专题一归纳与猜想学案
归纳---猜测---论证 教案 教师
归纳—猜想—论证（高三复习课）教学目标1.经历“归纳—猜想—论证”的思维过程，领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。
2.发展学生的归纳猜想能力，提高演绎论证能力，体会归纳与演绎的辩证与统一。
3.通过实验、观察、尝试，培养学生的科学探究能力。
教学重点“归纳—猜想—论证”的思维方法.教学难点“归纳—猜想”能力的培养．教学过程一. 复习“归纳—猜想—论证”的思想方法（我们先看这样一个问题） 【引例】观察下列等式，你可以归纳出一个更一般的结论吗？（大家想想）【学生】()()22233331123123.4n n n n +++++=++++=【教师】这个等式很简洁、很美，这么漂亮的等式用什么方法证明呢？（数学归纳法）证明：1. 当1n =时，猜想成立。
2. 假设()1n k k =≥时， ()2233331123.4k k k S k +=++++=则当1n k =+时，()()()()()222233111211.44k k k k k k S S k k ++++=++=++=所以，1n k =+时猜想也成立。
综上，对任意的n N *∈猜想都正确。
【问题】如果直接给你这样一个问题3333123n ++++= .若不能直接完成，你又该怎么做？33333311,129,12336,.=+=++=【教师】为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法（今天我们复习“归纳—猜想—论证”，直接点题）。
二．应用“归纳—猜想—论证”的思维方法解决问题【例1】设定义在*N 上的函数();()()()2nn f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，如果)2()3()2()1(n n f f f f a ++++= ，那么=-+n n a a 1 .【问题】这是去年浦东新区一模第13试题，也是一个和正整数有关的问题，如何解答？【教师】需要强调：因为归纳猜想的结论不一定正确，所以我们一定要尽可能地利用证明验证猜想的正确性，由于这道题目证明方法比较巧妙，我给大家留下充足的时间课后思考、探讨，下节课我们相互交流。
初中数学归纳猜想法教案
教案：初中数学归纳猜想法教学目标：1. 让学生了解归纳法，理解数学归纳的原理与实质。
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明与自然数有关的命题。
3. 培养学生观察、分析、论证的能力，发展学生的抽象思维能力和创新能力。
教学重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学方法：类比启发探究式教学方法。
教学手段：多媒体辅助课堂教学。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入归纳法概念，通过具体例子让学生感受归纳法的作用。
2. 引导学生思考归纳法的局限性，引出数学归纳法的必要性。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解数学归纳法的原理与实质，让学生理解数学归纳法的基本思想。
2. 分步骤讲解数学归纳法的两个步骤：第一步是证明归纳基础成立，第二步是证明归纳假设成立。
3. 通过具体例子演示数学归纳法的运用过程，让学生掌握数学归纳法的证明方法。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识。
3. 教师点评，解答学生疑问。
四、归纳总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结数学归纳法的步骤和关键点。
2. 强调数学归纳法在证明与自然数有关命题中的应用。
五、课后作业（课后自主完成）1. 巩固数学归纳法的概念和步骤。
2. 尝试运用数学归纳法证明一些简单的命题。
教学反思：本节课通过讲解归纳法的基本概念，让学生了解数学归纳法的原理与实质。
通过具体例子，让学生掌握数学归纳法的证明步骤，培养学生的观察、分析、论证能力。
在课堂练习环节，学生通过独立完成练习题和分组讨论，进一步巩固所学内容。
在归纳总结环节，学生回顾所学知识，加强对数学归纳法的理解和应用。
通过课后作业，让学生巩固所学知识，提高自主学习能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生疑问，引导学生积极参与课堂讨论。
此外，还要注重培养学生的逻辑思维能力和创新能力，引导学生运用数学归纳法解决实际问题。
高中数学高二第一学期7.6归纳—猜想—论证_教案1-沪教版
归纳—猜想—论证【教学目标】1．对数学归纳法的认识不断深化。
2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法。
3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系。
【教学重难点】用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明。
【教学过程】一、复习引入师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法。
请问：它适用于哪些问题的证明？生：与连续自然数n有关的命题。
师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？生：共有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n时结论正确；（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确。
师：这两个步骤的作用是什么？生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程。
师：这实质上是在说明这个证明具有递推性。
第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据。
递推是数学归纳法的核心。
用数学归纳法证题时应注意什么？生：两个步骤缺一不可。
证第（2）步时，必须用归纳假设。
即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立。
师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。
今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题。
二、归纳、猜想、证明1．问题的提出。
a 3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。
师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理。
（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上。
）师：正确。
怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下。
2．归纳与猜想。
生：我猜出了一个an的计算公式。
（许多学生在偷笑）。
师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好。
人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾。
中职数学(人教版)：归纳--猜想--证明教学教案
第06讲 归纳——猜想——证明（一）知识归纳：由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序：①计算命题取特殊值时的结论；②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论；③证明所猜想的结论. （二）学习要点：在中学数学内，“归纳—猜想—证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n 有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明. 【例1】已知数列{}n a 满足关系式∈≥+=>=--n a a a a a a a n n n ,2(12),0(111N +）， （Ⅰ）用a 表法a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）猜想a n 的表达式（用a 和n 表示），并证明你的结论.[解析]（Ⅰ）;7183141314212,31412112212,23342232a a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a a +=+++⨯=+=+=+++⨯=+=+= （Ⅱ）（ ,)12(12,)12(12111001a a a a a a a -+=-+==） 猜想,)12(1211aaa n n n -+=--下面用数学归纳法证明：1°．当n=1时，∴-+==,)12(12001a aa a 当n=1结论正确； 2°．假设当n=k 时结论正确，即aaa k k k )12(1211-+=--，∴当n=k+1时 a a aa a a k k k k k k 1112)12(1212--++-+=+= =,)12(1222121aaa a a kk k k -+=-⨯+-当n=k+1时结论也正确；根据1°与2°命题对一切n ∈N*都正确.[评析]“归纳—猜想—证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易.【例2】已知数列{}n a 满足：,232,1111-+⨯+==n n n a a a 计算a 2，a 3，a 4的值，由此归纳出a n 的公式，并证明你的结论.[解析]很容易算出a 2=5，a 3=16，a 4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索.∵a 2=2 a 1+3×2°=2×1+3×2°，a 3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21， a 4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想a n =2n －1+（n －1）×3×2n －2=2n －2（3n －1）； 用数学归纳法证明：1°．当n=1时，a 1=2－1×=1，结论正确；2°．假设n=k 时，a k =2k －2（3k －1）正确，∴当n=k+1时，111123)13(2232---+⨯+-=⨯+=k k k k k k a a =)23(21+-k k],1)1(3[21)1(-+=-+k k 结论正确；由1°、2°知对n ∈N*有).13(22-=-n a n n[评析]如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功.【例3】已知等差数列{}n a 中，a 2=8，前10项的和S 10=185， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式a n ；（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第2，4，8，…，2n ，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n 项和A n ； （Ⅲ）设 B n =n （5+3 a n ），试比较A n 和B n 的大小，并说明理由.[解析]（Ⅰ）设公差为d ，∴;23)1(35,5345101858111+=-⨯+=∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=-=n n a a d d a d a n（Ⅱ）设新数列为{}n b ，∴2232+⨯==nn n a b∴A n =3×（2+22+23+…+2n ）+2n=3×2n ＋1+2n －6；（Ⅲ）∵,48163,22283,8443,119)119(3212=⨯==-⨯==-⨯=∴+=+=A A A n n n n B nA 4=3×32+2=98，A 5=3×64+4=196，A 6=3×128+6=390，A 7=3×256+8=776，…… 而B 1=20，B 2=58，B 3=114，B 4=188，B 5=280，B 6=390，B 7=518，…… ①当n=1，2，3，4，5时，B n >A n ； ②当n=6时，B 6=A 6；③当n ≥7，且n ∈N*时，猜想A n >B n ，用数学归纳法证明： 1°．当n=7时，A 7=766>518=B 7，结论正确；2°．假设当n=k （k ≥7）时，A k >B k ，即3×2k+1+2k －6>9k 2+11k ⇒2k+1>3k 2+3k+2，∴n=k+1时，)]1(11)1(9[]6)1(223[2211+++--++⨯=-+++k k k B A k k k=6×2 k+2－9k 2－27k －24=6×[2 k+1－（3k 2+3k+2）]+6×（3k 2+3k+2）－9k 2－27k －24 =6×[2 k+1－（3k 2+3k+2）]+9k 2－9k －12>9k 2－9k －12=9k （k －1）－12≥9×7×（7－1）－12>0 ∴A k+1>B k+1，即n=k+1时，结论也正确；根据1°、2°知当n ≥7且n ∈N*时，有A n >B n .[评析]从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.【例4】已知数列{}n a 满足：,2121221nn n a a a a a +===++且问是否存在常数p 、q ，使得对一切n ∈N*都有,12n n n qa pa a +=++并说明理由.[解析] ∵,112,3222341223=+==+=a a a a a a 设存在这样的常数p 、q ，∴,141133234123⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧+=+=q p q p q p qa pa a qa pa a 由此猜想，对n ∈N*，有,412n n n a a a -=++ 下面用数学归纳法证明这个结论：1°．当n=1时，12343a a a -==，结论正确；2°．假设当n=k 时结论正确，即,412k n k a a a -=++ ∴当n=k+1时，,42)2(4242)4(21212121221121223++++++++++++++-=-+-=--=+-=+=k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ∴当n=k+1时结论正确，故当n ∈N*时，n n n a a a -=++124成立.[评析]例4是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳—猜想—证明的方法，难度不大.《训练题》一、选择题1． 已知数列{}n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算,,,432a a a 猜想=n a（ ）A ．2)1(2+n B ．)1(2+n nC ．122-nD ．122-n 2．已知数列{}n a 的通项公式∈+=n n a n()1(12 N*），记)1()1)(1)(1()(321n a a a a n f ----= ， 通过计算)4(),3(),2(),1(f f f f 的值，由此猜想=)(n f（ ）A ．)1(22++n nB ．nn 42+ C ．2)1(12+-n n D ．)1(1++n n n3．数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2， S 3，猜想S n =（ ）A ．1212-+n n B ．1212--n n C ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n4．已知a 1=1，,,,01)(2)(,321211a a a a a a a a n n n n n n 计算且=++-->+++然后猜想=n a（ ）A ．nB ．n 2C ．n 3D ．n n -+35．设,20πθ<<已知,2,cos 211n n a a a +==+θ则猜想=n a（ ）A ．n2cos2θB ．12cos2-n θC ．12cos2+n θD ．n2sin2θ6．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有)(n f 种走法，则下面的猜想正确的是 （ ）A ．)3()2()1()(≥-+-=n n f n f n fB ．)2()1(2)(≥-=n n f n fC ．)2(1)1(2)(≥--=n n f n fD ．)3()2()1()(≥--=n n f n f n f二、填空题：7．已知数列{}n a 中，,924,1111=+-=++n n n n a a a a a 且通过计算,,,432a a a 然后猜想=n a8．在数列{}n a 中，,)1(,111n n a n a a +==+通过计算,,,432a a a 然后猜想=n a 9．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知S n =2n －a n （n ∈N +），通过计算数列的前四项，猜想 =n a 10．已知函数,22)(xx f -=记数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2),1(1≥=n f a 当时， ),25(21)(22-+=-n n a f S n n 则通过计算,,,321a a a 的值，猜想{}n a 的通项公式=n a 三、解答题11．是否存在常数a ，b ，c ，使等式 ∈+++=+++⋅+⋅n c bn an n n n n 对)(12)1()1(32212222N +都成立，并证明你的结论.12．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和为S n ，又n n S a 与满足关系式：n n n S a S a S a S =++++++2424242211 ，试求{}n a 的通项公式. 13．已知数列{}n a 的各项为正数，S n 为前n 项和，且)1(21nn n a a S +=，归纳出a n 的公式，并证明你的结论.14．已知数列{}n a 是等差数列，,2,131==a a 设∈=++++=-n k a a a a P n k n ,3(1931 N +）， ∈-=++++=n n m a a a a Q m n ,24(1062 N +），问P n 与Q n 哪一个大？证明你的结论.15．已知数列{}n a ：∈-==-n a p a a n n (1||,110N* ),10,<<p（Ⅰ）归纳出a n 的公式，并证明你的结论； （Ⅱ）求证：.01<<-n a p答案与解析一、1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A二、7．1256--n n 8．n ！ 9．1212--n n 10．n+1 11．令n=1得24=++c b a ①， 令n=2得4424=++c b a ②，令n=3得7039=++c b a ③， 解①、②、③得a =3，b=11，c=10，记原式的左边为S n ，用数学归纳法证明猜想)10113(12)1(2+++=n n n n S n （证明略） 12．计算得,6,4,2321===a a a 猜测n a n 2=，用数学归纳法证明（证明略）. 13．∵;12)1(211;1)1(21222211111-=⇒+=+=⇒+==a a a a a a a a S ∵23)1(2123333-=⇒+=+a a a a ，…，猜想∈--=n n n a n (1N*）.用数学归纳法证明（略）.14．∵,22+=n a n ∴,41232132132131101-+=++++++=-n P n n ;22212421224212142nn n Q n +=+-+++-⨯++-⨯= 计算得①当1≤n ≤3时，P n <Q n ；②猜想n ≥4时P n ＞Q n ，用数学归纳法证明，即证：当n ≥4时1(;1432+=+>k n n n 时用比较法证）15．（Ⅰ）∵pp p p p a p p p a a +-+-=-+--⋅=+-+-=+-=⇒=1)(111)(1,1)(111323220,…，猜测pp a nn +-+-=1)(1，数学归纳法证明（略）.（Ⅱ）∵,0)1()(11;0,1|)(|01>+--=+<∴<-<+p p p p a a p n n n n而∴.01,1<<-->n n a pp a 得。
沪教版(上海)数学高二上册-7.6 归纳—猜想—论证学案
“7.6 归纳—猜想—论证”学案【学习目标】1．体验“归纳—猜想—论证”的过程。
2．感悟“归纳—猜想—论证”的思想方法。
3．运用“归纳—猜想—论证”的方法解决简单的数列问题。
【预习导引】阅读课本第34页至第36页．一、学习P34例1后，观察前几项值之间的关系，需要将1、4、9、16分别表示成、、、，才能顺利猜想出a的表达式。
n在用数学归纳法进行证明的过程中，关注每一项的结构特点，从“n=k”到“n=k+1”，需要增加的项为。
二、学习P35例2后，整体观察前几项值之间的关系，你认为需要怎样进行思考，才能顺利猜想出结论？三、练一练：1．（1）分别计算2,2+4,2+4+6,2+4+6+8的值；（2）根据（1）的计算，猜想2+4+6+…+2n的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想。
2.（1）分别计算数列 -1，-1+3，-1+3-5，-1+3-5+7，…的值；（2）根据（1）的计算，猜想a=-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)的表达式；n（3）用数学归纳法证明你的猜想。
四、小结体会：经过以上学习，你认为“归纳—猜想—论证”这一思想方法是通过怎样的一个过程体现的？【能力提高】1．已知数列}{n a 满足*+∈-==N n a a a nn ,12,211， (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题可以看出，“归纳—猜想—论证”的方法可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题可以采用哪些方法？2．已知正整数数列}{n a 的前n 项和n S 满足*2,)1(41N n a S n n ∈+= (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题看出，“归纳—猜想—论证”的方法又可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题采用的是怎样的方法，你可以用这种方法再解一次本题吗？【探究思考题】是否存在大于1的正整数m，使得*f n∈n++=都能被m整除？⋅n3,9n)72((N)若存在，你能求出m的最大值吗？你能证明你的结论吗？【拓宽知识】你所知道的世界上著名的猜想有哪些？可以介绍给大家吗？作业：【基础题】《练习册》P15 习题7.6 A 组 1—4【能力提高题】1．在数列}{n a 中，),2()1(22,1*11N n n n n n a a a n n ∈≥+++==-， （1）可求得2a = ，3a = ，4a = ，猜想n a =（2）请用数学归纳法证明你的猜想.2．是否存在常数a 、b 、c ，使等式c bn an n n n n n ++=-⋅++-⋅+-⋅24222222)()2(2)1(1 对一切正整数n 都成立？ 若存在，你能求出常数a 、b 、c 的值吗？。
专题复习 归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
高中数学选修4-5：43观察、归纳、猜想、论证 学案
4.3观察、归纳、猜想、论证【学习目标】1.从特殊到一般进行概括、归纳，提出一般性的结论，并给予证明是一个完整的科学探究流程.2.数学归纳法是对有关正整数n 给出的一般性结论进行证明首选的方法.【自主学习】1. 对特殊的认真计算、考察、分析、划归是进行一般性归纳的基础，要小心 求证，并作出大胆假设.2．归纳推理是合情推理的一种方式，整合、转化以及敏锐的观察力常常是正确提出一般性结论的保证.【自主检测】1. 已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f (n )， 则最大的m 的值( )A.30B.26C.36D.6 2.112(),1,()(,2)2n n x f x x x f x n N n x -===∈≥+, 则234,,x x x 分别为 ,猜测n x = 3.对一切正整数n ,先猜出使2n t n >的最小正整数t ,然后用数学归纳法证明,并再证明不等式*lg 3(1)lg(123)()4n n n n N +⋅>⋅⋅⋅⋅∈ 【典型例题】例1. 在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.2.已知数列))(,(,1,}{11N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x-y+1=0上.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数1231111()n f n n a n a n a n a =++++++++(,2),n N n ∈≥求函数f(n)的最小值；(3) 设n nn S a b ,1=表示数列{b n }的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.3.把正整数按由小到大依次排成下面的数表12 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15……数表中第i 行共有12i -个数，设()*,ij a i j N ∈是位于数表中第i 行第j 个数（1） 若2013ij a =，求i 、j 的值（2）设112233n nn A a a a a =++++，比较n A 与2n n +的大小，并说明理由【课堂检测】1. 数列{}n a 中, 11a =, 且11,,2n n S S S +成等差数列, 则234,,S S S 分别为猜想n S =2.观察下列式子：2131,22+<221151,233++<22211171,,2344+++<则可归纳出 3. 已知函数()21f x x =-，数列{}n a 满足条件()11,1n n n a a f a +≥≥+.试比较12111111na a a ++++++与1的大小，并说明理由. 4. 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+n b 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 5.设正整数数列{}n a 满足24,a =且对于一切正整数n ，11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+ （1）求13,a a （2）求数列{}n a 的通项公式【总结提升】1．归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是一种完全归纳法.仅有有限项归纳得出的结论，不一定可靠，要通过证明，才能下结论.对于有关自然数的命题，常常通过数学归纳法来证明.2．不完全归纳法虽然不能代替证明，但这种非逻辑的合情推理，在数学证明之前显得非常重要，它是数学猜想的前提，通过它，可以发现到一般的结论和证明的思路.3．“观察———归纳———猜想———证明”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型.由于这类问题能培养同学们探索问题的能力，因而成为高考命题的热点.解这类问题，需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明.其中解题的关键在于正确的归纳猜想.。
《探究技能_猜想导学案》
《探究技能_猜想》导学案一、导学目标：1.了解什么是猜想，猜想的作用和意义。
2.掌握猜想的基本特点和构成因素。
3.培养学生发散思维和创造力，提高学生解决问题的能力。
二、导学内容：1. 什么是猜想？猜想是指在缺乏充足证据的情况下，对某个问题进行大胆的猜测和推断。
猜想是科学钻研和探究的起点，是对未知领域进行探索的一种方式。
2. 猜想的作用和意义：猜想可以激发学生的好奇心和求知欲，促使他们主动思考问题，积极探索未知领域。
通过猜想，学生可以培养自己的发散思维和创造力，提高解决问题的能力。
3. 猜想的基本特点和构成因素：猜想具有以下基本特点：主观性、不确定性、假设性、启发性。
猜想的构成因素包括问题、假设、推理和验证。
三、导学步骤：1. 导入：通过一个生动的例子引导学生思考，激发他们的好奇心和求知欲。
2. 进修：讲解猜想的定义、作用和意义，引导学生理解猜想的重要性。
3. 实践：设计一些问题让学生进行猜想，鼓励他们大胆推测并给出理由。
4. 总结：引导学生总结猜想的特点和构成因素，强调猜想对进修和科研的重要性。
四、导学评判：通过导学过程，检查学生是否理解了猜想的定义和作用，是否能够运用猜想进行问题解决。
评判学生的发散思维和创造力，鼓励他们勇于提出猜想并进行验证。
五、拓展延伸：引导学生在平时生活和进修中运用猜想，鼓励他们勇于探索未知领域，培养解决问题的能力。
同时，鼓励学生参与科学钻研和探索，提高科学素养和创新能力。
通过本次导学，学生将深入了解猜想的观点和作用，掌握猜想的基本特点和构成因素，培养发散思维和创造力，提高解决问题的能力，为未来的进修和生活打下坚实的基础。
愿学生在探究技能的道路上不息前行，英勇探索，英勇猜想，英勇创新！。
专题一归纳与猜想学案
专题一：归纳与猜想一、 知识综述归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。
我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
二、理解掌握例1、用等号或不等号填空：（1）比较2x 与x 2＋1的大小①当x ＝2时，2x x 2＋1；②当x ＝1时，2x x 2＋1；③当x ＝－1时，2x x 2＋1．（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2＋1． （3）试证明你的结论分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。
例2、观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+，45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算： 1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =＿＿＿＿。
分析：本题要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。
注意相消后所剩下的是什么。
例3、 观察下列数表：1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 … … … … 第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n 行与第n 列交叉点上的数应为＿＿＿＿。
（用含正整数n 的式子表示）分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。
例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四分析：本题关键是：先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。
例5、 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为S ，按此规律推断，S 与n 的关系式是＿＿＿＿＿＿。
观察 归纳与猜想 教案设计
· ·· · · · ·· ·· · · · · ··· · · · ·· ·· · · · · · · · ·· · · · · · · ·· · · · ·· · · · · · ····· · 5· · · 6· · „
（2）写出第几层所对应的总点数
）
6
教 学 过 程
7．一个正整数表如下（表中下一行中数的个数是上行中数的个数的 2 倍） ： 第1行 第2行 第3行 第4行 则第 8 行中的第 5 个数是什么数？ 4 2 5 4 „„ 1 3 7
8． 将连续的正整数 1 至 1001 按如图的方式排列成一个长方形阵列， 用一个正方形 框出 16 个数，被框出的 16 个数之和能否为 2004？能否为 15936？
本 课 作 业
5．自然数按下表的规律排列 1 4 9 16 25 2 3 8 15 24 5 6 7 14 23 10 11 12 13 22 17 18 19 20 21 （1）求上起第 10 行，左起第 13 列的数 （2）数 127 应在上起第几行，左起第几列？
6．12，22，32，„，1234567892 的和的个位数的数字是（ A、4 B、5 C 、6 D、7
„„
从表中可以看到第 4 行中， 自左向右第 3 个数是 左向右第 2 个数是
1 ， 第 5 行中从 9
.
1 ,那么第 199 行中自左向右第 8 个数是 12
.
第 1998 行中自左向右第 11 个数是
3
教 学 过 程
1．如右图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为 杨辉三角形，根据图中的数构成的规律， a 所表示的数 是 ． 第1列 第1行 第2行 第3行 „„ 16 第2列 2 14 18 „„ 第3列 4 12 20 28 第4列 6 10 22 26 ） 24 第5列 8 2．将正偶数按下表排成 5 列
归纳—猜想—论证高三复习计划课教学设计说明
概括—猜想—论证〔高三复习课〕教课方案说明选择课题的背景：1.在2021年第9期?数学教课?杂志封底看到张奠宙和赵小平教授的编后漫笔?一个新课题：数学思想方法的教课?，深受启迪，很想付诸实践，于是选择这个机遇展现一节对于数学思想方法的教课。
2.研究最近几年的高考试题，发现自觉或不自觉地在观察应用“概括—猜想〞解决问题的思想和方法〔参看本节课所选试题〕，作为高三复习课，本着以学生的睁开为本的理念，要重视这一数学思想的教课。
年10月10日在建平中学听华东师范大学李俊教授的报告，她谈到后边的课改，会把数学思想方法教课的详细要求写入课标，这更果断了我的想法----上一节对于数学思想方法的课。
一、内容与教材剖析“概括—猜想—论证〞是上海教育第一版社高级中学课本数学高二年级第一学期〔试用本〕第7章数列一章的内容，隶属数学概括法这一节。
“概括—猜想—论证〞是高中数学教课中独一一节以数学思想方法为内容的课。
假如数学概括法是数学方法，那么“概括—猜想—论证〞就是解决问题的思想方法，常常和数学概括法结合使用，因此教材将其纳入数学概括法的一局部，但也并不是意味着概括猜想的结论只好应用数学概括法证明。
为了研究一般规律，常常先观察一些简单的特例，进行概括，形成猜想，然后想法用证明考证猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“概括—猜想—论证〞的思想方法。
“概括—猜想—论证〞是把解答问题转变为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题详细化，蕴涵着简化问题的思想。
需要注意〔方法的要害〕：概括猜想后，只有证了然我们才能够必定猜想的正确性〔比如哥德巴赫猜想，只管计算机能够查验到很大的数猜想都建立，但是在没证明以前，谁也没法判定哥德巴赫猜想的正确性，课本例题中遗憾的费马猜想就是最好旁证〕。
“概括—猜想—论证〞是人们研究〔数学〕问题最根本的方法，因此能够尝试用它来解决各种问题〔如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题〕，它经历三个过程：试试察看特例体验猜想理性证明，因此“概括—猜想—论证〞完满地把概括猜想和演绎论证一致了起来。
数学人教版九年级上册归纳与猜想
【归纳与猜想】教学设计宣化第二实验中学贾玉存一、专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、考点精讲数字或代数式的猜想【例题2 】：观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成的两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52×______＝______×25；【例题1】 (2012·浙江金华五模)已知a ≠0, S 1＝2a ，S 2＝2S 1，S 3＝2S 2 ，…，S 2 012＝2S 2 011，则S 2 012＝________(用含a 的代数式表示)．解析 ∵S 1＝2a ，∴S 2＝2S 1＝1a ，∴S 3＝2S 2＝2a ，S 4＝1a ，…，∴S 2 012＝1a .故答案是1a .②______×396＝693×______.提出问题：设这类等式左边两位数的十位数字为 a ，个位数字为 b ，且 2≤a ＋b ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a ，b )，并证明．【例题3】 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少黑色棋子？(2)第n 个图形有多少黑色棋子？(3)第几个图形有2 016颗黑色棋子？【例题4】（2016·四川内江）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有____________个小圆．(用含n 的代数式表示)提出问题：第几个图形中有136个小圆？几何图形中的猜想【例题5】如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它第1个图 第2个图 第3个图 第4个图停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2 016次后它停在哪个数对应的点上()A．1 B．2 C．3 D．5提出问题：都可能停在哪些数对应的点上？【例题6】（2016·山东省菏泽市·3分）如图，一段抛物线：y=﹣x（x ﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=【例题7 】：如图在标有刻度的直线l上，从点 A 开始，以AB＝1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆；以BC＝2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以CD＝4 为直径画半圆，记为第 3 个半圆；以DE ＝8 为直径画半圆，记为第 4 个半圆……按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第3个半圆面积的________倍，第n 个半圆的面积为__________(结果保留π)．四．课堂小结归纳猜想问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数字、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，总结数字、式子、图形的变化规律，或分类归纳，或整体归纳，掌控一定的探索技巧．题型可涉及填空、选择或解答．它体现了“从特殊到一般”的数学思想方法，考查学生分析、理解问题的能力，观察、联想、归纳的能力以及探究和创新的能力．五．课堂作业：。
归纳-猜想-论证-沪教版教案
资源信息表7．6 归纳—猜想—论证上海市建平中学田万国一、教学内容分析归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．二、教学目标设计1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．三、教学重点与难点重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．难点：对数学归纳法的进一步理解和应用．四、教学流程设计五、教学过程设计1．引入问题1．用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1).2n n n n n --+-+-++-=-L 选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与 基本步骤，为新课的引入做好铺垫．2．归纳猜想我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又 是如何得到的呢[说明] 引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想．问题2．数列的通项公式22(55)n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，你可以得到什么结论问题3．费马（Fermat ）是17世纪法国着名的数学家，他是解 析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．费马认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1， 2，3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5221+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．问题4．设2()41f n n n =++，则当n ∈N 时，()f n 是否都为质数(0)41f =，(1)43f =，(2)47f =，(3)53f =，(4)61f =，(5)71f =，(6)83f =，(7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，L ，(39)1601f =． 但是(40)16814141f ==⨯是合数．找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！3．归纳猜想论证在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例， 进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++L L 的有限项表达式，并加以证明．选题目的：（1）引导学生体验从特殊到一般的思考过程，形成归纳猜想的意识．（2）这里去掉了原题中“并用数学归纳法证明”的证明方法的要求，以期证明方法的开放性，引起学生更开阔的思考．如：123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++L L22[123(1)].n n n n =++++-+-=L（3）要证明2n a n =对一切正整数都成立，一个一个验证是不可能的．一些与正整数有关的命题可以用数学归纳法加以证明．例2．已知数列114⨯，147⨯，1710⨯，…，1(32)(31)n n -+，…，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值．根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明．选题目的：经历和体验“归纳—猜想—论证”的完整过程，理解掌握这一重要的思维方法．4．练习P36—1，2，35．小结本节课主要学习用“归纳—猜想—论证”的方法分析和解决问题． 归纳—猜想—论证是我们分析和解决问题的常用方法，它经历三个过程：尝试，观察特例；体验，归纳猜测一般规律；理性，证明猜想．这也告诉我们在分析和解决问题时要“大胆假设，小心求证”．大胆假设，也就是大胆猜测，这是探索发现真理的重要手段，是创造的源泉；但对猜想要小心求证，这是思维严谨的体现．在证明过程中，我们进一步学习了如何用数学归纳法进行演绎推理证明．6．作业P15—2，3 P16—4六、教学建议与说明1．以问题为中心．通过对问题1的分析与解决，追根溯源，提出疑惑．通过对问题2，3，4的感受体验，思维冲击，大胆质疑．通过分析解决例题1，形成方法．2．以思维方法为主线．应切实让学生感受“归纳—猜想—论证”这一重要数学思维方法的发展过程和理性认识，将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．。
观察实验归纳类比猜想证明学案
七年级数学《观察、猜想与证明》一、【观察与实验】认识来源于实践，是我们认识事物的重要方法，通过观察和实验，可以发现许多规律。
是获得感性认识的重要途径，但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证；是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作或活动。
实验的关键是要具有可重复操作性。
例题：1.下面给出了两个图形，你能分别用一笔画出来吗？（每部分既不能重复，也不能遗漏）？2.【错觉】①上图（3）中的两条紫色的线条是平行的吗？图（4）中线段AB与线段CD哪个比较长？用什么办法验证你的观察？②下面左边两幅图形中，哪个图形的竖线更长？右图中有曲线吗？【结论】：观察可能产生错觉；所以观察的结果需要验证。
3.一个正方体有六个面，分别标上文字“观，察，猜，想，证，明”是从三个不同方向看到的几个汉字 . 观察图形中的汉字特点，那么，“观”相对面上的汉字是；“察”相对面上的汉字是；“猜”相对面上的汉字是；4.用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（）A．观察 B．实验 C．归纳 D．类比5.【实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程】①三条线段能组成一个三角形吗？②用两块形状、大小相同的三角尺，你能拼出多少个形状不同的三角形？能拼出多少个形状不同的四边形？（摆一摆，试一试）③如图，OM 为∠AOB 的平分线，点 P是射线 OM 上的一点，PA ⊥ OA 于点 A，PB ⊥ OB 于点 B，分别度量PA，PB 的长度，并判断它们的数量关系；如果在射线 OM 上再取几个不同位置的点 P，然后向角的两边作垂线段，刚才的数量关系还存在吗？④用剪刀把一张长方形的纸剪了一次，剩余的一部分纸是什么图形？把长方形纸片剪成两部分，用剪得的两部分可以拼成哪些形状不同的图形？你能拼接成一个三角形吗？并画出拼接后的示意图。
【归纳与类比】归纳与类比是得出猜想的两个重要的方法 .【归纳】归纳的方法也是人们认识事物的重要方法，归纳法有归纳法和归纳法两类，初中阶段只要了解归纳的一些补步知识，在高中阶段将会进一步进行研究。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题一：归纳与猜想
一、 知识综述
归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。
猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。
我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
二、理解掌握
例1、用等号或不等号填空：
（1）比较2x 与x 2
＋1的大小
①当x ＝2时，2x x 2
＋1；
②当x ＝1时，2x x 2
＋1；
③当x ＝－1时，2x x 2
＋1．
（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2
＋1． （3）试证明你的结论
分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。
例2、观察下列分母有理化的计算：
12121-=+，
232
31-=+，
343
41-=+，
45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算： 1)2002)(2001
20021
3
412
311
21(+++
+++
++
+ =＿＿＿＿。
分析：本题要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。
注意相消后所剩下的是什么。
例3、 观察下列数表：
1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 … … … … 第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n 行与第n 列交叉点上的数应为＿＿＿＿。
（用含正整数n 的式子表示）
分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。
例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四
分析：本题关键是：先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。
例5、 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花
盆总数为S ，按此规律推断，S 与n 的关系式是＿＿＿＿＿＿。
n=2 n=3 n=4 S=3 S=6 S=9
分析：题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n ，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。
三、拓宽应用
例6、⑴如下表：方程1，方程2，方程3，……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：
⑵若方程
)b
a (b
x x >=--1的解是61=x ，102=x ，求a ，b 的值，该方程是不是⑴中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？
⑶请写出这列方程中的第n 个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n 个方程。
分析：本题较难的是写出第n 个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。
例7、图形的操作过程（四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直放行上的边长均为b ）： ●图1中，将线段21A A 向右平移1个单位到21B B ，得到封闭图形21A A 12B B （即阴影部分）
●图2中，将折线321A A A 向右平移1个单位到321B B B ，得到封闭图形321A A A 3B 12B B （即阴影部分）
A1
（图1） （图2） （图3）
⑴在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；
⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
1S =＿＿＿＿；2S =＿＿＿＿；3S =＿＿＿＿ ⑶联想与探索：
如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。
草 地 小 路 草 地
分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。
（1）和（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a —1,b ，这样面积就不难求了。
例8、阅读下列材料，按要求解答问题。
⑴观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：∠A=2∠B 。
我们由此出发来进行思考。
在图a 中，作
斜边上的高CD ，由于∠B=30°，可知c=2b ，∠ACD=30°，于是AD=2b ，BD=2
b
c -，由△CDB ∽△ACB
，
可
知
a
BD c a =，即BD c a ⋅=2，同理AD c b ⋅=2
，
于
是
bc )b b (c )b c (c b )b c (c )AD BD (c b a =-=-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--=-=-22222。
b a
c A C B B C A
c a b
b
a c A C
B
图a 图b 图c
对于图b 由勾股定理有2
2
2
c b a +=，由于b=c ，故也有bc b a =-2
2
，这两块三角尺都具有性质
bc b a =-22，在△ABC 中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角
形。
两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一个猜测： 如图c ，在△ABC 中，若∠CAB=2∠ABC ，则bc b a =-2
2
，在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？选出一个正确的将其序号填在括号内（ ） ① 分类的思想方法；②转化的思想方法；③由特殊到一般的思想方法；④数形结合的思想方法。
⑵这个猜测是否正确？请证明。
分析：通过阅读可以发现：本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。
故选③；一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。
四、巩固训练
1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数：
17
41035221＿＿＿
37
6
2、观察下列图形并填表。
1 1 1
2
3、 下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n （n ≥2）个棋
子，每个图案的棋子总数为S ，按下图的排列规律推断，S 与n 之间的关系可以用式子＿＿＿＿来表示。
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · n=2 · · · · · · · S=4 n=3 · · · · · · S=8 n=4 · · · · · S=12 n=5 S=16
4、⑴判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”
①322322=+
（ ） ②83
3833=+（ ） ③15
441544=+
（ ） ④24552455=+（ ）
⑵你判断完以上各题后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围：
＿＿＿＿＿＿＿＿。
⑶请用数学知识说明你所写的式子的正确性。
答案 1、265， 2、17，20，2+3n 3、4n-4 4、（1）√√√√，（2）1
122-=-+n n n n n n。