第七章 模糊 vs 概率 - 西安电子科技大学电子工程学院
电子科技大学电子工程学院科研团队以及方向介绍
团
队
成
员
正高
魏 平、李立萍
副高
任春辉、彭晓燕、甘露、唐续
中级及以下
张花国、李万春、廖红舒
团队名称
电子对抗与雷达抗干扰
研究领域/方向
电子对抗技术与系统
雷达抗干扰技术、测控与通信技术与系统
负责人
唐 斌
团
队
成
员
正高
唐 斌
副高
王 军、熊 英
中级及以下
皇晓辉
团队名称
图像处理与信息安全
研究领域/方向
副高
江朝抒、于雪莲、姒强、周云、王洪
中级及以下
王洪、钱璐、邹林、崔明雷、张忠敏、段锐
团队名称
雷达与定位
研究领域/方向
雷达成像、目标识别、系统仿真
基于FPGA数字系统设计、稀疏信号处理、目标定位
负责人
沈晓峰
团
队
成
员
正高
杨万麟、万 群
副高
沈晓峰、窦衡、周代英、梁菁、黄际彦、郭贤生、张瑛
中级及以下
冯健、廖阔、况凌、陈章鑫、殷吉昊、邬震宇
电子工程学院研究生导师简介
——集成电路系（科研团队）
团队名称
射频无线通信技术
研究领域/方向
射频无线通信技术及系统
射频与微波集成电路、微波测试技术与系统
负责人
鲍景富、唐宗熙
团
队
成
员
正高
鲍景富、唐宗熙
副高
宋亚梅
中级及以下
尹世荣、张彪、吴韵秋
团队名称
集成前端
研究领域/方向
微波毫米波电路与系统
负责人
杨 涛
团
崔红玲
西安电子科技大学计算智能导论
计算智能导论作业
1、给定模糊集合A =0/48天+0.12/43天+0.31/38天+0.54/33天+0.94/28天+1/23天。
求A 的不同的水平截集A 0，A 0.2，A 0.4，A 0.5，A 0.7，A 0.9和A 1。
A 0={48天,43天,38天,33天,28天,23天}
A 0.2={38天,33天,28天,23天}
A 0.4={33天,28天,23天}
A 0.5={33天,28天,23天}
A 0.7={28天,23天}
A 1={23天}
2、一个房地产商想将销售给客户的商品房进行分类。
房子舒适如何的一个标志是其卧室的多少。
设X ={1,2,3,4,5,6}是房子卧室数集，模糊集“对三口之家的舒适型房子”可以描述为：
A ={(1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.7),(5,0.3)}
模糊集“对三口之家的大面积型房子”可以描述为:
B ={(2,0.4),(3,0.6),(4,0.8),(5,1),(6,1)}
请写出“大或者舒适的房子”、“又大又舒适的房子”和“不大的房子”的集合表示形式。
“大或者舒适的房子”：A ∪B ={(1,0.3),(2,0.8),(3,1),(4,0.8),(5,1),(6,1)}“又大又舒适的房子”：A ∩B ={(2,0.4),(3,0.6),(4,0.7),(5,0.3)}
“不大的房子”：∼B ={(1,1),(2,0.6),(3,0.4),(4,0.2)}
1。
西安电子科技大学人工智能复习课习题
1.请选用框架法和语义网络法表示下述报道的沙尘暴灾害事件。
（虚拟新华社3月16日电）昨日，沙尘暴袭击韩国汉城，气场与高速公路被迫关闭，造成的损失不详。
此次沙尘暴起因中韩专家认为是由于中国内蒙古地区过分垦牧破坏植被所致。
（提示：分析概况用下划线标出的要点，经过概念化形成槽或节点）2. 请用归结反演的方法求解下述问题。
已知：（1）John 是贼。
（2）Paul 喜欢酒（wine ）。
（3）Paul 也喜欢奶酪（cheese ）。
（4）如果Paul 喜欢某物，那么John 也喜欢某物。
（5）如果某人是贼，而且他喜欢某物，那么他就会偷窃该物。
请回答下面的问题：John 会偷窃什么？3. MYCIN 是一个用于细菌感染性疾病诊断的专家系统，它的不确定性推理模型中采用可信度作为不确定性量度。
请简述什么是不确定性推理及不确定性推理几个关键问题，并按照MYCIN 系统的推理方法计算结论B1和B2的可信度。
已知初始证据A1,A2,A3的可信度值均为1，推理规则如下：R1: IFA1 THEN B1 (0.8) R2: IFA2 THEN B1 (0.5) R3: IF A3∧B1 THENB2 (0.8) 求CF(B1)和CF(B2)的值。
()()()(),()0,()0121212()()()()(),()0,()012121212()()12,()()0121min{|()|,|()|}12CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H CF H ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩+-⨯≥≥=++⨯<<+⨯<- 4．设A 、B 分别是论域U 、V 上的模糊集，U=V={1,2,3,4,5}, A=1/1+ 0.5/2, B=0.4/3+0.6/4+1/5并设模糊知识及模糊证据分别为：IF x is A THEN y is B x is A ’其中，A ’的模糊集为：A ’=1/1+ 0.4/2+ 0.2/3假设A 和A ’可以匹配，请利用模糊推理的方法求出该模糊知识和模糊证据能得出什么样的模糊结论。
西安电子科技大学讲义 随机过程的变换和滤波
第五章随机过程的变换和滤波概率论的主要应用之一，是从可利用的资源汇总，对随机变量做出估计。
一般将，这种问题的最优解是很难分析的。
然后，若只允许对数据进行线性运算，以及“最优性”是在均方意义下理解的话，那么问题就大大简化，这就是线性均方估计问题。
这个问题最早由维纳考虑并解决，与此同时，柯尔莫哥洛夫也独立的完成了此项工作。
他的解法完全基于正交性原理。
可简单的将此原理推广到随机过程；因而，各种看起来似乎没有关系的估值问题，都可以作为这个原理的明显应用来处理，而不需要用到变分法或任何其它高级的工具，也不需要一次又一次的重复地解同样的问题。
在下面的讨论中，我们将讨论随机信号的最优处理问题。
分别针对时间连续和时间离散的信号，将介绍在最小均方意义下具有最优逼近特性的变换。
随后我们讨论离散变化，最有线性变化和最优线性滤波的关系。
5.1 时间离散Karhunen-Loeve 变换在所有的线性变换中， Karhunen-Loeve 变换（KL变换）是一个在最小均方意义下最佳逼近随机过程的变换。
同时，KL变换是一个具有不相关系数的信号展开。
这种特性在很多数字信号处理方面如编码和模式识别有重要的应用。
这种变换适用于连续时间和离散时间信号处理。
本节将详细讨论离散情况。
不失一般性， 考虑零均值实随机过程12,.n n x x x x R x ⎛⎫ ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭（5.1） 设 12{,,,}n U u u u =是 n 维实向量空间 n R 的一组正交基， 随机过程 x可被表示为：x U α=（5.2）这里 U 可看成由正交基构成的正交矩阵， 12(,,,)T n a ααα=。
可以看出：.TU x α=(5.3)假定：(),,1,2,,.i j j ij E i j n ααλδ== (5.4) 这里 ,1,2,,j i n λ= 是未知的实数， 且 0.j λ≥ 由（5.3）和 （5.4）可知(),,1,2,,.T T i j j ij E u xx u i j n λδ==（5.5）令：{}Tx x R E xx =(5.6)那么， （5.5）可被写成：,,1,2,,.T i j j ij x x u R u i j n λδ==（5.7）通过观察，我们可发现下列方程的解,1,2,,j u j n =也满足方程（5,7）.,1,2,,.j j j xxR u u j n λ==由于 x xR 是一个协方差矩阵，他的特征值问题具有下列特征值： 1． 特征值是实数。
2019年西安电子科技大学电子工程学院硕士研究生拟录取名单(全日制
录取导师
许述文 谢荣 罗丰 谢荣 张林让 吴建新 周宇 李亚超 陈伯孝 杜兰 苏洪涛 张娟 王鹏辉 朱圣棋 陶海红 李真芳 张玉洪 何学辉 李军 纠博 刘宏伟 王彤 赵永波 陶海红 邢孟道 刘楠 李亚超 董玫 苏洪涛 李真芳 水鹏朗 梁毅 丁金闪 朱圣棋 张林让 李军 张子敬
总分 复试总成绩
305 266.25
324 398.75
299 378.125
406
370
312
327.5
346
337.5
378 345.625
411 403.125
308 329.375
383 396.25
352
260
334
422.5
311
285
339 280.625
300 316.875
339
275
323 353.125
351 38 1031 1033 1037 1041 1042 1047 1049 1051 1053 1062 1065 1066 1067 1072 1073 1074 1076 1077 1078 1079 1080 1081 1082 1083 1084 1086 1090 1094 1095 1098 1099 1101 1103 1104 1106 1107
录取学习 方式
全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制 全日制
代国定 代国定 来新泉 路建民 来新泉 来新泉 李先锐 袁冰 来新泉 史凌峰 来新泉 袁冰 初秀琴 袁冰 路建民 刘洋 路建民 刘洋 李先锐 史凌峰 袁冰 初秀琴 刘洋 李先锐 安翔 吕志清 安翔 吕志清 张林让 孙光才 周宇 全英汇 周生华 戴奉周 李真芳 苏涛 曹运合
一等 - 西安电子科技大学电子工程学院
蒋春生(14099027)
赵阳(14099029)
刘永杰(14099003)
33.
高骏宁（07092009）
谷明非（02091038）
刘曼（13091103）
34.
卢晓含（07091027）
王远强（01091075)
林德智(01091029)
35.
刘博青（03101368）
于岚（03101369）
白家驹（03091129）
40.
吕鑫(01091035)
章剑涛(07091004)
吴忠英(01091228)
41.
张静媛（01091527）
屈宇澄（01099059）
周文明（01093117）
42.
华俊博（01099001）
汪元景（01099003）
李祥东（14099017）
43.
李厚意（01099023）
杨雪02096037
徐炀丙02096007
48.
张有波（03091148）
刘瑞红（07092024）
罗贤慧（01085091）
49.
曹世伟（01091226）
况鑫（01091310）
张晨（01091254）
50.
赵东甲（07091014）
尹万春（07091031）
黄少松（01091042）
51.
李恩宁(研071001)
汪贵宏(学号缺)
28.
张强（0903121998）
高峰（0911120799）
张蒙（0919121237）
29.
葛诗瑶13091104
梁梦谌02093075
刘爵铭02093080
30.
康景龙13091221
一种模糊推理强机动目标跟踪新算法
２１ ０ １年 ４月
西安 电子科技大学学报 （ 自然 科学版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ｏＦ ＸＨ） ＡＮ Ｉ ＿ ⅡＶ 【 ＥＲＳＩｒ ］Ｙ
Ａ ｐ ． ０１ ｒ２ １
第３ ８卷
第 ２期
Ｖ０ ． ８ Ｎｏ ２ １３ ．
ｄｉ１ ． ９ ９ ｊｉ ｎ １０ －４ ０ ２ １ ．２ ０ ３ ｏ：０ ３ ６ ／．ｓ ．０ １２ ０ ． ０ １０ ． １ ｓ
中 图分 类 号 ：Ｎ ５ Ｔ ９３ 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １２ ０ （０ ｔ ０ － ７ －５ １０ — ０ ２ １ ）２０ ２０ ４ ０
Ｎｏ ｅ ｌ ｏ ｉｈｍ ｏ ｇ ｍ ａ ｕ ｅ ｉ ｇ ｔ ｇ ｔｔ ａ ｋｉ ｇ ｖ ｌａ ｇ ｒｔ ｆ ｒｈｉｈ ｎｅ ｖ ｒｎ ａｒ ｅ ｒ ｃ ｎ ｂ ｓ ｄ ｏ ｕｚ ｙ ｒ ａ ｏ ｉ ｇ Ｍ Ｉ ａ ｅ ｎ ｆ ｚ ｅ ｓ ｎ ｎ Ｅ
ｄｃｉ ｎ ｖｎｄｖｒｅ ｃ ｎｔｅｐｒ ｒ ａｃ ｆ ｏｖｎｉ ａ ｍ ｄｆｄ ｉ ｕ ｅｔ ａ ｏ （ Ｅ ａ ｏ ｔｍ ． ｅｌ ｅａｄｅｅ ｉｅｇｎｅｉ ｅ ｏｍ ｎｅｏ ｎｅｔ ｎｌ ｏｉｅ ｎ ｔ ｓ ｍ ｔ ｎ ＭＩ） ｌ ｒｈ ｓ ｎ ｈ ｆ ｃ ｏ ｉ ｐ ｉ ｉ ｇｉ
基于2 bit超表面的单阶谐波波束扫描
基于2 bit超表面的单阶谐波波束扫描
符道临;于瑞涛;胡源;刘曦;熊伟
【期刊名称】《无线电通信技术》
【年(卷),期】2024(50)2
【摘要】波束扫描是一种广泛应用于无线通信、雷达、卫星通信和其他相关领域的技术,它允许无线信号或射线束在空间中定向、聚焦。
近年提出的智能超表面时空编码方式拓展了超表面在物理维度上的自由度,使得其可以在单音波激励下完成多个频点的波束扫描,但仍然面临着增益低、波束副瓣大等一系列问题。
针对这些问题,提出了一种基于超表面的谐波波束扫描方法。
设计并加工了一种在E面可以达到斜入射60°的角度不敏感2 bit超表面单元并组建32×32阵列。
针对单元谐波状态做出精确的3 bit相位量化。
通过针对不同的初始参考相位,使用多目标遗传算法进行优化,将正一阶谐波的波束副瓣压低在了-15 dB水平,完成了时空编码超表面在E面60°波束扫描,为未来在超表面时空编码谐波波束赋形提供了充分有力的方案。
【总页数】7页(P392-398)
【作者】符道临;于瑞涛;胡源;刘曦;熊伟
【作者单位】江苏赛博空间科学技术有限公司;杭州市钱塘区信息高等研究院;西安电子科技大学电子工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TN919.23
【相关文献】
1.一种波束扫描固态等离子体超表面的设计
2.基于特征模分析的1-bit转极化反射超表面阵列设计
3.基于PIN二极管设计的一种进行波束扫描的超表面天线
4.基于石墨烯超表面天线的太赫兹动态相位调控及波束扫描
5.基于优化算法的2-bit编码超表面缩减RCS研究
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第7章-平面电磁波对理想介质与理想导体分界面的垂直入射
主讲： 赵朋程
西安电子科技大学物理与光电工程学院
7.2 对理想导体的分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 为理想介质， 1、1 1 0 z > 0中，媒质 2 为理想导体 2
入射波沿x方向线极化
E+
x
入
H+
反
E y
从斯耐尔折射定律可知，对于非磁性媒质，当 1 2 (即波从光密
媒质入射到光疏媒质)时
sini 2 1 sint 1
即：透射角大于入射角。很明显，当入射角增大为某一特定角度时，
透射角t
2
。当入射角进一步增大时，就将不再存在透射波——
全反射，此时在分界面上电磁波反射系数模为1。
120
(evz ) (evx
jevy
)e
j
z
E0
120
(evy
jevx )e j z
v vv H合＝Hi Hvr 感应电流为：J s
n)
v H
z=0
(evz )
v H合
E0
60
(evx
jevy )
（4）合成波电场强度为：
v E
v Ei
v Er
(evx
v H
－＝evy
Em
(e jkz
e jkz )
evy
2
Em
cos kz
合成场的实数（瞬时）形式：
v E合
Re[
jevx 2Em
sin
模糊概率论
未镀帮穗
勿垒奠丞茗Ｍ“融
—１Ｌ—ｊＬ．
月【『
舌
１９６５年，美国计算机与控制论专家Ｌ．Ａ．Ｚａｄｅｈ教授提出了Ｆｕｚｚｙ 集的概念［１】，创立了研究模糊性或不确定性问题的理论方法，经过４０ 年的研究和发展，成为一个充满活力的数学分支。 国内外学者在模糊理论与技术领域作了大量卓有成效的工作，使 其得到了迅猛的发展。这其中的许多探索是具有突破性的。模糊理论 与技术的一个突出的优点是能较好的描述与仿效人的思维方式，总结 和反映人的体会与经验，对复杂事物和系统进行模糊度量、模糊识别、 模糊推理、模糊控制与模糊决策等。尤其是模糊理论与人工智能在神 经网络的专家系统等方面进行相互结合的研究已涉及到计算机、多媒 体、自动控制以及信息采集与处理［２’等一系列高新技术的开发与利 用，并有力地推动了应用科学、决策科学、管理科学与社会科学的进 步。随着学术理论体系的不断完善，新成果正在迅速的转变成生产力， 同时促进了社会物质文明水平的不断提高。 在模糊理论和模糊技术迅速崛起的今天，对于像概率论这样一个 有着广泛应用的经典学科，在与模糊数学的结合方面虽然已有大量的 研究，取得了喜人成果，但仍有许多的工作等待深入，比如在模糊数 学中建立起随机理论的严格的数学体系。事实上，概率论与模糊理论 的结合也是复杂的科技活动所需要的。 在现实世界中，有些事件往往既包含随机不确定性，又包含模糊 不确定性。例如“今天会下雨的可能性很大”，就既包含随机不确定
Ｅｔ
指导教师签名： 年
月 日
西北大学学位论文独创性声明
本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年
一种数字全通滤波器的最小二乘设计法
第38卷第12期西南师范大学学报(自然科学版)2013年12月V o l.38N o.12 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)D e c.2013文章编号:10005471(2013)12009005一种数字全通滤波器的最小二乘设计法①刘渭清1,21.西安文理学院物理与机械电子工程学院,西安710065;2.西安电子科技大学电子工程学院,西安710065摘要:探讨了在复倒谱系数条件下,利用加权最小二乘法(W L S)实现等波纹逼近数字全通滤波器的设计方案.对于平稳的数字全通滤波器,其分母多项式一定具有最小相位;该方法是基于最小相位滤波器的群延迟函数和其复倒谱系数之间的关系,采用最小二乘等波纹逼近求得分母多项式的倒谱系数;然后,依据全通滤波器分母多项式与其复倒谱系数的关系求得分母多项式.由全通滤波器的特性可知,分母多项式系数可完全确定全通滤波器的传递函数.这种方法能够使所设计的滤波器的群延迟特性在整个频带上近似理想群延迟,其误差在整个频带上呈均匀分布,同时降低了误差的最大值.关键词:加权最小二乘法(W L S);全通滤波器;群延迟;等波纹逼近;复倒谱系数;最小相位中图分类号:T N713.7文献标志码:A数字全通滤波器常用于实现指定群延迟的线性系统,以满足整个系统对相位的要求.有关数字全通滤波器的应用在相关文献中均有描述,此处不再详述.文献[1]使用自回归方法从倒谱系数产生滤波器的系数;文献[2]采用希尔伯特变换的方法,根据傅立叶变换的相位和对数幅度的关系计算全通滤波器的系数;文献[3]改进了文献[2],提出了运算量较小的设计方法;文献[4]和[5]则采用加权最小均方误差准则意义下求解复倒谱系数,对文献[3]方法的误差有所改善.本文采用基于倒谱系数的加权最小二乘逼近法设计数字全通滤波器,使误差在整个频带上呈等波纹分布且误差的极值明显降低.1基于复倒谱系数的全通滤波器设计原理N阶全通数字滤波器的系统函数H(z)=N(z)D(z)=ðN n=0a N-n z-nðN n=0a n z-n(1)其中a0=1,由式(1)可知,系统可完全由其分母多项式确定.对于一个平稳的滤波器,它的分母多项式一定具有最小相位;而一个最小相位序列的群延迟函数及其复倒谱系数之间满足关系:τ(ω)=ð¥k=1k c(k)c o s(kω)(2)其中复倒谱序列c(k)一定是实因果序列.利用傅立叶变换的对称性质,对式(2)做傅立叶反变换:①收稿日期:20121204作者简介:刘渭清(1966),男,西安人,讲师,博士研究生,主要从事信号处理,模式识别方面的研究.I D F T [τ(ω)]=1M ðM -1i =0ð¥k =1k c (k )c o s (k ω)W -i nM =n c (n )2(3)即,可由群延迟函数求出复倒谱系数;根据复倒谱的基本理论,最小相位序列与其复倒谱系数之间满足:a n =ðnk =0k æèçöø÷n c (k )a n -k n >0(4)其中,a (0)=1.由式(4)可得分母多项式的系数.它的主要步骤是:首先,根据指定的全通滤波器群延迟函数,得到分母的群延迟函数;其次,由分母群延迟函数得到分母多项式的倒谱系数;最后,由倒谱系数求得分母多项式的系数,进而确定出滤波器的传递函数,该方法的详细设计原理和步骤可参考文献[3-5].2 基于倒谱系数的最小二乘等波纹逼近法设计原理通过对上述方法分析可知,其核心思想是由式(2)做傅立叶逆变换求出复倒谱系数,但在滤波器阶数一定的条件下,只能对所求的倒谱系数进行截断,因此造成设计结果的低频和高频附近误差较大.文献[3]给出滤波器阶数N =20时的设计结果和误差波形.对此,本文采用的设计方案是:在滤波器阶数一定的条件下,使设计的分母群延迟函数以等波纹误差近似理想的(设计目标)群延迟函数,从而使设计结果的误差在整个频带上呈均匀分布,进而降低了误差的最大值.2.1 最小二乘等波纹逼近法设计原理2.1.1 构造加权最小二乘逼近设τe x p (ω)是目标群延迟函数(相当于分母群延迟函数),τx (ω)为τe x p (ω)在全频带[0,π]上的逼近函数.根据最小二乘法(W L S )的相关理论,定义误差函数的加权平方和:E m s e =ðK l =1W (ωl )E 2α(ωl )(5)其中E α(ω)=τe x p (ω)-τx (ω)是误差函数,W (ω)为加权函数,K 是在误差函数上的采样点数目.由式(2)可知,逼近函数τx (ω)应定义为:τx (ω)=ðNk =1k c (k )c o s (k ω)(6)上式中N 为滤波器的阶数(不是最终设计的阶数).令b (k )=k c (k ),则式(6)可用矩阵形式表示为b Ts (ω),其中,b =[b (0),b (1),b (2), ,b (N )]Ts (ω)=[1,c o s ω,c o s 2ω, ,c o s N ω]T为了使加权平方和E m s e 最小化,令∂E m s e∂b (i)=0,得到一个线性方程组A b =d .其中,A =ðkl =1W (ωl )s (ωl )s T(ωl )d =ðkl =1W (ωl )τe x p (ωl )s (ωl )这里A 是一个实对称的正定矩阵[6].因此方程有唯一解b .在求解方程组时,为了避免求矩阵的逆矩阵,可采用柯列斯基分解法(c h o l e s k y d e c o m p o s i t i o n ).求解方程后可以得到使E m s e 最小化时的逼近函数τx (ω).但此时的误差逼近函数E α(ω)并不是等波纹分布的.图1给出了误差函数的一般形式.有关最小二乘法的详细原理可参阅数值分析教材的相关章节.2.1.2 加权函数W (ω)的确定为了实现等波纹逼近,需要确定合适的加权函数.加权函数W (ω)可采用迭代方法来求出.设W k (ω)是第K 次迭代的加权函数,那么,第K +1次迭代的加权函数可定义为W k +1(ω)=W k (ω)βk (ω),更新函数βk (ω)可由误差函数E α(ω)的包络轨迹来确定[7].由图1可知,E α(ω)在[0,π]上的谷底频率处具有局部极小值αi (i =2,3, ,7),α1和α8是边界2西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷图1 误差函数的一般形式频率.误差函数在两个连续的αi 之间的极大值可表示为:r i =m a x {E α(ω)} αi ɤωl ɤαi +1其中1ɤi ɤu -1,u -1为谷底频率的个数,α1和αu +1是滤波器的边界频率.更新函数可以定义为:βk(ωl )=r 1α1ɤωl ɤα2r iαi <ωl ɤαi +1 i =2,3, ,{u (7)更新函数βk (ωl )表示了在每次迭代后,误差函数的分布情况.令q =[βk (ω1),βk (ω2) βk (ωN )]T同时令q m a x =m a x (q )q m i n =m i n (q )设定ε为一个较小的正数(例如,0.01),如果,c =q m a x -q m i nq m ax ɤε成立,则认为误差函数达到了等波纹分布.否则,按W k +1(ω)=W k (ω)βk (ω)调整加权函数,并且对加权函数用其最大值做归一化处理.在首次运算时,可设W 0(ωl )=1.另外,为了提高迭代的速度,可按W k +1(ω)=W k (ω)βθk (ωl )更新权函数,其中θ在1.2至1.7之间(这一点很必要).2.1.3 最小二乘等波纹逼近法的计算步骤1)初始化权函数W 0(ωl );2)计算矩阵A 和d ,并求解线性方程组A b =d .3)计算误差函数E α(ω).4)确定αi 和r i ;进而求得βk (ωl )和c .5)如果c ɤε(例如0.01),计算逼近函数τx (ω),退出;否则,更新权函数,返回第二步.2.2 求逼近函数τx (ω)所对应的倒谱序列若设滤波器的阶数为N ,根据式(6)和式(3),可求得设计目标(相当于分母多项式)群延迟函数所对应序列的倒谱系数乘以K 的值:k c (k )=2*I F F T [τx (i )](8)将计算结果代入式(4)即可求得分母多项式系数a n ,进而得到所需的全通滤波器的传递函数.然而,值得注意的是,若上述计算没有任何误差,式(8)的计算结果除前N +1项外,其余项应为0.但在使用最小二乘法做有限次迭代,使得最终求得的逼近函数τx (ω)存在微小的计算偏差,从而导致式(8)的计算结果除前N +1项外,仍有几项非零值.这样由式(4)求得的分母多项式的阶数比N 阶要大一些,但对整体设计效果无影响.在具体设计时,可根据设计精度要求确定N .3 设计举例文献[3]在设计举例中给定的全通滤波器群延迟特性为τ(ω)=(10ω-3ω2) 0ɤωɤπ其特性如图2所示.本文以此为例,设计一个等波纹逼近全通滤波器并与文献[3]中的方法进行比较.在设计时,抽样点数取M =512,按照上述各步骤,分别仿真了阶数等于20和30两种情况,经过迭代运算,最终所得全通滤波器的阶数分别为N =26和N =36.误差函数分别如图3和图4所示.可以看出设计结果的误3第12期 刘渭清:一种数字全通滤波器的最小二乘设计法差在整个频带上呈均匀分布,且随着阶数的增加误差明显减小.此外,图5给出了在滤波器阶数N =26时,采用文献[3]方法设计所得滤波器的群延迟函数及其误差函数.其中,图5的最大绝对误差值为0.2012,而在相同阶数下,本文的最大绝对误差值如图3所示为0.14.下面式(9)列出了N =20时采用最小二乘等波纹逼近法设计所得到的26阶滤波器分母多项式的系统函数(式中有效位数稍有取舍).D (z )=1-0.3659z -1-0.6839z -2+0.2531z -3+0.1431z -4-0.0562z -5-0.0185z -6+0.0078z -7-0.001z -8+0.0002z -9-0.0012z -10+0.0004z -11-0.0008z -12+0.0003z -13-0.0006z -14+0.0002z -15-0.0004z -16+0.0002z -17-0.0004z -18+0.0001z -19-0.0034z -20+0.0013z -21+0.0026z -22+0.001z -23-0.0005z -24+0.0002z -25-0.00008z -26(9)图2理想群延迟函数图3 滤波器阶数=26的误差函数图4 滤波器阶数=36的误差函数图5 由文献[3]方法所产生的误差函数4 结 论文中提出了以复倒谱系数为基础,利用最小二乘法实现等波纹逼近数字全通滤波器的设计方法并给出了实验仿真结果.该方法与其它基于倒谱系数的设计方法如文献[3-5]相比,其误差的最大值减小,同时逼近误差在整个频带上均匀分布,且随着阶数的增加,其设计精度明显提高.此外,该方法的设计思路较简单,计算方便,易于应用.参考文献:[1]Y E G N A N A R A Y A N A B .D e s i g no fR e c u r s i v e G r o u p D e l a y F i l t e r sb y A u t o r e g r e s s i v e M o d e l i n g [J ].I E E E T r a n s .A c o u s t ,S p e c h ,S i g n a l P r o -C e s s i n g ,1982,30:632-637.[2] R ED D Y G R ,S WAMY M NS .D i g i t a lA l l -P a s sF i l t e rD e s i g n t h r o u g hD i s c r e t eH i l b e r tT r a n s f o r m [J ].IE E EI n t e r n a -t i o n a l S y m p o s i u mo nC i r c u i t s a n dS y s t e m s ,1990(1):646-649.[3] R A J AMA N IK ,Y H E A N -S E N L .A N o v e lM e t h o df o rD e s i g n i n g A l l p a s sD i g i t a lF i l t e r [J ].I E E ES i g n a lP r o c e s s i n g4西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷L e t t e r s ,1999,6(8):207-209.[4] J O V A N O V I C -D O L E C E K G ,D I A Z -C A R MO N AJ .D i g i t a lA l l -P a s sF i l t e rD e s i g n M e t h o dB a s e do nC o m p l e xC e p s t r u m [J ].E l e c t r o n i c sL e t t e r s ,2003,39(8):695-697.[5] 耿 烜,谢志远.一种数字全通滤波器的改进设计方法[J ].华北电力大学学报,2004,31(3):89-92.[6] 王大飞,耿宏瑞,刘 静.稳定矩阵,正定矩阵和M 矩阵的新判定[J ].西南师范大学学报,2012,37(4):1-4.[7] S U N D E RS ,R AMA C HA N D R A N V.D e s i g n o f E q u i r i p p l eN o n r e c u r s i v eD i g i t a l D i f f e r e n t o r s a n dH i l b e r tT r a n s f o r m sU -s i n g aW e i g h t e dL e a s t -S q u a r e sT e c h n i q u e [J ].I E E ET r a n s a c t i o n s o nS i g n a l P r o c e s s i n g ,1994,42(9):2504-2509.O naW e i g h t e dL e a s t -S q u a r e sT e c h n i qu e f o rD e s i g nA l l -p a s sD i gi t a l F i l t e r L I U W e i -q i n g 1,21.M e c h a n i c a l a n dE l e c t r o n i cE n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t ,X i a nU n i v e r s i t y o f A r t sa n dS c i e n c e ,X i a n 710065,C h i n a ;2.S c h o o l o f E l e c t r o n i ca n d I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,X i d i a n u n i v e r s i t y ,X i a n 710065,C h i n a A b s t r a c t :A p r o c e d u r e f o r t h e d e s i g no f e q u i r i p p l e d i g i t a l a l l -p a s s f i l t e rw i t h aw e i g h t e d l e a s t -s q u a r e s t e c h -n i q u eb a s e do n c e p s t r a l c o e f f i c i e n t s h a s b e e n p r e s e n t e d .T h e d e n o m i n a t o r p o l y n o m i a l o f a s t a b l e a l l p a s s f i l -t e r i s c e r t a i n t o h a v e am i n i m u m -p h a s e .B a s e d o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e d e l a y f u n c t i o n a n d t h e c e p s -t r a l c o e f f i c i e n t s ,t h ec o m p l e xc e p s t r a lc o e f f i c i e n t sc a nb ed e t e r m i n e db y a w e i g h t e dl e a s t -s q u a r e st e c h -n i q u e ;b y m e a n s o f t h e c o m p l e xc e p s t r a l c o e f f i c i e n t s ,t h ea l l -p a s s f i l t e rd e n o m i n a t i o nc o e f f i c i e n t sa r eo b -t a i n e db a s e do n t h e r e l a t i o nb e t w e e n t h e c o m p l e xc e p s t r u mc o e f f i c i e n t a n d t h e s t a b l em i n i m u m p h a s e s e -q u e n c e .T h ea l l -p a s st r a n s f e r f u n c t i o ni sc o m p l e t e l y d e t e r m i n e df r o mi t sd e n o m i n a t o rc o e f f i c i e n t s .T h e g r o u p d e l a y o f d e s i g n e d f i l t e r c a na p p r o x i m a t e t h e d e s i r e d g r o u p d e l a y i na l l b a n d ,a n de r r o r i s au n i f o r m d i s t r i b u t i o n .K e y w o r d s :w e i g h t e d l e a s t -s q u a r e s ;a l l -p a s s f i l t e r ;g r o u p d e l a y ;e q u i r i p p l e a p p r o x i m a t i o n ;c e p s t r a l c o e f f i -c i e n t s ;m i n i m u m p h a s e责任编辑 汤振金5第12期 刘渭清:一种数字全通滤波器的最小二乘设计法6西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷。
通信原理第7版第7章PPT课件(樊昌信版)
基准 ——2PSK 前一 ——2DPSK
/2
参考相位
/ 2 B方式
课件制作：曹丽娜
示例: 波形: 差分编码规则：
西安电子科技大学 通信工程学院
⊕为模2加
bn-1为 bn的前一码元 最初bn-1可任意设定
课件制作：曹丽娜
2DPSK 产生
构思 模型
2DPSK 解调
西安电子科技大学 通信工程学院
Power Spectral Density
分析目的：B 和 fc
分析方法：借助于基带信号的功率谱
西安电子科技大学 通信工程学院
课件制作：曹丽娜
1 2ASK信号的功率谱密度
e2ASK (t) s(t) cosct
单极性
设
Ps (f) —— s(t) 的PSD
P2ASK (f) —— 2ASK信号的PSD
课件制作：曹丽娜
概述
数字调制：用数字基带信号控制载波某个参数的过程。 数字带通传输系统：包括调制/解调过程的数字传输系统。
方法
模拟调制法
数字键控法
分类
二进制和多进制调制
基本调制和新型调制
1
0
1
1
0
1
1
0
1
t
t
t
振幅键控
频移键控
相移键控
Amplitude Shift Keying
FSK
Phase Shift Keying
课件制作：曹丽娜
2 2PSK/2DPSK信号的功率谱密度
e2PSK (t) s t cosct
双极性
➢ 2PSK信号的频谱与2ASK的十分相似； ➢ 带宽也是基带信号带宽的两倍：
➢ 区别仅在于当P=1/2时，谱中无离散谱（即载波分量）。
可靠性工程与风险评估-模糊集理论
把假的隶属函数考虑为真实的映射，因此有：
false x true 1 x
自然语言中，有很多修饰词如“很”、“相当”、
“特别”、
“有点”等，这些词放在一个单词的前面便调整了这
词词义的肯定程度，此时对语言变量的模糊集要进行
适当的修改，ve它ryve的ryA隶x属函数A 可x近4 视地定义为：
veryAx A x2
这里仅讨论二元关系，简称之为关系。
类似的，将X，Y上的模糊关系定义为卡氏积X Y
的一个模糊子集，假设A与B分别为X，Y论域上的一个
模糊关系R，其中 R A B ，R的隶属度为：
R x, y min Ax, B y
同样的定义二元模糊关系：
设X，Y是两个非空集合，X Y 的一个模糊子集R称
为X到Y的一个二元模糊关系，记作：
A
~
x
A
x
/
x
式中是一种记号不是积分，它们表示X中各个元素及其
隶属度的总括。
由此可见，原先，xi 是否隶属于集合是模糊不清的，
但是通过隶属度将原来具有的不确定性（即模糊性）在
形式上转化为确定性，即确定其隶属于A的程度，采用
不同确定的隶属度来表达模糊性。
2.模糊集的运算
下面将普通集合的并，交，余运算推广到模糊集中。
的一个模糊子集，可简单地表示为：
Ri i1, i2 ,, in
~
同理，可得相应于每个因素的单因素评判集如下：
R1 11, 12 ,1n
n
A
~
A x1/
x1
A xn
/
xn
r i
A xi
/
xi
xi X
式中 Axi 表示 xi 属于A的隶属度；X为论域；
一种特征显著性编码的极光图像分类方法
一种特征显著性编码的极光图像分类方法
韩冰;仇文亮
【期刊名称】《西安电子科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(040)006
【摘要】提出了一种基于静态极光图像分类的新方法.在研究了极光图像特殊性的基础上,提取极光图像的尺度不变特征转换(SIFT)特征,再利用模糊C均值聚类获得所有SIFT特征的聚类中心,根据显著编码将聚类中心的权值作为极光图像的最终特征,通过支撑向量机对3200幅极光图像进行分类.实验结果表明,所提出的新方法不但能够有效地对弧状极光进行分类,而且在复杂冕状极光图像分类时,也取得了良好效果.
【总页数】7页(P180-186)
【作者】韩冰;仇文亮
【作者单位】西安电子科技大学电子工程学院,陕西西安710071;西安电子科技大学智能感知与图像理解教育部重点实验室,陕西西安710071;西安电子科技大学电子工程学院,陕西西安710071;西安电子科技大学智能感知与图像理解教育部重点实验室,陕西西安710071
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.73
【相关文献】
1.基于图正则化局部特征编码算法的图像分类方法 [J], 杨赛;赵春霞;胡彬;陈峰
2.一种基于稀疏编码的多核学习图像分类方法 [J], 亓晓振;王庆
3.一种基于局部排序的约束稀疏编码的图像分类方法 [J], 曹晔
4.一种基于变分自编码器的高光谱图像分类方法 [J], 徐朋磊;薛朝辉;车子杰
5.一种基于栈式压缩自编码的高光谱图像分类方法 [J], 郭棚跃;刘振丙
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第七章 模糊 vs 概率 - 西安电子科技大学电子工程学院
(不应该)
随机与模糊：是否与多少
模糊性:事件发生的程度，而不是一个事 件是否发生. 随机性:描述事件发生的不确定性,即,一 个事件发生与否.
模糊事件的概率
例子：明天有20%的几率下小雨（包含复合的
不确定性） 冰箱里有一个苹果的概率为50% （Probability） 冰箱里有半个苹果（Fuzzy） 停车位问题
区别 关键的区别在于如何处理一个集合 A C 与它的补集合 A 概率: A Ac , P( A Ac ) P( ) 0 模糊: A A
c
考虑两个问题 c A A 总是成立的吗？（不是） 1） 2）是否应该以定义的形式给出条件概率算子
P( A B ) P( B | A) P( A)
定义 称映射
A : X [0,1]
为 X 上的模糊集. 称 A( x)为 x 对 A 的隶属度,映射 A( x) 为隶属 函数.
二.概率的基本概念 设随机实验为E,样本空间为X,映射 P : X [0,1]
为概率，若它满足以下条件：
1.正规性;
2.规范性;
3.可列可加性.
模糊和概率
问题:是否不确定性就是随机性？概率的概念是 否包含了所有的不确定性的概念？
I n [0,1]n
.
模糊集的几何学
论域 X 中的任意一个模糊集均为立方体 I [0,1] 内的一个点。 论域 X 中的非模糊集对应立方体 I n 的顶点。 I n 的中点离各顶点等距，模糊性最大。
n n
例:设 X {x1 , x2 } ,模糊集
1 3 A { , }. 3 4
模糊集的几何学
Prop. A为真正的模糊集 iff A Ac iff A Ac X 注意:此命题说明Aristotle的两条法则( noncontradiction,excluded middle), 适用而且只适用于经典集合.
模糊与概率培训课件.ppt
所有四个点 A, Ac, A Ac, A Ac 汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点， A
就越确定。当A到达顶点时，全部四个点发散到四个顶点，得到二值幂集合2X。
模糊立方体将Aristotelian集合“流放”到顶点处。
9
n
三、模糊集合的大小——隶属度函数和 M ( A) mA(xi )
8
A is properly fuzzy iff A Ac or iff A Ac X
A (1/ 3,3/ 4), Ac (2 / 3,1/ 4), A Ac (1/ 3,1/ 4), A Ac (2 / 3,3/ 4)
完整的模糊方形。越靠近模糊立方体的中点， A就越模糊。当A到达中点时，
m F
(2B
)
(
A)
利用失配法(fit-violation strategy)，假定X包含有100个元素：X={x1,…,x100}。 而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1)>mB(x1)。直观上， 我们认为A大部分是B的子集。可以估算，子集性为S(A,B)=0.01，并且，如 果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1) 越大，失配的数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集， 或者说，A就越象是B的超集。直观上有：
将包含度定理中的A、B分别用 A Ac 和 A Ac 代替，并注意到交 集 A Ac 是并集 A Ac 的子集，即可证得。或使用距离表示法
n
V (B) mB (xi )
i 1
14
点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2B)外不同的点A是B的不 同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属 于F(2B)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度：
基于参数解耦的变分贝叶斯自适应卡尔曼滤波
基于参数解耦的变分贝叶斯自适应卡尔曼滤波
许红;刘欣蕊;邢逸舟;全英汇
【期刊名称】《雷达科学与技术》
【年(卷),期】2024(22)3
【摘要】针对噪声协方差矩阵失配情况下的状态估计问题,本文基于变分贝叶斯框架,提出了一种适用于过程噪声协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵均未知条件下的
参数解耦的变分贝叶斯自适应卡尔曼滤波算法。
所提算法选取预测误差协方差矩阵作为变分优化变量,并引入了其马尔可夫演化模型,构造了参数解耦的变分推断模型。
同时,采用固定点迭代优化实现状态、预测误差协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵
的联合后验概率分布求解,并设计了算法的收敛性判断准则。
仿真结果验证了算法
的有效性。
【总页数】9页(P291-299)
【作者】许红;刘欣蕊;邢逸舟;全英汇
【作者单位】西安电子科技大学杭州研究院;西安电子科技大学电子工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TN953;TN957.5
【相关文献】
1.GPS／INS组合导航的变分贝叶斯自适应卡尔曼滤波
2.时变有色观测噪声下基于变分贝叶斯学习的自适应卡尔曼滤波
3.强跟踪变分贝叶斯自适应卡尔曼滤波算法
4.
线性校正变分贝叶斯自适应扩展卡尔曼滤波跟踪算法5.基于变分贝叶斯双尺度自适应时变噪声容积卡尔曼滤波的同步定位与建图算法
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罗素(Russell)悖论: 考虑集合A,它是“不以自己为元素的集合” 的全体构成的集合. 问: A是不是自己的元素?
答:按A的定义,对这个问题不论回答“是”或“不 是”都将导致矛盾.
定义 称映射
A : X [0,1]
为 X 上的模糊集. 称 A( x)为 x 对 A 的隶属度,映射 A( x) 为隶属 函数.
c
考虑两个问题 c A A 总是成立的吗？（不是） 1） 2）是否应该以定义的形式给出条件概率算子
P( A B ) P( B | A) P( A)
(不应该)
随机与模糊：是否与多少
模糊性:事件发生的程度，而不是一个事 件是否发生. 随机性:描述事件发生的不确定性,即,一 个事件发生与否.
Paradox of The Midpoint (中心点处的悖论)
我们知道,中点处的模糊性最大,因此它所 对应的论断也充满了矛盾.经典逻辑与集合论利 用公理的形式对其加以限制,从而产生了悖论. 如:罗素悖论,克里特的说谎者,陷入两难境 地的理发师.
分析(以理发师为例):
令S为命题——理发师给自己理发， S 为命题——理发师不给自己理发。 由于 ( s s) (s s) , 则 , s s
第七章 模糊与概率
兰 蓉
本章的主要问题：
模糊和概率的基本知识 模糊集合的几何图示 模糊集合的大小的表征 模糊集合的模糊程度的度量 模糊集合间的包含关系 模糊集合间的包含关系与模糊集 合的模糊程度之间的关系
模糊和概率的基本知识
一.模糊集的基本概念 Cantor： 一个集合是我们的直观或思维中确定的可 区别的诸对象的整体，这些对象称为该集合的元 素（成员）.
故 t (S ) t (S )刻划了很多悖论的逻辑形式，尽管不同的
悖论有不同描述； 2）在二值逻辑中，命题S, S 只能取0或1，而 模 糊逻辑中解决悖论它只用了一个事实，即， 令它们的真值相同； 3）之所以会出现悖论，是由于人们只坚持二值逻 辑。
问题:下式是否成立?
mA ( x) Pr ob{x A}
注意:一般来说,不是所有的样本空间均可以定义 概率测度,但总能定义模糊集.
结论: 概率表征是不完备的.
模糊集的几何学
为了帮助我们更好地讨论模糊集的相关性 质，并且为了使我们对模糊集有一个更为直观 的印象，我们将引入模糊集的一种新的几何的 观点，即，将集合视为点.
m AB max(mA , mB ) m Ac 1 m A
例:参见课本第271页. c A A , 此时,
A Ac X
Prop. A为真正的模糊集 iff A Ac iff A Ac X 注意:此命题说明Aristotle的两条法则( noncontradiction,excluded middle), 适用而且只适用于经典集合.
2）可以证明: M ( A) l ( A, )
即, M ( A) 为海明距离.
谢谢!
{x1， x2}的幂集2X。对角线连接
了非模糊集合的补集。
注意: 中心点最为模糊的,所有值均为1/ 2 ,中心点在 以下两个方面是唯一的。 ①它是满足下式的唯一的模糊集：
A A Ac A Ac Ac
②它是到顶点等距的唯一的点.
交 并 补
我们考虑模糊集的三种运算: m AB min(mA , mB )
模糊事件的概率
例子：明天有20%的几率下小雨（包含复合的
不确定性） 冰箱里有一个苹果的概率为50% （Probability） 冰箱里有半个苹果（Fuzzy） 停车位问题
问题: 下面哪一种描述更好? 它可能是 一个椭圆.
或,
它是 一个模糊的椭圆. 此中没有随机性的问题，所 以属于模糊问题。 不精确的椭圆
二.概率的基本概念 设随机实验为E,样本空间为X,映射 P : X [0,1]
为概率，若它满足以下条件：
1.正规性;
2.规范性;
3.可列可加性.
模糊和概率
问题:是否不确定性就是随机性？概率的概念是 否包含了所有的不确定性的概念？
Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的 描述，并且适用于任何涉及不确定性的问题,所 有其他方法都是不充分的(直接指向模糊理论). Bayesian camp：一事件的概率是由事件本身 的性质决定的， 不是由该事件的频率决定的。
模糊与概率的异同 相似点 1.都可用来刻画不确定性. 2.都以[0,1]中的数来进行标度,即,映射 的值域是相同的,均为[0,1]. 3. 都有相同的运算:并 ,交 ,补 C.
区别 关键的区别在于如何处理一个集合 A C 与它的补集合 A 概率: A Ac , P( A Ac ) P( ) 0 模糊: A A
模糊集的几何学
在这种观点之下(设论域为 X ) 论域X 的所有经典集的集合 . 2 X Bn X F (2 ) 为 论域 X 的所有模糊子集的集合
I n [0,1]n
.
模糊集的几何学
论域 X 中的任意一个模糊集均为立方体 I [0,1] 内的一个点。 论域 X 中的非模糊集对应立方体 I n 的顶点。 I n 的中点离各顶点等距，模糊性最大。
Counting With fuzzy Sets
问题:模糊集有多大? 模糊集 A 的大小 M ( A) 可由下式来计算:
M ( A) mA ( xi )
i 1 n
例:设A = ( 1/3,3/4), 则 M (A) =1/3+3/4 = 13/12
M ( A) 的几何意义:当我们把集合视为点之后, 说明：1） M ( A) 为向量 OA 的大小；
n n
例:设 X {x1 , x2 } ,模糊集
1 3 A { , }. 3 4
模糊集的几何学
模糊集合A是单位“二维立 方体”中的一个点，其坐标(匹配 值)是（1/3，3/4）。表明第一
个元素x1属于A的程度是1/3，第
二个元素x2的程度是3/4。立方体 包含了两个元素{x1， x2}所有可 能的模糊子集。四个顶点代表