2(1)|2a b a b b ≥+----=，所以12M ≥，故选A ． 2．解析：令2()(2)1f x x a x a b =+++++，因为1201x x <<<，所以(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，即10240a b a b ++>⎧⎨++<⎩，此不等式组表示的平面区域，如图所示．又b b a a -=-的几何意义是原点和点(,)a b 所在直线的斜率，由图可知：223b a -<<-，故选C ． 3．解析：依据题意，直线ax y z +=与直线AC 平行，所以22235515ACa k --===--，即35a =，故选D ． 4．解析：因为圆22241640x y x y ++--=的标准方程为：222(1)(2)13x y ++-=，即此圆是一个以点(1,2)O -为圆心，以R=13为半径的圆．因为||11(1)12OA =--=，而R=13，所以经过A 点且垂直于OA 的弦是经过A 点的最短的弦，其长度为222131210-=； 而经过OA 的弦则是经过A 点的最长的弦，其长度为圆的直径，即2R=26；所以经过A 点且为整数的弦长还可取11,12,13,14,15,…,25共15个值，又由于圆内弦的对称性，经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间，则一定有2条，而经过某一点的圆的最长弦与最短弦各有1条，故一共有15×2+2=32条，故选C ．5．解析：由已知得S Ⅳ- S Ⅱ= S Ⅲ-S Ⅰ，第Ⅱ，Ⅳ部分的面积是定值，所以S Ⅳ- S Ⅱ为定值，即S Ⅲ-S Ⅰ为定值．当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，故选B ．6．解析：作出可行域，可知当2a <-时，可行域就是040x y x y +≥⎧⎨-+≥⎩构成的区域，其面积是一个无穷大的值，不可能是9，故2a >-（以下同上述错解）．答案D ．7．解析：先把前三个不等式表示平面区域画出来，如图所示． 此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为22(,)33，故当x y a +=过B 时43a =， 所以43a ≥时可行域仍为△AOB ，当x y a +=过A 点时，101a =+=． 故当01a <≤时，此时可行域也为三角形，故4013a a <≤≥或．答案：D ．8．解析：作1()3x y =，1()2x y =的图象，如图所示．当0x <时，11()()23a b =，则有0a b <<；当0x >时，11()()23a b =，则有0b a <<；当0x =时，11()()23a b =，则有0a b ==．答案：B ．9．解析：依题意，方程有两个在区间[-1,1]上的实根，因而有240,11,2(1)10,(1)10.x y x f x y f x y ⎧∆=-≥⎪⎪-≤-≤⎪⎨⎪-=-+≥⎪=++≥⎪⎩作出可行域，易得答案为A ．10．解析：由线性规划知识得，点P 、Q 在直线的同侧，故(1)(22)0m m m m -++++>， 即(21)(32)0m m -+>，解得12m >或23m <-． 11．解析：坐标轴上有92117⨯-=个整点，第一象限有6个整数，根据对称性四个象限有6424⨯=个整点，故满足条件下整点有17+24=41个，故填41．12．解析：当45s ≤≤时，约束条件表示的区域为24y x +=与x 轴，y 轴在第一象限围成的三角形区域．所以直线32z x y =+过点（0,4）时，z 的最大值取值为最大，8z =；当34s ≤<时，直线32z x y =+过y x s +=与24y x +=的交点时最大，此时4z s =+，显然3s =，z 的最大值的取值为最小．由324y x y x +=⎧⎨+=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，所以7z =．所以78z ≤≤，即z 的最大值变化范围是[7,8] ．13．解析：设222212111()2()48t f t t t t t +==+=+-，它在（0，2]上为减函数， a 要小于等于22t t+，即a 要小于或等于()f t 在（0，2]上的最小值(2)1f =． 设2()9t g t t =+，它在（0，2]上为增函数，a 要大于或等于29t t +，即a 要大于或等于()g t 在（0，2]上的最大值．而max 22[()](2)4913g t g ===+，所以2113a ≤≤，故应填入的答案是2[,1]13． 14．解析：已知不等式可化为2(1)430x x p x +--+>．设2()(1)43f p x p x x =-+-+，则22(0)0430,3(4)010f x x x f x ⎧>-+>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨>->⎪⎩⎩或1x <-．15．解析：2cos 32sin 21m x x m +<+++恒成立22132sin cos m m x x ⇔-+<+-的解集为R ，求m 的范围，即21m m -+小于2(32sin cos )x x +-的最小值．令22()32sin cos (sin 1)1,R f x x x x x =+-=++∈． 当sin 1x =-时，()f x 的最小值为1．10,211211210;m m m m m m -<⎧-+<⇔+>-⇔⎨+≥⎩或21021(1)m m m -≥⎧⎨+>-⎩． 112m ⇔-≤<或114,42m m ⎡⎫≤<⇔∈-⎪⎢⎣⎭． 16．解析：(1) 由图可知，x 的取值范围是(1,0)-．(2) 原不等式等价于2log a x x <．当1a >时，显然在1(0,)2上log 0a x <，而20x ≥，故不符合条件．于是0α<<1．画出2y x =和log (0)a y x a =<<1的图象，如图所示．由图可知，在1(0,)2范围内，要使函数log (01)a y x a =<<的图象在函数2y x =的上方，a 的取值范围是)1,161[． 17．解：三条直线能围成三角形必须这三条直线两两相交，且不共点．12(4)3(2)033(1)202(4)(2)04m m m m m m m ≠⎧--⨯-≠⎧⎪⎪⎪⨯--≠⇒≠-⎨⎨⎪⎪----≠⎩≠-⎪⎩g ．由4(4)23011332102(1)x m x y m m x y y m ⎧=-⎪--+=⎧-⎪⇒⎨⎨-++=⎩⎪=-⎪-⎩．由413()()60512(1)m m m m m --++=⇒=--g ， 即5m =时三线共点，所以34,,12m m m ≠-≠-≠且5m ≠时，三条直线能围成三角形．18．证明：（1）因为当11x -≤≤时，|()|1f x ≤，所以|(0)|1f ≤，即||1c ≤．（2）由于11x -≤≤时，|()|1f x ≤，所以|(1)|||1f a b c =++≤，|(1)|||1f a b c -=-+≤． 所以||||||||112a b a b c c a b c c +=++-≤+++≤+=． ||||||||112a b a b c c a b c c -=-+-≤-++≤+=，即|(1)|2g ≤，|(1)|2g -≤．而()g x ax b =+在[-1,1]上单调，所以11x -≤≤时，|()|2g x ≤． 19．（1）证明：因为|(0)|,|(1)|M f M f ≥≥，|(1)|M f ≥-，所以42|(0)||(1)||(1)||2(0)(1)(1)|2M f f f f f f ≥++-≥---=，所以12M ≥． （2）因为|(0)|,|(1)|,|(1)|M f M f M f ≥≥≥-，又12M =， 所以11221112211122b a b a b ⎧-≤≤⎪⎪⎪-≤++≤⎨⎪⎪-≤-+≤⎪⎩，即11223122b b ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤-⎪⎩，故12b =-．代入得10a -≤≤，且01a ≤≤，所以0a =，故21()2f x x =-． 20．解：过点A 作x 轴的垂线交圆O 于B 点，设直线12,l l 分别与x 轴相交于M 、N 点，依据题意△AMN 为等腰三角形，所以AB 为∠PAQ 的平分线．所以B 为»PQ 的中点．连结OB ，则OB ⊥PQ ．由对称性知，点(3,4)B --，所以43OB k =，所以134PQ OB k k =-=-，为定值．21．解：方法1：设2()f x x ax a =++， （1）若()0f x =在(0,1]上有两解，如图，则有0(0)0(1)0012f f a ∆≥⎧⎪>⎪⎪⎨≥⎪⎪<-<⎪⎩，所以此不等式无解．（2）若()0f x =在(0,1]上有且仅有一解， 则有(0)(1)0(0)0f f f ≤⎧⎨≠⎩g ，即(21)00a a a +≤⎧⎨≠⎩，解得102a -≤<．综上所述得a 的取值范围为1[,0)2-． 方法2：因为(0,1]x ∈，所以1x ≠-，原方程可变为22211111111()24x a x xx x =-=-=-+++-．因为01x <≤，所以11x≥ 故2211111()(1)22424x +-≥+-=，即10124x 21<≤11(+)-2，所以1[,0)2a ∈-．22．解：设2()3f x x ax a =++-，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足22x -≤≤的一切实数x 恒有()0f x >，只需满足：（1）24(3)0a a =--<V ，∴62a -<<．（2）0,2,2(2)0,a f ∆≥⎧⎪⎪-<-⎨⎪->⎪⎩即24(3)0,4,7.3a a a a ⎧⎪--≥⎪>⎨⎪⎪<⎩∴a ∈∅．（3）0,2,2(2)a f ∆≥⎧⎪⎪->⎨⎪>0,⎪⎩即24(3)0,4,7,a a a a ⎧--≥⎪<-⎨⎪>-⎩∴26,4,7,a a a a ≥≤-⎧⎪<-⎨⎪>-⎩或∴76a -<≤-．综合①、②、③得，当72a -<<时，不等式230x ax a ++->对一切[2,2]x ∈-均成立． 23．解：画出可行域，如图．直线:0l ax y +=的斜率为a -．若134a -≤-≤-，即134a ≤≤， 则直线ax y z +=过点B （4,3）时，max 437z a =+=，得1a =； 若3a -<-，即3a >，则直线ax y z +=过点(5,0)C 时，max 57z a ==，得75a =（不符）； 若14a ->-，即14a <，则直线ax y z +=过点(0,4)A 时，max 4z =（不符）．故1a =．24．解：画出可行域及圆，如图． 直线:0l mx y +=恒过原点，所以当直线l 与线段AB 有交点时，可行域在圆内，满足题意，则0OA k m ≤-≤，解得403m ≤≤．25．解：（1）作函数||y x a =-及||y x b =-+的图象，画出||y x a ≥-及||y x b ≤-+表示的区域，如图．可知，A B ≠∅I ，则b a ≥．（2）当b a >时，A B I 表示一矩形区域，各边所在直线方程为0x y a --=，0x y b -+=，0x y a +-=，0x y b +-=，矩形两边长分别是两平行线间的距离． 即12,22d d ==，所以222212||22a b b a S d d --===g 矩形．当b a =时，面积0S =．综上，所求面积221()2S b a =-． 26．解：（1）分别画出不等式1|2|2y x ≥-和||y x b ≤-+所表示的平面区域，如图．因为A B ≠∅I ，由图可知，1b ≥，所以b 的取值范围是[1,)+∞．（2）平移直线20x y +=，当这条直线经过点(0,)b 时，2x y +取得最大值． 所以028b +=，所以4b =．27．解：由2()22f x ax x a =--为二次函数，所以0a ≠．令()0f x =，因为224(2)0a a ∆=-->，所以方程有两个不等实数根．设为12x x <，则1222111120,20x x a a a a=-+<=++>． ①若0a >，则12{|}A x x x x x =<>或．由A B ≠∅I 的充要条件得23x <， 即21123a a ++<，解这一无理不等式得67a >． ②若0a <，则12{|}A x x x x =<<．由A B ≠∅I 的充要条件得2x >1， 即2112a a++>1，解这一无理不等式得2a <-． 综合知所求a 的取值范围是6(,2)(,)7-∞-+∞U ．28．解：（1）由()f x x =，得2(1)0x b x c +-+=，所以121x x b +=-，12x x c =，所以222211212()()4(1)41x x x x x x b c -=+-=-->，即22141b b c -+->， 所以2242(2)b b c b c >+=+，证毕．（2）由10t x <<，知10t x -<．又211x x ->，且121x x b +=-，所以12122121,10,110x x x x t x x x +<+-<+-<+-<， 所以22111()()()f t f x t bt c x bx c -=++-++111()()()t x t x b t x =+-+-11()()t x t x b =-++12()(1)0t x t x =-+->，所以1()()f t f x >．29．证明：令2()()(1)F x f x x ax b x c =-=+-+，依题意有12()()()F x a x x x x =--， 当1(0,)x x ∈时，因为12x x <，所以12()()0x x x x -->． 又0a >，所以12()()()0F x a x x x x =-->．即()f x x >．又11()[()]x f x x F x x -=-+112()()x x a x x x x =----12()[1()]x x a x x =-+-，因为1210x x x a<<<<，所以10x x ->，21ax <， 即2221()110a x x ax ax ax +-=+->->，所以1()0x f x ->，即1()f x x <．综上，1()x f x x <<． 30．解：由2(1)3(1)y kxy x =⎧⎨+=-⎩，知22(23)40k x k x +-+=．因为l 与C 有公共点，且0k ≠，所以0∆≥，于是可得3122k -≤≤且0k ≠． 因为点Q 00(,),(,0)x y P a 关于y kx =对称，所以0000221y x a k y x a k +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩g ，所以202(1)1a k x k -=+．而31,022k k -≤≤≠， 所以202(1)31(,0)221a k x k k k -=-≤≤≠+．当点Q 在直线1x =上时，22(1)11a k k -=+，则211a k a -=+，而2904k ≤≤， 所以19014a a -<≤+，解得135a ≤-或1a >．故实数a 的取值范围是13(,](1,)5-∞-+∞U ．。
湖北省黄冈中学23年秋季高三数学(理科)函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析几何测试卷
2014届高三上数学测试题（13）（理科）考查范围：函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析几何命题人：张智一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．集合,,若,则的值为 (B ){}a A ,2,0={}2,1a B ={}16,4,2,1,0=B A 得a A.2B.4C.-2D.-42.复数则D ,1i z -==+z z1A.B. C.D.i 2321+i 2321-i 2323-i 2123-3．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ A ）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22cos 1x y α+=x A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.[答案]A （教材选修2-1 页第4题改编）80P 4.设非零向量，满足，，则= ( )a b c r r r 、、||||||a b c ==r r r ||||a b c +=r r r sin ,a b <>r rA ．B ．C ．D 12-124.【答案】D.法一:【解析】∵∴，∴解得：||||a b c +=r r r ||||||a b c a +==r r r222||a b b b ∙=-=-r r r ∴∴法二:利用向量几何意义画图求解.21cos ,2||||||a b a ba b a b b ∙∙<>===-r r r rr r r r r sin ,a b <>=r r 5.已知点是圆内任意一点，点是圆上任意一(,)(0,0)M a b a b >>22:1C x y +=(,)P x y 点，则实数 ( A )1ax by +-A ．一定是负数 B ．一定等于0C ．一定是正数D ．可能为正数也可能为负数6.已知函数的部分图像如图，()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><则（）20131()6n n f π==∑A ．B ．C ．D ．1-12106.【答案】C 【解析】根据图像，解得，把点的坐标代入，1254126πππω⨯=-2ω=(,1)6π得，结合得，故，1sin(2)6πϕ=⨯+2πϕ<6πϕ=()sin(2)6f x x π=+，213145161()1,(),(),()1,(),()6626266262f f f f f f ππππππ===-=-=-=函数的最小正周期是，在一个周期内的各个函数值之和为，，π020*******=⨯+。
湖北省黄冈市数学高考复习专题05：不等式与线性规划
湖北省黄冈市数学高考复习专题05：不等式与线性规划姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）函数的图象恒过定点A，且点A在直线上（），则的最小值为（）A . 12B . 10C . 8D . 142. （2分）已知，则m,n之间的大小关系是（）A . m>nB . m<nC . m=nD .3. （2分）已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）A . 3B . 1C . －5D . －64. （2分） (2017高一下·西安期中) 若，，为实数，则下列命题错误的是（）．A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，，则5. （2分） (2018高一下·鹤岗期中) 已知，则（）A .B .C .D .6. （2分）若不等式与不等式的解集相同，则p:q等于（）A . 12:7B . 7:12C . -12:7D . -3 :47. （2分） (2016高一下·芦溪期末) 已知点M（x，y）满足若ax+y的最小值为3，则a的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2019高二上·丽水期中) 已知实数满足不等式组，且的最大值是最小值的2倍，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一上·徐汇期末) 设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A . a2＜b2B . ab2＜a2bC .D .10. （2分） (2018高一上·大连期末) 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（）A . 32B . 48C . 64D .11. （2分）已知实数x,y满足条件，则的最大值是（）A . 9B .C . 3D .12. （2分）设a＞b＞0，下列各数小于1的是（）A . 2a﹣bB . （）C . （）a﹣bD . （）a﹣b二、解答题 (共2题；共15分)13. （10分）(2018·唐山模拟) 已知 .（1）求证：；（2）判断等式能否成立，并说明理由.14. （5分） (2017高二上·阳朔月考) 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如表所示：资源消耗量甲产品（每吨）乙产品（每吨）资源限额（每天）产品煤（）94360电力（）45200劳力（个）310300利润（万元）712问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？三、填空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2016高二上·马山期中) 关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜ }，则a+b=________．16. （1分） (2017高二下·太原期中) 已知a=2 + ，b= + ，那么a，b的大小关系为________．（用“＞”连接）17. （1分）(2018·黄山模拟) 已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则 ________．18. （1分）当0＜x＜1时，f（x）=x2 ， g（x）=x ，h（x）=x﹣2 ，则f（x），g（x），h（x）的大小关系是________．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、解答题 (共2题；共15分)13-1、13-2、14-1、三、填空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、。
剖析两个隐蔽的漏洞 提供九个完整的解法
剖析两个隐蔽的漏洞 提供九个完整的解法——谈2014 年高考数学广东卷（理科）第19题广东省惠州市黄冈中学惠州学校 （516003） 朱传兵陕西师范大学数学与信息科学学院 （710062） 罗增儒把数列{}n a 的通项公式与它的前n 项和n S 组合在一起是高考命题的一个兴奋中心，由此出发，求数列的通项公式、证明数列恒等式或数列不等式是一类基本题型；而通过数列公式 1 1, 1,, 2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩消除条件与结论的差异，然后用递推或数学归纳法求解则是处理此类题型的一个基本思路．但是，递推关系1n n n a S S -=-是在2n ≥的前提下成立的，具体演算中很容易在这个地方出现疏漏（参见文[1]），下面我们通过一道2014 年高考数列题来说明隐蔽的疏漏与完整的解法．题目 （2014 年高考数学广东卷（理科）第19题）设数列{}n a 的前n 和为n S ，满足 21234n n S na n n +=--，*n N ∈，且315S =．(Ⅰ)求123,,a a a 的值；(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式．本题的思维强度在第(Ⅱ)问，对此，已出现数学归纳法的“失误解法”．本文首先剖析“失误解法”的知识缺失或逻辑漏洞，然后提供纠正方法（包括第一数学归纳法、第二数学归纳法、跷跷板数学归纳法、交叉消去法、直接递推和反证法等），借以深化递推关系1n n n a S S -=-（2n ≥）和数学归纳法的认识．1 隐蔽的漏洞就我们所见（包括网上），主要有两个漏洞，分别表现在误解1与误解2中． 1-1 误解1的呈现与剖析1-1-1 误解1的呈现误解1 ：(Ⅰ)对已知式取2n =，有23420S a =-，则3233520S S a a =+=-．又315S =，得37a =，且234208S a =-=．又212222(27)37S S a a a a =+=-+=-，得25a =，112273a S a ==-=．综上知13a =，25a =，37a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明．（1）当1n =时，13211a ==⨯+，结论显然成立．（2）假设当n k =（1k ≥）时，21k a k =+，则由已知有21234k k S ka k k +=--，()()()21213141k k S k a k k -=-----， ①相减得 ()1122161k k k k k a S S ka k a k -+=-=----， ②即 ()121612k k k a k a k+-++= ③()()2212161462322k k k k k k k k-++++===+， 故当1n k =+时，结论成立．由（1）、（2）知，n N *∀∈，21n a n =+． 1-1-2 误解1的剖析（1）错误的内容：问题在于①、②式是在2k ≥的前提下成立的，因而数学归纳法第二步递推的有效性也是在2k ≥的前提下才能提供，但本解法第一步只验证了1n =正确，未验证2n =正确，因而③式的运算缺乏递推的正确性基础．这里的错误是缺失数学归纳法的第一步，其现今的第一步其实是虚假或被截断的．（2）错误的性质：首先是“知识性错误”，即方法的使用不正确，不完整．其次有心理性错误，即“潜在假设”数学归纳法第一步都从1n =开始．其实，本例用到的数列公式1n n n a S S -=-，是在2n ≥的前提下成立的，所以数学归纳法要从2n =开始．如果是多边形问题用数学归纳法，还要从三角形（即3n =）开始．一般地，关于正整数n 的命题()p n 定义在0n n ≥的话（相当于()p n 的定义域），数学归纳法第一步要从0n n =开始．（3）错误的解决：虽然解法有错误，但合理成分很多，完善的办法不止一个：其一是分两类解决，第一类证明1n =时命题成立，直接验证；第二类证明2n ≥时命题成立，用数学归纳法；总体上是完全归纳法，核心工作是数学归纳法（参见解法1）．其二是先验证对2n ≥成立的递推式③，在1n =时也成立，然后用数学归纳法（参见解法2）． 1-2 误解2的呈现与剖析1-2-1 误解2的呈现误解2：(Ⅰ) 对已知式取1,2n =，分别有1227a a =-，123420a a a +=-，变形为 1272a a +=， ① 12132034748a a a a +++==， ② 前三项求和并把315S =代入，得111317347157515288a a a S a +++==++=， ③ 两边约去15，由③解得13a =，代入①、②得25a =，37a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明．（1）当1n =时，13211a ==⨯+，结论显然成立．（2）假设当n k =（1k ≥）时，21k a k =+，则()35721k S k =+++++L()()32122k k k k ++=⨯=+等差数列求和， ④ 又 21234k k S ka k k +=--，所以 ()212234k k k ka k k ++=--， ⑤移项 21246k ka k k +=+，除以20k ≠，得()123211k a k k +=+=++，故当1n k =+时，结论成立．由（1）、（2）知，n N *∀∈，21n a n =+．1-2-2 误解2的剖析（1）错误的内容：由于这个解法没有用到1n n n a S S -=-，所以，数学归纳法从1n =开始并无不可，问题在于④式（进而⑤式）是在121,,,,k k a a a a -L 为等差数列、其通项公式为21n a n =+（1n k ≤≤）的前提下得出的，而数学归纳法进行到“首项为13a =，末项假设21k a k =+”时，尚未全部得出21k a k =+，121k a k -=-，…，13a =，因而④式用等差数列的求和公式来计算k S 有问题，⑤式作为④式的移项变形也就推不出来．（2）错误的性质：主要是“逻辑性错误”，即把要证的“等差数列通项”（结论）又作为论据来使用了（循环论证）．知识上可能是把第二数学归纳法与第一数学归纳法混同了．（3）错误的解决：虽然解法有错误，但合理成分很多，完善的办法不止一个，其一是改用第二数学归纳法（参见解法3）；其二是把21k a k =+与()2k S k k =+一齐证，用跷跷板数学归纳法（参见解法4）．1-3 对数学归纳法认识的必要提醒这两个有漏洞解法分别涉及数学归纳法的第一步和第二步，可能不是笔误而是对“隐蔽的漏洞”认识不清，所以，有必要对数学归纳法作出三点提醒．（参见文[2]）设()p n 是关于正整数n 的命题．（1）数学归纳法所说的是无穷个命题()()()1,2,3p p p ，…，()p n …恒为真．这是一个以数量1,2,3,n =…为自变量，而以命题真值为因变量的“命题值函数”．在这里，“对象的无限性”和“命题值函数”都会带来接受上的困难和使用中的误解．（2）为了说明无穷个“命题值函数”恒为真，逐一检验()()()1,2,3p p p ，…，()p n …会有困难，于是，数学归纳法提供了一个全新的证明模式，分为两步；第一步（递推的基础），证明一个“真实的命题”：()1p 真．它的功能是解决“命题的真实性”，并为递推提供真实性的基础．第二步（递推的根据），证明一个“有效的推理”：()()1p n p n ⇒+．它的功能是解决“传递的有效性”，从而把第一步的“真实性”有效传递下去．但这一步很容易误解为“证明()1p n +的真实性”，因而也就搞不清楚，为什么需要证实的结论“()p n 真”可以作为证明“()1p n +真”的前提来使用．其实，这一步真正有用的不是()1p n +这个结论，而是推理过程本身，即前一号命题()p n 与后一号命题()1p n +是否存在“蕴涵关系”．这事实上又包含了一个着眼点的转移，即由证“()p n 真”转移到证一个“蕴涵关系”．在这里，对数学归纳法第二步的真实作用不够明确、所需要的逻辑知识不完全具备就会带来接受上的困难和使用中的误解．（3）有了数学归纳法的两步之后，我们就建立起了这样一个推理格式；()1p 真且()()1p n p n ⇒+．进而，推理反复进行，得到一个真值的传递关系（递推的过程）：()()()123p p p −−−→−−−→−−−→第二步第二步第二步真真真…… 所以，数学归纳法是一个无穷递推过程，但是在具体使用中，人们并不总是停留于具体的过程，而是把它看成一种十分明确的证明方法，动态的过程表现为静态的描述：完成第一、第二步，则无穷个命题()()()1,2,3p p p ，……恒为真．我们对数学归纳法既要掌握两步骤静态格式，又要理解反复使用递推格式的动态过程．2 完整的解法数学归纳法有很多变化形式（参见文[3]），下面的九种解法只不过是数学归纳法多种表现形式的一部分．2-1 用第一数学归纳法中学教材介绍的数学归纳法就是第一数学归纳法，它的基本格式是：若（1）()1P 真；（2）假设()P k 真()1P k ⇒+真；则()P n 对一切正整数n 真．解法1：(Ⅰ)对已知式21234n n S na n n +=--，取1,2n =，计及315S =，有1227a a =-，123420a a a +=-，12315a a a ++=得三元线性方程组2132132127,420,15,a a a a a a a a -=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩解得（高中的概念、初中的解法）37a =，从而25a =，13a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)中 13a =，25a =，37a =猜想21n a n =+．首先验证1n =时，13211a ==⨯+，结论成立；对2n ≥用数学归纳法证明．（1）当2n =时，由25221a ==⨯+，结论成立．（2）假设当n k =（2k ≥）时，有21k a k =+．对2k ≥时由已知有21234k k S ka k k +=--，()()()21213141k k S k a k k -=-----， ①相减得 ()1122161k k k k k a S S ka k a k -+=-=----， ②即 ()121612k k k a k a k+-++= ③()()2212161462322k k k k k k k k-++++===+， 故当1n k =+时，结论成立．由数学归纳法知，2n ≥时，21n a n =+．综上得，数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．说明1：有的地方把1n =，2n =都放到了数学归纳法的第（1）步，此处我们把1n =与2n ≥分开，是避免与“跳跃式数学归纳法”混同，跳跃式数学归纳法的基本格式是：若（1）()()()1,2,,P P P m L 真；（2）假设()P k 真()P k m ⇒+真；则()P n 对一切正整数n 真． 说明2：虽然递推式①（或②）是在2n ≥的前提下推出的（对1n =可能成立也可能不成立），但如果先验证递推式③对1n =也成立，那么，数学归纳法就可以从1n =开始．请看解法2：(Ⅰ)（过程略）得13a =，25a =，37a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想21n a n =+．首先证明数列的一个递推式()121612n n n a n a n +-++=，*n N ∈． ④把13a =，25a =代入知，当1n =时结论成立．当2n ≥时，由已知有21234n n S na n n +=--，()()()21213141n n S n a n n -=-----，相减得 ()1122161n n n n n a S S na n a n -+=-=----，变形得 ()121612n n n a n a n +-++=（2n ≥）． 综上得，④式对*n N ∈成立．下面用数学归纳法证明21n a n =+．（1）由13211a ==⨯+，知1n =时结论成立．（2）假设当n k =（1k ≥）时，有21k a k =+，由④式有()121612k k k a k a k+-++=()()2212161462322k k k k k k k k-++++===+， 故当1n k =+时，结论成立．由数学归纳法知，数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．说明3：有了④式，数学归纳法也可以改写为交叉消去法（参见解法5）、直接递推（参见解法7）和反证法（参见解法9）．2-2 用第二数学归纳法第二数学归纳法是第一数学归纳法的变形，中学教材没有介绍，但数学竞赛会用到，它的基本格式是：若（1）()1P 真；（2）假设()()()1,2,,P P P k L 真()1P k ⇒+真；则()P n 对一切正整数n 真．解法3：(Ⅰ)对已知式取1,2n =，分别有 1227a a =-， ⑤123420a a a +=-， ⑥对第⑥式加上3a ，并把315S =代入，得123315520a a a a =++=-，解得37a =．把37a =代入⑥，并联立⑤、⑥得1227a a =-，124720a a +=⨯-，解得25a =，13a =．(Ⅱ) 由(Ⅰ)中 13a =，25a =，37a =猜想21n a n =+．下面用第二数学归纳法证明．（1）当1n =时，13211a ==⨯+，结论成立．（2）假设当n k ≤（1k ≥）时，结论成立，即有13a =，25a =，…，121k a k -=-，21k a k =+，求和 ()()1232122k k k S a a a k k k ++=+++=⨯=+L ， 但已知 21234k k S ka k k +=--，所以 ()212234k k k ka k k ++=--，解得 ()123211k a k k +=+=++，故当1n k =+时，结论成立．由数学归纳法知，数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．2-3 用跷跷板数学归纳法跷跷板数学归纳法是第一数学归纳法的变形，它的基本格式是：设有两个关于正整数n 的命题()(),P n Q n ，若（1）()1P ，()1Q 真；（2）假设()P k ，()Q k 真⇒()1P k +真，且()Q k ，()1P k +真()1Q k ⇒+真；则()(),P n Q n 对一切正整数n 真．解法4：(Ⅰ) （过程略）得13a =，25a =，37a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想21n a n =+，()2n S n n =+，下面用数学归纳法证明．（1）当1n =时，13211a ==⨯+，()113112S a ===⨯+，结论成立．（2）假设当n k =（1k ≥）时，有21k a k =+，()2k S k k =+成立，则由已知21234k k S ka k k +=--有 ()212234k k k ka k k ++=--，解得 ()123211k a k k +=+=++，进而 ()()11223k k k S S a k k k ++=+=+++()()243112k k k k =++=+++⎡⎤⎣⎦，故当1n k =+时，结论成立．由数学归纳法知，n N *∀∈，有21n a n =+，()2n S n n =+．所以，数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．2-4 直接递推如上所说，数学归纳法是一个无穷递推过程，有时候，人们也习惯性地书写为带省略号的递推（带省略号的交叉消去法其实也是直接的递推），应该说，它没有数学归纳法严谨，且技巧性较强，但比数学归纳法直观、具体、好理解．下面，我们分别对n a ，n S 进行直观递推．解法5：(Ⅰ) （过程略）得13a =，25a =，37a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想21n a n =+．对2n ≥，由已知有21234n n S na n n +=--，()()()21213141n n S n a n n -=-----，相减得 ()1122161n n n n n a S S na n a n -+=-=----，即 ()122161n n na n a n +--=+，（2n ≥）把13a =，25a =代入知上式对1n =也成立．变形()()()12232121n n n a n n a n +-+=--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，再变形，并递推，得 ()()12123212n n n a n a n n +--+=-+⎡⎤⎣⎦ ()()1212321221n n n a n n n ---=⨯--⎡⎤⎣⎦-=L ()()121233302214n n a n n --=⨯⨯⨯-=-L ， 得数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．解法6：(Ⅰ) （过程略）得13a =，25a =，37a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想21n a n =+．由已知有()2211234234n n n n S na n n n S S n n ++=--=---，得 ()21221340n n nS n S n n +-+--=，变形 ()()()()1213212n n n S n n n S n n +⎡-++⎤=+⎡-+⎤⎣⎦⎣⎦，再变形，并递推，得()()()()()()11211322212111221n n n n S n n S n n n n n S n n n n +-+-++=⎡-+⎤⎣⎦+-=⨯⎡--+⎤⎣⎦- =L()()121213302212n n S n n +-=⨯⨯⨯-=-L ， 得 ()()113n S n n +=++，*n N ∈．有 ()()()1113223n n n a S S n n n n n ++=-=++-+=+，又13211a ==⨯+，即1n =结论也成立．得数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．2-5 交叉消去法把已知条件转化为②式（或③、④式）时，问题已经成为文[1]中的模式()()1n n a p n a f n -=+，（()0p n ≠）． 可以用交叉消去法来解决（参见解法7）．但带省略号的交叉消去法其实也是直接的递推，所以，它与直接递推的解法5结构很类似，书写也很类似．对于本例，交叉消去法也可以先对n S 施行（参见解法8）．解法7：(Ⅰ) （过程略）得13a =，25a =，37a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想21n a n =+．仿解法5，由已知对2k ≥，有()122161k k ka k a k +--=+，把13a =，25a =代入上式知对1k =也成立． 变形()()12121232122k k k k a a k k k k+---=+-+． ⑦ 依次有 ()()12121232122n n n n a a n n n n+---=+-+， ()()()()1212321232121221221n n n n n n a a n n n n n n -⎡⎤⎡⎤-----=+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， ……()3221235322164n n a a n n --⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪-⎝⎭L ()2123537522164n n n n --⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯ ⎪-⎝⎭L ， ()212123*********n n a a n n --⎛⎫⨯⨯⨯⨯- ⎪-⎝⎭L ()212353153221642n n n n --⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯ ⎪-⎝⎭L ， 求和（即交叉消去法），得()112123*********n n n a a n n +---⨯⨯⨯⨯⨯-L ()()2123531233221642n n n n n --=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L ， 因为13a =，所以得123n a n +=+，所以数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．说明4：下面解法是错误的，请读者自行分析错误的内容和错误的性质．把⑦式变为()()()()12212232121k k ka k a k k k k +--=+--+，两边乘以()()1221k k k k +-得 ()()1112222232121212121k k k kk k k k k k a a k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取1,2,3,,k n =L ，并求和（交叉消去法），得11112332112112222n n n a a n n n n n ++-=---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为13a =，所以得123n a n +=+，所以数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．解法8：(Ⅰ) （过程略）得13a =，25a =，37a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想21n a n =+．仿解法6，由已知有()2122134k k kS k S k k +-+=+，变形 ()()()1212113222k k k k S S k k k k k k+++-=++-+． 依次有 ()()()1212113222n n n n S S n n n n n n+++-=++-+， ()()()()()121212121211221221n n n n n n S S n n n n n n n n -⎡⎤⎡⎤+-+--=+--+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……()3221217522164n n S S n n +-⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯- ⎪-⎝⎭()212175352422164n n n n +-⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯-⨯⨯ ⎪-⎝⎭， ()212121753221642n n S S n n +-⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯- ⎪-⎝⎭()21217532413221642n n n n +-⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯⨯ ⎪-⎝⎭， 求和（即交叉消去法），得()112121753221642n n n S S n n ++--⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯-()()()2121753133221642n n n n n n +-=++-⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯-， 因为13S =，所以得()()113n S n n +=++，从而()()()1113223n n n a S S n n n n n ++=-=++-+=+，又13211a ==⨯+，即1n =结论也成立．所以，数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．2-6 反证法数学归纳法可靠性的一个理论依据是最小数原理：正整数的非空子集中必有一个是最小的，论证时用的是反证法．因此，凡是能用数学归纳法来证明的命题，也一定可以根据“最小数原理”改写为反证法．解法9： (Ⅰ) （过程略）得13a =，25a =，37a =．(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想21n a n =+．下面用反证法证明．假设21n a n =+不成立，则存在使21n a n ≠+的正整数n ，它们组成一个非空集合，其中必有一个是最小的，记为m ，由(Ⅰ)知1,23n =，均满足21n a n =+，故3m >．由m 的最小性知()121, 2112 1.m m a m a m m -≠+⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩⑧⑨ 这时，由已知有，当2n ≥时()1122161n n n n n a S S na n a n -+=-=----，得 ()121612n n n a n a n +-++=．取12n m =-≥，有()()1236521m m m a m a m --+-=-， 把⑨中的121m a m -=-代入，得()()()()()2221232165212121m m m m m m a m m m ----+-===+--， 与⑧矛盾．这说明假设21n a n =+不成立是不行的，得证数列的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．以上看法，欠妥之处盼批评指正．最后指出，解题研究无禁区，课堂教学有范围，上述各个解法，书写长度与思维深度都会有所差异，哪些适于全体学生，哪些适于部分学生，哪些只适于教师，读者可以根据自己的实际情况灵活掌握．参考资料1 杨二明、罗增儒．数列公式1n n n a S S -=-（2n ≥）的教学认识（J ）．中学数学研究（广州），2014，5：封三～42 罗增儒．中学数学课例分析（M ）．西安：陕西师范大学出版社，2007，7：246～2763 罗增儒．数学解题学引论（M ）．西安：陕西师范大学出版社，2007，7：280～288。
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黄冈中学高考数学典型例题详解解不等式每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释;积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.●难点磁场(★★★★)解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1).●案例探究［例1］已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0.(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式：f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围.命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x +21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1， ∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数.(2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R } (3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.［例2］设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围.命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M=∅［1，4］(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1} ［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］.(3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-21071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718).●锦囊妙计解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞)B.(－21，21)C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)二、填空题2.(★★★★★)已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________.3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________.三、解答题4.(★★★★★)已知适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值；(2)若f (x )=11+-x x p p ，解关于x 的不等式f -－1(x )＞k xp +1log (k ∈R +)5.(★★★★★)设f (x )=ax 2+bx +c ，若f (1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论.6.(★★★★★)已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2.(1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.7.(★★★★)解不等式log a (x －x1)＞18.(★★★★★)设函数f (x )=a x 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案 难点磁场解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解. 若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.歼灭难点训练一、1.解析：由f (x )及f (a )＞1可得：⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111aa ③ 解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1）答案：C 二、2.解析：由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0的解集是(－2,22a b -).由f (x )·g (x )＞0可得：⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222,0)(0)(0)(0)(2222a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，2b)∪(－2b ，－a 2) 答案：(a 2，2b )∪(－2b ，－a 2)3.解析：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］.答案：［－2，2］ 三、4.解：(1)∵适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3， ∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x .若|x 2－4x +p |=－x 2+4x －p ，则原不等式为x 2－3x +p +2≥0，其解集不可能为{x |x ≤3}的子集，∴|x 2－4x +p |=x 2－4x +p .∴原不等式为x 2－4x +p +3－x ≤0，即x 2－5x +p －2≤0，令x 2－5x +p －2=(x －3)(x －m )，可得m =2，p =8.(2)f (x )=1818+-x x ，∴f -－1(x )=log 8xx-+11 (－1＜x ＜1)，∴有log 8x x-+11＞log 8kx +1，∴log 8(1－x )＜log 8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k . ∵－1＜x ＜1，k ∈R +，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}.5.解：由f (1)=27得a +b +c =27，令x 2+21=2x 2+2x +23x ⇒=－1，由f (x )≤2x 2+2x +23推得 f (－1)≤23.由f (x )≥x 2+21推得f (－1)≥23，∴f (－1)=23，∴a －b +c =23，故2(a +c )=5，a +c =25且b =1，∴f (x )=ax 2+x +(25－a ).依题意：ax 2+x +(25－a )≥x 2+21对一切x ∈R 成立，∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a )≤0，得(2a －3)2≤0， ∴f (x )=23x 2+x +1易验证：23x 2+x +1≤2x 2+2x +23对x ∈R 都成立.∴存在实数a =23，b =1，c =1，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切x ∈R 都成立.6.解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0(3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.7.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a -11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a xx 11011① ②由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.8.解：由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立.⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx xmx mx 在x ∈(0，1]恒成立. 整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x x 恒成立，即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx 恒成立， ∵2121212-=-x x x 在x ∈(0，1]上为减函数，∴x x 212-＜－1，∴m ＜x x 212-恒成立⇔m ＜0.又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数， ∴112-+x x ＜－1.∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立⇔m ∈(－1，0)①当x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0 ②∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)。