新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质讲义新人教A版必修第一册
2019-2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性
2．1 等式性质与不等式性质1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．掌握不等式的有关性质．3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．1．两个实数大小的比较如果a －b 是正数，那么a >b ；如果a －b 等于零，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b .反过来也对．这个基本事实可以表示为：a >b ⇔a －b >0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a <b ⇔a －b <0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc. 3．不等式的性质(1)如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b ⇔b <a . (2)如果a >b ，b >c ，那么a >c .即a >b ，b >c ⇒a >c . (3)如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .(4)如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . (5)如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . (6)如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)如果a >b >0，那么a n>b n(n ∈N ，n ≥2)．温馨提示：(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意每条性质是否具有可逆性．1．若a >b ，且ab >0，则1a 与1b的大小关系如何？[答案] 因为ab >0，所以a 与b 同号． 而1a －1b ＝b －a ab，又a >b ，所以b －a <0.所以1a －1b <0，即1a <1b2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＝b 是a c ＝bc成立的充要条件．( ) (2)若a >b ，则ac >bc 一定成立．( ) (3)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( )(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×题型一用不等式(组)表示不等关系【典例1】 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[思路导引] 根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x 表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．[解] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少x －101×10件，因此，每天的利润为(x －8)[100－10(x －10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x －8)[100－10(x －10)]≥300.在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．[针对训练]1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．[答案] 12(a 2＋b 2)>ab2．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2 m 的免票，身高1.2～1.5 m 的儿童火车票为半价，身高超过1.5 m 的儿童买全价票．你能用不等式表示这些规定吗？[解] 设身高为h m ， 文字表述 身高不 足1.2 m身高在1.2 ～1.5 m 间 身高超 过1.5 m符号表示 h <1.21.2≤h ≤1.5 h >1.5票价免费半价票全价票【典例2】 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 均为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．[思路导引] 我们知道，a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b .因此，若要比较两式的大小，只需作差与0作比较即可．[解] (1)(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0， ∴x 2＋3>3x .(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )． ∵a >0，b >0且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0.∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．[针对训练]3．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，比较m 和n 的大小．[解] ∵m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y ).又x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．4．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． [解] ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号.题型三利用不等式的性质判断或证明不等式 【典例3】 (1)对于实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2； ④若a <b <0，则a b >b a.其中正确命题的序号是________．(2)已知a >b ，e >f ，c >0.求证：f －ac <e －bc .[思路导引] (1)直接利用不等式的基本性质判断；(2)首先由性质4得到－bc >－ac ，再由性质5证明．[解析] (1)对于①∵c 2≥0， ∴只有c ≠0时才成立，①不正确； 对于②，a <b <0⇒a 2>ab ；a <b <0⇒ab >b 2， ∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2<b 2，如－1>－2， 但(－1)2<(－2)2，∴③不正确； 对于④，∵a <b <0，∴－a >－b >0， ∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2.又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >b a，④正确．(2)证明：∵a >b ，c >0，∴ac >bc ， ∴－ac <－bc .∵f <e ， ∴f －ac <e －bc .[答案] (1)②④ (2)见解析(1)利用不等式判断正误的2种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[针对训练]5．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd.[证明] ∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0， ∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd. 6．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e(a －c )2>e(b －d )2.[证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0， 又a >b >0，∴a －c >b －d >0， 则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e(a －c )2>e(b －d )2.题型四利用不等式的性质求取值范围【典例4】 已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[思路导引] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解． [解] ∵1<a <4,2<b <8，∴2<2a <8,6<3b <24 ∴8<2a ＋3b <32.∵2<b <8，∴－8<－b <－2. 又∵1<a <4，∴1＋(－8)<a ＋(－b )<4＋(－2)， 即－7<a －b <2.故8<2a ＋3b <32，－7<a －b <2.[变式] (1)在本例条件下，求a b的取值范围．(2)若本例改为：已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围． [解] (1)∵2<b <8，∴18<1b <12，又1<a <4，∴18<a b<2. (2)设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ， 则a ＝x ＋y2，b ＝x －y2，∵1≤x ≤5，－1≤y ≤3，∴3a －2b ＝12x ＋52y .又12≤12x ≤52，－52≤52y ≤152， ∴－2≤12x ＋52y ≤10.即－2≤3a －2b ≤10.同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．[针对训练]7．已知－12≤α<β≤12，求α＋β2、α－β3的取值范围．[解] ∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<14，－14<β2≤14.两式相加得－12<α＋β2<12.∵－16≤α3<16，－16≤－β3<16，两式相加得－13≤α－β3<13.又∵α<β，∴α－β3<0，∴－13≤α－β3<0.课堂归纳小结1．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)． 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．2．在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正.1．下列说法正确的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[解析] 用a ＝－1，b ＝1，试之，易排除A ，D.再取a ＝1，b ＝2，易排除B. [答案] C3．下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤2课后作业(十)复习巩固一、选择题1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400[解析] x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. [答案] B2．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a －c >b －d[解析] 由a >b ，c >d 得a ＋c >b ＋d ，故选C. [答案] C3．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥bD ．a ≤b[解析] a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x ) ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， ∴a ≥b . [答案] C4．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b[解析] 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.[答案] B5．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1[解析] 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0. [答案] A 二、填空题6．武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h 的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h ，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v 1，波音飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.则三种交通工具速度的不等关系分别为________________．[答案] 2v 1＋100≤v 2，v 1>3v 37．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．[解析] ∵x1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x1＋x 2≤12. [答案]x1＋x 2≤128．已知不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ；⑤b <a 且ab >0；⑥a <b 且ab <0.其中能使1a <1b成立的是________．[解析] 因为1a <1b ⇔b －aab<0⇔b －a 与ab 异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使1a <1b.[答案] ①②④⑤⑥ 三、解答题9．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab .∵(a －b )2≥0恒成立，且a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0. ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a2b≥a ＋b .10．已知12<a <60,15<b <36，求a －b ，ab的取值范围． [解] ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15.∴－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015.∴13<a b<4. 综合运用11．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bcB ．1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3[解析] A 选项中，若c ≤0则不成立；B 选项中，若a 为正数b 为负数则不成立；C 选项中，若a ，b 均为负数则不成立，故选D.[答案] D12．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2[解析] 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .[答案] A13．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是________．①a 2b <ab 2；②1ab 2<1a 2b ；③b a <a b .[解析] 当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，∴a 2b >ab 2，1a 2b >1ab 2，①错，②对；当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1，故③错．[答案] ②14．若x >1，－1<y <0，则x ，y ，－y ，－xy 由小到大的顺序是________________(用“<”连接)．[解析] ∵x >1，－1<y <0，∴0<－y <x .∵－y －(－xy )＝y (x －1)<0，∴－y <－xy ，∵x －(－xy )＝x (1＋y )>0，∴－xy <x ，∴y <－y <－xy <x .[答案] y <－y <－xy <x15．已知：－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求：9a －c 的范围． [解] 令⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝x 4a －c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13(y －x )c ＝13(y －4x ).∴9a －c ＝83y －53x∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203① ∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403② ①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20 ∴－1≤9a －c ≤20.。
第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质(不等式的基本性质)
性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；（传递性）
性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；（加法）
性质4：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；（加法推论）
性质5：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc ，如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；（乘法）
性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；（乘法推论1）
注意上述结论的充要性
可除性
问题：类比等式的性质，你能猜想不等式的性质吗？写出你的猜想．
性质1 如果 = ，那么 = ；
性质1：如果a＞b， 那么b＜a；
对称性
性质2 如果 = ， = ，那么 = ；性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；
传递性
性质3 如果 = ，那么 ± = ± ；性质3：如果a＞b， 那么a＋c＞b＋c；
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
（不等式的基本性质）
你能回忆起实数的基本性质吗？
性质1：正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，
也小于一切正数；
性质2：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数；
性质3：两个正数的和仍然是正数，两个负数的和仍然是负
数；
性质4：同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积
（2）如果 > > ， < < ，那么 <
（3）如果 > > ，那么
<
（4）如果 > > > ，那么
；
<
；
；
c c
2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等
2.1 等式性质与不等式性质最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．知识点一实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质}a>b c>0⇒ac>bc}a>b c<0⇒ac<bca>b c>d⇒a＋c>b＋da>b c>d>0⇒ac>bd状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c.(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．[教材解难]教材P 40思考等式有下面的基本性质： 性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.[基础自测]1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40 D．T ≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思． 答案：C2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是( ) A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.答案：B4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6.答案：－1≤a－b≤6题型一比较大小[教材P38例1]例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．【解析】因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x)D．随x值变化而变化解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．故选C.作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型二 不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断例2 对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ④若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc .①错． 对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b .②对． 对于③，由a <b <0， 两边同乘以a 得a 2>ab ， 两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2.③对． 对于④，⎭⎪⎬⎪⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b .④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b⇒a >0，b <0.⑤对．答案：C 方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2 (1)已知a <b ，那么下列式子中，错误的是( ) A.4a <4b B ．－4a <－4b C ．a ＋4<b ＋4 D ．a －4<b －4(2)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b解析：(1)根据不等式的性质，a <b,4>0⇒4a <4b ，A 项正确；a <b ，－4<0⇒－4a >－4b ，B 项错误；a <b ⇒a ＋4<b ＋4，C 项正确；a <b ⇒a －4<b －4，D 项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．(2)对于选项A ，当c <0时，不正确；对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．答案：(1)B (2)C题型三 利用不等式性质求范围[经典例题]例3 已知－2<a ≤3,1≤b <2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b . 【解析】 (1)|a |∈[0,3]；(2)－1<a ＋b <5；(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2； (4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6 ①， 由1≤b <2得－6<－3b ≤－3 ②， 由①②得，－10<2a －3b ≤3.状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足：1<x <2<y <3， (1)求xy 的取值范围； (2)求x －2y 的取值范围．解析：(1)∵1<x <2<y <3，∴1<x <2,2<y <3，则2<xy <6，则xy 的取值范围是(2,6)． (2)由(1)知1<x <2,2<y <3，从而－6<－2y <－4，则－5<x －2y <－2，即x －2y 的取值范围是(－5，－2)．状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解；(2)求出－2y 的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y 的取值范围.课时作业 7一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1 解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1. 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A. 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.若1a <1b<0，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C 二、填空题5．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”)．解析：因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b )＝2b －2a ＝2(b －a )<0. 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b－d .其中错误的命题是________(填写相应序号)．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，b a<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤三、解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析：x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， 所以x 3－1<2x 2－2x .9．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ， 因为bd >0，所以a b ≤cd， 所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋dd. [尖子生题库]10．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解析：方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故f (－2)的取值范围是[5,10]．方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故f(－2)的取值范围是[5,10].。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质课件_1
【分类例析】
[典例 3] 已知 a，b，c∈R ，且 c≠0，则下列命题中是真命题的是( )
A．如果 a＞b，那么ac＞bc C．如果 a＞b，那么1a＜1b
B．如果 ac＜bc，那么 a＜b D．如果 a＞b，那么ca2＞cb2
[解析] 利用不等式的性质或者举反例进行判断．取 a＝2，b＝－1，c＝－ 1，满足选项 A、B、C 中的前提条件．对于选项 A，有ac＜bc，故 A 是假命题； 对于选项 B，有 a＞b，故 B 是假命题；对于选项 C，有1a＞1b，故 C 是假命题； 对于选项 D，∵c≠0，∴c12＞0，由不等式的性质 4 知，D 是真命题．
题型一 用不等式(组)表示不等关系 【学透用活】
不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号 “＞”“＜”“≠”“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的 式子，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等 关系是通过不等式来体现的．
[典例1] 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m， 要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不 等关系．
3．(1)已知 a<b<0，求证：ba<ab； (2)已知 a>b，1a<1b，求证：ab>0. 证明：(1)ba－ab＝b2－aba2＝b＋aabb－a. ∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， ∴b＋aabb－a<0，故ba<ab. (2)∵1a<1b，∴1a－1b<0，即b－aba<0， 而 a>b，∴b－a<0，∴ab>0.
z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)．
新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式全套导学案PPT课件及配套WORD讲义
由 a>b>0，有 ab>0⇒aab>abb⇒1b>1a，故 B 为假命题；
a<b<0⇒－a>－b>0⇒－1b>－1a>0，
a<b<0⇒－a>－b>0
⇒ab>ba，故 C 为假命题；
a>b⇒b－a<0，
a1>1b⇒a1－b1>0⇒ba－ba>0⇒ab<0.
∵a>b，∴a>0，b<0，故 D 为真命题． 解析
答案
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 作差法比较大小
例 1 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3 与 3x；
(2)设 x，y，z∈R，比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小．
[解] (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥34>0，∴x2＋3>3x. (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－
第二章 一元二次函数、方程 和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
(教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质， 能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决实 际问题． 教学重点：1.不等式的性质.2.不等式性质的应用． 教学难点：用不等式的性质证明不等式． 核心素养：1.借助不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理素养.2.通过 大小比较及利用不等式求范围，提升数学运算素养.
∴0<a－b<6，
故 2a＋3b 的取值范围为－18<2a＋3b<－5，a－b 的取值范围为 0<a－
2023新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等
[跟进训练] 2．比较 2x2＋5x＋3 与 x2＋4x＋2 的大小． [解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34． ∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥34＞0． ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2．
类型 3 不等关系的实际应用 【例 3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队 说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说： “你们属团体票，按原价的 8 折优惠．”这两车队的原价、车型都是 一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
知识点 2 重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有 a2＋b2_≥_2ab，当且仅当_a_＝_b_时，等号 成立．
3．若 a，b∈R，且 a2＋b2＝1，则 ab 的最大值为________， 此时 a＝________．
1 2
2 2
[∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤a2＋2 b2＝12，
当且仅当 a＝b＝ 22时等号成立．]
[母题探究]
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较 3x3 与 3x2－x＋1 的大小． [解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， 当 x＞1 时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当 x＝1 时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当 x＜1 时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个代数式作差． (2)变形：对差进行变形． (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
(4)作出结论． 这种比较大小的方法称为作差法．其思维过程是作差→变形→判 断差的符号→作出结论． 变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理 化．
高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第2课时不等式性质
[正解] ∵15<b<36，∴316<1b<115，又 12<a<60，∴1326<ab<6105，∴13<ab<4， 故填13<ab<4.
[方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的 性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相 除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．
课堂检测•固双基
1．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是( B )
A．x2<ax<a2
B．x2>ax>a2
C．x2<a2<ax
D．x2>a2>ax
[解析] ∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2
＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.故选B.
知识点 2 不等式的性质 性质1 a>b⇔___b_<_a______；(对称性) 性质2 a>b，b>c⇒____a_>_c____；(传递性) 性质3 a>b⇒____a_＋__c>__b_＋__c______；(可加性) 推论：a＋b>c⇒____a_>_c_－__b_____；(移项法则) 性质4 a>b，c>0⇒____a_c>__b_c____，a>b，c<0⇒ac<bc；(可乘性) 性质5 a>b，c>d⇒_____a_＋__c>__b_＋__d_____；(同向可加性) 性质6 a>b>0，c>d>0⇒___a_c_>_b_d______；(正数同向可乘性) 性质7 a>b>0⇒_____a_n_>_b_n_____(n∈N，n≥2)．(可乘方性)
新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.1第1课时等式不等式与比较大小课件
提示:(1)设明日白天的气温为t,则7≤t≤13(单位:℃).
+ > ,
(2)设△ABC 的三边为 a,b,c,则 + > ,
+ > .
2.填空:我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题,常用
的不等号有 >、<、≤、≥、≠ .
下称儿童票),超过1.5米时,应买全价票.每一成人旅客可免费
带一名身高不足1.2米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿
童票. ……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是:每件物品的外部尺
寸长、宽、高之和不超过160厘米,杆状物品不超过200厘米,
重量不超过20千克……”
设身高为h(米),物品外部尺寸长、宽、高之和为P(厘米),请用
当
当
当
m∈R,a>b>1,试比较 与 的大小.
-
-
(-)
=
,因为 a>b>1,所以
(-)(-)
(-)
m>0 时,
<0,所以
<
;
(-)(-)
-
-
(-)
m<0 时,
>0,所以
>
;
(-)(-)
-
-
(-)
不等式表示下表中的不等关系.
文字
表述
符号
表示
身高在 1.2~
1.5 米之间
身高超 身高不足 物体长、宽、高之和
过 1.5 米 1.2 米
不超过 160 厘米
解析:身高在1.2~1.5米之间可表示为1.2≤h≤1.5;
新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2-1第2课时等式性质与不等式性质课件新人教A版必修一
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×) (1) 在 一 个 不 等 式 的 两 边 同 乘 一 个 非 零 实 数 ， 不 等 式 仍 然 成 立．( ) (2)同向不等式具有可加性和可乘性．( ) (3) 若 两 个 数 的 比 值 大 于 1 ， 则 分 子 上 的 数 就 大 于 分 母 上 的 数．( )
又e＜0，∴a－e c2＞b－e d2.
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 利用不等式性质判断命题真假 类型2 利用不等式性质证明简单不等式 类型3 不等式性质的应用
类型 1 利用不等式性质判断命题真假 【例 1】 对于实数 a，b，c，下列命题中为真命题的是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＞b＞0，则a1＞b1 C．若 a＜b＜0，则ab＞ba D．若 a＞b，1a＞1b，则 a＞0，b＜0
利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱 化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意 取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便 于验证计算．
[跟进训练]
1．(多选)若1a<1b<0，则下面四个不等式成立的有( )
知识点2 不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔__b_＜__a_. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒_a_＞__c__. (3)可加性：a＞b⇔__a_＋__c_＞__b_＋__c___. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒__a_c_＞__b_c___；a＞b，c＜0⇒___a_c_＜__b_c__. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒__a_＋__c_＞__b_＋__d___. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒___a_c_＞__b_d__. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒__a_n＞__b_n_＞__0_(_n_∈__N_，__n_≥__2_) _.
等式性质与不等式性质一元二次函数、方程和不等式课件新教材
比较实数a,b的大小的依据
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.做一做
若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是
.
解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.
答案:x2-1>2x-5
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、重要不等式
1.∀a,b∈R,a2+b2与2ab大小有何关系?
a>b,c>d⇒a+c>b+d
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.做一做
(1)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.
(
)
②同向不等式具有可加性和可乘性.(
位,
6 + 7 ≥ 560,
600 + 700 ≥ 56 000,
800 + 400 ≥ 63 000,
4 + 2 ≥ 315,
则有
即
≥ 0,
≥ 0,
≥ 0,
≥ 0.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号
简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证.
高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1.2 不等式的性质课件 a高一第一册数学课件
(2)×.取a=4，c=5，b=6，d=2.满足a+c>b+d，但不满足a>b.
(3)√.
12/8/2021
第十页，共三十七页。
2.(教材(jiàocái)二次开发：例题改编)若a>b>0，c<d<0，则一定有
A. >a Bb . <
ab
c
d
C. >a Db . <
cd ab
【解d 析】选c D.因为c<d<d0， c
【证明】方法一：因为(yīn wèi)a>b>0，所以1
因为c>0，所以 <c ， c
a
a 所以 c -1< -1，c 即
b
< c ，a c b
因为c>aa>b>0，b 所以c-a>0，ca-b>0. b
<1 ，
b
所以 a > . b 方法二c： 因a 为c>ca>bb >0，
所以0<c-a<c-b，
< ，1 故不1 正确；
ab
3.选C.对于A，若a<b，当a<0，b<0时，a2<b2不成立；
对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；
对于C，因为a<b， 1>0，所以 对于D，当a=-1，b=1a时2 b ，2 = b=-1.
a
1 ab 2
；
1
a2b
12/8/2021
又因为-3<-b<-2，所以-9<a-b<6.①
又((12))当当13 0-1b6≤<aa12<<.80时时，，00≤<-a<<46. ，ab
新教材高考数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系
第1课时 不等关系与不等式课标解读课标要求核心素养1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(重点)2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.(重点、难点) 1.通过运用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,培养数学抽象素养.2.在学习利用作差法比较两个实数大小的过程中提升数学运算素养,培养学生转化化归的数学思想.在日常生活中,购买火车票有一项规定:随同成人旅行,身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m 的儿童,享受半价客票(简称儿童票),超过1.5 m 时应买全价票.每一名成人旅客可免费携带一名身高不足1.2 m 的儿童,超过一名时,超过的儿童应买儿童票.问题:在上述情境中,如果设儿童的身高为h m,如何用含h 的不等式来描述一名买儿童票的儿童的身高?答案 1.2≤h≤1.5.1.基本事实实数a,b 大小的比较:依据a>b ⇔①a-b>0;a=b ⇔②a-b=0; a<b ⇔③a-b<0结论要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的④差与⑤ 0的大小思考1:x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不明显,你能想个办法比较x2+1与2x的大小吗?提示作差:x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x.思考2:当x=3时,x≥3成立吗?提示当x=3时,x≥3成立.实际上,当x>3和x=3中有一个成立时,x≥3就成立.2.重要不等式一般地,∀a,b∈R,有a2+b2⑥≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.探究一用不等式(组)表示不等关系例1 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式组.解析设购买的A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,那么{40x+90x≤1000, x≥5,x≥6,x,x∈N*.思维突破(1)将多个不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意,把文字语言转化为数学符号语言,找准不等式所联系的量;②选取恰当的不等号连接.(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号语言> < ≥≤1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料需要主要原料磷酸盐4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要主要原料磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把题目中的不等关系表示出来.解析 设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,那么{4x +x ≤10,18x +15x ≤66,x ≥0,x ≥0.探究二 作差法比较大小例2 x≤1,比较3x 3与3x 2-x+1的大小.解析 3x 3-(3x 2-x+1) =(3x 3-3x 2)+(x-1)=3x 2(x-1)+(x-1)=(3x 2+1)(x-1). ∵x≤1,∴x -1≤0,3x 2+1≥1, ∴(3x 2+1)(x-1)≤0,∴3x 3≤3x 2-x+1. 思维突破作差法比较大小的基本步骤2.(1)(变条件)把例2中的“x≤1〞变为“x∈R〞,再比较3x 3与3x 2-x+1的大小;(2)(变条件)把例2中的两个代数式变为3x 2+1与2x 2+3x-1,其他条件不变,比较这两个代数式的大小. 解析 (1)3x 3-(3x 2-x+1) =(3x 3-3x 2)+(x-1)=(3x 2+1)(x-1). 易知3x 2+1≥1,当x>1时,x-1>0,∴3x 3>3x 2-x+1; 当x=1时,x-1=0,∴3x 3=3x 2-x+1;当x<1时,x-1<0,∴3x3<3x2-x+1.(2)3x2+1-(2x2+3x-1)=x2-3x+2=(x-2)(x-1),∵x≤1,∴x-2<0,x-1≤0,∴(x-2)(x-1)≥0,∴3x2+1≥2x2+3x-1.探究三不等关系的实际应用例3 为打造“书香校园〞,某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角x个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出那些符合题意的组建方案.解析因为组建中型图书角x个,所以组建小型图书角(30-x)个,那么{0<x<30,80x+30(30-x)≤1900,50x+60(30-x)≤1620,x∈N*,解得18≤x≤20,x∈N*,所以x的取值是18,19,20.当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.故有三种组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.易错点拨(1)根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.(2)根据实际问题列出不等式(组),应从符合实际意义出发,而不能拘于某一种形式.3.某公司有20名技术人员,计划开发A、B两类电子器件共50件,每类每件所需人员和预计产值如下:产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A类127.5B类136现制订计划欲使总产值最高,那么应开发A类电子器件件,最高产值为万元.答案20;330解析设应开发A类电子器件x(0≤x≤50,x∈N*)件,总产值为y万元,那么开发B类电子器件(50-x)件,由x2+50-x3≤20,解得x≤20.由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取得最大值,且最大值为330. 所以应开发A类电子器件20件,最高产值为330万元.1.以下能表示“a不比b小〞的不等关系的是( )A.a-b>0B.a-b<0C.a-b≥0D.a-b≤0答案 C “a不比b小〞意味着“a与b的差大于等于0〞,应选C.2.在开山工程爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米,人跑开的速度是每秒4米,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区,导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( )A.4×2x≥100B.4×2x≤100C.4×2x>100D.4×2x<100答案 C 当导火索的长度为x厘米时,燃烧的时间为2x秒,人跑开的距离为4×2x米,为了保证安全,有4×2x>100.3.假设实数a>b,那么a2-ab ba-b2.(填“>〞或“<〞)答案>解析因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a-b)2>0,即a2-ab>ba-b2.4.设x∈R,比较x1+x2与12的大小.解析x1+x2-12=2x-1-x22(1+x2)=-(x-1)22(1+x2)≤0,∴x1+x2≤12.逻辑推理——作差法证明不等式a>0,求证:a+1x≥2.素养探究:用作差法证明不等式的关键是对差式进行变形,其方法有配方、通分、分解因式等.解答此题可利用配方法把差式化为完全平方式以确定其符号,过程中表达逻辑推理核心素养.证明a+1x -2=(√x)2+(1√x)2-2=(√x-1√x)2≥0,∴a+1x≥2.a,b均为正实数,证明:a3+b3≥a2b+ab2.证明a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a=b时,a-b=0,那么a3+b3=a2b+ab2;当a≠b时,(a-b)2>0,∵a,b均为正实数,∴a+b>0,那么a3+b3>a2b+ab2.综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.1.以下说法正确的是( )A.某人的月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000〞B.小明的身高为x,小华的身高为y,那么小明比小华矮可表示为“x>y〞C.变量x不小于a可表示为“x≥a〞D.变量y不超过a可表示为“y≥a〞答案 C 对于A 选项,x 应满足x≤2 000,故A 错误;对于B 选项,x,y 应满足x<y,故B 错误;对于C 选项,x 与a 的关系可表示为“x≥a〞,故C 正确;对于D 选项,y 与a 的关系可表示为“y≤a〞,故D 错误. 2.某校对高一美术生划定录取分数线,要求专业成绩x 不低于95分,文化课总分y 高于380分,体育成绩z 超过45分,用不等式组表示为( )A.{x ≥95x ≥380x >45B.{x ≥95x >380x ≥45C.{x >95x >380x >45D.{x ≥95x >380x >45答案 D3.设M=x 2,N=-x-1,那么M 与N 的大小关系是( ) A.M>N B.M=N C.M<N D.与x 有关答案 A ∵M -N=x 2+x+1=(x +12)2+34>0, ∴M>N.4.假设A=a 2+3ab,B=4ab-b 2,那么A 、B 的大小关系是( ) A.A≤B B.A≥B C.A<B 或A>B D.A>B答案 B ∵A -B=a 2+3ab-(4ab-b 2) =(x -x 2)2+34b 2≥0,∴A≥B.5.不等式a 2+4≥4a 中,等号成立的条件为 . 答案 a=2解析 令a 2+4=4a,那么a 2-4a+4=0,即(a-2)2=0,∴a=2.6.某商品的包装上标有质量(500±1)克,假设用x 表示商品的质量,那么可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为 . 答案 |x-500|≤1解析 ∵某商品的包装上标有质量(500±1)克,假设用x 表示商品的质量,那么-1≤x -500≤1,∴|x -500|≤1.7.a,b 为实数,那么(a+3)(a-5) (a+2)(a-4).(填“>〞“<〞或“=〞)答案 <解析 因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=a 2-2a-15-(a 2-2a-8)=-7<0,所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 8.甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 含量及成本如下表:甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg)1194假设用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x,y 表示混合食物成本c 元,并写出x,y 所满足的不等关系.解析 依题意得c=11x+9y+4z,又x+y+z=100,∴c=400+7x+5y. 由{600x +700x +400x ≥56000,800x +400x +500x ≥63000及z=100-x-y, 得{2x +3x ≥160,3x -x ≥130,∴x,y 所满足的不等关系为{2x +3x ≥160,3x -x ≥130,x ≥0,x ≥0.9.(多选)以下不等式正确的是( ) A.x 2+3>2x(x∈R) B.a 3+b 3≥a 2b+ab 2C.a 2+b 2≥2(a -b-1)D.a 2+b 2≥2ab答案 ACD 对于A 选项,x 2+3-2x=(x-1)2+2>0,∴x 2+3>2x;对于B 选项,a 3+b 3-a 2b-ab 2=a 2(a-b)+b 2(b-a)=(a-b)(a 2-b 2)=(a-b)(a-b)(a+b)=(a+b)(a-b)2,(a-b)2≥0,但a+b 的符号不能确定,∴B 不一定正确;对于C 选项,a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a 2+b 2≥2(a -b-1); 对于D 选项,a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0, ∴a 2+b 2≥2ab.10.a,b,c 为不全相等的实数,P=a 2+b 2+c 2+3,Q=2(a+b+c),那么P 与Q 的大小关系是( )A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q答案 A ∵P -Q=a 2+b 2+c 2+3-2(a+b+c)=a 2-2a+1+b 2-2b+1+c 2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0, 且a,b,c 为不全相等的实数,∴等号取不到,∴P>Q,应选A.11.一个棱长为2的正方体的上底面有一点A,下底面有一点B,那么A 、B 两点间的距离d 满足的不等式为 .答案 2≤d≤2√3解析 最短距离是棱长2,最长距离是正方体的体对角线长2√3.故2≤d≤2√3. 12.当m>1时,m 3与m 2-m+1的大小关系为 . 答案 m 3>m 2-m+1解析 m 3-(m 2-m+1)=m 3-m 2+m-1=m 2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m 2+1),∵m>1,∴(m -1)(m 2+1)>0,∴m 3>m 2-m+1. 13.a,b,c 满足b+c=3a 2-4a+6,b-c=a 2-4a+4,比较a,b,c 的大小. 解析 ∵b -c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0,∴b≥c. 由题意得方程组{x -x =x 2-4a +4,x +x =3x 2-4a +6,解得{x =2x 2-4a +5,x =x 2+1.∴c -a=a 2-a+1=(x -12)2+34>0,∴c>a,∴b≥c>a.14.有学生假设干人,住假设干间宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.解析 设宿舍有x 间,那么学生有(4x+19)人,依题意得, {4x +19<6x ,4x +19>6(x -1),解得192<x<252.∵x∈N *,∴x=10,11或12,此时学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10和59或11和63或12和67.。
高中数学第二章 一元二次函数、方程和不等式之 等式与不等式的性质(精讲)(必修第一册)
2.1 等式与不等式的性质思维导图考点一 等式性质 【例1】(2019·全国高一课时练习)下列变形中错误的是( ) A ．若x y =，则55x y +=+ B ．若x ya a=，则x y = C ．若33x y -=-，则x y = D ．若x y =，则x ym m=【答案】D【解析】根据等式的性质易知A ，B ，C 正确；对于D ，当0m =时，x y =两边都除以m 无意义，故本选项错误.故选:D. 【举一反三】1．(2019·全国高一课时练习)根据等式的性质判断下列变形正确的是( ) A ．如果23x =，那么23x a a= B ．如果x y =，那么55x y -=- C ．如果162x =，那么3x = D ．如果x y =，那么22x y -=-【答案】D【解析】对于A ，没有0a ≠的条件，等式的两边不能都除以a ，故选项A 不正确；对于B ，等式的左边减去5，等式的右边乘以1-后加上5，等式不成立，故选项B 不正确；对于C ，等式的左边乘以2，等式的右常见考法边除以2，等式不成立，故选项C 不正确；对于D ，等式的两边都乘以2-，等式成立，故选项D 正确.故选:D. 2．(2019·全国高一课时练习)若a b =，则下列变形正确的是( ) A ．33a b =+ B ．22a b-=- C ．55a b -=+ D ．0a b +=【答案】B【解析】对于A ，根据等式的性质，得33a b =，故该选项错误；对于B ，根据等式的性质，得-22a b=-，故该选项正确；对于C ，根据等式的性质，得55a b +=+或55a b -=-，故该选项错误；对于D ，根据等式的性质，得0a b -=，故该选项错误.故选:B.考点二 不等式性质【例2】(2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末)对于任意实数a ，b ，c ，则下列四个命题： ①若a b >，0c ≠，则ac bc >； ②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >；④若a b >，则11a b<.其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】a b >时，若0c <，则ac bc <，①错误； 若0c，则22ac bc =，②错误；若22ac bc >，则20c >，∴a b >，③正确； a b >，若0a b >>，仍然有11a b>，④错误． 正确的只有1个．故选：C ．【举一反三】1．(2020·上海高一开学考试)下列命题正确的是( )本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法A ．若>a b ，则11a b< B ．若>a b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【解析】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确D. 若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立故答案选C 2．(2020·全国高一开学考试)若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【解析】对于A 选项，若0c ，则22ac bc =，故A 不成立；对于B 选项，0a b <<，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >，另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，22a ab b ∴>>，故B 成立；对于选项C ，在a b <两边同时除以()0ab ab >，可得11b a<，所以C 不成立； 对于选项D ，令2a =-，1b =-，则有221a b -==-，12b a =，b aa b <，所以D 不成立. 故选B.3．(2020·武汉外国语学校高一月考)下列结论正确的是( ) A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b < C ．若a b >，c d >则a d b c ->- D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C【解析】对于A ，取1,1a b ==-时，11b a<，则A 错误； 对于B ，取0,1a b ==-时，a b >，则B 错误；对于C ，因为,a b d c >->-，所以由不等式的性质可知a d b c ->-，则C 正确； 对于D ，取0c时，22ac bc =，则D 错误；故选：C考点三 比较大小【例3】(2020·全国高一课时练习)已知a ，b 均为正实数，试利用作差法比较33+a b 与22a b ab +的大小. 【答案】3322a b a b ab +≥+ 【解析】∵()()()33223232a b a b abaa b b ab +-+=-+-()22222()()()()()a a b b b a a b a b a b a b =-+-=--=-+.又a ，b 均为正实数，当a b =时，33220,a b a b a b ab -=+=+； 当ab 时，2()0,0a b a b ->+>，则3322a b a b ab +>+. 综上所述，3322a b a b ab +≥+.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)已知，那么,,,a b a b --的大小关系是( ) A ．a b b a >>->- B ．a b a b >->-> C ．a b b a >->>- D ．a b a b >>->-【答案】C 【解析】由，则0a b >->，所以a b -<，所以a b b a >->>-，故选C.一．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 二．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；若a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ．其中b 是介于a 与c 之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．三．比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；2．(2020·浙江高一课时练习)设2,73,62a b c ==-=-，则,,a b c 的大小关系为( )．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】47373b =-=+，46262c =-=+，7362+>+，447362∴<++，b c ∴<.又226860a c -=-=->，故a c >．综上可得：a c b >>．故选：B .考点四 代数式的取值范围【例4】(1)(2019·广东高考模拟(理))已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是( )A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)(2019·浙江绍兴一中高一月考)已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是( ) A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15]【答案】(1)C(2)B【解析】(1)令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又11x y -≤+≤，…∴①13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤…②∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．(2)令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤ 又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故本题选B.【举一反三】1．(2020·安徽金安.六安一中高一期中(文))已知二次函数()y f x =的图象过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，则(3)f 的取值范围为( )A ．[6,10]B ．[21,30]C ．3963,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[4,12]【答案】B 【解析】二次函数()y f x =的图像过原点，设二次函数为：2()f x ax bx =+， 1(1)2f -≤-≤，3(1)4f ≤≤，∴ 12a b ≤-≤……①，34a b ≤+≤……②，则3①+6②得：219330a b ≤+≤即21(3)30f ≤≤，故选：B.2．(2020·山东济宁.高一月考)若25,310<<<<a b ，则2a b -的范围为_______________ 【答案】()18,1--【解析】依题意可知2026b -<-<-，由于25a <<，由不等式的性质可知1821a b -<-<-.故填：()18,1--.3．(2019·全国高一课时练习)已知26x y -=，34x y -=，则2256x xy y -+的值为____________.代数式的取值范围的一般思路：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解【答案】24【解析】由题得2256(2)(3)=6424x xy y x y x y -+=--⨯=.故答案为：2考点五 不等式证明【例5】(2020·全国高一课时练习)已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>. 【答案】证明见解析. 【解析】()---==c b a c c bc ac a b ab ab， 因为0a b >>，0c <，所以0b a -<，()0->c b a ，0ab >故()0->c b a ab，即证：c ca b>. 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)证明不等式22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭(,a b ∈R ). 【答案】证明见解析.【解析】证明：因为222a b ab +≥， 所以22222()2a b a b ab +≥++， 所以()()2222a ba b +≥+两边同除以4，即得22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，取等号. 2．(2020·全国高一课时练习)如果0a b >>，0c d >>，证明：ac bd >. 【答案】证明见解析.【解析】证明：由0a b >>，0c >，则0ac bc >>， 又0c d >>,0b >，则bc bd >，又ac bc >，故ac bd >. 3．(2020·全国高一)已知0a b c d >>>>，ad bc =． (Ⅰ)证明：a d b c +>+； (Ⅰ)证明：a b c b c a a b c a b c >． 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅰ)见解析【解析】(Ⅰ)由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2，由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c ．(Ⅰ)a b ca b b c c a b c a a b c a b c a b c---=⋅⋅()()a b b c a b b c --=⋅.因为0a b >>，所以1,0a a b b >->，故()1a b ab ->.同理，()1bc b c->.从而()()1a bb c abbc--⋅>.即a b c b c a a b c a b c >。
高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式2.1第2课时等式性质与不等式性质a高一第一册数学
究 释 疑
则ba＝12，ab＝2，有ba＜ab，故C错．
作 业
难
故D为真命题．]
返
首
页
第十九页，共四十七页。
课
情
堂
景
小
导
结
学
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化 提
探
新
素
知 条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时， 养
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满 课
课
情
堂
景
小
导
结
学 探 新
【例2】
若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：a－e c2＞b－e d2.
提 素
知
养
[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结 课
合
时
作 构，有理有据地导出证明结果．
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
第二十三页，共四十七页。
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
业
返 首 页
第三十三页，共四十七页。
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
探 新
求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条
素
知
养
件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加
课
合 不可减，可乘不可除.
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
第三十四页，共四十七页。
[跟进训练]
新教材2.1等式性质与不等式性质 教案
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象) 2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模) 3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算) 5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理) 【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时 不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠. (2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确． 知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据00a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧依据⎩⎪⎨⎪⎧如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只 需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？ (2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？ 提示：(1)是 (2)b a > 基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( ) (2)若20x ＝，则0x ≥.( ) (3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( ) [解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2. (2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立． (3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系． 2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T <B ．40T >C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ [分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式． [解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量． (2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围． 【对点练习】❶ 用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系． [解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤，这时菜园的另一条边长为30(15)()22x xm -=-． 因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥， 即(15)1102x x -≥，故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x xx <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二 比较实数的大小 例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+==2=. ∵a ，b0>，20≥，20≥≥方法二(作商法)===11==≥.0>0>≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+2∴222()()a b a bab +--=.∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.>0>≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式． 2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()aa b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论． 注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值． 【对点练习】❷ 当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小． [解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－， 而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤， 所以32331x x x ≤-+.第2课时 不等式性质 必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性) 性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性) 思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？ 提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向． (3)各个数均为正数． 基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) (3)设a ，b R ∈ ，且a b >，则33a b >.( ) (4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否0a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误． 2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a c b d ->- B ．ac bd > C ．a c b d >＋＋ D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( ) A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >> [解析] 由10b -<<，可得21b b <<， 又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ． 4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -； (2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ； (3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a bc >>>，那么c a ______cb. [解析] (1)∵c d ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <. (3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a>，即11a b <.∵0c >，∴c ca b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( ) A ．22a b < B ．2ab b < C ．11a b> D ．22ac bc >[分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确．[归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【对点练习】❶ 设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b < B ．22ab a b < C ．2211ab a b < D ．b aa b< [解析] 当0a <，0b >时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b<，故C 正确．D 中b a 与ab的大小不能确定． 题型二 利用不等式的性质证明不等式 例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立． [证明] 因为a b c >>，所以c b ->-. 所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->， 所以10b c >-.所以1110a b b c c a++>---.[归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷ 若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e ea cb d --. [证明] 因为0cd <<，所以0c d ->->. 又因为0a b >>，所以0a c b d ->->. 所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--.又因为0e <，所以22>()()e ea cb d --.题型三 利用不等式的性质求范围 例3 已知14x -<<,23y <<. (1)求x y -的取值范围． (2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<， 所以32y -<-<-， 所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<， 所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸ 已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与mn的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ，所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，ab的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误． [正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143ab<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋， 故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋， 故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质讲义新人教A版必修第一册2.1 等式性质与不等式性质最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．知识点一实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a 可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c3可加性a>b⇔a＋c>b＋c 可逆4可乘性}a>b c>0⇒ac>bc c的符号}a>b c<0⇒ac<bc5同向可加性a>b c>d⇒a＋c>b＋d 同向6同向同正a>b>0c>d>0⇒ac>bd 同向状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c.(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．[教材解难]教材P 40思考等式有下面的基本性质： 性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.[基础自测]1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40 D．T ≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思． 答案：C2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .答案：A3．已知x<a<0，则一定成立的不等式是( )A．x2<a2<0 B．x2>ax>a2C．x2<ax<0 D．x2>a2>ax解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.答案：B4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6.答案：－1≤a－b≤6题型一比较大小[教材P38例1]例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．【解析】因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x)D ．随x 值变化而变化解析：f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以f (x )>g (x )．故选C. 答案：C作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型二 不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断例2 对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ④若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc .①错． 对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b .②对． 对于③，由a <b <0， 两边同乘以a 得a 2>ab ， 两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2.③对． 对于④，⎭⎪⎬⎪⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b .④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b⇒a >0，b <0.⑤对．故选C. 答案：C 方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2 (1)已知a <b ，那么下列式子中，错误的是( ) A.4a <4b B ．－4a <－4b C ．a ＋4<b ＋4 D ．a －4<b －4(2)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b解析：(1)根据不等式的性质，a <b,4>0⇒4a <4b ，A 项正确；a <b ，－4<0⇒－4a >－4b ，B 项错误；a <b ⇒a ＋4<b ＋4，C 项正确；a <b ⇒a －4<b －4，D 项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．(2)对于选项A ，当c <0时，不正确；对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．答案：(1)B (2)C题型三 利用不等式性质求范围[经典例题]例3 已知－2<a ≤3,1≤b <2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b .【解析】 (1)|a |∈[0,3]；(2)－1<a ＋b <5；(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2； (4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6 ①， 由1≤b <2得－6<－3b ≤－3 ②， 由①②得，－10<2a －3b ≤3.状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向. 方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足：1<x <2<y <3， (1)求xy 的取值范围； (2)求x －2y 的取值范围．解析：(1)∵1<x <2<y <3，∴1<x <2,2<y <3，则2<xy <6，则xy 的取值范围是(2,6)． (2)由(1)知1<x <2,2<y <3，从而－6<－2y <－4，则－5<x －2y <－2，即x －2y 的取值范围是(－5，－2)．状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解；(2)求出－2y 的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y 的取值范围.课时作业 7一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >b dD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1 解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1. 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A. 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.若1a <1b<0，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C 二、填空题5．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”)．解析：因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b )＝2b －2a ＝2(b －a )<0. 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b。