沪科版九年级数学上册第23章专题技能训练(六) 3.利用锐角三角函数模型解决实际问题的四种类型
新沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.3一般锐角的三角函数值同步练习
23.1.3. 一般锐角的三角函数值一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A ＝513，则sin B 的值是( )A. 512B. 1213C. 23D. 5132．若α是锐角，sin α＝cos50°，则α等于() A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 3．已知cos A ＞12，则锐角A 的取值范围是( )A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜90°C ．0°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90° 4．［2017·威海］为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥一侧修建了40 m 长的斜道，如图33－K －1所示，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )A.2ndF sin 0·25＝B.sin 2ndF 0·25＝C.sin 0·25＝D.2ndF cos 0·25＝图33－K －15．三角函数sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是( ) A ．cos43°＞cos16°＞sin30° B ．cos16°＞sin30°＞cos43° C ．cos16°＞cos43°＞ sin30° D ．cos43°＞sin30°＞cos16° 6．［2016·永州］下列式子错误的是( )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1C ．sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2sin30° 二、填空题7．已知α为锐角，sin(90°－α)＝33，则cos α＝________． 8．已知sin42°54′＝0.6807，若cos α＝0.6807，则α＝________． 9．用“＞”或“＜”连接下面的式子：(1)tan19°______tan21°；(2)cos18°______sin18°.10．如图33－K －2，有一滑梯AB ，其水平宽度AC 为5.3米，铅直高度BC 为2.8米，则∠A 的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．图33－K －211．观察下列等式： ①sin30°＝12，cos60°＝12；②sin45°＝22，cos45°＝22； ③sin60°＝32，cos30°＝32. 根据上述规律，计算sin 2α＋sin 2(90°－α)＝________．12．在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＋sin B ＝75，则sin A －sin B ＝________．三、解答题13．用计算器求下列各组三角函数值，并从中总结规律(精确到0.0001)： (1)sin40°，cos50°；(2)sin23°37′，cos66°23′.14．计算：cos45°－sin30°cos45°＋sin30°－cos40°sin50°.15．已知三角函数值，用计算器求锐角A (精确到1″)． (1)sin A ＝0.3035； (2)cos A ＝0.1078； (3)tan A ＝7.5031.16．如图33－K－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，延长CA到点D，使AD＝AB，连接BD.(1)求∠D的度数；(2)求tan D；(3)利用(2)的结果计算：tan22.5°×cos45°＋（sin45°－tan22.5°）2.图33－K－317．已知：如图33－K－4，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．图33－K－418规律探索(1)如图33－K－5①所示，已知AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，试比较sin∠B1AC，sin∠B2AC和sin∠B3AC的值的大小；(2)如图②所示，在Rt△ACB3中，点B1和B2是线段B3C上的点(与点B3，C不重合)，试比较cos∠B1AC，cos∠B2AC和cos∠B3AC的值的大小；(3)总结(1)(2)中的规律，根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．图33－K－51．[解析] D ∵∠C＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°，∴sin B ＝cos A ＝513.2．[解析] C 由sin α＝cos (90°－α)，可知α＝90°－50°＝40°，应选C .3．[解析] C ∵cos 60°＝12且锐角的余弦值随角度的增大而减小，∴当cos A ＞12时，0°＜∠A＜60°，故选C .4．[解析] A sin A ＝BC AC ＝1040＝0.25，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为2ndFsin 0·25＝.5．[解析] C 根据互余两角的三角函数之间的关系，可知sin 30°＝ cos 60°.因为余弦值随着锐角的增大而减小，所以cos 16°＞cos 43°＞cos 60°，即cos 16°＞cos 43°＞sin 30°.6．[解析] D cos 40°＝sin (90°－40°)＝sin 50°，选项A 正确；tan 15°·tan 75°＝tan 15°·1tan 15°＝1，选项B 正确；sin 225°＋cos 225°＝1，选项C 正确； sin 60°＝32，sin 30°＝12，则sin 60°≠2sin 30°，选项D 错误． 7．[答案]33[解析] ∵sin (90°－α)＝cos α，sin (90°－α)＝33，∴cos α＝33. 8．[答案] 47°6′[解析] 根据互余两个锐角的正弦、余弦的关系可知α＋42°54′＝90°，∴α＝90°－42°54′＝47°6′.9．[答案] (1)＜ (2)＞[解析] (1)正切值随锐角的增大而增大，19°＜21°，所以tan 19°＜tan 21°，故应填“＜”．(2)由cos 18°＝sin (90°－18°)＝sin 72°，72°＞18°，得sin 72°＞sin 18°，即cos 18°＞sin 18°.10．27.8° 11． [答案] 1[解析] 由题意得sin 230°＋sin 2(90°－30°)＝1；sin 245°＋sin 2(90°－45°)＝1；sin 260°＋sin 2(90°－60°)＝1.可得sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1.12． [答案] ±15[解析] 因为∠A ，∠B 互余，所以cos A ＝sin B ， 所以sin A ＋cos A ＝75.又因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以2sin A ·cos A ＝2425，所以(sin A －cos A)2＝sin 2A ＋cos 2A －2sin A ·cos A ＝1－2425＝125，即sin A －cos A ＝±（sin A －cos A ）2＝±125＝±15，即sin A －sin B ＝±15.13．解：(1)sin 40°≈0.6428，cos 50°≈0.6428. (2)sin 23°37′≈0.4006，cos 66°23′≈0.4006. 规律：若锐角A ，B 满足∠A＋∠B＝90°， 则sin A ＝cos B.14．[解析] 计算时要注意根据互余两角三角函数之间的关系，有cos 40°＝ sin 50°. 解：原式＝22－1222＋12－sin 50°sin 50°＝2－2 2.15．解：(1)锐角A≈17°40′5″. (2)锐角A≈83°48′41″. (3)锐角A≈82°24′30″.16．解：(1)由题意知△ABC 是等腰直角三角形， 所以∠CAB＝∠ABC＝45°.又因为AD ＝AB ，且∠CAB＝∠D＋∠ABD＝45°， 所以∠D＝∠ABD＝22.5°. (2)由BC ＝AC ＝a ，根据勾股定理，得AD ＝AB ＝2a ，CD ＝AD ＋AC ＝(2＋1)a.在Rt △BCD 中，tan D ＝BC CD ＝a（2＋1）a ＝2－1，即tan D ＝2－1.(3)由(1)(2)知tan 22.5°＝tan D ＝2－1，原式＝tan 22.5°×cos 45°＋||sin 45°－tan 22.5° ＝(2－1)×22＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－（2－1） ＝1－22＋22－2＋1 ＝2－ 2.[点评] 解答本题的关键是利用直角三角形求一般锐角的三角函数值． 17．解：(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H. ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CHAC ，∴CH ＝AC·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC， ∴AH ＝AC·cos A ＝9cos 48°. ∴在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin 48°8－9cos 48°≈3.382，∴∠B ≈73°32′.18解：(1)由图可知B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3.∵sin ∠B 1AC ＝B 1C 1AB 1，sin ∠B 2AC ＝B 2C 2AB 2，sin ∠B 3AC ＝B 3C 3AB 3，AB 1＝AB 2＝AB 3，∴B 1C 1AB 1＞B 2C 2AB 2＞B 3C 3AB 3，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC.(2)∵Rt△ACB3中，∠C＝90°，∴cos∠B1AC＝ACAB1，cos∠B2AC＝ACAB2，cos∠B3AC＝ACAB3，∵AB3＞AB2＞AB1，∴ACAB1＞ACAB2＞ACAB3，即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC.(3)结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．由结论可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°.。
沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案
沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分150分，限时120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.(2023安徽淮南模拟)如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值()A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的13C.没有变化D.不能确定2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是()A.cos 43°>cos 16°>sin 30°B.cos 16°>sin 30°>cos 43°C.cos 16°>cos 43°>sin 30°D.cos 43°>sin 30°>cos 16°3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos 50°，则锐角α的度数是()A.50°B.40°C.30°D.20°4.在△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A的值为()A.√55B.2√55C.12D.25.(2023安徽阜阳质检)下列运算中，值为14的是() A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°C.tan30°cos60°D.(tan 60°)-16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB，垂足为D，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是()A.ADBD B.ACABC.ADACD.CDBC7.(2023安徽池州月考)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()A.√55B.12C.2D.√1058.【新考法】一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知AB=3 m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sin α)mB.(4+3tan α)mC.(4+3sinα)m D.(4+3tanα)m9.(2023安徽合肥庐江期末)如图，在△ABC中，sin B=12，AB=8，AC=5，且∠C 为锐角，cos C的值是()A.35B.45C.√32D.3410.【新情境·双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC=BD=64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.76 cmB.(64√2+12)cmC.(64√3+12)cmD.64 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.如果tan α=1，那么锐角α=度.12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，设∠BCD=α，则tan α=.13.如图，已知tan O=4，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，3如果MN=2，那么PM=.，BC=12，D是AB的中点，过点B 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cos A=35作线段CD的垂线，交CD的延长线于点E.(1)线段CD的长为;(2)cos∠DBE的值为.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算:2cos 30°-tan 260°3tan45°+√(sin60°−1)2.16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，某数学兴趣小组在尝试计算tan 15°时，采用以下方法:如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，设AC =1，则AB =2，BC =√3，所以tan 15°=ACCD =2+√3=√3(2+√3)×(2−√3)=2-√3，类比这种方法，计算tan 22.5°的值(画出计算所需图形，并用文字、计算说明).四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.(2021广东潮州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.(1)若AE=1，求△ABD的周长;BD，求tan∠ABC的值.(2)若AD=1318.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子.(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，人是否能安全地使用这架梯子?(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示)，此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.(参考数据:sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈3 5,tan53°≈43)20.【方程思想】李老师给班级布置了一个实践活动，测量某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量.如图，纪念碑设在1.2 m的石台上，他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平方向前进21 m，到达点N处，在点C 处测得点A的仰角为45°，BM=CN=1.7 m，求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93tan 22°≈0.40，√2≈1.41)六、(本题满分12分)21.【主题教育·生命安全与健康】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图，已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为20°，在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，√3≈1.73，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1 m)七、(本题满分12分)22.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶√3，AB=16米，AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)八、(本题满分14分)23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:(1)[探究原理]制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由;(2)[实地测量]如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P 的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH;(√3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)[拓展探究]公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距地面的高度PH (如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E 、F (E 、F 、H 在同一直线上)，分别测得点P 的仰角为α、β，再测得E 、F 间的距离为m 米，点O 1、O 2到地面的距离O 1E 、O 2F 均为1.5米.求PH (用α、β、m 表示).参考答案与解析1.C Rt △ABC 的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt △ABC 是相似的，∴锐角A 的大小是不变的，∴锐角A 的正弦值、余弦值没有变化.2.C ∵sin 30°=cos 60°，16°<43°<60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos 16°>cos 43°>sin 30°.3.C ∵sin(70°-α)=cos 50°，∴70°-α+50°=90°，解得α=30°.故选C.4.A 在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，因为tan A =ab =2，所以a =2b ，由勾股定理得c =√a 2+b 2=√5b所以cos A =bc =√5b =√55.5.Bsin 45°×cos 45°=√22×√22=12，故A 不符合题意;tan 45°-cos 230°=1-(√32)2=1-34=14，故B 符合题意;tan30°cos60°=√3312=23√3，故C 不符合题意;(tan 60°)-1=(√3)-1=√33，故D 不符合题意. 6.AAD BD不一定等于sin β，故A 符合题意;∵△ABC 是直角三角形，∴sin β=AC AB，故B 不符合题意; ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ACD +∠A =∠B +∠A =90°∴∠ACD =∠B ，∴sin β=ADAC，故C 不符合题意;∵△BCD 是直角三角形，∴sin β=CDBC，故D 不符合题意.7.B 如图，取格点D ，连接BD由题意得AD 2=22+22=8，BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，∴AD 2+BD 2=AB 2 ∴△ABD 是直角三角形，∴∠ADB =90°，在Rt △ABD 中 AD =2√2，BD =√2，∴tan A =BDAD =√22√2=12. 8.A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图∵AD ⊥BC ，∠ABC =α，∴sin α=AD AB=AD3，∴AD =3sin α m ，∴房顶A 离地面EF 的高度=AD +BE =(4+3sin α)m .9.A 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D∴∠ADB =∠ADC =90°在Rt △ABD 中，sin B =12，AB =8，∴AD =AB ·sin B =8×12=4在Rt △ADC 中，AC =5，∴CD =√AC 2−AD 2=√52−42=3，∴cos C =CD AC =35.10.A 如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，在Rt △ACE 中，AE =12AC =12×64=32(cm)，同理可得BF =32 cm ，∵点A 与B 之间的距离为12 cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).11.45解析 ∵tan α=1，∴锐角α=45度. 12.34解析 ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠α+∠B =∠A +∠B =90°，∴∠α=∠A ∴tan α=tan A =68=34.13.√17解析 如图，过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D∵tan O =PD OD =43，∴设PD =4x ，则OD =3x∵OP =5，由勾股定理得(3x )2+(4x )2=52，∴x =1(已舍负)，∴PD =4 ∵PM =PN ，PD ⊥OB ，MN =2，∴MD =ND =12MN =1在Rt △PMD 中，由勾股定理得PM =√MD 2+PD 2=√17. 14.(1)152(2)2425解析 (1)在Rt △ABC 中，cos A =AC AB =35∴设AC =3x ，则AB =5x ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(5x)2−(3x)2=4x ∵BC =12，∴4x =12，∴x =3，∴AB =15，AC =9，∵D 是AB 的中点 ∴CD =12AB =152.(2)∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴△CBD 的面积=12×△ABC 的面积，∴12CD ·BE =12×12AC ·BC ，∴152BE =12×9×12，∴BE =365，在Rt △BDE 中cos ∠DBE =BE BD=365152=2425.15.解析原式=2×√32-(√3)23×1+1-√32=√3-1+1-√32=√32. 16.解析 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D.∵∠ABC =45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5° 设AC =1，则BC =1，AB =√2AC =√2 ∴CD =CB +BD =CB +AB =1+√2 ∴tan 22.5°=tan D =ACCD =1+√2=√2−1(1+√2)×(√2−1)=√2-1.17.解析 (1)如图，连接BD ，设BC 的垂直平分线交BC 于点F ，∴BD =CD ∴C △ABD =AB +AD +BD =AB +AD +DC =AB +AC. ∵AB =CE ，∴C △ABD =AC +CE =AE =1 故△ABD 的周长为1.(2)设AD =x ，∴BD =3x.∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x在Rt△ABD中，AB=√BD2−AD2=√(3x)2−x2=2√2x∴tan∠ABC=ACAB =2√2x=√2.18.解析(1)在Rt△AOB中，cos α=OBAB∴OB=AB·cos α当α=50°时，OB=AB·cos α≈6×0.64=3.84当α=75°时，OB=AB·cos α≈6×0.26=1.56.∵1.56<2.5<3.84∴此时人能安全地使用这架梯子.(2)此时人不能安全地使用这架梯子.理由如下:当∠ABO=75°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin 75°≈6×0.97=5.82(米)∵梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点∴OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).当∠ABO=50°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin∠ABO≈6×0.77=4.62(米)∵4.32<4.62∴此时人不能安全地使用这架梯子.19.解析过A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，如图所示则∠ACD=45°，∠ABD=53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD∴CD=ADtan45°=AD1=AD在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD ，∴BD=ADtan53°≈AD43=34AD由题意得AD-34AD=75，∴AD=300 m，∵此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，∴此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为20-300100×0.6=18.2(℃).答:此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为18.2 ℃.20.解析延长BC交AF于E，延长AF交MN的延长线于D，如图则四边形BMNC、四边形BMDE是矩形∴BC=MN=21 m，DE=CN=BM=1.7 m∵∠AEC=90°，∠ACE=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE设AE=CE=x m∴BE=(21+x)m∵∠ABE=22°∴tan 22°=AE BE =x21+x≈0.40，解得x =14∴AE =14 m∴AD =AE +ED =14+1.7=15.7(m) ∴纪念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m). 答:纪念碑的高度约为14.5 m . 21.解析 延长BC 交AD 于点E则DE =CM =BN =1.6 m ，BC =MN ，∠AEB =90° ∵AD =2.2 m∴AE =AD -DE =2.2-1.6=0.6(m) 在Rt △ACE 中，∠ACE =60° ∴CE =AE tan60°=√3≈0.35(m)在Rt △ABE 中，∠ABE =20° ∴BE =AE tan20°≈0.60.36≈1.67(m)∴MN =BC =BE -CE =1.67-0.35=1.32(m) ∴有效测温区间MN 的长度约为1.32 m .22.解析 (1)Rt △ABH 中，tan ∠BAH =√3=√33 ∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =8米.(2)如图，过B 作BG ⊥DE 于G 由(1)得BH =8米，易得AH =8√3米∴BG=HE=AH+AE=(8√3+24)米，在Rt△BGC中，∠CBG=45°∴CG=BG=(8√3+24)米.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=24米，∴DE=√3AE=24√3米.∴CD=CG+GE-DE=8√3+24+8-24√3=32-16√3≈4.3(米).答:广告牌CD的高约为4.3米.23.解析(1)∵∠COG=90°，∠AON=90°∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON.(2)由题意可得KH=OQ=5米，QH=OK=1.5米，∠PQO=90°，∠POQ=60°在Rt△PQO中，tan∠POQ=PQOQ∴tan 60°=PQ5∴PQ=5√3米∴PH=PQ+QH=5√3+1.5≈10.2(米)即树高PH约为10.2米.(3)由题意可得O1O2=m米，O1E=O2F=DH=1.5米，tan β=PDO2D ，tan α=PDO1D∴O2D=PDtanβ，O1D=PDtanα∵O1O2=O2D-O1D，∴m=PDtanβ-PD tanα∴PD=mtanα·tanβtanα−tanβ米，∴PH=PD+DH=(mtanα·tanβtanα−tanβ+1.5)米。
2020沪科版数学九年级上册23章强化训练试题及答案
(第 1 题)
已知一直角边和斜边解直角三角形 2．如图，∠ ACB ＝ 90°，AB ＝ 13，AC ＝12，∠BCM ＝∠ BAC ，求 sin ∠BAC 和点 B 到直线 MC 的距离．
(第 2 题)
已知一直角边和一锐角解直角三角形 3．如图，在△ ABC 中，∠ B＝ 90°，∠ C＝30°，AB ＝ 3. (1)求 AC 的长； (2)求 BC 的长．
(第 3 题)
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4．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ A ＝ 30°，BC＝3，D 为 AC 边上一点，∠ BDC＝45°，求 AD 的长．
(第 4 题)
已知斜边和一锐角解直角三角形 5．如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝ 90°，∠B＝45°，a，b，c 分别为∠ A ，∠B， ∠ C 的对边， c＝10，解这个直角三角形．
类型 3 化解方程问题为解直角三角形问题 9．已知 a，b，c 分别是△ ABC 中∠ A ，∠B，∠C 的对边，关于 x 的一元二 次方程 a(1－ x2)＋2bx＋ c(1＋ x2)＝0 有两个相等的实数根，且 3c＝ a＋ 3b.
9
(1)判断△ ABC 的形状； (2)求 sin A＋sin B 的值．
名师点金： 解直角三角形是中考的重要内容之一， 直角三角形边、 角关系的 知识是解直角三角形的基础． 解直角三角形时， 要注意三角函数的选取， 避免计 算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造 直角三角形．
已知两直角边解直角三角形 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，a，b，c 分别为∠ A ，∠B，∠ C 的对 边， a＝ 2 3，b＝6，解这个直角三角形．
(第 1 题)
沪科版九年级上第23章解直角三角形教案
第23章解直角三角形主题解直角三角形课型新授课上课时间教学内容23.1 锐角的三角函数;23.2 解直角三角形及其应用教材分析锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系,它的直接应用是解直角三角形,而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用.锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础,也是整个三角学的基础.因此,本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一.教学目标1.知识与技能(1)经历由情境引出问题,探索掌握有关的数学知识内容,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力.(2)通过实例认识直角三角形的边角关系,即锐角三角函数;知道30°,45°,60°角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的角.(3)运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.(4)能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题.2.过程与方法培养学生把实际问题转化为数学问题并进行解决的能力,进而提高学生形象思维能力;渗透转化的思想.3.情感、态度与价值观培养学生理论联系实际,敢于实践,勇于探索的精神.教学重难点重点:1.让学生了解三角函数的意义,熟记特殊角的三角函数值,并会用锐角三角函数解决有关问题.2.正确选择边与角的关系以简便的解法解直角三角形.难点:把实际问题转化为数学问题.知识结构解直角三角形课题23.1 锐角的三角函数课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)初步了解角度与数值的一一对应的函数关系.(2)会求直角三角形中某个锐角的正切值.(3)了解坡度的有关概念.2.过程与方法让学生经历操作、观察、思考、求解等过程,感受数形结合的数学思想方法,培养学生理性思维习惯,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性,引导学生自主探索,合作交流,培养学生的创新意识.教学重难点重点:(1)从现实情境中探索直角三角形的边角关系.(2)理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系.难点:锐角三角函数的概念的理解.二次设计课堂导入如图,有两个直角三角形,直角边AC与A1C1表示水平面,斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A1B1哪个更陡呢?你是怎样判断的?答:坡面A1B1更陡,沿坡面A1B1水平移动上升垂直高度更大.探索新知自学指导阅读教材P112~114的内容合作探究学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一正切的定义1.探究:(1)Rt△AB1C1和Rt △AB2C2有什么关系?(2)和有什么关系?(3)如果改变B2C2的位置(如B3C3),和有什么关系?(4)由此你得出什么结论?2.什么是锐角的正切?续表探索新知合作探究【例1】如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tan C吗?解:因为△ABC是等腰直角三角形,BD⊥AC,所以CD=1.5,所以tan C===1.知识模块二坡度与坡角什么叫坡度?如何表示?坡度与坡角关系是怎样的?【例2】若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10米,则他所在的位置比原来的位置升高了 6 米.解析:i=tan B==,设AC=3x,BC=4x,由勾股定理求得x=2,所以AC=6,即升高6米.教师指导1.易错点:正切以及坡度的概念.2.归纳小结:(1)如图,在Rt△ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作:tan A=.(2)如图,正切经常用来描述坡面的坡度,坡面的高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即:i=(坡度通常写成h∶l的形式).坡面与水平面的夹角叫做坡角.记作α,即i==tan α.1.如图,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则tan α等于( )当堂训练(A)(B)(C)(D)2.如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶,堤坝高BC=50 m,则迎水坡面AB的长度是( )(A)100 m (B)100 m (C)150 m (D)50 m3.已知如图:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∠ACD=α,AC=1,BC=3,则tan α= .第1题图第2题图第3题图板书设计第1课时正切和坡度、坡角知识模块一正切的定义知识模块二坡度与坡角教学反思课题23.1 锐角的三角函数课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能理解锐角三角函数中的正弦、余弦的概念,并能够举例说明.2.过程与方法经历探索正弦、余弦概念的过程,掌握运用sin A、cos A表示直角边的比.3.情感、态度与价值观培养良好的数形结合的能力,体会三角函数在现实生活中的应用价值.教学重难点重点:理解正弦、余弦的概念.难点:怎样运用已学过的正切以及正余弦概念解决实际问题.教学活动设计二次设计课堂导入1.什么叫锐角的正切?什么叫坡度?如何表示?答:在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度,记作:i,即i=.2.如图,∠A=30°,B1C1⊥AC,BC⊥AC,则,值是什么?答:==.探索新知合作探究自学指导阅读教材P115的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一正弦和余弦的定义1.如图,(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?(2)和有什么关系?(3)如果改变B1C1所在的位置(如B2C2),和有什么关系?(4)由此你得出什么结论?2.什么叫∠A的正弦,什么叫∠A的余弦?知识模块二锐角的三角函数1.什么叫锐角的三角函数?2.教材第115页例2、例3学习续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:锐角的三角函数概念.2.归纳小结:在直角三角形中,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即:sin A=.类似地在直角三角形中,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即:cosA=.锐角的正切、正弦、余弦都叫做锐角A的三角函数.当堂训练1.△ABC中,∠C=90°,AB=8,cos A=,则AC的长是.2.已知A为锐角,tan A=,则sin A= ,cos A= .3.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且cos α=,AB=4,则AD的长为.板书设计第2课时正弦和余弦知识模块一正弦和余弦的定义知识模块二锐角的三角函数教学反思课题23.1 锐角的三角函数课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算;能根据30°,45°,60°角的三角函数值,说出相应的锐角大小,掌握互余两角正弦余弦之间的关系.2.过程与方法经历探索30°,45°,60°角的三角函数值、互余两角正弦余弦之间的关系的过程,掌握其应用方法.发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.3.情感、态度与价值观培养良好的数形结合的能力,体会锐角三角函数的应用价值.教学重难点重点:能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算;运用互余两角正弦余弦之间的关系解决问题.难点:进一步体会三角函数的意义.教学活动设计二次设计课堂导入如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)sin A= ,cos A= ,tan A= , sin B= ,cos B= ,tan B= . (2)若∠A=30°,则= .探索新知合作探究自学指导阅读教材P117~119的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究1.如何得出30°,45°,60°角的三角函数值?2.教材第117页例4学习阅读教材P119的内容,回答以下问题:正弦和余弦的关系是怎样的?如何推导?3.教材第119页例5学习教师指导1.易错点:30°、45°、60°角的三角函数值的计算.2.归纳小结:(1)特殊角三角函数值;三角函数αsin αcos αtan α30°45°1 60°续表探索新知合作探究(2)互余两角的正弦余弦的关系任意一个锐角的正(余)弦值,等于它的余角的余(正)弦值.3.方法规律:熟记30°,45°,60°角的三角函数值是解决问题的关键.当堂训练1.已知α为锐角,tan(90°-α)=,则α的度数为.2.计算:(1)+= .(2)= .3.已知α,β为锐角,且sin(90°-α)=,sin β=,求的值.板书设计第3课时特殊角的三角函数值1.30°,45°,60°角的三角函数值2.例43.例5教学反思课题23.1 锐角的三角函数课时第4课时上课时间教学目标1.知识与技能会用计算器求一些锐角的三角函数值,运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形问题.2.过程与方法运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形,发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.3.情感、态度与价值观培养良好的数形结合的能力,体会锐角三角函数的应用价值.教学重难点重点:会用计算器求一些锐角的三角函数值.难点:会用计算器求一些锐角的三角函数值.教学活动设计二次设计课堂导入1.填写下表三角函数αsin αcos αtan α30°45°160°2.我们学习了特殊锐角(30°,45°,60°)的三角函数值,那么你知道15°,55°等一般锐角的三角函数值吗?本节课就将学习它们的求法.探索新知合作探究自学指导阅读教材P120~121的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一一般锐角的三角函数值的求法1.任作一直角三角形ABC,如图,用量角器量出∠A的角度,再用计算器求出它的正弦,量出并计算的值,你有什么发现?2.如何利用计算器求一般锐角三角函数值,举例说明.观察手中计算器的各种按键,了解它们的功能.例1:求sin 40°的值.(精确到0.000 1)解:按键顺序显示sin40=0.642 787 609所以sin 40°≈0.642 8.例2:求sin 63°52'41″的值.(精确到0.000 1)解:按下列顺序依次按键:sin63° ' ″52° ' ″41° ' ″=显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52'41″≈0.897 9.续表探索新知合作探究知识模块二利用三角函数值求角例3:已知锐角α的三角函数值,求锐角α的值:(1)sin α=0.632 5;(2)cos α=0.389 4;(3)tanα=3.5492.解:(1)依次按键2nd Fsin-1,然后输入函数值0.632 5,得到结果α=39.234 809 79°;(2)依次按键2nd Fcos-1,然后输入函数值0.389 4,得到结果α=67.082 829 2°;(3)依次按键2nd Ftan-1,然后输入函数值3.549 2,得到结果α=74.264 624 79°.教师指导1.易错点:计算器的各种按键.2.归纳小结:(1)计算器求一般锐角三角函数值,要先将角度单位状态设定为“度”.(2)利用三角函数值求角:依次按键2nd Fsin-1,然后输入函数值,得到结果.当堂训练1.cos 34°35'的值是.2.已知sin A=0.508 6,求锐角A的按键顺序是2nd F sin-10 . 5 0 8 6 =,结果是.3.菱形的周长为80,一条对角线长为15,求另一条对角线长和内角的度数(边精确到0.1,角精确到1°).板书设计第4课时一般锐角的三角函数值知识模块一一般锐角的三角函数值的求法知识模块二利用三角函数值求角教学反思课题23.2 解直角三角形及其应用课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2.过程与方法通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.教学重难点重点:直角三角形的解法.难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用.教学活动设计二次设计课堂导入直角三角形ABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之间关系sin A=,cos A=,tan A=;(2)三边之间关系a2+b2=c2(勾股定理);(3)锐角之间的关系∠A+∠B=90°.探索新知合作探究自学指导阅读教材P124~125的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一解直角三角形类型与解法1.什么叫解直角三角形?2.解直角三角形有哪些类型?试填写下表理解.在Rt△ABC中,∠C=90°已知选择的边角关系解题思路斜边和一直角边c,a两直角边a,b斜边和一锐角c,∠A一直角边和一锐角a,∠A课本例1学习知识模块二通过构造作图解直角三角形课本例2学习教师指导1.易错点:解直角三角形用到的边角关系.2.归纳小结:(1)在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形.续表探索新知合作探究(2)解直角三角形类型在Rt△ABC中,∠C=90°已知选择的边角关系解题思路斜边和一直角边c,a由sin A=,求∠A;∠B=90°-∠A,b=两直角边a,b由tan A=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=斜边和一锐角c,∠A∠B=90°-∠A;a=csin A,b=c·cos A 一直角边和一锐角a,∠A∠B=90°-∠A;b=;c=3.方法规律:三角形不是直角三角形时,要用解直角三角形的知识,需构造出直角三角形.当堂训练1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=,c=2,则∠A= ,b= .2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=60°,AD=4,AB=3,则下底BC的长为.3.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求AB的长.第2题图第3题图板书设计第1课时解直角三角形知识模块一解直角三角形类型与解法知识模块二通过构造作图解直角三角形教学反思课题23.2 解直角三角形及其应用课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能掌握仰角,俯角,方位角的概念.2.过程与方法会利用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.3.情感、态度与价值观培养自主探索精神,提高合作交流和解决实际问题的能力.教学重难点重点:仰角、俯角、方位角,坡角和坡度的概念及运用.难点:转化思想在实际问题中的应用.教学活动设计二次设计课堂导入1.什么是解直角三角形?答:在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.在下列所给的直角三角形中,不能求出解的是( B )(A)已知一直角边和所对的锐角 (B)已知一直角和斜边(C)已知两直角边 (D)已知斜边和一锐角探索新知合作自学指导阅读教材P126~127的内容探究学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一仰角、俯角、方位角的定义1.什么是仰角和俯角?2.什么是方位角?知识模块二仰角、俯角、方位角的应用1.课本例3学习2.课本例4学习3.课本例5学习教师指导1.易错点:利用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.2.归纳小结:(1)什么是仰角和俯角?答:当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.(2)什么是方位角?方位角:正北或正南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫方位角.如图中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东60°, 南偏东45°(或东南方向), 南偏西80°及北偏西30°.3.方法规律:测量底部可以到达的物体的高度“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.续表探索新知合作探究要测旗杆MN的高度,可按下列步骤进行:(如图)1.在测点A处安置测倾器(即测角仪),测得M的仰角∠MCE=α.2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=1.3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC=a.根据测量数据,就能求出物体MN的高度.测量底部不可以到达的物体的高度.所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.可按下面的步骤进行(如图所示):1.在测点A处安置测角仪,测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE=α.2.在测点A与物体之间的B处安置测角仪(A,B与N都在同一条直线上),此时测得M的仰角∠MDE=β.3.量出测角仪的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b,根据测量的AB的长度,AC,BD的高度以及∠MCE,∠MDE的大小,根据直角三角形的边角关系.即可求出MN的高度.当堂训1.练如图,小红从A地向北偏东30°方向走100 m到B地,再从B地向西走200 m到C地,这时小红距A地( )(A)150 m (B)100 m(C)100 m (D)50 m2.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5 m,则大树的高度为 m.(结果保留根号)3.某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10 m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角为60°(A,B,D三点在同一直线上).请你根据他们测量的数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:≈1.414,≈1.732)板书设计第2课时仰角、俯角与方位角知识模块一仰角、俯角、方位角的定义知识模块二仰角、俯角、方位角的应用教学反思课题23.2 解直角三角形及其应用课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能理解坡角、坡度的概念,会运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题.2.过程与方法经历运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题的过程,提升解决问题的能力.3.情感、态度与价值观培养自主探索精神,提高合作交流和解决实际问题的能力.教学重难点重点:坡角和坡度的概念及运用.难点:转化”思想在实际问题中的应用.教学活动设计二次设计课堂导入1.什么是坡度?如何表示?答:坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度,坡度i=.2.什么叫坡角?坡角与坡度有什么关系?答:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i=tan α=.3.小刚沿斜坡AB,每走10米,则他的高度上升10米,则该斜坡AB的坡角α为45°.探索新知合作探究自学指导阅读教材P128~130的内容学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.合作探究知识模块一简单的坡度坡角问题1.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12 m,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为( B )(A)4 m (B)6 m(C)12 m (D)24 m2.如图,某铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,已知路基高AE为5米,左侧坡面AB 长10米,则左侧坡面AB的坡度为( C )(A)1∶2 (B)1∶(C)1∶(D)1∶知识模块二复杂的坡度坡角问题课本例6学习课本例7学习教师指导1.易错点:坡度的概念.2.归纳小结:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i=tan α=.续表探索新知合作探究3.方法规律:解决堤坝横断面的问题,首先要认真读题,弄清题意,特别是关键字、词;其次要正确地画出图形,将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系;最后,运用“转化”的思想方法,通过建立解直角三角形的数学模型使问题得到解决.当堂训练1.水库拦水坝的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,背水坡CD的坡比i=1∶1,已知背水坡的坡长CD=24 m,则背水坡的坡角α为,拦水坝的高度为 m.2.如图,在坡比为i=1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是米.3.某人在D处测得山顶C的仰角为30°,向前走200米到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i≈1∶0.5,求山的高度(不计测角仪的高度,≈1.73,结果保留整数).第1题图第2题图第3题图板书设计第3课时坡度、坡角与其他应用知识模块一简单的坡度坡角问题知识模块二复杂的坡度坡角问题教学反思。
沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》章节测试卷(含解析)
第23章《解直角三角形》章节测试卷一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =32，cosB =12，则△ABC 是（ ）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．直角三角形纸片ABC ，两直角边BC =4，AC =8，现将△ABC 纸片按如图那样折叠，使A 与电B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A ．12B ．34C ．1D ．433．如图，△ABC 的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．5B ．55C ．12D ．2534．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD 、BE 交于F ，若BD=CD =CE ，AF =DF ，则tan ∠ABC 的值为( )A ．12B ．23C ．34D ．455．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0,1)，直角顶点C 的坐标为(−3,0)，∠B =30°，则点B 的坐标为（ ）A. (−3−33,33)B ．(−3+3,3)C ．(−3+33,33)D ．(−3−3,33)6．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6，若点P 在直线AC 上（不与点A 、C 重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为（ ）A ．6或23B ．6或43C ．23或43D ．6或23或437．如图，延长等腰Rt ΔABC 斜边AB 到D ，使BD =2AB ，连接CD ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．23B ．1C ．13D ．128．如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，连结CD ，若sin∠BCD=35，则tan ∠CDB 的值为（ ）A ．23B ．34C ．710D ．9139．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB =90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ =2，则该“风车”的面积为（ ）A ．2+1B ．22C ．4−2D ．42二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且AD =3，BE =4，连接AE ，BD ，交于点F ，BD=10，cos ∠AFD=32，则AE 的长为 ．11．如图，在菱形ABCD 中，tan ∠ABC =43，AE ⊥BC 于点E ，AE 的延长线与DC 的延长线交于点F ，则S △ECF :S 四边形ADCE = ．（S 表示面积）12．如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，DE=．13．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE−PF的值为．14．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D 于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的2．其中结论正确的序号有．最小值是3215．如图，△A B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则线段B2022B2023的长度是．16．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，则四边形EFGH的周长为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）计算：(1)2sin60°−tan45°2−tan30°⋅tan60°−2cos30°+6sin245°． (2)(π−1)0+4sin45°−8+|−3|．18．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=32．求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC的值．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC=∠D．（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．21．（9分）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．22．（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad90°=________．(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．23．（9分）已知：△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上一点．(1)如图1，BH ⊥AD 于点H ，若AD =BD ，求证：BC =2AH ．(2)如图2，∠BAC =120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 上且∠DAE=120°，若AB =6，DB=23，求CE 的值．(3)如图3，D 在CB 延长线上，E 为AB 上一点，且满足：∠BAD=∠BCE ，AE BE=23，若tan ∠ABC =34，BD =5，求BC 的长．答案解析一.选择题1．B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形内角和定理求出∠C的度数，即可解答．【详解】解：∵sinA=32，cosB=12，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．2．B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出B C2+C E2=B E2，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，∴BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：B C2+C E2=B E2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴tan∠CBE=CEBC =34，故选：B．3．B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=BDBA可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB =32+42=5，AC =32+62=35∴S ΔABC =12AC ⋅BD =4×6−12×3×1−12×3×4−12×6×3=152, ∴BD =5∴sin ∠CAB=BD AB =55故选：B ．4．C 【分析】如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，证明△AGF ≌△DBF (AAS )，则AG =BD =12BC ，证明△AEG ∽△CEB ，则AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，AC =32CE ，根据tan ∠ABC =ACBC，计算求解即可．【详解】解：如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，∴∠G =∠DBF ，在△AGF 和△DBF 中，∵{∠G =∠DBF∠AFG =∠DFB AF =DF，∴△AGF ≌△DBF (AAS )，∴AG =BD =12BC ，∵∠G =∠CBE ，∠AEG =∠CEB ，∴△AEG ∽△CEB ，∴AE CE =AG BC=12，解得AE =12CE ，∴AC =32CE ，∴tan ∠ABC=AC BC =32CE 2CE =34，故选：C ．5．D【分析】过点B 作BE ⊥OC 于点E ，根据ΔABC 为直角三角形可证明ΔBCE ∽ΔCAO ，求出AC =10，求出BC ，再由比例线段可求出BE ，CE 长，则答案可求出．【详解】解：过点B 作BE ⊥OC 于点E ，∵△ABC 为直角三角形，∴∠BCE +∠ACO =90°，∴ΔBCE ∽ΔCAO ，∴ BE OC =BC AC =EC OA ，在Rt △ACO 中，AC =A O 2+C O 2=12+32=10，在Rt △ABC 中，∠CBA=30°，∴ tan ∠CBA=CA BC ，∴ BC =CA tan ∠CBA =10tan30°=30，∴ BE3=3010=EC1，解得BE =33，EC =3，∴ EO =EC +CO =3+3，∴点B 的坐标为(−3−3，33)．故选：D ．6．D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=3cos30°=332=23如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=BCcos30°=632=43故选：D7．A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得tan∠BCD．【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=A C2+B C2=2a，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2AB=22a，∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=22a·sin45°=2a，BE=BD·cos∠DBE=22a·cos45°=2a，∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠BCD=DECE =2a3a=23，故选：A．8．D【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5 a，得CE＝B C2−B E2＝4 a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x，AB＝y，然后利用勾股定理和三角形的面积可得y2−9＝133，进而利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35，∴sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝B C2−B E2＝4a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，设AC＝x，AB＝y，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB•CF＝12×AC•BC，∴y•CF＝5ax，∴CF＝5axy，在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BF＝B C2−C F2＝25a2−(5axy )2＝25ya，∴BF＝CG＝25ya，在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE＝B D2−B E2＝y2−9a2，∴CD＝CE+ED＝4a +y2−9a2，∵S△CBD＝12×CD•BE＝12×BD•CG，∴CD•BE＝BD•CG，∴(4a +y2−9a2)×3＝y×25ya，∴y2−9a2＝133a，∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE ＝3ay2−9a2＝913．故选：D．9．B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB= ∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=12×45°=22.5°易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH 又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA= 2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO =aa+2a=2−1∴IHIA=tan∠A=2−1设IH=（2−1）x，AI=x ∴IH+IA=2x=2，即x=1∴S△ABH =12×AB×IH=2−1又∵SΔBOHSΔABH =OHAH=12∴S△BOH =1−22∴S△AOB =S△ABH+S△BOH=2−1+1−22=22∴S风车=4S△AOB=4×22=22．故选B．二．填空题10．53【分析】过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，勾股定理求得DG，过点D作DH⊥BG，证明G,H重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∠AFD=32∴∠AFD=30°∵AE∥BG∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∠DBG=12∴DH=12DB=5,∴G,H重合，∴AE=BG=BH=53故答案为：53．11．4:21【分析】设AE=4k，则BE=3k，根据勾股定理求出AB=5k，然后证明△CEF∽△DAF，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵tan∠ABC=43，AE⊥BC，∴tan∠ABC=43=AEBE，设AE=4k，则BE=3k，∴AB =A E 2+B E 2=5k ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ∥AD ，AD =BC =AB =5k ，∴CE =BC −BE =2k ，∵CB ∥AD ，∴△CEF ∽△DAF ，∴S △CEF S△DAF =(CE DA )2=(2k 5k )2=425，∴S △CEFS 四边形ADCE =S △CEF S △DAF −S △CEF =425−4=421．故答案为：4:21．12．2或52或75【分析】分AB =AE,BE =BA,EA =EB 三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，∴∠BAD=90°，∴BD =A B 2+A D 2=32+42=5，当AB =AE 时，过点A 作AF ⊥AD 于点F ，则AF ⊥BD ，∴cos ∠ABD=AB BD =BF AB ，∴BF =AB 2BD =95∴DE =BD −BE =BD −2BF =5−185=75，当BA =BE 时，DE =BD −BE =5−3=2，当EA =EB 时，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∴EG ∥AD ，AG =GB ，∴BE ED=BG AG =1，∴DE =12BD=52，综上所述DE = 2或52或75，故答案为：2或52或75．13．33【分析】如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP 为∠BCD ，∠FCM 的平分线，则PF =PM ，PE −PF =PE −PM =EM ，由题意知，EM 为△ABD 底边AD 上的高，由菱形ABCD ，∠ABC=120°，AB =6，可得∠BAD=60°，根据EM=AB ⋅sin ∠BAD ，计算求解，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∠BAD=33，∴PE−PF=33，故答案为：33．14．①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①的结论正确；∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD=1(180°−∠DPC)．2∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC=1(180°−∠CPG)．2∴∠PCD+∠PCG=1[360°−(∠DPC+∠CPG)]．2∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP+∠PFG=180°，∴∠DEP+∠HFP=180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，∴∠EHF+∠EPF=180°．∴∠EPF=90°，∴∠EHF=90°．即GH⊥AD．∵AD//BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF=45°．∴tan∠CGF=1．∴②的结论正确；∵PA=PB，PM⊥AB，∴∠APM=∠BPM，∵PM//AE，∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．∴∠PEA=∠PAE．∴PA=PE．∵PE=PF，∴PA=PB=PE=PF．∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB=12∠FPB=12×90°=45°．∴点F在对角线AC上，∴∠FCB=45°．∵∠BCG=∠CGF=45°，∴△FCG为等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4×22=22．∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．15．220233【分析】设直线y=33x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=23，推出∠C B1A1=90°，∠C B1A=30°，然后求出C B1=2O B1=43=22×3，C B2=2C B1=83=23×3，C B3=2C B2=163=24×3，…，进而可得C B2022=22023×3，C B2023=22024×3，再求出B2022B2023即可．【详解】解：如图所示，设直线y =33x +2与x 轴交于点C ，当x =0时，y =2；当y =0时，x =−23，∴ A (0,2)，C (−23,0)，∴ OA=2，OC =23，∴ tan ∠ACO =OA OC=223=33，∴ ∠ACO=30°，∵ △A B 1A 1是等边三角形，∴ ∠A A 1B 1=∠A B 1A 1=60°，∴ ∠C B 1A 1=90°，∠C B 1A =30°，∴ AC =A B 1，∵ AO⊥C B 1，∴ O B 1=OC =23，∴ C B 1=2O B 1=43=22×3，同理，C B 2=2C B 1=83=23×3，C B 3=2C B 2=163=24×3，……，∴ C B 2022=22023×3，C B 2023=22024×3，∴ B 2022B 2023=22024×3−22023×3=220233，故答案为：220233．16．8+46【分析】先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK ⊥FH ，可求得EH:EF =2:6；作∠ARH=∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，构造“一线三等角”，先求得FT 的长，进而根据相似三角形求得ER ，进而求得AE ，于是得出∠AEH =30°，进一步求得结果．【详解】解：如图1，Rt △PMN 中，∠P =15°，NQ =PQ ，∠MQN =30°，设MN=1，则PQ =NQ =2，MQ=3，PN =6+2，∴cos15°=6+24，tan15°=2−3，如图2，作EK ⊥FH 于K ，作∠AHR =∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C ，在△AEH 与△CGF 中，{AE =CG ∠A =∠C AH =CF，∴△AEH ≌△CGF(SAS)，∴EH =GF ，同理证得△EBF ≌△GDH ，则EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，设HK=a ，则EH=2a ，EK =3a ，∴EF =2EK =6a ，∵∠EAH =∠EBF =90°，∴∠R=∠T =75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=3+36+24=26，AR=AH⋅tan15°=4−23，△FTE∽△ERH，∴FTER =EFEH，∴26ER =62，∴ER=4，∴AE=ER−AR=23，∴tan∠AEH=223=33，∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=26，∴EH+EF=4+26=2(2+6)，∴2(EH+EF)=4(2+6)，∴四边形EFGH的周长为：8+46，故答案为：8+46．三．解答题17．（1）原式=2×32−12−33×3−2×32+6×(22)2=3−12−1−3+6×12=3−1−3+3=2．（2）原式=1+4×22−22+3 =1+22−22+3=4．18．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD =32，AD=6，∴CD=4；（2）解：由（2）得CD=4，∴BD=BC−CD=8，∴AB=A D2+B D2=10，在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB =35，即sin∠ABC=35．19．解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b 将点A、C的坐标代入，得得：{7k+b=8b=6，解得：{k=27b=6，故直线AC的表达式为：y＝27x+6；（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴∴则点D（t，0），点E（7，s）∵DE∥AC可设直线DE的解析式为y＝27x+c将点D的坐标代入0＝27t+c解得：c=﹣27t∴直线的表达式为：y＝27x﹣27t，将点E的坐标代入，得s＝2﹣27t（根据点D在线段OB上，可得0＜t＜7）；（3）存在，理由：设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣27t，四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，∵∠EDB +∠CDO ＝90°，∠CDO +∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDE ，∴tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，∴ODOC ＝BE BD即t 6＝2−27t 7−t，解得：t ＝127或7（因为0＜t ＜7，故舍去7），故点D 的坐标为（127，0）．20．（1）如图所示，取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，∵BF =12+12=2，DF =32+32=32，∴tan ∠D =BF DF=232=13，∵CE =1，BE =3，∴tan ∠ABC=CE BE=13，∴tan ∠D =tan ∠ABC ，∴∠ABC=∠D ；（2）解：如图，取格点D ，E ，同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan∠ACE=1，2，在Rt△ABD中，tan∠ABD=12∴tan∠ACE=tan∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．21．（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥CE，∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt △CDE 中，DE =CE ⋅tan ∠DCE=6×tan30°=23（米），∴FG =23（米）．答：F 距离地面CE 的高度为23米；（3）解：∵斜坡CF 的坡度为i =1:2.5，∴Rt △CFG 中，CG = 2.5FG =23× 2.5=53（米），∴FD =EG =(53+6)（米）．∴在Rt △AFD 中，∠AFD=45°，∴AD =FD =(53+6)米．在Rt △BCE 中，BE =CE ⋅tan ∠BCE =6×tan60°=63（米），∴AB =AD +DE −BE =53+6+23−63=(6+3)（米）．答：宣传牌AB 的高度约为(6+3)米．22．（1）解：如图，∠BAC=90°,AB =AC ,sad90°=BC AB ,∵cos45°=AB BC=22,∴sad90°=BCAB = 2.（2）解：如图，点A 在BC 的中垂线上，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，AB >12BC 相应的sadA =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sadA =BCAB 逐渐接近0，sad A =BCAB >0；∴0<sadA <2（3）解：如图，在AB 上截取AH=AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，sinA =35=DH AH ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则，AD =A H 2−H D 2=4x ,∴DC =AC −AD =5x −4x =x ．Rt △HDC 中，HC =C D 2+H D 2=10x ，∴sadA =CH AH =10x 5x =105．23．（1）解：证明：如图1，过点A 作AN ⊥BC 于N ，∵AB =AC ，∴BN =12BC ，∵AD =BD ，∴∠ABD =∠BAD ，在△ABN 和△BAH 中，{∠ANB=∠BHA=90°∠ABD=∠DABAB=BA，∴△ABN≌△BAH(AAS)，∴BN=AH，∴12BC=AH，∴BC=2AH；（2）如图2，在AC上取一点F，使EF=EC，连接EF，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠EAC，∵AB=AC，∴∠ABE=∠C=∠CFE=30°，∴∠ABD=∠AFE=150°，∴△ABD∽△AFE，∴ABAF =BDEF，即6AF=23EF，∴AFEF=3，设EF=a，则AF=3a，∵EF=CE=a，∠C=30°，∴CF=2EF·cos30°=3a，∴6−3a=3a，∴a=3，∴CE=EF=3；（3）如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE=2m，BE=3m，则AB=AC=5m，∵tan∠ABC=34=AP BP ，∴ BP AB =45，∴BP =CP =4m ，BC =8m ，∵∠BAD =∠BCE =∠G ，∠ABD =∠GCA ，∴△ABD ∽△GCA ，∴ CG AB =AC BD ，即CG 5m =5m 5，∴CG =5m 2，∵AG ∥CE ，∴ BE AE =BC CG ，∴ 3m 2m =8m5m 2，∴m =1615，∴BC =8m =12815．。
新沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数3一般锐角的三角函数值同步练习
23.1.3 一般锐角的三角函数值知|识|目|标通过观察、操作、思考，熟练用计算器求已知锐角的三角函数值或根据三角函数值求出相应的锐角，并能用计算器进行有关三角函数值的计算．目标会用计算器求一般锐角的三角函数值例1 [教材例6、例7针对训练] 求下列三角函数值(精确到0.0001)：(1)sin75.6°；(2)cos37.1°；(3)tan25°；(4)sin37°19′12″.例2 [教材例8针对训练] 已知cos A＝0.7038，求锐角A的度数．【归纳总结】已知锐角三角函数值用计算器求锐角的注意要点：用计算器直接计算出的角的单位是度，而不是度、分、秒，因此若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助2ndF和D·M′S键进行转换．例3 [教材补充例题] 比较大小：sin37°，cos52°，sin41°.【归纳总结】比较锐角三角函数值的大小的方法：(1)先直接利用计算器计算锐角三角函数的值，再比较大小；(2)先利用互余两角的三角函数关系转化为同一种三角函数，再根据三角函数的增减性进行比较：①正切值随着锐角的增大而增大；②正弦值随着锐角的增大而增大；③余弦值随着锐角的增大而减小．反之亦成立．知识点用计算器求一般锐角的三角函数值在使用计算器时先阅读计算器的使用说明，按照正确的操作顺序求出锐角的三角函数值，再按照要求取其近似值．若已知锐角的某一种三角函数的值，反过来求角度，要使用第二功能键．[点拨] 用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位．已知cos α(α为锐角)是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，求cos α的值． 解：∵方程2x 2－5x ＋2＝0的根为x 1＝12，x 2＝2，∴cos α＝12或cos α＝2.上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 以度为单位的锐角，按sin cos 或tan 后直接输入数字，再按＝得到锐角的正弦、余弦、正切值．解：(1)依次按键sin 7 5 · 6 ＝，显示0.968583161，即sin 75.6°≈0.9686. (2)依次按键cos 3 7 · 1＝，显示0.797583928，即cos 37.1°≈0.7976. (3)依次按键tan 2 5＝，显示0.466307658，即tan 25°≈0.4663.(4)依次按键sin 3 7 D ·M ′S 1 9 D ·M ′S 1 2 D ·M ′S ＝，显示0.606266036，即sin37°19′12″≈0.6063.例2 解：依次按键 2ndF cos－10·7038＝，显示45.26732078，再按2ndF D ·M ′S ，显示45°16′2.35″，∴∠A ≈45°16′2″.例3 [解析] 根据正弦值随着锐角的增大而增大，余弦值随着锐角的增大而减小，先将正弦、余弦统一为一种形式，再进行比较．解：解法一：∵cos 52°＝sin (90°－52°)＝sin 38°，而37°＜38°＜41°，∴sin 37°＜sin 38°＜sin 41°，即sin 37°＜cos 52°＜sin 41°.解法二：∵sin 37°＝cos (90°－37°)＝cos 53°，sin 41°＝cos (90°－41°)＝cos 49°， 而49°＜52°＜53°，∴cos 49°＞cos 52°＞cos 53°， 即sin 41°＞cos 52°＞sin 37°. 【总结反思】[反思] 不正确．错误的原因是忽略了锐角的余弦的取值范围．因为α为锐角，由锐角三角函数的定义，可知0<cos α<1，所以cos α＝2应舍去．正解：∵方程2x 2－5x ＋2＝0的根为x 1＝12，x 2＝2，且0<cos α<1，∴cos α＝12.。
沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计1
沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容，主要包括锐角三角函数的定义、性质和应用。
本节内容是在学生已经掌握了锐角的概念、三角函数的定义的基础上进行的，是进一步深入研究三角函数的基础知识。
通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握其性质，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角的概念和三角函数的定义有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的性质和应用，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探究锐角三角函数的性质，提高学生的动手操作能力和思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角函数的概念，掌握其性质，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法：通过观察、思考、操作等活动，培养学生的动手操作能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念、性质和应用。
2.难点：锐角三角函数性质的推导和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入锐角三角函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究法：引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探究锐角三角函数的性质。
3.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、交流，培养学生的合作意识。
4.讲解法：教师对锐角三角函数的概念、性质进行讲解，帮助学生理解和掌握。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：学生分组实验器材、练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中常见的锐角三角函数的应用，如测量角度、建筑设计等，引导学生关注锐角三角函数的实际意义。
2.呈现（10分钟）教师引导学生回顾锐角的概念，然后给出锐角三角函数的定义，并通过示例解释其含义。
沪科版九年级数学上第23章解直角三角形基本功强化训练(四)求锐角三角函数值的常用方法习题课件
九年级 数学 上册 沪科版
解：(1)在 Rt△ABD 中， ∵sin B＝AABD＝13，AD＝1， ∴AB＝3AD＝3，∴BD＝ AB2－AD2＝ 32－12＝2 2， ∴BC＝BD＋CD＝2 2＋1.
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九年级 数学 上册 沪科版来自(2)∵AE 是 BC 边上的中线，
∴CE＝12BC＝12(2 2＋1)＝ 2＋12，
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方法 4：构造直角三角形求三角函数值 5．(梧州中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，AB＝5，
3 BD＝1，tan B＝4. (1)求 AD 的长； (2)求 sin α的值．
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解：(1)∵tan B＝34， ∴可设 AC＝3x，BC＝4x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(3x)2＋(4x)2＝52， 解得 x＝－1(舍去)，或 x＝1，∴AC＝3，BC＝4， ∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝ CD2＋AC2＝3 2.
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九年级 数学 上册 沪科版
方法 3：运用等角转换求三角函数值 4．将一副三角尺如图①所示摆放在一起，示意图如图②所示，连接 AD， 求∠ADC 的正切值．
第8页
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解：如图②，过点 A 作 AE⊥BD，交 DB 的延长线于点 E， 由题意可得∠ABE＝∠CBD＝45°.设 AE＝BE＝1，则 AB＝ 2，∴BC＝ 6. 又∵△BCD 是等腰直角三角形， ∴BD＝ 3，∴DE＝1＋ 3. ∵∠AED＝∠CDE＝90°， ∴AE∥CD，∠ADC＝∠DAE， ∴tan∠ADC＝tan∠DAE＝DAEE＝ 3＋1.
∴DE＝CE－CD＝ 2＋12－1＝ 2－12，
沪科版数学九年级上册 第23章 小结与复习
针对训练
1. 在 △ABC 中， ∠A、 ∠B 都是锐角，且 sin A = cos B， 那么 △ABC 一定是_直__角___三角形．
2. 如图，在网格中，小正方形的边
长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，
1
则 ∠ABC 的正切值是__2__.
例2 矩形 ABCD 中 AB = 10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，
考点一 求三角函数的值
例1 在 △ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ 4 ，则 tan B 的
5
值为
4
3
3
( B) 4
A. 3 B. 4
C. 5
D. 5
解析：根据 sin A＝ 4 ，可设三角形的两边长分别为
5
4k，5k，则第三边长为
3k，所以
tan
B＝
3k
3.
4k 4
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体 的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的 方法主要有： (1)根据特殊角的三角函数值求值； (2)直接运用三角函数的定义求值； (3)借助边的数量关系求值； (4)借助等角求值； (5)根据三角函数关系求值； (6)构造直角三角形求值．
西北
北 东北
45°
西
)
O
45°
B南
东西
45° O
东
西南
东南
南
(3) 坡度，坡角
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度.记作
i，即
i=
h l
.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，有 i = tan α.
坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i =1 : 6.
2023年沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形方法技巧专题 巧求锐角三角函数值
∴CE＝EF＝2 55x，∴tan ∠CAE＝CAEC ＝ 55.
-6-
【方法技巧专题】 巧求锐角三角函数值
类型2 利用等角转换求锐角三角函数值
方法总结
当直接求一个锐角的三角函数值比较困难时， 我们还可以用它相等的角进行转化，然后运用三角 函数的定义求解.
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【方法技巧专题】 巧求锐角三角函数值
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【方法技巧专题】 巧求锐角三角函数值
(2)∵D为BC的中点，∴BD＝CD＝3，DH＝2， ∴AD＝ AH2＋DH2＝ 5. 在Rt△ADH中，sin ∠ADH＝AAHD ＝ 55， ∴∠ADC的正弦值为 55.
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【方法技巧专题】 巧求锐角三角函数值
类型5 阅读材料求锐角三角函数值
方法总结
9.如图，AD是△ABC的中线，tan B＝15，cos C＝ 22，AC＝ 2. (1)求BC的长； (2)求∠ADC的正弦值.
-15-
【方法技巧专题】 巧求锐角三角函数值
解：(1)过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△ACH中，∵cos C＝CAHC ＝ 22，AC＝ 2， ∴CH＝1，AH＝ AC2－CH2＝1， 在Rt△ABH中，∵tan B＝ABHH ＝ 15， ∴BH＝5，∴BC＝BH＋CH＝6.
A.
2 3
B.
2 2
C.43
D.232
-11-
【方法技巧专题】 巧求锐角三角函数值
7.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点
(网格线的交点)上，则sin ∠ACB的值为
5 5
.
-12-
【方法技巧专题】 巧求锐角三角函数值
8.如图，在正方形方格纸中，每个小方格的边长都 为1，点A，B，C，D都在格点(网格线的交点)处，
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 专题技能训练 利用锐角三角函数模型解决实际问题的四种类型
3．【2019·遵义】某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景 秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶 观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝ 168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的 长(结果保留根号)．
HK版九年级上
第23章 解直角三角形
专题技能训练(六) 3.利用锐角三角函数模型解决实际问
题的四种类型
1 见习题 2 见习题 3 见习题 4 见习题 5 见习题
提示：点击 进入习题
6 见习题 7 见习题 8 见习题
答案显示
1．【中考·南通】如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山 的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520m， ∠D＝30°，那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线 上？(取1.732，结果取整数)
≈1.414，≈1.732)
2
3
解：设AB＝x米，
由题BC＝x米，
∴BD＝BC＋CD＝(x＋400)米．
在Rt△ADB中，tan 30°＝ ，
∴
∴山高AB约为546.4米．
AB BD 13＝x＋x400，解得 x＝ 430－01≈546.4，
6．【2020·合肥蜀山区模拟】某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽 车速度的实验：如图，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D ， 使 CD 与 l 垂 直 ， 测 得 CD 的 长 等 于 24 米 ， 在 l 上 点 D 的 同 侧 取 点 A ， B ， 使 ∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.
3
解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°， ∴∠E＝90°. 在Rt△BDE中，cos D＝ ，
九年级数学上册第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.1第1课时正切练习2沪科版(20
2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.1 第1课时正切同步练习2 （新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.1 第1课时正切同步练习2 （新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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23。
1 锐角的三角函数[23。
1 1。
第1课时正切］一、选择题1．在正方形网格中，△ABC的位置如图30－K－1所示，则tan B的值为( )A。
错误!B。
错误! C. 错误! D. 错误!图30－K－12．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为( ）A．1∶2 B. 错误!∶2C．1∶错误! D. 错误!∶13．如图30－K－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝10，tan A＝错误!，则AC的长是( ）A．3 B．4 C．6 D．8图30－K－24．［2017·安庆期末］在Rt△ABC中，∠C＝90°。
若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B 的值是（）A. 错误! B．3 C。
错误! D．2 错误!5．［2016·枞阳期末］如图30－K－3，点A（t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝错误!,则t的值是( )A．1 B．1。
5 C．2 D．3图30－K－36．[2017·江淮十校联考二模］某人沿斜坡坡度i＝1∶2的斜坡向上前进了6米，则他上升的高度为 ( )A．3米 B 错误!米C．2 错误!米 D. 错误!米7．如图30－K－4，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B,C都在格点上,则∠ABC 的正切值是 ( )A．2 B.错误! C。
【教育资料】沪科版九年级数学上册第23章 解直角三角形 复习题学习精品
第23章 解直角三角形类型之一 锐角三角函数的概念1．在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)和点B(3，0)，则sin ∠AOB 的值等于( )A . 2 55B . 55C . 52D . 122．［2019·滨州］如图23－X －1，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 3图23－X －13．如图23－X －2，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值是________．图23－X －2类型之二 特殊锐角的三角函数值4．计算2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的结果是( )A ．2 3－2B ．0C ．2 3D ．25．若cos α＝32，则锐角α＝________°. 6．计算：sin 230°＋cos 260°－tan 245°＝________．类型之三 解直角三角形7．如图23－X －3，矩形ABCD 中，AD ＝2，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，且∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ＝20°，则AB ＝________．图23－X －38．如图23－X －4，在▱ABCD 中，BC ＝10，sin B ＝910，AC ＝BC ，则▱ABCD 的面积是________．图23－X －49．如图23－X －5，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BE ∶AB ＝3∶5，若CE ＝2，cos ∠ACD ＝45，求tan ∠AEC 的值及CD 的长． 图23－X －5类型之四 解直角三角形的实际应用10．［2019·重庆］如图23－X －6，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)．某同学从点C 出发，沿某一斜坡CD 行走195米至坡顶D 处．斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米图23－X －611．［2019·瑶海区一模］如图23－X －7，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断的树干AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断的部分AC 与未折断的树干AB 形成60°的夹角．树干AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得BE ＝6米，塔高DE ＝9米．在某一时刻的太阳光照射下，未折断的树干AB落在地面的影子FB长4米，且点F，B，C，E在同一条直线上，点F，A，D也在同一条直线上．求这棵大树折断前的高度．图23－X－712．［2019·蜀山区二模］如图23－X－8，在地铁某站通道的建设中，建设工人将坡长为20米(AB＝20米)，坡角为20°30′(∠BAE＝20°30′)的斜坡通道改造成坡角为12°30′(∠BDE＝12°30′)的斜坡通道，使斜坡的起点从点A处向左平移至点D处，求改造后的斜坡通道BD的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin12°30′≈0.22，sin20°30′≈0.35，sin69°30′≈0.94)图23－X－813．［2019·宿州埇桥区模拟］如图23－X－9，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6米到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求电线杆PQ的高度．图23－X－9类型之五数学活动14．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C.利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.问题解决：如图23－X－10，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2海里．(1)连接A1B2，判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？图23－X－10教师详解详析1．A2．A [解析] 设AC ＝a ，则AB ＝2AC ＝2a ，BC ＝a÷tan 30°＝3a ，∴BD ＝AB ＝2a.∴tan ∠DAC ＝（2＋3）a a＝2＋ 3. 3. 22[解析] 如图，连接AB. ∵OA 2＝12＋32＝10，AB 2＝12＋32＝10，OB 2＝22＋42＝20，∴OA 2＋AB 2＝OB 2，OA ＝AB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝90°，∴∠AOB ＝45°，∴cos ∠AOB ＝cos 45°＝22. 4．B 5.306．－12 [解析] sin 230°＋cos 260°－tan 245°＝(12)2＋(12)2－1＝－12. 7. 6 [解析] ∵∠GAF ＝∠F ＝20°，∴∠AGC ＝∠ACG ＝40°，∴∠CAG ＝100°，∴∠DAC ＝60°，∴tan ∠DAC ＝DC AD ＝AB AD＝ 3. ∵AD ＝2，∴AB ＝ 6.故答案为 6.8．18 199．解：在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠ABC ＋∠CAD ＝90°，∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACD ，∴cos ∠ABC ＝cos ∠ACD ＝45. 在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝BC AB ＝45，令BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k. 由BE ∶AB ＝3∶5，知BE ＝3k.则CE ＝k ，且CE ＝2，则k ＝2，AC ＝3 2.∴Rt △ACE 中，tan ∠AEC ＝AC CE＝3， ∵Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝45， ∴CD ＝12 25. 10．A [解析] 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，解直角三角形CDE ，得DE ＝75米，CE ＝180米，根据BC ＝306米可求得BE ＝126米．过点A 作AF ⊥DE ，∴AF ＝BE ＝126米．∵∠DAF ＝20°，根据tan 20°≈0.364，即DF AF ＝DF 126≈0.364，求得DF ≈45.864米，∴AB ＝75－DF ≈29.1(米)．11．解：根据题意，得AB ⊥EF ，DE ⊥EF ，∴∠ABC ＝90°，AB ∥DE ，∴△ABF ∽△DEF ，∴AB DE ＝BF EF ，即AB 9＝44＋6，解得AB ＝3.6. ∵在Rt △ABC 中，cos ∠BAC ＝AB AC， ∴AC ＝AB cos 60°＝7.2米， ∴AB ＋AC ＝3.6＋7.2＝10.8(米)．答：这棵大树折断前的高度为10.8米．12．解：作BC ⊥DE 于点C.∵BC ⊥DC ，∠BAC ＝20°30′，AB ＝20米， ∴sin ∠BAC ＝BC AB，∴BC ＝AB·sin ∠BAC ＝20×sin 20°30′≈20×0.35＝7(米)． 在Rt △BDC 中，∵∠BDC ＝12°30′，sin ∠BDC ＝BC BD， 即sin 12°30′＝BC BD， ∴BD ＝BC sin 12°30′≈70.22≈31.8(米)． 答：改造后的斜坡通道BD 的长约为31.8米．13．解：如图，延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE ＝x 米．在Rt △APE 中，∠A ＝45°，则AE ＝PE ＝x 米．∵∠PBE ＝60°，∴∠BPE ＝30°.在Rt △BPE 中，tan ∠PBE ＝tan 60°＝PE BE， ∴BE ＝x 3＝33x(米)． ∵AB ＝AE －BE ＝6米， ∴x －33x ＝6， 解得x ＝9＋3 3.则BE ＝(3 3＋3)米．在Rt △BEQ 中，QE ＝tan 30°·BE ＝33×(3 3＋3)＝(3＋3)米．∴PQ ＝PE －QE ＝9＋3 3－(3＋3)＝(6＋2 3)米．答：电线杆PQ 的高度是(6＋2 3)米．14．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明：由已知得A 2B 2＝10 2，A 1A 2＝30 2×2060＝10 2，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形．(2)∵△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知得∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.又∵∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.在△A 1B 2B 1中，由题中结论，得B 1B 2sin 45°＝A 1B 2sin 60°， ∴B 1B 2＝A 1B 2sin 60°·sin 45°＝10 232·22＝20 33. 因此，乙船的速度为20 33×6020＝20 3(海里/时)． 答：乙船每小时航行20 3海里．。
九年级数学上册第23章解直角三角形锐角三角函数测试题新版沪科版
ACP锐角三角函数测试题一、 选择题（每小题3分，共30分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD=（ ）A 、35 B 、32C 、552D 、25 2、如图1，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（ ）A 、1200mB 、2400mC 、4003mD 、12003m3、（08襄樊市）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（ ） A ．12B 2C 3D 3 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（ ） A 、34 B 、43C 、35D 、535、如图2，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为（ ）A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A 、∠C ＞∠A ＞∠B B 、∠B ＞∠C ＞∠AC 、∠A ＞∠B ＞∠CD 、∠C ＞∠B ＞∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥DB ，A BC（ α 图1CE DAB图2（ α如果PC=6，那么PD 等于（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 9、已知∠A 为锐角，且cosA ≤21，则（ ） A 、 0°≤A ≤60° B 、60°≤A ＜90° C 、0°＜A ≤30° D 、30°≤A ≤90°10、如图4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则 tan α的值为（ ） A 、21 B 、34 C 、43D 、2二、 填空题（每小题3分，共30分） 11、直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为21，则k 的值为 。
九年级数学上第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数2锐角的三角函数——正弦与余弦习题课沪科
1 2S△
ABC，即12CD·BE＝12×12AC·BC.
24
∴BE＝62××85＝254.在
Rt△
BDE
中，cos∠DBE＝BBDE＝
5 5
＝2245，即 cos∠ABE＝2245.
14．【2019·攀枝花】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝mx 的图
3．【2019·宜昌】如图，在 5×4 的正方形网格中，每个
小正方形的边长都是 1，△ ABC 的顶点都在这些小
正方形的顶点上，则 sin ∠BAC 的值为( D )
A.43
B.34
C.35
D.45
4．【2019·衢州】如图，人字梯AB，AC的长都 为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的 高度AD是___1_._5___米(结果精确到0.1米，参 考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．
5．【中考·湖州】如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠C＝
90°，AB＝5，BC＝3，则 cos B 的值是( A )来自343
4
A.5
B.5
C.4
D.3
6．【中考·崇左】如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，
AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的
是( A )
A．sin A＝1123 C．tan A＝152
(2)利用你发现的规律求解以下题目： 已知β是锐角，且满足sin β＝3 cos β，求sin β，cos β
的值．
解：∵β 为锐角，∴sinβ＞0，cosβ＞0. 由ssiinn2ββ＝＋3ccooss2ββ，＝1，解得scionsββ＝＝311100100. ，
九年级数学上册第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.3一般锐角的三角函数值练习沪科版
2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.3 一般锐角的三角函数值同步练习（新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.3 一般锐角的三角函数值同步练习（新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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23。
1.3 一般锐角的三角函数值知识点 1 互余两角的正弦、余弦的关系1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝23,那么cos B的值为( ）A。
错误! B. 错误!C。
错误! D．不能确定2．如果α是锐角,且sinα＝0。
8，那么cos（90°－α）等于（）A．0。
8 B．0.75 C．0.6 D．0。
23．若α是锐角,sinα＝cos50°，则α等于( )A．20° B．30° C．40° D．50°4．已知sin42°54′＝0.6807,如果cosα＝0.6807，那么α＝________。
5．化简下列各式：(1)1－sin70°＋cos20°；(2)错误!.知识点 2 用计算器求锐角的三角函数值6．利用计算器计算sin30°时,依次按键错误!错误!错误!错误!，显示的结果是( ) A．0.5 B．0.707 C．0。
866 D．17．用计算器计算cos44°的结果(精确到0。
九年级数学上册第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.1第2课时正弦与余弦练习2沪科版
2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.1 第2课时正弦与余弦同步练习2 （新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.1 第2课时正弦与余弦同步练习2 （新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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23。
1。
1 第2课时正弦与余弦知识点 1 正弦1．如图23－1－18所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sin B的值是（）A . 错误! B. 错误! C。
错误! D。
错误!图23－1－182．如图23－1－19，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( ）A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的错误!C．扩大为原来的4倍 D．不变图23－1－193．[2017·日照］在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13,AC＝5，则sin A的值为( ）A。
错误! B。
错误! C. 错误! D。
错误!4．如图23－1－20，P是锐角α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4),则sinα等于（)A。
35B。
45C. 错误!D. 错误!图23－1－205．［2016·兰州］在Rt△ABC中，∠C＝90°,sin A＝错误!，BC＝6，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．106．如图23－1－21,已知在△ABC中，∠B＝90°，tan A＝13，BC＝2。
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专题技能训练 解：如图，过点 A 作 AF⊥CD 于 F. 设 AE＝x 米． ∵斜坡 AB 的坡度为 i＝1∶1，∴BE＝AE＝x 米． 在 Rt△BDC 中，∵∠C＝90°，CD＝96 米，∠DBC＝β， ∴BC＝taCnDβ＝946＝24(米)， ∴EC＝EB＋BC＝(x＋24)米， ∴AF＝EC＝(x＋24)米． 在 Rt△ADF 中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝α，
专题技能训练 8．为了进一步加强应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控宣传
工作力度，某乡镇在一条公路旁的小山坡上立了一块大型标 语牌 AB，如图，标语牌底部 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 20 米，山坡的坡角为 30°.某同学在山脚的平地 F 处测量该标 语牌的高，测得点 C 到测角仪 EF 的水平距离 CF＝1.7 米，
专题技能训练 解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55 m， ∴tan∠CAE＝CAEC，∴AC＝tanCE34°≈05.657≈82.1(m)． ∵AB＝21 m.∴BC＝AC－AB＝61.1 m. 在 Rt△BCD 中，∵tan 60°＝CBDC＝ 3， ∴CD＝ 3BC≈1.73×61.1≈105.7(m)， ∴DE＝CD－EC≈105.7－55≈51(m)． 答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51 m.
正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰角为 31°，再向东继续 航行 30m 到达 B 处，测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45°. 根据测得的数据，计算这座灯塔的高度 CD.(结果取整数．参 考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
专题技能训练 解：由题意，可知∠CAD＝31°，∠CBD＝45°，∠CDA＝90°， AB＝30 m. 在 Rt△ACD 中，∵tan∠CAD＝CADD，∴AD＝taCn D31°. 在 Rt△BCD 中，∵tan∠CBD＝CBDD，∴BD＝taCn D45°＝CD. 又∵AD＝BD＋AB，∴taCn D31°＝CD＋30. ∴CD＝310－×ttaann 3311°°≈310－×00..6600＝45(m)． 答：这座灯塔的高度 CD 约为 45m.
专题技能训练 4．[2019·娄底]如图，某建筑物 CD 高 96 米，它的前面有一座小
山，其斜坡 AB 的坡度为 i＝1∶1.为了测量山顶 A 的高度， 在建筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底 B 的俯角分别为 α、β. 已知 tan α＝2，tan β＝4，求山顶 A 的高度 AE(C、B、E 在 同一水平面上)．
专题技能训练
解：不会．理由：过点 A 作 OB 的垂线 AC，垂足为 C，在 Rt△ACO 中，AO＝1.2 米，∠AOC＝40°，则 sin 40°＝AAOC， ∴AC＝AO ·sin 40°≈0.64×1.2＝0.768(米)＜0.8 米， ∴车门不会碰到墙．
专题技能训练 3．[2019·遵义]某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如
专题技能训练
同时测得标语牌顶部 A 点的仰角为 45°，底部 B 点的仰角为 20°，求标语牌 AB 的高度．(参考数据：sin 20°≈0.34， cos20°≈0.94，tan 20°≈0.36， 3≈1.73) 解：过 E 作 EG⊥AD 于点 G，则 GE＝DF， 在 Rt△BDC 中，∠BDC＝90°，BC＝20 米，∠BCD＝30°， ∴DC＝BC·cos 30°＝20× 23≈17.3(米)， ∴GE＝DF＝DC＋CF≈17.3＋1.7＝19(米)．
沪科版 九年级下
第23章 解直角三角形
专题技能训练(六) 3.利用锐角三角函数模型解决实际问题
的四种类型
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专题技能训练 1．[2018·南通]如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进
专题技能训练
解：设 AB＝x 米， 由题意可知∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x 米， ∴BD＝BC＋CD＝(x＋400)米． 在 Rt△ADB 中，tan 30°＝BADB， ∴ 13＝x＋x400，解得 x＝ 430－01≈546.4， ∴山高 AB 约为 546.4 米．
专题技能训练 6．[2019·天津]如图，海面上一艘船由西向东航行，在 A 处测得
专题技能训练 2．[2018·合肥瑶海区模拟]停车难已成为城市病之一，主要表现
在居住区停车位不足、停车资源结构性失衡、中心城区供需 差距大等等．如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意 图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，已知 小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB 为 40° 时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取 ∠ABD＝120°，BD＝520 m，∠D＝30°，那么另一边开挖点 E 离 D 多远正好使 A，C，E 三点在一直线上？( 3取 1.732， 结果取整数)
专题技能训练
解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°， ∴∠E＝90°. 在 Rt△BDE 中，cos D＝DBDE， ∴DE＝BD·cos 30°＝520× 23＝260 3≈450(m)． 答：点 E 离 D 约 450 m 时正好使 A，C，E 三点在一直线上．
专题技能训练
∴DF＝AF·tan α＝2(x＋24)米． ∵DF＝DC－CF＝DC－AE＝(96－x)米， ∴2(x＋24)＝96－x，解得 x＝16. ∴山顶 A 的高度 AE 为 16 米．
专题技能训练 5．[2019·永州]为了测量某山(如图所示)的高度，甲在山顶 A 测
得 C 处的俯角为 45°，D 处的俯角为 30°，乙在山下测得 C， D 之间的距离为 400 米．已知 B，C，D 在同一水平面的同一 直线上，求山高 AB.(可能用到的数据： 2≈1.414， 3 ≈1.732)
专题技能训练 7．[2019·河南]数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像
(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的 小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34°，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为 60°，求 炎帝塑像 DE 的高度．(精确到 1m. 参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈ 0.83，tan 3△BGE 中，∠BEG＝20°， ∴BG＝GE·tan 20°≈19×0.36＝6.84(米)． 在 Rt△AGE 中，∵∠AEG＝45°， ∴AG＝GE≈19 米， ∴AB＝AG－BG≈19－6.84＝12.16(米)． 答：标语牌 AB 的高度约为 12.16 米．
图是风景秀美的观景山，从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步 行道，为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建电动扶梯，经 测量，山高 AC＝154 米，步行道 BD＝168 米，∠DBC＝ 30°，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45°.求电动扶梯 DA 的长(结 果保留根号)．
专题技能训练 解：如图，过点 D 作 DE⊥BC 于 E，DF⊥AC 于 F， 则四边形 DECF 为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC. 在 Rt△DBE 中，∠DBC＝30°， ∴DE＝12BD＝84 米，∴FC＝DE＝84 米， ∴AF＝AC－FC＝154－84＝70(米)． 在 Rt△ADF 中，∠ADF＝45°，∴AD＝ 2AF＝70 2(米)． 答：电动扶梯 DA 的长为 70 2米．