3.3.2两点间的距离公式
7.两点间的距离公式
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.2两点间的距离【教材导读】 一、情景导入已知平面上点A （1,3），你能求出A 点与原点之间的距离吗？若已知平面上任意两点的坐标，又该如何求得这两点之间的距离？二、教材导读1.两点间距离公式的推导已知平面上点A （1,3），在平面直角坐标系中建立直角三角形，由勾股定理可求得A 点与原点O 之间的距离：d ==那么已知平面上任意两点),(111y x P ，),(222y x P ，是否能用相同方法求得21P P 的距离呢？阅读教材P 104内容，掌握应用几何方法推导出两点间距离公式的过程. 2.两点间的距离公式平面上两点),(111y x P ，),(222y x P 间的距离公式：由公式可知，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=；3.在《平面向量》一章中我们通过向量的模也得到了两点间的距离公式：平面上两点),(111y x P ，),(222y x P ，则：（1）122121(,)PP x x y y =--（2）12||(PP x =注意比较两种情形下推证方法.4. 沙尔定理:设A 、B 是x 轴上任意一条有向线段，O 是原点，OA=1x ，OB=2x ，那么有AB OB OA =-：21(,0),AB x x =-12(,0),BA x x =-于是21||||AB x x =-显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的直线上的有向线段也符合沙尔定理. 由此我们理解两点间距离公式的特例： （1）当21P P ⊥y 轴时，21y y =，1221x x P P -=；（2）当21P P ⊥x 轴时，21x x =，1221y y P P -=.请完成自主评价1【课堂点金】一、重难点突破1. 熟悉两点间距离公式 例1．在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.【解析】利用两点间的距离公式建立关系. ∵ 点P 在直线20x y -=上， ∴ 可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得：22225)82()5(=-+-=a a PM即0644252=+-a a解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或．∴直线PM 的方程为 8585643248258555y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+=--=或 【评析】通过运算熟练掌握两点间距离公式.【变式1】求与A （32，10），B （42，0），C （0，0）等距离点的坐标. 【解析】2.两点间距离公式的应用 例2.以点A （1，3），B （－2，8），C （7，5）为顶点的ABC 是 A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 【解析】方法一（综合法）：根据两点的距离公式及余弦定理可以判断三角形的形状.只需判断最大角，由余弦定理，：∴为钝角.故ABC 为钝角三角形，选C. 方法二（向量法）：由题意：(3,5),(6,2)AB AC =-=,故(3,5)(6,2)181080AB AC ⋅=-⋅=-+=-<为钝角,ABC 为钝角三角形，选C.【变式2】已知两点()5cos ,5sin ,M αα()4cos ,4sin N ββ， 求的最大值.【解析】例3．等腰直角三角形ABC 的直角顶点C和顶点B 都在直线2x +y –6=0上，顶点A 的坐标是(1, –1)，求边AB ,AC 所在的直线方程.【解析】从确定直线AB , AC 的条件入手，直线AC 满足:经过点A 且垂直于直线2x +y –6=0,直线AB 满足:经过点A 且与直线2x +y –6=0成4π角，（或|AB|等于点A 到直线2x +y –6=0的距离的2倍）解法1（从距离入手）AC 垂直于直线2x +y –6=0，设直线AC 的方程为x-2y+c=0, 把A (1, –1)代入得c=-3, 故直线AC 的方程为x-2y-3=0,10||555||=∴==AB AC ，设B(x,y),则260x y =∴+-=⎪⎩，解得)2,2(B 或)2,4(-B ，所以直线AB 的方程为043=--y x 或023=++y x 解法2（从角度入手）: 直线AC 的斜率为21，由点斜式并化简得，直线AC 的方程为x-2y-3=0.考虑直线AB , AC 的夹角为4π，设直线AB , AC 的方向向量分别为),1(),1,2(k n m == 则22)1(5|2||,cos |2=++=><k k n m ，解得3=k 或31-=k ，所以直线AB 的方程为043=--y x 或023=++y x【评析】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件；(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组；(3)列方程组求解.【变式3】过点P （2，1）作直线l 分别交x,y 轴于A,B 两点，求|PA||·|PB|取得最小值时直线l 的方程. 【解析】【评析】设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示|PA||·|PB|和|OA||·|OB|,本题用点斜式设出方程或用设倾斜角的补角最简便.二、教材挖掘1.利用向量的模推导两点间的距离公式： 若向量),(y x a =22y x +=.若已知平面上两点),(111y x P ，),(222y x P ，则向量，),(121221y y x x P P --=212212)()(y y x x -+-=即：平面上两点),(111y x P ，),(222y x P 的距离公式为21221221)()(y y x x P P -+-=. 【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ----，求以线段,AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长.【解析】方法一:由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=∴||210,||4 2.AB AC AB AC+=-=故所求的两条对角线的长分别为、.方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则: E 为B 、C 的中点，E （0，1） 又E （0，1）为A 、D 的中点， 所以D （1，4）.故所求的两条对角线的长分别为BC=AD=.【评析】体会向量是解决几何问题的一种工具，使用向量解决问题有时能使问题简单化. 2.坐标法教材P 105例4揭示了解析几何最基本的方法——坐标法（或称解析法），即将几何问题转化为坐标平面内的代数问题求解. 坐标法既是解析几何学的基本方法，更是代数与几何紧密结合的桥梁.这里要注意两点： （1）如何根据图形恰当建立坐标系？要注意图形的对称性、是否有垂直关系或定值线段等，恰当建系可以简化运算. （2）坐标法的基本步骤:例4.求证：平行四边形的两条对角线的平方和等于各边平方的和。
课时作业3：3.3.2 两点间的距离
3.3.2 两点间的距离1．两点A (1,4)，B (4,6)之间的距离为( )A ．2 3 B.13 C.11 D ．32．以点A (－3,0)，B (3，－2)，C (－1,2)为顶点的三角形是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不是3．点P 在x 轴上，点Q 在y 轴上，线段PQ 的中点R 的坐标是(3,4)，则|PQ |的长为( )A ．5B ．10C ．17D ．254．已知A ，B 的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P 在x 轴上，则|P A |＋|PB |的最小值为( )A ．20B ．12C ．5D ．45．已知A (1,5)，B (5，－2)，在x 轴上存在一点M ，使|MA |＝|MB |，则点M 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫83，0B.⎝⎛⎭⎫38，0C.⎝⎛⎭⎫－83，0D.⎝⎛⎭⎫－38，0 6．点P 在直角坐标系第一、三象限的角平分线上，它到原点的距离等于它到点Q (4 3，0)的距离，则点P 的坐标是__________．7．已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标．8．在坐标轴上，与两点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是________________．9．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5.10．已知点M (1,0)，N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点．求PM 2＋PN 2的最小值及取最小值时点P 的坐标．参考答案1．B 2.C 3.B4．C 解析：点A 关于x 轴的对称点为A ′(1，－1)．∵|P A |＋|PB |的最小值为BA ′的长， ∴(4-1)2+(3-(-1))2 ＝5，即|P A |＋|PB |的最小值为5.5．B 解析：设M (x,0)，根据题意，得(x －1)2＋52＝(x －5)2＋[0－(－2)]2，解得x ＝38.故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫38，0.6．(2 3，2 3) 解析：设P (x ，x )，∵|PO |＝|PQ |， ∴x 2＋x 2＝(x －4 3)2＋x 2.故x ＝2 3，即点P 的坐标是(2 3，2 3)．7．解：设点P 的坐标为(x,0)，由|P A |＝10，得(x －3)2＋(0－6)2＝10，解得x ＝11或x ＝－5.所以点P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．8．(－3,0)，(0,3)9．解：∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )，根据两点的距离公式，得|PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325. ∴点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫325，645.10．解：点P 为直线2x －y －1＝0上的点，∴设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式，得PM 2＋PN 2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m 2－8m ＋4，m ∈R .又∵10m 2－8m ＋4＝10⎝⎛⎭⎫m －252＋125≥125， ∴当m ＝25时，PM 2＋PN 2有最小值为125. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫25，－15.。
人教版数学必修二课件3.3.2两点间的距离(共34张PPT)
教学重难点
重点
➢两点间距离公式的应用。
难点
➢两点间距离公式的推导过程。
思考
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?总结得出两点 间的距离公式。
（1）x1≠x2, y1=y2
y
P1
P2
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
（2） x1 = x2, y1 ≠ y2
y
A(a,b)
B(-c,0) o
C(c,0) x
| AB | (a c)2 b2 ,| AC | (a c)2 b2 | AO | a2 b2 ,| OC | c. | AB |2 | AC |2 2(a2 b2 c2 ), | AO |2 | OC |2 a2 b2 c2 . | AB |2 | AC |2 2(| AO |2 | OC |2 )
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系。
随堂练习
1、求下列两点间的距离： (1)A(6，0),B(-2，0) (2)C(0，-4),D(0，-1）
习题答案
1. (1) | AB | 8; (2) | CD | 3; (3) | PQ | 2 10; (4) | MN | 13。
2. a=±8。
y
P2
P1
o
x
| P1P2 || y2 y1 |
（3）x1≠x2,y1≠y2
y P1(x1,y1)
Q (x2,y1)
P2(x2,y2)
空间中两点之间的距离公式
空间中两点之间的距离公式
距离是空间中两点之间的实际距离，我们常用距离公式来表示两点之间的距离。
距离公式是指计算两点之间距离的公式，主要是三维空间中的点之间的距离。
三维空间中，任意两点之间的距离公式为：
d=√((x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2)
其中，d为两点之间的距离，x1、y1、z1为第一个点的坐标，x2、y2、z2为第二个点的坐标。
二维空间中，任意两点之间的距离公式为：
d=√((x2-x1)2+(y2-y1)2)
其中，d为两点之间的距离，x1、y1为第一个点的坐标，x2、y2为第二个点的坐标。
一维空间中，任意两点之间的距离公式为：
d=|x2-x1|
其中，d为两点之间的距离，x1、x2为第一个点和第二个点的坐标。
以上就是距离公式的基本内容，它可以帮助我们更准确地计算两点之间的距离，从而更好地理解空间关系。
距离是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解空间中的物理现象，比如，我们可以使用距离公式来计算太阳与地球之间的距离，从而更准确地推断太阳系的大小和结构等。
此外，距离公式也可以用于物理、几何等学科，以及地理、气象等学科。
距离公式是一个重要的概念，它可以帮助我们更准确地计算两点之间的距离，从而帮助我们更好地理解空间关系，并用于不同学科中。
3.3.2 点到直线的距离公式和两平行线间的距离
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归纳延伸
1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离 公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之． 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问 题更清晰． 3.已知两平行直线，其距离可利用公式求解，也可在已知直线上取一点，转化为 点到直线的距离． 4.对称问题最常见的是点关于直线对称，其关键是利用?垂直”“中点”，用垂直、 平分两条件列方程组可求解对称点坐标．
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精讲点拨
例3
1 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为 _____
2x－y＋3＝0和l2： 2x－y－1＝0的距离相等， 2 已知直线l与两直线l1： 则l的方程为 ________________ ．
3x－2y－1＝0和l2： 3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离 3 已知直线l1： 分别是d1，d 2，若d∶ 21 线l的方程． 1 d 2＝∶，求直
自主学习
1.写出点到直线的距离公式： 2.写出两条平行直线间的距离公式： 3.能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？
精讲点拨
例1 1.求点P 1, 2 到直线3 x 2的距离
2.已知点A 1， 3 ，B 3,1 ，C 1， 0 求ABC的面积 x 1 3.已知直线l1 : 2 x 6 y 4 0, l2 : y , l1与l2是否平行？ 3 3 若平行求l1与l2间的距离
如果两条平行直线间的距离为d . ①求d的取值范围； ②求当d 取最大值时，两条直线的方程．
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达标训练
已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
3.3.2两点之间的距离公式
二、坐标法——将几何问题转化为代数问题。
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线l的方程。 (2)和直线3x-4y+5=0垂直
解: (2) 设经过二直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0
(1 )x ( 2) y (4 2) 0
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 dAB= 312 4 22 8
dAC= 5 -12 0 22 20
dCB= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
例题分析
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
解: (1) 设经过二直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0
(1 )x ( 2) y (4 2) 0
(1 )2 ( 2)1 (4 2) 0
4 所以直线的方程为：x 2 y 4 0
x
O A(0,0) B(a,0)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab,
2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BDy2 2 AB2 AD2 .
表示。
当A点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x，
y) ，原点O和点A的距离dOA是多少呢？
y
A (x，y)
y
o x A1 x
21-22版：3.3.1 两条直线的交点坐标~3.3.2 两点间的距离(创新设计)
§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(重点).3.掌握两点间距离公式并会应用(难点)．知识点1直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系【预习评价】1．直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为()A ．(3，－5)B ．(－3，5)C ．(3，5)D ．(－3，－5)答案 C2．直线x ＋y ＋2＝0与直线2x ＋2y ＋7＝0的位置关系是________． 答案 平行知识点2 两点间的距离公式【预习评价】1．平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？提示 无关．在计算公式中x 2与x 1，y 2与y 1的位置可以同时互换，不影响计算结果．2．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？提示 式子x 2＋y 2＝（x －0）2＋（y －0）2表示平面上的点(x ，y )到原点的距离.题型一 两直线的交点问题【例1】 (1)直线l 1：2x －6y ＝0与直线l 2：y ＝13x ＋12交点的个数为________； (2)若两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k ＝________； (3)已知一直线过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点. 则：①与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________； ②与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线方程为________. 解析 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0， ①y ＝13x ＋12， ②②×6－①，得3＝0，矛盾， 故方程组无解，∴两直线无交点.(2)在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k3， 将(0，k3)代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. (3)法一 解方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.①与直线3x ＋y －1＝0平行的直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0.②又与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线的斜率为13，故所求直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35， 即5x －15y －18＝0. 法二 ①设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以⎩⎨⎧（2＋λ）×1－（λ－3）×3＝0，（2＋λ）×（－1）－（2λ－3）×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0.②设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，得3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34， 所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.答案 (1)0 (2)±6 (3)①15x ＋5y ＋16＝0 ②5x －15y －18＝0 规律方法 两条直线相交的判定方法12k 的取值范围是( ) A.(1，＋∞)B.(－1，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)(2)直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( ) A.2x ＋y ＝0 B.2x －y ＝0 C.x ＋2y ＝0D.x －2y ＝0解析(1)联立直线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21－k ，y ＝1＋k 1－k ，∵直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧21－k >0，1＋k 1－k >0，解不等式组可得－1<k <1，故选B.(2)设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0， 因为l 过原点，所以λ＝8. 则所求直线l 的方程为2x －y ＝0. 答案 (1)B (2)B题型二 直线恒过定点问题【例2】 不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是________.解析 法一 取m ＝1，得直线y ＝－4. 取m ＝12，得直线x ＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过点(9，－4).将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)×9－4×(2m －1)＝m －5＝右边， 故直线恒过点(9，－4).法二 直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0， ∵对任意m 该方程恒成立， ∴⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝9，y ＝－4. 故直线恒过定点(9，－4). 答案 (9，－4)规律方法 1.过两直线交点的直线系方程的设法经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数，在此方程中，无论λ取什么实数，都不能表示直线l 2. 2.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.【训练2】 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.解 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0； 令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0. 解方程组⎩⎨⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0 整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0. 由于m 取值的任意性，有⎩⎨⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 题型三 对称问题【例3】 (1)与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A.3x －2y ＋2＝0 B.2x ＋3y ＋7＝0 C.3x －2y －12＝0D.2x ＋3y ＋8＝0解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3，0)，关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案 D(2)点P (－3，4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A.(－2，1)B.(－2，5)C.(2，－5)D.(4，－3)解析 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2，5). 答案 B(3)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋1关于y ＝x －2对称的直线l 的方程为( )A.x －4y －11＝0B.4x －y ＋11＝0C.x －2y ＋7＝0D.x －2y －7＝0解析 ∵直线y ＝2x ＋1关于y ＝x －2对称的直线是直线l ，联立⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，y ＝x －2，得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－5，∴直线l 过点(－3，－5).在直线y ＝2x ＋1上取一点A (0，1)， 设点A 关于y ＝x －2对称的点为B (a ，b )， 则点B 在直线l 上.设AB 与直线y ＝x －2的交点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1a －0＝－1，b ＋12＝a 2－2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－2，∴直线l 过点(－3，－5)和(3，－2)， ∴直线l 的方程为y ＋5－2＋5＝x ＋33＋3，整理得x －2y －7＝0.答案 D规律方法 (1)点关于点的对称问题：若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则：①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上；②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等；③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点. 【训练3】 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； 解 根据题意可知点A (a ，b )为PP ′的中点，设点P ′的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x 02，b ＝y ＋y 02，所以⎩⎨⎧x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0).(2)一束光线从原点O (0，0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程.解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上，得 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a2＋6×b2＝25， 解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3，∴点A 的坐标为(4，3).∵反射光线的反向延长线过点A (4，3)， 又∵反射光线过点P (－4，3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3. 由方程组⎩⎨⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78.题型四 运用坐标法解决平面几何问题【例4】 如图，已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7).(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积.解(1)法一(1)∵|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，又|BC|＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.法二∵k AC＝7－11－（－3）＝32，k AB＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.(2)S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12(52)2＝26，∴△ABC的面积为26.规律方法 1.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.2.用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.【训练4】 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中点，求证： |AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2). 证明 设BC 所在边为x 轴，以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图所示，设A (b ，c )，C (a ，0)， 则B (－a ，0). ∵|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2， |AC |2＝(a －b )2＋c 2， |AD |2＝b 2＋c 2， |DC |2＝a 2.∴|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2).课堂达标1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13) B ．(13，1) C ．(1，13)D ．(－1，－13)解析 由⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.答案 B2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析 联立⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝6.∴交点坐标为(1，6)．由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3．已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)三点，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2. 答案 D4．不论m 取何实数，直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋m ＋1＝0恒过定点________． 解析 由直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋m ＋1＝0变形为m (x －y ＋1)＋(2x －y ＋1)＝0， 令⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，2x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴该直线过定点(0，1)．答案 (0，1)5．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于一点P (m ，1)；(2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)；(3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.解 (1)由于l 1与l 2相交于一点P (m ，1)，故把点P (m ，1)代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0，2m ＋m －1＝0，联立解得m ＝13，n ＝－739.(2)当m ＝0时，l 1：8y ＋n ＝0，l 2：2x －1＝0，不满足l 1∥l 2.当m ≠0时，∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ＝－4或⎩⎨⎧m ＝－4，n ＝20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋8m ＝0，－n 8＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝8. 课堂小结1．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3.有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎨⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B · b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.。
3.3.2两点间距离
P1Q ?
P2Q x1 x2
P 1Q y1 y2
o
P2 x2，y2
Qx1，y2
| P1 P2 |
x
P2Q P1Q
2
2
2
x1 x2 y1 y2
2
2
( x1 x2 ) ( y1 y2 ) .
2
对于平面上任意两点P 间的距离公式： 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )
y
D
C
A
O
B
x
利用解析法解决问题的基本步骤： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量．
第二步：
进行有关代数运算．
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何关系．
作业:课本120页A组6,7，8 选做B组6，7
这就是我们这节课所要研究的主要内容．
y
y1
G
P ，y1 1 x1
P2Q MN x1 x2
P 1Q GH y1 y2
M
N
x2
P2 x2，y2
o
x1
Qx1，y2
x
y2
H
对于平面上任意两点 P ，这两点间的 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 距离又该如何计算？ P2Q ? y P ，y1 1 x1
x
例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
即要证明：
AB CD AD BC AC BD .
2
2
2
2
2
2
分析： 首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代 数运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
探究1：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标 与二元一次方程组有什关系？
如果两条直线 A1 x B1 y C1 0 和 A2 x B2 y C2 0
相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们 的方程组成的方程组
A1 x B1 y C1 0 的解. A2 x B2 y C2 0
直线上的点
y
l
2x y 3 0
(1)点（ 5）在直线上吗？ 1，
(2)点（2， 7）在直线上吗？
(3)点（3， 8）在直线上吗？
P(x,y)
O
x
直线的方程就是直线上每一点坐标都满足的一个关系式
1. 两条直线的交点
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2: A2 x B2 y C 2 0 相交, 如何求这两条直线交点的坐标 ?
无数组解
重合
x y 1 0 （3） x y 1 0
无解
平行
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线
的位置关系？
l1 : A1 x B1 y C1 0 l2:A2 x B2 y C 2 0
A1 B1 A2 B2 A1 B1 C1 A2 B2 C 2
OP x 2 y 2
例3 已知点 A(1, 2), B(2, 7), 在 使 | PA || PB | ，并求 | PA | 的值. 解：设所求点为P（x,0），于是 由 PA PB 得
x 轴上求一点
P，
x 1 0 2
2
2
x 2
2
0 7
2 (2) 相交，交点坐标（0，3 ）
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
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1
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
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2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
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探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 Z 重点难点
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探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
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探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
高中数学 3.3.2两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
2．坐标法 (1)定义：通过建立平面直角坐标系，用___代__数_____方法解
决几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立__坐__标__系____，用坐标表示有关的量：②进
行有关_代__数__运__算___；③把代数运算结果“__翻__译_____”成几何关
系．
●预习自测
1．已知点A(－3,0)，B(2,0)，则|AB|＝________. [答案] 5 2．已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________. [答案] 3 2
[证明] 如图所示，E，F 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 的中点．
以线段 BC 的中点为原点，直线 BC 为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系．
设 A(a，b)，C(c,0)，则 B(－c,0)． 则 AB 的中点 E 的坐标是(a－2 c，b2)，AC 的中点 F 的坐标 是(a＋2 c，b2)．
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●互动探究
求平面上两点间距离
已 知 A(a,3) 和 B(3,3a ＋ 3) 的 距 离 为5，求a的值．
[探究] 利用两点间距离公式列方程解得a的值． [解析] ∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5， 即 5a2－3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝85.
规律总结：两点间的距离公式与两点的先后顺序无 关，也就是说公式既可以写成|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12，也 可以写成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关 的几何问题转化为代数问题进行研究．
(2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点， 两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；
(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直 角坐标系；
3.3.2两点间距离教案两点间的距离公式教案
3.3.2两点间距离教案两点间的距离公式教案张喜林制§3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。
1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离. ③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 学生回答①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. ③图1在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1 、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q. 在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.22由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=(x2x1) (y2y1)教师④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x，0)，于是有(x1)(02) 由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.22即所求点为P(1，0),且|PA|=(11)(02)=22.22(x2)2(07)2.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。
3.3.2两点间的距离公式
3.3.2 两点间的距离
一、两点间的距离：
平面内有任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),
则P1P2的距离|P1P2
y
|=
( P1Q
1
2 P2Q 2 )2
P2
= (x1 x2 )2 ( y1 y2)2
x 特别地，原点O(0,0)与
任一点P(x,y)的距离为:
o A(0,0) B(a,0) x
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
P110B6
P110B7
作业： P110A6,7,8
二、两点间距离公式的应用:求函数的最值
1.探索代数式 (x 1)2 (1 0)2 (x 3)2 (1 2)2 的几何意义,并求它的最小值
由 PA PB 得：x2 2x 5 x2 4x 11
解得：x=1 所以所求点P为（1，0），且 PA (11)2 (0 2)2 2 2
练习：已知点A（-1,2）,B(2, 7 ) ,在x
轴上求点P，使 PA PB ,并求 PA 的值。
解法二：
由已知得，线段AB的中点为
M(1 , 2 22
7)
直线AB的斜率为 k 7 2
3
则线段AB的垂直平分线的方程为
y
2 2
7
3 2
7
(x
1) 2
令y=0
解得：x=1
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和。
y
E D(b,c) C(a+b,c)
3.3.2两点间的距离
一只蚂蚁由Leabharlann 爬行至B,则爬行的 距离是多少？ 你能用坐标来表示这 个距离吗？
平面内任意两点距离公式
平面内有任意两点A(x1,y1)和B(x2,y2), 则AB的距离|AB|= ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) .
2 2
推导
练习1:求两点距离
1.已知平面内A、B两点,求这两点的距离: (1) A(-1,3), B(2,3) (2) A(-1,3), B(-1,-7) (3) A(-1,3), B(2,-1)
练习2:两点距离公式逆应用
3
2
①已知点A(x,0)和 B(2,3)的距离为 ,求x的值。若|AB|为3或者2呢？
意义
练习3:应用—判定△的形状
已知△ABC的三个顶点是A(-1,0)、B （1，0）、C ( 形状。
1 3 ，试判断三角形的 ) , 2 2
练习4:用坐标法解决一些几何问题
1.求证:直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半. 已知:Rt△ABC中，D是斜边BC上的中点. B 1 求证:AD= BC . D 2
A C
2.已知:△ABC中，D是BC边上的中点. 求证: AB + AC = 2( AD + BD ) B
2 2 2 2
D A C
*思考题
用坐标法证明： 三角形内，重心到三个顶点的 距离的平方和最小。
作业
P94 ： A 11、12、13 ； B 1
§3.3.2两点间的距离
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和.
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
小结 1.两点间距离公式
| PP ( x2 x1 ) ( y2 y 1 ) 1 2 |
O
| PQ 1 || x2 x1 |
两点间距离公式
一般地，已知平面上两点P1(x1，y1 )和P2(x2，y2)，利 用上述方法求点P1和P2的距离为
| PP 1 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y 1 )
2
2
特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为
| OP | x y
2
2
2.坐标法 第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量 第二步:进行有关代数运算
第三步:把代数运算结果翻译成几何关系
拓展
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的 斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
y2 y1 k ( x2 x1 )
3.3.2 两点间的距离
思考
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何点P1 和P2的距离|P1P2|？
P2(x2,y2)
y
P1(x1,y1)
O
x
两点间距离公式推导 y y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1 P1(x1,y1) x1
Q(x2,y1)
x2 x
A(0,0)
B(a,0)
高中数学：第三章 直线与方程 (11)
(2)直线 5x＋4y－2m－1＝0 与直线 2x＋3y－m＝0 的交点在 第四象限，求 m 的取值范围．
【解析】 由方程组52xx＋ ＋43yy－ －2mm＝－01，＝0，
∴yx＝＝m2m－77＋23. ，
∴交点坐标为(2m7＋3，m－73＜＞00. ，
(2)A，B 分别位于 l 的两侧，设 B 关于 l 的对称点为 B′，则|AB′| 为||AQ|－|BQ||的最大值．
第24页
【解析】 (1)如图 1，设 C 关于 l 的对称点 为 C′(a，b)，
则ba－－20＝－13，且 3·a＋2 2－b＋2 0－1＝0，解 得 C′(－1，1)．
∴AC′所在直线的方程为 y＝1. 由y3＝x－1，y－1＝0，得 AC′与 l 的交点 P(23，1)． 此时，|AP|＋|CP|的值最小且为 5.
第25页
(2)如图 2，设 B 关于 l 的对称点为 B′(m，n)， 则mn－－40＝－13且 3·m＋2 0－n＋2 4－1＝0，解得 B′(3， 3)．
∴AB′所在直线的方程为 2x＋y－9＝0. 由23xx＋－yy－－91＝＝00，， 得 AB′与 l 的交点 Q(2，5)． 此时||AQ|－|BQ||的值最大且为 5.
方法二：∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴设 l 方程为 3x＋y＋d＝0. 又知，直线 l 过点(－35，－75)， ∴3×(－35)－75＋d＝0，∴d＝156. ∴直线 l 的方程为 3x＋y＋156＝0， 即 15x＋5y＋16＝0.
第36页
方法三：∵直线 l 过直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交 点，
第3页
如何设直线系方程？ 答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)； (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0； (3)过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 与 A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系 方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其不含直线 A2x＋B2y ＋C2＝0.
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| OP | x y
2
y
2
|x|
P (x,y)
|y|
O(0,0)
x
数形结合
【当堂训练】
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (3)、P(6，0),Q(0，-2) (5)、A(2, 4),B(2, -7) (7)、O(0, 0),P(3, 4) 2.已知点A(a, -5)与B(0, 10)间的距离是17,求a的值. (2)、C(0，-4),D(0，-1) (4)、M(2，1),N(5，-1) (6)、C(-2, -8),D(-2, 7)
解析法
运算结果翻译成 几何关系。 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a2 b2 c2 ) 2 2 2 2 2 | AC | | BD | 2(a b c ) 第三步 2 2 2 2 2 :把代数 2 | AB | | CD | | AD | | BC | | AC | | BD |
直线方程归纳
名 称 已 知 条 件 标准方程 适用范围
不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线
点斜式 点P 1 ( x1，y1 )和斜率k y y1 k ( x x1 ) 斜截式 斜率k和y轴上的截距 两点式 截距式
y kx b
y y1 x x1 不垂直于x、y轴的直线 点P ，y1 )和点P2 ( x2，y2 ) 1 ( x1 y1 y2 x1 x2
在x轴上的截距a 在y轴上的截距b
x y 1 a b
不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线
一般式 两个独立的条件
Ax By Байду номын сангаасC 0 A、B不同时为零
l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
A1 B1 C1 l1与l2重合 A2 B2 C2 A1 B1 C1 l1与l2平行 A2 B2 C2 A1 B1 l1与l2相交 A2 B2 (2)当l1 l2时，上述方程系数有何 联系？
值为 ，则点P的坐标为 。
变:已知A(2,5),B(4,2)，点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最
小值为
，则点P的坐标为
。
3.已知A(2,5),B(4,-3)，点P在x轴上，若|PA|-|PB|的最大 值为 ，则点P的坐标为 。
变:已知A(5,1),B(-4,3)，点P在x轴上，若|PA|-|PB|的最大 值为 ，则点P的坐标为 。
P 1P 2 | y2 y1 |
1.两点间距离公式 | PP | ( x x )2 ( y y )2 1 2 2 1 2 1
y
y2 P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1 P1(x1,y1) Q(x2,y1) x2 x
O
x1
| PQ 1 || x2 x1 |
2.平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和。 3.解析法 第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算 第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。
练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点 的距离相等。
y
B (0,b)
a b M( , ) 2 2
o C (0,0)
x A(a,0)
由|PA||PB|得 x 2x 5 x 4x 11
2 2
解得x=1，所以所求点P(1,0)
2 2 |PA| (1 1) (0 2) 2 2
例4.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条对角 线的平方和。 证明：以A为原点，AB为x轴 第一步 :建立坐 y (a+b,c) D (b,c) C 建立直角坐标系。 标系，用坐标表 则四个顶点坐标分别为 示有关的量。 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 2 2 x | AB | a | CD |2 a 2 A (0,0) B (a,0) | AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有 2 2 2 2 2 2 | BD | (b a关代数运算 ) c | AC | (a b) c
例题分析
例3 已知点 A(1,2), B (2, 7 ), 在x轴上求一点 P, 使 得 | PA || PB |,并求 | PA | 的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x 1)2 (0 2)2 x 2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7 )2 x 2 4x 11
( B1 0, B2 0, )
2 .l1 l2 A1 A2 B1B2 0
3.3.2两点间的距离
【目标导学】 1.掌握导出两点间距离公式的方 法; 2.能利用两点间距离公式解决简 单几何 问题; 3.了解解析法证明平面几何问题 的方法.
【主体自学】
看书p115-116
【排忧解惑】
5.练习: 见教材p110B组7/8题
【小结】
1.两点间距离公式
2 2 | PP | ( x x ) ( y y ) 1 2 2 1 2 1
2.坐标法
第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算 第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
问题:
已知： 试求：两点间的距离 P ，y1 和 P2 x2，y2 ， 1 x1 1）、y1=y2
y
P ，y1 1 x1
2）、x1=x2
y
P2 x2，y2
y1
P ，y1 1 x1
x1 o
x2
x
o
y2
P2 x2，y2
x
P 1P 2 | x2 x1 |
|P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2 |
2
2
特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP | x y
2 2
【当堂训练】
1.证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的 距离相等。
2.已知A(2,5),B(4,-7)，点P在y轴上，则|PA|+|PB|的最小