2016-2017学年江西省南昌二中高一上学期期末数学试卷和解析

2016-2017学年江西省南昌二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5.00分）下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则D．两个相等向量的模相等2．（5.00分）若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B．C．D．3．（5.00分）若，则tanα=（）A．B．2 C．D．﹣24．（5.00分）在△ABC中，若点D满足，则=（）A．B．C．D．5．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），若f（）=f（），且f （x）在区间（，）上有最小值，无最大值，则ω=（）A．B．C．D．6．（5.00分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2013）=（）A．338 B．337 C．1678 D．20137．（5.00分）设a、b、c分别是方程的实数根，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b8．（5.00分）函数g（x）=log2x（x＞）关于x的方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，4﹣2）∪（4+2，+∞）B．（4﹣2，4+2）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣]9．（5.00分）设f（x）=cos2x﹣sin2x，把y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数g（x）=﹣cos2x﹣sin2x的图象，则φ的值可以为（）A．B．C． D．10．（5.00分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．11．（5.00分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（20，32）B．（9，21）C．（8，24）D．（15，25）12．（5.00分）设定义域为R的奇函数f（x）单调递减，且f（cos2θ+2msinθ）+f （﹣2m﹣2）＞0恒成立，则m的范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（ 5.00分）已知，且，则=．14．（5.00分）设函数y=sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，则ω的取值范围为．15．（5.00分）函数的值域为．16．（5.00分）给出下列命题：①函数y=sin|x|不是周期函数；②函数y=tanx在定义域内为增函数；③函数y=|cos2x+|的最小正周期为；④函数y=4sin（2x+），x∈R的一个对称中心为（﹣，0）．其中正确命题的序号为．三、解答题（共70分）17．（10.00分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，且α是第二象限角，求cos（2α+）的值．18．（12.00分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．19．（12.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的对称轴及单调区间．20．（12.00分）已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣2cos（x﹣）﹣5a+2．（1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6﹣2a恒成立，求a的取值范围．21．（12.00分）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．22．（12.00分）已知函数（1）求函数的定义域；（2）若存在a∈R，对任意，总存在唯一x0∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x0）成立．求实数a的取值范围．2016-2017学年江西省南昌二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5.00分）下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则D．两个相等向量的模相等【解答】解：∵只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A不正确，模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B不正确，两个单位向量模长相等，故C不正确，向量相等则模长相等，故D正确，故选：D．2．（5.00分）若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，x=sin=，y=cos=﹣，r=1，∴sinα==﹣．故选：A．3．（5.00分）若，则tanα=（）A．B．2 C．D．﹣2【解答】解：∵cosα+2sinα=﹣，∴cosα≠0，两边同时除以cosα得1+2tanα=﹣，∴（1+2tanα）2=5sec2α=5（1+tan2α），∴tan2α﹣4tanα+4=0，∴tanα=2．故选：B．4．（5.00分）在△ABC中，若点D满足，则=（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，△ABC中，，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=+．故选：D．5．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），若f（）=f（），且f （x）在区间（，）上有最小值，无最大值，则ω=（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），由f（）=f（），在区间（，）上有最小值，无最大值结合三角函数的性质，可得f（x）在处取得最小值．可得ω×+=2kπ，化简可得：ω=8k﹣∵ω＞0当k=1时，ω=．当k=2时，ω=，考查此时在区间（，）内已存在最大值．故选：B．6．（5.00分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2013）=（）A．338 B．337 C．1678 D．2013【解答】解：∵f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，∴f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=﹣1+0﹣1+0+1+2=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）+f（2012）+f（2013）=335×[f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）]+f（2011）+f（2012）+f（2013）=335+f（1）+f（2）+f（3）=335+1+2﹣1=337，故选：B．7．（5.00分）设a、b、c分别是方程的实数根，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：在同一坐标系中作出的图象，如下图，在第一象限内的三个交点的横坐标从左到右分别为a，b，c，故它们的大小关系是a＜b＜c．故选：B．8．（5.00分）函数g（x）=log2x（x＞）关于x的方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，4﹣2）∪（4+2，+∞）B．（4﹣2，4+2）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣]【解答】∵g（x）=log2x在x＞上单调递增，∴g（x）＞﹣1，令t=|g（x）|故|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0在x＞内有三个不同实数解可化为t2+mt+2m+3=0有两个根，分别在（0，1），[1，+∞）上或在（0，1），{0}上；当若在（0，1），{0}上，则2m+3=0，则m=﹣；故t=0或t=＞1，不成立；若在（0，1），{1}上，则1+m+2m+3=0，故m=﹣；故t2+mt+2m+3=0的解为t=或t=1，成立；若在（0，1），（1，+∞）上，则△=m2﹣4（2m+3）＞0，f（1）=2m+3+m+1＜0；f（0）=2m+3＞0，解得﹣＜m＜﹣；故答案为：（﹣，﹣]；故选：D．9．（5.00分）设f（x）=cos2x﹣sin2x，把y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数g（x）=﹣cos2x﹣sin2x的图象，则φ的值可以为（）A．B．C． D．【解答】解：∵f（x）=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2sin（φ﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），g（x）=﹣cos2x﹣sin2x=﹣2（cos2x+sin2x）=﹣2sin（2x+），∴把y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，可得：﹣2sin[2（x+φ）﹣]=﹣2sin（2x+），∴解得：2（x+φ）﹣=2x++2kπ，k∈Z，即有：φ=k，k∈Z∴当k=0时，φ=，故选：A．10．（5.00分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，故选：C．11．（5.00分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（20，32）B．（9，21）C．（8，24）D．（15，25）【解答】解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣（x3+x4）+1=x3x4﹣11，∵2＜x3＜x4＜10∴的取值范围是（9，21）．故选：B．12．（5.00分）设定义域为R的奇函数f（x）单调递减，且f（cos2θ+2msinθ）+f （﹣2m﹣2）＞0恒成立，则m的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2m﹣2）＞0转化为：f（cos2θ+2msinθ）＞﹣f（﹣2m﹣2）=f（2m+2），∵定义域为R的奇函数f（x）单调递减，∴cos2θ+2msinθ＜2m+2恒成立，设t=sinθ∈[﹣1，1]，则t2﹣2mt+2m+1＞0在[﹣1，1]上恒成立，即g（t）=t2﹣2mt+2m+1在[﹣1，1]的最小值大于0，（1）当m≤﹣1时，最小值为g（﹣1）=4m+2＞0，解得，＜m，则无解；（2）当﹣1＜m＜1时，最小值为g（m）=﹣m2+2m+1＞0，解得，m ，即；（3）当m≥1时，最小值为g（1）=2＞0，即m≥1，综上可得，m的取值范围是，故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（ 5.00分）已知，且，则=．【解答】解：∵∴sinα==∴原式===﹣2故答案为：﹣214．（5.00分）设函数y=sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，则ω的取值范围为（0，2] ．【解答】解：函数y=sinωx（ω＞0）在区间上是增函数，∴，解得0＜ω≤2；所以ω的取值范围是（0，2]．故答案为：（0，2]．15．（5.00分）函数的值域为．【解答】解：由题意，令u=，可知u≥0，设函数y=4+3x﹣x2≥0，可知u，∴函数转化为y=3u（）的值域．根据指数函数的单调性：当u=0时，函数y取得最小值为1，当u=，函数y取得最大值为故答案为．16．（5.00分）给出下列命题：①函数y=sin|x|不是周期函数；②函数y=tanx在定义域内为增函数；③函数y=|cos2x+|的最小正周期为；④函数y=4sin（2x+），x∈R的一个对称中心为（﹣，0）．其中正确命题的序号为①④．【解答】解：①函数y=sin|x|不是周期函数；它是偶函数，不是周期函数，正确；②函数y=tanx在定义域内为增函数；在每一个单调区间是增函数，定义域内不是增函数．③函数y=|cos2x+|的最小正周期为；它的周期是π，所以不正确；④函数y=4sin（2x+），x∈R的一个对称中心为（﹣，0）．把（﹣，0）代入函数成立，正确．故选①④三、解答题（共70分）17．（10.00分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，且α是第二象限角，求cos（2α+）的值．【解答】解：（1），（2），又∵α为第二象限角，∴，∴，∴，∴．18．（12.00分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．【解答】解：（1）由cosα=，0＜β＜α＜，可得sinα==，tanα==4，∴tan2α===﹣．（2）由cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，可得sin（α﹣β）==，∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=，∴β=．19．（12.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的对称轴及单调区间．【解答】解：（1）∵，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）﹣b，…（1分）又∵为奇函数，且0＜φ＜π，则，，…（3分）故；…（4分）（2）令2x+=kπ+，k∈Z，解得：，k∈Z，可得对称轴：，k∈Z，…（6分）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得：x∈，可得：增区间为，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得：x∈，可得：减区间为．20．（12.00分）已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣2cos（x﹣）﹣5a+2．（1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6﹣2a恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵t=sinx+cosx=sin（x+），∴t2=sin2x+cos2x+2sinxcosx，∴sinxcosx=．∵f（x）=1﹣cos（2x+）﹣2（cosx+sinx）﹣5a+2=3+sin2x﹣2（sinx+cosx）﹣5a=3+2sinxcosx﹣2（sinx+cosx）﹣5a=3+2×﹣2t﹣5a=t2﹣2t﹣5a+2，∴f（x）=g（t）=t2﹣2t﹣5a+2（t∈[﹣，]）；（2）∵x∈[0，]，∴t=sinx+cosx=sin（x+）∈[1，]，又∵g（t）=t2﹣2t﹣5a+2=（t﹣1）2﹣5a+1在区间[1，]上单调递增，所以g（t）min=g（1）=1﹣5a，从而f（x）min=1﹣5a，要使不等式f（x）≥6﹣2a在区间[0，]上恒成立，只要1﹣5a≥6﹣2a，解得a≤﹣．21．（12.00分）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）当时，g（t）=﹣6t+1．令h（t）=g（t）﹣kt．欲使g（t）=kt有一个实根，则只需使或即可．解得k≤﹣8或k≥﹣5．22．（12.00分）已知函数（1）求函数的定义域；（2）若存在a∈R，对任意，总存在唯一x0∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x0）成立．求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由，解得，k∈Z，解得2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，所以函数的定义域为：；（2）首先，，∵，∴﹣3≤log2x≤1，∴函数f（x）的值域为[0，4]，其次，由题意知：[0，4]⊆{y|y=x2﹣ax+1（﹣1≤x≤2）}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x0∈[﹣1，2]，使得y=g（x0）．以下分三种情况讨论：①当时，则，解得a≤﹣2；②当时，则，解得a≥4；③当时，则或，解得；综上：．。