离散数学练习题(含答案2)(1)

离散数学试题

第一部分选择题

一、单项选择题

1．下列是两个命题变元p，q的小项是（C ）

A．p∧┐p∧q B．┐p∨q

C．┐p∧q D．┐p∨p∨q

2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐q

C．p∧q D．p∧┐q

3．下列语句中是命题的只有（ A ）

A．1+1=10 B．x+y=10

C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2

4．下列等值式不正确的是（ D ）

A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐A

B．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)

C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)

D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)

5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))

B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)

C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)

D．Q(x,z)

6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={,,,}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）

A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}

C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}

7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（A ）

A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈B

C．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B

8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（A ）

A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)

B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y

C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)

D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)

9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）

A．a*b=min(a,b)

B．a*b=a+b

C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)

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D ．a*b=a(mod b)

10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系

11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系 12．设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)=2x ，则f 是（ ） A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射

CDACCDAADADB

第二部分 非选择题

二、填空题

1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于

命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。 2．设R 为A 上的关系，则R 的自反闭包r(R)= _R ∪A I _ ，对称闭包s(R)= _R ∪R ~

。 3．某集合A 上的二元关系R 具有对称性，反对称性，自反性和传递性，此关系R 是 A I _ ，其关系矩阵是 只有主对角线上元素为1 。 三、计算题 1．（4分）如果论域是集合{a,b,c}，试消去给定公式中的量词：)0y x )(x )(y (=+∀∃。

2．用等值演算求下面公式的主析取范式。)()(P Q Q P ∨⌝→→⌝

3．用等值演算法求公式

)

(

)

(Q

P

Q

P⌝

→

↔

→

⌝的主合取范式。

4．（6分）在偏序集中，其中Z={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是Z中的整除关系，求集合D={2,3,4,6}的极大元，极小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。

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5．设集合A={1,2,3,4,5},A上的划分为π＝{{1,2,3},{4,5}},试求：

1)写出划分π诱导的等价关系R；

M；

2)写出关系矩阵R

3)画出关系图。

6. 设A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元关系，且R＝{，，，}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解r(R)＝R∪I A＝{，，，，，，，}

s(R)＝R∪R-1＝{，，，，，}

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R 2

＝{，，，} R 3

＝{，，，} R 4

＝{，，，}＝R 2

t (R )＝i

i R ∞

=1 ＝{，，，，，，，，

d >}

7．已知集合A 和B 且|A|=n ，|B|=m ，求A 到B 的二元关系数是多少？A 到B 的函数数是多少？

解：因为|P(A ×B)|=2|A ×B|=2|A||B|=2mn ，所以A 到B 的二元关系有2mn 个。因为|BA|=|B||A|=mn ，所以A 到B 的函数mn 个。 四、证明题

1．设R 和S 是二元关系，证明1

11)(---=S R S R

2．设A={a,b,c},R={(a,a),(a,b),(b,c)},验证rs(R)=sr(R)。

3．设R 是A 上的二元关系，试证：R 是传递的当且仅当

R R ⊆2

，其中2R 表示R R ∙。