高等代数第二版课件§4[1].6_初等矩阵
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高等代数PPT (15)
第一章矩阵及其初等变换1.2 Gauss消元法与矩阵的初等变换1.2.4初等矩阵四. 初等矩阵例1.112006000013015422A212645230100252100026013045 25230451030125002010126530140 1325141625221,2A 单位阵行左乘互换所得矩阵1,2A 的将行互换25A 单位阵行左乘所得矩阵25A 将的行153A 单位阵行倍乘加到第左行153A 的行倍加到第将行初等矩阵: 对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵i 行j 行三种初等矩阵:1111111001ij P,,j i j i 行互单换位阵的列互换i 行i 行j 行1111ij P c c11i P c c0ci i c c 行单位阵的列i c j j c i 行加到行单位阵的列加到列定理:对A 作一次行(列)初等变换, 相当于在A 的左(右)边乘上相应的初等矩阵.左乘行右乘列应用:1.A 经有限次行初等变换得B , 则存在有限个初等矩阵E 1, …, E k , 使得2.A 经有限次列初等变换得B , 则存在初等矩阵E 1, …, E k , 使得3. A 经有限次初等变换得B , 则存在初等矩阵P 1, …, P k , Q 1, …, Q t 使得12kB AE E E 111k k k B P P AQ Q Q 11k k B E E E A例2.设矩阵则B = ( )111213131211122122232322212231323333323132,,a a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a123110100001010,110,010,001001100P P P23133123A P APB AP PC AP PD AP P 分析:A B 经由列初等变换得到B A 右乘列变换相应的初等矩阵1121,1,3A A A 将的第列加到第列得再将的列互换i P右乘对应列变换12:1P 第列加到第列21:2P 第列加到第列31,3P ：列互换12,A AP 1323B A P AP P。
高等代数第4章矩阵1,2,3节
1 2 2 A , 4 5 8
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
高等代数课件PPT之第4章矩阵
策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分， 平手各得零分
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
高等代数ppt课件
1）如果f(x)与g(x)都等于0，那么0就是f(x)和g(x)的一个最大公因 式；
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式
2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式
高等代数-高代矩阵
解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
高等代数第四章 矩阵PPT
矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的m行n 列的数表
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为 m n矩阵. 简记为 A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
高等代数
东北大学秦皇岛分校
第四章 矩 阵
1、矩阵概念的一些背景
矩阵是线性代数中最基本的概念之一， 也 是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武 器之一。
2020/3/25
第四章 矩阵
1 1
高等代数
东北大学秦皇岛分校
矩阵在密码学中的应用实例 古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保 留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下， 把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第 4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码 称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷， 即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密 文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了 一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变 换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞 生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新 阶段。
b2n M bsn
称为A和B的和，记为C＝A+B。
注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数
2）矩阵加法满足
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。
2020/3/25
高等代数课件PPT之第1章多项式
2.多项式的运算 设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数 所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0
高等代数(绪论)讲解PPT课件
开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
17
2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
10
2020年9月28日
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
2020年9月28日
高等代数
1
任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
12
2020年9月28日
二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
高等代数课件
线性变换的矩阵表示
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
线性代数(第二版)第一节矩阵的概念
定义 1.1 设 F 是由一些数组成的集合，其中包
含 0 和 1 . 如果 F 中的任意两个数(这两个数也可以 相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是 F 中的数
则 F 就称为一个数域.
根据上面的定义，全体整数组成的集合不是一个 数域，因为任意两个整数的商(除数不为零)不一定是 整数. 而由全体有理数组成的集合Q、全体实数组成 的集合 R 和全体复数组成的集合 C 都是数域，分别 称为有理数域、实数域和复数域. 在本书中主要涉及 的数域是实数域 R，故若无特别说明，各章中所涉及 的数均为实数. 若是指任意数域，则用 F 表示.
为零矩阵， m n 零矩阵记为 Ｏm n ，在不会引 起混淆的情况下，也可记为 Ｏ．
(3) 方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
.
an1 an2 ann
A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵， 常简记为 A= ( aij )n .
(4) 对角矩阵 主对角线上的元不全为零，其余的元全都为 零的方阵称为对角矩阵，如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
1 .1 所 示 .
成绩 学生
课程
表 表 1 1 .. 1 1 数学
期 期 末 末 考 考 试 试 成 成 绩 绩 表 表语文英语 Nhomakorabea甲
含 0 和 1 . 如果 F 中的任意两个数(这两个数也可以 相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是 F 中的数
则 F 就称为一个数域.
根据上面的定义，全体整数组成的集合不是一个 数域，因为任意两个整数的商(除数不为零)不一定是 整数. 而由全体有理数组成的集合Q、全体实数组成 的集合 R 和全体复数组成的集合 C 都是数域，分别 称为有理数域、实数域和复数域. 在本书中主要涉及 的数域是实数域 R，故若无特别说明，各章中所涉及 的数均为实数. 若是指任意数域，则用 F 表示.
为零矩阵， m n 零矩阵记为 Ｏm n ，在不会引 起混淆的情况下，也可记为 Ｏ．
(3) 方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
.
an1 an2 ann
A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵， 常简记为 A= ( aij )n .
(4) 对角矩阵 主对角线上的元不全为零，其余的元全都为 零的方阵称为对角矩阵，如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
1 .1 所 示 .
成绩 学生
课程
表 表 1 1 .. 1 1 数学
期 期 末 末 考 考 试 试 成 成 绩 绩 表 表语文英语 Nhomakorabea甲
高等代数第二版课件§4[1]4_矩阵的逆资料
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,且
1
A
T 1
A
E,
1 T
.
证明：
A
T
T
A
1
T
AHale Waihona Puke AT E
T
A
1
A
A
1 T
.
(5) 若
A
可逆，则有
1
1
1 A
A
1
.
1
证明： A A
E A A
1
1 A
1
A
.
(6) 若A可逆，则 (7) 若A可逆，则
A
亦 可逆，且
1
使得
AA
1
1
A
A E,
则矩阵 A
称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
一、可逆矩阵的概念
定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得
AB＝BA＝E
则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.
注： ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作
② 可逆矩阵A的逆矩阵
A
1
1
A
1
.
也是可逆矩阵，且
A
1
*
2)
A a 1a 2
an ,
,n)
∴ 当 ai 且由于
a1 a2
0 ( i 1, 2 ,
时，A可逆.
1 a 1 1 a2 an
an .
1
1 1
E 1
A
1
BA
1 2 2 1
1 . 2
高等代数4.6 初等矩阵
4.1 矩阵概念的一些背景 4.2 矩阵的运算 4.3 矩阵乘积的行列式与秩 4.4 矩阵的逆 4.5 矩阵的分块 4.6 初等矩阵 4.7 分块乘法的初等变换及应用举例
主要内容
一、初等矩阵的定义 二、初等矩阵的性质 三、两个矩阵的等价关系 四、求逆矩阵的初等行变换法
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法.
1/ 66 4/33 5/ 66
731///212212.
例 5 用初等行变换法解矩阵方程
AX = B ,
其中
5 1 5
8 5
A 3 3 2 , B 3 9 .
解
1 2 1
0 0
5 1 5 8 5 (A| B) 3 3 2 3 9
在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化 简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可 以进一步化简. 为了方便，我们引入：
三、两个矩阵的等价关系
1. 定义
定义 14 矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以
由 A 经过一系列初等变换得到. 记为 A ~ B .
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt 使
A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt .
(1)
n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准 形为单位矩阵；反过来显然也是对的. 由 (1) 即得
定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是
主要内容
一、初等矩阵的定义 二、初等矩阵的性质 三、两个矩阵的等价关系 四、求逆矩阵的初等行变换法
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法.
1/ 66 4/33 5/ 66
731///212212.
例 5 用初等行变换法解矩阵方程
AX = B ,
其中
5 1 5
8 5
A 3 3 2 , B 3 9 .
解
1 2 1
0 0
5 1 5 8 5 (A| B) 3 3 2 3 9
在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化 简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可 以进一步化简. 为了方便，我们引入：
三、两个矩阵的等价关系
1. 定义
定义 14 矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以
由 A 经过一系列初等变换得到. 记为 A ~ B .
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt 使
A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt .
(1)
n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准 形为单位矩阵；反过来显然也是对的. 由 (1) 即得
定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是
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矩阵等价的有关结论
1) 定理5 任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
0 1 0 0 0 0 0 0 0 Er 0 0 0 0 0
1 0 0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
三、利用初等变换求逆阵
原理: 当 A 0时，由 A P1 P2 Pl，有
Pl 1 Pl 1 P11 A E , 及 1 Pl 1 Pl 1 P11 A E 1 Pl 1 Pl 1 P11 E A1 , 1
Pl 1 Pl 1 P11 A Pl 1 Pl 1 P11 E 1 1
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
1、 对调两行或两列
E A 1
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
2 3 2 1 , 求 A 1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价 存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ.
由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss , Qnn , 使
E 0 PAQ r ，其中 r R( A) ． 0 0
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
1 1 k 第i行 P ( i , j ( k )) 第j行 1 1
(倍数加)
初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P ( i , j )1 P ( i , j ),
1 P ( i ( k )) P ( i ( )), k
1 i A j m
k j j m
1
另两种情形同理可证.
具体的左右乘与初等行列变换的关系如下.
P ( i , j ) A : 对换 A 的 i , j 两行； AP ( i , j ): 对换 A 的 i , j 两列． P ( i ( k )) A ：用非零数 k乘 A 的第 i 列； AP ( i ( k )) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
1 r1 2r3 0 r2 5r3 0 1 r2 2） （ 01 A r3 1） （ 0
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 ( ri k ), 得 初等矩阵
1 1 P ( i ( k )) k 1 1
பைடு நூலகம்第i 行
(非零乘)
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
A P ( i , j( k )) A ： 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
AP ( i , j( k )) ：A 的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的． 注： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等．
2) 矩阵A、B等价
存在初等矩阵 P1 , P2 , , Ps , Q1 , Q2 , , Qt , 使
B P1 P2 Ps AQ1Q2 Qt .
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E.
A与单位矩阵E等价.
4) n 级方阵A可逆
定理6
A能表成一些初等矩阵的积, 即 A Q1Q2 Qt .
1
P ( i , j ( k ))1 P ( i , j ( k )).
2. 引理：
设A是m n矩 阵， 对 施 行一 次初 等行 变换 ， A 相 当于 在 的 左边 乘一 个相 应的 阶 初等 矩阵 ； A m 对A施 行一 次初 等列 变换 ， 当于 在 的 右边 相 A 乘 一个 相应 的 阶 初等 矩阵 。 n
对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri r j )，得初等方阵
1 1 0 1 1 P (i , j ) 1 1 0 1 1
第i 行
第 j 行
(交换)
2、以数 k 0 乘某行或某列
证明： 具体验证即可
设A按行分块，对 施行倍加变换，将 的第j行 A A k倍加到第 行上，即 i
1 i k j ri kr j j m 1 1 i i 1 k P i , j(k ) A j 1 1 m
1 2 3 1 0 0 r r r2 2r1 1 2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
r1 r2
r3 r2
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 0 0 1 3 1 1 3 3 23 1 1 2 0 0 1 0 0 1 1 03 0 12 1 2 r 2） 2 （ 6 5 （ r3 1） 1 1 3 2 2 5 5 3 . 2 12 1 1 3