浅谈函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系应用
函数奇偶性、周期性与图像对称性关系的探析及应用
因 为 奇 函 数 的 图像 关 于 原 点 对 称 ， 以对 条 件 “ 数 所 函 Ｙ＝ ） Ｒ 上 的 奇 函数 ” 作 适 当 的延 拓 ， 到 以下 问题 ： 是 可 得
②③ ｊ① 的探求 ： 欲证 函数 Ｙ＝厂 ） （ 是偶 函数 ， 只需证
一 ） ｆｘ ． ＝ （） 函数 ） 以 ２ 为 周期 的周期 函数 ， （） ￣ ａｘ． 是 。 则ｆｘ － ２ ＋ ）
同 样 ， 们 也 可 把 问 题 ３分 为 ｉ 个 条 件 ： 厂 ） 定 我 ① （ 是 义 在 Ｒ 上 的奇 函 数 ； ｆ ｘ ② （ ）的 图 像 关 于 直 线 ＝ｎ对 称 ； ③ 函数 ） 以 Ｔ ａ为一 个 周 期 的周 期 函数 ． 类 似 于 是 ：４ 用
上 述 问 题 的 探 究 方 法 ． 得 任 两个 条 件 组 合 推 得 第 三 个 条 可
的关 系 以及 一 些 常 规 变 形 处 理 方 法 作 一 下 探究 ．
对 称 点 为 Ｃ， Ｃ 的坐 标 为 （６—２ ＋勘， ，．（ ＝ （ａ 则 ２ ｎ ． 靳） ，２ 一 。 ， ‰） ． ２ ＝厂 ｂ～２ （ ａ＋‰）。 是 任 意 实 数 ，ｏ ＝ ） 周 期 函 ，‘ 像 上 任 取 一 点 Ａ（ ｙ）它 关 于 直 线 ＝ｎ的对 称 （） ‰，ｏ，
点 是 Ｂ， Ｂ 的 坐 标 为 （ ａ— ０ ， Ｂ 关 于 直 线 ＝６的 则 ２ Ｘ， 点
如 正 弦 函数 Ｙ＝ｓ 和 余 弦 函数 Ｙ＝ＣＳ ｉ ｎ Ｏ ，这 两个 函 数 既 具 有 奇 偶 性 ，它 们 的 图像 又 是 轴 对 称 图 形 和 中 心 对 称 图
的 系列 问题 产 生 呢 ？
问题 ３ 设 厂 是 Ｒ 上 的奇 函 数 ， 厂 的 图 像 关 于 （ ） 又 （） 直 线 ＝ｎ对 称 ， ： 数 ，＝厂 是 不 是 周 期 函数 ？ 是 ， 问 函 ， （ ） 若 写
函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》
备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用来描述函数在某种变换下的性质。
本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念和性质，并举例说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某个变换下具有不变性。
常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。
下面分别介绍这三种对称性：1. 关于x轴对称当一个函数的图像在x轴上下对称时，我们称之为关于x轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(x,-y)，那么这个函数就是关于x轴对称的。
例如，函数y = x^2就是关于x轴对称的。
当x取任意值时，对应的y值都是相等的，即对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(x,-y)。
2. 关于y轴对称当一个函数的图像在y轴左右对称时，我们称之为关于y轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,y)，那么这个函数就是关于y轴对称的。
例如，函数y = sin(x)就是关于y轴对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,y)。
3. 关于原点对称当一个函数的图像在原点对称时，我们称之为关于原点对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,-y)，那么这个函数就是关于原点对称的。
例如，函数y = x^3就是关于原点对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,-y)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在x轴上对称和y轴对称的性质。
具体来说，如果函数在关于y轴的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,y)相等，那么这个函数就是偶函数。
而如果函数在关于原点的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,-y)相等，那么这个函数就是奇函数。
例如，函数y = x^2是一个偶函数，因为对于任意的x，y = x^2和y = (-x)^2是相等的。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的一种重要工具，用来描述两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们通常会遇到一些特殊类型的函数，比如奇函数、偶函数以及周期函数。
本文将讨论函数的奇偶性与周期性，并探究它们在数学和实际应用中的作用。
一、奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数在自变量取相反数时所具有的性质。
具体来说，一个函数 f(x) 是奇函数，当且仅当对于任意的 x，有 f(-x) = -f(x)。
反之，若对于任意的 x 有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 是偶函数。
奇函数和偶函数的性质如下：1. 对于奇函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = -b。
2. 对于偶函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = b。
3. 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后与原图像重合。
4. 偶函数关于 y 轴对称，即图像关于 y 轴对称。
在实际应用中，奇函数和偶函数广泛存在。
例如，奇函数在描述电路中的交流信号的正负变化、对称图形的性质等方面有广泛的应用。
而偶函数则在描述偶对称的物理现象、对称图形的性质等方面发挥重要作用。
二、周期函数周期函数是指函数在自变量增加或减少一个周期后，函数值保持不变的函数。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数等三角函数。
周期函数的性质如下：1. 周期性：如果函数 f(x) 是周期为 T 的周期函数，那么对于任意的x 和正整数 k，都有 f(x + kT) = f(x)。
2. 周期的计算：对于三角函数，周期 T 可以通过函数的周期公式推导得出，例如正弦函数的周期为2π。
周期函数在科学和工程领域有广泛的应用，在描述物体振动、电磁波传播等现象时发挥重要作用。
周期函数的性质使得我们能够更好地理解和分析这些周期性的现象。
三、函数的奇偶性与周期性的关系奇函数和偶函数可以看作是周期函数的特殊形式。
事实上，任何一个周期函数都可以表示为奇函数和偶函数的和。
具体来说，如果一个函数 f(x) 是奇函数或偶函数，并且具有周期 T，那么它也是一个周期函数。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在数学中，我们经常对函数的性质进行研究，其中包括奇偶性和周期性。
本文将探讨函数的奇偶性与周期性，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、奇偶函数的定义与性质奇函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
换句话说，奇函数关于原点对称。
偶函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。
换句话说，偶函数关于y轴对称。
奇偶函数的性质：1. 若函数f(x)是偶函数，则f(0) = f(-0)，即函数在原点对称，图像关于y轴对称。
2. 若函数f(x)是奇函数，则f(0) = -f(-0)，即函数在原点对称，图像关于原点对称。
3. 若函数f(x)是偶函数，则可以推导出f(-x) = f(x)，即偶函数的性质在整个定义域内成立。
4. 若函数f(x)是奇函数，则可以推导出f(-x) = -f(x)，即奇函数的性质在整个定义域内成立。
二、周期函数的定义与性质周期函数定义：对于任意实数x，若存在正常数T，使得f(x+T) =f(x)，则称f(x)为周期函数。
换句话说，周期函数在自身的一个周期内，函数值具有相同的周期性重复。
周期函数的性质：1. 若函数f(x)是周期函数，则任意一个周期内的函数值都相同。
2. 若函数f(x)是周期函数，则其所有周期的长度都是T的整数倍。
3. 周期函数可以是正弦函数、余弦函数等传统函数，也可以是其他基于数学模型得出的函数。
三、奇偶函数与周期性的应用奇偶函数与周期函数在实际问题中具有广泛的应用，特别是在物理学和工程学领域。
以下是一些具体的应用案例：1. 电信号的表示在电子工程中，信号可以表示为奇函数或偶函数的组合。
根据信号的特性，我们可以通过分析奇偶性来判断信号的对称性和周期性，从而更好地进行信号处理和调整。
2. 物理振动奇函数和周期函数经常用来描述物体的振动情况。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在数学中，函数可以根据其性质进行分类，其中包括奇偶性和周期性。
本文将介绍函数的奇偶性与周期性，并探讨它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性描述的是函数图像关于原点的对称性。
具体来说，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = f(-x)，即函数的值对称，那么该函数被称为偶函数。
相反，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = -f(-x)，即函数的值关于原点对称，那么该函数被称为奇函数。
1. 偶函数的特点偶函数的特点在于其图像关于y轴对称。
举个例子，y = x^2就是一个典型的偶函数。
当x取正值时，x^2的值保持不变。
2. 奇函数的特点奇函数的特点在于其图像关于原点对称。
比如，y = x^3就是一个典型的奇函数。
当x取正值时，x^3的值和其相反数互为相反数。
函数的奇偶性在数学中有广泛的应用。
例如，在解方程时，可以通过判断方程中的函数是偶函数还是奇函数，来确定方程的解的性质。
奇函数的图像通过原点，因此只要找到正解即可，而偶函数的图像关于y轴对称，因此需要找到两个解。
二、函数的周期性函数的周期性描述的是函数图像在一个周期内的重复性。
具体来说，如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T) =f(x)，那么该函数被称为周期函数，T被称为函数的周期。
1. 周期函数的特点周期函数的特点在于其图像在一个周期内重复出现。
一个常见的周期函数是正弦函数sin(x)。
对于任意的x，在一个周期2π内，sin(x)的值会不断重复。
周期函数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，在分析电流、振动等周期性现象时，可以使用周期函数来描述这些现象的规律。
函数的奇偶性与周期性是数学中重要的性质，通过研究函数的奇偶性与周期性，可以更深入地理解函数的行为规律。
同时，掌握函数的奇偶性与周期性也有助于解决实际问题，提高数学建模的能力。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
函数的对称性与奇偶性是研究函数特性和性质的重要方面。
在本文中，将介绍函数的对称性和奇偶性的概念、性质以及它们在数学和实际应用中的意义。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像关于某个轴或点的对称性质。
常见的函数对称性有水平对称、垂直对称和中心对称。
1. 水平对称当一个函数的图像关于y轴对称时，就称该函数具有水平对称性。
具体地说，对于函数f(x)，当f(x) = f(-x)对于定义域内任意的x成立时，函数具有水平对称性。
水平对称性常见于偶函数，如y = x^2。
2. 垂直对称当一个函数的图像关于x轴对称时，就称该函数具有垂直对称性。
具体地说，对于函数f(x)，当f(x) = -f(-x)对于定义域内任意的x成立时，函数具有垂直对称性。
垂直对称性常见于奇函数，如y = x^3。
3. 中心对称当一个函数的图像关于某一点对称时，就称该函数具有中心对称性。
具体地说，对于函数f(x)，当f(x) = f(a - x)对于定义域内任意的x成立时，函数具有中心对称性。
中心对称性的一个例子是椭圆的方程。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内满足的特定性质。
奇函数和偶函数是最常见的两种函数奇偶性。
1. 奇函数如果对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
奇函数具有关于原点对称的性质，如y = x^3。
2. 偶函数如果对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
偶函数具有关于y轴对称的性质，如y = x^2。
三、对称性与奇偶性的意义函数的对称性和奇偶性在数学和实际应用中具有重要的意义。
1. 函数性质研究通过分析函数的对称性和奇偶性，可以得到函数的一些重要性质。
如奇函数的积分结果是偶函数，偶函数的积分结果是奇函数。
这些性质对于解决求积分、微分方程等数学问题具有指导作用。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的各种关系。
在数学中，函数的奇偶性和周期性是两个常见的性质，它们描述了函数图像的对称性和重复性。
本文将深入探讨函数的奇偶性和周期性，并说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标轴上的对称性质。
具体而言，对于定义域内的任意 x 值，如果函数 f(-x) = f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是偶函数；如果函数 f(-x) = -f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是奇函数。
以数学中常见的函数 y = x^2 和 y = x^3 为例，前者是偶函数，后者是奇函数。
通过将 x 值取负，我们可以验证它们的对称性。
对于偶函数 y = x^2，有 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)；对于奇函数 y = x^3，有 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
函数的奇偶性不仅仅是一种几何上的对称性，还可以对函数的性质进行推理和证明。
例如，奇函数与奇函数相加、相减或与偶函数相乘的结果仍然是奇函数；而偶函数与偶函数相加、相减或与奇函数相乘的结果仍然是偶函数。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在特定区间内的重复性质。
具体而言，如果存在一个正数 T，对于定义域内的所有 x，有 f(x + T) = f(x) 成立，那么函数就是周期函数，而 T 则是函数的周期。
常见的周期函数包括三角函数（如正弦函数和余弦函数）、指数函数和对数函数等。
例如，正弦函数具有周期2π，即sin(x + 2π) = sin(x)；指数函数 e^x 则是自变量连续取整数时的周期函数，即 e^(x + 1) = e^x。
周期函数在数学和物理中有广泛的应用。
例如，三角函数可以用来描述物体的振动、电流的变化和天体运动等。
周期函数的性质使得我们能够准确地描述和预测这些现象。
结语函数的奇偶性和周期性是数学中常见且重要的概念。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性在数学中，函数的奇偶性与对称性是一些基本概念。
了解这些概念能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
本篇文章将详细介绍函数的奇偶性与对称性，并讨论它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。
一个函数如果满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。
偶函数的图像在坐标系中具有关于y轴的对称性，即左右对称。
例如，$f(x) = x^2$是一个典型的偶函数。
我们可以观察到，对于函数图像上的任意一点$(x, y)$，如果存在另一个点$(-x, y)$也在图像上，那么这个函数就是偶函数。
奇函数的图像在坐标系中具有关于原点的对称性，即中心对称。
例如，$f(x) = x^3$是一个典型的奇函数。
我们可以观察到，在函数图像上，原点为中心，任意一点$(x, y)$和$(-x, -y)$对称。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他形式的对称性，如轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像具有关于某条垂直或水平直线的对称性。
例如，函数$y = f(x)$具有关于y轴对称性，而函数$x = f(y)$具有关于x轴对称性。
轴对称的性质对于解方程和图形绘制等问题具有重要意义。
中心对称是指函数图像具有关于坐标系原点的对称性。
例如，函数$y = \frac{1}{x}$具有关于原点的中心对称性。
中心对称和轴对称在几何和物理学等领域有广泛应用。
三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和求解函数问题。
1. 偶函数的性质：- 偶函数在定义域内关于y轴对称，因此只需研究正半轴上的取值。
- 偶函数的图像关于y轴对称，即$(x, y)$在图像上，则$(-x, y)$也在图像上。
- 偶函数的奇数次幂为奇函数，偶数次幂为偶函数。
2. 奇函数的性质：- 奇函数在定义域内关于原点对称，因此只需研究第一象限上的取值。
函数周期性、对称性与奇偶性的关系
函数周期性、对称性与奇偶性的关系一、函数图象的对称性(一)一个函数图象自身的对称性性质1：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图象关于直线对称.【注】： 亦然.【特例】当时，的图象关于直线对称.【注】亦然.性质2：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图象关于点对称.【特例】当时，的图象关于点对称.【注】 亦然.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质. 性质3：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图象关于直线对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图象关于点对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.【小结】函数对称性的充要条件()y f x =,,a b x 2a bx +=()()(0)f a mx f b mx m +=-≠a b =()()()f a x f a x f x +=-⇔x a =()(2)f x f a x =-()y f x =,,a b x ()()f a x f b x +=-()f x ⇔(,0)2a b+a b =()()()f a x f a x f x +=--⇔(,0)a ()(2)f x f a x =--()y f x =x ()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且()y f x =2a bx +=()y f x =x ()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且()y f x =(2a b+,0)【注】：这里代数关系式中两个“”（对应法则）内的“”（变量）前的正负号相异，如果把两个“”放在“”的两边，则“”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.(二)两个函数图象之间的对称性1.函数与的图象关于直线对称.2.函数与的图象关于直线对称.3.函数与的图象关于原点对称.4.函数与它的反函数的图象关于直线对称.5.函数与的图象关于直线对称. 特别地，函数与的图象关于直线对称.二、几个函数方程的周期 1.若，或，则的周期； f x f =f ()y f x =()y f x =-0y =()y f x =()y f x =-0x =()y f x =()y f x =--(0,0)()y f x =1()y f x -=y x =()y f a mx =+()y f b mx =-,,,0a b m R m ∈≠()2b a x m -=()y f a x =+()y f b x =-2b ax -=()()f x f x a =+()()22a f x f x a +=-()f x T a =2.若，或，或 ，或，或，或，或， 或，或，则的周期；3.若，则的周期；4.若，或，或，或，或，或且，则的周期；5.若，则的周期；6.若，则的周期.【说明】函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.三、对称性与周期性的关系定理1：若定义在上的函数的图象关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期.推论1：若函数满足及，则是()()0f x f x a ++=1()()1()f x f x a f x -+=+()()22f f a a x x =-+-()()f x a f x a +=-()()1f x a f x +=±(()0)f x ≠()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为奇函数()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈()f x 2T a =1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+()f x 3T a =()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为偶函数()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为奇函数()()f x a f x a +=--1()()1()f x f x a f x -+=-+1()()1()f x f x a f x ++=-121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-⋅1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<()f x 4T a =()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ⋅+++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ⋅⋅⋅⋅=++++()f x 5T a =()()()f x a f x f x a +=-+()f x 6T a =()y f x =x a R ()f x x a =x b =()a b ≠()f x 2a b -()f x ()()f a x f a x +=-()()f b x f b x +=-()a b ≠()f x以为周期的周期函数.定理2：若定义在上的函数的图象关于点和直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.推论2：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.定理3：若定义在上的函数的图象关于点和对称，是周期函数，且是它的一个周期.推论3：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.四、函数图象的对称轴和对称中心举例2a b -R ()f x (,0)a x b =()a b ≠()f x 4a b -()f x ()()f a x f a x +=--()()f b x f b x +=--()a b ≠()f x 4a b -R ()f x 0(,)a y 0(,)b y ()a b ≠()f x 2a b -()f x 0()()2f a x f a x y -++=0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠()f x 2a b -五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系 1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足R ()f x x a =2x a =x ()f x ()()f a x f a x -=+(2)(2)f a x f a x -=+()f x 2T a =R ()f x x a =(2,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=+(2)(2)f a x f a x -=-+()f x 4T a =R ()f x (,0)a 2x a =x ()f x ()()f a x f a x -=-+(2)(2)f a x f a x -=+()f x 4T a =R ()f x (,0)a (2,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=-+(2)(2)f a x f a x -=-+()f x 2T a =()f x x a =x ()f x ()()f a x f a x -=+()f x 2T a =()f x (,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=-+()f x 4T a =()f x x a =x ()f x，则是以为周期的周期函数.8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.【拓展】：1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称.2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称.3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于点对称. ()()f a x f a x -=+()f x 4T a =()f x (,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=-+()f x 2T a =()y f x a =+)(x f y =x a =()y f x a =+)(x f y =(,0)a R ()f x ()()f a x f a x -=+()0f x =2n 2n 2na R )(x f y =()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数)(x f y =(,)22a b c +。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与周期性是函数特性的一种表现形式。
在本文中，我们将探讨函数的奇偶性与周期性，并分析其在数学中的应用意义。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数在平面直角坐标系中关于原点的对称性质。
对于函数 f(x)，若对于任意 x，都有 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
1.1 奇函数的特点奇函数具有以下特点：- 在原点处对称，即图像关于原点对称；- 若 f(x) 是奇函数，那么其图像关于 y 轴的负半轴和正半轴对称。
1.2 偶函数的特点偶函数具有以下特点：- 在 y 轴上的值相等，即图像关于 y 轴对称；- 若 f(x) 是偶函数，那么其图像关于 x 轴对称。
二、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以某个常数为周期重复出现的性质，常用于描述周期性现象。
对于函数 f(x)，若存在正数 T，使得对于任意x，都有 f(x+T) = f(x)，则称 T 为函数 f(x) 的周期。
2.1 周期函数的特点周期函数具有以下特点：- 在每个周期内，函数的取值和性质相同；- 周期函数的图像在每个周期内重复出现。
三、奇偶函数的周期性奇偶函数的周期性与其奇偶性质有一定的联系，具体如下：3.1 偶函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的偶函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于 y 轴对称。
3.2 奇函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的奇函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于原点对称。
四、函数奇偶性与周期性的应用函数的奇偶性与周期性在数学中有广泛的应用，特别是在函数图像的分析和计算中。
4.1 奇偶性在函数图像中的应用通过判断一个函数的奇偶性，可以有效简化函数图像的分析过程。
函数的对称性与奇偶性的应用
函数的对称性与奇偶性的应用函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，它们在不同领域的数学问题中有广泛的应用。
本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念及其应用，并通过一些例子来进一步说明。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个特定的变换下具有不变性。
常见的对称性包括以下几种：1. 奇偶对称性：如果对于函数的每一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则称函数具有奇对称性；如果对于函数的每一个实数x，都有f(-x) =f(x)，则称函数具有偶对称性。
2. x轴对称：如果对于函数的每一个实数x，都有f(x) = f(-x)，则称函数具有x轴对称性。
3. y轴对称：如果对于函数的每一个实数x，都有f(x) = -f(-x)，则称函数具有y轴对称性。
二、奇偶性的应用奇偶性在数学中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用情况。
1. 确定函数的对称性：通过对函数f(x)进行变换，可以判断函数是否具有对称性。
如果f(x)与-f(x)完全相同，那么函数是偶对称的；如果f(x)与-f(x)相差一个负号，那么函数是奇对称的；如果f(x)与f(-x)完全相同，那么函数具有x轴对称性；如果f(x)与-f(-x)相差一个负号，那么函数具有y轴对称性。
2. 简化函数的求解：奇偶性可用来简化函数的求解过程。
如果函数f(x)是偶对称的，则在求解某些积分和方程时，可以利用对称性简化计算。
同样，如果函数f(x)是奇对称的，也可以利用对称性简化计算。
3. 求解函数的零点：根据函数的奇偶性，可以得到函数的零点的一些性质。
对于偶对称的函数，如果f(x)=0，则-f(x)=0，也是函数的零点；对于奇对称的函数，如果f(x)=0，则-f(x)=0是函数的零点。
4. 确定函数图像的性质：根据函数的对称性，可以推断出函数图像的一些性质。
例如，如果函数是偶对称的，则函数的图像关于y轴对称；如果函数是奇对称的，则函数的图像关于原点对称。
三、例子分析为了更好地理解函数的对称性和奇偶性的应用，下面以一些具体函数为例进行分析。
对称性、奇偶性和周期性的综合运用
函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一．函数的对称性（一）函数)(x f y = 的图象自身对称 1、轴对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称.推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.推论3：)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.求对称轴方法：22)()(ba xb x a x +=-++=2、中心对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c ba +对称. 推论：b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.推论：bx a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.推论：b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.求对称中心方法：.22,2)()(c c y x b x a x ==-++=纵坐标横坐标小结: 轴对称与中心对称的区别轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)； 中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c 中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.（二）两个函数的图象相互对称 1、函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=图象关于直线2ab x -=对称；特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于直线x=0(y 轴)轴对称；函数)(x f y=与函数)(x f y -=图象关于y 轴对称；求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2a b x -=.2、函数y ＝f(a ＋x)+c 与y ＝－f(b －x)+d 关于点)2,2(d c a b +-中心对称；特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于点（0,0）（原点）中心对称.函数)(x f y=与函数)(x f y --=图象关于原点对称函数.求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得2ab x -=，纵坐标y=.2d c +二． 函数的奇偶性1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y 轴（x=0）对称．推论：若y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)，即y ＝f(x)的图像关于直线x ＝a轴对称.2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称.推论：若y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)，即y ＝f(x) 的图像关于点（a ，0）中心对称.三．函数的周期性 1. 定义：对于()fx 定义域内的任意一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2. 推论：①()()f x T f x ±=( 0T ≠)⇔)(x f y =的周期为T.②()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=③)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为aT 2=④)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑤)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=⑥)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为.2a T =⑦1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑧)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为aT 4=⑨)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=⑩若.),()(,0p a T a px f px f p =+=>则⑾若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：偶函数)(x f y=满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期aT 2=⑿若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：奇函数)(x f y =满足0)()(=-++x a f x a f ⇔)(x f y =周期aT4=⒀)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔()f x 的周期T ＝4|a －b|.小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x ”；②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”； ③定义在Ｒ上的函数)(x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在.题型分类1. 求函数值例1. 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，xx f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2.偶函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)＝f(x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f(x)＝3x则的值等于( )A ．－1 D ．1解：由于偶函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)＝f(x －1)，，说明函数的周期为2，f(-x)=f(x) 当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x则对)=f(2- 3log 5)=33log 5＋故可知答案为D.2．比较函数值大小 例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.解：))((R x x f ∈Θ是以2为周期的偶函数，又19981)(xx f =Θ在[]1,0上是增函数，且1151419161710<<<<，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即 3、求函数解析式例4. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)=－2x+1，求当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式. 例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，[]).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f4、判断（证明）函数性质 例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.解：由)(x f 的周期为4，得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得)4()(x f x f +=-，),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.例7.已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=)(1x f -，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.例8.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)是减函数，求证当[]6,4∈x 时f(x)为增函数 解：设1246x x ≤<≤则212440x x -≤-+<-+≤∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ 21(4)(4)f x f x -+>-+又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x) ∴21()()f x f x ->- ∵ f(-x)=f(x) ∴21()()f x f x >故当[]4,6x ∈时f(x)为增函数例9.设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数 例10.设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数例11.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足对任意x ∈R 都有f(2+x)=-f(x)，又当x ∈[-1,1]时 f(x)=x 3，⑴ 证明：直线x=1是f(x)图像的一条对称轴； ⑵ 当x ∈[1,5]时，求函数f(x)的解析式．判断函数的单调性 5、确定函数零点个数 例12.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，),7()7(x f x f-=+且,0)0(=f 判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.6、求参数的值（范围）例13.①若函数f(x)=|x+a|，且f(x)满足对x ∈R 都有f(3+x)=f(2-x)，则实数a=______．②若函数f(x)=(x+a)3，且f(x)满足对x ∈R 都有f(3+x)=-f(2-x)，则实数a=______． 例14.f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值.例15．设()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()2x x f =.若对任意的[]2,+∈a a x ,,则实数a 的取值范围是( )A ．0≤aBCD ．0≥a7. 两个函数图像的对称性例16.函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间（D ）A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D.例17.求与函数y=lg(1+x)的图像关于点（2,1）成中心对称的函数解析式.。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中一种重要的工具，用来描述变量之间的关系。
在实际应用中，我们经常遇到一些特殊性质的函数，比如奇偶性与周期性。
本文将探讨函数的奇偶性与周期性的概念、特征以及在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于坐标轴的对称性。
具体来说，若对于函数中的任意一个元素x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于函数中的任意一个元素x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
若函数既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，则称该函数为既非偶函数又非奇函数的函数。
以数学表达式为例，对于偶函数来说，f(x) = f(-x)；对于奇函数来说，f(x) = -f(-x)。
若一个函数既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，可以通过将f(x)拆分为偶函数和奇函数的和的形式来表示。
函数的奇偶性具有以下特点：1. 若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称；2. 若一个函数是偶函数，则它的图像关于y轴对称；3. 若一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则其图像对于原点和y轴都没有对称性。
函数的奇偶性在数学推导和计算中有重要的作用。
在一些题目中，我们可以通过函数的奇偶性来简化计算，减少工作量。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数在一定区间内以相同的规律重复出现。
具体来说，若对于函数中的任意一个元素x，有f(x + T) = f(x)，其中T为一个正常数，则称该函数为周期函数。
周期函数具有以下特点：1. 函数在一个周期内的变化规律是相同的；2. 函数的周期可以大于一个周期；3. 若函数的周期为T，则f(x + T) = f(x)，且对于一切正整数n，f(x+ nT) = f(x)。
周期函数在数学分析、物理学、信号处理等领域中具有广泛的应用。
很多实际问题中的变量可以通过周期函数来进行建模和分析，例如交流电信号和天体运动等。
三、函数的奇偶性与周期性的关系函数的奇偶性和周期性是两种不同的概念，但它们之间存在一定的联系。
函数单调性奇偶性周期性和对称性的综合应用.docx
函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用例1、设金)是定义在R 上的奇函数,Hy = /⑴的图象关于直线"丄对称，则/(i )+ 2/⑵+/⑶+/⑷+/(5)=_() ________________ .【考点分析】本题考查函数的周期性解析：y(-o) = -/(o)得/(0)= 0,假设/(n) = 0 因为点 (-n , 0)和点 J + 1,0〉关于 x = i 对称，所以 f (n +1) = /(-H )== 0 因此，对一切正整数〃都有：f(〃) = 0从而:/(1) + /(2)+ /⑶+ /(4)+ /(5)= 0。
本题答案填写：0例2、(2006福建卷)已知/(x)是周期为2的奇函数，当O< x< 1时，f(x) = lgx. 设 =/(|),c=/(|),则J 厶 乙(A) a <b<c (B) b<a<c (C) c<b< a (D) c<a<b解：已知/(兀)是周期为2的奇函数，当0 vxvl 时，/(x) = lgx 设 = = = & = /(|) =/(-|) = -/(|), c = /(|) = /(|)<0, Ac<a<b 选 D.例3、(安徽卷理〉函数/(对对于任意实数兀满足条件/(兀+ 2)= 命，若/⑴二-5,则/(/(5)) = ____________ 。
【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。
/(/(5)) = /(-5) = /(-1) = 7^ = 4°【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一则回原位”则一通尽通也。
例 4、设/(x)是(-oo,-too)上的奇函数，f(x + 2)= -f(x),当 0W 兀W1 时，/(x) = x , 则/(7.5)等于() A.0.5 B.-0.5 C 」.5 D.-1.5解析：由/(x + 2)= —/(兀)=>/(7.5)= —/(5.5)= /(3.5)= -/(1.5)= /(—0.5),又/⑴ 是奇函数，/(-0.5)= -/(0.5)= -0.5 ,故选择 B 。
函数的奇偶性及其应用
函数的奇偶性及其应用函数是数学中常见的概念，它描述了一种映射关系，即根据给定的输入值，得到相应的输出值。
函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中的对称性质。
了解函数的奇偶性对于解题和分析函数性质具有重要的意义。
本文将就函数的奇偶性及其应用进行讨论。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性即函数关于原点(0,0)的对称性质。
若函数满足$f(-x) =f(x)$，则称该函数为偶函数；若函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。
也就是说，对于偶函数来说，函数关于Y轴对称；对于奇函数来说，函数关于原点对称。
二、奇偶函数的性质1. 偶函数和奇函数的性质(1) 任意两个偶函数相加是偶函数，任意两个奇函数相加是奇函数。
(2) 偶函数乘以偶函数是偶函数，奇函数乘以奇函数是偶函数。
(3) 偶函数乘以奇函数是奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数。
(4) 偶数次幂的多项式函数是偶函数，奇数次幂的多项式函数是奇函数。
(5) 偶函数关于Y轴对称，奇函数关于原点对称。
2. 函数的奇偶性与代数运算的关系(1) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)+c$也是偶函数，其中$c$是常数。
(2) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)+c$也是奇函数，其中$c$是常数。
(3) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)\cdot c$仍是偶函数，其中$c$是常数。
(4) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)\cdot c$仍是奇函数，其中$c$是常数。
三、奇偶函数的应用1. 函数图像的性质分析通过函数的奇偶性，可以推导出函数图像关于Y轴或关于原点的对称性。
利用对称性可以简化函数图像的绘制和分析。
2. 奇偶函数在积分计算中的应用(1) 对于奇函数，其在关于原点对称的区间上的定积分为0，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
(2) 对于偶函数，其在关于Y轴对称的区间上的定积分可以通过积分区间的对称性进行简化，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。
函数与方程的对称性揭示函数与方程的对称性质与应用
函数与方程的对称性揭示函数与方程的对称性质与应用在数学中，函数和方程是两个重要的概念，它们之间有着密切的联系。
通过对函数和方程的研究，我们可以揭示它们的对称性质，并将其应用于实际问题中。
本文将重点讨论函数与方程的对称性，并探讨对称性在数学和科学中的应用。
一、函数的对称性函数是一种数学对象，描述了两个集合之间的对应关系。
函数的对称性是指函数和其他几何或代数对象在空间中的对称性质。
常见的函数对称性包括奇偶性对称和周期性对称。
1. 奇偶性对称如果对于函数f(x)，当x取任意实数时，f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有奇偶性对称。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，而偶函数满足f(-x) = f(x)。
奇偶性对称可以通过函数的图像来观察，奇函数关于原点对称，而偶函数关于y轴对称。
2. 周期性对称如果对于函数f(x)，存在正常数T，使得f(x+T) = f(x)，则函数f(x)具有周期性对称。
周期性对称可以通过函数的图像来观察，函数在每个周期内的表现相同。
二、方程的对称性方程是数学中的等式，描述了数学对象之间的关系。
方程的对称性是指方程在空间中的对称性质，包括对称轴、对称中心等。
1. 对称轴对称轴是指方程图像中的一条直线，使得对称轴两侧的图像关于该直线对称。
对称轴可以是水平轴、垂直轴或斜轴。
2. 对称中心对称中心是指方程图像中的一个点，使得对称中心周围的图像关于该点对称。
对称中心可以是原点或者其他指定的点。
三、对称性的应用对称性在数学和科学中有广泛的应用。
通过利用函数和方程的对称性，我们可以简化计算过程，提高问题的解决效率。
1. 方程解的求解对称性可以帮助我们求解方程的根。
通过观察方程的对称性，可以找到方程的特殊解或者简化计算过程。
例如，在解二次方程时，我们可以利用二次函数的对称性，直接求得方程的根。
2. 图形的绘制对称性可以帮助我们绘制函数图像。
通过观察函数的对称性，我们可以根据已知的部分图像，推导出其他部分的图像。
函数奇偶性周期性对称性的关系
函数的三种性质之间的转化函数是整个高中数学的重中之重，而且它通常作为知识网络的交汇点形成综合性问题，其中以函数的奇偶性，周期性，对称性和函数的单调性结合的综合运算题目，一直是高考考察的难点问题，所以必须引起我们的注意，笔者根据自己的多年的讲解，现将三者之间的关系归纳如下：1.基础知识：函数的奇偶性：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
函数的周期性：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使恒成立。
)()(x f T x f =+另外，根据函数的性质的定义，我们好要熟记常见的结论。
()()21()2()1()2()f x a f x T af x a T a f x f x a T a f x +=-=+==+=-=函数的对称性：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (a －x )=f (a +x )，则函数f (x )关于直线x =a 对称。
一般的，如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (a －x )=f (b +x )，则函数f (x )关于直线对称。
2a b x +=函数的三种性质的掌握是学生学习的难点。
特别是题目中出现f (a －x )=f (b +x )或者f (a +x )=f (b +x )这样长的很像的已知条件，学生更容易出错，其实根据定义，函数周期性中x 的符号是一致的，就是说x 同为正或者同为负。
而函数的对称性x 的符号恰好相反，所以f (a －x )=f (b +x ）揭示的是对称轴，而f (a +x )=f (b +x )则可以转化为周期。
2.三者之间的关系通过这几年的讲解，笔者发现其实这三者之间是可以相互转化的。
给出一下三组结论：结论1.1：如果函数f (x )是以a 为周期的偶函数，则f (x )关于直线对称。
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浅谈函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系应用
作者：胡艳杰
来源：《中国科教创新导刊》2013年第08期
摘要：函数是中职教育教学的重要学科，也是中职数学学科中较为难的部分，不仅函数逻辑性强，而且内容枯燥，理解难度大，更是让很多中职学生对函数学习产生乏味心理，特别是函数奇偶性、周期性与图象的对称性是函数的基本性质，更是把握好函数学习的基础。
为此，本文对函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系应用进行系列分析，加强对中职数学教学的学术研究，促进中职数学课程能够更好的传授给学生。
关键词：函数奇偶性周期性对称性
中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）03（b）-0094-01
随着我国教育改革制度的不断发展，中职学校的教育课程改革也要随之不断的创新，要适时的优化教学课程，进一步提高中职学校的教学质量。
为此，中职学校就要从教学课程内容改革着手，数学是历来较难的教学学科，对学生来说更是及其厌烦学习的科目，其中函数的奇偶性、周期性与图象的对称性更是逻辑性强，复习资料少，更是成为了教学难点之一，为此，函数是现阶段中职教学研究的学术重点。
只有对函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系进行深入剖析，简化较难懂的逻辑关系，才能更好的服务于教学，培养学生对数学的探索能力和创新意识，激发中职学生对数学学科的学习兴趣。
1 函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的定义
（1）函数的周期性定义：若函数对定义域中任意x均有f（x+T）=f（x）（其中T是不等于0的常数），则f（x）是周期函数。
这也是函数基础性质之一。
f（x）是T=2a的周期函数的充要条件是f（x+2a）=f（x-2a）
证明：当是必要条件时
∵T=2a是周期函数，
∴f（x）=f（x+2a），t=x+a
∴f（t-a）=f（t+a）
∴f（x-a）=f（x+a）
当是充分条件时
∵f（x）=f（x+a），t=x-a
∴f（t+2a）=f（t）
∴f（x）是T=2a的周期函数。
推论若f（x+a）=-f（x），则f（x）的周期T=2a
推论若f（x+a）=1/f（x），则f（x）的周期T=2a
（2）函数的奇偶性定义：如果对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（x）=f（-x）或f（x）/f（-x）=1，关于y轴对称，f（-x）=f（x），函数f（x）就叫做偶函数。
关于原点对称，-f（x）=f（-x）就叫做奇函数。
如图1所示。
f（x）为奇函数，在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
（3）图象的对称性定义：函数对称性包括轴对称和中心对称两种，其中轴对称：如果函数f（x）满足f（a-x）=f（x+a），那么f（x）的图像就是关于x=a对称；中心对称：如果函数f（x）满足f（x+a）=-f（a-x），那么f（x）的图像就是关于（a，o）对称。
2 函数的奇偶性、周期性与图象的对称性之间的关系
2.1 通过函数对称性和奇偶性可以推出函数周期性
如果f（x）为奇函数，图像关于x=a对称，那么f（x）是以T=2a为周期的周期函数。
证明：
∵f（x）图像关于x=a对称
∴f（x）=f（a-x），f（-x）=f（a+x）
∴又奇函数
f（x）=f（-x），f（x）=f（2a+x）
∴f（x）是T=2a的周期函数。
2.2 函数的对称性和周期性还能推出函数对称性和奇偶性
设f（x）的图像关于x=a对称，且T=b的周期函数，那么f（x）的图像关于x=a+b对称。
证明：
∵f（x）图像关于x=a对称
∴f（x）=f（2a-x）
∵T=b的周期函数
∴f（x）=f（2b+x）
∴f（2a-x）=f（2b+x）
∴f（x）的图像关于x=a+b对称
同时设f（x）的图像关于x=a对称，且T=2a是周期函数，则f（x）是偶函数。
证明：
∵f（x）图像关于x=a对称
∴f（a+x）=f（a-x）
∵T=2a是周期函数
∴f（a+x）=f（x-a）
∴f（a-x）=f（x-a），令a-x=t
∴f（t）=f（-t）
∴f（x）是偶函数。
2.3 函数周期性和奇偶性也可以推出函数对称性
设函数f（x）为偶函数，且T=2a（a>0），那么f（x）的图像关于x=a对称。
证明：
∵f（x）为偶函数
∴f（x）=f（-x）
∵T=2a是周期函数
∴f（x）=f（x+2a），f（-x）=f（2a-x）
∴f（x）=f（2a-x）
∴f（x）的图像关于x=a对称。
于此同理还可以推断出函数f（x）为奇函数，且-f（x）=f（x+2a），那么f（x）的图像关于x=a对称。
3 结语
在中职数学教学中，教师的对学术研究的程度直接影响到教学的效果。
通过以上对函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系应用的分析，可以看出，对于函数并非是难懂部分，关键要激发学生在函数学习上的发散思维模式，要让学生带着问题加强对函数基础知识的研究，同时教师要及时纠正学生的研究偏差，加强学生对函数奇偶性、周期性与图象的对称性的关系的认识，打好函数学习的基础，为中职数学教学却得良好的教学效果。
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