2019湘教版数学选修2-2当堂检测：4-3-1利用导数研究函数的单调性 含解析
高中湘教版数学选修2-2当堂检测：4-3-3三次函数的性质：单调区间和极值 Word版含解析
4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3) 答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4，∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0，故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是 ( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，时，y ′＞0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．(2012·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为 ( )A.B. C. D.答案 A 解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值(1)极值是部分区间内的函数的最值，而最值是相对整个区间内的最大或最小值．(2)求最值的步骤：①求出函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(4)可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．。
数学选修2-2配套课件：4-3-1利用导数研究函数的单调性
规律方法 关于利用导数证明函数单调性的 问题：
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的 研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减) 函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递 减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.
跟踪演练1 证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数．
解 (1)f′(x)＝6x2＋6x－36， 由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2； 由f′(x)＜0解得－3<x<2. 故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 减区间是(－3,2)． (2)f′(x)＝cos x－1.因为0＜x＜π， 所以cos x－1＜0恒成立， 故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)．
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝
2x3－16 x2
≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)
＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．
规律方法 已知函数的单调性，求函数解析
式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成
a x
(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈
[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围． 解 f′(x)＝2x－xa2＝2x3x－2 a.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即2x3x－2 a≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x2>0，
∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
(2)f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)． 由f′(x)＞0得x＜－13或x＞1； 由f′(x)＜0得－13＜x＜1， 故函数f(x)的单调递增区间为 －∞，－13 ，(1，＋∞)，单调递 减区间为－13，1.
2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值含解析
(－3，
x
－3
－1 (－1,0) 0
(0,1)
1
(1,2) 2
－1)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
极大
极小
极大
f(x) －60
－5
值4
值3
值4
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60； 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6 ＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于 0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数． 故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12；x＝1 时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.
求函数最值的 4 个步骤
[注意] 求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
2．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 x＝1 处的切线为 l：3x－y＋1＝0，
2 若 x＝ 时，y＝f(x)有极值．
3
(1)求 a，b，c 的值；
(2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
2 －16a＋b
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－7a＋b
极小值 b
－16a＋b
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值， 所以 f(0)＝b＝－29. 又 f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，故 f(2)>f(－1)． 所以当 x＝2 时，f(x)取得最大值． 即－16a－29＝3，a＝－2. 综上所述，所求 a，b 的值为Error!或Error!
湘教版数学选修2-2分层训练：4-3-1利用导数研究函数的单调性 Word版含解析
4.3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单调性一、基础达标1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y＝12x2－ln x的单调减区间是()A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)答案 A解析∵y＝12x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－1x，令y′<0，即x－1x<0，解得：0<x<1或x<－1.又∵x>0，∴0<x<1，故选A.3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是() A．增函数B．减函数C．常函数D．既不是增函数也不是减函数答案 A解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的 Δ＝4(a 2－3b )＜0，所以f ′(x )＞0恒成立，故f (x )是增函数． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x答案 B解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1 (x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数．故选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3)6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________． 答案 (－∞，－1)解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )＜0得x ＜－1或12＜x ＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．解f′(x)＝3x2＋a.∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，令f′(x)＞0，则3x2－75＞0，解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．二、能力提升8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()答案 A解析由f(x)与f′(x)关系可选A.9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有() A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0， ∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．10．(2013·大纲版)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2x 3－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，则h (x )为减函数，所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，所以a ≥3.11．求下列函数的单调区间： (1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x ， 由y ′＞0，得x ＞1；由y ′＜0，得0＜x ＜1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增； 当y ′＜0，即－1＜x ＜－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6. ∴⎩⎨⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎨⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＞0， 得x ＜1－2或x ＞1＋2； 令f ′(x )＜0，得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)＞0，即3mx2－6mx＞0，当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m＜0时，解得0＜x＜2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m＜0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).。
2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章章末小结含解析
1．导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度．2．函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．3．导数与函数的极值、最值(1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．(2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x ＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．4．定积分与微积分基本定理利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．[例1]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为 k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16.整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)， 则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1. 解得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)，于是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．1．(天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1， 又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 令x ＝0，得y ＝1. 答案：12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).[例2] (全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x . 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减．(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0 的解集． (2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．3．证明：不等式ln x >2(x －1)x ＋1，其中x >1.证明：设f (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1(x >1)， 则f ′(x )＝1x －4(x ＋1)2.∵x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(1，＋∞)内为单调增函数． 又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0， 即ln x －2(x －1)x ＋1>0，∴ln x >2(x －1)x ＋1.4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0,1)． (2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数， 则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立． 令φ(x )＝2x －2x 2， 则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x 2－4x <0，∴φ(x )＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数． ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).[例3] 已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值； 当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 且0＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， x ＞－a 时，f ′(x )＞0.∴x ＝－a 时，f (x )取极小值也是最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立． 设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ，由h ′(x )＝0及0＜x ≤e ，得x ＝22. 当0＜x ＜22时，h ′(x )＞0，当22＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时， a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln22－12，＋∞.一般地，若已知函数f (x )在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．5．(北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 6．设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解：∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，f (0)＝8c ＜f (1)， ∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2恒成立， ∴9＋8c <c 2，即c <－1或c >9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).[例4] 已知函数f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．[解] (1)f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，由f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 当－2<x <0或x >1时，f ′(x )>0； 当x <－2或0<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减．(2)f (x )－g (x )＝x 2ex －1－x 3＝x 2(ex －1－x )．因为对任意实数x 总有x 2≥0， 所以设h (x )＝e x －1－x .则h ′(x )＝e x －1－1，由h ′(x )＝0，得x ＝1，当x <1时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减， 因此当x <1时，h (x )>h (1)＝0.当x >1时，h ′(x )>0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增， 因此当x >1时，h (x )>h (1)＝0. 当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0， 故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．7．已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：当x ＞1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．解：(1)原题即为存在x >0使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1， 令g (x )＝－ln x ＋x －1， 则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0. 故a 的取值范围是[0，＋∞)． (2)证明：原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0(x ＞1，a ≥0)． 令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1＞0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0成立， 即12x 2＋ax －a >x ln x ＋12成立．[例5] 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园P Q CN ，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．[解] 以M 为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系， 则D (4,2)．设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点D 在抛物线上， ∴22＝8p . 解得p ＝12.∴抛物线方程为：y 2＝x (0≤x ≤4)． 设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点， 则|P Q |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. ∴矩形游乐园面积为S ＝|P Q |×|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . 求导得：S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0， 得3y 2＋4y －4＝0，解得y ＝23或y ＝－2(舍)．当y ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，S ′>0，函数为增函数； 当y ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，S ′<0，函数为减函数． ∴当y ＝23时，S 有最大值．得|P Q |＝2＋y ＝2＋23＝83，|PN |＝4－y 2＝4－⎝⎛⎭⎫232＝329.∴游乐园的最大面积为S max ＝83×329＝25627(km 2)．(1)解决实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；(2)在实际问题中，f ′(x )＝0常常仅有一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．8．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x .若每吨商品售价为ln x x 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式； (2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝⎩⎨⎧1 000ln x －⎝⎛⎭⎫12x 2－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000x，x ∈(80，100].(2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－(x －50)(x ＋20)x， 由L ′(x )≥0，得20≤x ≤50；由L ′(x )≤0，得50≤x ≤80， ∴L (x )在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减， ∴当x ＝50时，L (x )max ＝1 000ln 50－250； 当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000x单调递增， ∴L (x )max ＝1 000ln 100 －2 000.∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0， ∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元.[例6] 求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线y ＝cos x 在x ＝－3π4到x ＝5π4之间围成的图形的面积．[解] 如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤－3π4，5π4上的图象， 它们共产生三个交点，分别为⎝⎛⎭⎫－3π4，－22，⎝⎛⎭⎫π4，22，⎝⎛⎭⎫5π4，－22. 在⎝⎛⎭⎫－3π4，π4上，cos x >sin x ，在⎝⎛⎭⎫π4，5π4上，sin x >cos x . ∴面积S ＝⎠⎛－3π4π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x＝2⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x .取F (x )＝－(sin x ＋cos x )，∴S ＝2⎣⎡⎦⎤F ⎝⎛⎭⎫5π4－F ⎝⎛⎭⎫π4＝4 2.不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．9．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝⎛⎭⎫12，0，求过点P 的切线l 与C 围成的图形的面积． 解：设切点A (x 0，y 0)， 则y ′＝6x 20－6x 0－2，切线l ：y －[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝(6x 20－6x 0－2)(x －x 0)过P ⎝⎛⎭⎫12，0，∴－[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝[6x 20－6x 0－2]·⎣⎡⎦⎤12－x 0. 即x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0. ∴x 0＝0，y 0＝1，A (0,1)．∴切线l 的方程为y －1＝－2(x －0)． ∴2x ＋y －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝1－2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2，∴B ⎝⎛⎭⎫32，－2.∴S ＝⎠⎜⎛32(3x 2－2x 3)d x ＝2732.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 解析：∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′ ＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′ ＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故选A. 答案：A2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ， ∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1e .答案：C3．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析：∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x，当0＜x ≤1时，f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减． 答案：A4．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．不存在解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1， 于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1， 解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)． 答案：A5.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是()解析：由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.答案：D6．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12解析：由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0得x ＝1，且x ∈(0,1)时f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时f ′(x )＞0， ∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 答案：B7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 C.32D. 3解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分⎠⎛－π3π3cos x d x ，取F (x )＝sin x ，则F ′(x )＝cos x .∴⎠⎛－π3π3cos x d x ＝F ⎝⎛⎭⎫π3－F ⎝⎛⎭⎫－π3＝ 3. 答案：D8．设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2 019π)，则函数f (x )的各极小值之和为( ) A ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e 2πB ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e πC ．－1－e 2 020π1－e 2πD ．－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π解析：∵f ′(x )＝2e x sin x ，∴当x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z)时，f (x )取极小值， 其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π(k ∈Z)，又0≤x ≤2 019π，∴f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e 2 018π＝－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π.答案：D9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是()解析：∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x )＜0，当x ＜－2时，xf ′(x )＞0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )＞0，当－2＜x ＜0时，xf ′(x )＜0.答案：C10．函数f (x )＝⎠⎛0xt (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值，也无最小值解析：函数f (x )＝13x 3－2x 2，所以f ′(x )＝x 2－4x ，所以f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，进而可得f (x )在[－1,5]上既有最大值又有最小值．答案：B11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)． 答案：B12．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤0，e 28 C.⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤0，e 24 解析：根据题意，函数y ＝ax 2与函数y ＝e x 的图象在(0，＋∞)上有公共点，令ax 2＝e x，得a ＝e x x2.设f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4，由f ′(x )＝0，得x ＝2，当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 2在区间(0,2)上是减函数，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx2在区间(2，＋∞)上是增函数，所以当x ＝2时， 函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)． 又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]14．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)， ∴三角形面积为S △＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12 log 2e.答案：12log 2e15．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 解析：设曲线上一点的横坐标为x 0(x 0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 216．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫－13＝527，f (2)＝2，f (1)＝f (－1)＝－1， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2. 答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x ＝－2(舍去)或x ＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x .取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝f (x )．∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c . ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1,2]时，则f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝1处取得极值，证明：对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b .令f ′(x )＝0，由Δ>0得1－12b >0，即b <112.∴b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，可以计算得到f (x )max ＝2＋c ， 所以2＋c <c 2，解得c >2或c <－1.即c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． (3)可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－32＋c .∴对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2＋c －⎝⎛⎭⎫－32＋c ＝72. 20．(本小题满分12分)已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x . (1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围． 解：(1)由f (x )≤g (x )恒成立得 c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x )max .令F (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x (x ∈[－3,3])， ∴F ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12. 又∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－1,2]，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当x ∈[－3，－1)和(2,3]，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 又∵F (2)＝20，F (－3)＝45. ∴F (x )max ＝F (－3)＝45，∴c ≥45.即实数c 的取值范围为[45，＋∞)． (2)∵x 1∈[－3,3]， ∴f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c .∵g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，∴g ′(x )＝6x 2＋8x －40. ∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－3,2]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减； x ∈(2,3]时，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 又∵x 2∈[－3,3]， ∴g (x 2)min ＝g (2)＝－48. 又∵f (x 1)≤g (x 2)，∴147－c ≤－48，即c ≥195.∴f (x 1)max ≤g (x 2)min 成立时，c 的取值范围为[195，＋∞)．21．(本小题满分12分)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6＜x ＜11)，年销量为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6＜x ＜11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6,9)时，y ′＞0， 当x ∈(9,11)时，y ′＜0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4， ∴f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点， ∴－43<k <283.4 3，28 3.∴实数k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－。
湘教版数学选修2-2当堂检测：4-3-1利用导数研究函数的单调性 Word版含解析
4.3 导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 答案 A解析 ∵x ∈(0,6)时，f ′(x )＝1＋1x ＞0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数的图象可知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．a＝1C．(－∞，1] D．(0,1)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1. 4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．答案(2，＋∞)(－∞，2)解析y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．。
高中数学 第4章 导数及其应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性课件 湘教版选修2-2
1．函数的导数与单调性的关系 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导． 如果恒有 f′(x)>0，则函数 f(x)在(a，b)内为增加的； 如果恒有 f′(x)<0，则函数 f(x)在(a，b)内为减少的； 如果恒有 f′(x)＝0，则函数 f(x)在(a，b)内为常数函数． 若 f(x)在(a，b)内 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)，则函数 f(x)在(a，b)内仍 是增加的(或减少的)． 2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数 的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间． 3．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点 外，还要注意在定义区间内的不连续点及不可导点．
令 f′(x)<0， 解得13<x<1. 因此 f(x)的单调递减区间是13，1. (2)函数的定义域为(0，＋∞)， 其导数为 f′(x)＝2－1x， 令 f′(x)＝2－1x>0，解得 x>12； 令 f′(x)＝2－1x<0，
解得 0<x<12， 因此12，＋∞为该函数的单调递增区间，0，12为该函数的单调 递减区间．
(2)f′(x)＝3x2－a.
①当 a≤0 时，f′(x)≥0，无减区间，不满足条件．
②当 a>0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝± 33a；
当－
3a 3 <x<
33a时，f′(x)<0.
因此 f(x)在－
33a，
2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章4.2导数的运算含解析
4．2导数的运算[读教材·填要点] 1．求导公式(1)几个幂函数的导数：(2)基本初等函数的导数公式：2．求导法则(1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f (x )＋g (x ))′＝f ′(x )＋g ′(x )， (f (x )－g (x ))′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)(f (x )g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎝⎛⎭⎫1f (x )′＝－f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (5)⎝⎛⎭⎫g (x )f (x )′＝f (x )g ′(x )－g (x )f ′(x )(f (x ))2(f (x )≠0)； (6)若y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y x ′＝y u ′·u x ′.[小问题·大思维]1．下面的计算过程正确吗？⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22. 提示：不正确．因为sin π4＝22是一个常数，而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0. 若函数f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝22.2．若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ (1)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； (2)⎣⎡⎦⎤a f (x )′＝－af ′(x )[f (x )]2(a 为常数)． 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确． 3．函数y ＝ln(2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝ln(2x ＋1)是由函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋1复合而成的， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝1u ·(2x ＋1)′＝2u ＝22x ＋1.求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x －1x 2；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. [自主解答] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝3 44x.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫1e x； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1e x ′＝⎝⎛⎭⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫110x ′＝⎝⎛⎭⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝x sin x －2cos x ； (5)y ＝e 3x ；(6)y ＝5log 2(2x ＋1)．[自主解答] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x .(2)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x . (5)函数y ＝e 3x 可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝3x 的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(3x )′＝3e u ＝3e 3x .(6)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．(3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程．2．求下列函数的导数：(1)y ＝2x cos x －3x log 2x ；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝e x ＋1e x －1；(4)y ＝(x －1)2x ；(5)y ＝1(1＋3x )4；(6)y ＝x ·e －x . 解：(1)y ′＝(2x cos x －3x log 2x )′＝(2x )′cos x ＋2x (cos x )′－3[x ′log 2x ＋x (log 2x )′] ＝2x ln 2cos x －2x sin x －3(log 2x ＋x ·1x ln 2)＝2x ln 2cos x －2x sin x －3log 2x －3ln 2. (2)法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)·3 ＝18x 2－8x ＋9.法二：∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.(4)法一：y ′＝[(x －1)2]′x －(x －1)2·x ′x 2＝(x 2－2x ＋1)′x －(x －1)2x 2＝(2x －2)x －(x －1)2x 2＝1－1x2.法二：∵y ＝x 2－2x ＋1x ＝x －2＋1x ，∴y ′＝1－1x2.(5)函数y ＝1(1＋3x )4＝(1＋3x )－4可以看作函数y ＝t －4和t ＝1＋3x 的复合函数，根据复合函数求导法则可得y x ′＝y t ′·t x ′＝(t －4)′·(1＋3x )′＝(－4t －5)·3＝－12(1＋3x )－5.(6)函数y ＝e－x可以看作函数y ＝e u 和u ＝－x 的复合函数，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－x )′＝－e u ＝－e －x ， 所以y ′＝(x e －x )′＝x ′e －x ＋x (e －x )′＝e －x ＋x (－e －x )＝(1－x )e －x .“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．[自主解答] 烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)． ∵h ′(t )＝－9.8t ＋14.7，∴h ′(2)＝－4.9.即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降． 如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下落，直到落地．解决此类问题，应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义，建立变量之间的表达式是关键．3．某圆柱形容器的底面半径为1 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速度放出，求液面高度的瞬时变化率．解：设液体放出t s 后的液面高度为h m ， 则由题意得π·12·h ＝π－0.01t ， 化简得h ＝1－0.01πt ， ∴液面高度的瞬时变化率为 h ′＝⎝⎛⎭⎫1－0.01πt ′ ＝－0.01π(m/s)．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解] 法一：设直线l ：x －y ＋m ＝0(m ≠－2)与抛物线y ＝x 2相切， 显然直线l 与直线x －y －2＝0平行．依题意知，l 与直线x －y －2＝0间的距离就是要求的最短距离，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y ＝x 2，得x 2－x －m ＝0. 由Δ＝1＋4m ＝0，得m ＝－14，∴l 的方程为x －y －14＝0.两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－2＋142＝728.∴抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.法二：依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ， ∴2x 0＝1，∴x 0＝12.∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.切点到直线x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 答案：A2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：∵f ′(x )＝1＋1x ，∴f ′(1)＝2. 答案：B3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3； (x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 答案：B4．若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________. 解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24. 答案：1－ln 245．(全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y ′|x ＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝06．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)，设两曲线的交点为P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ln x 0，12x 0＝ax 0， 解得a ＝e2，x 0＝e 2，所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)． 切线的斜率为 k ＝f ′(e 2)＝12e，所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.一、选择题1．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，则f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝ln 33. 答案：C2．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：由题意知，汽车的速度函数为v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，则v ′(t )＝12t －g ， 故当t ＝2 s 时，汽车的加速度是v ′(2)＝12×2－10＝14 m/s 2. 答案：A3．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 解析：因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1， 即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1， 所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4.答案：C 4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， 把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B 二、填空题5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.解析：∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(2)＝－14.又∵g ′(x )＝m ，∴g ′(2)＝m .由g ′(2)＝1f ′(2)，得m ＝－4.答案：－46．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝1＋1x ，所以f ′(1)＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：18．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， 又y ′＝a e ax ，∴a ＝2. 答案：2 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝(2 018－8x )8；(2)y ＝2x sin x；(3)y ＝x 1＋x 2；(4)y ＝cos x ·sin 3x . 解：(1)y ′＝8(2 018－8x )7·(2 018－8x )′ ＝－64(2 018－8x )7＝64(8x －2 018)7. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫2x sin x ′＝(2x )′·sin x －2x·(sin x )′(sin x )2＝2x ln 2·sin x －2x ·cos xsin 2x . (3)y ′＝1＋x 2＋x [(1＋x 2) 12]′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12 (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x ·12·(1＋x 2) -12·2x＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.(4)y ′＝(cos x )′·sin 3x ＋cos x ·(sin 3x )′ ＝－sin x ·sin 3x ＋cos x ·cos 3x ·(3x )′ ＝－sin x ·sin 3x ＋3cos x ·cos 3x .10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
湘教版数学选修2-2分层训练4-3-3三次函数的性质单调区间和极值 Word版含解析
三次函数的性质：单调区间和极值一、基础达标．函数＝()在[，]上( ) ．极大值一定比极小值大．极大值一定是最大值．最大值一定是极大值．最大值一定大于极小值答案解析由函数的最值与极值的概念可知，＝()在[，]上的最大值一定大于极小值．．函数＝－，∈[]的最大值是( ) ．答案解析′＝－－·－＝－(－)，令′＝，∴＝，∴()＝，()＝，()＝－＝，∴()为最大值，故选.．函数＝)的最大值为( ) ．－．．答案解析令′＝(′－·′)＝)＝.(＞)解得＝.当>时，′<；当＜<时，′＞.＝()＝，在定义域(，＋∞)内只有一个极值，极大值所以＝.．函数＝在定义域内( ) ．有最大值，无最小值．无最大值，有最小值－．有最大值，最小值－．无最值答案解析令′＝＝＝，得＝±.当变化时，′，随的变化如下表：. ．已知函数()＝－＋有零点，则的取值范围是．答案(－∞，－]解析函数()＝－＋有零点，即方程－＋＝有实根，即函数()＝－，＝有交点，而′()＝－，易知函数()＝－在(－∞，)上递增，在( ，＋∞)上递减，因而()＝－的值域为(－∞，－]，所以要使函数()＝－，＝有交点，只需≤－即可．．函数＝＋在区间上的最大值是．答案＋解析′＝－＝，＝，比较，，处的函数值，得＝＋.．已知函数()＝－＋在[－]上有最小值－，求的值及()在[－]上的最大值．解′()＝－＝(－)，令′()＝，得＝或＝，当变化时，′()，()的变化情况如下表：＝－＋＝－，得＝.当＝时，()的最大值为.二、能力提升．设直线＝与函数()＝，()＝的图象分别交于点，，则当达到最小时的值为。
(湘教版)高中数学选修2-2(全册)课时同步练习单元检测题汇总
(湘教版)高中数学选修2 -2 (全册)课时同步练习+单元检测题汇总第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索- -求自由落体的瞬时速度1．一质点的运动方程是s＝4－2t2 ,那么在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为() A．2d＋4 B．－2d＋4C．2d－4 D．－2d－4答案 D解析v(1 ,d)＝4－2(1＋d)2－4＋2×12d＝－4d＋2d2d＝－2d－4.2．物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．以下表达正确的选项是() A．在时间段[t0 ,t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度B．在t1＝1.1 ,t2＝1.01 ,t3＝1.001 ,t4＝1.000 1 ,这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等C．在时间段[t0－d ,t0]与[t0 ,t0＋d](d>0)内当d趋于0时,两时间段的平均速度相等D．以上三种说法都不正确答案 C解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．3．s＝12gt2 ,从3秒到3.1秒的平均速度v＝________.答案 3.05g解析v＝12g·3.12－12g·323.1－3＝3.05g.4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2 ,那么在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．答案8＋2d解析v(2 ,d)＝s(2＋d)－s(2)d＝8＋2d.1．平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值,即用时间除位移得到,而瞬时速度是物体在某一时间点的速度,当时间段越来越小的过程中,平均速度就越来越接近一个数值,这个数值就是瞬时速度,可以说,瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的 "飞跃〞．2．求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为s＝f(t) ,那么求物体在t时刻瞬时速度的步骤为：(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f(t＋d)－f(t)d,其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量；(2)对上式化简,并令d趋于0 ,得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度. 4．1.2 问题探索- -求作抛物线的切线1．一物体作匀速圆周运动,其运动到圆周A处时() A．运动方向指向圆心OB．运动方向所在直线与OA垂直C．速度与在圆周其他点处相同D．不确定答案 B2．假设函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy) ,那么Δy d等于()A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d 答案 C解析Δyd＝2(1＋d)2－1－(2×12－1)d＝4＋2d.3．过曲线y＝2x上两点(0,1) ,(1,2)的割线的斜率为________．答案 1解析由平均变化率的几何意义知,k＝2－11－0＝1.4．函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1 ,－2)及邻近一点(－1＋d ,－2＋Δy) ,那么Δyd＝________.解析Δy＝f(－1＋d)－f(－1)＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2)＝－d2＋3d.∴Δyd＝－d2＋3dd＝－d＋3.答案－d＋31．求曲线y＝f(x)上一点(x0 ,y0)处切线斜率的步骤(1)作差求函数值增量Δy ,即f(x0＋d)－f(x0)．(2)化简Δyd,用x0与d表示化简结果．(3)令d→0 ,求Δyd的极限即所求切线的斜率．2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线 "在点(u ,v)处的切线方程〞和 "过点(u ,v)的切线方程〞．前者以点(u,v)为切点,后者点可能在曲线上,也可能不在曲线上,即使在曲线上,也不一定是切点．3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势,刻画了曲线在这一区间升降的程度,而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态,它实现了由割线向切线质的飞跃．4．1.3 导数的概念和几何意义1．f (x )在x ＝x 0处可导 ,那么lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关 ,而与h 无关C ．仅与h 有关 ,而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B2．假设f (x 0)－f (x 0－d )＝2x 0d ＋d 2 ,以下选项正确的选项是( )A ．f ′(x )＝2B ．f ′(x )＝2x 0C ．f ′(x 0)＝2x 0D ．f ′(x 0)＝d ＋2x 0 答案 C3．函数y ＝f (x )图象如图 ,那么f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 A4．在曲线f (x )＝x 2＋x 上取一点P (1,2) ,那么在区间[1,1＋d ]上的平均变化率为________ ,在点P (1,2)处的导数f ′(1)＝________. 答案 3＋d 31．求导数的步骤主要有三步：(1)求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋d )－f (x 0)； (2)求平均变化率：Δy d ＝f (x 0＋d )－f (x 0)d ；(3)取极限：f ′(x 0)＝Δy d .2．导数的几何意义(1)对于函数y ＝f (x )在x 0处的导数是表示在x 0处函数值变化快慢的一个量 ,其几何意义为在x ＝x 0处的切线的斜率．(2)f ′(x )是指随x 变化 ,过曲线上的点(x ,f (x ))的切线斜率与自变量x 之间的函数.4．2.3 导数的运算法那么1．以下结论不正确的选项是( )A ．假设y ＝3 ,那么y ′＝0B ．假设f (x )＝3x ＋1 ,那么f ′(1)＝3C ．假设y ＝－x ＋x ,那么y ′＝－12x＋1D ．假设y ＝sin x ＋cos x ,那么y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法那么求解．D 项 ,∵y ＝sin x ＋cos x ,∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是 ( )A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1 ,－1)处的切线方程为() A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2答案 A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2,∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2 ,∴切线方程为y＋1＝2(x＋1) ,即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线,那么实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0 ,y0) ,∵y′＝1x,∴12＝1x0,∴x0＝2 ,∴y0＝ln 2 ,ln 2＝12×2＋b ,∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为根本函数的和、差、积、商,再利用运算法那么求导数．在求导过程中,要仔细分析出函数解析式的结构特征,根据导数运算法那么,联系根本函数的导数公式．对于不具备导数运算法那么结构形式的要进行适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式,再求导数,进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.4．2导数的运算4．2.1几个幂函数的导数4．2.2一些初等函数的导数表1．f(x)＝x2 ,那么f′(3)＝() A．0 B．2x C．6 D．9答案 C解析∵f(x)＝x2 ,∴f′(x)＝2x ,∴f′(3)＝6.2．函数f (x )＝x ,那么f ′(3)等于( )A.36B ．0 C.12x D.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ,∴f ′(3)＝123＝36.3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,那么直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4 πB ．[0 ,π)C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4 3π4D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ,∵k l ＝cos x ,∴－1≤k l ≤1 , ∴αl ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4 π.4．曲线y ＝e x 在点(2 ,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ,∴k ＝e 2 ,∴曲线在点(2 ,e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2) , 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时 ,y ＝－e 2 ,当y ＝0时 ,x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比拟简捷的求出函数的导数 ,其关键是牢记和运用好导数公式．解题时 ,能认真观察函数的结构特征 ,积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x , 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数 ,一是注意函数的变化 ,二是注意符号的变化．4.3 导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1e 上是减函数 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e 6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1e 上是增函数 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e 6上是减函数 答案 A解析 ∵x ∈(0,6)时 ,f ′(x )＝1＋1x ＞0 ,∴函数在(0,6)上单调递增． 2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数 ,假设y ＝f ′(x )的图象如以下图 ,那么函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数的图象可知 ,当x ＜0时 ,f ′(x )＞0 ,即函数f (x )为增函数；当0＜x ＜2时 ,f ′(x )＜0 ,即f (x )为减函数；当x ＞2时 ,f ′(x )＞0 ,即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．3．假设函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减 ,那么实数a 的取值范围是( )A ．[1 ,＋∞)B ．a ＝1C ．(－∞ ,1]D ．(0,1) 答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1 ,又f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立,∴f′(0)≤0 ,且f′(1)≤0 ,∴a≥1. 4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________ ,减区间为________．答案(2 ,＋∞)(－∞ ,2)解析y′＝2x－4 ,令y′＞0 ,得x＞2；令y′＜0 ,得x＜2 ,所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2 ,＋∞) ,减区间为(－∞ ,2)．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝|||对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．4.3.2函数的极大值和极小值1．以下关于函数的极值的说法正确的选项是() A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．假设f(x)在(a ,b)内有极值,那么f(x)在(a ,b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R ,导函数f′(x)的图象如以下图,那么函数f(x)() A．无极大值点,有四个极小值点B．有三个极大值点,两个极小值点C．有两个极大值点,两个极小值点D．有四个极大值点,无极小值点答案 C解析 在x ＝x 0的两侧 ,f ′(x )的符号由正变负 ,那么f (x 0)是极大值；f ′(x )的符号由负变正 ,那么f (x 0)是极小值 ,由图象易知有两个极大值点 ,两个极小值点．3．f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值 ,那么a 的取值范围为( )A ．－1＜a ＜2B ．－3＜a ＜6C ．a ＜－1或a ＞2D ．a ＜－3或a ＞6 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6) , 因为f (x )既有极大值又有极小值 , 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0 , 解得a ＞6或a ＜－3.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .假设f (x )的两个极值点为x 1 ,x 2 ,且x 1x 2＝1 ,那么实数a 的值为________． 答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0 ,从而x 1x 2＝2a18＝1 ,所以a ＝9.1．在极值的定义中 ,取得极值的点称为极值点 ,极值点指的是自变量的值 ,极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值 ,解决一些方程的解和图象的交点问题.4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7 ,在x ∈[3,5]上的最|||大值和最|||小值分别是( )A ．f (2) ,f (3)B ．f (3) ,f (5)C ．f (2) ,f (5)D ．f (5) ,f (3) 答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4 , ∴当x ∈[3,5]时 ,f ′(x )<0 , 故f (x )在[3,5]上单调递减 ,故f (x )的最|||大值和最|||小值分别是f (3) ,f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( )A ．有最|||大值 ,但无最|||小值B ．有最|||大值 ,也有最|||小值C ．无最|||大值 ,但有最|||小值D ．既无最|||大值 ,也无最|||小值 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1) ,当x ∈(－1,1)时 ,f ′(x )＜0 ,所以f (x ) 在(－1,1)上是单调递减函数 ,无最|||大值和最|||小值 ,应选D. 3．函数y ＝x －sin x ,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π的最|||大值是 ( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1 答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ,当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π ,时 ,y ′＞0 ,那么函数在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π上为增函数 ,所以y 的最|||大值为y max ＝π－sin π＝π ,应选C. 4．(2021·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上的值域为 ( )A. B.C.D.答案 A解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2 ,f ′(x )＞0.∴f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上是单调增函数 , ∴f (x )min ＝f (0)＝0 ,f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最|||大值为10 ,那么其最|||小值为________． 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76 ,f (3)＝k －27 , f (－1)＝k ＋5 ,f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10 ,得k ＝5 , ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 1．求函数y ＝f (x )在[a ,b ]上的最|||值(1)极值是局部区间内的函数的最|||值 ,而最|||值是相对整个区间内的最|||大或最|||小值．(2)求最|||值的步骤：①求出函数y ＝f (x )在(a ,b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a ) ,f (b )比拟 ,其中最|||大的一个是最|||大值 ,最|||小的一个是最|||小值． 2．极值与最|||值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质 ,是在局部对函数值的比拟；函数的最|||值是表示函数在一个区间上的情况 ,是对函数在整个区间上的函数值的比拟．(2)函数的极值不一定是最|||值 ,需要将极值和区间端点的函数值进行比拟 ,或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a ,b )内只有一个极值 ,那么极大值就是最|||大值 ,极小值就是最|||小值．(4)可导函数在极值点的导数为零 ,但是导数为零的点不一定是极值点．例如 ,函数y ＝x 3在x ＝0处导数为零 ,但x ＝0不是极值点．4.4生活中的优化问题举例1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5) ,那么,原油温度的瞬时变化率的最|||小值是()A．8 B.203C．－1 D．－8答案 C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5) ,所以当x＝1时,原油温度的瞬时变化率取得最|||小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ,那么其外表积最|||小时底面边长为()A.3VB.32VC.34V D．23V答案 C解析设底面边长为x ,那么外表积S＝32x2＋43x V(x>0)．∴S′＝3x2(x3－4V)．令S′＝0 ,得x＝34V.3.在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最|||大?最|||大容积是多少?解设箱底边长为x cm ,那么箱高h＝60－x2cm ,箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－32x2令V′(x)＝60x－32x2＝0 ,解得x＝0(舍去)或x＝40 ,并求得V(40)＝16 000.由题意知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16 000是最|||大值．答 当x ＝40 cm 时 ,箱子容积最|||大 ,最|||大容积是16 000 cm 3.4．统计说明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．甲、乙两地相距100千米 ,当汽车以多大的速度匀速行驶时 ,从甲地到乙地耗油最|||少 ?最|||少为多少升 ?解 当速度为x 千米/时时 ,汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时 ,设耗油量为h (x )升 ,依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120) ,h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令h ′(x )＝0 ,得x ＝80.因为x ∈(0,80)时 ,h ′(x )<0 ,h (x )是减函数； x ∈(80,120)时 ,h ′(x )>0 ,h (x )是增函数 ,所以当x ＝80时 ,h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值 ,所以它是最|||小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时 ,从甲地到乙地耗油最|||少 ,最|||少为11.25升．1．解有关函数最|||大值、最|||小值的实际问题 ,在分析问题中的各个变量之间的关系的根底上 ,列出符合题意的函数关系式 ,并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时 ,有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0 ,如果函数在该点取得极大(小)值 ,极值就是函数的最|||大(小)值 ,因此在求有关实际问题的最|||值时 ,一般不考虑端点．4．5.3 定积分的概念1．定积分⎠⎛011d x 的值等于( )A ．0B ．1 C.12D ．2答案 B2．⎠⎛13f (x )d x ＝56 ,那么 ( )A.⎠⎛12f (x )d x ＝28B.⎠⎛23f (x )d x ＝28C.⎠⎛122f (x )d x ＝56 D.⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝56 答案 D3．如以下图 ,⎠⎛a b f 1(x )d x ＝M ,⎠⎛ab f 2(x )d x ＝N ,那么阴影局部的面积为( )A ．M ＋NB ．MC ．ND ．M －N 答案 D4．不用计算 ,根据图形 ,用不等号连接以下各式( )(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x (图1)；(2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x (图2)； (3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x (图3)． 答案 (1)> (2)< (3)< 1．定积分可以表示图形的面积从几何上看 ,如果在区间[a ,b ]上 ,函数f (x )连续且恒有f (x )≥0 ,那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 就表示由直线x ＝a ,x ＝b (a ≠b ) ,y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积 ,这就是定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义．2．定积分表示图形面积的代数和被积函数是正的 ,定积分的值也为正 ,如果被积函数是负的 ,函数曲线在x 轴之下 ,定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时 ,定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和．3．此外 ,定积分还有更多的实际意义 ,比方在物理学中 ,可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．4．定积分是一个数值(极限值) ,它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性) ,另外定积分⎠⎛a b f (x )d x 与积分区间[a ,b ]息息相关 ,不同的积分区间 ,所得的值也不同 ,例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛03(x 2＋1)d x 的值就不同.4．5.4 微积分根本定理1．(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x , ＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．假设⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2 ,那么a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D 解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x ＝x 2|a 1＋ ln x 错误!＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2 ,解得a ＝2. 3.⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.答案43解析 ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33⎪⎪⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43.4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π0≤x ≤π2cos xπ2<x ≤π ,计算⎠⎛0πf (x )d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx ,那么F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ,那么F 2′(x )＝cos x . 1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数 ,要先化简 ,再求积分．(2)假设被积函数是分段函数 ,依据定积分 "对区间的可加性〞 ,分段积分再求和．(3)对于含有绝|||对值符号的被积函数 ,要去掉绝|||对值符号才能积分． 2．由于定积分的值可取正值 ,也可取负值 ,还可以取0 ,而面积是正值 ,因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和 ,而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．4.5 定积分与微积分根本定理4．5.1 曲边梯形的面积4．5.2 计算变力所做的功1．由直线x ＝1 ,x ＝2 ,y ＝0和y ＝x ＋1围成的图形的面积为( )A.32B ．2 C.52D ．3 答案 C解析 S ＝12(2＋3)×1＝52.2．抛物线y ＝x 2与直线x ＝0 ,x ＝1 ,y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A.14B.13C.12D ．1 答案 B3.∑6k ＝1(1k －1k ＋1)＝________.答案 674．和式1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p ＞0)当n →∞时 ,能无限趋近于一个常数A ,此时 ,A的几何意义是表示由y ＝f (x )和x ＝0 ,x ＝1以及x 轴围成的图形面积 ,根据和式 ,可以确定f (x )＝________. 答案 x p解析 因为1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝1n ·[(1n )p ＋(2n )p ＋…＋(n n )p ] ,所以当n →∞时 ,和式表示函数f (x )＝x p 和x ＝0 ,x ＝1 ,以及x 轴围成的曲边梯形面积 ,填x p . 1．曲边梯形的面积要求一个曲边梯形的面积 ,不能用已有的面积公式计算 ,为了计算曲边梯形的面积 ,可以将它分割成许多个小曲边梯形 ,每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替 ,对这些近似值求和 ,就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时 ,这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． 2．变力所做的功变力做功的计算和曲边梯形面积的计算所用的方法是一样的 ,仍然是 "化整为零 ,以直代曲〞的策略．虽然它们的意义不同 ,但都可以归纳为求一个特定形式和的极限．通过这两个背景问题 ,能使我们更好地了解定积分的概念．5．3 复数的四那么运算1．假设z －3－2i ＝4＋i ,那么z 等于() A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1－3i答案 B解析z＝(4＋i)－(3＋2i)＝1－3i.2．假设复数z1＝1＋i ,z2＝3－i ,那么z1·z2＝() A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i答案 A解析z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ,应选A.3．5－(3＋2i)＝________.答案2－2i4．复数11－i的虚部是________．答案1 2解析∵11－i＝1＋i(1－i)(1＋i)＝1＋i2＝12＋12i.∴虚部为12.1．复数代数形式的加、减法运算法那么设z1＝a＋b i ,z2＝c＋d i(a ,b ,c ,d∈R) ,那么有z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.即两个复数相加(减) ,就是把实部与实部、虚部与虚局部别相加(减)．2．复数代数形式的乘法运算法那么(1)复数乘法的法那么复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成－1 ,并且把实部、虚局部别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意的z1 ,z2 ,z3∈C ,有z1·z2＝z2·z1(交换律) ,(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律) ,z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(乘法对加法的分配律)．3．复数代数形式的除法运算法那么在无理式的除法中 ,利用有理化因式可以进行无理式的除法运算．类似地 ,在复数的除法运算中 ,也存在所谓 "分母实数化〞问题．将商a ＋b ic ＋d i的分子、分母同乘以c －d i ,最|||后结果写成实部、虚局部开的形式：a ＋b ic ＋d i＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(－ad ＋bc )i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋－ad ＋bcc 2＋d 2i 即可.5．4 复数的几何表示1．在复平面内 ,复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ,∴实部小于0 ,虚部大于0 ,故复数z 对应的点位于第二象限．2．当0<m <1时 ,z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析∵0<m <1 ,∴m ＋1>0 ,－1<m －1<0 ,故对应的点在第四象限内． 3．在复平面内 ,O 为原点 ,向量OA→对应的复数为－1＋2i ,假设点A 关于直线 y ＝－x 的对称点为B ,那么向量OB→对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 答案 B解析∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1) ,∴向量OB →对应的复数为－2＋i.4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上 ,那么实数m 的值为________． 答案 9解析∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上 , ∴m －3＝2m ,解之得m ＝9.1．复数的几何意义的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对．(2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1 ,而不是i.(3)当a ＝0时 ,对任何b ≠0 ,a ＋b i ＝0＋b i ＝b i(a ,b ∈R )是纯虚数 ,所以纵轴上的点(0 ,b )(b ≠0)都表示纯虚数．(4)复数z ＝a ＋b i(a ,b ∈R )中的z ,书写时应小写 ,复平面内点Z (a ,b )中的Z ,书写时应大写． 2．共轭复数当两个复数的实部相等 ,虚部互为相反数时 ,这两个复数叫做共轭复数． 设复数z ＝a ＋b i(a ,b ∈R ) ,那么其共轭复数z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．5．1 解方程与数系的扩充5．2 复数的概念1．复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚局部别是2和3 ,那么实数a ,b 的值分别是( )A. 2 ,1B. 2 ,5 C ．±2 ,5 D ．±2 ,1 答案 C解析 令⎩⎨⎧a 2＝2－2＋b ＝3 ,得a ＝±2 ,b ＝5.2．以下复数中 ,满足方程x 2＋2＝0的是( )A ．±1B ．±iC ．±2iD ．±2i 答案 C3．以下命题正确的选项是() A．假设a∈R ,那么(a＋1)i是纯虚数B．假设a ,b∈R且a>b ,那么a＋i>b＋iC．假设(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数,那么实数x＝±1D．两个虚数不能比拟大小答案 D解析对于复数a＋b i(a ,b∈R) ,当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中,假设a＝－1 ,那么(a＋1)i不是纯虚数,故A错误；在B中,两个虚数不能比拟大小,故B错误；在C中,假设x＝－1 ,不成立,故C错误；D正确．4．在以下几个命题中,正确命题的个数为()①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个,即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．A．3个B．4个C．5个D．6个答案 B解析命题①②③⑥正确,④⑤⑦错误．1．对于复数z＝a＋b i(a ,b∈R) ,可以限制a ,b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等,要先确定两个复数的实、虚部,再利用两个复数相等的条件进行判断.第6章推理与证明6．1合情推理和演绎推理6．1.1 归纳1．关于归纳推理以下说法正确的选项是() A．归纳推理是一般到一般的推理B．归纳推理是一般到特殊的推理C．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论不一定正确答案 D2．由2＋13＋1＞23,1＋35＋3＞15,3＋0.57＋0.5＞37,运用归纳推理,可猜测出的合理结论是()A.c＋ba＋b>caB.1＋1 n＋1>1nC．假设a ,b ,c∈(0 ,＋∞) ,那么b＋ca＋c ＞b aD．假设a＞b＞0 ,c＞0 ,那么b＋ca＋c ＞b a答案 D3．数列2,5,11,20 ,x,47 ,…中的x等于________．答案324．观察以下不等式：|2＋3|≤|2|＋|3| ,|(－3)＋5|≤|－3|＋|5| ,|－2－3|≤|－2|＋|－3| ,|4＋4|≤|4|＋|4| ,归纳出一般结论为______________________(x ,y∈R)．答案|x＋y|≤|x|＋|y|解析观察易发现：两个实数和的绝|||对值不大于这两个数的绝|||对值的和,即|x＋y|≤|x|＋|y|.1．归纳推理的前提和结论不具有必然性联系,前提正确,其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．2．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理,因此,由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论不一定真实,因此它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜测可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.6．1.2类比1．下面几种推理是类比推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形的内角和为180° ,四边形的内角和为360° ,五边形的内角和为540° ,由此推断出凸n边形内角和是(n－2)×180°.A．①② B．①③ C．① D．②④答案 C2．下面使用类比推理恰当的是() A． "假设a·3＝b·3 ,那么a＝b〞类推出 "假设a·0＝b·0 ,那么a＝b〞B． "(a＋b)c＝ac＋bc〞类推出 "a＋bc＝ac＋bc〞C． "(a＋b)c＝ac＋bc〞类推出 "a＋bc＝ac＋bc(c≠0)〞D． "(ab)n＝a n b n〞类推出 "(a＋b)n＝a n＋b n〞答案 C解析由类比推理的特点可知．3．扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S＝底×高2,可推知扇形的面积公式S扇形等于________．答案lr 24．由三角形的性质通过类比推理 ,得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点 ,且这个点是四面体内切球的球心 ,那么原来三角形的性质为________．答案 三角形三条角平分线交于一点 ,且这个点是三角形内切圆的圆心 解析 二面角类比角 ,平分面类比平分线 ,故原来三角形的性质为三角形三条角平分线交于一点 ,且这个点是三角形内切圆的圆心．1．类比推理是在两个(或两类)不同的对象之间进行比照 ,找出假设干相同或相似点之后 ,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式 ,类比推理所引出的结论并不一定真实．2．类比推理的特点：①类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的事物的属性 ,它以旧的认识作根底 ,类比出新的结果．②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．③类比的结果是猜测性的 ,尽管不一定可靠 ,但它却具有发现的功能.6.1.3 演绎推理6．1.4 合情推理与演绎推理的关系1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行 ,同旁内角互补 ,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角 ,那么∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人 ,2班有54人 ,3班有52人 ,由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质 ,推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中 ,a 1＝1 ,a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2) ,由此归纳出{a n }的通项公式 答案 A解析 A 是演绎推理 ,B 、D 是归纳推理 ,C 是类比推理． 2． "因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提) ,又y ＝x 是对数函数(小前提) ,所以y ＝x 是增函数(结论)．〞以下说法正确的选项是( )A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析y＝log a x是增函数错误．故大前提错．3．把 "函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线〞恢复成三段论,那么大前提：________；小前提：________；结论：________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4. "如图,在△ABC中,AC>BC,CD是AB边上的高,求证：∠ACD>BCD〞．证明在△ABC中,因为CD⊥AB ,AC>BC ,①所以AD>BD ,②于是∠ACD>∠BCD.③那么在上面证明的过程中错误的选项是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD,得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是 "在同一三角形中,大边对大角〞,小前提是"AD>BD〞,而AD与BD不在同一三角形中,故③错误．1．演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确,通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理的一般模式是三段论,证题过程中常省略三段论的大前提．6．2直接证明与间接证明6．2.1直接证明：分析法与综合法1．y>x>0 ,且x＋y＝1 ,那么()A．x<x＋y2<y<2xy B．2xy<x<x＋y2<yC．x<x＋y2<2xy<y D．x<2xy<x＋y2<y答案 D解析∵y>x>0 ,且x＋y＝1 ,∴设y＝34,x＝14,那么x＋y2＝12,2xy＝38,∴x<2xy<x＋y2<y ,应选D.2．欲证2－3<6－7成立,只需证() A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质,a>b>0时,才有a2>b2 ,∴只需证：2＋7<6＋ 3 ,只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．求证：1log519＋2log319＋3log219<2.证明因为1log b a＝log a b ,所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.因为log19360<log19361＝2 ,所以1log519＋2log319＋3log219<2.4．1－tan α2＋tan α＝1 ,求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α) , 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3 ,只需证1－tan α1＋tan α＝3 ,只需证1－tan α＝3(1＋tan α) ,只需证tan α＝－12 , ∵1－tan α2＋tan α＝1 ,∴1－tan α＝2＋tan α , 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立 , ∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发 ,由因导果；分析法是从结论出发 ,执果索因． 2．分析法证题时 ,一定要恰当地运用 "要证〞、 "只需证〞、 "即证〞等词语． 3．在实际证题过程中 ,分析法与综合法是统一运用的 ,把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于 ,在构建命题的证明路径时 ,有时分析法居主导地位 ,综合法伴随着它；有时却刚刚相反 ,是综合法居主导地位 ,而分析法伴随着它.6.2.2 间接证明：反证法1．证明 "在△ABC 中至|||多有一个直角或钝角〞 ,第|一步应假设( )A ．三角形中至|||少有一个直角或钝角B ．三角形中至|||少有两个直角或钝角C ．三角形中没有直角或钝角D ．三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B2．用反证法证明 "三角形中至|||少有一个内角不小于60°〞 ,应先假设这个三角形中( )A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°。
4.3.1利用导数研究函数的单调性课件-湘教版数学选修2-2
例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间.
解: 函数定义域为R f’(x) =ex-1
当ex-1>0时,解得 x>0. 则函数的单增区间为(0,+∞).
当ex-1<0时,解得x<0. 即函数的单减区间为(-∞,0).
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区 间;
课题：利用导数研究函数的单调性
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如
果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时，
(1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间
上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即
正.而当x=2时其切线
x
斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性产
生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
那么如何求出下列函数的单调性呢?
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间. 注意：定义域优先，两（或多）部分单 调区间的书写。
知识应用 1．应用导数求函数的单调区间 基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为
___增___函数(填“增”或“减”)。
理解训练：
求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.3.1 利用导数研究函数的单调性 Word版含解析
4．3导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性[读教材·填要点]函数在区间(a ，b )上的单调性与其导函数的正负有如下关系：[小问题·大思维]1．在区间(a ，b )内，若f ′(x )>0，则f (x )在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立．比如y ＝x 3在R 上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f ′(x )>0是y ＝f (x )在某个区间上递增的充分不必要条件．2．右图为导函数y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)； 单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a，讨论函数f (x )的单调性．[自主解答] 由题设知a ≠0.f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎫x －2a ， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.当a >0时，若x ∈(－∞，0)，则f ′(x )>0. ∴f (x )在区间(－∞，0)上为增函数． 若x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，则f ′(x )<0， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，2a 上为减函数．若x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，则f ′(x )>0， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上是增函数． 当a <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，则f ′(x )<0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 上是减函数． 若x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，0，则f ′(x )>0. ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫2a ，0上为增函数． 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )<0. ∴f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数．利用导数判断或证明函数单调性的思路1．求证：函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． 证明：由f (x )＝e x －x －1， 得f ′(x )＝e x －1.当x ∈(0，＋∞)时，e x －1>0， 即f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)内为增函数． 当x ∈(－∞，0)时，e x －1<0， 即f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，0)内是减函数．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝3x 2－ln x ；(2)f (x )＝－13ax 3＋x 2＋1(a ≤0)．[自主解答] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －1x ＝6x 2－1x ，令f ′(x )>0，即6x 2－1x >0， ∵x >0，∴6x 2－1>0，∴x >66.令f ′(x )<0， 即6x 2－1x <0，∵x >0，∴6x 2－1<0，∴0<x <66.∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫66，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，66. (2)①当a ＝0时，f (x )＝x 2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a <0时，f ′(x )＝－ax 2＋2x ，f ′(x )>0⇔(－ax ＋2)x >0⇔⎝⎛⎭⎫x －2a x >0⇔x >0或x <2a ；f ′(x )<0⇔2a <x <0. 故f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2a ，0.求函数的单调区间的“两个”方法 方法一：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．2．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x ，又 f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． [自主解答] (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时， 1x －ax －2<0有解， 即a >1x2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立．即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1. 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1. 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)． 所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .∵x ∈[1,4]，∴h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0.即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞.若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增”，如何求a 的取值范围？ 解：∵h (x )在[1,4]上单调递增，∴x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≥0恒成立．即a ≤1x 2－2x恒成立． 设G (x )＝1x 2－2x，∴只需a ≤G (x )min .又G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，∵x ∈[1,4]，∴1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1. ∴G (x )min ＝－1，∴a ≤－1.经验证：a ＝－1时，h (x )在[1,4]上单调递增，综上所述，a 的取值范围为(－∞，－1]．已知f (x )在区间D 上单调，求f (x )中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围．特别地，若f ′(x )为二次函数，可以由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立求出参数的取值范围．3．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎝⎛⎭⎫12，34 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ， 由题意当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：C证明：方程x －12sin x ＝0有唯一解．[巧思] 方程f (x )＝0的解即曲线y ＝f (x )与x 轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决．[妙解] 设f (x )＝x －12sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，所以x ＝0是方程x －12sin x ＝0的一个解．因为f ′(x )＝1－12cos x ，且x ∈R 时，f ′(x )>0总成立， 所以函数f (x )在R 上单调递增．所以曲线f (x )＝x －12sin x 与x 轴只有一个交点．所以方程x －12sin x ＝0有唯一解．1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0)D ．(0,2)解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 令f ′(x )<0，得0<x <2.∴函数f (x )的单调递减区间为(0,2)． 答案：D2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 解析：函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，令y ′≤0，可得0＜x ≤1. 答案：B3．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)解析：f ′(x )＝3x 2＋a ， 令3x 2＋a ≥0，∴a ≥－3x 2， ∵x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3. 答案：B4．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数． 答案：(－∞，＋∞)5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0. ∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.答案：(－1，＋∞)6．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1在区间[－4,4]上的单调性．解：∵f(x)＝x3－3x2－9x＋1，∴f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)>0，结合－4≤x≤4，得－4≤x<－1或3<x≤4.令f′(x)<0，结合－4≤x≤4，得－1<x<3.∴函数f(x)在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．一、选择题1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．答案：A2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝12x＋1x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．答案：A3．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的图象可能为()解析：由导函数y ＝f ′(x )的图象，可知当－1<x <3时，f ′(x )<0， 所以y ＝f (x )在(－1,3)上单调递减； 当x >3或x <－1时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增．综上，函数y ＝f (x )的图象的大致形状如A 中图所示，所以选A. 答案：A4．f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，且f (－1)＝0，则f (x )g (x )<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：令F (x )＝f (x )g (x )，则F (x )为奇函数， 且当x <0时，F ′(x )<0， 即F (x )在(－∞，0)上为减函数． 又∵f (－1)＝0，即F (－1)＝0.∴F (x )＝f (x )g (x )<0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：A 二、填空题5．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则实数b 的取值范围是________． 解析：y ′＝2x －2b ≥0在(2,8)内恒成立，即b ≤x 在(2,8)内恒成立，∴b ≤2. 答案：(－∞，2]6．已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．解析：f ′(x )≤0的解集，即为函数y ＝f (x )的单调减区间， ∴f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－43，1∪⎣⎡⎦⎤113，6.答案：⎣⎡⎦⎤－43，1∪⎣⎡⎦⎤113，6 7．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调增区间是________，减区间是________．解析：f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时， f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x ) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)8．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立 ，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0，所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞)三、解答题9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．10．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2>0.解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a (1－x )x(x >0)， 当a >0时，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 ，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )＝－3，不是单调函数，无单调区间．(2)证明：当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3，所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)．即f (x )>－2，所以f (x )＋2>0.。
湘教版高中数学选修2-2同步精练：4.3.1 利用导数研究函数的单调 含解析
1．f(x）＝5x2－2x的单调增区间为( )．A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!2．函数f（x）＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为（）．A．(－1，0) B．(－1，11）C．(0,11) D．(－1,33)3．函数y＝f(x）的导数的图象如图所示，下列判断正确的是( )．A．函数y＝f(x）在区间错误!上单调递增B．函数y＝f（x）在区间错误!上单调递减C．函数y＝f(x）在区间(4，5)上单调递增D．函数y＝f（x）在区间（－2,2)上单调递减4．若函数y＝f（x）的导函数在区间a，b]上是增函数，则函数．．．y＝f(x）在区间a，b]上的图象可能是（)．5．设函数f（x)在R上的导函数为f′（x)，且f（x）＋xf′（x）＞x2.下面的不等式在R上恒成立的是（）．A．f(x）＞0 B．f(x）＜0C．f（x）＞x D．f(x)＜x6．函数y＝x3＋10的单调递增区间为__________．7．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f(2－x)且当x∈（－∞,1）时,（x－1)f′(x)＜0.设a＝f（0)，b＝f错误!，c＝f(3），则a，b,c的大小关系是______．8．设函数f(x)＝1x ln x（x＞0且x≠1），则函数f(x)的单调增区间是______，单调减区间是______．9．已知函数f(x）＝（a＋1）ln x＋ax2＋1。
(1)讨论函数f（x)的单调性；(2）设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f（x2）｜≥4｜x1－x2|。
10．已知函数f（x)＝ln x－ax（a∈R），求函数f（x)的单调区间．参考答案1．A f′（x）＝10x－2.令f′(x)＞0,得x＞错误!，故选A。
2．B f′(x）＝3x2－30x－33＝3（x－11）(x＋1)，当x＜－1或x＞11时,f′(x)＞0，f（x)是增函数；当－1＜x＜11时，f′(x)＜0，f（x)是减函数．3．C 由图可知在区间(－2,2)和(4，5)上，f′(x）＞0，故函数y＝f(x)在区间（－2,2）和（4，5)上单调递增；在区间（－3，－2）和(2,4)上，f′（x）＜0,故函数f(x）在区间（－3，－2)和(2，4)上单调递减，故选C。
2019-2020学年湘教版数学选修2-2新素养同步练习：4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值应用案巩固提升 Wo
[A 基础达标]1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0，1]上的最大值为( ) A.239 B.229C.329D.38解析：选A.令f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0，1]，所以f (x )max ＝f (33)＝239.2．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－19 解析：选C.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝±1.又f (－3)＝－27＋9＋1＝－17，f (0)＝1，f (－1)＝－1＋3＋1＝3，1∉[－3，0]， 所以最大值为3，最小值为－17.3．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3 解析：选C.f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)． 因为在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0， 右侧f ′(x )>0，所以x ＝－1时取极小值．4．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：选A.因为f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，所以f (x )在(－2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数， 所以当x ＝0时，f (0)＝m 最大，所以m ＝3.因为f (－2)＝－37，f (2)＝－5，所以最小值为－37.5．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜12解析：选B.因为f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，所以x ＝±a ，又因为x ∈(0，1)，所以0<a <1，即0＜a ＜1，故选B.6．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)， 在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1，5)上f ′(x )<0， 所以f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98. 答案：10 －987.若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1，2]，则b ＝________，c ＝________． 解析：因为y ′＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知[－1，2]是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，所以－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－68．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19. 答案：－199．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求： (1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1，3]上的最大值和最小值．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，f (x )在x ＝2处有极值， 所以f ′(2)＝0，即3×4＋4a ＝0， 所以a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：从上表可知f (x )在区间[－1，3]上的最大值是2，最小值是－2. 10．指出函数f (x )＝x 3－12x 的单调区间和极值点，并求其极值． 解：函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x ＝－2是函数的极大值点，极大值为f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；x ＝2是函数的极小值点，极小值为f (2)＝23－12×2＝－16.[B 能力提升]11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－1，b ＝5 D ．以上都不正确解析：选B.f ′(x )＝3x 2－2ax －b ， 因为在x ＝1处f (x )有极值， 所以f ′(1)＝0，即3－2a －b ＝0.①又f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b －9＝0.② 由①②得a 2＋a －12＝0，所以a ＝3或a ＝－4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.12．设函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上单调递减，则k 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ， 因为函数f (x )在(0，4)上单调递减，所以f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0对x ∈(0，4)恒成立． 所以kx ＋2(k －1)≤0对x ∈(0，4)恒成立，即k ≤2x ＋2对x ∈(0，4)恒成立．而2x ＋2∈⎝⎛⎭⎫13，1，所以k ≤13. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，13 13．已知a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值． 解：f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )． 若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减， 所以当x ＝0时，有最大值f (0)＝0. 若a >0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a . 因为x ∈[0，1]，则只考虑x ＝a 的情况．(1)若0<a <1，即0<a <1，则当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)(2)若a ≥1，即a ≥1时，则当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[0，1]上单调递增，当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝3a －1.综上可知，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0；当0<a <1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ；当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1.14．(选做题)设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－9x＋6，由题意可知当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－34，即m的最大值为－34.(2)由第一问得f′(x)＝3(x－1)(x－2)，所以当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a<2或a>52.。
高二数基础达标：4.3.1 利用导数研究函数的单调性(湘教选修2-2)[ 高考]
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4．3 导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性基础达标 (限时20分钟)1．已知y ＝f (x )，x ∈[0,1]，且f ′(x )>0，则下列关系式一定成立的是( )．A ．f (0)<0B ．f (1)>0C ．f (1)>f (0)D ．f (1)<f (0)解析 f ′(x )>0，说明f (x )在[0,1]上单调递增，故f (1)>f (0)，选C.答案 C2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是( )． A ．y ＝－3x 2＋3B ．y ＝ln |x |C ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x 答案 C3．函数f (x )＝x ln x 的单调递减区间是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e D ．(e ，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴由f ′(x )<0，即ln x ＋1<0得ln x <－1＝ln e －1，∴0<x <e －1.答案 C4．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析 f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜11，所以单调减区间为(－1,11)．答案 (－1,11)5．函数f (x )的导数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是______．答案 [－1,0]和[2，＋∞)6．求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3－x ；(2)y ＝e x －x ＋1.解 (1)f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)，令f ′(x )>0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞， 令f ′(x )<0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. ∴f (x )＝x 3－x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞；单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. (2)y ′＝e x －1，令y ′>0，即e x －1>0，则x ∈(0，＋∞)，令y ′<0，即e x －1<0，则x ∈(－∞，0)，∴y ＝e x －x ＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．综合提高 (限时25分钟)7．函数f (x )＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π) 解析 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，当x ∈(π，2π)时，f ′(x )>0.答案 B8．(2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数，∴m (－1)＝f (－1)－[2×(－1)＋4]＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}．即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．答案 B9．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为________．解析 y ′＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x 在R 上恒成立，又cos x ∈[－1,1]，∴a ≥1.答案 [1，＋∞)10．函数y ＝x ax －x 2(a >0)的单调增区间为________，单调减区间为_______．解析 函数的定义域为[0，a ]，y ′＝x (3a －4x )2ax －x2，由y ′>0结合0≤x ≤a ，得0<x <3a 4，由y ′<0结合x ∈[0，a ]得3a 4<x <a .∴y 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a . 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a 11．若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．解 f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )≥0即3ax 2－2x ＋1≥0在R 上恒成立．∴⎩⎨⎧3a >04－12a ≤0，∴a ≥13. ∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 12．(创新拓展)(2011·福建)已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b＋ax ln x ，f (e)＝2.①求b ；②求函数f (x )的单调区间．解 ①f (e)＝2，即－a e ＋b ＋a eln e ＝2，∴b ＝2.②由①知f (x )＝－ax ＋ax ln x ＋2，f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝－a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a ln x . 当a >0时，由f ′(x )>0知x >1，由f ′(x )<0知0<x <1；当a<0时，由f′(x)>0知0<x<1，由f′(x)<0知x>1.所以a>0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；a<0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)．。
高中湘教版数学选修2-2分层训练：4-1-3导数的概念和几何意义 Word版含解析
4．1.3 导数的概念和几何意义一、基础达标1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案 B2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定答案 B解析分别作出A、B两点的切线，由题图可知k B>k A，即f′(x B)>f′(x A)．3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为() A．4 B．16 C．8 D．2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x，∴f′(2)＝8.答案 C4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为() A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1答案 A解析分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________．答案33x－y＋1＝0解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝limd→0Δyd＝limd→0(3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，即3x－y＋1＝0.6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为____________．答案4x－y－5＝0解析∵f′(x)＝f(x＋d)－f(x)d＝(x＋d)2－1－(x2－1)d＝2xd＋d2d＝(2x＋d)＝2x.设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解∵f′(3)＝f(3＋d)－f(3)d＝(3＋d)3－33d＝(d2＋9d＋27)＝27，∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12×2×54＝54.二、能力提升8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为() A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5 D．y＝2x答案 A解析－(Δx＋1)3＋3(Δx＋1)2－(－13＋3×12)Δx＝－Δx2＋3.Δx→0时，－Δx2＋3→3.∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3. 所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.答案 3解析由已知切点在切线上．∴f(1)＝12×1＋2＝52.切线的斜率f′(1)＝12.∴f(1)＋f′(1)＝3.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.答案1 1解析∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴－b＋1＝0，b＝1.又f(0＋Δx)－f(0)Δx＝Δx2＋aΔx＋b－bΔx＝a＋Δx，∴f′(0)＝a＝1.11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．解 设切点为A (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋1.(x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx2Δx ＝Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 20.∴f ′(x 0)＝3x 20，切线的斜率为k ＝3x 20.点(1,2)在切线上，∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12. 当x 0＝1时，切线方程为3x －y －1＝0， 当x 0＝－12时，切线方程为3x －4y ＋5＝0.所以，所求切线方程为3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (52，6)的切线方程． 解 由已知得，Δyd ＝2x ＋d ， ∴当d →0时，2x ＋d →2x ， 即y ′＝2x ，设此切线过抛物线上的点(x 0，x 20)， 又因为此切线过点(52，6)和点(x 0，x 20)， 其斜率应满足x 20－6x 0－52＝2x 0， 由此x 0应满足x 20－5x 0＋6＝0.解得x 0＝2或3.即切线过抛物线y ＝x 2上的点(2,4)，(3,9)．所以切线方程分别为y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)． 化简得4x －y －4＝0,6x －y －9＝0， 此即是所求的切线方程． 三、探究与创新13．求垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程． 解 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x .故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.。
高中数学 4.3.1 利用导数研究函数的单调同步精练 湘教
高中数学 4.3.1 利用导数研究函数的单调同步精练 湘教版选修2-21．f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15 2．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为( )．A ．(－1,0)B ．(－1,11)C ．(0,11)D ．(－1,33)3．函数y ＝f (x )的导数的图象如图所示，下列判断正确的是( )．A ．函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12上单调递增 B ．函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3上单调递减 C ．函数y ＝f (x )在区间(4,5)上单调递增D ．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递减4．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间a ，b ]上的图象可能是( )．5．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且f (x )＋xf ′(x )＞x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )．A ．f (x )＞0B ．f (x )＜0C ．f (x )＞xD ．f (x )＜x6．函数y ＝x 3＋10的单调递增区间为__________．7．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ， b ，c 的大小关系是______． 8．设函数f (x )＝1x ln x(x ＞0且x ≠1)，则函数f (x )的单调增区间是______，单调减区间是______．9．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a ≤－2，证明：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.10．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．参考答案1．A f ′(x )＝10x －2.令f ′(x )＞0，得x ＞15，故选A. 2．B f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞11时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当－1＜x ＜11时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．3．C 由图可知在区间(－2,2)和(4,5)上，f ′(x )＞0，故函数y ＝f (x )在区间(－2,2)和(4,5)上单调递增；在区间(－3，－2)和(2,4)上，f ′(x )＜0，故函数f (x )在区间(－3，－2)和(2,4)上单调递减，故选C.4．A 因为函数y ＝f (x )的导函数．．．y ＝f ′(x )在区间a ，b ]上是增函数，所以在区间a ，b ]上各点处，曲线y ＝f (x )的切线的斜率k 是递增的，由图易知选A.5．A 设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )．由题意，f (x )＋xf ′(x )＞x 2≥0，∴g (x )＝xf (x )在R 上为增函数，且g (0)＝0.于是有x ＞0时，g (x )＝xf (x )＞0，∴f (x )＞0.当x ＜0时，g (x )＝xf (x )＜0，∴f (x )＞0.6．(－∞，＋∞)7．c ＜a ＜b 由题意知函数f (x )关于直线x ＝1对称．当x ＜1时，有(x －1)f ′(x )＜0，即f ′(x )＞0，∴函数f (x )在(－∞，1)上是增函数．∴c ＝f (3)＝f (2－3)＝f (－1)＜f (0)＝a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ，即c ＜a ＜b . 8．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(1，＋∞) f ′ (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ln x ′＝－(1＋ln x )x 2ln 2x . 令f ′(x )＞0，即－1＋ln x x 2ln 2x ＞0，得1＋ln x ＜0，即x ＜1e. 令f ′(x )＜0，即－1＋ln x x 2ln 2x ＜0，得1＋ln x ＞0，即x ＞1e. 又x ＞0且x ≠1，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(1，＋∞)． 9．(1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. 当a ≥0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．(2)证明：不妨假设x 1≥x 2，由于a ≤－2，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．所以|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2)－f (x 1)≥4x 1－4x 2， 即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1.令g (x )＝f (x )＋4x ，则g ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＋4＝2ax 2＋4x ＋a ＋1x .由于g ′(x )≤－4x 2＋4x －1x ＝－(2x －1)2x ≤0.从而g (x )在(0，＋∞)上单调递减，故g (x 1)≤g (x 2)，即f (x 1)＋4x 1≤f (x 2)＋4x 2，故对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.10．解：f (x )＝ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －a (x ＞0)．(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，即函数f (x )是增函数． 故函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．(2)当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a .当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＝1－axx ＞0；当x ＞1a 时，f ′(x )＝1－axx ＜0.故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞。
湘教版高中数学选修2-2《利用导数研究函数的单调性》导学案
4.3.1 利用导数研究函数的单调性典例剖析:题型一 求函数的单调区间例1.已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.题型二 已知函数的单调性，求参数的取值范围例 2.若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围.备选题例3：已知函数f （x ）=2ax －21x ,x ∈（0,1］，若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，求a 的取值范围.点击双基1.函数y=x+cosx 在（-∞，+∞）内是（ ）A.增函数B.减函数C.有增有减D.不能确定2.函数a x x x f -+=2)(3的单调减区间是（ ）A.(,2)-∞-B.),2(∞-C.)0,32(- D.以上都不对。
3.函数x e xx f -=)( ()1<<b a ,则（ ）A.)()(b f a f =B.)()(b f a f <C.)()(b f a f >D.)(),(b f a f 大小关系不能确定4.函数()52sin ((0,))f x x x x π=++∈的单调增区间是 .5.如果函数y=212x +lnx-ax 在定义域为增函数，则a 的取值范围是 .课外作业一．选择题，1.数x x x x f +--=23)(的单调减区间是（ ）A.(,1)-∞-B.),31(∞C.(,1)-∞-和),31(∞D.)31,1(-2.数x xx f sin )(=，则（ ）A.)(x f 在),0(π内是减函数B.)(x f 在),0(π内是增函数C.)(x f 在)2,2(ππ-内是减函数D.)(x f 在)2,2(ππ-内是增函数3.数()(1)x f x x e =-的单调递增区间是（ ）A.[0，＋∞）B. [2，＋∞）C.（－∞，2]D.（－∞，1]4.()f x '是f （x ）的导函数，()f x '的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（）A B C DA. B. C. D.5.下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是（ ）A.y=sinx+1,B.x xe y =C.x x y -=3D.x x y -+=)1ln(6.对于R 上可导的任意函数，若满足()()01/≥-x f x ，则必有（ ）A.()()()1220f f f <+B.()()()1220f f f >+C.()()()1220f f f ≥+D.()()()1220f f f ≤+7.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的（ ）A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C. ),3()3,(+∞--∞D. )3,3(-8.右图为是函数f(x)的导数图像，它是一条直线，若f(x) 图像过原点，则其顶点在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二．填空题9.如果函数f(x)=x+xa 在（2，∞）上是增函数，则a 的取值范围是 . 10.函数1032)(23+-=x x x f 的单调递减区间为 .11.函数f(x)=x 21-sinx,x ∈[]π2,0.则其单调递增区间为 . 三．解答题12.求函数3223121y x x x =+-+的单调区间.思悟小结1.f '（x ）>0⇒f （x ）为增函数（f '（x ）<0⇒f （x ）为减函数）.2.f （x ）是增函数⇒f '（x ）≥0（f （x ）为减函数⇒f '（x ）≤0）.。
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4.3 导数在研究函数中的应用
4．3.1 利用导数研究函数的单调性
1．函数f(x)＝x ＋ln x 在(0,6)上是
( )
A ．单调增函数
B ．单调减函数
C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，6上是减函数 答案 A
解析 ∵x ∈(0,6)时，f ′(x)＝1＋1x
＞0，∴函数在(0,6)上单调递增． 2．f ′(x)是函数y ＝f(x)的导函数，若y ＝f ′(x)的图象如图
所示，则函数y ＝f(x)的图象可能是
( )
答案 D
解析 由导函数的图象可知，当x ＜0时，f ′(x)＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x ＜2时，f ′(x)＜0，即f(x)为减函数；当x ＞2时，f ′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D 正确．
3．若函数f(x)＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围
是
( )
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
答案 A
解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．答案(2，＋∞) (－∞，2)
解析y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，
所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．。