运筹学--单纯形法求解-动态演示
运筹学01.10单纯形法的算法步骤
3
运筹学
Operations Research
∴ ( LP)的最优解为(50,250,0,50,0)T ，最优值为27500. 故原线性规划问题的最优解为(50,250)T ，最优值为27500. ▌
2011-3-10
4
运筹学
Operations Research
例2 利用单纯形法求解线性规划问题：
2011-3-10
16
运筹学
Operations Research
解：（1）（2）
（3） max z = 5 x + 3x 1 2
s. t. 1 4 8 x2 ≤ − x1 − 5 25 5 4 x1 + x 2 ≤ 2 5 x1 , x 8
故 [ x , x ]都是原规划的最优解.▐
2011-3-10
运筹学
Operations Research
∃rk = 0（xk为非基变量），
注：（1）在最终的单纯形表中，若
则只需以第k列为枢轴列，仍按最小比原则选择枢轴行，转 轴后即可得线性规划问题的另一最优解. （2）图解法：
基本最优解
2011-3-10
2011-3-10
2
运筹学
Operations Research
例1 利用单纯形法求解线性规划问题：
max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
解：将所给线性规划问题化为标准形
取初始可行基 B = ( P3 , P4 , P5 ) = I 3
2011-3-10
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学之单纯形法.ppt
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
单纯形法的一般描述和求解步骤课件
单纯形法的一般描述和求解步骤：一般的线性规划问题的求解有以下几个步骤。
(1)确定初始基本可行解。
为了确定初始可行解，首先要找出初始可行基。
设一线性规划问题为⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑∑==nj xj b x P x c Z n j j j nj jj ,,2,1,0max 11（1-14）可分两种情况讨论。
1.若),,2,1(n j P j =中存在一个单位基，则将其作为初始可行基：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==100010001),,,(21m P P P B 2.若),,2,1(n j P j =中不存在一个单位基，则人为的构造一个单位初始基。
关于这个方法将在下面提到。
(2)检验最优解。
得到初始基本可行解后，要检验该解是否最优解。
如果是最优解，则停止运算；否则转入（3）基变换。
下面给出最优性判定定理。
一般情况下，经过迭代后可以得到以非基变量表示基变量的表达式∑+=='-'=nm j j iji i m i x ab x 1),,2,1(,(1-15)将式（1-15）代入式（1-14）的目标函数，整理后得j nm i ni ij i jmi i i x a c cb c Z ∑∑∑+==='-'+'=111)(max令∑='=m i i i b c Z 10,∑=+==mi ji i j n m j a c Z 1),,1(,于是j nm j j j x Z c Z Z ∑+=-+=10)(max再令),,1(,n m j Z c j j j +=-=σ则得到以非基变量表示的目标函数的表达式jnm j jx Z Z ∑+=+=10max σ由以上推导可得出下列最优解的判定定理。
(1)最优解的判定定理：若T m b b b X )0,,0,,,,(21)0( '''=为对应于基B 的一个基本可行解，且对于一切n m j ,,1 +=有0≤j σ，则)0(X 是最优解，称j σ为检验数。
运筹学单纯形法例题求解过程
运筹学单纯形法例题求解过程摘要：一、运筹学单纯形法概述二、单纯形法求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解2.编制初始单纯形表3.判断基本可行解是否为最优解4.迭代求解最优解三、例题求解过程1.题目描述2.化为标准型3.建立初始单纯形表4.迭代计算四、总结正文：一、运筹学单纯形法概述运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它的主要思想是通过不断迭代，逐步优化基变量的值，从而求得问题的最优解。
单纯形法可以有效地解决具有如下特点的问题：目标函数线性，约束条件线性，变量非负。
二、单纯形法求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解在求解线性规划问题时，首先需要确定基变量，即在约束条件方程组中，选择一部分变量作为基变量，用于表示其他变量。
通过寻找或构造单位矩阵的方法，可以确定基变量，从而求出初始基本可行解。
2.编制初始单纯形表基于初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。
单纯形表包含了基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件系数和检验数等信息，用于描述问题的基本情况。
3.判断基本可行解是否为最优解通过检验数cj-zj 来判断基本可行解是否为最优解。
如果所有非基变量的检验数cj-zj<0，说明已经达到最优解，计算停止。
如果存在cj-zj>0，但所有cj-zj>0 所在列对应的所有aij<0，说明无最优解，计算停止。
如果至少存在一个cj-zj>0，并且所对应的所有j 列中至少有一个aij>0，说明没有达到最优解，需要继续迭代求解。
4.迭代求解最优解在迭代过程中，首先需要确定换入变量，即选择最大检验数对应的非基变量。
然后，利用特定公式计算出换出变量，即在基变量中选择一个与换入变量对应的变量进行替换。
接着，生成新的单纯形表，将换入变量和换出变量进行置换后，调整新基变量对应的矩阵为单位矩阵。
最后，重新计算检验数和目标函数值，返回第二步，直至找到最优解。
三、例题求解过程假设有一个线性规划问题，目标函数为MINfx1x2Mx4Mx6，约束条件为：3x1 + 4x2 ≤ 122x1 + 3x2 ≤ 10x1, x2 ≥ 0首先，将约束条件化为标准型：3x1 + 4x2 + s1 = 122x1 + 3x2 + s2 = 10x1, x2 ≥ 0然后，建立初始单纯形表：| 基变量| 非基变量| 目标函数系数| 约束条件系数| 检验数| ---------------------------------------------------------------------行1 | x1 | s1 | -3 | -4 | -12 |行2 | x2 | s2 | -4 | -3 | -10 |行3 | x1 | x2 | 0 | 0 | 0 | 行4 | s1 | x2 | 0 | 3 | 0 | 行5 | s2 | x1 | 0 | 2 | 0 | 根据初始单纯形表，可以得到初始基本可行解为：x1 = 0, x2 = 0接下来，判断基本可行解是否为最优解：c1 = -12, c2 = -10, c3 = 0, c4 = 0, c5 = 0由于c3、c4 和c5 都小于等于0，所以基本可行解不是最优解，需要继续迭代求解。
运筹学单纯形法ppt课件
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120
x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa
运筹学课件1-3单纯形法原理
理论方法 算法步骤 单纯形表
算例
第1页
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 max z CX s .t . AX b X 0 ：
其中A为m×n阶矩阵
可行解：满足AX=b,且X≥0的解称为可行解。 可行域：全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最 优解。 基：设B是系数矩阵A的一个m×n阶的满秩子矩阵， 称B是(LP)的一个基。
－5 0 0
2.5 0 4 4 0 3
1.5 17.5 22 19
－3 0 0 0
问：基解中零的个数至少有多少个？ 至少n-m个
例3
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
第12页
三、几个基本定理
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件 是它的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证： （2）充分性
若向量 P1 , P2 , , Pk 线性无关，
则必有 k m
T
当 k m 时， P1 , P2 , , Pm 构成基
从而 X ( x1 , , x m , 0 , , 0 ) 为相应的基可行解
若X
(X
(0)
(0)
证。
(0)
不是基可行解
(0)
,由定理 2 知 X
到通过 X
) CX ) CX
单纯形法大M法求解线性规划问题课件
xm+1 σn)xm+2
xn
其中 N = C N -C B B -1 N = (m + 1 ,m + 1 ,称为n 非)基变量ＸN的检验向
量，它的各个分量称为检验数。若σN的每一个检验数均小于等于0，
即σN≤0，那么现在的基本可行解就是最优解。
单纯形法大M法求解线性规划问题
9
定理1：最优解判别定理
变量为换入变量，即若
m a x σ j/σ j> 0 ,m + 1 j n = σ m + k
则选取对应的 x m + k为换入变量，
由于 m+k 0且为最大，
因此当 x m + k 由零增至正值，
可使目标函数值 Z CBB-1b+(σm+1,σm+1,
xm+1
σn
)
xm+2
最大限度的增加。
基变量的系数列向量是单位矩阵I中的单位向量。为了求得改进的基
本可行解 X '，只需对增广矩阵
(I,B-1N,B-1b)
施行初等行变换，将换入变量的系数列向量变换成换出变量所对 应的单位向量即可。
单纯形法大M法求解线性规划问题
16
例1 maxZ=5x1 2x2 3x3 x4 x5
x1 2x2 2x3 x4
现在需在 XB=(x1,x2, xm)T中确定一个基变量为换出变量。
当 x m + k由零慢慢增加到某个值时，X 的B 非负性可能被打破。
为保持解的可行性，可以按最小比值原则确定换出变量： 若
m in (B (B -1 P -1 m b + )k i)i/(B -1 P m + k)i> 0 ,1im =(B (B -1 P -1 m b + )k l)l
运筹学1-4单纯形法计算步骤ppt课件
x4
θ
0 x3 21 1 3 1 0 7
0 x4 4 -1 1 0 1 4
cj-zj
3900
0 x3 9 4 0 1 -3
9 x2 4 -1 1 0 1
cj-zj
12 0 0 -9
第19页
cj
3900
CB XB b
x1
x2
x3
x4
θ
0 x3 21 1 3 1 0 7
0 x4 4 -1 1 0 1 4
1 -1 0 1 -
1100
所以把x3换出为非基变量，x2为换入变量即新的基变量。
第29页
cj
CB XB b
0
x3 4
0
x4 2
cj-zj
1
x2 4
1100
x1
x2
x3
x4
θ
-2 1 1 0 4
1 -1 0 1 -
1100
-2 1 1 0
第30页
cj
CB XB b
0
x3 4
0
x4 2
cj-zj
1
θ
0
0 90/1
1
0 75/2
0
1 80/2
0
0
-1/2 0 21
1/2 0 75
-1
1
5
-3 0
2
-5/2
1
-1/2
-1
1
第12页
cj
6
5
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
90
1
3
1
0
x4
75
2
1
0
运筹学线性规划与单纯形法.pptx
x1
L2
x1
x1
32 2020-5-31
def3：满足LP中所有约束条件（不等式或等式 约束）的点必在这些约束条件所对应区域所围 成的公共区域D内，则称此公共区域D为LP的 可行域。
例1
400 2x1+x2=400
300
B(50,250)
x2=250
C(100,200)
200
D
100
x1+x2=300
a11 a12
A
a21
谢谢阅读am1
a22 am 2
a1n a2n
amn
n
max z
cjxj
j 1
s.t
n
aij x j bi
x
j
j 1
0,
j 1~ n
bi 0, i 1 ~ m
max z CX
s.t AX b
X
0
n：决策变量个数 m：约束方程个数 25
2020-5-31
Hale Waihona Puke 产品 产品Ⅰ资源设备(台时)
1
产品Ⅱ 1
资源限制 300台时
原材料A(千克)
2
1
400千克
原材料B(千克)
0
单位产品利润(元) 50
谢谢阅读
1 100
250千克
16 2020-5-31
可以用x1和x2的线性函数形式来表示工 厂所要求的最大利润的目标：
max z=50x1+100x2 其中max为最大化的符号（最小化符号为
0
100
200
300
谢谢阅读
33 2020-5-31
当目标函数z取z1，z2，z3……时，
运筹学--单纯形法求解-动态演示
x1 x2 max z 50 100 0 0 0 s1 s2 s3
x1 1 1 1 0 0 x 2 300 2 1 0 1 0 s1 400 0 1 0 0 1 s 2 250 s3
0
b
bi ai 2
0 0
1
0
300 400
250
S3
1
0
0
0
j cj z j
50 100 0
0
0
Z=
0
初始单纯形表
x1
迭代 基变 次数 量
X2 s1 s2 S3 0
0
比值
CB
50 100 0
b
bi ai 2
300 1 400 1
S1 S2
1
0 0
0
Zj
1 2
0
0
1 1
1 ①
0
1 0
0
0 0
线性规划--标准化
引入变量：s1,s2,s3
max
z 50 x1 100 x2 0 s1 0 s2 0 s3 300 400 s3 250
x1 x2 s1 2 x1 x2 s2 x2
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0
•提取系数，填入表格：
0
0
-1 50 -1 150
1
-100
x2 100
j cj z j
250
Z=25000
0 100
初始单纯形表
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初始单纯形表
x1
迭代 基变 次数 量
X2 s1 s2 S3 0
0
比值
CB
50 100 0
b
bi ai 2
S1 S2
1
0 0
0
Zj
1 2
0
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
300 400
250
S3
j cj z j
Z=
0
初始单纯形表
x1
迭代 基变 次数 量X2 s源自 s2 S3 00比值
CB
初始单纯形表
迭代 次数 基 变 量
x1 CB 50
X2 100
s1 0
s2 0
S3 0
比值
b
bi ai 2
1 2
0 Zj
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
300 400
250
0
j cj z j
初始单纯形表
迭代 次数 基 变 量
x1 CB
50
x2
100
s1
0
s2
0
s3
0
比值
b
bi ai 2
b
bi ai 2
S1 0 x1 50
S2
3
1 ①
2 0
0
Zj
0 0
1
1 0
0
0 1
0
-1 50 -1 150
1 250
x2 100
j cj z j
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
x1 CB
x2 s1 s2 S3 0
0
比值
50 100 0
b
bi ai 2
x1 50 ① 1 S2 0 2
3
2
0 0
Zj
1 2
0
0 50
0 0
1
100
0
1 0
0
0 0
0 1
0
0
-1 50 -1 150
1
-100
x2 100
j cj z j
250
Z=25000
0 100
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
x1 CB
X2 s1 s2 S3 0
0
比值
50 100 0
b
bi ai 2
50 1 150 2
50 100 0 1 1 1 2 1 0 0
0
bi ai 2
0 0
1
0
300 400
250
S3
1
0
0
0
j cj z j
50 100 0
0
0
Z=
0
初始单纯形表
x1
迭代 基变 次数 量
X2 s1 s2 S3 0
0
比值
CB
50 100 0
b
bi ai 2
300 1 400 1
S1 S2
1
0 0
b
0
0
0
bi ai 2
x1 50 S2 0
3
1 0
0
0
0 0
1
0
1 -2
0
-50
0 1
0
0 0
-1 1
1
50 -50
50 50
250
Z=
27500
x2 100
Zj
50 100 50
j cj z j
表格中，检验系数σj全部小于或等于0，根据判断 规则，Z值为最优值（Z=27500），其解： X1=50,S1=50,X2=250,s2=s3=0为模型的最优解。
1 2
1
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
300 400
250
0
Zj
j cj z j
初始单纯形表
迭代 次数 基 变 量
x1 CB
50
x2
100
s1
0
s2
0
s3
0
比值
b
bi ai 2
S1 S2
1
0 0
0
Zj
1 2
0
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
300 400
250
S3
j cj z j
0
Zj
1 2
0
0
1 1
1 ①
0
1 0
0
0 0
0 1
0
0 0
0 0
1
0 0
300 400
250
Z=0
S3
250 1
j cj z j
50 100
初始单纯形表
x1
迭代 基变 次数 量
X2 s1 s2 S3 0
0
比值
CB
50 100 0
b
bi ai 2
300 1 400 1
S1 S2
2
0 0
Zj
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量 x1 X2 s1 s2 S3 比值
CB
目标系数区
b
右 端 系 数
bi aij
基 变 量 区
1
约束条件 系数区
Zj
检验系数区
j cj z j
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
x1 CB
x2
s1
s2
s3
比值
b
50 100
0
0
0
bi ai 2
1
Zj
j cj z j
0 0
1
300 400
250
x2
250 1
j cj z j
初始单纯形表
x1
迭代 基变 次数 量
X2 s1 s2 S3 0
0
比值
CB
50 100 0
b
bi ai 2
300 1 400 1
S1 S2
2
0 0
100 Zj
1 2
0
1 1
1 ①
1 0
0
0 1
0
0 0
1
300 400
250
x2
250 1
max z 50 x1 100 x 2 0s1 0s 2 0s3
x1 x2 max z 50 100 0 0 0 s1 s2 s3
x1 1 1 1 0 0 x 2 300 2 1 0 1 0 s1 400 0 1 0 0 1 s 2 250 s3
0 0
1
1 0
0
0 1
0
-1 50 -1 150
1 250
x2 100
Zj
0
j cj z j
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
x1 CB
x2 s1 s2 S3 0
0
比值
50 100 0
b
bi ai 2
x1 50 ① 1 S2 0 2
3
0 0
1
1 0
0
0 1
0
-1 50 -1 150
1 250
S1 S2
2
0 0
Zj
1 2
0
0 50
0 0
1
100
0
1 0
0
0 0
0 1
0
0
-1 50 -1 150
1
-100
x2 100
j cj z j
250
Z=25000
0 100
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量 x1 X2 s1 s2 S3 比值
CB
50 100 0
0
0
b
bi ai 2
S1 S2
j cj z j
初始单纯形表
x1
迭代 基变 次数 量
X2 s1 s2 S3 0
0
比值
CB
50 100 0
b
bi ai 2
300 1 400 1
S1 S2
2
0 0
100 Zj
1 2
0
1 1
1 ①
1 0
0
0 1
0
0 0
1
300 400
250
x2
250 1
j cj z j
初始单纯形表
S1 S2
2
0 0
Zj
1 ①
2 0
0 50
0 0
1
100 0
1 0
0
0 0
0 1
0
0
-1 50 -1 150
1
-100
x2 100
j cj z j
250
Z=
25000
0 100
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1 x1 X2 s1 s2 S3 50 50 100 0
比值
0
0
线性规划--标准化
引入变量：s1,s2,s3
max
z 50 x1 100 x2 0 s1 0 s2 0 s3 300 400 s3 250
x1 x2 s1 2 x1 x2 s2 x2
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0