小波理论及其在图像处理中的应用

博士学位研究生小波理论及其在图像处理中的应用博士研究生：丁红军学号： 1215202002所在学院：精仪学院所学专业：生物医学工程研究方向：神经工程二○一五年十二月小波理论及其在图像处理中的应用 ——浅谈图像的小波分解与重构1.1 小波函数小波是在—个局部区域内波动的函数，小区域的波，是一特殊的长度有限、平均值为0的波形。

小波分析的核心思想是按照尺度分析来分析信号：将小波收缩和平移，然后研究信号和小波之间的相关性。

信号伸展后(大尺度)与小波的相关性体现的是信号的粗略特征，信号收缩后(小尺度)与小波的相关性体现的是信号的细节特征，因此小波有“数学显微镜"的美誉。

设x 为—个实变量，若函数()χψ是波动函数，即()0=⎰∞∞-χχψd ，且()χψ是紧支撑的(即只在—个局部区域内有定义，在这个区域外趋于零)，()χψ为一平方可积函数，即()χψ)(2R L ∈，若其傅立叶变换()w ∧ψ满足容许性条件：∞<ψ=⎰∧ψdw w w C R 2|||)(| （1-1） 则函数()χψ称为母小波或基小波。

1.2 连续小波变换根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点；另一方面，根据可容许性条件可知 0|)(0=ψ=∧w w ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的“波动性”。

将基小波进行收缩和平移得小波基函数：)(1)(,a bt at b a -=ψψ（1-2） 其中，a ≠0，称作尺度因子，b 称作平移因子，函数 ()t f 在 )(2R L 上的连续小波变为：dt abt t f a b a W f _______________2/1)()(||),(-ψ=⎰∞+∞-- （1-3） 若a >1，()t b a ,ψ具有伸展作用，a <1函数则具有收缩作用。

式中不但t 是连续变量，而且a 和b 也是连续变量，因此成为连续小波变换。

写成内积的形式为：dt abt t f a f b a ⎰∞+∞--->=<___________2/1,)()(||,ψψ （1-4）逆变换为：dadb a bt b a W a C t f f )(),(11)(2-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-ψψ （1-5） 其不难发现，小波变换实际是将函数()t f 同一个活动的带通滤波器进行滤波，区别于窗口傅立叶变换的是，时间局部区域和频率局部区域不再是固定不变的，而是随着参数a 和b 的变化而变化。

根据a 和b 的不同，可得小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号()t f 的局部化分析。

小波变换的基本性质有:(1)线性。

设()b a W f ,1为()t f 1的小波变换，则有()()()t f t f t f 21βα+= ()()()b a W b a W b a W f f f ,,,21βα+= （1-6）(2)平移和伸缩的共变性。

若()()b a W t f f ,↔，则()()b a a a W a t a f f 0000,1,↔（1-7） (3)微分运算。

()()()()()dt t t t f t t f W b a n n n n n b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰∞∞-__________,1.ψψ（1-8） 除了上述性质，还有能量守恒性，空间-尺度局部化等特性。

1.3 离散小波变换在实际应用中，为满足实际计算的需要，常常要使用离散形式的小波变换，也就是将函数()χf 的积分形式展开为级数和的形式。

离散小波是通过把小波函数b a ,ψ 中的参数a 和b 离散化得到的，其离散化形式为：1,,,,0000≠∈==a Z k j a kb b a a j j （1-9） 对应的离散小波函数 ()()002/00002/0,)(kb t a a a b ka t at jj jj j k j -=-=---ψψψ （1-10） 离散化小波变换系数可以表示为：0,)()(,*,,>=⎰+∞∞-k j k j k j dt t t f C ψψ（1-11）公式为:)()(,,t C C t f k j k j ψ∑∑+∞∞-+∞∞-= (1-12)其重构其中，C 是一个与信号无关的常数。

为了使小波变换具有可变的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳特性，需要改变a 和b 的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能，这就需要把频率划分为邻接的频带(或倍频程)。

最常用的是二进制的动态采样网络，即1,200==b a ,每个网格点对应的尺度为j 2 ，而平移为 k j 2,这样得到的小波：)2(2)(2/,k t t j j k j -=--ψψ Z k j ∈, (1-13)我们将其称为二进制小波，它对信号分析具有变焦距功能。

假定放大倍数为j -2，它对应观测信号的某部分内容，若想进一步观察信号更小的细节，则需增加放大倍数即减小 j 值；反之，若想了解信号更粗的内容，就需要减小放大倍数即增大 j 值。

在这个意义上，小波变换被称为“数学显微镜”。

1.4 多分辨率分析多分辨分析又称多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。

它是S.Mallat 在 1988 年提出的，可用于正交小波分解和重构，也称金字塔算法。

多分辨分析的基本思想是将原始信号分为不同分辨率的几组信号，然后选择合适的分辨率或者在各级分辨率上处理此信号。

因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗糙到精细观察目标，这就是多分辨分析的基本思想。

多分辨分析的定义如下：空间)(2R L 中的多分辨率分析是指)(2R L 中具有如下性质的一个空间序列{ k V }(其中k ∈Z)：(1)单调性：对于任意 k ∈ Z ，{ k V }是一个嵌套序列，即1+∈k k V V 。

(2)逼近性：所有的k V 在)(2R L 中是稠密的，也就是说所有k V 的交集是零函数，即{})(,02R L V close V k k Zk =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+∞∞-∈ (1-14)(3)伸缩性：体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间变化的一致性，即1)2()(+∈⇔∈k k V t f V t f 。

(4)平移不变性：对于任意 k ∈ Z ，有()12/2/)2(2+--∈-⇔∈k k k k k k V j V t φφ (5)Riesz 基存在性：0)(V t ∈∃φ，使{})|2(2/Z j j t k k ∈--φ构成k V 的 Riesz 基。

实际上，在上面的多分辨率分析逼近中，存在着一个函数()R L t 2)(∈ϕ，使得： ()Z 222/,∈-=k kx j j k j ϕϕ（1-15） 在j V 内形成一个标准正交基，其中()χϕ被称为尺度函数。

由于尺度函数基{}k j ,ϕ组成的空间j V 中满足j V ⊂1+j V ，在将1+j V 中的信号投影到j V 中时必定会产生一个细节差异，我们可以将这个差异在另一个与j V 正交的空间j W 中描述，即有：,1j j j W V V ⊕=+，j W ⊥ j V ，Z j ∈∀ （1-16） 我们称这个空间j W 为小波空间。

根据尺度空间和小波空间的关系和性质，我们来讨论这些空间的基函数。

如果(){}Z k k ∈-χϕ是构成0V 空间的正交基，那么存在一个函数ψ(x)，其所形成的(){}Z k k ∈-χϕ就构成1V 子空间0V 的正交补空间0W 。

通过伸缩和平移变换()(){}Z k j k j k x ∈-=χψψ2,也就成为j V 的正交补空间j W 的基函数。

这里函数ψ(x)被称为母函数或小波函数。

它在信号分析中表示信号的细节信息。

1.5 尺度函数()t ϕ由尺度函数()t ϕ构造小波是小波变换的必经之路。

尺度函数()t ϕ应满足下列条件：（1）()1=⎰+∞∞-dt t ϕ，它是一个平均函数，与小波函数()t ψ相比较，其傅里叶变换()w φ具有低通特性，()w ψ具有带通特性。

（2）()t ϕ=1，尺度函数是范数为1的规范化函数。

（3）()()0'',,=⎰+∞∞-dt t t n m n m ψϕ，即尺度函数对所有的小波是正交的。

（4）()()0'',,=⎰+∞∞-dt t t n m n m ϕϕ，即尺度函数对于评议时正交的，但对于伸缩j 来说不是正交的。

（5）()()∑∈-=Zn n n t h t 22ϕϕ，即某一尺度上的尺度函数可由下一尺度的线性组合得到，n h 是尺度系数。

（6）尺度函数与小波是有关联的。

()t ψ可表示如下：()()n t g t Zn n -=∑∈22ϕψ（1-17） 式中，2是归一化因子，n g 是由n h 导出的系数，相应的傅里叶系数为()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∈∑22222w w G w e g w jwn Zn n φφψ（1-18） 式中，222jwn Z n n e g w G -∈∑=⎪⎭⎫⎝⎛ (1-19）这说明小波可由尺度函数的伸缩和平移的线性组合获得，这就是构造小波正交基的途径。

1.6 Mallat 算法著名的 Mallat 分解、重建算法在小波分析中的地位就相当于快速傅里叶变换在经典傅里叶变换中的作用。

信号(函数) )()(2R L x f ∈在尺度空间j V 中的逼近)(x f j 可以表示为下个尺度空间1-j V 中的粗信息和小波空间1-j W 中的细节信息，即：())()()(,11,11,x d x c x c x f k j Zk j k k j Zk j k k j Zk j k j -∈--∈-∈ψ+==∑∑∑ϕϕ （1-20）由式(3-18)和尺度函数 ϕ 、小波函数ψ 的正交性，可以计算出：∑∑---==nk n j n k j n j nj n j k h c c c *2,1,1,ϕϕ (1-21)*2,1,1,k n nj n k j n j nj n j k g c c d ---∑∑==ψϕ (1-22)k j n j nj n nk j n j j n j k d c c ,,11,,11,,ϕψϕϕ----∑∑+=n k nj n n k nj n g d h c 2121----∑∑+= （1-23)其中，{}Z k k h ∈是由正交尺度函数的两尺度方程对应的滤波器系数序列，可以看成低通滤波器；{}Z k k g ∈可以看成高通滤波器。

令{}Zk jk j c c ∈=、{}Zk j k j c c ∈--=11、{}Zk j k j d d ∈--=11，则1-j c 和1-j d 可分别看成j c 的低频信号和细节信号。