高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.1导数与函数的单调性课件文新人教A版

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2017版高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.2 导数的应用课时1 导数与函数的单调性课件文

§3.2 导数的应用
课时1 导数与函数的单调性
内容索引
题型一不含参数的函数的单调性题型二含参数的函数的单调性题型三利用函数单调性求参数思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分
题型一不含参数的函数的单调性
题型一
不含参数的函数的单调性
ln x 例1 求函数 f(x)＝的单调区间. x
温馨提醒
思维点拨
解析答案
返回
思想方法感悟提高
方法与技巧
1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区
间，并注意定义域.
2.含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单
调性.
3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转
化为恒成立问题两种思路解决.
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(5，＋∞)内为增函数.
综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5).
解析答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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13 14 15
1 10.已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝ ax＋b. 2 (1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，求 g(x)的表达式；
整理得x－y＋ln 2＝0.
解析答案
1 (2)当－ ≤a≤0 时，讨论 f(x)的单调性． 2
思维升华
解析答案
跟踪训练2
讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性.

2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件文新人教A版【优质ppt版本】

3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指点P为切点,斜率为k=f'(x0) 的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.
考点1
考点2
-15-
考点 1
导数的运算
例 1 分别求下列函数的导数:
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
导函数
f '(x)=0 f'(x)= αxα-1 f'(x)= cos x f'(x)= -sin x f'(x)=axln a(a>0,且a≠1) f'(x)= ex
f'(x)= ��l1n��(a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x
1
f'(x)= ��
例3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若
曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )
A.ln 2
B.-ln 2
C.ln22
D.-ln22
思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
关闭
函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f'(x)=ex-a·e-x.又 f'(x)是奇函数,所以
-5-
知识梳理双基自测自测点评
12345
2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ �� →0
Δ�� Δ��

高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2讲导数与函数的单调性课件文

单调性是( )
A．先增后减
B．先减后增
C．增函数
D．减函数
解析：选 D.因为 f′(x)＝－sin x－1＜0.
所以 f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D.
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第八页，共三十七页。
(选修 1-1 P91 例 2(3)改编)若函数 f(x)＝sin x＋kx 在(0，π) 上是增函数，则实数 k 的取值范围为________．解析：因为 f′(x)＝cos x＋k≥0，所以 k≥－cos x，x∈(0，π)恒成立．当 x∈(0，π)时，－1＜－cos x＜1，所以 k≥1. 答案：k≥1
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(4)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响． (5)f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，这是因为 f′(x) ＞0 能推出 f(x)为增函数，而 f(x)为增函数能推出 f′(x)≥0，由上述分析可得出 f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件．同理，f′(x)≤0 是 f(x)为减函数的必要不充分条件．
C．(－1，＋∞)
D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析：选 D.f′(x)＝3x2－3.由 f′(x)＞0 得，x＜－1 或 x＞1.故单
调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故选 D.
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(选修 1-1 P91 例 2(3)改编)函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的
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第二页，共三十七页。
[提醒] (1)利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号． (2)对函数划分单调区间时，需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点． (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么单调区间之间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．

(名师导学)高考数学总复习第三章导数及其应用第16讲导数与函数的单调性课件文新人教A版

∵f(x)在区间(－1，1)上不单调，∴0＜ 33a＜1，得 0＜a＜3，即 a 的取值范围为(0，3)．
【小结】已知 f(x)的单调性求参数，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上的恒成立问题求解．
【能力提升】例4已知函数 fx＝exx2－2x＋a(其中 a∈R，a 为常数，e 为自然对数的底数)． (1)讨论函数 fx的单调性；
【解析】因为 f′x＝ex＋3x2>0，所以函数 f(x)为增函数，
所以不等式 fx2<f3x－2等价于 x2<3x－2，即 x2－3x＋2<0 1<x<2，故 x∈1，2.
【答案】1，2
【知识要点】
函数的单调性与导数设函数 y＝f(x)在某区间(a，b)内可导，f′(x)在(a， b)任意子区间内都不恒等于 0.若 x∈(a，b)，f′(x)≥0，
则 f(x)在区间(a，b)内为___增___函__数____；若 x∈(a，b)， f′(x)≤0，则 f(x)在区间(a，b)内为__减__函___数__．
考点 1 利用导数判断和证明函数的单调性
例1(1)已知函数 f(x)＝ln x－1＋x2x.求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
在－a＋a 1，＋∞上，f′x>0，所以 fx单调递增．当 a<0 时，在－∞，－a＋a 1上，f′x>0，所以 fx单调递增；在－a＋a 1，＋∞上，f′x<0，所以 fx单调递减.
【小结】导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的 3 步骤：
(1)一求．求 f′(x)； (2)二定．确定 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)三结论．作出结论：f′(x)≥0 时为增函数；f′(x)≤0 时为减函数．

高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.1函数的单调性与导数课件理

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
故选 D.
3．函数 f(x)＝ex－2x 的单调递增区间是__(_ln__2_，__＋__∞_)___．
解析 f′(x)＝ex－2，令 f′(x)＝0 得 x＝ln 2. 当 x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)＝ex－2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．

全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.1导数与函数的单调性课件文北师大版

(1)极值点与极值
设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值．
(2)极大值点与极小值点 ①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点； ②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点．
(3)求可导函数极值的步骤：
【训练1】设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性．
解 f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1) ＝ex[ax2＋(2a＋1)x＋2] ＝ex(ax＋1)(x＋2) ＝aexx＋1a(x＋2) ①当 a＝12时，f′(x)＝12ex(x＋2)2≥0 恒成立， ∴函数 f(x)在 R 上单调递增；
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)
上一定有f′(x)>0.
()
(2)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．
()
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件． ()
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一
定是极小值．
()
解析 (1) 函数 f(x) 在 (a ， b) 上单调递增，则在 (a ， b) 上有 f′(x)≥0，故(1)错． (2)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，(2)错． (3)如f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝0，而函数f(x)在R上为增函数，所以x＝0不是极值点，故(3)错．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
＝
()
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，当

人教A版高考总复习文科数学精品课件第3章导数及其应用第2节第1课时利用导数研究函数的单调性

(2)由题意 f'(x)=e
∵f(x)=e
x
∴f'(x)=e
x

- 2,

+ 在[1,2]上单调递增,

- 2 ≥0

x
在 x∈[1,2]时恒成立,即 a≤x2ex 在 x∈[1,2]时恒成立,令
g(x)=x2ex,g'(x)=2xex+x2ex=xex(x+2)>0,
∴g(x)=x2ex在[1,2]上单调递增,
条件
恒有
f'(x)>0
函数f(x)在某个区
f'(x)<0
间内可导
f'(x)=0
结论
函数y=f(x)在这个区间内单调递增
函数y=f(x)在这个区间内单调递减
函数y=f(x)在这个区间内是常数函数
微点拨讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,
要坚持“定义域优先”原则.
(2)单调性到导数
∴g(x)≥g(1)=e,∴a≤e,故答案为(-∞,e].
考点四
导数在研究函数单调性中的应用(多考向探究)
考向1比较大小
例 4 已知函数
||
f(x)= || ,记
e
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.c>b>a
a=f(log32),b=f(log53), c=f
1
ln
e
,则(
)
答案:D
而引起分类讨论;
3.求导后,f'(x)=0有实数根,f'(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些

高考数学一轮复习第三章导数及其应用函数的单调性与导数课件

7 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
2．函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
解析 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)，
6 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1．思维辨析 (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0.( × ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( √ ) (3)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是 f(x)的单调递增区间是相同的说法．( × )
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
考点一函数的单调性与导数
4 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点重难点
5 撬点·基础点重难点
撬法·命题法解题法
撬题·对点题必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1 函数的单调性与导数的关系
命题法判断函数的单调性典例已知函数 f(x)＝ln x－mx＋m，m∈R. (1)已知函数 f(x)在点(1，f(1))处与 x 轴相切，求实数 m 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)在(1)的结论下，对于任意的 0<a<b，证明：fbb－－afa<1a－1. [解] 由 f(x)＝ln x－mx＋m，得 f′(x)＝1x－m(x>0)． (1)依题意得 f′(1)＝1－m＝0，即 m＝1.

高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1

【规律总结】 1.函数的单调性与其导数正负的关系 (1)充分条件:注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数 f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件. (2)恒成立:在区间(a,b)内可导的函数f(x)在区间 (a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)(x∈(a,b))恒成立且f′(x)在区间(a,b) 的任意子区间内都不恒等于0.
3
答案: [ 1 ,1], [2,3)
3
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x3 3x. (2) f ( x) x 2 2 x 3.
(3) f (x) sin x x, x (0, ).
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
f(x) = 0.
综上, 函数f ( x )图象 O 1
4
x
的大致形状如图所示.
【变式训练】
(2016·吉安高二检测)函数y=f(x)在定义域 ( 3 ,3) 内可
2
导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则
不等式f′(x)≤0的解集为
.
【解析】由题意不等式f′(x)≤0的解集即函数y=f(x)的递减区间为 [ 1 ,1], [2,3).
有什么特征?
思考请同学们回顾一下函数单调性的定义,并
思考某个区间上函数 y f x的平均变化率的几
何意义与其导数正负的关系.
思考: (1)在区间(a,b)上,如果f′(x)>0,则f(x)在该区间上单调递增,反过来也成立吗? 提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数,但 f′(0)=0,即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件. (2)利用导数求函数单调区间时,能否忽视定义域? 提示:首先需要确定函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集.

高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.1导数与函数的单调性课件文新人教A

(1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
[解] (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x，因为 f(x)在 x＝－43 处取得极值，所以 f′－43＝0，
即 3a·196＋2·－43＝163a－83＝0，解得 a＝12.
当－1＋a a＝1，即 a＝－12时，f′(x)＝－x－2x12 2≤0 在(0，＋ ∞)上恒成立，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当－12<a<0 时，－1＋a a>1，此时在(0,1)和－1＋a a，＋∞上， f′(x)<0，f(x)单调递减；在1，－1＋a a上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
导数符号与函数单调性．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋ax 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为___[_0_,3_]____．
解析：依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0 恒成立，所以 Δ＝4a2 －12a≤0，解得 0≤a≤3.
[典题 1] 已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－43处取得极值．
(1)[教材习题改编]函数 f(x)＝ex－2x 的单调递增区间是 _(_l_n_2_，__＋__∞__)_．
(2)[教材习题改编]求 f(x)＝x＋cos x，x∈R 的单调区间．
解：f′(x)＝1－sin x≥0，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，即(－∞，＋∞)是 f(x)的单调递增区间.
(2)f′(x)＝1x＋a－1＋x2 a＝ax2＋xx－2 a－1 ＝ax＋a＋x21x－1. 当 a＝0 时，f′(x)＝x－x21. 此时，在(0,1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(1，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．当－12≤a<0 时，f′(x)＝ax＋a＋ax21x－1.

高考数学大一轮复习第三章导数及其应用2第2讲导数与函数的单调性课件文新人教A版

利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 求出单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据 f′(x)结构特征，利用图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
1．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞
2，则 f(x)＞2x＋4 的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：选 B.由 f(x)＞2x＋4，得 f(x)－2x－4＞0，设 F(x)＝f(x)
－2x－4，则 F′(x)＝f′(x)－2，因为 f′(x)＞2，所以 F′(x)＞0 在
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( )
答案：(1)× (2)√
函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数 f(x)在(a，b)内可导，且 f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0，当 x∈(a，b)时： f′(x)≥0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)＞0(<0)在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件． [提醒] 利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数的符号．

高考数学一轮复习第3章一元函数的导数及其应用2利用导数研究函数的单调性课件新人教版

π
π
-π,, 0,
____________.
2
2
由题意可知 f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.
令 f'(x)=xcos x>0,解得其在区间(-π,π)内的解集为
即 f(x)的单调递增区间为
π
-π,- 2
,
π
0, 2
.
π
-π,2
∪
π
0,
2
,
解题心得利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法
等,都需要考虑函数的单调性,所以也是高考必考知识.应用时,要注意函数
的定义域优先,准确求导变形,转化为导函数在某区间上的符号问题.常用
到分类讨论和数形结合的思想,对数学运算核心素养有一定的要求.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
解 (1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+ln x的定义域为(0,+∞),
1
-42 +3+1
故 f'(x)= -4x+3=

=
-(4+1)(-1)
(x>0).

当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)=3x-2x2+ln x单调递增;

1
2
7
7
即 g(x)在区间[1,4]上单调递增,g(x)max=g(4)= − =- ,即 a≥- .

高考数学一轮复习第三章导数及其应用32导数与函数的单调性课件文

调递减区间，求实数 a 的取值范围．
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第三十二页，共四十八页。
根据已知 [思路引导] (1) 求f′x → 列方程组 → 求b、c
提示：f′(x)＝3x2＋a，则 3x2＋a≥0 在[1，＋∞)上恒成立，即 a≥－3x2 在[1，＋∞)上恒成立，所以 a≥－3，且 a＝－3 时， f′(x)不恒为 0.
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第七页，共四十八页。
[小题速练]
1．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
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第五页，共四十八页。
(2)单调区间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和” 连接．
2．用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(或 f′(x)<0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充__分__不__必__要__条件； (2)f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)是 f(x)在(a，b)内单调递增(或递减) 的必__要__不__充___分_条件(f′(x)＝0 不恒成立)．
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
[解析] f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，令 f′(x)>0，解得 x>2. 故选 D.
[答案] D
12/13/2021
第八页，共四十八页。
2.已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1
[解析] f′(x)＝1－x2lnx，当 x>e 时，f′(x)<0，则 f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)．故选 A.

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性课件文

x
(a∈R),∴f
'(x)=2x-a
x
2
=2
x
3
x
2
Байду номын сангаас
,当a x∈(0,+∞)
时,2x3-a≥0不恒成立,即f '(x)≥0不恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上不恒为增函
数,A不正确;也不存在a∈R,使得2x3-a≤0在(0,+∞)上恒成立,即f '(x)≤0
不恒成立,∴B不正确;当a=0时, f(x)=x2为R上的偶函数,故C正确;∵f(-x)+
'
43=0,
即3a×1 6
9
+2×
4 3
=1
6a 3
-8
3
=0,
解得a= 1 .
2
(2)由(1)得g(x)=
1 2
xe3x,
x2
故g'(x)=
3 2
xe2x+
2
x
ex
1 2
x3
x2
=
1 2
xe3x=
5 2
xx2(x+21x)(x+412 )ex.
12/11/2021
令g'(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4. 当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)为减函数; 当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数; 当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数; 当x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数. 综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数, 在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.

2021版新高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2利用导数研究函数的单调性课件新人教B版

2
当a> 1 时,函数f(x)在
2
(0上, 1单) 调递增, 在
2a
上单调递增.
上单( 1调,1递) 减,在(1,+∞)
2a
【规律方法】解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.
考什么:(1)考查函数图象的识别、比较大小或解不等式、根据函数的
命题精解读
单调性求参数等问题. (2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法. 怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图象及函数的单调性的应用等问题. 新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大
2
世纪金榜导学号
A.c>b>a
B.c>a>b
C.a>b>c
f(x)的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范
围.
命题角度1 函数图象的识别【典例】函数f(x)=x2+xsin x的图象大致为
()
【解析】选A.因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,B不符合题意, f(x)=x2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,则g′(x)=1+cos x ≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时,f(x) =xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A符合题意.

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节第1课时导数与函数的单调性课件

12/11/2021
解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值. (4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
12/11/2021
2.(老教材选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
12/11/2021
规律方法 1.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系. 2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.12Fra bibliotek11/2021
2.函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)__>_0，右侧f′(x) _<__0 x0附近的左侧f′(x) _<__0，右侧f′(x) __>_0
图象
极值极值点
12/11/2021
形如山峰 f(x0)为极_大__值 x0为极_大__值点
形如山谷 f(x0)为极_小__值 x0为极_小__值点
②若 a<0，则由(1)得，当 x＝ln－a2时，f(x)取得最小值，最小值为 fln－a2＝ a234－ln－a2，故当且仅当 a234－ln－a2≥0，
3
即 0>a≥－2e4时，f(x)≥0.
3
综上，a 的取值范围是[－2e4，0].

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解：f′(x)＝1－sin x≥0，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，即(－∞，＋∞)是 f(x)的单调递增区间.
导数符号与函数单调性．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋ax 是 R 上的增函数，则实数 a 的取
[0,3] 值范围为__________ ．
解析：依题意， f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0 恒成立，所以 Δ＝4a2 －12a≤0，解得 0≤a≤3.
π π x≥0，则其在区间(－π， π)上的解集为－π，－和0，即， 2 2 π π 的单调递增区间为－π，－2和0，2 .
f (x )
考点 2
含参数的函数的单调性
导数与单调性的关系
递增或递 (1)f′(x)>0(或 f′(x)<0)是 f(x)在(a，b)内单调________(
1 3 5 2 x 1 ＝ x ＋ x ＋2xe ＝ x(x＋1)(x＋4)ex. 2 2 2
令 g′(x)＝0，解得 x＝0，x＝－1 或 x＝－4. 当 x＜－4 时，g′(x)＜0，故 g(x)为减函数；当－4＜x＜－1 时，g′(x)＞0，
故 g(x)为增函数；当－1＜x＜0 时，g′(x)＜0，故 g(x)为减函数；当 x＞0 时，g′(x)＞0，故 g(x)为增函数．综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
4 16a 8 16 －即 3a· ＋2· 3＝ 3 －3＝0， 9
1 解得 a＝ . 2
(2)由(1)得故
1 2 x 3 g(x)＝ x ＋x e ， 2
3 2 x 2 x 1 3 g′(x)＝ x ＋2xe ＋ x ＋x e 2 2
增函数． f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________
减函数． f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________
(1)[ 教材习题改编 ] 函数 f(x) ＝ ex － 2x 的单调递增区间是
(ln 2，＋∞) ． ____________
(2)[教材习题改编]求 f(x)＝x＋cos x，x∈R 的单调区间．
a＋1 ax＋ x－1 a
x2
.
1＋a ax2＋x－a－1 1 (2)f′(x)＝＋a－ 2 ＝ x x x2 ax＋a＋1x－1 ＝ . x2 x －1 当 a＝0 时，f′(x)＝ 2 . x 此时，在(0,1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(1，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增． 1 当－ ≤a<0 时，f′(x)＝ 2
1＋a ax2＋x－a－1 1 (2)f′(x)＝＋a－ 2 ＝ x x x2 ax＋a＋1x－1 ＝ . x2 x －1 当 a＝0 时，f′(x)＝ 2 . x 此时，在(0,1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(1，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增． 1 当－ ≤a<0 时，f′(x)＝ 2
已知定义在区间(－π， π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)
π π － π ，－ 0 ，和 2 2 的单调递增区间是____________________ ．
解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x．令 f′(x)＝xcos
§3.2 导数与函数的单调性、极值与最值
第1课时导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调性． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．
考点 1
求解函数的单调区间
函数的单调性与导数在(a，b)内的可导函数 f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.
[点石成金]
利用导数确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数 y＝f(x)的定义域； (2)求导数 y′＝f′(x)，令 f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x) 的定义区间分成若干个小区间； (4)确定 f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.
[典题 1] 值．
4 已知函数 f(x)＝ax ＋x (a∈R)在 x＝－处取得极 3
3 2
(1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
[解]
4 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax ＋2x，因为 f(x)在 x＝－ 3
2
处取得极值，所以
4 － f ′ 3＝0，
减)的充分不必要条件；
递增或 (2)f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)是 f(x)在(a，b)内单调________(
递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0 不恒成立)．
注意：由函数 f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在该区间内恒成立，而不是 f′(x)>0(或 f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．
[典题 2]
a＋1 已知函数 f(x)＝ln x＋ax＋－1. x
(1)当 a＝1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 1 (2)当－ ≤a≤0 时，讨论 f(x)的单调性． 2
[解]
2 (1)当 a＝1 时，f(x)＝ln x＋x＋－1， x
1 2 此时 f′(x)＝＋1－ 2， x x 1 2 f′(2)＝＋1－＝1. 2 4 2 又因为 f(2)＝ln 2＋2＋－1＝ln 2＋2， 2 所以切线方程为 y－(ln 2＋2)＝x－2，整理得 x－y＋ln 2＝0.